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杭高2010学年第一学期期末考试高二数学试卷(文科)注意事项：1．本卷考试时间90分，满分100分．2．本卷所有答案必须答在答题卷上，否则无效．不能使用计算器． 一、选择题1．已知复数z a i =+(0,a i >是虚单位)，若||z =1z的虛部是( ) A ．13-B ．13i -C ．15i -D ．15-2．当a ＞0时，设命题P ：函数()=+af x x x在区间(1，2)上单调递增；命题Q ：不等式210x ax ++>对任意x ∈R 都成立．若“P 且Q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．01<≤aB ．12≤<aC ．02≤≤aD ．012<<≥或a a3．已知直线βαβα⊂⊥m l m l ,,,,,且平面，给出下列四个命题： ①若;,//m l ⊥则βα②若;//,βα则m l ⊥③若;//,m l 则βα⊥ ④若.,//βα⊥则m l其中正确的命题是( ) A ．①④ B ．②④ C ．①③④ D ．①②④4．如图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD 长为2；侧视图为一直角三角形；俯视图为一直角梯形，且1==BC AB ,则异面直线PB 与CD 所成角的正切值是( )． A ．1B ．2C ．21D ．215．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为(球的表面积为2π4R S =)( ) A ．π28B ．π8C ．π24D ．π46．2m =-是直线(2)30m x my -++=与直线30x my --=垂直的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分也非必要条件7．若圆221x y +=和224470x y x y ++-+=关于直线l 对称，则l 的方程是( ) A ．0=+y x B ．02=-+y x C ．02=--y xD ．02=+-y x8．若双曲线过点0m n n m >>(，)()，且渐近线方程为y x =±，则双曲线的焦点( ) A ．在x 轴上B ．在y 轴上C ．在x 轴或y 轴上D ．无法判断是否在坐标轴上9．对于R 上的可导的任意函数)(x f ，若满足,0)(')(≥-x f a x 则必有( ) A ．)()(a f x f ≥ B ．)()(a f x f ≤ C ．)()(a x f >D ．)()(a f x f <10．已知函数f x ()的导函数2f x ax bx c '=++()的图象如右图，则f x ()的图象可能是( )二、填空题11．设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =__________．12．设12c o s x A x +=成立，可得2212cos 2x A x +=，3312cos3,,x A x += 由此推得1()n n x n x+∈=*N ____．13．如图(1)，ABC ∆是等腰直角三角形，4AC BC ==，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，将AEF ∆沿EF 折起， 使A '在平面BCEF 上的射影O 恰为EC的中点，得到图(2)．则三棱锥BC A F '-的体积为___________．14．A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使2OP A π∠=,则椭圆离心率的范围是______________________．15．有下列命题：①0x =是函数3y x =的极值点；②三次函数32()f x ax bx cx d =+++有极值点的充要条件是230b ac ->；③奇函数32()(1)48(2)f x mx m x m x n =+-+-+在区间(4,4)-上是单调减函数． 其中假命题的序号是___________． 三、解答题16．(本题满分10分)直三棱柱111ABC A B C -的底面为等腰直角三角形，O 90,2,BAC AB AC ∠===1AA E F =、分别是1BC AA 、的中点.求： (Ⅰ)FE 与底面所成角的大小；(Ⅱ)异面直线EF 和1A B 所成角的大小.17．(本题满分10分)已知函数()22f x x x =-，()2g x ax =+，其中0a >．(Ⅰ)对[]1,2x ∀∈-，有()()2f x g x <+成立，求正数a 的取值范围．(Ⅱ)对[]11,2x ∀∈-，[]01,2x ∃∈-，使()()10g x f x =，求正数a 的取值范围．18．(本题满分10分)在平面直角坐标系xoy 中，以C (1，—2)为圆心的圆与直线10x y ++=相切． (Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)是否存在斜率为1的直线l ，使得以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在，求出此直线方程，若不存在，请说明理由．19．已知函数3211()(,)32a f x x x bx a ab +=-++∈R ，其导函数()f x '的图象过原点. (Ⅰ)当1a =时，求函数()f x 的图象在3x =处的切线方程； (Ⅱ)当0a >时，确定函数()f x 的零点个数.20．已知抛物线C 的方程为y x 42=，直线2=y 与抛物线C 相交于N M ,两点，点B A ,在抛物线C 上. (Ⅰ)若,AMN BMN ∠=∠求证：直线AB 的斜率为MA,的距离相等．(Ⅱ)若直线AB的斜率为,2求证点N到直线MB杭高2010学年第一学期期末考试高二数学答卷页(文科)11．__________________________ 12．__________________________ 13．__________________________ 14．__________________________ 15．__________________________ 三、解答题 16． 17． 18． 19．20．杭高2011年高二数学期末试卷(文科)一、选择题DAACB ADBAD 二、填空题11．e ；12．2cos nA ；13．334；14．22＜e ＜1；15．①；提示：3y x =在R 上单调增，没有极值点，①错；2()32f x ax bx c '=++，()f x 有极值点的充要条件是()0f x '=有两个不相等的实根，24120b ac ∆=->，也即230b ac ->，②正确； ()f x 是奇函数，则(0)00f n =⇒=，由()()f x f x -=-，可得2(1)0m x -=，因此1m =，所以3()48f x x x =-．当(4,4)x ∈-时，2()3483(4)(4)0f x x x x '=-=+-<，故()f x 在(4,4)x ∈-上是单调减函数． 三、解答题16．解：(1)O45； (2)O 30. 17．解：(1)由题意，()()()()22240h x f x g x x a x =--=-+-<对任意[]1,2x ∈-恒成立，只需()()1102240h a h a -=-<⎧⎪⎨=--<⎪⎩成立，故01a <<．…………5分(2)当0a >时，()2g x ax =+在[]1,2-上的值域[]2,22A a a =-+，()22f x x x =-在[]1,2-上的值域[]1,3B =-，由题意，A B ⊆，得102a <≤．………………10分 18．解：(1)设圆的方程是222()()x a y b R -+-=依题意得，所求圆的半径，||3R ==∴所求的圆方程是22(1)(2)9x y -++= ………………4分 (2)设存在满足题意的直线l ，设此直线方程为y x m =+设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ， 依题意有OA ⊥OB 即121212121,1,0OA OB y y k k x x y y x x ⋅=-∴⋅=-∴+= ………………6分 因为2222(1)(2)92440y x m y x m x y x y x y =+=+⎧⎧⎨⎨-++=+-+-=⎩⎩即 消去y 得：2222(1)440x m x m m ++++-=所以2121244(1),2m m x x m x x +-+=-+= ………………8分12121122212121212320,()()0,()044(1)0x x y y y x m y x mx x x m x m x m x x m m m m m m +==+=+∴+++=+++=∴+--++= 即2x 解得124,1m m =-= ………………9分 经检验124,10m m =-=∆>都符合题意12::4,:1l l y x l y x ∴=-=+存在满足题意的直线 ………………10分19．解：(Ⅰ)因为2()(1)f x x a x b '=-++，由已知，(0)0f '=，则0b =. 所以()(1)f x x x a '=--.(2分) 当1a =时，321()13f x x x =-+，()(2)f x x x '=-，则(3)1f =，(3)3f '=.(3分)故函数()f x 的图象在3x =处的切线方程为13(3)y x -=-， 即380x y --=.(4分)(Ⅱ)当0a >时，,(),()x f x f x '的变化情况如下表：因为()f x 的极大值(0)0f a =>，()f x 的极小值3321111(1)(1)[3()]06624f a a a a a +=-+=-+-+<，(8分)因为213()[(1)]32f x x x a a =-++，则3((1))02f a a +=>.又14(2)03f a -=--<. 所以函数()f x 在区间3(2,0),(0,1),(1,(1))2a a a -+++内各有一个零点.故函数()f x 共有三个零点. (10分)20．解：(Ⅰ)设),,(),,(2211y x B y x A 直线AM 的斜率为,k,AMN BMN ∠=∠ 所以直线BM 的斜率为,k -可求得),2,22(),2,22(N M -则直线AM 的方程为2)22(-+=x k y ，代入y x 42=得2x 4kx 80---=，A 11x x 8x 4k =--∴=+同理,2242+-=k x 2444212122212121=+=--=--=x x x x x x x x y y k AB．…… 5分 (Ⅱ)若直线AB 的斜率为,2由(1)可得：14AM x k =+24BM x k =+()22121212121244444AM BM ABx x k k y y x x k x x x x -++-+∴=====-- ,,0AMN BMN k k BM AM ∠=∠∴=+∴故点N 到直线MB MA ,的距离相等．…………10分。