[考研数学]北京航天航空大学线性代数 4-1

可由α 线性表出， 说明 b 可由 1, α2, …, αn 线性表出，因此 向量组α 与向量组α 向量组 1, α2, …, αn 与向量组 1, α2, …, αn, b 等价， 等价，因此
R{α1 ,α2 ,⋯,αn} = R{α1 ,α2 ,⋯,αn , b}.
而矩阵列向量组的秩等于矩阵的秩， 而矩阵列向量组的秩等于矩阵的秩，所以
第四章 线性方程组
线性方程组广泛应用于数学的各个分 线性方程组广泛应用于数学的各个分 自然科学、工程技术以及生产实际中 以及生产实际中. 支及自然科学、工程技术以及生产实际中 在第二章我们建立了线性方程组及矩 阵之间的联系，本章以向量与矩阵为工具， 向量与矩阵为工具 阵之间的联系，本章以向量与矩阵为工具， 在理论上讨论一般的线性方程组如何判定 在理论上讨论一般的线性方程组如何判定 它是否有解；如果有解，那么有多少个解， 它是否有解；如果有解，那么有多少个解， 如何求解；并且讨论如果解不止一个时， 如何求解；并且讨论如果解不止一个时， 这些解之间的关系. 这些解之间的关系
称为方程组的增广矩阵. 称为方程组的增广矩阵. 增广矩阵 代入(1)， 如果用 x1=k1, x2=k2, …, xn=kn 代入 ，使 左右两边恒等，则称(k 左右两边恒等，则称 1, k2, …, kn )为方程组 为方程组 解向量或 的解向量或解.
解向量的常用表示方式： 解向量的常用表示方式：
第一节 线性方程组有解判定定理
本节主要是对线性方程组的求解问题作 理论上的研究，给出了线性方程组有解判定 理论上的研究，给出了线性方程组有解判定 定理， 定理，这个定理是我们研究线性方程组的主 要依据，也是本章的基础. 要依据，也是本章的基础.
线性方程组的一般形式 a11 x1 + a12 x2 +⋯+ a1n xn = b1 a x + a x + ⋯+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 ⋮ am2 x1 + am2 x2 + ⋯+ amn xn = bm 缩写形式
若令
a11 a12 a21 a22 A= ⋮ ⋮ a m1 am2
⋯ a1n b1 x1 ⋯ a2n b2 x2 x = b = ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x b n ⋯ amn n
R( A) ≤ R( A) ≤ R(C).
R( A) = R(C),
R( A) = R( A).
根据判定定理知方程组有解. 根据判定定理知方程组有解.
证 设A的列向量组为 1, α2, …, αn ，则A的 的列向量组为α 的列向量组为 的 列向量为α 列向量为 1, α2, …, αn, b. k1 k2 必要性 设方程组 有解为： x = 设方程组(1)有解为 有解为： ⋮ k n 则 k1α1 + k2α2 +⋯+ knαn = b.
于是方程组(1)的矩阵形式为 于是方程组 的矩阵形式为
Ax = b.
其中A称为系数矩阵. 其中 称为系数矩阵 称为系数矩阵
矩阵 a11 a12 a21 a22 A= ⋮ ⋮ a m1 am2
⋯ a1n ⋯ a2n ⋱ ⋮ ⋯ amnm
的秩相同，则该方程组有解. 的秩相同，则该方程组有解.
证 设 a11 a12 ⋯ a1n b1 a11 a12 ⋯ a1n a21 a22 ⋯ a2n A = a21 a22 ⋯ a2n b2 A= ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a a n1 an2 ⋯ ann bn an2 ⋯ ann n1 显然有 而已知 因此
(1)
∑aij xj = bi
j=1
n
(i = 1,2,⋯, m)
向量形式： 向量形式：令 a1 j b1 a2 j b2 αj = b = ⋮ ( j = 1,2,⋯, n) ⋮ a b mj m 方程组(1)可以写成 方程组 可以写成 α1 x1 + α2 x2 +⋯+ αn xn = b. 由此可以得到，方程组 有解的充分必要 由此可以得到，方程组(1)有解的充分必要 可由向量α 线性表出. 条件是 b 可由向量 1, α2, …, αn 线性表出
k1 k2 x = ⋮ k n
或
x'= (k1 , k2 ,⋯, kn )'
定理1.1 线性方程(1)有解的充分必要条件是 定理1.1 线性方程 有解的充分必要条件是 它的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩， 它的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即
R( A) = R( A).
1 2 r 1 2 r
例1 试证：若方程组 试证：
∑aij xj = bi
j=1
n
(i = 1,2,⋯, n)
⋯ a1n b1 ⋯ a2n b2 ⋮ ⋮ ⋯ ann bn ⋯ bn 0
的系数矩阵 A 与矩阵 a11 a12 a21 a22 ⋮ C = ⋮ an1 an2 b 1 b2
R( A) = R( A).
充分性 设 R( A) = R( A) = r, 要证明方程组Ax=b有解 只要说明 可由 有解, 要证明方程组 有解 只要说明b可由 α1, α2, …, αn 线性表出即可 线性表出即可. 的列向量组： 由R(A)=r, 则 A 的列向量组： α1, α2, …, αn 的最大线性无关组含有r个列向量，不妨设 的最大线性无关组含有r个列向量 个列向量， 为 αi ,αi ,⋯,αi . 由条件它也是α 由条件它也是 1, α2, …, αn, b的最大线性 的最大线性 无关组. 这样b可以由 无关组 这样 可以由 αi ,αi ,⋯,αi线性表出 线性表出. 因此b可以由 可以由α 线性表出. 因此 可以由 1, α2, …, αn 线性表出