清华大学组合数学8
《组合数学》教学大纲
《组合数学》教学大纲
《组合数学》教学大纲
一、课程基本信息
1、课程中文名称：组合数学
2、课程类别：专业选修课
3、适用专业：数学与应用数学、计算机专业
4、课程地位：专业选修课
5、总学时：30学时
6、总学分：2
7、先修课程：数学分析、微分方程、高等代数
二、课程目标
1、组合数学是计算机应用领域中十分重要的基础理论课程，是计算机应用技术研究生的学位专业基础课。学习该课程的主要目的是使学生掌握组合数学的理论、技术和方法。应用组合数学方法解决实际工作中的计算机应用问题。组合数学是一门提高思维分析能力和自我构造算法本领的必修课程。
2、通过组合数学这门课程的学习，可以有效地锻炼学生的论证能力，培养学生用组合学的思想和方法分析问题和解决问题的能力。使学生能得到严格的逻辑推理与抽象思维能力的训练，建立数学模型与计算机科学实践之间的内在联系，不仅可以提高专业开发能力，而且为计算机教育打好数学基础。通过本课程的学习，应达到知识和能力两方面的目标：(1)知识方面：系统地学习组合数学中的排列与组合、容斥原理及其应用、递归关系、生成函数、整数的分拆、鸽巢原理和定理、二分图问题和组合设计。为解决实际问题，提高计算机专业开发能力打好知识基础。(2)能力方面：使学生能得到组合数学的思想、方法和理论严格的逻辑推理与抽象思维能力的训练，了解数学中的抽象思维与计算机科学实践之间的内在联系，提高分析问题和解决问题的能力
3、本课程开设时间比较灵活，总学时数为30学时。
三、课程内容
第一章排列与组合（8学时）
[教学目的与要求]
本部分集中介绍排列和组合。使学生认识到排列和组合是组合数学研究的最简单、最基本的课题。通过三个基本计数原理及排列、组合公式的研究，进一步讨论了几个计数问题，能体会要想完满地解决一个排列和组合问题，往往需要较强的组合思维、巧妙的组合方法、熟练的组合技巧。本章内容初步展示了组合数学的迷人魅力，有利于激发学生学习后续内容的兴趣。
《组合数学》课程简介.
《组合数学》课程简介
06191350 组合数学 3
Combinatorics 3－0
预修课程：数学分析（微积分）、高等代数（线性代数）、近世代数
面向对象：三、四年级本科生
内容简介：
《组合数学》是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。本课程主要介绍组合数学中涉及组合计数、组合设计和编码理论的基本原理、基本问题和基本方法，主要包括：排列与组合、母函数与递推关系、容斥原理、反演公式、鸽巢原理、Pólya计数定理、区组设计与编码理论等内容。通过该课程的学习，使学生了解和掌握《组合数学》的基本内容和基本方法，培养学生的应用意识，为学生在今后的教学或科研活动中可能的应用作准备。推荐教材或主要参考书：
《组合数学》（第三版）卢开澄，卢华明编著，清华大学出版社，2003
《组合数学》教学大纲
06191350 组合数学 3
Combinatorics 3－0
预修课程：数学分析（微积分）、高等代数（线性代数）、近世代数
面向对象：三、四年级本科生
一、教学目的和基本要求：
《组合数学》是一门应用广泛的学科。它在计算机科学、信息论、管理科学以及其它现代科技领域都有着重要的应用。本课程主要介绍组合数学中涉及组合计数、组合设计和编码理论的基本原理、基本问题和基本方法。通过该课程的学习，使学生了解和掌握《组合数学》的基本内容和基本方法，培养学生的应用意识，为学生在今后的教学或科研活动中可能的应用作准备。
清华大学学习视频教程下载,有需要的千万别错过
da清华大学（英文名：Tsinghua University），地处北京西北郊繁盛的园林区，是在几处清代皇家园林的遗址上发展而成的。清华大学的前身是清华学堂，始建于1911年，曾是由美国退还的部分庚子赔款建立的留美预备学校。1912年，清华学堂更名为清华学校。1925年设立大学部，开始招收四年制大学生。1928年更名为国立清华大学，并于1929年秋开办研究院。清华大学的初期发展，虽然渗透着西方文化的影响，但学校十分重视研究中华民族的优秀文化瑰宝。
清华大学《运筹学》共40讲学习梦想家园
/thread-232-1-1.html
清华大学《C++语言程序设计》周登文 48讲学习梦想家园
/thread-371-1-1.html
清华大学《数据结构》（c语言）严蔚敏48讲学习梦想家园
/thread-1547-1-1.html
清华大学《计算机文化基础》视频教学共28讲学习梦想家园
/thread-233-1-1.html
清华大学《计算机原理》王诚 64讲学习梦想家园
/thread-328-1-1.html
清华大学《模式识别》林学訚 32讲学习梦想家园
/thread-375-1-1.html
清华大学《计算机网络体系结构》汤志忠 48讲学习梦想家园
/thread-374-1-1.html
清华大学《汇编语言程序设计》温冬婵 64讲学习梦想家园
/thread-356-1-1.html
清华大学《JA V A编程语言》许斌32讲学习梦想家园
/thread-354-1-1.html
清华大学《人工智能原理》朱晓燕48讲学习梦想家园
资源分享：清华大学计算机系网络课程
一、在线学习
/qinghua/
二、单个下载。下面为电驴资源，可右击选择迅雷下载。
C.语言程序设计.rar
116.6MB
ed2k://|file|C.%E8%AF%AD%E8%A8%80%E7%A8%8B%E5%BA%8F%E8%AE%BE%E8%A E%A1.rar|122302229|951f9169597242947eedda5e3b693fed|h=3blaqlbdjywxbgw6ea5xs2xpkfp3v rzt|/
JA V A编程语言.rar
361MB
ed2k://|file|JAV A%E7%BC%96%E7%A8%8B%E8%AF%AD%E8%A8%80.rar|378564195|d252 664a9936d8836e29b08c036b46bd|h=knu3wqpvzc4y6di66gjvqft4v7aeobt4|/
MPI并行程序设计.rar
307.2MB
ed2k://|file|MPI%E5%B9%B6%E8%A1%8C%E7%A8%8B%E5%BA%8F%E8%AE%BE%E8% AE%A1.rar|322153075|3bafb64508b7aabe5c450d6b6b255014|h=qb2jyjjhcnj2xrstolwxiwmtw4eu yvrf|/
编译原理.rar
440.7MB
ed2k://|file|%E7%BC%96%E8%AF%91%E5%8E%9F%E7%90%86.rar|462156080|6441e6c1e5a 040caa57ea727fcc618d6|h=2adpo5jc6lv4kjlne54ez53kdxsyyyfd|/
清华大学计算机研究生课程表
清华大学计算机研究生课程表
清华大学计算机研究生课程表
计算机系研究生课程介绍
课程名称：组合数学
课程编号：60240013 课学时：48 开课学期：秋任课教师：黄连生
【主要容】
主要介绍组合数学的基本容，包括基本记数方法、母函数与递推关系、容斥
原理与鸽巢原理、Burnside引理与Polya定理、区组设计与编码的初步概念、线性规划问题的单纯形算法。
课程名称：数据结构
课程编号：60240023 课学时：48 开课学期：春秋
任课教师：严蔚敏
【主要容】
线性表、树、图等各种基本类型数据结构的结构特性、存储表示及基本操作实现的算法；查找表的各种表示方法；各种排序算法的设计与分析；文件组织方法的简单介绍。
课程名称：软件工程技术和设计
课程编号：60240033 课学时：48 开课学期：春任课教师：周之英
【主要容】
1、软件开发技术发展史；
2、软件工程技术方法的基本原则；
3、软件过程改进；
4、需求工程；
5、软件体系结构；
6、面向对象设计方法；
7、Design Pattern；
8、分布式系统对象模型：CORBA及DCOM/COM(OLE)等；
9、实例分析（实时系统的设计）等。
课程名称：专家系统
课程编号：60240043 课学时：48 开课学期：春任课教师：艾海舟
【主要容】
讲解专家系统的基本原理、构造方法、应用实例、开发工具和发展趋势，介绍人
工智能原理和知识工程的相关容，包括产生式系统、搜索技术、知识表示、知识获取
、推理机、不确定推理方法等容。
课程名称：人工智能
课程编号：60240052 课学时：32 开课学期：秋任课教师：群秀
《组合数学》课程教学大纲
《组合数学》课程教学大纲
一、教学大纲说明
（一）课程的地位、作用和任务
组合数学是高等师范院校数学及计算机专业的专业选修课之一，是专业主干课。随着计算机的广泛使用，对计算机的算法的研究变得日益重要。其中组合算法解决搜索、排序、组合优化等问题，而它的数学基础就是组合数学。本课程主要学习组合计数的各种方法和技巧，有包含排斥原理的应用，递推关系和生成函数法等。通过该课程的学习，使学生正确理解组合数学的基本概念，深入掌握基本理论和主要方法，为学习组合优化、图论等后继课程打下基础。通过该课程的学习，可以训练学生提高分析问题和初步解决某些实际问题的能力。
（二）课程教学的目的和要求
通过本课程的学习，理解组合理论的基本概念，掌握组合理论的基本方法和技巧，了解一些简单算法，为深入研究组合数学打好基础。课程要求掌握排列组合原理、鸽巢原理和包含排斥原理、组合恒等式、生成函数与递推关系，并能应用这些方法解决某些实际问题。
掌握：鸽巢原理、集合及多重集的排列和组合、二项式定理、组合恒等式、非降路径问题、牛顿二项式定理、多项式定理、包含排斥原理、多重集的组合数、错位排列、有限制条件及有禁区的排列问题、Fibonacci数列、递推关系的求解、生成函数与多重集的组合数、指数生成函数与多重集的排列数。
理解：鸽巢原理的加强形式、Ramsey定理、用生成函数求解递推关系、Catalan数和Stirling数。
了解：Poly定理。
（三）课程教学方法与手段
根据学生的实际情况，因地制宜。讲授为主，占总课时80%，习题课占20%。尽量结合实际问题，激发学生学习的兴趣。
信息学中的组合数学
–6
by TANG Wenbin
堆的种类
• (Zju)将1…n按任意顺序插入堆中，求不同 的堆的个数，输出方案数模m。 • n ≤ 1000 • m ≤ 109
–7
by TANG Wenbin
堆的种类Solution
• F(n)为n个元素的堆的个数，设L(n),R(n) 为根节点左子树,右子树的节点个数。 • 那么根节点必然是最大值，那么剩下的值 就是分配到左右子树中。
• 背包DP:
–3
by TANG Wenbin
不相邻组合Solution
• 假设取的位置是
•设 • • 扩展: n个球成环状
–4
by TANG Wenbin
逆序对排列数
• 包含K个逆序对的长度为N的排列个数?
–5
by TANG Wenbin
逆序对排列数Solution
• DP?
• 简单优化
• F[t1, t2, t3, t4, t5, prevColor_ci]
– N=t1*1+t2*2+t3*3+t4*4+t5*5
–12
• F(n)=C(n-1,L(n))×F(L(n))×F(R(n))
–8
by TANG Wenbin
Permutation Counting
• (ACM Harbin E) 求排列个数，满足有k个 位置 .
清华大学组合数学习题及解答
19. 题目 解： 设n-1位不出现11的个数为an1 n-2位不出现11的个数为an2 n位不出现11的个数为 an 则 an = an1 + an2
, 即 an an1 an2 = 0, a0 =1 a1 = 2, a2 = 3
特征方程为 x x 1 = 0
2
1+ 5 1 5 ∴x1 = , x2 = 2 2
m k mk ∴N = ∑ Dk (n!) Dn k =2 k
m
16. 题目 解： 把AD看成1
1+ 5 则AB为 2 B B = AB AB = AB AD \ 1 1
5 1 = 2 AD 1 1+ 5 AB = = = 5 1 BB 2 AD 1 2
∴B C1CB ≈ ABCD 1
8. 题目 解： 等式的右端相当于从n+m+1个球中取 n+1个球的组合。 把这n+m+1个球编号，如果取出的n+1 个球中最小编号是一，则得到 C(n + m, n) 如果最小编号是二则得到 C(n + m 1 n) , 如果最小编号是m则得到 C(n, n) 。 可证
L L L L
9. 题目 由推导过程知 解：
2. 题目 解： (1+ x4 + x8 )100 = [1+ (x4 + x8 )]100 Q
清华大学计算机研究生课程表
清华大学计算机研究生课程表
清华大学计算机研究生课程表
计算机系研究生课程介绍
课程名称：组合数学
课程编号：60240013 课内学时：48 开课学期：秋任课教师：黄连生
【主要内容】
主要介绍组合数学的基本内容，包括基本记数方法、母函数与递推关系、容斥原理与鸽巢原理、Burnside引理与Polya定理、区组设计与编码的初步概念、线性规划问题的单纯形算法。
课程名称：数据结构
课程编号：60240023 课内学时：48 开课学期：春秋
任课教师：严蔚敏
【主要内容】
线性表、树、图等各种基本类型数据结构的结构特性、存储表示及基本操作实现的算法；查找表的各种表示方法；各种内排序算法的设计与分析；文件组织方法的简单介绍。
课程名称：软件工程技术和设计
课程编号：60240033 课内学时：48 开课学期：春任课教师：周之英
【主要内容】
1、软件开发技术发展史；
2、软件工程技术方法的基本原则；
3、软件过程改进；
4、需求工程；
5、软件体系结构；
6、面向对象设计方法；
7、Design Pattern；
8、分布式系统对象模型：CORBA及DCOM/COM(OLE)等；
9、实例分析（实时系统的设计）等。
课程名称：专家系统
课程编号：60240043 课内学时：48 开课学期：春任课教师：艾海舟
【主要内容】
讲解专家系统的基本原理、构造方法、应用实例、开发工具和发展趋势，介绍人工智能原理和知识工程的相关内容，包括产生式系统、搜索技术、知识表示、知识获取
、推理机、不确定推理方法等内容。
课程名称：人工智能
课程编号：60240052 课内学时：32 开课学期：秋任课教师：陈群秀
清华领军计划数学范围
清华领军计划数学范围
清华领军计划是清华大学为了加强学科建设而推出的一项计划。其中，数学是清华领
军计划中的重要学科之一。在数学领域，清华大学希望推广的内容很广泛，以下是数学领
域清华领军计划的数学范围：
1. 数学分析：包括实分析、复分析、泛函分析等领域。实分析是计算分析的基础，
有利于理解整体分析和概率论。复分析是分析的一种推广形式，对于研究乘性和应用数学
具有重要影响。泛函分析是无限维向量空间的研究，研究一些集合的函数和无穷维空间中
的线性算子的性质。
2. 代数与几何：包括代数几何、代数学、拓扑学等领域。代数几何是代数学和几何
学的交叉学科，研究以方程式组成的算术结构和几何对象之间的关系。代数学是代数结构
的研究，研究簇、代数群、李代数等方向。拓扑学是研究空间、同时自然变形、一定程度
不变性等问题的一门学科。
3. 应用数学：包括计算机数学、运筹学、控制论等领域。计算机数学是计算机科学
和数学学科的交叉学科，主要研究数理逻辑和形式化语言、自动推理、计算机证明等。运
筹学是一种优化技术，将统计学、计算机科学、数学和工程学所研究的数学方法应用于生
产管理、系统仿真、工作安排等。控制论是一门跨学科的工程学科，其研究对象是动态系统，用数学方法研究如何控制动态系统的行为。
4. 数学物理：包括微分方程、偏微分方程、统计物理等领域。微分方程和偏微分方
程是数学物理学的重要内容，以研究物理、化学、工程等应用问题而兴起。统计物理学是
研究物理系统大量宏观量和微观量之间的关系和规律的一门学科。
5. 数学教育：包括中小学数学教育、大学数学教育等领域。数学教育的研究方向主
程序设计竞赛——组合数学新09年
插入幻方介绍 （5）{2· a，2· b，4· c}的3组合数？ （6）平面上给定25个点，问最多可以确 定多少条直线？多少个三角形？（任何 三点不共线） （7）在单词MISSISSIPPI中的字母排列 数是多少？ （8）在8×8的棋盘上对于8个彼此不同 的非攻击型的车有多少可能的放法？
二：“方程的解”问题
组合生成算法
• 6.5 生成{x1,x2,x3,…,xn}组合的基2算法 注：如n=5时，则 由00000，00001，00010，00011， 00100，00101，00110，……,11111所生 成全部组合。 当然，k组合时可由上面方法进一步计算 或用新的方法。
七：购票问题
• 一场激烈的足球赛开始前，售票工作正 在紧张的进行中，每张球票为50元。现 有2n个人排队等待购票，其中有n 个人手 持50元的钞票，另外n个人手持100元的 钞票，假设开始售票时售票处没有零钱。 问这2n个人有多少种排队方式，使售票 处不至出现找不开钱的局面？
线路图表：
• 七桥问题 18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒) 的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛 和河岸连结，如图所示。城中的居民经常沿 河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一 次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最 后仍回到起始地点。这就是七桥问题，一个 著名的图论问题。
三：容斥原理
一、从横向看 式1的等号右边的数字都是以升序 排列； 二、从纵向看 式1的等号右边的数字也是以升 序排列为主； 由此便可以设计一个程序，只要能够满足以下特征， 便可以枚举出所有的解： 1． 用一个一维数组answer来储存一个解中的 各个分拆数； 2． 用回溯法来搜索和为n的k项数值； 3． 搜索顺序由第一项到第k项； 4． k的值由1到n循环； 5． 设1，2，3……n为answer[1]，并按升序依 次 搜 索 以 后 的 各 项 的 值 ， 即 answer[i]≤answer[j] （ i ＜ j ≤ k ）； 6． 依次输出answer[i] 1≤i≤k；
清华大学计算机研究生课程表
清华大学计算机研究生课程表
清华大学计算机研究生课程表
清华大学计算机研究生课程表
计算机系研究生课程介绍
课程名称：组合数学
课程编号：60240013
课内学时：48 开课学期: 秋
任课教师：黄连生
【主要内容】
主要介绍组合数学的基本内容，包括基本记数方法、母函数与递推关系、容斥
原理与鸽巢原理、Burnside 引理与Polya 定理、区组设计与编码的初步概念、 线性规划问题的单纯形算法。
课程名称：数据结构
课程编号：60240023
课内学时：48 开课学期:
春秋 任课教师：严蔚敏
【主要内容】
线性表、树、图等各种基本类型数据结构的结构特性、存储表示及基本操作实 现
的算法；查找表的各种表示方法；各种内排序算法的设计与分析；文件组织方 法的简单介绍。
课程名称：软件工程技术和设计
任课教师：周之英
课程编号：60240033
课内学时：48 春
开课学期:
【主要内容】
1、软件开发技术发展史；
2、软件工程技术方法的基本原则；
3、软件过程改进；
4、需求工程；
5、软件体系结构；6面向对象设计方法；7、Design Pattern ；
8、 分布式系统对象模型：
CORBA 及DCOM/COM （OLE ； 9、实例分析（实时系统的
设计）等 课程名称：专家系统
任课教师：艾海舟 【主要内容】
讲解专家系统的基本原理、构造方法、应用实例、开发工具和发展趋势，介绍 人
工智能原理和知识工程的相关内容，包括产生式系统、搜索技术、知识表示、 知识获取 、推理机、不确定推理方法等内容。
课程名称：人工智能
课程编号：60240043
春 课内学时：48 开课学期:
组合数学课件--第一章：排列与组合
C
n2 n n1
剩下n-n1-…-nk-1个位置, ak的元素,共有
k C n n1 ... n k 1
n
31
第一章：排列与组合 根据剩法法则: S的排列的总数
3 k 2 C n 1 C n n1 C n n1 n 2 ... C n n1 ... n k 1
****
28
1.4：圆周排列
例1.20：5对夫妇出席一宴会，围一圆桌 而坐，试问有几种不同的方案？若要求每对 夫妻相邻又有多少种方案? 解： 1）座位无限制 Q(10,10)=P(10,10)/10=10!/10=9!=362880 共有362880种方式。 2）夫妇相邻而坐 首先可以将一对夫妇作为一个元素来看待， 共有Q(5,5)=P(5,5)/5=24。
1.3：排列与组合
1、排列的定义：设A={a1,a2,…,an}是n个不 同的元素的集合，任取A中r个元素按顺序排成一 列，称为从A中取r个的一个排列，r满足0≤r≤n。
(1) (2) (3) (…) (r)
从n个不同的球中取一个球放在第一个盒子中， 从余下的n-1个球中取一个球放在第二个盒子中， ………………………………… 从余下的n-(r-1)个球中取一个放在第r个盒子中。 根据乘法法则： 19 P(n,r)=n(n-1)…(n-r+1)=n!／(n-r)!
清华大学组合数学学习
1247 839657421
• 得到下一个排列是839651247
7
•
设P是1～n的一个全排列: P = p1p2......pn = p1p2......pj-1pjpj+1......pk-1pkpk+1......pn • 1）从排列的右端开始，找出第一个比右边数字小的数字的序 号j（j从左端开始计算），即 j=max{i|pi<pi+1}
839647521
前3位是839,先于8396的排列的个数：4×5! 8391*****, 8392*****, 8394*****, 8395***** 左边前缀用掉了3，因此右边比6小的数字是5-1=4个
10
构造中介数
7×8! +2×7! +6×6! +4×5! +2×4! +3×3! +2×2! +1×1! 中介数的特点：记录当前数字右边比当前数字小的数字的个数
3 2 1
从右向左扫描都是增的，就 不存在下一个; 要找第一次出现下降的位置;
2 3 1 2 1 3
交换？ 后面的比1大的最小的换 后缀最小
6
• [例]求839647521的下一个排列 • 1 先找从右到左第一次出现下降的位置4
839647521
找后缀中比4大的最小的数 • 2.交换： 839647521 • 3.将后缀翻转
清华大学的计算机课程表
清华大学计算机研究生课程表收藏
计算机系研究生课程介绍
课程名称：组合数学
课程编号：60240013 课内学时： 48 开课学期：秋
任课教师：黄连生
【主要内容】
主要介绍组合数学的基本内容，包括基本记数方法、母函数与递推关系、容斥原理与鸽巢原理、Burnside 引理与Polya定理、区组设计与编码的初步概念、线性规划问题的单纯形算法。
课程名称：数据结构
课程编号：60240023 课内学时： 48 开课学期：春秋
任课教师：严蔚敏
【主要内容】
线性表、树、图等各种基本类型数据结构的结构特性、存储表示及基本操作实现的算法；查找表的各种表示方法；各种内排序算法的设计与分析；文件组织方法的简单介绍。
课程名称：软件工程技术和设计
课程编号：60240033 课内学时： 48 开课学期：春
任课教师：周之英
【主要内容】
1、软件开发技术发展史；
2、软件工程技术方法的基本原则；
3、软件过程改进；
4、需求工程；
5、软件体系结构；
6、面向对象设计方法；
7、Design Pattern；
8、分布式系统对象模型：CORBA及
DCOM/COM(OLE)等；9、实例分析（实时系统的设计）等。
课程名称：专家系统
课程编号：60240043 课内学时： 48 开课学期：春
任课教师：艾海舟
【主要内容】
讲解专家系统的基本原理、构造方法、应用实例、开发工具和发展趋势，介绍人工智能原理和知识工程的
相关内容，包括产生式系统、搜索技术、知识表示、知识获取、推理机、不确定推理方法等内容。
课程名称：人工智能
课程编号：60240052 课内学时： 32 开课学期：秋
组合数学说课稿
组合数学说课稿
《组合数学》课程是数学与应用数学专业的专业选修课程，也是应用性很强的一门数学课。本课程主要研究一组离散对象满足一定条件的安排的存在性，以及这种安排的构造，枚举计数及优化问题，它是整个离散数学的一个重要组成部分。目前组合数学不仅成为数学中的一个重要分支，而且还成为计算机科学，管理科学及其它学科的数学基础。
设置本课程的目的是：一方面使学生学好作为专业课程的组合数学课，为组合方向的后续研究打下基础；另一方面培养学生理论联系实际和分析问题、解决问题的能力，会用组合的想法解决实际问题。
学习本课程的要求是：通过本课程的学习，要使学生具有现代数学的观点和方法，初步掌握常用组合计数的构造思想和计算方法。要求掌握鸽巢原理、排列组合原理、容斥原理、递推关系与生成函数。同时，也要培养学生抽象思维和慎密概括的能力，使学生具有良好的开拓专业理论的素质和使用所学知识，分析和解决实际问题的能力。
组合学问题在生活中随处可见。例如，计算下列赛制下总的比赛次数：n个球队参赛，每队只和其他队比赛一次，创建幻方。在纸上画一个网格，用铅笔沿着网络的线路走，在笔不离开纸面且不重复线路的条件下，笔画处网络图。这些都是组合学的问题。正如人们想到的，组合数学的历史渊源扎根于数学娱乐和游戏之中。今天组合数学是数学的一门重要分支，而却它的影响还在继续扩大，组合数学自60年代以来急速发展的部分原因就在于计算机在我们的社会中所发挥的重要影响，而且这种影响还在继续发挥。组合数学近期发展的另一个原因是它对于那些过去很少与数学正式接触的学科的适用性。由此我们发现，组合数学的思想和技巧不仅正在永远数学应用的传统自然科学领域，而且也永夜社会科学、生物科学、信息论等领域。组合数学涉及到将一个几何的物体排列成满足一些指定规则的格式。如下两类一般性问题反复出现：1、排列的存在性：如果有人想要排列一个集合的成员使得某些条件得以满足，那么这样一种排列是否可行根本就不是显而易见的。这是最根本的问题。如果这种排列不总是可能的，那我们要问，这种排列在什么样的条件下能够实现？2、排列的计数和分类：如果一个指定的排列是可能的那么就会存在多种方法去实现它。此时，，人们就可以计数并将它们分类。与上述问题同时出现的另外两种组合学问题是：研究一个已知的排列：当人们建立起满足某些指定条件的一个排列以后，可能还要考察这个排列的性质和结构。这样的结构可能会涉及到分类问题，也许还涉及到一些潜在的应用，它还可能牵扯到下面的问题。构造一个最优的排列：如果有可能存在多于一个的排列，人们也许想要确定满足某些优化准则的一个排列，即找出某种规定意义下的“最好的”或“最优的”排列。因此，组合数序可以一般地描述为：组合数学是研究离散结构的存在、计数、分析和优化等问题的一门学科。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
习题讨论
习题讨论
习题讨论
整点问题
•这类平面上坐标都是整数的点称为整点，或者格点
整点问题
整点问题
•在平面直角坐标系中至少任取多少个整点（两个坐标都是整
在平面直角坐标系中至少任取多少个整点才能保证存在3个点构成的三角形的重心是整点？
解设(x，y)是整点，每个分量模3后有如下表的结果：
(0，0) (0，1) (0，2) (1，0) (1，1) (1，2) (2，0) (2，1) (2，2)根据３个点重心是整点的情况:
1.落在上表中的同一格中，
2.若有３点占满一行，
3.有３点占满一列，
4.若存在一组均匀分布(每行取一个,每列取一个)。如(0,0)(1,1)(2,2)
个点，也不能保证有３点的重心是整点．（因为若每个格子都有２点，则只占有４个格子，无法保证上面的要求）
整点问题
考虑9个点的情况:假设存在９个点，其中任３点的重心都不是整点．
则这9个点，至少占有⎡9/2⎤＝5个格子（因为每格中最多2个点，否则有3个点的重心为整点），每行最多有２格，有⎡5/2⎤=3行, 所以每行都有点,同理，每列都有点．不妨设第一行2格，第二行2格，第三行1格,
2 行有两种模式：
这样第三行的点无论在哪一列都构成占满一列或构成一组均匀分布．满足前面说的三点重心是整点的情况．故个点能保证其中存在３个点的重心是整点．
或
整点问题
(2，0) (2，1) (2，2)
整点问题
回顾•定义回顾
图象与方案
回顾
•Burnside引理:设G={a1,a2,…ag}是目标集[1,n]
3 4
某种置换（运动）下能重合的图像属于同一个方案
4.6 举例
4.6 举例
4.6 举例
4.6 举例
等价类
l l
等价类
4.6 举例
4.6 举例
•正六面体转动群:顶点的置换表示32
65
784
1
4.6 举例
4.6 举例
152
4
63
4.6 举例
2*4个1524
6
3
4.6 举例
•例7骰子的6个面分别有1,…,6点，有多少种不同的方案？
4.6 举例•例6在正6面体的每个面上任意做一条对角线，有多少方案？•解在每个面上做一条对角线的方式有2种，可参考面的2着
色问题。
•但面心-面心的转动轴转±90 时，无不动图象。除此之外，
都可比照面的2着色。所求方案数：
•[26+0+ 3·24+8·22+6·23]/24=[8+6+4+6]/3=8
正六面体转动群:面的置换表示不动: (1)(2)(3)(4)(5)(6) (1)61个面面中心转±90度(1)2(4)12*3个面面中心转180度(1)2(2)23个棱中对棱中转180度(2)36个对角线为轴转±120度(3)22*4个正六面体转动群的阶数为24不动图像数
26
3*24
6*23
8*22
1
52463
4.6 举例
360度的差称为该顶点的欠角。
为该顶点的欠角。各顶点欠角的和为720度。
12·5/2=30条
4.6 举例
4.6 举例
•用火柴搭一个足球，有多少种方案？
•参照棱的二着色，
•足球有60个顶点，90条棱，12个五边形，20个六边形，•不动(1)90 1个
•5边形面心对面心转n*72度n=1,2,3,4,共6对面心(5)(90/5),24个•6边形面心对面心转n*120度n=1,2,共10对面心(3)(90/3), 20个•6边形与6边形边界的中点为轴转180度,共20*3/2/2=15对（20个六边形，每个六边形里有3条这样的棱，两条棱有一个轴，两个六边形共用一条棱）
360/5=72度
(1)2(2)44, 15个无不动图像
•（290+24*218+20*230）/60
360/6*2=120度
4.6 举例
4.7 母函数型式的Pólya定理
4.7 母函数型式的Pólya定理
4.7 母函数型式的Pólya定理
4.6 举例
4.7 母函数型式的Pólya定理
4.7 母函数型式的Pólya定理
4.7 母函数型式的Pólya定理
•例7骰子的6个面分别有1,…,6点，不考虑点的方向有多少
4.7 母函数型式的Pólya 定理•例正四面体点4着色,面3着色,棱2着色,求方案数顶点-面心
±120度：棱中-棱中：不动：故转动群的群元有12个。
方案数:
(8*423222+3*423224+443426)/12
点
面棱(1)1(3)1(1)1(3)1
(3)2综合(x1)1(x3)1(y1)1(y3)1(z3)2(2)2(2)2
(1)2(2)2(x2)2(y2)2(z1)2(z2)2(1)4
(1)4(1)6(x1)4(y1)4(z1)6
8个3个1个
4.7 母函数型式的Pólya定理
4.7 母函数型式的Pólya定理•把4个球a,a,b,b放入3个不同的盒子里,求方案数,
4.8 图的计数