清华大学组合数学8

习题讨论

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习题讨论

整点问题

•这类平面上坐标都是整数的点称为整点，或者格点

整点问题

整点问题

•在平面直角坐标系中至少任取多少个整点（两个坐标都是整

在平面直角坐标系中至少任取多少个整点才能保证存在3个点构成的三角形的重心是整点？

解设(x，y)是整点，每个分量模3后有如下表的结果：

(0，0) (0，1) (0，2) (1，0) (1，1) (1，2) (2，0) (2，1) (2，2)根据３个点重心是整点的情况:

1.落在上表中的同一格中，

2.若有３点占满一行，

3.有３点占满一列，

4.若存在一组均匀分布(每行取一个,每列取一个)。如(0,0)(1,1)(2,2)

个点，也不能保证有３点的重心是整点．（因为若每个格子都有２点，则只占有４个格子，无法保证上面的要求）

整点问题

考虑9个点的情况:假设存在９个点，其中任３点的重心都不是整点．

则这9个点，至少占有⎡9/2⎤＝5个格子（因为每格中最多2个点，否则有3个点的重心为整点），每行最多有２格，有⎡5/2⎤=3行, 所以每行都有点,同理，每列都有点．不妨设第一行2格，第二行2格，第三行1格,

2 行有两种模式：

这样第三行的点无论在哪一列都构成占满一列或构成一组均匀分布．满足前面说的三点重心是整点的情况．故个点能保证其中存在３个点的重心是整点．

或

整点问题

(2，0) (2，1) (2，2)

整点问题

回顾•定义回顾

图象与方案

回顾

•Burnside引理:设G={a1,a2,…ag}是目标集[1,n]

3 4

某种置换（运动）下能重合的图像属于同一个方案

4.6 举例

4.6 举例

4.6 举例

4.6 举例

等价类

l l

等价类

4.6 举例

4.6 举例

•正六面体转动群:顶点的置换表示32

65

784

1

4.6 举例

4.6 举例

152

4

63

4.6 举例

2*4个1524

6

3

4.6 举例

•例7骰子的6个面分别有1,…,6点，有多少种不同的方案？

4.6 举例•例6在正6面体的每个面上任意做一条对角线，有多少方案？•解在每个面上做一条对角线的方式有2种，可参考面的2着

色问题。

•但面心-面心的转动轴转±90 时，无不动图象。除此之外，

都可比照面的2着色。所求方案数：

•[26+0+ 3·24+8·22+6·23]/24=[8+6+4+6]/3=8

正六面体转动群:面的置换表示不动: (1)(2)(3)(4)(5)(6) (1)61个面面中心转±90度(1)2(4)12*3个面面中心转180度(1)2(2)23个棱中对棱中转180度(2)36个对角线为轴转±120度(3)22*4个正六面体转动群的阶数为24不动图像数

26

3*24

6*23

8*22

1

52463

4.6 举例

360度的差称为该顶点的欠角。

为该顶点的欠角。各顶点欠角的和为720度。

12·5/2=30条

4.6 举例

4.6 举例

•用火柴搭一个足球，有多少种方案？

•参照棱的二着色，

•足球有60个顶点，90条棱，12个五边形，20个六边形，•不动(1)90 1个

•5边形面心对面心转n*72度n=1,2,3,4,共6对面心(5)(90/5),24个•6边形面心对面心转n*120度n=1,2,共10对面心(3)(90/3), 20个•6边形与6边形边界的中点为轴转180度,共20*3/2/2=15对（20个六边形，每个六边形里有3条这样的棱，两条棱有一个轴，两个六边形共用一条棱）

360/5=72度

(1)2(2)44, 15个无不动图像

•（290+24*218+20*230）/60

360/6*2=120度

4.6 举例

4.7 母函数型式的Pólya定理

4.7 母函数型式的Pólya定理

4.7 母函数型式的Pólya定理

4.6 举例

4.7 母函数型式的Pólya定理

4.7 母函数型式的Pólya定理

4.7 母函数型式的Pólya定理

•例7骰子的6个面分别有1,…,6点，不考虑点的方向有多少

4.7 母函数型式的Pólya 定理•例正四面体点4着色,面3着色,棱2着色,求方案数顶点-面心

±120度：棱中-棱中：不动：故转动群的群元有12个。

方案数:

(8*423222+3*423224+443426)/12

点

面棱(1)1(3)1(1)1(3)1

(3)2综合(x1)1(x3)1(y1)1(y3)1(z3)2(2)2(2)2

(1)2(2)2(x2)2(y2)2(z1)2(z2)2(1)4

(1)4(1)6(x1)4(y1)4(z1)6

8个3个1个

4.7 母函数型式的Pólya定理

4.7 母函数型式的Pólya定理•把4个球a,a,b,b放入3个不同的盒子里,求方案数,

4.8 图的计数