清华大学组合数学8
清华大学VLSI8
全定制 小 高 全部
设计模式
标准单元
门阵列
较小
中等
较高
中等
全部 金属连线及孔
FPGA 大 低
不需要
2021/3/3
29
大批量的产品，如微处理器，存储器等 宜采用全定制设计方法。小批量ASIC产 品则采用半定制的门阵列或宏单元阵列 设计方法。单件、批量很小的产品、试 验电路则采用FPGA设计方法。电性能要 求较高，而批量较小的产品，或中批量 产品则采用标准单元设计方式。
C(芯片设 芯)计 片 (单 成 上个 本 晶 芯 总 体片 产 管 )生 量 数 总产 产成 量本
当产量很低时，第一项设计成本起主要 作用，当产量很高时，单个芯片生产成 本起主要作用。
2021/3/3
38
§4系统封装
半导体器件复杂性和密度的急剧增加推 动了更加先进的VLSI封装和互连方式的 开 发 。 目 前 ， 印 刷 电 路 板 （ printed Circuit Board-PCB） 和 多 芯 片 模 块 （Multi-Chip Modules-MCM）是两种主 要的系统封装技术。
三、规则性
采用单元重复的方法是结构化设计的一 种好方法，这样既简化设计，又减少错 误，同时使结构规则化。所谓规则化是 指模块内部可以随功能而不同，但模块 间的接口如电源、地线、时钟线、总线 等可以是公共的。规则性可以在设计层 次的所有级别上存在。
7
四、局部性
通过对模块接口的很好定义，可以 有效地使该模块的内容变得对任何 外部接口不再重要，可以将每个模 块看作一个黑盒子。设计时不关心 模块内部的情况，这样减少了模块 表现的复杂性。
将设计错误消灭在芯片制造之前，确保 芯片的正确性和一定的成品率。
组合数学pdf
组合数学
组合数学是数学中的一个分支，研究如何选出一些元素组成某种集合的数学问题。
组合数学是运用较为广泛的数学分支之一，它涉及面不仅局限于数学领域，还涉及计算机科学，物理学，统计学，生物学等领域。
在日常生活中，组合数学也有很多应用，例如密码学、图论、排列组合等方面。
组合数学主要涉及组合、排列、集合这些数学概念，下面将对这些概念逐一进行介绍。
组合数：组合数是指从n个不同元素中取r个元素（r≤n）不重不漏的所有情况的个数。
组合数可以简单地表示成C(n,r)，其计算公式为：C(n,r)=n!/(r!(n-r)!)。
排列数：排列数是指从n个不同元素中取出r个元素进行排列，不放回地选取，可以表示为A(n,r)，排列数的计算公式为
A(n,r)=n!/(n-r)!。
排列数也可以分为有放回排列和无放回排列。
集合：集合是由若干个元素组成的一个整体，集合内的元素没有重复且无序。
例如，{1,2,3}和{3,2,1}都代表同一个集合。
在实际应用中，组合数学的应用十分广泛。
例如在密码学中，组合数学可以用来生成密码，用来保护数据的安全性。
在图论中，组合数学可以用来研究图的结构，处理图的中间点，连通性等问题。
在排列组合中，组合问题是许多具有不同性质的排列问题的基础。
生物学中，组合数学也可以通过研究遗传物质的组合和排列等问题，来推断人类或动物的遗传基因情况。
总之，组合数学是一门综合性极强的数学学科，在实际中的应用和研究都有非常重要的地位。
清华大学计算机研究生课程表
清华大学计算机研究生课程表清华大学计算机研究生课程表计算机系研究生课程介绍课程名称：组合数学课程编号：60240013 课学时：48 开课学期：秋任课教师：黄连生【主要容】主要介绍组合数学的基本容，包括基本记数方法、母函数与递推关系、容斥原理与鸽巢原理、Burnside引理与Polya定理、区组设计与编码的初步概念、线性规划问题的单纯形算法。
课程名称：数据结构课程编号：60240023 课学时：48 开课学期：春秋任课教师：严蔚敏【主要容】线性表、树、图等各种基本类型数据结构的结构特性、存储表示及基本操作实现的算法；查找表的各种表示方法；各种排序算法的设计与分析；文件组织方法的简单介绍。
课程名称：软件工程技术和设计课程编号：60240033 课学时：48 开课学期：春任课教师：周之英【主要容】1、软件开发技术发展史；2、软件工程技术方法的基本原则；3、软件过程改进；4、需求工程；5、软件体系结构；6、面向对象设计方法；7、Design Pattern；8、分布式系统对象模型：CORBA及DCOM/COM(OLE)等；9、实例分析（实时系统的设计）等。
课程名称：专家系统课程编号：60240043 课学时：48 开课学期：春任课教师：艾海舟【主要容】讲解专家系统的基本原理、构造方法、应用实例、开发工具和发展趋势，介绍人工智能原理和知识工程的相关容，包括产生式系统、搜索技术、知识表示、知识获取、推理机、不确定推理方法等容。
课程名称：人工智能课程编号：60240052 课学时：32 开课学期：秋任课教师：群秀【主要容】人工智能的定义、发展历史及研究的课题；人工智能的典型系统结构--产生式系统；搜索技术（盲目搜索、启发式搜索、博奕树搜索）；谓词演算（知识表示）；人工智能语言程序设计。
课程名称：微型计算机系统接口技术课程编号：60240063 课学时：48 开课学期：春任课教师：芬【主要容】本课程是全部用PC机控制的以硬件为主的软硬件结合的综合接口技术。
清华大学计算机专业核心课程
GMT+8, 2010-8-6 22:43, Processed in 0.453591 second(s), 12 queries. Powered by
Discuz! X1
© 2008-2010 家里蹲大学.
40240144编译原理4(春)数据结构
40240243计算机网络3(秋)操作系统
40240432形式语言与自动机2(秋)离散数学（1）
20240103汇编语言程序设计3(秋)
计算机科学与技术专业限选课不少于11学分,其中：
计算机系统结构-----计算机科学与技术专业选修不少于2学分
计算机网络专题训练1(秋)
操作系统专题训练2(秋)
编译原理专题训练2(秋)
数据库专题训练2(秋)
计算机科学与技术专业的任选课程
课号课程名学分先修要求
30240253微计算机技术3汇编语言程序设计
80240193计算机网络前沿研究徐恪3
80240183网格计算都志辉3
80240033计算智能及机器人学孙富春3
研究生院已批准课程
80240173下一代互联网徐明伟3
80240312小波分析及其工程应用孙延奎2
初等数论及其应用 2离散数学
网络编程与计算技术2计算机组成原理
30240134软件工程3C++ 数据结构
30240042人工智能导论2离散数学
40240452模式识别2几何与代数 概率与统计 人工智能导论
40240062数字图象处理2概率与统计 程序设计基础
30240134软件工程3C++ 数据结构
清华大学组合数学学习
k×k! = n!-1 • 归纳法证明 ∑ k=1
n-1
14
字典序中中介数： 记录当前数字右边比当前数字小的数字的个数 中介数：k1k2…kn-1 ki最大值是n-i n-1 (00)↑ 序号：∑ki(n-i)! 排列：P=P1P2…Pn i=1 (01)↑ 0 123 1 132 (21)↑ =2*2!+1*1!=5 n!-1=5 0到(n!-1)个中介数 321 序号+1 中介数？？ 0到(n!-1) 0 123 (00)↑ 共有n!个排列 2 213 (10)↑ 3 231 (11)↑ 4 312 (20)↑ 5 321 (21)↑ 15
全排列的生成算法：就是对于给定的字符集，用 有效的方法将所有可能的全排列无重复无遗漏地 枚举出来。 2
Generating Permutations
• Can we start from the simple thing first? Induction
– The permutation of {1} High complexity! Waste of memory! 1 2 1 2 – The permutation of {1 2} 1 2 2 1 3 13 23 – The permutation of {1 2 3} 1 2 3 32 1 3 23 13 1 3 2 2 3 1 3 1 2 2 1 3
生成给定全排列的下一个排列所谓一个的下一个就是这一个 与下一个之间没有其他的。
这就要求这一个与下一个有尽可能长的共同前缀，也即变化 5 限制在尽可能短的后缀上。
字典序法
这就要求这一个与下一个有尽可能长的共 同前缀，也即变化限制在尽可能短的后缀上。 123,132,213,231,312,321。
清华大学组合数学
=
−x2
−
1 2
x4
−
1 3
x6
−
L
∴ ln G ( x ) = ( x + 1 x 2 + 1 x 3 + L )
2
3
+ (x2 + 1 x4 + 1 x6 +L)
2
3
+ (x3 + 1 x6 + 1 x9 +L)+L
2
3
=
x 1− x
+
1 2
x2 1− x2
+
1 x3 3 1− x3
+L
(2 − 6 − 2)
7
§2.6.2 拆分数估计式
20
定理：设 证：令
pn为整数n的拆分数，则 pn G(x) = p0 + p1x + p2 x2 + L
<
e
n 3
一个整数n拆分成若干整数的和，在拆分中
每个整数允许重复出现。故
G1(x) =(1+x+x2 +L)(1+x2 +x4 +L)L
L(1+xm +x2m +L)
因整数n拆分成k个数的和的拆分可用 一k行的图像表示。所得的Ferrers图像的 共轭图像最上面一行有k个格子。例如：
最大数为5
5个数
24=6+6+5+4+3 5个数，最大数为6 24=5+5+5+4+3+2 6个数，最大数1为7 5
§2.6.3 Ferrers图像 (b)整数n拆分成最多不超过m个数的和的拆分数，
组合数学漫谈
Ramsey理论的哲理意义
完全的无序是不可能的(Complete disorder is impossible)。 任一足够大的结构中必定包含一个给定大小的规则子结构。 无序无意的行为产生了有规律的后果，发人深思耐人寻味。 古人在满天的星斗中发现野兽和众神群集于天空的图形，以 为是造物主的杰作。但根据Ramsey 定理，只要随机分布的 星星数目足够多，就可以描绘出各种图形的轮廓。 1994年Statistical Science的一篇论文利用统计方法证明： 圣经隐藏了许多讯息，而这些讯息是有意安排的，绝非文字 排列偶然造成的。 1997 年Michael Drosnin的《The Bible Code 》通过计算机扫读圣经中的304805个字母，发现圣经 密码当中传达的讯息除了拉宾被刺杀外，还包括美国肯尼迪 和林肯两位总统，以及印度总理甘地遇刺的事件，日本神户、 美国旧金山的大地震、世界末日与广岛原子弹轰炸等，种种 过去与未来发生的大事件。
中国的组合数学
河图洛书九宫图
易曰：河出图，洛出书，圣人则之。河图洛书是最早的幻方。 “二、九、四；七、五、三；六、一、八” ----《大戴礼记明堂》 《黄帝内经灵枢》的《九宫八风》篇。 “九宫者，即二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央 ” ----(汉)徐岳撰 (北周)甄鸾注 杨辉《续古摘奇算法》(1275)进一步给出了四阶幻方构造方法。此外， 他还构造出了五阶、六阶、七阶、八阶、九阶和十阶幻方(百子图 )。
离散数学(Discrete mathematics)是研究离散量的结构及其相互 离散数学 是研究离散量的结构及其相互 关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。它在各学科领域， 关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。它在各学科领域， 特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用， 计算机科学与技术领域有着广泛的应用 特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也 计算机专业的许多专业课程 的许多专业课程， 程序设计语言、数据结构、 是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操 作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、 作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论 计算机科学基础等必不可少的先行课程。通过离散数学的学习， 计算机科学基础等必不可少的先行课程。通过离散数学的学习， 不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法， 离散结构的描述工具和方法 不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法，为后续课程的学 习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力， 习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，为 将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。 将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。 随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续 随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续 微积分 数学占主流的地位已经发生了变化， 数学占主流的地位已经发生了变化，离散数学的重要性逐渐被人 们认识。离散数学课程所传授的思想和方法， 们认识。离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算 机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理， 机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理，从理 论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件， 论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件， 从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。 从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。
清华大学计算机研究生课程表
清华大学计算机研究生课程表清华大学计算机研究生课程表计算机系研究生课程介绍课程名称：组合数学课程编号：60240013 课内学时：48 开课学期：秋任课教师：黄连生【主要内容】主要介绍组合数学的基本内容，包括基本记数方法、母函数与递推关系、容斥原理与鸽巢原理、Burnside引理与Polya定理、区组设计与编码的初步概念、线性规划问题的单纯形算法。
课程名称：数据结构课程编号：60240023 课内学时：48 开课学期：春秋任课教师：严蔚敏【主要内容】线性表、树、图等各种基本类型数据结构的结构特性、存储表示及基本操作实现的算法；查找表的各种表示方法；各种内排序算法的设计与分析；文件组织方法的简单介绍。
课程名称：软件工程技术和设计课程编号：60240033 课内学时：48 开课学期：春任课教师：周之英【主要内容】1、软件开发技术发展史；2、软件工程技术方法的基本原则；3、软件过程改进；4、需求工程；5、软件体系结构；6、面向对象设计方法；7、Design Pattern；8、分布式系统对象模型：CORBA及DCOM/COM(OLE)等；9、实例分析（实时系统的设计）等。
课程名称：专家系统课程编号：60240043 课内学时：48 开课学期：春任课教师：艾海舟【主要内容】讲解专家系统的基本原理、构造方法、应用实例、开发工具和发展趋势，介绍人工智能原理和知识工程的相关内容，包括产生式系统、搜索技术、知识表示、知识获取、推理机、不确定推理方法等内容。
课程名称：人工智能课程编号：60240052 课内学时：32 开课学期：秋任课教师：陈群秀【主要内容】人工智能的定义、发展历史及研究的课题；人工智能的典型系统结构--产生式系统；搜索技术（盲目搜索、启发式搜索、博奕树搜索）；谓词演算（知识表示）；人工智能语言程序设计。
课程名称：微型计算机系统接口技术课程编号：60240063 课内学时：48 开课学期：春任课教师：李芬【主要内容】本课程是全部用PC机控制的以硬件为主的软硬件结合的综合接口技术。
八的分解与组合PPT课件
在组合数学中，组合是指从n个不同 元素中选取r个元素的不同方式的数目 。通过计算组合数，可以解决各种组 合问题，如排列组合、概率统计等。
在日常生活中的应用
物品分配
在日常生活中，经常需要进行物品的分配。例如，将8个苹果分给4个人，每人分到2个苹果，这需要 运用分解与组合的知识。
任务分配
在工作中，经常需要将任务分配给不同的人来完成。通过分解任务和组合人员，可以更有效地完成工 作。
八的分解与组合
CATALOGUE
目 录
• 引言 • 八的分解 • 组合介绍 • 分解与组合的应用 • 总结与回顾
01
CATALOGUE
引言
主题介绍
数的分解与组合是数学中基础而重要的概念，对于理解数的结构和运算 有重要意义。
数的分解是将一个数拆分成若干个简单因数的乘积，而数的组合则是将 若干个数相加或相乘得到一个特定数。
八的分解与组合是学习数的分解与组合的一个基础例子，通过学习八的 分解与组合，可以掌握数的分解与组合的基本方法，为进一步学习其他 数的分解与组合打下基础。
学习目标
掌握八的分解方法， 理解分解的原理和意 义。
通过实际操作和练习 ，提高数学运算能力 和思维逻辑能力。
掌握八的组合方法， 理解组合的原理和意 义。
02
CATALOGUE
八的分解
分解方法一
总结词
将8分解为两个数之和
详细描述
8可以分解为5+3、4+4、3+5等，其中4+4是唯一一组两个相同数的和。
分解方法二
Байду номын сангаас总结词
将8分解为三个数之和
详细描述
8可以分解为2+3+3、1+4+3、1+1+6等，其中1+1+6是唯一一组三个相同数 的和。
清华大学计算机研究生课程表
清华大学计算机研究生课程表清华大学计算机研究生课程表清华大学计算机研究生课程表计算机系研究生课程介绍课程名称：组合数学课程编号：60240013课内学时：48 开课学期: 秋任课教师：黄连生【主要内容】主要介绍组合数学的基本内容，包括基本记数方法、母函数与递推关系、容斥原理与鸽巢原理、Burnside 引理与Polya 定理、区组设计与编码的初步概念、 线性规划问题的单纯形算法。
课程名称：数据结构课程编号：60240023课内学时：48 开课学期:春秋 任课教师：严蔚敏【主要内容】线性表、树、图等各种基本类型数据结构的结构特性、存储表示及基本操作实 现的算法；查找表的各种表示方法；各种内排序算法的设计与分析；文件组织方 法的简单介绍。
课程名称：软件工程技术和设计任课教师：周之英课程编号：60240033课内学时：48 春开课学期:【主要内容】1、软件开发技术发展史；2、软件工程技术方法的基本原则；3、软件过程改进；4、需求工程；5、软件体系结构；6面向对象设计方法；7、Design Pattern ；8、 分布式系统对象模型：CORBA 及DCOM/COM （OLE ； 9、实例分析（实时系统的设计）等 课程名称：专家系统任课教师：艾海舟 【主要内容】讲解专家系统的基本原理、构造方法、应用实例、开发工具和发展趋势，介绍 人工智能原理和知识工程的相关内容，包括产生式系统、搜索技术、知识表示、 知识获取 、推理机、不确定推理方法等内容。
课程名称：人工智能课程编号：60240043春 课内学时：48 开课学期:任课教师：陈群秀【主要内容】人工智能的定义、发展历史及研究的课题；人工智能的典型系统结构--产生式系统; 搜索技术（盲目搜索、启发式搜索、博奕树搜索）；谓词演算（知识表示）；人 工智能语言程序设计。
课程名称：微型计算机系统接口技术课程编号：60240063课内学时：48 春 任课教师：李芬【主要内容】本课程是全部用PC 机控制的以硬件为主的软硬件结合的综合接口技术。
组合数学课件--第一章：排列与组合
1.3：排列与组合
1、排列的定义：设A={a1,a2,…,an}是n个不 同的元素的集合，任取A中r个元素按顺序排成一 列，称为从A中取r个的一个排列，r满足0≤r≤n。
(1) (2) (3) (…) (r)
从n个不同的球中取一个球放在第一个盒子中， 从余下的n-1个球中取一个球放在第二个盒子中， ………………………………… 从余下的n-(r-1)个球中取一个放在第r个盒子中。 根据乘法法则： 19 P(n,r)=n(n-1)…(n-r+1)=n!／(n-r)!
p2
2 a2
... pm
2 am
C (2a1 1,1) C (2a2 1,1) ... C (2am 1,1)
34
练习题
1.13、有n个不同的整数，从中取出两组来， 要求第1组的最小数大于另一组的最大数。 设取的第一组数有a个,第二组有b个,
要求第一组数中最小数大于第二组中最大的， 即只要取出一组m个数(设m=a+b),从大到小 取a个作为第一组,剩余的为第二组。 此时方案数为C(n,m)。 从m个数中取第一组数共有m-1中取法。 (m-1)C(n,m)
17
1.2 一一对应 1 2 5 任给一个序列B{b1,b2,b3,…,bn-2} 1、从A找到最小的不属于B的元素,设为a1,与b1连 接，从A中去掉a1，从B中去掉b1. 2、重复以上过程只到B为空，A中剩余两个 3、连接剩余的两个顶点。
*
18
树的顶点集合为12345
3 4
这棵树对应序列（2，3，2）
****
2
(4)哪些最优？
选用教材
组合数学
(第四版) 卢开澄 卢华明 著
清华大学出版社
组合数学作业1-8
1．1） 在边长为1的等边三角形内任意放10个点，证明一定存在两个点，其距离不大于1/3。
证：如图所示：在三角形的边上加两个点等分每条边，把大三角形分别9个边长为1/3的小三角形。
由鸽巣原理：10个点中一定存在两个点落于同一个小三角形，其距离不大于1/3。
2）在边长为1的三角形内放m n 个点，则把三角形分割成n-1个小三角形。
由鸽巣原理可知：m n 个点必有两点落于同一个小三角形内，则其距离不大于1/n.2．证：,1a a 2……a mm 个数，i=1,2…..m.设r m a iiiq += 0≤r i≤m-1当r i =0时，存在一个整数可以被m 整除。
当r i 从1…..m-1这m-1个中取值，那么m 个r i 中只有m-1种可能，则鸽巣原理可知：必存在j 和k ，使得r r k j =,j>k,即有)(q q aa kjkjm -=-3.证：∵有理数可由整数和分数组成。
∴当为整数时，存在以0为循环的循环小数。
∴当为分数时，若分数是有限的循环小数，则存在以0为循环的循环小数。
∴若分数是无限循环的循环小数，则肯定存在某一位后以某一位为循环的循环小数。
4．证：设全部由7组成的N+1个数，7，77，777，……,7777。
77（N+1个7）存在整数N ，由7组成的数除以N ，以a i 代表N+1中的数。
即a i =Nq+r i 0≤r i ≤ N-1则存在0….N-1这n 个数，则鸽巣原理可知：必定存在两个数aa ki,使得)(q q a a k j k j N -=- 是N 的倍数组合数学第2次作业2．5⑴ 证明在任意选取的n+1个正整数中存在着两个正整数，其差能被n 整除。
解：设任意n+1正整数aa a n 221,......,+，任意取两个整数的差为s k=aa ji-,i>j.差除以n 的余数为ri。
∴0≤ri≤n-1如果存在i ，使得ri=0.则aa ji-可以被n 整除，对所有i ，i=1,2 。
清华大学的计算机课程表
清华大学计算机研究生课程表收藏计算机系研究生课程介绍课程名称：组合数学课程编号：60240013 课内学时： 48 开课学期：秋任课教师：黄连生【主要内容】主要介绍组合数学的基本内容，包括基本记数方法、母函数与递推关系、容斥原理与鸽巢原理、Burnside 引理与Polya定理、区组设计与编码的初步概念、线性规划问题的单纯形算法。
课程名称：数据结构课程编号：60240023 课内学时： 48 开课学期：春秋任课教师：严蔚敏【主要内容】线性表、树、图等各种基本类型数据结构的结构特性、存储表示及基本操作实现的算法；查找表的各种表示方法；各种内排序算法的设计与分析；文件组织方法的简单介绍。
课程名称：软件工程技术和设计课程编号：60240033 课内学时： 48 开课学期：春任课教师：周之英【主要内容】1、软件开发技术发展史；2、软件工程技术方法的基本原则；3、软件过程改进；4、需求工程；5、软件体系结构；6、面向对象设计方法；7、Design Pattern；8、分布式系统对象模型：CORBA及DCOM/COM(OLE)等；9、实例分析（实时系统的设计）等。
课程名称：专家系统课程编号：60240043 课内学时： 48 开课学期：春任课教师：艾海舟【主要内容】讲解专家系统的基本原理、构造方法、应用实例、开发工具和发展趋势，介绍人工智能原理和知识工程的相关内容，包括产生式系统、搜索技术、知识表示、知识获取、推理机、不确定推理方法等内容。
课程名称：人工智能课程编号：60240052 课内学时： 32 开课学期：秋任课教师：陈群秀【主要内容】人工智能的定义、发展历史及研究的课题；人工智能的典型系统结构--产生式系统；搜索技术（盲目搜索、启发式搜索、博奕树搜索）；谓词演算（知识表示）；人工智能语言程序设计。
课程名称：微型计算机系统接口技术课程编号：60240063 课内学时： 48 开课学期：春任课教师：李芬【主要内容】本课程是全部用PC机控制的以硬件为主的软硬件结合的综合接口技术。
清华大学组合数学课件
Combinatorics第章排列与组合第一章马昱春MA Yuchunmyc@1内容回顾•全排列生成算法(A)字典序法(B)递增进位制数法(C)递减进位制数法(D)邻位对换法•全排列：P是[1,n]的一个全排列。
P=P 1P 2…P n •序号：先于此排列的排列的个数。
–字典序中将先于此排列的排列按前缀分类，得到排列的序号n-1(n-i)!小的数的个数i=1,2,,n-1∑k i (n i)! k i ：P i 的右边比P i 小的数的个数i 1,2,…,n 1i=1•中介数：每个排列对应的中介数即k 1k 2…k n-1–递增/递减进位制数–记录排列的结构全排列序号中介数对应2–全排列，序号，中介数一一对应字典序下的对应关系n-1排列：P=P 1P 2…P n序号：∑k i (n-i)! i=1中介数：k 1k 2…k n-11230(00)()↑1321(01)↑ (321)n!-1=5 (21)………………()↑=2*2!+1*1!=5共有n!个排列0到(n!-1)0到(n!-1)个中介数3中介数的特点：记录当前数字右边比当前数字小的数字的个数•给定一个排列求后面或者前面的某个排列给定个排列求后面或者前面的某个排列–“原排列”→“原中介数”→“新中介数”“新排列”→新排列递增/递减进位制数加减法序号(A)字典序法(B)递增进位制数法(C)递减进位制数法(D)邻位对换法0 123 (00)↑ 123 (00)↑ 123 (00)↓ 123 (00)↓1 132 (01)↑ 213 (01)↑ 132 (01)↓ 132 (01)↓2213(10)132(10)312(02)312(02)2 213 (10)↑ 132 (10)↑ 312 (02)↓ 312 (02)↓3 231 (11)↑ 231 (11)↑ 213 (10)↓ 321 (10)↓4 312 (20)↑ 312 (20)↑ 231 (11)↓ 231 (11)↓5321(21)321(21)321(12)213(12)5 321 (21)↑ 321 (21)↑ 321 (12)↓ 213 (12)↓对中介数的不同解释算法构成了不同的排列顺序4常用排列生成工具_p,•C++标准程序库中有两个函数next permutation, prev_permutation，可以生成字典序排列#include algorithm•#include<algorithm>bool next_permutation( iterator start, iterator end ); bool prev_permutation( iterator start, iterator end ); bool prev permutation(iterator start iterator end);–The next_permutation() function attempts to transform thegiven range of elements [start,end) into the nextgiven range of elements[start end)into the nextlexicographically greater permutation of elements. If itsucceeds, it returns true, otherwise, it returns false.•/blog/stl_next_permutation.html5•Matlab中也支持排列的生成–用命令perms得到排列,用法：perms(vector) 给出向量vector的所有排列，例如perms([2 3 5]) 运行结果：5 3 2，5 2 3，3 5 2，3 2 5结果532523352325，2 3 5，2 5 3–此函数值只能适用于n < 15的情况下。
第一章排列与组合
在气象学方面。他曾亲自组织人力进行过大气压和天气状况 的观察
1691年，莱布尼茨致信巴本，提出了蒸汽机的基本思想。 1677年，莱布尼茨发表《通向一种普通文字》，以后他长时
期致力于普遍文字思想的研究，对逻辑学、语言学做出了一 定贡献。今天，人们公认他是世界语的先驱
……………………
2020/4/23
一种常见的思路是按轮计场，费事。
另一种思路是淘汰的选手与比赛(按场计)集一一对 应。99场比赛。
2020/4/23
组合数学-上海理工大学
20
例10 设凸n边形的任意三条对角线不共点，求对 角线在多边形内交点的个数。
可以先计算对角线的个数，然后计算交点，但是 存在在多边形内无交点的情形，比较复杂。
可以考虑对应关系：多边形内交点to多边形四个顶 点。
2020/4/23
组合数学-上海理工大学
15
例6 (1) n=73*112*134，求除尽n的数的个数； (2) n=73*142，求除尽n的数的个数；
(1)4×3×5＝60；7 i 1 j 1 1 k 0 3 i 3 ,0 j 2 ;0 k 4 (2) 6×3＝18
例7 在1000和9999之间有多少每位上的数字均不同 的奇数？
2020/4/23
组合数学-上海理工大学
11
乘法法则：设具有性质A的事件有m个，具有性质B 的事件有n个，则具有性质A和B的事件有mn个。
集合论语言： 若 |A| = m , |B| = n , AB = {(a,b) | aA,bB} , 则
| AB | = mn 。
例3 从A到B有三条道路，从B到C有两条道路，则 从A经B到C有 32 = 6 条道路。
1646.7.1.—1716.11.14.）德国最重要的自然科学家、数学家、 物理学家、历史学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才，和 牛顿同为微积分的创建人。
北京市清华大学附属中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题
北京市清华大学附属中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知集合{}139,{Z 1}x A x B x x =<≤=∈≥∣∣，则A B =I （ ） A ．(1,2] B ．{1,2} C ．[1,2] D ．{1}2．已知复数12i2iz +=-，则z 的共轭复数z =（ ） A ．12-B ．2i +C ．i -D ．i3．已知a b <，则（ ） A ．22a b <B ．e e a b --<C ．()()ln 1ln 1a b +<+D ．a a b b <4．已知()()sin 0f x x ωω=>，()11f x =-，()21f x =，12min π4x x -=，则ω=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，在ABC V 中，点D ，E 满足2BC BD =u u u r u u u r ，3CA CE =u u u r u u u r.若DE xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r (,)x y R ∈，则x y +=（ ）A ．12-B ．13-C ．12D ．136．若α是第二象限角，且()1tan π2α-=，则πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A B ．C D ．7．已知数列{}n a 为无穷项等比数列，n S 为其前n 项和，10a >，则“{}n S 存在最小项”是“20S ≥”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（ ） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a <<D ．0e a b <<9．血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确．．．的是A ．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用B ．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒C ．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用D ．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒 10．数列 a n 满足431n a -=-，411n a -=，2n n a a =，该数列的前n 项和为n S ，则下列论断中错误的是（ ）A ．311a =B ．20241a =-C ．∃非零常数T ，*N n ∀∈，使得n T n a a +=D ．*N n ∀∈，都有22n S =-二、填空题11．若()2log 10x +≤，则实数x 的取值范围是．12．已知角θ的顶点为坐标原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，点(1,)A a （a ∈Z ）在角θ终边上，且3OA ≤，则tan θ的值可以是.（写一个即可）13．在矩形ABCD 中，||2,||1AB AD ==u u u r u u u r，且点E ，F 分别是边,BC CD 的中点，则()AE AF AC +⋅=u u u r u u u r u u u r．14．已知函数()cos 2xf x x π=.数列{}n a 满足()(1)n a f n f n =++（*n N ∈），则数列{}n a 的前100项和是.15．已知平面内点集{}()12,,,1n A P P P n =⋅⋅⋅>，A 中任意两个不同点之间的距离都不相等. 设集合{}(){}1,2,,,0,1,2,,i j i j i m B PP m n m i PP PP i n =∀∈≠<≤=u u u u r u u u u r u u u rL u L ，{},1,2,,i i j M P PP B i n =∈=u u u u L r. 给出以下四个结论：①若2n =，则A M =； ②若n 为奇数，则A M ≠； ③若n 为偶数，则A M =；④若{}12,,,k j j i i j i P P P P P B P ⊆u u u u r u u u u r u u u u r L ，则5k ≤.其中所有正确结论的序号是.三、解答题16．在等差数列 a n 中，25a =，3620a a +=． (1)求数列 a n 的通项公式：(2)设12n n n a b a =+，其中*N n ∈，求数列 b n 的前n 项和n S ． 17．已知函数()2πsin 22cos 6π6f x a x x ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中a ＞0．且()f x 的图象与直线=3y -的两个相邻交点的距离等于π． (1)求函数()f x 的解析式及最小正周期：(2)若关于x 的方程()1f x =在区间[]0,m 上恰有两个不同解，求实数m 的取值范围．18．在ABC V 中，sin 2sin b A B =． (1)求A ∠；(2)若ABC V 的面积为再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC V 存在且唯一确定，求a 的值．条件①：sinC =②：b c =③：cos C = 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19．已知函数()e 1x x af x x +=--． (1)求证：对R a ∀∈．曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线恒过定点； (2)当2a >时，判断函数()f x 的零点的个数，并说明理由．20．设函数()()()2121ln 142f x ax a x x =-++-+．其中0a >．(1)求函数()f x 的单调区间； (2)当12a =时．对于(]122,x x m ∀∈,，不等式()()21124f x f x ≤-恒成立，求m 的取值范围． 21．已知无穷数列 a n ， b n 各项都是正整数，定义集合：{},1,2,a n n j D n a b j +=≤=L ，{},1,2,b n n j D n b a j +=≤=L ；(1)已知21n a n =-，32n b n =-，直接写出集合,a b D D ；(2)若()11,2,n n a b n -==L ，11a =，a b D D =∅I ，求证： a n 中有无穷多个1； (3)若 a n ， b n 均为等差数列，且a D ，b D 均为无限集，求证：a b D D =．。
清华大学计算机全套教程(值得收藏)
清华大学计算机全套教程（值得收藏）要观看视频，请点击下列网址后，“进入课程”后，再点”视频讲解”本科课程微型计算机技术/courses/jsj/GD_jsj_001b/index.htm 数据结构/courses/jsj/GD_jsj_002b/index.htm 人工智能导论/courses/jsj/GD_jsj_003b/index.htm 信号处理原理/courses/jsj/GD_jsj_004b/index.htm- 多媒体技术基础/courses/jsj/GD_jsj_005b/index.htm 软件工程/courses/jsj/GD_jsj_006b/index.htm 计算机组成与结构/courses/jsj/GD_jsj_007b/index.htm 编程语言/courses/jsj/GD_jsj_008b/index.htm编译原理/courses/jsj/GD_jsj_009b/index.htm 数据库系统与应用/courses/jsj/GD_jsj_010b/index.htm 理工猫虚拟现实与系统仿真/courses/jsj/GD_jsj_011b/index.htm 离散数学(上)/courses/jsj/GD_jsj_012b/index.h tm数据库系统概率/courses/jsj/GD_jsj_013b/index.htm MPI并行程序设计/courses/jsj/GD_jsj_014b/index.htm 计算机原理/courses/jsj/GD_jsj_015b/index.htm 模式识别/courses/jsj/GD_jsj_016b/index.htm 数字系统设计自动化/courses/jsj/GD_jsj_017b/index.htm 计算机系统结构/courses/jsj/GD_jsj_018b/index.htm 汇编语言程序设计h/courses/jsj/GD_jsj_019b/index.htm 语言程序设计/courses/jsj/GD_jsj_020b/index.htm 研究生课程计算机系统结构/courses/jsj/GD_jsj_021y/index.htm 计算机网络体系结构/courses/jsj/GD_jsj_022y/index.htm 数值分析/courses/jsj/GD_jsj_023y/index.htm 软件工程/courses/jsj/GD_jsj_024y/index.htm 组合数学/courses/jsj/GD_jsj_025y/index.htm 人工智能原理/courses/jsj/GD_jsj_026y/index.htm 计算机图形学/courses/jsj/GD_jsj_027y/index.htm 人工智能原理/courses/jsj/GD_jsj_028y/index.htm 工程数据库设计与应用/courses/jsj/GD_jsj_029y/index.htm宽带网络交换技术/courses/jsj/GD_jsj_030y/index.htm 并行计算/courses/jsj/GD_jsj_031y/index.htm。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
习题讨论
习题讨论
习题讨论
整点问题
•这类平面上坐标都是整数的点称为整点，或者格点
整点问题
整点问题
•在平面直角坐标系中至少任取多少个整点（两个坐标都是整
在平面直角坐标系中至少任取多少个整点才能保证存在3个点构成的三角形的重心是整点？
解设(x，y)是整点，每个分量模3后有如下表的结果：
(0，0) (0，1) (0，2) (1，0) (1，1) (1，2) (2，0) (2，1) (2，2)根据３个点重心是整点的情况:
1.落在上表中的同一格中，
2.若有３点占满一行，
3.有３点占满一列，
4.若存在一组均匀分布(每行取一个,每列取一个)。
如(0,0)(1,1)(2,2)
个点，也不能保证有３点的重心是整点．（因为若每个格子都有２点，则只占有４个格子，无法保证上面的要求）
整点问题
考虑9个点的情况:假设存在９个点，其中任３点的重心都不是整点．
则这9个点，至少占有⎡9/2⎤＝5个格子（因为每格中最多2个点，否则有3个点的重心为整点），每行最多有２格，有⎡5/2⎤=3行, 所以每行都有点,同理，每列都有点．不妨设第一行2格，第二行2格，第三行1格,
2 行有两种模式：
这样第三行的点无论在哪一列都构成占满一列或构成一组均匀分布．满足前面说的三点重心是整点的情况．故个点能保证其中存在３个点的重心是整点．
或
整点问题
(2，0) (2，1) (2，2)
整点问题
回顾•定义回顾
图象与方案
回顾
•Burnside引理:设G={a1,a2,…ag}是目标集[1,n]
3 4
某种置换（运动）下能重合的图像属于同一个方案
4.6 举例
4.6 举例
4.6 举例
4.6 举例
等价类
l l
等价类
4.6 举例
4.6 举例
•正六面体转动群:顶点的置换表示32
65
784
1
4.6 举例
4.6 举例
152
4
63
4.6 举例
2*4个1524
6
3
4.6 举例
•例7骰子的6个面分别有1,…,6点，有多少种不同的方案？
4.6 举例•例6在正6面体的每个面上任意做一条对角线，有多少方案？•解在每个面上做一条对角线的方式有2种，可参考面的2着
色问题。
•但面心-面心的转动轴转±90 时，无不动图象。
除此之外，
都可比照面的2着色。
所求方案数：
•[26+0+ 3·24+8·22+6·23]/24=[8+6+4+6]/3=8
正六面体转动群:面的置换表示不动: (1)(2)(3)(4)(5)(6) (1)61个面面中心转±90度(1)2(4)12*3个面面中心转180度(1)2(2)23个棱中对棱中转180度(2)36个对角线为轴转±120度(3)22*4个正六面体转动群的阶数为24不动图像数
26
3*24
6*23
8*22
1
52463
4.6 举例
360度的差称为该顶点的欠角。
为该顶点的欠角。
各顶点欠角的和为720度。
12·5/2=30条
4.6 举例
4.6 举例
•用火柴搭一个足球，有多少种方案？
•参照棱的二着色，
•足球有60个顶点，90条棱，12个五边形，20个六边形，•不动(1)90 1个
•5边形面心对面心转n*72度n=1,2,3,4,共6对面心(5)(90/5),24个•6边形面心对面心转n*120度n=1,2,共10对面心(3)(90/3), 20个•6边形与6边形边界的中点为轴转180度,共20*3/2/2=15对（20个六边形，每个六边形里有3条这样的棱，两条棱有一个轴，两个六边形共用一条棱）
360/5=72度
(1)2(2)44, 15个无不动图像
•（290+24*218+20*230）/60
360/6*2=120度
4.6 举例
4.7 母函数型式的Pólya定理
4.7 母函数型式的Pólya定理
4.7 母函数型式的Pólya定理
4.6 举例
4.7 母函数型式的Pólya定理
4.7 母函数型式的Pólya定理
4.7 母函数型式的Pólya定理
•例7骰子的6个面分别有1,…,6点，不考虑点的方向有多少
4.7 母函数型式的Pólya 定理•例正四面体点4着色,面3着色,棱2着色,求方案数顶点-面心
±120度：棱中-棱中：不动：故转动群的群元有12个。
方案数:
(8*423222+3*423224+443426)/12
点
面棱(1)1(3)1(1)1(3)1
(3)2综合(x1)1(x3)1(y1)1(y3)1(z3)2(2)2(2)2
(1)2(2)2(x2)2(y2)2(z1)2(z2)2(1)4
(1)4(1)6(x1)4(y1)4(z1)6
8个3个1个
4.7 母函数型式的Pólya定理
4.7 母函数型式的Pólya定理•把4个球a,a,b,b放入3个不同的盒子里,求方案数,
4.8 图的计数
图的计数
4.8 图的计数
4.8 图的计数
e2
e4
e5e6
e6 e5
e4e2
4.8 图的计数
4.8 图的计数
•例2求4个顶点的不同构的有向图的个数。