数列奥赛竞赛练兵

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高中数学奥林匹克竞赛训练题186(共6页)

县中学2021-2021学年高中数学奥林匹克竞赛训练(xùnliàn)题〔186〕〔无答案〕第一试一、填空题〔每一小题8分，一共64分〕1.设锐角满足，且.那么.2.等差数列满足，且.那么.3.假设点对椭圆与双曲线的切点弦互相垂直，那么.4.设的面积为1，边的中点分别为，为线段上的动点.那么的最小值为.5.设函数的图像关于直线对称.那么对满足的任意实数的最小值为.6.满足的整数.7.假设满足那么的最大值为.8.将六元数组重排为与.那么的最小值为.二、解答(jiědá)题〔一共56分〕9.〔16分〕对任意的，证明：.10.〔20分〕定义在上的函数满足：〔i〕对任意的实数有f x在区间上为；〔ii〕；〔iii〕()增函数.（1）求的值；（2）解不等式.11.〔20分〕一个等差数列的第一项小于0，第100项不小于74，第200项小于200，且该等差数列属于区间的项数比属于区间的项数少2.求该等差数列的通项公式.加试的内一、〔40分〕如图1，设分别(fēnbié)为ABC点，且，.证明：（1）三线交于一点P；（2）四点一共圆.二、〔40分〕设，记.求集合(jíhé).三、〔50分〕求所有(suǒyǒu)正整数数组满足.四、(50分)一个(yīɡè)简单图中两两相邻的个顶点称为一个团，与其余每个顶点均相邻的顶点称为中心点.给定整数及满足的整数，一个阶简单图中不存在团，其全部k团记为.（1）证明：；k 团，求图G的中心点个数的最小值.（2）假设在图G中再添加一条边就存在1（3）内容总结（4）（5）（1）〔iii〕在区间上为增函数.（6）求的值（7）。

竞赛数列训练题

竞赛数列专题训练（1）1．（2009年全国联赛）使不等式1111200712213a n n n +++<-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为．2.正整数n 使得22005n +是完全平方数, 的个位数字是________． 3.（2008年全国联赛）设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)n n n S a n n -+=+，1,2,n =，则通项n a =________．4.（2007年全国联赛）已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数。

若a 1=d ，b 1=d 2，且321232221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于________．5.已知数列}{n a 满足,01=a ),2,1(1211 =+++=+n a a a n n n ，则n a =___ ．6.已知数列n x ，满足n x x n n n +=++1)1(, 且21=x ，则2013x =． 7.（2007年湖北竞赛改编）若数列{}n a 满足：112,3n n a a a +=-=，则=2010a ____． 8.（2009年全国联赛）一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示）9.设40122N =，求不超过1Nn =的最大整数10.（2007年全国联赛）设∑=-+=nk n k n k a 1)1(1，求证：当正整数n ≥2时，a n +1<a n 。

11.（2007年四川竞赛）已知正整数列}{n a 满足条件：对于任意正整数n ，从集合},,,{21n a a a 中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得的数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与n a a a ,,,21 一起恰好是1至n S 全体自然数组成的集合，其中n S 为数列}{n a 的前n 项和.（1）求21,a a 的值；（2）求数列}{n a 的通项公式.竞赛数列专题训练（1）参考答案1.2009 设()1111221f n n n n =++++++．显然()f n 单调递减，则由()f n 的最大值()1120073f a <-，可得2009a =．2. 解：设222005(0)n m m +=>,则()()2005120055401m n m n -+==⨯=⨯, 得12005m n m n -=⎧⎨+=⎩或5401m n m n -=⎧⎨+=⎩,解得10031002m n =⎧⎨=⎩或203198m n =⎧⎨=⎩, 由10024250210031003⨯+=,知它的个位数字是9, 由1984492203203⨯+=,知它的个位数字也是9．3. 1111(1)(2)(1)n n n n n n n a S S a a n n n n +++-=-=--++++，即 2n n a n n n n n n a ++++-++-+=+)1(111)2)(1(221 =)1(1)2)(1(2+++++-n n a n n n ，由此得 2)1(1))2)(1(1(1++=++++n n a n n a n n ．令1(1)n n b a n n =++，111122b a =+= (10a =)，有112n n b b +=，故12n n b =，所以)1(121+-=n n a n n ． 4. 解：因为22111212121321232221114)2()(qq qb q b b d a d a a b b b a a a ++=++++++=++++，故由已知条件知道：1+q +q 2为m 14，其中m 为正整数。

竞赛中的数列问题(二)

竞赛中的数列问题(二)
竞赛中的数列问题
1. 简单数列问题
•等差数列：简单数列问题中常见的题型之一，要求找出给定数列中的规律，并快速计算出特定位置的元素值。

•等比数列：类似于等差数列，但每个元素之间的比例保持不变，常用于解决复杂的增长或减少问题。

2. 数列求和问题
•等差数列求和：给定一个等差数列，要求计算前n个元素的和，通常使用求和公式进行快速计算。

•等比数列求和：与等差数列类似，可以利用求和公式求解给定等比数列前n个元素的和。

3. 递推数列问题
•斐波那契数列：其中每个元素是前两个元素之和的数列。

解决斐波那契数列的问题需要掌握递归、动态规划等技巧。

•更一般的递推数列：指每个元素都是前面某些元素的函数，常见的例子包括杨辉三角形、拉格朗日插值多项式等。

4. 数列的递归关系问题
•线性递推关系：给定一个数列的首几项，要求找出数列的递推关系，并利用该关系求解数列的特定项。

•非线性递推关系：更复杂的数列问题中，数列元素之间的关系可以是非线性的，此时需使用递归或其他分析技巧解决。

5. 快速求解数列问题的技巧
•数学归纳法：通过数学归纳法证明数列的规律，从而解决数列问题，尤其适合证明递推数列的定理。

•数学工具与公式：掌握一些常见的数学工具与公式可以帮助我们快速解决数列问题，例如二项式定理、三角函数的展开式等。

以上列举的是竞赛中常见的数列问题，每个问题都有其独特的解法和技巧。

在应对这些问题时，除了熟练运用数学知识和技巧外，还需要灵活思维和良好的逻辑推理能力。

数学奥林匹克竞赛的备战策略

数学奥林匹克竞赛的备战策略数学奥林匹克竞赛，对于许多热爱数学的同学来说，是一场充满挑战与机遇的智力盛宴。

它不仅考验着参赛者扎实的数学基础，更挑战着他们的思维能力、创新意识和解决问题的综合能力。

要在这场竞赛中取得优异成绩，需要制定科学合理的备战策略。

首先，扎实的基础知识是基石。

数学奥林匹克竞赛的题目虽然难度较高，但都是建立在基础数学知识之上的拓展和深化。

因此，我们要对小学、初中和高中的数学教材进行系统的复习，确保对代数、几何、数论、组合数学等各个板块的基本概念、定理和公式了如指掌。

比如，代数中的函数、方程、不等式，几何中的三角形、四边形、圆的性质，数论中的整除、同余、素数等基础知识，必须熟练掌握，能够迅速准确地运用。

在掌握基础知识的基础上，进行有针对性的拓展学习是关键。

可以选择一些经典的数学竞赛教材和辅导书籍，如《奥数教程》《数学奥林匹克小丛书》等。

这些书籍通常涵盖了竞赛中常见的题型和解题方法，通过学习可以拓宽我们的解题思路，提高解题能力。

同时，要注重对解题方法的总结和归纳。

比如，在解决几何问题时，常常会用到辅助线的方法，那么我们就要总结在什么情况下应该如何添加辅助线；在解决数论问题时，整除的性质和同余的定理如何灵活运用等等。

大量的刷题是必不可少的环节。

但这里说的刷题不是盲目地做题，而是要有选择性、有针对性地进行。

可以从历年的数学奥林匹克竞赛真题入手，通过分析真题，了解竞赛的命题规律和题型特点。

同时，要建立错题本，对做错的题目进行认真分析，找出错误的原因，总结经验教训，避免在今后的考试中犯同样的错误。

此外，还可以参加一些模拟考试和竞赛集训班，在模拟考试的环境中锻炼自己的应试能力和心理素质，在集训班中与其他优秀的同学交流学习，互相启发，共同进步。

除了知识和技能的学习，思维能力的培养也至关重要。

数学奥林匹克竞赛注重考查学生的创新思维、逻辑思维和逆向思维能力。

我们可以通过做一些思维训练题，如数学谜题、逻辑推理题等，来锻炼自己的思维能力。

数学奥林匹克的挑战数列与级数

数学奥林匹克的挑战数列与级数数学奥林匹克的挑战：数列与级数数学奥林匹克是一项旨在挑战学生数学思维和解决问题能力的竞赛。

在这个比赛中，学生们面对各种各样的数学难题，其中包括数列与级数。

数列与级数是数学中的基础概念，它们在奥林匹克竞赛中扮演着重要的角色。

在本文中，我们将探讨数列与级数在数学奥林匹克竞赛中的挑战性。

一、数列的挑战数列是一系列按照特定规则排列的数的集合。

在数学奥林匹克中，数列的规律性和特殊性常常是问题的关键。

比如，考题可能要求计算数列的第一项、第n项或前n项之和，也可能涉及数列的递推关系或通项公式的推导。

解决数列问题的关键在于找到数列中的规律。

学生们需要通过观察和分析数列中的数字，寻找其中的隐藏规律，进而确定数列的通项公式或递推关系。

数学奥林匹克竞赛中的数列问题往往需要学生具备较高的数学思维和推理能力，挑战着学生们的智力极限。

二、级数的难题级数是由数列的部分和组成的数列。

在数学奥林匹克中，级数问题往往涉及到级数的敛散性、级数之和的计算或收敛速度等方面的考察。

解决级数问题的关键在于确定级数的敛散性。

学生们需要根据级数的一般形式或特定的特性，判断级数是否收敛或发散。

同时，他们还需要掌握级数收敛性的判别法和级数之和的计算方法。

这对于学生们来说是一项巨大的挑战，需要他们具备严密的逻辑思维和数学推导能力。

三、克服挑战的方法要在数学奥林匹克竞赛中取得好成绩，学生们需要有一定的数学基础，同时还需要掌握一些有效的解题方法。

首先，学生们应该加强对数列与级数的学习与理解。

他们需要熟悉基本的数列与级数的概念和性质，同时还要学会分析数列与级数的规律并解决相应的问题。

其次，学生们需要通过大量的练习来提高解题能力。

数学奥林匹克竞赛中的数列与级数问题常常需要学生灵活运用知识，因此通过练习能够增强学生的应用能力和解决问题的能力。

此外，学生们还可以参加数学奥林匹克竞赛的培训班或辅导课程。

这些课程旨在提供更深入的知识与技巧指导，帮助学生们更好地应对挑战，并取得优异的成绩。

新都一中高中数学奥林匹克竞赛辅导系列《线性递归数列》

线性递归数列主讲：杜修奎【基础知识】1、概念：①、递归式：一个数列}{n a 中的第n 项n a 与它前面若干项1-n a ，2-n a ，…，k n a -（n k <）的关系式称为递归式。

②、递归数列：由递归式和初始值确定的数列成为递归数列。

2、常用方法：累加法，迭代法，代换法，代入法等。

3、思想策略：构造新数列的思想。

4、常见类型：类型Ⅰ：⎩⎨⎧=≠+=+为常数）a a a n p n q a n p a n n ()0)(()()(11（一阶递归）其特例为：（1）)0(1≠+=+p q pa a n n （2）)0()(1≠+=+p n q pa a n n（3）)0()(1≠+=+p qa n p a n n 解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。

类型Ⅱ：⎩⎨⎧==≠≠+=++为常数）b a b a a a q p qa pa a n n n ,(,)0,0(2112（二阶递归）解题方法：利用特征方程q px x +=2，求其根α、β，构造n n n B A a βα+=，代入初始值求得B A ,。

类型Ⅲ：)(1n n a f a =+其中函数)(x f 为基本初等函数复合而成。

解题方法：一般情况下，通过构造新数列可转化为前两种类型。

【例题】例1、已知数列}{n a 满足以下递归关系⎩⎨⎧=+=+14311a a a n n ，求通项n a 。

例2、已知数列}{n a 满足⎩⎨⎧=-+=+2)12(211a n a a n n ，求通项n a 。

例3、已知数列}{n a 满足⎩⎨⎧=≥+=+1)2(211a n na a n n ，求通项n a 。

例4、已知数列}{n a 满足⎩⎨⎧==-=++2,1232112a a a a a n n n ，求通项n a 。

例5、由自然数组成的数列}{n a ，满足11=a ，mn a a a n m n m ++=+，求n a 。

高中数学竞赛数列专题

高中数学竞赛数列专题摘要：一、高中数学竞赛数列专题简介1.高中数学竞赛背景2.数列专题在竞赛中的重要性3.数列专题的主要内容二、等差数列与等比数列1.等差数列的概念与性质2.等差数列的通项公式与求和公式3.等比数列的概念与性质4.等比数列的通项公式与求和公式三、常见的数列类型1.质数数列2.斐波那契数列3.几何数列4.调和数列四、数列的性质与应用1.数列的递推关系2.数列的极限与无穷数列3.数列在实际问题中的应用五、高中数学竞赛数列专题的备考策略1.掌握基础知识2.熟练运用公式与性质3.分析与解决问题的方法与技巧4.模拟试题与真题训练正文：高中数学竞赛数列专题涵盖了丰富的知识点，旨在培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

为了更好地应对数列专题的挑战，我们需要对这一专题有全面的了解，包括基本概念、公式、性质以及实际应用等方面。

首先，高中数学竞赛的背景为选拔优秀的学生参加各类数学竞赛，如全国青少年数学竞赛、国际奥林匹克数学竞赛等。

在这些竞赛中，数列专题具有很高的出现频率和重要性，因此，对这一专题的掌握程度对竞赛成绩有着直接影响。

数列专题的主要内容包括等差数列与等比数列、常见的数列类型、数列的性质与应用等方面。

等差数列与等比数列是数列的基本类型，它们在数学竞赛中占据重要地位。

等差数列具有以下性质：任意两项之差相等；等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，求和公式为Sn=n/2(2a1+(n-1)d)。

等比数列具有以下性质：任意两项之比相等；等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)，求和公式为Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。

在高中数学竞赛中，还常遇到一些常见的数列类型，如质数数列、斐波那契数列、几何数列和调和数列等。

这些数列具有独特的性质和规律，需要我们熟练掌握其定义、公式和性质。

数列的性质与应用方面，我们需要了解数列的递推关系、极限与无穷数列，以及数列在实际问题中的应用。

递推关系是指数列的通项公式可以通过已知的前几项求得。

初中数学奥林匹克竞赛题及答案

初中数学奥林匹克竞赛题及答案奥数题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0B．a，b之一是0C．a，b互为相反数D．a，b互为倒数答案：C解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。

2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式答案：D解析：x²，x3都是单项式．两个单项式x3，x²之和为x3+x²是多项式，排除A。

两个单项式x²，2x2之和为3x2是单项式，排除B。

两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。

3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数答案：C解析：最大的负整数是-1，故C错误。

4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( )A．a，b同号B．a，b异号C．a＞0D．b＞0答案：D5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个B．3个C．4个D．无数个答案：C解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，－1，0共4个．选C。

6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。

这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( )A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。

7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( )A．a大于－aB．a小于－aC．a大于－a或a小于－aD．a不一定大于－a答案：D解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。

8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A．乘以同一个数B．乘以同一个整式C．加上同一个代数式D．都加上1答案：D解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。

高中数学奥赛系列辅导资料数列奥赛竞赛练兵教案

数列奥赛竞赛练兵一、选择题1．（2000年全国高中数学联赛）给定正数p ，q ，a ，b ，c ，其中p ≠q 。

若p ，a ，q 是等比数列，p ，b ，c ，q 是等差数列，则一元二次方程022=+-c ax bx （）A ．无实根B ．有两个相等实根C ．有两个同号相异实根D ．有两个异号实根二、填空题2．（2000年全国高中数学联赛）等比数列3log 2+a ，3log 4+a ，3log 8+a 的公比是_________。

三、解答题3．（2000年全国高中数学联赛）设n S n +++= 21，n ∈N 。

求1)32()(++=n n S n S n f 的最大值。

4．（第五届北京高中数学知识应用竞赛）PC505型文曲星具有选定一组或多组英文单词，根据科学记忆曲线在十四天内进行初记和强化复习的功能。

对于每一组单词（词量自定），初记完成后，文曲星提示“立即复习一遍”，然后在第二、第四天、第七天、第九天、第十天、第十四天，“每天复习一遍”该组单词，其他天无须复习，当你在这十四天内，按时正确地拼写这组单词后，文曲星就不再提示对该组单词的记忆。

高中《英语》第一册（下）生词表中，UNIT17~UNIT20共99个单词，请你将这99个单词适当分组，利用文曲星的强化复习功能，制定一个在20天内记忆99个单词的计划，把每天需要初记的单词数和每天需要初记和复习的单词总数填入下表中，使得每天初记和复习的单词总数不少于10个，且不多于50个。

5．（第十一届美国数学邀请赛（AIME ）试题第九题）在一圆周上给定2000个点，取其中一点标记上数1，从这点开始按顺时针方向到第二个点标记上数2，从标记上2的点开始按顺时针方向数到第三个点标记上数3（如图3－3），继续这个过程直到1，2，3，…，1993都被标记到点上，圆周上这些点中有些会标记上不止一个数，也有一些点未标记上任何数，在标上1993的那一点上所有标数中最小的数是什么？6．（第五届北京高中数学知识应用竞赛）电子器件厂兼营生产和销售某种电子器件，流水线启动后每天生产p ＝500个产品，可销售q ＝400个产品，未售出的产品存入库房，每件产品在库房内每过一夜将支付存储费用r ＝0.2元。

启东中学奥赛训练教程高中数学

启东中学奥赛训练教程高中数学为了帮助同学们更好地准备奥赛，提高数学竞赛的成绩，以下是一些高中数学奥赛训练的重点内容和方法。

一、数列和数列极限1.1 数列的定义和常见性质数列是按一定顺序排列的一组数，常用a1, a2, a3,...,an表示。

了解数列的定义和常见性质对解决数学竞赛题目至关重要。

1.2 数列的通项公式数列通项公式可以将数列中的每一项表示为n的函数，了解常见数列的通项公式有助于快速计算和判断数列的性质。

1.3 数列极限的概念与性质数列极限是指当数列的项趋于无穷大或无穷小时，数列的极限值，了解数列极限的概念和性质能够帮助我们更好地理解数列的发展趋势。

二、函数与方程2.1 函数的概念与性质函数是将一个自变量映射到一个因变量的规则，在数学竞赛中，掌握函数的概念和性质能够帮助我们解决各种与函数相关的题目。

2.2 一次函数与二次函数一次函数和二次函数是数学竞赛中经常出现的函数类型，了解它们的特点、性质和图像有助于我们在考试中迅速解题。

2.3 一元高次方程一元高次方程是一种常见的数学题型，它的解法需要掌握多项式的基本性质和求根方法。

对于数学竞赛来说，熟练解一元高次方程是考验数学能力的一项重要内容。

三、平面向量与解析几何3.1 平面向量的概念与运算平面向量是指具有大小和方向的量，在数学竞赛中，熟练掌握平面向量的加减、数量积和向量积等运算有助于解决与向量相关的问题。

3.2 点与直线的位置关系点与直线的位置关系是解析几何中的热门话题，了解点到直线的距离、点与直线的位置关系等概念和性质，可以帮助我们更好地理解几何问题。

3.3 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系也是解析几何中的重要内容，掌握圆的性质、相交关系和切线等概念，能够帮助我们解决与圆相关的问题。

以上就是启东中学奥赛训练教程高中数学的主要内容。

希望同学们通过学习和练习这些知识点，能够在数学竞赛中取得更好的成绩。

努力学习，勇攀高峰！。

数学奥林匹克高中训练题56

) . (A ) 2 0024(C ) 31 001 98(B ) - 2 0024(D ) - 31 001 981x2 x ∠ 2 32数学奥林匹克高中训练题(56)第一试一、选择题(每小题 6 分 ,共 36 分)1. 一个递减的等差数列 ,它的前 7 项的 5 次幂之两个数 ,其和小于 99 的选法共有种.3. 已知 f ( x ) = log 1 (3 + 1) +abx 为偶函数 ,1 000和为零 ,4 次幂之和为 2 002. 则这个数列的第 7 项是g ( x ) = 2 x+ a + b为奇函数 ,其中 a 、b ∈C . 则∑( a k (2. 已知实数 x 、y 满足 x 2- xy + 2 y 2= 1. 则 x 2+ 2 y 2的最大值与最小值的和等于() . + b k ) 的值是.4. 设整数 x 、y 满足 24 x + 2 xy + 1 = ( y + 2) ·7| y | - 1 ,sin 3πy = 1.2则 x + y 的值为 .k = 1① ②(A) 87(B)16 7(C ) 8 - 2 27(D ) 8 + 2 275. 用 a n 表示区间[ 0 ,1) 内不含数字 9 的 n 位小3. 对任意的正整数 n ,连结原点 O 与点 A n ( n , n + 3) ,用 f ( n ) 表示线段 OA n 上除端点外的所有整点数的个数 , S n 表示这些小数的和. 则limS n= . n →∞a n的个数. 则 f (1) + f (2) + f (3) + + f (2 002) 的值等于() .(A ) 2 002 (B ) 2 001 (C ) 1 334 (D ) 667 4. 一个球外接于四面体 ABCD ,另一个半径为 16. 一块用栅栏围成的长方形土地的长和宽分别为 52 m 和 24 m ,一位农业科技人员欲将这块土地从内部分割为一些全等的正方形试验田. 要求这块土地全部被划分且分割成的正方形的边与土地的边界平行. 现有2 002 m 栅栏 ,最多可将这块土地分割成的球与平面 ABC 相切 ,且两球内切于点 D . 已知 AD块正方形试验田.= 3 ,cos BAC = 45,cos ∠BAD = cos ∠CAD = 1 . 则2三、(20 分) 设数列{ a n }满足 a 1 =1, a =21 , 3 四面体 ABCD 的体积等于() .对任意正整数 n ,都有(A) 185(B) 275(C ) 3 (D ) 5a n + 2 = 2 ( n + 2) a n + 1 - ( n + 2) ( n + 1) a n + n 2 + 3 n + 1n + 3 .5. 已知复数 z 1 、z 2 、z 3 、z 4 满足| z 1 | = | z 2 | = | z 3 | = | z 4 | = 1 ,且 z 1 + z 2 + z 3 + z 4 = 0. 则以这四个复数对应的点为顶点的四边形一定是() .(A ) 矩形 (B ) 正方形(C ) 平行四边形(D ) 梯形6. 设长轴长为 2 a ,短轴长为 2 b 的椭圆的面积为πab . 已知等腰直角 △ABC 的斜边 BC = 2. 那么 , 与 △ABC 各边都相切 ,且长轴与 BC 边平行的椭圆的面积的最大值是() .(A ) 3π (B ) 3π (C ) 2π (D ) 2π4 9 4 9 试求数列{ a n }的通项公式.四、(20 分) 以 △ABC 的边 BC 为实轴的双曲线交此三角形的另两边AB 、AC 的延长线于 E 、F . 过点 E 、F 分别作该双曲线的切线 ,两切线交于点 P . 求证 : A P ⊥BC .五、(20 分) 设 a 、b 、c 是互不相等的实数. 求证 :( a - b ) 2 、( b - c ) 2、( c - a ) 2 中至少有一个不大于a 2 +b 2 +c 22.第二试一、(50 分) 如图 1 ,在二、填空题(每小题 9 分 ,共 54 分) sin (β+ γ) ·sin (γ+α) cos α·cos β sin (β+ γ) ·sin (γ+α) cos (α+β+ γ) ·cos γ= 4 . 9 △ABC 中 , AB > AC , AD为 ∠BAC 的平分线 ,点 E 在 △ABC 的内部 , 且 EC ⊥AD , ED ∥AC . 求证 : 射且 1. 已知的值是 .则2. 从1 ,2 ,3 , ,99这99个自然数中任选不同的线A E 平分BC 边. 图141 001 982 210n 1 001 77n k1 2 7 · ∈ 二、(50 分 ) 设 F = x n sin ( nA ) + y nsin ( nB ) +当 n = 3 k + 1 ( k ∈N ) 时 ,z n sin ( nC ) ,其中 x 、y 、z 和A 、B 、C 都是实数 ,且 A + B+ C = k π( k ∈Z ) . 证明 : 若 F 1 = F 2 = 0 ,则对一切正整数 n ,均有 F n = 0.三、(50 分) n ≥2 为固定的整数 ,定义任意整数坐标点( i , j ) 关于 n 的余数是 i + j 关于 n 的余数. 找出所有正整数数组 ( a , b ) , 使得以 ( 0 , 0) 、( a , 0) 、 y =3 k +4 x (0 < x < 3 k + 1 , x N ) .3 k + 1∵3 k + 4 与 3 k + 1 互素 , ∴f (3 k + 1) = 0.当 n = 3 k - 1 ( k ∈N ) 时 ,同样有 f (3 k - 1) = 0. 故 f (1) + f (2) + f (3) ++ f (2 002)( a , b ) 、(0 , b ) 为顶点的长方形具有如下性质 := 22 0023 = 1 334.(i) 长方形内整数点以 0 ,1 ,2 ,, n - 1 为余数出现的次数相同 ;(ii) 长方形边界上整数点以 0 ,1 ,2 ,, n - 1 为余数出现的次数相同.参考答案4. (A ) .首先证明四面体 ABCD 的高 DH 为另一个球的一条直径.如图 2 ,设 DE ⊥AB , DF ⊥AC ,垂足分别为 E 、F ,则A E = A F一、1. (D ) .第一试= AD cos ∠BAD = 3,2 设等差数列{ a n }的公差为 d ( d < 0) . 由 a 5 + a 5 + + a 5 = 0 , 得cos ∠HA E = cos ∠HA F1 + cos ∠BAC 3 图 2127a 4 = 0 , a 5 = - a 3 = d , a 6 = - a 2 = 2 d , =2 = . a 7 = - a 1 =3 d .由a 4 + a 4+ + a 4 = 2 002 , 得, A H =A E= 5 ,cos ∠HA E2 d 4 (14 + 24 + 34) = 2 002.DH == 2.∴d = -4a = 3 d = - 398 因此 ,四面体外接球的中心在 DH 上. 故 AD = BD = CD , 则 AC = AB = 2 A E = 3 2 .2. (B ) .于是 , = 1 · sin ∠ = 27 .由题设得 x 2 + 2 y 2 = xy + 1. S △ABC2AB AC BAC5x 2 + 2 y 2x 2 + 2 y 21 18又≥xy ≥-x 2+ 2 y222, ①x 2+ 2 y 2∴V D - ABC =3S △ABC ·DH =5. 5. (A ) .∴+ 1 ≥x 2 2+ 2 y ≥-+ 1.2 2 设复数 z 1 、z 2 、z3 、z4 对应的点分别为 A 1 、A 2 、A 3 、解得2 2x 2 + 2 y 2 ≥2 2,A 4 , 由 | z 1 | = | z 2 | = | z 3 | = | z 4 | = 1 知 , A 1 A 2 A 3 A 4 为2 2 - 1即 8 + 2 2 ≥x 2 + 2 y 22 2 + 1 8 - 2 2 .单位圆内接四边形.z 1 + z 2z 3 + z 4≥ 由 z 1 + z 2 + z 3 + z 4 = 0 , 得2= -2. 则当且仅当 x = y 与 x = -y 时 ,式 ①两等号边 A 1 A 2 、A 3 A 4 的中点 M 、N 关于原点对称.分别成立. 故 x 2 + 2 y 2 的最大值与最小值的和为16 . 3. (C ) .线段 O A n 上的整点( x , y ) 满足 y = n + 3·x (0 <x < n , 且 x ∈N ) . 当 n = 3 k ( k ∈N ) 时 ,y =k + 1·x (0 < x < 3 k , x ∈N ) . ∵k 与 k + 1 互素 ,∴当且仅当 x = k 或 2 k 时 , y ∈N . 则 f (3 k ) = 2.显然 ,点 M 、O 、N 不重合(否则 A 1 A 2 与 A 3 A 4 重合) ,从而 , M 、O 、N 三点共线 ,且| OM | = | ON | , OM ⊥A 1 A 2 , ON ⊥A 3 A 4 .则 A 1 A 2 ∥A 3 A 4 , 且 | A 1 A 2 | = | A 3 A 4 | , 可知A 1 A 2 A 3 A 4 为平行四边形.又 A 1 A 2 A 3 A 4 内接于圆 ,故 A 1 A 2 A 3 A 4 为矩形.6. (B ) .如图 3 所示 ,建立直角坐标系 ,设 △ABC 的内切椭圆的中心为 (0 , b ) ( b > 0) ,长半轴长为 a (0 < a <2 22 2 AD 2 - AH 2 从而21 n≡1 ( 2∑353n 99 99 y n a + c 9∴B = = . 1) ,则椭圆方程为等 ,其值均为 2- 49 .x 2 a2 + ( y - b ) 2b2= 1. 2而在 x + y < 100 的情形中 ,有 x + y = 99 和 x +又直线 AC 的方程为y < 99 ,应剔除 x + y = 99 的选法数 49.x + y = 1.由故满足条件的选法数是图 32 - 492- 49 = 2 352.x2 a2+( y - b ) 2b2= 1 ,3. - 1.由 f ( - x ) ≡f ( x ) , g ( - x ) ≡- g ( x ) , 得x + y = 1 得 ( a 2+ b 2) y 2- 2 b ( a 2+ b ) y + b 2= 0.∵AC 与椭圆相切 ,log 1 (3 - x3+ 1) - 1 x abx log 3 23+ 1) + 1 abx , 2①∴Δ = 4 b 2 ( a 2 + b ) 2- 4 b 2 ( a 2 + b 2 ) = 0.2 - x + a + b ≡- 2 x + a + b.②1 - a2 2- x 2 x 解得 b = 2.∴S 椭圆 =πa (1 - a 2)由式 ①得 ab = 1 ;由式 ②得 a + b = - 1.所以 , a 、b 是方程 t 2 + t + 1 = 0 的一对共轭虚 = π 2 π≤2 22 a 2 (1 - a 2 ) (1 - a 2 )= 3π. 9根 ,即 a 、b 是 1 的两个虚立方根.1 000故 ( a k + b k ) k = 1= a + a 2+ + a1 000+ b + b 2++ b1 000当且仅当 2 a 2 = 1 - a 2 ,即 a = 3 时 ,上式取等号.二、1.4. sin (β+ γ) ·sin (γ+α) =1[ cos (α- β) - cos (α+β+ 2γ) ] , 2= a + b = - 1. 4. 0.由方程 ②得y =1 + 4 n( n ∈Z ) . ③易知| y | - 1 ≤0. 若不然 ,方程 ①的右边是 7 的倍cos α·cos β= 1[ cos 2 (α+β) + cos (α- β) ] , 数 ,而左边不是 7 的倍数. 因此 , y ∈{0 , - 1 ,1} .又由方程 ①知 ,cos (α+β+ γ) ·cos γ= 1[ cos (α+β+ 2γ) + cos (α+β) ] . 2记 a = cos (α - β) , b = cos (α + β + 2γ) , c = cos (α+β) ,则由已知条件变为 A = a - b = 4.sin (β+ γ) ·sin (γ+α) a - b cos (α+β+ γ) ·cos γ b + cy + 2 = 71 - | - y | ·4 (x + y) 2 + 1 - 2是一个整数 ,又考虑到式 ③, y 必定是一个奇数. 这样 ,方程 ①的左边是奇数 ,因此只有x 2 + 2 xy + 1 = 0.④由 ④及 y ∈{ - 1 ,1} ,得x = 1 , y = - 1 或 x = - 1 , y = 1.故 x + y = 0.则1 =b +c =( a + c ) - ( a - b ) =1- 1 = 5. 5. 4 .Ba - ba - bA 49B = 4 .5 显然 , a = 9 n,其中在小数的第 i 位( i = 1 ,2 ,,n ) 上分别出现 1 ,2 ,3 , ,8 的数各有 9 n - 1个. 则2. 2 352.设选出的两数为 x 、y ,则 x + y 有三种情况 :x + y = 100 , x + y < 100 , x + y > 100.S = 9n - 1(1 + 2 + 3 + + 8)×1+ 12 + 13 + + 1下面仅考虑前两种情形 :(1) 当 x + y = 100 时 ,其选法数为 49 种 ; 10= 4 ×9 n - 1 10 10 1 - 1. 10 n10 n(2) 当 x + y < 100 时 , 则 (100 - x ) + (100 - y ) > 故 lim S n = lim 4 1 - = 4 . 100 ,这表明 x + y < 100 与 x + y > 100 的选法种数相n →∞a n n →∞ 9 109 2 a 2 + (1 - a 2 ) + (1 - a 2 )33C C 故1 2· · ①6. 702 块.设土地被分割成若干个边长为 x 的正方形 ,那么 ,存在正整数 m 、n ,使得y =b tan β( x - a ) .a (sec β- 1)联立解得24 52x = - a [ sin α+ sin β- sin (α- β) ] .x= m , 且 x= n . Asin α- sin β- sin (α+β)∴m =6 , 即 m = 6 k , n = 13 k ( k ∈N ) .∵x P - x A 的分子n 13注意到当 k 的值尽可能大时 ,试验田的数目达到最大值. 将土地划分成若干边长为 x m 的正方形所用的栅栏总长度是L = ( m - 1) ×52 + ( n - 1) ×24 = 624 k - 76.因为最多可用 2 002 m ,所以有= ( s in α- sin β) ·sin (α- β) - sin (α+β) ·sin (α-β) + sin 2α- sin 2β- (sin α- sin β) sin (α- β)= sin 2α- sin 2β- sin (α+β) ·sin (α- β) = 0. ∴PA ⊥BC .五、不妨设 a < b < c ,记m 2 = min{ ( a - b ) 2, ( b - c ) 2, ( c - a ) 2} ,624 k - 76 ≤2 002 , 得 k 2 078≤ 624≈3 33.则 b - a ≥| m | , c - b ≥| m | .从而 , c - a = ( c - b ) + ( b - a ) ≥2| m | . 故 k max = 3. 此时正方形的总数为 mn = 702 (块) . 三、由题设得∵6 m 2 ≤( a - b ) 2+ ( b - c ) 2+ ( c - a ) 2= 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) - 2 ( ab + bc + ca ) a n + 22 a n + 1a n n 2+ 3 n + 1= 3 ( 2 2 2 ) ( )2( n + 2) ! = ( n + 1) ! - n ! +( n + 3) ! .a +b +c - a + b + c∴a n + 2-1≤3 ( a 2 + b 2 + c 2 ) ,a 2 +b 2 +c 2( n + 2) ! ( n + 3) !∴m 2 ≤.= 2 a n + 1 - 1 - a n - 1 . 可见 , ( a - b ) 2、( b - c ) 2、( c - a ) 2中的最小者 ( n + 1) ! ( n + 2) !n ! ( n + 1) ! a 2 + b 2 + c 2故a n -1 是等差数列.必不大于2. n ! ∵a 1 - 1 ( n + 1) ! = 0 , a 2 - 1= 0 , ( a - b ) 2 、( b - c ) 2 、( c - a ) 2 中可以有两个大于 a 2 + b 2 + c 21 !2 ! 2 !3 !2. 例如 ,取 a = - 1 , b = 0 , c = 2 ,得 ∴数列 a n - 1n ! ( n + 1) ! 各项均为零.( a - b ) 2 = 1 , ( b - c ) 2 = 4 , ( c - a ) 2 = 9 , a 2 + b 2 + c 2 5a n = n ! 1 ( n + 1) !, 即 a n = 1 .n + 12 = 2.故( a - b ) 2、( b - c ) 2 、( c - a ) 2 中至少有一个不四、以直线 BC 为 x 轴 , BC 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系 ,如 a 2 + b 2 + c 2 大于 2 .第二试图 4 所示. 设双曲线方程一、如图 5 ,射线 A Ex 2为 a 2 -y 2 b2= 1 ( a > 0 , b >交 BC 于 M ,延长 CE 、DE 交 AB 于 F 、 G . 记 BC =0) , 则有 B ( - a , 0 ) 、 C ( a ,0) .图 4利用双曲线的参数方程 ,可设 E ( a sec α, b tan α) 、F ( a sec β, b tan β) ,则过点 E 、F 的切线方程分别为sec α tan α sec βtan βa , CA =b , AB =c , 易知A F = AC = b , FB = c - b . △FBC 被直线 GED 所图 5截 ,由梅涅劳斯定理 ,得CE FG BD = 1.EF GB DCa x -by = 1 , ax - by = 1.△FBC 还被直线A EM 所截 ,有联立解得 x = a sin (α- β) .CE ·FA ·BM= 1. ②psin α- sin βEF AB MC 另一方面 ,直线 B E 、CF 的方程分别为y =b tan α( x + a ) , 故BM = FG·BD·AB . ③由式①、②得a ( secα+ 1)MC GB DC FAn n n k - 2 k - 1 k ∵GD ∥AC , AD 平分 ∠BAC , ∴AG = CD = b . 从而 , AG + GB = b + c .另一方面 ,当 a 、b 中至少有一个为奇数时 ,不妨设 a 为奇数 ,则对一切 j = 1 ,2 ,, b - 1 ,在 a - 1 个点GB DB c c 2GB c(1 , j ) , (2 , j ) ,, ( a - 1 , j )故 GB =b + c, c 2 b 2 FG = GB - FB = b + c - ( c - b ) = b + c.代入式 ③得BM b 2 c cMC = c 2·b·b= 1 , 故 BM = MC .二、设α= x (cos A + i sin A ) ,β= y (cos β+ i sin β) ,γ= z (cos C + i sin C ) ,考虑以α、β、γ为根的方程t 3 - at 2 + bt - c = 0 ,①其中 , a =α+β+ γ= x cos A + y cos B + z cos C + i F 1= x cos A + y cos B + z cos C ,b =αβ+βγ+ γα = 1 [ (α+β+ γ) 2 - (α2 +β2 + γ2) ]2 = 1 [ a 2- ( x 2cos 2 A + y 2cos 2 B + z 2cos 2 C ) - i F ]中被 2 除余 0 ,1 的点的个数相同. 从而 ,长方形内的整点中被 2 除余 0 ,1 的个数相同.又(0 ,0) , (1 ,0) ,, ( a ,0) 及 (0 , b ) , (1 , b ) ,,( a , b ) 中被 2 除余 0 ,1 的点的个数相同 ,且对一切 j = 1 ,2 , , b - 1 ,点(0 , j ) 与 ( a , j ) 被 2 除余数一个为0 ,一个为 1 ,从而长方形边界上的点中被 2 除余 0 ,1的个数也相同.故此时( a , b ) 满足要求 ,其中 ( a , b ) 中至少有一个奇数.当 n ≥3 时 ,边界上共有 2 ( a + b ) 个整点 :(0 ,0) , (1 ,0) , (2 ,0) , , ( a ,0) , ( a ,1) , ( a ,2) , , ( a , b ) 与(0 ,1) , (0 ,2) , , (0 , b ) , (1 , b ) , (2 , b ) ,, ( a - 1 , b ) .它们的坐标和分别为 0 ,1 ,2 , , a , a + 1 , a + 2 , 2 2, a + b 与 1 ,2 , , b , b + 1 , b + 2 , , a + b - 1. = 1[ a 2 - ( x 2 cos 2 A + y 2 cos 2 B + z 2 cos 2 C ) ] , 2c = αβγ= xyz [ c os ( A + B + C ) + i sin ( A + B + C ) ] = xyz (cos k π+ i sin k π) = ( - 1) kxyz .令 S = αn + βn + γn( n ∈N ) ,则 F 是 S 的虚部. 要证明 F n = 0 ,只要证明对一切 n ∈N , S n ∈R .显然 , S 0 = 3 , S 1 = a , S 2 = x 2 cos 2A + y 2 cos 2 B +z 2cos 2 C 均为实数. 假设 S 、S 、S 均为实数( k ≥2) ,因α、β、γ是方程 ①的根 ,则αk + 1 - a αk + b αk - 1 - c αk - 2 = 0 ,βk + 1 - a βk + b βk - 1 - c βk - 2= 0 , γk + 1 - a γk + b βk - 1 - c γk - 2 = 0. 设 l ? 0 , a + b (mod n ) ,则边界上的点中被 n 除余 l 的有偶数个 ,且若 0 ? a + b (mod n ) ,则边界上的点中被 n 除余 0 的有奇数个 ,这不可能 ,故必有 0 ≡a +b (mod n ) . 且当 a + b ≡0 (mod n ) 时 ,边界上的点中被 n 除余 0 ,1 , , n - 1 的个数必相同.又长方形内部共有( a - 1) ( b - 1) 个点 ,故必有n | ( a - 1) ( b - 1) .若 a , b ? 1 (m od n ) ,则设 a ′、b ′分别是 a 、b 除以n 的余数 ,则 a ′, b ′≠1 ,且若 a ′= 0 ,则又由 n | a + b知 b ′= 0 ,从而 ,0 ≡( a - 1) ( b - 1) ≡( - 1) 2≡1 (mod n ) .相加 , 得 S k + 1 - aS k + bS k - 1 - cS k - 2 = 0 , 即 S k + 1 = aS k - bS k + cS k - 2 .∵a 、b 、c 、S k 、S k - 1 、S k - 2 均为实数 , ∴S k + 1 也是实数.由数学归纳法 ,对一切 n ∈N , S n ∈R . 从而 , F n = 0.三、长方形边界上共有 2 ( a + b ) 个整点 ,则有n | 2 ( a + b ) .长方形内共有( a - 1) ( b - 1) 个整点 ,则有n | ( a - 1) ( b - 1) .当 n = 2 时 ,为使其中被 2 除余 0 ,1 的点的个数相同 ,则必有 2| ( a - 1) ( b - 1) .从而 , a 、b 中至少有一个为奇数.这不可能 ,故 a ′≠0. 同理知 b ′≠0.于是 ,长方形内部整点被 n 除余 0 ,1 , , n - 1的个数相同等价于( i , j ) ( i = 1 ,2 ,, a ′- 1 , j = 1 ,2 ,, b ′- 1) 中被 n 除余 0 ,1 ,, n - 1 的个数相同.又 n | a ′+ b ′,2 ≤a ′≤n - 1 ,2 ≤b ′≤n - 1 ,故必有 a ′+ b ′= n . 于是 , ( i , j ) ( i = 1 ,2 , , a ′- 1 , j = 1 ,2 , , b ′- 1) 中没有被 n 除余 0 的点 ,矛盾.从而 a 、b 之一必被 n 除余 1 ,而另一个被 n 除余n - 1. 此时 ,由于 n | a - 1 或 n | b - 1 ,可知内部整点被 n 除余 0 ,1 , , n - 1 的个数相同.综上所述 ,满足条件的( a , b ) 为 :当 n = 2 时 , a 、b 中至少有一个为奇数 ;当 n ≥3 时 , a ≡1 (mod n ) 、b≡n - 1 (mod n ) 或 a ≡n - 1 (mod n ) 、 b ≡1 (mod n ) .(刘康宁西安市西光中学 ,710043)。

数学奥数训练方案

数学奥数训练方案导言：数学奥林匹克竞赛（Mathematical Olympiad，简称MO）是国际上广泛开展的一项数学竞赛活动，旨在培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

为了提升学生在数学奥数竞赛中的表现，本文将介绍一套数学奥数训练方案，以帮助学生更好地备战数学奥数竞赛。

一、理论知识的系统复习数学奥数竞赛的复杂题目往往涉及到各个数学领域的知识，因此系统的理论知识是备战的基础。

在选择奥数训练资料时，建议选用涵盖各个数学领域、内容全面的教材和试题集。

逐章逐节的学习和复习，在遇到难点和疑惑时及时寻求老师或同学的帮助，确保理论知识的扎实与完备。

二、攻克基础技巧针对数学奥数竞赛中常见的题型和解题方法，学生需要掌握一些基础技巧以提高解题效率和准确性。

比如，整数问题中常用的数学归纳法、均值不等式等；几何问题中的相似三角形、面积公式等。

通过大量练习和积累，逐渐熟练掌握这些基础技巧，并在解题中灵活运用。

三、培养逻辑思维能力数学奥数竞赛中的题目往往需要学生具备较高的逻辑思维能力，能够从复杂的问题中提取关键信息，挖掘问题的本质，并找到解题的突破口。

培养逻辑思维能力可以通过解决一些趣味性和抽象性较高的数学问题来锻炼。

此外，还可以参加一些数学启发性讲座、研讨会等活动，与其他数学爱好者交流思想，拓宽思维的边界。

四、强化实战训练在备战数学奥数竞赛中，实战训练是必不可少的环节。

建议学生多参加奥数模拟考试，并针对性地进行错题分析和复盘，找出自己的不足之处，并进行有针对性的补充和训练。

此外，也可以寻找一些历届的数学奥赛试题进行练习，了解奥数竞赛的命题特点和考点，有针对性地加强训练。

五、加强团队合作数学奥数竞赛中的团队比赛是锻炼学生合作能力和团队精神的重要机会。

通过组队参加奥数活动，学生可以相互交流、互相合作，共同解决复杂的数学难题。

在团队合作中，学生还可以从他人身上学习到不同的解题思路和策略，并通过合作，共同提升整个团队的水平。

数学奥林匹克竞赛的技巧与实战演练

总结
备战数学奥林匹克竞赛需要制定明确的学习计划，夯实基础知识，多做题并注重实战演练，同时结合实际问题练习。这些备战策略可以帮助提高解题能力和综合能力，为比赛取得好成绩奠定坚实基础。
备战策略要点
01 学习计划
明确目标
02 基础知识
夯实为先
03 实战演练
多做题
● 03
第三章数学奥林匹克竞赛的解题技巧
善用数学方法
学会灵活运用各种数学方法解题，如构造法、归纳法、反证法等，提高解题效率。这些方法可以帮助我们更快、更准确地解决复杂的数学问题。
注重细节分析
01 观察题目条件
仔细审题，不漏掉任何信息
02 逐步推理
按部就班，步步为营
03 反复检查
确保每个环节都正确
善用数学工具
画板应用
几何图形绘制
夯实基础知识
深厚的数学基础
数学奥赛题目要求
基础知识要点
重点记忆
注意基础知识
巩固和强化
多做题，注重实战演练
01 历年真题
重点
02 提高解题能力
关键
03 实战演练
不可或缺
结合实际问题练习
01、
数学建模
实际问题
解答方法
02、培养数学思维
创造性解决问题
03、
提高综合能力
综合应用
练习
04、
● 04
第四章数学奥林匹克竞赛的答题技巧
熟悉试卷结构
01 了解各部分题型和分值
备考更有针对性
02 把握重点
合理分配答题时间
03 准确把握难易题比例
有针对性地备考
合理安排时间
优先解答易题

高中数学奥赛辅导专题-数列

高中数学奥赛辅导专题——数列一准备知识所谓数列，简单地说就是有规律的（有限或无限多个）数构成的一列数，常记作{a n }，an n n n n －1有些数列不是用通项公式给出，而是用a n 与其前一项或前几项的关系来给出的，例如：a n ＋1=2a n +3，这样的公式称为数列的递推公式．由数列的递推公式我们可以求出其通项公式．数列问题中一个很重要的思想是把数列的通项公式或递推公式变形，然后将它看成新数列（通常是等差或等比数列）的通项公式或递推公式，最后用新数列的性质解决问题．二例题精讲例1．（裂项求和）求S n =222222)12()12(853283118+⨯-⨯++⨯⨯+⨯⨯n n n．解：因为a n =22)12()12(8+⨯-⨯n n n =22)12(1)12(1+--n n 所以S n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-222222)12(1)12(151313111n n =1－2)12(1+n 例2．（倒数法）已知数列{a n }中，a 1=53，a n +1=12+n n a a ，求{a n }的通项公式．解：211211+=+=+nn n n a a a a ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是以35为首项，公差为2的等差数列，即351=n a +2（n －1）=316-n ∴a n =163-n练习1．已知数列{a n }中，a 1=1，S n =1211+--n n S S ，求{a n }的通项公式．解：21121111+=+=---n n n n S S S S ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是以1为首项，公差为2的等差数列． ∴n S 1=1+2（n －1）=2n －1，即S n =121-n ． ∴a n =S n －S n －1=321121---n n =)32)(12(2---n n ∴a n =⎪⎩⎪⎨⎧---3211211n n )2()1(≥=n n例3．（求和法，利用公式a n =S n －S n －1，n ≥2）已知正数数列{a n }的前n 项和S n =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+n n a a 121，求{a n }的通项公式．解：S 1=a 1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+11121a a ，所以a 1=1． ∵a n =S n －S n －1 ∴2S n =S n －S n －1+11--n n S S∴S n +S n －1=11--n n S S ，即S n 2－S n －12=1∴{}2nS 是以1为首项，公差为1的等差数列．∴S n 2=n ，即S n =n∴a n =S n －S n －1=n －1-n （n ≥2） ∴a n =n －1-n ．例4．（叠加法）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n －S n －2=3×（－21）n －1（n ≥3），且S 1=1，S 2=－23，求{a n }的通项公式．解：先考虑偶数项有：S 2n －S 2n －2=－3·1221-⎪⎭⎫⎝⎛nS 2n －2－S 2n －4=－3·3221-⎪⎭⎫⎝⎛n……S 4－S 2=－3·321⎪⎭⎫⎝⎛将以上各式叠加得S 2n －S 2=－3×4114112113-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-n ，所以S 2n =－2+)1(2112≥⎪⎭⎫⎝⎛-n n ．再考虑奇数项有：S 2n ＋1－S 2n －1=3·n221⎪⎭⎫⎝⎛S 2n －1－S 2n －3=3·2221-⎪⎭⎫⎝⎛n……S 3－S 1=3·221⎪⎭⎫⎝⎛将以上各式叠加得S 2n ＋1=2－)1(212≥⎪⎭⎫⎝⎛n n．所以a 2n +1=S 2n +1－S 2n =4－3×n221⎪⎭⎫ ⎝⎛，a 2n =S 2n －S 2n －1=－4+3×1221-⎪⎭⎫⎝⎛n ．综上所述a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+-⎪⎭⎫⎝⎛⨯---为偶数，为奇数n n n n 112134,2134，即a n =（－1）n －1·⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯--12134n ．例5．（a n +1=pa n +r 类型数列）在数列{a n }中，a n +1=2a n －3，a 1=5，求{a n }的通项公式．解：∵a n +1－3=2（a n －3）∴{a n －3}是以2为首项，公比为2的等比数列． ∴a n －3=2n ∴a n =2n +3．练习2．在数列{a n }中，a 1=2，且a n +1=212+n a ，求{a n }的通项公式．解：a n +12=21a n 2+21 ∴a n +12－1=21（a n 2－1）∴{a n +12－1}是以3为首项，公比为21的等差数列． ∴a n +12－1=3×121-⎪⎭⎫⎝⎛n ，即a n =1231-+n例6（a n +1=pa n +f （n ）类型）已知数列{a n }中，a 1=1，且a n =a n －1+3n －1，求{a n }的通项公式．解：（待定系数法）设a n +p ·3n =a n －1+p ·3n －1则a n =a n －1－2p ·3n －1，与a n =a n －1+3n－1比较可知p =－21．所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-23n n a 是常数列，且a 1－23=－21．所以23n n a -=－21，即a n =213-n ．练习3．已知数列{a n }满足S n +a n =2n +1，其中S n 是{a n }的前n 项和，求{a n }的通项公式．解：∵a n =S n －S n －1 ∴S n +S n －S n －1=2n +1 ∴2S n =S n －1+2n +1（待定系数法）设2（S n +pn +q ）=S n －1+p （n －1）+q化简得：－pn －p －q =2n +1，所以⎩⎨⎧=+-=-12q p p ，即⎩⎨⎧=-=12q p∴2（S n －2n +1）=S n －2（n －1）+1，又∵S 1+a 1=2+1=3，∴S 1=23，S 1－2+1=21 ∴{S n －2n +1}是以21为公比，以21为首项的等比数列．∴S n －2n +1=n ⎪⎭⎫ ⎝⎛21，即S n =n ⎪⎭⎫ ⎝⎛21+2n －1，a n =2n +1－S n =2－n⎪⎭⎫⎝⎛21．例7．（a n +1=pa n r 型）（2005年江西高考题）已知数列{a n }各项为正数，且满足a 1=1，a n +1=)4(21n n a a -．（1）求证：a n <a n +1<2；（2）求{a n }的通项公式．解：（1）略．（2）a n +1=－21（a n －2）2+2 ∴a n +1－2=－21（a n －2）2∴2－a n +1=21（2－a n ）2∴由（1）知2－a n >0，所以log 2（2－a n +1）=log 221（2－a n ）2=2·log 2（2－a n ）－1 ∴log 2（2－a n +1）－1=2［log 2（2－a n ）－1］即{log 2（2－a n ）－1}是以―1为首项，公比为2的等比数列∴log 2（2－a n ）－1=－1×2n －1 化简得a n =2－1212--n ．练习4．（2006年广州二模）已知函数4444(1)(1)()(1)(1)x x f x x x ++-=+--（0x ≠）．在数列{}n a 中，12a =，1()n n a f a +=（n *∈N ），求数列{}n a 的通项公式．解：4444114441(1)(1)1(1)1(1)(1)1(1)1n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a +++⎛⎫++-+++=⇒== ⎪+-----⎝⎭，从而有1111ln4ln 11n n n n a a a a ++++=--，由此及111lnln 301a a +=≠-知：数列1ln 1n n a a ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是首项为ln 3，公比为4的等比数列，故有11141441131ln 4ln331131n n n n n n n n n a a a a a ----+++=⇒=⇒=---（n *∈N ）。

竞赛中的数列问题(一)

竞赛中的数列问题(一)竞赛中的数列问题1. 斐波那契数列问题•问题描述：给定一个数列，数列中的每个数都是前两个数的和。

数列的前两个数是1和1。

例如：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …•解释说明：斐波那契数列问题是一个经典的数学问题，也是竞赛中常见的一个数列问题。

解决该问题可以运用递归、循环、矩阵等不同的算法方法。

2. 等差数列问题•问题描述：给定一个数列，数列中的任意两个相邻的数之间的差值都是相同的。

例如：2, 4, 6, 8, 10, …•解释说明：等差数列问题也是竞赛中常见的一个数列问题，解决该问题可以使用等差数列的通项公式，通过计算首项、公差和项数来求解。

3. 等比数列问题•问题描述：给定一个数列，数列中的任意两个相邻的数之间的比值都是相同的。

例如：1, 2, 4, 8, 16, …•解释说明：等比数列问题在竞赛中也较为常见，解决该问题可以使用等比数列的通项公式，通过计算首项、公比和项数来求解。

4. 蛇形数列问题•问题描述：给定一个数列，数列中的数按照特定的规则排列形成蛇形的形状。

例如：1 2 3 48 7 6 59 10 11 1216 15 14 13•解释说明：蛇形数列问题要求将数字按照特定的顺序填入矩阵中，形成蛇形排列。

解决该问题可以使用循环和条件判断等方法。

5. 小于等于N的亏格问题•问题描述：给定一个数N，找出所有小于等于N且亏格为k的数列。

亏格为k的数列定义为数列中每个数都小于等于该数在数列中的下标与k的和。

例如：当k=2时，数列为1, 1, 2, 1, 2,3, …•解释说明：小于等于N的亏格问题要求找出符合亏格条件的数列。

解决该问题可以使用循环和判断条件来生成符合条件的数列。

6. 其它数列问题除了上述列举的数列问题之外，还有许多其他形式的数列问题在竞赛中也很常见，例如等差数列的和、等比数列的和、数列的递推关系等。

解决这些问题需要运用不同的算法和数学方法来求解。

数列教案：探索数学竞赛中数列题目的解题技巧

数列教案：探索数学竞赛中数列题目的解题技巧探索数学竞赛中数列题目的解题技巧在数学竞赛中，数列题目是一个难点，因为它需要考生掌握一定的数学知，然后通过分析找出下一个数，最终得出序列的通项公式。

但是对于初学者来说，这往往是一件比较困难的事情。

因此，在本文中，我们将介绍一些探索数学竞赛中数列题目的解题技巧，帮助同学们更好地应对数列题目。

一、等差数列的解题技巧等差数列是指一个数列中每一项与它前一项的差值相等，这个差值称为公差。

在解等差数列的问题时，我们需要掌握以下技巧：1.求首项和公差通过已知的两个项或序号，可以求出首项和公差。

例如，已知数列的第一项为a1，第n项为an，则公差d = (an - a1) / (n - 1)；首项a1 = an - d(n - 1)。

2.求任意项的值已知数列的首项和公差，可以通过递推公式an = a1 + (n - 1)d 求出任意项的值。

3.求前n项的和通过等差数列求和公式Sn = n(a1 + an) / 2，可以求出前n项的和。

二、等比数列的解题技巧等比数列是指一个数列中每一项与它前一项的比值相等，这个比值称为公比。

在解等比数列的问题时，我们需要掌握以下技巧：1.求首项和公比通过已知的两个项或序号，可以求出首项和公比。

例如，已知数列的第一项为a1，第n项为an，则公比q = an / a1；首项a1 = an / q^(n-1)。

2.求任意项的值已知数列的首项和公比，可以通过递推公式an = a1 * q^(n-1)求出任意项的值。

3.求前n项的和通过等比数列求和公式Sn = a1(1-q^n) / (1-q)，可以求出前n 项的和。

三、题目解析针对一些常见的数列题目，我们可以使用以上技巧进行解题。

例如：1.某等差数列的首项为a1，公差为d，若a2 - a1 = 2d，a3+ a1 = 10，则a4 = ?解析：根据等差数列的定义，a2 - a1 = d，所以2d = d + d = a2 - a1。

高中数学竞赛专题讲座数列

高中数学竞赛专题讲座数列高中数学竞赛专题讲座-数列高中数学竞赛专题试题讲座――数列一、选择题部分1．（2021年江苏）已知数列?an?的通项公式an?aa12n?4n?52，则?an?的最大项是（b）ba2ca3da432（2021安徽初赛）正数列满足a1?1,a2?10,an2an?2?10ann?3?，则lg(a100)?（）?t?a、98b、99c、100d、1013.（2021吉林预赛）对于一个存有n项的数列p=(p1，p2，?，pn)，p的“蔡查罗和”定义为s1、s2、?sn、的算术平均值，其中sk=p1+p2+?pk(1≤k≤n)，若数列(p1，p2，?，p2021)的“蔡查罗和”为2021，那么数列(1，p1，p2，?，p2021)的“蔡查罗和”为（a）a.2021b.2021c.2021d.10044．(集训试题)未知数列{an}满足用户3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为sn。

则满足用户不等式|sn-n-6|<1125的最小整数n是（）b．6c．713a．5d．8的等比数列，求解：由关系式式得：3(an+1-1)=-(an-1)，则{an-1}就是以8领衔项，公比为-8[1?(?1)]n∴sn-n=(a1-1)+(a2-1)+?+(an-1)=1?313=6-6×(-13)n，∴|sn-n-6|=6×(13)n<1125，得：3n-1>250，∴满足条件的最小整数n=7，故选c。

5．(集训试题)给定数列{xn}，x1=1，且xn+1=3xn?13?xn2021，则?xn=（）n?1a．1xn?b．-13333xnc．2+3d．-2+3求解：xn+1=1?，令xn=tanαn，∴xn+1=tan(αn+?6),∴xn+6=xn,x1=1，x2=2+3,2021x3=-2-3,x4=-1,x5=-2+3,x6=2-3,x7=1，??，∴有?xn?x1?1。

2023小奥数列题

2023小奥数列题摘要：一、引言二、2023小奥数列题的背景与意义三、2023小奥数列题的具体题目与解答1.第一题2.第二题3.第三题四、2023小奥数列题的解析与拓展五、总结正文：【引言】随着我国教育改革的深入推进，越来越多的家长和学生开始关注各类学科竞赛。

其中，小奥数作为选拔和培养数学人才的重要途径，备受瞩目。

本文将重点关注2023年的小奥数列题，探讨其背后的教育价值。

【2023小奥数列题的背景与意义】小奥数，全称为“小学生奥林匹克数学竞赛”，是我国一项具有广泛影响力的数学竞赛活动。

自1986年首次举办以来，小奥数已走过30多个春秋，为我国数学领域培养了大量人才。

2023年小奥数竞赛在遵循往届竞赛优良传统的基础上，不断创新，提出了一系列富有挑战性和实践性的列题，旨在激发学生的学习兴趣，提高学生的数学素养。

【2023小奥数列题的具体题目与解答】2023小奥数竞赛共分为三部分，以下为具体题目及其解答：1.第一题题目：已知数列1, 3, 5, 7, 9，求第10项。

解答：根据等差数列的通项公式，第n项为a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

本题中，首项a1=1，公差d=2。

代入公式，可得第10项为1+(10-1)×2=19。

2.第二题题目：已知数列2, 8, 32, 128，求第5项。

解答：根据等比数列的通项公式，第n项为a1×q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。

本题中，首项a1=2，公比q=2。

代入公式，可得第5项为2×2^(5-1)=2×2^4=32。

3.第三题题目：已知数列1, 2, 4, 8，求第7项。

解答：此题为复合数列，可将其拆分为两个等比数列：1, 2, 4, 8 和1, 2, 4, 8。

其中，第一个等比数列的公比为2，第二个等比数列的公比为2。

分别计算两个等比数列的第7项，可得第一个等比数列的第7项为1×2^(7-1)=1×2^6=64，第二个等比数列的第7项为1×2^(7-1)=1×2^6=64。