角函数应用题练习及答案
三角函数应用题
三角函数应用题在数学中，三角函数是一类描述角和三角形之间关系的函数。
它们在几何、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
今天我们就来看几个关于三角函数的实际应用题。
题目一：船长测量船到岸边的距离某船长在海上航行，他利用望远镜测量船到岸边的距离为450米，角度为30°。
请帮助船长计算船实际距离岸边的距离。
解题思路：根据三角函数中正弦函数的定义，正弦函数是对边与斜边的比值。
设实际距离为x，则sin30°=450/x，解得x=450/sin30°≈900米。
题目二：高楼顶部的钢丝张力某座高楼的屋顶有一根斜着的钢丝，已知钢丝与地面的夹角为60°，钢丝的长度为200米。
求钢丝的张力。
解题思路：根据三角函数中余弦函数的定义，余弦函数是邻边与斜边的比值。
设钢丝张力为T，则cos60°=邻边/200，解得邻边=200cos60°≈100米。
再根据正弦函数的定义，sin60°=钢丝张力/200，解得钢丝张力=200sin60°≈173.21牛顿。
题目三：天文测距天文学家利用角度差测量两颗星星间的距离，已知两颗星星的距离为400光年，夹角为20°。
根据此信息，求两颗星星间的实际距离。
解题思路：根据正切函数的定义，切线函数是对边与邻边的比值。
设实际距离为d，则tan20°=400/d，解得d=400/tan20°≈1152.32光年。
通过以上几个实际应用题，我们可以看到三角函数在解决各种实际问题中的重要性和实用性。
希望大家在学习三角函数的过程中能够灵活运用，将数学知识与实际应用相结合，更好地理解和掌握相关知识。
三角函数不仅仅是一堆抽象的公式，更是与我们的生活息息相关的数学工具。
愿大家在学习中取得更好的成绩！。
九年级三角函数应用题
九年级三角函数应用题1.在某高速公路建设中，需要确定隧道AB的长度。
已知在离地面1500m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°。
求隧道AB的长度（3≈1.73）。
2.在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河的宽度。
如图所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31°的方向上。
沿河岸向北前行40米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上。
请根据以上数据求这条河的宽度（参考数值：tan31°≈0.6）。
3.甲、乙两船同时从港口出发。
甲船以60海里/时的速度沿XXX方向航行，乙船沿北偏西30°方向航行。
半小时后，甲船到达C点，乙船正好到达甲船正西方向的B点。
求乙船的速度。
4.港口B在港口A的西北方向。
上午8时，一艘轮船从港口A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行。
同时，一艘快艇从港口B出发也向正北方向航行。
上午10时，轮船到达D处，同时快艇到达C处。
测得C处在D处的北偏西30°的方向上，且C、D两地相距100海里。
求快艇每小时航行多少海里（结果精确到0.1海里/时，参考数据2≈1.41，3≈1.73）。
5.平放在地面上的直角三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示。
量得角A为54°，斜边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD长为0.9m。
求铁板BC边被掩埋部分CD的长（结果精确到0.1m，参考数据sin54°=0.81，cos54°=0.59，tan54°=1.38）。
6.如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°。
使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm（结果精确到0.1cm，参考数据3≈1.732）。
三角函数练习题(含答案)
三角函数练习题及答案（一）选择题1、在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值与余弦值都（ ）A 、缩小2倍B 、扩大2倍C 、不变D 、不能确定12、在Rt △ABC 中，∠C=900，BC=4，sinA=45，则AC=（ ） A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 3、若∠A 是锐角，且sinA=13，则（ ）A 、00<∠A<300B 、300<∠A<450C 、450<∠A<600D 、600<∠A<9004、若cosA=13，则A A AA tan 2sin 4tan sin 3+-=（ ） A 、47B 、 13C 、 12D 、0 5、在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：1：2，则a ：b ：c=（ ）A 、1：1：2B 、1：1：√2C 、1：1：√3D 、1：1：√226、在Rt △ABC 中，∠C=900，则下列式子成立的是（ ）A 、sinA=sinB B 、sinA=cosBC 、tanA=tanBD 、cosA=tanB7．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（ ）A ．sinB= 23B ．cosB= 23C ．tanB= 23D ．tanB=32 8．点（-sin60°，cos60°）关于y 轴对称的点的坐标是（ ） A ．（32，12） B ．（-32，12） C ．（-32，-12） D ．（-12，-32）9．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．某同学站在离旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，若这位同学的目高1.6米，则旗杆的高度约为（ ）A ．6.9米B ．8.5米C ．10.3米D ．12.0米10．王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地 （ ）（A ）350m （B ）100 m （C ）150m （D ）3100m11、如图1，在高楼前D点测得楼顶的仰角为300，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为450，则该高楼的高度大约为（）A.82米B.163米C.52米D.70米12、一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40º的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西10º的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）．（A）30海里（B）40海里（C）50海里（D）60海里（二）填空题1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB=_____．2．在△ABC中，若BC=2，AB=7，AC=3，则cosA=________．3．在△ABC中，AB=2，AC=2，∠B=30°，则∠BAC的度数是______．4．如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A＇P＇B，且BP=2，那么PP＇的长为________． (不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=，cos15°=624+)5．如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西___________度．6．如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了个42单位，到达B 点后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A的坐标为___________结果保留根号）．7．求值：sin260°+cos260°=___________．8．在直角三角形ABC中，∠A=090，BC=13，AB=12，那么tan B=___________．9．根据图中所给的数据，求得避雷针CD的长约为_______m（结果精确的到0.01m）．（可用计算器求，也可用下列参考数据求：sin43°≈0.6802，sin40°≈0.6428，cos43°≈0.7341，cos40°≈0.7660，tan43°≈0.9325，tan40°≈0.8391）10．如图，自动扶梯AB 段的长度为20米，倾斜角A 为α，高度BC 为___________米（结果用含α的三角比表示）．11．如图2所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（保留两个有效数字，2≈1.41，3≈1.73）三、简答题：1，计算：sin cos cot tan tan 3060456030︒+︒-︒-︒⋅︒分析：可利用特殊角的三角函数值代入直接计算；2计算：22459044211(cos sin )()()︒-︒+-︒+--π分析：利用特殊角的三角函数值和零指数及负整数次幂的知识求解。
角度函数练习题及答案
角度函数练习题及答案
1. 计算下列角的弧度值：
a) 30度角的弧度值是多少？
答案：
弧度= (30 × π) / 180 = π/6
b) 45度角的弧度值是多少？
答案：
弧度= (45 × π) / 180 = π/4
c) 60度角的弧度值是多少？
答案：
弧度= (60 × π) / 180 = π/3
2. 计算下列角的度数：
a) 弧度为π/6 的角的度数是多少？
答案：
度数= (π/6 × 180) / π = 30度
b) 弧度为π/4 的角的度数是多少？答案：
度数= (π/4 × 180) / π = 45度
c) 弧度为π/3 的角的度数是多少？答案：
度数= (π/3 × 180) / π = 60度
3. 判断下列等式是否成立：
a) sin(30度) = sin(π/6)
答案：
成立
b) cos(45度) = cos(π/4)
答案：
成立
c) tan(60度) = tan(π/3)
答案：
成立
4. 计算下列角的正弦值、余弦值和正切值：
a) 60度角的正弦值、余弦值和正切值分别是多少？答案：
正弦值 = √3/2
余弦值 = 1/2
正切值= √3
b) 45度角的正弦值、余弦值和正切值分别是多少？答案：
正弦值= √2/2
余弦值= √2/2
正切值 = 1
c) 30度角的正弦值、余弦值和正切值分别是多少？答案：
正弦值 = 1/2 余弦值= √3/2正切值= 1/√3。
(完整版)初中三角函数练习题及答案
三角函数练习1、在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值与余弦值都（ ） A 、缩小2倍 B 、扩大2倍 C 、不变 D 、不能确定12、在Rt △ABC 中，∠C=900,BC=4，sinA=54,则AC=（ ）A 、3B 、4C 、5D 、63、若∠A 是锐角，且sinA=31，则( ）A 、00〈∠A<300B 、300<∠A 〈450C 、450〈∠A<600D 、600<∠A<9004、若cosA=31，则A A AA tan 2sin 4tan sin 3+-=（ ）A 、74B 、31C 、21D 、05、在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：1：2，则a:b ：c=（ ）A 、1：1:2B 、1:1：2C 、1：1：3D 、1:1：226、在Rt △ABC 中,∠C=900，则下列式子成立的是（ ）A 、sinA=sinB B 、sinA=cosBC 、tanA=tanBD 、cosA=tanB 7．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是( )A ．sinB=23B ．cosB=23C ．tanB=23D ．tanB=328．点（—sin60°，cos60°）关于y 轴对称的点的坐标是( ）A ．（32，12）B ．（-32，12)C ．（—32，—12）D ．（-12，-32）9．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．•某同学站在离旗杆12米远的地方,当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，•若这位同学的目高1。
6米，则旗杆的高度约为（ )A ．6.9米B ．8。
5米C ．10.3米D ．12.0米 10．王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地,此时王英同学离A 地 （ ）（A ）350m （B ）100 m(C ）150m（D ）3100m11、如图1，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30︒，向高楼前进60米到C 点，又测得仰角为45︒，则该高楼的高度大约为（ ）A.82米B.163米C.52米 D 。
中考数学专题 初中三角函数应用题10道-含答案
初中三角函数应用题10道(1)求步道AC 的长度（结果保留根号）；(2)游客中心Q 在点A 的正东方向，步道AC 与步道BQ 交于点P 小明和爸爸分别从B 处和A 处同时出发去游客中心，小明跑步的速度是每分钟请计算说明爸爸的速度要达到每分钟多少米，他俩可同时到达游客中心．0.1）（参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈，6 2.449≈）2．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）下图是儿童游乐场里的一个娱乐项目转飞椅的简图，该设施上面有一个大圆盘（圆盘的半径是 3.5OA =米），圆盘离地面的高度1 6.5OO =米，且1OO ⊥地面l ，圆盘的圆周上等间距固定了一些长度相等的绳子，绳子的另一端系着椅子（将椅子看作一个点，比如图中的点B 和1B ），当旋转飞椅静止时绳子是竖直向下的，如图中的线段AB ，绳长为4.8米固定不变．当旋转飞椅启动时，圆盘开始旋转从而带动绳子和飞椅一起旋转，旋转速度越大，飞椅转得越高，当圆盘旋转速度达到最大时，飞椅也旋转到最高点，此时绳子与竖直方向所成的夹角为57α=︒．（参考数据：sin 570.84︒≈，cos570.55︒≈，tan 57 1.54︒≈）(1)求飞椅离地面的最大距离（结果保留一位小数）；(2)根据有关部门要求，必须在娱乐设施周围安装安全围栏，而且任何时候围栏和飞椅的水平距离必须超过2米．已知该旋转飞椅左侧安装有围栏EF ，且EF l ⊥，19.8O E =米，请问圆盘最大旋转速度的设置是否合规？并说明理由．3．（2023春·重庆渝北·九年级校联考阶段练习）如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌AB ，小明在斜坡的坡脚D 处测得宣传牌底部B 的仰角为45︒，沿斜坡DE 向上走到E 处测得宣传牌顶部A 的仰角为31︒，已知斜坡DE 的坡度3:4，10DE =米，22DC =米，求宣传牌AB 的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：sin 310.52︒≈，cos310.86︒≈，tan 310.6)︒≈。
高考数学考点冲刺《23与三角函数有关的应用题》(含解析)
专题23 与三角函数有关的应用题【自主热身，归纳总结】1、如图，两座建筑物AB ，CD 的高度分别是9 m 和15 m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角∠CAD＝45°，则这两座建筑物AB 和CD 的底部之间的距离BD ＝________m.【答案】 18【解析】：设BD ＝x m ，作AH⊥CD，垂足为H ，记∠HAC＝α，∠HAD ＝β，则α＋β＝45°. 因为tan α＝6x ，tan β＝9x ，且tan (α＋β)＝1，得6x ＋9x 1－6x ·9x ＝1，即x 2－15x －54＝0，即(x ＋3)(x －18)＝0，解得x ＝18.解后反思 在解方程的过程中，若记3x ＝t ，则5t ＝1－6t 2，因为方程中出现的系数较小，所以更易解出方程的根．2.如图1，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.【答案】 150【解析】 根据图示，AC ＝100 2 m.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°⇒AM ＝100 3 m.在△AMN 中，MNAM＝sin 60°，∴MN ＝1003×32＝150(m)． 3.如图2，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿着DC 走到C 用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米.【答案】 7504、如图，某城市有一块半径为40 m 的半圆形绿化区域(以O 为圆心，AB 为直径)，现计划对其进行改建．在AB 的延长线上取点D ，OD ＝80 m ，在半圆上选定一点C ，改建后的绿化区域由扇形区域AOC 和三角形区域COD 组成，其面积为S m 2.设∠AOC ＝x rad.(1) 写出S 关于x 的函数关系式S (x )，并指出x 的取值范围； (2) 试问∠AOC 多大时，改建后的绿化区域面积S 取得最大值？思路分析 对于(1)，面积S 由两部分组成，一个是扇形面积，根据扇形面积公式S ＝12αr 2可得，另一个是△OCD 的面积，根据三角形的面积公式12ab sin C 可得；对于(2)，注意到所研究的函数不是基本初等函数，因此，采用导数法来研究它的最值．【解析】： (1) 因为扇形AOC 的半径为40 m ，∠AOC ＝x rad ，所以扇形AOC 的面积S 扇形AOC ＝x ·OA 22＝800x,0＜x ＜π.(2分)在△COD 中，OD ＝80，OC ＝40，∠COD ＝π－x ，所以△COD 的面积S △COD ＝12OC ·OD ·sin∠COD ＝1 600sin(π－x )＝1 600sin x ，(4分)从而S ＝S △COD ＋S 扇形AOC ＝1600sin x ＋800x,0＜x ＜π.(6分)【问题探究，变式训练】例1、如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆AC 与BD 焊接而成，焊接点D 把杆AC 分成AD ，CD 两段，其中两固定点A ，B 间距离为1米，AB 与杆AC 的夹角为60°，杆AC 长为1米．若制作AD 段的成本为a 元/米，制作CD 段的成本是2a 元/米，制作杆BD 的成本是4a 元/米．设∠ADB＝α，制作整个支架的总成本记为S 元．(1) 求S 关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；(2) 问AD 段多长时，S 最小？【解析】： (1) 在△ABD 中，由正弦定理得1sin α＝BD sin π3＝ADsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α，(1分)所以BD ＝32sin α，AD ＝3cos α2sin α＋12，(3分)则S ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos α2sin α＋12＋2a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos α2sin α＋12＋4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＝a ⎝⎛⎭⎪⎫43－3cos α2sin α＋32，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3.(7分)(2) 令S′＝3a ·1－4cos α2sin 2α＝0，设cos α0＝14.(9分)(11分)所以当cos α＝14时，S 最小，此时sin α＝154，AD ＝3cos α2sin α＋12＝5＋510.(12分)答：(1)S 关于α的函数表达式为S ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫43－3cos α2sin α＋32，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3；(2)当AD ＝5＋510时，S 最小．(14分)【变式1】、 如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC⊥AB.在OC 上有一座观赏亭Q ，其中∠AQC＝2π3.计划在BC ︵上再建一座观赏亭P ，记∠POB＝θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2.(1) 当θ＝π3时，求∠OPQ 的大小；(2) 当∠OPQ 越大时，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值．思路分析 设∠OPQ＝α，在△POQ 中，用正弦定理可得含α，θ的关系式． 【解析】： 因为∠AQC＝2π3，所以∠AQO＝π3.又OA ＝OB ＝3，所以OQ ＝ 3.(2分)在△OPQ 中，OQ ＝3，OP ＝3，∠POQ ＝π2－θ，设∠OPQ＝α，则∠PQO＝π2－α＋θ.由正弦定理，得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋θ＝3sin α，即3sin α＝cos (α－θ)．(4分) 展开并整理，得tan α＝cos θ3－sin θ，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(8分)(1) 当θ＝π3时，tan α＝33.因为α∈(0，π)，所以α＝π6.答：当θ＝π3时，∠OPQ ＝π6.(10分)(2) 解法1 设f(θ)＝cos θ3－sin θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.则f′(θ)＝－sin θ（3－sin θ）＋cos 2θ（3－sin θ）2＝1－3sin θ（3－sin θ）2.令f′(θ)＝0，得sin θ＝33，记锐角θ0满足sin θ0＝33.(13分) 列表如下：由上表可知，f(因为tan α＝f(θ)>0，且α∈(0，π)，所以当tan α取最大值22时，α也取得最大值． 答：游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，sin θ＝33.(16分) 解法2 记T ＝cos θ3－sin θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则3T ＝cos θ＋T sin θ＝(1，T )·(cos θ，sin θ)≤1＋T 2，得T≤22，当且仅当tan θ＝22，即sin θ＝33时取等号．(13分) 所以tan α的最大值为22.显然tan α>0，所以当tan α＝22时，α取最大值． 答：游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，sin θ＝33.(16分) 【变式2】、 ））(2017苏锡常镇调研（一））（C13,17. (本小题满分14分) 某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC (如图)．设计要求彩门的面积为S (单位：m 2)，高为h (单位：m)(S ，h 为常数)．彩门的下底BC 固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度之和记为l . (1) 请将l 表示成关于α的函数l ＝f (α)； (2) 问：当α为何值时l 最小，并求最小值．(2) f ′(α)＝h ·⎝⎛⎭⎪⎫－2cos αsin 2α－－1sin 2α＝h ·1－2cos αsin 2α，(8分)令f ′(α)＝h ·1－2cos αsin 2α＝0，得α＝π3.(9分) 当α变化时，f ′(α)，f (α)的变化情况如下表：所以l min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3h ＋h .(12分)答：(1) l 表示成关于α的函数为l ＝f (α)＝S h ＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin α－1tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2； (2) 当α＝π3时，l 有最小值，为3h ＋Sh.(14分)【变式3】、 在一水域上建一个演艺广场．演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC ，及矩形表演台BCDE 四个部分构成（如图）．看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB ，AC 为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍；矩形表演台BCDE 中，CD ＝10米；三角形水域ABC 的面积为4003平方米．设∠BAC ＝θ．（1）求BC 的长（用含θ的式子表示）；（2）若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．【解析】：（1）因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，所以AB ＝3AC ． 在△ABC 中，S △ABC ＝12AB •AC •sin θ＝4003，所以AC 2＝800sin θ ． …………………… 3分由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB •AC •cos θ， ＝4AC 2－23AC 2cos θ． ＝(4－23cos θ) 800sin θ，即BC ＝(4－23cos θ)•800sin θ ＝402－3cos θsin θ．所以 BC ＝402－3cos θsin θ，θ∈(0，π)． …………………… 7分（2）设表演台的总造价为W 万元．因为CD ＝10m ，表演台每平方米的造价为0.3万元， 所以W ＝3BC ＝1202－3cos θsin θ，θ∈(0，π)． …………………… 9分记f (θ)＝2－3cos θsin θ，θ∈(0，π)．则f ′(θ)＝3－2cos θsin 2θ． …………………… 11分 由f ′(θ)＝0，解得θ＝π6． 当θ∈(0，π6)时，f ′(θ)＜0；当θ∈(π6，π)时，f ′(θ)＞0．故f (θ)在(0，π6)上单调递减，在(π6，π)上单调递增，从而当θ＝π6 时，f (θ)取得最小值，最小值为f (π6)＝1．所以W min ＝120(万元)．答：表演台的最低造价为120万元． …………………… 14分例2、如图，海上有A ，B 两个小岛相距10km ，船O 将保持观望A 岛和B 岛所成的视角为60°，现从船O 上派下一只小艇沿BO 方向驶至C 处进行作业，且OC ＝BO .设AC ＝x km. (1) 用x 分别表示OA 2＋OB 2和OA ·OB ，并求出x 的取值范围；(2) 晚上小艇在C 处发出一道强烈的光线照射A 岛，B 岛至光线CA 的距离为BD ，求BD 的最大值．【解析】： (1) 在△OAC 中，∠AOC ＝120°，AC ＝x . 由余弦定理得OA 2＋OC 2－2OA ·OC ·cos120°＝x 2. 又OC ＝BO ，所以OA 2＋OB 2－2OA ·OB ·cos120°＝x 2 ①.(2分)在△OAB 中，AB ＝10，∠AOB ＝60°.由余弦定理得OA 2＋OB 2－2OA ·OB ·cos60°＝100 ②.(4分)①＋②得OA 2＋OB 2＝x 2＋1002.①－②得4OA ·OB ·cos60°＝x 2－100，即OA ·OB ＝x 2－1002.(6分)又OA 2＋OB 2≥2OA ·OB ，所以x 2＋1002≥2×x 2－1002，即x 2≤300.又OA ·OB ＝x 2－1002>0，即x 2>100，所以10<x ≤10 3.(8分) (2) 易知S △OAB ＝S △OAC ，故S △ABC ＝2S △OAB ＝2·12·OA ·OB sin60°＝3x 2－4.(10分)又S △ABC ＝12·AC ·BD ，设BD ＝f (x )，所以f (x )＝3x 2－2x，x ∈(10,103]．(12分)又f ′(x )＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋100x 2>0，(14分) 则f (x )在(10,103]上是单调增函数，所以f (x )的最大值为f (103)＝10，即BD 的最大值为10.(16分) (利用单调性定义证明f (x )在(10,103上是单调增函数，同样给满分；如果直接说出f (x )在(10,103]上是增函数，但未给出证明，扣2分)【变式1】、如图，某生态农庄内有一直角梯形区域ABCD ，AB ∥CD ，AB BC ⊥，3AB =百米，2CD =百米．该区域内原有道路AC ，现新修一条直道DP （宽度忽略不计），点P在道路AC 上（异于A C ，两点），．（1）用θ表示直道DP 的长度；（2）计划在△ADP 区域内种植观赏植物，在△CDP 区域内种植经济作物．已知种植 观赏植物的成本为每平方百米2万元，种植经济作物的成本为每平方百米1万元， 新建道路DP 的成本为每百米1万元，求以上三项费用总和的最小值．【解析】： （1）过点D 作DD '垂直于线段AB ，垂足为D '．在直角ABC △中，因为AB ⊥BC ，π6BAC =∠，3AB =，所以BC =在直角ADD '△中，因为1AD '=，DD '=2AD =，则，故π3DAD '=∠，又π6BAC =∠，所以π6DAP =∠．…… 2分在ADP △中，由正弦定理得sin πsin 6AD DP θ=，所以1sin DP θ=，π5π66θ<<． …… 6分（2）在ADP △中，由正弦定理得，所以．所以．又．所以． (8)分设三项费用总和为()f θ，则，π5π66θ<<，，π5π66θ<<．………………………………… 10分 CBA（第17题）DPD '所以，令()0f '=θ，则2π3θ=．列表：所以2π3θ=时，．答：以上三项费用总和的最小值为 14分【变式2】、如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M ，N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：km)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?(第17题)答：设计∠AMN为60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．(14分)解法2 (构造直角三角形)设∠PMB ＝θ.当0<θ<π2时，在△PMD 中，因为PM ＝2，所以PD ＝2sin θ，MD ＝2cos θ. (2分)在△AMN 中，∠ANM ＝∠PMB ＝θ，所以MN sin60°＝AM sin θ，AM ＝433sin θ，所以AD ＝433sin θ＋2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ≥π2时，结论也正确.(6分)AP 2＝AD 2＋PD 2＝⎝⎛⎭⎪⎫433sin θ＋2cos θ2＋(2sin θ)2＝163sin 2θ＋1633sin θcos θ＋4cos 2θ＋4sin 2θ(8分)＝163·1－cos2θ2＋833sin2θ＋4＝833sin2θ－83cos2θ＋203＝203＋163sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3. (12分)当且仅当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值2 3.此时AM ＝AN ＝2，∠PAB ＝30°.(14分) 解法3 设AM ＝x ，AN ＝y ，∠AMN ＝α. 在△AMN 中，因为MN ＝2，∠MAN ＝60°， 所以MN 2＝AM 2＋AN 2－2 AM ·AN ·cos∠MAN ， 即x 2＋y 2－2xy cos60°＝x 2＋y 2－xy ＝4.(2分)因为MN sin60°＝AN sin α，即2sin60°＝y sin α，所以sin α＝34y ，cos α＝x 2＋4－y 22×2×x ＝x 2＋x 2－xy 4x ＝2x －y 4.(6分)cos ∠AMP ＝cos(α＋60°)＝12cos α－32sin α＝12·2x －y 4－32·34y ＝x －2y4.(8分)在△AMP 中，AP 2＝AM 2＋PM 2－2 AM ·PM ·cos∠AMP ，即AP 2＝x 2＋4－2×2×x ×x －2y4＝x 2＋4－x (x －2y )＝4＋2xy .(12分)因为x 2＋y 2－xy ＝4,4＋xy ＝x 2＋y 2≥2xy ，即xy ≤4.所以AP 2≤12，即AP ≤2 3.当且仅当x ＝y ＝2时，AP 取得最大值2 3.答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．(14分)例3、某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E 为上切点)，与左右两边相交(F ，G 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m ，且12AB AD ≥．设EOF θ∠=，透光区域的面积为S ．（1）求S 关于θ的函数关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边AB 的长度． 【解析】（1）过点O 作OH FG ⊥于点H ，则，所以，．……………………………2分所以sin22θθ=+，………………………………6分因为12AB AD ≥，所以1sin 2θ≥，所以定义域为ππ[,)62．……………………8分（2）矩形窗面的面积为．则透光区域与矩形窗面的面积比值为．…10分设，ππ62θ<≤．则A BCDFEOG θH，………………………………………………12分因为ππ62θ<≤，所以11sin222θ≤，所以，故'()0f θ<，所以函数()f θ在ππ[,)62上单调减．所以当π6θ=时，()f θ有最大值π6+，此时(m)． …14分答：（1）S 关于θ的函数关系式为，定义域为ππ[,)62；（2）透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，AB 的长度为1m ．………16分【变式1】、如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线l 1排，在路南侧沿直线l 2排，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将l 1与l 2接通．已知AB ＝60m ，BC ＝80m ，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的部分的排管费用为每米2万元，设EF 与AB 所成的小于90°的角为α. (1) 求矩形区域ABCD 内的排管费用W 关于α的函数关系式； (2) 求排管的最小费用及相应的角α.【解析】 (1) 如图，过E 作EM ⊥BC ，垂足为点M .由题意得∠MEF ＝α⎝⎛⎭⎪⎫0≤tan α≤43，故有MF ＝60tan α，EF ＝60cos α，AE ＋FC ＝80－60tan α.(4分) 所以W ＝(80－60tan α)×1＋60cos α×2(5分) ＝80－60sin αcos α＋120cos α＝80－α－cos α.(8分)(2) 解法1 设f (α)＝sin α－2cos α其中0≤α≤α0<π2，tan α0＝43，则f ′(α)＝cos αcos α－－sin αα－cos 2α＝1－2sin αcos 2α.(10分) 令f ′(α)＝0得1－2sin α＝0，即sin α＝12，得α＝π6.(11分)列表所以当α＝π6时有f (α)max ＝－3，此时有W min ＝80＋60 3.(15分)答：排管的最小费用为(80＋603)万元，相应的角α＝π6.(16分) 解法2 f (α)＝2－sin αcos α＝32－sin α＋12＋sin αcos α≥32－sin α12＋sin αcos α＝32， 当且仅当32(1－sin α)＝12(1＋sin α)时成立，此时sin α＝12，α＝π6.(11分)以下同解法1.【变式2】、如图，一块弓形薄铁片EMF ，点M 为EF 的中点，其所在圆O 的半径为4 dm(圆心O 在弓形EMF 内)，∠EOF ＝2π3.将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD (不计损耗)，AD ∥EF ，且点A ，D 在EF上，设∠AOD ＝2θ.(1) 求矩形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式； (2) 当裁出的矩形铁片ABCD 面积最大时，求cos θ的值．(第18题)【解析】 (1) 设矩形铁片的面积为S ，∠AOM ＝θ. 当0＜θ＜π3时(如图1)，AB ＝4cos θ＋2，AD ＝2×4sin θ，S ＝AB ×AD ＝(4cos θ＋2)(2×4sin θ)＝16sin θ(2cos θ＋1)．(3分)当π3≤θ＜π2时(如图2)，AB ＝2×4cos θ，AD ＝2×4sin θ，故S ＝AB ×AD ＝64sin θcos θ＝32sin 2θ. 综上得，矩形铁片的面积S 关于θ的函数关系式为 S ＝⎩⎪⎨⎪⎧16sin θθ＋，0＜θ＜π3，32sin2θ，π3≤θ＜π2.(7分)【变式3】、如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，AB ＝20 m ，广场的一角是半径为16 m 的扇形BCE 绿化区域，为了使小区居民能够更好地在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN (宽度不计)，点M 在线段AD 上，并且与曲线CE 相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN (宽度不计)摆放．已知双人靠背直排椅的造价为2a 元/m ，单人弧形椅的造价为a 元/m ，记锐角∠NBE ＝θ，总造价为W 元．(1) 试将W 表示为θ的函数W (θ)，并写出cos θ的取值范围； (2) 如何选取点M 的位置，能使总造价W 最小？【解析】;： (1) 过点N 作AB 的垂线，垂足为F ；过M 作NF 的垂线，垂足为G .在Rt △BNF 中，BF ＝16cos θ，则MG ＝20－16cos θ. 在Rt △MNG 中，MN ＝20－16cos θsin θ.(4分)由题意易得CN ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ，(6分)因此，W (θ)＝2a ·20－16cos θsin θ＋16a ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ，(7分) 当点M 与点A 重合时，cos θ＝1620＝45；当点M 与点D 重合时，cos θ＝0，故cos θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，45.(9分) (2) W ′(θ)＝－16a ＋8a ·4－5cos θsin 2θ ＝8a ·θ－θ－sin 2θ.令W ′(θ)＝0，cos θ＝12，因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以θ＝π3.(12分)设锐角θ1满足cos θ1＝45， θ1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3.当θ∈⎝⎛⎭⎪⎫θ1，π3时，W ′(θ)＜0，W (θ)单调递减； 当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2时，W ′(θ)＞0，W (θ)单调递增．(14分)所以当θ＝π3时，总造价W 最小，最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫163＋8π3a 元，此时MN ＝83，NG ＝43，NF ＝83，因此当AM ＝4 3 m 时，总造价最小．(16分)易错警示 解决应用题问题，以下几个方面是很容易导致失分的地方，要引起高度重视．一是函数的定义域不能忘；二是有单位的问题，单位不能丢；三是要注意回到实际问题中去，即“答”不可少．。
三角函数的应用题练习题(基础)
三角函数的应用题练习题(基础)题目1: 三角函数的高度应用某个人站在一座高楼的窗户旁，离地面的距离是20米。
该人仰望斜顶角度为30度的楼顶，试计算楼顶的高度是多少米？答案：首先，我们可以利用正弦函数来解决这个问题。
正弦函数定义为：sin(θ) = 对边/斜边。
按照这个定义，我们可以得到以下方程：sin(30度) = 对边/20米对方程进行求解，我们可以得到：对边 = 20米 * sin(30度)利用计算器，我们可以得到：对边 = 10米因此，楼顶的高度是10米。
题目2: 三角函数的距离应用一辆汽车正在沿着直路行驶。
从汽车起点到终点的直线距离为1000米。
汽车行驶的角度与直线路线的夹角为45度。
试计算汽车实际行驶的距离是多少米？答案：对于这个问题，我们可以使用余弦函数来求解。
余弦函数定义为：cos(θ) = 临边/斜边。
应用于这个问题，我们可以得到以下方程：cos(45度) = 临边/1000米对方程进行求解，我们可以得到：临边 = 1000米 * cos(45度)利用计算器，我们可以得到：临边 = 707.106米因此，汽车实际行驶的距离是707.106米。
题目3: 三角函数的速度应用一艘船以20米/秒的速度顺水行驶。
河流的流速为10米/秒，且方向与船垂直。
试计算船在水中实际的速度是多少米/秒？答案：对于这个问题，我们可以使用正切函数来求解。
正切函数定义为：tan(θ) = 对边/临边。
应用于这个问题，我们可以得到以下方程：tan(θ) = 10米/秒 / 20米/秒对方程进行求解，我们可以得到：tan(θ) = 0.5利用计算器，我们可以得到：θ = 26.565度因此，船在水中实际的速度是约为26.565米/秒。
三角函数应用题练习及答案
三角函数的应用题第一阶梯[例1]如图，AD∥BC，AC⊥BC，若AD=3，DC=5，且∠B=30°，求AB 的长。
解：∵∠DAC=90° 由勾股定理，有 CD 2=AD 2+AC 2 ∵AD=3，DC=5 ∴AC=4 ∵∠B=30° ∴AB=2AC ∴AB=8[例2]如图，△ABC 中，∠B=90°，D 是BC 上一点，且AD=DC ，若tg ∠DAC=41,求tg ∠BAD 。
探索：已知tg∠DAC 是否在直角三角形中？如果不在怎么办？要求∠BAD 的正切值需要满足怎样的条件？点拨：由于已知中的tg ∠DAC 不在直角三角形中，所以需要转化到直角三角形中，即可地D 点作AC 的垂线。
又要求∠BAD 的正切值应已知Rt△BAD 的三边长，或两条直角边AB 、BD 的长，根据已知可知没有提 供边长的条件，所以要充分利用已知中的tg∠DAC 的条件。
由于AD=DC ，即∠C=∠DAC，这时也可 把正切值直接移到Rt△ABC 中。
解答：过D 点作DE⊥AC 于E ，41DAC =∠tg 且AE DE DAC =∠tg设DE=k ，则AE=4k∵AD=DC,∴∠DAC=∠C，AE=EC ∴AC=8k∵41==BC AB tgC设AB=m ，BC=4m 由勾股定理，有AB 2+BC 2=AC 2∴k m 17178=k BC 171732=∴由勾股定理，有CD 2=DE 2+EC 2k CD 17=∴ k BD 171715=∴由正切定理，有.815=∠∴=∠BAD tg AB DBBAD tg[例3]如图，四边形ABCD 中，∠D=90°，AD=3，DC=4，AB=13，BC=12，求sinB 。
探索：已知条件提供的图形是什么形？其中∠D=90°，AD=3，DC=4，可提供什么知识？求sinB 应放在什么图形中。
点拨：因已知是四边形所以不能求解，由于有∠D=90°，AD=3，DC=4，这样可求AC=5，又因有AB=13，BC=12，所以可证△ABC 是Rt△，因此可求sinB 。
三角函数的应用题及解答
三角函数的应用题及解答三角函数是数学中一个非常重要的分支，其应用广泛且深入。
本文将列举几个三角函数的应用题，并给出详细的解答过程。
1. 问题描述：某建筑物高度为100米，离该建筑物水平面的观察角为30°，求观察点到建筑物底部的距离。
解答过程：根据三角函数的定义，正切函数可以表示观察点到建筑物底部的距离与建筑物高度之间的关系。
设观察点到建筑物底部的距离为x，则有tan(30°) = 100/x。
解以上方程，可得观察点到建筑物底部的距离x = 100/tan(30°) = 100/√3。
因此，观察点到建筑物底部的距离约为57.74米。
2. 问题描述：一辆汽车以40km/h的速度直线行驶，车头的倾斜角度为15°，求车头离直线道路的垂直距离。
解答过程：根据三角函数的定义，正切函数可以表示车头离直线道路的垂直距离与车速和倾斜角度之间的关系。
设车头离直线道路的垂直距离为y，则有tan(15°) = y/40。
解以上方程，可得车头离直线道路的垂直距离y = 40*tan(15°)。
因此，车头离直线道路的垂直距离约为10.93米。
3. 问题描述：一个航天器发射到外太空，离地球表面的垂直高度为500公里，航天器的视线与地球表面的夹角为60°，求航天器的真实高度。
解答过程：根据三角函数的定义，正弦函数可以表示真实高度与垂直高度之间的关系。
设航天器的真实高度为h，则有sin(60°) = h/500。
解以上方程，可得航天器的真实高度h = 500*sin(60°)。
因此，航天器的真实高度约为433.01公里。
通过以上例题，我们可以看到三角函数在实际问题中的应用。
无论是建筑物的观察角、汽车的倾斜角度还是航天器的视线角度，三角函数都能提供准确的数学描述和解答。
总结起来，三角函数是数学中一项重要而实用的工具，通过对角度和长度之间的关系的研究和运用，我们可以解决各种实际问题。
初中三角函数的应用例题
初中三角函数的应用例题1.一座山峰高度为1800米，从山脚测得与山顶的夹角为30°，求山脚到山顶的实际水平距离。
解：设山脚到山顶的水平距离为x，则根据三角函数的定义，有tan30°=1800/x。
将30°转化为弧度制，即tan(π/6)=1800/x，解得x=1800/(tan(π/6)) ≈ 3600米。
所以山脚到山顶的实际水平距离约为3600米。
2.一条船从港口出发，先顺时针航行90°，然后逆时针航行120°，最后顺时针航行150°，求船的最终航向与出发港口到最终位置的直线之间的夹角。
解：根据题意，船的最终航向与出发港口到最终位置的直线之间的夹角等于船的顺时针航行角度减去船的逆时针航行角度，即90°-120°+150°=120°。
所以船的最终航向与出发港口到最终位置的直线之间的夹角为120°。
3.一个轮半径为40厘米的车轮以每秒10米的速度匀速滚动，求车轮的角速度。
解：车轮每滚动一周，车轮上的任意一点都绕轮心旋转360°，所以车轮的角速度是360°/一周所需要的时间。
滚动一周的时间可以通过速度和距离的关系求得，即一周所需时间为2πr/v，其中r为半径，v为速度。
所以车轮的角速度为360°/(2πr/v)=(360°v)/(2πr)。
代入半径r=40厘米和速度v=10米/秒，计算可得车轮的角速度约为(360°×10米/秒)/(2π×40厘米)≈0.90弧度/秒。
4.一架飞机从A地飞往B地，两地相距1200公里。
飞机的地速为400千米/小时，假设直飞过程中风速与飞机速度方向相反，风速为120公里/小时，求飞机的实际航速和方向。
解：设飞机的实际航速为v，飞机速度与风速的夹角为θ。
根据三角函数的定义，有cosθ=(400-120)/v。
高中三角函数应用题
高中三角函数应用题1. 一架飞机以每小时500公里的速度直线飞行。
从地面上观察，飞机升高的角度为30度。
求飞机升高的速度。
解题思路：飞机升高的速度可以视为飞机在垂直方向上的速度分量，而飞机的速度是以每小时500公里的速度直线飞行，可以视为飞机在水平方向上的速度分量。
根据三角函数的性质，可以得到以下关系式：sin30° = 飞机升高速度 / 飞机速度sin30° = 飞机升高速度 / 500解得：飞机升高速度= 500 * sin30° = 250公里/小时所以飞机升高的速度为250公里/小时。
2. 一辆汽车以匀速行驶，速度为每小时60公里。
从地面上观察，汽车与地面的夹角为45度。
求汽车在水平方向上的速度和垂直方向上的速度。
解题思路：汽车在水平方向上的速度可以视为汽车的速度在水平方向上的分量，而汽车的速度是每小时60公里。
根据三角函数的性质，可以得到以下关系式：cos45° = 汽车在水平方向上的速度 / 60解得：汽车在水平方向上的速度= 60 * cos45° ≈ 42.42公里/小时汽车在垂直方向上的速度可以视为汽车的速度在垂直方向上的分量，根据三角函数的性质，可以得到以下关系式：sin45° = 汽车在垂直方向上的速度 / 60解得：汽车在垂直方向上的速度= 60 * sin45° ≈ 42.42公里/小时所以汽车在水平方向上的速度和垂直方向上的速度都约为42.42公里/小时。
3. 一根高度为20米的杆倾斜，与水平地面的夹角为60度。
从杆的顶端向底部看，底部与杆的夹角为30度。
求杆的实际高度。
解题思路：根据题意可知，底部与杆的夹角为30度，即底部与水平地面的夹角为90度-30度=60度。
所以整个杆与水平地面的夹角为60度+60度=120度。
根据三角函数的性质，可以得到以下关系式：tan120° = 杆的实际高度 / 20解得：杆的实际高度= 20 * tan120° ≈ -34.64米由于角度为120度时的tan值为负数，所以实际高度为-34.64米。
三角函数练习题(含答案)
三角函数练习题及答案（一）选择题1、在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值与余弦值都（ ）A 、缩小2倍B 、扩大2倍C 、不变D 、不能确定12、在Rt △ABC 中，∠C=900，BC=4，sinA=45，则AC=（ ） A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 3、若∠A 是锐角，且sinA=13，则（ ）A 、00<∠A<300B 、300<∠A<450C 、450<∠A<600D 、600<∠A<9004、若cosA=13，则A A AA tan 2sin 4tan sin 3+-=（ ） A 、47B 、 13C 、 12D 、0 5、在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：1：2，则a ：b ：c=（ ）A 、1：1：2B 、1：1：√2C 、1：1：√3D 、1：1：√226、在Rt △ABC 中，∠C=900，则下列式子成立的是（ ）A 、sinA=sinB B 、sinA=cosBC 、tanA=tanBD 、cosA=tanB7．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（ ）A ．sinB= 23B ．cosB= 23C ．tanB= 23D ．tanB=32 8．点（-sin60°，cos60°）关于y 轴对称的点的坐标是（ ） A ．（32，12） B ．（-32，12） C ．（-32，-12） D ．（-12，-32）9．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．某同学站在离旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，若这位同学的目高1.6米，则旗杆的高度约为（ ）A ．6.9米B ．8.5米C ．10.3米D ．12.0米10．王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地 （ ）（A ）350m （B ）100 m （C ）150m （D ）3100m11、如图1，在高楼前D点测得楼顶的仰角为300，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为450，则该高楼的高度大约为（）A.82米B.163米C.52米D.70米12、一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40º的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西10º的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）．（A）30海里（B）40海里（C）50海里（D）60海里（二）填空题1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB=_____．2．在△ABC中，若BC=2，AB=7，AC=3，则cosA=________．3．在△ABC中，AB=2，AC=2，∠B=30°，则∠BAC的度数是______．4．如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A＇P＇B，且BP=2，那么PP＇的长为________． (不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=，cos15°=62+)5．如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西___________度．6．如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了个42单位，到达B 点后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A的坐标为___________结果保留根号）．7．求值：sin260°+cos260°=___________．8．在直角三角形ABC中，∠A=090，BC=13，AB=12，那么tan B=___________．9．根据图中所给的数据，求得避雷针CD的长约为_______m（结果精确的到0.01m）．（可用计算器求，也可用下列参考数据求：sin43°≈0.6802，sin40°≈0.6428，cos43°≈0.7341，cos40°≈0.7660，tan43°≈0.9325，tan40°≈0.8391）10．如图，自动扶梯AB 段的长度为20米，倾斜角A 为α，高度BC 为___________米（结果用含α的三角比表示）．11．如图2所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（保留两个有效数字，2≈1.41，3≈1.73）三、简答题：1，计算：sin cos cot tan tan 3060456030︒+︒-︒-︒⋅︒分析：可利用特殊角的三角函数值代入直接计算；2计算：22459044211(cos sin )()()︒-︒+-︒+--π分析：利用特殊角的三角函数值和零指数及负整数次幂的知识求解。
中考数学第二轮复习专题训练--三角函数应用题
3 3精典例题：【例 1】如图，塔 AB 和楼 CD 的水平距离为 80 米，从楼顶 C 处及楼底 D 处测得塔顶 A 的仰角分别为 450 和 600，试求塔高与楼高（精确到 0.01 米）。
（参考数据： ＝1.41421…， ＝1.73205…）分析：此题可先通过解 Rt △ABD 求出塔高 AB ，再利用 CE ＝BD ＝80 米，解 Rt △AEC 求出 AE ，最后求出 CD ＝BE ＝AB －AE 。
解：在 Rt △ABD 中，BD ＝80 米，∠BAD ＝600 A∴AB ＝ BD tan 6080 138.56 （米）450C在 Rt △AEC 中，EC ＝BD ＝80 米，∠ACE ＝450 ∴AE ＝CE ＝80 米∴CD ＝BE ＝AB －AE ＝ 80 80 58.56 （米）EBD F例 1 图答：塔 AB 的高约为 138. 56 米，楼 CD 的高约为 58. 56 米。
【例 2】如图，直升飞机在跨河大桥 AB 的上方 P 点处，此时飞机离地面的高度 PO ＝450 米，且 A 、B 、 O 三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为300 ， 450 ，求大桥 AB 的长（精确到 1 米，选用数据： ＝1.41， ＝1.73）分析：要求 AB ，只须求出 OA 即可。
可通过解 Rt △POA 达到目的。
解：在 Rt △PAO 中，∠PAO ＝300∴OA ＝ PO cot PAO450 cot 300450 （米）在 Rt △PBO 中，∠PBO ＝ ∴OB ＝OP ＝450（米）∴AB ＝OA －OB ＝ 450 450450 P329 （米） 答：这座大桥的长度约为 329 米。
OBA例 2 图评注：例 1 和例 2 都是测量问题（测高、测宽等）， 解这类问题要理解仰角、俯角的概念，合理选择关系式，按要求正确地取近似值。
【例 3】一艘渔船正以 30 海里／小时的速度由西向东追赶鱼群，在 A 处看见小岛 C 在船的北偏东 600方向，40 分钟后，渔船行至 B 处，此时看见小岛 C 在船的北偏东 300 方向，已知以小岛 C 为中心周围 10 海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？分析：此题可先求出小岛 C 与航向（直线 AB ）的距离，再与 10 海里进行比较得出结论。
职高三角函数的练习题含答案
职高三角函数的练习题含答案一、单项选择题1. 已知角A为第二象限角，sin A = 0.8，那么cos A的值为：A) 0.8B) 0.6C) -0.6D) -0.8答案：C) -0.62. 一个锐角的正弦值等于0.6，那么这个角的余弦值为：A) 0.2B) 0.4C) 0.8D) 1答案：B) 0.43. 已知三角函数值sin B = 0.3，那么角B的值可能为：A) 20°B) 60°C) 120°D) 150°答案：A) 20°4. 若tan A = 2，且角A为锐角，那么sin A的值为：A) 1/√5B) 2/√5C) √5/2D) √5/4答案：A) 1/√5二、填空题1. 若sin x = 0.4，那么cos x = ___________。
答案：0.9162. 若cos y = -0.8，那么sin y = ___________。
答案：-0.63. 若tan z = 1/√3，那么sin z = ___________。
答案：1/24. 若cot w = -2，那么cos w = ___________。
答案：-√5/5三、解答题1. 已知sin A = 1/2，且角A为锐角，求cos A的值。
解：由三角函数的定义可知，sin A = 对边/斜边。
已知sin A = 1/2，即对边/斜边 = 1/2。
对边为1，斜边为2。
根据勾股定理可得，邻边为√(2^2 - 1^2) = √3。
cos A = 邻边/斜边= √3/2。
2. 已知tan B = -4/3，求sin B的值。
解：由三角函数的定义可知，tan B = 对边/邻边。
已知tan B = -4/3，即对边/邻边 = -4/3。
对边为-4，邻边为3。
根据勾股定理可得，斜边为√((-4)^2 + 3^2) = 5。
sin B = 对边/斜边 = -4/5。
3. 已知cos C = 2/5，求sin C的值。
一年级数学认识三角函数的应用题
一年级数学认识三角函数的应用题三角函数是数学中一种重要的函数形式，广泛应用于各个领域。
在一年级数学学习中，我们也可以通过一些简单的应用题来认识三角函数的应用。
接下来，我们将通过几个实例来了解一下。
例题一：甲同学在操场上看到一棵高树的顶端与他所站的位置之间的夹角是30度，他知道这棵树的高度是5米，请问这棵树影子的长度大约是多少？解答：根据题目中的信息，我们可以通过使用正弦函数来解答这个问题。
设树的影子长度为x，树的高度为5米。
根据正弦函数的定义，我们可以得到以下等式：sin30° = 5/x通过解方程，我们可以得到x ≈ 10米。
所以，这棵树的影子长度大约是10米。
例题二：小明在一块正方形的田地中种了一棵苹果树，他想要知道这棵苹果树与田地的边界之间的夹角是多少？已知这棵树与正方形的中心连线与正方形的一边的夹角是45度。
解答：根据题目中的信息，我们可以通过使用余弦函数来解答这个问题。
设苹果树与田地边界之间的夹角为α，正方形的一边的夹角为45度。
根据余弦函数的定义，我们可以得到以下等式：cosα = cos45°通过解方程，我们可以得到α = 45度。
所以，苹果树与田地边界之间的夹角是45度。
例题三：某地的灯塔距离海岸线10千米，灯塔的高度是100米。
现在有一艘船在海上，船上的观察者发现，从他的位置看，灯塔的顶端与船体之间的夹角是60度。
请问这艘船离海岸线的距离大约是多少？解答：根据题目中的信息，我们可以通过使用正切函数来解答这个问题。
设船离海岸线的距离为x。
根据正切函数的定义，我们可以得到以下等式：tan60° = 100/x通过解方程，我们可以得到x ≈ 173.205千米。
所以，这艘船离海岸线的距离大约是173.205千米。
通过以上几个简单应用题的解答，我们可以初步了解并运用三角函数来解决实际问题。
在一年级数学学习中，虽然我们暂时不深入研究三角函数的性质和推导，但通过应用题的练习，可以逐步培养我们的思维能力和解决实际问题的能力。
三角函数练习题
三角函数练习题一、选择题1. 已知角α的终边经过点P(3, 4)，则sinα的值为（）A. 3/5B. 4/5C. 4/5D. 3/52. 若cosθ = 1/2，且θ为第三象限角，则sinθ的值为（）A. √3/2B. √3/2C. 1/2D. 1/23. 已知tanα = 2，求cos2α的值为（）A. 1/5B. 3/5C. 3/5D. 1/54. 若sin^2α + cos^2α = 1，则下列等式成立的是（）A. sinα = cosαB. sinα= tanαC. cosα = cotαD. tanα = cotα二、填空题1. 已知sinα = 1/2，且α为第一象限角，则cosα = ______。
2. 若tanθ = √3，且θ为第四象限角，则sinθ = ______。
3. 已知cosβ = √2/2，且β为第二象限角，则tanβ =______。
4. 若sin^2α + cos^2α = 1，则sinαcosα = ______。
三、解答题1. 已知sinα = 3/5，求cosα的值。
2. 已知tanθ = 4/3，求sinθ和cosθ的值。
3. 已知cosβ = 1/2，求sinβ和tanβ的值。
4. 已知sin^2α + cos^2α = 1，证明：(1 cosα)/(1 + cosα) = sin^2α/(1 + cosα)。
5. 已知tanθ = √3，求sin2θ和cos2θ的值。
6. 已知sinα + cosα = 1，求sinα和cosα的值。
四、应用题1. 在直角三角形ABC中，∠C为直角，∠A的度数为30°，BC边长为6cm，求AB和AC的长度。
2. 一个物体从A点出发，沿直线向正北方向移动了100米后到达B点，然后转向正东方向移动了150米到达C点。
求物体从A点到C点的直线距离。
3. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为(3, 4)，求点P到原点O的距离及点P与x轴的夹角。
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三角函数的应用题第一阶梯[例1]如图，AD∥BC，AC⊥BC，若AD=3，DC=5，且∠B=30°，求AB的长。
解：∵∠DAC=90°由勾股定理，有CD2=AD2+AC2∵AD=3，DC=5∴AC=4∵∠B=30°∴AB=2AC∴AB=8[例2]如图，△ABC中，∠B=90°，D是BC上一点，且AD=DC，若tg∠DAC=,求tg∠BAD。
探索：已知tg∠DAC是否在直角三角形中？如果不在怎么办？要求∠BAD的正切值需要满足怎样的条件？点拨：由于已知中的tg∠DA C不在直角三角形中，所以需要转化到直角三角形中，即可地D点作AC的垂线。
又要求∠BAD的正切值应已知Rt△BAD的三边长，或两条直角边AB、BD的长，根据已知可知没有提供边长的条件，所以要充分利用已知中的tg∠DAC的条件。
由于AD=DC，即∠C=∠DAC，这时也可把正切值直接移到Rt△ABC中。
解答：过D点作DE⊥AC于E，且设DE=k，则AE=4k∵AD=DC,∴∠DAC=∠C，AE=EC∴AC=8k∵设AB=m，BC=4m由勾股定理，有AB2+BC2=AC2∴由勾股定理，有CD2=DE2+EC2由正切定理，有[例3]如图，四边形ABCD中，∠D=90°，AD=3，DC=4，AB=13，BC=12，求sinB。
探索：已知条件提供的图形是什么形？其中∠D=90°，AD=3，DC=4，可提供什么知识？求sinB应放在什么图形中。
点拨：因已知是四边形所以不能求解，由于有∠D=90°，AD=3，DC=4，这样可求AC=5，又因有AB=13，BC=12，所以可证△ABC是Rt△，因此可求sinB。
解：连结AC∵∠D=90°由勾股定理，有AC2=CD2+CD2∵AD=3，CD=4，∴AC=5∵AB=13，BC=12∴132=122+52∴∠ACB=90°由正弦定义，有第二阶梯[例1]如图，在河的对岸有水塔AB，今在C处测得塔顶A的仰角为30°，前进20米后到D处，又测得A的仰角为45°，求塔高AB。
探索：在河对岸的塔能否直接测得它的高度？为什么在C、D两处测得仰角的含义是什么？怎样用CD的长？点拨：要直接隔岸测得塔高是不可能的，也不可能直接过河去测量，这时只能考虑如何利用两个仰角及CD 长，由于塔身与地面垂直，且C、D、B三点共线这时可以构成一个直角三角形，且有∠ACB=30°，∠ADB=45°，这时就可以借助解直角三角形的知识求解了。
解：根据仰角的定义，有∠ACB=30°，∠ADB=45°又AB⊥CB于B。
∴∠DAB=45°∴DB=AB设AB=x由正切定义，有解得即塔高答：塔高AB为米。
第三阶梯[例1]已知等腰三角形的顶点为A，底边为a，求它的周长及面积。
探索：在现在的已知条件下能否求得周长与面积？如果不能求解是因为什么原因造成的，这时底边为a，能否确定腰长及各个内角呢？首先能否确定三角形是直角三角形呢如果不是直角三角形怎么办？点拨：由于没有相应的图形，所以应先确定图形，若是等腰三角形，应先假设这个三角形是斜三角形，再根据条件先转化为直角三角形，再求相应的量。
设已知△ABC中，AB=AC，BC=a（如图）解：过A点作：AD⊥BC竽D点，设∠BAD=α∵AB=AC∴BD=CD=根据正弦定义，有∴AB+AC+BC=a+由余切定义，有∴AD=∵∴注意：也可设∠BAC=α，则∠BAD=。
[例2]有一块矩形纸片ABCD，若把它对折，B点落在AD上F处，如果DC=6cm，且∠DFC=2θ，∠ECB=θ，求折痕CE长。
探索：根据已知条件图形对折，B点落在F点的含义是什么？它会有怎样的结论？这时又可以形成什么图形关系？另知DC的长能否求折痕呢？又根据条件我们还可以确定什么？这时又可形成怎样的问题？点拨：由于F点的形成是因对折B点而形成的，因此可有△EBC≌△FEC，同时又可有△AEF∽△CDF。
根据已知条件∠DFC=2θ及∠ECB=θ，这时就可以形成与角有关的图形。
进而可求CE的长。
解：根据已知条件，有△EBC≌△FEC∴EB=EF，BC=FC，∠ECB=∠ECF∵∠CFD=2θ，且∠ECB=θ∴∠ECF=θ由余弦定义，有∵∠ADC=90°－2θ∴由余弦定义，有[例3]如图6-5-5，某船向正东方向航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30°，又航行了半小时，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A、D两点间的距离，（结果不取近似值）图6-5-5思路分析：易知ΔACD是等腰直角三角形，要求AD，不能利用ΔACD直接求得，由于图形中再没有其他的直角三角形，必须构造直角三角形，作CE⊥AD于E，只要求出CE，就可能以求出AD，借助两个直角三角形（ΔBCE 和ΔDCE）中，BE、DE与BD的关系以及BE与CE之间的关系就可求CE。
[解]作CE⊥AD，垂足为E，设CE=x海里∵∠CAD=∠CDA=90°-45°=45°，∴CE=AE=DE=x。
在RtΔBCE中，∠CBE=90°-30°=60°，∴由DE-BE=BD得，，解得。
∴。
答：A、D两点间的距离为海里。
第四阶梯[例1]有一段防洪大堤，其横断面为梯形ABCD，AB∥DC，斜坡AD的坡度i1=1:,斜坡BC的坡度i2=1:，大坝顶宽DC为6米，为了增强抗洪能力，现将大堤加高，加高部分的横断面为梯形DCFE，EF∥DC，点E、F分别在AD、BC的延长线上（如图6-5-6），当新大坝顶宽EF为米时，大坝加高了几米？图6-5-6思路分析：本题实质上是梯形CDEF的有关计算问题，注意到大堤加高但坡度不变，即DE、CF的坡度公别为1:,1:,又DC=6米，EF=米,要求大坝加高的高度,分别作FH⊥DC于G,FH⊥DC于H,利用RtΔDEG, RtΔCFH和矩形EFHG可以求出新大坝的高度.[解]作EG⊥DC,FH⊥DC,垂足分别为G,H,则四边形EFHG是矩形,GH=EF=米.设大坝加高x米,则EG=FH=x米。
∵i1=1:, i2=1:,∴∴由DG+GH+CH=6，得 ++=6.解得 x=答：大坝加高了米。
[例2]如图6-5-7，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形式气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。
（1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由。
（2）若会受到台风的影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？图6-5-7思路分析：（1）作AD⊥BC于D，达到或超过四级风力所影响的范围是距台风中心不超过（12-4）×20=160千米的范围内，比较AD与160的大小关系，就可以确定该城市是否受这次台风的影响。
（2）当A点距台风中心不超过160千米时，将受到台风的影响，如图6-5-7，AE=AF=160千米，当台风中心从E处移到F处时，该城市都会受到这次台风的影响，利用勾股定理计算出EF的长度，就可以计算出这次台风影响该城市的持续时间。
（3）显然当台风中心位于D处时，A市所受这次台风的风力最大。
[解]（1）如图6-5-7，由点A作AD⊥BC，垂足为D。
∵AB=220，∠B=30°，∴。
由题意，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响，由于AD=110<160,所以A市会受到这次台风的影响.(2)在BD及BD的延长线上分别取E,F两点,使AE=AF=160千米.由于当A点距台风中心不超过160千米时,将会受到台风的影响.所以当台风中心从E点移到F点时,该城市都会到这次台风的影响.在RtΔADE中,由勾股定理,得∴(千米).∵该台风中心以15千米/时的速度移动,∴这次台风影响该城市的持续时间(小时).(3)当台风中心位于D处时,A市所受这次台风的风力最大,其最大风马牛不相及力为四、【课后练习】A组1．如图：6-5-8，一铁路路基的横断面为等腰梯形，根据图示数据计算路基的下底宽AB=____。
2．如图6-5-9，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 _______米（精确到米）图6-5-8图6-5-93．如图6-5-10，在高离铁塔150米的A 处，用测角仪测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=米，则塔高BE=_______（精确到米）图6-5-10图6-5-114．某防洪堤坝的横断面是梯形，已知背水坡的坡长为60米，坡角为30°，则坝高为_______ 米。
5．升国旗时，某同学站地离旗杆底部24米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若双眼离地面米，则旗杆高度为_______ 米，（用含根号的式子表示）6．在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45°，沿水平方面再向塔底前进a米，又测得塔尖的仰角为60°，那么电视塔高为_______。
7．若太阳光线与地面成37°角，一棵树的影长为10m，则树高h的取值范围是（）A．3<h≤5 B、5<h<10 <h<15 >158．河堤的横断面如图6-5-11所示。
堤高BC是5米，迎水坡AB的长是13米。
那么斜坡AB的坡宽I是（）A．1：3 B、1：2 6 : :29.某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成80°角。
房屋朝南的窗子高AB=,要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内（如图：6-5-12），那么挡光板AC的宽度至少应为（）图6-5-12图6-5-13A．°m 如图6-5-13，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6米，坝高24米，斜坡AB的坡角为45°，斜坡CD的坡度I=1：2，则坝底AD的长为（）A．42米 B、（30+24）米 C、78米 D、（30+8）米11、如图6-5-14，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为a,则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为（）A． B.图6-5-1412.如图6-5-15，直升飞机在跨河大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°,β=45°，求大桥AB的长（精确到1米，供选的数据：≈, ≈）.13.某型号飞机的机翼形状如图6-5-16所示，其中AB∥CD，根据图中的数据计算AC、BD和CD的长度。