角函数应用题练习及答案
人教版初3数学9年级下册 第28章(锐角三角函数)应用题综合训练(含解析)
初中三角函数应用题综合
一．解直角三角形的应用（共10小题）
1．如图，小明同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADM＝30°，在E处测得∠AFM ＝60°，CE＝10米，仪器高度CD＝1.5米，求这棵树AB的高度．（结果精确到0.1，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24）
2．如图，小明家A和地铁口B两地恰好处在东西方向上，且相距3km，学校C在他家A正北方向的4km处，公园D与地铁口B和学校C的距离分别5km和km．
（1）若∠BDA＝10°，求∠ADC的大小；
（2）计算公园D与小明家A的距离．
3．如图，A、B两地间有一座山，汽车原来从A地到B地需要经折线ACB绕山行驶．为加快城乡对
接，建立全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建，在这座山打一条隧道，使汽车可以直接沿AB行驶．已知AC＝80千米，∠A＝30°，∠B＝45°．求：
（1）开通隧道前，汽车从A地到B地需要行驶多少千米；
（2）开通隧道后汽车从A地到B地大约少行驶多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）
4．如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△DEF来测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DE＝1m，EF＝0.6m，测得边DF离地面的高度AC＝0.8m，CD＝6m，求树高AB．
5．如图是小朋友玩的“滚铁环”游戏的示意图，⊙O向前滚动时，铁棒DE保持与OE垂直．⊙O与
地面接触点为A，若⊙O的半径为25cm，∠AOE＝53°．
锐角三角函数应用题专项习题一
锐角三角函数应用题专项习题一
1、数学活动小组来到校园内一盏路灯下测量路灯高度，测角仪AB高度为1.5米，
测得仰角α为30°，点B到电灯杆底端N距离BN为10米，求路灯高度MN是多少米？
（=1.414，=1.732，结果保留两位小数）
2、某中学九年级学生开展测量物体高度活动，他们要测量学校教学楼高
度．如图他们先在点C测得教学楼AB顶点A仰角为30°，然后向教学楼
前进60米到达点D，又测得点A仰角为45度．求出这幢教学楼高度．
3、东方山主峰海拔约为600米，主峰AB上建有一座电信信号发射架BC，现
在山脚P处测得峰顶仰角为α，发射架顶端仰角为β，其中tanα=tanβ=求发射架高
BC．
4、如图，小芸在自家楼房窗户A处，测量楼前一棵树CD的高．现测
得树顶C处俯角为45°，树底D处俯角为60°，楼底到大树距离BD为20米．请计算
树高度（精确到0.1米）．
5、数学活动小组去测量太子灵踪塔高度，小华先在塔前平地上选择一点A，
用测角仪测出看塔顶（M）仰角α=35°，在A点和塔之间选择一点B，测出
看塔顶（M）仰角β=45°，然后用皮尺量出A、B两点距离为18.6m，自身
高度为1.6m．请计算出塔高度？（tan35°≈0.7，结果保留整数）
6、同学们去测量一座古塔CD高度．他们首先从A处安置测倾器，测得塔顶C仰角
∠CFE=21°，然后往塔方向前进50米到达B处，此时测得仰角∠
CGE=37°，已知测倾器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD高度．（参考数
据：sin37°≈ ，tan37°≈ ，sin21°≈ ，tan21°≈ ）
锐角三角函数应用题训练(全)
锐角三角函数应用题训练
1．如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C
的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）。请你根据他们测量数据计算这棵树CD
的高度（结果精确到）。（参考数据：2≈，3≈）
2．如图，一艘核潜艇在海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C点处有黑匣子，继续在同一深度直线航行1464米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°．求海底C点处距离海面DF的深度（结果精确到个位，参考数据：2≈，3≈，
5≈）．
3．如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6米的B处安置高为米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长（结果保留小数点后一位，参考数据：≈≈）．
2 1.41,
3 1.73
4．如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°．
（1）求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；
（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．
。 E A C
D
B
5．钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛 海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A 、B ，B 船在A 船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A 的东北方向，B 的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C ，求此时船C 与船B 的距离是多少．（结果保留根号）
三角函数应用题
29．山顶A到地面BC的高度AC是 米.
【解析】【分析】作DH⊥BC于H．设AE=x．在Rt△ABC中，根据tan∠ABC= ，构建方程即可解决问题即可.
【详解】作DH⊥BC于H，设AE=x，
∵DH：BH=1：3，
在Rt△BDH中，DH2+（3DH）2=6002，
28．如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B．游轮以20 海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
29．如图，一座山的一段斜坡BD的长度为600米，且这段斜坡的坡度i=1：3（沿斜坡从B到D时，其升高的高度与水平前进的距离之比）．已知在地面B处测得山顶A的仰角为33°，在斜坡D处测得山顶A的仰角为45°．求山顶A到地面BC的高度AC是多少米？（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）
26．云梯需要继续上升的高度 约为9米.
【解析】
【分析】
过点 作 于点 ， 于点 ，在 中，求得AD的长；在 中，求得CD的长，根据BC=CD-BD即可求得BC的长.
【详解】
过点 作 于点 ， 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 为矩形.
三角函数练习题(含答案)
三角函数练习题及答案
（一）选择题
1、在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值与余弦值都（ ）
A 、缩小2倍
B 、扩大2倍
C 、不变
D 、不能确定
12、在Rt △ABC 中，∠C=900，BC=4，sinA=45，则AC=（ ） A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 3、若∠A 是锐角，且sinA=13，则（ ）
A 、00<∠A<300
B 、300<∠A<450
C 、450<∠A<600
D 、600<∠A<900
4、若cosA=13
，则A A A
A tan 2sin 4tan sin 3+-=（ ） A 、47
B 、 13
C 、 12
D 、0 5、在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：1：2，则a ：b ：c=（ ）
A 、1：1：2
B 、1：1：√2
C 、1：1：√3
D 、1：1：√2
2
6、在Rt △ABC 中，∠C=900，则下列式子成立的是（ ）
A 、sinA=sin
B B 、sinA=cosB
C 、tanA=tanB
D 、cosA=tanB
7．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（ ）
A ．sinB= 23
B ．cosB= 23
C ．tanB= 23
D ．tanB=32 8．点（-sin60°，cos60°）关于y 轴对称的点的坐标是（ ） A ．（32，12） B ．（-32，12） C ．（-32，-12） D ．（-12，-3
2）
9．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．某同学站在离旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，若这位同学的目高
三角函数应用题练习及问题详解
三角函数的应用题
第一阶梯
[例1]如图，AD ∥BC ，AC ⊥BC ，若
AD=3，DC=5，且∠B=30°，求AB 的长。
解：∵∠DAC=90°由勾股定理，有CD 2
=AD 2
+AC 2
∵AD=3，DC=5 ∴AC=4 ∵∠B=30°∴AB=2AC ∴AB=8
[例2]如图，△ABC 中，∠B=90°，D 是BC 上一点，且
AD=DC ，若tg ∠DAC=41
,
求tg ∠BAD 。
探索：已知tg ∠DAC 是否在直角三角形中？如果不在怎么办？要求∠BAD
的正切值需要满足怎样的条件？
点拨：由于已知中的
tg ∠DAC 不在直角三角形中，所以需要转化到直角三角形中，
即可地D 点作AC 的垂线。
又要求∠BAD 的正切值应已知Rt △BAD 的三边长，或两条直角边
AB 、BD 的长，根据已知可知没有提供边长的条件，所以要充分利用已知中的
tg ∠DAC 的条件。由于
AD=DC ，即∠C=∠DAC ，这时也可
把正切值直接移到
Rt △ABC 中。
解答：过D 点作DE ⊥AC 于E ，
41DAC tg 且
AE
DE DAC
tg 设DE=k ，则AE=4k ∵AD=DC,
∴∠DAC=∠C ，AE=EC ∴AC=8k
∵
4
1BC
AB tgC
设AB=m ，BC=4m 由勾股定理，有AB 2
+BC 2
=AC
2
∴
k
m
17
178k
BC
17
1732由勾股定理，有CD 2
=DE 2
+EC
2
k
CD
17k
BD
17
1715由正切定理，有
.
8
15BAD
tg AB DB BAD tg [例3]如图，四边形
ABCD 中，∠D=90°，AD=3，DC=4，AB=13，BC=12，求sinB 。探索：已知条件提供的图形是什么形？其中∠D=90°，
中考数学专题 初中三角函数应用题10道-含答案
初中三角函数应用题10道(1)求步道AC 的长度（结果保留根号）
；(2)游客中心Q 在点A 的正东方向，步道AC 与步道BQ 交于点P 小明和爸爸分别从B 处和A 处同时出发去游客中心，小明跑步的速度是每分钟请计算说明爸爸的速度要达到每分钟多少米，他俩可同时到达游客中心．0.1）（参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈，6 2.449≈）
2．
（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）下图是儿童游乐场里的一个娱乐项目转飞椅的简图，该设施上面有一个大圆盘（圆盘的半径是 3.5OA =米），圆盘离地面的高度1 6.5OO =米，且1OO ⊥地面l ，圆盘的圆周上等间距固定了一些长度相等的绳子，绳子的另一端系着椅子（将椅子看作一个点，比如图中的点B 和1B ），当旋转飞椅静止时绳子是竖直向下的，如图中的线段AB ，绳长为4.8米固定不变．当旋转飞椅启动时，圆盘开始旋转从而带动绳子和飞椅一起旋转，旋转速度越大，飞椅转得越高，当圆盘旋转速度达到最大时，飞椅也旋转到最高点，此时绳子与竖直方向所成的夹角为57α=︒．（参考数据：sin 570.84︒≈，cos570.55︒≈，tan 57 1.54︒≈）
(1)求飞椅离地面的最大距离（结果保留一位小数）
；(2)根据有关部门要求，
必须在娱乐设施周围安装安全围栏，而且任何时候围栏和飞椅的水平距离必须超过2米．已知该旋转飞椅左侧安装有围栏EF ，且EF l ⊥，19.8O E =米，请问圆盘最大旋转速度的设置是否合规？并说明理由．
3．
（2023春·重庆渝北·九年级校联考阶段练习）如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌AB ，小明在斜坡的坡脚D 处测得宣传牌底部B 的仰角为45︒，沿斜坡DE 向上走到E 处测得宣传牌顶部A 的仰角为31︒，已知斜坡DE 的坡度3:4，10DE =米，22DC =米，求宣传牌AB 的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：sin 310.52︒≈，cos310.86︒≈，tan 310.6)
三角函数应用题(精选)
解直角三角形应用一
1、（2013•衡阳）如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，此时小方正好站在A处，并测得∠CBD=60°，牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度（结果精确到个位）
2、（2013聊城）河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为
3、（德阳市2013年）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为300，看这栋高楼底部C的俯角为600，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为
4、（2013•牡丹江）如图，AC是操场上直立的一个旗杆，从旗杆上的B点到地面C涂着红色的油漆，用测角仪测得地面上的D点到B点的仰角是∠BDC=45°，到A点的仰角是∠ADC=60°（测角仪的高度忽略不计）如果BC=3米，那么旗杆的高度AC= 米．
5、（2013•天津）天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB=112m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（tan36°≈0.73，结果保留整数）．
6、（2013甘肃兰州）如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M仰角为45°；小红眼睛与地面的距离（CD）是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°．两人相距28米且位于旗杆两侧（点B、N、D在同一条直线上）．求出旗杆MN的高度．（参考数据：，，结果保留整数．）
三角函数的应用题练习题(基础)
三角函数的应用题练习题(基础)题目1: 三角函数的高度应用
某个人站在一座高楼的窗户旁，离地面的距离是20米。该人仰望斜顶角度为30度的楼顶，试计算楼顶的高度是多少米？
答案：
首先，我们可以利用正弦函数来解决这个问题。正弦函数定义为：sin(θ) = 对边/斜边。
按照这个定义，我们可以得到以下方程：
sin(30度) = 对边/20米
对方程进行求解，我们可以得到：
对边 = 20米 * sin(30度)
利用计算器，我们可以得到：
对边 = 10米
因此，楼顶的高度是10米。
题目2: 三角函数的距离应用
一辆汽车正在沿着直路行驶。从汽车起点到终点的直线距离为1000米。汽车行驶的角度与直线路线的夹角为45度。试计算汽车实际行驶的距离是多少米？
答案：
对于这个问题，我们可以使用余弦函数来求解。余弦函数定义为：cos(θ) = 临边/斜边。
应用于这个问题，我们可以得到以下方程：
cos(45度) = 临边/1000米
对方程进行求解，我们可以得到：
临边 = 1000米 * cos(45度)
利用计算器，我们可以得到：
临边 = 707.106米
因此，汽车实际行驶的距离是707.106米。
题目3: 三角函数的速度应用
一艘船以20米/秒的速度顺水行驶。河流的流速为10米/秒，且方向与船垂直。试计算船在水中实际的速度是多少米/秒？
答案：
对于这个问题，我们可以使用正切函数来求解。正切函数定义为：tan(θ) = 对边/临边。
应用于这个问题，我们可以得到以下方程：
tan(θ) = 10米/秒 / 20米/秒
对方程进行求解，我们可以得到：
三角函数应用题练习及答案(同名10110)
三角函数的应用题
考点一: 锐角三角函数的定义及性质
例1．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE ＝α，且cos α＝5
3
，AB ＝4，则AD 的长为( ) A ．3 B ．
316 C ．320 D ．5
16
例2．直线y=kx-4与y 轴相交所成的锐角的正切值为1
2，则k 的值为 .
1.在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=4,AC=3,则cosA 的值为
2.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=50°，AB=10，则BC 的长为（ ） A.10tan50° B.10cos50° C.10sin50° D.10
cos50°
考点二: 特殊角的三角函数值
例3．计算：2102452(3.14)π---+-o
例4．化简2)130(tan -ο＝（ ）A 、331- B 、13- C 、13
3- D
、13-
1.计算：
2.计算οο
ο
45tan 30
cos 60sin -的值是 。
3．已知在△ABC 中，若2
sin 1cos 0A B ⎫
-+-=⎪⎪⎝⎭
，求∠C 的度数。
考点三: 锐角三角函数的关系
例6．在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝3
5
，则tanA ·cosA 的值是（ ）
A 、3
5 B 、45 C 、925 D 、1625
1．如果α是锐角，且2
2
sin sin 541α+︒=，那么α的度数是（ ）
A ．54°
B ．46°
C ．36°
D ．26°
2．已知∠A ＋∠B ＝90°，则下列各式中正确的是（ ）
A.sinA ＝sinB
B.cosA ＝cosB
C.sinA ＝cosB
锐角三角函数应用题练习
应用题练习
1．在高出地平面50米的小山上有一塔AB ，在地面D 测得塔顶A 和塔基B 的仰角分别为60°和45°，
求塔高．
2．在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45°，从西楼顶望东楼顶，
俯角为30°，求西楼高(精确到0.1米)．
3．在溆浦县街道拓宽工程中，要伐掉一棵树AB ，在地面上事先划定以B 为圆心，半径与AB 等长的
圆形危险区，现在某工人站在离B 点6米远的D 处，从C 点测得树的顶端A 点的仰角为60°，树的
底部B 点的俯角为30°. 问：距离B 点16米远的保护物是否在危险区内？
4．为缓解“停车难”的问题，县国土局拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设
计示意图，按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，
为标明限高，请你根据该图计算CE ．（精确到0.1m ） ︒60︒30B D C A
A B
A B E D C F 光线
（下列数据提供参考：sin 20°＝0.3420，cos 20°＝0.9397，tan 20°＝0.3640）
5．学校教学楼ED （高为13.8米）前有一棵大树AB （如图1）．
（1）某一时刻测得大树AB 、教学楼ED 在阳光下的投影长分别是BC ＝2.1米，DF ＝6.3米，求大树
AB 的高度．
（2）用皮尺、高为h 米的测角仪，请你设计另．一种．．
测量大树AB 高度的方案，要求： ①在图2上，画出你设计的测量方案示意图，并将应测数据标记在图上（长度用字母m 、n …表示，
角度用希腊字母α、β …表示）；
三角函数应用题练习及答案
三角函数的应用题
考点一: 锐角三角函数的定义及性质
例1．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE ＝α，且cos α＝5
3，AB ＝4，则AD 的长为( ) A ．3 B ．
316 C ．320 D ．5
16
例2．直线y=kx-4与y 轴相交所成的锐角的正切值为1
2，则k 的值为 .
1.在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=4,AC=3,则cosA 的值为
2.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=50°，AB=10，则BC 的长为（ ） A.10tan50° B.10cos50° C.10sin50° D.10
cos50°
考点二: 特殊角的三角函数值
例3．计算：2102452(3.14)π---+
-o
例4．化简2)130(tan -ο＝（ ）A 、331- B 、13- C 、133- D 、13-
1.计算：
2.计算ο
ο
ο45tan 30cos 60sin -的值是 。
3．已知在△ABC 中，若2
sin 1cos 0A B ⎫
-+-=⎪⎪⎝⎭
，求∠C 的度数。
考点三: 锐角三角函数的关系
例6．在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝3
5
，则
tanA ·cosA 的值是（ ）
A 、35
B 、45
C 、925
D 、1625
1．如果α是锐角，且2
2
sin sin 541α+︒=，那么α的度数是（ ）
A ．54°
B ．46°
C ．36°
D ．26°
2．已知∠A ＋∠B ＝90°，则下列各式中正确的是（ ）
A.sinA ＝sinB
B.cosA ＝cosB
C.sinA ＝cosB
三角函数的应用题及解答
三角函数的应用题及解答
三角函数是数学中一个非常重要的分支，其应用广泛且深入。本文将列举几个三角函数的应用题，并给出详细的解答过程。
1. 问题描述：某建筑物高度为100米，离该建筑物水平面的观察角为30°，求观察点到建筑物底部的距离。
解答过程：根据三角函数的定义，正切函数可以表示观察点到建筑物底部的距离与建筑物高度之间的关系。设观察点到建筑物底部的距离为x，则有tan(30°) = 100/x。解以上方程，可得观察点到建筑物底部的距离x = 100/tan(30°) = 100/√3。
因此，观察点到建筑物底部的距离约为57.74米。
2. 问题描述：一辆汽车以40km/h的速度直线行驶，车头的倾斜角度为15°，求车头离直线道路的垂直距离。
解答过程：根据三角函数的定义，正切函数可以表示车头离直线道路的垂直距离与车速和倾斜角度之间的关系。设车头离直线道路的垂直距离为y，则有tan(15°) = y/40。解以上方程，可得车头离直线道路的垂直距离y = 40*tan(15°)。
因此，车头离直线道路的垂直距离约为10.93米。
3. 问题描述：一个航天器发射到外太空，离地球表面的垂直高度为500公里，航天器的视线与地球表面的夹角为60°，求航天器的真实高度。
解答过程：根据三角函数的定义，正弦函数可以表示真实高度与垂直高度之间的关系。设航天器的真实高度为h，则有sin(60°) = h/500。解以上方程，可得航天器的真实高度h = 500*sin(60°)。
因此，航天器的真实高度约为433.01公里。
锐角三角函数仰角俯角应用题
1. (2008 安徽省芜湖市) 在我市迎接奥运圣火的活动中,某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC ,
小丽同学在点A 处,测得条幅顶端D 的仰角为30°,再向条幅方向前进10米后, 又在点B 处测得条幅顶端D 的仰角为45°,已知测点A 、B 和C 离地面高度都为1.44米,求条幅顶端D 点距离地面的高度.(计算结果精确到0.1米, 参考数据
1.732≈≈.)
2. (2008 湖北省荆门市) 如图，山脚下有一棵树AB ，小华从点B 沿山坡向上走50米到达点
D ，用 高为1.5米的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB 的高．（精确到0.1米） （已知sin10°≈0.17， cos10°≈0.98， tan10°≈0.18， sin15°≈0.26， cos15°≈0.97， tan15°≈0.27．）
3. (2008 四川省成都市) 如图，某中学九年级一班数学课外活动小组利用周末开展课外实践
活动，他们要在某公园人工湖旁的小山AB 上，测量湖中两个小岛C D ，间的距离．从山顶
A 处测得湖中小岛C 的俯角为60，测得湖中小岛D 的俯角为45．已知小山A
B 的高为
180米，求小岛C D ，间的距离．（计算过程和结果均不取近似值）
A
B
C
D
4. (2008 浙江省) 如图，小明用一块有一个锐角为30的直角三角板测量树高，已知小明离
树的距离为4米，DE 为1.68米，那么这棵树大约有多高？（精确到0.1米）
5. (2009 四川省广安市) 在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园
三角函数及其应用练习题
三角函数及其应用
一、计算
1、sin 2600+cos 2600
2、sin600－2sin300cos300
3. sin300－cos 2450
4. 2cos450+|32-|
5. 0
045cos 360sin 2+ 6. 1
30sin 560cos 30
0-
7. 2sin 2300·tan300+cos600·cot300 8. sin 2450-tan 2300
二、解答下列各题
1、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，，AB ＝13，BC ＝5， 求sinA, cosA, tanA, cotA
2. 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若13
12
sin =A 求cosA, sinB, cosB
3. 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，b=17, ∠B=450,求a, c 与∠A
三、根据下列条件解直角三角形。在Rt △ABC 中。 1、c=20 ∠A=450 2. a=36 ∠B=300
3.a=19 c=219
4. a=66,26 b
四、等腰梯形的一个底角的余弦值是23
2
，腰长是6，上底是22。求下底及面积。
1.某市在举行“5.12汶川大地震”周年纪念活动时，根据地形搭建了一个台面为梯形(如图6所示)的舞台，且台面铺设每平方米售价为a 元的木板．已知AB =12米，AD =16米，∠B =60°，∠C =45°，计算购买铺设台面的木板所用资金是多少元．(不计铺设损耗，结果不取近似值)
2．海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A 处看见灯塔B 在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C 处，发现此时灯塔B 在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B 到C 处的距离。
三角函数的应用题试题汇编
2016年12月20日三角函数应用题
一．解答题（共30小题）
1．甲楼楼高50米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°，此时，求：
（1）如果两楼相距50米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？
（2）小明住在乙楼16m高（地板距地面的距离）的五层楼上，要是冬至中午12时阳光不被挡住，两楼至少距离多少米（结果精确到1m，参考数据：≈1.732）？
2．小明想利用所学知识测量一公园门前热气球直径的大小，如图，当热气球升到某一位置时，小明在点A处测得热气球底部点C、中部点D的仰角分别为50°和60°，已知点O为热气球中心，EA⊥AB，OB⊥AB，OB⊥OD，点C在OB上，AB=30m，且点E、A、B、O、D在同一平面内，根据以上提供的信息，求热气球的直径约为多少米？（精确到0.1m）（参考数据：sin50°≈0.7660，cos50°≈0.6428，tan50°=1.192）
3．如图，现有一张宽为12cm练习纸，相邻两条格线间的距离均为0.6cm．调皮的小聪在纸的左上角用印章印出一个矩形卡通图案，图案的顶点恰好在四条格线上，已知sinα=．
（1）求一个矩形卡通图案的面积；
（2）若小聪在第一个图案的右边以同样的方式继续盖印，最多能印几个完整的图案？
4．某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距6米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
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三角函数的应用题
第一阶梯
[例1]如图，AD∥BC，AC⊥BC，若AD=3，DC=5，且∠B=30°，求AB的长。
解：∵∠DAC=90°
由勾股定理，有
CD2=AD2+AC2
∵AD=3，DC=5
∴AC=4
∵∠B=30°
∴AB=2AC
∴AB=8
[例2]如图，△ABC中，∠B=90°，D是BC上一点，且
AD=DC，若tg∠DAC=,求tg∠BAD。
探索：已知tg∠DAC是否在直角三角形中？如果不在怎么办？要求∠BAD的正切值需要满足怎样的条件？
点拨：由于已知中的tg∠DA C不在直角三角形中，所以需要转化到直角三角形中，即可地D点作AC的垂线。
又要求∠BAD的正切值应已知Rt△BAD的三边长，或两条直角边AB、BD的长，根据已知可知没有提
供边长的条件，所以要充分利用已知中的tg∠DAC的条件。由于AD=DC，即∠C=∠DAC，这时也可
把正切值直接移到Rt△ABC中。
解答：过D点作DE⊥AC于E，
且
设DE=k，则AE=4k
∵AD=DC,
∴∠DAC=∠C，AE=EC
∴AC=8k
∵
设AB=m，BC=4m
由勾股定理，有
AB2+BC2=AC2
∴
由勾股定理，有
CD2=DE2+EC2
由正切定理，有
[例3]如图，四边形ABCD中，∠D=90°，AD=3，DC=4，AB=13，BC=12，求sinB。
探索：已知条件提供的图形是什么形？其中∠D=90°，AD=3，DC=4，可提供什么知识？求sinB应放在什么图形中。
点拨：因已知是四边形所以不能求解，由于有∠D=90°，AD=3，DC=4，这样可求AC=5，又因有AB=13，BC=12，所以可证△ABC是Rt△，因此可求sinB。
解：连结AC
∵∠D=90°
由勾股定理，有
AC2=CD2+CD2
∵AD=3，CD=4，
∴AC=5
∵AB=13，BC=12
∴132=122+52
∴∠ACB=90°
由正弦定义，有
第二阶梯
[例1]如图，在河的对岸有水塔AB，今在C处测得塔顶A的仰角为30°，前进20米后到D处，又测得A的仰角为45°，求塔高AB。
探索：在河对岸的塔能否直接测得它的高度？为什么在C、D两处测得仰角的含义是什么？怎样用CD的长？
点拨：要直接隔岸测得塔高是不可能的，也不可能直接过河去测量，这时只能考虑如何利用两个仰角及CD 长，由于塔身与地面垂直，且C、D、B三点共线这时可以构成一个直角三角形，且有∠ACB=30°，∠ADB=45°，这时就可以借助解直角三角形的知识求解了。
解：根据仰角的定义，有
∠ACB=30°，∠ADB=45°
又AB⊥CB于B。
∴∠DAB=45°
∴DB=AB
设AB=x
由正切定义，有
解得
即塔高
答：塔高AB为米。
第三阶梯
[例1]已知等腰三角形的顶点为A，底边为a，求它的周长及面积。
探索：在现在的已知条件下能否求得周长与面积？如果不能求解是因为什么原因造成的，这时底边为a，能否确定腰长及各个内角呢？首先能否确定三角形是直角三角形呢如果不是直角三角形怎么办？
点拨：由于没有相应的图形，所以应先确定图形，若是等腰三角形，应先假设这个三角形是斜三角形，再根据条件先转化为直角三角形，再求相应的量。
设已知△ABC中，AB=AC，BC=a（如图）
解：过A点作：AD⊥BC竽D点，设∠BAD=α
∵AB=AC
∴BD=CD=
根据正弦定义，有
∴AB+AC+BC=a+
由余切定义，有
∴AD=
∵
∴
注意：也可设∠BAC=α，则∠BAD=。
[例2]有一块矩形纸片ABCD，若把它对折，B点落在AD上F处，如果DC=6cm，且∠DFC=2θ，∠ECB=θ，求折痕CE长。
探索：根据已知条件图形对折，B点落在F点的含义是什么？它会有怎样的结论？这时又可以形成什么图形关系？另知DC的长能否求折痕呢？又根据条件我们还可以确定什么？这时又可形成怎样的问题？
点拨：由于F点的形成是因对折B点而形成的，因此可有△EBC≌△FEC，同时又可有△AEF∽△CDF。
根据已知条件∠DFC=2θ及∠ECB=θ，这时就可以形成与角有关的图形。进而可求CE的长。
解：根据已知条件，有
△EBC≌△FEC
∴EB=EF，BC=FC，∠ECB=∠ECF
∵∠CFD=2θ，且∠ECB=θ
∴∠ECF=θ
由余弦定义，有
∵∠ADC=90°－2θ
∴
由余弦定义，有
[例3]如图6-5-5，某船向正东方向航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30°，又航行了半小时，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A、D两点间的距离，（结果不取近似值）
图6-5-5
思路分析：
易知ΔACD是等腰直角三角形，要求AD，不能利用ΔACD直接求得，由于图形中再没有其他的直角
三角形，必须构造直角三角形，作CE⊥AD于E，只要求出CE，就可能以求出AD，借助两个直角三角形（ΔBCE 和
ΔDCE）中，BE、DE与BD的关系以及BE与CE之间的关系就可求CE。
[解]
作CE⊥AD，垂足为E，设CE=x海里
∵∠CAD=∠CDA=90°-45°=45°，
∴CE=AE=DE=x。
在RtΔBCE中，∠CBE=90°-30°=60°，
∴
由DE-BE=BD得，
，
解得。
∴。
答：A、D两点间的距离为海里。
第四阶梯
[例1]有一段防洪大堤，其横断面为梯形ABCD，AB∥DC，斜坡AD的坡度i1=1:,斜坡BC的坡度i2=1:，大坝顶宽DC为6米，为了增强抗洪能力，现将大堤加高，加高部分的横断面为梯形DCFE，EF∥DC，点E、F分别在AD、BC的延长线上（如图6-5-6），当新大坝顶宽EF为米时，大坝加高了几米？
图6-5-6
思路分析：
本题实质上是梯形CDEF的有关计算问题，注意到大堤加高但坡度不变，即DE、CF的坡度公别为1:,1:,又DC=6
米，EF=米,要求大坝加高的高度,分别作FH⊥DC于G,FH⊥DC于H,利用RtΔDEG, RtΔCFH和矩形EFHG可以