河南省顶尖名校联盟2020-2021学年高二12月联考数学(理科)试题PDF版含答案

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河南圣尖名校联盟2020_2021学年高二数学12月联考试题理

河南省顶尖名校联盟2020-2021学年高二数学12月联考试题理一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“3x ∀>，ln 1x >"的否定是（）． A ．3x ∀>，ln 1x ≤ B ．03x ∃≤，0ln 1x≤ C ．3x ∀≤，ln 1x > D ．03x∃>，0ln 1x≤2．若抛物线28y x=上一点Р到焦点的距离为8，则Р的横坐标为（）．A ．5B ．6C ．7D ．83．“1a =”是“直线10ax y +-=与直线0x ay a ++=互相平行"的（）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．已知数列{}na 是正项等比数列，若291664a a a=，则2122217loglog log a a a +++等于( ）．A ．34B ．32C ．30D ．285．若x ，y 满足不等式组121y xy x x y ≤⎧⎪⎪≥⎨⎪+≤⎪⎩，则目标函数12z x y =+的最大值为（）．A ．14B ．56C ．34D ．536．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ,c ，若ABC △的面积等于)22212ab c +-，且1c =，则sin sin a bA B+=+( ）．A ．13B ．12C ．1D ．27．已知正四面体ABCD 的棱长为2，则AB CD ⋅=（）．A ．2-B ．0C ．2D ．48．双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的焦点到其渐近线的距离为2，且C 的焦距与椭圆2212520y x +=的焦距相等,则双曲线C 的渐近线方程是（ )．A ．2y x =±B ．12y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±9．已知函数()()633,7,7x a x x f x ax -⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，令()()naf n n *=∈N 得数列{}n a ，若数列{}n a 为递增数列，则实数a 的取值范围为（ )．A ．()1,3 D ．()2,3 C ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．92,4⎛⎫⎪⎝⎭10．关于x 的不等式93270xx a -+≥对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值是（）．A ．B ．C ．D ．11．在锐角ABC △中，角A ,B ，C 的对边分别为a ,b ，c ，若()sin 2cos C c B =-,则2ac 的取值范围是（）． A ．()1,3 B ．()2,3 C ．()1,4 D ．()2,412．设1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线54ax =上一点,若2130F PF ∠=︒,则椭圆C 的离心率的取值范围为（）．A ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．5,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,18⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：13．函数()xe f x x=的图象在点()()1,1f 处切线的方程为______．14．已知数列{}na 中,11a=，22a=,对任意正整数n ,22cos πn n aa n +-=+,nS 为{}n a 的前n 项和，则100S =______．15．在平面直角坐标系xOy 中，已知()0,2A ，()0,2B -，P 为函数21y x =+图象上一点，若2PB PA =,则cos APB ∠=______．16．已知函数()()ln xe f x k x x x=+-在1x =处取得极值，则实数k 的最大值是______．三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2020-2021学年河南省名校联盟高二上学期12月阶段性测试(四)数学(理)试题 PDF版

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2020-2021学年河南省天一大联考高二上学期期末考试数学(理)含答案

绝密食启用前考生注意：juf南省天一大联考2020-2021学年（上）高二年级期末考试理科数学l答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2回答选得题时，逃出每小题答案后，用铅笔把答题卡对JSill里目的答案标号涂擦。

如需改动，用t章、皮擦干净后，再选涂其他答案；标号＠回答非选梅N2时，〉｜每答案写在答题卡上＠写在本试卷上无究生。

3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交囚。

一、远择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个j在项中，只有一项是符合题目要求的＠l不制之二！＿＜－！的解灿x －÷LA.(-3, 2)B.(-3, -2)C.(-3, 4)2下苦IJ命题为真命题的是D.(-2, 4)A.3xoεR, xo 2+4xo+6运。

B.正切函数y=tanx a（］定义域为R C函数y＝土的单调递减区间为（－＝，O)U叨，＋∞）D矩形的对角线相等且互相平分3己知直线x+2y=4过双由线C:兰兰＝I α＞ 0 b > 0) i'.J<J 一个焦点及酬的一个揣点，贝。

此双曲线的标准方程是22A 主二－二一＝l 16 122 2 Bι二－二－＝l164α。

C.x2L-1124D. x 2L-12584已知｛an};;i-J 等差数列，公室主d =2,a2+a.+a6= 18，则as+ai =A.8B.12C.16D.205已知直线l平日两个不同的平而α，p ，着αJ_j3，则“／／／，α”是“／J_j3＇’的A充分不必要条件B必要不充分条伶c.充要条件D.既不充分也不必要条伶6在.6.ABC中，角A,B, C所对的边分别为a,b, c, A=60。

，c=4,a=2.J宁，Sill A则一＝..：.＝sinB2－3A －J－3C.扫D.37在四楼锥P -ABCD 中，PD .l 平而ABCD .,AB//DC, CADC =90。

2020-2021学年河南省名校联盟高二上学期12月联合考试数学(文)试题(解析版)

2020-2021学年河南省名校联盟高二上学期12月联合考试数学（文）试题一、单选题1．已知:[1,3]q x ∃∈，2231x x -<，则q ⌝为（） A ．[1,3]x ∀∉，2231x x -≥ B ．[1,3]x ∃∉，2231x x -≥ C ．[1,3]x ∀∈，2231x x -≥ D ．[1,3]x ∃∈，2231x x -≥【答案】C【分析】根据特称命题的否定是全称命题，即可求解. 【详解】解：:[1,3]q x ∃∈，2231x x -<，q ∴⌝为：[1,3]x ∀∈，2231x x -≥.故选：C.2．已知,a b c >>则（） A ．ab ac > B ．22a b > C ．a b a c +>+ D ．a b b c ->-【答案】C【分析】利用不等式的基本性质，可判定A 、B 不正确，C 正确，利用特值法，可得判定D 不正确.【详解】由()ab ac a b c -=-，因为b c >，可得0b c ->，但a 的符号不确定，所以A 不正确；由22()()a b a b a b -=+-，因为a b >，可得0a b ->，但+a b 的符号不确定，所以A 不正确；由b c >，根据不等式的性质，可得a b a c +>+，所以C 正确；例如：3,2,1a b c ===，可得1,1a b b c -=-=，此时a b b c -=-，所以D 不正确. 故选：C.3．“25x <<”是“34x <<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断即可.【详解】若34x <<，则25x <<成立，即必要性成立，反之若25x <<，则34x <<不成立，所以“25x <<”是“34x <<”的必要不充分条件. 故选：B.4．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a =，1sin 3A =，则sin B =（）A ．B C D 【答案】C【分析】由正弦定理即可求出.【详解】因为,a =所以2b a =. 由正弦定理可得sin sin a b A B=，则sin 1sin 236b A B a ===. 故选：C.5．在等差数列{}n a 中，2510a a +=，3614a a +=，则58a a +=（） A ．12 B ．22C ．24D ．34【答案】B【分析】利用等差数列的性质即可求解. 【详解】设数列{}n a 的公差为,d 则()362514102,22a a a a d =+-+-==故58526106222a a a a d +=++=+⨯=. 故选：B6．已知方程22135x y m m +=+-表示双曲线，则m 的取值范围是（）A ．(3,)-+∞B ．(5,)+∞C ．()3,5-D ．()(),35,-∞-+∞【答案】C【详解】由()5,()30m m +-< 解得35,m -<<则实数m 的取值范围是(3,5)-.7．与椭圆221106x y +=有相同焦点的曲线方程是（）A ．221610x y +=B ．2212014x y +=C ．2211410x y -=D ．2233x y -=【答案】D【分析】由椭圆方程可确定焦点坐标，依次确认四个选项中的焦点坐标即可. 【详解】椭圆221106x y +=的焦点为()2,0±；对于A ，椭圆的焦点坐标为()0,2±，A 错误；对于B，椭圆的焦点坐标为()，B 错误；对于C，双曲线的焦点坐标为()±，C 错误；对于D ，双曲线方程可化为2213x y -=，则其焦点坐标为()2,0±，D 正确.故选：D.8．关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为(-3，1)，则关于x 的不等式cx 2+bx +a ＞0的解集为（） A ．1(,1)3-B ．1(1,)3- C ．()1,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．1(,1)(,)3-∞-+∞ 【答案】C【分析】由题意，0a <且3,1-是ax 2+bx +c =0的两根，进一步找到,,a b c 的关系，带入原不等式化简解不等式即可.【详解】因为不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为(-3，1)，所以0,930,0,a a b c a b c <⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩即0,2,3.a b a c a <⎧⎪=⎨⎪=-⎩不等式cx 2+bx +a ＞0等价于3x 2-2x -1＞0，解得13x <-或x ＞1.故选：C9．已知A 地与C 地的距离是4千米，B 地与C 地的距离是3千米，A 地在C 地的西北方向，B 地在C 地的西偏南15︒方向上，则A ，B 两地之间的距离是（） A ．13千米 B ．13千米C ．37千米D ．37千米【答案】A【分析】利用余弦定理即可求解.【详解】如图，由题意可得4AC =千米，3BC =千米，451560ACB ∠=︒+︒=，则22212cos 169243132AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，故13AB =. 故选：A10．下列结论正确的是（）A ．在ABC 中，“A 是钝角”是“ABC 是钝角三角形”的必要不充分条件B ．“0a ∃>,关于x 的方程20x x a ++=有两个不相等的实数根”是真命题C ．“菱形的对角线相等且互相垂直”是真命题D ．若p 是真命题，则q ⌝可能是真命题【答案】B【分析】由充分条件、便要条件的判定方法，可判定A 错误；根据一元二次方程的性质，可判定B 正确；由菱形的性质，可判定C 错误；根据命题与命题的否定一定是一真一假，可判定D 错误.【详解】由“A 是钝角”可以得到“ABC ∆是钝角三角形”，反之“ABC 是钝角三角形”不一定得到“A 是钝角”， “A 是钝角”是“ABC 是钝角三角形”的充分不必要条件，所以A 错误；若关于x 的方程20x x a ++=有两个不相等的实数根，则满足140a ∆=->，解得14a <，即14a <时，关于x 的方程20x x a ++=有两个不相等的实数根，所以B 正确；由菱形的性质可得菱形的对角线不一定相等，所以C 错误；根据命题与命题的否定一定是一真一假，若p 是真命题，则q ⌝一定为假命题，所以D 错误. 故选：B.11．已知等比数列{}n a 共有32项，其公比3q =，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列{}n a 的所有项之和是（） A ．30 B ．60C ．90D ．120【答案】D【分析】设等比数列{}n a 的奇数项之和为1S ，偶数项之和为2,S 则213S S =，1260S S +=，则可求出1S ,2,S 值，从而得出答案.【详解】设等比数列{}n a 的奇数项之和为1S ，偶数项之和为2,S 则311531a a S a a =++++，()2463213531123a a a a q a a a a S S ++++=++++==又1260S S +=，则11603S S +=，解得1230,90S S ==，故数列{}n a 的所有项之和是3090120+=. 故选：D12．已知12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，12PF F ∆内切圆的圆心为I ，现有下列结论: ①12PF F ∆内切圆的圆心必在直线x a =上； ② 12PF F ∆内切圆的圆心必在直线x b =上； ③双曲线C 的离心率等于1212IF F PIF PIF S S S ∆∆∆-④双曲线C 的离心率等于1212IF F PIF PIF S S S ∆∆∆+其中所有正确结论的序号为（）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】A【分析】设12PF F △的内切圆分别与12,PF PF 切于点,A B ，与12F F 切于点N ，根据切线长定理以及双曲线定义即可得到122FN F N a -=，由此可解得(),0N a ，所以12PF F ∆的内切圆必经过点(),0a ，即可判断①正确，②错误；根据三角形面积公式以及双曲线定义即可求出双曲线C 的离心率等于1212IF F PIF PIF S S S ∆∆∆-，所以③正确，④错误．【详解】设12PF F △的内切圆分别与12,PF PF 切于点,A B ，与12F F 切于点N ，如图所示：则1122,,PA PB F A F N F B F N ===. 又点Р在双曲线的右支上，所以122,PF PF a -= 又1122,PF PA AF PF PB BF =++=，所以()()1212122||PF PF PA AF PB BF AF BF a =++-==--，故122.FN F N a -=设点N 的坐标为(),0x ，可得()()2,x c c x a +--=解得x a =，所以12PF F ∆的内切圆必经过点(),0a ，显然内切圆的圆心与点M 的连线垂直于x 轴，所以12PF F ∆内切圆的圆心必在直线x a =上，故①正确，②错误. 又设12PF F ∆内切圆的半径为r ，所以()1212121222122IF F PIF PIF c r S ce S S ar PF PF ∆∆∆⨯⨯====-⨯-⨯，所以③正确，④错误. 因此所有正确结论的序号为①③．故选：A.二、填空题13．椭圆221 116xy+=上任意一点到两焦点的距离之和为__________．【答案】211【分析】根据椭圆定义即可求解．【详解】因为211,a=所以椭圆221116x y+=上任意一点到两焦点的距离之和为2211a=．故答案为：211．14．已知x，y满足约束条件5220x yx yy+≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则23z x y=+的最大值是________.【答案】14【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求出z的最大值.【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，将23z x y=+化为233zy x=-+，观察图形可知，当直线233zy x=-+经过点A时，z取得最大值，联立直线5220x yx y+=⎧⎨-+=⎩，解得14xy=⎧⎨=⎩，即()1,4A，max213414z∴=⨯+⨯=.故答案为：14.15．已知p：13x，q：25m x m-<<+，若p⌝是q⌝的必要不充分条件，则m 的取值范围是______.【答案】{}21m m -≤≤【分析】由命题的否定及必要不充分条件的性质可转换条件为{2x x m ≤-或}5x m ≥+{1x x ≤-或}3x ≥，即可得解.【详解】由题意，p ⌝：1x ≤-或3x ≥，q ⌝：2x m ≤-或5x m ≥+，因为p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，所以{2x x m ≤-或}5x m ≥+{1x x ≤-或}3x ≥，所以2153m m -≤-⎧⎨+≥⎩且等号不同时成立，解得21m -≤≤.故答案为：{}21m m -≤≤.16．已知0m >，0n >，且m n t +=（t 为常数）.若3311m n +++的最小值为2，则t =________.【答案】4【分析】计算得出112m n t +++=+，可得()()1112m n t +++=+，将代数式()()112m n t ++++与3311m n +++相乘，展开后利用基本不等式可求得3311m n +++的最小值，结合已知条件可得出关于实数t 的等式，进而可求得实数t 的值. 【详解】因为0m >，0n >，则0m n t +=>，所以112m n t +++=+，所以()()1112m n t +++=+，则()()()()313133133111611211211m n m n m n t m n t n m ++⎡⎤⎛⎡⎫+=++++=++⎢⎥ ⎪++++++++⎝⎭⎣⎤⎣⎦⎦，因为()()()()3131313122361111m n m n n m n m +++++≥⋅=⨯=++++，当且仅当m n =时，等号成立，所以11331222t m n +≥++=+，解得4t =. 故答案为：4.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.三、解答题17．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，57a =-，555S =-. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值及对应的n 值.【答案】（1）217n a n =-；（2）当8n =时，n S 的值最小，且864.S =- 【分析】（1）利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式即可求解. （2）利用等差数列的前n 项和公式配方即可求最值. 【详解】解:（1）设等差数列{}n a 的公差为d .由题意可得515147,54555,2a a d S a d =+=-⎧⎪⎨⨯=+=-⎪⎩解得115,2a d =-=.故11()217n a a n d n =+-=-. （2）由（1）可得()2116.2n n n n S na d n n -=+=- 因为28()64,n S n =--所以当8n =时，n S 取得最小值，最小值为864.S =-18．（1）求经过点(),2,12P Q ⎛ ⎝⎭且焦点在坐标轴上的椭圆的标准方程﹔（2）求与双曲线2212x y -=有公共的渐近线，且过点的双曲线的标准方程.【答案】（1）22182x y +=；（2）2212x y -=.【分析】（1）设椭圆方程为(221,0,Ax By A B +=>且)A B ≠，将P ，Q 的坐标代入，解方程可得A ，B ，即可得到所求椭圆的方程；（2）设所求双曲线方程为()2202x y t t -=≠，再将点代入所求双曲线方程，可得t ，即可得到所求双曲线方程．【详解】解:（1）依题意，设椭圆的方程为22(10,0,Ax By A B +=>>且A B ≠)，因为椭圆过,)2(2,1P Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭两点，所以161241A B A B ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 解得1812A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因此，该椭圆的标准方程为22182x y +=.()2设所求双曲线的方程为()2202x y t t -=≠，将点代入双曲线方程得222t -=，解得1t =-，因此，所求双曲线的标准方程为2212x y -=.19．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin (cos 1)a B b A =+. （1）证明：ABC 是直角三角形.（2）若D 为BC 的中点，且6AD =，求ABC 面积的最大值. 【答案】（1）证明见解析；（2）36.【分析】（1）先利用正弦定理得出sin cos 1A A =+，再利用辅助角公式得到14A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求出2A π=，即可得出答案；（2）先求出a 的值，再利用基本不等式得到72bc ≤，即可求解.【详解】（1）证明：因为sin (cos 1)a B b A =+所以sin sin sin (cos 1)A B B A =+.因为0B π<<，所以sin 0B ≠，所以sin cos 1A A =+，所以sin cos 1A A -=，14A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin 42A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0A π<<，所以3444A πππ-<-<，所以44A ππ-=，故2A π=，即ABC 是直角三角形；（2）因为2A π=，且6AD =，所以12a =，所以222144b c a +==.因为222b c bc +≥（当且仅当b c =时等号成立），所以2144bc ≤，即72bc ≤.故ABC 的面积1362S bc =≤，即ABC 面积的最大值为36.20．某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x 百台这种仪器，需另投入成本f (x )万元，()f x =2550500,040,100,25003013000,40,100.x x x x N x x x N x ⎧++<<∈⎪⎨+-≥∈⎪⎩假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元.（1）求利润g (x )（万元）关于产量x （百台）的函数关系式；（2）当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）252501500,040,100,()25002000(),40,100.x x x x N g x x x x N x ⎧-+-<<∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩；（2）产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元.【分析】（1）依题意求出各段的函数解析式，再写成分段函数即可；（2）根据解析式求出各段函数的最大值，再取最大的即可；【详解】解：（1）由题意可知，当0＜x ＜40，100x ∈N 时，g (x )＝300x -5x 2-50x -500-1000＝-5x 2+250x -1500；当x ≥40，100x ∈N 时，25002500()300301300010002000g x x x x x x ⎛⎫=--+-=-+ ⎪⎝⎭ 综上，252501500,040,100,()25002000(),40,100.x x x x N g x x x x N x ⎧-+-<<∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩（2）当0＜x ＜40，100x ∈N 时，g (x )＝-5x 2+250x -1500＝-5(x -25)2+1625，且当x ＝25时，g (x )取得最大值1625；当x ≥40，100x ∈N 时，2500()2000()1900g x x x=-+≤，当且仅当x ＝50时，g (x )取得最大值1900.综上，当x ＝50，即产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元.【点睛】(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型.(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．21．已知p :存在2000001,),[()x x mx x lnx m R ∈+∞-+>∈，12:,q x x 是方程220x ax --=的两个实根，不等式212|2|m m x x -≥-对任意实数[1,1]a ∈-恒成立．（1）若p ⌝是真命题，求m 的取值范围；（2）若p q ∧为假，p q ∨为真，求m 的取值范围．【答案】（1）(],1-∞；（2）(](),11,3-∞-．【分析】（1）若p ⌝是真命题，则对任意[)1,x ∈+∞，()2ln x mx x x m -+≤∈R ，通过参变分离进而求得参数范围；（2）若p q ∧为假，p q ∨为真，则p ，q 中有且只有一个是真的，分类讨论：若p 为真，q 为假；若p 为假，q 为真，求解结果再取并集即可．【详解】解：（1）p ⌝是真命题，∴对任意[)1,x ∈+∞，()2ln x mx x x m -+≤∈R ，ln m x x ∴≤+．令ln y x x =+，函数ln y x x =+在[)1,+∞上单调递增，∴当1x =时，min 1y =， 1m ∴≤，m ∴的取值范围是(],1-∞；（2）由（1）可知当命题p 为真命题时，1m ，因为1x ，2x 是方程220x ax --=的两个实根，所以12x x a +=，122x x =-，所以12x x -==[]1,1a ∈-，所以12x x -=，因为不等式2122m m x x -≥-对任意实数[]1,1a ∈-恒成立，所以223m m -≥，所以223m m -≥或223m m -≤-，解得1m ≤-或3m ≥，所以当命题q 为真命题时，1m ≤-或3m ≥．若p q ∧为假，p q ∨为真，则p ，q 中有且只有一个是真的，若p 为真，q 为假，则1,13,m m >⎧⎨-<<⎩解得13m <<；若p 为假，q 为真，则13,1,m m m ≤-≥⎧⎨≤⎩或解得1m ≤-．综上所述，1m ≤-或13m <<，即m 的取值范围为(](),11,3-∞-．【点睛】方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．22．设圆222150x y x ++-=的圆心为,A ，直线l 过点()10B ,且与x 轴不重合，l 交圆,A 于,CD 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （1）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程.（2）直线l 过点,A 且与点E 的轨迹交于,M N 两点，MON △的面积是否存在最大值?若存在，求出面积MON △的最大值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析，221(0)43x y y +=≠；（2）存在，32. 【分析】（1）利用椭圆的定义可得EA EB +为定值，以及点E 的轨迹方程；（2）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，写出根与系数的关系，利用三角形面积公式和弦长公式，以及对勾函数的性质得出MON △面积的最大值．【详解】（1）因为,//AD AC EB AC =，故,EBD ACD ADC ∠=∠=∠ 所以EB ED =，故EA EB EA ED AD +=+=.又圆A 的标准方程为22(1)16x y ++=，从而4AD =，所以4EA EB +=.由题设得()1,02(0),1,A B AB -=，，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为221(0)43x y y +=≠. （2） MON 的面积存在最大值.因为直线l 过点,A 可设直线l 的方程为1x my =-或0y =(舍去)，则223412,1x y x my ⎧+=⎨=-⎩整理得22(34)690m y my +--=， ()22263634144()(10)m m m ∆=++=+>.设点()()1122,,,M x y N x y ，则12122269,3434m y y y y m m +==-++则12y y -===所以1222111223434MON SOA y y m m =⋅⋅-=⨯⨯=++设1,t =≥则221m t =-，则()226661313143MON t t S t t t t===+-++ 设()13g t t t=+，易知它在区间[1,)+∞上为增函数，所以()()14min g t g ==，所以32MON S ≤，当且仅当0m =时取等号，因此，MON △面积的最大值为32. 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的定义，考查椭圆的轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，解决本题的关键点是联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系，结合对勾函数的性质，得出三角形面积的最大值，考查学生计算能力，属于中档题．。

2020-2021学年河南省天一大联考高二(上)期末数学试卷(理科)

2020-2021学年河南省天一大联考高二（上）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.不等式x−8x2+2<−1的解集为()A. (−3,2)B. (−3,−2)C. (−3,4)D. (−2,4)2.下列命题为真命题的是()A. ∃x0∈R，x02+4x0+6≤0B. 正切函数y=tanx的定义域为RC. 函数y=1x的单调递减区间为(−∞,0)∪(0,+∞)D. 矩形的对角线相等且互相平分3.已知直线x+2y=4过双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点及虚轴的一个端点，则此双曲线的标准方程是()A. x216−y212=1 B. x216−y24=1 C. x212−y24=1 D. x225−y28=14.已知{a n}为等差数列，公差d=2，a2+a4+a6=18，则a5+a7=()A. 8B. 12C. 16D. 205.已知直线l和两个不同的平面α，β，若α⊥β，则“l//α”是“l⊥β”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=60°，c=4，a=2√7，则sinAsinB=()A. 23B. √73C. √7D. 37.在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB//DC，∠ADC=90°，AD=AB=3，PD=4，DC=6，则DB与CP所成角的余弦值为()A. √35B. 2√56C. 3√2626D. 2√13138.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q>0，a1=1，a12=9a10，要使数列{λ+S n}为等比数列，则实数λ的值为()A. 13B. 12C. 2D. 不存在9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=2π3，b=2√3，b2+c2−a2=√3bc.若∠BAC的平分线与BC交于点E，则AE=()A. √6B. √7C. 2√2D. 310.已知圆C：x216+y28=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上的一点，线段PF1的中点M在y轴上，则△PF1F2的面积为()A. 4B. 4√2C. 5√3D. 6√511.已知抛物线y2=2px(p>0)上一横坐标为5的点到焦点的距离为6，且该抛物线的准线与双曲线C：x2 a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线所围成的三角形面积为2√2，则双曲线C的离心率为()A. 3B. 4C. 6D. 912. 在直棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB//DC ，CD ⊥BC ，CC 1=2，CD =1，AB =4，BC =2√3，则直线BC 1与平面ADC 1所成角的正弦值为( )A. √56B. √65C. √22D. √23二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知x ，y 满足约束条件{x −y −1≤0x −2y +2≥0x ≥0，则z =x −3y 的最大值是______ ．14. 已知抛物线y 2=2px(p >0)，点(p2,1)是抛物线上一点，则抛物线上纵坐标为3的点到准线的距离为______ ．15. 已知数列{a n }满足a 1=12，a n+1=a n2−a n ，若b n =1a n−1，则数列{b n }的通项公式为b n = ______ ．16. 设有下列命题：①当x >0，y >0时，不等式(x +y)(1x +1y )≥4恒成立； ②函数f(x)=3x +3−x 在(0,+∞)上的最小值为2； ③函数f(x)=xx 2+3x+1在(0,+∞)上的最大值为15；④若a >1，b >1，且log a 3+log b 27=4，则log 3(ab)的最小值为1+√32．其中真命题为______ .(填写所有真命题的序号) 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知集合A ={x|41−x >1}，B ={x|x 2+(1−2a)x +a 2−a <0}．(Ⅰ)求集合A ，B ；(Ⅱ)若A ∩B =B ，求实数a 的取值范围．18. 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且满足a(sinA −12sinB)=(sinC +sinB)(c −b)，c =4．(Ⅰ)求△ABC 的外接圆的半径； (Ⅱ)求△ABC 的面积的最大值．19. 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =2a n −1，数列{b n }满足b n =log 2a n +log 2a n+1．(Ⅰ)求{a n }，{b n }的通项公式；(Ⅱ)若数列{c n }满足c n =a n b n ，求{c n }的前n 项和T n ．20. 已知焦点在x 轴上的椭圆的长轴长是短轴长的2倍，椭圆上的动点P 到左焦点距离的最大值为2+√3．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过点(1,0)的直线l 与椭圆C 有两个交点A ，B ，△OAB(O 为坐标原点)的面积为45，求直线l 的方程．21. 如图所示，在多面体ABCDPQ 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD为直角梯形，AD ⊥CD ，BC ⊥CD ，AD =2CD =2BC =2a(a 为大于零的常数)，△PAD 为等腰直角三角形，PA =PD ，E 为AD 的中点，PQ//BE ． (Ⅰ)求PQ 的长，使得DQ ⊥EC ；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求二面角B −AQ −D 的大小． 22. 如图，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(1,√22)，离心率为√22，直线l 经过椭圆C 的右焦点F ，交椭圆于A ，B 两点．(Ⅰ)求椭圆C 的方程．(Ⅱ)若直线l 交y 轴于点M ，且MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μBF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，当直线l 的倾斜角变化时，λ+μ是否为定值？若是，请求出λ+μ的值；否则，请说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由x−8x2+2<−1化简可得：x2+x−6x+2<0，即解x2+x−6<0，解得：−3<x<2，故解集为：(−3,2)．故选：A．利用分式不等式定义求解不等式即可．命题意图本题主要考查一元二次不等式的求解．属于基础题．2.【答案】D【解析】解：对于A，因为△=42−4×1×6=−8<0，所以x2+4x+6>0恒成立，所以A为假命题；对于B，正切函数y=tanx的定义域为{x|x∈R,x≠kπ+π2,k∈Z}≠R.所以B为假命题；对于C，函数y=1x的单调递减区间为(−∞,0)，(0,+∞)，所以C为假命题；对于D，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可以证，所以D为真命题．故选：D．A根据二次函数根的差别式判断，B求正切函数定义域判断，C求函数递减区间判断，D用平面几何证明判断．本题以命题的真假判断为载体，考查了二次函数性质，考查了函数定义域及单调区间，属基础题．3.【答案】C【解析】解：设双曲线的半焦距为c，∵直线x+2y=4过点(4,0)和(0,2)，∴c=4，b=2，∴a=√42−22=2√3，双曲线C的标准方程是x212−y24=1．故选：C．利用已知条件求出b，c，推出a，然后求解双曲线方程即可．本题主要考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求解，是基础题．4.【答案】D【解析】解：根据题意知，2a4=a2+a6，a5+a7=2a4+4d，∵a2+a4+a6=18，∴3a4=18，∴a4=6．∴a5+a7=2a4+4d=2×6+4×2=20．故选：D．根据等差数列的性质得到2a4=a2+a6，a5+a7=2a4+4d，代入求值即可．本题考查等差数列的性质的应用，准确计算是解题的关键．5.【答案】D【解析】解：已知直线l 和两个不同的平面α，β，α⊥β，若l//α，则l 与β平行，相交或在平面β内都有可能；若l ⊥β，则l ⊂α或l//α，故“l//α”推不出“l ⊥β”，“l ⊥β”推不出“l//α”，故“l//α”是“l ⊥β”的既不充分也不必要条件．故选：D ．根据线面垂直，线面平行的性质及判定，从而得到结论．本题本课程了充分必要条件，考查了线面垂直，线面平行的性质及判定，属于基础题． 6.【答案】B【解析】解：由余弦定理，得a 2=b 2+c 2−2bccosA ，即28=b 2+16−4b ，也即b 2−4b −12=0，解得b =6或b =−2(舍去)，所以sinA sinB=a b=2√76=√73，故选：B ．由题意利用余弦线定理求得b 的值，再利用正弦定理求得sinAsinB 的值．本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题． 7.【答案】C【解析】解：因为PD ⊥平面ABCD ，AB//DC ，∠ADC =90°，故以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，因为AD =AB =3，PD =4，DC =6，则D(0,0，0)，B(3,3，0)，C(0,6，0)，P(0,0，4)，所以DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,3,0),CP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−6,4)，设DB 与CP 所成的角为α，则cosα=|cos <DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CP⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√18×√52=3√2626，所以DB 与CP 所成角的余弦值为3√2626．故选：C ．建立合适的空间直角坐标系，求出所需各点的坐标，求出两条直线的方向向量，然后利用异面直线所成角的计算公式求解即可．本题考查了空间角的求解，涉及了两条异面直线所成的角、向量夹角公式的应用，求解空间角经常会运用空间向量法，即建立空间直角坐标系，将空间角转化为空间向量的夹角进行研究，属于中档题． 8.【答案】B【解析】解：由公比q >0，a 12=9a 10可得q =3，而a 1=1，∴S n =1−3n 1−3=3n −12．若数列{λ+S n }为等比数列，则有(λ+S 2)2=(λ+S 1)⋅(λ+S 3)，即(λ+4)2=(λ+1)⋅(λ+13)，解得λ=12，于是λ+S n=12+3n−12=12×3n，而12+S n+112+S n=12×3n+112×3n=3，故λ=12时，数列{λ+S n}为等比数列．故选：B．由已知条件利用等比数列的定义和性质求解．本题主要考查等比数列的定义和性质，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：因为b2+c2−a2=√3bc，所以cosA=b2+c2−a22bc =√3bc2bc=√32，因为A∈(0,π)，所以A=π6，因为B=2π3，b=2√3，所以C=π−A−B=π6，由正弦定理，可得 asinπ6=csinπ6=2√3sin2π3，解得a=c=2，因为∠BAC的平分线与BC交于点E，所以BECE =ABAC=22√3，即CE=√3BE，所以由BE+CE=BE+√3BE=2，可得BE=2√3+1=√3−1，在△ABE中，由余弦定理可得AE=√AB2+BE2−2AB⋅BE⋅cosB=√22+(√3−1)2−2×2×(√3−1)×cos2π3=√6．故选：A．由已知利用余弦定理可得cos A，结合A的范围及三角形内角和定理可求C，由正弦定理可得a=c=2，利用角平分线的性质求得BE的值，再在△ABE中由余弦定理可得AE的值．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，正弦定理，角平分线的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，由题意知a=4，b=2√2．在△PF1F2中，PF1的中点M在y轴上，F1F2的中点为原点，故PF2//y轴，即PF2⊥x轴，所以|PF2|=b2a =84=2，又|F1F2|=2√16−8=4√2，于是△PF1F2的面积为12×2×4√2=4√2．故选：B ．求出a =4，b =2√2.说明PF 2⊥x 轴，求解|PF 2|，|F 1F 2|，然后求解三角形的面积．本题主要考查椭圆的性质及三角形的解法，是基础题． 11.【答案】A【解析】解：由题意，5+p2=6，即p =2，则抛物线y 2=2px(p >0)的直线方程为x =−1，双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线方程为y =±ba x ，取x =−1，可得A(−1,−ba )，B(−1,ba )，如图，则S △OAB =12×2b a×1=ba =2√2，则e =ca=√1+(ba )2=√1+8=3．故选：A ．由已知求得抛物线的准线方程，可得抛物线的准线与双曲线的渐近线围成三角形的顶点坐标，代入三角形面积公式，整理后即可求得双曲线的离心率．本题考查双曲线与抛物线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题． 12.【答案】C【解析】解：以B 为原点，BC ，BA ，BB 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0，0)，C 1(2√3,0，2)，A(0,4，0)，D(2√3,1，0)， ∴BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,0，2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3，−3，0)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,−4,2)，设平面ADC 1的法向量为n⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2√3x −3y =02√3x −4y +2z =0，令x =√3，则y =2，z =1，∴n ⃗ =(√3,2，1)，设直线BC 1与平面ADC 1所成角为θ，则sinθ=|cos <BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n⃗ >|=|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗ |BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n⃗⃗ ||=|√3×√3+24×2√2|=√22， ∴直线BC 1与平面ADC 1所成角的正弦值为√22．故选：C ．以B 为原点，建立空间直角坐标系，求得平面ADC 1的法向量n ⃗ ，设直线BC 1与平面ADC 1所成角为θ，由sinθ=|cos <BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n⃗ >|，即可得解．本题考查线面角的求法，熟练掌握利用空间向量处理线面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 13.【答案】3【解析】解：由约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，由x −y −1=0，取x =0，解得A(0,−1)，化目标函数z =x −3y 为y =x 3−z3，由图可知，当直线y =x 3−z3过点A(0,−1)时，直线在y 轴上的截距最小， z 取得最大值，代入得0−3×(−1)=3，故z =x −3y 的最大值为3．故答案为：3．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题． 14.【答案】5【解析】解：由已知把点(p 2,1)代入抛物线方程可得：1=2p ×p2，解得p =1或−1(舍去)，所以抛物线的方程为：y 2=2x ，令y =3，解得x =92，则由抛物线的定义可得抛物线上纵坐标为3的点到准线的距离为92+12=5，故答案为：5．代入已知点即可求出p 的值，再令y =3求出对应点的横坐标，然后利用抛物线的定义即可求解．本题考查了抛物线的方程和定义，考查了学生的运算转化能力，属于基础题． 15.【答案】2n−1【解析】解：依题意，由a n+1=an2−a n ，可得1a n+1=2−a n a n=2×1a n−1，两边同时减1，可得1a n+1−1=2×1a n−1−1=2(1a n−1)，即b n+1=2b n ， ∵b 1=1a 1−1=1，∴数列{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴b n =1⋅2n−1=2n−1，n ∈N ∗．故答案为：2n−1．本题先将递推公式倒过来，然后两边同时减1，进行转化计算即可判别出数列{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，即可计算出数列{b n }的通项公式．本题主要考查由递推公式推导通项公式．考查了转化与化归思想，整体思想，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．16.【答案】①③④【解析】解：①(x +y)(1x +1y )=2+yx +xy ≥2+2√xy ⋅yx =4，当且仅当yx =xy 时，即x =y 时，取等号，故①正确． ②f(x)=3x +13x≥2√3x ⋅3−x =2，当且仅当3x =13x，即x =0时，取等号，但x ∈(0,+∞)，无法取等号，故②错误， ③因为f(x)=xx 2+3x+1，x ∈(0,+∞)，所以f(x)=1x+1x +3≤2√x⋅1x+3=15，当且仅当x =1x ，即x =1时，能取等号，故③正确， ④log a 3+log b 27=1log 3a+3log 3b=4，所以14log3a+14log 3b=1，所以log 3ab =log 3a +log 3b =(log 3a +log 3b)(14log 3a+14log 3b ) =14+34+log 3b 4log 3a+3log 3a 4log 3b≥1+2√log 3b 4log 3a⋅3log 3a 4log 3b=1+√32，因为a >1，b >1，所以log 3a >0，log 3b >0，当且仅当log 3b4log3a =3log 3a4log 3b，即b =a √3时，取等号，故④正确．故答案为：①③④．分别按步骤“一正”“二定”“三相等”运用基本不等式进行分析，即可得出答案．本题考查基本不等式的应用，解题中注意取等条件的满足，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)A ={x|x+3x−1<0}={x|−3<x <1}，B ={x|(x −a)(x −a +1)<0}={x|a −1<x <a}；(Ⅱ)∵A∩B=B，∴B⊆A，∴{a−1≥−3a≤1，解得−2≤a≤1，∴实数a的取值范围是[−2,1]．【解析】(Ⅰ)根据分式不等式和一元二次不等式的解法即可求出A={x|−3<x<1}，B={x|a−1<x< a}；(Ⅱ)根据A∩B=B可得出B⊆A，然后即可得出{a−1≥−3a≤1，然后解出a的范围即可．本题考查了描述法的定义，分式不等式和一元二次不等式的解法，交集及其运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)由题意及正弦定理得到a(a−12b)=(c+b)(c−b)，即a2+b2−c2=ab2，由余弦定理可得cosC=14，所以sinC=√154．设△ABC的外接圆的半径为R．因为csinC =2R，即√154=2R，解得R=8√1515．(Ⅱ)因为c2=a2+b2−2abcosC，且c=4，所以16=a2+b2−ab2≥2ab−ab2=3ab2，即ab≤323，所以S△ABC=12absinC≤12×323×√154=4√153，当且仅当a=b时取等号．故△ABC的面积的最大值为4√153．【解析】(Ⅰ)利用正弦定理将已知的等式角化边，然后利用余弦定理得到cosC=14，再利用同角三角函数关系得到sinC=√154，由正弦定理即可求得答案；(Ⅱ)利用余弦定理和基本不等式求得ab的最大值，然后再利用三角形的面积公式求解即可．本题考查了解三角形问题，涉及了正弦定理和余弦定理的应用，解题的关键是将已知的等式角化边，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)由题意，当n=1时，a1=S1=2a1−1，解得a1=1，当n≥2时，由S n=2a n−1，可得S n−1=2a n−1−1，两式相减，可得a n=2a n−2a n−1，化简整理，得a n=2a n−1，∴数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，∴a n =1⋅2n−1=2n−1，n ∈N ∗，∴b n =log 2a n +log 2a n+1=log 22n−1+log 22n =n −1+n =2n −1，n ∈N ∗，(Ⅱ)由(Ⅰ)，可得c n =a n b n =(2n −1)⋅2n−1，∴T n =c 1+c 2+c 3+⋯+c n =1×1+3×21+5×22+⋯+(2n −1)×2n−1，2T n =1×21+3×22+⋯+(2n −3)×2n−1+(2n −1)×2n ，两式相减，可得−T n =1+2×21+2×22+⋯+2×2n−1−(2n −1)×2n=1+2×(21+22+⋯+2n−1)−(2n −1)×2n=1+2×2−2n1−2−(2n −1)×2n =−(2n −3)×2n −3，∴T n =(2n −3)×2n +3．【解析】(Ⅰ)先根据公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2代入进行计算即可发现数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，从而可得数列{a n }的通项公式，然后代入b n =log 2a n +log 2a n+1，根据对数的运算性质即可计算出数列{b n }的通项公式；(Ⅱ)先根据第(Ⅰ)题计算出数列{c n }的通项公式，然后运用错位相减法即可计算出前n 项和T n ．本题主要考查数列求通项公式，以及运用错位相减法求前n 项和．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，定义法，对数的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．20.【答案】解：(I)设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，半焦距为c ，由已知得{2a =2⋅(2b)a +c =2+√3a 2=b 2+c 2，解得{a =2b =1c =√3，∴椭圆的方程为x 24+y 2=1． (Ⅱ)由题可知直线l 的斜率不为0，可设直线l 的方程为x =my +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，{ x 24+y 2=1x =my +1⇒(m 2+4)y 2+2my −3=0，∴y 1+y 2=−2m m 2+4，y 1y 2=−3m 2+4， △OAB 的面积S =12×|y 1−y 2|=45，∴|y 1−y 2|=85，∴|y 1−y 2|2=(y 1+y 2)2−4y 1y 2=(−2m m 2+4)2−4(−3m 2+4)=6425，整理可得4m 4+7m 2−11=0，解得m =±1，所以直线l 的方程为x −y −1=0或x +y −1=0．故答案为：(Ⅰ)椭圆的方程为x 24+y 2=1.(Ⅱ)直线l 的方程为x −y −1=0或x +y −1=0．【解析】(Ⅰ)由题意可得a =2b ，a +c =2+√3，a 2−b 2=c 2，解方程组即可；(Ⅱ)根据直线与椭圆的位置关系，建立联立方程组，列出未知参数方程，解方程即可．本题主要考查用待定参数法求椭圆方程及直线方程，考查了直线与椭圆的位置关系，属中档题． 21.【答案】解：∵平面PAD ⊥平面ABCD ，△PAD 为等腰直角三角形，PA =PD ，E 为AD 的中点， ∴PE ⊥AD ，PE ⊥BE ，由已知可得DC//BE ，AD ⊥CD ，∴BE ⊥AD ．∴可以直线EA ，EB ，EP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系E −xyz ，如图所示：则A(a,0，0)，D(−a,0，0)，B(0,a ，0)，C(−a,a ，0)，P(0,0，a)，由题可设Q(0,t ，a)．(I)∵DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,t,a)，EC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,a,0)，DQ ⊥EC ， ∴DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EC⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即−a 2+at =0，∴t =a ，于是Q(0,a ，a)，故|PQ|=a ．(Ⅱ)BA⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,−a,0)，BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,a)，设m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)为平面ABQ 的法向量．则{m ⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴{ax −ay =0az =0．令x 1=1，则y 1=1，∴可取m⃗⃗⃗ =(1,1,0)， DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a,0,0)，DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,a,a)，设n⃗ =(x 2,y 2,z 2)为平面ADQ 的法向量．则{n −⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ax =0n ⃗ ⋅DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ax +ay +az =0，令z 2=−1，则y 2=1，∴可取n⃗ =(0,1,−1)．设二面角B −AQ −D 的平面角为θ，则cosθ=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√2×√2=12.∴θ=60°，即二面角B −AQ −D 的大小为60°．【解析】直线EA ，EB ，EP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系E −xyz ，(I)通过向量的数量积，转化求解|PQ|=a ．(Ⅱ)求出平面ABQ 的法向量，平面ADQ 的法向量利用空间向量的数量积，求二面角B −AQ −D 的平面角的大小即可．本题考查二面角的平面角的求法，命题意图本题主要考查空间向量在立体几何中的应用，是中档题． 22.【答案】解：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c ，则有{ 1a +12b =1c a =√22a 2=b 2+c 2，解得a =√2,b =1,c =1，所以椭圆C 的方程为x 22+y 2=1；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，F(1,0)，由条件得直线l 的斜率必存在，设方程为y =k(x −1)，又M(0,−k)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则由{x 22+y 2=1y =k(x −1)，解得(1+2k 2)x 2−4k 2x +2k 2−2=0，所以x 1+x 2=4k 21+2k 2,x 1x 2=2k 2−21+2k 2，因为MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAF⃗⃗⃗⃗⃗ ，则有(x 1,y 1+k)=λ(1−x 1,−y 1)，所以λ=x 11−x 1，同理可得μ=x 21−x 2，所以λ+μ=x 11−x 1+x 21−x 2=x 1+x 2−2x 1x 21−(x 1+x 2)+x 1x 2=4k 21+2k 2−4(k 2−1)1+2k 21−4k 21+2k 2+2k 2−21+2k 2=−4，即λ+μ是定值−4．【解析】(Ⅰ)利用点在椭圆上以及离心率列出关于a ，b ，c 的等式，求解即可得到a 和b 的值，从而得到椭圆的方程；(Ⅱ)设直线l 的方程，联立方程组，得到韦达定理，利用MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAF⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出λ，μ的值，然后代入化简即可．本题考查了直线与圆锥曲线的应用，涉及了椭圆标准方程的求解、椭圆几何性质的应用、直线与椭圆位置关系的应用，此类问题经常联立方程组，利用韦达定理进行研究，属于中档题．。

河南省天一大联考2020-2021学年高二下学期线上联考数学(理)试题

河南省天一大联考2020-2021学年高二下学期线上联考数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（）
A． B． C． D．
2．（）
A． B． C． D．
3．利用数学归纳法证明时，第一步应证明（）
2．B
【分析】
利用数形结合求定积分得解.
【详解】
所以，
表示为以原点为圆心，以2为半径的在第一象限的个圆，
由于个圆的面积为，
所以 .
故选B
【点睛】
本题主要考查利用数形结合求定积分，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
3．D
【分析】
直接给n取1即得解.
【详解】
的初始值应为1，而 .
A． B．
C．1024是三角形数D．
10．已知图中的三条曲线所对应的函数分别为，，，则阴影部分的面积为（）
A． B． C．1D．2
11．在中，，是的平分线交于，，，则（）
A．2B． C． D．
12．已知方程的两实根为，，若函数在与处的切线相互垂直，满足条件的的个数为（）
A． B．
C． D．
4．已知数列是等差数列，且，，则公差（）
A． B． C．1D．2
5．已知函数的图像开口向下，，则（）
A． B． C．2D．-2
6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，高是“正从”，“步”是丈量土地的单位.现有一邪田，广分别为八步和十二步，正从为八步，其内部有块广为八步，正从为五步的圭田，若将100棵的果树均匀地种植在邪田，一年后，每棵果树都有的果子收成，则此圭田中的收成约为（）

2020-2021学年河南省名校联盟高二下学期期末考试数学(理科)试题答案

河南名校联盟2020 2021学年高二(下)期末考试数学(理科)答案第Ⅰ卷123456789101112ACACCBBDDDCB一㊁必做题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.ʌ答案ɔAʌ解析ɔ根据公式(∁U M )ɣ(∁U N )=∁U (M ɘN )直接得解,也可用韦恩图证明,故选A .2.ʌ答案ɔCʌ解析ɔ1+2(1-i )1+i=1+(1-i )2=1-2i =5,故选C .3.ʌ答案ɔAʌ解析ɔ依题意,S 7=7(a 1+a 7)2=7ˑ2a 42=7a 4=73,则a 4=13,又因为a 1=13,所以a n =13,则S 9=9a 1=3,故选A .4.ʌ答案ɔCʌ解析ɔ方程x 2+x -a (a +1)=0,即x +(a +1)[](x -a )=0,解得x =-a -1或x =a ,令-a -1=1可得a =-2,同时a =1时,-1-a =-2;令-a -1=-2可得a =1,同时a =-2时,-1-a =1,故选C .5.ʌ答案ɔCʌ解析ɔ由程序框图可知,一共进行4次循环,循环结束时S =1+2+22+23+24=31,所以最后输出的值为S =9331=3,故选C .6.ʌ答案ɔBʌ解析ɔ由y =a x 2,得x 2=1a y ,令14a =1得a =14,b 2b -a =b 2b -14,令t =b -14>0,则b 2b +a=b 2b +14=t +14æèçöø÷2t =t +116t +12ȡ2t ㊃116t +12=1,当且仅当t =116t ,即t =14时取等号.故选B .7.ʌ答案ɔBʌ解析ɔ根据题意知a ㊃b =|a ң|㊃|b ң|㊃c o s a ң,b ң =c o s a ң,b ң =12,所以 a ,b =60ʎ,建立平面直角坐标系,设a =(1,0),b =(12,32),则c =a +2b =(2,3),所以c o s a ,c =a ㊃c a ㊃c =(1,0)㊃(2,3)1ˑ7=27,所以t a n a ,c =32,故选B .8.ʌ答案ɔDʌ解析ɔ根据题意,外接球的直径为29,该几何体可看作长方体截得的一部分,如下图两种图形,该几何体外接球的直径为长方体的体对角线长,设长方体底面的宽为x ,则x 2+22+42=29,ʑx =3,故该几何体的体积为2ˑ3ˑ4-13ˑ12ˑ2ˑ3ˑ4=20或2ˑ3ˑ4-2ˑ13ˑ12ˑ2ˑ3ˑ4=16,故选D .9.ʌ答案ɔDʌ解析ɔ由f (x )=(x +1)e x ,得f '(x )=(x +2)e x,所以函数f (x )在(-¥,-2)上单调递减,在(-2,+¥)上单调递增,所以A 不正确;分析函数f (x )的大致图象(也可另f (x )=0,得x =-1),可知B 错误;设切点为(x 0,(x 0+1)e x 0),可得切线方程为y -(x 0+1)e x 0=(x 0+2)e x 0(x -x 0),又因为过坐标原点,可得x 20+x 0-1=0,该方程有两个解,所以D 正确;因为f (-x )ʂ-f (x ),所以C 错误.故选D .10.ʌ答案ɔD ʌ解析ɔ依题意,f (x )=3s i n x c o s x +s i n 2x =s i n 2x -π6æèçöø÷+12,函数g (x )=12-f (-x )=s i n (2x +π6),因此点5π12,0æèçöø÷是函数g (x )的图象的一个对称中心,故选D .11.ʌ答案ɔC ʌ解析ɔ易证正三棱锥的对棱垂直,所以A B ʅC D ,故A 正确;当A B=B C =22时,正三棱锥A -B C D 为正四面体,可放到边长为2的正方体内,所以正三棱锥A -B C D 的外接球的半径为3,外接球的表面积为12π,故B 正确;当A D ʒB C =21ʒ6时,取C D 的中点为M ,连接AM ,B M ,则øAM B 即为所求角,令A D =21,B C =6,则AM =23,B M =33,所以c o s øAM B =AM 2+B M 2-A B 22ˑAM ˑB M =12,øAM B =60ʎ,故C 不正确;将侧面沿A C 展开(如图),则әC MN 周长的最小值为3,故D 正确.故选C .12.ʌ答案ɔBʌ解析ɔ由l n a =-4a 2l n 2,得l n a a 2=l n1212æèçöø÷2,由4l n b =b 2l n 2,得l n b b 2=l n 222,由8l n c =c 2l n 2,得l n c c 2=l n442,令g (x )=l n x x 2,则g '(x )=1-2l n x x3,所以函数g (x )在(0,e )上单调递增,在(e ,+¥)上单调递减,且g (1)=0,当x >1时,g (x )>0,画出g (x )的大致图象如图所示,分析可得a <c <b ,故选B .第Ⅱ卷二㊁填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.ʌ答案ɔ28ʌ解析ɔ由棱台的体积公式可得V =13ˑ3ˑ(4+4ˑ16+16)=28,所以棱台A B C D -A 1B 1C 1D 1的体积为28.14.ʌ答案ɔ6ʌ解析ɔ不等式组表示的可行域如图所示,由图可知:当z =3y -4x 经过点A (0,2)时,z 取得最大值,即z m a x =6.15.ʌ答案ɔ401ʌ解析ɔ(2x 2+x -2)5=(2x 2+x -2)ˑ(2x 2+x -2)ˑ(2x 2+x -2)ˑ(2x 2+x -2)ˑ(2x 2+x -2),分析可知,展开式中x 5的项为C 15(2x 2)1C 34x 3C 11(-2)1+C 25(2x 2)2C 13x C 22(-2)2+C 55x 5=401x 5,所以x 5的系数为401.16.ʌ答案ɔ8ʌ解析ɔ如图,P 为圆A :(x -7)2+(y -3)2=4上一动点,Q 为圆B :(x -4)2+y 2=4上一动点,O 为坐标原点,取T (3,0),连接B Q ,T Q ,则|T B ||B Q |=|B Q ||O B |=12,所以易得әT B Q ʐәQ B O ,所以|O Q |=2|T Q |,又易知|P Q |ȡ|A Q |-2,所以|O Q |+|P Q |+|A Q |ȡ|O Q |+2|A Q |-2=2|Q T |+2|A Q |-2ȡ2|A T |-2=8,故答案为8.三㊁解答题:共70分,解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个考题考生都必须作答.第22㊁23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.ʌ解析ɔ(Ⅰ)X 的分布列为:X 8892100116134P110310310110210(4分)E (X )=88ˑ110+92ˑ310+100ˑ310+116ˑ110+134ˑ210=104810=104.8(元). (6分)(Ⅱ)根据数据,可估算员工甲日平均卖出的产品件数为110ˑ(22+23+23+23+25+25+25+29+32+32)=25.9.(8分)员工甲根据方案一的日平均奖励为25.9ˑ4.5=116.55(元),(10分)因为116.55>104.8,所以建议员工甲选择方案一.(12分)18.ʌ解析ɔ(Ⅰ)当n ȡ3时,a n =2a n -1+3a n -2,a n +k a n -1=(2+k )a n -1+3a n -2=(2+k )a n -1+3k +2a n -2æèçöø÷,(2分)令k =3k +2,则k 2+2k -3=0,解得k =-3或1,所以a n -3a n -1=-(a n -1-3a n -2),a n +a n -1=3(a n -1+a n -2).所以a n -3a n -1=(-2)ˑ(-1)n -1(n ȡ2),a n +a n -1=2ˑ3n -1(n ȡ2),从而可得a n =12ˑ3n -12ˑ(-1)n -1.(6分)(Ⅱ)S n =12ˑ3ˑ(1-3n )1-3-12ˑ1ˑ[1-(-1)n ]1-(-1)=3n +1+(-1)n -44.(12分)(本题为分组求和法求和:每一组求和正确,得3分)19.ʌ解析ɔ(Ⅰ)由鳖臑的概念,可知D E ʅ平面A B C D ,A C ⊂平面A B C D ,ʑD E ʅA C ,(2分)又ȵ四边形A B C D 是正方形,ʑA C ʅB D ,ȵB D ɘD E =D ,ʑA C ʅ平面B D E ,(4分)ȵA C ⊂平面A C E ,ʑ平面A C E ʅ平面B D E .(6分)(Ⅱ)ȵD A ,D C ,D E 两两垂直,ʑ建立如图所示的空间直角坐标系D-x yz ,(7分)设A M =t (0ɤt ɤ36),则D (0,0,0),M (3,0,t ),E (0,0,36),B (3,3,0),ʑB M ң=(0,-3,t ),E M ң=(3,0,t -36),D B ң=(3,3,0), (8分)设平面B E M 的法向量为n =(x ,y ,z ),则n ㊃B Mң=0n ㊃E Mң=0{,即-3y +t z =03x +(t -36)z =0{,令z =1,则平面B E M 的一个法向量为n =(6-t 3,t 3,1).(10分)ʑ线段B D 与平面B E M 所成角的正弦值等于c o s D B ң,n ,ʑc o s <D B ң,n >=|D B ң㊃n |D B ң㊃n =36-t +t32ˑ(6-t 3)2+t 29+1=3632ˑ(6-t 3)2+t 29+1=31313,(11分)所以t =26或6,故AM =26或6.(12分)20.ʌ解析ɔ(Ⅰ)设椭圆C 的方程为m x 2+n y2=1,由已知有m +94n =143m +2n =1ìîíïïïï,(2分)解得m =14,n =13ìîíïïïï所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(4分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知,A (0,3),F (1,0),假设存在直线l 满足题意,并设l 的方程为y =33x +t ,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).由y =33x +t x 24+y23=1ìîíïïïï,得13x 2+83t x +12(t 2-3)=0,(6分)由Δ=(83t )2-4ˑ13ˑ12(t 2-3)>0,得-393<t <393,x 1+x 2=-83t 13.(8分)由题意易知点F 为әAMN 的重心,所以x 1+x 2+x A =3x F ,即-83t 13+0=3,解得t =-1338,(10分)当t =-1338时,不满足-393<t <393,所以不存在直线l ,使得F A ң+F Mң+F N ң=0.(12分)21.ʌ解析ɔ(Ⅰ)f '(x )=2x -x 2ex,(2分)令f '(x )>0,得0<x <2,令f '(x )<0,得x <0或x >2,所以f (x )在(-¥,0)和(2,+¥)上单调递减,在(0,2)上单调递增;故函数f (x )的极小值为f (0)=0,当x >2时,分析可得f (x )=x 2ex >0,所以函数f (x )的最小值为f (0)=0.(4分)(Ⅱ)令φ(x )=e x (x -2)-a (x -1)2,当a =0时,φ(x )只有一个零点x =2,由题意知φ'(x )=(x -1)e x -2a (x -1)=(x -1)(e x-2a ),(6分)因为a <0,所以e x-2a >0,所以当x ɪ(-¥,1)时,φ'(x )<0,函数φ(x )为减函数;当x ɪ(1,+¥)时,φ'(x )>0,函数φ(x )为增函数.故当x =1时,φ(x )存在极小值φ(1)=-e <0;又因为φ(2)=-a >0,φ-1+1a æèçöø÷>-3e3+4>0,所以φ(x )在区间(1,2),-1+1a ,1æèçöø÷内各有一个零点;当a >0时,由φ'(x )=(x -1)(e x -2a )=0,得x 1=1,x 2=l n2a .当l n2a >1,即a >e 2时,随着x 的变化,φ'(x )与φ(x )的变化情况如下表:x(-¥,1)1(1,l n2a )l n2a (l n2a ,+¥)φ'(x )+-+φ(x )↗极大值↘极小值↗所以函数φ(x )在(-¥,1),(l n2a ,+¥)上单调递增,在(1,l n2a )上单调递减.又因为φ(1)=-e <0,φ(l n2a )=2a (l n2a -2)-a (l n2a -1)2=a [-(l n2a -2)2-1]<0,∃x 0>l n2a ,使得φ(x 0)>0,(10分)所以函数φ(x )在区间(l n2a ,+¥)只有一个零点;当l n2a =1,即a =e 2时,因为φ'(x )=(x -1)(e x-2a )>0(当且仅当x =1时等号成立),所以φ(x )在R 上单调递增,此时,函数φ(x )至多一个零点;当l n2a <1,即a <e 2时,随着x 的变化,φ'(x )与φ(x )的变化情况如下表:x(-¥,l n2a )l n2a (l n2a ,1)1(1,+¥)φ'(x )+-+φ(x )↗极大值↘极小值↗所以函数φ(x )在(-¥,l n 2a ),(1,+¥)上单调递增,在(l n 2a ,1)上单调递减.又因为a >0,所以当x ɤ1时,φ(x )=(x -2)e x -a (x -1)2<0,φ(1)=-e <0,此时,函数φ(x )在区间(-¥,1)无零点,在区间(1,+¥)上至多一个零点;又ȵφ(0)=-2-a ,ʑ当a =-2时,φ(0)=0.ȵg (x )=e x (x -2)-a (x -1)2,x ʂ0,ʑ当a ʂ-2时,g (x )零点的个数与φ(x )的零点个数相同.当a =-2时,g (x )只有一个零点;综上可知,若g (x )有两个不同的零点,a ɪ(-¥,-2)ɣ(-2,0).(12分)(二)选考题:共10分.请考生在第22㊁23题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题计分.22.ʌ解析ɔ(I )依题意,曲线C :(x -2)2+y 2=9,故x 2+y 2-4x -5=0,(1分)即曲线C 的极坐标方程为ρ2-4ρc o s θ-5=0;(3分)由x =-t,y =1+t {消去参数t 可得直线l 的普通方程为x +y -1=0.(5分)(Ⅱ)先将直线l 的方程写成标准的参数方程为x =-22t,y =1+22t ,ìîíïïïï代入x 2+y 2-4x -5=0中,(7分)化简可得t 2+32t -4=0,设M ,N 所对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=-32,t 1t 2=-4,(8分)故AM +A N =t 1+t 2=t 1-t 2=(t 1+t 2)2-4t 1t 2=34.(10分)23.ʌ解析ɔ(Ⅰ)方法一:当x ɤ-1时,f (x )=1-3x +3(-x -1)=-2-6x ȡ4;(2分)当-1<x <13时,f (x )=1-3x +3(x +1)=4;(3分)当x ȡ13时,f (x )=3x -1+3(x +1)=6x +2ȡ4,所以m =4.(5分)方法二:f (x )=|3x -1|+3|x +1|=3ˑ(|x -13|+|x +1|)ȡ3ˑ43=4,当且仅当-1ɤx ɤ13时,f (x )m i n =4,所以m =4.(5分)(Ⅱ)由a 2+b 2=a +b ,得(a +b )2-(a +b )=2a b ɤ(a +b )22,即(a +b )22ɤa +b ,当且仅当a =b 时取等号,所以a +b ɤ2.(7分)因为(a +1)(b +1)ɤ(a +1)+(b +1)2[]2=(a +b +22)2ɤ4,(8分)且仅当a =b 时取等号,所以(a +1)(b +1)ɤ4.(10分)。

河南省顶尖名校联盟2020-2021学年高二12月联考试题化学含答案

顶尖名校联盟2020～2021学年高二12月联考化学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分100分，考试时间90分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

4.本卷命题范围：人教版必修1、2，选修4全册。

5.可能用到的相对原子质量：H 1 Li 7 C 12 O 16 Na 23 Al 27 S 32 Cu 64 Zn 65一、选择题(本大题共16小题，每小题3分，共计48分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的)1.2020年12月17日，嫦娥五号顺利返回，我国探月工程圆满完成了“绕”“落”“回”三步走战略。

发射火箭常采用无毒无污染的液氧、煤油作为燃料，下列说法不正确的是A.氧气与煤油的反应是放热反应B.煤油燃烧时，化学能全部转化为动能C.工业上通过分离液态空气获得液氧D.煤油燃烧后的主要产物是水和二氧化碳2.已知HCl和NaOH的稀溶液反应的中和热△H＝－57.3kJ·mol－1，则下列物质间发生反应时放出的热量与57.3 kJ最接近的是A.含1 mol Ca(OH)2的稀溶液与足量稀H2SO4B.含1 mol H2SO4的稀溶液与足量稀NaOH溶液C.含1 mol CH3COOH的稀溶液与足量稀KOH溶液D.含1 mol Ba(OH)2的稀溶液与含1 mol HCl的稀盐酸3.山东舰是我国自主研制的新型航母，为了延长航母服役寿命可以在航母舰体(主要成分是钢铁合金)上镶嵌金属锌。

下列有关说法正确的是A.可以用铅等金属代替锌B.构成原电池反应时，舰体表面发生氧化反应C.在酸雨环境中，航母主要发生吸氧腐蚀D.这种保护方法叫牺牲阳极的阴极保护法4.下列化学用语表示正确的是A.中子数为9的氧原子：17O B氯离子的结构示意图：9C.Na2S的电子式：D.乙烯的结构简式：CH2CH25.设N A为阿伏加德罗常数的值。

2020-2021学年河南省名校联盟高二下学期六月联考数学(理科)试题解析版

河南省名校联盟2020-2021学年高二下学期理数六月联考试卷一、单选题（共12题；共60分）1.已知集合A ={x|log 2x >1}，B ={x||x −1|<2}，则A ∪B =（）A. (2,3)B. (−1,3)C. (2,+∞)D. (−1,+∞) 2.已知i 为虚数单位，若z =1cosθ+isinθ，则z 的共轭复数z̅=（）A. cosθ−isinθB. sinθ−icosθC. sinθ+icosθD. cosθ+isinθ 3.已知椭圆x 210−m+y 2m−2=1的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于（） A. 3 B. 5 C. 7 D. 8 4.“ x >0 ”是“ sinx >0 ”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率为（） A. 35B. 23C. 34D. 4156.如图，图象对应的函数解析式可能是（） A. f(x)=ln(x+√x 2+1)x 2−cosxB. f(x)=sinx⋅(4x −4−x )x 2+cosxC. f(x)=(x −1x )cos(π2x)D. f(x)=sinx +4x −14x +17.已知－1，a ，b ，－4成等差数列，－1，c ，d, e ，－4成等比数列，则b−a d＝（）A. 14B. －12C. 12D. 12或－128.令(x +1)2020=a 1+a 2x +a 3x 2+⋯+a 2020x 2019+a 2021x 2020(x ∈R )，则a 2+2a 3+⋯+2019a 2020+2020a 2021=（）A. 2019⋅22019B. 2019⋅22020C. 2020⋅22019D. 2020⋅220209.3男3女六位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是（） A. 576 B. 432 C. 388 D. 216 10.∫(√4−x 2+x 2)dx 2−2=（）A. 2πB. 8C. π2+163D. 2π+16311.已知实数a ，b ，c 满足a =613，b =log 78+log 5649，7b +24b =25c ，则a ，b ，c 的大小关系是（） A. b >a >c B. c >b >a C. b >c >a D. c >a >b 12.若函数f(x)=(2ax +lnx x)lnx −(a −1)x 3有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A. (0,4e 2+14e 2−4e) B. (1,4e 2+14e 2−4e ) C. (0,1)∪(1,4e 2+14e 2−4e )D. (0,1)∪{4e 2+14e 2−4e } 二、填空题（共4题；共20分）13.已知单位向量a ⃗,b ⃗⃗满足|b ⃗⃗−2a ⃗|=√5，则〈a ⃗,b⃗⃗〉= ________.14.设变量x,y满足约束条件{x+y−2≥0,x−y−2≤0,y≥2,，则目标函数z=x+2y的最小值为________．15.已知三棱锥P−ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC=2，PB=PC，PA=√14，O1为△ABC的外接圆的圆心，cos∠PAO1=2√77，则三棱锥P−ABC的外接球的表面积为________.16.已知点M为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)在第一象限上一点，点F为双曲线C的右焦点，O为坐标原点，4 |MO|=4|MF|=7|OF|，则双曲线C的渐近线方程为________，若MF､MO分别交双曲线C于P,Q两点，记直线PM与PQ的斜率分别为k1,k2，则k1⋅k2=________三、解答题（共7题；共70分）17.如图，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=2,CD=6,cosB=√33.（1）求△ACD的面积；（2）若BC=6√2，求AB的长.18.在2021年高考体检中，某校随机选取了20名男生，测得其身高数据如下(单位：cm)由于统计时出现了失误，导致5，6，7，8号的身高数据丢失，先用字母a，b，c，d表示，但是已知这4个人的身高都在(160,182)之间(单位：cm，且这20组身高数据的平均数为x̅=172，标准差为s=7.（1）为了更好地研究本校男生的身高数据，决定用这20个数据中在区间(x̅−2s,x̅+2s)以内的数据，重新计算其平均数与方差，据此估计，高校男生身高的平均值与方差分别为多少(方差保留两位小数)？（2）使用统计学的观点说明，(x̅−2s,x̅+2s)以内的数据与原数据对比，有什么特点(主要用平均数与方差进行说明)？(参考公式s2=1n ∑(x i−x̅)2ni=1=1n(∑x i2ni=1−nx̅2))19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD//BC,AD=3,AB=BC=2，PA⊥平面ABCD，且PA=3，点M在棱PD上，DM=2MP，点N为BC中点.（1）证明：直线MN//平面PAB；（2）求二面角C−PD−N的正弦值.20.已知点P(−2,y0)为抛物线C:x2=2py(p>0)上一点，F为抛物线C的焦点，抛物线C在点P处的切线与y轴相交于点Q，且△FPQ面积为2.（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l经过(2,5)交抛物线C于M，N两点(异于点P)，求证：∠MPN的大小为定值.21.已知函数f(x)=lnx+λ−2xx+1(λ∈R)．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）当λ=2时，求证：f(x)>0在(1,+∞)上恒成立；（3）求证：当x>0时，(e x−1)ln(x+1)>x2．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=1−√22t,y=1+√22t.（t为参数）.在以原点O为极轴，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=4cosθ.（1）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（2）若点P坐标为(1,1)，圆C与直线l交于A,B两点,求|PA|+|PB|的值.23.已知函数f(x)=|x+1|+2|x−a|.（1）当a=2时，求f(x)的最小值.（2）若函数在区间[−1,1]上递减，求a的取值范围.答案解析部分一、单选题（共12题；共60分）1.已知集合A={x|log2x>1}，B={x||x−1|<2}，则A∪B=（）A. (2,3)B. (−1,3)C. (2,+∞)D. (−1,+∞)【答案】 D【考点】并集及其运算，指、对数不等式的解法，绝对值不等式【解析】【解答】A={x|log2x>1}={x|x〉2}，B={x||x−1|<2}={x|−1<x<3}则A∪B={x|x>−1}=(−1,+∞)故答案为：D【分析】根据题意由对数函数的单调性即可求出不等式的解集，由此得到集合A，再由绝对值不等式的解法求解出不等式的解集，由此得到集合B，结合并集的定义即可得出答案。

河南省顶尖名校联盟2020-2021学年高二12月联考英语试卷

顶尖名校联盟2020〜2021学年高二12月联考英语考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0. 5毫米黑色用水签字笔将密封线内货目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0. 5毫米黑色丛水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效,4.本卷命题范围::高考范围。

第一部分听力（共两节，满分30分）第一节（共5小题;每小题L 5分，满分7. 5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题,从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳项。

听完每段对话后,你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. Why does the woman ask the man to come to her?A. To talk with him.B. To eat with him.C. To comfort him.2. What's the probable relationship between the speakers?A. Good friends.B. Teacher and student.C. Customer and waitress.3. Who made the call to the police?A. Kate.B. Kevin.C. Mike.4. What does the man want to do?A. Eat local foods.B. Prepare dinner.C. Choose travelers.5. What does the man offer to do for the woman?A. Help her find her ticket.B. Buy tickets for a concert.C. Give her a ticket for free. 第二节（共15小题;每小题1.5分，满分22. 5分）听下面5段对话或独白。

河南省八市重点高中2020—2021学年高二上学期12月联合考试数学(理)答案

高二数学（理科）答案与解析1．【答案】C 【命题意图】本题考查正余定理解三角形，意在考查学生对基础知识的掌握情况.是基础题.【解析】依题意，cos 2C =，所以1sin 2C =，由正弦定理可得，sin sin 2b C Bc ==，又0,,π<<>∴>B b a B A ，60︒∴=B 或120B = .故选C.2．【答案】D 【命题意图】本题考查不等式的性质，主要考查学生对不等式之间关系的判断，属于基础题.【解析】因为a b >，当0c =时，A 不成立，因为11b a a b ab--=，虽然有a b >，但是ab 的正负无法确定，故B 错误；当0a <时，C 错误；D 选项，3322()()0a b a b a ab b -=-++>，故选D.3．【答案】A 【命题意图】本题主要考查充分必要条件的判断以及空间中的位置关系.考查学生逻辑推理和空间想象等核心素养.是中档题.【解析】根据面面垂直的判定定理，可知因为//l α，必存在l α'⊂且//l l '，由l β⊥可推出αβ⊥，反之，若,//l αβα⊥，则l 与β的位置关系不确定，所以“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件.故选A.4．【答案】C 【命题意图】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的基本运算能力.是中档题.【解析】根据双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的的渐近线方程为y x =，所以a b =，又焦距为4，所以224a b +=，解得a b ==，所以2y =，所以抛物线的准线方程是4x =-，故选C.5．【答案】C 【命题意图】本题考查等差数列的基本运算，考查学生对等差数列基本量之间关系的掌握程度.是基础题.【解析】因为等差数列{}n a 的前n 和为n S ，1252=15a a S ⋅=⎧⎨⎩，即111525()()152a a a a d =⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解之得1114a a ==-或，当11a =，所以1d =，解得44a =；当14a =-时，72d =，此时4132a =.故选C.6．【答案】D【命题意图】本题考查四种命题以及命题的真假性判定.意在考查学生的逻辑推理素养，是中档题.【解析】A ．命题命题“若ln ln 0a b +=，则1a b ⋅=”的逆命题为“若1a b ⋅=，则ln ln 0a b +=，是假命题；B ．因为1a >时，01a >-，所以该命题是假命题在故B 错；C ．,A B 是随机事件，命题：“若()()()P A P B P A B += ，则,A B 是互斥事件”的否定是：“若()()()P A P B P A B += ，则,A B 不是互斥事件”．故C 错.D ．由椭圆的定义，可知命题“到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆”的逆命题是真命题，故选D.【命题意图】本题考查等比数列的性质，意在考查学生对性质的灵活运用.是中档题.【解析】因为数列{}n a 为正项等比数列，因为2918a a ⋅=，所以295618a a a a ⋅=⋅=，而251625262562log log log log log ()3a a a a a a -=+=⋅=-，故选A.8．【答案】C【命题意图】本题考查简单的线性规划，考查了学生的数形结合思想和逻辑推理能力.是中档题.【解析】由约束条件20,20,2x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩作出可行域如图：由目标函数2z x y =-变形为122zy x =-，当直线322zy x =-经过图中(2,4)时，z 最小，所以min 6z =-.故选C.9．【答案】B【命题意图】本题考查椭圆的几何性质，考查学生的数学抽象和数学运算素养.属于较难题.【解析】由题意可得，该椭圆的半焦距c =，取椭圆的右焦点)1F 以及PF 中点E ，连接1PF ，如图，因为OP OF ==，所以5cos 5∠=PFO ，所以||1,||2==EF OE ，所以14PF =，2FP =，所以126a PF PF =+=，即3a =，所以2224b a c =-=，所以椭圆方程为22194x y +=.故选B.10．【答案】B 【命题意图】本题考查基本不等式，意在考查学生对基本不等式的灵活运用，是中等题.【解析】∵m ，0n >，2m n +=，所以11111()()1311m n m n m n +=+++++∴1114(11)(23133n m m n +=+++≥+=+，当且仅当11n m m n +=+，即32m =，12n =时取等号，故111m n ++的最小值43.故选B.【命题意图】本题考查含参数的一元二次不等式，意在考查学生的分类讨论和函数思想的应用，属于中等题.【解析】因为一元二次不等式220x mx +->的解集为{|21}x x x <->或，所以21m -=-+，即1m =，所以不等式220x x m -++<即2210x x -++<，所以不等式220x x m -++<的解集为1(,)(1,)2-∞-+∞ .故选D.12．【答案】A 【命题意图】本题考查抛物线的几何性质，意在考查学生的数学抽象和数学运算能力，属于难题.【解析】根据抛物线的定义可知AF AC =，由于AC 垂直抛物线的准线，所以//AC x 轴，所以AFx CAF ∠=∠.设200,2y A y p ⎛⎫⎪⎝⎭，则0,,,022p p C y F ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设D 是CF 的中点，则00,2y D ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以直线AD 的方程为()0002020202y y y y x y p--=--，即002y p y x y =+.由00222y p y x y y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去y 并化简得22202004y p x px y -+=，其判别式222020404y p p y ∆=-⨯⨯=，所以直线AD 与抛物线相切，故直线AD 与直线AT 重合，点E 与点D 重合，由于D 是CF 的中点，所以AD CF ⊥，也即AT CF ⊥，命题（2）成立.根据等腰三角形的性质可知2CAF TAF ∠=∠，所以AT 平分FAC ∠，命题（1）成立.进而可得ACE TFE ≅ ，综上所述，正确的命题个数为3个.故选A.13．【答案】224n n +--【命题意图】本题考查数列求和以及分组求和.属于基础题.【解析】依题意112221nn n a +=+++=- ，则231221212124n n n S n ++=-+-++-=-- ．14．【答案】6+【命题意图】本题考查正余弦定理解三角形，意在考查学生的数学运算和逻辑推理能力.【解析】由正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，又cos cos 2a C c A a +=得到sinAcos sin cos 2sin C C A A +=，即sin()2sin A C A+=在ABC ∆中，A B C π++=,所以sin 2sin 1B A =≤,故角A 最大即6A π=.此时sin 1B =，即2B π=，ABC ∆为直角三角形，2a =，所以4b =，32=c，所以三角形的周长为6+.15．【答案】1)+【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，意在考查学生的数学运算和数学抽象等核心素养，属于难题.【解析】依题意，可得四边形12F AF B 为平行四边形，1AF x ⊥轴，所以2BF x ⊥轴,将横坐标c 带入双曲线方程，可得22221c y a b -=，得2=±by a，则2(,)b B c a ，所以222212tan 22b BF c a a F F c acα-===，又12tan (0,1)BF F ∠∈，即22012c a ac -<<，整理得2220c a ac --<，两边同时除以2a ，得2210c c a a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，即2210e e --<，又∵1e >，解得11e <<+.16．【答案】(【命题意图】本题考查不等式思想，可以利用线性规划，三角换元和基本不等式来解决，同时也考查学生的数形结合思想,属于较难问题.【解析】由题意知2224x y +=，令2x y z +=,即122zy x =-+，而2224(0)+=>x y y 表示的是椭圆在x 轴上方部分，所以当直线122zy x =-+经过(0)时，2x y +最小，所以最小值为，由于0>y ，所以2x y +>，当直线122zy x =-+与2224x y +=在第一象限相切时，2x y +取得最大值，联立方程组2212224z y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，可得22940424z z x x -+-=，由0= ，可得z =±，所以2x y +的最大值为所以2x y +的取值范围为(.17．【命题意图】本题考查全称命题和特称命题以及命题的否定，充分必要条件等,是基础题.【解析】（1）对于命题p ：对任意[1,)x ∈+∞，不等式2350x m m -++-<恒成立，因为函数253y x m m =-+-+在[1,)x ∈+∞上单调递减，所以有1x =时，2max430ym m =-+<，.........................................................................................................2分解之得(,1)(4,)m ∈-∞-+∞ ，...........................................................................................................................4分所以p 为假命题时，实数m 的取值范围[1,4]m ∈-...........................................................................................5分（2）依题意，对任意的[]2,1x ∈-，不等式22230x mx m --+>恒成立，即二次函数2223y x mx m =--+在[]2,1x ∈-上的最小值大于0即可，..................................................................................................................7分当2≤-m 时，44230+-+>m m ，解得∈∅m ；当1≥m 时，12230--+>m m ，解得1>m ；当21-<<m 时，222320-+->m m m ，解之得∈∅m ，综上可得，解之得1>m ，....................................................................................................................................9分而p 为真时(,1)(4,)m ∈-∞-+∞ ，所以p 是q 的既不充分也不必要条件.................................................................................................................10分18．【命题意图】本题考查一元二次不等式，主要考查三个二次之间的关系以及分类讨论等思想，是中等题.【解析】（1）不等式232ax bx x ++<的解集为(,1)(3,)-∞-+∞ 即方程2(2)30ax b x +-+=的两根为121,3x x =-=.....................................................................................2分由韦达定理得：213313b aa -⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，.....................................................................................................................4分解之得，1,4a b =-=...........................................................................................................................................6分（2）由（1）可知，令2()23f x x x =-++，对称轴方程为1x =，所以()f x 在[,1]x m ∈上单调递增，.....................................................................................................................9分所以当x m =时，2()231f x m m =-++≥，即22201m m m ⎧--≤⎨<⎩，所以[1m ∈-......................................................12分19．【命题意图】本题考查正余弦定理解三角形，意在考查学生的数学运算能力.是中等题.【解析】（1）因为2222a c b a b a+-=+，所以222a b c ab +-=-，............................................................2分所以1cos 2C =-，即23C π=..............................................................................................................................5分另解：因为2222a c b a b a +-=+，所以222222a c b a bac c+-+=，即2cos 2c B a b =+，由正弦定理得：2sin cos 2sin sin C B A B =+，...........................................................................................................................2分所以2sin cos 2sin()sin C B B C B =++，即2sin cos sin 0B C B +=，又sin 0B >，故1cos 2C =-，故23C π=．............................................................................................................................................................5分（2）因为ABC的面积为4，所以16si 4n 2ab C =，即132462ab ⨯=，故ab =，............................................................................................................................................................8分由余弦定理可得222222212cos 2()2=+-=+--=+c a b ab C a b a b所以222222224a c a a b a b +=+++=++≥=，........................................10分b ==此时1a =.............................................................................................12分20．【命题意图】本题考查数列的综合应用，主要考查数列求通项，数列求和，错位相减法思想等，是中等题.【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由2433S a a -=，即2423S S S -=，又21n n n a a a --=，可得()()11114684212211a d a d a n d a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩，......................................................................................................3分解得11a =，2d =.1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-，*N n ∈...........................................................................................6分（2）由题意知：422nn n b a ⋅+=，即()1221144n n n n a b n --⎛⎫==- ⎪⎝⎭，.........................................................8分所以1211111(2((1)()444n n T n -=⨯+⨯++-⨯ ，所以()2311111214444nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，..................................................................................10分两式相减得12131111()()()(1)(44444n n n T n -=+++-- ，所以1111()3144(1)(14414n n n T n -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=---11111((1)(3344n n n -=-⨯--11111(3344n n --=-+，.............11分所以14311()994n n n T -+=-⨯所以数列{}n b 的前n 项和14311()994n n n T -+=-⨯...........................................................................................12分21．【命题意图】本题考查基本不等式和不等式的证明，意在考向学生的逻辑推理能力，属于较难题.【解析】（1）因为a ，b ，c 为正数，且22a b c ++=，可得11111(2)2a b c a b b c a b b c+=+++++++............................................................................................3分1(11)22b c a b a b b c++=+++≥++，...........................................................................................................................5分当且仅当b c a ba b b c++=++时取等号.........................................................................................................................6分（2）()()2222222221122222++=+++++≥++a b c a b c a b c ab bc ac ................................................8分当且仅当19===a b c 时等号成立.()()1122222ab bc ac ab bc ab ac bc ac ++=+++++(12222≥+==............................................................10分当且仅当19===a b c 时等号成立.所以222a b c ++≥.当且仅当19===a b c 时等号成立......................................................................12分22．【命题意图】本题考查椭圆的集合性质，直线与椭圆的位置关系，意在考查数学抽象，直观想象和数学运算等核心素养，属于难题.【解析】（1）依题意，设椭圆的长半轴长为a ，直线2c x =被抛物线()22:2 0C y px p =>截得的弦长为且2pc =.所以224pp =⨯，解得p =.所以c =........................................................................3分又因为2a b =，∴2,1a b ==所以椭圆1C 的方程为2214x y +=，.....................................................................................................................5分（2）设(,)P x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由2OP OA OB λμ-=，得122x x x λμ=+，122y y y λμ=+∵点,,P A B 在椭圆2214x y +=上，∴所以221144x y +=，222244x y +=，2244x y +=........................................................................................7分故222212124(2)4(2)x y x x y y λμλμ+=+++22222211221212(4)4(4)4(4)4x y x y x x y y λμλμ=+++++=.设,OA OB k k 分别为直线,OA OB 的斜率，由题意知，121214OA OB y y k k x x ⋅==-因此121240x x y y +=,所以2241λμ+=............................................................................................................9分所以Q 点是椭圆上22114μλ+=上的点，.又,0)2M ，点N 满足2112MN F F =，所以(,0)2N -.........................................................................11分所以,M N 恰为椭圆22114μλ+=的左、右焦点，由椭圆的定义，2QM NQ +=为定值......................12分。

2020-2021学年度河南省豫南九校高二上学期期末联考理科数学试卷【含解析】

2020-2021学年度河南省豫南九校高二上学期期末联考理科数学试卷【含解析】一、单选题1．在数列{}n a 中，11(1)1,2(2)nn n a a n a --==+≥，则3a =（） A ．0 B ．53C ．73D ．3【答案】B【分析】由数列的递推关系式以及11a =求出2a ，进而得出3a ．【详解】11a =，21123a a ∴=+=，321523a a -=+=故选：B2．设222,1a x x b x =-+=-，则实数a 与b 的大小关系为（） A ．a b > B ．a b =C ．a b <D ．与x 有关【答案】A【分析】由22131024a b x x x ⎛⎫-=-+=-+> ⎪⎝⎭可得答案【详解】因为22131024a b x x x ⎛⎫-=-+=-+> ⎪⎝⎭恒成立所以a b > 故选：A3．若不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为（） A ．()3,0- B ．[)3,0-C ．[]3,0-D ．(]3,0-【答案】D【分析】分0k =，0k ≠两种情况，当0k =，308-<对x ∈R 恒成立，当0k ≠时，需开口向下，判别式小于0，不等式恒成立. 【详解】当0k =时，原不等式可化为308-<，对x ∈R 恒成立；当0k ≠时，原不等式恒成立，需220342()08k k k <⎧⎪⎨∆=-⨯⨯-<⎪⎩，解得,0()3k ∈-，综上(3,0]k ∈-. 故选：D4．如图，在四面体OABC 中，M ，N 分别在棱OA ，BC 上且满足2OM MA =，BN NC =，点G 是线段MN 的中点，用向量OA ，OB ，OC 作为空间的一组基底表示向量OG 应为（）A ．111363OG OA OB OC =++ B ．111344OG OA OB OC =++ C ．111336OG OA OB OC =++D ．111443OG OA OB OC =++【答案】B【分析】连接ON ，由向量加法的平行四边形法则及向量的数乘运算即可得解. 【详解】连接ON ，如图，则由向量加法的平行四边形法则可得()()1121122322OG OM ON OA OB OC =+=⨯+⨯+ 111344OA OB OC =++. 故选：B.5．已知x ，y 满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为（）A ．3B ．3-C ．1D ．32【答案】A【分析】由题意首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义求解最大值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：11y x y =-⎧⎨+=⎩，可得点A 的坐标为：()2,1A -，据此可知目标函数的最大值为：max 2213z =⨯-=. 故选：A【点睛】方法点睛：求线性目标函数()0z ax by ab =+≠的最值，当0b >时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当0b <时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大. 6．如图，无人机在离地面高200m 的A 处，观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C 处的俯角为45°，已知060MCN ∠=，则山的高度MN 为（）A ．1503mB ．2003mC ．3003mD ．300m【答案】D【分析】根据题中条件，先得到22002AC AB m ==，45AMC ∠=︒，在AMC 中，根据正弦定理，即可得出结果.【详解】∵//AD BC ，∴45ACB DAC ∠=∠=︒，∴22002AC AB m ==，又180604575MCA ∠=︒-︒-︒=︒，154560MAC ∠=︒+︒=︒，∴45AMC ∠=︒，在AMC 中，sin sin MC AC MAC AMC =∠∠，∴2002sin602003sin45MC m ︒==︒， ∴sin 2003sin60300MN MC MCN m =∠=︒=. 故选：D ．7．已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=（其中e 为自然对数的底数）的单调递减区间为（）A ．()0,4B ．()4,1,43⎛⎫-∞⋃⎪⎝⎭ C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,1，()4,+∞【答案】D【分析】利用图象求得不等式()()0f x f x '-<的解集，求得()()()xf x f xg x e'-'=，解不等式()0g x '<即可得出函数()g x 的单调递减区间. 【详解】由图象可知，不等式()()0f x f x '-<的解集为()()0,14,+∞，因为()()xf xg x e=，所以，()()()()()()2x xxx f x e f x e f x f x g x e e ''--'==，解不等式()0g x '<，可得()()0f x f x '-<，解得()()0,14,x ∈+∞，因此，函数()g x 的单调递减区间为()0,1，()4,+∞. 故选：D.【点睛】易错点睛：本题考查利用导数求解函数的单调递减区间，通过解不等式()0g x '<得到()()0,14,x ∈+∞，但需要注意的是，函数()g x 的两个单调递减区间不能取并集，而应分开表示.8．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念.在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设()f x '是函数()f x 的导函数，若()0f x '>，且对1x ∀，2x R ∈，且12x x ≠总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，则下列选项正确的是（）A ．()()()π2f f e f <<B ．()()()2πf f e f '''<<C ．()()()()1212f f f f <-'<'D ．()()()()2211f f f f ''<-<【答案】D【分析】由()0f x '>，得()f x 在R 上单调递增，并且由()f x 的图象是向上凸，进而判断选项.【详解】由()0f x '>，得()f x 在R 上单调递增，因为2e π>>，所以()()()2f f e f π>>，故A 不正确；对1x ∀，2x R ∈，且12x x ≠，总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，可得函数的图象是向上凸，可用如图的图象来表示，由()f x '表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知，随着x 的增大，()f x 的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，所以()()()2f f e f π'''<<，故B 不正确；()()()()212121AB f f f f k --==-，表示点()()1,1f 与点()()22f ,连线的斜率，由图可知()()21AB f k f ''<<，所以D 正确，C 不正确. 故选：D .【点睛】本题考查以数学文化为背景，导数的几何意义，根据函数的单调性比较函数值的大小，属于中档题型.9．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且3BC =，4AC =，13CC =，点P 在棱1AA 上，且三棱锥A PBC -的体积为4，则直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值等于（）A ．10B 6C 10D 15【答案】C【分析】利用锥体的体积公式可求得2PA =，然后以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值.【详解】由已知得1AA ⊥底面ABC ，且AC BC ⊥，所以111344332A PBC P ABC ABC V V S PA PA --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，解得2PA =. 如图所示，以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C 、()0,4,2P 、()3,0,0B 、()10,0,3C ，则()3,0,0CB =，()0,4,2CP =，()13,0,3BC =-. 设平面BCP 的法向量为(),,n x y z =，则由00n CB n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得30420x y z =⎧⎨+=⎩，即020x y z =⎧⎨+=⎩，得0x =，令1y =，得2z =-，所以()0,1,2n =-为平面BCP 的一个法向量. 设直线1BC 与平面PBC 所成的角为θ，则()()1122221610sin cos ,3312n BC n BC n BC θ⋅-=<>===⋅-+⨯+-. 故选：C.【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法：（1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键； ②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知识求角；（2）向量法，sin cos ,AB n AB n AB nθ⋅=<>=⋅（其中AB 为平面α的斜线，n 为平面α的法向量，θ为斜线AB 与平面α所成的角）.10．定义：在数列{}n a 中，若满足211n n n na a d a a +++-=（ *,n N d ∈为常数），称{}n a 为“等差比数列”，已知在“等差比数列”{}n a 中，1231,3a a a ===，则20202018a a 等于（） A ．4×20162－1 B ．4×20172－1C ．4×20182－1D ．4×20182【答案】C【分析】根据“等差比”数列的定义，得到数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，再利用202020202019201820192019a a a a a a =⨯求解. 【详解】由题意可得：323a a =，211a a = ，32211a a a a -=，根据“等差比数列”的定义可知数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首先为1，公差为2的等差数列，则()111221n na n n a +=+-⨯=-，所以20202019220191220181a a =⨯-=⨯+，20192018220181aa =⨯-，所以()()2202020202019201820192019220181220181420181a a a a a a =⨯=⨯+⨯-=⨯-. 故选：C【点睛】本题考查数列新定义，等差数列，重点考查理解题意，转化思想，计算能力，属于中档题型.11．已知1F 、2F 是双曲线C ：2214y x -=的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||||PF PF λ=，则λ的值为（）. A ．13B ．12C ．2D ．3 【答案】C【分析】设点2(1)4m P m +，，将22()0OP OF F P +⋅=坐标化运算，可求出45m =，再分别计算12||,||PF PF 的值，即可得答案；【详解】1a =，2b=，∴5c =1(5F -，，2(5F ，，设点2(1)4m P m +，，∴222222()(15)(15)150444m m m OP OF F P m m m +⋅=+⋅+=+-+=，，，∴2165m =，45m =，则3545(P ±，221354580504555PF ⎛⎫⎛⎫=--+±== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2122PF PF a =-=，∴12422PF PF λ===，故选：C.【点睛】利用坐标运算将数量积运算坐标化，再利用两点间距离公式分别求出焦半径是求解的关键.12．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，对于任意的实数x ，都有()()2x f x e f x -=，当0x <时，()()0f x f x +'>，若()()211ae f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是（） A ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)0,+∞D ．(],0-∞【答案】B【分析】构造函数()()xg x e f x =，根据题意，可得函数()g x 的奇偶性，根据0x <时()()0f x f x +'>，对函数()g x 求导，可得函数()g x 的单调性，将()()211a e f a f a +≥+，左右同乘1a e +，可得()()211211a a e f a e f a +++≥+，即()()211g a g a +≥+，利用()g x 的性质，即可求得答案. 【详解】∵()()2x f x e f x -=，∴()()()x x xf xe f x e f x e --==-，令()()xg x e f x =，则()()g x g x -=，即()g x 为偶函数，当0x <时()()0f x f x +'>，∴()()()'0xx e f x f x g '+⎡⎤⎣⎦>=，即函数()g x 在(),0-∞上单调递增.根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知()g x 在()0,∞+上单调递减， ∵()()211ae f a f a +≥+，∴()()211211a a ef a e f a +++≥+，∴()()211g a g a +≥+，即211a a +≤+，解得，203a -≤≤，故选：B .【点睛】解题的关键是将题干条件转化为()()()x x xf x e f x e f x e --==-，根据左右相同的形式，构造函数()()xg x e f x =，再根据题意，求得函数的奇偶性，单调性；难点在于：由于()()211ae f a f a +≥+，不符合函数()g x 的形式，需左右同乘1a e +，方可利用函数()g x 的性质求解，属中档题.二、填空题13．已知函数()32f x ax x =+()14f '=，则a =__________．【答案】1【分析】先求出函数()f x 的导函数()23f x ax x'=+，由()14f '=可得答案. 【详解】由题意()23f x ax x'=+，所以()1314f a '=+=解得1a = 故答案为：114．设等比数列{}n a 的公比为2，前n 项和为n S ，则55S a =________. 【答案】3116【分析】根据等比数列的求和公式与通项公式，由题中条件，直接计算，即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a 为等比数列，所以()5151123112a S a -==-，所以4511216a a a ==，所以515131311616S a a a ==. 故答案为：3116.15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”，“股”，“弦”，且“勾2＋股2=弦2”设直线l 交抛物线214y x =于,A B 两点，若,OA OB 恰好是Rt OAB 的“勾”"股”(O 为坐标原点)，则此直线l 恒过定点__________．【答案】()0,4【分析】设直线AB 的方程为y kx b =+，()()1122,,,A x y B x y ，直线方程与抛物线方程联立写出韦达定理，由条件可得即OA OB ⊥，所以12120OA OB x x y y ⋅=+=，将韦达定理代入可得答案.【详解】设直线AB 的方程为y kx b =+，()()1122,,,A x y B x y由24y kx b x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx b --= 则12124,4x x k x x b +==-若,OA OB 恰好是Rt OAB 的“勾”“股”（O 为坐标原点）可得222OA OB AB += 所以OA OB ⊥，即OA OB ⊥所以12120OA OB x x y y ⋅=+=，()2221212121114416y y x x x x =⨯=所以()()2212121212114401616OA OB x x y y x x x x b b ⋅=+=+=-+⨯-= 即240b b -=，解得40b b ==或（舍）所以直线AB 的方程为4y kx =+，恒过点()0,4 故答案为：()0,4【点睛】关键点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系和直线过定点问题，解答本题的关键是由条件得出OA OB ⊥，所以12120OA OB x x y y ⋅=+=，得到240b b -=，属于中档题.16．已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，其导函数为()f x '. 当0x ≥时，()()1xf x f x '>-. 若对任意x ∈R ，不等式()()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立，则正整数a 的最大值为_____. 【答案】2【分析】令()()g x xf x x =-，利用()()1xf x f x '>-可得()g x 在[)0,+∞单调递增，不等式()()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立等价于()()xg e g ax >，即e x ax >，当0x >时，分离参数可得()x e a h x x<=，可求出正整数a 的最大值为2，再检验当2a =时，对于0x <，不等式恒成立，即可求解.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，所以函数()f x 为R 上的偶函数，令()()g x xf x x =-，则()()()1g x f x xf x ''=+-，因为当0x ≥时，()()1xf x f x '>-，即()()()10g x f x xf x ''=+->，所以()g x 在[)0,+∞单调递增，不等式()()0x x xe f e e ax axf ax -+->恒成立，即()()x x x e f e e axf ax ax ->-，即()()xg e g ax >，所以e x ax >，当0x >时，()xe a h x x <=，则()()21x e x h x x-'=，可得()h x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，所以()()min 1h x h e ==，所以a e <，此时最大的正整数a 为2，2a =对于0x <时，e x ax >恒成立，综上所述：正整数a 的最大值为2，故答案为：2【点睛】关键点点睛：本题的关键点是构造函数()()g x xf x x =-，利用导数判断出()g x 在[)0,+∞单调递增，不等式恒成立即()()xg e g ax >，利用单调性可得e x ax >，再分类参数求最值.三、解答题17．已知命题：“{}|22x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题．（1）求实数m 的取值集合M ；（2）设关于x 的不等式()()80x a x a ---<的解集为N ，若“x ∈N ”是“x M ∈”的必要条件，求a 的取值范围．【答案】（1）164⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，；（2）124⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，．【分析】（1）利用参数分离法将m 用x 表示，结合二次函数的性质求出m 的取值范围，从而可求集合M ；（2）若x ∈N 是x M ∈的必要条件，则M N ⊆即可得到不等式，从而求出参数的取值范围；【详解】解：（1）由题意可知20x x m --=，所以221124m x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，因为{}|22x x x ∈-<<，所以21116244x ⎛⎫⎡⎫--∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，，即164m -≤<，则实数m 的取值集合M=164⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，；（2）由()()80x a x a ---<，可得()8N a a =+，，因为“x N ∈”是“x M ∈”的必要条件，所以M N ⊆，则1486a a ⎧<-⎪⎨⎪+≥⎩，解得124a -≤<-，所以a 的取值范围为124⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，．【点睛】本题考查必要条件求参数的取值范围，一般可根据如下规则判断计算：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对的集合与p 对应集合互不包含． 18．已知ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足()sin sin sin a A c C a b B -=-.（1）求角C 的大小；（2）若边长3c =ABC 的周长最大值. 【答案】（1）3π；（2）33【分析】（1）利用正弦定理边角互化可得出222a b c ab +-=，利用余弦定理求出cos C 的值，再结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）利用正弦定理结合三角函数可得2336π⎛⎫++=+⎪⎝⎭a b c A ，由203A π<<可得5666A πππ<+<，结合正弦函数的基本性质可求得ABC 的周长最大值.【详解】（1）()sin sin sin a A c C a b B -=-，根据正弦定理得，()22a c ab b -=-，即222a b c ab +-=，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==.又()0,C π∈，所以3C π=；（2）3C π=，3c =23A B π+=，由正弦定理得32sin sin sin 3a b cA B C ====，可得：2sin a A =，22sin 2sin 3b B A π⎛⎫==-⎪⎝⎭，23132sin 2sin 32sin 2sin 32a b c A A A A A π⎫⎛⎫∴++=+-=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3sin 3cos 323sin 36A A A π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭由203A π<<可得5666A πππ<+<，可得1sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭.(23323,336a b c A π⎛⎫∴++=+ ⎪⎝⎭.因此，ABC 的周长的最大值为33【点睛】方法点睛： 1.解三角形的基本策略：（1）利用正弦定理实现“边化角”；（2）利用余弦定理实现“角化边”；2.求三角形周长的最值也是解三角形中一种常见类型的问题，主要方法有两类：（1）找到边与边的关系，利用余弦定理列等式，结合基本不等式求最值；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角为自变量的三角函数，利用函数思想的求最值. 19．数列{}n a 满足()()1123231221n n a a a na n n +++++=-+≥.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n nn b a +=，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求n S . 【答案】（1）2nn a =；（2）()12552nn S n ⎛⎫ ⎪⎝=⎭-+⋅+ 【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．【详解】解：（1）由题意，12a =.由()()1123231221n n a a a na n n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+≥，① 得()()()12312312222nn a a a n a n n -+++⋅⋅⋅+-=-⋅+≥，②①-②，得()()()112222222n n nn na n n n n +⎡⎤⎡⎤=-⋅+--⋅+=⋅≥⎣⎦⎣⎦，所以()22nn a n =≥又因为当1n =时，上式也成立，所以数列{}n a 的通项公式为2nn a =.（2）由题意，21212n n n n n b a ++==，所以 123123357212222n n n n S b b b b +=+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅， ③ 234113572121222222n n n n n S +++=+++⋅⋅⋅++， ④ ③-④，得123234113572135721212222222222n n n n n n n S ++++⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 234131111212222222n n n ++⎛⎫=++++⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭ 111122121212212nn n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+⨯--()1512522n n +⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭从而()12552nn S n ⎛⎫ ⎪⎝=⎭-+⋅+.【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．20．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD DC BC ===，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =，设点M 在线段EF 上运动.（1）证明：BC AM ⊥；（2）设平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角为θ，求θ的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）3π.【分析】（1）由平面几何知识，余弦定理可得BC AC ⊥.，再由面面垂直、线面垂直的性质可得证；（2）由（1）可建立分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，令(03FM λλ=≤≤，由二面角的向量求解方法可表示()2cos 34θλ=-+，由二次函数的性质可求得最值.【详解】（1）证明：在梯形ABCD 中，因为//AB CD ，1===AD DC CB ，60ABC ∠=︒，所以2AB =，所以2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒=，所以222AB AC BC =+，所以BC AC ⊥.因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ⋂平面ABCD AC =，因为BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE .所以BC ⊥AM ；（2）解：由（1）可建立分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，令(03FM λλ=≤≤，则()0,0,0C ，)3,0,0A，()0,1,0B ，(),0,1M λ.∴()3,1,0AB =-，(),1,1BM λ=-.设(),,n x y z =为平面MAB 的一个法向量，由00n AB n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩得30,0,x y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，则()1,3,3n λ=，∵()1,0,0m =是平面FCB 的一个法向量，∴()()22||cos 133134n m n mθλλ⋅===++-⨯-+∵03λ≤≤∴当3λ=cos θ有最大值12，θ的最小值为3π.【点睛】向量法求二面角的步骤：建、设、求、算、取.1、建：建立空间直角坐标系.以三条互相垂直的垂线的交点为原点，没有三垂线时需做辅助线;建立右手直角坐标系,让尽量多的点落在坐标轴上。