2013届高三一轮复习课时训练19：简单的三角恒等变换

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高考复习方案高考数学一轮复习第3单元第19讲简单的三角恒等变换同步作业理

课时作业(十九) [第19讲简单的三角恒等变换](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．sin 200°cos 140°－cos 160°sin 40°＝( )A .12B .32 C ．－12 D ．－32 2．化简：sin （180°＋2α）1＋cos 2α·cos 2αcos （90°＋α）＝( ) A ．－sin αB ．－cos αC ．sin αD ．cos α3．设α，β均为锐角，且cos (α＋β)＝sin (α－β)，则tan α的值为( ) A ．2 B . 3C ．1D .334．若sin θ＝45，sin θ－cos θ>1，则sin 2θ＝( ) A ．－2425 B ．－1225C ．－45D .24255．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α等于________． 6．已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝3 1010，则α＋β＝________．能力提升7．在△ABC 中，A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2·tan C 2的值是( ) A ．± 3 B ．－ 3 C . 3 D .338．已知点P(sin 3π4，cos 3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则tan (θ＋π3)的值为( )A .3＋3B .3－3C ．2＋ 3D ．2－ 39．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tan α21－tan α2＝( ) A ．－12 B .12C ．2D ．－210．若sin α＝1－3tan 10°sin α，则锐角α的值为( )A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°11．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2B ．3α＋β＝π2C ．2α－β＝π2D ．2α＋β＝π212．[2014·临沂三模] 已知α是第一象限角，sin α＝55，tan (β－α)＝－13，则tan (β－2α)的值为________．13．已知函数f(x)＝sin 2ωx ＋3sin ωx ·cos ωx ，x ∈R ，f (α)＝－12，f (β)＝12，若|α－β|的最小值为3π4，则正数ω的值为________． 14．(10分)已知α，β∈(0，π)，且tan (α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．15．(13分)设函数f(x)＝sin (2x ＋π3)＋33sin 2x －33cos 2x. (1)求f(x)的最小正周期及其图像的对称轴方程；(2)将函数f(x)的图像向右平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图像，求g(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的值域．难点突破16．(12分)[2014·惠州一调] 已知平面直角坐标系上的三点A(0，1)，B(－2，0)，C(cosθ，sin θ)(θ∈(0，π))，O 为坐标原点，向量BA →与向量OC →共线．(1)求tan θ的值；(2)求sin (2θ－π4)的值．课时作业(十九)1．B 2.D 3.C 4.A 5.34 6.π4 7.C8．D 9.A 10.B 11.C 12.－1 13.1314．2α－β＝－3π415．(1)T ＝π.对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，36 16．(1)tan θ＝12(2)sin(2θ－π4)＝210。

高考数学一轮复习练习简单的三角恒等变换

简单的三角恒等变换基础巩固组1.函数f (x )=(√3sin x+cos x )(√3cos x-sin x )的最小正周期是( ) A.π2B.πC.3π2D.2π2.(2020陕西榆林一模,理7)已知α∈(0,π),2sin 2α=cos 2α-1,则sin α=( ) A.15B.√55C.-√55D.2√553.已知2sin 2α=1+cos 2α,则tan 2α=( ) A.43B.-43C.43或0D.-43或04.(2020山东德州二模,5)已知α终边与单位圆的交点P (x ,-35),且sin αcos α>0,则√1-sin2α+√2+2cos2α的值等于( ) A.95 B.75 C.65D.35.已知cos 2π3-2θ=-79,则sin π6+θ的值等于( ) A.13B.±13C.-19D.196.已知α∈0,π2,sin α-cos α=√55,则tan α+π4=( )A.-32B.-23C.-3D.-137.(多选)下列各式中,值为12的是( ) A.cos 2π12-sin 2π12B.tan22.5°1-tan 222.5°C.2sin 195°cos 195°D.√1+cos π628.(多选)(2020山东潍坊临朐模拟二,10)已知函数f (x )=sin x sin (x +π3)−14的定义域为[m ,n ](m<n ),值域为[-12,14],则n-m 的值可能是( ) A.5π12B.7π12C.3π4D.11π129.(2020山东历城二中模拟四,14)已知tan α2=√52,则sin π2+α= . 10.(2020山东济南一模,13)已知cos 2α-π3=23,则12-sin 2α-π6的值为 .11.(2020山东潍坊二模,14)已知α∈0,π2,sin α-π4=√55,则tan α= .12.(2020陕西西安中学八模,文14)若α∈0,π2,且2cos 2α=sin α+π4,则sin 2α的值为 .综合提升组13.已知f (x )=sin 2x+sin x cos x ,则f (x )的最小正周期和一个单调递增区间分别为( ) A.π [0,π] B.2π -π4,3π4 C.π-π8,3π8D.2π-π4,π414.已知m=tan (α+β+γ)tan (α-β+γ),若sin 2(α+γ)=3sin 2β,则m=( )A.-1B.34 C.32D.215.已知cos α=13,cos(α+β)=-13,且α,β∈0,π2,则cos(α-β)的值为 . 16.(2020山东泰安一模,13)已知α,β∈3π4,π,sin(α+β)=-35,sin β-π4=1213,则cos α+π4= .创新应用组17.(多选)(2020山东滨州二模,11)已知函数f (x )=(a sin x+cos x )cos x-12的图像的一条对称轴为x=π6,则下列结论中正确的是( ) A.f (x )是最小正周期为π的奇函数 B.(-7π12,0)是f (x )图像的一个对称中心 C.f (x )在区间[-π3,π3]上单调递增D.先将函数y=2sin 2x 图像上各点的纵坐标缩短为原来的12,然后把所得函数图像再向左平移π12个单位长度,即可得到函数f (x )的图像18.(2020河北邢台模拟,理12)已知定义域为R 的函数f (x )满足f 12=12,f'(x )+4x>0,其中f'(x )为f (x )的导函数,则不等式f (sin x )-cos 2x ≥0的解集为 ( )A.-π3+2k π,π3+2k π,k ∈Z B.-π6+2k π,π6+2k π,k ∈Z C.π3+2k π,2π3+2k π,k ∈Z D.π6+2k π,5π6+2k π,k ∈Z参考答案课时规范练21 简单的三角恒等变换1.B f (x )=2sin x+π6×2cos x+π6=2sin 2x+π3,故最小正周期T=2π2=π,故选B .2.D ∵α∈(0,π),∴sin α>0,∵2sin 2α=cos 2α-1,即4sin αcos α=(1-2sin 2α)-1,整理得cos α=-12sin α,代入sin 2α+cos 2α=1,解得sin α=2√55.故选D .3.C 因为2sin 2α=1+cos 2α,所以2sin 2α=2cos 2α.所以2cos α(2sin α-cos α)=0,解得cos α=0或tan α=12.若cos α=0,则α=k π+π2,k ∈Z ,2α=2k π+π,k ∈Z ,所以tan 2α=0.若tan α=12,则tan 2α=2tanα1-tan 2α=43.综上所述,故选C .4.A 已知α终边与单位圆的交点P x ,-35,且sin αcos α>0,∴x<0,故x=-45,∴sin α=-35,cos α=x=-45.则√1-sin2α+√2+2cos2α=|cos α-sin α|+√4cos 2α=15+85=95.故选A . 5.B ∵cos2π3-2θ=-79,∴cos π-π3+2θ=-cosπ3+2θ=-cos 2π6+θ =-1-2sin 2π6+θ=-79,解得sin 2π6+θ=19,∴sinπ6+θ=±13.故选B .6.C ∵sin α-cos α=√55,则(sin α-cos α)2=15,即1-sin 2α=15,得sin 2α=45,∴(sin α+cos α)2=1+sin 2α=1+45=95,则sin α+cos α=3√55,又sin α-cos α=√55,∴sin α=2√55,cos α=√55,∴tan α=2,∴tan α+π4=tanα+11-tanα=2+11-2=-3.7.BC cos 2π12-sin 2π12=cos 2×π12=cos π6=√32,故A 错误;tan22.5°1-tan 222.5°=12·2tan22.5°1-tan 222.5°=12tan 45°=12,故B 正确;2sin 195°cos 195°=2sin(180°+15°)cos(180°+15°)=2sin 15°cos 15°=sin 30°=12,故C 正确; √1+cos π62=√2+√34=√2+√32≠12,故D 错误.故选BC .8.AB f (x )=sin x sin x+π3-14=sin x 12sin x+√32cos x -14 =14(1-cos 2x )+√34sin 2x-14 =12√32sin 2x-12cos 2x =12sin 2x-π6.作出函数f (x )的图像如图所示,在一个周期内考虑问题.易得{m =π2,5π6≤n ≤7π6或{π2≤m ≤5π6,n =7π6满足题意,所以n-m 的值可能为区间[π3,2π3]上的任意实数.故选AB . 9.-19 sin π2+α=cos α=cos 2α2-sin 2α2=cos2α2-sin2α2cos2α2+sin2α2=1-tan2α21+tan2α2=1-541+54=4-54+5=-19.10.13∵cos2α-π3=23,∴12-sin2α-π6=12−1-cos2(α-π6)2=12cos2α-π3=12×23=13.11.3∵α∈0,π2,∴α-π4∈-π4,π4,由sinα-π4=√55,得cosα-π4=2√55.∴sin α=sinα-π4+π4=sinα-π4cosπ4+cosα-π4sinπ4=√55×√22+2√55×√22=3√1010,cos α=√1-sin2α=√1010,∴tan α=3.12.78由2cos 2α=sinα+π4,得2cos 2α=√22sin α+√22cos α,两边平方得4cos22α=12(1+sin 2α),即8(1-sin22α)=1+sin 2α,整理得(7-8sin 2α)(1+sin 2α)=0,又α∈0,π2,所以sin 2α=78或sin 2α=-1(舍去).13.C f(x)=sin2x+sin x cos x=1-cos2x2+12sin 2x=1 2+√22√22sin 2x-√22cos 2x=1 2+√22sin2x-π4,则T=2π2=π.又∵2k π-π2≤2x-π4≤2k π+π2(k ∈Z ),∴k π-π8≤x ≤k π+3π8(k ∈Z )为函数的单调递增区间.故选C . 14.D ∵sin 2(α+γ)=3sin 2β,∴sin[(α+γ+β)-(β-α-γ)]=3sin[(α+γ+β)-(α+γ-β)],∴sin(α+γ+β)cos(β-α-γ)-cos(α+γ+β)sin(β-α-γ)=3sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)-3cos(α+γ+β)sin(α+γ-β),即-2sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)=-4cos(α+β+γ)sin(α+β-γ),∴12tan(α+γ+β)=tan(α+γ-β), 故m=tan (α+β+γ)tan (α-β+γ)=2,故选D . 15.2327 ∵α∈0,π2,∴2α∈(0,π).∵cos α=13,∴cos 2α=2cos 2α-1=-79,∴sin 2α=√1-cos 22α=4√29. ∵α,β∈0,π2,∴α+β∈(0,π),∴sin(α+β)=√1-cos 2(α+β)=2√23,∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)] =cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β) =-79×-13+4√29×2√23=2327.16.-5665∵α,β∈3π4,π,∴α+β∈3π2,2π,∴cos(α+β)=√1-sin 2(α+β)=45. 又β-π4∈π2,3π4,sin β-π4=1213,∴cos β-π4=-√1-sin 2(β-π4) =-513.∴cos α+π4=cos (α+β)-β-π4=cos(α+β)cos β-π4+sin(α+β)sin β-π4=45×-513+-35×1213=-5665. 17.BD 函数f (x )=(a sin x+cos x )cos x-12=a sin x cos x+cos 2x-12=12a sin 2x+12cos 2x ,因为f (x )图像的一条对称轴为x=π6,所以f (0)=f (π3),即12=12a ×√32+12×(-12),解得a=√3,所以f (x )=√32sin 2x+12cos2x=sin (2x +π6).所以f (x )的最小正周期为π,但不是奇函数,故A 错误;f (-7π12)=sin (-7π6+π6)=f (-π)=0,所以(-7π6,0)是f (x )图像的一个对称中心,故B 正确;x ∈[-π3,π3]时,2x+π6∈[-π2,5π6],所以f (x )在区间[-π3,π3]上不是单调函数,故C 错误;将函数y=2sin 2x 图像上各点的纵坐标缩短为原来的12(横坐标不变),得y=sin 2x 的图像,再把所得函数图像向左平移π12个单位长度,得y=sin 2(x +π12)=sin 2x+π6的图像,即函数f (x )的图像,故D 正确.故选BD .18.D 令g (x )=f (x )+2x 2-1,g'(x )=f'(x )+4x>0,故g (x )在R 上单调递增,且g 12=f 12+2×122-1=0,所以f (sin x )-cos 2x=f (sin x )+2sin 2x-1≥0,即g (sin x )≥g 12,则sin x ≥12,解得π6+2k π≤x ≤5π6+2k π,k ∈Z .故选D .。

高考数学一轮复习限时集训(二十三)简单的三角恒等变

限时集训(二十三) 简单的三角恒等变换(限时：45分钟满分：81分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．(2013·济南模拟)函数y ＝sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π2．(2013·沈阳四校联考)若1＋cos 2αsin 2α＝12，则tan 2α等于( )A.54 B ．－54C.43D ．－433．已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝aloga 13(a ＞0，且a ≠1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α的值为( )A.1010 B ．－1010C.31010D ．－310104．已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos 2x ＝a ，则cos x ＝( ) A. 1－a 2 B ．－ 1－a2 C.1＋a2D ．－1＋a25．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235B.235C ．－45D.456．设α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin 3αcos α＋cos 3αsin α的最小值为( )A.2764 B.325C.536D ．1二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．若α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，则tan(α－β)＝________.8．设α是第二象限角，tan α＝－43，且sin α2<cos α2，则cos α2＝________.9．(2012·江苏高考)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________．三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．(1)化简4cos 4x －2cos 2x －1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ；(2)化简[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°. 11.已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)求f ′(x )及函数y ＝f ′(x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x )的值域．12．已知函数f (x )＝3cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且其图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6，α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且g (α)＝1，g (β)＝324，求g (α－β)的值．答案限时集训(二十三) 简单的三角恒等变换1．B 2.D 3.B 4.D 5.C 6.D 7．－73 8.－55 9.1725010．解：(1)原式＝1＋cos 2x 2－2cos 2x －1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝cos 22xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝2cos 22x cos 2x ＝2cos 2x .(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 50°＋s in 10°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°·2·si n 80°＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫2sin 50°＋2sin 10°·12cos 10°＋32sin 10°cos 10°· 2cos 10°＝22[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)] ＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝ 6. 11．解：(1)由题意可知，f ′(x )＝cos x －sin x ＝－2·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，所以y ＝f ′(x )的最小正周期为T ＝2π.(2)F (x )＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sin x cos x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1. ∴函数F (x )的值域为[0,1＋ 2 ]．12．解：(1)依题意函数的最小正周期T ＝2πω＝π，解得ω＝2，所以f (x )＝3cos(2x＋φ)．因为函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，所以3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝0，得到2×5π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－π3，k ∈Z .由－π2＜φ＜0得φ＝－π3.故函数f (x )的解析式为f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.(2)依题意有g (x )＝3cos2×⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6－π3＝3cos x ，由g (α)＝3cos α＝1，得cos α＝13，同理g (β)＝3cos β＝324，得cos β＝24. 而α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223， sin β＝1－⎝⎛⎭⎪⎫242＝144，所以g (α－β)＝3cos(α－β)＝3(cos αcos β＋sin αsin β)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫13×24＋223×144＝2＋474.。

2013高三数学一轮复习课时提能演练 3.6 简单的三角恒等变换理新课标

2013版高三新课标理科数学一轮复习课时提能演练 3.6 简单的三角恒等变换(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.(2012·洋浦模拟)函数y ＝5sin2xcos2x 是( )(A)周期为π2的奇函数 (B)周期为π2的偶函数 (C)周期为π4的奇函数 (D)周期为π4的偶函数 2.(2012·佛山模拟)已知cosα＝35，则cos2α的值为( ) (A)－2425 (B)－725 (C)725 (D)24253.若sinθ＋cosθ＝2，则tan(θ＋π3)的值是( ) (A)2－ 3 (B)－2－ 3(C)2＋ 3 (D)－2＋ 34.已知tanθ＝2，则sin 2θ＋sinθcosθ－2cos 2θ＝( )(A)－43 (B)54 (C)－34 (D)455.(易错题)已知函数f(x)＝1＋cos2x 4sin(π2＋x)－asin x 2cos(π－x 2)的最大值为2，则常数a 的值为( ) (A)15 (B)－15 (C)±15 (D)±106.(2012·临汾模拟)若函数f(x)＝(sinx ＋cosx)2－2cos 2x －m 在[0，π2]上有零点，则实数m 的取值范围为( )(A)[－1， 2 ] (B)[－1,1](C)[1， 2 ] (D)[－2，－1]二、填空题(每小题6分，共18分)7.化简1＋sin2θ－cos2θ1＋sin2θ＋cos2θ＝ . 8.tan20°＋tan40°＋3·tan20°·tan40°＝ .9.(2012·温州模拟)函数y ＝(acosx ＋bsinx)cosx 有最大值2，最小值－1，则实数(ab)2的值为 .三、解答题(每小题15分，共30分)10.设sinα＝－35，sinβ＝1213，且α∈(π，3π2)，β∈(π2，π)，求sin(α－β)，cos2α，tan β2的值. 11.(预测题)设函数f(x)＝2cos 2x ＋sin2x ＋a(a∈R).(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)当x∈[0，π6]时，f(x)的最大值为2，求a 的值.【探究创新】(16分)已知函数f(x)＝sinx ＋cosx ，f′(x)是f(x)的导函数，(1)求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f 2(x)的值域和最小正周期；(2)若f(x)＝2f′(x)，求1＋sin 2x cos 2x －sinxcosx的值.答案解析1. 【解题指南】利用倍角公式化简成y ＝Asin ωx 的形式，即可得其相应性质.【解析】选A.y ＝5sin2xcos2x ＝52sin4x ， ∴T ＝2π4＝π2， ∵f(－x)＝－f(x)，∴函数y ＝5sin2xcos2x 是奇函数.2.【解析】选B.由cos2α＝2cos 2α－1＝2×(35)2－1＝－725. 3.【解析】选B.∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，联立方程得⎩⎨⎧ sin θ＋cos θ＝2sin 2θ＋cos 2θ＝1，解这个关于sin θ与cos θ的二元二次方程组， ∵sin θ＋cos θ＝2＞1，故sin θ与cos θ同为正，∴sin θ＝22，cos θ＝22.所以tan θ＝1，故有tan(θ＋π3)＝tan θ＋tan π31－tan θtan π3＝－2－ 3. 4.【解析】选D.sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1，又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45. 5.【解题指南】先利用公式进行三角恒等变形，把f(x)化成f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的形式，再利用最大值求得a.【解析】选C.因为f(x)＝2cos 2x 4cosx ＋12asinx ＝12(cosx ＋asinx)＝1＋a 22cos(x －φ)(其中tan φ＝a)，所以1＋a 22＝2，解得a ＝±15. 6.【解析】选A.f(x)＝(sinx ＋cosx)2－2cos 2x －m＝1＋sin2x －2cos 2x －m＝1＋sin2x －1－cos2x －m ＝2sin(2x －π4)－m ， ∵0≤x ≤π2，∴0≤2x ≤π， ∴－π4≤2x －π4≤3π4， ∴－1≤2sin(2x －π4)≤2，故当－1≤m ≤2时，f(x)在[0，π2]上有零点. 7.【解题指南】分子、分母分别用倍角公式变换，注意约分.【解析】原式＝1＋2sin θ·cos θ－(1－2sin 2θ)1＋2sin θ·cos θ＋(2cos 2θ－1)＝2sin θ·cos θ＋2sin 2θ2sin θ·cos θ＋2cos 2θ＝2sin θ·(cos θ＋sin θ)2cos θ·(sin θ＋cos θ)＝tan θ.答案：tan θ8.【解析】原式＝tan(20°＋40°)(1－tan20°tan40°)＋3tan20°tan40°＝3(1－tan20°tan40°)＋3tan20°tan40° ＝ 3. 答案： 39.【解析】y ＝acos 2x ＋bsinxcosx＝a ·1＋cos2x 2＋b 2sin2x ＝12a 2＋b 2sin(2x ＋φ)＋a 2∴⎩⎪⎨⎪⎧ 12a 2＋b 2＋a 2＝2－12a 2＋b 2＋a 2＝－1，∴a ＝1，b 2＝8，∴(ab)2＝8.答案：8【方法技巧】三角恒等变换的特点和变换技巧(1)三角恒等变换就是利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式、倍半角公式等进行简单的恒等变换. 三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.(2)对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角恒等变换的重要特点.(3)在三角变换时要选准解决问题的突破口，要善于观察角的差异，注意拆角和拼角的技巧；观察函数名称的异同，注意切化弦、化异为同的方法的选用；观察函数式结构的特点等. ①注意掌握以下几个三角恒等变形的常用方法和简单技巧：(i)常值代换，特别是“1”的代换，如：1＝sin 2θ＋cos 2θ等；(ii)项的分拆与角的配凑；(iii)降次与升次；(ⅳ)万能代换.②对于形如asin θ＋bcos θ的式子，要引入辅助角φ并化成a 2＋b 2sin(θ＋φ)的形式，这里辅助角φ所在的象限由a ，b 的符号决定，φ角的值由tan φ＝b a确定.对这种思想，务必强化训练，加深认识.10.【解析】∵sin α＝－35，sin β＝1213，且α∈(π，3π2)，β∈(π2，π)， ∴cos α＝－1－(－35)2＝－45， cos β＝－1－(1213)2＝－513， ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝(－35)×(－513)－(－45)×1213＝6365； cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×(－35)2＝725， tan β2＝sin β1＋cos β＝12131－513＝32. 【变式备选】已知2tanx 1＋tan 2x ＝35，求sin 2(π4＋x)的值. 【解析】2tanx 1＋tan 2x ＝2sinxcosx cos 2x ＋sin 2x cos 2x＝sin2x ＝35， sin 2(π4＋x)＝12[1－cos2(π4＋x)] ＝12[1－cos(π2＋2x)]＝1＋sin2x 2＝45. 11.【解析】(1)f(x)＝2cos 2x ＋sin2x ＋a ＝1＋cos2x ＋sin2x ＋a ＝2sin(2x ＋π4)＋1＋a ，则f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)当x ∈[0，π6]时，π4≤2x ＋π4≤7π12，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，sin(2x ＋π4)＝1，所以f(x)max ＝2＋1＋a ＝2⇒a ＝1－ 2.【探究创新】【解题指南】(1)先求出f ′(x)，代入F(x)进行三角恒等变换得到F(x)＝Asin(ωx ＋φ)＋b 的形式，求其性质；(2)根据f(x)＝2f ′(x)求出tanx 的值，化简所求的式子后代入.【解析】(1)∵f ′(x)＝cosx －sinx ，∴F(x)＝f(x)f ′(x)＋f 2(x).＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sinxcosx＝1＋sin2x ＋cos2x＝1＋2sin(2x ＋π4) ∴函数F(x)的值域为[1－2，1＋ 2 ]，∴最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)∵f(x)＝2f ′(x) ⇒sinx ＋cosx ＝2cosx －2sinx ，∴cosx ＝3sinx ⇒tanx ＝13， ∴1＋sin 2x cos 2x －sinxcosx ＝2sin 2x ＋cos 2x cos 2x －sinxcosx＝2tan 2x ＋11－tanx ＝11923＝116.。

简单的三角恒等变换(一轮复习)

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公式 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)的应用及注意事项
(1)利用 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)把形如 y＝ asin x＋bcos x＋k 的函数化为一个角的某种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域和最值、对称轴等． (2)该公式是逆用两角和的正弦公式得到的． φ 为特当 3 a 殊角即|b|的值为 1 或 3 时要熟练掌握．对 φ 是非特殊 3 角时，只要求会求最值即可．
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已知三角函数式的值，求其他三角函数式值的一般思路
(1)先化简所求式子；
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值． ————————————————————————
π 3 12 2．已知 sin(2α－β)＝5，sin β＝－13，且 α∈2，π，β∈ π －，0，求 sin α 的值． 2 π 解：∵2＜α＜π，∴π＜2α＜2π.
1－cos 2α－sin 2α 保持本例条件不变，求的值． 1＋cos 2α－sin 2α
1－cos 2α－sin 2α 2sin2α－2sin αcos α 解：＝ 1＋cos 2α－sin 2α 2cos2α －2sin αcos α 2sin αsin α－cos α 1 ＝＝－tan α＝3. 2cos αcos α－sin α
－sin 20° 1 ＝ 2sin 20°＝－2.
答案：B
2sin 2－1 π 3．若 f(x)＝2tan x－ x x ，则 f12的值为 sin2cos2 4 A．－3 3 B．8

高三人教B理科数学一轮复习课时作业简单的三角恒等变换

课时作业(十九) [第19讲简单的三角恒等变换][时间：35分钟分值：80分]基础热身1．[2011·江门质检] 已知sin10°＝a ，则sin70°等于( )A ．1－2a 2B ．1＋2a 2C ．1－a 2D ．a 2－12．若α是第二象限角，sin α2＝45，则sin α的值为( ) A.925 B.2125 C.2425 D ．－24253．[2011·绍兴一模] 函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x cos(π＋x )＋32cos2x 的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B.⎣⎡⎦⎤－32，32 C ．[－1,1] D ．[－2,2] 4．[2011·杭州质检] 设α为第四象限的角，若sin3αsin α＝135，则tan2α＝________. 能力提升5．[2011·合肥二模] 已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝14，则sin2α的值是( ) A.78 B.158C ．－158D ．－78 6．函数f (x )＝2cos 2x －3sin2x (x ∈R )的最小正周期和最大值分别为( )A ．2π，3B ．2π，1C ．π，3D ．π，17．[2011·开封二模] 已知tan α＝4，则1＋cos2α＋8sin 2αsin2α的值为( ) A ．4 3 B.654 C ．4 D.2338．[2011·濮阳二模] 已知θ为△ABC 的一个内角，且sin θ＋cos θ＝m ，若m ∈(0,1)，则关于△ABC 的形状的判断，正确的是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．前三种形状都有可能 9．计算：3tan12°－34cos 212°sin12°－2sin12°＝________. 10．[2011·济宁质检] 已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3，则sin2θ－2cos 2θ＝________. 11．已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx ·cos ωx ，x ∈R ，又f (α)＝－12，f (β)＝12，若|α－β|的最小值为3π4，则正数ω的值为________． 12．(13分)[2011·重庆卷] 设函数f (x )＝sin x cos x －3cos(x ＋π)cos x (x ∈R )．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝f (x )的图象按b ＝⎝⎛⎭⎫π4，32平移后得到函数y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值．难点突破13．(12分)已知函数f (x )＝32sinπx ＋12cosπx ，x ∈R . (1)求函数f (x )的最大值和最小值；(2)设函数f (x )在[－1,1]上的图象与x 轴的交点从左到右分别为M 、N ，图象的最高点为P ，求PM →与PN →的夹角的余弦．课时作业(十九)【基础热身】1．A [解析] sin70°＝sin(90°－20°)＝cos20°＝1－2sin 210°＝1－2a 2，故选A.2．C [解析] ∵2k π＋π2＜α＜2k π＋π，∴k π＋π4＜α2＜k π＋π2.又sin α2＝45＞0，∴α2在第一象限，∴cos α2＝1－sin 2α2＝35， ∴sin α＝2sin α2·cos α2＝2425，故选C. 3．C [解析] y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x cos(π＋x )＋32cos2x ＝sin x (－cos x )＋32cos2x ＝－12sin2x ＋32cos2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，则函数的最大值是1，最小值是－1，值域为[－1,1]，故选C.4．－34 [解析] sin3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin2αcos α＋cos2αsin αsin α＝135， ∴2cos 2α＋cos2α＝135，即2cos 2α－1＋cos2α＝85， ∴cos2α＝45. ∵2k π－π2<α<2k π，k ∈Z ，∴4k π－π<2α<4k π，又∵cos2α＝45>0，∴2α为第四象限的角． ∴sin2α＝－1－cos 22α＝－35，∴tan2α＝－34. 【能力提升】5．D [解析] sin2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝－cos2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2×⎝⎛⎭⎫142－1＝－78，故选D. 6．C [解析] f (x )＝2cos 2x －3sin2x ＝cos2x －3sin2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＋1，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π，最大值为3，故选C.7．B [解析] 原式＝2cos 2α＋8sin 2α2sin αcos α＝1＋4tan 2αtan α＝1＋4×424＝654，故选B. 8．B [解析] m ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4∈(0,1)，所以0<sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4<22.因为θ为△ABC 的一个内角，所以3π4<θ＋π4<π，即π2<θ<3π4，故选B. 9．－43 [解析] 3tan12°－34cos 212°sin12°－2sin12°＝3sin12°－3cos12°2cos24°sin12°cos12° ＝23sin (12°－60°)12sin48°＝－4 3. 10．－45 [解析] 解法一：sin2θ－2cos 2θ＝sin2θ－cos2θ－1，sin2θ＝－cos2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1－tan 2⎝⎛⎭⎫θ＋π41＋tan 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45， cos2θ＝sin2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π41＋tan 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35， ∴原式＝45－35－1＝－45. 解法二：tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3，1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12， sin2θ－2cos 2θ＝2sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ－2tan 2θ＋1＝－45. 11.13 [解析] f (x )＝1－cos2ωx 2＋32sin2ωx ＝32sin2ωx －12cos2ωx ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋12. 又由f (α)＝－12，f (β)＝12，且|α－β|的最小值为3π4，可知T ＝3π，于是ω＝13. 12．[解答] (1)f (x )＝12sin2x ＋3cos 2x ＝12sin2x ＋32(1＋cos2x ) ＝12sin2x ＋32cos2x ＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32. 故f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)依题意g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π4＋32＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π3＋32＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋ 3. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，g (x )为增函数，所以g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值为g ⎝⎛⎭⎫π4＝332.【难点突破】13．[解答] (1)∵f (x )＝32sinπx ＋12cosπx ＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6，x ∈R ， ∴－1≤sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6≤1， ∴函数f (x )的最大值和最小值分别为1，－1.(2)解法1：令f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6＝0，得πx ＋π6＝k π，k ∈Z ， ∵x ∈[－1,1]，∴x ＝－16或x ＝56，∴M ⎝⎛⎭⎫－16，0，N ⎝⎛⎭⎫56，0. 由sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6＝1，且x ∈[－1,1]得x ＝13， ∴P ⎝⎛⎭⎫13，1，∴PM →＝⎝⎛⎭⎫－12，－1，PN →＝⎝⎛⎭⎫12，－1， ∴cos 〈PM →，PN →〉＝PM →·PN →|PM →|·|PN →|＝35. 解法2：过点P 作P A ⊥x 轴于A ，则|P A |＝1，由三角函数的性质知|MN |＝12T ＝1， |PM |＝|PN |＝12＋⎝⎛⎭⎫122＝52，由余弦定理得，cos 〈PM →，PN →〉＝|PM |2＋|PN |2－|MN |22|PM |·|PN |＝54×2－12×54＝35. 解法3：过点P 作P A ⊥x 轴于A ，则|P A |＝1，由三角函数的性质知|MN |＝12T ＝1， |PM |＝|PN |＝12＋⎝⎛⎭⎫122＝52，在Rt △P AM 中，cos ∠MP A ＝|P A ||PM |＝152＝255. ∵P A 平分∠MPN ，∴cos ∠MPN ＝cos2∠MP A ＝2cos 2∠MP A －1＝2×⎝⎛⎭⎫2552－1＝35.。

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换1

第六节简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换能运用公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．知识点一半角公式1．用cos α表示sin 2 α2，cos 2 α2，tan 2 α2.sin 2α2＝1－cos α2；cos 2 α2＝1＋cos α2； tan 2 α2＝1－cos α1＋cos α.2．用cos α表示sin α2，cos α2，tan α2.sin α2＝±1－cos α2；cos α2＝± 1＋cos α2； tan α2＝±1－cos α1＋cos α.3．用sin α，cos α表示tan α2.tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.易误提醒应用“sin α2＝±1－cos α2”或“cos α2＝± 1＋cos α2”求值时，可由α2所在象限确定该三角函数值的符号．易混淆由α决定．必记结论用tan α表示sin 2α与cos 2αsin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.[自测练习]1．已知cos θ＝－15，5π2<θ<3π，那么sin θ2＝( )A.105 B ．－105 C.155D ．－155解析：∵5π2<θ<3π，∴5π4<θ2<3π2.∴sin θ2＝－1－cos θ2＝－1＋152＝－155. 答案：D知识点二辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ba . 易误提醒在使用辅助角公式易忽视φ的取值，应由点(a ，b )所在象限决定，当φ在第一、二象限时，一般取最小正角，当φ在第三、四象限时，一般取负角．[自测练习]2．函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A ．π B.π2 C ．2πD.π4解析：f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴T ＝π. 答案：A3．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为( ) A ．[－2,2] B ．[－3，3] C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－32，32 解析：∵f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6(x ∈R )， ∴f (x )的值域为[－3，3]．答案：B考点一三角函数式的化简|化简：(1)sin 50°(1＋3tan 10°)；(2)2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4.解：(1)sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°(1＋tan 60°tan 10°)＝sin 50°·cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°cos 60°cos 10°＝sin 50°·cos (60°－10°)cos 60°cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.(2)原式＝2cos 2x (cos 2x －1)＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x＝－4cos 2x sin 2x ＋14cos ⎝⎛⎭⎫π4－x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－sin 22x2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x . 考点二辅助角公式的应用|(1)函数y ＝sin 2x ＋2 3sin 2x 的最小正周期T 为________．[解析] y ＝sin 2x ＋23sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋3＝2sin(2x －π3)＋3，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.[答案] π(2)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________. [解析] f (x )＝sin x －2cos x ＝5⎝⎛⎭⎫55sin x －255cos x ＝5sin(x －φ)，其中sin φ＝255，cos φ＝55，当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z )时函数f (x )取到最大值，即θ＝2k π＋π2＋φ时函数f (x )取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－255.[答案] －255(1)利用a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)把形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋k 的函数化为一个角的一种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域、最值和对称轴等．(2)化a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)时φ的求法：①tan φ＝ba ；②φ所在象限由(a ，b )点确定．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间．解：f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z .考点三三角恒等变换的综合应用|三角恒等变换是高考必考内容，考查时多与三角函数的图象与性质、解三角形及平面向量交汇综合考查，归纳起来常见的命题探究角度有：1．三角恒等变换与三角函数性质的综合． 2．三角恒等变换与三角形的综合．3．三角恒等变换与向量的综合．探究一三角恒等变换与三角函数性质的综合1．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值； (2)若f ⎝⎛⎭⎫α2＝34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3，求cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2的值．解：(1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…. 因为－π2≤φ<π2，所以k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫α2＝3sin ⎝⎛⎭⎫2·α2－π6＝34，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝14.由π6<α<2π3，得0<α－π6<π2，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154. 因此cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158. 探究二三角恒等变换与三角形的结合2．(2016·台州模拟)已知实数x 0，x 0＋π2是函数f (x )＝2cos 2ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6(ω>0)的相邻的两个零点．(1)求ω的值；(2)设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若f (A )＝32且b tan B ＋c tan C ＝2atan A，试判断△ABC 的形状，并说明理由．解：(1)f (x )＝1＋cos 2ωx ＋32sin 2ωx －12cos 2ωx ＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋1 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋1，由题意得T ＝π，∴2π2ω＝π.∴ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1， ∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋1＝32，即sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12. ∵0<A <π，∴π6<2A ＋π6<13π6，∴2A ＋π6＝5π6，即A ＝π3.由b tan B ＋c tan C ＝2a tan A 得b cos B sin B ＋c cos C sin C ＝2a cos A sin A，所以cos B ＋cos C ＝2cos A ＝1，又因为B ＋C ＝2π3，所以cos B ＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝1，所以B ＝C ＝π3. 综上，△ABC 是等边三角形．探究三三角恒等变换与向量的综合3．(2015·合肥模拟)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，1，b ＝(3,0)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4，若a·b ＝1.(1)求sin θ的值； (2)求tan 2θ的值．解：(1)由已知得：cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝13，sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝223，sin θ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫θ－π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4·sin π4＝4＋26.(2)由cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝13得sin θ＋cos θ＝23，两边平方得：1＋2sin θcos θ＝29，即sin 2θ＝－79，而cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－429，∴tan 2θ＝728. 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．5.三角恒等变换与解三角形的综合的答题模板【典例】 (12分)(2015·高考山东卷)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．[思路点拨] (1)首先利用二倍角公式及诱导公式将f (x )的解析式化为“一角一函数”的形式，然后求解函数f (x )的单调区间．(2)首先求出角A 的三角函数值，然后根据余弦定理及基本不等式求出bc 的最大值，最后代入三角形的面积公式即可求出△ABC 面积的最大值．[规范解答] (1)由题意知f (x )＝sin 2x2－1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x2＝sin 2x －12.(3分)由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π， k ∈Z ；(4分)由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；(5分)单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．(6分) (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32.(8分) 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，(9分) 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，(10分) 即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立．因此12bc sin A ≤2＋34.(11分)所以△ABC 面积的最大值为2＋34.(12分) [模板形成][跟踪练习] 已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)已知△ABC 为锐角三角形，A ＝π3，且f (B )＝65，求cos 2B 的值．解：(1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1得 f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以函数f (x )的最小正周期为π.因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上为减函数，又f (0)＝1，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－1，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1. (2)因为△ABC 为锐角三角形，且A ＝60°，所以⎩⎨⎧0<B <π2，0<C ＝2π3－B <π2，即B ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，所以2B ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π2，7π6. 由(1)可知f (B )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝65，即sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝35，cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝－45，所以cos 2B ＝cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6sin π6 ＝3－4310.A 组考点能力演练1．(2015·洛阳统考)已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B ．－23C.13D.23解析：∵cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝1＋sin 2α2，∴cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝23. 答案：D2．已知2sin θ＋3cos θ＝0，则tan 2θ＝( ) A.59 B.125 C.95D.512解析：∵2sin θ＋3cos θ＝0，∴tan θ＝－32，∴tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×⎝⎛⎭⎫－321－94＝125.答案：B3．sin 2α＝2425，0<α<π2，则2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )A.15 B ．－15C.75D ．±15解析：因为sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝±1＋sin 2α，因为sin 2α＝2425，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝±75，因为0<α<π2，所以－π4<π4－α<π4，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝75. 答案：C4．(2015·太原一模)设△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，且tan A ，tan B ，tan C,2tan B 成等差数列，则cos(B －A )＝( )A ．－31010B ．－1010C.1010D.31010解析：由题意得tan C ＝32tan B ，tan A ＝12tan B ，所以△ABC 为锐角三角形．又tan A ＝－tan(C ＋B )＝－tan C ＋tan B 1－tan C tan B ＝－52tan B 1－32tan 2B ＝12tan B ，所以tan B ＝2，tan A ＝1，所以tan(B －A )＝tanB －tan A 1＋tan B tan A ＝2－11＋2×1＝13.因为B >A ，所以cos(B －A )＝31010，故选D.答案：D5．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A.118 B ．－118C.1718D ．－1718解析：依题意得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，cos α＋sin α＝26，(cos α＋sin α)2＝⎝⎛⎭⎫262＝118，即1＋sin 2α＝118，sin 2α＝－1718，故选D.答案：D6．计算sin 250°1＋sin 10°＝________.解析：sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12. 答案：127．化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________．解析：法一：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α ＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12. 答案：128．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．解析：∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－12，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3. 答案： 39．设函数f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，x ∈R . (1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应x 的集合； (2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f (x )的最小正周期．解：由已知：f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4. (1)若ω＝12，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4.又x ∈R ，则2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4≤2，∴f (x )max ＝2，此时12x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝4k π＋3π2，k ∈Z . (2)∵x ＝π8是函数f (x )的一个零点， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫π8ω－π4＝0，∴π8ω－π4＝k π，k ∈Z ，又0<ω<10，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，此时其最小正周期为π. 10．(2016·沈阳模拟)已知函数f (x )＝sin x －3cos x ＋2，记函数f (x )的最小正周期为β，向量a ＝(2，cos α)，b ＝⎝⎛⎭⎫1，tan ⎝⎛⎭⎫α＋β2⎝⎛⎭⎫0<α<π4，且a·b ＝73. (1)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤2π3，4π3上的最值；(2)求2cos 2α－sin 2(α＋β)cos α－sin α的值．解：(1)f (x )＝sin x －3cos x ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤2π3，4π3，∴x －π3∈⎣⎡⎦⎤π3，π， ∴f (x )的最大值是4，最小值是2.(2)∵β＝2π，∴a·b ＝2＋cos αtan(α＋π)＝2＋sin α＝73， ∴sin α＝13， ∴2cos 2α－sin 2(α＋β)cos α－sin α＝2cos 2α－sin 2αcos α－sin α＝2cos α ＝21－sin 2α＝423. B 组高考题型专练1．(2015·高考北京卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解：(1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x ) ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－3π4＝－1－22. 2．(2013·高考陕西卷)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x ) ＝3cos x sin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2π2＝π，即函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6. 当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1. 当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (0)＝－12，当2x －π6＝56π，即x ＝π2时，f ⎝⎛⎭⎫π2＝12， ∴f (x )的最小值为－12.因此，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是1，最小值是－12. 3．(2014·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝66b .sin B ＝6sin C .(1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6的值．解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝c sin C ，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .又由a －c ＝66b ，有a ＝2c .所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64. (2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104. 于是，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14， sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38.。

2013届高考数学一轮复习课时检测第三章第四节简单的三角恒等变换理

第三章第四节简单的三角恒等变换一、选择题1．已知sin θ2＝45cos θ2＝－35，则角θ所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：sin θ＝2sin θ2cos θ2＝2³45³(－35)<0. cos θ＝cos 2θ2－sin 2θ2＝925－1625＝－725<0，∴θ是第三象限角．答案：C 2．已知sin α＝55，则cos4α的值是( ) A.425 B ．－725 C.1225D ．－1825解析：∵sin α＝55，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝35. ∴cos 4α＝2cos 22α－1＝2³(35)2－1＝－725.答案：B3．若－2π<α<－3π2 1－cos α－π2的值是( )A ．sinα2 B ．cos α2C ．－sin α2D ．－cos α2解析： 1－cos α－π2＝1－cos π－α2＝1＋cos α2＝|cos α2|， ∵－2π<α<－3π2，∴－π<α2<－3π4， ∴cosα2<0，∴|cos α2＝－cos α2. 答案：D4．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为( )A.35B.45 C ．±35D ．±45解析：∵θ为第二象限角，∴θ2为第一、三象限角． ∴cosθ2的值有两个．由sin(π－θ)＝2425，可知sin θ＝2425， ∴cos θ＝－725.∴2cos 2θ2＝1825.∴cos θ2＝±35. 答案：C 5．已知x ∈(π2，π)，cos 2x ＝a ，则cos x ＝( ) A.1－a2B ．－1－a2 C. 1＋a2D ．－1＋a2解析：依题意得cos 2x ＝1＋cos 2x 2＝1＋a 2x ∈(π2，π)，因此cos x ＝－1＋a2. 答案：D6．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2( )A ．－12B.12 C ．2D ．－2解析：∵cos α＝－45α为第三象限角，∴sin α＝－35.∴tan α＝34.由tan α＝34＝2tanα21－tan 2α2，得tan α2＝13或tan α2＝－3. 又∵π＋2k π<α<3π22k π，k ∈Z ，∴π2＋k π<α2<3π4＋k π，k ∈Z. 当k ＝2n (n ∈Z)时，π2＋2n π<α2<3π42n π，α2在第二象限；当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，3π2＋2n π<α2<7π4＋2n π，α2在第四象限．∴tan α2＝－3.∴1＋tanα21－tanα2＝1－31－－3＝－12.答案：A 二、填空题7．已知cos 2α＝14，则sin 2α＝________.解析：sin 2α＝1－cos 2α2＝38. 答案：388．(2012²郑州模拟)sin 2B1＋cos 2B －sin 2B＝－3，则tan 2B ＝________.解析：sin 2B 1＋cos 2B －sin 2B ＝2sin B cos B2cos 2B ＝tan B ＝－3. ∴tan2B ＝2tan B 1－tan 2B ＝34.答案：349．设α是第二象限角，tan α＝－43，且sin α2<cos α2，则cos α2＝________.解析：∵α是第二象限的角，∴α2可能在第一或第三象限．又sin α2<cos α2，∴α2为第三象限的角，∴cosα2<0. ∵tan α＝－43，∴cos α＝－35，∴cos α2＝－1＋cos α2＝－55. 答案：－55三、解答题 10．化简：2sin(π4－x )＋6cos(π4－x ) 解：原式＝22[12sin(π4－x )＋32cos(π4－x )]＝22[sin π6sin(π4－x )＋cos π6cos(π4－x )] ＝22cos(π6－π4x ) ＝22cos(x －π12)． 11．(2012²西南大学附中模拟)求3tan 10°＋14cos 210°－2sin 10°的值．解：原式＝3sin 10°＋cos 10°cos 10°2cos 20°sin 10°＝2sin 10°＋30°2cos 20°sin 10°cos 10°＝2sin 40°sin 20°cos 20°＝2sin 40°12sin 40°＝4.12．已知函数f (x )＝3sin2x －2sin 2x . (1)求函数f (x )的最大值； (2)求函数f (x )的零点的集合．解：(1)因为f (x )＝3sin 2x －(1－cos 2x ) ＝2sin(2x ＋π6)－1，所以，当2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π6k ∈Z 时，函数f (x )取得最大值1.(2)法一：由(1)及f (x )＝0得sin(2x ＋π6)＝12，所以2x ＋π6＝2k π＋π6或2x ＋π6＝2k π＋5π6，k ∈Z ，即x ＝k π或x ＝k π＋π3，k ∈Z.故函数f (x )的零点的集合为{x |x ＝k π或x ＝k π＋π3，k ∈Z}．法二：由f (x )＝0得23sin x cos x ＝2sin 2x ，于是sin x ＝0或3cos x ＝sin x 即tan x ＝ 3.由sin x ＝0可知x ＝k π；由tan x ＝3可知x ＝k π＋π3. 故函数f (x )的零点的集合为{x |x ＝k π或x ＝k π＋π3，k ∈Z}。

2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第4课时简单的三角恒等变换

第四章
第4课时
高考调研
(2)原式＝cos20° cos40° cos80° 2sin20° cos20° cos40° cos80° ＝ 2sin20°
高三数学（新课标版· 理）
2sin40° cos40° cos80° 2sin80° cos80° ＝＝ 8sin20° 4sin20° sin160° sin20° 1 ＝8sin20° 8sin20° 8. ＝＝
第四章
第4课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
思考题 3 求值： (1)sin6° sin42° sin66° sin78° ； (2)(tan10° 3)sin40° － .
第四章
第4课时
高考调研
【解析】
第四章
第4课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
π 1 2π 4．已知 sin( ＋α)＝，则 cos( －2α)的值等于 6 3 3 ________．
7 答案－9
解析 π π π π π ∵6＋α＋3－α＝2，∴sin(6＋α)＝cos(3－α)＝
1 2π π 12 2 π ，∴cos( －2α)＝cos2( －α)＝2cos ( －α)－1＝2×( ) 3 3 3 3 3 7 －1＝－ . 9
第四章
第4课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
第四章
第4课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
题型一
化简问题
1＋cosx－sinx 1－cosx－sinx 例 1 已知 f(x)＝＋且 x≠2kπ 1－sinx－cosx 1－sinx＋cosx π ＋2，k∈Z.且 x≠kπ＋π，k∈Z. (1)化简 f(x)； 1＋tan 2 x (2)是否存在 x，使得 tan · f(x)与相等？若存在，求 2 sinx x 的值；若不存在，请说明理由．

高考数学一轮复习专题4.3简单的三角恒等变换(练)

第03节简单的三角恒等变换A 基础巩固训练1.【2018年全国卷Ⅲ文】若，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由公式可得。

详解：故答案为B.2.【浙江高三模拟】已知，，则________．【答案】.【解析】∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴.3.【2018湖北,部分重点中学7月联考】已知，则，= .【答案】【解析】由同角三角函数基本定理得解得，，，．4.【2018江西（宜春中学、丰城中学、樟树中学、高安二中、丰城九中、新余一中）六校上学期第五次联考】已知，，则__________．【答案】5.【浙江省杭州二中】已知,,，且，则________，_______.【答案】，【解析】因为，所以，因为，所以，即，因为，所以，所以，因为，，所以，，所以，所以答案应填：，．B能力提升训练1. 若且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，，，，，所以，当时，，所以“”是“”的充分不必要条件.故选.2.【2018届重庆市第三次抽测】已知直线的倾斜角为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据直线的斜率得到的值，再利用二倍角公式和同角的三角函数的基本关系式把化为关于的关系式即可.详解：由题设有，.故选A.3. 已知，且，则的是（）A． B． C． D．【答案】C4.【2018安徽蚌埠市第二中学7月】已知，则 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】根据二倍角公式，，即，所以，故选择A.5.【2018届湖北省黄冈中学5月第三次模拟】已知，是方程的两根，则（）A. B. 或 C. D.【答案】D【解析】分析：根据韦达定理，利用两角和的正切公式求得的值，根据二倍角的正切公式列过程求解即可.详解：，是方程的两根，，，，，，，，得或（舍去），故选D.C思维扩展训练1.已知，满足，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知得，得，∵，∴，，，即时等号成立，所以，所以．选B．2.【2017浙江台州4月调研】已知，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A3.已知，则．【答案】-1【解析】注意观察求知角x和已知角的关系可发现求知角均能用已知角和特殊角表示出来，再用和差角公式展开即可求得结果．故答案为：-1．4.已知，则．【答案】5. 在平面直角坐标系中，已知向量.（1）若，求向量与的夹角；（2）当，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用两向量的夹角余弦等于两向量的数量积除以两向量的模的乘积即夹角公式即可；（II）利用向量的的有关知识化简函数得，再利用正弦函数的单调性求其最大值试题解析：（1）因为，，，，所以.（2）因为，所以，又所以，因，所以，所以，从而.。

高三数学第一轮复习课时作业(21)简单的三角恒等变换

课时作业(二十一) 第21讲简单的三角恒等变换时间：35分钟分值：80分基础热身1．2011·江门质检已知sin10°＝a ，则sin70°等于( )A ．1－2a 2B ．1＋2a 2C ．1－a 2D ．a 2－12．若α是第二象限角，sin α2＝45，则sin α的值为( ) A.925 B.2125 C.2425 D ．－24253．2011·绍兴一模函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x cos(π＋x )＋32cos2x 的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 C ．－1,1 D ．－2,24．2011·杭州质检设α为第四象限的角，若sin3αsin α＝135，则tan2α＝________. 能力提升5．2011·合肥二模已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝14，则sin2α的值是( ) A.78 B.158C ．－158D ．－786．函数f (x )＝2cos 2x －3sin2x (x ∈R )的最小正周期和最大值分别为( )A ．2π，3B ．2π，1C ．π，3D ．π，17．2011·开封二模已知tan α＝4，则1＋cos2α＋8sin 2αsin2α的值为( ) A ．4 3 B.654 C ．4 D.2338．2011·濮阳二模已知θ为△ABC 的一个内角，且sin θ＋cos θ＝m ，若m ∈(0,1)，则关于△ABC 的形状的判断，正确的是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．前三种形状都有可能9．计算：3tan12°－34cos 212°sin12°－2sin12°＝________. 10．2011·济宁质检已知tan π4＋θ＝3，则sin2θ－2cos 2θ＝________. 11．已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx ·cos ωx ，x ∈R ，又f (α)＝－12，f (β)＝12，若|α－β|的最小值为3π4，则正数ω的值为________． 12．(13分)2011·重庆卷设函数f (x )＝sin x cos x －3cos(x ＋π)cos x (x ∈R )．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝f (x )的图像按b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，32平移后得到函数y ＝g (x )的图像，求y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值．难点突破13．(12分)已知函数f (x )＝32sin πx ＋12cos πx ，x ∈R . (1)求函数f (x )的最大值和最小值；(2)设函数f (x )在－1,1上的图像与x 轴的交点从左到右分别为M 、N ，图像的最高点为P ，求与的夹角的余弦．课时作业(二十一)【基础热身】1．A 解析 sin 70°＝sin (90°－20°)＝cos 20°＝1－2sin 210°＝1－2a 2.2．C 解析 ∵2k π＋π2＜α＜2k π＋π，∴k π＋π4＜α2＜k π＋π2.又sin α2＝45＞0，∴α2在第一象限， ∴cos α2＝1－sin 2α2＝35， ∴sin α＝2sin α2·cos α2＝2425. 3．C 解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x cos (π＋x)＋32cos 2x ＝sin x(－cos x)＋32cos 2x ＝－12sin 2x ＋32cos 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，则函数的最大值是1，最小值是－1，值域为－1,1．4．－34 解析 sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin αsin α＝135， ∴2cos 2α＋cos 2α＝135，即2cos 2α－1＋cos 2α＝85， ∴cos 2α＝45. ∵2k π－π2<α<2k π，k ∈Z ，∴4k π－π<2α<4k π，又∵cos2α＝45>0，∴2α为第四象限的角． ∴sin2α＝－1－cos 22α＝－35，∴tan2α＝－34. 【能力提升】5．D 解析 sin2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝－cos2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2×⎝⎛⎭⎫142－1＝－78. 6．C 解析 f (x )＝2cos 2x －3sin2x ＝cos2x －3sin2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＋1，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π，最大值为3.7．B 解析原式＝2cos 2α＋8sin 2α2sin αcos α＝1＋4tan 2αtan α＝1＋4×424＝654. 8．B 解析 m ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4∈(0,1)，所以0<sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4<22.因为θ为△ABC 的一个内角，所以3π4<θ＋π4<π，即π2<θ<3π4. 9．－4 3 解析3tan12°－34cos 212°sin12°－2sin12°＝3sin12°－3cos12°2cos24°sin12°cos12° ＝23sin(12°－60°)12sin48°＝－4 3. 10．－45解析解法一：sin2θ－2cos 2θ＝sin2θ－cos2θ－1，sin2θ＝－cos2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1－tan 2⎝⎛⎭⎫θ＋π41＋tan 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45， cos2θ＝sin2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2tan ⎝⎛⎫θ＋π41＋tan 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35， ∴原式＝45－35－1＝－45. 解法二：tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3，1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12， sin2θ－2cos 2θ＝2sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ－2tan 2θ＋1＝－45. 11.13 解析 f (x )＝1－cos2ωx 2＋32sin2ωx ＝32sin2ωx －12cos2ωx ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋12. 又由f (α)＝－12，f (β)＝12，且|α－β|的最小值为3π4，可知T ＝3π，于是ω＝13. 12．解答 (1)f (x )＝12sin2x ＋3cos 2x ＝12sin2x ＋32(1＋cos2x ) ＝12sin2x ＋32cos2x ＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32. 故f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)依题意g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π4＋32＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎫x －π4＋π3＋32＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋ 3. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，g (x )为增函数，所以g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值为g ⎝⎛⎭⎫π4＝332. 【难点突破】 13．解答 (1)∵f (x )＝32sin πx ＋12cos πx ＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6，x ∈R ， ∴－1≤sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6≤1， ∴函数f (x )的最大值和最小值分别为1，－1.(2)解法1：令f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6＝0，得πx ＋π6＝k π，k ∈Z ，∵x ∈－1,1，∴x ＝－16或x ＝56， ∴M ⎝⎛⎭⎫－16，0，N ⎝⎛⎭⎫56，0. 由sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6＝1，且x ∈－1,1得x ＝13， ∴P ⎝⎛⎭⎫13，1， ∴＝⎝⎛⎭⎫－12，－1，＝⎝⎛⎭⎫12，－1， ∴cos 〈，〉＝＝35. 解法2：过点P 作PA ⊥x 轴于A ，则|PA |＝1，由三角函数的性质知|MN |＝12T ＝1， |PM |＝|PN |＝12＋⎝⎛⎭⎫122＝52，由余弦定理得，cos 〈，〉＝|PM |2＋|PN |2－|MN |22|PM |·|PN |＝54×2－12×54＝35. 解法3：过点P 作PA ⊥x 轴于A ，则|PA |＝1，由三角函数的性质知|MN |＝12T ＝1， |PM |＝|PN |＝12＋⎝⎛⎭⎫122＝52，在Rt △PAM 中，cos ∠MPA ＝|PA ||PM |＝152＝255. ∵PA 平分∠MPN ，∴cos ∠MPN ＝cos2∠MPA ＝2cos 2∠MPA －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2552－1＝35.。

高三数学一轮复习课时作业1：简单的三角恒等变换

简单的三角恒等变换A 组专项基础训练(时间：30分钟)1．(2013·课标全国Ⅱ)已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.16 B.13 C.12 D.23答案 A解析因为cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos2⎝⎛⎭⎫α＋π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin 2α2，所以cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－sin 2α2＝1－232＝16，故选A. 2．若sin α＝45，则sin(α＋π4)－22cos α等于( ) A.225B ．－225 C.425D ．－425答案 A解析 sin(α＋π4)－22cos α＝sin αcos π4＋cos αsin π4－22cos α＝45×22＝225. 3．在△ABC 中，tan B ＝－2，tan C ＝13，则A 等于( )A.π4B.3π4C.π3D.π6答案 A解析 tan A ＝tan 『π－(B ＋C )』＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C＝－－2＋131－(－2)×13＝1.又A 为△ABC 的内角．故A ＝π4.4．若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为() A ．－210 B.210 C.3210 D.7210答案 A解析由tan α＋1tan α＝103得sin αcos α＋cos αsin α＝103， ∴1sin αcos α＝103，∴sin 2α＝35. ∵α∈(π4，π2)，∴2α∈(π2，π)， ∴cos 2α＝－45. ∴sin(2α＋π4)＝sin 2αcos π4＋cos 2αsin π4＝22×(35－45)＝－210.5．已知cos 2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ的值为( )A.1318 B.1118C.79 D ．－1答案 B解析 sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝1118. 6．已知sin(α－45°)＝－210，0°<α<90°，则cos α＝___________________________. 答案 45解析 ∵0°<α<90°，∴－45°<α－45°<45°，∴cos(α－45°)＝1－sin 2(α－45°)＝7210， ∴cos α＝cos 『(α－45°)＋45°』＝cos(α－45°)cos 45°－sin(α－45°)sin 45°＝45. 7．设x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x的最小值为__________________________________．答案 3 解析方法一因为y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝2－cos 2x sin 2x，所以令k ＝2－cos 2x sin 2x.又x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以k 就是单位圆x 2＋y 2＝1的左半圆上的动点P (－sin 2x ，cos 2x )与定点Q (0,2)所成直线的斜率．又k min ＝tan 60°＝3，所以函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x的最小值为 3. 方法二 y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x 2sin x cos x＝3tan 2x ＋12tan x ＝32tan x ＋12tan x. ∵x ∈(0，π2)，∴tan x >0. ∴32tan x ＋12tan x≥232tan x ·12tan x ＝ 3. (当tan x ＝33，即x ＝π6时取等号) 即函数的最小值为 3.8．已知tan(π4＋θ)＝3，则sin 2θ－2cos 2θ的值为________．答案－45解析 ∵tan(π4＋θ)＝3， ∴1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12. ∵sin 2θ－2cos 2θ＝sin 2θ－cos 2θ－1＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ－cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ－1 ＝2tan θ1＋tan 2θ－1－tan 2θ1＋tan 2θ－1 ＝45－35－1＝－45. 9．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈(π2，π)，β∈(0，π2)，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解由cos β＝55，β∈(0，π2)，得sin β＝255，tan β＝2. ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1. ∵α∈(π2，π)，β∈(0，π2)，∴π2<α＋β<3π2， ∴α＋β＝5π4. 10．已知函数f (x )＝2sin(13x －π6)，x ∈R . (1)求f (5π4)的值； (2)设α，β∈『0，π2』，f (3α＋π2)＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．解 (1)由题设知：f (5π4)＝2sin(5π12－π6)＝2sin π4＝ 2.(2)由题设知：1013＝f (3α＋π2)＝2sin α，65＝f (3β＋2π)＝2sin(β＋π2)＝2cos β，即sin α＝513，cos β＝35，又α，β∈『0，π2』，∴cos α＝1213，sin β＝45，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1213×35－513×45＝1665.B 组专项能力提升(时间：15分钟)11．cos 20°cos 40°cos 60°·cos 80°等于( )A.14B.18C.116D.132答案 C解析原式＝sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°2sin 20°＝sin 40°cos 40°cos 80°4sin 20°＝sin 80°cos 80°8sin 20°＝sin 160°16sin 20°＝116.12．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sinβcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于() A.π12 B.π6 C.π4 D.π3答案 D解析依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin 『α－(α－β)』＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32，故β＝π3，故选D. 13．sin(α＋π4)＝24，则sin 2α＝________. 答案－34解析 sin(α＋π4)＝22sin α＋22cos α＝24， ∴sin α＋cos α＝12， (sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝14，故sin 2α＝－34. 14．(2013·北京)已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x . (1)求f (x )的最小正周期及最大值；(2)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且f (α)＝22，求α的值．解 (1)f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x ＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x ＝12(sin 4x ＋cos 4x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4， ∴f (x )的最小正周期T ＝π2，最大值为22. (2)由f (α)＝22，得sin ⎝⎛⎭⎫4α＋π4＝1. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则9π4<4α＋π4<17π4，所以4α＋π4＝52π，故α＝916π. 15．(2014·天津)已知函数f (x )＝cos x sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间『－π4，π4』上的最大值和最小值．解 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·(12sin x ＋32cos x )－3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin(2x －π3)．所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间『－π4，－π12』上是减函数，在区间『－π12，π4』上是增函数， f (－π4)＝－14，f (－π12)＝－12，f (π4)＝14，所以，函数f (x )在闭区间『－π4，π4』上的最大值为14，最小值为－12.。

高三数学一轮同步训练三角恒等变换复习课(第一课时) Word版含答案

.已知等腰三角形的腰长为底边长的倍，求顶角的正弦、余弦和正切的值.
.已知α－α＝－，求实数的取值范围. (复习题题)
．求下列各函数的值域：
（）＝＋＋，∈，π];
（）＝．
．已知，，求和的值．
【反思回顾】
.三角恒等变换复习课（第一课时）
【基础训练】
．【答案】
.．【答案】
.解∵α＝，α∈（，π），∴α＝－．
.
【基础训练】
．化简：°·°°·°．
.．求值：．
.已知，α∈（，π），，求（α－β）的值．
.已知(º＋α)＝，α为第三象限角，求(º－α) (－º＋α)的值．
．已知α∈(－，)，(α－)＝－，求α，(α－π)的值．
【典型例题】
例求值：
() °°°；
()°＋°＋°°.
例已知()－，() .
()求()的值；（）求的值.
例求下列函数的值域：
（）＝－＋，∈－，];
（）＝＋(－)，∈－，]；
（）＝．
【巩固练习】
.求°°°°的值．
.已知α是第一象限的角，且α＝，求的值. (复习题题)
.已知，则的值是．
.求证：()(α＋β)γ－α(β＋γ)＝(α＋β)γ－α(β＋γ);
()＝.
.已知α＝，α是第二象限角，且(α＋β)＝，求β的值.
则α＝－，又（π－β）＝可得β＝－，
．
．
.【答案】
．【答案】α＝，令α－＝ｔ，(α－π)＝(－)＝
【典型例题】
例【答案】()()
例【答案】解（）∵(),∴,
∵()
,
∴() .
()∵()］ ,
∴ .
例答案：（）；（）；（）．

山西省2013高考数学一轮单元复习测试：三角恒等变换

山西省2013届高考数学一轮单元复习测试：三角恒等变换本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设5π＜θ＜6π，cosθ2＝a ，那么sin θ4等于( ) A ．－1＋a2 B ．－1－a2C ．－1＋a2D ．－1－a2【答案】B2．把12sin2θ＋cos(π3－2θ)－sin π12cos(π12＋2θ)化简，可得( )A ．sin2θB ．－sin2θC ．cos2θD ．－cos2θ 【答案】A 3．代数式20cos 20sin 10cos 2-的值为 ( ）A ．2BC ．1D ． 12【答案】B4．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（）A ． 45- B ．35-C ．35D ．45【答案】B5．函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数【答案】A6．若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1co s()43πα+=，co s()423πβ-=cos()2βα+=（）A 3B ．3-C 9D ．9-【答案】C7．已知cos α＝45，且32π<α<2π，则tan α2等于( )A ．－13B ．13C ．－3或3D ．－3【答案】A8．如果1co s()2A π+=-，那么sin ()2A π+的值是 ( ）A ．12- B ．12C ．2-D ．2【答案】A9．函数f (x )＝sin 4x －cos 4x ＋2的周期和最大值为( )A ．2π 3B ．2π 2C ．π 3D ．π 2 【答案】C10．下列等式错误的是( )A ．sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cos B B ．sin(A ＋B )－sin(A －B )＝2cos A sin BC ．cos(A ＋B )＋cos(A －B )＝2cos A cos BD ．cos(A ＋B )－cos(A －B )＝2sin A cos B 【答案】D11．已知cos θ＝79，且270°＜θ＜360°，则cos θ2的值为( )A ．23B ．－223C ．±233D ．－23【答案】B12．若sin θ＋cos θ＝2，则tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π3的值是( ) A ．2－ 3 B ．－2－ 3 C ．2＋ 3 D ．－2＋ 3 【答案】B第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．若sin(4π+α)= 13,则cos(2π-2α)等于_______.【答案】79-14．化简 1＋cos(3π－θ)2(3π2<θ<2π)＝______.【答案】sinθ215．给出下列四个命题：①f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的对称轴为x ＝k π2＋3π8，k ∈Z ；②函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的最大值为2；③函数f (x )＝sin x cos x －1的周期为2π；④函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数．其中正确命题的个数为________．【答案】216．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.【答案】1三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？【答案】由题意知AB ＝5(3＋3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB ＝180°－(45°＋30)°＝105°，在△DAB 中，由正弦定理得DB sin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB，∴DB ＝AB ²sin ∠DAB sin ∠ADB ＝5(3＋3)²sin45°sin105°＝5(3＋3)²sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝53(3＋1)3＋12＝103(海里)，又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203(海里)，在△DBC 中，由余弦定理得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ²BC²cos ∠DBC＝300＋1200－2³103³203³12＝900，∴CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝3030＝1(小时)．答：救援船到达D 点需要1小时．18．【答案】222222222222222223sin 5co s co s 3sin 5co s co s co s co s co s co s co s 4tan 3tan 5423251tan 121o s o s αααααααααααααααααααα--+--=+--⨯-⨯-===++4s i n （2）s i n 4s i n s i n19．已知函数f(x)=sin(2x+ 6π)-cos(2x+3π)+2cos 2x.(1)求f(12π)的值；(2)求f(x)的最大值及相应x的值. 【答案】(1)f(12π)=sin(2³12π+6π)-cos(2³12π+3π)+2cos212π=sin3π-cos2π+1+cos6π=01 1.22-++=(2)∵f(x)=sin(2x+6π)-cos(2x+3π)+2cos 2x =sin2xcos6π+cos2xsin 6π-cos2xcos3π+sin2xsin3π+cos2x+16π)+1,当sin(2x+6π)=1时，f(x)max =2+1=3, 此时，2x+6π=2k π+2π(k ∈Z),即x=k π+6π(k ∈Z).20．已知函数f (x )＝cos 2ωx ＋3sin ωx cos ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求函数f (x )的单调区间及其图象的对称轴方程．【答案】(1)f (x )＝12(1＋cos2ωx )＋32sin2ωx＝12＋sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6．因为f (x )的最小正周期为π，所以2π2ω＝π，解得ω＝1. 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，所以f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－12．(2)分别由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，可得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )．所以，函数f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )；函数f (x )的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )得x ＝k 2π＋π6(k ∈Z )．所以f (x )图象的对称轴方程为x ＝k 2π＋π6(k ∈Z )．21．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2．(1)求tan2α的值； (2)求β.【答案】(1)由cos α＝17，0＜α＜π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－(17)2＝437，∴tan α＝sin αcos α＝437³71＝43，于是tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2³431－(43)2＝－8347． (2)由0＜β＜α＜π2，得0＜α－β＜π2，又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β) ＝1－(1314)2＝3314，由β＝α－(α－β)，且sin α＝437得 cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17³1314＋437³3314＝12，又∵0＜β＜π2，所以β＝π3．22．已知函数⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2sin2cos 2cos2sin32)(22x x xx x f ． (1）求函数)(x f 的最大值并求出此时x 的值； (2）若0)(=x f ，求)2sin(sin )cos(sin x x x x -π++π+的值．【答案】（1）22π()co s(co ssin)co s 2sin ()22226x x x x f x x x x =--=-=-当ππ2π+,62x kk -=∈Z ，即2π2π+,3x k k =∈Z 时，()f x 取得最大值为2.(2）令()0f x =时，得tan 3x =.∴sin co s()sin co s tan 1 2.sin co s tan 1sin sin ()2x x x x x x xx x x ππ++--===+++-。

2013高考数学一轮同步训练(文科) 3.6简单的三角恒等变换

第六节简单的三角恒等变换强化训练1.设f (tan x )=tan2x ,则f (2)等于( ) A.45B.-43C.-23D.4答案: B解析:∵f (tan x )=tan2x =22tan 1tan x x-,∴f (2)=22212⨯-=-43.2.若函数f (x )=sin 2x -12(x ∈R ),则f (x )是( )A.最小正周期为2π的奇函数B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为2π的偶函数D.最小正周期为π的偶函数答案: D 解析:原式=1cos22x--12=-12cos2x ,T =ω2π=22π=π.3.已知sin α=53,α∈(2π,π),tan(π-β)=12,则tan(α-2β)= .答案:724解析:∵sin α=53,α∈(2π,π), ∴cos α=-45,则tan α=-34.又tan(π-β)= 12,可得tan β=-12,tan2β=22tan 1tan ββ-=212()211()2⨯---=-43. tan(α-2β)= tan tan21tan tan2αβαβ-+⋅=34()43341()()43---+-⨯-=724.4.函数y =sin x -12cos x (x ∈R )的最大值为 .答案解析:y =sin x -12cos xxxx -φ).其中tan φ=12,即y.5.求值:2sin20cos10tan20sin101cos80sin40sin80︒+︒+︒⋅︒︒+︒︒.解:原式的分子 =2sin20°+cos10cos20sin20sin10cos20︒︒+︒︒︒=2sin20°+cos10cos20︒︒=sin40cos10cos20︒+︒︒=sin40sin80cos20︒+︒︒=2sin60cos20cos20︒︒︒原式的分母=1sin40︒+cos80sin80︒︒=2cos40cos80sin80︒+︒︒=()cos40cos40cos80sin80︒+︒+︒︒=cos402cos60cos20sin80︒+︒︒︒=cos40cos20sin80︒+︒︒=2cos30cos10cos10︒︒︒,所以,原式=1.见课后作业 A题组一简单的三角恒等变换1.若sin α<0且tan α>0,则α是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案: C解析:sin α<0,则α是第三、四象限角； tan α>0,则α是第一、三象限角； ∴α是第三象限角. 2.已知x ∈(-2π,0),cos x =45,则tan2x 等于( )A.724B.-724C.247D.-247答案:D解析:x ∈(-2π,0),cos x =45,sin x =-53,tan x =-34,tan2x =22tan 1tan x x-=-247.3.已知cos2θ,则sin4θ+cos4θ的值为( ) A.1318B.1118C.79D.-1答案: B解析:sin4θ+cos4θ=(sin 2θ+cos 2θ)2-2sin 2θcos 2θ=1-12sin 22θ=1-12(1-cos 22θ)=1118.4.函数y =|sin x +cos x |的最小正周期是( ) A.4π B.2π C.π D.2π答案: C解析:原式sin(x +4π|sin(x +4π)|,T =π.5.函数y =221tan 21tan 2x x-+的最小正周期是( )A.4π B.2π C.π D.2π答案: B 解析:y =221tan 21tan 2x x-+=cos4x ,T =42π=2π.6.若cos θ=45,sin θ<0,则tan 2θ等于( )A.14B.3C. -13D.13答案: C 解析:∵cos θ=45,sin θ<0,∴sin θ=-53,tan θ=sin cos θθ=-34且θ∈(2k π+23π,2k π+2π),即2θ∈(k π+43π,k π+π).tan θ=22tan21tan2θθ-=-34,即tan 2θ=-13.7.若cos2sin()4ααπ-=,则cos α+sin α的值为( )B.-12C.12答案: C 解析:∵cos2sin()4ααπ-==即cos α+sin α=12.8.设α∈(4π,43π),β∈(0,4π),cos(α-4π)=53,sin(43π+β)=513,则sin(α+β)= .答案:5665解析:α∈(4π,43π),α-4π∈(0,2π),又cos(α-4π)= 53, ∴sin(α-4π)=45,β∈(0, 4π).∴43π+β∈(43π,π),sin(43π+β)=513.∴cos(43π+β)=-1213.∴sin(α+β)=sin ［(α-4π)+(43π+β)-2π］=-cos ［(α-4π)+(43π+β)］=-cos(α-4π)²cos(43π+β)+sin(α-4π)²sin(43π+β)=-53³(-1213)+45³513=5665，即sin(α+β)=5665.9. (2011安徽高考，文15改编)设f (x )=a sin2x +b cos2x ,其中a ,b ∈R ,ab ≠0，若f (x )≤|f (6π)|对一切x ∈R 恒成立,则：①f (1211π)=0， ②|f (107π)|<|f (5π)|，③f (x )既不是奇函数也不是偶函数， ④f (x )的单调递增区间是［kx +6π,k π+32π］(k ∈Z )，以上结论正确的是(写出所有正确结论的编号).答案:①③解析:f (x )=a sin2x +b cos2x sin(2x +φ,又|f (6π)|=|a sin3π+b cos3πa +12b |≥0,由题意f (x )≤|f (6π)|对一切x ∈R 恒成+12b |对一切x ∈R 恒成立，即a 2+b 2≤34a 2+14b 2ab 恒成立，a 2+3b 2恒成立.而a 2+3b 2ab ,所以a 2+3b 2,此时a b .所以f (x b sin2x +b cos2x =2b sin(2x +6π).①f (1211π)=2b sin(611π+6π)=0,故①正确; ②|f (107π)|=|2b sin(57π+6π)|=|2b sin(3047π)|=|2b |sin(3013π),|f (5π)|=|2b sin(52π+6π)|=|2b sin(3017π)|=|2b |sin(3013π),所以|f (107π)|=|f (5π)|,②错误；③f (-x )≠±f (x ),所以③正确；④由题知f (x sin2x +b cos2x =2b sin(2x +6π),当b >0时，由2k π-2π≤2x +6π≤2k π+2π,知k π-3π≤x ≤k π+6π，所以④不正确.10.化简f (x )=cos(613k +π+2x )+cos(613k -π-2x 3π+2x )(x ∈R ,k ∈Z ),并求函数f (x )的值域和最小正周期.解:f (x )=cos(2k π+3π+2x )+cos(2k π-3π-2x sin(3π+2x )=2cos(3π+2x 3π+2x )=4cos2x .函数f (x )的值域为［-4,4］; 函数f (x )的周期T =ω2π=π.11.已知函数f (x )=sin(x +6π)+sin(x -6π)+a cos x +b (a ,b ∈R ,且均为常数).(1)求函数f (x )的最小正周期. (2)若f (x )在区间［-3π,0］上单调递增,且恰好能够取到f (x )的最小值2,试求a ,b 的值.解:(1)f (x )=sin(x +6π)+sin(x -6π)+a cos x +b=2sin x cos6π+a cos x +bsin x +a cos x +bx +θ)+b .(其中θ由下面的两式所确定:sin θθ)所以函数f (x )的最小正周期为2π.(2)由(1)可知f (x )的最小值为b ,所以b =2.另外,由f (x )在区间［-3π,0］上单调递增,可知f (x )在区间［-3π,0］上的最小值为f (-3π).所以f (-3πb =2.解之得,a =-1,b =4.。

2013届高三一轮复习课时训练19：简单的三角恒等变换

高考复习方案高考数学一轮复习 第3单元 第19讲 简单的三角恒等变换同步作业 理

高考数学一轮复习练习 简单的三角恒等变换

高考数学一轮复习 限时集训(二十三)简单的三角恒等变

2013高三数学一轮复习课时提能演练 3.6 简单的三角恒等变换 理 新课标