专题12 数列-三年(学生版)

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高考数学专题复习练习题12---数列求通项、求和(理)含答案解析

高考数学专题复习练习题12---数列求通项、求和（理）1．已知数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则数列2{}n a 的前10项和为（）A ．1041-B ．102(21)-C ．101(41)3-D ．101(21)3-2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n S a =-，则{}n a 的通项公式为n a =（） A ．21n -B ．12n -C ．21n-D ．21n +3．数列{}n a 满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，则数列{}n a 的前20项和为（）A ．100-B ．100C ．110-D ．1104．已知数列{}n a 的通项公式为100n a n n=+，则122399100||||||a a a a a a -+-++-=L （） A ．150B ．162C ．180D ．2105．数列{}n a 中，10a =，1n n a a +-=，若9n a =，则n =（）A ．97B ．98C ．99D ．1006．在数列{}n a 中，12a =-，111n na a +=-，则2019a 的值为（） A ．2-B ．13 C ．12D ．327．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且13n n n S S a +=++，4523a a +=，则8S =（） A ．72B ．88C ．92D ．988．在数列{}n a 中，12a =，已知112(2)2n n n a a n a --=≥+，则n a 等于（）A ．21n + B ．2n C ．31n + D ．3n9．已知数列21()n a n n =-∈*N ，n T 为数列11{}n n a a +的前n 项和，求使不等式20194039n T ≥成立的最小正整数（）一、选择题A ．2017B ．2018C ．2019D ．202010．已知直线20x y ++=与直线0x dy -+=互相平行且距离为m ，等差数列{}n a 的公差为d ，7835a a ⋅=，4100a a +<，令123||||||||n n S a a a a =++++L ，则m S 的值为（）A ．60B ．52C ．44D ．3611．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足3()()2f x f x -=，(2)3f -=-，数列{}n a 是等差数列，若23a =，713a =，则1232020()()()()f a f a f a f a ++++=L （） A ．2-B ．3-C ．2D ．312．已知数列满足12323(21)3nn a a a na n ++++=-⋅L ，设4n nnb a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和．若n S λ<（常数），n ∈*N ，则λ的最小值为（）A ．32B ．94C ．3112D ．311813．已知数列{}n a 的通项公式为12n n a n -=⋅，其前n 项和为n S ，则n S = ．14．设数列{}n a 满足1(1)()2n n n na n a n n +-+=∈+*N ，112a =，n a = ． 15．已知数列{}n a 满足1(1)(2)nn n a a n n ---=≥，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则40S = ．16．等差数列{}n a 中，3412a a +=，749S =，若[]x 表示不超过x 的最大整数，（如[0.9]0=，[2.6]2=，）．令[lg ]()n n b a n =∈*N ，则数列{}n b 的前2000项和为．1．【答案】C答案与解析二、填空题一、选择题【解析】∵21n n S =-，∴1121n n S ++=-，∴111(21)(21)2n n nn n n a S S +++=-=---=，又11211a S ==-=，∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，∴2121(2)4n n n a --==，∴所求值为1010141(41)143-=--． 2．【答案】B【解析】当1n =时，11121S a a =-=，∴11a =；当2n ≥时，1122n n n n n a S S a a --=-=-，∴12n n a a -=，因此12n n a -=．3．【答案】A【解析】121a a +=-，343a a +=-，565a a +=-，787a a +=-，…，由上述可知，1219201191(13519)1101002a a a a +++++=-⨯++++=-⨯⨯=-L L ． 4．【答案】B【解析】由对勾函数的性质知：当10n ≤时，数列{}n a 为递减；当10n ≥时，数列{}n a 为递增，故12239910012239101110||||||()()()()a a a a a a a a a a a a a a -+-++-=-+-++-+-L L12111009911010010()()1100(1010)(1001)a a a a a a a a +-++-=-+-=+-+++-L (1010)162+=．5．【答案】D【解析】由1n n a a +-==，利用累加法可得，∴11)n a a -=+++L 1=，∵10a =，∴19n a ==10=，100n =． 6．【答案】B【解析】由题意得，12a =-，111n n a a +=-，∴213122a =+=，321133a =-=，4132a =-=-，…， ∴{}n a 的周期为3，∴20193673313a a a ⨯===． 7．【答案】C【解析】∵13n n n S S a +=++，∴113n n n n S S a a ++-=+=， ∴13n n a a +-=，∴{}n a 是公差为3d =的等差数列，又4523a a +=，可得12723a d +=，解得11a =，∴81878922S a d ⨯=+=． 8．【答案】B 【解析】将等式1122n n n a a a --=+两边取倒数，得到11112n n a a -=+，11112n n a a --=， 1{}n a 是公差为12的等差数列，1112a =，根据等差数列的通项公式的求法得到111(1)222n n n a =+-⨯=，故2n a n=． 9．【答案】C【解析】已知数列21()n a n n =-∈*N ，∵111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+， ∴11111111(1)()()(1)2335212122121n n T n n n n ⎡⎤=-+-++-=-=⎢⎥-+++⎣⎦L ，不等式20194039n T ≥，即2019214039n n ≥+，解得2019n ≥， ∴使得不等式成立的最小正整数n 的值为2019． 10．【答案】B【解析】由两直线平行得2d =-，由两直线平行间距离公式得10m ==，∵77(2)35a a ⋅-=，得75a =-或77a =， ∵410720a a a +=<，∴75a =-，29n a n =-+，∴12310|||||||||7||5||5||7||9||11|52m S a a a a =++++=+++-+-+-+-=L L ． 11．【答案】B【解析】由函数()f x 是奇函数且3()()2f x f x -=，得(3)()f x f x +=，由数列{}n a 是等差数列，若23a =，713a =，可得到21n a n =-，可得123456()()()()()()0f a f a f a f a f a f a ++=++=，则其周期为3，12320201()()()()()3f a f a f a f a f a ++++==-L ．12．【答案】C【解析】∵12323(21)3nn a a a na n ++++=-⋅L ①，当2n ≥时，类比写出12323a a a ++++L 11(1)(23)3n n n a n ---=-⋅②，由①-②得143n n na n -=⋅，即143n n a -=⋅．当1n =时，134a =≠，∴13,143,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩，14,13,23n n n b n n -⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩， 214233333n n n S -=++++=L 021*********n n-+++++L ③， 2311112313933333n n n n nS --=++++++L ④， ③-④得，0231112211111231393333339313n n n n n n n S --=++++++-=+--L ，∴316931124312n n n S +=-<⋅，∵n S λ<（常数），n ∈*N ，∴λ的最小值是3112．13．【答案】(1)21nn -+【解析】由题意得01221122232(1)22n n n S n n --=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅L ①，∴1221222n S =⨯+⨯3132(1)22n n n n -+⨯++-⋅+⋅L ②，①-②得231121222222(1)2112nn nn n n S n n n ---=+++++-⋅=-⋅=-⋅--L ，∴(1)21nn S n =-+．14．【答案】21n n +【解析】∵1(1)()2n n n na n a n n +-+=∈+*N ，∴11111(2)(1)12n n a a n n n n n n +-==-+++++，∴11111n n a a n n n n --=--+，…，21112123a a -=-，累加可得11121n a a n n -=-+，二、填空题∵112a =，∴1111n a nn n n =-=++，∴21n n a n =+． 15．【答案】440【解析】由1(1)(2)nn n a a n n ---=≥可得：当2n k =时，2212k k a a k --=①；当21n k =-时，212221k k a a k --+=-②；当21n k =+时，21221k k a a k ++=+③；①+②有：22241k k a a k -+=-，③-①得有：21211k k a a +-+=，则40135739()S a a a a a =+++++L24640109()110(71523)1071084402a a a a ⨯+++++=⨯++++=+⨯+⨯=L L ． 16．【答案】5445【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，∵3412a a +=，749S =，∴12512a d +=，1767492a d ⨯+=，解得11a =，2d =， ∴12(1)21n a n n =+-=-，[lg ][lg(21)]n n b a n ==-，1,2,3,4,5n =时，0n b =；650n ≤≤时，1n b =； 51500n ≤≤时，2n b =； 5012000n ≤≤时，3n b =，∴数列{}n b 的前2000项和454502150035445=+⨯+⨯=．。

【E课堂】专题12 数列的建模与探究-高考数学二轮复习微专题(解析版)

专题12 数列的建模与探究数列在实际生活中很常见,在高考数学应用题中很流行,随着新课程标准的试行,数列应用与数列探究问题将会越来越多地出现在高考数学命题中,由于数列建模需要多方面知识,容易形成卡壳点,因此必须寻找智慧点来排除.一、小船通过小桥受阻的突破问题1:在古运河上建有许多形状相同的抛物线形状的拱桥A n(n=0,1,2,⋯),经测量知,相邻两座桥之间的距离a n近似满足a n=800+150n(n=1,2,3,⋯),当水面距拱顶5米时,桥洞水面宽为8米.每年汛期,船夫都要考虑拱桥的通行问题,已知一只宽4米、装有防汗器材的船露出水面部分的高为0.75米.(I)要使该船能顺利通过拱桥,试问水面距拱顶的高度至少要几米?(II)已知水面每小时上涨0.15米,船在静水中的速度为0.4米/秒,水流速度为15米/分,若船从A0桥起针顺水航行时,水面开始上涨,试问船将在哪一座桥受阻?(III)若船通过A n−1桥后,通过A n桥时可能受阻,你会采取什么措施使该船顺利通过此桥?（船长、桥宽、采取措施所用时间忽略不计)【解析】卡壳点:阅读理解力弱,难以建立函数与数列模型.应对策略:整体把握小船航行中的速度与涨水速度之间的关系.问题解答:(I)取抛物线形状拱桥的拱顶为原点,拱桥的对称轴所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图1.图1设当水面上涨到与抛物线拱顶相距ℎ米时,船不能通过,设抛物线方程为x2=−2py(p>0),因为A(4,−5)在此抛物线上,所以p=1.6.当船不能通行时,船宽等于BB1,点B横坐标为2.问题转化为求抛物线x2=−3.2y上点B的纵坐标y1,然后求ℎ.将x=2代人方程得y1=−54,所以ℎ=|y1|+0.75=2,因此水面距拱顶至少2米,船才能顺利通过此桥.(II)水面由距离拱顶5米上升到2米需(5−2)÷0.15=20(时),A0桥到A n桥的距离S n=12(a1+a n)n=12(950+800+150n)n=12(1750n+150n2),船顺水航行的速度v=1440+900=2340(米/时).在这段时间内,船航行的路程d=2340×20=46800(米).由S n=46800得15n2+175n=4680×2,解得n=19.8.故取n=19,此时43700=S19<d<S20=47350,所以船在A20桥受阻.(III)当船通过A n−1桥后,发现船可能在A n桥受阻,船夫可以立即采取加快船速的方法,或者采取给船加载使船体下沉(不超过0.75米)等方法,使船顺利通过A n 桥.【反思】问题以综合分析能力立意,将数列、抛物线、方程等知识融为一体,主要测试学生的阅读理解能力、综合应用能力及数学思维能力,包括思维的严密性.第(I)问学生容易漏掉0.75.思维的发散性:只要将第(II)问中的“顺水”删除,学生就需要考虑两种情形,即顺水和逆水.思维的创造性:第(III)问既测试学生的综合素质,又给学生创新思维提供了空间,使问题具有开放性和广泛性.二、垃圾处理中环境保护意识问题2:我国城市垃圾平均每年以9%的速度增长,设到A年底堆存的垃圾已达60亿吨,侵占了约5亿平方米的土地,而且还在以每年1亿吨的速度产生着新的垃圾.从资源学的观点看,生活垃圾也是资源.如果用1.4亿吨垃圾发电,可以节约2333万吨煤炭;如果将1.4亿吨垃圾进行处理,再添加粪便和秸秆,每年可生产1.5亿吨有机肥.(I)A−10年时我国城市垃圾大约有多少亿吨?,并按1:1进行发电和生产(II)如果从第A+1年起,每年处理上年堆存垃圾的110有机肥,则A+1、A+2两年每年可节约多少万吨煤炭、可生产多少亿吨有机肥、可节约多少亿平方米土地?（可以使用计算器)(III)阅读并解决上述问题后,你对所接受的信息有何感想?【解析】卡壳点:阅读理解力弱,难以建立数列模型进行数据分析.应对策略:从提供的大量数据信息中提取关键数量关系建立数列模型.问题解答:(I)设A年我国城市垃圾有a吨,则a[1−(109%)10]÷(1−109%)= 60,计算得a=3.95亿吨,故A年我国城市垃圾大约有3.95亿吨.(II)A+1年处理垃圾6亿吨,节约3×2333÷1.4=4999万吨煤炭,生产3×1.5÷1.4=3.2亿吨有机肥,节约6×5÷60=0.5亿平方米土地;A+2年处理垃圾(60−6+1)÷10=5.5亿吨,节约2.75×2333÷1.4=4583万吨煤炭,生产2.75×1.5÷1.4=2.9亿吨有机肥,节约5.5×5÷60=0.46亿平方米土地. (III)只要从资源利用和环境保护的角度来谈感想均可.【反思】本题的数学知识是数列,关键在于阅读理解能力.第(I)问学生容易将前n项和问题错误理解为第n项问题;第(III)问设计得好,具有创新性和开放性,也更加体现了教育功能.三、数列某特性是否存在探究存在性探究问题的表征就是问题结论的不确定性,而揭示数列所呈现的规律就是要对这种不确定性实施判断和确定.数列探究题的突破一般从特殊情形开始,运用归纳思想(不完全归纳起步,数学归纳法证明),逐步将规律一点一点地暴露出来.下面以正整数的倒数数列{1n}为例,解读这一过程.面对数列{1 n }:1,12,13,⋯,1n,⋯,它的前n项和S n=1+12+13+⋯+1n,不能像等差数列和等比数列前n项和那样有公式、有规律可循,其内在的本质特征有哪些呢?比如{S n}是否有规律呢?问题3:已知S n是数列{1n}的前n项和.(I)分别计算S2−S1,S4−S2,S8−S4的值.(II)证明:当n⩾1时,S2n−S2n−1⩾12,并指出等号成立的条件.(III)利用(II)的结论,找出一个适当的T∈N,使得S T>2008.(IV)是否存在关于正整数n的函数f(n),使得S1+S2+⋯+S n−1=f(n)(S n−1)对于大于1的正整数n都成立?证明你的结论.【解析】卡壳点:不会用由特殊到一般的规律表达.应对策略:按照题设步骤一步一步走下去,寻找S n的规律.问题解答:(I)S2−S1=12,S4−S2=13+14=712,S8−S4=15+16+17+18=168+140+120+105840=533840.（II)当n⩾1时,S2n−S2n−1=12n−1+1+12n−1+2+⋯+12n⩾12n×2n−1=12,当且仅当n=1时,等号成立.（III)由于S1=1,当n⩾1时,S2n−S2n−1⩾12,于是,要使得S T>2008,只需12+13+⋯+1n>2007.将12+13+⋯+1n按照第1组21项,第2组22项,⋯,第n组2n项的方式分组.由(II)可知,每一组的和不小于12,且只有当n =1时等于12,将这样的分组连续取2×2007组,加上a 1,共有24015项,这24015项之和一定大于1+2007=2008,故只需取T =24015,就能使得S T >2008.(只要取出的T 不小于24015,并说出相应理由即可)(IV)用特殊情形去检验,当n =2时,有1=f(2)(1+12−1),解得f(2)=2. 当n =3时,有52=f(3)(1+12+13−1),解得f(3)=3.此时发现这样的f(n)可能存在,猜测f(n)=n(n ⩾2).下面用数学归纳法证明.(1)当n =2,3时,上面已证,猜测正确;(2)设n =k(k ⩾2)时,f(n)=k ,即S 1+S 2+⋯+S k−1=k (S k −1)成立, 则S 1+S 2+⋯+S k−1+S k =k (S k −1)+S k=(k +1)S k −k =(k +1)(S k +1k+1−1)=(k +1)(S k+1−1).即当n =k +1时,猜测也正确.综上所述,存在f(n)=n ,使得S 1+S 2+⋯+S n−1=f(n)(S n −1)对于大于1的正整数n 都成立.【反思】(1)此问题是《高等数学》级数一章中一个调和级数的数列表示,是一个经典问题.(2)事实上,对于任何一个数列,只要我们从不同的角度去思考,都会找到一些规律,比如此数列的变式:1,−12,13,⋯,(−1)n+11n ,⋯,也具有很好的分析价值,这留给读者去探究或思考.四、数列不等式的多角度探究对某一数学问题的多角度探究与深度思考是一种有效的教学设计方式,学生可以从整体上理解数学思想方法,不论从数学知识角度还是从数学方法广度的角度都能得到有效的收益,使学生不仅知其然而且能知其所以然.问题4:已知a n =3n 3n +2,求证:a 1+a 2+⋯+a n >n 2n+1.【解析】卡壳点:对数列通项分析缺少思路.应对策略:一是用分析法寻找突破口,二是从结构上寻找转化点.问题解答:解法1(分析通项)由a n >n 2n+1−(n−1)2n 逆推得3n 3n +2>n 3−(n−1)2(n+1)n(n+1),再逆推得3n >2n 2+2n −2,再逆推得n ⩾3.因此当n ⩾3时,有a 1+a 2+⋯+a n >35+911+(324−223)+⋯+[n 2n+1−(n−1)2n ]=n 2n+1−43+35+911=n 2n+1+14165>n 2n+1. 又当n =1或2时命题显然成立,因此原命题得证.解法2(等比放缩)由于a n =1−23n +2,而n 2n+1=n −n n+1,因此原不等式等价于23+2+29+2+227+2+⋯+23n +2<n n+1.当n =1或2时命题显然成立;当n ⩾3时,有23+2+29+2+227+2+⋯+23n +2<23+2+29+2+227+⋯+23n <23+2+29+2+2271−13<34⩽n n+1. 因此原命题得证.解法3(柯西不等式放缩）由柯西不等式得(a 1+a 2+⋯+a n )(1a 1+1a 2+⋯+1a n )⩾n 2, 又1a 1+1a 2+⋯+1a n =n +2(13+19+⋯+13n )<n +1，因此a 1+a 2+⋯+a n >n 2n+1.原命题得证.【反思】数列放缩建立在基本变形技术之上,因此,需要在此打好基本功. 强化练习1.水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题,全国9100万亩坡度在25∘以上的坡耕地需要退耕还林,其中西部地区占70%.2000年国家确定在西部地区退耕土地面积为515万亩,以后每年退耕土地面积递增12%.(I)试问从2000年起,到哪一年西部地区基本解决退耕还林问题?(II)为支持退耕还林工程,国家财政补助农民每亩300斤粮食,每斤粮食按0.70元折算,并且每亩退耕地每年补助20元,试问:到西部地区基本解决退耕还林问题时,国家财政共需支付约多少亿元?（可以使用计算器）(III)阅读并解决上述问题后,你对所获得的信息有何感想?【解析】(1)设从2000年起，第n 年西部地区基本解决退耕还林问题，则有()1515515112%515(112%)910070%n n S -=+++++=⨯，即63701.120.121 2.484515n =⨯+≈，计算得8n =. 故从2000年起，到2007年西部地区基本解决退耕还林问题.(2)每亩退耕地国家财政补贴3000.720230⨯+=(元)，故2000年国家财政补贴为515230⨯(万元)；2001年国家财政补贴为()5151 1.12230⨯+⨯(万元)；…；2006年国家财政补贴为()65151 1.12 1.12230⨯+++⨯(万元).因此，到西部地区基本解决退耕还林问题时，国家财政共需支付()()651523011 1.121 1.12 1.12⎡⎤⨯⨯+++++++⎣⎦(万元)，计算得5697445万元，约569.7亿元.(3)只要从环境保护的角度来谈感想均可.【反思】从提供的大量数据信息中提取关键数量关系建立数列模型.2.某工厂“减员增效”,对部分人员实行分流,规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100%,从第二年起,以后每年只能在原单位按上一年的23领取工资.该工厂根据分流人员的技术特长,计划创办新的经济实体,该经济实体预计第一年属投资阶段,没有利润,第二年每人可获b 元收人,从第三年起每人每年的收人可在上一年基础上递增50%.某人分流前工资收人为每年a 元,分流后进人新的经济实体,第n 年总收人为a n 元.(I)求a n .(II)当b =8a 27时,这个人哪一年收人最少?最少收人是多少?(III)当b ⩾3a 8时,是否可以保证这个人分流一年后的收人永远超过分流前的年收人?【解析】这是研究在“减员增效”过程中，某职工的工资收人的变化情况.工资总收人涉及在原单位所领取的工资、在新经济实体中所获收人两部分，而它们的变化都有一定的规律，符合等比数列.数学建模：=(I)依题意知，当1n =时，n a a =.当2n 时，122332n n n a a b --⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故12,1,23, 2.32n n n a n a a b n --=⎧⎪=⎨⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩ (II)已知827a b =，当2n 时， 11212228328382327232729n n n n n a a a a a a ----⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 当且仅当122833272n n a a --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2242233n -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，上式等号成立，解得3n =.因此这个人第三年收入最少，最少收入为89a . (III)当2n 时，12122323332382n n n n n a a a b a ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11222332382n n a a a --⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦上述等号成立，须38a b =，且12233382n n --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2311log 2n =+. 显然2233121log 1log 223+>+=，但2311log 2+不是自然数，因此等号不可能取到.故当2n >时，有n a a >；当2n =时，223253824a a a a a =+=>. 综上知，当38ba 时，可使这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入. 【反思】在实际问题的阅读中，寻找关键数量关系，建立数列模型.3.在当前市场经济条件下,某服装市场上私营个体商店中的商品所标价格a 与其实际价值b 之间存在着相当大的差距.对购物的消费者来说,这个差距越小越好,而商家则相反,于是就有消费者与商家的“讨价还价”,常见的方法是“对半还价法”,消费者第一次减去定价的一半,商家第一次讨价加上二者差价的一半;消费者第二次还价再减去二者差价的一半,商家第二次讨价,再加上二者差价的一半,如此下去,可得表1:表1消费者每次的还价b n (k ∈N)组成一个数列{b n }. (I)写出此数列的前三项,并猜测通项b n 的表达式; (II)求lim n→+∞ b n ;(III)若实际价格b 与定出的价格a 之比为b:a =0.618:1,利用“对半还价法”讨价还价,最终商家将能有百分之几的利润?【解析】（I)112b a =， ()23211111111112248222b c c b a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=+-=-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()25322211112222b c c b a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…，…，()221211111111111222232n n n n n n b c c b a a a a a a-----⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-+-++-+=-++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦…(II)211112lim lim 13233n n n n b a a a a a -→+∞→+∞⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫=-++=-+=⎢⎥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭.（III)因为:0.618:1b a =，所以0.618b a =，故22 1.08330.618ba b ==⨯ 故商家将有8%的利润.【反思】通过阅读，寻找数列递推关系是一个关键点.4.学校餐厅每天供应1000名学生用餐,每星期一有两样菜A,B 可供选择(每人选一样菜),调查资料表明,凡是在星期一选A 的下星期一会有20%改选B ,而选B 的,下星期一则有30%改选A ,用A n ,B n 表示在第n 个星期一分别选A,B 的人数. (I)试用A n ,B n 分别表示A n+1,B n+1;(II)证明:A n+1=12A n +300,B n+1=12B n +200; (III)若A 1=a,B 1=b(a,b ∈N),试求A n ,B n .【解析】(I)143510n n n A A B +=+，117510n n n B A B +=+ (II)因为1000n n A B +=，所以)1431(10003005102n n n n A A A A +=+-=+，()117110005102+200n n n n B B B B +=-+=. (III)因为()116006002n n A A +-=-，所以{}600n A -为等比数列，公比为12，1A a =，故()116006002n n A a -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，类似可得()114004002n n B b -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.【反思】读懂题中数量关系，寻找数列递推关系，为求通项打下基础. 5.如果数列{a n }满足a 1=a,a n+1=pa n +q ra n +s,求数列{a n }的通项公式.【解析】1n n n pa q a ra s ++=+对应方程px qx rx s+=+，即()20rx s p x q +--=.若2Δ()40s p rq =-+>，则方程有两个不等实根x =1x 或2x x =，因为()()111sx q x rx p --=-，于是()11111n n n n n p rx a q sx pa qa x x ra s ra s+-+-+-=-=++()()11n n p rx a x ra s--=+.同理，()()2212n n n p rx a x a x ra s+---=+. 两式相除得11111222n n n n a x a x p rx a x p rx a x ++---=---.故当1a x ≠，2a x ≠时，12n n a x a x ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是以12p rx p rx --为公比的等比数列.若2Δ()40s p rq =-+=，则方程有相等实根1x x =. 因为()()111sx q x rx p --=-，于是()11111n n n n n p rx a q sx pa qa x x ra s ra s+-+-+-=-=++()()11n n p rx a x ra s--=+.()()()()111111111111n n n n n n ra s ra rx s rx r a x p rx a x p rx a x p rx a x ++-++===+-------.其中12p sx r-=，所以当1a x ≠时，11na x⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是一个等差数列，公差为1r p rx -. 若2Δ()40s p rq =-+<，则方程无实根，不能用不动点法，到此止步! 若此数列有规律，运用递推法去发现规律!1a a =，121pa q pa q a ra s ra s ++==++，()()()()3pa qp q p pa q q ra s ra s a pa q r pa q s ra s r s ra s+⋅+++++==++++⋅++，()()()()()()()()4p p pa q q ra s q r pa q s ra s a r p pa q q ra s s r pa q s ra s ⎡⎤⎡⎤+++++++⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎡⎤+++++++⎣⎦⎣⎦，….【反思】一般形式下，对分式数列递推式给定的数列通项进行研究本身就是智慧，采用不动点法研究也是智慧.。

2024年高考真题汇总数列(学生版)

专题数列一、单选题1(全国甲卷数学(文))等差数列a n 的前n 项和为S n ，若S 9=1，a 3+a 7=()A.-2B.73C.1D.292(全国甲卷数学(理))等差数列a n 的前n 项和为S n ，若S 5=S 10，a 5=1，则a 1=()A.-2B.73C.1D.23(新高考北京卷)记水的质量为d =S -1ln n，并且d 越大，水质量越好．若S 不变，且d 1= 2.1，d 2=2.2，则n 1与n 2的关系为()A.n 1<n 2B.n 1>n 2C.若S <1，则n 1<n 2；若S >1，则n 1>n 2；D.若S <1，则n 1>n 2；若S >1，则n 1<n 2；二、填空题4(新课标全国Ⅱ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3+a 4=7，3a 2+a 5=5，则S 10=.5(新高考上海卷)无穷等比数列a n 满足首项a 1>0,q >1，记I n =x -y x ,y ∈a 1,a 2 ∪a n ,a n +1 ，若对任意正整数n 集合I n 是闭区间，则q 的取值范围是．三、解答题6(新课标全国Ⅰ卷)设m 为正整数，数列a 1,a 2,...,a 4m +2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项a i 和a j i <j 后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a 1,a 2,...,a 4m +2是i ,j -可分数列．(1)写出所有的i ,j ，1≤i <j ≤6，使数列a 1,a 2,...,a 6是i ,j -可分数列；(2)当m ≥3时，证明：数列a 1,a 2,...,a 4m +2是2,13 -可分数列；(3)从1,2,...,4m +2中一次任取两个数i 和j i <j ，记数列a 1,a 2,...,a 4m +2是i ,j -可分数列的概率为P m ，证明：P m >18．7(新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C :x 2-y 2=m m >0 ，点P 15,4 在C 上，k 为常数，0<k <1．按照如下方式依次构造点P n n =2,3,... ，过P n -1作斜率为k 的直线与C 的左支交于点Q n -1，令P n 为Q n -1关于y 轴的对称点，记P n 的坐标为x n ,y n .(1)若k =12，求x 2,y 2；(2)证明：数列x n -y n 是公比为1+k1-k的等比数列；(3)设S n 为△P n P n +1P n +2的面积，证明：对任意的正整数n ，S n =S n +1.8(全国甲卷数学(文))已知等比数列a n 的前n 项和为S n ，且2S n =3a n +1-3.2024年高考真题(1)求a n 的通项公式；(2)求数列S n 的通项公式.9(全国甲卷数学(理))记S n 为数列a n 的前n 项和，且4S n =3a n +4．(1)求a n 的通项公式；(2)设b n =(-1)n -1na n ，求数列b n 的前n 项和为T n ．10(新高考北京卷)设集合M =i ,j ,s ,t i ∈1,2 ,j ∈3,4 ,s ∈5,6 ,t ∈7,8 ,2i +j +s +t ．对于给定有穷数列A :a n 1≤n ≤8 ，及序列Ω:ω1,ω2,...,ωs ，ωk =i k ,j k ,s k ,t k ∈M ，定义变换T ：将数列A 的第i 1,j 1,s 1,t 1项加1，得到数列T 1A ；将数列T 1A 的第i 2,j 2,s 2,t 2列加1，得到数列T 2T 1A ⋯；重复上述操作，得到数列T s ...T 2T 1A ，记为ΩA ．(1)给定数列A :1,3,2,4,6,3,1,9和序列Ω:1,3,5,7 ,2,4,6,8 ,1,3,5,7 ，写出ΩA ；(2)是否存在序列Ω，使得ΩA 为a 1+2,a 2+6,a 3+4,a 4+2,a 5+8,a 6+2,a 7+4,a 8+4，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；(3)若数列A 的各项均为正整数，且a 1+a 3+a 5+a 7为偶数，证明：“存在序列Ω，使得ΩA 为常数列”的充要条件为“a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=a 7+a 8”．11(新高考天津卷)已知数列a n 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为S n ．若a 1=1,S 2=a 3-1．(1)求数列a n 前n 项和S n ；(2)设b n =k ,n =a kb n -1+2k ,a k <n <a k +1，b 1=1，其中k 是大于1的正整数．(ⅰ)当n =a k +1时，求证：b n -1≥a k ⋅b n ；(ⅱ)求S ni =1b i ．12(新高考上海卷)若f x =log a x (a >0,a ≠1)．(1)y =f x 过4,2 ，求f 2x -2 <f x 的解集；(2)存在x 使得f x +1 、f ax 、f x +2 成等差数列，求a 的取值范围．一、单选题1(2024·重庆·三模)已知数列a n 的前n 项和为S n ,a 1=1,S n +S n +1=n 2+1n ∈N ∗ ,S 24=()A.276B.272C.268D.2662(2024·河北张家口·三模)已知数列a n 的前n 项和为S n ，且满足a 1=1,a n +1=a n +1,n 为奇数2a n ,n 为偶数，则S 100=()A.3×251-156B.3×251-103C.3×250-156D.3×250-1033(2024·山东日照·三模)设等差数列b n 的前n 项和为S n ，若b 3=2，b 7=6，则S 9=()A.-36B.36C.-18D.184(2024·湖北武汉·二模)已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，若S 3=9,S 9=81，则S 12=()A.288B.144C.96D.255(2024·江西赣州·二模)在等差数列a n 中，a 2，a 5是方程x 2-8x +m =0的两根，则a n 的前6项和为()A.48B.24C.12D.86(2024·湖南永州·三模)已知非零数列a n 满足2n a n +1-2n +2a n =0，则a 2024a 2021=()A.8B.16C.32D.647(2024·浙江绍兴·二模)汉诺塔(Tower of Hanoi )，是一个源于印度古老传说的益智玩具. 如图所示，有三根相邻的标号分别为A 、B 、C 的柱子，A 柱子从下到上按金字塔状叠放着n 个不同大小的圆盘，要把所有盘子一个一个移动到柱子B 上，并且每次移动时，同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子的上方，请问至少需要移动多少次？记至少移动次数为H n ，例如：H (1)=1，H (2)=3，则下列说法正确的是()A.H (3)=5B.H (n ) 为等差数列C.H (n )+1 为等比数列D.H 7 <1008(2024·云南曲靖·二模)已知S n 是等比数列a n 的前n 项和，若a 3=3,S 3=9，则数列a n 的公比是()A.-12或1 B.12或1 C.-12D.129(2024·四川·模拟预测)已知数列a n 为等差数列，且a 1+2a 4+3a 9=24，则S 11=()A.33B.44C.66D.8810(2024·北京东城·二模)设无穷正数数列a n ，如果对任意的正整数n ，都存在唯一的正整数m ，使得a m =a 1+a 2+a 3+⋯+a n ，那么称a n 为内和数列，并令b n =m ，称b n 为a n 的伴随数列，则()A.若a n 为等差数列，则a n 为内和数列B.若a n 为等比数列，则a n 为内和数列C.若内和数列a n 为递增数列，则其伴随数列b n 为递增数列D.若内和数列a n 的伴随数列b n 为递增数列，则a n 为递增数列11(2024·广东茂名·一模)已知T n 为正项数列a n 的前n 项的乘积，且a 1=2,T 2n =a n +1n ，则a 5=()A.16B.32C.64D.12812(2024·湖南常德·一模)已知等比数列a n 中，a 3⋅a 10=1，a 6=2，则公比q 为()A.12B.2C.14D.4二、多选题13(2024·湖南长沙·三模)设无穷数列a n的前n项和为S n，且a n+a n+2=2a n+1，若存在k∈N∗，使S k+1 >S k+2>S k成立，则()A.a n≤a k+1B.S n≤S k+1C.不等式S n<0的解集为n∈N∗∣n≥2k+3D.对任意给定的实数p，总存在n0∈N∗，当n>n0时，a n<p14(2024·山东泰安·模拟预测)已知数列a n的通项公式为a n=92n-7n∈N*，前n项和为S n，则下列说法正确的是()A.数列a n有最大项a4 B.使a n∈Z的项共有4项C.满足a n a n+1a n+2<0的n值共有2个D.使S n取得最小值的n值为415(2024·山东临沂·二模)已知a n是等差数列，S n是其前n项和，则下列命题为真命题的是() A.若a3+a4=9，a7+a8=18，则a1+a2=5 B.若a2+a13=4，则S14=28C.若S15<0，则S7>S8D.若a n和a n⋅a n+1都为递增数列，则a n>0 16(2024·山东泰安·二模)已知等差数列a n的前n项和为S n，a2=4，S7=42，则下列说法正确的是()A.a 5=4B.S n=12n2+52nC.a nn为递减数列 D.1a n a n+1的前5项和为421 17(2024·江西·三模)已知数列a n满足a1=1,a n+1=2a n+1，则()A.数列a n是等比数列 B.数列log2a n+1是等差数列C.数列a n的前n项和为2n+1-n-2 D.a20能被3整除18(2024·湖北·二模)无穷等比数列a n的首项为a1公比为q，下列条件能使a n既有最大值，又有最小值的有()A.a1>0，0<q<1B.a1>0，-1<q<0C.a1<0，q=-1D.a1<0，q<-1三、填空题19(2024·山东济南·三模)数列a n满足a n+2-a n=2，若a1=1，a4=4，则数列a n的前20项的和为．20(2024·云南·二模)记数列a n的前n项和为S n，若a1=2,2a n+1-3a n=2n，则a82+S8=.21(2024·上海·三模)数列a n满足a n+1=2a n(n为正整数)，且a2与a4的等差中项是5，则首项a1= 22(2024·河南·三模)数列a n满足a n+1=e a n-2n∈N*，a2+a3=3x0，其中x0为函数y=e x-2-x2(x> 1)的极值点，则a1+a2-a3=.23(2024·上海·三模)已知两个等差数列2，6，10，⋯，202和2，8，14，⋯，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为．24(2024·湖南长沙·三模)已知数列a n 为正项等比数列，且a 2-a 3=3，则a 1的最小值为.四、解答题25(2024·黑龙江·三模)已知等差数列a n 的公差d >0，a 2与a 8的等差中项为5，且a 4a 6=24.(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n =a n ,n 为奇数，1a n an +2,n 为偶数，求数列b n 的前20项和T 20.26(2024·湖南长沙·三模)若各项均为正数的数列c n 满足c n c n +2-c 2n +1=kc n c n +1(n ∈N *,k 为常数)，则称c n 为“比差等数列”.已知a n 为“比差等数列”，且a 1=58,a 2=1516,3a 4=2a 5.(1)求a n 的通项公式；(2)设b n =a n ,n 为奇数b n -1+1,n 为偶数，求数列b n 的前n 项和S n .27(2024·山东潍坊·三模)已知正项等差数列a n的公差为2，前n项和为S n，且S1+1，S2，S3+1成等比数列.(1)求数列a n的通项公式a n；(2)若b n=1S n,n为奇数，S n⋅sin n-1π2,n为偶数，求数列b n 的前4n项和.28(2024·上海·三模)已知等比数列a n的公比q>0，且a3+a1a5=6，a6=16．(1)求a n的通项公式；(2)若数列b n满足b n=λ⋅3n-a n，且b n是严格增数列，求实数λ的取值范围．29(2024·山东泰安·模拟预测)在足球比赛中，有时需通过点球决定胜负．(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将(也称为守门员)也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有23的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为p n，易知p1=1,p2=0．① 试证明：p n-1 3为等比数列；② 设第n次传球之前球在乙脚下的概率为q n，比较p2024与q2024的大小．30(2024·湖南邵阳·三模)高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数z=a+bi对应复平面内的点Z，设∠XOZ=θ，OZ=r，则任何一个复数z=a+bi都可以表示成：z=r cosθ+i sinθ的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，θ称为复数z的辐角，若0≤θ<2π，则θ称为复数z的辐角主值，记为argz.复数有以下三角形式的运算法则：若z i=r i cosθi+i sinθi,i=1,2,⋯n，则：z1⋅z2⋅⋯⋅z n=r1r2⋯r n cosθ1+θ2+⋯+θn+i sinθ1+θ2+⋯+θn，特别地，如果z1=z2=⋯z n=r cosθ+i sinθ，那么r cosθ+i sinθn=r n cos nθ+i sin nθ，这个结论叫做棣莫弗定理.请运用上述知识和结论解答下面的问题：(1)求复数z=1+cosθ+i sinθ，θ∈π,2π的模z 和辐角主值argz(用θ表示)；(2)设n≤2024，n∈N，若存在θ∈R满足sinθ+i cosθn=sin nθ+i cos nθ，那么这样的n有多少个？(3)求和：S=cos20°+2cos40°+3cos60°+⋯+2034cos2034×20°31(2024·湖南长沙·二模)集合论在离散数学中有着非常重要的地位.对于非空集合A 和B ，定义和集A +B =a +b a ∈A ,b ∈B ，用符号d (A +B )表示和集A +B 内的元素个数.(1)已知集合A =1,3,5 ，B =1,2,6 ，C =1,2,6,x ，若A +B =A +C ，求x 的值；(2)记集合A n =1,2,⋯,n ，B n =2,22,⋯,n 2 ，C n =A n +B n ，a n 为C n 中所有元素之和，n ∈N *，求证：1a 1+2a 2+⋯+n a n <2(2-1)；(3)若A 与B 都是由m m ≥3,m ∈N * 个整数构成的集合，且d (A +B )=2m -1，证明：若按一定顺序排列，集合A 与B 中的元素是两个公差相等的等差数列.32(2024·山东泰安·模拟预测)已知数列a n 是斐波那契数列，其数值为：1,1,2,3,5,8,13,21,34⋅⋅⋅⋅⋅⋅.这一数列以如下递推的方法定义：a 1=1，a 2=1，a n +2=a n +1+a n (n ∈N *).数列b n 对于确定的正整数k ，若存在正整数n 使得b k +n =b k +b n 成立，则称数列b n 为“k 阶可分拆数列”.(1)已知数列c n 满足c n =ma n (n ∈N *，m ∈R ).判断是否对∀m ∈R ，总存在确定的正整数k ，使得数列c n 为“k 阶可分拆数列”，并说明理由.(2)设数列{d n }的前n 项和为S n =3n -a a ≥0 ，(i )若数列{d n }为“1阶可分拆数列”，求出符合条件的实数a 的值；(ii )在(i )问的前提下，若数列f n 满足f n =an S n，n ∈N *，其前n 项和为T n .证明：当n ∈N *且n ≥3时，T n <a 21+a 22+a 23+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+a 2n -a n a n +1+1成立.。

专题12 数列-三年(学生版)

专题12 数列1．【2019年高考全国III 卷文数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8C ．4D ．22．【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2+b ，n *∈N ，则 A ．当101,102b a => B ．当101,104b a => C ．当102,10b a =-> D ．当104,10b a =->3．【2018年高考浙江卷】已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则 A ．1324,a a a a << C ．1324,a a a a <>D ．1324,a a a a >>4．【2018年高考北京卷文数】设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．【2018年高考北京卷文数】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A BC ．D ．6．【2017年高考浙江卷】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．【2019年高考全国I 卷文数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若13314a S ==，，则S 4=___________．8．【2019年高考全国III 卷文数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.9．【2019年高考江苏卷】已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是__________．10．【2018年高考江苏卷】已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}nB x x n ==∈N ．将A B U 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为___________．11．【2017年高考江苏卷】等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a =___________．12．【2019年高考全国I 卷文数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=-a 5．（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．13．【2019年高考全国II 卷文数】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和．14．【2019年高考北京卷文数】设{a n }是等差数列，a 1=–10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列．（1）求{a n }的通项公式；（2）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值．15．【2019年高考天津卷文数】设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0，已知1123323,,43a b b a b a ====+.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足21n n n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数,，为偶数.求*112222()n n a c a c a c n +++∈N L .16．【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }()n *∈N 满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }()n *∈N 满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }()n *∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．17．【2019年高考浙江卷】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每个12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列．（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）记,n c n *=∈N证明：12+.n c c c n *++<∈N L18．【2018年高考全国I 卷文数】已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=．（1）求123b b b ，，；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式．19．【2018年高考全国III 卷文数】等比数列{}n a 中，15314a a a ==，．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．20．【2018年高考全国II 卷文数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值．21．【2018年高考北京卷文数】设{}n a 是等差数列，且123ln2,5ln2a a a =+=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求12e e e n aaa+++L .22．【2018年高考天津卷文数】设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n （n ∈N *）；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n （n ∈N *）．已知b 1=1，b 3=b 2+2，b 4=a 3+a 5，b 5=a 4+2a 6．（1）求S n 和T n ；（2）若S n +（T 1+T 2+…+T n ）=a n +4b n ，求正整数n 的值．23．【2018年高考浙江卷】已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{（b n +1−b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ．（1）求q 的值；（2）求数列{b n }的通项公式．24．【2018年高考江苏卷】设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．（1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；（2）若*110,,a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+L 均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）．25．【2017年高考全国I 卷文数】记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=−6．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．26．【2017年高考全国II 卷文数】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11221,1,2a b a b =-=+=.（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式；（2）若321T =，求3S .27．【2017年高考全国III 卷文数】设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=L .（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和.28．【2017年高考北京卷文数】已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=1，a 2+a 4=10，b 2b 4=a 5．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求和：13521n b b b b -++++L ．29．【2017年高考山东卷文数】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且121236,a a a a a +==．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）{}n b 为各项非零的等差数列，其前n 项和S n ，已知211n n n S b b ++=，求数列{}nnb a 的前n 项和n T ．30．【2017年高考天津卷文数】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2334111412,2,11b b b a a S b +==-=．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n ∈N ．31．【2017年高考江苏卷】对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++L L 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”．（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．32．【2017年高考浙江卷】已知数列{x n }满足：x 1=1，x n =x n +1+ln(1+x n +1)（n *∈N ）．证明：当n *∈N 时，（1）0＜x n +1＜x n ；（2）2x n +1− x n ≤12n n x x +；（3）112n -≤x n ≤212n -．。

高考理科数学复习专题12 数列(学生版)

专题12 数列1．【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 2．【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8C ．4D ．23．【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2+b ，n *∈N ，则 A ．当101,102b a => B ．当101,104b a => C ．当102,10b a =-> D ．当104,10b a =->4．【2018年高考全国I 卷理数】设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12- B ．10- C ．10D ．125．【2018年高考浙江卷】已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则 A ．1324,a a a a << C ．1324,a a a a <>D ．1324,a a a a >>6．【2017年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4D ．87．【2017年高考全国I 卷理数】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A ．440B ．330C ．220D ．1108．【2017年高考全国II 卷理数】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏D ．9盏9．【2017年高考全国III 卷理数】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．24-B ．3-C ．3D ．810．【2017年高考浙江卷】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．【2019年高考全国I 卷理数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=___________． 12．【2019年高考全国III 卷理数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________．13．【2019年高考北京卷理数】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值为___________．14．【2019年高考江苏卷】已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是___________．15．【2018年高考全国I 卷理数】记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =___________． 16．【2018年高考北京卷理数】设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为___________． 17．【2018年高考江苏卷】已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}nB x x n ==∈N ．将A B U 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为___________．18．【2017年高考全国II 卷理数】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑___________．19．【2017年高考全国III 卷理数】设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 =___________． 20．【2017年高考江苏卷】等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a =___________．21．【2017年高考北京卷理数】若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11–1a b ==，448a b ==，则22a b =___________．22．【2019年高考全国II 卷理数】已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-.（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列；（2）求{a n }和{b n }的通项公式.23．【2019年高考北京卷理数】已知数列{a n }，从中选取第i 1项、第i 2项、…、第i m 项（i 1<i 2<…<i m ），若12m i i i a a a <<⋅⋅⋅<，则称新数列12m i i i a a a ⋅⋅⋅，，，为{a n }的长度为m 的递增子列．规定：数列{a n }的任意一项都是{a n }的长度为1的递增子列．（1）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（2）已知数列{a n }的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a ．若p <q ，求证：0m a <0n a ；（3）设无穷数列{a n }的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{a n }的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s –1，且长度为s 末项为2s –1的递增子列恰有2s -1个（s =1，2，…），求数列{a n }的通项公式．24．【2019年高考天津卷理数】设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．已知1122334,622,24a b b a b a ===-=+，．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,2,1,,k k n kk c n c b n +=⎧<<=⎨=⎩其中*k ∈N ．（i ）求数列(){}221n n a c -的通项公式；（ii ）求()2*1ni ii a c n =∈∑N ．25．【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }()n *∈N 满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }()n *∈N 满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }()n *∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．26．【2019年高考浙江卷】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每个12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列．（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）记,,2nn na c nb *=∈N 证明：12+2,.nc c c n n *++<∈N L27．【2018年高考全国II 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值．28．【2018年高考全国III 卷理数】等比数列{}n a 中，15314a a a ==，．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．29．【2018年高考浙江卷】已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{（b n +1−b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ．（1）求q 的值；（2）求数列{b n }的通项公式．30．【2018年高考江苏卷】设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．（1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；（2）若*110,,2]m a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+L 均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）．31．【2018年高考天津卷理数】设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是等差数列. 已知11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n S 的前n 项和为()n T n *∈N ，（i ）求n T ；（ii ）证明221()22()(1)(2)2n nk k k k T b b n k k n +*+=+=-∈+++∑N .32．【2017年高考天津卷理数】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N ．33．【2017年高考山东卷理数】已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2.（1）求数列{x n }的通项公式；（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)，…，P n+1(x n+1, n +1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积.34．【2017年高考江苏卷】对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++L L 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a是n T“()P k 数列”．（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．35．【2017年高考北京卷理数】设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,sx x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（1）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，nc M n>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列．36．【2017年高考浙江卷】已知数列{x n }满足：x 1=1，x n =x n +1+ln(1+x n +1)（n *∈N ）．证明：当n *∈N 时，（1）0＜x n +1＜x n ；（2）2x n +1− x n ≤12n n x x +；（3）112n -≤x n ≤212n -．。

三年高考(2019-2021)数学(理)试题分项汇编——专题12 数列(学生版)

专题12 数列1．【2021·北京高考真题】{}n a 和{}n b 是两个等差数列，其中()15kka kb ≤≤为常值，1288a =，596=a ，1192b =，那么3b =〔〕A ．64B ．128C ．256D ．5122．【2021·北京高考真题】数列{}n a 是递增的整数数列，且13a ≥，12100n a a a ++⋅⋅⋅+=，那么n 的最大值为〔〕 A ．9B ．10C ．11D ．123．【2021·浙江高考真题】数列{}n a满足)111,N n a a n *+==∈.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，那么〔〕 A ．100332S <，乙：{}n S 是递增数列，那么〔〕 A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件5．【2021年高考全国II 卷理数】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，每层环数相同，且下层比中层多729块，那么三层共有扇面形石板(不含天心石) A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块6．【2021年高考北京】在等差数列{}n a 中，19a =-，31a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，那么数列{}n T A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项7．【2021年高考浙江】等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差0d ≠，且11a d≤．记12b S =，1222–n n n b S S ++=，n *∈N ，以下等式不可能．．．成立的是 A ．4262a a a =+B ．4262b b b =+C ．2428a a a =D ．2428b b b =8．【2021年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．4505S a ==，，那么A ．25n a n =-B ．310n a n =- C ．228n S n n =- D ．2122n S n n =- 9．【2021年高考全国III 卷理数】各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，那么3a =A ．16B ．8C ．4D ．210．【2021年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2+b ，n *∈N ，那么 A ．当101,102b a => B ．当101,104b a => C ．当102,10b a =-> D ．当104,10b a =->11．【2021·全国高考真题】某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推，那么对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次，那么1nkk S==∑______2dm .12．【2021年高考浙江】我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列(1){}2n n +就是二阶等差数列．数列*(1){}()2n n n +∈N 的前3项和是_______． 13．【2021年高考江苏】设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，那么d +q 的值是 ▲ ．14．【2021年高考山东】将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，那么{a n }的前n 项和为________．15．【2021年高考全国I 卷理数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．假设214613a a a ==，，那么S 5=___________．16．【2021年高考全国III 卷理数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，那么105S S =___________． 17．【2021年高考北京卷理数】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 2=−3，S 5=−10，那么a 5=__________，S n 的最小值为___________．18．【2021年高考江苏卷】数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.假设25890,27a a a S +==，那么8S 的值是___________．19．【2021·浙江高考真题】数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-. 〔1〕求数列{}n a 的通项；〔2〕设数列{}n b 满足3(4)0n n b n a +-=，记{}n b 的前n 项和为n T ，假设n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，求λ的范围.20．【2021·全国高考真题】记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，假设35244,a S a a S ==．〔1〕求数列{}n a 的通项公式n a ；〔2〕求使n n S a >成立的n 的最小值．21．【2021·北京高考真题】定义p R 数列{}n a ：对实数p ，满足：①10a p +≥，20a p +=；②414,n n n N a a *-∀∈<；③{},1m n m n m n a a a p a a p +∈+++++，,m n N *∈．〔1〕对于前4项2，-2，0，1的数列，可以是2R 数列吗？说明理由；〔2〕假设{}n a 是0R 数列，求5a 的值；〔3〕是否存在p ，使得存在p R 数列{}n a ，对10,n n N S S *∀∈≥？假设存在，求出所有这样的p ；假设不存在，说明理由．22．【2021·全国高考真题】数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n na n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数〔1〕记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；〔2〕求{}n a 的前20项和.23．【2021·全国高考真题〔理〕】数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列{}n a是等差数列：②数列是等差数列；③213aa =．注：假设选择不同的组合分别解答，那么按第一个解答计分．24．【2021·全国高考真题〔理〕】记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，212n nS b +=．〔1〕证明：数列{}n b 是等差数列; 〔2〕求{}n a 的通项公式． 25．【2021年高考全国Ⅰ卷理数】设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项．〔1〕求{}n a 的公比；〔2〕假设11a =，求数列{}n na 的前n 项和．26．【2021年高考全国III 卷理数】设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．〔1〕计算a 2，a 3，猜测{a n }的通项公式并加以证明；〔2〕求数列{2n a n }的前n 项和S n ．27．【2021年高考江苏】数列{}()n a n ∈*N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，假设对一切正整数n ，均有11111kk kn nn S S a λ++-=成立，那么称此数列为“λ～k 〞数列．〔1〕假设等差数列{}n a 是“λ～1〞数列，求λ的值；〔2〕假设数列{}n a 是〞数列，且0n a >，求数列{}n a 的通项公式；〔3〕对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ～3〞数列，且0n a ≥？假设存在，求λ的取值范围；假设不存在，说明理由． 28．【2021年高考山东】公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．〔1〕求{}n a 的通项公式；〔2〕记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ． 29．【2021年高考天津】{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．〔Ⅰ〕求{}n a 和{}n b 的通项公式；〔Ⅱ〕记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N；〔Ⅲ〕对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+-⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．30．【2021年高考浙江】数列{a n }，{b n }，{c n }满足1111121,,,nn n n n n n b a b c c a a c c n b +++====-=∈*N ．〔Ⅰ〕假设{b n }为等比数列，公比0q >，且1236b b b +=，求q 的值及数列{a n }的通项公式；〔Ⅱ〕假设{b n }为等差数列，公差0d >，证明：*12311,n c c c c n d++++<+∈N ． 31．【2021年高考北京】{}n a 是无穷数列．给出两个性质：①对于{}n a 中任意两项,()i j a a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使2i m ja a a =； ②对于{}n a 中任意项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项,()k l a a k l >．使得2kn la a a =．(Ⅰ)假设(1,2,)n a n n ==，判断数列{}n a 是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)假设12(1,2,)n n a n -==，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)假设{}n a 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{}n a 为等比数列. 32．【2021年高考全国II 卷理数】数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-.〔1〕证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列；〔2〕求{a n }和{b n }的通项公式.33．【2021年高考北京卷理数】数列{a n }，从中选取第i 1项、第i 2项、…、第i m 项〔i 1<i 2<…<i m 〕，假设12m i i i a a a <<⋅⋅⋅<，那么称新数列12m i i i a a a ⋅⋅⋅，，，为{a n }的长度为m 的递增子列．规定：数列{a n }的任意一项都是{a n }的长度为1的递增子列．〔1〕写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；〔2〕数列{a n }的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a ．假设p <q ，求证：0m a <0n a ；〔3〕设无穷数列{a n }的各项均为正整数，且任意两项均不相等．假设{a n }的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s –1，且长度为s 末项为2s –1的递增子列恰有2s -1个〔s =1，2，…〕，求数列{a n }的通项公式．34．【2021年高考天津卷理数】设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．1122334,622,24a b b a b a ===-=+，．〔Ⅰ〕求{}n a 和{}n b 的通项公式；〔Ⅱ〕设数列{}n c 满足111,22,2,1,,k k n kk c n c b n +=⎧<<=⎨=⎩其中*k ∈N ．〔i 〕求数列(){}221n n a c -的通项公式；〔ii 〕求()2*1ni ii a c n =∈∑N ．35．【2021年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列〞.〔1〕等比数列{a n }()n *∈N 满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列〞；〔2〕数列{b n }()n *∈N 满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，假设存在“M －数列〞{c n }()n *∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +成立，求m 的最大值．36．【2021年高考浙江卷】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每个12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列．〔1〕求数列{},{}n n a b 的通项公式；〔2〕记,n c n *=∈N证明：12+.n c c c n *++<∈N。

2023年高考备考三年数列(含答案)

an 1
2，
an
n 1
n
所以，数列 an 是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列，则 an 2 2 2 ，
ak 1 ak 2 ak 10
ak 1 1 210
1 2

2k 1 1 210
1 2
2k 1 210 1 25 210 1 ，
所以 S3n S2 n S2 n Sn 729 ，
即
3n(9 27n ) 2n(9 18n ) 2n(9 18n ) n(9 9n )

729
2
2
2
2
即 9n 2 729 ，解得 n 9 ，
所以 S3n S27
27(9 9 27)
3402 .
圆形石板(称为天心石)，围绕天心石砌 9 块扇面形石板构成第—环，向外每环依次增加 9 块，下一层的第
—环比上一层的最后一环多 9 块，向外每环依次也增加 9 块，已知每层环数相同，且下层比中层多 729
块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)〔〕
高考材料
高考材料
A．3699 块
B．3474 块
C．3402 块
（详解）
设第 n 环天石心块数为 an ，第—层共有 n 环，
则 {an } 是以 9 为首项，9 为公差的等差数列， an 9 (n 1) 9 9n ，
设 S n 为 {an } 的前 n 项和，则第—层、第二层、第三层的块数分
别为 S n , S 2 n S n , S3n S 2 n ，因为下层比中层多 729 块，
∴ S2 4 ， S4 S2 6 4 2

专题12 三元一次方程组及其解法-重难点题型(举一反三)(学生版)

专题三元一次方程组及其解法-重难点题型【知识点1 三元一次方程组及解法】1．三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程组，并且有时需对方程化简后再根据三元一次方程组的的定义进行判断．2．解三元一次方程组的基本思想是消元，通过代入或加减消，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题．3．当三元一次方程组中出现比例式时，可采用换元法解方程组．【题型1 三元一次方程组的解】【例1】（2021春•零陵区期末）若二元一次方程组{2x +y =33x −y =2的解同时也是方程2x ﹣my ＝﹣1的解，那么m 的值为（）A ．﹣2B ．﹣1C ．3D ．4【变式1-1】（2021春•梁平区期末）三元一次方程组{2x =3y =6z x +2y +z =16的解是（） A ．{x =1y =3z =5B ．{x =6y =3z =2C ．{x =6y =4z =2D ．{x =4y =5z =6【变式1-2】（2021•坪山区模拟）若二元一次方程3x ﹣y ﹣7＝0，2x +3y ﹣1＝0和2x +y ﹣m ＝0有公共解，则m 的取值为（）A ．﹣2B ．﹣1C ．3D ．4【变式1-3】（2021春•高新区期末）如果方程组{x =4ax +by =5的解与方程组{y =3bx +ay =2的解相同，则a +b ＝．【题型2 用消元法解三元一次方程组】【例2】（2021春•宝山区期末）解方程组：{x −y +z =04x +2y +z =325x +5y +z =60．【变式2-1】解方程组：{3x +4y +z =14x +5y +2z =172x +2y −z =3．【变式2-2】解方程组：{x +2y +z =82x −y −z =−33x +y −2z =−1．【变式2-3】（2020•浙江自主招生）解方程组{x(y +z)=2.5，(y −1)(z +x +1)=9.5，(z +1)(x +y −1)=11.【题型3 用换元法解三元一次方程组】【例3】（2021春•南陵县期末）已知：a 3=b 5=c 7，且3a +2b ﹣4c ＝9，则a +b +c 的值等于．【变式3-1】（2020•晋江市模拟）已知方程组{x +y −5z =0x −y +z =0，则x ：y ：z ＝．【变式3-2】（2020秋•静安区月考）已知x+y 2=z+y 3=x+z 4，那么代数式x−2y+z 2x−y+z = ．【变式3-3】解方程组：{x 2=y 3=z 4①2x +y +z =22②方程组中的①式实际包含三个等式：x 2=y 3，x 2=z 4，y 3=z 4，只需任取其中两个（另一个通过这两个代换即可得），便可以与②式联立成三元一次方程组，如{3x =2y4y =3z 2x +y +z =22，然后用一般方法求解．对原方程组也可以用换元的方法来求解．令x 2=y 3=z 4=k ，则有x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ③，把③代入②，得4k +3k +4k ＝22，解得k ＝2，所以x ＝4，y ＝6，z ＝8，所以原方程组的解为{x =4y =6z =8．借鉴上述“换元法”，解方程组{x+12=y+23=z+342x +3y −z =13．【题型4 构建三元一次方程组解题】【例4】（2020秋•邛崃市期末）当x ＝﹣2时，代数式ax 2+bx +c 的值是5；当x ＝﹣1时，代数式ax 2+bx +c 的值是0；当x ＝1时，代数式ax 2+bx +c 的值是﹣4；则当x ＝2时，代数式ax 2+bx +c 的值是．【变式4-1】（2021春•和平区期末）在等式y ＝ax 2+bx +c 中，当x ＝﹣1时，y ＝0；当x ＝2时，y ＝3；当x ＝5时，y ＝60，则a ＝，b ＝，c ＝．【变式4-2】（2021春•海口期末）在等式y ＝ax 2+bx +c 中，当x ＝﹣1时，y ＝0；当x ＝5时，y ＝60；当x ＝0时，y ＝﹣5．求a 2+2ab +c 2的值．【变式4-3】（2021春•崇川区校级月考）已知y ＝ax 2+bx +c ，当x ＝1时，y ＝8；当x ＝0时，y ＝2；当x ＝﹣2时，y ＝4．（1）求a ，b ，c 的值；（2）当x ＝﹣3时，求y 的值．【题型5 运用整体思想求值】【例5】（2021•苏州一模）阅读材料：善于思考的小明在解方程组{4x +10y =6①8x +22y =10②时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：解：将方程②8x +20y +2y ＝10，变形为2（4x +10y ）+2y ＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y ＝10，则y ＝﹣1；把y ＝﹣1代入①得，x ＝4，所以方程组的解为：{x =4y =−1请你解决以下问题：（1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组{2x −3y =7①6x −5y =11②（2）已知x 、y 、z ，满足{3x −2z +12y =47①2x +z +8y =36②试求z 的值．【变式5-1】（2021春•金坛区期末）若2x +y +z ＝10，3x +y +z ＝12，则x +y +z ＝．【变式5-2】阅读以下材料：若x +3y +5z ＝5，x +4y +7z ＝7，求x +y +z 的值．解：x +y +z ＝3（x +3y +5z ）﹣2（x +4y +7z ）＝3×5﹣2×7＝1．答：x +y +z 的值的为1．根据以上材料提供的方法解决如下问题：若2x +5y +4z ＝6，3x +y ﹣7z ＝﹣4，求x +y ﹣z 的值．【变式5-3】（2020春•鼓楼区期中）解二元一次方程组的关键是“消元”，即把“二元”转化为“一元”，同样，我们可以用“消元”的方法解三元一次方程组．下面，我们就来解一个三元一次方程组：解方程组{x +y +z =2，①2x +3y −z =8，②3x −2y +z =3，③小曹同学的部分解答过程如下：解： + ，得3x +4y ＝10，④+ ，得5x +y ＝11，⑤与联立，得方程组{3x +4y =10，④5x +y =11，⑤（1）请补全小曹同学的解答过程：（2）若m 、n 、p 、q 满足方程组{m +n +p +q =42(m +n)+3p −q =163(m +n)−2p +q =6，则m +n ﹣2p +q ＝．【知识点2 三元一次方程组的应用】1．列方程组解决问题的一般步骤：（1）审题；（2）设元；（3）列方程组；（4）解方程组；（5）检验并作答. 2．列方程组时需要注意以下几方面（1）单位必须统一，例如时间单位.（2）解方程组后一定要把解代回实际问题中检验，不合题意的要舍去.【题型6 三元一次方程组的应用】【例6】汽车在平路上每小时行30千米，上坡时每小时行28千米，下坡时每小时行35千米，现在行驶142千米的路程用去4小时30分钟，回来使用4小时42分钟，问这段路中平路有多少千米？去时上、下坡各有多少千米？【变式6-1】某单位职工在植树节时去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50株，乙组植树的株数是甲、丙两组的和的14，甲组植树的株数恰是乙组与丙组的和，问每组各植树多少株？【变式6-2】如图中的□、△、○分别代表一个数字，且满足以下三个等式：□+□+△+○＝17□+△+△+○＝14□+△+○+○＝13，则□、△、○分别代表什么数字？并说明理由．【变式6-3】（2020春•乐清市期末）为了推动我市消费市场快速回暖，加快消费水平复苏和振兴，市人民政府决定，举办“春暖瓯越•温享生活”消费券多次投放活动，每期消费券共可减68元，共5张，其中A型1张，B型2张，C型2张，如下表：A型B型C型满168元减38元满50元减10元满20元减5元在此次活动中，小明父母领到多期消费券．（1）若小明妈妈用三种不同类型的消费券共减了199元，已知她用了3张A型消费券，5张B型的消费券，则用了7张C型的消费券．（2）若小明父母使用消费券共减了230元．①若他们用12张三种不同类型的消费券消费，已知C型比A型的消费券多1张，请求出他们用这三种不同类型的消费券各多少张？②若他们共领到6期消费券（部分未使用），用A，B，C型中的两种不同类型的消费券消费，直接写出他们使用哪两种消费券各多少张。

专题12 数列求和方法之倒序相加法(解析版)

专题12 数列求和方法之倒序相加法一、单选题1．已知1()()32g x f x =+-是R 上的奇函数，1(0)()n a f f n=++1()(1)n f f n-++,n *∈N ,则数列{}n a 的通项公式为（）A ．1n a n =+B ．31n a n =+C ．33n a n =+D ．223n a n n =-+【答案】C 【分析】由()132F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在R 上为奇函数，知11622f x f x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令12t x =-，则112x t +=-，得到()()16f t f t +-=．由此能够求出数列{}n a 的通项公式．【详解】由题已知()132F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，故()()F x F x -=-，代入得：()11622f x f x x R ⎛⎫⎛⎫-++=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴函数()f x 关于点132⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称，令12t x =-，则112x t +=-，得到()()16f t f t +-=， ∴()()1101n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1110n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，倒序相加可得()261n a n =+，即()31n a n =+，故选：C ．【点睛】思路点睛：利用函数的性质以及倒序相加法求数列的通项公式问题.先利用函数的奇偶性得到函数的对称中心，再用换元法得到()()16f t f t +-=，最后利用倒序相加法求解数列的通项公式. 2．已知1()12F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，*121(0)(1)()n n a f f f f f n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭N ，则数列{}n a 的通项公式为（）A ．n a n =B ．2n a n =C ．1n a n =+D ．223n a n n =-+【答案】C 【分析】由()112F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在R 上为奇函数，知11222f x f x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令12t x =-，则112x t +=-，得到()()12f t f t +-=．由此能够求出数列{}n a 的通项公式．【详解】由题已知()112F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，故()()F x F x -=-，代入得：()11222f x f x x R ⎛⎫⎛⎫-++=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴函数()f x 关于点112⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称，令12t x =-，则112x t +=-，得到()()12f t f t +-=， ∴()()1101n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1110n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，倒序相加可得()221n a n =+，即1n a n =+，故选：C ．【点睛】思路点睛：先利用函数的奇偶性得到函数的对称中心，再利用对称性以及倒序相加法求数列的通项公式. 3．已知12a =，121n n a a n +-=+（*n N ∈），则n a =（） A ．1n + B ．21nC ．21n +D ．221n +【答案】C 【分析】利用累加法即可求出通项公式．【详解】解：∴121n n a a n +-=+，则当2n ≥时，121n n a a n --=-，……325a a -=， 213a a -=，∴132212153n n a a a a a a n --+⋅⋅⋅+-+-=-+⋅⋅⋅++，化简得()()21121312n n n a a n --+-==-，又12a =，∴21n a n =+，经检验12a =也符合上式， ∴()2*1n n N a n =+∈，故选：C ．【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项公式，考查数列的递推公式的应用，考查倒序相加法求数列的和，考查计算能力，属于中档题．4．设n 为满足不等式01222008nn n n n C C C nC ⋅+⋅<⋅+++的最大正整数，则n 的值为（）．A ．11B ．10C ．9D ．8【答案】D 【分析】利用倒序相加法可求得0121221n n n n n n C C C nC n -+++⋅⋅⋅+=⋅+，进而解不等式求得最大正整数n .【详解】设0122nn n n n S C C C nC =+++⋅⋅⋅+，则()()12012n n n n nn n S nC n C n C C --=+-+-+⋅⋅⋅+，又r n rn n C C -=，012102222n n n n n n n n n S nC nC nC nC nC C n -∴=++++++=⋅+，121n S n -∴=⋅+，由2008S <得：122007n n -⋅<，72128=，82256=，∴78210242007⨯=<，89223042007⨯=>，n ∴的值为8.故选：D . 【点睛】本题考查了与组合数有关的不等式的求解问题；涉及到了利用倒序相加法求解数列的前n 项和的问题，属于中档题.5．已知函数()y f x =满足()(1)1f x f x +-=，若数列{}n a 满足121(0)(1)n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则数列{}n a 的前10项和为（）A ．652B ．33C ．672D ．34【答案】A 【分析】根据()(1)1f x f x +-=，并结合倒序相加法可求出12n n a +=，再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】函数()y f x =满足()(1)1f x f x +-=，121(0)(1)n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴，121(1)(0)n n n a f f f f f n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴，由∴+∴可得21n a n =+，12n n a +∴=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为12的等差数列，其前10项和为10110165222+⎛⎫+ ⎪⎝⎭=.故选：A. 【点睛】本题考查了函数的性质，考查倒序相加法求和，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，属于中档题. 6．已知函数()y f x =满足()(1)1f x f x +-=，若数列{}n a 满足12(0)n a f f f n n ⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1(1)n f f n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则数列{}n a 的前20项和为（）A ．100B ．105C ．110D ．115【答案】D 【分析】根据函数()y f x =满足()(1)1f x f x +-=，利用倒序相加法求出n a ，再求前20项和．【详解】解：函数()y f x =满足()(1)1f x f x +-=，()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯⋯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴， ()()12110n n n a f f f f f n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++⋯⋯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴，由∴+∴可得21n a n =+，12n n a +∴=，所以数列 {}n a 是首项为1，公差为12的等差数列，其前20项和为20120121152+⎛⎫+ ⎪⎝⎭=．故选：D ．【点睛】本题主要考查函数的性质及倒序相加法求和，属于基础题．7．已知函数()442x x f x =+，设2019n n a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n *∈N ），则数列{}n a 的前2019项和2019S 的值为（） A ．30293B ．30323C ．60563D ．60593【答案】A 【分析】首先可得()()11f x f x +-=，又2019n n a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，则20192019120192019n n n f f a --⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即20191n n a a -+=，则可得20181009S =，再由()91201120119422019423a f f ⎛⎫==== ⎪+⎝⎭及201920182019S S a =+计算可得；【详解】解：因为()442xx f x =+，所以()114214242x x xf x ---==++ 所以()()21414242xx x f x f x +=-+=++因为2019n n a f ⎛⎫=⎪⎝⎭ 所以2019n n a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，20192019120192019n n n f f a --⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以20191n n a a -+=则数列{}n a 的前2018项和2018S 则1220182018a a S a =+++ 2018212018017S a a a =+++所以201820182S = 所以20181009S = 又()91201120119422019423a f f ⎛⎫==== ⎪+⎝⎭20192018201923029100933S S a ∴=+=+=故选：A 【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，函数与数列，倒序相加法求和，属于中档题. 8．已知22()(),1f x x x=∈+R 若等比数列{}n a 满足120201,a a =则122020()()()f a f a f a +++=（）A ．20192B ．1010C ．2019D ．2020【答案】D 【详解】22()(),1f x x x=∈+R 22222122()11122211f x f x x x x x x⎛⎫∴+=+ ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+=++等比数列{}n a 满足120201,a a =120202019220201...1,a a a a a a ∴====()()()()()()120202019202012...2f a f a f a f a f a f a ∴+=+==+=即122020()()()f a f a f a +++=2020故选：D 【点睛】本题综合考查函数与数列相关性质，需要发现题中所给条件蕴含的倒数关系，寻找规律进而求出答案. 9．设函数()221xf x =+，利用课本（苏教版必修5）中推导等差数列前n 项和的方法，求得()()()()()54045f f f f f -+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++的值为（）A ．9B ．11C ．92D ．112【答案】B 【分析】先计算出()()f x f x +-的值，然后利用倒序相加法即可计算出所求代数式的值. 【详解】()221x f x =+，()()()22222212121221x x x x x x f x f x --⋅∴+-=+=+++++()2122222211221xx x x x +⋅=+==+++，设()()()()()54045S f f f f f =-+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++，则()()()()()54045S f f f f f =+++++-+-，两式相加得()()2115511222S f f ⎡⎤=⨯+-=⨯=⎣⎦，因此，11S =. 故选：B. 【点睛】本题考查函数值的和的求法，注意运用倒序相加法，求得()()2f x f x +-=是解题的关键，考查化简运算能力，属于中档题．10．设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，已知21832a a +=，则145S S -=（） A ．102S B ．144C ．288D ．()1145a a +【答案】B【分析】根据等差数列求和公式表示出145S S -，根据21832a a +=结合等差数列性质求解. 【详解】由题：等差数列中：()()614218145671499 (14422)a a a a S S a a a ++-=+++===．故选：B 【点睛】此题考查等差数列求和公式和等差数列性质的综合应用，熟练掌握相关性质可以减少计算量. 11．已知F (x )=f (x +12)−2是R 上的奇函数，a n =f (0)+f (1n )+⋯+f (n−1n)+f (1)，n ∈N ∗则数列{a n }的通项公式为 A ．a n =n B ．a n =2(n +1) C ．a n =n +1 D ．a n =n 2−2n +3【答案】B 【分析】由F (x )=f (x +12)−2在R 上为奇函数，知f （12−x ）+f （12+x ）=4，令t =12−x ，则12+x =1−t ，得到f （t ）+f （1−t ）=4．由此能够求出数列{a n }的通项公式．【详解】由题已知F (x )=f (x +12)−2是R 上的奇函数故F （−x ）=−F （x ），代入得：f （12−x ）+f （12+x ）=4，（x ∈R ） ∴函数f （x ）关于点（12，2）对称，令t =12−x ，则12+x =1−t ，得到f （t ）+f （1−t ）=4． ∴a n =f (0)+f (1n )+⋯+f (n−1n )+f (1)，a n =f (1)+f (n−1n )+⋯+f (1n )+f (0)倒序相加可得2a n =4（n +1），即a n =2（n +1），故选B∴ 【点睛】本题考查函数的基本性质，借助函数性质处理数列问题问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解f （12−x ）+f （12+x ）=4，（x ∈R ）∴属难题12．已知函数()sin 3f x x x π=+-，则12340332017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（）A ．4033B ．-4033C ．8066D ．-8066【答案】D 【解析】试题分析：()()()2sin 32sin 234f x f x x x x x πππ+-=+-+-+--=-，所以原式()4033480662=-⋅=-. 考点：函数求值，倒序求和法.【思路点晴】本题主要考查函数求值与倒序相加法.注意到原式中第一个自变量加上最后一个自变量的值为2，依此类推，第二个自变量加上倒数第二个自变量的值也是2，故考虑()()2f x f x +-是不是定值.通过算，可以得到()()24f x f x +-=-，每两个数的和是4-，其中()()()114,12f f f +=-=-，所以原式等价于4033个2-即8066-.13．已知1()()12F x f x =+-为R 上的奇函数，121(0)()()()(1)n n a f f f f f n nn-=+++++*()n N ∈，则数列{}n a 的通项公式为 A ．1n a n =- B ．n a n =C ．1n a n =+D ．2n a n =【答案】C 【分析】观察到121(0)()()()(1)n n a f f f f f n nn-=+++++的自变量头尾加得1，根据()F x 为R 上的奇函数和1()()12F x f x =+-得到112,()22f x f x x R ⎛⎫⎛⎫-++=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可求解. 【详解】∴()F x 为R 上的奇函数， ∴()()F x F x -=-代入1()()12F x f x =+-得：112,()22f x f x x R ⎛⎫⎛⎫-++=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当0x =时，112f ⎛⎫=⎪⎝⎭，当n 为偶数时：()*121(0)(1)n n a f f f f f n N n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111122[(0)(1)]222n n n f f ff f f f n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎡-⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋯++⋯+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2112nn =⨯+=+当n 为奇数时：()*121(0)(1)n n a f f f f f n N n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111122[(0)(1)]n n n f f f f f f n n n n ⎡-+⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎡-⎤⎛⎫⎛⎫=++++⋯++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1212n n +=⨯=+ 综上所述，1n a n =+，故选C. 【点睛】本题考查数列与函数的综合应用.关键在于发现规律，再建立与已知的联系. 二、填空题14．设数列{}n a 的通项公式为2cos ,n a n =︒该数列的前n 项和为n S ，则89S =_________.【答案】892【分析】利用诱导公式和同角三角函数基本关系式可知()22cos cos 901n n +-=，再利用倒序相加法求和.【详解】()22cos sin 90n n =- ，222289cos 1cos 2cos 3...cos 89S =++++， 222289cos 89cos 88cos 87...cos 1S =++++ ，22cos 89sin 1=，22cos 88sin 2=，22cos 87sin 3=，…22cos 1sin 89=，()()()222222892cos 1cos 89cos 2cos 88...cos 89cos 1S ∴=++++++， ()()()222222892cos 1sin 1cos 2sin 2...cos 89sin 89S ∴=++++++，18989=⨯=，89892S ∴=. 故答案为：892 【点睛】关键点点睛：本题考查求三角函数的和，解题关键是找到()22cos cos 901n n +-=，然后利用倒序相加法求和.15．已知函数()331xx f x =+，()x R ∈，正项等比数列{}n a 满足501a =，则()()()1299f lna f lna f lna ++⋯+等于______．【答案】992【解析】试题分析：因为3()31x x f x =+，所以33()()13131x xx x f x f x --+-=+=++．因为数列{}n a 是等比数列，所以21992984951501a a a a a a a =====，即1992984951ln ln ln ln ln ln 0a a a a a a +=+==+=．设9912399(ln )(ln )(ln )(ln )S f a f a f a f a =++++ ∴，又99999897(ln )(ln )(ln )=++S f a f a f a ＋…＋1(ln )f a ∴，∴+∴，得99299=S ，所以99992=S ．考点：1、等比数列的性质；2、对数的运算；3、数列求和．【知识点睛】如果一个数列{}n a ，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法．如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．16．设()'f x 是函数()y f x =的导数，()''f x 是()'f x 的导数，若方程()''0f x =有实数解0x ，则称点()()0,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.已知：任何三次函数都有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心.设()32182133f x x x x =-++，数列{}n a 的通项公式为27n a n =-，则()()()128f a f a f a ++⋅⋅⋅+=_______. 【答案】8 【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点(2,1)对称，即()(4)2f x f x +-=，即可得到结论．【详解】解：3218()2133f x x x x =-++，28()43f x x x ∴'=-+，()24f x x ∴'=-，令()0f x ''=，解得：2x =，而88(2)821133f =-+⨯+=，故函数()f x 关于点(2,1)对称，()(4)2f x f x ∴+-=，27n a n =-， 15a ∴=-，89a =， 18()()2f a f a ∴+=，同理可得27()()2f a f a +=，36()()2f a f a +=，45()()2f a f a +=，128()()()248f a f a f a ∴++⋯+=⨯=，故答案为：8.【点睛】本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键．求和的过程中使用了倒序相加法． 17．已知()221x f x x +=-，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且20181009S =，则()()()122018f a f a f a +++的值为___________.【答案】1009 【分析】先求出120181a a +=，并判断20181n n a a -+=，（n *∈N 且02018n <<），再由函数得到()()11f x f x +-=，最后求()()()122018f a f a f a +++的值即可.【详解】解：因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且20181009S =，所以1201820182018()10092a a S +==，解得：120181a a +=，则20191n n a a -+=，（n *∈N 且02018n <<）因为()221x f x x +=-，则()()2(1)211212(1)1x x f x f x x x +-++-=+=---，所以()()()()20192(1)211212(1)1n n n n n n n n a a f a f a f a f a a a -+-++=+-=+=---设()()()122018T f a f a f a =+++，则()()()201821T f a f a f a =+++，由上述两式相加得：()()()()()()1201822017201812[][][]2018T f a f a f a f a f a f a =++++++=，则1009T = 故答案为：1009. 【点睛】本题考查等差数列的通项的性质、等差数列的前n 项和、倒序相加法，是中档题.18．设函数2()log f x =，数列{}n a 满足2020n n a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则124039a a a ++⋅⋅⋅+=______.【答案】40392- 【分析】由题得40391403924038403912()()()S a a a a a a =++++++，设k *∈N ,考虑一般情况，40401k k a a -+=-，即得解. 【详解】由题得4039124039S a a a =++⋅⋅⋅+,4039403921S a a a =+⋅⋅⋅++，两式相加得40391403924038403912()()()S a a a a a a =++++++，考虑一般情况，设k *∈N ,则4040224040404020202020log log 404020202020424220202020k kk kk k a a f f k k ---⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-⨯-⨯2240401=log log 12k ⎤-==-⎢⎣ 所以40394039403924039,.2S S =-∴=- 故答案为：40392- 【点睛】本题主要考查对数的运算和倒序相加求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 19．若121()(1)2,(0)()()...()(1)n n f x f x a f f f f f n n n-+-==+++++(*n N ∈)，则数列{}n a 的通项公式是___________. 【答案】1n a n =+ 【分析】根据自变量的和为1时，函数值的和为2，运用数列的求和方法，倒序相加法求和，计算数列的通项公式. 【详解】()()1210...1n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()1211...0n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相加可得 ()()()()1111201...10n n n a f f ff f f f f n n n n ⎡-⎤⎡-⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， ()221n a n =+，所以1n a n =+ . 故答案为：1n a n =+ 【点睛】本题考查倒序相加法求和，重点考查推理能力和计算能力，属于基础题型. 20．()f x 对任意x ∈R 都有()()112f x f x +-=.数列{}n a 满足：()120n a f f f n n ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11n f f n -⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则n a =__________.【答案】14n + 【分析】采用倒序相加法即可求得结果. 【详解】由题意得：()()1012f f +=，1112n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2212n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……， ()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()12110n n n a f f f f f n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 122n n a +∴=，解得：14n n a +=. 故答案为：14n +. 【点睛】本题考查利用倒序相加法求和的问题，属于基础题.21．函数2()2cos 2xf x π=，数列{}n a 满足()2020n na f =，其前n 项和为n S ，则2019S =_____. 【答案】2019 【分析】由二倍角公式可得2()2coscos 12xf x x ππ==+，则cos12020n na π=+，再求其前2019项的即可，或根据函数的解析式化简得到()+(1)2f x f x -=求解. 【详解】（法一）：2()2cos cos 12xf x x ππ==+，()2020n n a f = cos12020n na π∴=+ ()cos cos 0απα+-=1201922018coscos cos cos 02020202020202020ππππ∴+=+= 201912320191220182019cos1cos 1cos1cos 120202020202020202019S a a a a ππππ=++++=++++++++= （法二）：2()2cos=cos 12xf x x ππ=+，()()(1)cos 11cos 1f x x x πππ-=-+=-+=cos cos sin sin 1cos 1x x x πππππ++=-+所以()+(1)2f x f x -=，20191232019++++S a a a a =所以20191232019()()()()2020202020202020S f f f f =++++， 20192019201820171()()()()2020202020202020S f f f f =++++，所以2019222019S =⨯，所以20192019S =. 故答案为：2019 【点睛】本题考查三角函数诱导公式及数列求和降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=， 22．推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得22222sin 1sin 2sin 3sin 88sin 89︒+︒+︒+⋯+︒+︒=__________.【答案】892. 【分析】通过诱导公式可知sin1cos89,sin2cos88,...,sin89cos1︒=︒︒=︒︒=︒，结合22sin cos 1αα+=，可求出原式为892. 【详解】解：设22222sin 1sin 2sin 3sin 88sin 89S =︒+︒+︒+⋯+︒+︒，sin1cos89,sin2cos88,sin3cos87,...,sin88cos2,sin89cos1︒=︒︒=︒︒=︒︒=︒︒=︒，22222cos 1cos 2cos 3...cos 88cos 89S ∴=︒+︒+︒++︒+︒，则()()()2222222sin 1cos 1sin 2cos 2...sin 89cos 8989S =︒+︒+︒+︒++︒+︒=，即892S =，故答案为:892【点睛】本题考查了诱导公式，考查了同角三角函数的基本关系.本题的关键是结合诱导公式对所求式子倒序求和. 23．设()f x =，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得12019f ⎛⎫ ⎪⎝⎭22019f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2017201820192019f f ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_________．【答案】2【分析】由题干可证出()(1)f x f x +-=1009对的组合，即1009个2，计算即可得解. 【详解】()f x =，∴(1)x xf x -===，因此()(1)x xf x f x +-==2x ⎛⎫===，所以12019f ⎛⎫⎪⎝⎭22019f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2017201820192019f f ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12018201920192019202201197f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎝⎭⎝⎭2=.故答案为：2. 【点睛】本题考查倒序相加法求数列的前n 项和，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 24．已知数列{}n a 满足2120n n n a a a ++-+=，且42a π=，若函数()2sin 22cos2xf x x =+，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前7项和为__________. 【答案】7 【分析】利用等差数列的性质可得17263542a a a a a a a π+=+=+==，再利用二倍角的余弦公式可得()2sin22cos sin2cos 12xf x x x x =+=++，利用倒序相加法即可求解. 【详解】数列{}n a 满足211n n n n a a a a +++-=-，*N n ∈，∴数列{}n a 是等差数列，42a π=，17263542a a a a a a a π∴+=+=+==，()2sin22cos sin2cos 12xf x x x x =+=++，()()171177sin 2cos 1sin 2cos 1f a f a a a a a ∴+=+++++ ()()7777sin 22cos 1sin 2cos 1a a a a ππ=-+-++++7777sin 2cos 1sin 2cos 12a a a a =--++++=同理()()()()()2635422f a f a f a f a f a +=+==，∴数列{}n y 的前7项和为7.故答案为：7. 【点睛】本题考查了等差数列的性质、二倍角的余弦公式、诱导公式以及倒序相加法，属于中档题.25．给出定义：对于三次函数32()(0),f x ax bx cx d a =+++≠设'()f x 是函数()y f x =的导数，()f x ''是'()f x 的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点0,0((())x f x 为函数()y f x =的“拐点”，经过研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.已知函数3232115()32,()33212h x x x x g x x x x =-++=-+-.设1234037()()()......(),2019201920192019h h h h n ++++=1232018()()()......()2019201920192019g g g g m +++=.若2()(1),t x mx nxt '=+则(0)t '=__________．【答案】-4037 【分析】由题意对已知函数求两次导数,令二阶导数为零,即可求得函数的中心对称,即有()(1)2g x g x +-=,()(2)2h x h x +-=,借助倒序相加的方法,可得,m n 进而可求2()(1)t x mx nxt '=+的解析式,求导,当1x =代入导函数解得(1)t ',计算求解即可得出结果. 【详解】函数32115()33212g x x x x =-+-函数的导数2()3,()21g x x x g x x '''=-+=-由()0g x ''=得0210x -=解得012x =,而112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭故函数()g x 关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称, ()(1)2g x g x ∴+-=故1232018()()()...+()2019201920192019g g g g m +++=，201820171201920192019g g g m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 两式相加得220182m ⨯=，则2018m =.同理32()32h x x x x =-++,2()361h x x x '=-+,()66h x x ''=-,令()0h x ''=,则1x =,(1)1h =,故函数()h x 关于点()1,1对称,()(2)2h x h x ∴+-=,1234037()()()...(),2019201920192019h h h h n ++++=4037403640351()()()...(),2019201920192019h h h h n ++++=两式相加得240372n ⨯=,则4037n =. 所以2()20184037(1),t x x xt '=+()40364037(1),t x x t ''=+当1x =时, (1)40364037(1),t t ''=+解得:(1)=1t '-,所以()40364037,t x x '=-则(0)4037t =-'.故答案为: -4037.【点睛】本题考查对新定义的理解,考查二阶导数的求法,仔细审题是解题的关键,考查倒序法求和,难度较难.三、解答题26．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ．（∴）若{}n a 为等差数列，求证：()12n n n a a S +=；（∴）若()12n n n a a S +=，求证：{}n a 为等差数列．【答案】（∴）证明见解析；（∴）证明见解析.【分析】（1）根据{}n a 为等差数列，利用倒序相加法证明()12n n n a a S +=即可；（2）由前n 项和公式有1n n n a S S -=-、11n n n a S S ++=-，相加后整理可得11n n n n a a a a +--=-，{}n a 为等差数列得证．【详解】（∴）证明：已知数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则有1123(1),n n n a a n d S a a a a =+-=++++，于是()()[]11112(1)n S a a d a d a n d =+++++++-，∴ 又()()[]2(1)n n n n n S a a d a d a n d =+-+-++--，∴ ∴+∴得：()12n n S n a a =+，即()12n n n a a S +=．（∴）证明：∴()12n n n a a S +=，当2n ≥时，()111(1)2n n n a a S ---+=， ∴()()1111(1)22n n n n n n a a n a a a S S --+-+=-=-，∴ ()()11111(1)22n n n n n n a a n a a a S S ++++++=-=-，∴ ∴-∴并整理，得112n n n a a a -+=+，即11(2)n n n n a a a a n +--=-≥，∴数列{}n a 是等差数列．【点睛】本题考查了已知等差数列的通项公式，应用倒序相加法求证前n 项和公式，由前n 项和公式，结合等差数列的定义证明等差数列，属于基础题.27．已知函数()21x f x x =+，设数列{}n a 满足1()n n a f a +=，且112a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若记((21))(1i n b f i a i =--⨯=，2，3，⋯，)n ，求数列{}i b 的前n 项和n T .【答案】（1）12n a n =；（2）2n n T =. 【分析】（1）由1()n n a f a +=得到121n n n a a a +=+，然后变形为1112n n a a +-=，利用等差数列的定义求解. （2）由（1）得到121221i i b n i -+=⨯-+，由112112*********i n i i n i b b n i n i -+-+-++=⨯+⨯=-+-+，利用倒序相加法求解.【详解】（1）因为()21x f x x =+，所以由1()n n a f a +=得121n n na a a +=+，所以121112n n n na a a a ++==+，∴1112n n a a +-=，所以1{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列，所以12(1)22n n n a =+-⨯=，所以12n a n=. （2）由（1）知21()(1,2,3,,)2i i b f i n n-=-=⋯，则21(21)1212212[(21)]22212()12i i i i n b i i n n i -----+===⨯-⨯--+-+⨯-+， {}12(1)1[2(1)1]22(1)12[2(1)1]22[]12n i n i n i n b n i n i n n -+-+----+-==-+-⨯--+-+⨯-+， 12(1)112212[2(1)1]221n i n i n i n n i -+--+=⨯=⨯-+---+，所以112112211(1,2,3,,)221221i n i i n i b b i n n i n i -+-+-++=⨯+⨯==⋯-+-+， 123n n T b b b b =+++⋯+，121n n n n T b b b b --=+++⋯+，两式相加，得：121321112()()()()()nn n n n n i n i i T b b b b b b b b b b n ---+==++++++⋯++=+=∑，所以2n n T =. 【点睛】本题主要考查数列的递推关系，等差数列的定义及通项公式以及倒序相加求和，话考查了运算求解的能力，属于中等题.28．已知f (x )＝142x + (x ∴R )，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是函数y ＝f (x )的图像上的两点，且线段P 1P 2的中点P的横坐标是12. （1）求证：点P 的纵坐标是定值；（2）若数列{a n }的通项公式是a n ＝()*m N ,n 1,2,3,,m n f m ⎛⎫∈=⋯⎪⎝⎭，求数列{a n }的前m 项和S m . 【答案】（1）证明见解析；（2）S m ＝3112m - 【分析】（1）先根据中点坐标公式得x 1＋x 2＝1，再代入化简求得y 1＋y 2＝12，即证得结果；（2）先求()1f ，再利用倒序相加法求121S=m f f f m m m -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两者相加得结果. 【详解】（1）证明：∴P 1P 2的中点P 的横坐标为12， ∴122x x +＝12，∴x 1＋x 2＝1. ∴P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是函数y ＝f (x )的图像上的两点，∴y 1＝1142+x ，y 2＝2142+x ， ∴y 1＋y 2＝1142+x ＋2142+x ＝121242424242()()+++++x x x x ＝12121244442444()++++++x x x x x x ＝121244442444()+++++x x x x ＝12124442444()++++x x x x ＝12， ∴点P 的纵坐标为122y y +＝14. ∴点P 的纵坐标是定值.（2）S m ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a m＝()12121=1m m f f f f f f f m m m m m m -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭令121S=m f f f m m m -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由（1）知k f m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋m k f m -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝12.(k ＝1，2，3，…，m －1) ∴倒序相加得∴2S ＝12 (m －1)，∴S ＝14 (m －1). 又f （1）＝142+＝16， ∴S m ＝S ＋f （1）＝14 (m －1)＋16＝3112m -. 【点睛】本题考查利用指数性质运算、利用倒序相加法求和，考查基本求解能力，属基础题.29．已知f (x )＝142x + (x ∴R )，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是函数y ＝f (x )的图像上的两点，且线段P 1P 2的中点P 的横坐标是12. （1）求证：点P 的纵坐标是定值；（2）若数列{a n }的通项公式是a n ＝()*N ,1,2,3,,n f m n m m ⎛⎫∈=⋯⎪⎝⎭，求数列{a n }的前m 项和S m . 【答案】（1）见证明过程（2）S m ＝3112m - 【分析】（1）根据P 1P 2的中点P 的横坐标是12可得x 1＋x 2＝1，计算y 1＋y 2＝12121244442444()++++++x x x x x x ，代入x 1＋x 2＝1可得y 1＋y 2＝12，即可得证；（2）利用倒序相加法求数列的和即可.【详解】（1）证明：∴P 1P 2的中点P 的横坐标为12， ∴122x x +＝12，∴x 1＋x 2＝1. ∴P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是函数y ＝f (x )的图像上的两点，∴y 1＝1142+x ，y 2＝2142+x∴y 1＋y 2＝1142+x ＋2142+x ＝121242424242()()+++++x x x x ＝12121244442444()++++++x x x x x x ＝121244442444()+++++x x x x ＝12124442444()++++x x x x ＝12， ∴点P 的纵坐标为122y y +＝14. ∴点P 的纵坐标是定值．（2）S m ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a m＝f 1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f 2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f 3m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋…＋f m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝f 1m ⎛⎫⎪⎝⎭＋f 2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f 3m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋…＋f 1m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (1)．令S ＝f 1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f 2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f 3m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋…＋f 1m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴ 倒序得S ＝f 1m m -⎛⎫⎪⎝⎭＋f 2m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f 3m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭＋…＋f 1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴ ∴＋∴，得2S ＝11m f f m m -⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋[f 2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋ f 2m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭]＋[f 3m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋ f 3m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭]＋…＋[f 1m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f 1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭]． ∴k m ＋m k m-＝1(k ＝1，2，3，…，m －1)， ∴由（1）知f k m ⎛⎫⎪⎝⎭＋f m k m -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝12. ∴2S ＝12 (m －1)，∴S ＝14(m －1)．又f (1)＝142+＝16， ∴S m ＝S ＋f (1)＝14(m －1)＋16＝3112m -【点睛】本题主要考查了定值问题，数列倒序相加求和，考查了推理分析问题能力，运算能力，属于中档题.30．已知数列{}n a 的前n 项和224()n n S n N ++=-∈，函数()f x 对一切实数x 总有()(1)1f x f x +-=，数列{}n b 满足121(0)()()()(1).n n b f f f f f n n n -=+++++分别求数列{}n a 、{}n b 的通项公式. 【答案】()1*2n n a n N +=∈；12n n b += 【分析】利用,n n a S 的关系即可容易得到n a ；根据函数性质，利用倒序相加法即可求得n b .【详解】当12111,244n a S +===-=当()()21112,24242n n n n n n n a S S +++-≥=-=---= 1n =时满足上式，故()1*2n n a n N +=∈ ；∴()()1f x f x +-=1∴111n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()120n b f f f n n ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()11n f f n -⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴ ∴()121n n n b f f f n n --⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()10f f ++ ∴ ∴∴+∴，得1212n n n b n b +=+∴=【点睛】本题考查利用,n n a S 的关系求数列的通项公式，涉及倒序相加法求数列的前n 项和，属综合基础题.。

三年 (2020-2022 ) 高考数学真题汇编专题12数列

专题12数列【2022年全国乙卷】1．已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（） A ．14 B ．12C ．6D ．3【答案】D 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，易得1q ≠，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，若1q =，则250a a -=，与题意矛盾，所以1q ≠，则()31123425111168142a q a a a qa a a q a q ⎧-⎪++==⎨-⎪-=-=⎩，解得19612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以5613a a q ==.故选：D .【2022年全国乙卷】2．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{}n b ：1111b α=+，212111b αα=++，31231111b ααα=+++，…，依此类推，其中(1,2,)k k α*∈=N ．则（） A ．15b b +，得到12b b >，同理11223111ααααα+>++，可得23b b <，13b b >又因为223411,11αααα>++112233411111ααααααα++<+++，故24b b <，34b b >；以此类推，可得1357b b b b >>>>…，78b b >，故A 错误； 178b b b >>，故B 错误；26231111αααα>++…，得26b b<，故C 错误；11237264111111αααααααα>++++++…，得47b b <，故D 正确.方法二：（特值法）不妨设1,n a =则1234567835813213455b 2,b b ,b b ,b b ,b 2358132134========，，，，47b b <故D 正确.【2022年新高考2卷】3．图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AAk k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（）A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.9【答案】D 【解析】【分析】设11111OD DC CB BA ====，则可得关于3k 的方程，求出其解后可得正确的选项. 【详解】设11111OD DC CB BA ====，则111213,,CC k BB k AA k ===，依题意，有31320.2,0.1k k k k -=-=，且111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++，所以30.530.30.7254k +-=，故30.9k =，故选：D【2021年甲卷文科】4．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =（） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】A 【解析】【分析】根据题目条件可得2S ，42S S -，64S S -成等比数列，从而求出641S S -=，进一步求出答案. 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和， ∵2S ，42S S -，64S S -成等比数列 ∵24S =，42642S S -=-= ∵641S S -=， ∵641167S S =+=+=. 故选：A.【2021年甲卷理科】5．等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B 【解析】【分析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【详解】由题，当数列为2,4,8,---时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B ．【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．【2020年新课标1卷文科】6．设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（） A ．12 B ．24 C ．30 D ．32【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a q a a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q ++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==.故选：D. 【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．【2020年新课标2卷理科】7．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块【答案】C 【解析】【分析】第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，设n S 为{}n a 的前n 项和，由题意可得322729n n n n S S S S -=-+，解方程即可得到n ，进一步得到3n S . 【详解】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n =+-⨯=，设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为232,,n n n n n S S S S S --，因为下层比中层多729块，所以322729n n n n S S S S -=-+，即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n ++++-=-+ 即29729n =，解得9n =，所以32727(9927)34022n S S +⨯===.故选：C 【点晴】本题主要考查等差数列前n 项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题. 【2020年新课标2卷理科】8．数列{}n a 中，12a =，对任意 ,,m n m n m n N a a a ++∈=，若155121022k k k a a a ++++++=-，则 k =（） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】【分析】取1m =，可得出数列{}n a 是等比数列，求得数列{}n a 的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于k 的等式，由k *∈N 可求得k 的值. 【详解】在等式m n m n a a a +=中，令1m =，可得112n n n a a a a +==，12n na a +∴=，所以，数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则1222n nn a -=⨯=，()()()()1011011105101210122122212211212k k k k k k a a a a ++++++⋅-⋅-∴+++===-=---，1522k +∴=，则15k +=，解得4k =.故选：C. 【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.【2020年新课标2卷理科】9．0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12na a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ∈=，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i +==成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i +==的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0-1序列12na a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（）A ．11010B ．11011C ．10001D ．11001【答案】C 【解析】【分析】根据新定义，逐一检验即可【详解】由i m i a a +=知，序列i a 的周期为m ，由已知，5m =，511(),1,2,3,45i i k i C k a a k +===∑对于选项A ，511223344556111111(1)()(10000)55555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=≤∑52132435465711112(2)()(01010)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项B ，51122334455611113(1)()(10011)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项D ，51122334455611112(1)()(10001)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；故选：C 【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题. 【2020年新课标2卷文科】10．记Sn 为等比数列{an }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则nnS a =（） A ．2n –1 B ．2–21–n C ．2–2n –1 D ．21–n –1【答案】B 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列的公比为q ，由536412,24a a a a -=-=可得：421153111122124a q a q q a a q a q ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨=-=⎪⎩⎩，所以1111(1)122,21112n nn n n n n a q a a qS q ----=====---，因此1121222n nn n n S a ---==-.故选：B. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力. 【2022年全国乙卷】11．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d =_______．【答案】2 【解析】【分析】转化条件为()112+226a d a d =++，即可得解. 【详解】由32236S S =+可得()()123122+36a a a a a +=++，化简得31226a a a =++，即()112+226a d a d =++，解得2d =. 故答案为：2.【2021年新高考1卷】12．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次，那么1nk k S ==∑______2dm .【答案】 5 ()41537202n n -+-【解析】【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得n S ，再根据错位相减法得结果. 【详解】（1）由对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，所以对着三次的结果有：5312561032022⨯⨯⨯⨯，，；，共4种不同规格（单位2dm )；故对折4次可得到如下规格：5124⨯，562⨯，53⨯，3102⨯，3204⨯，共5种不同规格；（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为12的等比数列，首项为120()2dm ,第n 次对折后的图形面积为111202n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，对于第n 此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为1n +种（证明从略），故得猜想1120(1)2n n n S -+=，设()0121112011202120312042222nk n k n S S -=+⨯⨯⨯==++++∑，则121112021203120120(1)22222n nn n S -⨯⨯+=++++，两式作差得：()211201111124012022222n nn S -+⎛⎫=++++-⎪⎝⎭ ()11601120122401212n n n -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+-- ()()112011203120360360222n n nn n -++=--=-，因此，()()4240315372072022n n n n S -++=-=-. 故答案为：5；()41537202n n -+-. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为()0d d ≠，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.【2020年新课标1卷文科】13．数列{}n a 满足2(1)31n n n a a n ++-=-，前16项和为540，则1a = ______________. 【答案】7 【解析】【分析】对n 为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用1a 表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立1a 方程，求解即可得出结论. 【详解】2(1)31n n n a a n ++-=-，当n 为奇数时，231n n a a n +=+-；当n 为偶数时，231n n a a n ++=-. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ， 16123416S a a a a a =+++++13515241416()()a a a a a a a a =+++++++111111(2)(10)(24)(44)(70)a a a a a a =++++++++++ 11(102)(140)(5172941)a a ++++++++ 118392928484540a a =++=+=，17a ∴=.故答案为：7. 【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.【2020年新课标2卷文科】14．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若1262,2a a a =-+=，则10S =__________．【答案】25 【解析】【分析】因为{}n a 是等差数列，根据已知条件262a a +=，求出公差，根据等差数列前n 项和，即可求得答案. 【详解】{}n a 是等差数列，且12a =-，262a a +=设{}n a 等差数列的公差d根据等差数列通项公式：()11n a a n d +-= 可得1152a d a d +++= 即：()2252d d -++-+= 整理可得：66d = 解得：1d =根据等差数列前n 项和公式：*1(1),2n n n S na d n N -=+∈ 可得：()1010(101)1022045252S ⨯-=-+=-+= ∴1025S =.故答案为：25. 【点睛】本题主要考查了求等差数列的前n 项和，解题关键是掌握等差数列的前n 项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 【2020年新高考1卷（山东卷）】15．将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{an }，则{an }的前n 项和为________．【答案】232n n - 【解析】【分析】首先判断出数列{}21n -与{}32n -项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果. 【详解】因为数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以{}n a 的前n 项和为2(1)16322n n n n n -⋅+⋅=-，故答案为：232n n -. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目. 【2022年全国甲卷】16．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+． (1)证明：{}n a 是等差数列；(2)若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．【答案】(1)证明见解析； (2)78-．【解析】【分析】（1）依题意可得222n n S n na n +=+，根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差即可得到11n n a a --=，从而得证；（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出1a ，即可得到{}n a 的通项公式与前n 项和，再根据二次函数的性质计算可得．（1）因为221nn S n a n+=+，即222n n S n na n +=+∵，当2n ≥时，()()()21121211n n S n n a n --+-=-+-∵，∵-∵得，()()()22112212211n n n n S n S n na n n a n --+---=+----，即()12212211n n n a n na n a -+-=--+，即()()()1212121n n n a n a n ----=-，所以11n n a a --=，2n ≥且N*n ∈，所以{}n a 是以1为公差的等差数列．（2）[方法一]：二次函数的性质由（1）可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，所以13n a n =-，所以()22112512562512222228n n n S n n n n -⎛⎫=-+=-=--⎪⎝⎭，所以，当12n =或13n =时，()min 78n S =-． [方法二]：【最优解】邻项变号法由（1）可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，所以13n a n =-，即有1123210,0a a a a <<<<=.则当12n =或13n =时，()min 78n S =-．【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出n S 的最小值，适用于可以求出n S 的表达式；法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．【2022年新高考1卷】17．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：121112na a a +++<．【答案】(1)()12n n n a +=(2)见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得()121133n n S n n a +=+-=，得到()23nn n a S +=，利用和与项的关系得到当2n ≥时，()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-,进而得：111n n a n a n -+=-，利用累乘法求得()12n n n a +=，检验对于1n =也成立，得到{}n a 的通项公式()12n n n a +=；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到121111211n a a a n ⎛⎫+++=- ⎪+⎝⎭，进而证得.（1）∵11a =，∵111S a ==,∵111S a =, 又∵n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列，∵()121133n n S n n a +=+-=,∵()23n n n a S +=, ∵当2n ≥时，()1113n n n a S --+=，∵()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-,整理得：()()111n n n a n a --=+, 即111n n a n a n -+=-, ∵31211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⨯⨯⨯⋯⨯⨯ ()1341112212n n n n n n ++=⨯⨯⨯⋯⨯⨯=--，显然对于1n =也成立， ∵{}n a 的通项公式()12n n n a +=；（2）()12112,11n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭ ∵12111na a a +++1111112121222311n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦【2022年新高考2卷】18．已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-． (1)证明：11a b =；(2)求集合{}1,1500k m k b a a m =+≤≤中元素个数．【答案】(1)证明见解析； (2)9．【解析】【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，根据题意列出方程组即可证出；（2）根据题意化简可得22k m -=，即可解出．（1）设数列{}n a 的公差为d ，所以，()11111111224283a d b a d b a d b b a d +-=+-⎧⎨+-=-+⎩，即可解得，112db a ==，所以原命题得证．（2）由（1）知，112d b a ==，所以()1111121k k m b a a b a m d a -=+⇔⨯=+-+，即122k m -=，亦即[]221,500k m -=∈，解得210k ≤≤，所以满足等式的解2,3,4,,10k =，故集合{}1|,1500k m k b a a m =+≤≤中的元素个数为10219-+=．【2021年甲卷文科】19．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知210,3n a a a >=，且数列是等差数列，证明：{}n a是等差数列. 【答案】证明见解析. 【解析】【分析】的公差d ，进一步写出的通项，从而求出{}n a 的通项公式，最终得证. 【详解】∵数列是等差数列，设公差为d =(n -()n *∈N∵12n S a n =，()n *∈N∵当2n ≥时，()221111112n n n a S S a n a n a n a -=-=--=- 当1n =时，11121=a a a ⨯-，满足112n a a n a =-， ∵{}n a 的通项公式为112n a a n a =-，()n *∈N ∵()()111111221=2n n a a a n a a n a a --=----⎡⎤⎣⎦ ∵{}n a 是等差数列. 【点睛】在利用1n n n a S S -=-求通项公式时一定要讨论1n =的特殊情况. 【2021年甲卷理科】20．已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面∵∵∵中选取两个作为条件，证明另外一个成立．∵数列{}n a 是等差数列：∵数列是等差数列；∵213a a =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】证明过程见解析【解析】【分析】选∵∵作条件证明∵,n n a S 的关系求出n a ，利用{}n a 是等差数列可证213a a =；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.选∵∵作条件证明∵选∵∵作条件证明∵an b =+，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a 是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论. 【详解】选∵∵作条件证明∵：[方法一]：待定系数法+n a 与n S 关系式(0)an b a +>，则()2n S an b =+，当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为{}n a 也是等差数列，所以()()222a b a a a b +=-+，解得0b =；所以()221n a a n =-，21a a =，故22133a a a ==.[方法二] ：待定系数法设等差数列{}n a 的公差为d，等差数列的公差为1d ，1(1)n d -，将1(1)2n n n S na d -=+1(1)n d -，化简得())2222211111222d d n a n d n d n d ⎛⎫+-=+-+⎪⎝⎭对于n +∀∈N 恒成立．则有21211112,240,d d a d d d ⎧=⎪⎪-=-⎨=，解得112d d a =．所以213a a =．选∵∵作条件证明∵：因为213a a =，{}n a 是等差数列，所以公差2112d a a a =-=，所以()21112n n n S na d n a -=+==，)1n +所以是等差数列. 选∵∵作条件证明∵： [方法一]：定义法(0)an b a +>，则()2n S an b =+，当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为213a a =，所以()()2323a a b a b +=+，解得0b =或43a b =-；当0b =时，()221,21n a a a a n ==-，当2n ≥时，2-1-2n n a a a =满足等差数列的定义，此时{}n a 为等差数列；当43a b =-4=3an b an a =+-03a=-<不合题意，舍去.综上可知{}n a 为等差数列. [方法二]【最优解】：求解通项公式因为213a a ===也为等差数列，所以公差1d()11n d -=21n S n a =，当2n ≥时，()()221111121n n n a S S n a n a n a -=-=--=-，当1n =时，满足上式，故{}n a 的通项公式为()121n a n a =-，所以()1123n a n a -=-，112n n a a a --=，符合题意.【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选∵∵时，法一：利用等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，(0)an b a =+>，平方后得到n S 的关系式，利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩得到{}n a 的通项公式，进而得到213a a =，是选择∵∵证明∵的通式通法；法二：分别设出{}n a 与{}n S 的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系1d 12d a =，进而得到213a a =；选∵∵时，按照正常的思维求出公差，表示出n S∵∵时，法一：利用等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，(0)an b a =+>，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a列即前两项的差1d =11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求出{}n a 的通项公式，进而证明出结论.【2021年乙卷文科】21．设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <．【答案】（1）11()3n n a -=，3n nn b =；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）利用等差数列的性质及1a 得到29610q q -+=，解方程即可；（2）利用公式法、错位相减法分别求出,n n S T ，再作差比较即可. 【详解】（1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11()3n n a -=，所以33n n n na nb ==. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和211213333n n n n n T --=++++，012111111223333-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭n n S ， 230121123111112333323333n n n n S n T -⎛⎫⎛⎫-=++++-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012111012222333---++++111233---+n n n n ．设0121111101212222Γ3333------=++++n n n ， ∵ 则1231111012112222Γ33333-----=++++n nn ． ∵由∵-∵得1121113312111113322Γ13233332313--⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎝⎭=-++++-=-+- ⎪⎝⎭-n n n n n n n ．所以211312Γ432323----=--=-⨯⨯⨯n n n n n n ．因此10232323--=-=-<⨯⨯n n n n nS n n nT ．故2nn S T <． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得11(1)313(1)12313n n n S ⨯-==--，211213333n n n n nT --=++++，∵ 231112133333n n n n nT +-=++++，∵ ∵-∵得23121111333333n n n n T +=++++- 1111(1)1133(1)1323313n n n n n n ++-=-=---，所以31(1)4323n n nnT =--⋅，所以2n n S T -=3131(1)(1)043234323n n n nn n ----=-<⋅⋅，所以2nn S T <. [方法三]：构造裂项法由（∵）知13⎛⎫= ⎪⎝⎭n n b n ，令1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n ，且1+=-n n n b c c ，即1111()[(1)]333αβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭nnn n n n ，通过等式左右两边系数比对易得33,24αβ==，所以331243nn c n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则12113314423nn n n n T b b b c c +⎛⎫⎛⎫=+++=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，下同方法二．[方法四]：导函数法设()231()1-=++++=-n nx x f x x x x x x，由于()()()()()()1221'111'11(1)'1(1)1n n n n nx x x x x x x x nx n x x x x +⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⨯--+-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥==---⎢⎥⎣⎦，则12121(1)()123(1)+-+-+=++++='-n nn nx n x f x x x nxx ．又1111333-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n b n n ，所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12111(1)11133333113n nn n f +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭' 13113311(1)4334423n n nn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，下同方法二．【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,n n S T ,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n ，使1+=-n n n b c c ，求得n T 的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法. 【2021年乙卷理科】22．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=．（1）证明：数列{}n b 是等差数列; （2）求{}n a 的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩. 【解析】【分析】（1）由已知212n n S b +=得221n n n b S b =-,且0n b ≠，取1n =,得132b =,由题意得1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---,消积得到项的递推关系111221n n n nb bb b +++=-,进而证明数列{}n b 是等差数列;（2）由（1）可得n b 的表达式,由此得到n S 的表达式,然后利用和与项的关系求得()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩.【详解】（1）[方法一]：由已知212n n S b +=得221n nn b S b =-,且0n b ≠，12n b ≠, 取1n =,由11S b =得132b =,由于n b 为数列{}n S 的前n 项积，所以1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---, 所以1121121222212121n n n b b b b b b b +++⋅⋅⋅⋅=---，所以111221n n n nb bb b +++=-,由于10n b +≠ 所以12121n n b b +=-，即112n n b b +-=,其中*n N ∈ 所以数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差等差数列; [方法二]【最优解】：由已知条件知1231-⋅=⋅⋅⋅⋅n n n b S S S S S ∵于是11231(2)--=⋅⋅⋅⋅≥n n b S S S S n ． ∵由∵∵得1nn n b S b-=． ∵又212n nS b +=， ∵ 由∵∵得112n n b b --=．令1n =，由11S b =，得132b =．所以数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列．[方法三]：由212n n S b +=，得22=-nn nSb S ，且0n S ≠，0n b ≠，1n S ≠．又因为111--=⋅⋅=⋅n n n n n b S S S S b ，所以1122-==-n n n n b b S S ，所以()1111(2)2222212---=-==≥---n n n n n n n S S b b n S S S ．在212n n S b +=中，当1n =时，1132==b S ．故数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列．[方法四]：数学归纳法由已知212n nS b+=，得221n n n b S b =-，132b =，22b =，352=b ，猜想数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列，且112n b n =+．下面用数学归纳法证明．当1n =时显然成立．假设当n k =时成立，即121,21+=+=+k k k b k S k ．那么当1n k =+时，11112++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭k k k b b S k 331(1)1222k k k k ++⋅==+++．综上，猜想对任意的n ∈N 都成立．即数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列．（2）由（1）可得，数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差的等差数列， ()3111222n n b n ∴=+-⨯=+, 22211n n n b n S b n+==-+,当n =1时，1132a S ==, 当n ≥2时,()121111n n n n n a S S n n n n -++=-=-=-++,显然对于n =1不成立, ∵()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩.【整体点评】（1）方法一从212n nS b +=得221n n n b S b =-，然后利用n b 的定义，得到数列{}n b 的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；方法二先从n b 的定义，替换相除得到1nn n b S b -=，再结合212n n S b +=得到112n n b b --=，从而证得结论，为最优解；方法三由212n n S b +=，得22=-nn n S b S ，由n b 的定义得1122-==-n n n n b b S S ，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列112n b n =+，然后利用数学归纳法证得结论．（2）由（1）的结论得到112n b n =+，求得n S 的表达式,然后利用和与项的关系求得{}n a 的通项公式；【2021年新高考1卷】23．已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n na n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求{}n a 的前20项和.【答案】（1）122,5,31n b b b n ===-；（2）300. 【解析】【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列{}n b 的特征，然后求和其通项公式即可； (2)方法二：分组求和，结合等差数列前n 项和公式即可求得数列的前20项和. 【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：显然2n 为偶数，则21222212,1n n n n a a a a +++=+=+，所以2223n n a a +=+，即13n n b b +=+，且121+12b a a ===，所以{}n b 是以2为首项，3为公差的等差数列，于是122,5,31n b b b n ===-． [方法二]：奇偶分类讨论由题意知1231,2,4a a a ===，所以122432,15b a b a a ====+=．由11n n a a +-=（n 为奇数）及12n n a a +-=（n 为偶数）可知，数列从第一项起，若n 为奇数，则其后一项减去该项的差为1，若n 为偶数，则其后一项减去该项的差为2．所以*23()n n a a n N +-=∈，则()11331n b b n n =+-⨯=-．[方法三]：累加法由题意知数列{}n a 满足*113(1)1,()22nn n a a a n +-==++∈N ．所以11213(1)11222b a a -==++=+=， 322433223(1)3(1)11212352222b a a a a a --==++=+=+++=++=+=，则222121222111()()()121221+n n n n n n b a a a a a a a a a ---==-+-+-+=+++++++12(1)131n n n =+-+=-⨯．所以122,5b b ==，数列{}n b 的通项公式31n b n =-．（2）[方法一]：奇偶分类讨论 20123201351924620++++++++()()S a a a a a a a a a a a a =+=+++1231012310(1111)b b b b b b b b =-+-+-++-+++++110()102103002b b +⨯=⨯-=． [方法二]：分组求和由题意知数列{}n a 满足12212121,1,2n n n n a a a a a -+==+=+，所以2122123n n n a a a +-=+=+．所以数列{}n a 的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；同理，由2221213n n n a a a ++=+=+知数列{}n a 的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．从而数列{}n a 的前20项和为： 201351924260()()S a a a a a a a a =+++++++++1091091013102330022⨯⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=．【整体点评】(1)方法一：由题意讨论{}n b 的性质为最一般的思路和最优的解法；方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；方法三：写出数列{}n a 的通项公式，然后累加求数列{}n b 的通项公式，是一种更加灵活的思路.(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前n 项和是一种常规的方法；方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前n 项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择. 【2021年新高考2卷】24．记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）求使n n S a >成立的n 的最小值．【答案】(1)26n a n =-；(2)7. 【解析】【分析】(1)由题意首先求得3a 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式； (2)首先求得前n 项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n 的最小值. 【详解】(1)由等差数列的性质可得：535S a =，则：3335,0a a a =∴=，设等差数列的公差为d ，从而有：()()22433a a a d a d d =-+=-，()()()41234333322S a a a a a d a d a a d d =+++=-+-+++=-，从而：22d d -=-，由于公差不为零，故：2d =，数列的通项公式为：()3326n a a n d n =+-=-.(2)由数列的通项公式可得：1264a =-=-，则：()()214252n n n S n n n -=⨯-+⨯=-，则不等式n n S a >即：2526n n n ->-，整理可得：()()160n n -->，解得：1n <或6n >，又n 为正整数，故n 的最小值为7. 【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用. 【2020年新课标1卷理科】25．设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项．（1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．【答案】（1）2-；（2）1(13)(2)9nn n S -+-=. 【解析】【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比q 的方程，求解即可得出结论；（2）由（1）结合条件得出{}n a 的通项，根据{}n na 的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论. 【详解】（1）设{}n a 的公比为q ，1a 为23,a a 的等差中项， 212312,0,20a a a a q q =+≠∴+-=，1,2q q ≠∴=-；（2）设{}n na 的前n 项和为n S ，111,(2)n n a a -==-，21112(2)3(2)(2)n n S n -=⨯+⨯-+⨯-++-，∵23121(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=⨯-+⨯-+⨯-+--+-，∵∵-∵得，2131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-++---1(2)1(13)(2)(2)1(2)3n n n n n ---+-=--=--， 1(13)(2)9nn n S -+-∴=. 【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题. 【2020年新课标3卷理科】26．设数列{an }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{an }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan }的前n 项和Sn ．【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1(21)22n n S n +=-⋅+.【解析】【分析】（1）方法一：（通性通法）利用递推公式得出23,a a ，猜想得出{}n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可；（2）方法一：（通性通法）根据通项公式的特征，由错位相减法求解即可．【详解】（1）［方法一］【最优解】：通性通法由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+．证明如下：当1n =时，13a =成立；假设()n k k *=∈N 时，21k a k =+成立.那么1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立. 则对任意的*n N ∈，都有21n a n =+成立；［方法二］：构造法由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=．由123,5a a ==得212a a -=．134n n a a n +=-，则134(1)(2)n n a a n n -=--≥，两式相减得()1134n n n n a a a a +--=--．令1n n n b a a +=-，且12b =，所以134n n b b -=-，两边同时减去2，得()1232n n b b --=-，且120b -=，所以20n b -=，即12n n a a +-=，又212a a -=，因此{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，所以21n a n =+．［方法三］：累加法由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=．由134n n a a n +=-得1114333n n n n n a a n+++-=-，即2121214333a a -=-⨯，3232318333a a -=-⨯， (111)4(1)(2)333n n n n na a n n ---=--⨯≥．以上各式等号两边相加得1123111412(1)33333n n n a a n ⎡⎤-=-⨯+⨯++-⨯⎢⎥⎣⎦，所以1(21)33n n n a n =+⋅．所以21(2)n a n n =+≥．当1n =时也符合上式．综上所述，21n a n =+．［方法四］：构造法21322345,387a a a a =-==-=，猜想21n a n =+．由于134n n a a n +=-，所以可设()1(1)3n n a n a n λμλμ++++=++，其中,λμ为常数．整理得1322n n a a n λμλ+=++-．故24,20λμλ=--=，解得2,1λμ=-=-．所以()112(1)13(21)3211n n n a n a n a +-+-=--=⋅⋅⋅=-⨯-．又130a -=，所以{}21n a n --是各项均为0的常数列，故210n a n --=，即21n a n =+．（2）由（1）可知，2(21)2n nn a n ⋅=+⋅［方法一］：错位相减法231325272(21)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，∵ 23412325272(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，∵由∵-∵得：()23162222(21)2n n n S n +-=+⨯+++-+⋅()21121262(21)212n n n -+-=+⨯-+⋅⨯-1(12)22n n +=-⋅-，即1(21)22n n S n +=-⋅+.［方法二］【最优解】：裂项相消法112(21)2(21)2(23)2n n n n n n n a n n n b b ++=+=---=-，所以231232222n n nS a a a a =++++()()()()2132431n n b b b b b b b b +=-+-+-++-11n b b +=-1(21)22n n +=-+．［方法三］：构造法当2n ≥时，1(21)2n n n S S n -=++⋅，设11()2[(1)]2n n n n S pn q S p n q --++⋅=+-+⋅，即122nn n pn q p S S ----=+⋅，则2,21,2pq p -⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩，解得4,2p q =-=．所以11(42)2[4(1)2]2n n n n S n S n --+-+⋅=+--+⋅，即{}(42)2n n S n +-+⋅为常数列，而1(42)22S +-+⋅=，所以(42)22n n S n +-+⋅=．故12(21)2n n S n +=+-⋅．［方法四］：因为12(21)2222422n n n n n nn a n n n -=+=⋅+=⋅+，令12n n b n -=⋅，则()()231()0,11n nx x f x x x x x x x-=++++=≠-，()121211(1)()1231(1)nn n n x x nx n x f x x x nx x x +-'⎡⎤-+-+=++++==⎢⎥--⎢⎥⎣⎦'，所以12n b b b +++21122322n n -=+⋅+⋅++⋅1(2)12(1)2n nf n n +==+-+'⋅．故234(2)2222nn S f =++'+++()1212412(1)212n n nn n +-⎡⎤=+⋅-++⎣⎦-1(21)22n n +=-+．【整体点评】（1）方法一：通过递推式求出数列{}n a 的部分项从而归纳得出数列{}n a 的通项公式，再根据数学归纳法进行证明，是该类问题的通性通法，对于此题也是最优解；方法二：根据递推式134n n a a n +=-，代换得134(1)(2)n n a a n n -=--≥，两式相减得()1134n n n n a a a a +--=--，设1n n n b a a +=-，从而简化递推式，再根据构造法即可求出n b ，从而得出数列{}n a 的通项公式；方法三：由134n n a a n +=-化简得1114333n n n n n a a n+++-=-，根据累加法即可求出数列{}n a 的通项公式；方法四：通过递推式求出数列{}n a 的部分项，归纳得出数列{}n a 的通项公式，再根据待定系数法将递推式变形成()1(1)3n n a n a n λμλμ++++=++，求出,λμ，从而可得构造数列为常数列，即得数列{}n a 的通项公式．（2）方法一：根据通项公式的特征可知，可利用错位相减法解出，该法也是此类题型的通性通法；方法二：根据通项公式裂项，由裂项相消法求出，过程简单，是本题的最优解法；方法三：由2n ≥时，1(21)2nn n S S n -=++⋅，构造得到数列{}(42)2n n S n +-+⋅为常数列，从而求出；方法四：将通项公式分解成12(21)2222422n n n n n nn a n n n -=+=⋅+=⋅+，利用分组求和法分别求出数列{}{}12,2n n n -⋅的前n 项和即可，其中数列{}12n n -⋅的前n 项和借助于函数()()231()0,11n n x x f x x x x x x x-=++++=≠-的导数，通过赋值的方式求出，思路新颖独特，很好的简化了运算．【2020年新课标3卷文科】27．设等比数列{an }满足124a a +=，318a a -=．（1）求{an }的通项公式；（2）记n S 为数列{log 3an }的前n 项和．若13m m m S S S +++=，求m ．【答案】（1）13-=n n a ；（2）6m =. 【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；（2）由（1）求出3{log }n a 的通项公式，利用等差数列求和公式求得n S ，根据已知列出关于m 的等量关系式，求得结果.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，有1121148a a q a q a +=⎧⎨-=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，所以13-=n n a ；（2）令313log log 31n n n b a n -===-，所以(01)(1)22n n n n n S +--==，根据13m m m S S S +++=，可得(1)(1)(2)(3)222m m m m m m -++++=，整理得2560m m --=，因为0m >，所以6m =，【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查计算求解能力，属于基础题目.【2020年新高考1卷（山东卷）】28．已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ．【答案】（1）2n n a =；（2）100480S =. 【解析】【分析】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为1,a q 的形式，求解出1,a q ，由此求得数列{}n a 的通项公式.（2）方法一：通过分析数列{}m b 的规律，由此求得数列{}m b 的前100项和100S . 【详解】（1）由于数列{}n a 是公比大于1的等比数列，设首项为1a ，公比为q ，依题意有31121208a q a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得解得12,2a q ==，或1132,2a q ==(舍)，所以2n n a =，所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =. （2）［方法一］：规律探索由于123456722,24,28,216,232,264,2128=======，所以 1b 对应的区间为(0,1]，则10b =；23,b b 对应的区间分别为(0,2],(0,3]，则231b b ==，即有2个1；4567,,,b b b b 对应的区间分别为(0,4],(0,5],(0,6],(0,7]，则45672b b b b ====，即有22个2； 8915,,,b b b 对应的区间分别为(0,8],(0,9],,(0,15]，则89153b b b ====，即有32个3；161731,,,b b b 对应的区间分别为(0,16],(0,17],,(0,31]，则1617314b b b ====，即有42个4； 323363,,,b b b 对应的区间分别为(0,32],(0,33],,(0,63]，则3233635b b b ====，即有52个5；。

专题12公式法解一元二次方程-重难点题型(学生版)

专题2.4 公式法解一元二次方程-重难点题型【题型1 用公式法解一元二次方程】【例1】（2021春•淮北月考）用公式法解方程：x 2﹣5x ﹣1＝0．【变式1-1】（2020秋•朝阳区期中）用公式法解方程：3x 2﹣x ﹣1＝0．【变式1-2】（2020春•江干区期末）解下列一元二次方程：34x 2−2x −12=0（公式法）．【变式1-3】（2020秋•达川区期末）解方程：3x 2﹣4√3x +2＝0（用公式法解）．【题型2 求根公式的应用】【例2】（2020秋•和平区期中）若一元二次方程x 2+bx +4＝0的两个实数根中较小的一个根是m （m ≠0），则b +√b 2−16=（） A ．mB ．﹣mC ．2mD ．﹣2m【变式2-1】（2020•福州模拟）关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的两根分别为x 1=−b+√b 2+42，x 2=−b−√b 2+42，下列判断一定正确的是（） A ．a ＝﹣1B ．c ＝1C ．ac ＝﹣1D ．ca =−1【变式2-2】（2020秋•宜兴市校级月考）已知a 是一元二次方程x 2﹣4x +2＝0的两个实数根中较小的根，（1）求a 2﹣4a +2013的值；（2）化简求值：√a 2−2a+1a−1−1−2a+a 2a−1．【变式2-3】先阅读下列材料，然后回答问题：在一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）中，若各项的系数之和为零，即a +b +c ＝0，则有一根为1，另一根为ca ．证明：设方程的两根为x 1，x 2，由a +b +c ＝0，知b ＝﹣（a +c ），∵x=−b±√b2−4ac2a=(a+c)±√(a+c)2−4ac2a=(a+c)±(a−c)2a∴x1＝1，x2=c a．（1）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的各项系数满足a﹣b+c＝0，则两根的情况怎样，试说明你的结论；（2）已知方程（ac﹣bc）x2+（bc﹣ab）x+（ab﹣ac）＝0（abc≠0）有两个相等的实数根，运用上述结论证明：2 b =1a+1c．【题型3 应用根的判别式判断方程根的情况】【例3】（2021•河南模拟）下列关于x的方程有两个不相等的实数根的是（）A．x2﹣2x+2＝0B．x（x﹣2）＝﹣1C．（x﹣k）（x+k）＝2x+1D．x2+1＝0【变式3-1】（2021•滨城区一模）关于x的一元二次方程x2+（﹣k+2）x﹣4+k＝0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【变式3-2】（2021•凉山州）函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定【变式3-3】（2021春•鹿城区校级期中）已知a，b，c分别是△ABC的边长，则一元二次方程（a+b）x2+2cx+a+b ＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法判断【题型4 已知方程根的情况求字母系数的值或范围】【例4】（2021•菏泽）关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞14且k≠1B．k≥14且k≠1C．k＞14D．k≥14【变式4-1】（2021•广安）关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≤14且a≠﹣2B．a≤14C．a＜14且a≠﹣2D．a＜14【变式4-2】（2021春•台江区校级月考）若关于x 的方程x 2−√m x +n ＝0有两个相等的实根，则m n= ．【变式4-3】（2021•海门市模拟）关于x 的方程x 2+bx +c ＝0有两个相等的实数根，x 取m 和m +2时，代数式x 2+bx +c 的值都等于n ，则n ＝．【题型5 根的判别式的综合应用】【例5】（2021•海淀区二模）关于x 的一元二次方程x 2﹣mx +2m ﹣4＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求m 的取值范围．【变式5-1】（2021春•萧山区期中）已知：关于x 的方程kx 2﹣（4k ﹣3）x +3k ﹣3＝0 （1）求证：无论k 取何值，方程都有实根；（2）若x ＝﹣1是该方程的一个根，求k 的值；（3）若方程的两个实根均为正整数，求k 的值（k 为整数）．【变式5-2】（2021•广东模拟）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（k +2）x +2k ＝0．（1）若x ＝1是这个方程的一个根，求k 的值和它的另一根；（2）求证：无论k 取任何实数，方程总有实数根．（3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．【变式5-3】（2020秋•安居区期末）已知关于x 的方程x 2﹣（m +3）x +4m ﹣4＝0的两个实数根．（1）求证：无论m 取何值，这个方程总有实数根．（2）若等腰三角形ABC 的一边长a ＝5，另两边b ，c 的长度恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长．【题型6 根的判别式中新定义问题】【例6】（2021•郑州模拟）定义新运算“a *b ”：对于任意实数a ，b ，都有a *b ＝a 2+b 2﹣2ab ﹣2，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5*6＝52+62﹣2×5×6﹣2＝﹣1．若方程x *k ＝xk （k 为实数）是关于x 的方程，则方程的根的情况为（）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【变式6-1】（2020春•瑶海区期末）对于实数a、b，定义运算“★”：a★b={a2−b(a≤b)b2−a(a＞b)，关于x的方程（2x+1）★（2x﹣3）＝t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（）A．t＜154B．t＞154C．t＜−174D．t＞−174【变式6-2】（2021春•瑶海区期中）对于实数m、n，定义一种运算：m△n＝mn+n．（1）求﹣2△√32得值；（2）如果关于x的方程x△（a△x）=−14有两个相等的实数根，求实数a的值．【变式6-3】（2020春•丽水期中）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是全等的Rt △ABC和Rt△BED的边长，易知AE=√2c，这时我们把关于x的形如ax2+√2cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b＝0必有实数根；（2）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC的面积．。

专题12 数列求和问题 (含答案解析)

2.巩固提升综合练习
【练习 1】已知 Sn 为数列 an 的前 n 项和，且满足 a1 1， anan1 3n (n N*) ，则 S2014 _____．
【练习 2】已知函数 f (n) n2 cos(n) ，且 an f (n) f (n 1) ，则 a1 a2 ... a20 __________．
1.例题【例 1】求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，n∈N*.
【例 2】在数列an ，bn中，a1 b1 1 ，an1 3an bn 3n 1 ，bn1 3bn an 3n 1 .等差数列cn
的前两项依次为 a2 ， b2 .
（1）求cn 的通项公式；
（2）求数列 an bn cn 的前 n 项和 Sn .
专题 12 数列求和问题
一、数列求和的常用方法知识框架
【一】公式求和法
二、数列求和方法
1.等差数列前
n
项和 Sn
n(a1 an ) 2
na1
n(n 1) 2
d
2.等比数列前
n 项和 Sn
naa11((1qq1n)) 1 q
(q
1)
公比含字母时一定要讨论
3.其他常用求和公式
①1 2 3 n n(n 1) ； 2
f
1 11
f
2 11
f
3 11
f
10 11
.
2.巩固提升综合练习【练习 1】已知正数数列是公比不等于 1 的等比数列，且
（） A．2018 B．4036 C．2019 D．4038
，若
，则
【练习
2】已知函数
f
x
cos
x
ln
x x
，若

专题10 数列-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(全国通用)(原卷版)

专题10数列考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：等差数列基本量运算2023年全国Ⅰ卷、2024年全国Ⅱ卷2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题2022年高考全国乙卷数学（文）真题2023年高考全国甲卷数学（文）真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题2024年高考全国甲卷数学（文）真题2024年高考全国甲卷数学（理）真题2023年高考全国乙卷数学（文）真题高考对数列的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．等差数列、等比数列以选填题的形式为主，数列通项问题与求和问题以解答题的形式为主，偶尔出现在选择填空题当中，常结合函数、不等式综合考查.考点2：等比数列基本量运算2023年全国Ⅱ卷、2023年天津卷2023年高考全国甲卷数学（理）真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题2023年高考全国甲卷数学（文）真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题考点3：数列的实际应用2024年北京高考数学真题2023年北京高考数学真题2022年新高考全国II卷数学真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题考点4：数列的最值问题2022年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考北京数学高考真题考点5：数列的递推问题（蛛网图问题）2024年高考全国甲卷数学（文）真题2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题2022年新高考浙江数学高考真题2023年北京高考数学真题考点6：等差数列与等比数列的综合应用2022年新高考浙江数学高考真题2022年新高考全国II卷数学真题2024年北京高考数学真题考点7：数列新定义问题2022年新高考北京数学高考真题2024年上海夏季高考数学真题2023年北京卷、2024年北京卷考点8：数列通项与求和问题2024年高考全国甲卷数学（理）真题2024年天津高考数学真题2023年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考天津数学高考真题考点9：数列不等式2023年天津高考数学真题2023年全国Ⅱ卷、2022年全国I卷考点1：等差数列基本量运算1．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >．令2n nn nb a +=，记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和．(1)若2133333,21a a a S T =++=，求{}n a 的通项公式；(2)若{}n b 为等差数列，且999999S T -=，求d ．2．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d =．3．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若264810,45a a a a +==，则5S =（）A ．25B ．22C ．20D ．154．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*cos N n S a n =∈，若{},S a b =，则ab =（）A ．－1B ．12-C ．0D ．125．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，则37a a +=（）A ．2-B ．73C ．1D ．296．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知510S S =，51a =，则1a =（）A ．72B ．73C ．13-D ．711-7．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知21011,40a S ==．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n a 的前n 项和n T ．8．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则10S =.9．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件考点2：等比数列基本量运算10．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S =（）．A ．120B ．85C ．85-D ．120-11．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和n S ，若11a =，5354S S =-，则4S =（）A ．158B ．658C ．15D ．4012．（2023年天津高考数学真题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()112,22N n n a a S n *+==+∈，则4a =（）A ．16B ．32C ．54D ．16213．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（）A ．14B ．12C ．6D ．314．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若6387S S =，则{}n a 的公比为．15．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知{}n a 为等比数列，24536a a a a a =，9108a a =-，则7a =.考点3：数列的实际应用16．（2024年北京高考数学真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为65mm,325mm,325mm ，且斛量器的高为230mm ，则斗量器的高为mm ，升量器的高为mm ．17．（2023年北京高考数学真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{}n a ，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且1591,12,192a a a ===，则7a =；数列{}n a 所有项的和为．18．（2022年新高考全国II 卷数学真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AAk k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（）A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.919．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{}n b ：1111b α=+，212111b αα=++，31231111b ααα=+++，…，依此类推，其中(1,2,)k k α*∈=N ．则（）A ．15b b <B ．38b b <C ．62b b <D ．47b b <考点4：数列的最值问题20．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+．(1)证明：{}n a 是等差数列；(2)若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．21．（2022年新高考北京数学高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件考点5：数列的递推问题（蛛网图问题）22．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n S 的前n 项和.23．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知双曲线()22:0C x y m m -=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =：过1n P -作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q -，令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y .(1)若12k =，求22,x y ；(2)证明：数列{}n n x y -是公比为11kk+-的等比数列；(3)设n S 为12n n n P P P ++ 的面积，证明：对任意正整数n ，1n n S S +=.24．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知数列{}n a 满足()21111,3n n n a a a a n *+==-∈N ，则（）A ．100521002a <恒成立B ．当15a =时，{}n a 为递增数列，且存在常数6M ≤，使得n a M <恒成立C ．当17a =时，{}n a 为递减数列，且存在常数6M >，使得n a M >恒成立D ．当19a =时，{}n a 为递增数列，且存在常数0M >，使得n a M <恒成立考点6：等差数列与等比数列的综合应用26．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知等差数列{}n a 的首项11a =-，公差1d >．记{}n a 的前n 项和为()n S n *∈N ．(1)若423260S a a -+=，求n S ；(2)若对于每个n *∈N ，存在实数n c ，使12,4,15n n n n n n a c a c a c +++++成等比数列，求d 的取值范围．27．（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．(1)证明：11a b =；(2)求集合{}1,1500k m k b a a m =+≤≤中元素个数．28．（2024年北京高考数学真题）设{}n a 与{}n b 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合{}*|,N k k M k a b k ==∈，给出下列4个结论：①若{}n a 与{}n b 均为等差数列，则M 中最多有1个元素；②若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则M 中最多有2个元素；③若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，则M 中最多有3个元素；④若{}n a 为递增数列，{}n b 为递减数列，则M 中最多有1个元素.其中正确结论的序号是.考点7：数列新定义问题29．（2022年新高考北京数学高考真题）已知12:,,,k Q a a a 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的{1,2,,}n m ∈ ，在Q 中存在12,,,,(0)i i i i j a a a a j +++≥ ，使得12i i i i j a a a a n +++++++= ，则称Q 为m -连续可表数列．(1)判断:2,1,4Q 是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；(2)若12:,,,k Q a a a 为8-连续可表数列，求证：k 的最小值为4；(3)若12:,,,k Q a a a 为20-连续可表数列，且1220k a a a +++< ，求证：7k ≥．30．（2024年上海夏季高考数学真题）无穷等比数列{}n a 满足首项10,1a q >>，记[][]{}121,,,n n n I x y x y a a a a +=-∈⋃，若对任意正整数n 集合n I 是闭区间，则q 的取值范围是．31．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．(1)写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；(2)当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；(3)从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．32．（2023年北京高考数学真题）已知数列{}{},n n a b 的项数均为m (2)m >，且,{1,2,,},n n a b m ∈ {}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n A B ，并规定000A B ==．对于{}0,1,2,,k m ∈ ，定义{}max ,{0,1,2,,}k i k r iB A i m =≤∈∣ ，其中，max M 表示数集M 中最大的数.(1)若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ======，求0123,,,r r r r 的值；(2)若11a b ≥，且112,1,2,,1,j j j r r r j m +-≤+=- ，求n r ；(3)证明：存在{},,,0,1,2,,p q s t m ∈ ，满足,,p q s t >>使得t p s q A B A B +=+．33．（2024年北京高考数学真题）已知集合(){}{}{}{}{},,,1,2,3,4,5,6,7,8,M i j k w i j k w i j k w =∈∈∈∈+++且为偶数．给定数列128:,,,A a a a ，和序列12:,,s T T T Ω ，其中()(),,,1,2,,t t t t t T i j k w M t s =∈= ，对数列A 进行如下变换：将A 的第1111,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到的数列记作()1T A ；将()1T A 的第2222,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到数列记作()21T T A ；……；以此类推，得到()21s T T T A ，简记为()A Ω．(1)给定数列:1,3,2,4,6,3,1,9A 和序列()()():1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7Ω，写出()A Ω；(2)是否存在序列Ω，使得()A Ω为123456782,6,4,2,8,2,4,4a a a a a a a a ++++++++，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；(3)若数列A 的各项均为正整数，且1357a a a a +++为偶数，求证：“存在序列Ω，使得()A Ω的各项都相等”的充要条件为“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”．考点8：数列通项与求和问题34．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知434n n S a =+．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1(1)n n n b na -=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．35．（2024年天津高考数学真题）已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==-．(1)求数列{}n a 前n 项和n S ；(2)设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=⎧=⎨+<<⎩，*k ∈N ．（ⅰ）当12,k k n a +≥=时，求证：1n k n b a b -≥⋅；（ⅱ）求1nS i i b =∑．36．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知21,2n n a S na ==．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．37．（2022年新高考天津数学高考真题）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且1122331a b a b a b ==-=-=．(1)求{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)设{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()1111n n n n n n n S a b S b S b +++++=-；(3)求211(1)nk k k k k a a b +=⎡⎤--⎣⎦∑．考点9：数列不等式38．（2023年天津高考数学真题）已知{}n a 是等差数列，255316,4a a a a +=-=．(1)求{}n a 的通项公式和()1212N n n ii a n --*=∈∑．(2)设{}n b 是等比数列，且对任意的*N k ∈，当1221k k n -≤≤-时，则1k n k b a b +<<，（Ⅰ）当2k ≥时，求证：2121kk k b -<<+；（Ⅱ）求{}n b 的通项公式及前n 项和．39．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知{}n a 为等差数列，6,2,n n na nb a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，记n S ，n T 分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，432S =，316T =．(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：当5n >时，n n T S >．40．（2022年新高考全国I 卷数学真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：121112na a a +++< ．。

专题12 中国的自然环境-备战2021年中考地理《速记宝典》(学生版)

28.2
385
2361
④
﹣9.3
1.6
21.4
19.5
125
表格中与西昌卫星发射基地气候资料相符的是（）
A．①B．②C．③D．④
7．（2020·贵州六盘水·中考真题）秦岭-准河线是中国东部重要的地理界线。下列地理界线大致与秦岭-淮河线一致的是（）
①800毫米年等降水量线②400毫米年等降水量线③1月0℃等温线
A．东北平原B．华北平原C．长江中下游平原D．成都平原
9．（2020·宁夏）阅读图文材料。完成下列问题。
北京时间2020年6月，搭载中国“北斗三号”全球卫星导航系统最后一颗组网卫星的“长征三号乙”运载火箭，在西昌卫星发射中心成功点火发射。下图为“我国四大卫星发射中心分布示意图”。
（1）西昌所在省级行政区域的行政中心是_______。从地势阶梯分布上看，西昌、太原位于我国地势的第_______级阶梯。
C．③山脉是我国半干早区与半湿润区分界线
D．④山脉属于我国地势第二、三级阶梯的分界线
（2020·山东日照·中考真题）如图为我国各类地势面积比例示意图。读图回答下列各题。
3．如图中B代表的地势类型是（）
A．山地B．高原C．盆地D．平原
4．D类地势要素分布在我国的（）
A．第一级阶梯B．第二级阶梯C．第三级阶梯D．大陆架上
②时间分配规律：大部分地区的降水集中在夏季。
（2）干湿地区：根据气候的干湿程度，分为湿润、半湿润、半干旱和干旱四类干湿地区。
3．我国气候的主要特征
（1）气候复杂多样
（2）季风气候显著
季风区：受夏季风影响明显，降水丰富，主要集中于夏季。
非季风区：夏季风很难到达，降水稀少，全年都比较干旱。

2024年中考物理题型专题难点(全国)专题12 速度、路程与时间关系的图像应用题(学生版)

专题12速度、路程与时间关系(含图像)应用题1．小明从高空竖直向下跳伞，下落时的速度﹣时间图线如图1所示，则(1)小明在前30s这个过程中，速度是如何变化的？(2)求出小明在20~30s这个过程中所通过的路程。

(3)小明在20~30s的路程为s1、在40﹣45s的路程为s2，通过分析比较s1、s2的大小。

(4)小明在前40s共下落2000m。

图2中哪个图能反映他在40~50s内的运动情况？2.甲同学骑自行车从家中出发到乙同学家，甲出发的同时，乙同学步行去迎接，经过20min接到甲同学后，两人一同推车步行到达乙同学家。

整个过程甲同学的路程与时间的关系如图所示。

求：（1）甲同学的总路程；（2）乙同学步行的时间。

3.小明同学在平直公路上骑自行车时，在第1min内通过的路程是120m，在第2min内通过的路程是180m，在第3min内通过的路程是300m，分别求出小明同学在第1min内的平均速度是多少m/s？以及整个过程内的平均速度为多少km/h？4.甲、丙两地车站的距离是800km，一列火车从甲地车站早上7：30出发开往丙地，途中在乙地车站卸货停靠了1h，在当日15：30到达丙地车站。

列车行驶途中通过一座长400m的桥梁时以144km/h的速度匀速通过，列车全部通过桥梁的时间是25s。

求：（1）火车从甲地开往丙地的平均速度是多少km/h？（2）火车的长度是多少米？5.K279次列车由北京开往十堰，从北京到十堰铁路长900km，根据列车运行时刻表回答下列问题：K279次列车的运行时刻表如下：车次到、发站时间北京郑州襄阳十堰K279到站时间﹣﹣19：093：426：00发车时间10：0019：333：58﹣﹣（1）K279次列车由郑州到襄阳所用的时间；（2）K279次列车由北京到达十堰的平均速度；（3）中途K279次列车以72km/h的速度穿越长度为1400m的一个隧道，列车由开始进入隧道到全部钻出隧道共用时75s，那么这列火车的长度是多少？6.如图所示是甲、乙两车运动的s﹣t图象，当两车从同一地点，同时同向做匀速直线运动时，求（1）甲乙两车速度之比v甲：v乙；（2）当时间t为多少s时，两车相距12m。

专题12 数列解答题(原卷版)-2021年新高考数学最新模拟题分项汇编(第二期·2月)

专题12 数列解答题1．（海南省2021届高三第二次模拟）已知公比大于0的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =，15a +是2S 和3a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 2．（河北省保定市定州中学2021届高三模拟）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2*11,22n n a S na n n n N ==-+∈.（1）求证：数列{}n a 为等差数列，并分别写出n a 和n S 关于n 的表达式；（2）是否存在自然数n ，使得3212112423n nS S S S n+++++=？若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由；（3）设()()*27n n c n N n a =∈+，()*123n n T c c c c n N =++++∈，若不等式()32n mT m Z >∈对*n N ∈恒成立，求m 的最大值.3．（湖北省2021年高三联合测评）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*32,()n n S a n N =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）不等式*31,()n S n N >∈，求n 的最小值.4．（湖北省黄冈市2021届高三联考）已知等差数列{}n a 的前n 项和为2n S pn n q =++，p ，q ∈R ，n +∈N ，且36a =.数列{}n b 满足22log n n a b =. （1）求p ､q 的值；（2）设数列(){}(1)nn n a b -+的前2n 项和为2nT，证明：23n T >.5．（湖北省荆州市2021届高三质检）己知{}n a 为等比数列，前n 项和为()n S n N *∈，且12n nSt +=+，数列{}n b 满足11b =，数列(){}1n n n bb a +-的前n 项和为223n n -.（1）求t 的值：（2）求数列{}n b 的通项公式.6．（湖北省随州市一中2021届高三模拟）等差数列{}n a 中，2412a a +=，且2342,,2a a a +-成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式．（2）若212n n nb a a =+，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：41n S <． 7．（湖北省随州市一中2021届高三模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*21n n S a n N =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（3）记()()3210nn nn c a λλ=-⋅-≠，是否存在实数λ使得对任意的*n N ∈，恒有1n n c c +>？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．8．（湖南省永州市2021届高三联考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，3256a =，1316n n a S +=+. （1）求n a ；（2）若21log n n b a =，数列2{}n n b b +的前n 项和为n T ，证明：548n T <. 9．（湖南省长沙市一中2021届高三模拟）在①424S S =，221n n a a =+；②14n n a a n ++=；③0n a >，()241n n S a =+.从这三个条件中任选一个填入下面的横线上并解答.已知数列{}n a 是等差数列其前n 项和为n S ，*n ∈N ，若_________.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意的*m ∈N ，将{}n a 中落入区间()22,2mm内项的个数记为{}mb ，求数列{}mb 的通项公式和数列{}m b 的前m 项和m T .10．（江苏省常州市2021届四校联考）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足13a =，12b =，2221a b =-，333a b =+.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）将{}n a 和{}n b 中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列{}n c ，求数列{}n c 的前100项和100S . 11．（江苏省南京市二十九中2021届高三模拟）已知数列{}n a 是一个公差大于零的等差数列，且3655a a =，2716a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22=-n n S b .（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ；（3）设43n n c b n =+-，是否存在正整数i ，(2)j i j <<，使2c ，i c ，j c 成等差数列，若存在，求出所有的正整数i ，j ，若不存在，请说明理由.12．（江苏省宿迁中学2021届高三模拟）在①424S S =，221n n a a =+；②14n n a a n ++=；③0n a >，()241n n S a =+.从这三个条件中任选一个填入下面的横线上并解答.已知数列{}n a 是等差数列其前n 项和为n S ，*n ∈N ，若_________.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意的*m ∈N ，将{}n a 中落入区间()22,2mm内项的个数记为{}mb ，求数列{}mb 的通项公式和数列{}m b 的前m 项和m T .13．（江苏省盐城中学2021届高三质检）已知数列{}n a 的前n 项和n S 12(2,)n n n S S n -=≥∈N ，且14a =.（1）求数列{}n a 的前n 项和n S 及通项公式n a ；（2）记11n n n b a a +=⋅，n T 为{}n b 的前n 项和，求n T .14．（山东省百所名校2021届高三联考）在①1120(2)n n n a a a n +--+=≥且151,25a S ==，②235,n a S n tn ==+，③121,3a a ==，且122,,n n n S S S ++-成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.问题：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，_________.若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和为n T . 15．（山东省济南市莱芜一中2021届高三模拟）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n N ∈，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2334111412,2,11b b b a a S b +==-=.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n N ∈.16．（山东省新高考2021届高三联考）已知等差数列{}n a 的公差为正数，11a =，前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，12b =，且2352b S a +=，2324b S = （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式（2）令sin2n n n a c b π=，求数列{}n c 的前100项的和100T 17．（山东省新高考2021届高三联考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*112,2()n n a S a n N +==-∈，{}n b 满足22b a =，且*12311112()23n n b b b b b n N n+++++=-∈ （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式（2）若设122log (1)1n nn n a c b -=--，求数列{}n c 的前n 项和n T18．（山东省淄博市2021届高三零模）已知数列{}n a 是单调递增的等比数列，且各项均为正数，其前n 项和为n S ，1581⋅=a a ，2S ，3a ，43-a S 成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若______，求{}n n a b ⋅的前n 项和n P ，并求n P 的最小值．从以下所给的三个条件中任选一个，补充到上面问题的横线上，并解答此问题． ①数列{}n b 满足：112b =，132+=⋅+n n nb b n （n *∈N ）；②数列{}n b 的前n 项和2n T n =（n *∈N ）； ③数列{}n b 的前n 项和n T 满足：65-=nn T b （n *∈N ）．注：如果选择多个条件分别解答，只按第一个解答计分．19．（山东师范大学附属中学2021届高三测试）在①121n n S S +=+，②214a =，③112n n S a +=-这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足__________，__________；又知正项等差数列{}n b 满足12b =，且1b ，21b -，3b 成等比数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．20．（山东师范大学附属中学2021届高三测试）已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T 且0n a >，263n n n S a a =+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()()122121nn n a n a a b +=--，若n k T >恒成立，求k 的最小值．21．（重庆市八中2021届高三检测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，122n n S +=-，数列{}n b 满足：12b =，326b b -=，数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．（1）求{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设()11nnnnc a b -=+，数列{}n c 的前n 项和为n T ．若对于任意n *∈N 均有k n T T ≤，求正整数k 的值． 22．（重庆市南开中学2021届高三质检）已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，满足535S =，且1a ，4a ，13a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若241n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，实数λ使得13n nT S λ++≤对任意*n N ∈恒成立，求λ的取值范围.。

2020年高考数学(理)高频考点数列专题12 数列的通项(构造特殊数列求通项)(解析版)

数列12 数列的通项（构造特殊数列求通项）一、具体目标：掌握用不同的数学方法求不同形式数列的通项公式.通过数列通项公式的求解过程,利用数列的变化规律,恰当选择方法,是数列的研究和探索奠定基础. 二、知识概述： 1.数列的通项公式：（1）如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即()n a f n =,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.（2）数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 的关系：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩.2.求数列的通项公式的注意事项：（1）根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用()1n-或()11n +-来调整．（2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.（3）对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.3.数列通项一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知S n ，求通项，破解方法：利用S n -S n -1= a n ，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值【考点讲解】得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。

4. 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用11a S =求出1a ；(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用=n a 1n n S S -- (2)n ≥便可求出当2n ≥时n a 的表达式； (3)对1n =时的结果进行检验，看是否符合2n ≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与2n ≥两段来写．【注】该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分. 5. 递推公式推导通项公式方法：（1）叠加法：1()n n a a f n +-= 叠加法（或累加法）：已知()⎩⎨⎧=-=+n f a a aa n n 11，求数列通项公式常用叠加法（或累加法）即112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---Λ.（2）累乘法：已知()⎪⎩⎪⎨⎧==+n f a a a a nn 11求数列通项公式用累乘法. （3）待定系数法：1n n a pa q +=+（其中,p q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）解法：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解. （4）待定系数法： nn n q pa a +=+1（其中,p q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）. （或1nn n a pa rq +=+,其中,,p q r 均为常数）.解法：在原递推公式两边同除以1+n q ，得：111n n n n a a p q q q q++=⋅+，令n n n q a b =，得：q b q p b nn 11+=+，再按第（3）种情况求解.（5）待定系数法：b an pa a n n ++=+1(100)p a ≠≠，，解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列.1122332211a a a a a a a a a a a a n n n n n n n⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-----Λ（6）待定系数法：21(0,1,0)n n a pa an bn c p a +=+++≠≠解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令221(1)(1)()n n a x n y n z p a xn yn z ++++++=+++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}2n a xn yn z +++是公比为p 的等比数列. （7）待定系数法：n n n qa pa a +=++12（其中,p q 均为常数）.解法：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中,s t 满足s t pst q +=⎧⎨=-⎩，再按第（4）种情况求解.（8）取倒数法：1()()()nn n g n a a f n a t n +=+解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解.（11()()()0n n n n g n a t n a f n a a +++-=，解法：等式两边同时除以1n n a a +⋅后换元转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解.）.（9）取对数rn n pa a =+1)0,0(>>n a p解法：这种类型一般是等式两边取以p 为底的对数，后转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解. 6. 以数列为背景的新定义问题是高考中的一个热点题型，考查频率较高，一般会结合归纳推理综合命题．常见的命题形式有新法则、新定义、新背景、新运算等．(1)准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，将题目所给定义转化成题目要求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆．(2)方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而找到恰当的解决方法．类型一：已知数列{}n a 中，(),212,111≥+==-n a a a n n 求{}n a 的通项公式. 【解析】方法一：转化法.目的是想将数列通过形式的转化，转化为特殊数列.(),21121,12111=++=+∴+=--a a a a a n n n n 又Θ故{}1+n a 是首项为2，公比为2的等比数列，n n a 21=+∴即.12-=n n a方法二：引入新数列法.,12,1211+=+=+-n n n n a a a a Θ两式相减得 ()112-+-=-n n n n a a a a故数列{}n n a a -+1是首项为,212=-a a 公比为2的等比数列，即,21n n n a a =-+再用累加法得：.12-=n n a法三：由121n n a a -=+可得: ()12n n a t a t -+=+,整理得：12n n a a t -=+，可知1t =，即{}1+n a 是首项为2，公比为2的等比数列，n n a 21=+∴即.12-=n n a类型二：在数列{}n a 中，112a =，11n n a a n +=-++，求数列的通项.【解析】由题意可得：()11()n n a k n b a kn b ++++=-++满足：11n n a a n +=-++，所以有2121k k b -=⎧⎨--=⎩，得到1214k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩新数列1124n a n ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭是以14-为首项，-1为公比的等比数列. 所以()11111244n n a n ---=-⋅-，即()111424nn a n -=++()*∈N n .1.【2018年高考全国I 卷理数】记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =___________．【解析】根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+，两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=，当1n =n a 【真题分析】时，11121S a a ==+，解得11a =-，所以数列{}n a 是以−1为首项，以2为公比的等比数列，所以()66126312S --==--，故答案是63-.【答案】63-2．【2019优选题】在数列{}n a 和{}n b 中，12a =，且对任意正整数n ，130n n a a +-=，n b 是n a 与1n a +的等差中项，则{}n b 的前n 项的和为．【解析】∵130n n a a +-=，∴ 113n n a a +=，∴{}n a 是以12a =为首项，公比为13的等比数列， ∴112()3n n a -=⋅.∵111111141()[2()2()]()223333n n n n n n b a a --+=+=⋅+⋅=⋅，∴{}n b 是以143=b 为首项，公比为13的等比数列∴n S 41[1()]1332[1()]1313n n -==--. 【答案】12[1()]3n-3. 【2019优选题】数列{}n a 中，148,2a a ==且满足.212(*)n n n a a a n N ++=-∈，数列{}n a 的通项公式【解析】由题意，211n n n n a a a a +++-=-，所以{}n a 为等差数列.设公差为d ，由题意得2832d d =+⇒=-，得82(1)102n a n n =--=-. 【答案】=102n a n -()n N*∈4.【2019优选题】已知正项数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为n S ，若以(),n n a S 为坐标的点在曲线()112y x x =+上，则数列{}n a 的通项公式为________．【答案】n a n =5.【2015高考新课标2，理16】设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．【答案】1n-6.【2018优选题】已知数列{}n a 满足12a =-，且136n n a a +=+，则n a =________________.【解析】法一：由136n n a a +=+可得： ()1333n n a a ++=+，所以{}3n a +是以1为首项3为公比的等比数列，所以133n n a -+=，故133n n a -=-. 法二：1136,36,n n n n a a a a -+=+=+Q 两式相减得()113n n n n a a a a +--=-.故数列{}n n a a -+1是首项为,212=-a a 公比为3的等比数列，即123,n n n a a +-=⨯再用累加法得：13 3.n n a -=-法三：由136n n a a +=+可得: ()13n n a t a t ++=+,整理得：132n n a a t ++=，可知3t =，即()1333n n a a ++=+，所以{}3n a +是以1为首项3为公比的等比数列，所以133n n a -+=，故133n n a -=-. 【答案】133n n a -=-7. 【2019优选题】已知数列{}n a 中，12a =，12n n a a n +=+，求数列的通项为 . 【解析】结合题意得：()112()n n a k n b a kn b ++++=++整理得：12n n a a kn b k +=++-，满足12n n a a n +=+，即0kn nb k =⎧⎨-=⎩所以有11k b =⎧⎨=⎩，新数列{}1n a n ++是以4为首项，2为公比的等比数列，所以1142n n a n -++=⨯，即121n n a n +=--()*∈N n .【答案】121n n a n +=--8.【2019优选题】已知数列{a n }，a n ＝2a n －1＋n ＋1，a 1＝1(n ∈N *)，则a n ＝__________. 【解析】由已知可得a n ＋n ＋3＝2[a n －1＋(n －1)＋3]．设b n ＝a n ＋n ＋3，则b n ＝2b n －1，所以{b n }是公比为2的等比数列，且b 1＝a 1＋1＋3＝5，所以b n ＝5×2n －1，所以a n ＝5×2n －1－n －3.答案：5×2n －1－n －3. 【答案】5×2n －1－n －39.【2019优选题】已知数列}{n a满足110,1)n n a a a n N *+==++∈，则n a =___. 【解析】由已知得21)11(11211++=++++=++n n n n a a a a ，且01>+n a ．所以1111++=++n n a a ，即{1+n a }是首项、公差均为1的等差数列，所以1+n a =n ，即有12-=n a n . 【答案】12-=n a n ．10.【2017精品题】已知数列{ a n }满足：110,n a a +==，则2016a = .【解析】法一：将10a =代入递推关系，依次得2340,...a a a ==，可见数列{ a n }是以3为周期的周期数列，所以，20163a a ==.法二：因为1n a +=，将tan x 换n a ，则有：()2tan tan3tan 121tan tan 32tan()3x x x x πππ++==-=+所以数列{ a n }的通项公式为2(1)tan3n n a π-=，2016a =11.【16新课标III 文】已知各项都为正数的数列{}n a 满足11=a ，()0212112=---++n n n n a a a a ．（1）求2a ，3a ；（2）求{}n a 的通项公式．【分析】（Ⅰ）将11a =代入递推公式求得2a ，将2a 的值代入递推公式可求得3a ；（Ⅱ）将已知的递推公式进行因式分解，然后由定义可判断数列{}n a 为等比数列，由此可求得数列{}n a 的通项公式．【解析】（Ⅰ）由题意，得41,2132==a a . （Ⅱ）由02)12(112=---++n n n n a a a a 得)1()1(21+=++n n n n a a a a . 因为{}n a 的各项都为正数，所以211=+n n a a . 故{}n a 是首项为1，公比为21的等比数列，因此121-=n n a . 【答案】（Ⅰ）41,2132==a a ；（Ⅱ）121-=n n a ． 12.【2018年新课标I 卷文】已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=．（1）求123,,b b b ；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式．【解析】分析： (1)根据题中条件所给的数列{}n a 的递推公式()121n n na n a +=+，将其化为()121n n n a a n ++=，分别令n =1和n =2，代入上式求得a 2=4和a 3=12，再利用n n a b n =，从而求得1231,2,4b b b ===.（2）利用条件可以得到121n na a n n+=+，可以得到12n n b b +=，这样就可以得到数列{}n b 是首项为1，2为公比的等比数列了.（3）借助（2）的结论求出数列{}n a 的通项，完成了题的三个要求. 【解析】（1）由已知11a =，()121n n na n a +=+， nn a b n=，可得234,12a a ==，从而可得1231,2,4b b b ===.（2）{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得121n na a n n+=+，即12n n b b +=，又11b =，所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列．（3）由（2）可得1=2n n a n-，所以12n n a n -=⋅．【答案】(1) 1231,2,4b b b ===．(2) {}n b 是首项为1，公比为2的等比数列．理由见解析. (3) 12n n a n -=⋅．13.【2019全国Ⅱ】已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+ ，1434n n n b b a +-=-.（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列；（2）求{a n }和{b n }的通项公式.【解析】（1）由题设得114()2()n n n n a b a b +++=+，即111()2n n n n a b a b +++=+．又因为a 1+b 1=l ，所以{}n n a b +是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得114()4()8n n n n a b a b ++-=-+，即112n n n n a b a b ++-=-+．又因为a 1–b 1=l ，所以{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列．（2）由（1）知，112n n n a b -+=，21n n a b n -=-．所以111[()()]222n n n n n n a a b a b n =++-=+-， 111[()()]222n n n n n n b a b a b n =+--=-+．【模拟考场】1.在数列{a n }中，a 1=2，且a n +1=212+n a ，则{a n }的通项公式为 .【解析】将a n +1=212+n a 两边平方可得：a n +12=21a n 2+21.∴a n +12-1=21（a n 2－1）. ∴{a n +12-1}是以3为首项，公比为21的等比数列 ∴a n +12-1=3×n⎪⎭⎫⎝⎛21，即a n =1231-+n .【答案】a n =1231-+n2.已知数列{}n a 满足112,32n n a a a -==-,那么n a 等于( ). A ．132n -+ B.131n -+ C.31n + D.1231n -⨯+【解析】由112,32n n a a a -==-得113(1)n n a a --=-，数列{}1n a -是首项为1,公比为3的等比数列于是, 113n n a --=.所以, 131n n a -=+. 【答案】B3.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a（1）求321,,a a a ；（2）求数列}{n a 的通项公式；（3）求数列}{n a 的前n 项和n S . 【解析】本题考查的是数列通项及数列求和的具体应用. （1）由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得：,73=a 同理得.1,312==a a（2）由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a)1(211+=+-n n a a {}1+∴n a 构成以211=+a 为首项以2为公比的等比数列； 112)1(1-⋅+=+∴n n a a ；,21n n a =+∴ .12-=∴n n a 为所求通项公式（3）12-=n n a Θ123......n n S a a a a ∴=++++123(21)(21)(21)......(21)n =-+-+-++-123(222......2)nn =++++-n n ---=21)21(2 .221n n --=+4.已知在数列{}n a 中，,22,111+==+n n a a a 求{}n a 的通项公式.【解析】由122n n a a +=+得，()1222n n a a ++=+，所以数列{}2n a +是以3为首项，2为公比的等比数列，所以可得：1232n n a -+=⋅所以1322n n a -=⋅-，即1322n n a -=⋅-()n N *∈. 5.数列{}n a 满足a 1=1，a n =21a 1-n +1（n ≥2），求数列{a n }的通项公式。

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