专题12 数列-三年(学生版)
高考数学专题复习练习题12---数列求通项、求和(理)含答案解析
高考数学专题复习练习题12---数列求通项、求和（理）
1．已知数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则数列2
{}n a 的前10项和为（ ）
A ．1041-
B ．102
(21)-
C ．101(41)3
-
D ．101(21)3
-
2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n S a =-，则{}n a 的通项公式为n a =（ ） A ．21n -
B ．1
2
n -
C ．21n
-
D ．21n +
3．数列{}n a 满足1(1)n
n n a a n ++=-⋅，则数列{}n a 的前20项和为（ ）
A ．100-
B ．100
C ．110-
D ．110
4．已知数列{}n a 的通项公式为100
n a n n
=+，则122399100||||||a a a a a a -+-++-=L （ ） A ．150
B ．162
C ．180
D ．210
5．数列{}n a 中，10a =，1n n a a +-=，若9n a =，则n =（ ）
A ．97
B ．98
C ．99
D ．100
6．在数列{}n a 中，12a =-，11
1n n
a a +=-，则2019a 的值为（ ） A ．2-
B ．
13 C ．
12
D ．
32
7．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且13n n n S S a +=++，4523a a +=，则8S =（ ） A ．72
B ．88
C ．92
D ．98
8．在数列{}n a 中，12a =，已知1
12(2)2
n n n a a n a --=
≥+，则n a 等于（ ）
2020年高考数学(理)之数列 专题12 数列的通项(构造特殊数列求通项)(解析版)
数列
12 数列的通项（构造特殊数列求通项）
一、具体目标：
掌握用不同的数学方法求不同形式数列的通项公式.通过数列通项公式的求解过程,利用数列的变化规律,恰当选择方法,是数列的研究和探索奠定基础. 二、知识概述： 1.数列的通项公式：
（1）如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即()n a f n =,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式. （2）数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 的关系：1
1(1)(2)n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩.
2.求数列的通项公式的注意事项：
（1）根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用()1n
-或
()
1
1n +-来调整．
（2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.
（3）对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所
给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序
【考点讲解】
号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.
高三数学精准培优专题练习12：数列求和(含答案解析)
培优点十二 数列求和
1．错位相减法
例1：已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，且，，．
（1）求数列与的通项公式；
（2）记，，求证：．【答案】（1），；（2）见解析．【解析】（1）设的公差为，的公比为，
则，，即，解得：，，．
（2），①
，②
得
，
∴所证恒等式左边，右边，
即左边右边，所以不等式得证．
2．裂项相消法
例2：设数列，其前项和，为单调递增的等比数列，， ．
（1）求数列，的通项公式；
{}n a n n S {}n b 112a b ==4427a b +=4410S b -={}n a {}n b 1121n n n n T a b a b a b -=+++L n *∈N 12210n n n T a b +=-+31n a n =-2n n b ={}n a d {}n b q 3441127327a b a d b q +=⇒++=34411104610S b a d b q -=⇒+-=33
2322786210d q d q ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩32d q =⎧⎨=⎩31n a n ∴=-2n n b =()()231234222n
n T n n =-⋅+-⋅++⋅L ()()23+1231234222n n T n n =-⋅+-⋅++⋅L -②①()()()()123124213123222222312321
n n n n n T n n -++-∴=--⋅+++++⋅=--⋅+⋅
-L ()10223112n n =⋅---()102231n n =⋅--()210231102n
2019高考理科数学真题12 数列(解析版)
专题12 数列
1．【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-
B ．
310n a n =-
C ．2
28n S n n =-
D ．2
122
n S n n =
- 【答案】A
【解析】由题知，415
144302
45d S a a a d ⎧
=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，2
4n S n n =-,故选A ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断．
2．【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8
C ．4
D ．2
【答案】C
【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则23111142
111
15
34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2
a q =⎧⎨=⎩，2
314a a q ∴==，故选C ．
【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键.
3．【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2
+b ，n *∈N ，则
A ． 当101
,102
b a =
> B ． 当101
2021-2023年高考数学真题分类汇编专题12数列填空题
专题12数列（填空题）
近三年高考真题
知识点1：等差数列基本量运算
1．（2022•乙卷（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S ，则公差d ．
【答案】2．
【解析】32236S S ∵，
123122()3()6a a a a a ，
{}n a ∵为等差数列，
2126336a a a ，
213()36a a d ，解得2d ．
故答案为：2．
2．（2022•上海）已知等差数列{}n a 的公差不为零，n S 为其前n 项和，若50S ，则(1i S i ，2， ，100)中不同的数值有个．
【答案】98．
【解析】∵等差数列{}n a 的公差不为零，n S 为其前n 项和，50S ， 5154502
S a d ，解得12a d ，21(1)(1)2(5)222n n n n n d S na d nd d n n
，0d ∵，(0i S i ，1，2 ，100)中050S S ，
233S S d ，142S S d ，
其余各项均不相等，
(1i S i ，2 ，100)中不同的数值有：101398 ．
故答案为：98．
知识点2：等比数列基本量运算
3．（2023•甲卷（文））记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若6387S S ，则{}n a 的公比为．【答案】12
．【解析】等比数列{}n a 中，6387S S ，
则1q ，所以6311(1)(1)8711a q a q q q
，解得12
q ．故答案为：12
．4．（2021•上海）已知{}n a 为无穷等比数列，13a ，n a 的各项和为9，2n n b a ，则数列{}n b 的各项和为．【答案】185
三年高考2017 2019高考数学真题分项汇编专题12数列文含解析
专题12数列
??a a?3aa?4且15，【，1．2019年高考全国III卷文数】已知各项均为正数的等比数列的前4
项和为153n a?则3A．16 B．8
2
．4 ． DC C
【答案】23??15?aq?aqqa?aq1111a?，【解析】设正数的等比数列{，则}的公比为
aq?3aq?4a?111a?1,?12?a?aq?4，故选解得C，．?13q?2?【名师点睛】本题利用方程思想求解n24
数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键.
?2baabaaaa N n?，则= =2．【2019年高考浙江卷】设，，∈R，数列{，}满足+nnn+1111,a?b?b?10,a?10 A．当B．当101042b??2,a?10b??4,a?10．当．当 DC1010A
【答案】?a?0,n?N ab.
时，取，则【解析】①当=0=0n22<0b?x?b?bx?x?x0.
时，令②当，即?2?1?4b?0xx?x?b?0，，即必存在则该方程，使得0002?xa= a=ab??a?a N?n成立，则一定存在对任意，使得01n1nn?1?1?4b2?a0ba?a??，，得解方程2
b?4b1?11?1?4a?a???a?1090?b…?a?10，，使得当时，即时，总存在102122故C、D两项均不正确.
2b?0a?a?b?b③当时，，12．
??222b??a?b…bba?.
22a?a?b?b?b，则23
3422??1111711???b?11,a?a?????（ⅰ）当时，，????
542162222??????21111??2???a?1?则，??6422??912??a?2，
2020高考英语三模前单项填空专题练12(学生版)三年真题研读专练
三模前单项填空专题练12
题组一
21.Unfortunately, his lack of _______ skills has led to the decline of his company.
A. management
B. diploma
C. engineering
D. fluency
22.Small cars are _______ of fuel, so they have more appeal for consumers.
A. free
B. short
C. typical
D. economical
23.Every evening after dinner, if not _______ from work, I will spend some time walking my dog.
A. being tired
B. tiring
C. tired
D. to be tired
24.From my point of view,there’s little chance that we will be successful in trying to change the present situation. _______, it is important that we try our best.
A. Meanwhile
B. Otherwise
C. Therefore
D. Nevertheless
25.I hope when you come tomorrow, you _______ the reading and have something to share.
专题7：2012-2020年高考数学真题分类汇编《数列》(学生版)
《数列》
一、单选题
1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（ ）
A ．12
B ．24
C ．30
D ．32
2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，…，a 12.设1≤i <j <k ≤12．若k –j =3且j –i =4，则称a i ，a j ，a k 为原位大三和弦；若k –j =4且j –i =3，则称a i ，a j ，a k 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ）
A ．5
B ．8
C ．10
D ．15
3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则
n
n
S a =（ ） A ．2n –1
B ．2–21–n
C ．2–2n –1
D ．21–n –1
4．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A ．3699块
B ．3474块
C ．3402块
专题12 数列求和方法之倒序相加法(解析版)
专题12 数列求和方法之倒序相加法
一、单选题
1．已知1()()32g x f x =+-是R 上的奇函数，1(0)()n a f f n
=++
1
(
)(1)n f f n
-++,n *∈N ,则数列{}n a 的通项公式为（ ）
A ．1n a n =+
B ．31n a n =+
C ．33n a n =+
D ．2
23n a n n =-+
【答案】C 【分析】 由()132F x f x ⎛⎫
=+
- ⎪⎝⎭在R 上为奇函数，知11622f x f x ⎛⎫⎛⎫
-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，令12t x =-，则112x t +=-，
得到()()16f t f t +-=．由此能够求出数列{}n a 的通项公式． 【详解】
由题已知()132F x f x ⎛
⎫
=+- ⎪⎝⎭
是R 上的奇函数， 故()()F x F x -=-，
代入得：()11622f x f x x R ⎛⎫⎛⎫
-++=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ∴函数()f x 关于点132⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
对称， 令1
2
t x =-， 则
1
12
x t +=-， 得到()()16f t f t +-=， ∴()()1101n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫
=++++
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
()()1110n n a f f f f n n -⎛⎫
⎛⎫
=++
++ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，
倒序相加可得()261n a n =+，
即()31n a n =+， 故选：C ． 【点睛】
思路点睛：利用函数的性质以及倒序相加法求数列的通项公式问题.
先利用函数的奇偶性得到函数的对称中心，再用换元法得到()()16f t f t +-=，最后利用倒序相加法求解数列的通项公式. 2．已知1()12F x f x ⎛⎫
高三数学专题训练《数列》解析版
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和
S 10＝
( )
A ．138
B ．135
C ．95
D ．23
解析：由a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10可得d ＝3，a 1＝－4，所以S 10＝－4×10＋10×92
×3＝95.
答案：C
2．若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是
( )
A ．公差为3的等差数列
B ．公差为4的等差数列
C ．公差为6的等差数列
D ．公差为9的等差数列
解析：设{a n }的公差为d ，则d ＝1，设c n ＝a 2n －1＋2a 2n ，则c n ＋1＝a 2n ＋1
＋2a 2n ＋2，c n ＋1－c n ＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2－a 2n －1－2a 2n ＝6d ＝6，选择C.
答案：C
3．在等差数列{a n }中，已知a 1＝1
3，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝20，那么a 3等
于
( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
解析：a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝5a 3＝20，a 3＝4.
答案：A
4．等差数列{a n }的公差d ≠0，a 1≠d ，若这个数列的前40项和是20m ，则
m 等于( )
A ．a 1＋a 20
B ．a 5＋a 17
C ．a 27＋a 35
D ．a 15＋a 26
解析：S 40＝40(a 1＋a 40)
2
＝20(a 1＋a 40)＝20m ，
m ＝a 1＋a 40＝a 15＋a 26.
答案：D
三年2020-2022年高考数学真题分类汇编专题12 数列(教师版+学生版)
三年专题12 数列
1．【2022年全国乙卷】已知等比数列的前3项和为168，，则（）A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】
解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.
故选：D.
2．【2022年全国乙卷】嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据，再利用数列与的关系判断中各项的大小，即可求解. 【详解】
解：因为，
所以，，得到，
同理，可得，
又因为，
故，；
以此类推，可得，，故A错误；
，故B错误；
，得，故C错误；
，得，故D正确.
故选：D.
3．【2022年新高考2卷】中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，若是公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【答案】D
【解析】
【分析】
设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.
【详解】 设，则
， 依题意，有，且，
所以，故
，
故选：D
4．【2021年甲卷文科】记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10
【答案】A 【解析】 【分析】
高考数学真题汇编 12：统计理
高考数学真题汇编 12：统计理
高考数学真题汇编 12：统计理
一、选择题
1、下列哪个选项是描述众数的？ A. 出现次数最多的数据 B. 平均
数以上的中位数 C. 最高分和最低分的平均值 D. 所有成绩的中位
数
2、某班级期末考试成绩，其中90分以上15人，80-89分30人，70-79分25人，60-69分10人，那么下列哪个图可以准确表示该班级的分数分布情况？ A. 直方图 B. 折线图 C. 条形图 D. 饼图
3、某班共有50名学生，期末考试数学科目及格人数为35人，及格
率为70%。若将该班学生分为不及格、及格和优秀三个层次，则下列哪个选项是正确的？ A. 不及格人数为10人 B. 及格人数为25人 C. 优秀人数为15人 D. 及格率为70%
二、填空题
4、某商店本月销售额为10万元，同比增长5%，则上月销售额为多
少万元？
41、已知一组数据为10、20、30、40、50，则该组数据的平均数为
多少？标准差为多少？
三、解答题
6、已知某城市2019年6月份的房价中位数为15000元/平方米，房价标准差为5000元/平方米。若以该城市的房价中位数为基准，求出房价相对较高的前10%的家庭所拥有的房屋面积的平均值。
61、已知某班级期末考试成绩如下：
（1）求该班级的及格率；（2）将该班级的学生按成绩分为不及格、及格和优秀三个层次，并给出相应的人数。
8、下表是某地区过去五年的年降雨量（单位：毫米）和年平均气温（单位：摄氏度）：
（1）计算过去五年年降雨量和年平均气温的平均值；（2）以年份为横坐标，分别以年降雨量和年平均气温为纵坐标，绘制一幅散点图；（3）根据散点图，分析年降雨量和年平均气温之间的关系。
2020高考英语三模前任务型阅读专题练12(学生版)三年真题研读专练
三模前任务型阅读专题练12
题组一
If you are a perfectionist, you’re probably familiar with the feeling of wanting to get everything just right. According to researchers, perfectionists hold themselves to unrealistically high standards and become self-critical if they be lieve they haven’t met these standards. Perfectionists are also likely to feel guilty if they experience failures, which often leads them to avoid situations where they are worried that they might fail.
In one study, researchers looked at how perfectionism changes over time. The researchers reviewed previously collected data from over 41,000 college students. They found that college students reported increasing levels of perfectionism: they helped themselves to higher standards, and felt there were higher expectations placed on them. More importantly, what increased the most was the social expectations that young adults picked up on from the surrounding environment. The researchers assumed that this could be because society is increasingly competitive: college students might pick up on these pressures from their parents and society, which would increase perfectionist tendencies.
高考数学难点突破专题12 等差数列、等比数列的性质运用
难点12 等差数列、等比数列的性质运用
等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前n 项和公式的引申.应用等差等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视.高考中也一直重点考查这部分内容.
●难点磁场
(★★★★★)等差数列{a n }的前n 项的和为30，前2m 项的和为100，求它的前3m 项的和为_________.
●案例探究
［例1］已知函数f (x )=4
12
-x (x <－2).
(1)求f (x )的反函数f -－1(x ); (2)设a 1=1,
1
1+n a =－f －-1(a n )(n ∈N *),求a n ;
(3)设S n =a 12+a 22+…+a n 2,b n =S n +1－S n 是否存在最小正整数m ,使得对任意n ∈N *,有b n <25
m 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明
理由.
命题意图：本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，着重考查学生的逻辑分析能力，属★★★★★级题目.
知识依托：本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题.
错解分析：本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，(2)问以数列{
2
1n
a }为桥梁求a n ,不易突破.
技巧与方法：(2)问由式子4112
1
+=
+n
n a a 得
2
2
1
11n
n a a -
+=4,构造等差数
列{
2
专题12 数列解答题(原卷版)-2021年新高考数学最新模拟题分项汇编(第二期·2月)
专题12 数列解答题
1．（海南省2021届高三第二次模拟）已知公比大于0的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =，15a +是2S 和3a 的等差中项.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n n
n
b a =
，求数列{}n b 的前n 项和n T . 2．（河北省保定市定州中学2021届高三模拟）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，
()
2*11,22n n a S na n n n N ==-+∈.
（1）求证：数列{}n a 为等差数列，并分别写出n a 和n S 关于n 的表达式； （2）是否存在自然数n ，使得3
212112423
n n
S S S S n
++++
+=？若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由； （3）设()
()
*2
7n n c n N n a =
∈+，()
*123n n T c c c c n N =+++
+∈，若不等式()32
n m
T m Z >
∈对*n N ∈恒成立，求m 的最大值.
3．（湖北省2021年高三联合测评）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*
32,()n n S a n N =-∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）不等式*
31,()n S n N >∈，求n 的最小值.
4．（湖北省黄冈市2021届高三联考）已知等差数列{}n a 的前n 项和为2
n S pn n q =++，p ，q ∈R ，n +∈N ，
且36a =.数列{}n b 满足22log n n a b =. （1）求p ､q 的值； （2）设数列(){
2020高考英语三模前单项填空专题练12(学生版)三年真题研读专练
三模前单项填空专题练12
题组一
21.Unfortunately, his lack of _______ skills has led to the decline of his company.
A. management
B. diploma
C. engineering
D. fluency
22.Small cars are _______ of fuel, so they have more appeal for consumers.
A. free
B. short
C. typical
D. economical
23.Every evening after dinner, if not _______ from work, I will spend some time walking my dog.
A. being tired
B. tiring
C. tired
D. to be tired
24.From my point of view,there’s little chance that we will be successful in trying to change the present situation. _______, it is important that we try our best.
A. Meanwhile
B. Otherwise
C. Therefore
D. Nevertheless
25.I hope when you come tomorrow, you _______ the reading and have something to share.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题12数列
1．【2019年高考全国III 卷文数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =
A ．16
B ．8
C ．4
D ．2
2．【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2+b ，n *∈N ，则
A ．当101,102b a =>
B ．当101,104
b a =>C ．当102,10b a =->D ．当104,10
b a =->3．【2018年高考浙江卷】已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则
A ．1324
,a a a a <
,a a a a >>4．【2018年高考北京卷文数】设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．【2018年高考北京卷文数】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，
从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为
A f
B ．
C ．
D ．6．【2017年高考浙江卷】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4+S 6>2S 5”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．【2019年高考全国I 卷文数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若13314
a S ==，，则S 4=___________．
8．【2019年高考全国III 卷文数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则
10S =___________.
9．【2019年高考江苏卷】已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，
则8S 的值是__________．
10．【2018年高考江苏卷】已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*
{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B 的所
有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为___________．
11．【2017年高考江苏卷】等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a =___________．
12．
【2019年高考全国I 卷文数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=-a 5．（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；
（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．
13．【2019年高考全国II 卷文数】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+.
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和．
14．【2019年高考北京卷文数】设{a n }是等差数列，a 1=–10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列．
（1）求{a n }的通项公式；
（2）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值．
15．【2019年高考天津卷文数】设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0，
已
知
1123323,,43a b b a b a ====+.
（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）设数列{}n c 满足21n n n c b n ⎧
⎪=⎨⎪⎩，为奇数,
，为偶数.求*
112222()n n a c a c a c n +++∈N .
16．
【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }()n *∈N 满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”；
（2）已知数列{b n }()n *∈N 满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．①求数列{b n }的通项公式；
②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }()n *∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c + 成立，求m 的最大值．
17．【2019年高考浙江卷】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每个
12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列．
（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；
（2
）记,n c n *=∈N
证明：12+.n c c c n *++<∈N