复数模最值求法的探究

复数模的计算公式(一)

复数模的计算公式(一)
复数模
一、公式定义
复数模是指复数的绝对值或者称为模长。

对于一个复数 z=a+bi，其模长表示为 |z|，计算公式如下：
|z| = √(a² + b²)
其中，a 和 b 分别表示复数 z 的实部和虚部。

二、计算示例
示例1：
假设有一个复数 z = 3 + 4i，我们来计算其模长。

根据计算公式，我们有：
|z| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
因此，复数 z = 3 + 4i 的模长为 5。

示例2：
假设有一个复数 z = -2 - 3i，我们来计算其模长。

根据计算公式，我们有：
|z| = √((-2)² + (-3)²) = √(4 + 9) = √13
因此，复数 z = -2 - 3i 的模长为√13。

三、结论
复数模是用来表示复数的绝对值或者称为模长。

通过计算公式
|z| = √(a² + b²)，我们可以得到给定复数的模长。

模长可以用来比较和判断复数的大小关系，以及进行复数运算等。

谈谈复数的几何意义及其应用方法

复数具有代数与几何的双重属性.复数的代数形式为：z=a+bi(a、b∈R)，其几何意义是复平面内的点Z(a，b)，即平面向量OZ.复数的几何意义反映了复数和向量之间的对应关系，体现了复数在复平面内的几何特征.科学、合理地应用复数的几何意义，能有效提升解题的效率.那么借助复数的几何意义，可以解决哪些问题呢?下面我们来探究一下.一、由点的坐标求复数任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)可以由一个实数对(a，b)唯一确定，而实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数集与平面直角坐标系上的点集之间存在一一对应的关系.根据这种一一对应的关系，我们可以由点的坐标求复数，也可以根据复数确定复平面上的点的坐标.例1.在复平面内，已知复数2+i对应的点为A，B，C是复平面上的另两个点，若复数1+2i与向量BA对应，复数3-i与向量BC对应，求C点对应的复数.解：∵BA对应的复数为1+2i，BC对应的复数为3-i，∴ AC= BC- BA对应的复数为（3-i）-(1+2i)=2-3i，∵ OC= OA+ AC，∴C点对应的复数为（2+i）+(2-3i)=4-2i.复数z＝a＋b i¾®¾¾¾¾一一对应复平面内的点Z(a，b)¾®¾¾¾¾一一对应平面向量，根据复数的几何意义建立对应的关系：C的坐标即为OC的坐标，通过向量的加、减运算，即可求得C点的坐标，进而求得C点对应的复数.二、求复数的最值根据复数与复平面内的点之间的对应关系，以及复数的一些性质可以确定满足一定条件的复数在复平面内对应的图形（即轨迹），如|z+1|+|z-1|=4表示椭圆，|z-i|=4表示圆.在解答复数的最值问题时，可根据复数的几何意义，确定复平面内点集所形成的图形，建立关于动点的轨迹方程，结合图形寻找临界的情形，即可结合图形的性质、位置关系来求得最值.例2.已知复数|z|=2，求复数1+3i+z的模的最值.解：|z|=2表示在复平面上复数z对应的点Z到原点的距离是2，即圆心为原点，2为半径的圆，设ω=1+3i+z,则z=ω-(1+3i)，可得||ω-(1+3i)=2，故复数ω在复平面内对应的点W在以(1,3)为圆心，以2为半径的圆上，如图所示.由图形可知，当点W落在点A处时，复数ω的模最大，即为AB=4；当点W落在点B处时，复数ω的模最小，其值为0，即复数1+3i+z的模的最大值为4，最小值为0.满足已知条件的复数是一个集合，这个集合中的每个元素所对应的点组成一个图形，这个图形就是复数z在复平面内表示的图形.利用复数的几何意义求复数的最值，一要将复数转化为点的集合，并求得点的轨迹方程；二要借助图形的特点、性质、位置关系来求最值.三、求参数的取值范围含参数的复数问题一般较为复杂，参数的变化决定了复数的取值.为了避免对参数的分类讨论，可利用复数的几何意义来建立参数满足的关系式，进而求得参数的取值范围.例3.已知在复平面内，复数z=(a2+a-2)+(a2-3a+2)i表示的点位于第二象限，试求实数a的取值范围.解：根据复数的几何意义知，复数z=(a2+a-2)+(a2-3a+2)i表示的点是P(a2+a-2,a2-3a+2).由点P位于第二象限，可得{a2+a-2<0，a2-3a+2>0，解得-2<a<1，所以实数a的取值范围为(-2,1).解答本题，需根据复平面内点的坐标与复数的实部、虚部之间的对应关系确定参数所满足的不等关系式.总之，利用复数的几何意义解题，关键是把复数或关于复数的表达式转化为点的轨迹、几何图形、向量，我们可以从中找到解题的思路，利用图形、解析几何、向量知识来解题.（作者单位：青海省海东市第一中学）谈谈复数的几何意义及其应用方法考点透视39。

复数的模的一些公式

复数的模的一些公式咱今天来唠唠复数的模的那些公式。

复数这玩意儿，在数学里可有着独特的地位。

就说这复数的模吧，它可是解决不少问题的关键。

先来说说啥是复数的模。

想象一下，在一个平面上，一个复数就像是一个有方向有长度的箭头。

那这个箭头的长度就是复数的模。

比如说，对于复数 z ＝ a ＋ bi，它的模就是｜z| ＝√（a²＋ b²) 。

给大家讲个我上学时候的事儿。

有一次数学考试，就考到了复数的模。

当时有一道题，给出了一个复数 z ＝ 3 ＋ 4i ，让求它的模。

我那会啊，脑子突然就有点懵，心里想着这公式到底咋用啊。

后来静下心来，一想，不就是｜z| ＝√（3²＋ 4²) 嘛，算出来就是 5 。

那次考试因为这道题，我可算是长了记性，以后再遇到复数的模的问题，我都格外小心。

再来说几个和复数的模有关的公式。

比如，两个复数 z₁＝ a₁＋b₁i 和 z₂＝ a₂＋ b₂i ，它们的乘积 z₁z₂的模等于它们模的乘积，也就是｜z₁z₂| ＝｜z₁|×｜z₂| 。

还有啊，如果复数 z 的共轭复数是z＝ a bi ，那么｜z| ＝｜z｜。

这就好比一个人，不管正面看还是反面看，他的“长度”是不变的。

咱们来做几道题巩固一下。

比如说，已知复数 z₁＝ 2 ＋ 3i ，z₂＝ 4 i ，求｜z₁＋ z₂| 。

那咱先把 z₁＋ z₂算出来，等于 6 ＋ 2i ，然后再用模的公式，｜z₁＋ z₂| ＝√（6²＋ 2²) ＝√40 ＝2√10 。

在实际应用中，复数的模也很有用处。

比如说在物理学里，交流电路中的电压和电流有时候就可以用复数来表示，这时候复数的模就能帮助我们计算出电压或者电流的大小。

再比如在工程学中，信号处理的时候也会用到复数，复数的模就能告诉我们信号的强度。

总之，复数的模的这些公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多琢磨琢磨，多做几道题，就会发现其实也没那么难。

复数模的最值求法

复数模的最值求法贵州省龙里中学洪其强（551200）根据题设条件不同，适当选择求复数模的最值的方法，使问题简易地得到解决，这是我们求复数的模的最值应当树立的正确意识。

一、代换法若题设中Z 1和 Z 2具有某种对称性，则可通过Z 1和 Z 2的代换，把要证的问题转化成已解决的问题。

例1、已知z z 1+=1 ，求 z 的最大值和最小值。

分析：由1=zz 1+ ≥ z －z 1得 z 2 －z －1≤0 ，即 0<z ≤251+ . 作代换z w 1= ,代入已知条件得w w 1+=1 由于z z 1+=1 时, z ≤251+故有 w ≤251+ 即有z 1≤251+ , 解得z ≥251+-，因此，z 的最大值为251+ ，最小值为251+- . 二、三角法若已知复数Z 的模或其辐角，求另外一个含Z 的复数的模，则可用三角法求其最值。

例2、（2003年全国高考文科18题）已知复数Z 的辐角为60o ，且1-z 是 z 和2-z 的等比中项，求z. 解：设z=r(cos60o ＋isin60o ) ，则复数Z 的实部为2r , z z +∴= r , z z = r 2 由题设 1-z 2 =z ·2-z ，即)2)(2()1)(1(-+=--z z z z z整理得: r 2＋2r －1=0解得 r=2－1, r=－2－1, （不合题意，舍去）所以z =2－1 .例3、设复数z =1 , 求12+-z z 的最值 .分析：设z=cos θ＋ isin θ ，则1cos 2)sin 2(sin )cos cos 2()2sin 2(sin )cos cos 2()sin 2(sin )cos 12(cos 1sin cos 2sin 2cos 122222-=-+-=-+-=-+-+=+--+=+-θθθθθθθθθθθθθθθθθi i i i z z 所以当cos θ=－1 时，1cos 2-θ 取得最大值3;当cos θ=21 时，1cos 2-θ 取得最小值0 .三、不等式法例4、已知z =3 ，求i z 31+- 的最值分析：由212121z z z z z z +≤+≤- 得iz i z i z 313131-+≤+-≤-- 故知 1≤i z 31+-≤5 所以，i z 31+-的最大值是5 ，最小值是 1 . 四、几何法利用复数的几何意义，转化为几何问题求解。

复数模最值问题的几种解法

复数模最值问题的几种解法摘要：求复数模的最值问题，是一类较好的综合题，设及代数、几何、三角诸方面的知识，且方法灵活多样。

关键词：复数模；最值；问题；解法求复数模的最值问题，是一类较好的综合题，涉及代数、几何、三角诸方面的知识，且方法灵活多样，现将几种方法归纳介绍如下：1利用代数函数求最值设z=x+yi(x、y∈R)直接代入所要求的式子中去，把所要求的模用S、Y函数表示出来，转化为函数最值问题。

例1：已知复数z满足|z-(2+i | + | z-2-i |=4。

求d=|z|的最大值和最小值。

解：设z=x+yi(x、y∈R)∵|z-(2+i | + | z-2-i |= 4∴x,y满足方程(x-2)2 + y2/4 =1 (1)∵d= |z| + | x+yi | = max∴d2=x2+y2。

…………………由（1）式得y2=4[1-(x-2)2]则d2= x2+4[1-(x-2)2]=-3(x-8/3)2 +28/3由（1）式知-1≤x-2 ≤1即1≤x≤3录x=1时即当z=1时dmin=|z|min=1当x=8/3,y=±2/3时，即z=8/3±2/3i时dmax=|z|max==/32利用三角函数求最值利用复数的三角函数形式，可以把复数模最值问题转化为与三角函数有关的最值问题例2：设z满足|z-(2+2i)|=,求|z|的最大值和最小值。

解：设z=r（comθ+isinθ）由条件得（r comθ-2）2+ (r sinθ-2)2 =2即r2-4r(comθ+sinθ)+6=0∵r≠0 ∴sin(θ+π/4)=(r2+6) /4r又∵r>0, θ要又解必须有（r2+6）/4r ≤1即r2-4+6≤0解之得：≤r≤3∴|z|max=3;|z|=3利用| |z1| - |z2| |≤| z1+z2 |≤| z1|+| z2|求最值例3：已知复数z满足|z|=2,求| 1+i+z |的最值。

复数的模值计算公式

复数的模值计算公式好的，以下是为您生成的关于“复数的模值计算公式”的文章：咱们先来说说复数这个神奇的家伙。

在数学的世界里，复数就像是一个拥有双重身份的神秘角色。

复数通常可以写成 a + bi 的形式，这里的 a 和 b 都是实数，i 呢，则是那个神奇的虚数单位，满足 i² = -1 。

而复数的模值，简单来说，就是这个复数在坐标系里的长度。

它的计算公式就像是一把神奇的尺子，能准确地量出复数的大小。

比如说，有个复数 3 + 4i ，那它的模值怎么算呢？这时候公式就派上用场啦，就是√(a² + b²) 。

所以这个复数的模值就是√(3² + 4²) = 5 。

我记得之前在给学生们讲这部分内容的时候，有个小同学瞪着大眼睛，一脸疑惑地问我：“老师，这复数的模值到底有啥用啊？”我笑着跟他说：“你想想看啊，咱们生活中不是有很多方向和大小都要考虑的事儿吗？比如说你在操场上跑步，不仅有向前跑的距离，还有偏离直线的角度，这复数的模值就能帮咱们把这种情况给弄清楚。

”小同学似懂非懂地点点头。

在解决实际问题的时候，复数的模值计算公式那可是大有用处。

比如说在物理学中的交流电研究中，电流和电压常常要用复数来表示，这时候模值就能告诉我们它们的大小。

还有在工程学里，涉及到信号处理和控制系统的时候，复数的模值也是个重要的工具。

再举个例子，假如有个电路，其中的阻抗可以用复数 Z = 5 + 12i 欧姆来表示。

那通过模值计算公式，就能算出这个阻抗的大小，也就是√(5² + 12²) = 13 欧姆。

这样工程师们就能更好地设计电路，保证设备正常运行啦。

学习复数的模值计算公式，就像是掌握了一把打开神秘数学大门的钥匙。

虽然一开始可能会觉得有点绕，但只要多琢磨琢磨，多做几道题，你就会发现其中的乐趣。

而且啊，这可不仅仅是为了应付考试，以后在大学的很多专业里，比如电子信息工程、通信工程等等，都会经常用到复数和它的模值计算。

复数模的最值求法

复数模的最值求法根据不同的题设条件，选择不同的求复数模的最值的方法，从而简捷地解决问题，这是我们求复数模的最值时应当树立的正确意识.解复数问题的最常规的方法是设出相关复数的代数形式，将复数问题转化为实数问题来求解，求复数模的最值也不例外，但这里介绍几种特殊的方法.若已知复数z的模或辐角，则可设出其三角形式.例1 已知复数z对应的向量OZ（O为坐标原点）与x轴正半轴的夹角为60°，且|z-1|是|z|和|z-2|的等比中项，求|z|的值.解析由题意，可设z=r(cos60°+isin60°)（r∈R且r＞0），则|z|=r 且z的实部为r/2,由题设，可知|z-1|2=|z||z-2|，整理得r2+2r-1=0，解得r=√2-1或-√2-1（不合题意，舍去），所以|z|=√2-1.例2 设z∈C且|z|=1,求|z2-z+1|的最值.解析可设z=cosθ+isinθ，则|z2-z+1|=|cos2θ+isin2θ-cosθ-isinθ+1|=|(cos2θ+1-cosθ)+i(sin2θ-sinθ)|=|(2cos2-cosθ)+i(sin2θ-sinθ)|=(2cos2θ-cosθ)2+(sin2θ-sinθ)2=|2cosθ-1|，所以当cosθ=-1时，|z2-z+1|取得最大值3;当cosθ=1/2时，|z2-z+1|取得最小值0.例2：已知，z∈C且|z|=1，求μ=|z+2+2i|的最大值和最小值。

解法一（代数法——复数问题实数化）依题意，令z=a+bi（a，b∈R），其中a2+b2=1，则μ2=|(a+2)+(b+2)i|2=(a+2)2+(b+2)2=a2+b2+8+4(a+b)=9+4(a+b), 但2ab≤a2+b2=1所以(a+b)2= a2+b2+2ab≤2,-≤a+b≤,故μ2max=9+4，μ2min=9-4，从而μmax=2+1，μmin=2-1.解法二（三角法——利用复数的三角形式）依题意，令z=cosα+isinα，则μ2=|(cosα+2)+(sinα+2)i|2=(cosα+2)2+(sinα+2)2=cos2α+sin2α+4(cosα+sinα)+8=9+4sin(α+φ)故μ2max=9+4，μ2min=9-4，从而μmax=2+1，μmin=2-1.解法三（几何法——利用模的几何意义）由|z|=1知复数z所对应的点Z在以原点为圆心、1长为半径的圆上，μ=|z+2+2i|=|z-（-2-2i）| 在复平面内表示定点R（-2，-2）到点Z的距离，由右图很容易看出μmax=|PR|=|RO|+1=2+1μmin=|QR|=|RO|-1=2-1解法四（绝对值不等式法——利用不等式||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|）μ=|z+2+2i|=|z+(2+2i)| ≤|z|+|2+2i|= 2+1又μ=|z+2+2i|=|z+(2+2i)|≥||z|-|2+2i||=2-1故μmax=|PR|=|RO|+1=2+1，μmin=|QR|=|RO|-1=2-1解法五（模平方法——利用模的性质|z|2=）μ2=（z+2+2i）（）=，由知故μ2==9+，依题意，令，其中则μ2=9+4x+4y=9+4（x+y），由2xy≤，得≤2，-≤x+y≤故μ2max=9+4，μ2min=9-4，从而μmax=2+1，μmin=2-1.由以上诸法我们可以看到，对于此类题目，三角法、几何法与绝对值不等式法都是对之进行求解的常用方法，但代数法的适用范围往往更为广泛，是解决复数问题更为一般的方法，希望同学们能够具体题目具体对待，寻找最佳的解题方法，以期正确、快速、简洁地对问题加以解答。

高考数学复习典型题型专题讲解与练习97 利用复数几何意义求与模有关的最值问题

高考数学复习典型题型专题讲解与练习专题97 利用复数几何意义求与模有关的最值问题一、复数的几何意义每个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数与它对应.复数集C中的数与复平面内的点建立了一一对应的关系，复数z=a+bi在复平面内的对应点Z(a,b)二、复数模的几何意义⃗⃗⃗⃗⃗ 的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|，1、向量OZ即|z|=|a+bi|=√a2+b2，其中a、b∈R|z|表示复平面内的点Z(a,b)到原点的距离；2、|z1−z2|的几何意义：复平面中点Z1与点Z2间的距离，如右图所示。

示例：|z+(1+2i)|表示：点Z到点(−1,−2)的距离小结：复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若z=x+yi，则|z−(a+bi)|表示复平面内点(x,y)与点(a,b)之间的距离，则|z−(a+bi)|=r表示以(a,b)为圆心，以r为半径的圆上的点.三、圆外一点到圆上一点的距离最值问题如图所示，点P 在圆O 上运动，在圆上找一点P 使得PA 最小（大）如图，当P 为OA 连线与圆O 交点时，PA 最小，最小为OA −r ；当P 在AO 延长线与圆O 交点P ′时，PA 最大，最大为OA +r题型一与复数有关的轨迹（图形）【例1】已知复数z 1＝3＋i ，z 2＝－12＋32i. 设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？【答案】以O 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示．【解析】|z 2|≤|z |≤|z 1|及(1)知1≤|z |≤2.因为|z |的几何意义就是复数z 对应的点到原点的距离，所以|z |≥1表示|z |＝1所表示的圆外部所有点组成的集合，|z |≤2表示|z |＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是:以O 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示．【变式1-1】已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹为( )A ．一个圆B ．线段C ．两点D ．两个圆【答案】A【解析】∵|z |2－2|z |－3＝0，∴(|z |－3)(|z |＋1)＝0，∴|z |＝3，表示一个圆．故选A.【变式1-2】若复数z 满足|z －i|≤2(i 为虚数单位)，则z 在复平面内所对应的图形的面积为________．【答案】2π【解析】设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则由|z －i|≤ 2可得 x 2＋(y －1)2≤2，即x 2＋(y －1)2≤2，它表示以点(0,1)为圆心，2为半径的圆及其内部，所以z 在复平面内所对应的图形的面积为2π.【变式1-3】（多选）|(3+2i )−(1+i)|表示( )A ．点()3,2与点()1,1之间的距离B ．点()3,2与点()1,1--之间的距离C ．点()2,1到原点的距离D ．坐标为()2,1--的向量的模【答案】ACD【解析】由复数的几何意义,知复数32i +,1i +分别对应复平面内的点()3,2与点()1,1,所以()()321i i +-+表示点()3,2与点()1,1之间的距离,故A 说法正确,B 说法错误；()()3212i i i +-+=+,2i +可表示点()2,1到原点的距离,故C 说法正确；()()()()3211322i i i i i +-+=+-+=--,2i --可表示表示点()2,1--到原点的距离,即坐标为()2,1--的向量的模,故D 说法正确.【变式1-4】满足条件|z －2i|＋|z ＋1|＝5的点的轨迹是( )A ．椭圆B ．直线C ．线段D ．圆【答案】C.【解析】|z －2i|＋|z ＋1|＝5表示动点Z 到两定点(0，2)与(－1，0)的距离之和为常数5，又点(0，2)与(－1，0)之间的距离为5，所以动点的轨迹为以两定点(0，2)与(－1，0)为端点的线段．【变式1-5】在复平面内，已知定点M 与复数m =1+2i ，那个点Z 与复数z =x +yi ，问：满足不等式|z −m |≤2的点Z 的集合是什么图形？【答案】以(1,2)为圆心，半径为2的圆及圆的内部【解析】不等式|z −m |≤2即|(x +yi )−(1+2i)|≤2，根据复数的几何意义可得：点(x,y)到点(1,2)的距离小于等于2所以点Z 的集合表示以(1,2)为圆心，半径为2的圆及圆的内部题型二模长最值问题【例2】已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为（）A ．1B ．2C ． 5D ．3【答案】D【解析】∵|z |＝2，∴复数z 对应的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，而|z －i|表示圆上一点到点(0,1)的距离，∴|z －i|的最大值为圆上点(0，－2)到点(0,1)的距离，易知此距离为3，故选D ．【变式2-1】已知复数z 的模为1，则2z +的最大值为__________.【答案】3【解析】设(),z x y =，复数复数z 的模为1，表示以原点O 为原点，1为半径的圆，∴()22z x yi +=++=，即表示的是圆上的点(),x y 到点()2,0P -的距离，因此2z +的最大值为213OP R +=+=，【变式2-2】已知|z |＝2，求|z ＋1＋3i|的最大值和最小值．【答案】最大值为4，最小值为0【解析】设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则由|z |＝2知x 2＋y 2＝4，故z 对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，又|z ＋1＋3i|表示点(x ，y )到点(－1，－3)的距离．又因为点(－1，－3)在圆x 2＋y 2＝4上，所以圆上的点到点(－1，－3)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4，即|z ＋1＋3i|的最大值和最小值分别为4和0.【变式2-3】已知复数z ，且|z|＝1，则|z+3+4i|的最小值是________．【答案】4【解析】方法一：∵复数z 满足|z|＝1，∴|z+3+4i|≥|3+4i|﹣|z|＝5﹣1＝4，∴|z+3+4i|的最小值是4．方法二：复数z 满足|z|＝1，点z 表示以原点为圆心、1为半径的圆．则|z+3+4i|表示z 点对应的复数与点（﹣3，﹣4）之间的距离，圆心O 到点（﹣3，﹣4）之间的距离d ==5，∴|z+3+4i|的最小值为5﹣1＝4，【变式2-4】若z C ∈，且4z =，则1z i +-的取值范围是________.【答案】[44-+【解析】因为z C ∈，所以设(,)z x yi x y R =+∈因为4z =，所以2216x y +=，复数z 在复平面对应点的轨迹是以原点为圆心半径为4的圆O. 式子1z i +-的几何意义是：圆上任意一点(,)x y 到(1,1)-的距离,圆心O 到(1,1)-2,由圆的几何性质可知：圆上任意一点(,)x y 到(1,1)-的距离的最大值为42最小值为42, 因此1z i +-的取值范围是[42,42]-+.【变式2-5】已知复数z 满足等式1i 1z --=，则3z -的最大值为______ 51【解析】|z ﹣1﹣i |＝1的几何意义为复平面内动点到定点(1,1)距离为1的点的轨迹，如图：|z ﹣3|可以看作圆上的点到点(3,0)的距离.由图可知，|z ﹣3|22(31)(01)151-+-=．【变式2-6】若复数z 满足|z ＋3＋i|≤1，求|z |的最大值和最小值．【答案】最大值为3，最小值为1【解析】根据复数的几何意义可知|z ＋3＋i|≤1表示以(−√3,−1)为圆心，1为半径的圆上及圆内如图所示，2|OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(−√3)2+(−1)2=2. 由圆的几何性质可知：|z |max ＝2＋1＝3，|z |min ＝2－1＝1.【变式2-7】若z C ∈且342z i ++≤，则z 的取值范围为__________．【答案】[]3,7 【解析】342z i ++≤的几何意义为：复平面内动点Z 到定点()3,4A --的距离小于等于2的点的集合，z 表示复平面内动点Z 到原点的距离， ∵22||(3)(4)5OA =-+-=，5252z ∴-≤≤+. ∴z 的取值范围为[]3,7．【变式2-8】若cos sin z i θθ=+(R i θ∈，是虚数单位)，则22z i --的最小值是（） A.22C.221D.221【答案】D【解析】由复数的几何意义可知：cos sin z i θθ=+表示的点在单位圆上，而|z −2−2i|表示该单位圆上的点到复数22i +表示的点Z 的距离，由图象可知：22z i --的最小值应为点A 到Z 的距离，而22222OZ =+=，圆的半径为1，故22z i --的最小值为221，。

复数模的求法

复数模的求法复数的模是用来度量复数的长度的概念，它类似于实数的绝对值。

在复平面中，复数表示为一个有序对(a, b)，其中a为实部，b为虚部。

复数的模表示为|a+bi|，即模是复数所在位置到原点的距离。

有几种方法可以计算复数的模。

下面将介绍三种常用的方法。

1. 使用勾股定理：利用直角三角形的勾股定理，可以计算出复数的模。

假设复数为 z = a+bi，则复数的模可以表示为 |z| =sqrt(a^2 + b^2)。

2. 使用共轭：复数的共轭表示将虚部取相反数，即对于复数 z = a+bi，其共轭为 z* = a-bi。

复数与其共轭之间的关系是 |z| = sqrt(z * z*)。

3. 直接计算：对于实部和虚部都是实数的复数，可以直接计算模。

例如，对于复数 z = 2+3i，其模可以使用绝对值的定义来计算，即 |z| = sqrt(2^2 + 3^2) = sqrt(13)。

其实，上述方法的本质都是在计算复数和它的共轭的乘积的平方根。

因此，可以总结出一个通用的计算复数模的公式。

设复数为 z = a+bi，则复数的模可以表示为 |z| = sqrt(z * z*)。

实际应用中，复数的模可以用来计算复数的距离、幅角等信息。

在电力工程中，复数的模可以用来计算交流电的电压或电流大小，而幅角可以用来表示电压或电流的相位差。

在信号处理和通信中，复数的模被用来表示信号的幅度，而幅角则表示信号的相位。

总之，在计算复数的模时，可以使用数学上的定理和公式，例如勾股定理、共轭和绝对值的定义。

这些方法可以帮助我们计算复数的长度，并且在各种应用领域中起到重要的作用。

重难点07巧妙借助复数的几何意义求与模有关的范围与最值问题(三大题型)(课件)

①式平方得 26 + 2 169 − 144cos 2 ，
由于cos 2 ∈ 0,1 ，所以169 − 144cos 2 ∈ 25,169 ，
所以 169 − 144cos 2 ∈ 5,13 ，所以 26 + 2 169 − 144cos 2 ∈ 36,52 ，
所以 13 − 12cos + 13 + 12cos ∈ 6,2 13 ．
则 − 2 + + 2 + + 2i 的最小值为（）
A．2 3 − 2
B．2 3 + 2
C． 3 − 1
D． 3 + 1
【答案】B
【解析】设 = + i ( , ∈ R)，
则 − 2 + + 2 + + 2i 表示点 ( , )到△ 三顶点(−2,0)、 (2,0)、 (0, −2)的距离之和．
最小值．
【解析】因为 + 4 − 3i − 2 = 2 − + 4 − 3i ，
所以 + 4 − 3i ≤ 2；
因为 + 4 − 3i ≥ − 4 − 3i = − 5
所以 − 5 ≤ 2，
解得3 ≤ ≤ 7；
所以的最大值为7，最小值为3．
典型例题
题型一：单模长最值问题
| − 1 + 2i|的最小值即| |的最小值是| | − 2 = 3．
典型例题
题型一：单模长最值问题
【变式1-2】（2024·广东中山·高二中山一中校考）已知复数满足 = 1，则 − 1 − i 的最小值为
______．
【答案】 2 − 1

复数的模运算法则 -回复

复数的模运算法则-回复复数的模运算法则，是指在复数集合中，对复数的模进行运算时所遵循的法则。

复数的模是指复数与原点之间的距离，可以用数轴上的长度来表示。

本文将解释复数的模的概念以及模运算的法则，并通过一些具体的例子来说明。

首先，我们需要了解复数的模的定义。

对于一个复数z，它可以表示为z = a + bi，其中a和b是实数部分，i是虚数单位。

复数的模用z 表示，计算公式如下：z = sqrt(a^2 + b^2)这个公式实际上就是复平面上点z到原点的距离。

由此可见，复数的模总是非负的，并且当且仅当复数为零时，其模为零。

接下来我们来讨论复数的模运算法则。

复数的模运算法则包括加法、减法、乘法和除法四种运算。

1. 加法规则：模的加法规则可以表示为z1 + z2 <= z1 +z2 ，这个不等式表示了两个复数的模相加的结果不会超过两个模的和。

2. 减法规则：模的减法规则可以表示为z1 - z2 >= z1 -z2 ，这个不等式表示了两个复数的模相减的结果不会小于两个模的差。

3. 乘法规则：模的乘法规则可以表示为z1 * z2 = z1 * z2 ，这个等式表示了两个复数的模相乘的结果等于两个模的乘积。

4. 除法规则：模的除法规则可以表示为z1 / z2 = z1 / z2 ，这个等式表示了两个复数的模相除的结果等于两个模的比值。

这些模运算法则可以用来进行复数的模运算，从而简化复杂的计算过程。

下面我们通过一些具体的例子来说明这些运算法则的应用。

例子1：计算复数的模给定复数z = 3 + 4i，我们可以计算它的模如下：z = sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5所以复数z = 3 + 4i的模为5。

例子2：使用模运算法则进行运算给定两个复数z1 = 2 + 3i和z2 = 4 - 2i，我们来计算它们的模相加和模相乘的结果。

模相加：z1 + z2 = (2 + 3i) + (4 - 2i) = 6 + i = sqrt(6^2 + 1^2) = sqrt(36 + 1) = sqrt(37)模相乘：z1 * z2 = (2 + 3i) * (4 - 2i) = 8 + 12i - 4i - 6i^2 = 8 + 8i - 6(-1) = 8 + 8i + 6 = 14 + 8i = sqrt(14^2 + 8^2) = sqrt(196 + 64) = sqrt(260)通过上述例子的计算，我们可以验证复数的模运算法则在实际应用中的有效性。

复数的模运算法则 -回复

复数的模运算法则-回复复数的模运算法则是指当我们进行复数的模运算时，有一些规则可以帮助我们简化运算过程。

本文将详细介绍复数的模运算法则，并且逐步回答相关问题。

1. 什么是复数的模？复数是由实部和虚部组成的数，用a+bi的形式表示，其中a是实部，b 是虚部，i是虚数单位，i^2=-1。

复数的模表示该复数到原点的距离，可以理解为复平面上的向量的长度。

2. 如何求复数的模？求复数的模可使用勾股定理，即模的平方等于实部的平方加虚部的平方的和再开根号。

记复数z=a+bi，则其模z 可表示为：z = √(a^2 + b^2)。

3. 复数的模是否满足非负性？为什么？是的，复数的模始终是非负的。

根据开根号的定义，开根号的结果必须是非负的。

而复数的模就是开根号的结果，因此复数的模必定是非负的。

4. 复数的模是否满足三角不等式？为什么？是的，复数的模满足三角不等式。

三角不等式是指对于任意两个复数z和w，有z + w ≤z + w 。

我们可以通过以下步骤证明：（1）设z = a + bi，w = c + di，其中a、b、c、d为实数。

（2）z + w = (a + c) + (b + d)i （根据复数的加法运算）（3）= √((a + c)^2 + (b + d)^2) （根据复数的模定义）（4）≤√(a^2 + c^2 + 2ac + b^2 + d^2 + 2bd) （根据二次项平方展开）（5）= √(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ac + 2bd)（6）= √(a^2 + b^2) + √(c^2 + d^2) + √(2ac + 2bd) （根据平方差公式）（7）= z + w + √(2ac + 2bd)（8）≤z + w + 2√( ac + bd ) （根据算术平均-几何平均不等式）（9）≤z + w + 2√( a ^2 + c ^2 + b ^2 + d ^2) （因为ac和bd是实数，所以可将其模转变为绝对值）（10）= z + w + 2√(a^2 + c^2 + b^2 + d^2) （根据模的定义）（11）= z + w + 2√((a^2 + b^2) + (c^2 + d^2))（12）= z + w + 2 z + 2 w（13）= 3 z + 3 w综上所述，可以得到z + w ≤z + w 。

复数模的求法

复数模的求法复数模，也称为复数的绝对值或复数的模长，是一个复数与原点之间的距离。

它表示了一个复数与原点的距离与实部和虚部的关系。

复数的模定义为复数的平方与实部平方与虚部平方之和的平方根。

设z=a+bi是一个复数，其中a是实部，b是虚部。

复数z的模表示为|z|，可以用以下公式计算：|z|=√(a²+b²)下面是一些与复数模的计算和性质相关的参考内容：1. 实部与虚部复数的实部是指复数的实数部分，用Re(z)表示；复数的虚部是指复数的虚数部分，用Im(z)表示。

对于复数z=a+bi，实部为a，虚部为b。

实部和虚部的平方和的平方根等于复数的模。

2. 直角坐标系和极坐标系复数可以表示为直角坐标系中的一个点，也可以表示为极坐标系中的一个点。

对于直角坐标系，复数z=a+bi可以表示为平面上的一个点(x,y)，其中x=a，y=b。

对于极坐标系，复数可以表示为原点到该点的距离和该点与正实轴的角度。

3. 欧拉公式欧拉公式是一个与复数模有关的重要公式。

它表示为e^(ix)=cos(x)+isin(x)，其中e是自然对数的底数，i是虚数单位，cos和sin分别是余弦和正弦函数。

根据欧拉公式，复数可以表示为模长与一个与正实轴的角度有关的指数。

4. 矩形和极坐标形式之间的转换复数可以在矩形和极坐标形式之间进行转换。

对于给定的复数z=a+bi，它的模长可以计算为|z|=√(a²+b²)，它的角度可以计算为θ=arctan(b/a)。

而对于给定的复数的模长和角度|r|和θ，复数可以表示为z=r(cosθ+isinθ)。

5. 复数的运算复数的加法和减法可以直接对应实部和虚部的运算。

而复数的乘法和除法可以通过扩展公式来计算，其中需要使用到复数的模和角度的运算。

6. 复数的共轭对于一个复数z=a+bi，它的共轭复数表示为z*=a-bi。

共轭复数具有相同的实部，但虚部的符号相反。

共轭复数的模与原复数相等。

复数模最值求法的探究

复数模最值求法的探究申!平!昭通师范高等专科学校附属中学"!云南!昭通!!"#$$$#!摘!要"!用举例的方法探究!归纳复数模最值求法的常用数学思想和方法%!关键词"!复数模"!最值"!代数法"!图像法"!三角法"!性质法!中图分类号"I !))%!(!文献标识码"*!文章编号"’$$+,-)((#($$!$$",$$!),$.收稿日期%($$!,$),’)作者简介%申平#’-!.$!%&男&云南镇雄人&中学高级教师&主要从事中学数学教育教学研究%解题思想和方法的探究是每个数学教师必做的研究工作"认真研究解题方法可以提高教师的解题能力和解题技巧%在解题过程中充分体现了数学的科学性和逻辑性"也体现了数学思想和数学基础知识的应用"同时也体现了综合应用知识的能力%复数的模"无论是在应用上还是在理论上都是一个重要的概念%复数模最值的求法是中学数学教学的重点和难点%究其原因"首先求法中涉及的知识面广"运算多"技巧性强$其次"求法中体现了许多数学思想和方法"对巩固学生的基础知识"提高解题的技能%技巧有极大的辅助作用%通过复数模最值的寻求"能加强学生对换元%数形结合%化归%构造等许多数学思想和方法的认识和训练"也为进一步学习与复数模的最值有关的数学高等知识打下坚实的基础%本文将用举例的方式探究%归纳复数模最值求法的常用数学思想方法%!!代数法运用题目所给的已知条件"将所求复数模最值问题转化为求函数的最值问题"再利用代数知识"二次函数知识"代数的均值不等式等求解%例’!已知9$’&4J 且;9;’:("O $’%J &9"求;O ;的变化范围#解&由9$’&4J 且;9;’:(得&%’’4’’"因O $’%J &9$’%J &’&4J $(&!4%’#J "故;O ;$((&!4%’#:("由%’’4’’得.’((&!4%’#(’+"故(’;O ;’:((#即;O ;的变化范围是’(":(((#例(!证明对于任意实数D "复数9$;A 2C D :;&J n C J 8D :;的模H $;9;适合H ’.:(#解&令9$5&4J !5"4#E #"则5$;A 2C D :;"4$;C J 8D :;"故5.&4.$’$5"4#’$"’(#又因H .$!5(&4(#(’(!5.&4.#$("故H ’.:(#))!)第(+卷!第"期123%(+42%"昭通师范高等专科学校学报52678932:;<92=28>?@9A <@7B CD 233@>@($$!年’$月&A =%($$!"!图像法根据题中所给的代数式!利用化归思想进行化简后作出图形或直接作出图形!利用数形结合的思想图’!例’解法示意方法来求解复数模的最值#例)!如果复数9满足;9&J ;&;9%J ;$(!求;9&J &’;的最小值#解";9%9$;的几何意义是复平面上点9与点9$之间的距离#由题中所给条件知9点在以9’$%J 和9($J 为端点的线段上#如图’#;9&J &’;为点9与点9)$%’%J 之间的距离#显然!当9$9’时此距离取得最小值’#即;9&J &’;N J 8$’#例.!已知9#F !且9<9&J 9%J <9’$!求;9&J &’;的最大值#解"9<9&J 9%J <9’$可化为#9%J $#9%J $’’!即;9%J ;(’’!故;9%J ;’’#从而9点在以复数J 表示的(点为圆心以’为半径的包含圆周的圆盘上#如图图(!例.示意图(所示#;9&J &’;为圆盘上的点9到%’%J 表示的’点之间的距离!此距离当9点为直线(’与圆周的两个交点时分别取得最大值和最小值!故;9&J &’;N 9W $;’(;&;(+;$:"&’#此题也可应用变换方法!设O $9&’&J !则9$O %’%J !由;9%J ;’’得;O %#’&(J $;’’!即O 点在以点’&(J 为圆心半径为’的含圆周的圆盘上!从而求得;O ;的最大值#K !三角法将所给最值问题转化为三角函数的同名函数!再利用三角函数和代数法求复数模的最值#例"!已知9$A 2C "&J C J 8"!#$’"((!$!O $’%J &9(!求;O ;的变化范围#解"由9$A 2C "&J C J 8"得O $’%J &A 2C ("&J C J 8("$#’&A 2C ("$%#’%C J 8("$J !;O ;$#’&A 2C ("$(&#’%C J 8("$:($)%(#C J 8("%A 2C (":$$)%:((C J 8#("%!%.:$!!!因为%’’C J 8#("%!%.$’’!所以)%::((’;O ;’)&::((!即:(%’’;O 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2C =O 936@2:A 2N M3@WN 2P 636C %8,9:$-&)#A 2N M 3@WN 2P 636C ’=<@N 2C =O 936@’93>@S 79J AN @=<2P ’M J A =67@N @=<2P ’=7J >282N @=7K ’Y 693J =K N @=<2P )!!)第(+卷昭通师范高等专科学校学报($$!年%总第’$+期&复数模最值求法的探究作者：申平， SHEN Ping作者单位：昭通师范高等专科学校,附属中学,云南,昭通,657000刊名：昭通师范高等专科学校学报英文刊名：JOURNAL OF ZHAOTONG TEACHER'S COLLEGE年，卷(期)：2006，28(5)被引用次数：0次1.钟玉泉复变函数 19982.陈利国复数 19843.常庚哲.伍润生复数与几何 19794.程其坚怎样用复数解题 19825.刘国材最新十年高考试题分类解析 19991.期刊论文刘娇英复数模最值问题的几种解法-农业科技与信息2008,""(10)求复数模的最值问题,是一类较好的综合题,设及代数、几何、三角诸方面的知识,且方法灵活多样.2.期刊论文祁福元复数模的最值的几种求法-上海中学数学2002,""(5)复数有代数、三角、向量三种表示法,而且性质较丰富,因此,模的最值的求法形式多样、方法灵活.本文举例介绍几种方法.3.期刊论文马多濂怎样求复数辐角主值的最值-中学数学月刊2002,""(11)涉及复数模与辐角主值最值的问题是高考考点之一.本文就求复数辐角主值最值的几种方法举例说明.4.期刊论文邓光发求复数辐角主值最值的四种方法-河北理科教学研究2001,""(4)本文以实例来说明求复数辐角主值最值的四种常用方法,供读者参考.1 三角法先利用复数的三角式z=r(cosθ+isinθ)(r＞0,0≤θ＜2π)及其它,把复数模化成三角函数形式或把复数转化成构造相关三角函数,再用三角知识推理、计算出所求辐角主值的最值.三角法的实质是把复数问题化成三角问题求解.5.期刊论文牛霖复数加减法几何意义新说-数学教学研究2002,""(2)众所周知,复数加法、减法满足平行四边形法则(或三角形法则),这一几何意义在复数模长的计算中能够较好的与三角形中的正弦定理、余弦定理联系在一起,进而将复数问题转化成三角问题或几何问题得以解决.但是在解决有关复数辐角或与辐角有关的复数加法问题、模长的最值问题时,就显得有些力不从心.为此笔者以点的平移观点来解释复数加减法的几何意义,利用这一几何意义在解决上述有关问题时显得灵活自如.本文链接：/Periodical_ztsfgdzkxxxb200605019.aspx授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：9bdcec4a-1935-43eb-8edf-9dc80152541e下载时间：2010年8月4日。

复数的模运算法则

复数的模运算法则要理解复数的模运算法则，首先需要了解什么是复数。

复数是数学中的一种数形结合，通常表示为a+bi的形式，其中a和b分别是实数，而i是虚数单位，满足i^2=-1。

复数是一个二元组，包含实数和虚数部分。

复数的模（或绝对值）表示复数与原点的距离，可以用数学符号表示为|z|，其中z是一个复数。

对于一个复数a+bi，它的模等于该复数到原点的距离，可以用勾股定理计算，即√(a^2+b^2)。

在进行复数的模运算时，可以应用以下几个法则：1.模的非负性：复数的模永远是非负的。

根据勾股定理，一个复数的模等于其实部分和虚部分的平方和的平方根，因此其值始终大于等于0。

2.数乘法则：对于一个复数z和一个实数k，其模的运算规则为|kz|=|k||z|，即一个复数与一个实数相乘后，它们的模等于这个实数的绝对值与这个复数的模的乘积。

3.加法运算法则：对于两个复数z1=a+bi和z2=c+di，其模的运算规则为|z1+z2|≤ |z1| + |z2|，即两个复数的和的模小于等于这两个复数的模的和。

这个规则可以通过三角形的几何直观理解，即一个三角形的两条边之和大于第三条边。

4.乘法运算法则：对于两个复数z1=a+bi和z2=c+di，其模的运算规则为|z1z2|=|z1||z2|，即两个复数的乘积的模等于这两个复数的模的乘积。

这个规则可以通过复数的极坐标表示来证明。

根据极坐标表示，一个复数z的模等于它的半径，而复数的乘法相当于对应的半径相乘，因此两个复数的乘积的模等于两个复数的模的乘积。

5.除法运算法则：对于两个非零复数z1=a+bi和z2=c+di，其模的运算规则为|z1/z2|=|z1|/|z2|，即两个非零复数的商的模等于这两个复数的模的商。

同样地，这个规则也可以通过复数的极坐标表示来证明。

这些模运算法则对于解决复数的相关问题非常有用。

例如，可以应用这些法则来简化复数的表达式、计算复数的模、比较复数的大小等。

复数的模计算公式

复数的模计算公式复数的模计算公式是一种可以将复数表示为实数的计算方法。

在数学中，复数就是由实部和虚部构成的数，它的实部和虚部的乘积叫做共轭复数，它可以用极坐标来表示。

复数的模计算公式，就是根据这种极坐标的表示法，来计算复数的模。

首先要明确，复数的模是由实部和虚部综合而成的，即使实部或虚部是零也不影响复数的模，只要实部和虚部是有意义的，复数的模可以确定。

用极坐标的方法表示复数的形式如：z=a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。

根据上面的公式，我们可以将复数表示为：z=r(cosθ+isinθ)。

其中r代表模，θ代表角度，并且r可以用以下方式求得：r=√(a^2+b^2)，θ=tan^-1(b/a)我们可以看出，这个公式可以用来求出任意一个复数的模，只要把复数表示为a+bi形式，就可以通过以上公式来计算。

除了复数模计算公式，对于复数的求解，还有其他的计算方法。

类似的求解方法还有双曲线方法，圆锥体方法等，它们都能够实现复数的加减乘除等计算。

除此之外，复数的模计算公式也可以用来解决一些更重要的问题，比如复数的图像研究。

由于复数的实部和虚部可以通过复数模公式计算，我们就可以计算出图像点的坐标，从而研究复数的形状和特性。

同样，复数的模计算公式还可以用来研究复数的极限，复数函数的分析等问题，都是由于它可以精准地将复数转换为实数，使得计算变得更加容易。

可以看出，复数的模计算公式可以用来计算各种复数的模，是复数的一个重要的计算方式，在解决复数的各种问题时，也是一个必不可少的工具。

总之，复数的模计算公式是一种可以准确无误地计算复数模的方法，它可以用来解决许多复数相关的问题，也可以运用到图像分析中，以达到求解复数的目的。

求复数模最值的方法

求复数模最值的方法方法一：利用单调性求最值学习导数以后，为讨论函数的性质开发了前所未有的前景，这不只局限于基本初等函数，凡是由几个或多个基本初等函数加减乘除而得到的新函数都可以用导数作为工具讨论函数单调性，这需要熟练掌握求导公式及求导法则，以及函数单调性与导函数符号之间的关系，还有利用导数如何求得函数的极值与最值。

基准1 未知函数，当x∈[-2，2]时，函数f(x)的图象总在直线y=a-e2的上方，谋实数a的值域范围。

分析：此题属于恒成立问题，恒成立问题大都转化为最值问题。

求解：原问题等价于f(x)>a-e2恒设立，即x2+ex-xex>a-e2在[-2，2]上恒设立，即x2+ex-xex+e2>a在[-2，2]上恒设立。

令g(x)=x2+ex-xex+e2>a-e2，x∈[-2，2]，原问题等价于a 下面利用导数讨论g(x)的最小值，求导可得g'(x)=x(1-ex)。

当x∈[-2，0]时，g'(x)≤0，从而g(x)在[-2，0]上单调递增;当x∈(0，2]时，g'(x)<0可知g(x)在(0，2]上也单调递减。

所以g(x)在[-2，2]上单调递增，从而g(x)min=g(2)=2即a∈(-∞，2)评注：本题是求参数的取值范围问题，利用等价转化的思想可化为不等式恒成立问题，进而化为最值问题，再借助于导数讨论函数的单调性求出的最值。

其实高中阶段接触到的最值问题大都可以运用单调性法求得最值。

方法二：利用不等式谋最值掌握和灵活运用，│a│+│b│≥│a±b│≥││a│-│b││这一类型的基本不等式，在求一些函数最值问题时通常十分便捷，在解题时务必注意考虑利用不等式求最值的条件限制。

基准2 若x∈r，且0 分析：本题可以运用单调性法求最值，但是较麻烦，下面了解一种代莱方法。

解：。

由0 则，当且仅当，即时挑等号。

故当时，取得最小值9。

基准3 谋并使不等式│x-4│+│x-3│ 分析：此题若用探讨法，可以解，但过程较繁;用绝对值不等式的性质解却十分便利。

(整理版)复数题的求解策略与技巧

复数题的求解策略与技巧由于复数问题设计面广，解题方法灵活，因此，在解题时必须研究策略与技巧，以求做到选择捷径，避繁就简，合理解题．下面举例介绍解复数问题的常见策略与技巧．一、整体代入在涉及到假设干个量的求值时，不必把每个量都具体求出来，可以把它们当作整体来求，这样，就能防止由局部运算所带来的麻烦．例1 如虚数z 满足z 3= 8，求z 3＋z 2＋2z ＋2的值．解：∵z 3= 8，即z 3－23= 0，∴(z －2)( z 2＋2z ＋4) = 0，∵z 为虚数，∴z －2≠0，∴z 2＋2z ＋4 = 0，∴z 3＋z 2＋2z ＋2 = z 3＋(z 2＋2z ＋4)－2 = 8＋0－2 = 6．二、整体换元有些复数问题，注意其整体结构，可以采用整体换元，改变解题角度，这样能防止冗长的运算，使问题简化．例2 求同时满足以下两个条件的所有复数z ：⑴z ＋10z 是实数，且1＜z ＋10z≤6； ⑵ z 的实部和虚部都是整数．解：设z ＋10z =u ，那么z 2－u z ＋10 = 0，这是一个关于z 的实系数一元二次方程，由1＜u ≤6知，其判别式△=2u －40＜0，所以方程z 2－u z ＋10 = 0只有一对共轭虚根：z =2u ±2i ．又有条件⑵知，u 只能取2，6，经验证，易得所求复数为1±3i ，3±i ．三、引入参数通过引入参变量架起通向未知的桥梁，这样，把问题转化为对参变量的讨论．这种方法运用的巧妙，可以到达化难为易、化繁为简、化生为熟、化未知为的效果．例3 设z 为复数，假设(1)(2)i z i z --∈R ，求z 所对应的点的轨迹．解：令(1)(2)i z i z --= k (k ∈R)，当k ≠0时，设z = x ＋y i (x 、y ∈R)，那么(－x －y)＋(x －y)i =－ky ＋k(x －2)i ，由复数相等条件得：,(2).x y ky x y k x --=-⎧⎨-=-⎩⇒()x y x y -+-=2y x -- ⇒(x －1)2＋(y －1)2= 2．所以复数z 所对应的点的轨迹是以(1，1) 当k = 0时，复数z 所对应的点的轨迹是原点．四、化归实数将复数问题实数化，或将其转化为平面直角坐标系下的轨迹问题，就可降低解题难度，简化解题过程．例4 复数z 满足|z －3－5i | = 1，复数u 满足|u －1|＋|u －5| =求|z －u |的最值．解：椭圆|u －1|＋|u －5| =(3，0)，a = c = 2，b = 4，故椭圆的方程为22(3)12016x y -+=，对此方程参数化，令3,4sin .x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩ (θ为参数)点(3＋θ，4sin θ)到圆心(3，5)的距离为：当sin θ=－1时d 取得最大值9；当sin θ=1时d 取得最小值1，所以|z －u |的最大值为9＋1 = 10，最小值为1－1 = 0．。

复数模最值求法的探究

即ｌ．ｌ变化范围是［， √ ．０的７２２
例２证明对于任意实数ｔ复数一，
故ｚ＋Ｙ一１；ｚ，Ｙ∈ Ｅ，］ｏ１．
（＋Ｙ）一２，
＋ｉ／丌的模ｒｌｌ、『厂 — 适合ｒ ≤ ．
件知点在以一一ｉ。一ｉ和为端点的线段上．如图１＋ｉ１ｌ点与．１＋为点。＿＿１ｉ间的距离．显然，－之＿当 — 时此距离取得最小值１．即ｌ＋ｉ＋
１ｌｉ１一．
例４已知 ∈ Ｃ，历＋ｉ ≤ ０求ｌ＋ｉ１ｌ且ｚ—ｉ，＋的最大值．解：＋ｉ—ｉ０化为（历ｚ ≤ 可 —ｉ（－）１即ｌ — ｉ。１故ｌ — ｉ ≤ ） — —ｉ ≤ ， ≤ ，ｚＩｌ，１从而点在以复数ｉ．表示的Ａ点为圆心以１为半径的包含圆周的圆盘上．如图图１例１解法示意
复数的模，无论是在应用上还是在理论上都是一个重要的概念．复数模最值的求法是中学数学教学的重点和难点．究其原因，先求法中涉及的知识面广，首运算多，巧性强；次，法中体现了许多技其求数学思想和方法，对巩固学生的基础知识，高解题的技能、巧有极大的辅助作用．通过复数模最值提技
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第２８卷
昭通师范高等专科学校学报
２００６年（总第１８期）０