2.4等比数列

合集下载

2.4等比数列(基础)

2.4等比数列（基础）要点一、等比数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（0q ≠），即：1(0)n na q q a +=≠. 要点诠释：①由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q 可不能是0； ②“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数q ”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个；③隐含条件：任一项0n a ≠且0q ≠；“0n a ≠”是数列{}n a 成等比数列的必要非充分条件；④常数列都是等差数列，但不一定是等比数列；不为0的常数列是公比为1的等比数列； ⑤证明一个数列为等比数列，其依据*1(0)n na q n N q a +=∈≠，.利用这种形式来判定. 要点二、等比中项如果三个数a 、G 、b 成等比数列，那么称数G 为a 与b 的等比中项.其中G =。

要点诠释：①只有当a 与b 同号即0ab >时，a 与b 才有等比中项，且a 与b 有两个互为相反数的等比中项. 当a 与b 异号或有一个为零即0ab ≤时，a 与b 没有等比中项。

②任意两个实数a 与b 都有等差中项，且当a 与b 确定时，等差中项2a bc +=唯一. 但任意两个实数a 与b 不一定有等比中项，且当a 与b 有等比中项时，等比中项不唯一。

③当0ab >时，a 、G 、b 成等比数列⇔G ba G=2 ④2G ab =是a 、G 、b 成等比数列的必要不充分条件。

要点三、等比数列的通项公式首相为1a ，公比为q 的等比数列{}n a 的通项公式为：11n n a a q -=⋅（*1N 0n a q ∈⋅≠，）推导过程：（1）归纳法：根据等比数列的定义1nn a q a -=可得1(2)n n a a q n -=≥： ∴21211a a q a q -==；23132111()a a q a q q a q a q -====； 234143111()a a q a q q a q a q -====；……111(2)n n n a a q a q n --===≥L当n=1时，上式也成立∴归纳得出：111(*n n a a q n N a q -=⋅∈⋅≠，（2）累乘法：根据等比数列的定义1nn a q a -=可得： 21a q a =，32a q a =，43aq a =，…，1n n a q a -=，把以上1n -个等式的左边与右边分别相乘（累乘），并化简得：11n na q a -=，即11(2)n n a a q n -=≥又1a 也符合上式∴111(*0)n n a a q n N a q -=⋅∈⋅≠，.要点诠释：①通项公式由首项1a 和公比q 完全确定，首项和公比确定，该等比数列就唯一确定了。

高中数学第二章数列2.4等比数列第1课时等比数列的概念与通项公式同步aa高一数学

(2)a1＝qan－n 1＝5642－51＝5，故 a1＝5. (3)a3＝a1·q2，即 8＝2q2，所以 q2＝4，所以 q＝±2. 当 q＝2 时，an＝a1qn－1＝2·2n－1＝2n，当 q＝－2 时，an＝a1qn－1＝2(－2)n－1＝(－1)n－12n，所以数列{an}的公比为 2 或－2，对应的通项公式分别为 an＝2n 或 an＝(－1)n－12n.
所以 a1＝q－42q4＝12－42124＝96. 若 G 是 a5，a7 的等比中项，则应有 G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝a21q10＝962·1210＝9. 所以 G＝±3. 即 a5，a7 的等比中项为±3.
归纳升华等比中项的三点认识
1．当 a，b 同号时，a，b 的等比中项有两个；当 a， b 异号时，没有等比中项．
2．在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．
3．“a，G，b 成等比数列”等价于“G2＝ab”(a，b 均不为 0)，要特别注意限定的条件，否则是不等价的．可以用它来判断或证明三个数成等比数列，同时还要注意到 “a，G，b 成等比数列”与“G＝± ab”是不等价的．
又 an＝1，所以 3212n－1＝1，即 26－n＝20，所以 n＝6. 法二因为 a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以 q＝12. 由 a1q＋a1q4＝18，知 a1＝32. 由 an＝a1qn－1＝1，知 n＝6.
归纳升华 1．在已知 a1 和 q 的前提下，利用公式 an＝a1qn－1 可求出等比数列中任意一项． 2．在通项公式中知道 a1、q、n、an 四个量中的任意三个，可求得另一个量．
[变式训练] (1)已知－1，x，－4 成等比数列，则 x

第二章2.4第1课时等比数列的概念及通项公式

2. 4等比数列第1课时等比数列的概念及通项公式1•通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用. 2•掌握等比中项的概念并会应用. 3•掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.预冃案*自建迸习j 研读• M •営试新知提炼1.等比数列的定义(1) 从第2项起条件(2) 每一项与它的前一项的比等于同一个常数结论这个数列就叫做等比数列有关概念这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q(q M 0)表示2•等比数列的通项公式门―1a n = aq 1.3. 等比中项若a、G、b成等比数列，称G为a, b的等比中项且G= ± ab.■自我尝试‘1•判断(正确的打“V”，错误的打“x”)(1) 数列1,—1, 1, - 1，…是等比数列.()(2) 若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列. ()⑶等比数列的首项不能为零，但公比可以为零. ()(4) 常数列一定为等比数列.()(5) 任何两个数都有等比中项. ()答案：(1)2 (2) x⑶x ⑷x ⑸x2.等比数列{a n} 中, a1 = 2, q = 3,贝U a n 等于（）A. 6B. 3x 2n—13. 4与9的等比中项为()A . 6B . - 6=1,C . 2 x 3n —1 D . 6n答案：CA . 6B . - 6=1,C . i6D . 36 答案：C 11 14. 等比数列一10-而，一而0,…的公比为 -------------------- . 1 答案：105. ______________________________________________ 在等比数列｛a n ｝中，已知a n = 4n 3,贝V a 1 = _____________________________________________ , q = ________1答案：1 4探究案讲练互普探究点一等比数列的通项公式H 在等比数列｛a n ｝中， (1) a 4 = 2, a 7= 8,求 a n .(2) a 2 + a 5= 18, a 3+ a 6= 9, a n = 1，求 n. a 4= ag 3,［解］(1)因为6 a 7= a 1q , a 1q 3= 2,① 所以a 1q 6= 8,②②3，由①，得43= 4,从而q = - 4,而a 1q 3= 2,n — 1又a n = 1，所以32 x 即 26-n = 20,故 n = 6.方祛归纳于是a 1 = q 3=M2' 2n -5所以 a n = a 1q n -1 = 2 3a 2 + a 5= a 〔q + a 1q 4 = 18, ①⑵因为25② 1由①，得q =P 从而a 1 = 32.等比数列通项公式的求法a i 和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解.关于 a i 和q的求法通常有以下两种方法：⑴根据已知条件，建立关于a i , q 的方程组，求出a i , q 后再求a n ，这是常规方法.(2)充分利用各项之间的关系，直接求出 q 后，再求a i ,最后求a n ,这种方法带有一定的技巧性，能简化运算.”i.在等比数列｛a n ｝中，(1) 已知 a i = 3, q = — 2，求 a 6； (2) 已知 a 3= 20, a 6 = i60，求 a n ； …9i 2十(3) 已知 a i = 8〉a n = 3, q = 3,求 n.解：⑴由等比数列的通项公式，得a 6= 3 X (— 2)6— i = — 96.⑵设等比数列的公比为 q ,a i q 2= 20,由已知可得a i q 5= i60,q= 2,解得a i = 5.所以 a n = a i q n — i = 5X 2n — i . ⑶由 a n = a i q n —i ,3，得 n = 4.探究点二等比数列的判定■- 在数列｛a n ｝中，若a n >0,且a n +i = 2a n + 3(n € N *).证明：数列｛a n + 3｝是等比数列.［证明］法一：因为a n >0, 所以 a n + 3>0.i 9得 3=8 Xn — i又因为a n+1= 2a n+ 3,a n +1 + 3 2a n+ 3+ 3 2 (a n + 3)所以= = =2.a n + 3 a n+ 3 a n + 3所以数列｛ a n+ 3｝是首项为a i + 3，公比为2的等比数列. 法二：因为a n>0, 所以a n+ 3>0.又因为a n+1= 2a n+ 3,所以a n+ 2= 4a n+ 9.所以(a n+ 2+ 3)(a n + 3) = (4a n+ 12)(a n+ 3)=(2a n+ 6)2=(a n+1+ 3)2.即a n+ 3, a n +1 + 3, a n+2+ 3 成等比数列，所以数列｛a n+ 3｝是等比数列.Rm貝*本例的条件不变，若a1 = 2,求数列｛a n｝的通项公式.解：由数列｛a n + 3｝是等比数列，当a1= 2 时，a1 + 3 = 5,所以数列｛a n+ 3｝是首项为5,公比q= 2的等比数列，所以a n+ 3 = 5 x 2n-1,即a n= 5 x —1—3.方注归期等比数列的三种判定方法(1)定义法探究点三等比中项及其应用方祛归抽已知等比数列中的相邻三项 a n — 1 , a n , a n + 1,则a n 是a n — 1与a n + 1的等比中项, a n -1 a n +1,运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程，同时等比中项常起到桥梁作用, 要认真感悟和领会."!" '||［3.(1)如果一1, a , b , c,— 9 成等比数列，那么()a n + 1—=q(q 为常数且q z 0)等价于｛a n ｝是等比数列. a n (2)等比中项法a n +1 = a n a n + 2(n € N *且a n 丸)等价于｛a n ｝是等比数列. (3)通项公式法a n = a 1q n —1(a 1^0且q z 0)等价于｛a n ｝是等比数列.1”2.已知数列｛a n ｝是首项为2，公差为一1的等差数列，令b n = 1，求证数列｛b n ｝是等比数列，并求其通项公式.解：由已知得，a n = 2+ (n — 1)x (— 1) = 3— n ,1 3-( n + 1)b n + 1 2 故 = ~b n 1 3—n23 — ( n + 1) — 3+ n所以数列｛ b n ｝是等比数列. 因为b 1= 114,所以 b n =X 2n —1 = 2n ― 3［解］由题意知 3 b 2, b ，243, c 这五个数成等比数列，求 32a ,b ,c 的值.23b2= — 2243 X—亦 3ab = — 2 27 27所以b = ±8•当b =—时，2 10243 3 初/曰bc =—五=—2 ，解得 c =3 6 =2 ，2，解得2 a =3 ；27 2同理，当 b =— "8■时，a =— 3, 3 c =—2综上所述，a , b , c 的值分别为2 27 3, 8 ,2 — 27 3, —8，A . b = 3, ac = 9 B. b =— 3, ac = 9 C. b = 3, ac =— 9 D. b =— 3, ac =— 9⑵已知等比数列｛a n ｝的前三项依次为 a — 1, a +1, a + 4,贝U a n = _________解析：(1)因为 b 2= (— 1)x (— 9) = 9, 且b 与首项—1同号，所以b =— 3，且a , c 必同号. 所以 ac = b 2= 9.⑵由已知可得(a + 1)2= (a — 1)(a + 4), 解得 a = 5,所以 a 1= 4, a 2= 6,所以a n = 4 x 31. 等比数列定义的再认识(1)每一项与它的前一项的比是同一个常数，是具有任意性的，但须注意是从“第2项”⑵从“第2项”起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，强调的是“同一个”.(3)对于公比q ,要注意它是每一项与它前一项的比，次序不能颠倒，q 不为零.⑷各项不为零的常数列既是等差数列，又是等比数列. 2. 等比数列的通项公式(1)已知首项a 1和公比q ,可以确定一个等比数列.⑵在公式a n = a 1q n 1中有a n , a 1, q , n 四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量.⑶等比数列｛a n ｝的通项公式的推导所以a 2a 12'答案：(1)B3 n — 1(2)4 x 3起.法一：（迭代法）根据等比数列的定义，有2n — 2 n —1a n = a n -i q = a n — 2q 2=^= a 2q 2= a i q 1 法二：（累乘法）根据等比数列的定义，可以得到把以上n -1个等式左右两边分别相乘，得 a 2 a 3 a 4 a i a 2 a 3即 an = q n —1, a i 所以 a n = a 1q n -1.3. 等比中项的理解（1）当a , b 同号时，a , b 的等比中项有两个；当 a , b 异号时，没有等比中项.（2）在一个等比数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项.（3） “a , G , b 成等比数列”等价于“ G 2= ab ”（a , b 均不为0），可以用它来判断或证明三数是否成等比数列.当堂检测 ♦1•数列｛a n ｝的通项公式是a n = 5x 3n ，则此数列是（）A •公比为3的等比数列B •公比为5的等比数列C .首项为5的等比数列D .公差为3的等差数列解析：选A.因为a n = 5x 3n , 所以 a n -1= 5x 3n -1（n 》2）, 所以当n > 2时，—匹=3.a n - 1由等比数列的定义知，｛a n ｝是公比为3的等比数列. 2.在首项a 1= 1，公比q = 2的等比数列｛a n ｝中，当a n = 64时，序号n 等于（）a 2 ar q ， a 3 a 4 ar q ，aT q ，a na n -1q ,a n a n -1n -1A. 4B. 5C. 6解析：选 D.因为a n= a i q—1,所以 1 x 2n-1= 64,即1= 26，得 n— 1 = 6,解得n = 7.3. (2015高考广东卷)若三个正数a, b, c成等比数列，其中a = 5+ 2丁6, c= 5—2.6,则b= ________ .解析：因为a, b, c成等比数列，所以b2= a c= (5 + 2 '6) (5 — 2 .：6)= 1.又b>0,所以b= 1.答案：14•求下列各等比数列的通项公式：(1) a1 = —2, a3= —8;(2) a1 = 5，且2a n+1 = —3a n.解：(1)因为a3= a1q2,所以q2= 4,所以q= ±2.当q = 2 时，a n= (—2) x 2n—1= —2n;当q = — 2 时，a n= ( —2)x (—2)n—1= (—2)n.a n+1 3(2)因为q= "a^ =—2，又a1 = 5,3 n—1 所以a n= 5 x — 2.应用案巩固提升丄［A 基础达标］1. 若｛a n｝为等比数列，且2a4= a6 —a5，则公比是()A. 0 B . 1 或一2D . —1或一2解析：选 C.由已知得2a1q3= a1q5—ag4,得2= q2—q,所以q=—1或q = 2.2. 在等比数列｛a n｝中，a n>0，且a i+ a2= 1, a3+ a4= 9，贝U a4+ a5 的值为()A. 16B. 27C. 36D. 81解析：选 B.由a3+ a4= q2(a1 + a2)= 9,所以q2= 9,又a n>0,所以q= 3.a4+ a5= q(a3 +a4）= 3X 9 = 27.3. 彳，是等比数列4,2, 4, 2 2,…的（）A .第10项B .第11项C.第12项 D .第13项解析：选B.由题意可知q=痣二乎，令¥= 4返x普，所以土= 32=扌210，故n— 1 = 10,即n= 11.4. 在数列｛a n｝中，a1= 1,点（a n, a n+1）在直线y= 2x上，贝U a4的值为（）A . 7B . 8C. 9D. 16解析：选B.因为点（a n, a n+1）在直线y= 2x上,所以a n+1= 2a n.因为a1= 1丰0,所以a n丸,所以｛a n｝是首项为1,公比为2的等比数列，所以a4= 1 x 23= 8.5. 一个数分别加上20, 50, 100后得到的三个数成等比数列，其公比为（）5 4A・3 %3 1CQ DQ解析：选A.设这个数为x,则(50+ x)2= (20 + x) (100 + x).解得x= 25,所以这三个数为45, 75, 125,75 5公比q为45= 36.右一1, 2, a, b成等比数列，则a + b=解析：根据题意有=身=b，解得a=—4, b= 8,—1 2 a所以a+ b= (-4) + 8 = 4.答案：47•下面各数列一定是等比数列的是(填序号).①一1, —2, —4, —8;② 1 , 2, 3, 4;1111③x, x, x, x；④a,評評尹解析：根据等比数列的定义，①④是等比数列，②不是等比数列，③中x可能为0,故③不一定是等比数列.答案：①④1 r,&在等比数列｛a n｝中，若a4= 27, q= —3，贝卩a6= ,a n =1解析：因为a4= a1q3= a1 —3 = 27,所以a1= —36,所以a6= a1q5= —36x=36x 3 = 3,n- 11a n=—36X—1= (—1)n37—n答案：3 (—1)n37 —n16 a3=—4，且公比为正数.9.已知数列｛a n｝为等比数列，首项a1=—9,(1)写出此等比数列的通项公式a n;⑵—20丁是否为｛a n｝中的项？若是，是第几项？若不是，请说明理由.解：(1)设公比为q(q>0),由a3= a i q2,得一4 =—£q2,3解得q=3,16 3 n—1所以a n=—— X 2 .n —1人16、/ 3 1 81⑵令—-X 2 = —204= —7,3 n—1819 3 6得2 =乎X 16= 3，解得n = 7.1故—204是｛a n｝中的第7项.10.已知数列｛a n｝的前n项和为S n,对一切正整数n,点(n, S n)都在函数f(x)= 2x+ 2—4的图象上.求证：数列｛a n｝是等比数列.证明：由题意得S n = 2n+ 2—4,4, n=1,S1, n = 1, 所以a n=S n—S n—1, n》22n+ 1, n》2.又a i= 4 也符合a n= zZln G N*, n》2),所以a n= 2n+ 1(n € N ),a n +1 2n+ 2因为百=产=2，所以数列｛a n｝是等比数列.[B 能力提升]1. 已知数列｛a n｝，下列选项正确的是()A .若a2= 4n, n € N*，则｛a n｝为等比数列B. 若a n a n+2= a n+1, n € N*，则｛a n｝为等比数列C. 若a m a n= 2m n, m, n €N*，则｛a n｝为等比数列D .若a n a n+ 3= a n+ 1a n+ 2, n€ N*，则｛ a n｝为等比数列解析：选C•由a2= 4n知|a n| = 2n，则数列｛a n｝不一定是等比数列；对于 B , D选项，满足条件的数列中可以存在为零的项，所以数列｛a n｝不一定是等比数列；对于C选项，由a m a na n + 1=2m+n知，a m a n+ 1= 2m+ n+ S两式相除得石 =2(n € N ),故数列｛a n｝是等比数列.故选C.12. ___________________________________________________________________ 已知等比数列｛a n｝中，a i= 1,且a i, 2玄3, 2a2成等比数列，则a n = _____________________ 解析：设等比数列｛a n｝的公比为q,贝U a2= q, a3 = q2.1因为a i, §a3, 2a2成等比数列，1所以4q4= 2q,解得q= 2,所以an= 2n—I答案：2n_13. 已知数列｛a n｝的前n项和S n= 2a n + 1.(1)求证：｛a n｝是等比数列，并求出其通项公式；⑵设b n= a n+ 1+ 2a n,求证：数列｛b n｝是等比数列.解：(1)因为S= 2a n+ 1,所以S n+1= 2a n+1+ 1,S n + 1 —S n = a n+ 1 = (2a n + 1 + 1) —(2a n+ 1) = 2a n+ 1 —2a n,所以a n+ 1 = 2a n①，由已知及①式可知a n M O.a n+1所以由丁 = 2，知｛a n｝是等比数列.a n由a1= S1= 2a1 + 1,得a1=—1，所以a n = —2n—1.⑵证明：由(1)知，a n= —2n—1,所以b n= a n+1+ 2a n=—2n—2X 2n—1=—2X 2n=—2n +1= —4X 2n —1.所以数列｛b n｝是等比数列.4. (选做题)已知等比数列｛a n｝中，a1 = 1,公比为q,且b n= a n+1—a n.(1)判断数列｛b n｝是否为等比数列？说明理由；⑵求数列｛b n｝的通项公式.解：⑴因为等比数列｛a n｝中，a i= 1, 公比为q，所以a n = 1 x q n—1= q n一1, 若q = 1 ,贝y a n=1 , b n = a n+ 1 —a n= 0,所以数列｛b n｝是各项均为0的常数列,不是等比数列.若q丰1,由于b n+ 1a n+2—a n+1 q n+1—q nb n - =a n+1—a n = q n—q n-1q n(q —1)=q,q n —1(q —1)所以数列｛ b n｝是首项为b1= a2—a1= q —1，公比为q的等比数列.⑵由(1)可知，当q = 1时，b n= 0；当q 工 1 时，b n= (q —1)q n—1。

2.4等比数列课件 (人教A版必修5)

A．等差数列 B．等比数列 C．既是等差数列又是等比数列 D．不能确定是什么数列
解析：∵a1＝1，a2＝2，a3＝4，仅给出了数列前3项，后边各项不知有何规律，给出不同的值会得出不同结论．
答案：D
3．等比数列{an}中，a1＝
1 8
，q＝2，则a4与a8的等比中
项是( )
A．±4
B．4
C．±14
[例2]
已知a，－
3 2
，b，－
243 32
，c五பைடு நூலகம்数成等比数
列，试求a，b，c的值．
[解] ∵b2＝(－32)×(－23423)＝(32)6， ∴b＝±287. 当b＝287时，∵ab＝(－32)2，∴a＝23. 由bc＝(－23423)2＝(32)10及b＝287，得c＝2112887＝(32)7.
2.4 等比数列
第1课时等比数列
课前自主预习
课堂互动探究
随堂知能训练
课时作业
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.掌握等比数列的通项公式，体会等比数列的通项公式
与指数函数的关系．
2．掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解决问题.
课前自主预习
课前预习 ········································· 明确目标
D．①②③④
解析：根据等比数列的定义，从第2项起检查每一项与其前一项的比是否为同一个常数．
①中数列是等比数列，公比q＝－2；②中数列是等比数列，公比q＝－ 2；③中数列当x＝0时，不是等比数列； ④中数列是等比数列，公比q＝1a.
答案：C
2．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，a3＝4，…，那么数列{an}是( )

高中数学必修五第二章数列2.4.1

(2)设等比数列{bn}的公比为q,则b2=8,b3=16,
所以q= b3
b2
=2,b1=4,bn=2n+1,
b6=26+1=128.由2(n+1)=128得n=63.
所以b6与数列{an}的第63项相等.
【方法技巧】等比数列通项公式的求法 (1)根据已知条件,建立关于a1,q的方程组,求出a1,q后再求an,这是常规方法. (2)充分利用各项之间的关系,直接求出q后,再求a1,最后求an,这种方法带有一定的技巧性,能简化运算.
则
a
2 3
=-1×(-9)=9,解得a3=±3,
设数列的公比为q,
因为a3=-1×q2<0,故a3=-3. 答案:-3
=
1 3
(an-1)-
1 3
(an-1-1),
得
an a n1

1，又a1=-
2
1 2
,
所以{an}是首项为- 1 ,公比为- 1 的等比数列.
2
2
【延伸探究】
1.将本例的条件改为“a1=
7 8
,且an+1=
1 2
a
n＋
1 3
”,求证
数列
{a n

2} 3
是等比数列.
【证明】因为an+1=
(1)已知an=128,a1=4,q=2,求n.
(2)已知an=625,n=4,q=5,求a1.
(3)a3=2,a2+a4=
20 3
,求通项公式an.
【解析】(1)因为an=a1qn-1, 所以4·2n-1=128,
所以2n-1=32,所以n-1=5,n=6.
(2)a1=

§2.4等比数列性质

§2.4等比数列性质潜江中学李振红一、教学目标【知识与技能】掌握等比数列的性质；能将学过的知识和思想方法，运用于对等比数列性质的思考探索和有关等比数列问题的解决中；【过程与方法】采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学；发挥学生的主体作用，引导学生探究问题并经历解决问题的全过程；【情感、态度与价值观】通过对等比数列性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力。

二、教学重难点重点：等比数列的性质的探究难点：等比数列性质的深刻理解三、教学方法以教师为主导、以学生为主体，合作探究式进行学习四、教学手段多媒体辅助教学五．教学过程设计1、课前准备（视频）设计意图：创设一种融洽的学习气氛。

2、知识回顾通过复习再现等比数列的定义及通项公式，让学生温故而知新，从而进入对性质的研究。

设计意图：温故而知新，从而进入对性质的研究。

3、探究一例：在等比数列{a n}中，a3=20，q=2，求a6，a n学生通过求首项a1，求得a6及通项a6后，引导学生探索其他方法。

拓展探究给出等比数列中的任意两项，引导学生利用通项公式探究这两项的关系，从而得到性质1。

性质1：设a n，a m为等比数列{ a n }中任意两项，且公比为q，则a n = a m q n-m 设计意图：通过寻找解决问题的其他途径顺利地引导学生对性质1的探究，让学生体会类比与从特殊到一般的数学思想。

4、探究二类比等差数列的性质，引导学生进入性质2的探究。

拓展探究：以例题为本，让学生计算a2·a6=a3·a6是否成立？a1·a5=a32是否成立，得出一般结论，即性质2。

性质2：设等比数列{ a n }首项为a1，公比为q，且m，n，s，t∈N+，若m+n=s+t，则a m a n=a s a t若m+n=2s，则a m a n=a s2设计意图：抓住一条主线，引导学生自己探究出性质2，继续体会两种数学思想。

2.4 等比数列(3节)

2.4．1 等比数列定义通项公式实例: (1)关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题,由于每一个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的2倍,且共有64个格子,各个格子里的麦粒数依次是1,2,22,23,…,263. (2)有一种数码产品,其售价为3000元,年折旧率约为20%(就是说这种数码产品每年减少它价值的20%),那么该产品从购买当年算起,逐年的价值依次为3000,3000×0.8,3000×0.82,3000×0.83,….(3)某人年初投资10000元,如果年收益率是5%,那么按照复利,5年内各年末的本利和依次为10000×1.05,10000×1.052,…,10000×1.055想一想观察实例中的数列,它们是等差数列吗?它们中的每个数列,从第二项起与前一项的比有什么特点(不是等差数列;比都等于同一个常数)1.等比数列的定义如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的比等于 ,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 ,通常用字母q 表示(q≠0). 思考1:(1)等比数列的定义用数学符号怎样表示? (2)常数列一定是等比数列吗?提示:(1)在数列{a n }中,若1nn a a =q(q 是常数且q≠0,n≥2),则{a n }是等比数列. (2)不一定,只有非零常数列才是等比数列 2.等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G,使a,G,b 成 ,那么G 叫做a 与b 的等比中项,这三个数满足关系式G 2=ab.思考2:(1)任何两个实数都有等比中项吗?(2)若实数a,b,c 成等比数列,一定有b 2=ac 吗?若b 2=ac,则a,b,c 一定成等比数列吗? 提示: (1)不一定,由G 2=ab 知,只有当两个实数同号时才能有等比中项. (2)一定;不一定,如当a=b=c=0时. 3.等比数列的通项公式如果等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q,则等比数列的通项公式a n = . 思考3:等比数列{a n }的公比为q,第n 项a n 与第m 项a m (n>m)有何关系? 提示:a n-m【例1】 (12分)已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=2a n +1. (1)证明:数列{a n +1}是等比数列; (2)求数列{a n }的通项公式. (1)证明:∵a n+1=2a n +1,∴a n+1+1=2(a n +1).……………………………………………………4分由a 1=1,知a 1+1≠0,从而a n +1≠0. ∴+1+1+1n n a a =2(n ∈N *).…………………………………………………6分所以数列{a n +1}是等比数列.………………………………………8分(2)由(1)知{a n +1}是以a 1+1=2为首项,2为公比的等比数列. ∴a n +1=2·2n-1=2n ,即a n =2n -1.………………………………………12分跟踪训练1-1:已知数列{a n }是首项为2,公差为-1的等差数列,令b n =12na ⎛⎫⎪⎝⎭,求证数列{b n }是等比数列,并求其通项公式.解:依题意a n =2+(n-1)×(-1)=3-n,于是b n =312n-⎛⎫ ⎪⎝⎭.而1n n b b -=341212nn --⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭=112-⎛⎫ ⎪⎝⎭=2.∴数列{b n }是公比为2的等比数列,通项公式为b n =2n-3.【例2】在等比数列{a n }中, (1)a 4=2,a 7=8,求a n ;(2)a 2+a 5=18,a 3+a 6=9,a n =1,求n.解: (1)因为341671,,a a q a a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以31612,8,a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩①② 由②①得q 3=4,从而而a 1q 3=2, 于是a 1=32q =12,所以a n =a 1q n-1=2532n -.(2)法一由已知可得4251125361118,9,a a a q a q a a a q a q ⎧+=+=⎪⎨+=+=⎪⎩③④由④③得q=12,从而a 1=32. 又a n =1,所以32×112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=1,即26-n =20,所以n=6.法二因为a 3+a 6=q(a 2+a 5),所以q=12. 由a 1q+a 1q 4=18,得a 1=32. 由a n =a 1q n-1=1,得n=6.跟踪训练2-1:(1)(2013湛江高二检测)已知{a n }是等比数列,a 1=1,a 4则a 3等于( ) (A)±2(B)2 (C)-2 (D)4(2)已知{a n }为等比数列,且a 5=8,a 7=2,该数列的各项都为正数,则a n = . 解析:(1)∵a 4=a 1q 3, ∴q 3=41a a∴∴a 3=a 1q 2=2.故选B.(2)设公比为q,由题意知q>0,且41618,2,a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得1128,1,2a q =⎧⎪⎨=⎪⎩所以a n =128×112n -⎛⎫⎪⎝⎭=28-n .题后反思在等比数列中当两个数异号时,不存在等比中项,当两个数同号时,它们存在两个互为相反数的等比中项,本题中,a 1与a 5的等比中项就是±a 3,注意不要漏解. 题型三等比中项的应用【例3】已知等比数列{a n }中,a 2a 3a 4=64,a 3+a 6=36,求a 1与a 5的等比中项. 解:∵{a n }是等比数列,∴a 3是a 2与a 4的等比中项,因此23a =a 2a 4.可得33a =64,于是a 3=4.又a 3+a 6=36,所以a 6=32.设公比为q,则21514,32,a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得11,2.a q =⎧⎨=⎩于是a 5=a 1q 4=16.设a 1与a 5的等比中项为G,则G 2=16,故G=±4. 即a 1与a 5的等比中项为±4.跟踪训练3-1:已知等差数列{a n }中,a 1=9,d=1.若a k 是a 1与a 2k 的等比中项,则k 等于( ) (A)2 (B)4 (C)6 (D)8解析:依题意2k a =a 1a 2k , 即[9+(k-1)]2=9×[9+(2k-1)],整理得k 2-2k-8=0,解得k=4(k=-2舍去).故选B.【例1】四个实数成等比数列,且前三项之积为1,后三项之和为74,求其公比. 解:设这四个数依次为a,aq,aq 2,aq 3, 则323()1, 7. 4aq aq aq aq ⎧=⎪⎨++=⎪⎩①②由①得a=q -1.把a=q -1代入②并整理,得4q 2+4q-3=0, 解得q=12或q=-32, 故所求的公比为12或-32. 【例2】数列{a n }中,a 1=2,a 2=3,且{a n a n+1}是以3为公比的等比数列,记b n =a 2n-1+a 2n (n ∈N *).(1)求a 3,a 4,a 5,a 6的值; (2)求证:{b n }是等比数列.(1)解:∵{a n a n+1}是公比为3的等比数列, ∴a n a n+1=a 1a 2·3n-1=2·3n ,∴a 3=2223a ⨯=6,a 4=3323a ⨯=9,a 5=4423a ⨯=18,a 6=5523a ⨯=27.1.下面四个说法:①由第一项起乘相同常数得后一项,这样所得到的数列一定为等比数列; ②常数列b,b,b,…,b 一定为等比数列;③等比数列{a n }中,若公比q=1,则此数列各项相等; ④等比数列中,各项与公比都不为零. 正确说法的个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:由等比数列的定义知③、④正确.故选C.和的等比中项是( ) (A)1 (B)-1 (C)±1 (D)2解析:设其等比中项为G,则G 2 ∴G=±1.故选C.3.(2014济南历城高二期末)已知等比数列{a n }的公比为正数,且a 3·a 7=424a ,a 2=2,则a 1等于( )(A)1 (C)2 解析:∵a 3·a 7=424a ,∴21a q 8=4(a 1q 3)2, 又q>0, ∴q=2. ∴a 1=22a =1.故选A. 4.在等比数列{a n }中,a 1=2,a 5=162,则数列{a n }的公比q= . 解析:∵a 5=a 1q 4, ∴162=2q 4, ∴q 4=81, ∴q=±3.1.由等比数列的概念可知,要判定一个数列是否为等比数列,只需看1n na a +的比值是否为不为零的常数即可.2.两个同号的实数a 、b 才有等比中项,而且它们的等比中项有两个而不是一个这是容易忽视的地方.3.等比数列的通项公式a n =a 1q n-1共涉及a 1,q,n,a n 四个量,已知其中三个量可求得第四个量.2.4.2等比数列的性质及应用实例:给出以下几个等比数列{a n }: (1)1,2,4,8,…,公比q=2;(2)1,12,14,18,…,公比q=12; (3)1,-3,9,-27,…,公比q=-3; (4)2,2,2,2,…,公比q=1.想一想选取实例中等比数列中的某一个,在其每一项上都乘以同一个非零常数,得到的数列是否还是等比数列?将其每一项变为原来项的倒数,得到的数列是等比数列吗?将其每一项平方,得到的数列是等比数列吗? (都是等比数列)等比数列常见性质若{a n }、{b n }是项数相同的等比数列,公比分别是p 和q,则 (1)对称性:a 1a n =a 2a n-1=a 3a n-2=…=a m (n>m); (2)k+l=m+n(k,l,m,n ∈N *),则a k ·a l =a m ·a n ;(3)若m,p,n(m 、n 、p ∈N *)成等差数列,则a m ,a p ,a n 成等比数列; (4)a n =a 1q n-1=a 2q n-2=…=a m (n>m);(5)数列{λa n }(λ≠0)、1n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭、{}2n a 都是等比数列,且公比分别是q,1q ,q 2. (6){a n b n }与n n a b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭也都是等比数列,公比分别为pq 和p q .思考:如果等比数列{a n }中,m+n=2k(m,n,k ∈N *),那么a m ·a n =2k a 是否成立?反之呢? 提示:如果等比数列的三项的序号成等差数列,那么对应的项成等比数列. 事实上,若m+n=2k(m,n,k ∈N *),则a m ·a n =(a1·q m-1)·(a 1·q n-1)=21a ·q m+n-2=21a (q k-1)2=2k a .在等比数列{a n }中,若a m ·a n =a p ·a q =2k a ,不一定有m+n=p+q=2k,如非零常数列.题型一等比数列性质的应用【例1】 (1)在等比数列{a n }中,若a 2=2,a 6=12,则a 10= ; (2)在等比数列{a n }中,若a 7=-2,则此数列的前13项之积等于 . 解析:(1)法一设{a n }的公比为q,则1512,12,a q a q =⎧⎪⎨=⎪⎩ 解得q 4=6,∴a 10=a 1q 9=a 1q·(q 4)2=2×36=72. 法二 ∵{a n }是等比数列,∴26a =a 2·a 10,于是a 10=262a a =2122=1442=72.(2)由于{a n }是等比数列,∴a 1a 13=a 2a 12=a 3a 11=a 4a 10=a 5a 9=a 6a 8=27a ,∴a 1a 2a 3…a 13=(27a )6·a 7=137a ,而a 7=-2.∴a 1a 2a 3…a 13=(-2)13=-213.题后反思运用等比数列性质a m ·a n =a k ·a l =2t a (m,n,k,l,t ∈N *)的关键是发现各项的序号之间满足关系m+n=k+l=2t,它们往往涉及其中的四项或三项,注意不要和等差数列相应的性质混淆.跟踪训练1-1:(1)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数,且a 3a 11=16,则log 2a 10等于( ) (A)4 (B)5 (C)6 (D)7(2)(2013海口调研)在等比数列{a n }中,a 3a 4a 5=3,a 6a 7a 8=24,则a 9·a 10·a 11等于( ) (A)48 (B)72 (C)144 (D)192解析:(1)∵a 3·a 11=16, ∴27a =16.又∵等比数列{a n }的各项都是正数, ∴a 7=4. 又∵a 10=a 7q 3=4×23=25, ∴log 2a 10=5.故选B. (2)∵678345a a a a a a =q 9=8.(q 为公比) ∴a 9a 10a 11=a 6a 7a 8·q 9=24×8=192. 故选D.题型二等比数列与等差数列的综合问题【例2】 (12分)(1)有四个实数,前三个数依次成等比数列,它们的积是-8;后三个数依次成等差数列,它们的积为-80,求出这四个数;(2)有四个数成等比数列,将这四个数分别减去1,1,4,13,则成等差数列,求这四个数.解:(1)由题意设此四个数分别为bq,b,bq,a, 则有328,2,80,b bq a b ab q ⎧=-⎪=+⎨⎪=-⎩………………………………………………………………2分解得10,2,2,a b q =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩或8,2,5.2a b q ⎧⎪=-⎪=-⎨⎪⎪=⎩……………………………………………………4分所以这四个数分别为1,-2,4,10或-45,-2,-5,-8.……………………6分 (2)设这四个数分别为a,aq,aq 2,aq 3, 则a-1,aq-1,aq 2-4,aq 3-13成等差数列,据题意得2232(1)(1)(4),2(4)(1)(13)aq a aq aq aq aq ⎧-=-+-⎪⎨-=-+-⎪⎩………………8分整理得222(1)3,(1) 6.q aq q ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩解得2,3.q a =⎧⎨=⎩………………………………………………10分因此所求的四个数分别为3,6,12,24.…………………12分题后反思若三个数成等比数列,可设为a q ,a,aq,也可设为a,aq,aq 2;若四个数成等比数列,可设为3a q ,aq,aq,aq 3或a,aq,aq 2,aq 3.跟踪训练2-1:(1)(2013广州高二检测)已知等差数列{a n }的公差为2,若a 1,a 2,a 5成等比数列,则a 2等于( ) (A)-4 (B)2 (C)3 (D)-3(2)有四个数,前三个数依次成等比数列,它们的和为19,后三个数依次成等差数列,它们的和为12,则这四个数为 . 解析:(1)∵a 1,a 2,a 5成等比数列,∴22a =a 1·a 5,即(a 1+d)2=a 1(a 1+4d), 即d 2=2a 1d, ∴d=2a 1=2, ∴a 1=1,∴a 2=a 1+d=3.故选C. （2)设这四个数为2(4)4d -,4-d,4,4+d. 由已知得2(4)4d -+(4-d)+4=19,整理得d 2-12d-28=0,解得d=-2或d=14,∴这四个数为9,6,4,2或25,-10,4,18.题型三等比数列的实际应用【例3】某工厂2013年1月的生产总值为a 万元,计划从2013年2月起,每月生产总值比上一个月增长m%,那么到2014年8月底该厂的生产总值为多少万元? 名师导引: (1)2013年2月的生产总值为多少万元?(a+a×m%=a(1+m%))(2)2013年3月的生产总值为多少万元?由此知每月的生产总值构成什么数列?(a(1+m%)2,等比数列)(3)从2013年1月到2014年8月一共有多少个月?(20个月) 解:设从2013年开始,第n 个月该厂的生产总值是a n 万元, 则a n+1=a n +a n m%,∴1n na a +=1+m%,∴数列{a n }是首项a 1=a,公比q=1+m%的等比数列, ∴a n =a(1+m%)n-1,∴2014年8月底该厂的生产总值为a 20=a(1+m%)20-1=a(1+m%)19万元.题后反思有关增长率问题,通常用等比数列来建立模型求解.跟踪训练3-1:某厂生产电脑,原计划第一季度每月增加台数相同,在生产过程中,实际上二月份比原计划多生产10台,三月份比原计划多生产25台,这样三个月产量成等比数列,而第三个月的产量是原计划第一季度总产量的一半少10台,问该厂第一季度实际生产电脑多少台? 解:根据已知,可设该厂第一季度原计划3个月生产电脑台数分别为x-d,x, x+d,(d>0),则实际上3个月生产电脑台数分别为x-d,x+10,x+d+25,由题意得2(10)()(25),32510,2x x d x d xx d ⎧+=-++⎪⎨++=-⎪⎩解得x=90,d=10,故共有(x-d)+(x+10)+(x+d+25)=3x+35 =3×90+35 =305(台),即该厂第一季度实际生产电脑305台.【例1】如图所示的树形图为:第一层是一条与水平线垂直的线段,长度为1;第二层在第一层线段的前端作两条与该线段成135°角的线段,长度为其一半;第三层按第二层的方法在每一条线段的前端生成两条线段,重复前面的作法至第n 层,设题中树形图(从下而上)新生各层高度所构成的数列为{a n }. (1)试求a 2,a 3,a 4; (2)求a n .解:(1)题中树形图(从下而上)新生各层高度所构成的数列为{a n },则a 1=1,a 2=12,a 3=212,a 4=312. (2)易知2n n a a +=14, ∴a 1,a 3,a 5,…及a 2,a 4,a 6,…,分别是以14为公比的等比数列.∴a n = **111()N N ,21).2n n n n n n --⎧⎪⎪⎨⎪∈⎪∈⎩为数为数奇且偶且【例2】设关于x 的一元二次方程a n x 2-a n+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3.(1)试用a n 表示a n+1;(2)求证:数列23n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列;(3)当a 1=76时,求数列{a n }的通项公式. (1)解:根据根与系数的关系,有1,1,n nn a a a αβαβ+⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩代入题设条件6(α+β)-2αβ=3, 得16n n a a +-2n a =3, 所以a n+1=12a n +13. (2)证明:因为a n+1=12a n +13, 所以a n+1-23=1223n a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以数列23n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为公比的等比数列.(3)解:当a 1=76时,a 1-23=12, 故数列23n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为12,公比为12的等比数列,所以a n =23+12n⎛⎫⎪⎝⎭(n=1,2,3,…).1.已知{a n }、{b n }都是等比数列,那么( ) (A){a n +b n },{a n ·b n }都一定是等比数列 (B){a n +b n }一定是等比数列,但{a n ·b n }不一定是等比数列 (C){a n +b n }不一定是等比数列,但{a n ·b n }一定是等比数列 (D){a n +b n },{a n ·b n }都不一定是等比数列解析:两个等比数列的乘积仍是一个等比数列. 故选C.2.已知各项均为正数的等比数列{a n }中,lg(a 3a 8a 13)=6,则a 1·a 15的值为( ) (A)100 (B)-100 (C)10000 (D)-10000 解析:由lg(a 3a 8a 13)=6, 得a 3a 8a 13=106,所以38a =106,∴a 8=100,a 1a 15=28a =10000,故选C.3.已知等差数列{a n }的公差d≠0,且a 1,a 3,a 9成等比数列,则1392410a a a a a a ++++的值为 .解析:∵a 1,a 3,a 9成等比数列∴23a =a 1a 9,∴(a 1+2d)2=a 1(a 1+8d), 解得d=a 1, ∴1392410a a a a a a ++++=1111112839a a d a d a d a d a d +++++++++=111316a a =1316.4.在1与2之间插入6个正数,使这8个数成等比数列,则插入的6个数的积为 . 解析:设插入的6个正数分别为b 2,b 3,b 4,b 5,b 6,b 7, 则有b 2b 7=b 3b 6=b 4b 5=1×2, ∴b 2b 3b 4b 5b 6b 7=8. 答案:8 课堂小结1.在解决与等比数列有关的计算问题时,我们首先想到的方法是通法,即通过解方程组求两个基本量首项a 1和公比q,求解过程中要注意整体代换思想的运用,但有些问题合理地选择性质求解,可以减少运算量,提高解题效率.2.解数列的实际应用问题时,首先要分清是等差数列,还是等比数列;是求某一项,还是求某些项的和,再用相应的公式求解.2.5 等比数列的前n 项和实例:八戒西天取经后,担任了高老庄集团的董事长,因急需大量的资金投入,于是找孙悟空帮忙.悟空一口答应:“行!我每天投资100万连续一个月(30天),但从投资的第一天起,第一天必须还给我1元,第二天还给我2元,第三天还给我4元……”八戒心里打起了小算盘:“第一天:支出1元,收入100万;第二天:支出2元,收入100万;第三天:支出4元,收入100万!哇!发财了!”心里越想越美,再看看悟空的表情,心里又犯了嘀咕:“这猴子老欺负我,会不会又在耍我?” 想一想 (1)悟空在一个月中一共投资给八戒多少钱? (100万×30=3000万)(2)从第一天开始,八戒每天返还给悟空的钱数分别是多少? 构成了一个怎样的数列?(1,2,22,…,229;构成公比为2的等比数列)(3)八戒在一个月中应返还给悟空多少钱?你能用式子表示吗? (能.1+2+22+ (229)(4)若记S=1+2+22+…+229,在该式等号的两边同乘以公比2,得到的式子与原式有何关系?(2S=2+22+23+…+230,两式的右边有29项是相同的)(5)将两式相减能否得到S?(能,S=230-1)(6)由问题(5)的结果推断猴子是否又在耍老猪呢?(八戒在一个月中应还给悟空(230-1)元≈107374万元,远远大于3000万元,因此猴子把老猪耍啦)2.等比数列的前n 项和的性质(1)在公比不等于-1的等比数列{a n }中,连续相同项数和也成等比数列,即:S k ,S 2k -S k ,S 3k -S 2k ,…仍成等比数列,其公比为q n .(2)当n 为偶数时,数项之和与奇数项之和的比等于等比数列的公比,即S S 偶奇=q.(3)若一个非常数列{a n }的前n 项和S n =Aq n -A(A ≠0,q ≠0,n ∈N *),则数列{a n }为等比数列,即n 【例1】在等比数列{a n }中,(1)S 2=30,S 3=155,求S n ;(2)若S n =189,q=2,a n =96,求a 1和n.名师导引:利用等比数列的前n 项和公式列方程组求解.解:(1)由题意知121(1)30,(1)155,a q a q q +=⎧⎪⎨++=⎪⎩ 解得15,5,a q =⎧⎨=⎩或1180,5,6a q =⎧⎪⎨=-⎪⎩从而S n =14×5n+1-54或S n =510801611n ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.题后反思 (1)解答关于等比数列的基本运算问题,通常是利用a 1,a n ,q,n,S n 这五个基本量的关系列方程组求解,而在条件与结论间联系不很明显时,均可用a 1与q 列方程组求解.(2)运用等比数列的前n 项和公式要注意公比q=1和q ≠1两种情形,在解有关的方程组时,通常用两式相除约分的方法进行消元.跟踪训练1-1:(1)设{a n }是公比为正数的等比数列,若a 1=1,a 5=16,则数列{a n }的前7项和为( )(A)63 (B)64 (C)127 (D)128(2)(2014濮阳高二期末)设{a n }是由正数组成的等比数列,S n 为其前n 项和.已知a 2a 4=1,S 3=7,则S 5等于( )(A)152 (B)314 (C)334 (D)172解析:(1)设公比为q,则q 4=16,∵q>0,∴q=2.因此S 7=71(12)12⨯--=127,故选C. (2)设公比为q,显然q>0且q ≠1,则有311311,(1)7,1a q a q a q q⎧⋅=⎪⎨-=⎪-⎩解得14,1,2a q =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴S 5=51412112⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=314.故选B. 题型二等比数列的前n 项和的性质【例2】已知等比数列{a n }中,前10项和S 10=10,前20项和S 20=30,求S 30.名师导引: (1)由S 10=10及S 20=30能否求得该数列第2个10项之和?(能,S 20-S 10=30-10=20)(2)S 10,S 20-S 10,S 30-S 20是否成等比数列?(是)解:∵S 10,S 20-S 10,S 30-S 20仍成等比数列,又S 10=10,S 20=30,∴S 30-S 20=S 30-30=2(3010)10-,即S 30=70. 跟踪训练2-1:在等比数列{a n }中,若a 1+a 2=20,a 3+a 4=40,则S 6等于( )(A)140 (B)120 (C)210 (D)520解析:依题意,a 1+a 2,a 3+a 4,a 5+a 6成等比数列,即402=20(a 5+a 6),∴a 5+a 6=80,∴S 6=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=20+40+80=140.故选A.【例3】 (12分) (2012年高考陕西卷)设{a n }是公比不为1的等比数列,其前n 项和为S n ,且a 5,a 3,a 4成等差数列.(1)求数列{a n }的公比;(2)证明:对任意k ∈N +,S k+2,S k ,S k+1成等差数列.名师导引: (1)由a 5,a 3,a 4成等差数列,列方程求解;(2)利用求和公式,等差中项证明.(1)解:设数列{a n }的公比为q(q ≠0,q ≠1).由a 5,a 3,a 4成等差数列,得2a 3=a 5+a 4,……………………………………………………2分即2a 1q 2=a 1q 4+a 1q 3.………………………………………………4分由a1≠0,q ≠0得,q 2+q-2=0,解得q 1=-2,q 2=1(舍去),所以q=-2.………………………………………………………6分(2)证明:法一对任意k ∈N +.S k+2+S k+1-2S k =(S k+2-S k )+(S k+1-S k )=a k+1+a k+2+a k+1=2a k+1+a k+1·(-2)=0.………………………………………………………………………… 10分所以对任意k ∈N +,S k+2,S k ,S k+1成等差数列.………………………………12分法二对任意k ∈N +,2S k =12(1)1k a q q--,S k+2+S k+1=21(1)1k a q q +--+11(1)1k a q q +--=211(2)1k k a q q q++---, 2S k -(S k+2+S k+1)= 12(1)1k a q q---211(2)1k k a q q q ++--- =11a q -[2(1-q k )-(2-q k+2-q k+1)]=11k a q q-(q 2+q-2)=0.………………………………10分因此,对任意k ∈N +,S k+2,S k ,S k+1成等差数列.……………………………………12分题后反思等差数列与等比数列的综合是高考常见题型,解题关键是找出通项公式,利用等差、等比数列的公式、性质求解.跟踪训练3-1:已知数列{a n }的前n 项和S n =2n-n 2,a n =log 5b n ,其中b n >0,求数列{b n }的前n 项和T n .解:当n ≥2时,a n =S n -S n-1=(2n-n 2)-[2(n-1)-(n-1)2]=-2n+3,当n=1时,a 1=S 1=2×1-12=1也适合上式,∴{a n }的通项公式a n =-2n+3(n ∈N *).又a n =log 5b n ,∴log 5b n =-2n+3,于是b n =5-2n+3,b n+1=5-2n+1,∴1n n b b +=212355n n -+-+=5-2=125. 因此{b n }是公比为125的等比数列,且b 1=5-2+3=5, 于是{b n }的前n 项和T n =151251125n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=125241125n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【例1】某校为扩大教学规模,从今年起扩大招生,现有学生人数为b 人,以后学生人数年增长率为4.9‰.该校今年年初有旧实验设备a 套,其中需要换掉的旧设备占了一半.学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备,同时每年淘汰x 套旧设备.(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番,那么每年应更换的旧设备是多少套?(2)依照(1)的更换速度,共需多少年能更换所有需要更换的旧设备?下列数据供计算时参考:解:(1)今年学生人数为b 人,则10年后学生人数为b(1+4.9‰)10≈1.05b,由题设可知,1年后的设备为a ×(1+10%)-x=1.1a-x,2年后的设备为(1.1a-x)×(1+10%)-x=1.12a-1.1x-x=1.12a-x(1+1.1),…,10年后的设备为a ×1.110-x(1+1.1+1.12+…+1.19)≈2.6a-x ×101(1 1.1)1 1.1⨯--≈2.6a-16x,由题设得2.6161.05a x b -=2·a b ,解得x=32a . 即每年应更换的旧设备为32a 套. (2)全部更换旧设备共需12a ÷32a =16年. 即按此速度全部更换旧设备共需16年.【例2】已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a(a ∈R ),且11a ,21a ,41a 成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)对n ∈N *,试比较21a +221a +321a + (21)a 与11a 的大小. 解:(1)设等差数列{a n }的公差为d, 由题意可知221a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=11a ·41a , 即(a 1+d)2=a 1(a 1+3d),从而a 1d=d 2,因为d ≠0,所以d=a 1=a.故数列{a n }的通项公式为a n =na.达标检测——反馈矫正及时总结1.在等比数列{a n }中,公比q=-2,S 5=44,则a 1的值为( )(A)4 (B)-4 (C)2 (D)-2解析:利用等比数列前n 项和公式,得51[1(2)]1(2)a ----=44,解得a 1=4.故选A. 2.一个等比数列的前7项和为48,前14项和为60,则前21项和为( )(A)180 (B)108 (C)75 (D)63解析:此等比数列的中间7项和为12,令后7项和为S,则48S=122,所以S=3.所以前21项和为63.故选D.3.在等比数列{a n }中,若S n 是其前n 项和,且S 4=3,S 8=9,则S 12= .解析:∵S 4,S 8-S 4,S 12-S 8成等比数列,∴(S 8-S 4)2=S 4(S 12-S 8),即(9-3)2=3(S 12-9),得S 12=21.答案:211.等比数列的前n 项和公式共涉及五个量:a 1,q,n,a n ,S n ,其中a 1和q 为基本量,且五个量“知三可求二”;在解决等比数列问题中,要学会用函数与方程、整体代换的思想方法分析问题,养成良好的思维习惯.2.在解等比数列问题时,要注意合理应用等比数列的性质.3.利用等比数列解决实际问题,关键是构建等比数列模型,要确定a 1与项数a 的实际含义,同时要搞清是求a n 还是求S n 的问题.。

2.4等比数列性质及简单应用

猜想3：
性质４：从原数列中取出偶数项组成的猜想４：新数列公差为2d.(可推广) 性质５: 若{cn}是公差为d′的等差数列，猜想５：则数列{an+cn}是公差为d+d′的等差数列。
由等差数列的性质，猜想等比数列的性质 {an}是公差为d的等差数列 {bn}是公比为q的等比数列性质１： an=am+(n-m)d 猜想1：bm b n q m n
若数列{an}是公比为q的等比数列,则
(1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时, {an}是递增数列; 当q>1, a1<0,或0<q<1,a1>0时, {an}是递减数列; 当q=1时, {an}是常数列; 当q<0时, {an}是摆动数列;
(2)an≠0,且anan+2>0 (3)an=amqn-m(n,m∈N*). (4)当n+m=p+q(n,m,p,q∈N*)时,有anam=apaq, (5)当{an}是有穷数列时,与首末两项等距离的两项的积都相等,且等于首末两项的积
b4 b1b7 b2 b6 b3b5
2
∴前七项之积 3

2 3
3 37 2187
3、在等比数列 a n 中，a2
3
2, a5 54 ，求 a 8
a5 54 解：a8 a5 q a5 54 1458 a2 2
另解：∵
a 5 是 a 2 与 a 8 的等比中项，
性质２：若an-k,an,an+k 是{an}中的三项，则2an=an+k+ an-k
性质３：若n+m=p+q 则am+an=ap+aq

第二章 2.4 第2课时等比数列的性质

等差数列
(1)强调每一项与前一项的差 (2)a1 和 d 可以为 0 区 (3)任意两个实数的等差中别项唯一
(4)当 m+n=p+q(m,n,p,q∈ N*)时, am+an=ap+aq
等比数列
(1)强调每一项与前一项的比
(2)a1 与 q 均不为 0 (3)两个同号实数(不为 0)的等比中项有两个值 (4)当 m+n=p+q(m,n,p,q∈N*) 时, aman=apaq
Z Z D 知识梳理 HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
典例透析
IANLITOUXI
2.等比中项
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a
与b的等比中项,这三个数满足关系式G2=ab.
【做一做2】已知10是a与20的等比中项,则a=
.
答案:5
-4-
第2课时等比数列的性质
目标导航
Z Z D 知识梳理 HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
典例透析
IANLITOUXI
1.等比数列的性质剖析已知在等比数列{an}中,首项为a1,公比为q(q≠0),则an=a1·qn-1. (1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,数列{an}是递增数列;当q>1,a1<0 或0<q<1,a1>0时,数列{an}是递减数列;当q=1时,数列{an}是常数列; 当q<0时,数列{an}是摆动数列(它所有的奇数项同号,所有的偶数项同号,但是奇数项与偶数项异号). (2)an=am·qn-m(m,n∈N*). (3)当m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)时,有am·an=ap·aq.但am+an≠ap+aq.当 m+n=2k(m,n,k∈N*)时,有am·an = ��2�� . (4)若数列{an}是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的积相等, 且等于首末两项之积,即a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=am·an-m+1.

2.4 等比数列的性质

第2课时等比数列的性质学习目标1.灵活应用等比数列的通项公式推广形式及变形.2.理解等比数列的有关性质，并能用相关性质简化计算．知识点一等比数列通项公式的推广和变形等比数列{a n }的公比为q ，则 a n ＝a 1q n －1① ＝a m q n －m ② ＝a 1q·q n ③ 其中当②中m ＝1时，即化为①.当③中q ＞0且q ≠1时，y ＝a 1q ·q x为指数型函数．知识点二等比数列常见性质(1)对称性：a 1a n ＝a 2a n －1＝a 3a n －2＝…＝a m ·a n －m ＋1(n >m 且n ，m ∈N *)； (2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n ； (3)若m ，p ，n 成等差数列，则a m ，a p ，a n 成等比数列；(4)在等比数列{a n }中，连续取相邻k 项的和(或积)构成公比为q k(或2k q )的等比数列；(5)若{a n }是等比数列，公比为q ，则数列{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }都是等比数列，且公比分别是q ，1q，q 2.(6)若{a n }，{b n }是项数相同的等比数列，公比分别是p 和q ，那么{a n b n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 也都是等比数列，公比分别为pq 和pq.1．a n ＝a m q n －m (n ，m ∈N *)，当m ＝1时，就是a n ＝a 1q n －1.( √ ) 2．等比数列{a n }中，若公比q <0，则{a n }一定不是单调数列．( √ ) 3．若{a n }，{b n }都是等比数列，则{a n ＋b n }是等比数列．( × )4．若数列{a n }的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{a n }是等比数列．( × )题型一等比数列通项公式的推广应用例1 等比数列{a n }中． (1)已知a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)若{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，求通项公式a n . 解 (1)∵a 7a 4＝q 7－4＝82，即q 3＝4，∴q ＝34，∴a n ＝a 4·q n －4＝2·(34)n －4＝2·4232n -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝25332n -(n ∈N *)．(2)由a 25＝a 10＝a 5·q 10－5，且a 5≠0，得a 5＝q 5，即a 1q 4＝q 5，又q ≠0，∴a 1＝q .由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1得，2a n (1＋q 2)＝5qa n ， ∵a n ≠0，∴2(1＋q 2)＝5q ，解得q ＝12或q ＝2.∵a 1＝q ，且{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2.∴a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)．反思感悟 (1)应用a n ＝a m q n －m ，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a 1. (2)等比数列的单调性由a 1，q 共同确定，但只要单调，必有q >0.跟踪训练1 已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 答案 B解析设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B. 题型二等比数列的性质及其应用例2 已知{a n }为等比数列．(1)若a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，求a 3＋a 5；(2)若a n >0，a 5a 6＝9，求log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值．解 (1)a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝25， ∵a n >0，∴a 3＋a 5>0， ∴a 3＋a 5＝5.(2)根据等比数列的性质，得 a 5a 6＝a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝9， ∴a 1a 2…a 9a 10＝(a 5a 6)5＝95， ∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10 ＝log 3(a 1a 2…a 9a 10) ＝log 395＝10.反思感悟抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题．跟踪训练2 设各项均为正的等比数列{a n }满足a 4a 8＝3a 7，则log 3(a 1a 2…a 9)等于( ) A ．38 B ．39 C ．9 D ．7 答案 C解析 ∵a 4·a 8＝a 5·a 7＝3a 7且a 7≠0，∴a 5＝3，∴log 3(a 1a 2…a 9)＝log 3a 95＝log 339＝9.题型三由等比数列衍生的新数列例3 已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( ) A ．4 2 B ．6 C ．7 D ．5 2 答案 D解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9也成等比数列， ∴(a 4a 5a 6)2＝(a 1a 2a 3)(a 7a 8a 9) ＝5×10，又{a n }各项均为正数， ∴a 4a 5a 6＝5 2.反思感悟借助新数列与原数列的关系，整体代换可以减少运算量．跟踪训练3 等比数列{a n }中，若a 12＝4，a 18＝8，求a 36的值．解由等比数列的性质可知，a 12，a 18，a 24，a 30，a 36成等比数列，且a 18a 12＝2，故a 36＝4×24＝64.等比数列的实际应用典例某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．(1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值．(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？解(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，a n，由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，….由等比数列定义，知数列{a n}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝(1－10%)＝0.9，∴a n＝a1·q n－1＝13.5×(0.9)n－1.∴n年后车的价值为a n+1＝13.5×0.9n万元．(2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)，∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元．[素养评析](1)等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题．(2)发现和提出问题，建立和求解模型，是数学建模的核心素养的体现.1．在等比数列{a n }中，若a 2＝8，a 5＝64，则公比q 为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案 A解析由a 5＝a 2q 3，得q 3＝8，所以q ＝2.2．等比数列{a n }中，若a 2a 6＋a 24＝π，则a 3a 5等于( ) A.π4 B.π3 C.π2 D.4π3 答案 C解析 a 2a 6＝a 24＝a 3a 5，∴a 3a 5＝π2. 3．已知等比数列{a n }共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是( ) A.32 B. 2 C ．2 D ．2 2 答案 C解析奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a 1a 3a 5a 7a 9＝2，a 2a 4a 6a 8a 10＝64，则a 2a 4a 6a 8a 10a 1a 3a 5a 7a 9＝q 5＝32，则q ＝2.4．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，求插入的6个数的积的值．解设这8个数组成的等比数列为{a n }，则a 1＝1，a 8＝2. 插入的6个数的积为a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝(a 2a 7)·(a 3a 6)·(a 4a 5) ＝(a 1a 8)3＝23＝8.5．已知a n ＝2n ＋3n ，判断数列{a n }是不是等比数列？解不是等比数列．∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35，∴a1a3≠a22，∴数列{a n}不是等比数列．1．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法．2．所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量．3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.一、选择题1．对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列答案 D解析由等比数列的性质得，a 3·a 9＝a 26≠0，因此a 3，a 6，a 9一定成等比数列．故选D. 2．在等比数列{a n }中，若a 2 019＝8a 2 016，则公比q 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案 A解析 ∵a 2 019＝8a 2 016＝a 2 016·q 3，∴q 3＝8，∴q ＝2.3．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( ) A ．100 B ．－100 C ．10 000 D ．－10 000答案 C解析 ∵lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝6， ∴a 38＝106，∴a 8＝102＝100.∴a 1a 15＝a 28＝10 000.4．等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6.则a 8等于( ) A ．64 B ．128 C ．256 D ．512 答案 B解析 a 2＋a 3＝q (a 1＋a 2)＝3q ＝6， ∴q ＝2，∴a 1＋a 2＝a 1＋2a 1＝3a 1＝3， ∴a 1＝1.∴a 8＝27＝128.5．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q 为( )A.13 B ．3 C ．±13 D ．±3 答案 B解析设等差数列为{a n }，公差为d ，d ≠0. 则a 23＝a 2·a 6，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，化简得d 2＝－2a 1d ，∵d ≠0，∴d ＝－2a 1，∴a 2＝－a 1，a 3＝－3a 1，∴q ＝a 3a 2＝3.6．(2018·长春模拟)公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11 答案 C解析由题意得，2a 5a 6＝18，a 5a 6＝9，∵a 1a m ＝9，∴a 1a m ＝a 5a 6，∴m ＝10.7．(2018·济南模拟)在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( )A ．12B ．13C ．14D ．15 答案 C解析设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12，可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324，因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14.二、填空题8．设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝ . 答案 18解析由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝a 5a 4＝3.∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝⎝⎛⎭⎫12＋32×32＝18.9．已知数列{a n }是等比数列，且a n >0，a 3a 5＋2a 4a 6＋a 5a 7＝81，则a 4＋a 6＝ . 答案 9解析因为数列{a n }为等比数列，且a 3a 5＋2a 4a 6＋a 5a 7＝81，所以a 24＋2a 4·a 6＋a 26＝81，所以(a 4＋a 6)2＝81，又a n >0，所以a 4＋a 6＝9.10．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝ . 答案 8解析由等比数列的性质，得a 3a 11＝a 27，∴a 27＝4a 7. ∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 7＝a 7＝4. 再由等差数列的性质知b 5＋b 9＝2b 7＝8.11．在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，则a 41a 42a 43a 44＝ . 答案 1 024解析设等比数列{a n }的公比为q ，a 1a 2a 3a 4＝a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 41·q 6＝1，① a 13a 14a 15a 16＝a 1q 12·a 1q 13·a 1q 14·a 1q 15＝a 41·q 54＝8，②②÷①得q 48＝8，q 16＝2，∴a 41a 42a 43a 44＝a 1q 40·a 1q 41·a 1q 42·a 1q 43＝a 41·q 166＝a 41·q 6·q 160＝(a 41·q 6)(q 16)10＝210＝1 024. 三、解答题12．已知数列{a n }是等比数列，a 3＋a 7＝20，a 1a 9＝64，求a 11的值．解 ∵{a n }为等比数列，∴a 1·a 9＝a 3·a 7＝64.又∵a 3＋a 7＝20，∴a 3＝4，a 7＝16或a 3＝16，a 7＝4.①当a 3＝4，a 7＝16时，a 7a 3＝q 4＝4，此时a 11＝a 3q 8＝4×42＝64. ②当a 3＝16，a 7＝4时，a 7a 3＝q 4＝14，此时a 11＝a 3q 8＝16×⎝⎛⎭⎫142＝1. 13．在等比数列{a n }(n ∈N *)中，a 1＞1，公比q ＞0.设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0.(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项a n .(1)证明因为b n ＝log 2a n ，所以b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1－log 2a n ＝log 2a n ＋1a n＝log 2q (q ＞0)为常数，所以数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q .(2)解因为b 1＋b 3＋b 5＝6，所以(b 1＋b 5)＋b 3＝2b 3＋b 3＝3b 3＝6，即b 3＝2.又因为a 1＞1，所以b 1＝log 2a 1＞0，又因为b 1·b 3·b 5＝0，所以b 5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 3＝2，b 5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝2，b 1＋4d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝－1，因此S n ＝4n ＋n (n －1)2(－1)＝9n －n 22.又因为d ＝log 2q ＝－1，所以q ＝12，b 1＝log 2a 1＝4，即a 1＝16，所以a n ＝25－n (n ∈N *)．14．在等比数列{a n }中，若a 7a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20a 10＝ . 答案 23或32解析 ∵{a n }是等比数列，∴a 7·a 11＝a 4·a 14＝6，又a 4＋a 14＝5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝2，a 14＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝3，a 14＝2.∵a 14a 4＝q 10，∴q 10＝32或q 10＝23.而a 20a 10＝q 10，∴a 20a 10＝23或32. 15．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 1，a 2，a 4成等比数列，已知数列a 1，a 3，1k a ，2k a ，…，n k a ，…也成等比数列，求数列{k n }的通项公式．解由题意得a 22＝a 1a 4，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，得d (d －a 1)＝0，又d ≠0，∴a 1＝d .又a 1，a 3，1k a ，2k a ，…，n k a ，…成等比数列，∴该数列的公比q ＝a 3a 1＝3d d＝3，∴n k a ＝a 1·3n ＋1. 又n k a ＝a 1＋(k n －1)d ＝k n a 1， ∴数列{k n }的通项公式为k n ＝3n ＋1(n ∈N *)．。

2.4等比数列(一)

思考 : (1)q 0的理由? (2)既是等差又是等比的数列是否存在?
二、新课讲解
等比中项 : 如果在a与b中间插入一个数G, 使a, G, b成等比数列 , 那么G叫做a与b的等比中项.
(1) G b G2 ab G ab(aGb 0); aG
(2)任一个等比数列, 从第2项起每一项是它的前一项和后一项的等比中项.
§ 2.4 等比数列 (一)
一、新课引入
观察以下数列: (1)1,2,4,8, (2)1, 1 , 1 , 1 ,
248 (3)1,20,202 ,203 ,
问题 : (1)三个数列各自的特点? (2)三个数列有何共同点?
二、新课讲解
等比数列 :
一般地, 如果一个数列从第2项起, 每一项与它的前一项的比等于同一个常数, 那么这个数列称之.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示(q 0 ).
(迭代法)
an a1qn1
二、新课讲解
例1、一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18, 求它的第1项和第2项.
练1、在等比数列an中:
(1)a4 27, q 3,求a7; (2)a2 18, a4 8,求a1和q; (3)a5 4, a7 6,求a9; (4)a5 a1 15, a4 a2 6,求a3.
二、新课讲解
等比数列的通项公式 :
一般地, 如果等比数列an 的首项是a1 , 公比是q, 则
பைடு நூலகம்
a2 a1q, a3 a2q a1q2 , a4 a3q a1q3,
a2 q, a3 q, a4 q,, an q.
a1
a2
a3
an1

高中数学：2.4(二)等比数列(二)

4.在各项均为正数的等比数列{an}中，若a3a5＝4，则a1a2a3a4a5a6a7 ＝________. 解析 ∵a3a5＝a24＝4，an＞0，∴a4＝2. ∴a1a2a3a4a5a6a7＝(a1a7)·(a2a6)·(a3a5)·a4＝43×2＝128. 答案 128
5.有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数.
课堂达标
1.已知等比数列{an}，a1＝1，a3＝19，则 a5 等于(
)
A.±811
B.－811
1 C.81
D.±12
解析根据等比数列的性质可知 a1a5＝a23⇒a5＝aa123＝811. 答案 C
2.在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝2，a4＋a5＋a6＝4，则a10＋
a11＋a12等于( )
【训练1】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数. 解法一设四个数依次为 a－d，a，a＋d，（a＋ad）2，由条件得aa＋－ad＋＋d（＝a1＋a2.d）2＝16，解得ad＝＝44，或ad＝＝9－，6. 所以，当 a＝4，d＝4 时，所求四个数为 0，4，8，16；
规律方法巧用等比数列的性质解题 (1)解答等比数列问题的基本方法——基本量法. ①基本步骤：运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，解出a1 和q，然后利用通项公式求解； ②优缺点：适用面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁. (2)利用等比数列的性质解题 ①基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题； ②优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量.

2.4等比数列定义及性质

(2)a1 5,2an1 3an
解：
an1 3 q an 2 3 n1 又：a1 5 an 5 ( ) 2
例2 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项。解：设这个等比数列的第1项是
② 把②的两边分别除以①的两边，得 3 q2 ③
一、温故知新：
1、等差数列定义： an－an－１=d(d为常数)
2、等差数列单调性：d>0单调递增
d<0单调递减 d=0常数列
3、等差数列的通项公式：an a1 (n 1)d
用什么方法推出的呢？
观察以上数列各有什么特点：
1, 2, 4, 8, … (1)
1 ,1, , 1, 1 2 4 8 … (2)
或 an+1-an=d(n≥1)
a n 1 q ( n 1) 或 an
an q (n 2) a n 1
（2)既是等比数列又是等差数列的数列存在吗？如果存在，你能举出例子吗？非零的常数数列既是等差数列又是等比数列
探究：（1）等比数列的各项能等于0吗？为什么？（2）公比q能等于0吗？等差数列由于等差数列是作差故a n , d 没有要求等比数列由于等比数列的每一项都有可能作分母，
1.等比数列定义：如果一个数列从第二 __项起，每一项与它的前一项的 _比等于 _ 同一个常数，那么这个数列就叫做这个常数叫做等比数公比列的 _____
公差通常用字母d表示公比通常用字母q表示
(1)你能用数学式子表示等比数列的定义吗？
等差数列等比数列
an –an-1=d(n≥2)
等比数列中：
a1 0 a1 0 (1) 或 an 递增 q 1 0 q 1 a1 0 a1 0 (2) 或 an 递减 0 q 1 q 1

2.4 等比数列及性质

第4课时等比数列的概念及通项公式【课标要求】1．理解等比数列定义，会用定义判断等比数列．2．掌握等比数列的通项公式．3．掌握等比中项的定义并能解决相应问题．4．理解等比数列的性质并能应用．5．会用等比数列的性质解题．【核心扫描】1．等比数列的判定．(重点)2．等比数列的通项公式及应用．(重点、难点)3．等比中项及应用4．等比数列的性质及应用．(重点)5．等比数列与等差数列的综合应用．(重点)自学导引1．等比数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．：常数列一定是等比数列吗？2．等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，这三个数满足关系式G＝±ab.3．等比数列的通项公式已知等比数列{a n}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则数列{a n}的通项公式为a n＝a1q n－1.4．等比数列的项与序号的关系以及性质设等比数列{a n}的公比为q.(1)两项关系：a n＝a m q n－m(m，n∈N*)．(2)多项关系：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m a n＝a p a q.(3)若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，a m，a n，a p成等比数列．(4)等比数列的项的对称性有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积(若有中间项则等于中间项的平方)，即a1·a n＝a2·a n－1＝a k·a n－k＋15．等比数列的“子数列”的性质若数列{a n}是公比为q的等比数列，则(1){a n}去掉前几项后余下的项仍组成公比为q的等比数列；(2)奇数项数列{a2n－1}是公比为q2的等比数列；偶数项数列{a2n}是公比为q2的等比数列；(3)在数列{a n}中每隔k(k∈N*)取出一项，按原来顺序组成新数列，则新数列仍为等比数列且公比为q k＋1.6．等比数列的单调性(1)当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，等比数列{a n}是递增数列．(2)当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，等比数列{a n}是递减数列．(3)当q＝1时，等比数列{a n}是常数列．(4)当q<0时，等比数列{a n}是摆动数列．7．等比数列的运算性质(1)若{a n}是公比为q的等比数列，则①{c·a n}(c是非零常数)是公比为q的等比数列；②{|a n|}是公比为|q|的等比数列；③数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列；④{a mn }(m 是整数常数)是公比为q m 的等比数列．特别地，若数列{a n }是正项等比数列时，数列{a m n }(m 是实数常数)是公比为q m的等比数列．(2)若{a n }，{b n }分别是公比为q 1，q 2的等比数列，则数列{a n ·b n }是公比为q 1q 2的等比数列．(3)数列{a n }是各项均为正数的等比数列时，数列{lg a n }是公差为lg q 的等差数列.题型一与等比数列通项公式有关的基本量的求解【例1】在等比数列{a n }中， (1)a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n .(3)a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求a n .【变式1】 (1)若等比数列{a n }的首项a 1＝98，末项a n ＝13，公比q ＝23，求项数n .(2)在等比数列{a n }中，已知a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，求a n .题型二等比中项的应用【例2】 (1)等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于多少？(2)等比数列{a n }的前三项的和为168，a 2－a 5＝42，求a 5，a 7的等比中项．【变式2】 (1)已知a ，－32，b ，－24332，c 这五个数成等比数列，求a ，b ，c 的值．(2)已知b 是a 与c 的等比中项．求证：ab ＋bc 是a 2＋b 2与b 2＋c 2的等比中项．题型三等比数列性质的应用【例3】已知数列{a n }为等比数列．(1)若a n >0，且a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝36，求a 3＋a 5的值； (2)若a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求数列{a n }的通项公式【变式3】 (1)在递增等比数列{a n }中，a 1a 9＝64，a 3＋a 7＝20，求a 11的值．(2)已知数列{a n }成等比数列．若a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．（3）已知等比数列{}a n 满足a n ＞0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( )． A ．(n －1)2 B ．n 2C ．(n ＋1)2D ．n (2n －1)题型四等比数列的判定【例4】数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ＝2,3，…)． (1)求a 2，a 3，并证明数列{a n －n }是等比数列； (2)求a n .【变式4】已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ＋1，求证{a n }是等比数列，并求出通项公式．题型五由递推公式构造等比数列求通项【例5】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．【变式5】已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝52－1a n ，b n ＝1a n －2，（1）证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ＋23是等比数列（2）求数列{b n }的通项公式．。

高中数学第二章数列2.4等比数列第2课时等比数列的性质aa高二数学

第二十三页，共四十二页。
『规律总结』等比数列中的设项方法与技巧 (1)若三个数成等比数列，可设三个数为 a，aq，aq2 或aq，a，aq. (2)若四个数成等比数列，可设为 a，aq，aq2，aq3；若四个数均为正(负)数，可设qa3，aq，aq，aq3.
第二十四页，共四十二页。
• 〔跟踪练习2〕
第十四页，共四十二页。
命题(mìng tí)方向1 ⇨等比数列的性质
•
例题(lìtíபைடு நூலகம் 1在等比数列(děnɡ bǐ shù liè){an}中，已知a4a7＝－512，a3＋
a8＝124，且公比为整数，则a10＝___51_2___.
[解析] 由等比数列的性质，得 a3a8＝a4a7＝－512，由aa33＋ a8＝a8＝－152142，得
－4,2,8
• [分析] (1)四个数成等比数列，可用第一个数与公比q表示各数，然后按所给条件列方程组
求解．
• (2)三个数适当排列，不同的排列方法有6种，但这里不必分成6种，因为若以三个数中哪一
个数为等比中项分类，则只有三种情况，因此对于分类讨论问题，恰当的分类是解决问题的关键．
第二十五页，共四十二页。
25，那么a3＋a5＝
()
A
• A．5 B．10
• C．15 D．20
[解析] 由等比数列的性质，得 a4a6＝a25，a2a4＝a23， ∴(a3＋a5)2＝a23＋2a3a5＋a25，＝a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25， ∴a3＋a5＝±5. ∵an>0，∴a3＋a5＝5.
第十二页，共四十二页。
• (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13，则成等差数列(děnɡ chā shù liè)，则这四个数为__3_,_6_,1_2_,2_4________.

高中数学：第二章 2.4 第一课时等比数列的概念及通项公式

证明：(1)由已知，有 2a2＝a1＋a3，
①
a23＝a2·a4，
②
a24＝a13＋a15.
③
由③得a24＝aa3＋3·aa55，所以 a4＝a23a＋3·aa55.
④
由①得 a2＝a1＋2 a3.
⑤
将④⑤代入②，得 a32＝a1＋2 a3·a23a＋3·aa55.
∴a3＝aa1＋3＋aa35a5，即 a3(a3＋a5)＝a5(a1＋a3)．
[活学活用]
在等比数列{an}中，
(1)a4＝2，a7＝8，求 an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求 n.
解：(1)因为aa47＝＝aa11qq36，，所以aa11qq36＝＝28，，
① ②
② 由①得
q3＝4，从而
q＝3
4，而
a1q3＝2，
于是
a1＝q23＝12，所以
an＝a1qn－1＝2
等比数列的判定与证明
[典例] 在数列{an}中，若 an>0，且 an＋1＝2an＋3(n∈N*)．证明：数列{an＋3}是等比数列．
证明：[法一定义法] ∵an>0，∴an＋3>0. 又∵an＋1＝2an＋3， ∴aan＋n＋1＋33＝2ana＋n＋3＋ 3 3＝2aann＋＋33＝2. ∴数列{an＋3}是首项为 a1＋3，公比为 2 的等比数列．
(2)由 2(an＋an＋2)＝5an＋1⇒2q2－5q＋2＝0⇒q＝2 或12，由 a25＝ a10＝a1q9>0⇒a1>0，又数列{an}递增，所以 q＝2.
a25＝a10⇒(a1q4)2＝a1q9⇒a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为 an＝2n.
[答案] (1)C (2)2n

人教A版高中数学必修五2.4《等比数列的性质》教学课件PPT(32张)

6. 3 2 与 3 2 的等比中项是______1_____.
3 2 3 2
7.已知正数等比数列{an }中，a n a n 1 a n 2
5 1
对所有的自然数 n 都成立，则公比 q =_____2______.
8.(2014·广东高考)等比数列{an}的各项均为正数,且
a1a5=4,则 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=
等比数列,则{can}(c为不等于0的常数)是公比为
qq{a的n2等}是比公数比列为,{qa2n的• 等bn比}是数公列比,数为列qq′abn的n 是等公比比数为列,
q' 的等比数列,数列 an 是公比为 q 的等比数列.
(7)数列
1 an
是公比为
1 q
的等比数列.
(8)在{an}中,每隔k(k∈N*)项取出一项,按原来顺序
或a4 2, a7 4, a4 4, a7 2 a1 8, a10 1 a1 a10 7, a4 2, a7 4 a10 8, a1 1 a1 a10 7.
2.如果-1，a，b，c，-9成等比数列，那么( B )
A.b=3，ac=9
B.b=-3，ac=9
C.b=3，ac=-9
等比数列
an1 q(q为常数， an q 0)
a2 n 1
an
a n2
(n N *，an 0)
3.等比数列的性质: (1)an=amqn-m（n,m∈N*） (2)若m+n=p+q，则aman= apaq（m,n,p,q∈N*） (3)等比数列中，每隔k项取一项,按原来顺序排列,所得的新数列仍为等比数列. (4)a1a2, a3a4, a5a6, …仍为等比数列. (5)在等比数列中,从第二项起,每一项都是它等距离的前后两项的等比中项.

2.4等比数列性质1

q1
思考：
an k 成等比数列吗？ an bn 成等比数列吗？
1、在等比数列{an }中，已知a7 a12 5, 求a8 a9 a10 a11的值。
解 : a7 a12 a8 a11 a9 a10 5 a8 a9 a10 a11 5 25
2
b1b7 b2 b6 b3b5 b4
3 3 2187
7
∴前七项之积 3 b4 ຫໍສະໝຸດ b1b7 b2 b6 b3b5
2 3

7 、在等比数列 { a n } 中， a 4 16 , a 6 64 , 则 a
8
?
256
8、等比数列{a 则下式 n }中，公比为q, 正确的是（ D）
（A）an a 5q
n 1
, (B)an a 4 q
n 2 n 4
(C)an a 4 q
n 4
, (D)an a 4 q
9、等比数列{an} 中，
a4 a7 512 , a3 a8 124，求a10
a10 212 或a10 1
10、三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数。
总结：证明等比数列的三种方法 1、定义法 an 1 an q q n 2 或 an an 1
an 成等比数列
3、等比中项法
2、通项公式法
an A q A, q 0
n
an 成等比数列
a
2 n 1
an an 2
(an , an 1 , an 2 0)
2.4 等比数列的性质
性质1
在等比数列中取出等距离的项所组成的新数列仍成等比数列。(序号成等差数列，则序号相对应的项成等比数列)