江西省萍乡市芦溪中学高中数学选修2-2北师大导学案：第三章导数应用(第2讲)

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高中数学(北师大版)选修2-2教案：第3章导数的实际应用第二课时参考教案

第二课时导数的实际应用（二）一、教学目标：1、使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用；2、提高将实际问题转化为数学问题的能力。

二、教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程：（一）．创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．（二）．新课探究导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。

再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．利用导数解决优化问题的基本思路：（三）．典例分析例1、海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。

现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。

如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？解：设版心的高为xdm ，则版心的宽为128xdm,此时四周空白面积为 128512()(4)(2)12828,0S x x x x x x=++-=++>。

求导数，得'2512()2S x x =-。

令'2512()20S x x=-=，解得16(16x x ==-舍去）。

于是宽为128128816x ==。

当(0,16)x ∈时，'()S x <0；当(16,)x ∈+∞时，'()S x >0.因此，16x =是函数()S x 的极小值，也是最小值点。

高级中学高中数学(北师大版)选修2-2导学案：第三章导数应用(第2讲)

3.设，若函数有大于零的极值点，则（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
4.函数即有极大值又有极小值，则实数的取值范围是．
5.函数的极大值为，极小值为．
能力提升
1.设函数当时的极大值为，极小值为，试比较与的大小．
2.已知函数
（1）求的单调区ຫໍສະໝຸດ ；（2）若的图像与轴有三个交点，求实数的取值范围．
例2.极大值为 ;极小值为
例3.当时，有极大值为，无极小值.
例4.
有极大值极小值
五﹑即学即练
1.当时，函数有极大值，且 ;
当时，函数有极小值，且
2.
3.
§3.1.2函数的极值练案答案
A组
1.C 2.D 3.B 4. 或 5.
B组
1.
2.（1）当时，增区间为：和 ;减区间为：
当时，增区间为：和 ;减区间为：
1.求函数的极值.
2.如果函数在时有极值，
且极大值为4，极小值为0，试求的值.
教学反思
备注：
练案
1.已知函数，则（）
A. 既无极小值也无极大值B. 有极小值0，但无极大值
C. 有极小值0，极大值 D. 有极大值 ,但无极小值
2．已知函数，其导数的
图像如图，则函数的极小值是（）
A. B. C. D.
高二年级数学学科导学案
课题：第三章导数应用（第2讲）
[学习目标]
1.理解极值点的意义，并会利用导数解决函数的极大值、极小值
问题。
2.通过用导数解决函数的极大值、极小值问题的研究过程，体会从特殊到一般的、数形结合的研究方法;培养学生的算法思想。
【重点难点】利用导数求函数的极大值、极小值.

北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数在实际问题中的应用(二) 课件

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3
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课堂小结：
1、解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。 2、导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：（1）、与几何有关的最值问题；（2）、与物理学有关的最值问题；（3）、与利润及其成本有关的最值问题；（4）、效率最值问题。
4 3 S 3 S 3 h h 由①得 b= h,代入②,∴l= 3 h 3 h 3
S 3h h
S S S S l′= 3 2 =0,∴h= 4 , 当 h< 4 时，l′<0,h> 4 时，l′>0. h 3 3 3
24 3 S ∴h= 4 时，l 取最小值，此时 b= 3 3
解

即半径越大利润越高半径r 2时, f r 0,它表 , ; 示f r 单调递减即半径越大利润越低 , , . ① 半径为 cm时, 利润最小这时f 2 0, 表示此种 2 , 瓶内饮料的利润还不够瓶子成本此时利润是负值 , .
'
当r 0,2时, f r 0;当r 2,6时, f r 0. ' 因此,当半径r 2时, f r 0,它表示f r 单调递增 ,
2
o
3
r
好相等;当r 3时, 利润才为正值. 当r 0,2时, f r 是减函数你能 , 图1.4 4 解释它的实际意义吗 ? 通过此问题的解决我们很容易回答开始时 , 的问题.请同学们自己作出回答 .
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练习 1.一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面 ABCD 的面积为定值 S 时，使得湿周 l=AB+BC+CD 最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高 h 和下底边长 b.

高中数学北师大版选修2-2第3章2《第1课时实际问题中导数的意义》ppt课件

• (2)电荷量对于时间的导数是电流．
[解析] (1)当t从1变到2时，电荷量从Q(1)变到Q(2)，此时
电荷量关于时间t的平均变化率为
Q2－Q1 2－1
＝
3×22－ln2－3×12－ln1 1
≈8.31，它表示从t＝1s到t＝2s这段时
间内，平均每秒经过该电路的电量为8.31C，也就是这段时间
＝4Δx＋ΔΔxx2－7Δx＝Δx－3，
所以，f′(2)＝ lim
Δx→0
Δy Δx
＝lim (Δx－3)＝－3.
Δx→0
• 同理可得f′(6)＝5.
• 所以在第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3和5，它说明在第2 h附近，原油温度大约以 3 ℃/h的速度下降；在第6 h附近，原油温度大约以
内电路的平均电流为8.31A．
(2)Q′(t)＝6t－1t ，Q′(2)＝11.5，它的实际意义是：在t＝
2s这一时刻，每秒经过该电路的电量为11.5C，也就是这一时
刻内电路的电流为11.5A．
•导数在生活中的应用
•
将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种
不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x
h时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝x2－7x＋
Δt→0
s1＋Δ含义是t＝1时的瞬时速度．
• 3．火箭竖直向上发射．熄火时向上速度达到100m/s.
则熄火后________秒后火箭速度为零(g取10m/s2)．
• [答案] 10
[解析]
由已知，得火箭的运动方程为h(t)＝100t－
1 2
gt2，
∴h′(t)＝100－gt.
(1)求c′(x)； (2)求c′(90)，c′(98)，并解释它们的实际意义．

北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》实际问题中导数的意义课件

(2) W’(t)= W ′(t ) = 3t − 12t + 16
2
W’(1)=7j/s,W’(2)=4j/s W’(1),W’(2)分别表示分别表示t=1s和t=2s时，分别表示和时这个人每秒做的功为7j和这个人每秒做的功为和4j 在物理学中，通常称力在单位时间内在物理学中，通常称力在单位时间内做的功叫做功率，它的单位是瓦特做的功叫做功率，它的单位是瓦特
二．新课探析 1、功与功率、例1、如图所示，某人拉动一个物体前进，、如图所示，某人拉动一个物体前进，他所做的功W（单位：）是时间t（单位：他所做的功（单位：J）是时间（单位： s）的函数，设这个函数可以表示为）的函数， 3 2 W=W(t)= t − 6t + 16t (1) 求t从1s变到时，功W关于时间的变到3s时关于时间t的从变到关于时间平均变化率，平均变化率，并解释它的实际意义 (2) 求W’(1),W’(2),并解释它们的实际意义并解释它们的实际意义
2
′(10) = 6 − 0.8 × 10 + 0.06 × 10 2 = 4 (元/件)， C 元件，
万件时，因此在生产水平为 10 万件时，每增加一个产品总成本增加 4 元，远低于当前的单位成本．因此从降低成本远低于当前的单位成本．角度看应继续提高产量．角度看应继续提高产量．
件某产品的总成本函数为：例 4.5.4 设生产 q 件某产品的总成本函数为：
（3）边际利润）表示总利润，设总利润函数为 L = L(q) ， L 表示总利润， q 表示销售量，销售量，则 L ′(q) 称为销售量为 q 个单位时的边际利润．边际利润的经济意义是：销售量达到 q 个单位的时边际利润的经济意义是：再增加一个单位的销量，候，再增加一个单位的销量，相应的总利润增加 L′(q)个单位．单位．

高中数学选修2-2北师大版教案：3..2.1实际问题中导数的意义

课时教案科目：数学授课时间：第周星期年月日一、复习引入：本章知识网络:二、典例精析例1.若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，求实数m 的取值范围变式：若函数(]21()2,0,1f x ax x x =-∈在(]0,1x ∈上单调递增，求实数a 的取值范围. 例2．已知函数()ln f x x x =. （Ⅰ）求()f x 的最小值；（Ⅱ）若对所有1x ≥都有()1f x ax ≥-，求实数a 的取值范围. 解析：()f x 的定义域为0∞(，+)， ()f x 的导数()1ln f x x '=+. 令()0f x '>，解得1e x >；令()0f x '<，解得10e x <<. 从而()f x 在10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，在1e ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，+单调递增. 所以，当1e x =时，()f x 取得最小值1e -. 22.（2011·江西高考理科·Ｔ19）设3211()232f x x x ax =-++ （1）若()f x 在2(,)3+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围. （2）当02a <<时，()f x 在[1,4]的最小值为163-，求()f x 在该区间上的最大值.三、作业必做题：课本71页1题（2）（4）（6）（8）2题（2）3、4题选做题;B组1精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数与函数的单调性课件

0
. . . . . ..
2
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x
（－∞，2）上单减, 切线斜率小于0,即其导数为负,在区间（2， +∞）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正. 而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0. 函数在该点单调性发生改变.
结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间
内可导,则函数在该区间
(B)–1<a<1
(D) 0<a<1
3 、当 x∈(-2,1) 时， f(x)=2x3+3x2-12x+1 是( B ) (A)单调递增函数（B）单调递减函数 (C)部份单调增，部分单调减 (D) 单调性不能确定
作业布置：课本P62页习题3-1A组1、2 五、教后反思：
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2.已知导函数的下列信息：
当2 x 3时，f '( x ) 0; 当x 3或x 2时，f '( x ) 0; 当x 3或x 2时，f '( x ) 0.
试画出函数 f ( x )图象的大致形状。 y A
y f ( x)
B o
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2
3
x
设 f '( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数， y f '( x ) 的图象如右图所示,则 y f ( x )的图象最有可能的是( C)
1 1 6 x 3 0, x , 单调增区间为 ,); ( 2 2 1 1 6 x 3 0, x , 单调减区间为 , ). ( 3 2 的单调区间。 2 2 变1：求函数
y 3x 3x
解 : y 9 x 2 6 x 2 2 9 x 6 x 0, x 或x 0, 单调增区间为 ,0) ( ,); ( 3 3 2 2 2 9 x 6 x 0,0 x , 单调减区间为 0, ). ( 3 3 2013-4-2

数学北师大版高中选修2-2导数的几何意义

§2.2导数的几何意义学习目标1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系； 2．理解曲线的切线的概念；3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；学习重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；学习难点：导数的几何意义．一．自主学习（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.问题：⑴割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ ⑵切线PT 的斜率k 为多少？容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无限趋近图3.1-2于切线PT 的斜率k ，即0000()()lim()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数.（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. （二）导数的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点处的切线的斜率，即 0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程. ．二．典例分析例1:（1）求曲线y =f (x )=x 2+1在点P (1,2)处的切线方程.（2）求函数y =3x 2在点(1,3)处的导数.解：（1）222100[(1)1](11)2|limlim 2x x x x x x y x x=∆→∆→+∆+-+∆+∆'===∆∆, 所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为22(1)y x -=-即20x y -=（2）因为222211113313(1)|limlim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- 所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为36(1)y x -=-即630x y --= （2）求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim (3)3x x y x x f x x x→→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆例2．如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h x x x =-++，根据图像，请根据导数的几何意义描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况．解：我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线，刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况．（1）当0t t =时，曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于x 轴，所以，在0t t =附近曲线比较平坦，几乎没有升降．（2）当1t t =时，曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<，所以，在1t t =附近曲线下降，即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在1t t =附近单调递减．（3）当2t t =时，曲线()h t 在2t 处的切线2l 的斜率2()0h t '<，所以，在2t t =附近曲线下降，即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在2t t =附近单调递减．从图3.1-3可以看出，直线1l 的倾斜程度小于直线2l 的倾斜程度，这说明曲线在1t 附近比在2t 附近下降的缓慢．例3．如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位：/mg mL )随时间t （单位：min ）变化的图象．根据图像，估计0.2,0.4,0.6,0.8t =时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）．。

北师大数学选修2-2配套课件：第三章导数应用 §2 第2课时

第三章导数应用
• 本章知识概述：导数应用包括两个方面：一是利用导数作为一种工具在解决函数问题中应用；二是导数在分析和解决实际问题中的应用，在教科书中分为两节．
• 第一部分主要是利用导数来研究函数的单调性与极大、极小值，是导数在研究和处理函数性质问题的一个重要应用．
• 第二部分主要是应用导数方法解决现实中的变化趋势和最优化问题，解决这类问题的关键是函数模型的建立，从导数角度看，主要是导数在数学上的研究成果的应用．导数在现实生活中有着广泛的应用，在物理学中的力学、电学、运动、做功、受热膨胀等问题的解决都离不开导数．在日常生活中，利用导数处理最优化问题简单方便．导数是人们在解决现实生活问题中的伟大发明．
为视)角_，_则__α＝__γ－_β_，_ta.nγ＝3x.2，tanβ＝1x.8，tanα＝tan(γ－β)
＝1t＋anγta－nγttaannββ＝1＋3x.23－.2×x12x.81.8
＝x2＋1.45x.76(x>0)，令(tanα)′＝1.4x2＋x52.＋765.－762x2×1.4x＝0，解得 x＝2.4 或 x＝－2.4(舍去)，在 x＝2.4 附近，导数值由正到负，所以在 x＝2.4 时，tanα 取得最大值，α 也取得最大值．
3．已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：万件)的函数关
系式为 y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为
(C)
A．13 万件
B．11 万件
C．9 万件
D．7 万件
• [解析] 本题考查了导数的应用及求导运算
，∵x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，令
实际问题的答案用_导__数__解决数学问题

高中数学北师大版选修2-2教案-§3 计算导数_教学设计_教案

教学准备
1. 教学目标
1、能根据导数的定义求简单函数的导数，掌握计算一般函数在处的导数的步骤；
2、理解导函数的概念，并能用它们求简单函数的导数。

2. 教学重点/难点
二、教学重点：根据导数的定义计算一般函数在处的导数；
教学难点：导数的定义运用
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
四、教学过程
（一）复习导入新课
注意
那么，如何利用导数的定义求函数的导数？从而导入新课。

（二）、探析新课
计算函数在处的导数的步骤如下：
（1）通过自变量在处的Δx，确定函数在处的改变量：
（2）确定函数在处的平均变化率：
（3）当Δx趋于0时，得到导数
例1、求函数在下列各点的导数
一般地：如果一个函数在区间[a，b]上的每一点x处都有导数，导数值记为：
则是关于x的函数，称为的导函数，通常也简称为导数。

（二）、小结：我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数，如何求它的导数呢？
由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，利用导数的定义计算函数在处的导数的步骤如下：
（三）、练习：课本练习：1、2.
（四）、作业：课本习题2-3：A组1、2、4
五、教后反思：。