百鸡问题

合集下载

“百鸡问题”及其衍生问题

“百鸡问题”及其衍生问题作者：***来源：《中学数学杂志(初中版)》2021年第03期1 百鸡问题简介所谓百鸡问题，是指下面这道中国古代数学题：鸡翁一，值钱五;鸡母一，值钱三;鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只.问鸡翁、母、雏各几何？用现在的语言表述就是：公雞5元1只，母鸡3元1只，小鸡1元3只.用100元钱买100只鸡.问公鸡、母鸡、小鸡各买多少只？百鸡问题是《张丘建算经》中的最后一题.张邱建，北魏清河（今河北邢台市清河县）人，是公元5世纪著名的大数学家.《张丘建算经》成书于公元466年到公元485年之间，现传本有92个问题.该书在最大公约数与最小公倍数的计算、不定方程的求解以及等差数列相关问题的求解等方面，具有独到的见解.百鸡问题是《张邱建算经》中的一个世界著名的不定方程问题.该书给出了这个问题的三组解：（1）公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只;（2）公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只;（3）公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只.自张邱建以后，中国数学家对百鸡问题的研究从来没有间断过，百鸡问题几乎成了不定方程的代名词，从宋代到清代围绕百鸡问题的数学研究取得了许多成就.百鸡问题不仅在中国几乎尽人皆知，而且在国外也有较大影响.2 百鸡问题的解法关于百鸡问题的解法，《张丘建算经》中只提到：“鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益（增加）三，即得.”但他并没有给出更具体的解法.现在我们通过解不定方程的方法来求出这个问题的解.3 与百鸡问题相关的一些问题在《张丘建算经》之后，出现了许多与百鸡问题相类似的问题，其中有些问题是后人自行编拟出来的，而有些问题却有明显的改变痕迹.现在我们挑选出其中的几例，与读者共同分享.1.“百人搬砖”问题（选自《趣味歌词古体算题选》，作者：潘有发，台湾九章出版社1995年出版）.百人搬百砖，男子一搬八，妇女一搬三，小孩三搬一.请问各几人，各搬几块砖？不准列方程，不准用比例，只许用心算，看谁算得快！参照百鸡问题的解法，运用不定方程当然可以求解这个问题，但题目要求我们“用心算”.根据已知条件我们可以进行如下分析：一个男人比一个女人多搬5块砖;三个女人比三个小孩多搬8块砖.因为人数和砖数都必须是正整数，所以，应该先从小孩算起，小孩的人数应该是3的倍数.假设小孩有90人（也可以设小孩有60人，75人，87人等，只要是3的倍数即可，然后再逐一否定），搬砖30块，那么剩下70块要由10人来搬.若这10人都是女人，则只能搬30块，此时剩下的40块砖无人搬.因为每个男人比每个女人多搬5块，所以，只要把其中的8个女人对换成男人，则剩下的40块砖恰好分给8个男人搬.所以，该问题的答案是：男人8人，每人搬8块砖，共搬砖64块;女人2人，每人搬3块砖，共搬砖6块;小孩90人，每3人搬1块砖，共搬砖30块.2.“千钱百鸡”问题（选自程大位原著，梅毂成编《增删算法统宗》）.今有千文买百鸡，五十雄价不差池，草鸡每个三十足，小者十文三个知.用现在的语言表述就是：现有1000元钱去买100只鸡，公鸡每只50元，母鸡每只30元，小鸡3只10元.问公鸡、母鸡、小鸡各买多少只.这道题与百鸡问题没有本质区别，只是钱的总数与每种鸡的价钱都增加到原来的10倍.仿照百鸡问题，通过解不定方程可得三组解：公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只;公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只;公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只.3.“百马百瓦”问题.一百匹马驮一百块瓦，大马驮三块瓦，小马驮两块瓦，两个马驹驮一块瓦.问大马、小马、马驹各几匹？五十多年前，笔者读小学时，先父就曾经给我出过这道题，但具体出处不太清楚.设大马x匹、小马y匹、马驹z匹，根据已知条件有方程组： x+y+z=100，3x+2y+12z=100.解这个不定方程可得下面6组解：4.“和尚几人”问题（选自程大位《算法统宗》）.一百馒头一百僧，大僧三个更无争.小僧三人分一个，大小和尚各几丁.“和尚几人”问题比百鸡问题少了一个条件，从而使得其解法也简单许多.通过求解一个一元二次方程，就可以很容易地求出答案来.程大位在《算法统宗》中曾经给出一个不用方程的漂亮解法.其解法如下：因为1个大和尚吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，所以，1个大和尚和3个小和尚共吃4个馒头.把1个大和尚和3个小和尚看成一组，100个和尚共分为25组.由于每组有1个大和尚和3个小和尚，因此25组有25个大和尚，75个小和尚.5.“百钱买百牛”问题.据传，清代嘉庆皇帝曾仿照“百鸡问题”编了一道“百牛问题”给大臣们做：有银百两，买牛百头，大牛一头十两，小牛一头五两，牛犊一头半两.问大牛、小牛和牛犊各买多少头？答案：买大牛1头，小牛9头，牛犊90头.6.“几人吃饭”问题.在马克思的《数学手稿》中有一个与百鸡问题类似的问题，就是下面这个“几人吃饭”问题：有30个人，其中有男人、女人和小孩，在一家小饭馆吃饭花了50先令.每个男人花3先令，每个女人花2先令，每个小孩花1先令.问男人、女人和小孩各多少人？仿照百鸡问题，通过解不定方程可得下面9组解：观察上面的“百鸡问题”“千钱百鸡问题”“百马百瓦问题”和“几人吃饭问题”的答案不难发现，在每一个问题的所有答案中，x的值所构成的数列是一个等差数列;同样，y的值所构成的数列和z值所构成的数列也都是一个等差数列.与百鸡问题相关的问题，当然不止上面所罗列的这些.要想进一步了解更多的问题，读者可以查阅相关的资料;如果有兴趣，也可以自行编拟一些与之相关的问题.不论是自行求解，还是在课余时间与朋友交流、探讨，都是一件很有意义的事情.参考文献[1]徐品方，徐伟.古算诗题探源[M].北京：科学出版社，2008.9作者简介司志本（1959—），男，河北兴隆人，教授.曾被授予河北省优秀教师，获国家曾宪梓教育基金会教师奖;有170余篇数学论文发表.。

线性代数拓展案例1 百钱百鸡问题

线性代数拓展案例1 百钱百鸡问题 1.问题描述我国古代数学家张丘建在《算经》里面写到中国古代数学家张丘建在他的《算经》中提出了著名的“百钱买百鸡问题”：鸡母一，值钱五，鸡翁一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问母、翁、雏各几何？2.模型分析本题是一个典型的非齐次线性方程组的求解问题。

设母鸡、公鸡和小鸡分别为123,,x x x ，可得如下线性方程组：1231231001531003x x x x x x ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩.这里123,,x x x 均为大于等于零的正整数。

3.模型求解我们将方程组的增广矩阵进行初等行变换，有111100104/3100531/3100017/3200r B --⎛⎫⎛⎫=−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()131312323234410010033,,0772*******x x x x x x x x x x x ⎧⎧-=-=-⎪⎪⎪⎪∴⇔≥⎨⎨⎪⎪+==-+⎪⎪⎩⎩，其通解为1234/31007/3200,10x x k k R x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

根据本题的实际情况，鸡为大于等于零的整数。

可得四组可行解：1111222233330481225,18,11,475788184x x x x x x x x x x x x ====⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪====⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪====⎩⎩⎩⎩。

4. MATLAB 求解代码%百钱百鸡问题问题format rat;A=[1 1 1;5 3 1/3];b=[100 100]';B=[1 1 1 100;5 3 1/3 100];B1=rref(B)%得到矩阵B 的行最简行矩阵x1=null(A,'r') %得到Ax=0的基础解系；即可求得B1 =1 0 -4/3 -1000 1 7/3 200x1 =4/3-7/31稍作分析即可得到模型的解。

百鸡问题(二)

百鸡问题（二）《张邱建算经》中记载着一个非常有名的数学问题，也就是百鸡问题。

这个问题翻译成现代白话文是这样的：公鸡五文钱一只，母鸡三文钱一只，小鸡三只一文钱，现在想用一百文正好买一百只鸡，可以怎样买？这个题涉及到不定式方程。

在百鸡问题这一文中我们已经探讨过它的解法。

本文我们再用两种不同的方法来解决百鸡问题。

我们可以假设一百文正好买x 只公鸡，y 只母鸡，z 只小鸡。

则根据上述条件可以列出如下方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=++100335100x z y x z y 百鸡问题这一文中我们把z 看作已知数来研究的。

本文中，我们分别吧x 、y 看作已知数来研究这一问题。

如果把x 当作已知数，那么由上述方程可知⎪⎩⎪⎨⎧+=-=x z x y 43754725 因为y 和z 都表示鸡的只数，所以它们都是大于0的整数。

所以x 是4的倍数，并且由y 是正整数可知04725>-x ，因此72147100=<x 。

小于15的非0自然数只有4、8、12是4的倍数。

所以x 只能取4，8，12这三个数。

当x=4时，1872544725y =-=⨯-=，7844375z =⨯+=。

当x=8时，11142584725y =-=⨯-=，8184375z =⨯+= 当x=12时，42125124725y =-=⨯-=，84124375z =⨯+=。

因此该问题有三组解，即公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只；公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只。

如果把y 当做已知数可知，由上述方程可知⎪⎩⎪⎨⎧-+=-=-+=-=73585736007421474100y y z y y x 因为x 和z 都是大于零的自然数，所以2－4y 和5－3y 都是7的倍数。

也就是说4y 除以7余数是2，3y 除以7余数是5。

当y 除以7余数分别是1、2、3、4、5、6时所对应4y 除以7的余数分别是4，1、5、2、6、3。

百钱买百鸡解题思路数学

百钱买百鸡这个题目是一个著名的数学难题，它要求用一百个钱币购买一百只鸡，其中公鸡x只，母鸡y只，小鸡z只，且x+y+z=100，且5x+3y+z/3=100。

使用现代计算机技术的优势，可以通过暴力穷举来解决这个问题。

小朋友也可以在Scratch编程中，通过引入变量和穷举法来实现这一过程。

首先，设置三个变量x、y和z，它们分别代表公鸡、母鸡和小鸡的数量。

设置一个计数器，用于显示穷举的执行时间。

然后，开始穷举。

从x的最小值开始，即0，依次增加到最大值，即100/5，检查是否满足x+y+z=100。

如果满足，继续检查是否满足5x+3y+z/3=100。

如果都满足，则表示找到了一个解。

在穷举过程中，可以使用计时器显示穷举的执行时间，以便学生了解求解过程的耗时情况。

最后，输出找到的所有解，包括公鸡、母鸡和小鸡的数量。

这些解可能有四种情况：公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只；公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只；公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只。

通过这种方式，可以使用Scratch编程解决这个数学难题，并且通过计时器显示执行时间，了解求解过程的耗时情况。

例9-8 百钱买百鸡问题——一百个铜钱买了一百只鸡,其中公鸡

鸡问题一百个铜钱买了一百只鸡其中公鸡一只5钱母鸡一只3钱小鸡一钱3只问一百只鸡中公鸡母鸡小鸡各多少?这是一个古典数学问题设一百只鸡中公鸡母鸡小鸡分别为xyz问题化为三元一次方程组
例 9-8 百钱买百鸡问题——一百个铜钱买了一百只鸡，其中公鸡一只 5 钱、母鸡一只 3 钱，小鸡一钱 3 只，问一百只鸡中公鸡、母鸡、小鸡各多少）。
4．1 z＝1 4．2 是否满足百钱，百鸡
4．2．1 满足，输出最终百钱买到的百鸡的结果 4．2．2 不满足，不做处理 4．3 变量增加，这里注意步长为 3 流程图
版权所有：东北大学计算中心
开始定义x，y，z
x<=20?
N
Y N
y<=33?
Y
N
z<=99?
Y
百钱和百鸡？
N
Y
输出百鸡的结果
结束
图 5-8 程序执行流程图
版权所有：东北大学计算中心
这是一个古典数学问题，设一百只鸡中公鸡、母鸡、小鸡分别为 x，y，z，问题化为三元一次方程组：
5x 3y z / 3 100(百钱)
x
y
ห้องสมุดไป่ตู้
z
100(百鸡)
这里 x,y,z 为正整数，且 z 是 3 的倍数；由于鸡和钱的总数都是 100，可以确定 x,y,z 的取值范围：
1) x 的取值范围为 1～20 2) y 的取值范围为 1～33 3) z 的取值范围为 3～99，步长为 3 对于这个问题我们可以用穷举的方法，遍历 x,y,z 的所有可能组合，最后得到问题的解。数据要求问题中的常量：无问题的输入：无问题的输出： int x，y，z /*公鸡、母鸡、小鸡的只数*/ 初始算法 1．初始化为 1； 2．计算 x 循环，找到公鸡的只数； 3．计算 y 循环，找到母鸡的只数； 4．计算 z 循环，找到小鸡的只数； 5．结束，程序输出结果后退出。算法细化算法的步骤 1 实际上是分散在程序之中的，由于用的是 for 循环，很方便的初始条件放到了表达式之中了。步骤 2 和 3 是按照步长 1 去寻找公鸡和母鸡的个数。步骤 4 的细化

百钱百鸡问题

百鸡问题
公元5世纪末，我国古代数学家张丘建在他所撰写的《算经》中，提出了这样的一个问题：“鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？”意思是公鸡5元一只，母鸡3元一只，小鸡1元三只。

用100元100只鸡，求公鸡、母鸡、小鸡各买几只。

假设a 为公鸡只数，b 为母鸡只数，c 为小鸡只数，如果把问题转化为n 元钱买n 只鸡，针对上述问题n =100，根据题意可得出下面的约束方程:
53/3%30
a b c n
a b c n c ++=++==
用穷举法实现如下所示：
图4.3 穷举法求解百鸡问题
这个算法有三重循环，枚举公鸡数量的外循环，枚举母鸡数量的中间循环以及枚举小鸡数量的内循环，主要执行时间取决于内循环的循环体的执行次数，需要执行(n+1)3次，当n=100时，内循环需要执行大于100万次。

考虑到n元钱只能买到n/5只公鸡或n/3只母鸡，因此有些组合可以不必考虑，而小鸡的数目又取决于公鸡和母鸡的只数，上述的内循环可以省去。

图4.3 改进算法求解百鸡问题
改进算法只有两层循环，枚举公鸡数量的外循环和枚举母鸡数量的内循环，内循环的执行次数为(n/5+1) (n/3+1)。

当n=100时，内循环执行21*34=714次，这和穷举算法的100万次相比，仅为原来的万分之七，有重大改进。

百鸡问题

百鸡问题我国北魏时期有一位小孩名叫张邱建，他从小聪明伶俐尤其擅长计算，在当地名气很大。

县令听说后就决定考一考他。

于是县令交给他一百文，要买张邱建家的一百只鸡，而且要求钱数必须正好。

当时鸡的价格如下：公鸡每只五文，母鸡每只三问，小鸡三只一文。

张邱建很快就算出结果。

县令有交给他一百文，让他再买来一百只鸡，不能与上次相同，张邱建很快就算好了，一连三次，张邱建拿来的鸡正好都是一百只，钱数也正好是一百文。

县令连连称奇，赞不绝口。

我们试着算一下这个问题。

假设公鸡x 只，母鸡y 只，小鸡z 只。

那么根据县令的要求我们可以列出如下两个方程： ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++1003z 3y 5x 100z y x 该问题中有三个未知数，有两个方程，我们把它称为不定式方程。

在解的时候可以用其中一个未知数，表达另外两个未知数，再结合条件限制，就可以确定方程的解。

我们把z 看成常量。

则可知⎪⎩⎪⎨⎧-=-=z y z 3720010034x 因为x,y 分别代表的是公鸡母鸡只数，所以x,y 是大于0的自然数。

所以z 34，z 37是整数因此，z 必须是3的倍数。

又因为x,y 大于零。

因为x 大于0，所以100z 34-大于零，因此在z>754300=。

因为y 大于0，所以z 37200—大于零，因此z<75857600=。

因为76到85之间的3的倍数有78，81，84因此z 只能取78，81，84这三个数。

当z=78时，x=4100-7834=⨯；y=187837200=⨯—。

当z=81时 x=8100-8134=⨯；y=118137200=⨯—。

当z=84时 x=12100-8434=⨯；y=48437200=⨯— 所以满足条件的解有三组，即公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只；公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只。

趣题巧解-《张邱建算经》“百鸡问题”

趣题巧解-《张邱建算经》百鸡问题
古代《张邱建算经》中的百鸡问题是一道很有名的算题。

题目内容是：用100元买100只鸡，大公鸡5元1只，母鸡3元1只，小鸡1元3只。

问各能买多少只？想：把三种鸡的只数分别设为未知数x、y、z，然后利用总只数、总钱数两个条件，列出两个方程，根据鸡的只数必须取整数的要求，一步一步推出各种鸡的只数。

解：设大公鸡x只，母鸡y只，小鸡z只。

根据题意，得把③式代入①式z+y+6x+3y=100得 x2=8y3=18把x、y的解代入③式得答：买大公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只；或买大公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只；或买大公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只。

数学的有趣问题

数学的有趣问题（百鸡问题）中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5 文钱，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。

现在用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。

解法如下：设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：①……x＋y＋z ＝100②……5x＋3y＋(1/3)z ＝100有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。

令②×3－①得：7x＋4y＝100；所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4令x/4=t, （t为整数）所以x=4t把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t易得z=-75-3t所以：x=4ty=25-7tz=75+3t因为x,y,z大于等于0所以4t大于等于025-7t大于等于075+3t大于等于0解得t大于等于0小于等于25/7 又因为t为整数所以t=0,1,2,3（这里不要忘记t有等于0得可能）当t=0时x=0,y=25,z=75当t=1时x ＝4；y ＝18；z ＝78当t=2时x ＝8；y ＝11；z ＝81当t=3时x ＝12；y ＝4；z ＝84（过河问题）一个人带了一只羊、一只狼和一筐菜要过河，由于船很小，人每次只能带一样东西过河，但人一走，狼会吃羊，羊也会吃菜，问应如何安排，才能用最少的次数安全渡过河去？此题的关键是——狼不吃菜。

先把羊带过去，此时狼和菜在一起，安全。

空着手回来。

下面就很简单了。

把狼带过去，到对岸时把狼留那儿，把羊带回来，再把菜带过去，再空着手回来把羊带回去就可以了。

当然，第二次带菜也可以，一样的。

（验血问题）某次大战前夕，10万大军将在三天后出征。

军医发现军中有一位士兵带入了一种传染病菌。

三天后发作将快速传染全军，使10万大军丧失战斗力，只有验血才能判断谁是患者。

百钱买百鸡数学解法

百钱买百鸡数学解法《百钱买百鸡数学解法》是一道经典的数学问题。

问题的背景是：有100元钱，要买100只鸡，公鸡5元一只，母鸡3元一只，小鸡1元三只，问可以买到多少只公鸡、母鸡和小鸡？我们可以用代数方法来解决这个问题。

设公鸡数量为x，母鸡数量为y，小鸡数量为100-x-y，则有以下方程组：5x + 3y + (100-x-y)/3 = 100x + y + (100-x-y)/3 = 100/5将第二个式子化简，可得：2x + 2y = 100将其代入第一个式子中，化简后可得：7x + 4y = 100将7x除以4，可得x的取值：x=4，11，18，25，32，39，46，53，60，67，74，81，88，95。

由于公鸡数量必须是整数，因此在这些取值中，我们只能选择x=4，11，18，25，32，39，46，53，60，67，74，81，88，95这14种情况。

将x的取值代入2x+2y=100中，可得y的取值：当x=4时，y=23当x=11时，y=19当x=18时，y=15当x=25时，y=11当x=32时，y=7当x=39时，y=3当x=46时，y=-1当x=53时，y=-5当x=60时，y=-9当x=67时，y=-13当x=74时，y=-17当x=81时，y=-21当x=88时，y=-25当x=95时，y=-29由于母鸡数量也必须是整数，因此我们只能选择前6种情况，即x=4，11，18，25，32，39。

此时小鸡数量就可以通过100-x-y计算得到。

因此，当公鸡数量为4只，母鸡数量为23只，小鸡数量为73只时，满足题意。

当然，其他5种情况也是可以求出的。

小学奥数百鸡问题详解

小学奥数百鸡问题详解百鸡问题，现代数学用不定方程求解，在小学阶段，不少同学都是用拼凑的办法来解决。

这里介绍一种新方法，对小学生很适用《张丘建算经》中有这样一题：公鸡每只值5文钱，母鸡每只值3文钱，小鸡每3只值1文钱。

现在用100文钱买100只鸡，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？这是中国古代算术中的一类典型问题百鸡问题，现代数学用不定方程求解，在小学奥数题解题中，不少同学都是用拼凑的办法来解决。

这里介绍一种新方法，对小学生很适用。

1、求倍数。

每只公鸡值5文钱，每只母鸡值3文钱，每只小鸡值1/3文钱。

以最便宜的小鸡为标准，公鸡和母鸡的价格分别是小鸡的51/3=15倍和31/3=9倍。

2、算超额。

假设100文钱全部买小鸡，可买1001/3=300只，超出实有三种鸡总数300-100=200只。

3、组等式。

由于公鸡置换成小鸡可多出自身只数的15-1=14倍，母鸡置换成小鸡可多出自身只数的9-1=8倍。

不难理解，上述假设中多出的200只即为公鸡和母鸡置换成小鸡后一共增加的只数，关系式为：公鸡只数14+母鸡只数8=200.4、试结果。

一般来说，不定方程的正整数解按关系式就可以观察得到。

我们也可以先把等式变形，观察起来更为容易。

方法是，在等式两边同时除以一个相同的数（0除外），得到等式右边为整数，左边只有一项系数是分数的形式。

在上式两边同时除以8，得到：公鸡只数7/4+母鸡只数=25.显然，公鸡只数必须是4的倍数。

这样，从4 起，依次用4的倍数去试算，可以得出三种情况：公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；或公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只；或公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只。

下面再举一例来验证。

大数学家欧拉曾提出过这样的问题：一头猪321（31 2）银币，一只山羊131（11 3）银币，一只绵羊21（1/2）银币。

有人用100个银币，买了100头牲畜。

问：猪、山羊、绵羊各多少？猪的单价是绵羊的31 21/2=7倍，山羊的单价是绵羊的11 31/2=22 3倍，猪和山羊分别置换成绵羊，可多出自身只数的7-1=6倍和22 3-1=12 3倍。

百鸡问题

历史渊源
原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。 1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
百鸡问题
数学问题
01 问题
目录
02 历史渊源
百鸡问题是一个数学问题，出自中国古代约5—6世纪成书的《张丘建算经》，是原书卷下第38题，也是全书的最后一题，该问题导致三元不定方程组，其重要之处在于开创“一问多答”的先例。
问题
今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十四，值钱二十八。”
解法
数学解法
从现代数学观点பைடு நூலகம்看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。
感谢观看

例9-8 百钱买百鸡问题——一百个铜钱买了一百只鸡,其中公鸡

4．1 z＝1 4．2 是否满足百钱，百鸡
4．2．1 满足，输出最终百钱买到的百鸡的结果 4．2．2 不满足，不做处理 4．3 变量增加，这里注意步长为 3 流程图
版权所有：东北大学计算中心
开始定义x，y，z
x<=20?
N
Y ;=99?
Y
百钱和百鸡？
N
Y
输出百鸡的结果
结束
图 5-8 程序执行流程图
分析
版权所有：东北大学计算中心
程序运行结果如下： cock=4,hen=8,chicken=78 cock=8,hen=11,chicken=81 cock=12,hen=4,chicken=84 对于这个问题实际上可以不用三重循环，而是用二重循环，因为公鸡和母鸡数确定后，小鸡数就定了，即 z 100- x - y 。请同学们自己分析二重循环和三重循环的运行次数，做为练习自己调试这一方法。
版权所有：东北大学计算中心
程序代码如下 #include "stdio.h" main() { int x,y,z; for(x=1;x<=20;x++) { for(y=1;y<=33;y++) { for(z=3;z<=99;z+=3) { if((5*x+3*y+z/3==100)&&(x+y+z==100))/* 是否满足百钱和百鸡的条件 */ printf("cock=%d,hen=%d,chicken=%d\n",x,y,z); } } } }
5x 3y z / 3 100(百钱)
x
y
z
100(百鸡)

百钱买百鸡数学解法

百钱买百鸡数学解法
百钱买百鸡是一个古老的数学问题，其解法可以帮助我们锻炼数学思维和逻辑推理能力。

问题描述：有100元钱，要买100只鸡。

公鸡5元一只，母鸡3元一只，小鸡1元三只。

问应该如何购买，才能恰好花光100元钱并买到100只鸡？
解法：假设公鸡、母鸡、小鸡的数量分别为x、y、z，那么有以下几个条件：
1. x + y + z = 100（总数为100只鸡）
2. 5x + 3y + z/3 = 100（总价为100元钱）
将第二个条件化简得到：
15x + 9y + z = 300
根据第一个条件将z表示为z = 100 - x - y，代入上式得到： 15x + 9y + 100 - x - y = 300
化简得到：
14x + 8y = 200
将式子左右两边同时除以2得到：
7x + 4y = 100
由此可以得到一个结论：x和y必须满足7的倍数关系，因为4y 必须是4的倍数，而且100 - 7x也必须是4的倍数。

因此，我们可以在x和y的限制条件下，穷举出所有可能的解，并检查是否符合第二个条件。

最终得到的解为：
公鸡20只，母鸡40只，小鸡40只。

这个问题的解法虽然比较简单，但是通过这个问题可以锻炼我们的数学思维和逻辑推理能力，帮助我们更好地理解和应用数学知识。

同余理论—不定方程(小学数学课件)

公鸡母鸡小鸡价钱结果
1 6 93 54 × 1 9 90 62 × 1 12 87 70 × 1 15 84 78 × 1 18 81 86 × 1 21 78 94 × 1 24 75 102 × 1 27 72 110 × 1 30 69 118 × 1 33 66 126 × 2 2 96 48 × 2 5 93 56 × 2 8 90 64 × 2 11 87 72 × ……………
公鸡每只5钱，母鸡每只3钱，小鸡3只鸡各多少？
我们用“枚举法”来解此问题。所谓枚举法就是将各种组合的可能性全部一一考虑到，对每一组合检查它是否符合给定的条件，将符合条件的找出即可。
我们将买公鸡、母鸡和小鸡所有的情况一一列举，依题意得：公鸡最多买20只，母鸡最多买33只，小鸡最多买100只，并将小鸡的只数不能被3整除的组合去掉，就把这样全部可能的组合一一测试过，共只需测试228种情况，具体见下表：（因篇幅有限，此处列举一部分)
“百钱买百鸡”问题
百钱买百鸡
我国古代数学家在《算经》中出了一道著名的“百钱买百鸡”问题： “鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？” 意为：公鸡每只5钱，母鸡每只3钱，小鸡3只1钱。用100钱买100只鸡，问公鸡、母鸡和小鸡各多少？
一、用枚举法求解百钱买百鸡问题
因此，方程(1)的所有整数解：
x = 4t y = 25 − 7t
(t=0，±1， ±2，……)
依题意得：0≤x≤20， 0≤ y ≤ 33，所以0≤t≤3，即t可以取整数值t1=0， t2=1， t3 =2， t4 =3. 相应地求得x，y，z的值是(x，y，z)= (0，25， 75)，(4，18，78)，(8，1，81)，(12，4，84).

百钱百鸡问题的课程思政

百钱百鸡问题的课程思政百钱百鸡问题是一个经典的数学问题，也是一个生活中常见的实际问题。

它是一个启发思考的问题，通过解决这个问题，可以培养学生的逻辑思维能力和实际问题解决能力，同时也能从中引发对社会分配公平性的思考。

在课程思政中，我们可以通过讨论百钱百鸡问题，引导学生思考社会的公平性和资源分配的合理性等问题。

下面我们来详细探讨一下。

首先，百钱百鸡问题是一个关于资源分配的问题。

问题中要求用100枚铜钱购买100只鸡，母鸡5枚钱一只，公鸡3枚钱一只，小鸡1枚钱三只。

这个问题实际上暗含了资源的合理利用、优化分配的思维方式。

在具体解题过程中，学生需要通过巧妙的分析和计算，找到一种最优的资源分配方案，使得100元钱既购买了100只鸡，又最大程度上发挥了资源的利用效益。

从而,课后可延伸提问学生们可以探索百钱买100只兔子的问题,或放宽限制提高一些的情况下会有怎样的变化。

这样呢，就能够引导学生思考资源分配的公平性和效率性问题，激发他们在未来面临类似问题时的分析和解决能力。

另外，百钱百鸡问题也可以引发学生对社会公平性的思考。

在问题中，母鸡、公鸡和小鸡的价格不同，这涉及到物价和资源分配的问题。

对于学生来说，通过解决这个问题不仅可以锻炼他们的数学运算能力，还可以引导他们思考社会资源的分配是否存在公平性问题。

他们可以思考，为什么母鸡的价格比公鸡贵呢？为什么小鸡的价格比母鸡还低呢？这背后是否存在某种具体的原因或者规律？这样一来，不仅能加深学生对数学知识的理解，还可以拓展他们的思维广度，使他们在思考社会问题时更加全面和综合。

最后，百钱百鸡问题还可以启发学生对资源利用的节约性思考。

在问题中，我们要通过合理的购买方式，最大限度地利用有限的资金购买最多的鸡。

这就要求学生具备节约资源的意识和能力。

我们可以引导学生思考，如果不计成本，购买100只鸡的方式会发生怎样的变化？如果同时考虑成本和效益，应该如何制定购买计划？通过这样的探讨，可以培养学生的节约意识和资源管理能力，让他们在日常生活中更加注重资源的合理利用。