特殊三角函数值及其计算
特殊角的三角函数值记忆口诀高中
特殊角的三角函数值记忆口诀高中
一、特殊角的定义
在三角形中，我们通常将一些特殊的角度定义为特殊角，这些角度包括0度、30度、45度、60度和90度。
这些特殊角通常对应于具体的三角函数值，为了便于记忆，我们需要掌握它们的具体数值。
二、特殊角的三角函数值
1. 0度角
•正弦值：sin(0) = 0
•余弦值：cos(0) = 1
•正切值：tan(0) = 0
2. 30度角
•正弦值：sin(30) = 1/2
•余弦值：cos(30) = √3/2
•正切值：tan(30) = 1/√3 = √3/3
3. 45度角
•正弦值：sin(45) = √2/2
•余弦值：cos(45) = √2/2
•正切值：tan(45) = 1
4. 60度角
•正弦值：sin(60) = √3/2
•余弦值：cos(60) = 1/2
•正切值：tan(60) = √3
5. 90度角
•正弦值：sin(90) = 1
•余弦值：cos(90) = 0
•正切值：tan(90) = ∞
三、口诀
为了方便记忆这些特殊角的三角函数值，可以借助口诀来帮助记忆，以下是一个常用的口诀：
0度肆壹阳，30度贰叁强，45度肆方根，60度肆弦弓，9 0度偶成绩。
通过这个口诀，我们可以轻松记住这些特殊角的三角函数值，帮助在高中数学学习中更好地应用三角函数知识。
三角函数值表
• 0°角的正弦值、余弦值、正切值 • 90°角的正弦值、余弦值、正切值 • 180°角的正弦值、余弦值、正切值
三角函数值表的生成原理
• 角度与弧度的转换 • 三角函数的周期性 • 三角函数的对称性
02
反三角函数的概念及性质
反三角函数的定义及计算
01
反三角函数的定义
• 正弦函数的反函数：arcsin • 余弦函数的反函数：arccos • 正切函数的反函数：arctan • 余切函数的反函数：coth • 正割函数的反函数：arcsec • 余割函数的反函数：arccsc
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谢谢观看
三角函数值表的生成原理
角度与弧度的转换
• 角度与弧度的关系 • 角度与弧度的转换公式
三角函数的周期性
• 正弦函数的周期性 • 余弦函数的周期性 • 正切函数的周期性
三角函数的对称性
• 正弦函数的对称性 • 余弦函数的对称性 • 正切函数的对称性
三角函数值表的使用方法
三角函数值表的查询
• 角度的查询 • 弧度的查询
信号滤波处理
• 利用三角函数值表进行信号滤波 • 利用反三角函数进行信号滤波
05
三角函数值表在数学教育中的应用
三角函数值表在教学中的辅助作用
教学中的示例
• 利用三角函数值表讲解三角函数 • 利用反三角函数讲解反三角函数
教学中的练习
• 利用三角函数值表进行练习 • 利用反三角函数进行练习
三角函数值表在学生解题中的应用
解题中的计算
• 利用三角函数值表进行计算 • 利用反三角函数进行计算
解题中的推理
• 利用三角函数值表进行推理 • 利用反三角函数进行推理
28.1特殊角的三角函数值(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与特殊角三角函数值相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过测量和计算，演示特殊角三角函数值在直角三角形中的应用。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“特殊角的三角函数值在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对特殊角的三角函数值的概念和应用掌握得还算不错。在导入新课环节，通过日常生活中的例子来引起学生的兴趣，看来效果挺好的，大家都很积极地参与到课堂讨论中。但在讲授理论部分，我发现有些学生对特殊角的记忆不够熟练，需要在这方面多下功夫。
在新课讲授中，我尽量用简单明了的语言解释概念，并通过案例分析让学生更好地理解。不过，我注意到在解释难点时，部分学生还是显得有些困惑。下次我可以尝试用更多直观的图形和实际操作来帮助他们理解。
2.教学难点
-特殊角的三角函数值推导过程的理解。
-运用三角函数值解决实际问题时，对问题模型的建立和转化。
-掌握在坐标平面中，如何利用特殊角的三角函数值来确定点的坐标。
举例：
-难点一：推导sin45°=cos45°=√2/2的过程。教师需要通过直观的图形和逻辑推理，帮助学生理解45°角的正弦和余弦值相等，并且是根号二除以二。
九年级数学下册《特殊角的三角函数值及用计算器求角的三角函数值》教案、教学设计
3.教学评价：
-课堂问答：通过提问，了解学生对特殊角的三角函数值的掌握情况。
-作业布置：设计富有层次性的作业，Байду номын сангаас学生在课后巩固所学知识。
-课堂练习：进行计算器操作练习，评价学生的实际应用能力。
-小组讨论：观察学生在小组合作中的表现，评价学生的团队协作能力。
3.总结规律：
-引导学生发现特殊角三角函数值的规律；
-解释特殊角三角函数值与角度之间的关系。
（三）学生小组讨论
在这一环节中，我们将组织学生进行小组讨论，共同探讨三角函数值的记忆方法和计算器操作技巧。
1.分组：将学生分成若干小组，每组4-6人。
2.话题：讨论如何记忆特殊角的三角函数值，以及计算器操作的注意事项。
2.学生练习：学生在课堂上独立完成练习题。
3.交流反馈：学生相互交流答案，讨论解题过程中的困惑。
4.点评讲解：教师对学生的练习情况进行点评，针对共性问题进行讲解。
（五）总结归纳
在这一环节中，我们将对本节课所学知识进行总结，帮助学生巩固记忆。
1.回顾：引导学生回顾本节课所学内容，包括特殊角的三角函数值、计算器操作方法等。
1.提问：请同学们回忆一下，我们之前学习的三角函数有哪些？它们分别表示什么意义？
2.学生回答：正弦、余弦、正切。
3.追问：那么，这些三角函数的值与角度之间有怎样的关系呢？
4.学生回答：角度不同，三角函数的值也会不同。
5.引入新课：今天我们将学习特殊角的三角函数值，以及如何使用计算器求任意角的三角函数值。
2.教学过程：
-导入新课：通过复习一般角的三角函数，自然过渡到特殊角的三角函数值的学习。
sin75°的三角函数值
sin75°的三角函数值三角函数是数学中的一个分支，它研究的是三角形的性质和三角形中各个角度的关系。
其中，sin函数是最基本的三角函数之一，它的值可以用来计算各种角度的相关问题。
本文将着重讨论sin75°的三角函数值及其应用。
一、sin函数的定义sin函数是指在单位圆上，以原点为圆心，以x轴正半轴为起始线，连接圆上一点P(x,y)与原点O(0,0)的线段与x轴正半轴所夹的角度的正弦值。
即sin函数的定义如下：sinθ = y / r其中，θ为角度，y为对边长度，r为斜边长度。
二、sin75°的三角函数值sin75°的三角函数值可以通过以下步骤来计算：1. 画出一个以原点为圆心，半径为1的单位圆。
2. 以x轴正半轴为起始线，向逆时针方向旋转75°。
3. 在圆上标出旋转后的点P，其坐标为(cos75°，sin75°)。
4. 根据sin函数的定义，sin75° = y / r，其中y为点P到x 轴的距离，r为单位圆的半径，即sin75° = sin(π/4 + π/6) = sin(5π/12) = 0.96592582628。
三、sin75°的应用sin75°的三角函数值在实际生活中有着广泛的应用。
以下是几个例子：1. 建筑工程中的角度计算：在建筑工程中，需要计算各种角度的大小，以便确定建筑物的结构和布局。
sin75°的三角函数值可以用来计算各种角度的大小，从而帮助建筑师和工程师设计出更加稳固和美观的建筑物。
2. 物理学中的力学问题：在物理学中，经常涉及到各种力学问题，如运动物体的速度、加速度等。
sin75°的三角函数值可以用来计算物体的运动轨迹和速度，从而帮助物理学家更好地理解物体的运动规律。
3. 统计学中的数据分析：在统计学中，需要对数据进行分析和处理，以便得出有意义的结论。
三角函数的积分运算与应用
三角函数的积分运算与应用三角函数是数学中重要的概念之一，在数学领域的广泛应用中起着重要的作用。
本文将探讨三角函数的积分运算及其在实际问题中的应用。
一、三角函数的基本积分公式在积分运算中，三角函数有其特定的公式来求解其积分。
1. 正弦函数的积分公式∫ sin(x) dx = -cos(x) + C其中，C为任意常数，表示积分的不确定性。
2. 余弦函数的积分公式∫ cos(x) dx = sin(x) + C同样地，C为任意常数。
3. 正切函数的积分公式∫ tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C其中，ln表示自然对数，C为任意常数。
二、三角函数积分的特殊情况1. 正弦函数的平方的积分∫ sin^2(x) dx = (1/2)(x - sin(x)cos(x)) + C公式中的C为常数。
2. 余弦函数的平方的积分∫ cos^2(x) dx = (1/2)(x + sin(x)cos(x)) + C同样地，C为常数。
三、三角函数积分的运算规律对于一些特定的积分运算，三角函数有其重要的运算规律。
1. 正弦函数乘余弦函数的积分∫ sin(x)cos(x) dx = (1/2)sin^2(x) + C其中，C为常数。
2. 正切函数的平方的积分∫ tan^2(x) dx = tan(x) - x + C同样地，C为常数。
四、三角函数积分的应用三角函数的积分在实际问题中具有广泛的应用，下面将介绍其中的一些应用领域。
1. 物理学应用在物理学中，三角函数积分常常用于描述振动以及周期性运动。
例如，三角函数的积分可以帮助我们计算物体在弹簧上的振动周期、求解振动的位移、速度等相关问题。
2. 工程学应用在工程学中，三角函数积分被用于求解一些周期性信号的相关问题。
例如，在电路分析中，我们可以利用三角函数的积分来计算交流电流、电压的平均值、功率等。
3. 统计学应用在统计学中，三角函数积分可以用于对周期性数据的分析。
初中正弦余弦正切公式
初中正弦余弦正切公式正弦、余弦、正切是三角函数的基本概念，在初中数学中有一定的重要性。
以下是有关正弦、余弦、正切公式的详细讲解及其应用。
1.正弦公式：正弦公式主要用于求数学三角形中非直角三角形的边长比例。
设在三角形ABC中，∠A为非直角，AB=c，AC=b，BC=a，则正弦公式为：sinA = a/csinB = b/csinC = a/b2.余弦公式：余弦公式主要用于求数学三角形中任意一个角的余弦值。
设在三角形ABC中，∠A的余弦值为cosA，则有：cosA = (b²+c²-a²)/(2bc)cosB = (a²+c²-b²)/(2ac)cosC = (a²+b²-c²)/(2ab)3.正切公式：正切公式主要用于求解数学三角形中任意一个角的正切值。
设在三角形ABC中，∠A的正切值为tanA，则有：tanA = a/btanB = b/atanC = c/a接下来，我们将对正弦、余弦、正切公式进行具体的应用和实例分析：1.正弦公式的应用：正弦公式可以运用于解决无法直接计算的三角函数数值问题。
例如，已知三角形ABC中∠C=60°，AB=10，AC=8，要求BC的长度。
由正弦公式sinC = a/b可得：sin60° = BC/8，所以BC = 8 *sin60° ≈ 6.932.余弦公式的应用：余弦公式可以用于计算具有两个边长和一个夹角的三角形问题。
例如，已知三角形ABC的边长分别为AB=4，AC=5，∠B=60°，要求BC的长度。
由余弦公式cosB = (a²+c²-b²)/(2ac)可得：cos60° = (4²+5²-BC²)/(2*4*5)，即1/2 = (16+25-BC²)/403.正切公式的应用：正切公式可以运用于解决两条直线之间的夹角问题。
三角函数的和角与差角公式
三角函数的和角与差角公式三角函数是数学中非常重要的一个概念，它们在解决几何问题、物理问题以及工程问题中发挥着重要作用。
而求解三角函数中的角的和与差关系，则需要用到和角与差角公式。
本文将着重介绍三角函数的和角与差角公式，并对其应用进行详细讨论。
一、三角函数的和角公式1. 正弦函数的和角公式正弦函数的和角公式可以表示为：sin(x+y) = sin x * cos y + cos x * sin y2. 余弦函数的和角公式余弦函数的和角公式可以表示为：cos(x+y) = cos x * cos y - sin x * sin y3. 正切函数的和角公式正切函数的和角公式可以表示为：tan(x+y) = (tan x + tan y) / (1 - tan x * tan y)二、三角函数的差角公式1. 正弦函数的差角公式正弦函数的差角公式可以表示为：sin(x-y) = sin x * cos y - cos x * sin y2. 余弦函数的差角公式余弦函数的差角公式可以表示为：cos(x-y) = cos x * cos y + sin x * sin y3. 正切函数的差角公式正切函数的差角公式可以表示为：tan(x-y) = (tan x - tan y) / (1 + tan x * tan y)三、和角与差角公式的应用1. 应用举例：求解三角函数值通过和角与差角公式，我们可以化简复杂的三角函数表达式，从而更方便地求解其值。
例如，我们可以利用和角公式将sin(α+β) 表达式化简为已知角度的正弦函数值的乘积之和，进而得到具体数值。
2. 应用举例：证明恒等式利用和角与差角公式，我们可以证明一些重要的三角函数恒等式。
例如，利用和角公式可以证明 si n²θ + cos²θ = 1 这个著名的三角函数恒等式。
3. 应用举例：解决几何问题三角函数的和角与差角公式在几何问题的解决中起着重要作用。
高中数学中的三角函数利用特殊角值简化计算的技巧
高中数学中的三角函数利用特殊角值简化计算的技巧三角函数是数学中的重要概念，而在高中数学中，我们经常会遇到需要计算三角函数值的情况。
为了简化计算过程，我们可以利用特殊角值的技巧，来快速得到结果。
本文将介绍一些常见的特殊角值，并说明如何利用这些特殊角值简化计算。
一、特殊角值的定义在三角函数中，我们通常会用到正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
而特殊角值指的是一些特定角的函数值，这些值具有简单的表达式，可以方便我们进行计算。
下面是一些常见的特殊角值及其函数值：1. 0度：sin 0° = 0，cos 0° = 1，tan 0° = 02. 30度：sin 30° = 1/2，cos 30° = √3/2，tan 30° = 1/√33. 45度：sin 45° = √2/2，cos 45° = √2/2，tan 45° = 14. 60度：sin 60° = √3/2，cos 60° = 1/2，tan 60° = √3以上是一些常见的特殊角值，我们可以将它们牢记于心，以便在计算过程中使用。
二、利用特殊角值简化计算的技巧1. 利用特殊角的三角关系在三角函数中，存在一些特殊的角之间的关系，如30度角、45度角、60度角之间的关系。
通过利用这些关系，我们可以推导出其他角的函数值，从而简化计算。
以30度角为例，我们已知 sin 30° = 1/2，cos 30° = √3/2，tan 30° = 1/√3。
利用这些已知值，我们可以得到其他角的函数值：- sin 60° = sin (2 * 30°) = 2 * sin 30° * cos 30° = √3/2- cos 60° = cos (2 * 30°) = cos² 30° - sin² 30° = 1/2- tan 60° = tan (2 * 30°) = 2 * tan 30° / (1 - tan² 30°) = √3通过这种方法，我们可以快速得到其他角度的三角函数值，从而简化计算过程。
高中物理计算常用的三角函数值
高中物理计算常用的三角函数值在高中物理学习中，三角函数是一个十分重要且常用的数学工具。
在物理学中，经常需要用到三角函数来描述物理量之间的关系或计算相关数值。
本文将介绍高中物理中常用的三角函数值及其计算方法。
正弦函数正弦函数是三角函数中的一个重要概念，通常用符号sss表示。
在物理学中，正弦函数常用于描述角度和长度之间的关系。
例如，在抛体运动中，物体在任意时刻s的竖直方向速度s s与初速度s ss和重力加速度s之间的关系可用正弦函数表示：$$ V_y = V_{yo} \\cdot sin(\\theta)-g \\cdot t $$其中，$\\theta$为初速度和水平方向所成角度。
为求解上述公式，需要事先计算出$\\theta$对应的正弦值。
余弦函数余弦函数通常用符号sss表示，是三角函数中的另一个重要概念。
在物理学中，余弦函数常用于描述角度和长度之间的关系。
例如，当物体做匀速圆周运动时，其加速度与半径s和角速度$\\omega$之间的关系可用余弦函数表示：$$ a = - r \\cdot \\omega^2 \\cdot cos(\\theta) $$其中，$\\theta$为物体当前位置与s轴正方向所成的角度。
为求解上述公式，需要知晓$\\theta$对应的余弦值。
正切函数正切函数用符号sss表示，也是物理学中常用的三角函数之一。
在物理学中，正切函数常用于描述两个参量之间的比例关系。
例如，在光学中，光线经过单一介质到达另一介质时，入射角$\\theta_1$和折射角$\\theta_2$之间的关系可用正切函数表示：$$ n_1 \\cdot sin(\\theta_1) = n_2 \\cdot sin(\\theta_2) $$其中，s1和s2分别为两个介质的折射率。
为了计算光线的折射情况，需要了解$\\theta_1$和$\\theta_2$对应的正切值。
综上所述，正弦、余弦和正切函数在高中物理中具有重要的应用价值。
高中生必备实用三角函数公式总表
三角公式总表⒈L 弧长=αR=nπR 180 S 扇=21L R=21R 2α=3602R n ⋅π⒉正弦定理：A asin =B b sin =Cc sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） ⒊余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cosbca cb A 2cos 222-+=⒋S ⊿=21a a h ⋅=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =Rabc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=CB A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p ---(其中)(21c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) ⒌同角关系： ⑴商的关系：①θtg =x y =θθcos sin =θθsec sin ⋅ ②θθθθθcsc cos sin cos ⋅===y x ctg ③θθθtg ry⋅==cos sin ④θθθθcsc cos 1sec ⋅===tg x r ？⑤θθθctg rx⋅==sin cos ⑥θθθθsec sin 1csc ⋅===ctg y r ⑵倒数关系：1sec cos csc sin =⋅=⋅=⋅θθθθθθctg tg⑶平方关系：1csc sec cos sin 222222=-=-=+θθθθθθctg tg ⑷)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a （其中辅助角ϕ与点（a,b ）在同一象限，且abtg =ϕ） ⒍函数y=++⋅)sin(ϕωx A k 的图象及性质：（0,0>>A ω）振幅A ，周期T=ωπ2, 频率f=T1, 相位ϕω+⋅x ，初相ϕ⒎五点作图法：令ϕω+x 依次为ππππ2,23,,20 求出x 与y ， 依点()y x ,作图三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限三角函数值等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：函数名改变，符号看象限⒐和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±③βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=±⑤γβγαβαγβαγβαγβαtg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg ⋅-⋅-⋅-⋅⋅-++=++1)( 其中当A+B+C=π时,有:i).tgC tgB tgA tgC tgB tgA ⋅⋅=++ ii).1222222=++C tg B tg C tg A tg B tg A tg ⒑二倍角公式：(含万能公式) ①θθθθθ212cos sin 22sin tg tg +==>②θθθθθθθ22222211sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-=③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2θθ+=⒒三倍角公式：①)60sin()60sin(sin 4sin 4sin 33sin 3θθθθθθ+︒-︒=-= ②)60cos()60cos(cos 4cos 4cos 33cos 3θθθθθθ+︒-︒=+-=③)60()60(313323θθθθθθθ+⋅-⋅=--=tg tg tg tg tg tg tg ⒓半角公式：（符号的选择由2θ所在的象限确定） ①2cos 12sinθθ-±= ②2cos 12sin 2θθ-=③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12cos2θθ+=⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2cos 2cos 12θθ=+ ⑦2sin2cos )2sin 2(cos sin 12θθθθθ±=±=± ~⑧θθθθθθθsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12-=+=+-±=tg⒔积化和差公式：[])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++=()[]βαβαβα--+-=cos )cos(21sin sin ⒕和差化积公式： ①2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+ ②2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-③2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ ④2sin2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- ⒖反三角函数：最简单的三角方程1、遗忘空集致误由于空集是任何非空集合的真子集，因此B=∅时也满足B⊆A。
cos45°的三角函数值
cos45°的三角函数值三角函数是数学中非常重要的概念，它们在数学、物理、工程、计算机科学等领域中都有广泛的应用。
cos45°是三角函数中的一个特殊角度，它的三角函数值是多少呢？本文将为大家详细介绍cos45°的三角函数值及其相关知识。
一、cos45°的定义cos45°是一个特殊的角度，它的定义是：以直角三角形的直角为顶点，另外两个角度分别为45°的角。
如下图所示：在上图中，AB = BC = 1，AC = √2，∠BAC = 90°，∠ABC = 45°，∠ACB = 45°。
根据三角函数的定义，cos45°等于直角三角形中斜边与直角边的比值，即：cos45° = AC/AB = √2/1 = √2二、cos45°的性质1. cos45°是一个无理数由于根号2是一个无理数，所以cos45°也是一个无理数。
这意味着它不能表示为两个整数的比值，也不能表示为两个有理数的比值。
2. cos45°是一个正数由于√2是一个正数，所以cos45°也是一个正数。
这意味着它大于0。
3. cos45°等于sin45°由于∠ABC = 45°，所以sin45°等于直角三角形中斜边与直角边的比值，即：sin45° = AB/AC = 1/√2 = √2/2将cos45°的值代入上式，得到：sin45° = cos45° = √2/2这意味着在一个45°的角度中，cos值等于sin值。
4. cos45°的平方等于1/2根据勾股定理，直角三角形中斜边的平方等于直角边的平方与另外一条直角边的平方之和，即：AC = AB + BC将AB = BC = 1代入上式，得到：AC = 1 + 1 = 2两边同时除以AC，得到：1 = (AB/AC) + (BC/AC)将cos45°的值代入上式，得到：1 = cos45° + sin45° = 2cos45°移项后得到：cos45° = 1/2因此，cos45°的平方等于1/2。
三角函数值的计算六法
三角函数值的计算六法
数学和物理学中经常使用三角函数，其值可用六法直接计算。
本文主要介绍三角函数计算六法，详细介绍了其各自的原理、计算过程及其在实际应用中的优势。
三角函数计算六法的理论基础
三角函数的计算六法，可以分为三角定理、指函数、变形法等六类。
其中，三角定理是指利用三角形的垂直相交定理，可以求得两个三角形的各边的长度，再求出其它内角的角度，从而求出三角函数的值；指函数是指利用三角函数图像，可以根据图像对应的角度来求得三角函数值；变形法是指利用三角函数的变形关系，可以把问题转化为已知的角度，从而求出三角函数的值。
三角函数计算六法的具体计算过程
1. 三角定理：先确定出三角形的各边长，再求此三角形的各内角角度，最后利用事先计算出的对应角度表与公式，求出三角函数值；
2.函数：根据三角函数图像，由角度和图像确定三角函数值；
3.形法：根据三角函数的变形关系，把问题转化为已知角度，再利用三角函数的基本公式，求出三角函数值。
三角函数计算六法的应用优势
1. 三角定理可以确定三角形的各边长和角度，可以用于三角函数值的计算；
2.函数是通过定位三角函数图像上的点来求解三角函数值，运算快捷方便；
3.形法可以将复杂问题变形成已知角度，有助于提高计算速度和准确性。
综上所述，三角函数的计算六法有三角定理、指函数、变形法等六类，可以根据具体的角度、图像等信息，直接求出三角函数的值，具有快捷精准的特点，在数学和物理学的实际应用中有着重要的意义。
三角函数值初中公式
三角函数值初中公式
三角函数值是几何学中非常重要的概念，在初中学习中，学习三角函数及其值也是学生们必须要掌握的知识之一。
今天，我们就要来学习三角函数值的初中公式。
首先，我们来看看三角函数值的定义。
三角函数值是指在一个三角形中，其中一个角的角度和一条边的长度之比。
比如，在一个等边三角形中，其一个角的角度为60度，这个边的长度是3，那么这个角的三角函数值就是60/3，或者20。
其次，我们来看看初中学习三角函数值的公式。
在等边三角形中，三角函数的值的公式为：角度/边长。
在直角三角形中，三角函数值的公式为：角度/邻边。
这两个公式可以在计算三角函数值时起到帮助作用。
此外，还有一种求三角函数值的方法叫做“正弦定理”，它用来计算直角三角形中对边两边的三角函数值，公式为：
a/sinA=b/sinB=c/sinC，其中a、b和c分别代表对边边长，A、B和C分别代表对角角度。
初中学习三角函数值的重点在于理解和掌握三角函数值的概念，掌握三角函数的定义及其求解方法。
学习三角函数值的公式，也是要掌握的重中之重，需要学生们在学习中不断练习，并熟练掌握三角函数值的求解方法。
三角函数值是几何学中非常重要的概念，在初中学习中掌握它也是学生们必须要做到的。
以上就是关于三角函数值初中公式的全部内
容，希望大家能够经常练习，掌握更多的三角函数值的求解方法，从而更加深入地学习几何学知识，为以后的备考打下坚实的基础。
锐角三角函数及特殊角的三角函数值
锐角三角函数及特殊角的三角函数值【教学建议】本节内容较简单，把定义讲透，加强对复杂图形中的三角函数问题的解题示范。
1．正切、正弦、余弦：如下图所示，在Rt △ABC 中，∠C =90°，①正弦：锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sinA=A ac ∠的对边斜边．②余弦：锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA=A bc ∠的邻边斜边．③正切：锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tanA =A aA b∠的对边∠的邻边．2．坡度：如图：AB 表示水平面，BC 表示坡面，我们把水平面AB 与坡面BC 所形成的ABC 称为坡角.教学过程一、导入 二、知识讲解知识点1 正切、正弦、余弦一般地，线段BE 的长度称为斜坡BC 的水平宽度，线段CE 的长度称为斜坡BC 的铅垂高度。
如图；坡面的铅垂高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度（或坡比），用ι表示，记作=ιh:l,坡度通常写成1：m 的形式（m 可为小数）。
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α。
于是tan hi lα==，显然，坡度越大，α越大，坡面就越陡.三角函数︒30 ︒452.运算的顺序：先乘方，再乘除，后加减；同级运算从左到右依次进行.3.强调：（sin 60°）2用sin 260°表示，即为（sin 60°）·（sin 60°）．【题干】若△ABC 在正方形网格纸中的位置如图所示，则tan α的值是（ ）知识点2 30°、45°、60°角的三角函数值及其运算 三、例题精析例题1A ．2B ．12CD ．1【答案】D【解析】根据图形可知∠α的对边及邻边的值，再根据锐角三角函数的定义求解即可． 解：根据图形可知：△ABC 是直角三角形，且AC =3，BC =3． 根据勾股定理得到AB ， 则tan α=ACBC=1． 故选D ．【题干】如图，在矩形ABCD 中，点E 在AB 边上，沿CE 折叠矩形ABCD ，使点B 落在AD 边上的点F 处，若AB =4，BC =5，则tan ∠AFE 的值为（ ）A ．43B ．35C ．34D ．45【答案】C【解析】由四边形ABCD 是矩形，可得：∠A =∠B =∠D =90°，CD =AB =4，AD =BC =5，由折叠的性质可得：∠EFC =∠B =90°，CF =BC =5，由同角的余角相等，即可得∠DCF =∠AFE ，然后在Rt △DCF 中，即可求得答案．解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠B =∠D =90°，CD =AB =4，AD =BC =5， 由题意得：∠EFC =∠B =90°，CF =BC =5， ∴∠AFE +∠DFC =90°，∠DFC +∠FCD =90°，例题2∴∠DCF =∠AFE ，∵在Rt △DCF 中，CF =5，CD =4， ∴DF =3，∴tan ∠AFE =tan ∠DCF =DF DC =34． 故选C ．【题干】如图，菱形ABCD 的对角线AC =6，BD =8，∠ABD =α，则下列结论正确的是（ ）A ．sin α=45B ．cos α=35C ．tan α=43D ．tan α=34【答案】D【解析】根据菱形的性质及勾股定理可求得AB 的长，从而可表示出不同的三角函数从而验证得到正确的那个选项．解：菱形ABCD 的对角线AC =6，BD =8， 则AC ⊥BD ，且OA =3，OB =4．在直角△ABO 中，根据勾股定理得到：AB =5， 则sin α=35，cos α=45，tan α=34， 故选D ．【题干】如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）A ．5mB ．6mC ．7mD ．8m例题3例题4【答案】A【解析】解：由题知：tan A =0.75，此时坡上株距是4m ，设相邻两树间的坡面距离为xm 所以满足sin A =0.8=4x解得x =5 故选A ．【题干】如图，修建抽水站时，沿着坡度为i =1A 处铅垂高度为6m ，则所铺设水管AC 的长度为（ ）A ．8mB ．10mC ．12mD ．18m 【答案】C【解析】∵该斜坡的坡度为i =1 ∴AB ：BC =1 ∵AB =6m ， ∴BC m ， 则AC 12==（m ）． 故选C ．【题干】1.下列各式正确的是（ ） A . cos 600＜sin 450＜tan 45B . sin 450＜cos 600＜tan 450C . cos 600＜tan 450＜sin 450D . tan 450＜cos 600＜sin 450【答案】A【解析】根据特殊角的锐角三角函数值依次分析各选项即可作出判断.例题5例题6∵2160cos =︒，2245sin =︒，145tan =︒∴<︒60cos <︒45sin ︒45tan 故选A .【题干】2.已知α为锐角，sin （α﹣20°），则α=（ ） A ．20°B ．40°C ．60°D ．80°【答案】D【解析】∵α为锐角，sin （α﹣20°）=2， ∴α﹣20°=60°， ∴α=80°， 故选D ．【题干】3.计算5sin 30°+2cos 245°-tan 260°的值是( ) AB .12C .-12D .1 【答案】B【解析】根据特殊角的锐角三角函数值计算即可得到结果. 5sin 30°+2cos 245°-tan 260°21321225)3()22(221522=−⨯+=−⨯+⨯= 故选B .【题干】4.在△ABC中，若1|sin ||cos |022A B −+−=，则C ∠=_______. 【答案】120°【解析】因为||0a ≥，且1|sin ||cos |022A B −+−=，所以11sin 0sin 22cos 0cos 22A AB B ⎧⎧−==⎪⎪⎪⎪∴⎨⎪−==⎪⎪⎩⎩，又因为13sin 30,cos303012022A B C ==∴∠=∠=∴∠=。
三角函数
三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。
它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
三角函数在复数中有较为重要的应用。
在物理学中，三角函数也是常用的工具。
基本初等内容它有六种基本函数(初等基本表示)：函数名正弦余弦正切余切正割余割正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y正割函数secθ=r/x余割函数cscθ=r/y以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：正矢函数versinθ =1-cosθ余矢函数vercosθ =1-sinθ同角三角函数间的基本关系式：·平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·积的关系：sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B ·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα·半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0部分高等内容·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
三角函数表高中
三角函数表高中在高中数学学习中，三角函数是一个重要的概念。
三角函数表是一个有关不同角度的三角函数值的表格，通过它我们可以直观地查找各种角度对应的正弦、余弦、正切等函数值。
在高中数学课程中，我们经常会用到三角函数表来解决各种三角函数的计算问题。
下面我们来详细介绍一下三角函数表及其在高中数学中的应用。
三角函数的基本概念在数学中，三角函数是用来描述角度和直角三角形边长之间的关系的一类函数。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们分别代表了一个角对应的三角比。
在直角三角形中，正弦函数是指在一个角的三角比，即对边与斜边的比值；余弦函数是指邻边与斜边的比值；正切函数是指对边与邻边的比值。
三角函数表的构成三角函数表通常包含了各种角度对应的正弦、余弦、正切等函数值。
这些值是经过精确计算和整理的，可以帮助我们快速地找到某个特定角度对应的三角函数值。
三角函数表的构成通常是按照一定的步长和精度计算出各个角度的函数值，并将这些值整理成表格的形式，方便查找和应用。
三角函数表的应用在高中数学的学习中，三角函数表是一个非常有用的工具。
通过三角函数表，我们可以直接查找各种角度对应的三角函数值，避免了繁琐的计算过程。
在解决各种三角函数相关的计算和证明问题时，三角函数表可以帮助我们简化求解过程，提高解题效率。
例如，当我们需要计算一些特定角度的三角函数值时，可以直接在三角函数表中查找这些值，而不需要通过计算找到答案。
在解决一些三角函数方程或证明题目时，三角函数表也能够提供必要的参考，帮助我们验证和求解问题。
总之，三角函数表是高中数学学习中的一项重要辅助工具。
通过熟练掌握和应用三角函数表，我们可以更好地理解和运用三角函数的概念，提高数学解题的效率和准确性。
希望通过本文的介绍，能够帮助大家更好地理解三角函数表的作用和应用价值。
三角函数公式大全及其推导方法
三角函数公式大全及其推导1. 三角函数的定义由此，我们定义：如Figure I, 在ΔABC 中sin () cos () tan ()11 cot ()tan 11 sec ()cos 11 csc ()sin b c ac ba ab b ac a a cc b b cθθθθθθθθθθθθθθθ∠=∠=∠=∠===∠===∠===对边的正弦值：斜边邻边的余弦值：斜边对边的正切值：邻边邻边的余切值：对边斜边的正割值：邻边斜边的余割值：对边 备注：当用一个字母或希腊字母表示角时，可略写∠符号，但用三个子母表示时，不能省略。
在本文中，我们只研究sin 、cos 、tan 。
2. 额外的定义222222sin (sin )cos (cos )tan (tan )θθθθθθ===A c b θC a B Figure I3. 简便计算公式22sin cos cos(90)cos sin sin(90)111tan tan tan(90)sin cos 1bA c cA b b a a A bθθθθθθθθ===-∠===-∠====-∠+= 证明：2222222222901sin sin 1sin cos 1ABC ABC a b c a b c cB A θθ∆∠=∴+=∴+=∴+=∴+=在中,证完222222sin tan cos sin cos 1tan 1cos cos cos b b c a a cθθθθθθθθθ===+=+=4. 任意三角形的面积公式如Figure II ,Ca b hd eB c A Figure II121sin 21sin ()2ABC S ah ab C ac B ∆===两边和其夹角正弦的乘积 5. 余弦定理：任意三角形一角的余弦等于两邻边的平方和减对边的平方之差与两邻边积的两倍之比。
证明： 如Figure II,2222222222222222222222(cos )(sin )2cos cos sin =2cos (cos sin )2cos cos 22b d h a c B c B a ac B c B c Ba ac B c B B a c ac Bb ac a c b B ac ac=+=-+=-++-++=+---+-⇒==-证完6. 海伦公式 证明： 如Figure II ,1sin 212121212ABC S ab C ∆========()()()()()()()222222222222222222=2ABC a b c c a b c b a b c a a b c a b c c a b c b a b c a a b ca b c a b c a b c a b c a b c a b c s S s s a s b s c ∆++-++-++-++=⨯⨯⨯++-++-++-++=⨯⨯⨯++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭++=---设：7. 正弦定理如 Figure III ,c 为ΔABC 外接圆的直径,sin 2 sin a A cac r r ABC A =∴==∆（为的外接圆半径）同理：, sin sin 2sin sin sin b c c c B Ca b c r A B C ==∴===A cO B a C Figure III8. 加法定理(1) 两角差的余弦如 Figure IV ,AOC BOC AOB αβαβ∠=∠∠=∠∠=∠-∠令AO=BO=r点A 的横坐标为cos A x r α= 点A 的纵坐标为sin A y r α= 点B 的横坐标为cos B x r β= 点B 的纵坐标为sin B y r β=()()()()()()22222222222222222222222222sin sin cos cos sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos sin cos sin cos 2sin sin 2cos cos 112s A B A B AB y y x x r r r r r r r r r r r r r αββααβαβαβαβαβαβαβαβααββαβαβ=-+-=-+-=+-++-=+-++-=+++--=+-()()()22in sin cos cos 22sin sin cos cos 21sin sin cos cos r r αβαβαβαβαβαβ+⎡⎤⎣⎦=-+⎡⎤⎣⎦=-+⎡⎤⎣⎦y AB OC x β (α-β) α Figure IV由余弦公式可得：()()()()2222222222cos 2cos 22cos 22cos 21cos AB AC BC AC BC ACBr r r r r r r r αβαβαβαβ=+-⋅∠=++⋅-=+-=--⎡⎤⎣⎦=--⎡⎤⎣⎦综上得：()cos sin sin cos cos αβαβαβ-=+ (2) 两角和的余弦 ()()()()cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβαβ+=--⎡⎤⎣⎦=-+-=-+=-(3) 两角和的正弦()()()()()sin cos 90cos 90sin 90sin cos 90cos cos sin sin cos αβαβαβαβαβαβαβ+=︒-+⎡⎤⎣⎦=︒--⎡⎤⎣⎦=︒-+︒-=+(4) 两角差的正弦 ()()()()sin sin cos sin sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβαβαβ-=+-⎡⎤⎣⎦=-+-=-+=-(5) 两角和的正切()()()sin tan cos cos sin sin cos cos cos sin sin cos sin sin cos cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin 1cos cos tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαββαβααβαβαβαβ++=++=-+=-+=-+=-(6) 两角差的正切()()()()tan tan tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ-=+-⎡⎤⎣⎦+-=---=+9. 两倍角公式()()()()()()()222222222222sin 2sin sin cos sin cos 2sin cos cos 2cos cos cos sin sin cos sin 12sin 2cos 1sin 2tan 2cos 22sin cos cos sin 2sin cos cos cos sin cos 2sin cos sin 1cos 2tan 1ta αααααααααααααααααααααααααααααααααααααα=+=+==+=-=-=-=-==-=-=-=-2n α10. 积化和差公式()()()()1sin cos 2sin cos 21sin cos sin cos cos sin cos sin 21sin sin 2αβαβαβαβαβαβαβαβ==++-=++-⎡⎤⎣⎦()()()()()()()()1cos cos 2cos cos 21cos cos cos cos sin sin sin sin 21cos cos 21sin sin 2sin sin 21sin sin sin sin cos cos cos cos 21cos cos 2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ==++-=++-⎡⎤⎣⎦==++-=+--⎡⎤⎣⎦ 11. 和差化积公式(1)设：A=α+β, B=α-β,()()()()sin sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin cos 2sin cos 222sin cos 22sin sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 2cos si A B A B A B A B αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα+=++-=++-=++-+--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=+--=+-+=n 2cos sin 222cos sin 22A B A B βαβαβαβαβ++-+-+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)设：cos sin αα==∵22cos sin 1αα+=()()sin sin cos cos sin sin cos sin sin b a θθθθαθαθαθ+=+=+=+12. 其他常用公式()()()()()()()()()()()()()()000sin 360sin cos 360cos tan 360tan sin 90cos cos 90sin 1tan 90tan sin 90cos cos 90sin 1tan 90tan sin 90cos cos 90sin 1tan 90tan sin 180sin cos 180cos n n n θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ+⨯=+⨯=+⨯=︒-=︒-=︒-=︒+=︒+=-︒+=--︒=--︒=-︒=-︒-=︒-=-()()()()()()()()tan 180tan sin 180sin cos 180cos tan 180tan sin sin cos cos tan tan tan 2190 1cos 1cos 11sin 1sin 1n θθθθθθθθθθθθθθθθθθθ︒-=-±︒=-±︒=-±︒=-=--=-=-+⨯︒⎡⎤⎣⎦-≤≤⇒≤-≤≤⇒≤不存在在计算机中，三角函数的算法是这样的，其中x 用弧度计算()()1357210246sin 1!3!5!7!21!cos 0!2!4!6!2!n n nn x x x x x x n x x x x x x n +=∞=∞=-+-+=+=-+-+=∑∑推导公式：(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R(其中，R为外接圆半径) 由正弦定理有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R所以a=2R*sinAb=2R*sinBc=2R*sinC加起来a+b+c=2R*(sinA+sinB+sinC)带入(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R*(sinA+sinB+sinC)/(sinA+sinB+sinC)=2R 两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinBcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式Sin2A=2SinA?CosA对数的性质及推导用^表示乘方，用log(a)(b)表示以a为底，b的对数*表示乘号，/表示除号定义式：若a^n=b(a>0且a≠1)则n=log(a)(b)基本性质：1.a^(log(a)(b))=b2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M)推导1.这个就不用推了吧，直接由定义式可得(把定义式中的[n=log(a)(b)]带入a^n=b)2.MN=M*N由基本性质1(换掉M和N)a^[log(a)(MN)]=a^[log(a)(M)]*a^[log(a)(N)]由指数的性质a^[log(a)(MN)]=a^{[log(a)(M)]+[log(a)(N)]}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)3.与2类似处理MN=M/N由基本性质1(换掉M和N)a^[log(a)(M/N)]=a^[log(a)(M)]/a^[log(a)(N)]由指数的性质a^[log(a)(M/N)]=a^{[log(a)(M)]-[log(a)(N)]}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N)4.与2类似处理M^n=M^n由基本性质1(换掉M)a^[log(a)(M^n)]={a^[log(a)(M)]}^n由指数的性质a^[log(a)(M^n)]=a^{[log(a)(M)]*n}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M^n)=nlog(a)(M)其他性质：性质一：换底公式log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)推导如下N=a^[log(a)(N)]a=b^[log(b)(a)]综合两式可得N={b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}又因为N=b^[log(b)(N)]所以b^[log(b)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}所以log(b)(N)=[log(a)(N)]*[log(b)(a)]{这步不明白或有疑问看上面的} 所以log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)性质二：（不知道什么名字）log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]推导如下由换底公式[lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底]log(a^n)(b^m)=ln(a^n)/ln(b^n)由基本性质4可得log(a^n)(b^m)=[n*ln(a)]/[m*ln(b)]=(m/n)*{[ln(a)]/[ln(b)]}再由换底公式log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]--------------------------------------------（性质及推导完）公式三:log(a)(b)=1/log(b)(a)证明如下:由换底公式log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)----取以b为底的对数,log(b)(b)=1=1/log(b)(a)还可变形得:log(a)(b)*log(b)(a)=1平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)c ot^2(α)+1=csc^2(α)·商的关系：tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)一般的最常用公式有:Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosASin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosACos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinBCos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinBTan(A+B)=(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB) Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB) 平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·积的关系：sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα·半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*( n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*( n-1)/n]=0以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0部分高等内容·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
快速复习初中数学三角函数的特殊角与计算
快速复习初中数学三角函数的特殊角与计算三角函数是数学中重要的概念之一，它与三角形的内角、边长之间的关系密切相关。
在初中数学中学习三角函数时，我们经常会遇到特殊角以及相应的计算方法。
本文将带你快速复习初中数学中与三角函数特殊角及其计算有关的知识点。
一、特殊角的定义1. 第一象限的特殊角第一象限的特殊角指的是落在角度范围0°到90°之间的角。
在第一象限中，我们会遇到以下几个特殊角：- 0°角：0°角位于正 x 轴上，其三角函数值为：正弦值 sin0° = 0余弦值 cos0° = 1正切值 tan0° = 0- 30°角：30°角是一个常见的特殊角，其三角函数值为：正弦值 sin30° = 1/2余弦值cos30° = √3/2正切值tan30° = 1/√3- 45°角：45°角也是一个常见的特殊角，其三角函数值为：正弦值sin45° = √2/2余弦值cos45° = √2/2正切值 tan45° = 1- 60°角：60°角是一个常见的特殊角，其三角函数值为：正弦值sin60° = √3/2余弦值 cos60° = 1/2正切值tan60° = √3- 90°角：90°角位于正 y 轴上，其三角函数值为：正弦值 sin90° = 1余弦值 cos90° = 0正切值 tan90° = 无穷大2. 负轴上的特殊角负轴上的特殊角指的是落在角度范围180°到270°之间的角。
在负轴上，我们会遇到以下几个特殊角：- 180°角：180°角位于负 x 轴上，其三角函数值为：正弦值 sin180° = 0余弦值 cos180° = -1正切值 tan180° = 0- 210°角：210°角位于负 x 轴和负 y 轴之间，其三角函数值为：正弦值 sin210° = -1/2余弦值 cos210° = -√3/2正切值tan210° = 1/√3- 225°角：225°角位于负 x 轴和负 y 轴之间，其三角函数值为：正弦值 sin225° = -√2/2余弦值 cos225° = -√2/2正切值 tan225° = -1- 240°角：240°角位于负 x 轴和负 y 轴之间，其三角函数值为：正弦值 sin240° = -√3/2余弦值 cos240° = -1/2正切值 tan240° = -√3- 270°角：270°角位于负 y 轴上，其三角函数值为：正弦值 sin270° = -1余弦值 cos270° = 0正切值 tan270° = 无穷大3. 其他象限上的特殊角除了第一象限和负轴上的特殊角外，我们还会遇到其他象限上的特殊角。
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28.1 锐角三角函数（3）
——特殊角三角函数值
主备人：代香余 审核：九年级数学备课组 课型：新授课 定稿时间：2017.3.2
学习目标：1.能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值
2.能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式
3.逐步培养学生观察，比较，分析，概括的思维能力。
教学重点:熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式
教学难点:
30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程
一．回顾锐角三角函数的概念
归纳三角函数定义。
siaA=斜边的对边A ∠,cosA=斜边的邻边A ∠,tanA=的邻边
的对边A A ∠∠
二．互动新授 教材65页的探究（如下图）的两块三角板中有几个不通的锐角？这几个锐角的正弦.余
弦和正切值各是多少？
教师引导，学生通过计算后，小组交流，讨论。
A
C
师生共同归纳30°.45°.60°角的正弦值.余弦值和正切值如下表
三.巩固提升（教材66页）
例3. 求下列各式的值
（1）cos260°+sin260°．（2）cos45
sin45
︒
︒
-tan45°
四．随堂练习（课件展示）
1.求下列各式的值：
（1）1－2 sin30°cos30°（2）3tan30°－tan45°+2sin60°
五．小结
六．作业
课本p67 第1题,p68复习巩固第1题。