新沪科版初中数学八年级上册15.4第2课时角平分线的性质及判定2优质教案(精品).doc
沪科版数学8年级上册学案15.4 第2课时 角平分线的性质及判定
15.4 角的平分线第2课时角平分线的性质及判定【学习目标】1.理解角平分线的性质定理。
（重点）2.能运用角平分线的性质定理去解决问题。
（是重点也是难点）3.理解角平分线的性质定理的逆定理，会用该定理去解题（重点）。
4.理解三角形的三个内角的平分线相交于一点，该点到三角形三边的距离相等。
【学习过程】一、学前准备复习旧知：1.叫做角平分线；2.怎样用圆规和直尺作角平分线？3．角是对称图形，是它的对称轴。
4.角平分线的性质定理是。
5.这个定理的题设是，结论是。
6.你能写出上述定理的逆命题吗？二、合作探究㈠操作：1.作∠AOB的平分线OM，在OM上取点P，过点P作PC⊥OA，PD⊥OB，C、D 是垂足。
2.量一量：PC、PD的长分别是多少？你有什么发现？3.猜一猜：角平分线上的点具有什么性质？㈡根据你猜想的结论，写出这个问题的已知、求证、证明。
㈢形成结论：角平分线上的点到距离相等。
㈣例题解析1.△ABC中，AD是平分线，BD=CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，E、F是垂足。
求证：EB=FC2．如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F,FG⊥AB，垂足为G。
求证：CE=FGG FE D CBA根据所写的逆命题画出图形，写出、已知、求证并尝试证明：总结：在一个角的内部，的点在这个角的平分线上。
阅读教材P145的例题，完成下列问题已知：△ABC中，∠A、∠B的平分线AD、BE相交于点P。
求证：CP平分∠ACB本例说明，三角形三个内角的平分线一点，这点到的距离相等。
【学习检测】一、基础性练习1.已知：在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.判断下列结论是否正确：⑴DE=DF （）⑵BD=CD （）⑶AD上任一点到AB、AC的距离相等。
（）⑷AD上任一点到点B、C的距离相等。
（）2. 已知：在△ABC中，AD是平分线，BD=CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，E、F是垂足。
上海沪科版初中数学八年级上册15.4 第2课时 角平分线的性质及判定ppt课件
证明： 在△ACD和△ACB中
A
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边） D
B
∴ △ACD≌ △ACB（SSS） E C
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
你能由上面的探究得出作已知角的平分线的方法吗?
尺规作角的平分线
观察领悟作法，探索思考证明方法：
10.已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
C
你会吗？
D
A
EB
1、 已知：如图，∠C = ∠C′= 90° ，AC = AC ′ 求证（1） ∠ABC = ∠ABC ′ ；（2）BC=BC ′ （要求不用三角形全等的判定）
A
C C′
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD=PE
A
（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）
同理 PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
ND
M
即点P到边AB、BC、 CA的距离相等
P
F
B
C
E
怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？
5、如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ 与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．
求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线的 距离相等．
更上一层楼！
H
Ｄ
Ｃ
F ＰＥ Ａ
ＢG
知识应用
6、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB， 垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？
7、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD
⊥ O A , P E ⊥ O B , 垂 足 分 别， 是 D 、 E , P D = 4 c m , 则 PE=__________cm.
沪科版数学八年级上册15角平分线的性质及判定2教案与反思
15.4角的平分线知人者智，自知者明。
《老子》原创不容易，【关注】，不迷路！第2课时角平分线的性质及判定教学过程一、复习预习角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
二、知识讲解考点1尺规作图画角平分线（1）、以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N。
（2）、分别以M、N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C。
（3）、画射线OC。
射线OC即为所求.考点2角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示：如图，已知OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，若CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，则CF＝DF.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；考点3角平分线性质定理的逆定理：角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.定理的数学表示：如图5，已知点P在∠AOB的内部，且PC⊥OA于C，PD⊥OB 于D，若PC＝PD，则点P在∠AOB的平分线上.定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.考点4关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线，那么：①AP、BQ、CR相交于一点I；②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI.定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一在三角形的内部.三、例题精析【例题1】【题干】在△ABC中，∠C是直角，AD平分∠BAC，交BC于点D。
2019八年级数学上册 第15章15.4 角的平分线 第2课时 角的平分线的判定教案 (新版)沪科版
第2课时角的平分线的判定◇教学目标◇【知识与技能】1.使学生掌握角平分线定理及其逆定理,培养学生探索知识的能力.2.使学生了解能利用角平分线定理及其逆定理证明角或线段相等.【过程与方法】从事物特殊性入手,总结归纳事物的一般性.体现在研究问题时注意纯粹性与完备性,准确、全面地思考问题.【情感、态度与价值观】渗透点的集合的数学思想.◇教学重难点◇【教学重点】角平分线的性质和判定;点到角的边的距离要强调垂直关系.【教学难点】分清文字命题中的题设(已知)和结论,掌握证明题格式;把角平分线看作点的集合.◇教学过程◇一、情境导入我们已经学习过角的平分线的概念,它有什么重要性质呢?怎样找到这个角的平分线?(1)有一张剪好的纸片(如图1),怎样找到这个角的平分线?(引导学生回答)(2)大家知道,只要把纸片对折,使角的两边叠合在一起,把纸片展开后的折痕就是这个角的平分线,如图2.如果我们把对折后的纸片继续折一次,然后把纸片展开,就会出现两条折痕,如图3中的PM和PN,不难发现,这两条折痕的长相等,而且这种等长的折痕我们可以找出无数对.由此可见,角的平分线除了有平分角的性质,还有其他的性质.二、合作探究定理1角平分线上的点到角两边的距离相等.题设:一个点在一个角的平分线上.结论:它到角的两边的距离相等.已知:如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:PD=PE.证明:∵OC是∠AOB的平分线,(已知)∴∠AOC=∠BOC.(角平分线的定义)∵PD⊥OA,PE⊥OB,(已知)∴∠PDO=∠PEO=90°.(垂直的定义)在△PDO和△PEO中,∴△PDO≌△PEO.(AAS)∴PD=PE.(全等三角形的对应边相等)定理应用所具备的条件和定理的作用:条件有3个,分别是角的平分线、点在该平分线上和垂直距离,作用是证明线段相等.如图,填写使BC=BD成立所需的条件.猜想图中,由BC⊥AC于点C,BD⊥AD于点D,BC=BD,可以得到什么结论?定理2角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.已知:PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E,PD=PE,如图.求证:点P在∠AOB的平分线上.证明:经过点P作射线OC.∵PD⊥OA,PE⊥OB,(已知)∴∠PDO=∠PEO=90°.(垂直的定义)在Rt△PDO和Rt△PEO中,∴Rt△PDO≌Rt△PEO.(HL)∴∠AOC=∠BOC.(全等三角形的对应角相等)∴OC是∠AOB的平分线.∴P在∠AOB的平分线上.由定理1,2可知:在一个角内,到角的两边的距离相等的点,都在这个角的平分线上;反过来,角的平分线上的点到角的两边距离相等.于是得到下面的结论:角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.典例已知:如图,△ABC中,∠B的平分线BE与∠C的平分线CF相交于点P.求证:AP平分∠BAC.[解析]过点P分别作PM⊥BC,PN⊥AC,PQ⊥AB,垂足分别为点M,N,Q.∵BE是∠B的平分线,点P在BE上,(已知)∴PQ=PM.(角平分线上的点到角两边的距离相等)同理,PN=PM.∴PN=PQ.(等量代换)∴AP平分∠BAC.(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上)这个例子说明:三角形三条内角平分线相交于一点,这点到三角形三边的距离相等.三、板书设计角的平分线的判定1.角平分线上的点到角两边的距离相等.2.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.3.三角形三条内角平分线相交于一点,这点到三角形三边的距离相等.◇教学反思◇学生通过自己动手操作、自己推导、自己发现,得到角平分线的性质定理及其逆定理,充分发挥了探究意识,体验并掌握了合作交流的学习方法,同时进一步锻炼了数学语言表达能力以及规范书写证明过程的能力.。
【最新沪科版精选】沪科初中数学八上《15.4 角的平分线》word教案 (2).doc
思考
交流
回答
作图
应用反思
注重参与
【活动3】
做第135页练习第1题
交流
作图
归纳小结
强化思想
1.本节课你学习了哪些知识？
（学会了两种基本尺规作图：作角平分线，作垂线。）
2.通过进一步的探索你有何收获？
交流
回答
作业
1.第135页练习第2题
2.（补充）如图，已知△ABC，
求作⑴∠BAC的角平分线
⑵BC边上的高
2．问题：这个作图可以看着是什么？如何写已知，求作？
3．刚才作的是点在直线上的，你能过直线外一点作已知直线的垂线吗？
4.提示学生：刚才我们是利用全等来操作的，这个题也可以利用全等来操作。
5.板书作法并作图。
6.点题：你能否用全等来证明作法的正确性。
7.任作一条直线，任取一个点，过这个点作这条直线的垂线。
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ根据学生回答，折叠法，折痕所在的射线就是角平分线。
3.用剪刀对折叠后的角进行修剪。
4.让学生观察修剪后的角，提问：能从中发现什么？
根据学生回答，适当提示：边相等。加上字母O、A、B、
D、E、P,即OD=OE,DP=EP。
5.问题：已知∠AOB，求作：∠AOB的角平分线。
6.点题：前面我们所讲的是度量法及折叠法，今天将探索运用直尺和圆规来作角平分线。
2.如图，已知∠AOB，如何作∠AOB的角平分线呢？
3.度量法：用量角器作∠AOB的角平分线。
4.说明：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是对称轴。
5.设问：除了这种方法外，还有什么方法能作呢？这就是我们这节课要解决的问题。
6.板书课题：角的平分线
回忆
沪科版八年级数学上册：15.4.2角平分线的性质及判定课件
的点 )
A D
距离相等
C
P
O
E B
灿若寒星
复习提问
4、角平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的
平分线上。
用符号语言表示为：
A D
∵
PD OA
PE OB
O
P
PD=PE
\ OP是的平A分O线B
E B
（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分
线上）
灿若寒星
定理1角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
（1）DE=DF （2）AE=AF （3）AD⊥EF
A E
GF
B
D
C
灿若寒星
练一练
8、三角形三条______________的交点，到三 边距离相等。
9、三角形三条______________的交点，到三 个顶点的距离相等。
10、如图，P是△ABC的∠A和∠B的平
A
分线的交点，过P做AB、AC、BC的垂 M
A
F
E
灿若寒星
CD B
4、已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA， 垂足为D、E、F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD=PE
A
（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）
同理PE=PF.
线垂足分别是M、N、H，则：
N
（1）PH与PN的数量关系是
___________
B
P
H
C
（2）CP________∠ACB(填平分或不
平分）
沪科版初中数学八年级上册 15.4 角的平分线 学案
15.4 角的平分线(第2课时)班级小组姓名评价 .【学习目标】1.经历探索、猜想、证明的过程，初步了解角平分线的性质．2.能用文字语言、符号语言描述角平分线的性质定理.3.能运用角平分线的性质定理解决简单的几何问题.重点：角平分线的性质定理.【学法指导】1. 通过折叠或者测量的方法，去探索、猜想、验证.2.在应用角的平分线性质定理时，必须关注：①是不是角平分线上的点；②是不是到角的两边上的垂线段.【自主学习】1.什么叫角的平分线？2.实验：任意画一个∠AOB，不借助任何工具，你能找到这个角的平分线吗？说说你的方法.3.已知：如图，OC平分∠AOB，在OC上任取一点P，过点P分别作PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，求证: PD=PE.4.角的平分线性质：角平分线上的点到的距离相等。
用符号语言描述：如上图，P在∠AOB的平分线OC上，∵，∴ PD=PE.【合作探究】1、判断正误，并说明理由：（1）如图1，P在射线OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，则PE=PF.（2）如图2，P是∠AOB的平分线OC上的一点，E、F分别在OA、OB上，则PE=PF.（3）如图3，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P到OA的距离PE为3cm，则P到OB 的距离也为3cm.2、如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.求证：EB=FC.【收获与反思】达标测试A组1、生活中有很多数学问题：小明家居住在一栋居民楼的一楼，刚好位于一条自来水管和天然气管道所成角的平分线上的P点，要从P点建两条管道，分别与自来水管道和天然气管道相连.问题1：怎样修建管道最短？问题2：新修的两条管道长度有什么关系，画出来看看.2、如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2.求：（1）点D到AB的距离；（2）△ABD的面积.B组3、如图,AB∥CD，∠B＝90°，AE平分∠DAB。
新版沪科版八年级上册教案15.4角的平分线(2)
第二课时：角的平分线（二）教学内容本节课主要是巩固平分线定理和它的逆定理的应用，发展合情推理。
教学目标1、知识与技能掌握角平分线性质定理和它的逆定理，学会几何推理，以及表达能力。
2、过程与方法经历反思角平分线内容的过程，体会定理及逆定理所起着简化证明的作用，发展空间意识。
3、情感、态度与价值观培养操作、比较思想，体会获得数学结论的思想方法，形成逻辑思维。
重、难点与关键1、重点：掌握角平分线定理和逆定理。
2、难点：形成合情推理意识，培养有条理的思索。
3、关键：采用操作、观察、探究的数学方式，构建新知，简化证明。
教学过程一、回顾交流，系统跃进1、回顾思索。
教师提问：同学们能否从集合的观点来说明角平分线性质。
学生活动：在教师对“集合”的思想做初步讲解后，学生可以通过交流得出：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。
2、课堂演练。
（1）演练题1，如图16.4-10所示，△ABC中，AD是角平分线，BD=CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，E、F是垂足，求证：EB=FC。
思路分析：只要证明EB和FC分别所在的两个三角形全等。
教师活动：巡视、启发学生运用角平分线定理推出DE=DF,再用直角三角形全等(HL)证明EB=FC.学生活动：先独立完成演练题，然后再与同伴交流，上讲台演示。
证明：∵AD 是角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴DE=DF在Rt △EBD ≌Rt △FCD （HL ） ∴EB=FC（2）演练题2，如图16.4-11所示，A 、B 两村在公路两旁，现 需在公路上修建一个汽车站，使车站到两村的距离相等，你能在公路上 确定这个车站的位置吗？思路分析：只要连接AB ，作AB 的垂直平分线MN ，NM 与公路交点C 即为汽车站的地址。
（3）演练题3、求作一点C ，使∠AOB 的两边的距离相等，且CM=CN 。
思路分析：连接MN ，作MN 中垂线与∠AOB 平分线交于C ，点C 就是所求的点。
15.4.2 角平分线的性质及应用 教案
沪科版本数学八年级上册15.4.2角平分线教学设计性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
已知：如图，OP是∠ AOB的平分线，P是OP上任一点，过点P分别作PC⊥OA，PD⊥OB，点C,D是垂足.你能猜想PC,PD长度间有什么关系吗？证明你的猜想。
角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.几何语言: （如图）∵OC是∠AOB的平分线, PD⊥OA,PE⊥OB∴PD=PE 教师一句激励的话语，给学生自学的动力．学生观察并思考实际应用中角平分线的用法。
和求知欲。
采用让学生独立思考、合作交流、积极展示的方式展开。
通过例题和变式，分别让学生进一步的认识，从而使学生更好的理解角平分线的性质定理．逆命题：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
活动探究二：思考以下问题，动手做一做。
（小组讨论，2min）请同学们比较角平分线的性质定理和逆定理，可以得出什么结论？角平分线可以看做到角的两边距离相等的所有点的集合。
例已知：如图，ΔABC中，∠B的平分线BE与∠的平分线CF相交于点P.求证：AP平分∠BAC.这个例子说明：三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等.走进生活1、如图，一所学校在公路的南侧，在河的西岸，学校到公路边与河沿的距离相等，且与河上公路桥西首的点A距离为200m。
请在图上标出学校的位置，并说明理由.学生独立思考，完成变式。
2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( )A.一处B. 两处C.三处D.四处课堂练习变式1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB 的垂直平分线交AC于点E，垂足为D，BE平分∠ABC，若AE=2，则CE的长为______．变式2：已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，沿过点B的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰好落在AB边的中点D处，则∠A= ______ 度．变式3：如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足为C，D.求证：（1）OC=OD;（2）△ECF≌△EDF.变式4：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：DE=DF．变式5：如图，∠ABC=60°，点D在AC上，ED=6，DE⊥BC，DF⊥AB，且DE=DF，求：（1）∠ABD的度数；（2）DB的长度．拓展提高如图：△ABC中，DE是BC边的垂直平分线，垂足为E，AD平分∠BAC且MD⊥AB，DN⊥AC延长线于N．求证：BM=CN．必做题: 随堂练习选做题: 习题15.4.2前5题课堂小结 1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
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16.4 角的平分线[教学目标]1、经历角平分线性质的发现过程，并通过将这一过程与线段垂直平分线性质的发现过程作对比，体会隐含其中的由“点”研究“线”的研究思想。
2、类比已学的“线段的垂直平分线”的知识结构和方法结构，通过探索和证明，建立“角的平分”一节的知识结构，并在探索和证明过程中，体会数学表述的严密性要求。
3、初步掌握角平分线的性质定理、逆定理以及用集合观点表述角平分线等知识，并能运用上述知识解决简单的几何问题。
[教学过程（实录）]一、复习旧知，引入课题通过多媒体展示飞机（模型-纸飞机），让学生折飞机，并引导学生观察折痕得出本节课的课题——角的平分线. 二、创设情景，学习新知 角的平分线的画法： 在角AOB 中，画角平分线 作法：1.以点O 为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB 两边于点M ，N ．2.分别以点M ，N 为圆心，以大于1／2MN 的长度为半径画弧，两弧交于点P3.作射线OP则射线OP 为角AOB 的角平分线让学生自己在草稿纸上自己画，同桌相互检查，集体订正。
师：上节课我们用一种探索的方法，对线段的垂直平分线作了较为深入的研究，今天我们要用类似的方法对角的平分线进行研究。
板书：角的平分线请同学们先回忆一下，关于角的平分线我们已经学过的有关结论。
生(1)： ∠AOC ＝∠BOC ；角是轴对称图形，对称轴是OC 所在的直线。
师： 板书：已有知识：若：OC 是∠AOB 的平分线则：①∠1＝∠2②OC 所在的直线是∠AOB 的对称轴那么关于角的平分线，还有哪些其他结论呢？请大家以小组为单位进行合作探究。
二、探究得出性质定理师 下发课堂教学操作单1。
（“操作单”见附一） 课件显示课堂教学操作单11 2OCB A生(众)：以小组为单位进行合作探究，并填写操作单1。
师： 巡视，并适时介入讨论。
下面我们把各组探究的成果一起来交流一下。
先从研究方法说起。
生(2)： 在OC 上任取一点P ，过P 作PD ⊥OA ，PE ⊥OB 。
沪科版数学八年级上册-15.4《角的平分线》教案
角的平分线【教学目标】（―）知识与技能：1.会阐述角平分线的性质定理及其逆定理。
2.会应用角平分线定理及其逆定理证明两条线段相等或两个角相等。
（二）过程与方法：1.经历探索角平分线作法的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间观察能力。
2.探索角平分线定理，培养学生认真探究、积极思考的能力。
（三）情感、态度与价值观：1.体验数学与生活的联系，发展学生的空间观念和审美观。
2.活动与探究的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性，使学生具有一些初步研究问题的能力。
【教学重点】角平分线的性质定理及其逆定理。
【教学难点】理解并证明角平分线的性质定理及其逆定理。
【教学过程】一、创设情境，导入新知。
师：同学们知道怎样作出角的平分线吗？31：可以通过折纸得到一个角的平分线。
42：也可以用量角器来画一个角的平分线。
师：下面我们来学习用尺规作图的方法作出NAOB的平分线。
作法：（-）以O为圆心、任意长为半径圆弧分别交OA、OB于点M、N,如图（1）。
（二）分别以点M、N为圆心，以大于MN长为半径在角的内部画弧交于点P,如图（2）。
（三）作射线OP,则OP为所要求作的NAOB的平分线，如图（3） o师：通过上面的作图，启发我们可以用尺规完成：“经过一点作已知直线的垂线。
” 由于这一点可能在直线上或直线外，这个作图要分两种情况：1.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线。
已知：直线AB和AB上一点C,如图（1）。
求作：AB的垂线，使它经过点C.作法：作平角ACB的平分线CFo直线CF就是所求的垂线。
2.经过已知直线外一点作这条直线的垂线。
已知：直线AB和AB外一点C,如图（2）。
求作：AB的垂线，使它经过点C.作示：（1）任意取一点K,使K和C在AB的两旁；（2）以点C为圆心、CK长为半径作弧，交AB于点D和E；（3）分别以点D和点E为圆心、大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F；（4）作直线CF。
直线CF就是所求的垂线。
沪科版数学八年级上册《角平分线的性质定理》教学设计2
沪科版数学八年级上册《角平分线的性质定理》教学设计2一. 教材分析《角平分线的性质定理》是沪科版数学八年级上册的教学内容。
本节课主要让学生掌握角平分线的性质定理及其应用。
教材通过引入角平分线概念，引导学生探究角平分线的性质，从而推导出角平分线的性质定理。
这一定理在几何学习中具有重要意义，为后续学习其他几何定理和证明打下基础。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了角的概念，对角有一定的认识。
但在实际操作中，部分学生对角的大小、分类等概念掌握不够扎实。
此外，学生在六年级时学习了直线的性质，对直线的基本特征有所了解。
然而，将已有知识运用到角平分线的性质探究中，对学生来说仍具有一定的挑战性。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握角平分线的性质定理，并能运用其解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、探究等环节，培养学生动手实践能力和合作意识。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的逻辑思维能力和创新精神。
四. 教学重难点1.重点：角平分线的性质定理及其应用。
2.难点：角平分线性质定理的推导过程。
五. 教学方法1.启发式教学：引导学生主动探究角平分线的性质，激发学生思考。
2.小组合作：让学生在小组内讨论、分享，培养学生的合作意识。
3.直观演示：利用几何模型和实物，直观展示角平分线的性质。
4.练习巩固：通过适量练习，让学生掌握角平分线的性质定理。
六. 教学准备1.教学课件：制作涵盖角平分线性质定理的教学课件。
2.几何模型：准备三角形、角的模型等教具。
3.练习题：挑选适合的练习题，巩固所学知识。
4.黑板：准备黑板，用于板书重要知识点。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示生活中的角平分线现象，如剪刀、扇子等，引导学生关注角平分线。
提问：“什么是角平分线？它在实际生活中有哪些应用？”2.呈现（10分钟）展示三角形模型，引导学生观察三角形的角平分线。
提问：“三角形的角平分线有什么特点？它们之间有什么关系？”3.操练（10分钟）学生在小组内讨论，分析角平分线的性质。
数学沪科版八年级(上册)15.4第2课时角平分线的性质及判定
解：(1)DC=DE.理由如下：角平分线上的
点到角两边的距离相等.
（2）在Rt△CDB和Rt△EDB中， DC=DE，DB=DB， ∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)，
A
E
10
6
D
∴BE＝BC=8. ∴ AE＝AB-BE=2.
B
8
C
∴△AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8.
5.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与 ∠ABC的平分线的
任意一点
1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作
PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.
将三次数据填入下表：
A
PD PE
D
C
第一次
p
第二次
O
第三次
E
B
2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写
出猜结想：：_角P_D_的_=_平P_E_分__线_ 上的点到角的两边的距离相等.
判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
A
定理的作用：判断点是否在角平分线上. D
C
应用格式：
P
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. O
E
B
∴点P 在∠AOB的平分线上.
例4 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图
A
D
N
F
P
M
∵PD=PE=PF.（已证）
∴PD=PF（等量代换） B
C E
∴AP平分∠BAC.（角平分线上的点到角两边的距
上海沪科版初中数学八年级上册15.4 第2课时 角平分线的性质及判定2
11、如图，AE 平分∠BAC，BD＝DC，DE⊥BC，EM⊥AB，EN⊥AC．求证：BM＝CN．
A
C
M
D
N
B
E
12、如图，P 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线 AF 上的任意一点，求证：△ABC 的周长小于△
TB:小初高题库
PBC 的周长．
上海沪科版初中数学
E A
P F
B
C
13、⑴已知：如图，△ACM，△CBN 是等边三角形，求证：AN=BM，
M
N
AC
B (2)如图 3,仍保留原题的所有条件,并设 AN、BM 交于点 F,连接 CF,求证：BF=CF+NF,
MF AC
N B
TB:小初高题库
上海沪科版初中数学
相信自己，就能走向成功的第一步 教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。数学思维
可以让他们更理性地看待人生
TB:小初高题库
2、如图，MP⊥NP，MQ 平分∠NMP，MT＝MP，连结 TQ，则下列结论中，不正确的是（ ）
（A）TQ＝PQ． （B）∠MQT＝∠MQP． （C）∠QTN＝90o．（D）∠NQT＝∠MQT．
M T
N
QPБайду номын сангаас
A
E
D
O
A
B
C
C D
B
3．如图，AB＝AC，AE＝AD，则①△ABD≌△ACE；②△BOE≌△COD；③O 在∠BAC 的平分线
上，以上结论正确的是
4．如图△ABC 中，AB＝AC，BD 为∠ABC 的平分线，∠BDC＝60o，则∠A 的度数是
5．若一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，则这个三角形是 6、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，
八年级数学上册 15.4 角平分线的性质及判定(第2课时)教案 (新版)沪科版
角平分线的性质及判定1．会叙述角的平分线的性质及判定；(重点)2．能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题；(难点)3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．一、情境导入在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？二、合作探究探究点一：角平分线的性质【类型一】利用角平分线的性质求线段的长度如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝7cm，则△DBE的周长是____________．解析：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，根据角平分线的性质，可得CD＝ED，AC＝AE＝BC，继而可得△DBE的周长＝AB.故答案为7cm.方法总结：此题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．从题目提供的信息找出求证的思路是解题的关键，读懂题目信息比较重要．【类型二】角平分线的性质和三角形面积的综合如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是( )A．6 B．5 C．4 D．3解析：过点D 作DF ⊥AC 于F ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，∴DF ＝DE ＝2，∴S △ABC ＝12×4×2＋错误!AC ×2＝7，解得AC ＝3.故选D.方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．【类型三】 利用角平分线的性质证明线段相等如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD ＝DF .求证：(1)CF ＝EB ；(2)AB ＝AF ＋2EB .解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，即CD ＝DE .再根据Rt △CFD ≌Rt △EBD ，得CF ＝EB ；(2)利用角平分线的性质证明△ADC 和△ADE 全等得到AC ＝AE ，然后通过线段之间的相互转化进行证明．证明：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC .在Rt △DCF 和Rt △DEB 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝DF ，DC ＝DE ，∴Rt △CFD ≌Rt △EBD (HL )，∴CF ＝EB ；(2)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴CD ＝DE .在Rt △ADC 与Rt △ADE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝DE ，AD ＝AD ，∴Rt △ADC ≌Rt △ADE (HL )，∴AC ＝AE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB . 方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两条“垂线段”相等．探究点二：角平分线的判定【类型一】 判断点是否在角平分线上如图，已知点P 到BE ，BD ，AC 的距离恰好相等，则点P 的位置：①在∠B 的平分线上；②在∠DAC 的平分线上；③在∠ECA 的平分线上；④恰是∠B ，∠DAC ，∠ECA 三条角平分线的交点，上述结论中，正确结论的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：利用角平分线性质的逆定理分析．由已知点P 到BE ，BD ，AC 的距离恰好相等进行思考，首先考虑到两边距离相等，得出结论，然后考虑到另外两边距离相等再得结论，如此这样，答案可得．由角平分线性质的逆定理，可得①②③④都正确．故选D.方法总结：此题主要考查角平分线性质的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．解答时，可分别处理，逐个验证．【类型二】 角平分线的判定如图，BE ＝CF ，DE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB ＝DC ，求证：AD 是∠BAC 的平分线．解析：先判定Rt △BDE 和Rt △CDF 全等，得出DE ＝DF ，再由角平分线的判定可知AD 是∠BAC 的平分线．证明：∵DE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°，∴△BDE 与△CDF是直角三角形．在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝CF ，BD ＝CD ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF ，∴DE ＝DF ，∴AD 是∠BAC 的平分线．方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．探究点三：三角形角平分线的应用已知：如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：(1)可选择的地点有几处？(2)你能画出塔台的位置吗？解析：(1)根据角平分线的性质得出符合条件的点有4处．(2)作出直线l 1，l 2，l 3两两相交组成的角的平分线，平分线的交点就是所求的点．解：(1)可选择的地点有4处，如图：P 1、P 2、P 3、P 4，共4处；(2)能，如图，根据角平分线的性质作三条直线相交所成的角的平分线，平分线的交点就是所求的点． 方法总结：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，反过来，到三角形三边距离相等的点，即为三角形内角平分线的交点，这一结论在以后的学习中经常遇到．三、板书设计角平分线的性质及判定⎩⎪⎨⎪⎧性质定理：角平分线上的点到角的两 边距离相等.判定定理：角的内部到角两边距离相 等的点在角的平分线上.角平分线是初中数学中重要的概念，它有着十分重要的性质，通过本节的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识，同时为学习其他图形知识打好基础．教学时用数学语言叙述角平分线的性质定理和判定定理，让学生熟悉这两个定理的条件和结论后，再出一些具体的题目让学生在情境当中运用这两个定理．在证明定理时注重分析思路，学生学会思考问题，注重书写格式，让学生学会清楚的表达思考的过程．在证明的选题上，注意减缓难度，循序渐进．。
八年级数学上册角的平分线第2课时角平分线的性质教案新版沪科版
第2课时角平分线的性质【知识与技能】探索角平分线的性质定理.【过程与方法】通过探索角平分线定理的过程,体会这个定理的作用,增强几何空间意识.【情感与态度】培养良好的逻辑思维能力,感悟逻辑推理在现实生活中的应用价值.【教学重点】重点是掌握角平分线的性质定理.【教学难点】难点是运用角平分线定理简化证明线段相等的问题.一、导入新知课堂活动：教师在黑板上演示怎样做一个已知角的平分线,要求学生与教师同步操作,在完成课本图的图形后,提出思考问题.问题思索：1.为什么所做的OP,就是∠AOB的平分线呢？2.如图,OP是∠AOB的平分线,P是OP上的任一点,过点P分别作PC⊥OA,PD⊥OB,C,D是垂足,根据你学过的知识,从图中你们得到哪些结论？写出这个问题的已知、求证,并给出证明.学生活动：讨论、分析,写出已知、求证,并证明如下.已知：如图所示,OP平分∠BOA,PD⊥OB,垂足为D,PC⊥OA,垂足为C.求证：PD=PC【证明】∵OP平分∠AOB.（已知）∴∠AOP=∠BOP（角平分线定义）又∵PC⊥OA,PD⊥OB,(已知)∴∠PCO=∠PDO=90°.（垂直的定义）在△PCO和△PDO中,∵,()(),,AOP BOP PCO PDO OP OP ∠=∠∠⎧⎨=∠=⎪⎪⎩已证（已证）公共边∴△PCO ≌△PDO.(AAS)∴PC=PD.【归纳结论】上面的证明,主要是让大家能通过严谨的推理解决面前感知得到的结论. 师生共识：角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等.【教学说明】让学生从感性上的认识上升到严格的理性上来.二、情境合一,优化思维1.情境思考如图所示,要在T 区建一个超市,使它到公路、铁路的距离相等,离公路与铁路交叉处500米,这个超市应建在什么地方呢？（在图上标出它的位置,比例尺为1:2 000）.引导学生分析、解决问题,这里要特别强调：写已知、求证这两个环节要正确,否则证明将没有意义.已知：如图所示,PD ⊥OA,PE ⊥OB,垂足为点D,E,PD=PE.求证：点P 在∠AOB 的平分线上.【证明】经过点P 作射线OP.∵PD ⊥OA,PE ⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°.在Rt △PDO 和Rt △PEO 中,OP=OP,PD=PE,∴Rt △PDO ≌Rt △PEO （HL ）,∴∠AOP=∠BOP,∴OP 是∠AOC 的平分线.∴点P 在∠AOB 的平分线上.【教学说明】请部分学生上讲台“板演”,然后引导学生去发现新的结论.2.师生共识.由刚才的例子可以得到一个结论：角平分线的逆命题仍然是正确的.【归纳结论】在一个角内部,到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上.三、运用新知,深化理解1.在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,BD=CD,DE,DF分别垂直于AB,AC,E,F是垂足,求证：EB=FC.第1题图第2题图2.求作一点C,使它到∠AOB两边的距离相等,即CM=CN【参考答案】1.证明：AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF(角平分线上点到两边距离相等)且∠BED=∠CFD=90°在Rt△BED与Rt△CFD中∵BD CD ED FD==⎧⎨⎩∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)2.略四、师生互动,课堂小结教师引导下,学生自主总结,主要问题有：1.什么叫角平分线？2.你还能得到哪些结论？1.课本第145页练习第2题.2.完成练习册中相应的作业.本节设计了“导入新知——情境合一,优化思维——运用新知——师生互动,课堂小结”四个环节,使学生探索角平分线的性质定理,经历探索角平分线定理的过程,体会这个定理的作用,发展几何空间意识,培养良好的逻辑思维能力,感悟逻辑推理在现实生活中的应用价值.。
沪科版八年级数学上册15.4.2 角的平分线的性质和判定(课件)【新版】
知1－讲
证知明识：点∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，∠C＝90°， ∴DE＝DC，∠DEB＝∠C＝90°.
ED CD, 在△BDE和△FDC中， DEB C ,
第15章 轴对称图形与等腰三角形
第4节 角的平分线 第2课时 角平分线的性质和判定
1 课堂讲解
角平分线的性质 角平分线的判定
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
课后 作业
知识点 1 角平分线的性质
思考：
知1－导
如图，OP是∠AOB的平分线，P是OP上的任一点，过
点P分别作PC⊥OA,PD ⊥ OB,点C,D是垂足.
知2－讲
因为EM⊥BD于点M，EP⊥CB于点P，所以EP＝EM.
又∵点E在∠ACB的平分线上，EN⊥CA，EP⊥CB，
∴EN＝EP，∴EN＝EM，∴DE平分∠ADB.
∵∠ADB＝∠ACB＋∠CBD＝40°，
∴∠ADE＝ 1∠ADB＝ 1 ×40°＝20°.
2
2
总结
知2－讲
本题根据角的和差关系计算有关角的度数， 利用角平分线的性质定理证明EP＝EM和EN＝ EP，得到EN＝EM，由角平分线的判定判断DE 平分∠ADB，便可求出∠ADE的度数．
的点在角的平分线上．
(1)书写格式：如图，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE, ∴点P在
∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)．
(2)作用：运用角平分线的判定，可以证明两个角相
等或一条射线是角的平分线．
沪科版数学八年级上册《角平分线的性质定理》教学设计2
沪科版数学八年级上册《角平分线的性质定理》教学设计2一. 教材分析《角平分线的性质定理》是沪科版数学八年级上册的教学内容。
本节课的主要内容是引导学生探究角平分线的性质定理，并运用该定理解决一些几何问题。
教材通过引入角平分线的概念，让学生了解角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，进而引导学生探究并证明角平分线的性质定理。
教材内容由浅入深，逐步引导学生掌握角平分线的性质，为后续学习其他几何定理打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了角的概念、线段的概念以及一些基本的几何证明方法。
他们对这些基础知识有一定的了解和掌握，但可能对角平分线的性质定理的理解和证明过程还不够熟悉。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的知识基础，通过合理的教学设计，帮助学生理解和掌握角平分线的性质定理。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生了解角平分线的性质定理，并能够运用该定理解决一些简单的几何问题。
2.过程与方法目标：通过学生的自主探究和合作交流，培养他们的几何思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学学习的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.重点：角平分线的性质定理的探究和证明。
2.难点：对角平分线性质定理的理解和运用。
五. 教学方法1.引导探究法：教师通过提出问题，引导学生进行自主探究，激发学生的思维。
2.合作交流法：学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的合作能力。
3.几何画板演示法：利用几何画板软件，直观地展示角平分线的性质，帮助学生理解和掌握。
六. 教学准备1.教学课件：制作角平分线性质定理的教学课件，包括角平分线的定义、性质定理的探究和证明过程等内容。
2.几何画板软件：用于展示角平分线的性质定理的直观演示。
3.练习题：准备一些有关角平分线性质定理的应用题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过复习角的概念和线段的概念，引导学生回顾已学知识，为新课的学习做好铺垫。
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15.4 角的平分线
第2课时角平分线的性质及判定
教学过程
一、复习预习
角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
二、知识讲解
考点1尺规作图画角平分线
（1）、以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N。
（2）、分别以M、N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C。
（3）、画射线OC。
射线OC即为所求.
考点2 角平分线的性质定理：
角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
定理的数学表示：如图，已知OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，若CF⊥OA
于点C，DF⊥OB于点D，则CF＝DF.
定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；
考点3 角平分线性质定理的逆定理：
角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.
定理的数学表示：如图5，已知点P在∠AOB的内部，且PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，若PC＝PD，则点P在∠AOB的平分线上.
定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系 .
考点4 关于三角形三条角平分线的定理：
（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.
定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线，那么：
①AP、BQ、CR相交于一点I；
②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI.
定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：
三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.
三、例题精析
【例题1】
【题干】在△ABC中，∠C是直角，AD平分∠BAC，交BC于点D。
如果AB＝8，CD ＝2，那么△ABD的面积等于。
【例题2】
【题干】如图，点D为锐角∠ABC内一点，点M在边BA上，点N在边BC上，且DM=DN，∠BMD+∠BND=180°．
求证：BD平分∠ABC．
【考点】1.全等三角形的判定与性质；2.角平分线的性质．
【例题3】
【题干】如图，在△ABC中，BD＝DC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE ＝CF，在这个图中不再添加辅助线和字母，解决下列问题：
（1）除由DE⊥AB，DF⊥AC所产生的直角和其余已知条件外，请你分别写出图中两对相等的角和两对相等的线段（不证明）；
（2）请证明：AD是∠BAC的平分线．
【例题4】
【题干】如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E．求证：△DEB的周长等于AB的长．
四、课堂运用
【基础】
1、【题文】如图所示，DE⊥AB，DF⊥AC，AE＝AF，则下列结论成立的是（）
A．BD＝CD B．DE＝DF C．∠B＝∠C D．AB＝AC
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．角平分线的性质
2、三角形中，到三边距离相等的点是：（）
A．三条高线的交点B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点
考点：角平分线的性质
3、如图，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；
③AC平分BD；④BD平分∠ADC中，正确的结论是（）
A．①②B．①②③
C．①②④D．只有①
【巩固】
1、角的平分线的性质，其理论依据是全等三角形判定定理（）
A．SAS B．HL C．AAS D．ASA
2、若∠AOB的平分线上一点P到OA的距离等于5，Q是射线OB上的任一点，则关于PQ的说法正确的是（）
A．PQ＞5 B．PQ＜5 C．PQ≥5 D．PQ≤5
【拔高】
1、已知，如图，∠B=∠C=90º，M是BC的中点，DM平分∠ADC.
（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论；
（2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由.
考点：角平分线的判定和性质
点评：角平分线的性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.
2、如图所示，BD＝CD，BF⊥AC，CE⊥AB，求证：D在∠BAC的角平分线上．
课程小结
1、尺规作图画角平分线
2、角平分线的性质定理
3、角平分线性质定理的逆定理
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