高中数学第一章计数原理3第二课时组合的应用教学案北师大版选修2_3

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高中数学第一章计数原理 1.4.1 简单计数问题教案北师大版选修2-3-北师大版高二选修2-3

4. 简单计数问题
一、复习引入：
1.两个计数原理；
2．排列、组合的概念；
3．排列数、组合数的计算公式。

二、学生自学：
完成优化设计12页“知识梳理〞部分
三、典例精讲：
例1．课本18页例1。

变式训练：
(1)把n+1个不同小球全部放到n 个有编号的小盒中去，每小盒至少有1个小球，共有多少种放法？
(2)把n+1相同的小球，全部放到n 个有编号的小盒中去，每盒至少有1个小球，又有多少种放法？
(3)把n+1个不同小球，全部放到n 个有编号的小盒中去，如果每小盒放进的球数不限，问有多少种放法？
例2．甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表？
解法一：〔排除法〕422131424152426=+-C C C C C C ．
解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有2324C C ；
另一类为甲不值周一，但值周六，有2414C C ，
∴一共有2414C C +2324C C ＝42种方法．
例3．6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？
解：第一步：从6本不同的书中任取2本“捆绑〞在一起看成一个元
素有26C 种方法；
第二步：将5个“不同元素〔书〕〞分给5个人有55A 种方法．
根据分步计数原理，一共有26C 55
A ＝1800种方法例4. 从6双不同手套中，任取4只，
(1)恰有1双配对的取法是多少？
(2)没有1双配对的取法是多少？
(3)至少有1双配对的取法是多少？。

高中数学第1章计数原理1.3.2组合的应用课件北师大版选修23

第七页，共31页。
[小组合作型]
无限制条件的组合问题在一次数学竞赛中，某学校有 12 人通过了初试，学校要从中选出 5 人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？ (1)任意选 5 人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加．
第十八页，共31页。
[探究共研型]
组合在几何中的应用探究 1 已知平面 α∥β，在 α 内有 4 个点，在 β 内有 6 个点．过这 10 个点中的 3 点作一平面，最多可作多少个不同平面？【提示】所作出的平面有三类：①α 内 1 点，β 内 2 点确定的平面，有 C14·C26 个；②α 内 2 点，β 内 1 点确定的平面，有 C24·C16个；③α，β 本身． ∴所作的平面最多有 C14·C26＋C24·C16＋2＝98 个．
第十二页，共31页。
【自主解答】 (1)从余下的 34 名学生中选取 2 名，有 C234＝561(种)． ∴不同的取法有 561 种． (2)从 34 名可选学生中选取 3 名，有 C334种．或者 C335－C234＝C334＝5 984 种． ∴不同的取法有 5 984 种． (3)从 20 名男生中选取 1 名，从 15 名女生中选取 2 名，有 C120C215＝2 100 种． ∴不同的取法有 2 100 种．
第三页，共31页。
2．应用组合知识解决实际问题的四个步骤 (1)判断：判断实际问题是否是组合问题． (2)方法：选择利用直接法还是间接法解题． (3)计算：利用组合数公式结合两个计数原理计算． (4)结论：根据计算结果写出方案个数．
第四页，共31页。
1．把三张游园票分给 10 个人中的 3 人，分法有________．【解析】把三张票分给 10 个人中的 3 人，不同分法有 C310＝130××29××18＝ 120(种)．【答案】 120

高中数学第一章计数原理3组合导学案北师大版选修2_31130325

§ 组合自主整理.一般地，从个不同的元素中，，叫作从个不同元素中取出个元素的一个组合，我们把有关求问题叫作组合问题..我们把，叫作从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示..一般地，考虑与的关系：把“从个不同的元素中选出（≤）个元素进行排列”这件事，分两步进行：第一步：从个不同元素中取出个元素，一共有种取法.第二步：一共有种排法.根据原理，我们得到“从个不同元素中选出（≤）个元素进行排列”一共有种排法.即有.，规定..组合数的性质：性质：.性质：.高手笔记.使用组合数公式时，要注意中为非负整数，∈，≤等限制条件..排列与组合的定义中相同的语句是“从个不同的元素中，任取（≤）个元素”.定义中不同的语句是:排列的定义中“按着一定的顺序排成一列”；组合的定义中“并成一组”..排列与组合的共同点，就是都要“从个不同元素中，任取个元素”，而不同点就是前者要“按照一定的顺序排成一列”，而后者却是“不论怎样的顺序并成一组”.因此，“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志.如，从、、三个元素中，任意取出两个元素的所有排列为：，，，，，；所有组合为：，，.在排列的意义下，与、与、与不同，而在组合的意义下，与、与、与相同..公式·表明从个不同的元素中，任取（≤）个元素的排列数的计算可分为两步：求；再对取出的个元素进行全排列.因此，从个不同的元素中，任取（≤）个元素的一个组合，是相应的所有排列中的个.如从、、中取出、的排列为、，组合（或）是其中的个..公式其形式上的特点是：分子是连续个自然数之积，最大的数为，最小的数是（）;分母是！.名师解惑.如何区别组合与组合数？剖析：“组合数”与“一个组合”是两个不同的概念，“一个组合”是指“从个不同元素中，任取（≤）个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的形式；“组合数”是指“从个不同元素中取出（≤）个元素的所有组合的个数”，它是一个数.如，从、、中任取两个元素的所有组合为：、、，它是具体的形式“、、”；而其组合数是具体的数，、、都算作，，即..如何理解组合数的两个性质?剖析：（）对的理解：这个性质可以由组合数的定义给出，从个不同元素中取出个元素后，剩下个元素，也就是说，从个不同元素中取出个元素的每一个组合，都对应于从个不同元素中取个元素的唯一的一个组合，反过来也如此，因此有.（）对的理解：把个元素分为不含某元素和含某元素两类.不含这一类，从个元素中取个元素的组合，相当于从个元素中取个元素的组合，组合数为；含的这一类，必被取出，从个元素中取个元素的组合，相当于从其余的个元素中取个元素的组合，组合数为.根据加法原理，有..解答组合问题时的解题策略是什么？剖析：解答组合应用题的总体思路为：（）整体分类，对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算结果时使用加法原理.（）局部分步，整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算每一类的相应结果时，使用乘法原理.（）考察顺序，区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，无序的问题，用组合解答，有序的问题属排列问题.（）辩证地看待“元素”与“位置”.排列、组合问题中的元素与位置，没有严格的界定标准，哪些事物看成元素或位置，要视具体情况而定.有时“元素选位置”，问题解决得简捷；有时“位置选元素”效果会更好.讲练互动【例】证明：….分析：本题运用公式写出个等式，然后把这些等式两边分别相加，等式两边相同的项消去后即得结论.证明：……把以上个式子相加，即得…….绿色通道:利用性质证明等式时，要先将第一项变成，然后与第二项结合利用组合性质，依次求和可得右端.变式训练.证明：.证明：左边（）（）（）（）（）右边.∴等式成立.【例】从台甲型和台乙型电视机中任意取出台，其中至少要有甲型与乙型电视机各台，则不同的取法共有多少种？分析：取出的台电视机中要求至少有甲型与乙型各台，它包括两种可能：台甲型与台乙型、台甲型与台乙型，所以可用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决.另外，也可以采用间接法.解法一：从台甲型电视机中取台且从台乙型电视机中取台有·种取法；从台甲型电视机中取台且从台乙型电视机中取台有·种取法，所以取出的台电视机中至少要有甲型与乙型各台的取法共有··种.故应选.解法二：从所有的台电视机中取台有种取法，其中全部为甲型的有种取法，全部为乙型的有种取法，则至少有甲型与乙型各台的取法有种.。

高中数学北师大版选修2-3第一章计数原理第三节《组合》第二课时教学设计方案

证明：∵
又，∴
说明：①规定：；
②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；
③ 或．
2、组合数的性质2：＝ + ．
一般地，从这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是，这些组合可以分为两类：一类含有元素，一类不含有．含有的组合是从这n个元素中取出m1个元素与组成的，共有个；不含有的组合是从这n个元素中取出m个元素组成的，共有个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．
解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2+ ＝100种方法．
解法二：（间接法）
（三）、课堂小结：
(四)、课堂练习：第17页练习
（五）、课后作业：第17页习题1-3中B组3、4；练习册19页4、5、7
教学反思
第一章计数原理第三节组合
主备人：雷新平
课题
组合
课时
第2课时
教学内容
1、掌握组合数的两个性质；
2、进一步熟练组合数的计算公式，能够运用公式解决一些简单的应用问题。
教学目标
1、掌握组合数的两个性质；
2、进一步熟练组合数的计算公式，能够运用公式解决一些简单的应用问题。
教学重点
掌握组合数的两个性质
教学难点
掌握组合数的两个性质
课前准备
探析归纳，讨论交流
教学过程
备注
（一）复习回顾：
1、组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合
说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同
2、组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示．

高中数学第一章计数原理 3 组合学案北师大版选修23

§3 组合1．组合一般地，从n 个不同元素中，任取m (m ≤n )个元素为一组，叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，我们把有关求组合的个数的问题叫作组合问题．预习交流1如何区分一个问题是排列问题还是组合问题？提示：一个问题究竟是组合问题还是排列问题，不能想当然地判断，必须要结合具体的问题，依照题目的要求，寻找处理的过程中是否与顺序有关，如果与顺序有关，就是排列问题，否则就是组合问题．2．组合数我们把从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号C mn 表示．C m n ＝A mn A m m ＝n n －n －n －m ＋m ！＝n ！m ！n －m ！.规定C 0n ＝1.预习交流2如何理解和记忆组合数公式？提示：在记住排列数公式的基础上，分母再除以m ！就得组合数公式． 3．组合数的性质性质1：C m n ＝C n －mn .性质2：C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n . 预习交流3如何理解和记忆组合数的性质？提示：从n 个元素中取m 个元素，剩余(n －m )个元素，故C m n ＝Cn －mn .从n＋1个元素中取m 个元素记作C m n ＋1，可认为分作两类：第一类为含有某元素a 的取法为C m －1n ，第二类不含有此元素a ，则为C m n ，根据分类加法计数原理得C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n .1．组合问题判断下列问题是组合问题，还是排列问题．(1)设集合A ＝{a ，b ，c ，d }，则集合A 的含有3个元素的子集有多少个？ (2)一个班中有52人，任意两个人握一次手，共握多少次手？(3)4个人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？思路分析：交换任何两个元素的顺序，看结果有无影响，如无影响则是组合问题．解：(1)因为集合中取出元素具有“无序性”，故这是组合问题； (2)因为两人握手是相互的，没有顺序之分，故这是组合问题；(3)因为5种工作是不同的，一种分工方法就是从5种不同的工作中选出4种，按一定的顺序分配给4个人，它与顺序有关，故这是排列问题．下列问题中，是组合问题的有__________．(1)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法；(2)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法； (3)a ，b ，c ，d 四支足球队进行单循环比赛，共需多少场比赛； (4)a ，b ，c ，d 四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果．答案：(1)(3)解析：(1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题； (2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题；(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题； (4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．与顺序无关的是组合问题，与顺序有关的是排列问题． 2．组合数公式及组合数的性质(1)计算C 98100＋C 199200；(2)已知C 3n ＋618＝C 4n －218，求n ；(3)化简C 45＋C 46＋C 47＋C 48＋C 88.思路分析：先把组合数利用性质进行化简，或利用组合数性质求解．解：(1)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992＋200＝5 150.(2)由C 3n ＋618＝C 4n －218，知3n ＋6＝4n －2或3n ＋6＋(4n －2)＝18. 解得n ＝8或n ＝2.而3n ＋6≤18且4n －2≤18，即n ≤4且n ∈N ＋，∴n ＝2.(3)C 45＋C 46＋C 47＋C 48＋C 88＝C 88＋C 45＋C 46＋C 47＋C 48＝C 55＋C 45＋C 46＋C 47＋C 48＝C 56＋C 46＋C 47＋C 48＝C 57＋C 47＋C 48＝C 58＋C 48＝C 59＝C 49＝9×8×7×64×3×2×1＝126.(1)C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 310＝__________；(2)(C 98100＋C 97100)÷A 3101＝__________.答案：(1)329 (2)16解析：(1)原式＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 310－C 44 ＝C 45＋C 35＋…＋C 310－1＝…＝C 410＋C 310－1 ＝C 411－1＝329.(2)原式＝C 98101÷A 3101＝C 3101÷A 3101＝A 31013！÷A 3101＝16.熟记公式、正确地选用公式、准确地计算是解决此类题的关键． 3．组合知识的实际应用现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？思路分析：由于选出的教师不需要考虑顺序，因此是组合问题．第(1)小题选2名教师不考虑男女，实质上是从10个不同的元素中取出2个的组合问题，可用直接法求解．第(2)小题必须选男、女教师各2名，才算完成所做的事，因此需要分两步进行，先从6名男教师中选2名，再从4名女教师中选2名．解：(1)从10名教师中选2名参加会议的选法数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C 210＝10×92×1＝45(种)． (2)从6名男教师中选2名的选法有C 26，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，因此共有不同的选法C 26·C 24＝6×52×1·4×32×1＝90(种)．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生； (2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选； (4)至多有两名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选．解：(1)一名女生，四名男生，故共有C 15·C 48＝350(种)选法．(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C 22·C 311＝165(种)选法．(3)至少有一名队长当选含有两类：有一名队长当选和两名队长都当选．故共有C 12·C 411＋C 22·C 311＝825(种)选法．或采用间接法：C 513－C 511＝825(种)．(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生，只有一名女生，没有女生．故共有C 25·C 38＋C 15·C 48＋C 58＝966(种)选法．(5)分两类：第一类，女队长当选，有C 412种选法；第二类，女队长不当选，有C 14·C 37＋C 24·C 27＋C 34·C 17＋C 44(种)选法，故选法共有C 412＋C 14·C 37＋C 24·C 27＋C 34·C 17＋C 44＝790(种)．利用组合知识解决实际问题要注意：①将已知条件中的元素的特征搞清，是用直接法还是间接法； ②要使用分类方法，要做到不重不漏；③当问题的反面比较简单时，常用间接法解决．1．给出下面几个问题，其中是组合问题的有( )． ①某班选10名同学参加拔河比赛；②由1,2,3,4选出两个数，构成平面向量a 的坐标；③由1,2,3,4选出两个数分别作为实轴长和虚轴长，构成焦点在x 轴上的双曲线方程； ④从正方体8个顶点中任取两个点构成线段．A ．①②B ．①④C ．③④D ．②③ 答案：B解析：由组合的概念知①④是组合问题．2．C 9798＋2C 9698＋C 9598＝( )．A ．C 9799B ．C 97100 C ．C 9899D ．C 98100 答案：B解析：原式＝C 9798＋C 9698＋C 9698＋C 9598＝C 9799＋C 9699＝C 97100.3．平面上有12个点，其中没有3个点在一条直线上，也没有4个点共圆，过这12个点中的每三个点作圆，共可作圆( )个．A ．220B ．210C ．200D ．1 320 答案：A解析：由题意知C 312＝12×11×103×2×1＝220.4．方程C x 17－C x 16＝C 2x ＋216的解集是__________．答案：{5}解析：∵C x 17＝C x 16＋C x －116，∴C x －116＝C 2x ＋216.由组合数的性质得x －1＝2x ＋2或x －1＋2x ＋2＝16，解得x 1＝－3(舍)，x 2＝5.5．平面内有10个点，其中任何3个点不共线，以其中任意2个点为端点的(1)线段有多少条？(2)有向线段有多少条？解：(1)所求线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的组合，共有C 210＝10×92×1＝45(条)．(2)所求有向线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的排列，共有A 210＝10×9＝90(条)．。

高中数学选修2-3北师大版教案：1.1.2分类加法计数原理与分步乘法计数原理(二)

课时教案科目：数学授课时间：第周星期年月日一、复习引入：1、分类加法计数原理：如果完成一件工作有K种途径，由第1种途径有n1种方法可以完成，由第2种途径有n2种方法可以完成，……n种方法可以完成,那么，完成这件工作共有由第k种途径有kn种不同的方法。

n1+n2+……+k2.分步乘法计数原理：如果完成一件工作可分为K个步骤，完成第1步有n1种不同的方法，完成第2步有n2种不同的方法，……，完成第K 步有k n 种不同的方法，那么，完成这件工作共有n 1×n 2×……×k n 种不同方法。

二、学生自学：学生完成优化设计第3页“知识梳理”。

三、典例精讲例1.书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？例2.在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种?解:取b a +与取a b +是同一种取法.分类标准为两加数的奇偶性,第一类,偶偶相加,由分步计数原理得(10×9)/2=45种取法,第二类,奇奇相加,也有(10×9)/2=45种取法.根据分类计数原理共有45+45=90种不同取法.例 3. 如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为()A. 180B. 160C. 96D. 60若变为图二,图三呢?(240种,5×4×4×4=320种)四、课堂检测1.优化设计第3页变式训练12.优化设计第3页变式训练2图一图二图三五、课堂小节：1.熟练掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理；2.会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；六、课后作业：A：课本第5页4-6B：优化设计第4页即时巩固1-3C：优化设计第4页即时巩固4、5七、课后预习：课本7-8页内容，试做第8页练习题。

江西省九江市高中数学第一章计数原理 3 组合(一)教

3 组合一、教学目标：1、知识与技能：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。

明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。

2、过程与方法：了解组合数的意义，理解排列数m n A 与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算。

3、情感、态度与价值观：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。

二、教学重难点：理解组合的意义，掌握组合数的计算公式三、教学方法：探析归纳，讨论交流四、教学过程（一）、复习引入：1．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同2．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号mn A 表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n 个不同元素中，任取m 个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号mn A 只表示排列数，而不表示具体的排列3．排列数公式及其推导：(1)(2)(1)mn A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤）全排列数：(1)(2)21!nn A n n n n =--⋅=（叫做n 的阶乘）（二）、探析新课：1、组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同mn C2、组合数的概念：从n 个不同元素中取出m()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号mn C 表示．3、组合数公式的推导：（1）一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数mn A ，可以分如下两步：① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数mm A ，根据分步计数原理得：m n A ＝m n C mm A ⋅．4、例题探析：1、计算：（1）47C ；（2）710C ；（1）解：4776544!C ⨯⨯⨯=＝35；（2）解法1：710109876547!C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=＝120．解法2：71010!10987!3!3!C ⨯⨯==＝120．2、求证：11+⋅-+=m nm n C m n m C ．证明：∵)!(!!m n m n C m n -=111!(1)!(1)!m nm m n C n mn m m n m +++⋅=⋅--+--＝1!(1)!()(1)!m n m n m n m +⋅+---＝!!()!n m n m -∴11+⋅-+=m nm n C m n m C3、在52件产品中，有50件合格品，2件次品，从中任取5件进行检查． (1)全是合格品的抽法有多少种？(2)次品全被抽出的抽法有多少种？(3)恰有一件次品被抽出的抽法有多少种？(4)至少有一件次品被抽出的抽法有多少种？ 4、名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有34C ，1624C C ⋅，2614C C ⋅，所以，一共有34C +1624C C ⋅+2614C C ⋅＝100种方法．解法二：（间接法）10036310=-C C （三）、课堂小结：本课学习了组合的意义，组合数的计算公式。

高中数学第一章计数原理整合学案北师大版选修23

高中数学第一章计数原理整合学案北师大版选修2-3知识建构综合应用专题一利用两个原理解排列组合问题的常用方法“两个原理”是两种重要的计数方法，它是列式计数时选择加法或者乘法的理论根据，在排列、组合应用题中，基本上全是用加法和乘法连结了排列数与组合数的计算.所以正确地使用加法和乘法原理是解决排列、组合应用题的基础.一、树形图法【例1】将A、B、C、D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B 不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试写出他们四个人所有不同的排法.解：由于A不排在第一，所以第一只能排B、C、D中的一个，据此可分为三类：由此可写出所有的排法为BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA.所以他们四个人共有9种不同的排法.二、依次排序法利用分步乘法计数原理求解与排列顺序有关的问题时，可以用依次排序法.依次排序法就是把数字或字母分为前后，首先排前面的数字或字母再依次排后面的数字或字母，将最后的数字或字母排完，则排列结束，这种方法多用于数字问题.【例2】用1、2、3、4四个数字可重复地任意排成三位数，并把这些数由小到大排成一个数列{a n}.(1)写出这个数列的前11项；（2）求这个数列共有多少项；（3）若a n=341,求n.解：(1）用1、2、3、4四个数字排成三位数，前11项由小到大的顺序为111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133.（2）这个数列的项数就是用1、2、3、4排成的三位数的个数，每一个位置都有4种排法，根据分步乘法计数原理共有4×4×4=64项.（3）比a n=341小的数有两类，分别是：①1××2××②31×32×33×根据两个原理得N=2×4×4+3×4=44项，所以n=44+1=45.三、转化法一般情况下研究的排列问题是不重复的排列问题，但是在实际生活中常会遇到这样的问题：车辆牌照的号码、电话号码、电报号码等等，都是一些重复排列.事实上，解决这些问题借助于“两个原理”非常容易办到.【例3】（1）4个同学，分配到3个课外小组中去活动，共有几种分配方法？（2）4个同学，争夺3项竞赛的冠军，冠军获得者共有几种可能？解：（1）因为每个同学都可以分配到任何一个小组中去，有3种分法，所以课外小组的分配共有N=3×3×3×3=34=81种方法.（2）因为每一项冠军都可被任何一个同学获得，有4种可能，所以冠军获得者共有的可能总数为N=4×4×4=43=64种.从此例可以看出，在解重复排列的问题时，首先应把题意分析清楚，判断出应以哪一个为主来考虑分配，也就是说应该正确判断出哪一个应作为底数n，哪一个应作为指数m，这是解题的关键所在.专题二排列组合解题方法一、直接法（元素、位置优先考虑法）1.特殊元素分析法：即以元素为主考虑，先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.2.特殊位置分析法：即以位置为主考虑，先安排有特殊要求的位置，再考虑其他位置. 【例1】有两排坐位，前排11个，后排12个，现安排2人就座，规定前排中间的3个坐位不能坐，并且这2个人不左右相邻，那么不同的排法的种数是（）.346 C解析：法一：因为前排中间3个坐位不能坐，所以实际可坐的坐位前排8个，后排12个.（1）两人一个前排，一个后排，方法数为C18C112A22；（2）两人均在后排，共A212种，排除两相邻的情况A22A111，即A212-A22A111；(3)两人均在前排，又分两类：①两人一左一右时为C14C14A22；②两人同左或同右时为2（A24-A2213A）.综上，不同的排法种数为C18C112A22+（A212-A22A111）+C14C14A22+2（A24-A22A13）=346种.法二：一共可坐的位置有20个，2个人就座方法数为A220，排除两人左右相邻的情况，可把能坐的20个坐位排成连续一行（B与C相接），任两个坐位看成一个整体，即相邻的坐法有A1 19A22，但这其中包括B、C相邻，而这种相邻在实际中是不相邻的，还应再加上2A22.∴不同的排法种数是A2 20-A119·A22+2A22=346种.答案：B绿色通道:本题综合运用了特殊元素分析法与特殊位置分析法、间接法以及分类讨论的思想方法，若考虑不周，很难做对，是难度较大的创新题..二、插空法不相邻问题常用插空法：我们可以根据题目的具体特点，首先排定某些元素，再用余下的元素进行插空，这样处理有关的排列组合问题，往往能收到111良好的解题效果.【例2】马路上有9盏路灯，为了节约用电，可以关掉其中的三盏路灯，要求关掉的路灯不能相邻，且不在马路的两头，那么不同的关灯方案共有多少种？解：本题可以看成被关掉的路灯夹在6盏亮着的灯的空档里.6盏亮着的灯排在一起，中间空档有5个，从5个空档中选出某3个，插进去三盏关掉的路灯，因此，不同的关灯方案共有C35=10种.三、捆绑法对于几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个元素，与其他元素排列，然后再考虑它们“内部”的排列，这种解决排列问题的方法称为“捆绑法”.【例3】用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数，共有多少个？解：先将1与2，3与4，5与6捆绑起来分别看作一个元素再与7，8排列，所以共有A 33A 24A 22A 22A 22=576种.四、间接法间接法是求解排列组合问题的常用方法.带有限制条件的排列组合问题，常用“元素分析法”和“位置分析法”，当直接考虑对象较为复杂时，可用逆向思维，使用间接法（排除法），即先不考虑约束条件，求出所有排列、组合总数，然后减去不符合条件的排列、组合种数.【例4】从12人中选出5人去参加一项活动，按下列要求，有多少种不同选法？（1）A 、B 、C 三人至少一人入选；（2）A 、B 、C 三人至多二人入选. （1）解法一：（直接法）可分三类，①A、B 、C 三人只选一人，有13C ·C 49=378种，②A、B 、C 三人中选择二人，则还须从其余9人中选3人，有C 23·C 39=252种，③A、B 、C 三人都入选则有C 33·C 29=36种， ∴共有378+252+36=666种. 解法二：（间接法）先从12人中任选5人，再减去A 、B 、C 三个都不选的情况，共有C 512-C 59=666种. （2）解法一（直接法）可分三类，由（1）可得共有C 59+13C ·C 49+C 23·C 39=756种. 解法二（间接法）先从12人中任选5人，再减去A 、B 、C 三人均入选的情况，即 C 512-C 29=756种.绿色通道:从以上解题过程可以看出：解决排列组合题目时，要从基本概念入手，正面分析问题、解决问题，直接法为常用方法；但从正面入手，情况较为复杂，不易解决时，可以从问题的反面入手，将其转化为一个简单的等价问题来解决，往往收到意想不到的效果.. 五、隔板法这类问题的特征是：（1）被分的元素没有区别；（2）被分的元素的个数不小于分得的组数；（3）每个小组至少分得一个元素.具备这些条件时就可以用公式：将n 个相同元素分成m 份（n≥m)时，有C 11--m n 种分配方法.【例5】某地区有9所学校，现有先进教师名额11个，要求每所学校至少有一个名额，共有多少种不同的分配方法？解：因为名额没有区别，因此，可以在11个名额所产生的10个空隙中插入8个板，即将这11个名额分成9份，有C 810种分配方法.类似情况还有：将20个相同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子，每个盒子里的小球数不小于盒子的编号，共有多少种放法？可首先分别在盒子中依次放入0，1，2，3个小球，问题即转化为14个相同元素分成4份的问题，即有C 313种放法. 专题三二项式系数的求法一、通项公式法通项公式T r+1=C rn a n-r ·b r (r=0,1,2,…,n)仅表示（a+b)n的展开式中的第r+1项. 特别地，对于(a-b)n，其通项公式是 T r+1=(-1)rC rn ·a n-r ·b r(r=0,1,2,…,n). 【例1】求(x 2+24x-4)5的展开式中含x 4的项的系数. 解：∵(x 2+24x-4)5的展开式的通项为 C r5(x 2+24x )5-r (-4)r, 而(x 2+24x)5-r 的二项展开式的通项为C kr -5x 2(5-r-k)(24x)k ,∴T r+1=C rr k C -55x 2(5-r-k)(24x)k ·(-4)r=(-4)rC r 5C kr -54k x10-2r-4k.∵0≤r≤5,0≤k≤5-r,(r,k∈N ), 令10-2r-4k=4,可得k=0,1时，r=3,1.∴含x 4的项的系数为（-4)3C 35C 0240+(-4)1C 15C 1441=-960.二、数列求和法【例2】（x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中，x 2的系数为___________. 解析：由等比数列求和公式得原式=xx x 6)1()1(-+-.所以原式中x 3的系数是（x-1)6的展开式中x 4的系数，即26C ·(-1)2=15.答案：15三、利用乘法分配律【例3】（x+2)10(x 2-1)的展开式中x 10的系数为_____________.解析：要得到含x 10的项，必须是(x+2)10的展开式中的项C 210x 822与第二个因式中的x 2作积或者是（x+2)10的展开式中的项C 010x 1020与-1作积,故x 10的系数为4C 210-1=179.答案：179四、特殊值法（赋值法）【例4】若(2x+3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为（）.-1C.解析：令x=1，得a0+a1+a2+a3+a4=(2+3)4;令x=-1，得a0-a1+a2-a3+a4=(2-3)4,两式相乘，得(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(2+3)4·(2-3)4=1.答案：A五、转化法【例5】在(x2+3x+2)5的展开式中，x的系数为（）.240 C解析：由于求的是x的系数，故与x2项无关，从而原题可以转化为求(3x+2)5的展开式中x 的系数.（3x)·24=240x，故选B.易求得，T5=C45答案：B科海观潮排列组合的由来排列组合问题，最早见于我国的《易经》一书.所谓“四象”就是每次取两个爻（ｙáｏ)的排列，“八卦”是每次取三个爻的排列.在汉代数学家徐岳的《数术记遗》（公元2世纪）中，也曾记载与占卜有关的“八卦算”，即把卦按不同的方法在八个方位中排列起来.它与“八个人围一张圆桌而坐，问有多少种不同坐法”这一典型的排列问题类似.11世纪时，邵雍还进一步研究了六十四卦的排列问题.排列的历史可以上溯到殷周之际的占卜术，较完整的文字记载则见于《易经》.“易”含变化的意思，书中称：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”“两仪”可=4种不同的排列，称为“四象”，用两种基本符号阳爻和阴爻表示，每次取两个，就有22即太阳、少阴、少阳、太阴；每次取三个，共有23=8种不同的排列，称为“八卦”，即乾（qián）、兑（duì)、离（lí)、震（znèn)、巽（xùn)、坎（kǎn)、艮（gèn)、坤（kūn)；若每次取六个，则可得26=64种不同的排列，叫做“六十四卦”.这是一种特殊的排列问题，即从n种事物中每次取r种，而且允许重复的排列数，答案应是n r.但是古代没有指数概念，对于很大的r来说，求出答数并非易事.唐代张遂（公元683年—公元727年）、宋代沈括（公元1031年—公元1095年）都曾计算过棋局总数，即围棋盘上所有可能的不同布局的总数，这相当于从事物（黑子、白子、空位）中每次取出361个（围棋盘的格点数）的排列数，与《易经》中的卦象数目是同一类数学问题.沈括在《梦溪笔谈》中详细地记述了计算棋局总数的理论根据和过程.古代的棋盘共有17路289个点，后来发展到19路361个点.唐朝僧人一行（俗名张遂）曾计算过一切可能摆出的棋局总数.后来，11世纪北宋时期沈括在《梦溪笔谈》中，进一步讨论了围棋布局总数问题.他利用一些排列、组合的办法对一行的计算作了分析.沈括指出，当361个棋子全用上时，棋局总数可达到10 00052的数量级.。

数学北师大版高中选修2-3高中数学北师大版选修2-3第一章计数原理第四节《简单计数原理》第二课时教学设计方

例4、圆周上有个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多是多少？
解：要使交点个数最多，则只需所有的交点都不重合。显然，并不是每两条弦都在圆内有交点，但如果两条弦相交，则交点就是以这两条弦的四个端点为顶点的四边形的对角线的交点，也就是说，弦在圆内的交点与以圆上四点为顶点的四边形是一一对应的。
根据分类计数原理，大于13000的五位数共有个．
方法二：（间接法）由0，1，2，…，9这10个数字中不同的5个数字组成的五位数共有个，其中不大于13000的五位数的万位数都是1，且千位数小于3，这样的数共有个，所以，满足条件的五位数共有个．
例2、九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？
解：（1）根据分步计数原理得到：种；
（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本有种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有种方法．根据分步计数原理可得：，所以．
因此，分为三份，每份两本一共有15种方法．说明：本题是分组中的“均匀分组”问题．
一般地，将个元素均匀分成组（每组个元素），共有种方法．
（3）这是“不均匀分组”问方法．
（5）可以分为三类情况：①“2、2、2型”即（1）中的情况，有种方法；
②“1、2、3型”即（4）中的分配情况，有种方法；
③“1、1、4型”，有种方法，所以，一共有90+360+90＝540种方法．
教学重点
排列、组合综合问题．
教学难点
排列、组合综合问题．
课前准备
探析归纳，讨论交流
教学过程
备注

高中数学第一章计数原理3第二课时组合的应用教学案北师大版选修2-3(new)

第二课时组合的应用［对应学生用书P12］有限制条件的组合问题［例1］2011年10名医疗专家中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：（1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种?(3）至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？[思路点拨] 选取医疗专家不需要考虑顺序,因此是组合问题，解答本题应首先分清“恰有”“至少”“至多”的含义,正确的分类或分步．［精解详析] （1)分两步:首先从4名外科专家中任选2名，有C错误!种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C错误!种选法,所以共有C错误!C错误!＝90种抽调方法．(2)“至少”的含义是不低于,有两种解答方法，法一（直接法）：按选取的外科专家的人数分类：①选2名外科专家,共有C错误!C错误!种选法；②选3名外科专家，共有C错误!C错误!种选法；③选4名外科专家，共有C错误!C错误!种选法．根据分类加法计数原理，共有C错误!C错误!＋C错误!C错误!＋C错误!C错误!＝185种抽调方法．法二(间接法）：不考虑是否有外科专家,共有C错误!种选法，若选取1名外科专家参加，有C1，4C错误!种选法；没有外科专家参加，有C错误!种选法，所以共有C错误!－C错误!C错误!－C错误!＝185种抽调方法．(3）“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答．①没有外科专家参加，有C错误!种选法；②有1名外科专家参加,有C错误!C错误!种选法；③有2名外科专家参加，有C错误!C错误!种选法．所以共有C错误!＋C错误!C错误!＋C错误!C错误!＝115种抽调方法．[一点通］(1)解决有约束条件的组合问题与解决有约束条件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特殊谁优先"的原则，在此前提下，采用分类或分步法或用间接法．(2)要正确理解题中的关键词，如“至少”“至多”“含”“不含”等的确切含义，正确分类，合理分步．(3）要谨防重复或遗漏，当直接法中分类较复杂时，可考虑用间接法处理，即“正难则反”的策略．1．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手都必须在内，那么不同的选手共有( ）A．26 B．84C．35 D．21解析：从7名队员中选出3人有C错误!＝错误!＝35种选法．答案：C2．从5名男医生,4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( ）A．70种 B．80种C．100种 D．140种解析：可分两类，男医生2名，女医生1名或男医生1名，女医生2名．∴共有C错误!C 1，＋C错误!C错误!＝70种．4答案:A3．某医科大学的学生中，有男生12名女生8名在某市人民医院实习，现从中选派5名参加青年志愿者医疗队．（1）某男生甲与某女生乙必须参加，共有多少种不同的选法？（2)甲、乙均不能参加，有多少种选法?（3)甲、乙二人至少有一人参加,有多少种选法?解：(1)只需从其他18人中选3人即可,共有选法C错误!＝816种．（2)只需从其他18人中选5 人即可，共有选法C错误!＝8 568种．（3）分两类：甲、乙中只有一人参加，则有C错误!·C错误!种选法；甲、乙两人都参加，则有C错误!种选法．故共有选法C错误!C错误!＋C错误!＝6 936种.几何中的组合问题［例2] 平面上有9(1)经过这9个点,可确定多少条直线？（2）以这9个点为顶点，可以确定多少个三角形？(3)以这9个点为顶点,可以确定多少个四边形？［思路点拨] 解答本题可用直接法或间接法进行．［精解详析］法一(直接法）:共线的4点记为A，B,C,D。

数学第一章计数原理排列教案北师大版选修2-3 教案

排列教学资源分析课程标准：基本要求：通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题。

考试说明：1、理解排列的概念。

2、利用计数原理推导排列数公式。

3、能解决简单的实际问题。

教材分析：本小节的知识体系在本章中处于承上启下的重要地位，它既在推导排列数列公式的过程中使分步计数原理获得了重要应用，又使排列数公式成为推导组合数公式的主要依据。

从而为以后的概率论学习打下基础。

教学目标知识与技能：理解排列的意义，能用分步计数原理推出简单的排列过程与方法：培养学生的分析能力和思维的严谨性，使学生能识辨出简单的排列问题，同时培养学生应用所学知识解决实际问题的能力情感态度与价值观：通过排列的学习，使学生体会数学的简洁美、应用美，从而培养学生对于数学内在美的感悟能教学重点：正确理解排列的概念，能掌握科学的方法写出所有排列教学难点：会用排列的知识去解决实际问题教学关键主要教学方法：由于本节课是数学概念课，结合高二学生的学习特点，在教学中采用启发、引导、交流的方式进行，以充分调动学生的主动性、积极性，使学生在教师的指导下真正成为学习的主体。

排列问题是有序问题，也就是说，无序问题不是排列问题；排列问题中“有序的要求”，可以表现为一组互不相同的元素与另一组互不相同的“位置”确定的对应关系。

教学过程一、复习引入1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法二、讲解新课：【问题提出】问题1．3名同学排成一排照像，有多少种排法？问题2、、某某、某某、某某4个城市相互通航，应该有多少种机票？问题3、从4面不同颜色的旗子中，选出3面排成一排作为一种信号，能组成多少种信号？【抽象概括】排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同【实例分析】例1、从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？分析：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共有6种不同的排法：甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙解决这一问题可分两个步骤：第 1 步，确定参加上午活动的同学，从 3 人中任选 1 人，有 3 种方法；第 2 步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的 2 人中去选，于是有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，在 3 名同学中选出 2 名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有3×2=6 种，把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从3个不同的元素 a , b ，。

高中数学第一章计数原理 1-3-1 组合与组合数公式课件北师大版选修2-3

复习课件
高中数学第一章计数原理 1-3-1 组合与组合数公式课件北师大版选修2-3
§3 组合
第一课时组合与组合数公式
1．组合的概念一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表示．
＝
11·（y－1）（！3y（）2！y＋1）！，化简得y2－5y＝0.
∴y＝0(舍)或y＝5，∴x＝15.
∴方程组的解为xy＝＝51.5，
(2)∵2Cx＋1x－2<3Cx＋12，∴2Cx＋13<3Cx＋12，即 2×（x＋11×）x2×（x3－1）<3×（x1＋×12）x. ① ∵x＋1≥3，x≥2，∴(x＋1)x>0. ①式两边同除以(x＋1)x，得x－1<92，∴x<121. ∴x＝2，3，4，5.即不等式的解集为{2，3，4，5}．
探究3 (1)Cn＋1m＝Cnm＋Cnm－1⇔Cnm－1＝Cn＋1m－Cnm； (2)C11＝C22＝C33＝…＝Cnn； (3)公式的灵活运用，体现了思维的灵活性．
◎思考题4 (1)计算①C31＋C32＋C43＋C54＋C65； ②C55＋C65＋C75＋C85＋C95＋C105； (2)计算C201198＋C200196＋C200197.
题型一组合的概念
例1 判断下列问题是不是组合问题？ (1)从10人中选4人
①参加，6中任取两数
①构成对数或指数；②相加或相乘．
(3)三个人互相 ①问好；②送礼品．
(4)由正四面体4个顶点 ①可形成多少个向量；②形成多少对异面直线．

高中数学第一章计数原理教案 1.2.2组合选修2-3

1．2．2组合教学目标：知识与技能：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。

明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。

过程与方法：了解组合数的意义，理解排列数m n A 与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算。

情感、态度与价值观：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。

教学重点：组合的概念和组合数公式教学难点：组合的概念和组合数公式授课类型：新授课课时安排：2课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系. 指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.教学过程：一、复习引入：1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法3．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．4．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n A 表示 5．排列数公式：(1)(2)(1)mn A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤）6阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!1=． m n C7．排列数的另一个计算公式：m n A =!()!n n m - 8.提出问题：示例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？示例2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的引出课题：组合．．．二、讲解新课：1组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同例1．判断下列问题是组合还是排列（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？（2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？（3）从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？（4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？（5）10个人互通电话一次，共多少个电话？问题：（1）1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？（2）什么样的两个组合就叫相同的组合2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号m n C 表示． 3．组合数公式的推导：（1）从4个不同元素,,,a b c d 中取出3个元素的组合数34C 是多少呢？启发：由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，故我们可以考察一下34C 和34A 的关系，如下：组合排列dcbcdb bdc dbc cbd bcd bcd dcacda adc dac cad acd acd dba bda adb dab bad abd abd cbabca acb cab bac abc abc ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→→→由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C 个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A 种方法．由分步计数原理得：34A ＝⋅34C 33A ，所以，333434A A C =．（2）推广：一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m n A ，可以分如下两步：① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数mn C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ，根据分步计数原理得：m n A ＝m n C m m A ⋅．（3）组合数的公式：(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C mn -=),,(n m N m n ≤∈*且规定: 01n C =. 三、讲解范例：例2．用计算器计算710C ．解：由计算器可得例3．计算：（1）47C ；（2）710C ；（1）解： 4776544!C ⨯⨯⨯=＝35；（2）解法1：710109876547!C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=＝120．解法2：71010!10987!3!3!C ⨯⨯==＝120．例4．求证：11+⋅-+=m n m n C mn m C ．证明：∵)!(!!m n m n C m n -= 111!(1)!(1)!m n m m n C n m n m m n m +++⋅=⋅--+-- ＝1!(1)!()(1)!m n m n m n m +⋅+--- ＝!!()!n m n m - ∴11+⋅-+=m n m n C mn m C 例5．设,+∈N x 求321132-+--+x x x x C C 的值解：由题意可得：⎩⎨⎧-≥+-≥-321132x x x x ，解得24x ≤≤， ∵x N +∈， ∴2x =或3x =或4x =，当2x =时原式值为7；当3x =时原式值为7；当4x =时原式值为11．∴所求值为4或7或11．例6．一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？分析：对于（1)，根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从 17 个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于（ 2 ) ，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．解： (1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有 C ｝手＝ 12 376 （种） .(2）教练员可以分两步完成这件事情：第1步，从17名学员中选出 n 人组成上场小组，共有1117C 种选法；第2步，从选出的 n 人中选出 1 名守门员，共有111C 种选法．所以教练员做这件事情的方法数有1111711C C ⨯=136136（种）. 例7．（1）平面内有10 个点，以其中每2 个点为端点的线段共有多少条？(2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？解：(1）以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有 2101094512C ⨯==⨯（条）. (2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有21010990A =⨯=（条）.例8．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件 .(1）有多少种不同的抽法？(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？(3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？解：(1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有 31001009998123C ⨯⨯=⨯⨯= 161700 （种）. (2）从2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有12C 种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有298C 种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有12298C C ⋅=9506(种). (3）解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有1件次品和有 2件次品两种情况．在第（2）小题中已求得其中1件是次品的抽法有12298C C ⋅种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有12298C C ⋅+21298C C ⋅=9 604 （种） .解法2 抽出的3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3 件的抽法种数减去3 件中都是合格品的抽法的种数，即3310098C C -=161 700-152 096 = 9 604 （种）. 说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。

【北师大版】数学选修2-3教案：第一章第三课时基本计数原理(三)

一、教学目标：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题二、教学重点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)教学难点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解三、教学方法：探析归纳，讨论交流四、教学过程（一）、复习：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)及它们的区别. （二）、典例探析例1.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？解：P5分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题．区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事，分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．例2.核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分一个 RNA 分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据．总共有 4 种不同的碱基，分别用A,C,G,U表示．在一个 RNA 分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关．假设有一类 RNA 分子由 100 个碱基组成，那么能有多少种不同的 RNA 分子？分析：用图1. 1一2 来表示由100个碱基组成的长链，这时我们共有100个位置，每个位置都可以从A , C , G , U 中任选一个来占据．解：100个碱基组成的长链共有 100个位置，如图1 . 1一2所示．从左到右依次在每一个位置中，从 A , C , G , U 中任选一个填人，每个位置有 4 种填充方法．根据分步乘法计数原理，长度为 100 的所有可能的不同 RNA 分子数目有1001004444⋅⋅⋅=（个）例3.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态．因此计算机内部就采用了每一位只有 O 或 1 两种数字的记数法，即二进制．为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由 8 个二进制位构成．问：(1）一个字节（ 8 位）最多可以表示多少个不同的字符？ (2）计算机汉字国标码（GB 码）包含了6 763 个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？分析：由于每个字节有 8 个二进制位，每一位上的值都有0,1两种选择，而且不同的顺序代表不同的字符，因此可以用分步乘法计数原理求解本题．解：(1）用图1.1一3 来表示一个字节．图 1 . 1 一 3一个字节共有 8 位，每位上有 2 种选择．根据分步乘法计数原理，一个字节最多可以表示 2×2×2×2×2×2×2×2= 28 =256 个不同的字符；( 2）由（ 1 ）知，用一个字节所能表示的不同字符不够 6 763 个，我们就考虑用2 个字节能够表示多少个字符．前一个字节有 256 种不同的表示方法，后一个字节也有 256 种表示方法．根据分步乘法计数原理，2个字节可以表示 256×256 = 65536个不同的字符，这已经大于汉字国标码包含的汉字个数 6 763．所以要表示这些汉字，每个汉字至少要用 2 个字节表示．例4.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和 3 个不重复的阿拉伯数字，并且 3 个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现．那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？分析：按照新规定，牌照可以分为 2类，即字母组合在左和字母组合在右．确定一个牌照的字母和数字可以分6个步骤．解：将汽车牌照分为 2 类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右．字母组合在左时，分6个步骤确定一个牌照的字母和数字：第1步，从26个字母中选1个，放在首位，有26种选法；第2步，从剩下的25个字母中选 1个，放在第2位，有25种选法；第3步，从剩下的24个字母中选 1个，放在第3位，有24种选法；第4步，从10个数字中选1个，放在第 4 位，有10种选法；第5步，从剩下的 9个数字中选1个，放在第5位，有9种选法；第6步，从剩下的 8个字母中选1个，放在第6位，有8种选法．根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有26 ×25×24×10×9×8=11 232 000（个） .同理，字母组合在右的牌照也有11232 000 个．所以，共能给11232 000 + 11232 000 = 22464 000（个） .辆汽车上牌照．用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析―需要分类还是需要分步．分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．分步要做到“步骤完整”―完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.（三）、课堂小结：1、分类加法计数原理和分步乘法计数原理是排列组合问题的最基本的原理，是推导排列数、组合数公式的理论依据，也是求解排列、组合问题的基本思想.2、理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，并加区别分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相对独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成后才算做完这件事.3、运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的注意点：分类加法计数原理：首先确定分类标准，其次满足：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同的两类的方法都是不同的方法，即"不重不漏". 分步乘法计数原理：首先确定分步标准，其次满足：必须并且只需连续完成这n个步骤，这件事才算完成.（四）、巩固练习：练习册第8页5、6、8（五）、课外作业：练习册第8页中 4 、7 、10。

数学北师大版高中选修2-3高中数学北师大版选修2-3第一章计数原理第三节《组合》第一课时教学设计方案

3．排列数公式及其推导：
（）
全排列数：（叫做n的阶乘）
（二）新课讲解：看题思考：
（1）高二（1）班从甲.乙.丙.三名学生中选2名，有多少种不同的选法?
（2）从1.2.3.三个数字中选两个数字，能构成多少个不同的集合?
探讨上面两个问题与前面讲的排列问题有何区别？有何联系？
温故知新：
从甲.乙.丙.丁四名优秀团员中选两名同学升旗,并指定正旗手,副旗手,共有多少种选法?
探析归纳，讨论交流
教学过程
备注
（一）复习回顾：
1、从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2．排列数的定义：从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示
注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从个不同元素中，任取个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列
（2）解法1：＝120．
解法2：＝120．
2、求证：．
证明：∵
＝＝
∴
3、在52件产品中，有50件合格品，2件次品，从中任取5件进行检查．
(1)全是合格品的抽法有多少种？(2)次品全被抽出的抽法有多少种？
(3)恰有一件次品被抽出的抽法有多少种？(4)至少有一件次品被抽出的抽法有多少种？
4、名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？
法1分两步：（1）第一步选出正旗手
（2）第二步选出副旗手
法2分两步：（1）第一步选出两个旗手