广东省广州市第六中学高二下学期期中数学考试题

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广东省广州市广州中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)

广州中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷一、单选题（每题5分，共8小题）1. 若函数，则（）A. B. C. D. 2. 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（）A.B.C.D.3. 在的二项展开式中，常数项是（）A. 132B. 160C. 180D. 1964. 已知随机变量服从，若，则（）A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.55. 已知随机变量X 的分布列如下：X －101P设Y ＝2X ＋1，则Y 的数学期望E (Y )的值是（）A. －B.C.D. －6. 从编号为1，2，3，…，10，11的11个球中，取出5个球，使这5个球的编号之和为奇数，其取法总数为（）A. 236 B. 328C. 462D. 26407. 已知，，，则（）A. B. C. D. ()22e e xf x =+()1f '=2e 22e 23e 24e 151h 12381571625781022x ⎛+ ⎝X ()20.5,N σ()0.30.3P X ≤=()0.30.7P X ≤≤=12161316132323a =b =c =a c b >>b a c >>a b c>>b c a >>8. 设函数，若，且的最小值为，则的值为（）A.B. C. D. 二、多选题（每题6分，共3小题）9. 已知，分别为随机事件A ，B 的对立事件，，，则（）A. B. C. 若A ，B 独立，则 D. 若A ，B 互斥，则10. 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）A. 若甲、乙、丙按从左到右顺序排列，则不同的排法有12种B. 若甲、乙不相邻，则不同排法有72种C. 若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种D. 如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种11. 已知函数，其导函数为，且，记，则下列说法正确的是（）A 恒成立B. 函数的极小值为0C. 若函数在其定义域内有两个不同的零点，则实数的取值范围是D. 对任意的，都有三、填空题（每题5分，共3小题）12. 过原点的直线与相切，则切点的坐标是______.13. 中国空间站主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙、丙、丁4名航天员开展实验，每名航天员只能去一个舱，每个舱至少安排一个人，则甲被安排在天和核心舱的条件下，乙也被安排在天和核心舱的概率为_________．14. 2023年第57届世界乒乓球锦标赛在南非德班拉开帷幕，参赛选手甲、乙进入了半决赛，半决赛采用五的的.的()2,0ln ,0x a x f x x x -≤⎧=⎨>⎩()()()1212f x f x x x =<212x x -ln2a 12e 2-A B ()0P A >()0P B >()()||1P B A P B A +=()()()||P B A P B A P A +=()()P A B P A =()(|)|=P A B P B A ()()1e x x k f x x-+=()f x '()11f =()()g x xf x =()0f x ¢>()g x ()y g x m =-m ()0,1()12,2,x x ∈+∞()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭l e x y =局三胜制，当选手甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为，比赛局数的期望值记为，则的最大值是______．四、解答题（共5小题，共77分）15. 已知，展开式中二项式系数的最大值为.（1）求的值；（2）求的值（结果可以保留指数形式）.16. 为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：个人赛奖项组别一等奖二等奖三等奖团体赛获奖高一20206050高二162910550（1）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；（2）从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中团体赛获奖的人数，求的分布列和数学期望；17. 已知函数在处取得极值．（1）确定的值并求的单调区间；（2）若关于的方程至多有两个根，求实数的取值范围．18. 在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从8个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答．已知这8个题目中，选手甲只能正确作答其中的6个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为0.8，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的．（1）求选手甲恰好正确作答2个题目的概率；（2）记选手乙正确作答的题目个数为X ，求X 的分布列和数学期望；（3）如果在抽取的3个题目中答对2个题目就可以晋级，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？()01p p ≤≤()fp ()f p ()72701271mx a a x a x a x +=++++ 7m m 1357a a a a +++X X ()()3144R 3f x ax x a =-+∈2x =-a ()f x x ()f x b =b请说明理由．19. 英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.（1）证明：；（2）设，证明：；（3）设，若是的极小值点，求实数的取值范围.2312!3!!xnx x x x n =++++++e !1234,en n =⨯⨯⨯⨯⨯ e 2.71828= ()()e e e e ,22x x x xf xg x ---+==e 1x x ≥+()0,x ∈+∞()()f xg x x<()()212x F x g x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭0x =()F x a广州中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷简要答案一、单选题（每题5分，共8小题）【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】B二、多选题（每题6分，共3小题）【9题答案】【答案】ACD【10题答案】【答案】BD【11题答案】【答案】CD三、填空题（每题5分，共3小题）【12题答案】(1,e)【答案】【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】四、解答题（共5小题，共77分）【15题答案】【答案】（1）；（2）或148160.【16题答案】【答案】（1）（2）分布列略，【17题答案】【答案】（1），单调递增区间和，单调递减区间是（2）或【18题答案】【答案】（1）（2）分布列略，（3）选手乙，理由略【19题答案】【答案】（1）证明略（2）证明略（3）是163385m =771(64)2+59()712E X =1a =(),2-∞-()2,+∞()2,2-283b ≥43b ≤-1528() 2.4E X =(],1-∞。

广东省广州市数学高二下学期理数期中考试试卷

广东省广州市数学高二下学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合,则（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·黑龙江模拟) 定义运算，若（i为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分） (2018高三上·黑龙江月考) 已知平面向量 , 且 , 则（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高三上·汕头期末) 在等差数列中，前项和满足，则＝（）A . 7B . 9C . 14D . 185. （2分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），若f（x﹣2）＞0，则x的取值范围是（）A . （﹣∞，0）B . （0，4）C . （4，+∞）D . （﹣∞，0）∪（4，+∞）6. （2分）“a<1”是“”的（）条件A . 必要不充分B . 充分不必要C . 充分必要D . 既不充分也不必要7. （2分）已知a+4b=ab, a、b均为正数，则使a+b>m恒成立的m的取值范围是（）A . m<9B . m≤9C . m<8D . m≤88. （2分）如图，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（）A .B .C . 4D . 29. （2分）在等差数列中，，且，为数列的前项和，则使的的最小值为（）A . 10B . 11C . 20D . 2110. （2分）双曲线与抛物线相交于A,B两点，公共弦AB恰好过它们的公共焦点F，则双曲线C的离心率为（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高二上·遂宁期末) 若点在两条平行直线与之间，则整数的值为（）A .B .C .D .12. （2分）(2018·黄山模拟) 设函数，其中 ,若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）在△ABC中，AB=AC，E为AC边上的点，且AC=3AE，BE=2，则△ABC的面积的最大值为________．14. （1分） (2018高二上·集宁月考) 已知ΔABC中，三个内角A，B，C所对边长分别是a,b,c,且 ,b = 3， ,则c = ________.15. （1分）(2017·葫芦岛模拟) 已知空间四边形ABCD中，AB=BD=AD=2，BC=1，CD= ，若二面角A﹣BD ﹣C的取值范围为[ ， ]，则该几何体的外接球表面积的取值范围为________．16. （1分）(2018高三上·西安模拟) 函数在定义域内可导，若，且，若，则的大小关系是________．三、解答题 (共7题；共55分)17. （10分） (2016高二下·辽宁期中) 已知（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x﹣1）3+…+an（x ﹣1）n ，（其中n∈N*）（1）求a0及Sn=a1+2a2+3a3+…+nan；（2）试比较Sn与n3的大小，并说明理由．18. （10分） (2019高二上·伊春期末) 某种产品的广告费用支出（万元）与销售额（万元）之间有如下的对应数据：245683040605070参考公式：（1）求回归直线方程；（2）据此估计广告费用为12万元时的销售额约为多少？19. （5分） (2017高三上·石景山期末) 如图1，等腰梯形BCDP中，BC∥PD，BA⊥PD于点A，PD=3BC，且AB=BC=1．沿AB把△PAB折起到△P'AB的位置（如图2），使∠P'AD=90°．（Ⅰ）求证：CD⊥平面P'AC；（Ⅱ）求二面角A﹣P'D﹣C的余弦值；（Ⅲ）线段P'A上是否存在点M，使得BM∥平面P'CD．若存在，指出点M的位置并证明；若不存在，请说明理由．20. （10分） (2017高二下·赣州期中) 禽流感是家禽养殖业的最大威胁．为检验某新药物预防禽流感的效果，取80只家禽进行试验，得到如下丢失数据的列联表：（c，d，M，N表示丢失的数据）患病未患病总计未服用药a b40服用药5d M总计25N80（1）求出a，b，d，M，N的值，并判断：能否有99.5%的把握认为药物有效；（2）若表中服用药后患病的5只家禽分别为3只鸡和2只鸭，现从这5只家禽中随机选取2只，求这2只家禽是同一类的概率．下面的临界值表供参考：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式：K2= ，其中n=a+b+c+d）21. （5分）已知椭圆（a＞b＞0）过点（0，），且离心率为。

2022-2023学年广州市高二下期中考试数学模拟试卷附答案解析

2022-2023学年广州市高二下期中考试数学模拟试卷一．选择题（共8小题）1．（2021秋•1月份月考）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x∈R||2x﹣1|≤1}，则（∁R B）∩A＝（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{1，2}D．{﹣1，2} 2．（2021秋•历下区校级月考）若z＝﹣1+i，设，则|ω|＝（）A．B．1C．D．23．（2021秋•潍坊期末）现从甲、乙等7名大学生中选出3人担任北京冬奥会的志愿者，要求甲、乙至少1人入选，则不同的选法共有（）A．10种B．20种C．25种D．35种4．（2020秋•浙江月考）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则m⊥n的一个充分不必要条件是（）A．m⊥α，n∥β，α⊥βB．m⊥α，n⊥β，α∥βC．m⊂α，n∥β，α⊥βD．m⊂α，n⊥β，α∥β5．（2020•日照一模）已知f（x）＝x•2|x|，，，c＝f（ln3），则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞a＞b 6．（2020春•揭阳期末）已知定义域为R的奇函数f（x）的图象是一条连续不断的曲线，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0，当x∈（0，2）时，f′（x）＞0，且f（3）＝0，则关于x的不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集为（）A．（﹣3，3）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣3，0）∪（1，3）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）7．（2021•江苏一模）（3﹣2x）（x+1）5展开式中x3的系数为（）A．﹣15B．﹣10C．10D．15 8．（2016春•邢台期末）已知函数f（x）＝e x（x2﹣bx）（b∈R）在区间[，2]上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）C．（﹣，）D．（，+∞）二．多选题（共4小题）（多选）9．（2021•深圳一模）设F1、F2分别是双曲线C：＝1的左、右焦点，且|F1F2|＝4，则下列结论正确的有（）A．m＝2B．当n＝0时，C的离心率是2C．F1到渐近线的距离随着n的增大而减小D．当n＝1时，C的实轴长是虚轴长的两倍（多选）10．（2021春•南山区校级期中）下列说法不正确的是（）A．回归直线至少经过其样本数据（x i，y1），（x2，y2），⋯，（x n，y n）中的一个点B．从独立性检验可知有99%的把握认为吃地沟油与患胃肠癌有关系时，我们就说如果某人吃地沟油，那么他有99%可能患胃肠癌C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．将一组数据的每一个数据都加上或减去同一个常数后，其方差也要加上或减去这个常数（多选）11．（2021春•番禺区校级期中）对于函数，下列说法正确的是（）A．在（0，e）上单调递减B．有极小值eC．有最小值e D．无最大值（多选）12．（2021春•东莞市期中）已知函数f（x）＝e x+e﹣x，g（x）＝x2+2x，以下结论正确的有（）A．f（x）是偶函数B．当a＞0时，y＝af（x+1）与y＝g（x）有相同的单调性C．当a＞0时，y＝af（x+1）与y＝g（x）的图象只可能有偶数个交点D．若y＝af（x+1）与y＝g（x）的图象只有一个公共点时，三．填空题（共4小题）13．（2021春•东莞市期中）一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为（单位：m），那么这个质点在2秒末的瞬时速度是（m/s）．14．（2021•临沂二模）现有标号为①，②，③，④，⑤的5件不同新产品，要放到三个不同的机构进行测试，每件产品只能放到一个机构里．机构A，B各负责一个产品，机构C负责余下的三个产品，其中产品①不在A机构测试的情况有种（结果用具体数字表示）．15．（2004•福建）如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为时，其容积最大．16．（2021•镜湖区校级模拟）已知三棱锥A﹣BCD中，点A在平面BCD上的射影与点D重合，AD＝CD＝4．若∠CBD＝135°，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．四．解答题（共6小题）17．（2021春•如东县期中）从下列三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答①b sin A＝a cos B；②（a+c+b）（a+c﹣b）＝3ac；③2cos B（a cos C+c cos A）＝b．在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，满足条件______．（1）求角B的大小；＝6，求b的值．（2）若a＝4，S△ABC18．（2019•永州三模）某机器生产商，对一次性购买两台机器的客户推出两种超过质保期后两年内的延保维修方案：方案一：交纳延保金6000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1500元；方案二：交纳延保金7740元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费a元．某工厂准备一次性购买两台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了100台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，统计得如表：维修次数0123机器台数20104030以这100台机器维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率．记X表示这两台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求X的分布列；（2）以所需延保金与维修费用之和的期望值为决策依据，该工厂选择哪种延保方案更合算．19．（2021•济宁一模）如图所示多面体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，△ADE是正三角形，四边形ABCD是菱形，AB＝2，CF＝，∠BAD＝．（1）求证：EF∥平面ABCD；（2）求二面角E﹣AF﹣C的正弦值．20．（2021•内江一模）已知函数f（x）＝alnx﹣bx2，a，b∈R．若f（x）在x＝1处与直线相切．（1）求a，b的值；（2）求f（x）在上的极值．21．（2018•河南一模）已知点F 1（﹣，0），圆F2：（x﹣）2+y2＝16，点M是圆上一动点，MF1的垂直平分线与MF2交于点N．（1）求点N的轨迹方程；（2）设点N的轨迹为曲线E，过点P（0，1）且斜率不为0的直线l与E交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为B′，证明直线AB′过定点，并求△PAB′面积的最大值．22．（2021春•东莞市期中）已知函数．（1）若f（x）在x＝1处有极大值，求a的取值范围；（2）若f（x）的极大值为M，f（x）的极小值为N，当时，求|M﹣N|的取值范围．2022-2023学年广州市高二下期中考试数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2021秋•1月份月考）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x∈R||2x﹣1|≤1}，则（∁R B）∩A＝（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{1，2}D．{﹣1，2}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合；数学运算．【分析】化简集合B，根据集合的运算求解可得答案．【解答】解：∵A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x∈R||2x﹣1|≤1}＝{x|0≤x≤1}，∴∁R B＝{x|x＜0或x＞1}，∴（∁R B）∩A＝{﹣1，2}．故选：D．【点评】本题考查了集合补集、交集及其运算，属于基础题．2．（2021秋•历下区校级月考）若z＝﹣1+i，设，则|ω|＝（）A．B．1C．D．2【考点】复数的模．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】由已知求出ω的关系式，再根据模的公式即可求解．【解答】解：因为z＝﹣1+i，则＝＝＝＝，则|ω|＝|i|＝1，故选：B．【点评】本题考查了复数模的求解，涉及到复数的运算法则，考查了学生的运算能力，属于基础题．3．（2021秋•潍坊期末）现从甲、乙等7名大学生中选出3人担任北京冬奥会的志愿者，要求甲、乙至少1人入选，则不同的选法共有（）A．10种B．20种C．25种D．35种【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；数学运算．【分析】根据题意，用间接法分析：先计算“从甲、乙等7名大学生中选出3人担任北京冬奥会的志愿者”的选法，排除其中“甲乙都没有入选”的选法，即可得答案．【解答】解：根据题意，从甲、乙等7名大学生中选出3人担任北京冬奥会的志愿者，有C73＝35种选法，其中甲乙都没有入选的情况有C53＝10种，则甲、乙至少1人人选的选法有35﹣10＝25种，故选：C．【点评】本题考查排列组合的应用，注意利用间接法分析，属于基础题．4．（2020秋•浙江月考）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则m⊥n的一个充分不必要条件是（）A．m⊥α，n∥β，α⊥βB．m⊥α，n⊥β，α∥βC．m⊂α，n∥β，α⊥βD．m⊂α，n⊥β，α∥β【考点】充分条件、必要条件、充要条件；平面与平面平行；平面与平面垂直．【专题】对应思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理．【分析】利用空间线面位置关系的判定与性质定理即可得出．【解答】解：A、m⊥α，n∥β，α⊥β，可得m与n平行、相交或为异面直线，因此无法得出m⊥n，因此不正确；B、α∥β，m⊥α，n⊥β，可得m∥n，因此无法得出m⊥n，因此不正确；C、α⊥β，m⊂α，n∥β，可得m与n平行、相交或为异面直线，因此无法得出m⊥n，因此不正确．D、α∥β，m⊂α，n⊥β，可得n⊥α，因此可得m⊥n，因此正确；故选：D．【点评】本题考查了空间线面位置关系的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．（2020•日照一模）已知f（x）＝x•2|x|，，，c＝f（ln3），则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞a＞b【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；方程思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得当x＜0，f（x）＝x•（）x＜0，据此可得b＜0，当x≥0时，f（x）＝x•2x，求出其导数，分析可得f（x）在[0，+∞）上为增函数，由此分析可得0＜a＜c，综合可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝x•2|x|＝，当x＜0时，f（x）＝x•（）x＜0，又由log3＝﹣log32＜0，则b＜0，当x≥0时，f（x）＝x•2x，其导数f′（x）＝2x+x•2x ln2＞0，则f（x）在[0，+∞）上为增函数，其f（0）＝0，则当x＞0时，f（x）＞0；又由0＜log 3＜1＜ln3，则0＜a＜c，综合可得：c＞a＞b；故选：D．【点评】本题考查函数的单调性的判断以及应用，涉及分段函数的解析式，属于基础题．6．（2020春•揭阳期末）已知定义域为R的奇函数f（x）的图象是一条连续不断的曲线，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0，当x∈（0，2）时，f′（x）＞0，且f（3）＝0，则关于x的不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集为（）A．（﹣3，3）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣3，0）∪（1，3）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；逻辑推理．【分析】由题可知，f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，结合f（x）的奇偶性，可得f（x）在（﹣∞，0）上的单调情况，然后将不等式（x﹣1）f（x）＞0转化为或，解之即可．【解答】解：由题可知，f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，又∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）＝0，且f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增．不等式（x﹣1）f（x）＞0等价于或，∵f（3）＝0，∴x∈（﹣3，0）∪（1，3）．故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性、解不等式等，考查学生灵活运用知识的能力和逻辑推理能力，属于中档题．7．（2021•江苏一模）（3﹣2x）（x+1）5展开式中x3的系数为（）A．﹣15B．﹣10C．10D．15【考点】二项式定理．【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数学运算．【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中x3的系数．【解答】解：∵（x+1）5展开式的通项公式为T r+1＝•x5﹣r，分别令5﹣r＝3，5﹣r＝2，可得r＝2，3，故（3﹣2x）（x+1）5展开式中x3的系数为3﹣2＝10，故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．8．（2016春•邢台期末）已知函数f（x）＝e x（x2﹣bx）（b∈R）在区间[，2]上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）C．（﹣，）D．（，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】利用导函数得到不等式成立问题，然后求解b的范围．【解答】解：∵函数f（x）在区间[，2]上存在单调增区间，∴函数f（x）在区间[，2]上存在子区间使得不等式f′（x）＞0成立．f′（x）＝e x[x2+（2﹣b）x﹣b]，设h（x）＝x2+（2﹣b）x﹣b，则h（2）＞0或h（）＞0，即4+2（2﹣b）﹣b＞0或+（2﹣b）﹣b＞0，得b＜．故选：A．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，不等式的解法，考查计算能力．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2021•深圳一模）设F1、F2分别是双曲线C：＝1的左、右焦点，且|F1F2|＝4，则下列结论正确的有（）A．m＝2B．当n＝0时，C的离心率是2C．F1到渐近线的距离随着n的增大而减小D．当n＝1时，C的实轴长是虚轴长的两倍【考点】双曲线的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【分析】利用双曲线的标准方程，结合焦距，求解m，判断A；求解离心率判断B；求出点到直线的距离，判断C；求解实轴长与虚轴长的比值，判断D．【解答】解：F1、F2分别是双曲线C：＝1的左、右焦点，且|F1F2|＝4，可得2＝，解得m＝2，所以A正确；n＝0时，a＝b＝，c＝，所以e＝，所以B不正确；F1到渐近线的距离：，随着n的增大而减小，所以C正确；当n＝1时，C的实轴长：2，虚轴长：2，所以D不正确．故选：AC．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是中档题．（多选）10．（2021春•南山区校级期中）下列说法不正确的是（）A．回归直线至少经过其样本数据（x i，y1），（x2，y2），⋯，（x n，y n）中的一个点B．从独立性检验可知有99%的把握认为吃地沟油与患胃肠癌有关系时，我们就说如果某人吃地沟油，那么他有99%可能患胃肠癌C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．将一组数据的每一个数据都加上或减去同一个常数后，其方差也要加上或减去这个常数【考点】命题的真假判断与应用；极差、方差与标准差；独立性检验．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；简易逻辑；逻辑推理；数学运算．【分析】利用回归直线方程的性质判断A；独立检验思想的性质判断B；残差的意义判断C；方程的性质判断D即可．【解答】解：回归直线不一定经过其样本数据（x i，y1），（x2，y2），⋯，（x n，y n）中的任何一个点，所以A不正确；从独立性检验可知有99%的把握认为吃地沟油与患胃肠癌有关系时，我们不能说如果某人吃地沟油，那么他有99%可能患胃肠癌，所以B不正确；在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，满足残差的性质，所以C正确；将一组数据的每一个数据都加上或减去同一个常数后，其方差不变，所以D不正确；故选：ABD．【点评】本题考查命题的真假的判断，考查回归直线方程，独立检验思想的应用，残差以及方差的应用，是基础题．（多选）11．（2021春•番禺区校级期中）对于函数，下列说法正确的是（）A．在（0，e）上单调递减B．有极小值eC．有最小值e D．无最大值【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】数形结合；数形结合法；导数的综合应用；数学运算．【分析】对f（x）求导，作出f（x）的图象，结合图象即可得出正确选项．【解答】解：函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞），，易知函数f（x）在（0，1），（1，e）单调递减，在（e，+∞）单调递增，且当x∈（0，1）时，f（x）＜0，当x＞1时，f（x）＞0，作出f（x）的大致图象如下图所示，由图象可知，f（x）在x＝e处取得极小值f（e）＝e，无最小值，也无最大值．故选：BD．【点评】本题考查利用导数研究函数的性质，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．（多选）12．（2021春•东莞市期中）已知函数f（x）＝e x+e﹣x，g（x）＝x2+2x，以下结论正确的有（）A．f（x）是偶函数B．当a＞0时，y＝af（x+1）与y＝g（x）有相同的单调性C．当a＞0时，y＝af（x+1）与y＝g（x）的图象只可能有偶数个交点D．若y＝af（x+1）与y＝g（x）的图象只有一个公共点时，【考点】命题的真假判断与应用；函数奇偶性的性质与判断．【专题】计算题；函数思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．【分析】可看出f（x）是偶函数，从而判断A正确；当a＞0时，可求出函数y＝af（x+1）的导数，根据导数符号即可得出该函数在（﹣1，+∞）上是增函数，在（﹣∞，﹣1）上是减函数，从而可判断B正确；可求出a＞0时，y＝af（x+1）与y＝g（x）的顶点不重合，根据这两个函数都关于x＝﹣1对称即可得出这两函数图象只可能有偶数个公共点，从而判断C正确；根据C可知，这两函数只有一个公共点时，该公共点应是这两图象的顶点，从而判断D正确．【解答】解：A．f（﹣x）＝e﹣x+e x＝f（x），∴f（x）是偶函数，∴A正确；B．a＞0时，y＝af（x+1）＝ae x+1+ae﹣（x+1），∴y′＝ae x+1﹣ae﹣（x+1）＝，∴x＞﹣1时，y′＞0；x＜﹣1时，y′＜0，∴y＝af（x+1）在（﹣1，+∞）上是增函数，在（﹣∞，﹣1）上是减函数，又二次函数y＝g（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，在（﹣∞，﹣1）上是减函数，∴当a＞0时，y＝af（x+1）与y＝g（x）有相同的单调性，∴B正确；C．当a＞0时，y＝af（x+1）和y＝g（x）都关于x＝﹣1对称，x＝﹣1时，y＝af（x+1）取最小值2a＞0；x＝﹣1时，y＝g（x）取最小值﹣1，即函数y ＝af（x+1）和y＝g（x）的顶点不重合，∴根据对称性，在x＝﹣1的左边有几个交点，在x＝﹣1的右边就有几个交点，即有偶数个交点，∴C正确；D．根据C，若y＝af（x+1）和y＝g（x）的图象只有一个公共点时，这个公共点应是这两个图象的顶点，∴2a＝﹣1，解得a＝，∴D正确．故选：ABCD．【点评】本题考查了偶函数的定义及判断，根据导数符号判断函数单调性的方法，基本初等函数和复合函数的求导公式，二次函数和偶函数的图象的对称性，考查了计算能力，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．（2021春•东莞市期中）一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为（单位：m），那么这个质点在2秒末的瞬时速度是3（m/s）．【考点】变化的快慢与变化率；导数的运算．【专题】函数思想；定义法；导数的概念及应用；数学运算．【分析】利用导数的物理意义，求出瞬时速度，然后将t＝2代入求解即可．【解答】解：因为，所以s′＝t2﹣1，即v（t）＝t2﹣1，当t＝2时，v（2）＝22﹣1＝3，所以这个质点在2秒末的瞬时速度是3（m/s）．故答案为：3．【点评】本题考查了导数的物理意义的理解和应用，解题的关键是掌握位移的导数即为瞬时速度，属于基础题．14．（2021•临沂二模）现有标号为①，②，③，④，⑤的5件不同新产品，要放到三个不同的机构进行测试，每件产品只能放到一个机构里．机构A，B各负责一个产品，机构C负责余下的三个产品，其中产品①不在A机构测试的情况有16种（结果用具体数字表示）．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；数学运算．【分析】根据题意，有产品①必须在B机构或者C机构测试，由此分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，产品①不在A机构测试，则产品①必须在B机构或者C机构测试，若产品①在B机构检测，有C41C33＝4种情况，若产品①在C机构检测，有C42A22＝12种情况，则一共有4+12＝16种情况，故答案为：16．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题．15．（2004•福建）如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为时，其容积最大．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】压轴题．【分析】要求正六棱柱容器的容积最大，得需要得出容积表达式；由柱体的体积公式知，底面积是正六边形，是六个全等小正△的和，高是Rt△中60°角所对的直角边，由高和底面积得出容积函数，用求导法可以求出最大值时的自变量取值．【解答】解：如图，设底面六边形的边长为x，高为d，则d＝•（1﹣x）；又底面六边形的面积为：S＝6••X2•sin60°＝x2；所以，这个正六棱柱容器的容积为：V＝Sd＝x2•（1﹣x）＝，则对V求导，则V′＝（2x﹣3x2），令V′＝0，得x＝0或x＝，当0＜x＜时，V′＞0，V是增函数；当x＞时，V′＜0，V是减函数；∴x＝时，V有最大值．故答案为：【点评】本题通过建立体积函数表达式，由求导的方法求函数最大值，是比较常用的解题思路，也是中学数学的重要内容．16．（2021•镜湖区校级模拟）已知三棱锥A﹣BCD中，点A在平面BCD上的射影与点D重合，AD＝CD＝4．若∠CBD＝135°，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【考点】球的体积和表面积．【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离；数学运算．【分析】由题意画出图形，求解三角形可得三角形BCD外接圆的半径，再由勾股定理求出三棱锥A﹣BCD的外接球的半径，代入球的体积公式可得三棱锥A﹣BCD的外接球的体积．【解答】解：如图，设△BCD的外接圆的圆心为O1，半径为r，三棱锥A﹣BCD的外接球的球心为O，半径为R，则OO1⊥平面BCD，故，在△BCD中，由正弦定理得2r＝＝4，故r＝，则R＝，故球O的体积为V＝．故答案为：．【点评】本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．四．解答题（共6小题）17．（2021春•如东县期中）从下列三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答①b sin A＝a cos B；②（a+c+b）（a+c﹣b）＝3ac；③2cos B（a cos C+c cos A）＝b．在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，满足条件______．（1）求角B的大小；＝6，求b的值．（2）若a＝4，S△ABC【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．【分析】选①：由正弦定理化简可求tan B，进而可求B；选②：由已知整理后利用余弦定理可求cos B，进而可求B；选③：由正弦定理及两角和的正切公式进行化简可求cos B，进而可求B，＝＝6可求c，然后结合余弦定理可求b．（2）由S△ABC【解答】解：选①b sin A＝a cos B，由正弦定理得sin B sin A＝sin A cos B，因为sin A≠0，所以sin B＝cos B，故tan B＝，因为B为三角形内角，所以B＝，选②：（a+c+b）（a+c﹣b）＝3ac，所以（a+c）2﹣b2＝3ac，整理得a2+c2﹣b2＝ac，由余弦定理得cos B＝＝，因为B为三角形内角，所以B＝，选③：2cos B（a cos C+c cos A）＝b，由正弦定理得2cos B（sin A cos C+sin C cos A）＝sin B，即2cos B sin（A+C）＝sin B，所以2cos B sin B＝sin B，因为sin B＞0，所以cos B＝，因为B为三角形内角，所以B＝，＝＝6，（2）若a＝4，S△ABC则＝6，c＝6，由余弦定理得cos B＝＝＝，解得b＝2．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．18．（2019•永州三模）某机器生产商，对一次性购买两台机器的客户推出两种超过质保期后两年内的延保维修方案：方案一：交纳延保金6000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1500元；方案二：交纳延保金7740元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费a元．某工厂准备一次性购买两台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了100台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，统计得如表：维修次数0123机器台数20104030以这100台机器维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率．记X表示这两台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求X的分布列；（2）以所需延保金与维修费用之和的期望值为决策依据，该工厂选择哪种延保方案更合算．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题；转化思想；概率与统计；排列组合．【分析】（1）确定随机变量X的所有的取值为0，1，2，3，4，5，6对应的概率即相应频率，列出分布列即可．（2）求出（1）中分布列的数学期望，即可做出判断．【解答】解：（1）根据题意，随机变量X的所有取值为0，1，2，3，4，5，6因为以这100台机器维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率．所以，P（X＝0）＝0.2×0.2＝0.04，P（X＝1）＝×0.2×0.1＝0.04，P（X＝2）＝0.1×0.1+＝0.17，P（X＝3）＝+＝0.2．P（X＝4）＝0.4×0.4+＝0.22P（X＝5）＝＝0.24，P（X＝6）＝0.3×0.3＝0.09．所以随机变量X的分布列为：X0123456P0.040.040.170.20.220.240.09（2）设所需延保金与维修费用之和为Y n（n＝1，2），若采用方案1，则随机变量Y1的分布列为：Y16000750090001050012000p0.250.20.220.240.09则随机变量Y1的期望为：E（Y1）＝6000×0.25+7500×0.2+9000×0.22+10500×0.24+12000×0.09＝8580元．若采用方案2，则随机变量Y2的分布列为：Y27740a+77402a+7740p0.670.240.09所以随机变量Y2的期望为：E（Y2）＝0.67×7740+0.24×（a+7740）+0.09×（2a+7740）＝7740+0.42a元．令7740+0.42a＝8580，得a＝2000元，①若a＜2000，则方案1的费用高，应选择方案2．②若a＝2000，则两种方案费用一样多，可以任选一个方案．③若a＞2000，则方案2的费用高，应选择方案1．【点评】本题考查了随机变量的分布列，容易错把统计的100台机器的概率分布当成购买的两台机器的概率分布，属于难题．19．（2021•济宁一模）如图所示多面体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，△ADE是正三角形，四边形ABCD是菱形，AB＝2，CF＝，∠BAD＝．（1）求证：EF∥平面ABCD；（2）求二面角E﹣AF﹣C的正弦值．【考点】直线与平面平行；二面角的平面角及求法．【专题】转化思想；向量法；立体几何；直观想象；数学运算．【分析】（1）根据直线与平面平行的判定定理证明；（2）用向量数量积计算二面角的余弦值，进而求解．【解答】（1）证明：取AD中点N，连接NE、NC，因为△ADE是正三角形，所以EN⊥AD，EN＝2•sin60°＝，因为平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD＝AD，所以EN⊥平面ABCD，又因为CF⊥平面ABCD，所以EN∥CF，又因为EN＝CF，所以四边形ENCF是平行四边形，所以EF∥NC，又因为NC⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，所以EF∥平面ABCD．（2）解：连接AC、BD交于O，取AF中点M，连接OM，所以OM∥CF，因为CF⊥平面ABCD，所以OM⊥平面ABCD，因为OA、OB⊂平面ABCD，所以OM⊥OA，OM⊥OB，又因为四边形ABCD是菱形，所以OA⊥OB，所以OA、OB、OM两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，A（，0，0），B（0，1，0），C（﹣，0，0），D（0，﹣1，0），N（，﹣，0），E（，﹣，），F（﹣，0，），＝（﹣2，0，），＝（﹣，﹣，），设平面AEF的法向量为＝（x，y，z），，令x＝1，＝（1，3，2），平面AFC的法向量为＝（0，1，0），设二面角E﹣AF﹣C的大小为θ，|cosθ|＝＝＝，sinθ＝＝．所以二面角E﹣AF﹣C的正弦值为．【点评】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．20．（2021•内江一模）已知函数f（x）＝alnx﹣bx2，a，b∈R．若f（x）在x＝1处与直线相切．（1）求a，b的值；（2）求f（x）在上的极值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】（1）根据导数的几何意义列方程组解出；（2）判断f（x）的单调性，根据单调性得出极值．【解答】解：（1）f′（x）＝﹣2bx．∵函数f（x）在x＝1处与直线相切，∴，即，解得．（2）由（1）得：f（x）＝lnx﹣x2，定义域为（0，+∞）．f′（x）＝﹣x＝，令f′（x）＞0，解得0＜x＜1，令f′（x）＜0，得x＞1．∴f（x）在上单调递增，在（1，e）上单调递减，∴f（x）在上的极大值为f（1）＝﹣．无极小值．【点评】本题考查了导数的几何意义，导数与函数单调性，极值的关系，属于基础题．21．（2018•河南一模）已知点F 1（﹣，0），圆F2：（x﹣）2+y2＝16，点M是圆上一动点，MF1的垂直平分线与MF2交于点N．（1）求点N的轨迹方程；（2）设点N的轨迹为曲线E，过点P（0，1）且斜率不为0的直线l与E交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为B′，证明直线AB′过定点，并求△PAB′面积的最大值．【考点】轨迹方程．【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）先根据椭圆的定义，确定点N的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长等于4的椭圆，再写出椭圆的方程；（2）设直线AB：y＝kx+1，（k≠0），设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则B′（﹣x2，y2），代入椭圆方程，即根据韦达定理，直线方程，求出直线AB′过定点Q（0，2），继而求出△PAB′面积的最大．【解答】解：（1）圆F 2：（x﹣）2+y2＝16，圆心为（，0），半径为4，由垂直平分线的性质得：|NF1|＝|NM|，∴|NF1|+|NF2|＝|MN|+|NF2|＝|MF2|＝4，又|F 1F2|＝2，∴点N的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长等于4的椭圆，∴2a＝4，2c＝2，即a＝2，c＝，∴b2＝a2﹣c2＝4﹣2＝2，∴点N的轨迹方程是+＝1；（2）证明：设直线AB：y＝kx+1，（k≠0），设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则B′（﹣x2，y2），联立直线AB与椭圆得，得（1+2k2）x2+4kx﹣2＝0，显然Δ＝16k2+8（1+4k2）＞0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，＝，∴k AB′∴直线AB′：y﹣y1＝（x﹣x1），∴令x＝0，得y＝＝＝+1＝2，∴直线AB′过定点Q（0，2），∴△PAB′的面积S＝|PQ|•|x1+x2|＝＝≤＝，当且仅当k＝±时，等号成立．∴△PAB′的面积的最大值是．【点评】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于难题．22．（2021春•东莞市期中）已知函数．（1）若f（x）在x＝1处有极大值，求a的取值范围；（2）若f（x）的极大值为M，f（x）的极小值为N，当时，求|M﹣N|的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；分类讨论；转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．【分析】（1）对f（x）求导，再对a分类讨论，求得f（x）的极值，结合题意即可求得a 的取值范围；（2）由（1）可得，令，利用导数求出g（x）的单调性，进而求得g（x）的取值范围，从而可得|M﹣N|的取值范围．【解答】解：（1），（1分）①当a≤0时，ax﹣1＜0，故有：当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，此时f（x）在x＝1处有极大值；（2分）②当0＜a＜1时，即．令f′（x）＝0，解得：．故有：当0＜x＜1时．f′（x）＞0，f（x）单调递增，。

广东省广州六中高二数学下学期期中考试(文)

广东省广州六中2008-2009学年下学期期中高二文科数学数学 (文科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回. 参考公式22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++第Ⅰ卷(选择题,共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1. 已知命题1sin ,:≤∈∀x R x p ，则（ * ）A ．1sin ,:≥∈∃⌝x R x pB ．1sin ,:≥∈∀⌝x R x pC ．1sin ,:>∈∃⌝x R x pD ．1sin ,:>∈∀⌝x R x p2. 若复数()21i a ⋅+（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数=a （ * ）A.1±B.1-C.0D.13. 若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ * ）A ．sin αB ．cos αC ．sin cos αα+D ．2sin α4. 双曲线2241x y -=的离心率为（ * ）ABC ．D ．12 5. 已知,a b R Î，则“33log log a b >”是 “11()()22a b<”的（ * ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 下列推理正确的是（ * ）A.把()a b c + 与 log ()a x y + 类比，则有：log ()log log a a a x y x y +=+ ．B.把()a b c + 与 sin()x y + 类比，则有：sin()sin sin x y x y +=+．C.把()n ab 与 ()n a b + 类比，则有：n n n ()x y x y +=+．D.把()a b c ++ 与 ()xy z 类比，则有：()()xy z x yz =．7. 已知动圆：()()2222cos sin x a y b a b θθ-+-=+，其中0,0a b >>，θ为参数，则圆心的轨迹是（ * ）A.直线B.圆C.抛物线的一部分D.椭圆8. 按如下程序框图，若输出结果为170，则判断框内应补充的条件为（ * ）A ．5i >B ．7i ≥C ．9i >D ．9i ≥9. 若点P 到直线1y =-的距离比它到点(03)，的距离小2，则点P 的轨迹方程为（ * ）A. 212x y =B.212y x =C.24x y =D.26x y =10. 设()11xf x x+=-，又记()()()()()11,,1,2,,k k f x f x f x f f x k +===则()2009=f x （ * ）A ．1x -B ．xC ．11x x -+D ．11xx+-第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．㈠必做题（11～13题） 11. 直线12()2x tt y t=+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为12. 对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪试根据上述数据计算k 2=________________比较这两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别. ________________（填“有”或者“无”）13. 观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有个小正方形，第n 个图中有个小正方形．㈡选做题（14—15题是选做题，考生只能从中选做一题）14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程是． 15. （坐标系与参数方程选做题）直线[)()cos ,0,sin x t t y t θθπθ=⎧∈⎨=⎩为参数与圆()42cos 2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数相切，则θ=_______________。

2022-2023学年广州市高二下期中考试数学模拟试卷及答案解析

2022-2023学年广州市高二下期中考试数学模拟试卷一．选择题（共8小题）1．（2020春•运城期末）已知函数f（x）＝，则＝（）A．1B．0C．D．2．（2021春•萨尔图区校级期末）已知（1+i）z＝2，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（2021•唐山二模）在△ABC中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且，则＝（）A．B．C．D．4．（2021春•普宁市期中）有一个游戏，将标有数字1，2，3，4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4个人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片：乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示：甲、乙、丙、丁4个人的预测都不正确，那么丁拿到卡片上的数字为（）A．1B．2C．3D．45．（2021春•顺德区校级期中）（﹣x）6的展开式中，常数项为（）A．﹣20B．﹣15C．15D．206．（2021•河南模拟）已知各项均为正数的等比数列{a n}，a6，3a5，a7成等差数列，若{a n}中存在两项a m，a n，使得4a1为其等比中项，则的最小值为（）A．4B．9C．D．7．（2021•陈仓区模拟）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（x）+xf′（x）＞0（f′（x）是f（x）的导函数），则不等式（x﹣1）f（x2﹣1）＜f（x+1）的解集为（）A．（﹣∞，2）B．（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（1，2）8．（2017•五华区校级模拟）设函数f（x）＝x（lnx﹣ax）（a∈R）在区间（0，2）上有两个极值点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2021•濠江区校级模拟）若复数z满足，则（）A．＝1+iB．C．z在复平面内对应的点位于第四象限D．z2为纯虚数（多选）10．（2020秋•三明期末）下列四个命题中为假命题的是（）A．∃x∈（0，1），B．命题“∀x∈R，x2+x﹣1＞0”的否定是“∃x∈R，x2+x﹣1＜0”C．设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q的必要不充分条件D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件（多选）11．（2021春•普宁市期中）已知函数f（x）＝e2x﹣kx（k∈Z+）在（0，+∞）单调递增，则k的取值为（）A．1B．2C．3D．4（多选）12．（2021春•番禺区校级期中）已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）有极小值也有最小值B．函数f（x）存在两个不同的零点C．当时，f（x）＝k恰有三个实根D．若x∈[0，t]时，，则t的最小值为2三．填空题（共4小题）13．（2021春•天河区校级期中）已知数列{b n}的通项公式为，则其前n项和T n＝．14．（2020春•越秀区校级期中）某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，三人间是否当选相互独立，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为，则至多有两人当选的概率为．15．（2021春•金坛区校级期末）当x＞0时，函数f（x）＝2﹣e x+mx2有两个极值点，则实数m的取值范围．16．（2021•辽宁模拟）已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点（5，m）到焦点的距离为6，准线为l，若l与双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线所围成的三角形面积为2，双曲线C的离心率为．四．解答题（共6小题）17．（2021春•天河区校级期中）从①a1+1，b3﹣1，a7+1成等比数列，②a4＝b3，③S4＝b4﹣3这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并作答．已知等差数列{a n}，其前n项和为S n，数列{b n}满足b1＝1，b n+1﹣3b n＝0，a1＝3，______，求数列的前n项和T n．18．（2020春•越秀区校级期中）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研究新产品成功的概率分别为和，现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．（1）求恰好有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品A研发成功，预计企业可获得利润120万元，不成功则会亏损50万元；若新产品B研发成功，企业可获得利润100万元，不成功则会亏损40万元，求该企业获利ξ万元的分布列和期望．19．（2020秋•连云港期中）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，BE⊥平面ABCD，G为AC与BD的交点．（1）证明：平面AEC⊥平面BED；（2）若∠BAD＝60°，AE⊥EC，求直线EG与平面EDC所成角的正弦值．20．（2020秋•朝阳区校级期末）已知椭圆C：（a＞b＞0）经过点P（1，），且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F的直线l（与x轴不重合）与椭圆C交于M，N两点．是否存在一定点E（t，0），使得x轴上的任意一点（异于点E，F）到直线EM，EN的距离相等？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．21．（2020春•越秀区校级期中）已知函数f（x）＝x3﹣a2x﹣1（a∈R）．（Ⅰ）曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线l与直线2x﹣y+1＝0平行，求l的方程；（Ⅱ）若函数f（x）的图象与直线y＝2只有一个公共点，求实数a的取值范围．22．（2019•荆门模拟）已知函数f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣lnx．（Ⅰ）若函数f（x）在x＝1时取得极值，求实数a的值；（Ⅱ）当0＜a＜1时，求f（x）零点的个数．2022-2023学年广州市高二下期中考试数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2020春•运城期末）已知函数f（x）＝，则＝（）A．1B．0C．D．【考点】极限及其运算．【专题】函数思想；定义法；导数的概念及应用．【分析】根据函数在某一点处的导数定义，求出f′（x），计算即可．【解答】解：函数，∴f′（x）＝﹣，其中x＞﹣；∴＝f′（1）＝﹣＝1．故选：A．【点评】本题考查了函数在某一点处的导数定义应用问题，是基础题．2．（2021春•萨尔图区校级期末）已知（1+i）z＝2，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】计算题；方程思想；综合法；数系的扩充和复数；直观想象；数学运算．【分析】由（1+i）z＝2，可求得z，然后可得复数z在复平面内对应的点所在象限．【解答】由（1+i）z＝2，可得z＝＝＝1﹣i，其对应点为（1，﹣1），在第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数除法运算，考查数学运算能力及直观想象能力，属于基础题．3．（2021•唐山二模）在△ABC中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且，则＝（）A．B．C．D．【考点】平面向量的基本定理．【专题】转化思想；数形结合法；平面向量及应用；数学运算．【分析】把看作平面中的一组基底，分别表示，再由向量的减法运算得答案．【解答】解：如图，∵D为BC的中点，∴，又，∴，则＝．故选：B．【点评】本题考查向量的数乘及加减法运算，考查平面向量基本定理的应用，是基础题．4．（2021春•普宁市期中）有一个游戏，将标有数字1，2，3，4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4个人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片：乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示：甲、乙、丙、丁4个人的预测都不正确，那么丁拿到卡片上的数字为（）A．1B．2C．3D．4【考点】进行简单的合情推理．【专题】对应思想；分析法；推理和证明；逻辑推理．【分析】由命题的否定可得乙丙都没有拿到3的卡片，甲没有拿到1和3的卡片，可得丁拿到的卡片的数字．【解答】解：由于甲、乙、丙、丁4个人的预测都不正确，可知乙丙都没有拿到3的卡片，甲没有拿到1和3的卡片，所以丁拿到的卡片上的数字为3，故选：C．【点评】本题考查简单的合情推理，注意命题的否定，考查推理能力，是一道基础题．5．（2021春•顺德区校级期中）（﹣x）6的展开式中，常数项为（）A．﹣20B．﹣15C．15D．20【考点】二项式定理．【专题】方程思想；综合法；二项式定理；数学运算．【分析】根据二项式定理的通项公式，即可得解．【解答】解：通项公式为T r+1＝••（﹣x）r＝（﹣1）r•x﹣12+3r，令﹣12+3r＝0，则r＝4，所以常数项为（﹣1）r＝＝15．故选：C．【点评】本题考查二项式定理，牢记二项式定理的通项公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．6．（2021•河南模拟）已知各项均为正数的等比数列{a n}，a6，3a5，a7成等差数列，若{a n}中存在两项a m，a n，使得4a1为其等比中项，则的最小值为（）A．4B．9C．D．【考点】等差数列与等比数列的综合；等比数列的通项公式．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用；数学运算．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，q＞0，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q，再由等比数列的中项性质，可得m+n＝6，再由乘“1”法和基本不等式可得所求最小值．【解答】解：设各项均为正数的等比数列{a n}的公比为q，q＞0，由a6，3a5，a7成等差数列，可得6a5＝a6+a7，即6a1q4＝a1q5+a1q6，解得q＝2（﹣3舍去），{a n}中存在两项a m，a n，使得4a1为其等比中项，可得16a12＝a m a n＝a12•2m+n﹣2，化简可得m+n＝6，m＞0，n＞0，则＝（m+n）（）＝（5++）≥（5+2）＝，当且仅当n＝2m＝4时，上式取得等号．故选：D．【点评】本题考查等差数列和等比数列的中项性质和通项公式的运用，以及基本不等式的运用：求最值，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．7．（2021•陈仓区模拟）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（x）+xf′（x）＞0（f′（x）是f（x）的导函数），则不等式（x﹣1）f（x2﹣1）＜f（x+1）的解集为（）A．（﹣∞，2）B．（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（1，2）【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】转化思想；构造法；导数的综合应用．【分析】根据条件构造函数g（x）＝xf（x），求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：设g（x）＝xf（x），则g′（x）＝f（x）+x•f'（x），∵f（x）+x•f'（x）＞0，∴g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）为增函数，则不等式（x﹣1）f（x2﹣1）＜f（x+1）等价为（x﹣1）（x+1）f（x2﹣1）＜（x+1）f（x+1），即（x2﹣1）f（x2﹣1）＜（x+1）f（x+1），即g（x2﹣1）＜g（x+1），∵g（x）在（0，+∞）为增函数，∴，即，即1＜x＜2，故不等式的解集为（1，2），故选：D．【点评】本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．8．（2017•五华区校级模拟）设函数f（x）＝x（lnx﹣ax）（a∈R）在区间（0，2）上有两个极值点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】数形结合；数形结合法；导数的综合应用．【分析】方法一：求导f′（x）＝lnx﹣2ax+1，由关于x的方程a＝在区间（0，+∞）由两个不相等的实根，构造辅助函数，根据函数单调性即可求得a取值范围；方法二：由题意，关于x的方程2ax＝lnx+1在区间（0，2）由两个不相等的实根，则y ＝2ax与y＝lnx+1有两个交点，根据导数的几何意义，即可求得a的取值范围．【解答】解：方法一：f（x）＝x（lnx﹣ax），求导f′（x）＝lnx﹣2ax+1，由题意，关于x的方程a＝在区间（0，+∞）由两个不相等的实根，令h（x）＝，h′（x）＝﹣，当x∈（0，1）时，h（x）单调递增，当x∈（1，+∞）单调递减，当x→+∞时，h（x）→0，由图象可知：函数f（x）＝x（lnx﹣ax），在（0，2）上由两个极值，只需＜a＜，故D．方法二：f（x）＝x（lnx﹣ax），求导f′（x）＝lnx﹣2ax+1，由题意，关于x的方程2ax＝lnx+1在区间（0，2）由两个不相等的实根，则y＝2ax与y＝lnx+1有两个交点，由直线y＝lnx+1，求导y′＝，设切点（x0，y0），＝，解得：x0＝1，∴切线的斜率k＝1，则2a＝1，a＝，则当x＝2，则直线斜率k＝，则a＝，∴a的取值范围（，），故选：D．【点评】本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性及应用，考查数形结合思想，属于中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2021•濠江区校级模拟）若复数z满足，则（）A．＝1+iB．C．z在复平面内对应的点位于第四象限D．z2为纯虚数【考点】复数的运算；复数的模．【专题】方程思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式、共轭复数的性质、纯虚数的定义即可判断出正误．【解答】解：∵，∴z＝＝＝＝﹣1+i，∴＝﹣1﹣i，|z|＝，z在复平面内对应的点（﹣1，1）位于第二象限，z2＝（﹣1+i）2＝﹣2i为纯虚数，可得：BD正确．故选：BD．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、共轭复数的性质、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．（多选）10．（2020秋•三明期末）下列四个命题中为假命题的是（）A．∃x∈（0，1），B．命题“∀x∈R，x2+x﹣1＞0”的否定是“∃x∈R，x2+x﹣1＜0”C．设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q的必要不充分条件D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件【考点】命题的真假判断与应用；充分条件、必要条件、充要条件；存在量词和特称命题；命题的否定．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；简易逻辑；逻辑推理；数学运算．【分析】直接利用存在性问题，四种命题和四个条件的应用，命题的否定判定A、B、C、D的结论．【解答】解：对于A：∃x0∈（0，1），设y＝2x和，设存在x0∈（0，1），故，．由于在同一个定义域内，由相同的值，故A正确；对于B：命题“∀x∈R，x2+x﹣1＞0”的否定是“∃x∈R，x2+x﹣1≤0”，故B错误；对于C：设p：1＜x＜2，q：2x＞1，即x，则p是q的充分不必要条件，故C错误；对于D：设a，b∈R，当“a＝0”时，“ab＝0”成立，故该命题的逆否命题为当“ab≠0”时，则“a≠0”，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确．故选：BC．【点评】本题考查的知识要点：存在性问题，四种命题和四个条件的应用，命题的否定，主要考查学生对基础知识的理解和应用，属于基础题．（多选）11．（2021春•普宁市期中）已知函数f（x）＝e2x﹣kx（k∈Z+）在（0，+∞）单调递增，则k的取值为（）A．1B．2C．3D．4【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；转化思想；导数的概念及应用．【分析】问题转化为f′（x）＝2e2x﹣k≥0对（0，+∞）均成立，进一步转化为k≤2e2x，求出2e2x的极小值就行了．【解答】解：由函数f（x）＝e2x﹣kx（k∈Z+）在（0，+∞）单调递增，∴f′（x）＝2e2x﹣k≥0对（0，+∞）均成立，∴k≤2e2x对（0，+∞）均成立，∴k≤（2e2x）min，∴k≤2，又k∈Z+，k＝1，或k＝2．故选：AB．【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．（多选）12．（2021春•番禺区校级期中）已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）有极小值也有最小值B．函数f（x）存在两个不同的零点C．当时，f（x）＝k恰有三个实根D．若x∈[0，t]时，，则t的最小值为2【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；数学运算．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，极值，最值，从而判断各个选项即可．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f′（x）＝，令f′（x）＞0，解得：﹣2＜x＜2，令f′（x）＜0，解得：x＞2或x＜﹣2，故f（x）在（﹣∞，﹣2）递减，在（﹣2，2）递增，在（2，+∞）递减，而f（﹣2）＝﹣2e2，f（2）＝，且当x＞2时，f（x）＞0，当x→﹣∞时，f（x）→+∞，当x→+∞时，f（x）→0，画出函数y＝f（x）的图像，如图示：故f（x）的极小值是最小值，故A正确，函数f（x）存在2个不同的零点，关于B正确，当﹣＜k＜0时，f（x）＝k恰有2个实根，故C错误，若x∈[0，t]时，f（x）max＝，则t≥2，故t的最小值是2，故D正确，故选：ABD．【点评】本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．三．填空题（共4小题）13．（2021春•天河区校级期中）已知数列{b n}的通项公式为，则其前n 项和T n＝2n++﹣1．【考点】数列的求和．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】利用等差数列求和格式以及等比数列求和格式求解即可．【解答】解：数列{b n}的通项公式为，所以前n项和T n＝3（1+2+3+•••+n）+20+21+22+•••+2n﹣1＝3×+＝2n++﹣1．故答案为：2n++﹣1．【点评】本题考查数列求和方法的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．14．（2020春•越秀区校级期中）某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，三人间是否当选相互独立，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为，则至多有两人当选的概率为．【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题；方程思想；定义法；概率与统计；数学运算．【分析】至多有两人当选的对立事件是三人都当选，由此利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出至多有两人当选的概率．【解答】解：∵某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，三人间是否当选相互独立，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为，至多有两人当选的对立事件是三人都当选，∴至多有两人当选的概率为：P＝1﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．（2021春•金坛区校级期末）当x＞0时，函数f（x）＝2﹣e x+mx2有两个极值点，则实数m的取值范围（，+∞）．【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；数学运算．【分析】求导得f′（x），根据题意可得f′（x）＝0在（0，+∞）上有两个根，从而得到m＝在（0，+∞）上有两个根，设g（x）＝（x＞0），求导数判断g（x）的单调性，求出g（x）的最小值，进而得出答案．【解答】解：f′（x）＝﹣e x+2mx（x＞0），根据题意，可得f′（x）＝0在（0，+∞）上两个根，即﹣e x+2mx＝0在（0，+∞）上有两个根，即m＝在（0，+∞）上有两个根，设g（x）＝（x＞0），则g′（x）＝，在（0，1）上g′（x）＜0，g（x）单调递减，在（1，+∞）上g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）min＝g（1）＝，所以m＞，故答案为：（，+∞）．【点评】本题考查导数的综合应用，极值点，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．16．（2021•辽宁模拟）已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点（5，m）到焦点的距离为6，准线为l，若l与双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线所围成的三角形面积为2，双曲线C的离心率为3．【考点】抛物线的性质；双曲线的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．【分析】由已知求得抛物线的准线方程，可得抛物线的准线与双曲线的渐近线围成三角形的顶点坐标，代入三角形面积公式，整理后即可求得双曲线的离心率．【解答】解：由题意，5+＝6，得＝1，即p＝2，则抛物线y2＝4x的准线方程为x ＝﹣1，双曲线的渐近线方程为y＝x和y＝﹣x，当x＝﹣1时，y＝﹣和y＝，即交点坐标为（﹣1，），（﹣1，﹣），则围成三角形的面积S＝×1×[﹣（﹣）]＝2×＝，由＝2，得b＝2a，b2＝8a2＝c2﹣a2，得c2＝9a2，得c＝3a，即离心率e＝＝3，即双曲线的离心率为3，故答案为：3．【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据抛物线的定义求出抛物线的方程，求出交点坐标，结合三角形的面积公式建立方程进行求解是解决本题的关键，是中档题．四．解答题（共6小题）17．（2021春•天河区校级期中）从①a1+1，b3﹣1，a7+1成等比数列，②a4＝b3，③S4＝b4﹣3这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并作答．已知等差数列{a n}，其前n项和为S n，数列{b n}满足b1＝1，b n+1﹣3b n＝0，a1＝3，______，求数列的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】根据递推关系可知数列{b n}为等比数列，由等比数列的通项公式求解b n；若选①，由等比数列的性质构造方程求公差，由等差数列的通项公式求得S n，进而得到，再由裂项相消法求数列的前n项和T n；若选②，根据a4＝b3构造方程求公差，由等差数列的通项公式求得S n，进而得到，再由裂项相消法求数列的前n项和T n；若选③，由S4＝b4﹣3，结合等差数列的求和公式构造方程求公差，由等差数列的通项公式求得S n，进而得到，再由裂项相消法求数列的前n项和T n．【解答】解：∵b1＝1，b n+1﹣3b n＝0，∴数列{b n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，则．若选①，∵a1+1，b3﹣1，a7+1成等比数列，∴，即（9﹣1）2＝（3+1）×（3+6d+1），解得d＝2，则a n＝a1+（n﹣1）d＝2n+1，∴＝n2+2n，则，∴T n＝＝＝；若选②，∵a4＝b3，∴a1+3d＝3+3d＝9，解得d＝2，则a n＝a1+（n﹣1）d＝2n+1，∴＝n2+2n，则，∴T n＝＝＝；若选③，∵S4＝b4﹣3，∴，解得d＝2，则a n＝a1+（n﹣1）d＝2n+1，∴＝n2+2n，则，∴T n＝＝＝．【点评】本题考查等差数列、等比数列的通项公式与前n项和，训练了裂项相消法求数列的前n项和，考查运算求解能力，是中档题．18．（2020春•越秀区校级期中）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研究新产品成功的概率分别为和，现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．（1）求恰好有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品A研发成功，预计企业可获得利润120万元，不成功则会亏损50万元；若新产品B研发成功，企业可获得利润100万元，不成功则会亏损40万元，求该企业获利ξ万元的分布列和期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】转化思想；概率与统计．【分析】（1）设恰好有一种新产品研发成功为事件A，利用相互独立与互斥事件的概率计算公式可得P（A）＝（1﹣）×+×（1﹣）．（2）由题可得设企业可获得利润为ξ，则X的取值有﹣90，50，80，220．由独立试验的概率计算公式可得，P（X＝0）＝（1﹣）（1﹣），P（X＝50）＝×，P （X＝80）＝，P（X＝220）＝．【解答】解：（1）设恰好有一种新产品研发成功为事件A，则P（A）＝（1﹣）×+×（1﹣）＝．（2）由题可得设企业可获得利润为ξ，则ξ的取值有﹣90，50，80，220．由独立试验的概率计算公式可得，P（ξ＝0）＝（1﹣）（1﹣）＝，P（ξ＝50）＝×＝，P（ξ＝80）＝＝，P（ξ＝220）＝＝．∴ξ的分布列如下：ξ﹣905080220P则数学期望E（ξ）＝+50×++220×＝121.5万元．【点评】本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（2020秋•连云港期中）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，BE⊥平面ABCD，G为AC与BD的交点．（1）证明：平面AEC⊥平面BED；（2）若∠BAD＝60°，AE⊥EC，求直线EG与平面EDC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直．【专题】转化思想；向量法；空间角；逻辑推理；数学运算．【分析】（1）易知AC⊥BD，由BE⊥平面ABCD，知BE⊥AC，从而推出AC⊥平面BED，再由面面垂直的判定定理即可得证；（2）设AB＝1，以G为原点，GB、GC分别为x、y轴，过点G作直线Gz∥BE，建立空间直角坐标系，根据法向量的性质求得平面EDC的法向量，设直线EG与平面EDC所成角为θ，由sinθ＝|cos＜，＞|，即可得解．【解答】（1）证明：∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BE⊥AC，又BD∩BE＝B，BD、BE⊂平面BED，∴AC⊥平面BED，∵AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面BED．（2）解：设AB＝1，在菱形ABCD中，由∠BAD＝60°，可得AG＝GC＝，BG＝GD＝，∵AE⊥EC，∴EG＝AG＝，∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥BG，BE＝＝＝．以G为原点，GB、GC分别为x、y轴，过点G作直线Gz∥BE，建立如图所示的空间直角坐标系，则G（0，0，0），C（0，，0），D（，0，0），E（，0，），∴＝（，0，），＝（1，0，），＝（，，），设平面EDC的法向量为＝（x，y，z），则，即，令x＝1，则y＝，z＝，∴＝（1，，），设直线EG与平面EDC所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝||＝，故直线EG与平面EDC所成角的正弦值为．【点评】本题考查空间中线与面的垂直关系、线面角的求法，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理与性质定理，以及利用空间向量处理线面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20．（2020秋•朝阳区校级期末）已知椭圆C：（a＞b＞0）经过点P（1，），且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F的直线l（与x轴不重合）与椭圆C交于M，N两点．是否存在一定点E（t，0），使得x轴上的任意一点（异于点E，F）到直线EM，EN的距离相等？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程；椭圆的性质．【专题】整体思想；设而不求法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算．【分析】（1）由题意可得a，b的值，再由a，b，c之间的关系，求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；（2）设直线l的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，由直线ME，NE的斜率之和为0，可得直线参数的关系，进而可得直线过定点．【解答】解：（1）两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形，所以a＝，则椭圆的方程：+＝1，过点P（1，），所以+＝1，解得b2＝1，a2＝2，所以椭圆的方程：+y2＝1；（2）设直线l的方程为x＝my+1，与椭圆C联立得（2+m2）y2+2my﹣1＝0，则y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，由题意x轴平分∠MEN，则直线EM，EN的倾斜角互补，即k ME+k NE＝0，则+＝0，得y1（x2﹣t）+y2（x1﹣t）＝0，即y1（my2+1﹣t）+y2（my1+1﹣t）＝0，整理可得2my1y2+（1﹣t）（y1+y2）＝0，从而+（1﹣t）•＝0，即＝0，不论m为何值时t＝2，所以，存在定点E（2，0）使得x轴上的任意一点（异于点E，F）到直线EM，EN的距离相等．【点评】本题考查求椭圆的方程，直线与椭圆的综合，属于中档题．21．（2020春•越秀区校级期中）已知函数f（x）＝x3﹣a2x﹣1（a∈R）．（Ⅰ）曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线l与直线2x﹣y+1＝0平行，求l的方程；（Ⅱ）若函数f（x）的图象与直线y＝2只有一个公共点，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】分类讨论；综合法；导数的综合应用；逻辑推理．【分析】（Ⅰ）求导，由导数的几何意义及平行直线的关系可求得a，进而求得切点，利用点斜式求得切线方程；（Ⅱ）求导，分类讨论，只需函数f（x）的极大值大于2即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝4x2﹣a2，则f′（1）＝4﹣a2，依题意，4﹣a2＝2，解得或，∴，则，∴切线l的方程为，即6x﹣3y﹣11＝0；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）＝4x2﹣a2，令f′（x）＝0，解得，当a＝0时，f′（x）≥0恒成立，函数在R上递增，显然与直线y＝2只有一个公共点，满足题意；当a＞0时，令f′（x）＞0，解得或；令f′（x）＜0，解得；故此时函数f（x）在上递增，在上递减，要使函数f（x）的图象与直线y＝2只有一个公共点，则只需，即，解得，故此时；当a＜0时，令f′（x）＞0，解得或；令f′（x）＜0，解得，故此时函数f（x）在上递增，在上递减，要使函数f（x）的图象与直线y＝2只有一个公共点，则只需，即，解得，故此时，综上，实数a的取值范围为．【点评】本题考查导数的几何意义，及利用导数研究函数的单调性，极值，考查数形结合思想及分类讨论思想，属于中档题．22．（2019•荆门模拟）已知函数f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣lnx．（Ⅰ）若函数f（x）在x＝1时取得极值，求实数a的值；（Ⅱ）当0＜a＜1时，求f（x）零点的个数．【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（I）求出函数的f（x）定义域为（0，+∞），导函数．通过导函数的符号判断函数的单调性然后求解函数的极值，推出a即可．（II）令，由0＜a＜1，得．求出函数的单调区间以及函数的极值，利用函数零点判断定理转化推出结果即可．【解答】（共14分）解：（I）f（x）定义域为（0，+∞）.．由已知，得f'（1）＝0，解得a＝1．当a＝1时，．所以f'（x）＜0⇔0＜x＜1，f'（x）＞0⇔x＞1．所以f（x）减区间为（0，1），增区间为（1，+∞）．所以函数f（x）在x＝1时取得极小值，其极小值为f（1）＝0，符合题意所以a＝1．……………………………………………………………………（5分）（II）令，由0＜a＜1，得．所以．所以f（x）减区间为，增区间为．所以函数f（x）在时取得极小值，其极小值为．因为0＜a＜1，所以．所以．所以．因为，又因为0＜a＜1，所以a﹣2+e＞0．所以．根据零点存在定理，函数f（x）在上有且仅有一个零点．因为x＞lnx，f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣lnx＞ax2+（a﹣2）x﹣x＝x（ax+a﹣3）．令ax+a﹣3＞0，得．又因为0＜a＜1，所以．所以当时，f（x）＞0．根据零点存在定理，函数f（x）在上有且仅有一个零点．所以，当0＜a＜1时，f（x）有两个零点．………………………………（14分）【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，函数的零点的判断定理的应用，考查计算能力．。

广东省高二下学期期中数学试题(解析版)

一、单选题1．已知，则n 等于（）2A 156n =A ．11B ．12C ．13D ．14【答案】C【分析】利用排列数的计算公式即可得出．【详解】∵，2A 156n =∴，()1156n n -=解得或（舍）． 13n =12n =-故选：C ．2．设是可导函数，且，则（）()f x ()()131lim 2x f x f x∆→-∆-=∆()1f '=A ． B ．C ．－6D ．22323-【答案】B【分析】根据导数的定义，结合极限的运算法则，即可求解. 【详解】因为，()()131lim 2x f x f x∆→-∆-=∆则．()()()()()001311311121lim lim 23333x x f x f f x f f xx ∆→∆→-∆--∆-'==-=-⨯=--∆∆故选：B ．3．已知正项等比数列中，，与的等差中项为9，则 {}n a 51927a a a =6a 7a 10a =A ．B ．332181C ．96D ．729【答案】C【分析】由等比数列的性质可得可得，又，即得和．31595a a a a =5a ()2675a a a q q +=+q 10a 【详解】由等比数列的性质可得，所以．又因为与的等差中项为9，所3159527a a a a ==53a =6a 7a 以，设等比数列的公比为，则，所以，解得6718a a +={}n a q ()267518a a a q q +=+=26q q +=或．又因为，所以，故．故．故选C ．2q =3q =-0n a >0q >2q =551053296a a q ==⨯=【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的中项，等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．已知函数 f (x ) 的图象如图所示，则导函数 f '(x )的图象可能是（）A ．B ．C． D ．【答案】D【分析】根据导函数正负与原函数单调性关系可作答【详解】原函数在上先减后增，再减再增，对应到导函数先负再正，再负再正，且原函数在[]3,3-处与轴相切，故()0,0x ()'0=0f 可知，导函数图象为D 故选：D5．已知等差数列的前n 项和为，，，则使取得最大值时n 的值为{}n a n S 3573a a a ++=1111S =-n S （） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】B【分析】由等差数列的通项公式、前项和公式列方程组求得和公差，写出前项和，由二次n 1a d n 函数性质得结论．【详解】等差数列中，， {}n a 3573a a a ++=1111S =则，， 55552233a d a a d a -+++==51a =∴， 5111141111011112a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩解得，．19a =-2d =∴，()1922n n n S n -=-+⨯()2210525n n n =-=--∴当时，取得最小值． 5n =n S 故选：B ．6．已知是偶函数的导函数，．若时，，则使得不()f x '()()R f x x ∈()11f =0x ≥()()0f x xf x '+>等式成立的x 的取值范围是（） ()()202320231x f x -⋅->A ． B ． ()2023,+∞()(),20232023,-∞-+∞ C ． D ．()2024,+∞()(),20242024,-∞-+∞ 【答案】C【分析】设，求导得，进而可得时，单调递增，由于()()F x xf x =()()()F x f x x xf '=+'0x ≥()F x 为偶函数，推出为奇函数，进而可得在上单调递增，由于，则()f x ()F x ()F x (),-∞+∞()11f =，由于，则，推出，即可得出答()11F =()()202320231x f x -->()()20231F x F ->20231x ->案．【详解】设，， ()()F x xf x =()()()F x f x x xf '=+'由题意得时，，单调递增， 0x ≥()0F x '>()F x 因为为偶函数，所以， ()f x ()()=f x f x -所以，()()()()()F x x f x xf x F x -=--=-=-所以为奇函数，所以在上单调递增， ()F x ()F x (),-∞+∞因为，所以，()11f =()()()11111F f f =⋅==因为，所以， ()()202320231x f x -->()()20231F x F ->所以，所以， 20231x ->2024x >故选：C ．7．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积数列”．若各项均为正数的等比数列是一个“2023积数列”，且，则当其前n 项的乘积取最大值时n 的值为{}n a 11a >（） A ．1011B ．1012C ．2022D ．2023【答案】A【分析】利用等比数列的性质判断出等比数列的单调性即可求解. 【详解】∵各项均为正数的等比数列是一个“2023积数列”，且， {}n a 11a >∴ 12310081009101020202021202220232023a a a a a a a a a a a ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯ 即， 1231008100910102020202120221a a a a a a a a a ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= 根据等比数列的性质得到：， 120222202132020101110121a a a a a a a a ===== ∵，，∴,∴，∴该数列为递减的等比数列， 11a >120221a a =20221a <01q <<∵，∴，， 101110121a a =10111a >101201a <<∴当其前n 项的乘积取最大值时n 的值为1011．故选：A ．8．已知函数，若方程有五个不等实根，则实数m 的221,0()ln ,0x x x f x x x x ⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩22()()0f x f x m ++=取值范围为（）A ．B ．C ．D ．2,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭22,0e e +⎛⎫- ⎪⎝⎭2,0e ⎛⎤- ⎥⎝⎦22,0e e +⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】D【分析】探讨函数性质并作出其图象，利用数形结合思想探求出给定方程有5个根的值的()f x ()f x 取值区间，再借助一元二次方程即可求解作答.【详解】时，在上单调递增，在上单调递减， 0x ≤2()21f x x x =---(,1)-∞-[]1,0-时，，，时时，在上单0x >ln ()xf x x=21ln ()x f x x -'=0<<x e ()0,f x x e '>>()0f x '<()f x ()0,e 调递增，上单调递减，(),e +∞函数大致图象如图所示：221,0()ln ,0x x x f x x x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩令，则方程有两个不等实数根，而方程有五个()f x t =220t t m ++=1212,()t t t t <22()()0f x f x m ++=不等实根，，观察图象可得，而，，11808m m ∆=-≥⇒≤12110,0t t e ≤<-≤<1212t t +=-122mt t ⋅=于是有，，在上单调递增，2112t t =--1111(,]22t e ∈---2121122m t t t t =⋅=--111(,]22e ---时，，时，，10t =max 0m =1112t e =--2min 2e m e+-=所以实数的取值范围为. m 22(,0]ee +-故选：D二、多选题9．学校食堂某窗口供应两荤三素共5种菜，甲、乙两同学每人均在该窗口打2份菜，且每人至多打1份荤菜，则下列说法中正确的是（） A ．若甲选一荤一素，则有6种选法 B ．若乙选两份素菜，则有3种选法 C ．若两人分别打菜，则总的方法数为18D ．若两人打的菜均为一荤一素且刚好有一份菜相同，则方法数为30 【答案】AB【分析】应用两个计数原理和排列组合的应用，对每个选项逐一分析即可．【详解】对于A ，甲选一份荤菜，则有2×3＝6（种）选法，故A 正确；对于B ，若乙从三份素菜中选两份素菜，相当于去掉一份素菜，则有3（种）方法，故B 正确；对于C ，由A B 选项结合分类加法计数原理可知，甲乙两人分别打菜，每人都有（种）选639+=菜方法，由分步乘法计数原理知两人选菜的总方法数为9×9＝81（种），故C 错误；对于D ，若两人打的菜均为一荤一素且只有一份相同，分为以下两类：若荤菜相同，素菜不同，则有（种），若素菜相同，荤菜不同，则有（种），23212A ⨯=2236A ⨯=总计有12＋6＝18（种），故D 错误．故选：AB ．10．已知数列满足，，设．则下列结论正确的是（） {}n a 11a =()121n n na n a +=+nn a b n=A ． B ．是等差数列34b ={}n b C ． D ．416b =12n n a n -=⋅【答案】AD 【分析】由条件可得，判定为等比数列，从而得出其通项公式.一一可判定各选项. 121n n a an n+=+{}n b【详解】解：由条件可得，即，又， 121n na a n n+=+12n n b b +=11b =所以是首项为1，公比为2的等比数列，故B 错误； {}n b 可得，所以，故D 正确； 12n nn a b n-==12n n a n -=⋅则，，可知A 正确，C 错误； 34b =48b =故选：AD ．11．已知函数，则下列选项正确的有（）()()2e 1xf x x x =--A ．函数极小值为，极大值为. ()f x e -25e B ．函数存在3个不同的零点.()f x C ．当时，函数的最大值为. []2,2x ∈-()f x 2e D ．当时，方程恰有3个不等实根. 25e ek -<<()f x k =【答案】AC【分析】求导得，分析的单调性，进而可得极大值、极小值，函数的零()e (2)(1)x f x x x '=+-()f x 点个数，即可判断A BC 是否正确；作出的图象，方程恰有3个不等实根，可转化为()f x ()f x k =与的交点有3个，结合图象即可判断D 是否正确.()y f x =y k =【详解】，2()e (1)e (21)x x f x x x x '=--+- 2e (2)e (2)(1)x x x x x x =+-=+-在上，，单调递增，在上，，单调递减， ∴(,2),(1+)-∞-∞，()0f x '>()f x (2,1)-()0f x '<()f x ，，故A 正确；222()(2)e (2)(2)15e f x f --⎡⎤∴=-=----=⎣⎦极大值()(1)e(111)e f x f ==--=-极小值当时，，时，，且，，所以x →-∞()0f x →x →+∞()f x →+∞20()5e f x -=>极大值()e 0f x =-<极小值函数有两个零点，故B 错误；由函数单调性知，在上单调递减，在上单调递增，()f x [2,1]-[1,2]且，故函数的最大值为，故C 正确；222(2)5e ,(2)e (421)e f f --==--=()f x 2e 方程恰有3个不等实根，可转化为与的交点有3个，由上述分析可知，()f x k =()y f x =y k =的图象为：()f x由图象可得当时，有2个实数根，当时，有3个实数根，当e 0k -<≤()f x k =205e k -<<()f x k =时，有2个实数根，当时，有1个实数根，故D 错误. 25e k -=()f x k =25e k ->()f x k =故选：AC12．如图，由正方形可以构成一系列的长方形，在正方形内绘出一个圆的，就可以近似地得到等14角螺线，第一个和第二个正方形的边长为，第三个正方形边长为，…，其边长依次记为，121a 2a ，，…，得到数列，每一段等角螺线与正方形围成的扇形面积记为，得到数列，则下3a {}n a n b {}n b 列说法正确的有（）A ．B ． 821a =1214161a a a a +++=-C ．D ．222121414152a a a a a +++= ()201919204πb b a a -=【答案】AB【分析】由题意可得，，，由题意可得，依据121a a ==342,3a a ==()123n n n a a a n --=+≥2π4n n b a =各项条件计算即可判断各项的正确性．【详解】由图中数据可得，，， 121a a ==342,3a a ==()123n n n a a a n --=+≥由题意可得，221ππ224n n n b a a =⨯⨯=对于A ：，，，则543325a a a =+=+=654538a a a =+=+=7658513a a a =+=+=，故A 正确； 87613821a a a =+=+=对于B ：，可得，12n n n a a a --=+21n n n a a a --=-则，故B 正确；()()()121432431615162161a a a a a a a a a a a a +++=-+-++-=-=-对于C ：，()123n n n a a a n --=-≥ ∴，()()2111121123n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n --------==-=-≥，()()()2222121412321343214151413a a a a a a a a a a a a a a a a ∴+++=+-+-++- 212114151415a a a a a a a =-+=故C 错误；对于D ：，故D 错误()()()()2222201920192019201920191821ππ44πππ44b b a a a a a a a a a a ⎛⎫-=-=-=-+= ⎪⎝⎭故选：AB三、填空题13．已知有一个极值点为4，则m 的值为_______．()32113f x x mx =-++【答案】2【分析】利用极值点处导数为0求解，并用极值的定义检验.【详解】由题，，令，则，，()22f x x mx '=-+()0f x '=10x =22x m =因为有一个极值点4，所以只需，即．()f x 24m =2m =此时，()24(4)f x x x x x '=-+=--当时，，单调递减； 0x <()0f x '<()f x 当时，，单调递增； 04x <<()0f x ¢>()f x 当时，，单调递减， >4x ()0f x '<()f x 当时，取极大值， 4x =()f x 所以符合题意． 2m =故答案为：2．14．为了迎接期中考试，某同学要在周日上午安排五个学科的复习工作，为提高复习效率，数学学科的复习时间不安排在早晨第一科，并且数学和物理两科的复习时间不连在一起，那么五个学科复习时间的顺序安排总共有______种（用数字作答）．【答案】54【分析】考虑物理科的安排，物理安排在第一科复习或物理不安排在第一科复习，分类讨论，分别求出每一类里的安排方法，根据分类加法计数原理可得答案. 【详解】根据物理复习时间的安排分为以下两类第一类，物理安排在第一科复习，第二科不能为数学,数学安排在后面三科有3种安排方法，其余三科有种安排，共有种；33A 333A 18⨯=第二类，物理不安排在第一科复习，因为第一科也不能安排数学，故第一科可安排其余三科中的一科，有3种安排方法，剩下四科中数学和物理采用插空法，有种安排，共有种，2223A A ⨯22233A A 36⨯⨯=两类相加，共有18＋36＝54种安排方法，故答案为：5415．设函数的导函数为，若函数，则曲线在点()f x ()f x '()πcos 223f x x xf ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭()y f x =处的切线方程为____________．()()0,0f【答案】1y =+【分析】求得，得到，进而求得，结()π2sin 223f x x f ⎛⎫''=-+ ⎪⎝⎭π3f ⎛⎫' ⎪⎝⎭()0f '=()01f =合直线的点斜式方程，即可求得切线的方程.【详解】由函数，可得，()πcos 223f x x xf ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭()π2sin 223f x x f ⎛⎫''=-+ ⎪⎝⎭则，解得， π2ππ2sin 2333f f ⎛⎫⎛⎫''=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π3f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭即且()cos 2f x x =+()2sin 2f x x '=-+可得且，即切点坐标为，切线的斜率为 ()0f '=()01f =(0,1)k =则曲线在点处的切线方程为，即. ()y f x =()()0,0f )10y x -=-1y =+故答案为：.1y =+四、双空题16．已知数列满足，，则数列的通项公式______，前n 项{}n a 11a =()*132n n a a n +=+∈N {}n a n a =和____________． n S =【答案】1231n -⋅-31n n --【分析】由已知递推关系得出新数列是等比数列，由此可求得，再利用分类求和法可求得{1}n a +n a 和．n S【详解】∵数列满足，，{}n a 11a =()*132n n a a n N +=+∈∴，()1131n n a a ++=+∴数列是以为首项，公比为3的等比数列， {}1n a +112a +=∴，1123n n a -+=⨯∴，1231n n a -=⨯-∴数列的前n 项和为：{}n a ，()01113233323113nn n n S n n n --=⨯++⋯+-=⨯-=---故答案为：；．1231n -⨯-31n n --五、解答题17．“烂漫的山花中，我们发现你．自然击你以风雪，你报之以歌唱．命运置你于危崖，你馈人间以芬芳．不惧碾作尘，无意苦争春，以怒放的生命，向世界表达倔强．你是岸畔的桂，雪中的梅．”这是给感动中国十大人物之一的张桂梅老师的颁奖词，她用实际行动奉献社会，不求回报，只愿孩子们走出大山．受张桂梅老师的影响，有大量志愿者到乡村学校支教，现将甲、乙2名志愿者和A 、B 、C 、D 4名学生排成一排合影留念．求下列不同的排法种数： (1)甲、乙两人必须站在两端； (2)A 与B 两人相邻且与C 不相邻．【答案】(1)48 (2)144【分析】（1）由分步计数原理，结合排列数公式，即可求解；（2）先排剩下的3人，再将A 与B 看成一个元素与插空，即可求解. C 【详解】（1）由题意得，先把甲、乙排在两端，其他4人排中间，由分步乘法原理得，共有种方法．2424A A 48=（2）由题意得，除A ，B ，C 外，剩余的3人先排列，有种方法，33A 6=然后把A ，B 捆在一起看成整体与C 去插空，有种方法，2224A A 24=由分步乘法原理可得，共有种方法．624144⨯=18．已知数列是公差为2的等差数列，且满足，，成等比数列．{}n a 1a 2a 5a (1)求数列的通项公式；{}n a (2)求数列的前n 项和． 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T 【答案】(1)21n a n =-(2)=21n n T n +【分析】（1）由成等比数列得首项，从而得到通项公式；125,,a a a （2）利用裂项相消求和可得答案.【详解】（1）设数列的公差为，{}n a d ∵成等比数列，∴， 125,,a a a 1225a a a =即，2111()(4)a d a a d +=+∴，由题意222111124a a d d a a d ++=+2d =故，得， 221111448a a a a ++=+11a =12121n a n n ∴=+-=-（）即.21n a n =-（2）， 111111(21)(21)22121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭∴ 1111111...23352121⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦n T n n ． 11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭19．如图所示，某风景区在一个直径AB 为400m 的半圆形花园中设计一条观光路线，在点A 与圆弧上一点C 之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C 到点B 设计为沿圆弧BC 的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注:小路及绿化带的宽度忽略不计）(1)设（弧度），将绿化带总长度表示为的函数；BAC θ∠=()S θθ(2)试确定的值，使得绿化带总长度最大，并求最大值．θ【答案】(1)，； ()(800cos 400)m S θθθ=+02πθ<<(2)；. 6πθ=200)m 3π【分析】（1）连接OC ，BC ，利用直角三角形边角关系及弧长公式列式计算作答.（2）由（1）的结论，借助导数求解函数的最大值作答.()S θ【详解】（1）连接OC ，BC ，如图，由AB 是半圆直径得，而，，则，90ACB ∠= 400m AB =BAC θ∠=400cos AC θ=，则圆弧BC 长为，22COB BAC θ∠=∠=400θ所以(m)，.()800cos 400S θθθ=+02πθ<<（2）由（1）知，，，求导得：， ()800cos 400S θθθ=+02πθ<<()400(12sin )S θθ'=-当时，，当时，，即在上单调递增，在上06πθ<<()0S θ'>62ππθ<<()0S θ'<()S θ(0,6π(,62ππ单调递减，则当时，(m)， 6πθ=max 200()(63S S ππθ==所以时，绿化带总长度最大，最大值为. 6πθ=200)m 3π20．已知数列的前n 项和为，，．{}n a n S 12a =12n n S a +=-(1)求数列的通项公式；{}n a (2)令，，求数列的前n 项和．2log n n b a =n n n c b a =⋅{}n c n T 【答案】(1)2n n a =(2)()1122n n T n +=-⨯+【分析】（1）利用即可求出通项公式；()12n n n a S S n -=-≥（2）利用错位相减法求和.【详解】（1）∵，∴，12n n S a +=-()122n n S a n -=-≥两式相减得，()122n n a a n +=≥又∵，，∴，12a =2124a a =+=212a a =∴当时也满足，1n =12n n a a +=∵，∴， 120a =≠()*12N n n a n a +=∈∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，{}n a ∴；2n n a =（2）由（1）可知，22log log 2n n n b a n ===，2n n n n c b a n =⋅=⋅∴1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯ 两式相减得：， 123112222222212n n n n n T n n +++--=++++-⨯=-⨯- 化简得． ()1122n n T n +=-⨯+21．已知函数. 21()ln 12a f x a x x +=++（1）当时，求函数在区间上的最值； 12a =-()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）讨论的单调性.()f x 【答案】（1），；（2）当时，在上单调递增；当2max 1()24e f x =+min 5()4f x =0a ≥()f x (0,)+∞时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在10a -<<()f x ⎛⎝⎫+∞⎪⎪⎭1a ≤-()f x 上单调递减.(0,)+∞【解析】（1）求导的定义域，求导函数，利用函数的最值在极值处与端点处取得，即可求得()f x 在区间上的最值； ()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可确定函数的单调性；【详解】解：（1）当时，， 12a =-21()ln 124x f x x =-++所以， 211()222x x f x x x-'=-+=因为的定义域为，()f x (0,)+∞所以由，可得.()0f x '=1x =因为，，， 5(1)4f =213124f e e⎛⎫=+ ⎪⎝⎭21()24e f e =+所以在上，，. 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2max 1()()24e f x f e ==+min 5()(1)4f x f ==（2）由题可得，， 2(1)()a x a f x x++'=(0,)x ∈+∞①当，即时，10a +≤1a ≤-，所以在上单调递减；()0f x '<()f x (0,)+∞②当时，，0a ≥()0f x '>所以在上单调递增；()f x (0,)+∞③当时，由可得，即， 10a -<<()0f x '>21a x a ->+x >由可得，即 ()0f x '<21a x a -<+0x <<所以在上单调递减， ()f x ⎛ ⎝在上单调递增.⎫+∞⎪⎪⎭综上：当时，在上单调递增； 0a ≥()f x (0,)+∞当时，在上单调递减， 10a -<<()f x ⎛ ⎝在上单调递增；⎫+∞⎪⎪⎭当时，在上单调递减.1a ≤-()f x (0,)+∞【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，确定函数的单调性，求函数的最值是关键，属于中档题．22．已知函数，. ()2e 2ln xf x kx k x x=+-()0,x ∈+∞(1)当时，证明函数有两个零点； 1k =-()()2e 4G x f x =-(2)若函数有唯一极值点，求k 的取值范围.()f x 【答案】(1)证明见解析(2) 2e ,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）把函数零点问题转化为的解的个数，求导函数，研究函数单调性，求出值()2e 4f x =域，利用零点存在性定理即可证明；（2）函数有唯一极值点转化为导函数有唯一异号零点，从而在时没有变号零()f x 2e xk x=-0x >点，构造函数，求导函数，利用单调性作出图象即可求解范围.【详解】（1）因为，所以，， 1k =-()2e 2ln xf x x x x=-+()0,x ∈+∞则函数的零点个数，即为的解的个数， ()()2e 4G x f x =-()2e 4f x =，令，，则， ()()2e 21x x x f x x'⎛⎫-- ⎪⎝⎭=()2e xg x x =0x >()()32e x x g x x -'=当时，，单调递减，()0,2x ∈()0g x '<()g x 当时，，单调递增，()2,x ∈+∞()0g x '>()g x 则，所以， ()()2min e 214g x g ==>2e 10x x->故当时，，当时，，()0,2x ∈()0f x '<()2,x ∈+∞()0f x ¢>即在区间上单调递减，在区间上单调递增；()f x ()0,2()2,+∞则， ()()22min e e 222ln244f x f ==-+<又因为，， 211e 2ln2224f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭()52e e 552ln5254f =-+>故在和分别存在一个零点，因此有两个零点. ()G x ()0,2()2,+∞()()2e 4G x f x =-（2）函数，， ()2e 2ln xf x kx k x x=+-()0,x ∈+∞所以， ()()()2243e 2e 2e 2x x x kx x x x k f x k x x x +--=-+='函数有唯一极值点，则是唯一的根，()f x 2x =()0f x '=故在上没有变号零点，即在时没有变号零点， 20x e kx +=()0,∞+2e xk x =-0x >令，则由（1）知 ()2e xg x x=,0x >当时，取得最小值， 2x =()g x ()2e 24g =且无限趋近0时，趋向于正无穷大，无限趋向于无穷大时，趋向于正无穷大， x ()g x x ()g x 函数在的图像大致如图所示()g x ()0,∞+当即时，在时没零点，符合题意， 2e 4k -<2e 4k >-2e x k x -=0x >当即时，有不变号零点，也符合题意， 2e 4k -=2e 4k =-2e x k x -=2x =所以的取值范围. 2e ,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.。

2020-2021学年广东省广州二中、广雅、执信、六中四校联考高二(下)期中数学试卷

2020-2021学年广东省广州二中、广雅、执信、六中四校联考高二（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1.已知集合A={x|x>2}，B={0,1，2，3，4}，则(∁R A)∩B=()A. {3,4}B. {2,3，4}C. {0,1}D. {0,1，2}2.若复数z=3−i1−i，则|z|=()A. √2B. 2C. √3D. √53.小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐一排.若小明的父母都与他相邻，则不同坐法的种数为()A. 6B. 12C. 24D. 484.设α，β，γ为三个不同的平面，若α⊥β，则“γ//β”是“α⊥γ”的()A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5.已知f(x)=x⋅2|x|，a=f(log3√5)，b=f(log312)，c=f(ln3)，则a，b，c的大小关系为()A. c>b>aB. b>c>aC. a>b>cD. c>a>b6.已知某年级有4个班级，在一次数学学科考试中安排4个班级的班主任监考，则4个班主任都不监考本班的概率是()A. 13B. 14C. 16D. 387.已知函数f(x)=cosxlg(√x2+1+x)，则其图象可能是()A. B.C. D.8.刘徽(约公元225年−295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到sin6°的近似值为()A. π30B. π60C. π90D. π1809.如图，点B，P，Q为边长为π3的正六边形BCDEFG(中心为坐标原点O，FG//x轴)与函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象的三个交点，函数f(x)的图象与FG相切于点Q，且FG与y轴交于点M，函数f(x)的图象与y轴交于点N，则下列说法中正确的是()A. 函数f(x)的最小正周期为2πB. 函数f(x)的图象向右平移π3个单位长度后关于点O对称C. 函数f(x)的图象关于直线x=13π12对称D. MN=π1210.若关于x的方程2(lnx)2=ax2−lnxx恰有4个不相等实根，则实数a的取值范围是()A. (−∞,2−ee2) B. (−18,2−ee2) C. (2−ee2,0) D. (−18,0)二、多选题（本大题共2小题，共10.0分）11.已知双曲线C：x2a2−y23=1(a>0)的离心率等于2√33，过C的右焦点F的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于点A，B，若以OA为直径的圆M过点B(O为坐标原点)，则下列说法正确的是()A. 双曲线的渐近线方程为y=±√33xB. 直线AB的倾斜角为π6C. 圆M的面积等于9πD. △OAF与△OBF的面积之比为2：112.如图，点M是正方体ABCD−A1B1C1D1中的侧面ADD1A1上的一个动点，则下列结论正确的是()A. 点M 存在无数个位置满足CM ⊥AD 1B. 若正方体的棱长为1，三棱锥B −C 1MD 的体积最大值为13 C. 在线段AD 1上存在点M ，使异面直线B 1M 与CD 所成的角是30° D. 点M 存在无数个位置满足到直线AD 和直线C 1D 1的距离相等三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在(√x2−2√x)6的二项展开式中，x 2的系数为______ ；所有二项式系数和为______ ． 14. 若a ⃗ ，b ⃗ 是两个不共线的向量，已知MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −2b ⃗ ，PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +k b ⃗ ，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a ⃗ −b ⃗ ，若M ，N ，Q 三点共线，则k = ______ ．15. 已知三棱锥A −BCD 中，点A 在平面BCD 上的射影与点D 重合，AD =CD =4.若∠CBD =135°，则三棱锥A −BCD 的外接球的体积为______ ．16. 已知实数a ，b ，c 成等差数列，记直线ay +bx +c =0与曲线y =18x 2−12x −12的相交弦中点为P ，若点A ，B 分别是曲线x 2+y 2−10x −2y +25=0与x 轴上的动点，则|PA|+|PB|的最小值是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知函数f(x)=2sin(2x +φ)(|φ|<π2)部分图象如图所示．(Ⅰ)求φ值及图中x 0的值；(Ⅱ)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c =√7，f(C)=−2，sinB =2sinA ，求a 的值．18.已知递增等差数列{a n}满足a1+a5=10，a2⋅a4=21，数列{b n}满足2log2b n=a n−1，n∈N∗．(Ⅰ)求{b n}的前n项和S n；(Ⅱ)若T n=nb1+(n−1)b2+⋯…+b n，求数列{T n}的通项公式．19.如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角A−CD−F为60°，DE//CF，CD⊥DE，AD=2，DE=DC=3，CF=6．(1)求证：BF//平面ADE；(2)在线段CF上求一点G，使锐二面角B−EG−D的余弦值为1．420.已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2n+1−2，数列{b n}满足b1=2，b3−b2=6，数列{b nn}为等差数列．(1)求{a n}与{b n}的通项公式；(2)设c n=(−1)na n +1b n，数列{c n}的前n项和为T n.若对于任意n∈N∗均有T k≤T n，求正整数k的值．21.如图，已知M(1,2)为抛物线C：y2=2px(p>0)上一点，过点D(2,−2)的直线与抛物线C交于A，B两点(A,B两点异于M)，记直线AM，BM的料率分别为k1，k2．(1)求k1k2的值；(2)记△AMD，△BMD的面积分别为S1，S2，当k1∈[1,2]，求S1S2的取值范围．22.已知函数f(x)=aln2x+2x(1−lnx)，a∈R．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数g(x)=e2f(x)−2a2有且仅有3个零点，求a的取值范围.(其中常数e=2.71828…，是自然对数的底数)答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵A={x|x>2}，B={0,1，2，3，4}，∴∁R A={x|x≤2}，(∁R A)∩B={0,1，2}．故选：D．进行补集和交集的运算即可．本题考查了描述法和列举法的定义，交集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：z=3−i1−i，则|z|=|3−i||1−i|=√32+(−1)2√12+(−1)2=√5，故选：D．利用复数模的运算性质即可得出．本题考查了复数模的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：根据题意，要求小明的父母都与他相邻，即小明坐在父母中间，将三人看成一个整体，有2种排法，将这个整体与爷爷和奶奶全排列，有A33=6种排法，则有2×6=12种不同的排法，故选：B．根据题意，将小明和他父母看成一个整体，分析三人的排法，将这个整体与爷爷和奶奶全排列，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：当α⊥β时，若γ//β，则α⊥γ成立，即充分性成立，反之当α⊥γ时，γ//β也有可能相交，即必要性不成立，即“γ//β”是“α⊥γ”的充分不必要条件，故选：A ．根据空间面面垂直和面面平行的位置关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用空间面面平行和垂直的性质是解决本题的关键，是基础题．5.【答案】D【解析】解：根据题意，f(x)=x ⋅2|x|={x ⋅2x ,x ≥0x ⋅(12)x ,x <0，当x <0时，f(x)=x ⋅(12)x <0，又由log 312=−log 32<0，则b <0，当x ≥0时，f(x)=x ⋅2x ，其导数f′(x)=2x +x ⋅2x ln2>0，则f(x)在[0,+∞)上为增函数，其f(0)=0，则当x >0时，f(x)>0；又由0<log 3√5<1<ln3，则0<a <c ，综合可得：c >a >b ；故选：D ．根据题意，由函数的解析式分析可得当x <0，f(x)=x ⋅(12)x <0，据此可得b <0，当x ≥0时，f(x)=x ⋅2x ，求出其导数，分析可得f(x)在[0,+∞)上为增函数，由此分析可得0<a <c ，综合可得答案．本题考查函数的单调性的判断以及应用，涉及分段函数的解析式，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：某年级有4个班级，在一次数学学科考试中安排4个班级的班主任监考，基本事件总数n =A 44=24，4个班主任都不监考本班包含的基本事件个数m =3×3×1×1=9， ∴4个班主任都不监考本班的概率是P =m n=924=38．故选：D ．基本事件总数n =A 44=24，4个班主任都不监考本班包含的基本事件个数m =3×3×1×1=9，由此能求出4个班主任都不监考本班的概率．本题考查概率的运算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，是基础题．判断函数的奇偶性，结合特殊值利用排除法进行判断即可．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，设g(x)=lg(√x2+1+x)，则g(−x)+g(x)=lg(√x2+1−x)+lg(√x2+1+x)=lg(√x2+1−x)(√x2+1+x)=lg1=0，则g(−x)=−g(x)，且g(x)的定义域关于原点对称，则g(x)为奇函数，则易得f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，y轴右侧的图像与x轴第一个交点的横坐标为π2，当0<x<π2时，f(x)>0，排除B，故选：A．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的面积计算公式、圆的面积计算公式、正多边形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．取正60边形，设半径为1，利用等腰三角形的面积计算公式、圆的面积计算公式得出方程，即可得出sin6°的近似值．【解答】解：取正60边形，设半径为1，则60×12×12×sin6°≈π×12，解得sin6°≈π30．故选：A．9.【答案】C【解析】解：根据函数的图象，整理得B(π3,0)，对于A ：故T2=π3−(−π6)=π2，解得T =π，故ω=2．对于B ：函数f(−π6)=0，T =π，所以函数f(x)的图象向右平移π3个单位长度后得到f(0)≠0，故B 错误；对于C ：由于f(−π6)=0，所以−π3+φ=kπ，解得φ=π3，由于点B ，P ，Q 为边长为π3的正六边形BCDEFG(中心为坐标原点O ，FG//x 轴)，故A =π3×√32=√3π6，所以f(x)=√3π6sin(2x +π3)．f(13π12)=√3π6sin(2×13π12+π3)=√3π6，故C 正确；对于D ：当x =0时，ON =f(0)=√3π6sin(2×0+π3)=π4，OM =A =√3π6，所以|MN|=√3π6−π4，故D 错误；故选：C ．直接利用三角函数的关系式的变换，函数的图象和性质的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：方程2(lnx)2=ax 2−lnx x恰有4个不相等实根，转化为2(xlnx)2=a −xlnx(x >0)恰有4个不相等实根，令t =xlnx ，可得2t 2+t −a =0．由t =xlnx ，得t′=lnx +1，当x ∈(0,1e )时，t′<0，当x ∈(1e ,+∞)时，t′>0，可得t =xlnx 在(0,1e )上单调递减，在(1e ,+∞)上单调递增．作出t =xlnx 的图象如图，由图可知，要使2(xlnx)2=a −xlnx(x >0)恰有4个不相等实根，则t ∈(−1e ,0)，且关于t 的方程2t 2+t −a =0在(−1e ,0)上有两个不相等的实数根，即g(t)=2t 2+t −a 在(−1e ,0)上有两个不同的零点，则{g(0)=−a >0g(−1e )=2×1e 2−1e −a >0g(−14)=2×142−14−a <0，解得−18<a <2−ee 2．故选：B ．把程2(lnx)2=ax 2−lnx x恰有4个不相等实根转化为2(xlnx)2=a −xlnx(x >0)恰有4个不相等实根，令t =xlnx ，可得2t 2+t −a =0.作出函数t =xlnx 的图象，把问题转化为关于t 的方程2t 2+t −a =0在(−1e ,0)上有两个不相等的实数根，然后利用一元二次方程根的分布与系数的关系列不等式组求解．本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．11.【答案】ACD【解析】解：由题意，e =c a =√a 2+3a =2√33，解得a =3，∴双曲线方程为x 29−y 23=1，双曲线的渐近线方程为y =±√33x ，故A 正确；∵以OA 为直径的圆M 过点B ，∴OB ⊥AB ，又渐近线方程为y =±√33x ，可得渐近线的倾斜角分别为π6，5π6，则∠FOB =π6，∠BFO =π3，则直线AB 的倾斜角为π3或2π3，故B 错误；根据双曲线的对称性，不妨设AB 的倾斜角为π3，由F(2√3,0)，可得直线AB 的方程为y =√3(x −2√3)，分别与两条渐近线方程联立，解得A(3√3,3)，B(3√32,−32)，此时|OA|=√(3√3)2+32=6，故圆M 的半径r =12|OA|=3，其面积为9π，故C 正确；∵OF为△OAF与△OBF的公共边，∴△OAF与△OBF的面积之比等于|y A||y B|=332=2，即△OAF与△OBF的面积之比为2：1，故D正确．故选：ACD．由双曲线的离心率结合双曲线方程求得a，进一步得到双曲线的渐近线方程判断A；画图可得双曲线的渐近线的倾斜角，数形结合求得直线AB的倾斜角判断B；联立直线AB的方程与两条渐近线方程，求得A与B的坐标，求出圆M的半径，可得圆M的面积判断C；再由面积比等于A，B纵坐标的绝对值的比值判断D．本题考查双曲线的几何性质，考查数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】ABD【解析】解：如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，CD⊥侧面ADD1A1，则CD⊥AD1，又AD1⊥A1D，A1D∩DC=D，∴AD1⊥平面A1DC，可知当M在线段A1D上时，有CM⊥AD1，故A正确；由正方体的性质可知，A1C⊥平面BC1D，可知若正方体的棱长为1，则M与A1重合时，三棱锥B−C1MD的体积取最大值，为13×12×√2×√2×√32×2√33=13，故B正确；异面直线B1M与CD所成角，即为∠A1B1M，当M在线段AD1上运动时，M取AD1的中点时，∠A1B1M最小，其正切值为√22>√33，故C错误；平面ADD1A1上的点M到直线C1D1的距离等于M到D1的距离，则满足到直线AD和直线C1D1的距离相等即满足到直线AD和点D1的距离相等．可知M的轨迹为平面ADD1A1上抛物线的部分，故D正确．故选：ABD．由题意画出图形，由直线与平面垂直的判定判断A ；求出三棱锥B −C 1MD 的体积最大值判断B ；由线面角的概念判断C ；由抛物线的定义判断D ．本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】−38 64【解析】解：∵在(√x 2√x)6的二项展开式的通项公式为T r+1=C 6r ⋅22r−6⋅(−1)r ⋅x 3−r ，令3−r =2，求得r =1，可得x 2的系数为C 61⋅2−4⋅(−1)=−38．所有二项式系数和为2n =26=64，故答案为：−38；64．在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于2，求出r 的值，即可求得x 2的系数．再利用二项式系数的性质，求得所有二项式系数和．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．14.【答案】1【解析】解：由题意知，NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −(k +1)b ⃗ ，因为M ，N ，Q 三点共线，故MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λNQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即a ⃗ −2b ⃗ =λ[a ⃗ −(k +1)b ⃗ ]，解得λ=1，k =1．故答案为：1．利用向量共线定理即可得出．本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】32√3π【解析】解：如图，设△BCD的外接圆的圆心为O1，半径为r，三棱锥A−BCD的外接球的球心为O，半径为R，则OO1⊥平面BCD，故OO1=AD2=2，在△BCD中，由正弦定理得2r=CDsin∠CBD=4√2，故r=2√2，则R=√r2+OO12=2√3，故球O的体积为V=43πR3=43π×(2√3)3=32√3π．故答案为：32√3π．由题意画出图形，求解三角形可得三角形BCD外接圆的半径，再由勾股定理求出三棱锥A−BCD的外接球的半径，代入球的体积公式可得三棱锥A−BCD的外接球的体积．本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】3【解析】解：因为实数a，b，c成等差数列，所以2b=a+c，则直线ay+bx+c=0化为ay+a+c2x+c=0，即a(2y+x)+c(x+2)=0，所以直线ay+bx+c=0过定点Q(−2,1)，又点Q在曲线y=18x2−12x−12上，所以直线ay+bx+c=0与曲线y=18x2−12x−12相交的一个交点为Q，设另一个交点为Q1，设P(m,n)，则Q1(2m+2,2n−1)，又Q1在曲线y=18x2−12x−12上，化简得m2=4n，即P在抛物线x2=4y上运动，设抛物线x2=4y的焦点为F(0,1)，设P(x P,y P)，|PB|min=y P=y P+1−1=|PF|−1，曲线x 2+y 2−10x −2y +25=0，得(x −5)2+(y −1)2=1，记圆心M(5,1)所以|PA|+|PB|⩾|PA|+|PF|−1=|PM|−1+|PF|−1⩾|MF|−1−1⩾5−2=3．故答案为：3．由已知得2b =a +c ，可得出直线ay +bx +c =0过定点Q(−2,1)，设直线ay +bx +c =0与曲线y =18x 2−12x −12相交的一个交点为Q ，设另一个交点为Q 1，设P(m,n)，由中点坐标可得出点Q 1(2m +2,2n −1)，代入曲线y =18x 2−12x −12上，得出P 在抛物线x 2=4y 上运动，由抛物线的定义及圆的性质可得出．本题综合考查直线恒过定点，动点的轨迹方程，抛物线的定义以及两线段长度之和的最值问题，属于难题．17.【答案】(本题满分为12分)解：(Ⅰ)解：由图象可知f(0)=1，所以sinφ=12，又因为|φ|<π2，所以φ=π6.…(3分)因为f(x 0)=2，所以sin(2x 0+π6)=1，解得2x 0+π6=π2+2kπ,k ∈Z ．从而x 0=π6+kπ,k ∈Z.由图象可知k =1，所以x 0=7π6；…(6分)(Ⅱ)由f(C)=−2，得sin(2C +π6)=−1，且C ∈(0,π)，解得C =2π3.…(8分)因为sinB =2sinA ，由正弦定理得b =2a.…(10分) 又由余弦定理c 2=a 2+b 2−2abcosC ，及c =√7和C =2π3，可解得a =1.…(12分)【解析】(Ⅰ)由图象可知f(0)=1，可求sinφ=12，结合范围|φ|<π2，可求φ=π6，由f(x 0)=2，得2x 0+π6=π2+2kπ,k ∈Z ，结合图象可求x 0=7π6．(Ⅱ)由f(C)=−2，得sin(2C +π6)=−1，结合范围C ∈(0,π)，解得C =2π3，由正弦定理得b =2a ，由余弦定理即可解得a 的值．本题主要考查了本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)由题意，设等差数列{a n }公差为d(d >0)，则{2a 1+4d =10(a 1+d)(a 1+3d)=21，解得{a 1=9d =−2(舍去)，或{a 1=1d =2，∴a n =1+2(n −1)=2n −1，∵2log 2b n =a n −1=2n −1−1=2n −2， ∴log 2b n =n −1，即b n =2n−1=1⋅2n−1，n ∈N ∗．故数列{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则S n =1−2n 1−2=2n −1．(Ⅱ)由(Ⅰ)，可知T n =nb 1+(n −1)b 2+⋯+b n=b 1+(b 1+b 2)+(b 1+b 2+b 3)+⋯+(b 1+b 2+⋯+b n ) =S 1+S 2+S 3+⋯+S n=(2−1)+(22−1)+(23−1)+⋯+(2n −1) =(2+22+23+⋯+2n )−n =2−2n+11−2−n=2n+1−n −2．【解析】本题第(Ⅰ)题先设等差数列{a n }公差为d(d >0)，根据已知条件可列出关于首项a 1与公差d 的方程组，解出a 1与d 的值，即可得到数列{a n }的通项公式，然后根据2log 2b n =a n −1可计算出数列{b n }的通项公式，根据通项公式的特点可判别出数列{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，再根据等比数列的求和公式可计算出前n 项和S n ；第(Ⅱ)题先根据T n 的表达式的特点进行转化变形，然后将数列{b n }的通项公式代入，再运用分组求和法及等比数列的求和公式可得数列{T n }的通项公式．本题祝要考查等差数列基本量的计算，等比数列的判定及求和，以及运用分组求和法计算前n 项和．考查了转化与化归思想，方程思想，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．19.【答案】证明：(1)∵ABCD 是矩形，∴BC//AD ，又∵BC ⊄平面ADE ，∴BC//平面ADE ， ∵DE//CF ，CF ⊄平面ADE ，∴CF//平面ADE ，又∵BC ∩CF =C ，∴平面BCF//平面ADE ， ∵BF ⊂平面BCF ，∴BF//平面ADE ．解：(2)∵CD ⊥AD ，CD ⊥DE ，∴∠ADE 即为二面角A −CD −F 的平面角，∴∠ADE =60°又∵AD ∩DE =D ，∴CD ⊥平面ADE ，又∵CD ⊂平面CDEF ∴平面CDEF ⊥平面ADE ，作AO ⊥DE 于O ，则AO ⊥平面CDEF.连结CE ，在△CEF 中由余弦定理得cos∠CFE =CF 2+EF 2−CE 22×CF×EF，即√22=36+18−CE 22×6×3√2，解得CE =3√2，∴∠ECF =45°，CD =DE =3，OD =1，OE =2．以O 为原点，以平行于DC 的直线为x 轴，以直线DE 为y 轴，建立如图空间直角坐标系O −xyz ，则A(0,0，√3)，C(3,−1,0)，E(0,2，0)，F(3,5，0)，设G(3,t ，0)，−1≤t ≤5，则BE⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,2，−√3)，BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,t ，−√3)，设平面BEG 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m⃗⃗⃗ ⋅BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =ty −√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3x +2y −√3z =0，取y =3，得m⃗⃗⃗ =(2−t,3，√3t). 平面DEG 的一个法向量n ⃗ =(0,0，1)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3t √(2−t)2+9+3t2=√3t√4t 2−4t+13．为使锐二面角B −EG −D 的余弦值为14，只需√3|t|√4t 2−4t+13=14，解得t =12，此时CGCF =14．∴G(3,12,0).即所求的点G 为线段CF 的靠近C 端的四分之一分点．【解析】本题考查直线与平面，平面与平面平行及垂直的判定定理，性质定理．平面法向量．以及二面角等知识的综合应用，属于中档题．(1)由已知条件，利用直线与平面、平面与平面的位置关系先推导出平面BCF//平面ADF ，由此能证明BF//平面ADE ．(2)利用直线与平面，平面与平面垂直的判定定理证明平面CDEF ⊥平面ADE ，根据平面与平面垂直的性质定理可知，作AO ⊥DE 于O ，则AO ⊥平面CDEF.建立如图所示空间直角坐标系，写出点的坐标，利用平面法向量以及锐二面角B −EG −D 的余弦值确定G 点的坐标，从而确定点G 的位置．20.【答案】解：(1)由题意知S n =2n+1−2，a 1=2，n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n ，显然a 1也满足，故a n =2n ；b 1=2，数列{b nn}为等差数列，b 22=12(b 11+b33)，则{b 3−b 2=6b 2=2+b 33，解得{b 2=6b 3=12，等差数列{b nn}的首项为b 11=2，公差为b22−b 11=1，b n n=2+(n −1)=n +1，b n =n(n +1)．(2)由(1)可得：c n =(−12)n+1n(n+1)=(−12)n+1n −1n+1，T n =−12[1−(−12)n ]1+12+[(11−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)]=−13[1−(−12)n ]+1−1n+1=13×(−12)n +23−1n+1，①当n 为奇数时，T n =23−1n+1−13×(12)n ，又T n 随n 增加而增加，此时(T n )min =T 1=0； ②当n 为偶数时，T n =13×(12)n +23−1n+1，令f(n)=23−1n+1，则f(n)≥f(2)=13， ∴当n 为偶数时，恒有T n >0．综合①②知(T n )min =T 1=0， ∴满足题意的k =1．【解析】(1)由数列的递推式，可得数列{a n }的通项公式；由等差数列的通项公式，解方程可得公差，即可得到{b n }的通项公式；(2)求得c n =(−12)n +1n −1n+1，由数列的分组求和、裂项相消求和，计算可得T n ，讨论n 为奇数或偶数，判断{T n }的单调性，求得最小值，即可得到所求值．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和、裂项相消求和，考查分类讨论思想和方程思想、运算能力和推理能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)由题意将M 的坐标代入抛物线的方程可得4=2p ，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ；由题意可得直线AB 的斜率不为0，所以设直线AB 的方程为：x =m(y +2)+2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线与抛物线的方程：{x =m(y +2)+2y 2=4x ，整理可得：y 2−4my −8m −8=0，则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−8m −8，由题意可得k 1k 2=y 1−2x 1−1⋅y 2−2x 2−1=y 1−2y 124−1⋅y 2−2y 224−1=16(y 1+2)(y 2+2)=16y 1y 2+2(y 1+y 2)+4=−4，所以k 1k 2=−4． (2)由(1)可得k 1=4y 1+2∈[1,2]，所以y 1+2∈[2,4]， k 2=4y2+2，又4y 1+2⋅4y2+2=−4，所以S1S 2=|AD||BD|=|y 1+2||y 2+2|=(y 1+2)24∈[1,4]．所以S 1S 2的取值范围[1,4]．【解析】(1)由题意将M 的坐标代入抛物线的方程可得p 的值，进而求出抛物线的方程，设直线AB 的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出直线AM ，BM 的斜率之积可得为定值−4，；(2)由(1)可得k 1的表达式，由其服务求出A 的纵坐标的范围，两个△AMD ，△BMD 的面积以M 为顶点，以AD ，BD 为为底边，所以面积之比等于AD ，BD 的长度之比，由(1)可得其取值范围．本题考查求抛物线的方程及直线与抛物线的综合及面积之比与边长之比的关系，属于中档题．22.【答案】解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，且f′(x)=2lnx(ax −1)，a①若a ≤0，则ax −1<0，当x ∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， x ∈(1,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， ②若0<a <1，当x ∈(0,a)时，f′(x)<0，当x ∈(a,1)时，f′(x)>0，当x ∈(1,+∞)时，f′(x)<0，所以f(x)在(0,a)和(1,+∞)上单调递减，在(a,1)上单调递增， ③若a =1，则f′(x)≤0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递减，④若a>1，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，当x∈(1,a)时，f′(x)>0，当x∈(a,+∞)时，f′(x)<0，所以f(x)在(0,1)和(a,+∞)上单调递减，在(1,a)上单调递增，综上所述：若a≤0，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，若0<a<1，f(x)在(0,a)和(1,+∞)上单调递减，在(a,1)上单调递增，若a=1，f(x)在(0,+∞)上单调递减，若a>1，f(x)在(0,1)和(a,+∞)上单调递减，在(1,a)上单调递增．(2)令g(x)=0，则f(x)=2a2，e2的图像有3个不同的交点，所以依题意可得函数y=f(x)与y=2a2e2由(1)知必有0<a<1或a>1，①当0<a<1时，f(x)在(0,a)和(1,+∞)上单调递减，在(a,1)上单调递增，所以f(x)的极大值为f(1)=2，f(x)的极大值为f(1)=2，f(x)的极小值为f(a)=a(ln2a−2lna+2)，，又f(a)=a(ln2a−2lna+2)=a[(lna−1)2+1]>a>2a2e2的图像至多有1个交点，不合题意，所以函数y=f(x)与y=2a2e2②当a>1时，f(x)在(0,1)和(a,+∞)上单调递减，在(1,a)上单调递增，所以f(x)的极小值为f(1)=2，f(x)的极大值为f(a)=a(ln2a−2lna+2)，<a(ln2a−2lna+2)成立，所以必须有2<2a2e2，所以a>e，因为2<2a2e2<a(ln2a−2lna+2)，所以2a2e2<ln2a−2lna+2(∗)，所以2a2e2下面求不等式(∗)的解集，令lna=x，则不等式(∗)等价于2e x−2<x2−2x+2，令函数ℎ(x)=x2−2x−2e x−2+2，则ℎ′(x)=2x−2−2e x−2，令y=2x−2−2e x−2，y′=2−2e x−2，函数y=2x−2−2e x−2在区间(−∞,2)上单调递增，在区间(2,+∞)上单调递减，又y(2)=0，所以y=2x−2−2e x−2≤0，即ℎ′(x)≤0恒成立，故函数ℎ(x)单调递减，又ℎ(2)=0，所以当且仅当x<2时，ℎ(x)>0，所以不等式2e x−2<x2−2x+2的解集为(−∞,2)，即不等式(∗)的解集为(0,e2).所以a的取值范围为(1,e2).【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，且f′(x)=2(a−1)lnxx，f′(1)=0，分四种情况①若a≤0，②若0<a<1，③若a=1，④若a>1，讨论函数f(x)的单调性．(2)令g(x)=0，得f(x)=2a2e2，问题可转化为函数y=f(x)与y=2a2e2的图像有3个不同的交点，由(1)知必有0<a<1或a>1，分两种情况①当0<a<1时，②当a>1时，讨论即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论，转化思想的应用，属于中档题．第21页，共21页。

广州市数学高二下期中经典测试卷(含答案解析)

一、选择题1．(0分)[ID ：13599]已知向量5168,77AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，68,77AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，D ，E 是线段BC 上两点，且15BD BC =，13CE CB =，则向量AD 与AE 的关系是（） A ．2AD AE = B ．12AD AE =C ．AD AE ⊥D ．AD 与AE 成60︒夹角2．(0分)[ID ：13585]已知1sin23α=，则2cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（） A ．16B ．13C ．23D ．563．(0分)[ID ：13579]当04x π<<时,函数22cos ()cos sin sin xf x x x x=-的最小值是( )A ．14B ．12C ．2D ．44．(0分)[ID ：13558]已知tan 3α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()sin2cos απα+-的值为( )A ．61010- B ．61010+ C ．51010- D ．51010+ 5．(0分)[ID ：13551]下列选项中为函数1()cos(2)sin 264f x x x π=--的一个对称中心为（） A ．7(,0)24πB ．(,0)3πC ．1(,)34π- D ．(,0)12π6．(0分)[ID ：13550]函数()()sin f x A x ωϕ=+，（其中0A >， 0>ω， 2πϕ<）的一部分图象如图所示，将函数上的每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象表示的函数可以为（）A ．()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()sin 43f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭7．(0分)[ID ：13621]已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（）． A ．79-B ．29-C ．29D ．798．(0分)[ID ：13619]在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a bcosC <，则ABC 为（）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形9．(0分)[ID ：13612]函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（）A ．B ．C ．D ．10．(0分)[ID ：13594]已知向量()()2,1,,2a b x ==-，若//a b ，则a b +=（） A ．()2,1--B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-11．(0分)[ID ：13573]已知1sin cos 2αα-=，且()0,απ∈，则sin cos αα+=（） A ．72B ．72-C ．72±D ．12±12．(0分)[ID ：13568]函数()()f x Asin ωx φ=+（其中A 0>，ω0>，πφ2<）的图象如图所示，为了得到()πg x sin ωx 6⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将()f x 的图象上所有点()A ．向右平移π12个单位长度 B ．向左平移π12个单位长度C ．向右平移π6个单位长度 D ．向左平移π6个单位长度 13．(0分)[ID ：13566]设a b c 、、是单位向量，且·0a b ＝，则()()a cbc -⋅-的最小值为 A ．2-B ．22-C ．1-D ．12-14．(0分)[ID ：13564]已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 A ．11 B ．9 C ．7D ．515．(0分)[ID ：13547]若函数sin()(0,||)y x ωϕωϕπ=-><在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示，则,ωϕ的值（）A ．2,3πωϕ==B ．22,3πωϕ== C ．1,23πωϕ== D ．12,23πωϕ==- 二、填空题16．(0分)[ID ：13727]已知函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示，则对应的函数解析式为_______.17．(0分)[ID ：13713]若向量a 、b 满足a ＝1，b ＝2，且a 与b 的夹角为3π，则a b +＝_________.18．(0分)[ID ：13712]向量(3,4)a =在向量(1,1)b =- 方向上的投影为________. 19．(0分)[ID ：13707]已知P 是ABC ∆内任一点，且满足AP x AB y AC =+，x 、y ∈R ，则2y x +的取值范围是______.20．(0分)[ID ：13694]已知向量a ，b 是同一平面内的两个向量，其中()1,2a =，()1,1b =，a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是_________.21．(0分)[ID ：13664]已知向量a 、b ，满足1a =，()(2)0a b a b +⋅-=，则b 的最小值为_________．22．(0分)[ID ：13660]在正△ABC 中，若6AB =，2DC BD =，则AD BC ⋅=________ 23．(0分)[ID ：13649]已知(1,2)a =，(8,6)b =-，则向量a 在b 方向上的投影为________24．(0分)[ID ：13636]若tanα＝2，则sinα·cosα的值为．25．(0分)[ID ：13629]设F 为抛物线x 2=8y 的焦点，点A ，B ，C 在此抛物线上，若FA FB FC 0++=，则FA FB FC ++=______．三、解答题26．(0分)[ID ：13821]已知函数2()cos cos )sin f x x x x x =+-．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()f x m 有解，求实数m 的取值范围． 27．(0分)[ID ：13747]在平面直角坐标系中，给定非零向量b ，对任意向量a ，定义()22'a b a a bb⋅=-⋅．（1）若()12a =，，()1,1b =-，求'a ；（2）设()12b =，．证明：若位置向量a 的终点在直线3450x y ++=上，则位置向量'a 的终点轨迹是一条直线，并求此直线的方程． 28．(0分)[ID ：13730]若0,022ππαβ<<-<<，1cos ,cos 4342ππβα⎛⎫⎛⎫+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 29．(0分)[ID ：13807]已知三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．（1）若向量AB 与AC 的夹角为θ，求cosθ；（2）当m 为何值时，向量m AB BC +与AC 垂直． 30．(0分)[ID ：13775]已知函数()sin ()4f x A x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，且()01f =.（1）求A的值；（2）若1()5fα=-，α是第二象限角，求cosα.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．A 2．C 3．D4．A5．A6．A7．A8．A 9．C 10．A 11．A 12．A 13．D 14．B 15．A二、填空题16．【解析】分析：根据题中所给的函数的图像可以求得的值利用周期公式求出利用当时函数取得最大值1求出得到函数的解析式即可得结果详解：由题意可知所以当时取得最大值1所以结合解得所以函数的解析式是点睛：该题考17．【解析】【分析】由夹角为利用平面向量数量积公式求得平方的值从而可得结果【详解】夹角为所以所以故答案为18．【解析】【分析】根据向量在向量方向上的投影公式计算即可【详解】依题意得因此向量在向量方向上的投影为【点睛】本题主要考查了向量在向量方向上的投影及其计算属于中档题19．【解析】【分析】本题可以利用极限的思想以及由特殊到一般的逻辑推理得到答案可讨论当点在上时特别地当点与点重合时有；当点与点重合时有；又利用点在三角形内部可得答案【详解】三角形内一点且向量当点在上时特别20．【解析】【分析】可求出根据与的夹角为锐角即可得出：且与不平行从而得出解出λ的范围即可【详解】：；∵与的夹角为锐角；∴且与不平行；∴；解得且λ≠0；∴实数λ的取值范围是：故答案为：【点睛】本题考查向量21．【解析】试题分析：由得所以解得所以的最小值为考点：向量的数量积运算及其性质【方法点晴】要求的最小值可以考虑建立关于的不等式或不等式组已知由结合向量数量积的运算律可得关于及的关系式根据向量数量积的定义22．【解析】【分析】由可得利用向量的线性运算可得再求出和即可【详解】由题意则故答案为:【点睛】本题考查了平面向量的线性运算考查了向量数量积的计算考查学生的计算能力属于基础题23．【解析】【分析】直接利用投影公式得到答案【详解】在方向上的投影为：故答案为：【点睛】本题考查了向量的投影意在考查学生对于投影概念的理解情况24．【解析】试题分析：答案为考点：同角三角函数的平方关系与商数关系25．6【解析】【分析】由题意可得焦点F（02）准线为y＝﹣2由条件可得F是三角形ABC 的重心可得2由抛物线的定义可得【详解】由题意可得p＝4焦点F（02）准线为y＝﹣2由于故F是三角形ABC的重心设AB三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．A 解析：A 【解析】【分析】先求出=6,8AD （），=3,4AE （），所以2AD AE =，即得解. 【详解】1141()5555AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+45168168,,(6,8)577577⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 111215168268(),,3333377377AE AC CE AC CB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+=+=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3,4)=，所以2AD AE =. 故选：A. 【点睛】本题主要考查基底法和向量的坐标运算，考查共线向量，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2．C解析：C 【解析】【分析】运用两角差的余弦公式展开后再计算平方的结果，结合已知条件得到答案222211cos sin cos sin 42222cos cos sin πααααααα⎛⎫⎛⎫-=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11222sin α=+， 123sin α=，21124263cos πα⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭，故选C 【点睛】本题主要考查了两角差的余弦公式以及二倍角公式，熟练运用公式来解题是关键，较为基础3．D解析：D 【解析】【分析】分子与分母同除以2cos x ，得21()tan tan f x x x =-利用二次函数求最值即可解答【详解】分子与分母同除以2cos x ，得21()tan tan f x x x=-，22110,0tan 1,tan tan tan 424x x x x x π⎛⎫<<∴<<∴-=--+⎪⎝⎭ 1tan 2x ∴=时，2tan tan x x -的最大值为14综上，22cos ()cos sin sin xf x x x x=-的最小值为4 故选D 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系，考查二次函数求最值，注意公式的合理运用，是基础题4．A解析：A 【解析】【分析】先利用正切值求得余弦值，再利用诱导公式、二倍角公式以及弦切互化公式求得表达式的值.tan 3α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得cos αα==，而()sin2cos 2sin cos cos 2απαααα+-=-==. 故选A. 【点睛】本小题主要考查已知正切值求两弦值的方法，考查三角函数诱导公式、二倍角公式，属于基础题.5．A解析：A 【解析】函数()1cos 2264f x x sin x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭11cos 222224x sin x sin x ⎤=+-⎥⎣⎦2112cos 2224x x sin x =+-11cos 4114422426x x sin x π-⎛⎫=+⋅-=- ⎪⎝⎭，令46x k ππ-=，求得424k x ππ=+，可得函数的对称轴中心为,0,424k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，当1k =时，函数的对称中心为7,024π⎛⎫⎪⎝⎭，故选A. 6．A解析：A 【解析】由图象可知A=1，周期T π=，所以2ω=，又过点(,0)6π-，所以3πϕ=，即()sin(2)3f x x π=+，每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到()sin()3f x x π=+，故选A.7．A解析：A 【解析】【详解】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα--===--.所以选A. 【点睛】本题考查了二倍角及同角正余弦的差与积的关系，属于基础题.8．A解析：A 【解析】【分析】利用正弦定理，将a bcosC <，转化为sin sin A BcosC <，再利用两角和与差的三角函数得到cos sin 0B C <判断. 【详解】因为a bcosC <，所以sin sin A BcosC <，所以()sin sin B C BcosC +<，所以sin cos cos sin sin B C B C BcosC +<，所以cos sin 0B C <，所以,2B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ABC 为钝角三角形. 故选：A 【点睛】本题主要考查正弦定理和两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9．C解析：C 【解析】【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论．【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ．故选C ．【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．10．A解析：A 【解析】【分析】先根据向量的平行求出x 的值，再根据向量的加法运算求出答案．【详解】向量()()2,1,,2a b x ==-， //a b ， 22x ∴⨯-=（），解得4x =-， ∴214221a b +=+--=--（，）（，）（，），故选A ．【点睛】本题考查了向量的平行和向量的坐标运算，属于基础题．11．A解析：A 【解析】【分析】根据sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-间的关系求解可得答案．【详解】 ∵12sin cos αα-=， ∴21(sin cos )12sin cos 4αααα-=-=, ∴3sin cos 08αα=>， ∴02πα<<， ∴sin 0,cos 0αα>>， ∴sin cos 0αα+>，∴sin cos 2αα+====故选A ．【点睛】解答本题时注意灵活运用sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-间的关系，即知道其中的一个可求另外的两个，解题中容易出现的错误是忽视所求值的符号．12．A解析：A 【解析】【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得()f x 得解析式，再利用函数()y Asin ωx φ=+的图象变换规律，得出结论．【详解】解：根据函数()()f x Asin ωx φ=+ （其中A 0>，ω0>，πφ2<）的图象，可得A 1=，12π7ππ4ω123⋅=-，ω2∴=．再利用五点法作图可得π2φπ3⋅+=，求得πφ3=，()πf x sin 2x .3⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭为了得到()ππg x sin ωx sin 2x 66⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，只需将()f x 的图象上所有点向右平移π12个单位长度，即可，故选A ．【点睛】本题主要考查由函数()y Asin ωx φ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数()y Asin ωx φ=+的图象变换规律，属于基础题．13．D解析：D 【解析】【分析】根据向量的乘法运算展开,结合向量的数量积运算和夹角的有界性,即可求得最小值. 【详解】,,a b c 是单位向量()()a cbc ∴-⋅- 2·()b a a c c b =-+⋅+()01a b c =-+⋅+1,a b c =+1≥故选D 【点睛】本题考查了向量数量积的综合应用,向量夹角的应用,属于基础题.14．B解析：B 【解析】【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x 4π=-为f （x ）的零点，x 4π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f （x ）在（18π，536π）上单调，可得ω的最大值．【详解】 ∵x 4π=-为f （x ）的零点，x 4π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，∴2142n T π+⋅=，即21242n ππω+⋅=，（n ∈N ）即ω＝2n +1，（n ∈N ）即ω为正奇数，∵f （x ）在（18π，536π）上单调，则53618122T πππ-=≤，即T 26ππω=≥，解得：ω≤12，当ω＝11时，114π-+φ＝k π，k ∈Z ， ∵|φ|2π≤，∴φ4π=-，此时f （x ）在（18π，536π）不单调，不满足题意；当ω＝9时，94π-+φ＝k π，k ∈Z ， ∵|φ|2π≤，∴φ4π=，此时f （x ）在（18π，536π）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选B ．【点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是最小正周期的一半;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x =对称,则()0f x A =或()0f x A =-.15．A【解析】【分析】根据周期求ω，根据最值点坐标求ϕ 【详解】因为2=(),2263T T Tππππω--∴===, 因为63212x πππ-==-时1y =-，所以22()2()1223k k Z k k Z πππϕπϕπ-⨯-=-+∈∴=-∈因为||ϕπ<，所以3πϕ=，选A.【点睛】本题考查由图像求三角函数解析式，考查基本分析求解能力，属基础题.二、填空题16．【解析】分析：根据题中所给的函数的图像可以求得的值利用周期公式求出利用当时函数取得最大值1求出得到函数的解析式即可得结果详解：由题意可知所以当时取得最大值1所以结合解得所以函数的解析式是点睛：该题考解析：sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 【解析】分析：根据题中所给的函数的图像，可以求得,A T 的值，利用周期公式求出ω，利用当6x π=时函数取得最大值1，求出ϕ，得到函数的解析式，即可得结果.详解：由题意可知，111261,34A T πππ-===，所以2ω=，当6x π=时取得最大值1，所以sin(2)16πϕ⨯+=，结合2πϕ<，解得6π=ϕ，所以函数()f x 的解析式是()sin(2)6f x x π=+.点睛：该题考查的是有关利用图像求函数解析式的问题，在解题的过程中，需要明确解析式中的参数,A ω由最值和周期所决定，ϕ由特殊点所确定，最后求得结果.17．【解析】【分析】由夹角为利用平面向量数量积公式求得平方的值从而可得结果【详解】夹角为所以所以故答案为【分析】由1,2,,a b a b ==夹角为3π，利用平面向量数量积公式，求得a b +平方的值，从而可得结果. 【详解】1,2,,a b a b ==夹角为3π，所以2222a ba b a b +=++⋅142cos 3a b π=++152125272=+⨯⨯⨯=+=所以7a b +=，故答案为. .18．【解析】【分析】根据向量在向量方向上的投影公式计算即可【详解】依题意得因此向量在向量方向上的投影为【点睛】本题主要考查了向量在向量方向上的投影及其计算属于中档题解析：2-【解析】【分析】根据向量在向量方向上的投影公式计算即可. 【详解】依题意得·1,2a b b =-=，因此向量a 在向量b 方向上的投影为·22a b b=-. 【点睛】本题主要考查了向量在向量方向上的投影及其计算，属于中档题.19．【解析】【分析】本题可以利用极限的思想以及由特殊到一般的逻辑推理得到答案可讨论当点在上时特别地当点与点重合时有；当点与点重合时有；又利用点在三角形内部可得答案【详解】三角形内一点且向量当点在上时特别解析：()0,2【解析】【分析】本题可以利用极限的思想以及由特殊到一般的逻辑推理得到答案，可讨论当P 点在BC 上时，1x y +=，特别地，当点P 与点B 重合时有1x =，0y =；当点P 与点C 重合时有0x =，1y =；又利用点P 在三角形内部可得答案．【详解】三角形ABC 内一点，且向量AP xAB y AC =+，当P 点在BC 上时，1x y +=，特别地，当点P 与点B 重合时有1x =，0y =；当点P 与点C 重合时有0x =，1y =．但是因为P 在三角形ABC 内，01x y ∴<+<，01x <<，01y <<, 02x x y ∴<++<,即2y x +的取值范围是(0,2). 故答案为：(0,2)【点睛】本题考查向量的加法运算以及三角形法则，平面向量基本定理的应用，有限与无限的数学思想，考查向量与不等式等知识的综合处理能力．20．【解析】【分析】可求出根据与的夹角为锐角即可得出：且与不平行从而得出解出λ的范围即可【详解】：；∵与的夹角为锐角；∴且与不平行；∴；解得且λ≠0；∴实数λ的取值范围是：故答案为：【点睛】本题考查向量解析：()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】可求出()12a b λλλ+=++，，根据a 与a b λ+的夹角为锐角即可得出：()0a a b λ⋅+＞，且a 与a b λ+不平行，从而得出()()12202210λλλλ⎧+++⎪⎨+-+≠⎪⎩＞，解出λ的范围即可．【详解】：()12a b λλλ+=++，； ∵a 与a b λ+的夹角为锐角；∴()0a a b λ⋅+＞，且a 与a b λ+不平行；∴()()12202210λλλλ⎧+++⎪⎨+-+≠⎪⎩＞；解得53λ-＞，且λ≠0； ∴实数λ的取值范围是：()5003⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，．故答案为：()5003⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，．【点睛】本题考查向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，向量数量积的计算公式，以及平行向量的坐标关系．21．【解析】试题分析：由得所以解得所以的最小值为考点：向量的数量积运算及其性质【方法点晴】要求的最小值可以考虑建立关于的不等式或不等式组已知由结合向量数量积的运算律可得关于及的关系式根据向量数量积的定义解析：【解析】试题分析：由()(2)0a b a b +⋅-=得，2222()(2)2cos ,2a b a b a a b b a a b a b b +⋅-=-⋅-=-⋅〈〉- 21cos ,20b a b b =-〈〉-=，所以212cos ,b a b b-〈〉=，0,180a b ≤〈〉≤，21211b b-∴-≤≤，解得112b ≤≤，所以b 的最小值为．考点：向量的数量积运算及其性质．【方法点晴】要求b 的最小值，可以考虑建立关于b 的不等式或不等式组．已知1a =，由()(2)0a b a b +⋅-=结合向量数量积的运算律可得关于b 及a b ⋅的关系式, 根据向量数量积的定义，把向量a b ，的夹角转化为关于b 的表达式,再由向量夹角的有界性最终得到关于b 的不等式，解不等式即得b 的最小值．22．【解析】【分析】由可得利用向量的线性运算可得再求出和即可【详解】由题意则故答案为:【点睛】本题考查了平面向量的线性运算考查了向量数量积的计算考查学生的计算能力属于基础题解析：6-【解析】【分析】由2DC BD =可得13BD BC =,利用向量的线性运算可得()21133AD BC AB BD BC AB BC BC AB BC BC ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=⋅+ ⎪⎝⎭,再求出AB BC ⋅和2BC 即可.【详解】由题意,2DC BD =,则13BD BC =, 66cos6018AB BC BA BC ︒⋅=-⋅=-⨯=-,26636BC =⨯=,()211118366333AD BC AB BD BC AB BC BC AB BC BC ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=⋅+=-+⨯=- ⎪⎝⎭.故答案为:6-.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算,考查了向量数量积的计算,考查学生的计算能力,属于基础题.23．【解析】【分析】直接利用投影公式得到答案【详解】在方向上的投影为：故答案为：【点睛】本题考查了向量的投影意在考查学生对于投影概念的理解情况解析：25-【解析】【分析】直接利用投影公式得到答案. 【详解】(1,2)a =，(8,6)b =-，a 在b 方向上的投影为：8122105a b b⋅-==- 故答案为：25- 【点睛】本题考查了向量的投影，意在考查学生对于投影概念的理解情况.24．【解析】试题分析：答案为考点：同角三角函数的平方关系与商数关系解析：【解析】试题分析：，答案为．考点：同角三角函数的平方关系与商数关系25．6【解析】【分析】由题意可得焦点F （02）准线为y ＝﹣2由条件可得F 是三角形ABC 的重心可得2由抛物线的定义可得【详解】由题意可得p ＝4焦点F （02）准线为y ＝﹣2由于故F 是三角形ABC 的重心设AB解析：6 【解析】【分析】由题意可得焦点F （0，2），准线为 y ＝﹣2，由条件可得F 是三角形ABC 的重心，可得21233y y y ++=，由抛物线的定义可得结果．【详解】由题意可得 p ＝4，焦点F （0，2），准线为 y ＝﹣2，由于 0FA FB FC ++=，故F 是三角形ABC 的重心，设 A 、B 、C 的纵坐标分别为 y 1，y 2，y 3， ∴21233y y y ++=，∴y 1+y 2+y 3＝6．由抛物线的定义可得 FA FB FC ++=（y 1+2）+（y 2+2）+（y 3+2）＝12．故答案为12．【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，得到 y 1+y 2+y 3＝6，是解题的关键．三、解答题 26．（1）π；（2）2m ≤. 【解析】【分析】（1）利用二倍角正弦、余弦公式和两角和的正弦公式对函数()f x 进行化简，利用正弦函数的周期公式即可求出函数()f x 的最小正周期；（2）根据题意可知m 小于等于()f x 的最大值，结合正弦函数的定义域求出()f x 的最大值，即可知m 的取值范围. 【详解】（1）22()cos cos sin 2cos 2f x x x x x x x =+-=+122cos 22x x ⎫=+⎪⎪⎝⎭ 2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期T=π.（2）由题意可知，不等式()f x m 有解，即()max m f x ≤，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故当262x ππ+=，即6x π=时()f x 取得最大值，且最大值26f π⎛⎫=⎪⎝⎭. 从而可得2m ≤. 【点睛】对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.27．（1）()2,1；（2）证明见解析，直线方程为724250x y +-=. 【解析】【分析】（1）根据'a 的定义，利用向量数量积、模、数乘的坐标运算，计算出'a 的值. （2）设出a 的坐标，求得'a ，通过坐标变换的知识，结合a 的终点在直线3450x y ++=上列方程，化简后证得'a 的终点轨迹是一条直线并求出此直线的方程.【详解】（1）依题意，()()()()()222212'1,21,1a ba ab b ⋅⨯-+=-⋅=-⋅-()()()1,21,12,1=--=.（2）设(),a x y =，则()22'a b a a bb⋅=-⋅()()2,21,25x y x y +=-⋅⋅()2448,,5555x y x y x y ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭3443,5555x y x y ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭.令()''3443,,5555x y x y x y ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，即34554355x x y y x y⎧'=-⎪⎪⎨='⎪--⎪⎩，解得34554355x x y y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--'''⎩'⎪，由于(),a x y =的终点在直线3450x y ++=上，所以''''334544355550x y x y ⎛⎫--⎛⎫⋅++= -⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，化简得''724250x y +-=.所以位置向量'a 的终点轨迹是一条直线，且直线方程为724250x y +-=.【点睛】本小题主要考查平面向量数量积、模和数乘的坐标运算，考查坐标变换的知识，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.28．【解析】试题分析：因为02πα<<，所以42ππα<<，又1cos()43πα+=，所以sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由42cos πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 42πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭02πβ-<<，则0424πβπ<+<，所以42cos πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 2442cos βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 考点：三角恒等变换中的角度变换、诱导公式、两角和正弦公式的应用.【易错点晴】此题主要考查三角恒等变换中的角度变换、诱导公式、两角和正弦公式等方面知识的应用，属于中档题.在三角恒等变换中常常根据条件与问题之间的角度、三角函数名等关系，通过将角度进行适当的转变、三角函数名进行适当的转换来进行问题的解决，这样会往往使问题的解决过程显得方便快捷，但需要提醒的是对角度进行转变时，应该注意新的角度的范围对三角函数值的影响.29．（1（2）112-. 【解析】【分析】(1)利用三点的坐标求得AB 与AC ,再利用AB ACcos AB AC θ⋅=求解即可.(2)由题()0mAB BC AC +⋅=,代入向量坐标求解即可.【详解】（1）()()1115AB AC =-=，，，,且AB 与AC 的夹角为θ,∴132AB ACcos AB AC θ⋅===；（2）()24BC =，, ∴()24mAB BC m m +=-+，,且()15AC =，, ∵mAB BC +与AC 垂直,∴()()2540mAB BC AC m m +⋅=-++=,解得m 112=-．【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示方法与求角和数量积的公式等.属于基础题型. 30．（1）A =2）45- 【解析】【分析】(1)由题意利用()01f =结合函数的解析式即可确定A 的值；(2)由题意结合同角三角函数基本关系和两角和差正余弦公式可得cos α的值.【详解】（1）依题意得：()0142f Asin A π⎛⎫===⎪⎝⎭，A ∴=（2）由（1）得()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由()15f α=-可得：()145f παα⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，410sin πα⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭， α是第二象限角，222k k ππαππ∴+<<+， 3522444k k ππππαπ∴+<+<+，又04sin πα⎛⎫+=< ⎪⎝⎭， 4πα∴+是第三象限角，4cos πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭10=- 44cos cos ππαα⎡⎤⎛⎫∴=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 44cos cos ππα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 44sin sin ππα⎛⎫+ ⎪⎝⎭10210=-⨯- 425=-. 【点睛】本题主要考查三角函数的运算，两角和差正余弦公式的应用，同角三角函数基本关系的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。

广东高二下学期期中数学试题

广州市第六中学高二下学期期中数学考试题命题刘旭升审题李伟文时间：120分钟满分：150分一、选择题（共8题，每题5分）1.复数(2)z i i =+在复平面内的对应点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2.定积分1101dx x +⎰的值为（）A ．1 B.ln2C.122- D.11ln 222-3.某班一天上午安排语、数、外、体四门课，其中体育课不能排在第一、第四节，则不同排法的种数为（） A.24 B.22 C.20 D.12 4.已知14a b c ==则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a>b>cB ．c>a>bC ．c>b>aD ．b>c>a 5.曲线32y x =+上的任意一点P 处切线的斜率的取值范围是（）A．)+∞B. )+∞C. ()+∞D. [)+∞ 6. 已知数列{}n a 满足12a =，23a =，21||n n n a a a ++=-，则2009a ＝（） A ．1 B.2 C.3 D.0 7. 函数()ln f x x x =的大致图像为（） 8. ABCD-A 1B 1C 1D 1是单位正方体，黑白两只蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”.白蚂蚁爬行的路线是AA 1→A 1D 1，…，黑蚂蚁爬行的路线是AB →BB 1，…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须是异面直线（i ∈N *），设黑白蚂蚁都爬完2007段后各自停止在正方体的某个顶点处，则此时黑白蚂蚁的距离是（）AB ．1C ．0 DCDA 1二、填空题（共6题，30分）9.已知向量(,1,0),(1,2,3),a x b == 若a b ⊥，则x ＝_____________ 10.若复数1111i iz i i-+⋅=+-，则复数z= ___ 11.由曲线2y x =与2x y =所围成的曲边形的面积为________________12.在平面几何里，有“Rt △ABC 的直角边分别为a 、b ，斜边上的高为h ，则222111a b h +=”。

广东省广州市高二下学期期中联考数学试题(解析版)

高二下学期期中联考数学试题一、单选题1．已知P ，Q 为R 的两个非空真子集，若，则下列结论正确的是（）R Q ðP R ðA ．，B ．， x Q ∀∈x P ∈0R x P ∃∈ð0R x Q ∈ðC ．，D ．，0x Q ∃∉0x P ∈R x P ∀∈ðR x Q ∈ð【答案】B【分析】根据条件画出图，根据图形，判断选项.Venn 【详解】因为，所以，如图， R Q ðR P ðP Q对于选项A ：由题意知 P 是 Q 的真子集，故，，故不正确，∃∈x Q x P ∉对于选项B ：由是的真子集且，都不是空集知，，，故正确. R Q ðR P ðR Q ðR P ð0R x P ∃∈ð0R x Q ∈ð对于选项C ：由是的真子集知，，，故不正确，R Q ðR P ðx Q ∀∉x P ∉对于选项D ：Q 是的真子集，故，，故不正确，R P ðR x P ∃∈ðR x Q ∉ð故选：B2．在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（） 12,z z 0x y -=11i z =-12z z -=AB ．2C ．D ．4【答案】C【分析】根据对称性得到，从而计算出，求出模长.21i z =-+1222i z z -=-【详解】对应的点为，其中关于的对称点为，11i z =-()1,1-()1,1-0x y -=()1,1-故，21i z =-+故121i+1i 22i z z -=--=-==故选：C3．2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹.太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）距地面，近地点（长轴端点中离地面最近的点）距地面1S 2S ，地球的半径为，则该椭圆的短轴长为（）R AB ．CD ．【答案】D【分析】根据椭圆的远地点和近地点的距离可得，进而可求得，求得12,a c S R a c S R +=+-=+2b b ，可得答案.【详解】由题意得，()()2221212,,a c S R a c S R b a c S R S R +=+-=+∴=-=++故2b b =∴=故选：D.4．南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第15项为（）A ．196B ．197C ．198D ．199【答案】C【分析】根据二阶等差数列的定义求出数列的通项公式，再利用累加法计算即可得{}1n n a a +-. 15198a =【详解】设该数列为，则；{}n a 12342,3,6,11a a a a ====由二阶等差数列的定义可知， 2132431,3,5a a a a a a -=-=-=⋅⋅⋅，所以数列是以为首项，公差的等差数列，{}1n n a a +-211a a -=2d =即，所以121n n a a n +-=-21324311,3,521n n a a a a a a a a n +-=-=-=⋅⋅⋅-=-，将所有上式累加可得，所以；22112n a a n n +=+=+215142198a =+=即该数列的第15项为.15198a =故选：C5．已知圆锥的侧面积为，高为（）A ．B ．C ．D ．8π9π【答案】D【分析】由圆锥侧面积公式及勾股定理可得圆锥半径r 与母线l 长，求该圆锥的外接球体积即可.【详解】解：设圆锥的底面半径为r ，母线长为l，则， πrl ⎧=⎪=2,r l ==由题意知当球为圆锥的外接球时，体积最小，设外接球的半径为R ，则，解得222)2R R +=，所以外接球的体积为.R =3344ππ33R =⨯=故选：D. 6．已知函数的部分图象如图所示，其中.在已知的条()()sin f xA x ωϕ=+π0,0,02A ωϕ->><<21x x 件下，则下列选项中可以确定其值的量为（）A ．B ．C ．D ．ωϕφωsin A ϕ【答案】B 【分析】根据函数图象可知，是函数的两个零点，即可得，利用已知条件即可12,x x ()f x 21πx x ϕϕ-=-确定的值. ϕ【详解】根据图象可知，函数的图象是由向右平移个单位得到的； ()f x sin y A x ω=ϕω-由图可知，利用整体代换可得，12()()0f x f x ==120,πx x ωϕωϕ+=+=所以，若为已知，则可求得. 21πx x ϕϕ-=-21x x 21π1x x ϕ=-故选：B7．在直角坐标系xOy 中，已知点P 是圆O ：上一动点，若直线l ：上221x y +=230kx y k --+=存在点Q ，满足线段PQ 的中点也始终在圆O 上，则k 的取值范围是（）A ．B ． 12,05⎛⎫- ⎪⎝⎭()12,0,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ C ． D ． 12,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[)12,0,5⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ 【答案】D【分析】由题意分析可知，只要O 的圆心到直线l 的距离不超过3，再结合点到直线的距离公式即可求得k 的取值范围.【详解】由题意分析可知，直线l ：过定点，设的中点为， 230kx y k --+=()2,3M PQ A 因为圆O ：的圆心，半径为，221x y +=()0,0O 1r =若满足线段PQ 的中点点在圆上，则，A 2224PQ PA r =≤⨯=又，则，即，2PQ AQ =24AQ ≤2AQ ≤所以，3OQ OA AQ ≤+≤设圆心O 到直线l 的距离为，则，d 3d OQ ≤≤，解得或， 0k ≥125k ≤-故． [)12,0,5k ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦ 故选：D..8．设A ，B 是半径为3的球体O 表面上两定点，且，球体O 表面上动点P 满足60AOB ∠=︒，则点P 的轨迹长度为（）2PA PB =A B C D 【答案】D【分析】建立直角坐标系，根据确定轨迹为圆，转化到空间得到轨迹为两球的交线，计2PA PB =，对应圆的半径为，再计算周长得到答案. 1r ==【详解】以所在的平面建立直角坐标系，为轴，的垂直平分线为轴，AOB AB x AB y ，则，，设，， 3AB =3,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭3,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭(),P x y 2PA PB =则，整理得到， 2222334422x y x y ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22542x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭故轨迹是以为圆心，半径的圆， P 5,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭2r =转化到空间中：当绕为轴旋转一周时，不变，依然满足，P AB ,PA PB 2PA PB =故空间中的轨迹为以为球心，半径为的球， P C 2r =同时在球上，故在两球的交线上，为圆.P O P，==为直角三角形，对应圆的半径为， OCP △1r ==周长为. 12π2πr ==故选：D二、多选题9．某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：kg ）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（）A ．频率分布直方图中a 的值为0.07B ．这100名学生中体重低于60kg 的人数为60C ．据此可以估计该校学生体重的第78百分位数约为62D ．据此可以估计该校学生体重的平均数约为62.5【答案】AC【分析】运用频率分布直方图中所有频率之和为1及频数、百分位数、平均数计算公式计算即可.【详解】对于A 项，因为，解得：，故A 项正确； 5(0.010.060.040.02)1a ⨯++++=0.07a =对于B 项，人，故B 项错误；(0.010.070.06)510070++⨯⨯=对于C 项，因为，，0.0150.0750.0650.7⨯+⨯+⨯=0.0150.0750.0650.0450.9⨯+⨯+⨯+⨯=，所以第78百分位数位于之间，0.70.780.9<<[60,65)设第78百分位数为x ，则，解得：，故C 项0.0150.0750.065(60)0.040.78x ⨯+⨯+⨯+-⨯=62x =正确；对于D 项，因为，0.01547.50.07552.50.06557.50.04562.50.02567.557.25⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=即：估计该校学生体重的平均数约为，故D 项错误.57.25故选：AC.10．已知抛物线C ：的准线为，直线与C 相交于A 、B 两点，M 为AB 的中点，22y x =l x my n =+则（）A ．当时，以AB 为直径的圆与相交 12n =l B ．当时，以AB 为直径的圆经过原点O2n =C ．当时，点M 到的距离的最小值为2AB 4=l D ．当时，点M 到的距离无最小值1AB =l 【答案】BC【分析】将直线代入，结合韦达定理求得坐标、点到准线的距离及x my n =+2:2C y x =M M l M d．当时，由可判断A ；当时，由可判断B ；当时，得AB 12n =12M AB d =2n =0OA OB ⋅= AB 4=的关系式，代入表达式，利用基本不等式可判断C ；当时，得的关系式，代入,n m M d 1AB =,n m 表达式，利用对勾函数的性质可判断D ．M d 【详解】抛物线，准线方程是， 2:2C y x =l 12x =-直线代入，可得，，x my n =+2:2C y x =2220y my n --=2480m n ∆=+>设，则，()1122(),,,A x y B x y 12122,2y y m y y n +==-，()()()2121212222x x my n my n m y y n m n =+++=+=+++，()()()22212121212x x my n my n m y y mn y y n n =++=+++=设，则， (,)M M M x y 21212,22M M x x y y x m n y m ++==+==点到准线的距离， M l 21122M M d x m n =+=++AB ==当时，，点到准线的距离，则以AB 为直径12n =2112AB m ==+M l 21M d m =+的圆与相切，故A 错误；l 当时，，则，则以AB 为直径的圆经过原点O ，故2n =2121220OA OB x x y y n n ⋅=+=-= OA OB ⊥B 正确；当，得， AB 4=4=222112n m m =-+则，当且仅当时等号成立，故C 正确； 2221212212M m d m n m +=++=+≥=+1m =±当，得， 1AB =1=22118(1)2n m m =-+所以，令， 22211128(1)2M m d m n m +=++=++21,1m t t +=≥则，由对勾函数的性质得，当时，单调递增， 111()8224M t d t t t=+=+1t ≥M d 故当时，取最小值，故D 错误． 1t =M d 58故选：BC ．11．若正实数，满足，则下列不等式中可能成立的是（） x y ()1e1ln x x y y -=+A ． B ．1x y <<1y x <<C ．D ． 1x y <<1y x <<【答案】AC【分析】依题意可得，令，，利用导数说明函数的单()()1ln 11e 1ln e y x x y +--=+()1e x f x x -=()0,x ∈+∞调性，即可得到，再令，利用导数说明，即1ln x y =+()ln 1g x x x =+-()ln 10g x x x =+-≤，从而得到，当且仅当时取等号，即可判断.ln 1x x +≤x y ≤1x y ==【详解】解：因为，所以，()1e 1ln x x y y -=+()()1ln 11e 1ln e y x x y +--=+因为，所以，则，0x >1e 0x x ->1ln 0y +>令，，则，()1e x f x x -=()0,x ∈+∞()()101e x f x x -'+>=所以在上单调递增，()1e x f x x -=()0,∞+由，可得，()()1ln f x f y =+1ln x y =+令，则，所以当时，当时， ()ln 1g x x x =+-()111x g x x x-'=-=01x <<()0g x '>1x >()0g x '<所以在上单调递增，在上单调递减，()g x ()0,1()1,+∞所以，则，即当且仅当时取等号， ()()max 10g x g ==()ln 10g x x x =+-≤ln 1x x +≤1x =即当且仅当时取等号，1ln y y +≤1y =又，所以，当且仅当时取等号，1ln x y =+x y ≤1x y ==当时或，1y ≠1x y <<1x y <<结合与的图象也可得到ln 1y x =+y x =所以或.1x y <<1x y <<故选：AC12．1979年,李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题:“5只猴子分一堆桃子,怎么也不能分成5等份,只好先去睡觉,准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来,先吃掉1个桃子,然后将其分成5等份,藏起自己的一份就去睡觉了;第2只猴子又爬起来,吃掉1个桃子后,也将桃子分成5等份,藏起自己的一份睡觉去了;以后的3只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子?最后至少剩下多少个桃子?”.下列说法正确的是( )A ．若第n 只猴子分得个桃子(不含吃的),则n b ()15412,3,4,5n n b b n -=-=B ．若第n 只猴子连吃带分共得到个桃子,则为等比数列n a {}()1,2,3,4,5n a n =C ．若最初有个桃子,则第只猴子分得个桃子(不含吃的)31215256D ．若最初有个桃子,则必有的倍数k 4k +55【答案】ABD【分析】设最初有个桃子，猴子每次分剩下的桃子依次为，则1c 23456,,,,c c c c c ,若第n 只猴子分得个桃子(不含吃的),则()()()11114111,255n n n n c c c c n ---=---=-≥n b ,根据与关系即可判断A 的正误;由A 构造等比数列即可()()()11111,1255n n n n b c b c n +-=-=-≥n c 1n c +判断B 的正误;根据B 求出数列的通项公式,将代入求解即可判断C;根据题意,{}n b 13121c =,又为等比数列,判断D 的正误.1234554a a a a a b k +++++={}()1,2,3,4,5n a n =【详解】设最初有个桃子,猴子每次分剩下的桃子依次为,则1c 23456,,,,c c c c c , ()()()11114111,255n n n n c c c c n ---=---=-≥若第n 只猴子分得个桃子(不含吃的),则n b , ()()()11111,1255n n n n b c b c n +-=-=-≥所以, ()()()11411411512555n n n n c b b c n -+---=-==≥即,故A 正确;()15412,3,4,5n n b b n -=-=由A ，,()15412,3,4,5n n b b n -=-=则,()()15141n n b b -+=+即是等比数列,{}1n b +()1,2,3,4,5n =若第n 只猴子连吃带分共得到个桃子,则,n a 1n n a b =+所以是以为公比的等比数列,故B 正确. {}()1,2,3,4,5n a n =45由B 知,是等比数列,{}1n b +()1,2,3,4,5n =所以, 1144155n n c b -+⎛⎫⎛⎫+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即,1144155n n c b -+⎛⎫⎛⎫=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若最初有个桃子,即,312113121c =所以,故C 错误; 45312144125555b +⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭根据题意:, ()123455123455441a a a a a b a a a a a a k +++++=+++++-=因为以为公比的等比数列, {}()1,2,3,4,5n a n =45所以, ()5512345555144144514a a a a a a a a k ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+++++-=+-=-化简得, 554454a k +=⋅因为,且为正整数, 41554a a ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭1a 所以, 54N 4a *∈即必有的倍数,故D 正确.4k +55故选:ABD.三、填空题13．已知向量与共线，则__________.()()1,2,3,,a bx a == a b + a b -=r r 【答案】【分析】运用平面向量共线及向量的模的坐标计算公式求解即可.【详解】由题意知，(4,2)a b x +=+ 又因为，所以，所以， //()a a b + 1(2)24x ⨯+=⨯6x =所以，所以，(3,6)b = (2,4)a b -=--所以||a b -==故答案为：14．安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为_________. 【答案】625【分析】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人，根据排列组合得出各自有多少种，再得出甲，乙到同一家企业实习的情况有多少种，即可计算得出答案. 【详解】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人，当分为3,1,1人时，有种实习方案，3353C A 60=当分为2,2,1人时，有种实习方案， 22353322C C A 90A ⋅=所以共有种实习方案，6090150+=其中甲、乙到同一家企业实习的情况有种，13233333C A C A 36+=故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为， 36615025=故答案为：62515．已知函数有两个极值点与，若，则实数a ＝()1e e x xf x ax -=--1x 2x ()()124f x f x +=-____________. 【答案】4【分析】由得，所以，根据()1e e 0x xf x a -'=+-=()2e e e 0x x a -+=121212e e ,e e e e x x x x x x a ++=⋅==解方程即可求出结果．()()124f x f x +=-【详解】因为函数有两个极值点与 ()1e e x xf x ax -=--1x 2x 由，则有两根与()1e e 0x xf x a -'=+-=()2e e e 0x x a -+=1x 2x 所以，得 121212e e ,e e e e x x x x x x a ++=⋅==121x x =+因为，()()124f x f x +=-所以，又()()()12121112e e e e 4x x x xa x x --+-+-+=-112211e e ,e e x x x x a a --=-=-则，()()12122e e 2224x xa a x x a a a +--+=--=-所以 4a =故答案为：4四、双空题16．已知正四棱锥的所有棱长都为1，点在侧棱上，过点且垂直于的平面截该S ABCD -E SC E SC 棱锥，得到截面多边形，则的边数至多为__________，的面积的最大值为__________.ΓΓΓ【答案】5【分析】空1，数形结合，作平面与平面平行，即可解决；空2，令，得BDF SESFλ=，，得，,EP SP λ==1,1,1,PB BQ PQ NQ MP BD λλλλ=-=-=-===1cos 3DFB ∠=-，即可解决. sin DFB ∠=2EMP PMNQ S S S =+=A 【详解】取中点 SC ,,,F BF SC DF SC ⊥⊥平面，SC ∴⊥BDF 作平面与平面平行，如图至多为五边形.BDF令， SESFλ=， ,EP BF SP SB λλλ∴====，1,1,1,PB BQ PQ NQ MP BD λλλλ∴=-=-=-===所以，1cos 3DFB ∠==-所以sin DFB ∠=所以,212EMP S ==A 因为与的夹角为与夹角，而与垂直，MN NQ SA BD SA BD()1,PMNQ S λ∴=-所以，()221S λ-=当时，. 23λ=S 故答案为： 5五、解答题17．佛山新城文化中心是佛山地标性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以最简单的方块体作为核心要素，与佛山世纪莲体育中心的圆形莲花造型形成“方”“圆”呼应.坊塔是文化中心的标志性建筑、造型独特、类似一个个方体错位堆叠，总高度153.6米.坊塔塔楼由底部4个高度相同的方体组成塔基，支托上部5个方体，交错叠合成一个外形时尚的塔身结构.底部4个方体高度均为33.6米，中间第5个方体也为33.6米高，再往上2个方体均为24米高，最上面的两个方体均为19.2米高.(1)请根据坊塔方体的高度数据，结合所学数列知识，写出一个等差数列的通项公式，该数列以{}n a 33.6为首项，并使得24和19.2也是该数列的项；(2)佛山世纪莲体育中心上层屋盖外径为310米.根据你得到的等差数列，连续取用该数列前m （）项的值作为方体的高度，在保持最小方体高度为19.2米的情况下，采用新的堆叠规则，*m ∈N 自下而上依次为、、、……、（表示高度为的方体连续堆叠12a 23a 34a ()1m m a +()1m m a +m a 1m +层的总高度），请问新堆叠坊塔的高度是否超过310米？并说明理由. 【答案】(1)（答案不唯一，符合题意即可） 36 2.4n a n =-(2)可以，理由见详解【分析】（1）根据等差数列的通项公式运算求解，并检验24和19.2是否符合；（2）根据题意求，并与310比较大小，分析判断.7S 【详解】（1）由题意可知：，注意到， 133.6a =33.6249.6,2419.2 4.8-=-=取等差数列的公差，则， 2.4d =-()33.6 2.4136 2.4n a n n =--=-令，解得，即24为第5项； 36 2.424n a n =-=5n =令，解得，即19.2为第7项； 36 2.419.2n a n =-=7n =故符合题意. 36 2.4n a n =-（2）可以，理由如下：由（1）可知：， 12345677,33.6,31.2,28.8,26.4,24,21.6,19.2m a a a a a a a ≤=======设数列的前项和为， (){}1n n a +n n S ∵， 71237234...8856.8310S a a a a =++++=>故新堆叠坊塔的高度可以超过310米.18．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为等边三V ABCD -ABCD 2AB =60BAD ︒∠=VBC △角形．(1)求证：；BC VD ⊥(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．A BC V --60︒VA VBC【答案】(1)证明见解析【分析】（1）取中点，连接，，，依题意可得、，即可得到BC E BD DE VE DE BC ⊥VE BC ⊥平面，从而得证；BC ⊥DEV （2）取中点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. DE O O 【详解】（1）证明：取中点，连接，，， BC E BD DE VE 因为为菱形且， ABCD 60BAD ∠= 所以为等边三角形，故．BCD △DE BC ⊥又在等边三角形中，，，平面， VBC VE BC ⊥DE VE E ⋂=,DE VE ⊂DEV 所以平面， BC ⊥DEV 因为平面， VD ⊂DEV 所以；BC VD ⊥（2）由，，可得就是二面角的平面角，所以， VE BC ⊥DE BC ⊥DEV ∠A BC V --60DEV ∠=︒在中，DEV △VE DE ==DEV △由（1）可知，面底面，取中点，以为坐标原点，DEV ⊥ABCD DE O O 以，，所在的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，DAOE OV u u u r xy z O xyz -在中，，可得，，，， VOEA OE =32OV=2,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ⎛⎫- ⎪⎝⎭30,0,2V ⎛⎫ ⎪⎝⎭故，，， ()2,0,0CB = 31,2CV ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭32AV ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭设为平面的一个法向量，则有， (),,n x y z = VBC 20302x x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩令，得，y =1z =()n =设直线与平面所成角为，VA VBC θ则有sin cos ,n AV n AV n AV θ⋅====⋅ 故直线与平面. VA VBC 19．在中，角，，的对边分别是，，，满足 ABC A A B C a b c ()()a b c a b c ab +++-=(1)求角；C (2)若角的平分线交于点，且，求的最小值. C AB D 2CD =2a b +【答案】(1) 23π(2) 6+【分析】(1)结合已知条件，利用余弦定理即可求解；(2)利用正弦定理得到，，然后利用基本不等式即可求解. sin 21sin A a B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 21sin B b A ⎛⎫=+⎪⎝⎭【详解】（1）由可得：，()()a b c a b c ab +++-=222a b c ab +-=-由余弦定理知，，2221cos 222a b c ab C ab ab +==-=--又因此. ()0,πC ∈2π3C =（2）在中，由，得， ACD A πsin sin 3CD ADA =AD =在中，由，可得， BCD △πsin sin 3CD BD B=BD =所以 c AD BD =+=在中，由，得ABC A sin sin sin a b cA B C ==sin sin a b A B ==解得，， sin 21sin A a B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 21sin B b A ⎛⎫=+⎪⎝⎭所以， 2sin sin 223sin sin A B a b B A ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭因为，，sin 0A >sin 0B >所以， (223236a b ⎛+≥+=+=+ ⎝当且仅当时取等号， 222sin sin A B =因此的最小值为.2a b +6+20．为了调动大家积极学习党的二十大精神，某市举办了党史知识的竞赛．初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个单位派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格．某单位派出甲、乙两个小组参赛，在初赛中，若甲小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，乙小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，且各个小组所有轮次34453523比赛的结果互不影响.(1)若该单位获得决赛资格的小组个数为X ，求X 的数学期望；(2)已知甲、乙两个小组都获得了决赛资格，决赛以抢答题形式进行．假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率．若最后一道题被该单位的某小组抢到，且甲、乙两个小组抢到该题的可能性分别是45%，55%，该题如果被答对，计算恰好是甲小组答对的概率．【答案】(1)见解析 (2) 2749【分析】（1）先算出甲乙通过两轮制的初赛的概率，的取值有分三种情况解决. X 0,1,2(2)先算出一个题被答对的概率，然后再算出被甲答对的概率，然后再根据条件概率求解. 【详解】（1）设甲乙通过两轮制的初赛分别为事件则 12,A A()()12343322455535P A P A =⨯==⨯=由题意可得，的取值有 X 0,1,2()3260115525P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()323213111555525P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()32625525P X ==⨯=则的分布列为： XX0 12P 625 1325 625所以 ()61360121252525E X =⨯+⨯+⨯=（2）设甲乙两组对每个问题回答正确的概率分别为，两组在决赛中对每个问题回答正确的概12,B B 率恰好是各自获得决赛资格的概率，则一个题被甲小组抢到为事件，则，()()()()112232,55P B P A P B P A ====C ()945%20P C == ()1155%20P C ==设一个题答对为事件，则 D ()()()()1212P D P CB CB P CB P CB ==+ ()()()()129311249205205100P C P B P C P B =⋅+⋅=⨯+⨯=该题如果被答对，恰好是甲小组答对即为 ()()()()()11193272054949100P CB P C P B CB P D P D P D ⨯⋅⎛⎫==== ⎪⎝⎭21．已知双曲线E ：与直线l ：相交于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点．2214x y -=3y kx =-(1)当k 变化时，求点M 的轨迹方程；(2)若l 与双曲线E 的两条渐近线分别相交于C 、D 两点，问：是否存在实数k ，使得A 、B 是线段CD 的两个三等分点？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)，其中或 22412x y y =+3y ≤-13y >(2)存在，32k =±【分析】（1）设，，，联立直线l 与双曲线E 的方程，消去y ，得()11,A x y ()22,B x y ()00,M x y ，根据已知直线l 与双曲线E 相交于A 、B 两点，得且()221424400k xkx -+-=2160640k ∆=->，即且，由韦达定理，得，2140k -≠252k <214k ≠1222414k x x k -+=-则，，联立消去k ，得，再根据的范围得出的范围，即可021214k x k -=-02314y k-=-2200412x y y =+k y 得出答案；（2）设，，根据双曲线E 的渐近线方程与直线l 的方程联立即可得出()33,C x y ()44,D x y ，，则，即线段AB 的中点M 也是线段CD 的中点，若3621x k =-4621x k =+340212214x x k x k +-==-A ，B 为线段CD 的两个三等分点，则，结合弦长公式列式得，即可3CD AB =34123x x x x -=-化简代入得出，即可解出答案.21241k =-【详解】（1）设，，，()11,A x y ()22,B x y ()00,M x y 联立直线l 与双曲线E 的方程，得， 22344y kx x y =-⎧⎨-=⎩消去y ，得．()221424400k x kx -+-=由且，得且．2160640k ∆=->2140k -≠252k <214k ≠由韦达定理，得．1222414kx x k -+=-所以，． 120212214x x k x k +-==-20022123331414k y kx k k --=-=-=--由消去k ，得． 020********k x k y k -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩22000412x y y =+由且，得或．252k <214k ≠03y -≤013y >所以，点M 的轨迹方程为，其中或． 22412x y y =+3y ≤-13y >（2）双曲线E 的渐近线方程为．12y x =±设，，联立得，同理可得，()33,C x y ()44,D x y 123y xy kx ⎧=⎪⎨⎪=-⎩3621x k =-4621x k =+因为， 340212214xx kx k +-==-所以，线段AB 的中点M 也是线段CD 的中点．若A ，B 为线段CD 的两个三等分点，则． 3CD AB =，． 42x x =34123x x x x -=-而，． 1x-=3426612212141x x k k k -=-=-+-所以，， 21241k =-32k =±所以，存在实数，使得A 、B 是线段CD 的两个三等分点．32k =±22．已知关于的方程有两个不相等的正实根和，且. x ln 0ax x -=1x 2x 12x x <(1)求实数的取值范围；a (2)设为常数，当变化时，若有最小值，求常数的值.k a 12kx x e e k 【答案】(1)10,e ⎛⎫⎪⎝⎭(2) 2e 2e k =-【分析】（1）根据函数与方程的思想将方程有两个不相等的正实根转化成函数图象有两个交点，通过构造函数研究其单调性求出值域即可求得实数的取值范围；a （2）首先通过转化变形写出和的表达式，求出有最小值的等价方程，再通过构造函数1x 2x 12kx x e e 利用导函数研究其单调性，并证明方程有唯一解即可求得常数的值. k 【详解】（1）由且，可得. ln 0ax x -=0x >ln xa x=设，则，()()ln ,0,x F x x x=∈+∞()21ln xF x x -'=令，解得.()0F x '=e x =当时，，单调递增； 0e x <<()0F x '>()F x 当时，，单调递减； e x >()0F x '<()F x 函数的图象如下： ()ln xF x x=又趋向于0时趋向，趋向于时趋向0；x ()F x -∞x +∞()F x 要使图象与直线有两个交点，则，故a 的取值范围是.()F x y a =()0e a F <<10,e ⎛⎫⎪⎝⎭（2）因为，由（1）得，则， ()10F =121x e x <<<12221211ln ln ln ,ln x x x x a x x x x ===设，则，即，()211x t t x =>11ln ln ln t x t x +=12ln ln ln ,ln 11t t tx x t t ==--由有最小值，即有最小值.12kx x e e ()12ln ln ln 1k t t k x x t ++=-e设， ()()()()()()2ln 11ln 1,11k t t g k k t t k t g t t t t t -+++=>--+-'=-记， ()()()()()22111ln 1,1t t k k k k G t k t t k G t t t t t --+'=-++-+-=-++=由于，若，则，可得单调递增，1t >1k ≤()0G t '>()G t 此时，即单调递增，()()10G t G >=()()0,g t g t '>此时在没有最小值，不符合题意.()g t (1,)+∞若，时，，则在单调递减，1k >()1,t k ∈()0G t '<()G t ()1,k 时，，则在单调递增.(),t k ∈+∞()0G t '>()G t (),k +∞又，，且趋向于时趋向，故且唯一，使得()10G =()()10G k G =<t +∞()G t +∞0,()t k ∃∈+∞.()00G t =此时时，，即，此时在上单调递减；01t t <<()0G t <()0g t '<()g t ()01,t 时，，即，在上单调递增.0t t >()0G t >()'0g t >()g t ()0,t +∞所以时，有最小值，1k >()g t ()0g t 而，即，整理得 ()00g t '=()0001ln 10k k t t k t -++-+-=0000ln 11ln 1t t k t t -+-=+-此时，由题意知. ()()()20000000ln ln 11ln 1k t t t g t t t t +==-+-()0e g t =设 ()()()()()222e 20,e 1e 1x x x x x x x h x x h x x x ---⎡⎤++-⎣⎦=>'=+-+-设.()()()()2e 2,1e 1x x H x x x H x x --=++-'=-++设，故递增，.()()(),e 0x u x H x u x x -=''=>()H x '()()00H x H '>'=此时递增，有，()H x ()()00H x H >=令且，则，即在上递增，故，e 1x y x -=+-0x >1e 0x y -'=->y (0,)+∞0|0x y y =>=此时，故在递增，而知，的唯一解是.()0h x '>()h x (0,)+∞()1e h =()e h x =1x =故的唯一解是，即.()0e g t =0ln 1t =0e t =综上所述，.2e 2e k =-【点睛】方法点睛：对于隐零点问题的解题思路是对函数零点设而不求，以隐零点为分界点，说明导函数的正负，通过整体代换和过渡，从而得到原函数最值或极值的表达式，再结合题目条件解决问题.。

广东省广州市第六中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

广东省广州市第六中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设复数i z a =+（a ∈R ，i 为虚数单位），若()1i z +⋅为纯虚数，则复数z 的虚部为（） A ．1- B ．1 C ．2 D ．i -2．下列命题为真命题的是（）A ．0,e cos x x x ∀>>B ．22,a b a b ∀>>C ．0,cos e x x x ∃>≥D ．33,a b a b ∃><3．若直线:0l x =与圆22:(2)4C x y -+=交于,A B 两点，则AB =（） A ．1 BC ．2 D．4．平面向量a r ，b r 满足||2a =r ，3b =r ，4a b +=r r ，则b r 在a r 方向上的投影向量为（）Ar B ．14a r C ．38a r Dr 5．已知函数()π2cos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的最大值为（） A ．2π3B ．5π6C ．5π3D ．3π2 6．已知函数()2e 2x a g x x =-有两个不同极值点，则实数a 的取值范围是（） A ．()0,e B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．()e,+∞ D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 7．某款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸筒上，纸筒直径为20mm ，卫生纸厚度约为0.1mm ，若未使用时直径为80mm ，则这个卷筒卫生纸总长度大约为（）（参考数据π 3.14≈） A ．47m B ．51m C ．94m D ．102m 8．已知PA BCD -各面所围成的区域内部（不在表面上）一动点，记P 到面ABC ，面ACD ，面BCD ，面ABD 的距离分别为1h ，2h ，3h ，4h ，若341h h +=，则12182h h +的最小值为（）A ．2B ．252CD ．12+二、多选题9．新高考模式下，化学、生物等学科实施赋分制，即通过某种数学模型将原始分换算为标准分.某校在一次高三模拟考试中实施赋分制的方式，其中应用的换算模型为：(),y kx t k t =+∈R ，其中x 为原始分，y 为换算后的标准分.已知在本校2000名高三学生中某学科原始分最高得分为150分，最低得分为50分，经换算后最高分为150分，最低分为80分.则以下说法正确的是（）A ．若学生甲本学科考试换算后的标准分为115分，则其原始得分为100分B ．若在原始分中学生乙的得分为中位数，则换算后学生乙的分数仍为中位数C ．该校本学科高三全体学生得分的原始分与标准分的标准差相同D ．该校本学科高三全体学生得分的原始分的平均分低于标准分的平均分10．对于数列{}n a （N n a +∈），定义k b 为1a ，2a ，…，k a 中最大值（1,2,,k n =⋅⋅⋅）（N n +∈），把数列{}n b 称为数列{}n a 的“M 值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M 值数列”为2，2，3，7，7，则（）A ．若数列{}n a 是递减数列，则{}n b 为常数列B ．若数列{}n a 是递增数列，则有n n a b =C ．满足{}n b 为2，3，3，5，5的所有数列{}n a 的个数为8D ．若()1()2N n n a n -+=-∈，记n S 为{}n b 的前n 项和，则1001002(21)3S =- 11．已知双曲线C ：22214x y b-=（0b >）的左、右焦点分别为()10F c -，，()20F c ，，直线l ：y x =与双曲线C 的右支相交于A ，B 两点（点A 在第一象限），若1AF AB =，则（）A B ．18BF =C．347AB = D ．b =三、填空题12．已知π1cos 43x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5πsin 4x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若525S =，1560S =，则47a a +=.14．已知函数()2,0,2ln ,0,x x f x x x x⎧≤⎪=⎨>⎪⎩()224g x x x λ=+-，R λ∈，若关于x 的方程()()f g x λ=有6个解，则λ的取值范围为．四、解答题15．已知函数()ln f x a x x a =-+，R a ∈且0a ≠．(1)求曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程．(2)讨论函数()f x 的单调性．16．如图，P 为圆锥的顶点，AB 是底面圆O 的一条直径，M ，N 是底面圆弧»AB 的三等分点，E ，F 分别为PM ，PO 的中点．(1)证明：点B 在平面EFN 内．(2)若4AB PO ==，求平面PAM 与平面PAB 夹角的余弦值．17．已知数列{}n a ，{}n b ，满足22n n a -=，()*21k k b a k N -=∈，21k b -，2k b ，21k b +成等差数列．（1）证明：{}2k b 是等比数列；（2）数列{}n c 满足()()221281n n n n c n n b b -+=+-，记数列{}n c 的前n 项和为n S ，求n S ． 18．已知函数21()cos 22f x x x =+-，21()sin e 2bx g x x x =+-．（1）求函数()f x 的最小值；（2）若关于x 的不等式()()f x g x ≥在[0,)x ∈+∞恒成立，求实数b 的取值范围．19．已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的左右焦点分别为1F，2F，其长轴长为6，离心率为e且13e>，点D为E上一动点，12DF F△的面积的最大值为过()3,0P-的直线1l，2l分别与椭圆E交于A，B两点（异于点P），与直线8x=交于M，N两点，且M，N两点的纵坐标之和为11.过坐标原点O作直线AB的垂线，垂足为H.(1)求椭圆E的方程；(2)问：平面内是否存在定点Q，使得HQ为定值？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由.。

广东省广州六中高二数学下学期期中考试试卷(文)

广雅、执信、二中、六中四校联考 2008-2009学年下学期期中高二文科数学数学 (文科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回. 参考公式22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++第Ⅰ卷(选择题,共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1. 已知命题1sin ,:≤∈∀x R x p ，则（ * ）A ．1sin ,:≥∈∃⌝x R x pB ．1sin ,:≥∈∀⌝x R x pC ．1sin ,:>∈∃⌝x R x pD ．1sin ,:>∈∀⌝x R x p2. 若复数()21i a ⋅+（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数=a （ * ）A.1±B.1-C.0D.13. 若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ * ）A ．sin αB ．cos αC ．sin cos αα+D ．2sin α4. 双曲线2241x y -=的离心率为（ * ）ABC ．D ．12 5. 已知,a b R Î，则“33log log a b >”是 “11()()22a b<”的（ * ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 下列推理正确的是（ * ）A.把()a b c + 与 log ()a x y + 类比，则有：log ()log log a a a x y x y +=+ ．B.把()a b c + 与 sin()x y + 类比，则有：sin()sin sin x y x y +=+．C.把()n ab 与 ()n a b + 类比，则有：n n n ()x y x y +=+．D.把()a b c ++ 与 ()xy z 类比，则有：()()xy z x yz =．7. 已知动圆：()()2222cos sin x a y b a b θθ-+-=+，其中0,0a b >>，θ为参数，则圆心的轨迹是（ * ） A.直线B.圆C.抛物线的一部分D.椭圆8. 按如下程序框图，若输出结果为170，则判断框内应补充的条件为（ * ）A ．5i >B ．7i ≥C ．9i >D ．9i ≥ 9. 若点P 到直线1y =-的距离比它到点(03)，的距离小2，则点P 的轨迹方程为（ * ）A. 212x y = B.212y x = C.24x y =D.26x y =10. 设()11xf x x+=-，又记()()()()()11,,1,2,,k k f x f x f x f f x k +===则()2009=f x （ * ）A ．1x -B ．xC ．11x x -+D ．11xx+-第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．㈠必做题（11～13题） 11. 直线12()2x tt y t=+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为12. 对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：试根据上述数据计算k =________________比较这两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别. ________________（填“有”或者“无”）13. 观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有个小正方形，第n 个图中有个小正方形．㈡选做题（14—15题是选做题，考生只能从中选做一题）14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程是． 15. （坐标系与参数方程选做题）直线[)()cos ,0,sin x t t y t θθπθ=⎧∈⎨=⎩为参数与圆()42cos 2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数相切，则θ=_______________。

广州市第六中学数学高二下期中测试卷(含答案解析)

一、选择题1．(0分)[ID ：13609]已知向量a ，b 满足2a =，||1b =，且2b a +=，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（）A ．22B ．23C ．28D ．242．(0分)[ID ：13599]已知向量5168,77AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，68,77AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，D ，E 是线段BC 上两点，且15BD BC =，13CE CB =，则向量AD 与AE 的关系是（） A ．2AD AE = B ．12AD AE =C ．AD AE ⊥D ．AD 与AE 成60︒夹角3．(0分)[ID ：13598]已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如下图所示，则函数()f x 的解析式（）A ．1()2sin()26f x x π=+ B ．1()2sin()26f x x π=-C ．()2sin(2)6f x x π=-D ．()2sin(2)6f x x π=+4．(0分)[ID ：13618]已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能是（）A ．B ．C ．D ．5．(0分)[ID ：13596]已知函数()sin()3f x x π=-，要得到()cos g x x =的图象，只需将函数()y f x =的图象（） A ．向左平移56π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移56π个单位 6．(0分)[ID ：13595]若1sin 63a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．79-B ．13-C ．13D ．797．(0分)[ID ：13593]O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：,[0,)AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的( ) A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心8．(0分)[ID ：13592]已知向量a,b 满足a 1=，a b 1⋅=-，则a (2a b)⋅-= A ．4B ．3C ．2D ．09．(0分)[ID ：13590]在ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC λμ=+，则λμ+= A ．2 B ．2- C ．12 D ．12-10．(0分)[ID ：13586]若1tan 3θ= ，则cos2θ=( ) A ．45-B ．15-C ．15D ．4511．(0分)[ID ：13570]已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．89-B ．89C ．79D ．79-12．(0分)[ID ：13545]下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是 A ．11y x=- B ．cos y x =C ．ln(1)y x =+D ．2x y -=13．(0分)[ID ：13539]设,a b 是两个非零向量，则下列命题为真命题的是 A ．若a b a b a b +=-⊥，则 B ．若,a b a b a b ⊥+=-则C ．若a b a b +=-，则存在实数λ，使得a b λ=D ．若存在实数λ，使得a b λ=，则a b a b +=-14．(0分)[ID ：13537]已知()3,4a =，()2,1b =-且()()a xb a b +⊥-，则x 等于（） A ．23B ．232C ．233D ．23415．(0分)[ID ：13529]设O 是△ABC 所在平面上的一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则△ABC 的形状一定是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．以上都不对二、填空题16．(0分)[ID ：13717]已知O 为ABC ∆的外心，且6AB =，2AC =，则AO BC ⋅的值为______．17．(0分)[ID ：13711]命题“若sin 0sin sin αβγ++=，cos cos cos 0αβγ++=”，则cos()αβ-=______________．18．(0分)[ID ：13707]已知P 是ABC ∆内任一点，且满足AP x AB y AC =+，x 、y ∈R ，则2y x +的取值范围是______.19．(0分)[ID ：13702]在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为__________．20．(0分)[ID ：13695]在ABC ∆所在平面上有一点P ，满足2PA PB PC AB ++=，则APC ∆与ABC ∆的面积比为___________21．(0分)[ID ：13688]若A ，(cos ,sin )()B R θθθ∈，则AB 的最大值是________.22．(0分)[ID ：13674]设两个向量12,e e ，满足122,||1e e ==，12,e e 的夹角为60°,若向量122t 7e e +与向量12e te +的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为____________. 23．(0分)[ID ：13671]已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，若2AO AB AC =+，且AO AB =，则向量BA 在向量CB 上的投影为_____24．(0分)[ID ：13659]已知O 为ABC 的外心，3ABC π∠=，BO BA BC λμ=+，则λμ+的最大值为________25．(0分)[ID ：13631]若cos 2cos()3ααπ=+，则tan()6πα+=______________．三、解答题26．(0分)[ID ：13821]已知函数2()cos cos )sin f x x x x x =+-．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()f x m 有解，求实数m 的取值范围． 27．(0分)[ID ：13737]已知4a =，8,b a =与b 的夹角是120．（1）计算：a b +；（2）当k 为何值时，()()2a b ka b +⊥-． 28．(0分)[ID ：13736]设函数21()sin 2cos ()24f x x x π=-+．（I ）若x ∈R ，求()f x 的单调递增区间；（II ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()02Bf =，B 为锐角，1b =，2c =，求ABC ∆的面积．29．(0分)[ID ：13729]设向量(4cos ,sin )a x x =，(sin ,4sin )b x x =，函数()f x a b =⋅. （1）求函数()f x 的最大值及最小正周期；（2）若函数()y g x =的图象是由()y f x =的图象向左平移4π个单位长度得到，求()y g x =的单调递增区间.30．(0分)[ID ：13805]已知2a =，1b =，a 与b 的夹角为45︒，求使向量()2a bλ-与()3a b λ-的夹角是锐角的实数λ的取值范围.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．A3．D4．D5．A6．A7．A8．B9．D10．D11．C12．D13．C14．C15．A二、填空题16．【解析】【分析】取中点中点连接根据题意可得由向量的减法运算可知代入数量积进行运算即可求解【详解】如图取中点中点连接如下图所示：因为为的外心所以由外心定义可知而∴即故答案为：【点睛】本题考查了平面向量17．【解析】条件变为两式平方相加可推得结论18．【解析】【分析】本题可以利用极限的思想以及由特殊到一般的逻辑推理得到答案可讨论当点在上时特别地当点与点重合时有；当点与点重合时有；又利用点在三角形内部可得答案【详解】三角形内一点且向量当点在上时特别19．【解析】分析：如图：以A为原点以ABAD所在的直线为xy轴建立如图所示的坐标系先求出圆的标准方程再设点P的坐标为（cosθ+1sinθ+2）根据=λ+μ求出λμ根据三角函数的性质即可求出最值详解：如20．【解析】∴即即即∴并且方向一样|BC|=3|AP|如果AP和AC夹角为θ那么BC和AC的夹角也是θ所以21．【解析】【分析】计算得到答案【详解】当时等号成立即故答案为：【点睛】本题考查了两点间距离公式三角恒等变换意在考查学生的综合应用能力22．【解析】【分析】当两向量的夹角为钝角时则两向量的数量积为负数由此可得实数的取值范围但要注意排除两向量共线反向的情形【详解】∵的夹角为60°∴∵向量与向量的夹角为钝角∴(解得令则得解得∴当时向量与向量23．－1【解析】【分析】因为可知为直角三角形又可知为等边三角形故所求投影为＝【详解】因为所以为的中点即为直角三角形又可知为边长为2的等边三角形故向量在向量上的投影为＝故答案为：-1【点睛】本题主要考查向24．【解析】【分析】以外接圆圆心为半径建立坐标系设列方程用表示出代入圆的方程再利用不等式解出的范围即可【详解】设的外接圆半径为1以外接圆圆心为原点建立坐标系因为所以不妨设则因为所以解得因为在圆上所以即所25．【解析】【分析】由化为再利用两角和与差的余弦公式再同时除以即可【详解】因为所以所以故答案为【点睛】本题考查三角函数的条件求值主要题型有：条件直接代入所求式；所求式适当变形以利代入；由条件变形得到所求三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．D 解析：D 【解析】【分析】根据平方运算可求得12a b ⋅=，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=求得结果. 【详解】由题意可知：2222324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=，解得：12a b ⋅=1cos ,422a b a b a b⋅∴<>===本题正确选项：D 【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.2．A解析：A 【解析】【分析】先求出=6,8AD （），=3,4AE （），所以2AD AE =，即得解. 【详解】1141()5555AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+45168168,,(6,8)577577⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 111215168268(),,3333377377AE AC CE AC CB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+=+=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3,4)=，所以2AD AE =. 故选：A. 【点睛】本题主要考查基底法和向量的坐标运算，考查共线向量，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．D解析：D 【解析】【分析】根据函数的图象求出A ，ω 和φ的值即可．【详解】由函数的图象得524126A T πππ==⨯-=，（），即2 ππω=，则2ω=，则22f x sin x ϕ=+（）（），22266f sin ππϕ=⨯+=（）（），则13sinπϕ+=（），则 232k ππϕπ+=+，则26k k Z ，，πϕπ=+∈∵2πϕ<，∴当k=0时，6，πϕ=则函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故选D. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出A ，ω和φ的值是解决本题的关键．4．D解析：D 【解析】【分析】【详解】由题知，．若，，选项C 满足；若，，，其中，，函数周期，选项A 满足；若，，，其中，，函数周期，选项B 满足；若,则，且周期为．而选项D 不满足以上四种情况，故图象不可能是D ．故本题正确答案为D ．5．A解析：A 【解析】函数5()cos sin()sin ()236g x x x x πππ⎡⎤==+=-+⎢⎥⎣⎦，所以将函数()f x 的图象向左平移56π个单位时，可得到()cos g x x =的图象，选A. 6．A解析：A 【解析】【分析】根据诱导公式和余弦的倍角公式，化简得2cos(2)cos(2)cos[2()]336a a a πππ+=--=--2[12sin ()]6a π=---，即可求解．【详解】由题意，可得22cos(2)cos[(2)]cos(2)cos[2()]3336a a a a πππππ+=--+=--=-- 27[12sin ()]69a π=---=-，故选A ．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中合理配凑，以及准确利用诱导公式和余弦的倍角公式化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7．A解析：A 【解析】【分析】先根据||AB AB 、||AC AC 分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量，确定||||AB ACAB AC +的方向与BAC ∠的角平分线一致，可得到()||||AB ACOP OA AP AB AC λ-==+，可得答案．【详解】||AB AB 、||ACAC 分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量 ∴||||AB ACAB AC +的方向与BAC ∠的角平分线一致又()||||AB ACOP OA AB AC λ=++， ∴()||||AB ACOP OA AP AB AC λ-==+ ∴向量AP 的方向与BAC ∠的角平分线一致∴一定通过ABC ∆的内心故选：A ．【点睛】本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．8．B解析：B 【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为22(2)22||(1)213,a a b a a b a ⋅-=-⋅=--=+= 所以选B.点睛：向量加减乘： 221212(,),||,cos ,a b x x y y a a a b a b a b ±=±±=⋅=⋅9．D解析：D 【解析】【分析】由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量BD ，BM ，然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果. 【详解】如图所示，因为点D 在线段BC 上，所以存在t R ∈，使得()BD tBC t AC AB ==-，因为M 是线段AD 的中点，所以：()()()111112222BM BA BD AB t AC t AB t AB t AC =+=-+-=-++，又BM AB AC λμ=+，所以()112t λ=-+，12t μ=，所以12λμ+=-. 本题选择D 选项.【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．10．D解析：D 【解析】222222cos cos2cos cos sin sin sin θθθθθθθ-=-=+. 分子分母同时除以2cos θ，即得：2211149cos211519tan tan θθθ--===++. 故选D. 11．C解析：C【解析】【分析】根据二倍角公式求得cos 23πα⎛⎫+⎪⎝⎭，再利用诱导公式求得结果. 【详解】 1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 227cos 22cos 113699ππαα⎛⎫⎛⎫⇒+=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 7cos 2cos 2sin 236269ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 7sin 269πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭ 本题正确选项：C【点睛】本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，关键是能够利用诱导公式将所求角与已知角联系起来.12．D解析：D【解析】试题分析：11y x=-在区间()1,1-上为增函数；cos y x =在区间()1,1-上先增后减；()ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数；2x y -=在区间()1,1-上为减函数，选D. 考点：函数增减性13．C解析：C【解析】试题分析：对于A 若a b a b +=-，则2222a b ab a b a b ++=+-，得0ab a b =-≠，则a b ⊥不成立，所以A 不正确．对于B ，由A 解析可知，0ab a b =-≠，所以B 不正确．对于C a b a b +=-，则2222a b ab a b a b ++=+-，得0ab a b =-≠，则cos 1θ=-，则a 与b 反向，因此存在实数λ，使得a b λ=，所以C 正确．对于D ，若存在实数λ,使得a b λ=，则22,a b a a b a λλ⋅=-⋅=-，由于λ不能等于0，因此ab a b ≠-，则a b a b +≠-，所以D 不正确．故选C ．考点：平面向量的综合题14．C解析：C【解析】()()()()3,4,2,1,32,4,1,5a b a xb x x a b ==-∴+=+--=，又()()()(),0a xb a b a xb a b +⊥-∴+⋅-=，即322050x x ++-=，解得233x =，故选C. 15．A 解析：A【解析】【分析】根据已知条件，利用向量的线性运算以及数量积运算，证得AB AC =，由此证得ABC ∆是等腰三角形.【详解】由()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，得()()0CB OB OA OC OA ⎡⎤⋅-+-=⎣⎦，()()0AB AC AB AC -⋅+=，220ABAC -=，所以AB AC =，所以ABC ∆是等腰三角形.故选：A【点睛】本小题主要考查平面向量线性运算，考查平面向量数量积运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.二、填空题16．【解析】【分析】取中点中点连接根据题意可得由向量的减法运算可知代入数量积进行运算即可求解【详解】如图取中点中点连接如下图所示：因为为的外心所以由外心定义可知而∴即故答案为：【点睛】本题考查了平面向量解析：16-【解析】【分析】取AB 中点D ,AC 中点E ,连接OD 、OE ，根据题意可得⊥OD AB ，OE AC ⊥.由向量的减法运算可知BC AC AB =-，代入数量积进行运算即可求解.【详解】如图，取AB 中点D ，AC 中点E ，连接OD 、OE ，如下图所示：因为O 为ABC ∆的外心所以由外心定义可知⊥OD AB ，OE AC ⊥. 而6AB =，2AC =， ∴()AO BC AO AC AB ⋅=⋅- AO AC AO AB =⋅-⋅ cos cos AO OAE AC AO OAD AB =∠⋅-∠⋅221122AC AB =- 218=-16=-，即16AO BC ⋅=-，故答案为：16-.【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义及应用，向量的线性运算及三角形外心的定义，属于中档题.17．【解析】条件变为两式平方相加可推得结论解析：12- 【解析】条件变为sin sin sin αβγ+=-，cos cos cos αβγ+=-，两式平方相加可推得结论1cos()=2αβ--． 18．【解析】【分析】本题可以利用极限的思想以及由特殊到一般的逻辑推理得到答案可讨论当点在上时特别地当点与点重合时有；当点与点重合时有；又利用点在三角形内部可得答案【详解】三角形内一点且向量当点在上时特别解析：()0,2【解析】【分析】本题可以利用极限的思想以及由特殊到一般的逻辑推理得到答案，可讨论当P 点在BC 上时，1x y +=，特别地，当点P 与点B 重合时有1x =，0y =；当点P 与点C 重合时有0x =，1y =；又利用点P 在三角形内部可得答案．【详解】三角形ABC 内一点，且向量AP xAB y AC =+，当P 点在BC 上时，1x y +=，特别地，当点P 与点B 重合时有1x =，0y =；当点P 与点C 重合时有0x =，1y =．但是因为P 在三角形ABC 内，01x y ∴<+<，01x <<，01y <<,02x x y ∴<++<,即2y x +的取值范围是(0,2).故答案为：(0,2)【点睛】本题考查向量的加法运算以及三角形法则，平面向量基本定理的应用，有限与无限的数学思想，考查向量与不等式等知识的综合处理能力．19．【解析】分析：如图：以A 为原点以ABAD 所在的直线为xy 轴建立如图所示的坐标系先求出圆的标准方程再设点P 的坐标为（cosθ+1sinθ+2）根据=λ+μ求出λμ根据三角函数的性质即可求出最值详解：如解析：3【解析】分析：如图：以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P 25cosθ+1252），根据AP =λAB +μAD ，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．详解：如图：以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立如图所示的坐标系，则A （0，0），B （1，0），D （0，2），C （1，2），∵动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，设圆的半径为r ，∵BC=2，CD=1，∴2221+5∴12BC•CD=12BD•r ， ∴5∴圆的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=45，设点P 2525sinθ+2）， ∵AP =λAB +μAD ， ∴（55cosθ+1，255sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）， 25cosθ+1=λ25sinθ+2=2μ， ∴255（θ+φ）+2，其中tanφ=2， ∵﹣1≤sin （θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故答案为：3．点睛：本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点P 的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．20．【解析】∴即即即∴并且方向一样|BC|=3|AP|如果AP 和AC 夹角为θ那么BC 和AC 的夹角也是θ所以解析：13【解析】∴2PA PB PC AB ++=即()()0PA AB PB AB PC -+-+=2()PA PB PC PB PA ++=-，即30PA BC +=，即3PA CB =，∴//PA CB 并且方向一样，|BC |=3|AP |，如果AP 和AC 夹角为θ，那么BC 和AC 的夹角也是θ，12APC SAP AC sin θ=⋅， 12ABC S BC AC sin θ=⋅，所以1.3APC ABC S S =21．【解析】【分析】计算得到答案【详解】当时等号成立即故答案为：【点睛】本题考查了两点间距离公式三角恒等变换意在考查学生的综合应用能力解析：3【解析】【分析】计算24sin 594AB πθ⎛⎫=-+≤ ⎪⎝⎭，得到答案. 【详解】A ，(cos ,sin )()B R θθθ∈))222cos sin 54sin 594AB πθθθθθ⎛⎫=+=+-=-+≤ ⎪⎝⎭当()324k k Z θππ=+∈时等号成立，即3AB ≤ 故答案为：3【点睛】本题考查了两点间距离公式，三角恒等变换，意在考查学生的综合应用能力.22．【解析】【分析】当两向量的夹角为钝角时则两向量的数量积为负数由此可得实数的取值范围但要注意排除两向量共线反向的情形【详解】∵的夹角为60°∴∵向量与向量的夹角为钝角∴(解得令则得解得∴当时向量与向量解析：141(7,(,)222----. 【解析】【分析】当两向量的夹角为钝角时，则两向量的数量积为负数，由此可得实数t 的取值范围，但要注意排除两向量共线反向的情形．【详解】∵122,||1e e ==，12,e e 的夹角为60°, ∴1221601e e cos ︒⋅=⨯⨯=．∵向量122t 7e e +与向量12e te +的夹角为钝角，∴(()()2222121211222t 7)2t 2t 772t 1570e e e te e e e te t +⋅+=++⋅+=++<，解得172t -<<-．令()12122t 7(0)e e e te λλ+=+<，则得27t tλλ=⎧⎨=⎩，解得2t λ⎧=⎪⎨=-⎪⎩．∴当2t =-时，向量122t 7e e +与向量12e te +共线反向，不合题意． ∴实数t 的取值范围为17,222⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】解答本题时注意以下结论：①0a b a b ⊥⇔⋅=；②当,a b 的夹角为锐角时，可得0a b ⋅>，反之不成立（注意共线同向的情形）；③当,a b 的夹角为钝角时，可得0a b ⋅<，反之不成立（注意共线反向的情形）． 23．－1【解析】【分析】因为可知为直角三角形又可知为等边三角形故所求投影为＝【详解】因为所以为的中点即为直角三角形又可知为边长为2的等边三角形故向量在向量上的投影为＝故答案为：-1【点睛】本题主要考查向解析：－1【解析】【分析】因为2AO AB AC =+可知，ABC ∆为直角三角形，又AO AB =可知，ABO ∆为等边三角形，故所求投影为cos120BA ＝1-．【详解】因为2AOAB AC =+，所以O 为BC 的中点，即ABC ∆为直角三角形，又AO AB =可知，ABO ∆为边长为2的等边三角形，故向量BA 在向量CB 上的投影为cos120BA ＝1-．故答案为：-1．【点睛】本题主要考查向量中点公式的应用以及向量投影的求法．24．【解析】【分析】以外接圆圆心为半径建立坐标系设列方程用表示出代入圆的方程再利用不等式解出的范围即可【详解】设的外接圆半径为1以外接圆圆心为原点建立坐标系因为所以不妨设则因为所以解得因为在圆上所以即所解析：23【解析】【分析】以外接圆圆心为半径建立坐标系，设(),B x y ，列方程用、λμ表示出x y ，，代入圆的方程，再利用不等式解出λμ+的范围即可.【详解】设ABC 的外接圆半径为1，以外接圆圆心为原点建立坐标系，因为3ABC π∠=，所以23AOC π∠=，不妨设()A 1,0，1322C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，(),B x y ，则()1,BA x y =--，132BC x y ，⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭，()y BO x =--，，因为BO BA BC λμ=+，所以()11232x x x y y y λμλμ⎧⎛⎫--+=- ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪-+-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得121321x y λμλμλμ⎧-⎪=⎪+-⎪⎨⎪⎪=⎪+-⎩，因为B 在圆221x y +=上，所以221322111λμμλμλμ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪+= ⎪+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()22213122λμμλμ⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()22132λμλμλμ+-+⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，所以()()21210433λμλμ+-++≥，解得23λμ+≤或2λμ+≥，因为B 只能在优弧AC 上，所以23λμ+≤，故23【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及其意义，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.25．【解析】【分析】由化为再利用两角和与差的余弦公式再同时除以即可【详解】因为所以所以故答案为【点睛】本题考查三角函数的条件求值主要题型有：条件直接代入所求式；所求式适当变形以利代入；由条件变形得到所求解析：33. 【解析】【分析】由cos 2cos()3ααπ=+化为cos 2cos()6666ααππππ⎛⎫+-=++ ⎪⎝⎭,再利用两角和与差的余弦公式，再同时除以cos 6πα⎛⎫+⎪⎝⎭即可. 【详解】因为cos 2cos()3ααπ=+，所以cos()2cos()6666ππππαα+-=++，cos()cos 3sin()sin 6666ππππαα+=+，所以tan()63πα+=.故答案为3. 【点睛】本题考查三角函数的条件求值，主要题型有：条件直接代入所求式；所求式适当变形以利代入；由条件变形得到所求式；条件与所求都要变形，找到联系.恰当利用角的变换有时可简化运算.考查运算能力，属于中档题.三、解答题26．（1）π；（2）2m ≤.【解析】【分析】（1）利用二倍角正弦、余弦公式和两角和的正弦公式对函数()f x 进行化简，利用正弦函数的周期公式即可求出函数()f x 的最小正周期；（2）根据题意可知m 小于等于()f x 的最大值，结合正弦函数的定义域求出()f x 的最大值，即可知m 的取值范围.【详解】（1）22()cos cos sin 2cos 2f x x x x x x x =+-=+122cos 222x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭ 2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 所以函数()f x 的最小正周期T=π.（2）由题意可知，不等式()f x m 有解，即()max m f x ≤，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故当262x ππ+=，即6x π=时()f x 取得最大值，且最大值26f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. 从而可得2m ≤.【点睛】对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.27．（1）43a b +=（2）7k =-【解析】试题分析：（1）由题意，可考虑先计算2a b +，根据向量数量积公式运算其结果，再求得a b +的值；（2）由两个向量垂直时，其数量积为0，从而可求得k 的值. 试题解析：（1）由已知得：148162a b ⎛⎫⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭222248a b a a b b +=+⋅+= 43a b ∴+=（2）()()2a b ka b +⊥- ()()20a b ka b ∴+⋅-=()222120ka k a b b ∴+-⋅-=()1616212640k k ∴---⨯= 7k ∴=-28．(1) [,]()44k k k Z ππππ-+∈;(2) . 【解析】试题分析:(1)由二倍角公式和诱导公式化简函数()f x ,根据正弦函数的单调递增区间列出不等式,即可求出()f x 的单调递增区间;(2)由02B f ⎛⎫=⎪⎝⎭可求出角B ,再由余弦定理求出边a ,利用三角形的面积公式求出结果.试题解析:（I ）由题意知，()21cos 21112sin2cos sin2sin224222x f x x x x x ππ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭=-+=-=- ⎪⎝⎭；因为222,22k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以,44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()f x 的单调递增区间为(),44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. （II ）因为1sin 022B f B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以1sin 2B =，又B 为锐角，所以,cos 62B B π==. 1b =，2c =，22221cos 22a B a +-==⨯⨯a =因此111sin 22222ABC S ac B ∆==⨯=，所以ABC ∆的面积为2. 29．(1)()max 2f x =，T π=；(2)5.【解析】试题分析：（1）由向量点积的坐标运算得到()24cos sin 4sin f x a b x x x =⋅=+，再由二倍角和化一公式得到224x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；由周期的定义求周期即可（2）根据左加右减得到()224g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的单调性得到222242k x k πππππ-≤+≤+，进而求得单调区间．()24cos sin 4sin f x a b x x x =⋅=+ ()2sin221cos2x x =+-224x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（1）函数()f x 的最大值()max 2f x =，最小正周期22T ππ==.（2）依题意得：()244g x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 2224x π⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，由()222Z 242k x k k πππππ-≤+≤+∈，解得()3Z 88k x k k ππππ-≤≤+∈，故()y g x =的单调增区间为()3,Z 88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 30．(()6,6 【解析】【分析】根据题意便知()()230a b a b λλ-⋅->，从而根据条件进行数量积的运算便可得出2760λλ-+<，解该不等式，剔除夹角为零的情况，便可得出λ的取值范围.【详解】()2a b λ-与()3a b λ-夹角为锐角时，()()()()2222232634630a b a b a a b b λλλλλλλλ-⋅-=-+⋅+=-++>；解得16λ<<；当λ=()2a b λ-与()3a b λ-分别为()26a b -与)3b -同向，夹角为零，不合题意，舍去；∴实数λ的取值范围为(()6,6. 【点睛】考查数量积的运算及其计算公式，以及向量夹角的概念，解一元二次不等式，此题容易漏掉考虑向量同向的情况.。

广东省2022-2022年高二(下)数学期中试题(含答案)

yxy OyOyO高二(下)数学期中试题一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.已知复数z 满足i z ii4311+=⋅-+,则=||z ( ) A.62 B.7 C.25 D.52.已知复数z 对应的向量如图所示，则复数z+1所对应的向量正确的是( )3.高三某班上午有4节课,现从6名教师中安排4人各上一节课, 如果甲、乙两名教师不上第一节课,丙必须上最后一节课,则不同的安排方案种数为( ) A.18 B.24 C. 36 D.124.从1、2、3、4、5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数,当三个数字有2和3时, 且2需排在3的前面(不一定相邻),这样的三位数有( ) A.12个 B.54个 C.45个 D.51个5.已知93)72()(+⋅+=n n n f , ,N m ∈∃,对*N n ∈∀,都能使m 整除)(n f , 则最大的m 的值为( )A.36B.30C.26D.186.十六进制是逢16进1的计数制,采用数字9~0和字母F A ~共16个计数符号,这些符号与十进制的数字的对应关系如下表:十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 十进制123456789ABCDEF例如:用十六进制表示,1B D E =+则=⨯B A ( ) A.E 6 B.72 C.F 5 D.0B7.已知定义在R 上的函数f (x ),其导函数)(x f '的图象如图所示, 则下列叙述正确的是( )A.f (b )>f (c )>f (d )B.f (b )>f (a )>f (e )C.f (c )>f (b )>f (a )D.f (c )>f (e )>f (d )8.已知函数x x x x f ||ln )(2-=,则函数y ＝f (x )的大致图象为( )9.设b a <<0,且xxx f ++=11)(,则下列大小关系式成立的是( )A.)()()(2ab f f a f b a <<+ B.)()()(2ab f b f f b a <<+C.)()()(2a f f ab f ba <<+ D.)()()(2ab f f b f b a <<+10.函数)(x f 的定义域为R ,,2)1(=-f 对2)(,>'∈∀x f R x ,则f (x )>2x ＋4的解集为( ) A.(－1,1) B.(－1,＋∞) C.(－∞, －1) D.(－∞, ＋∞)11.过点A (2,4)作曲线2x y =的切线l , 则切线l 与曲线x y 82=所围成的图形的面积为( ) A.29 B.4 C.27D.312.已知定义在(0,)+∞上连续可导的函数()f x 满足'()()xf x f x x +=,且(1)1f =,则( )A.)(x f 是增函数B.)(x f 是减函数C.)(x f 有最大值1D.)(x f 有最小值1二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.设=a 0(sin cos )x x dx π-⎰,若8822108)1(x a x a x a a ax +⋅⋅⋅+++=-,则=+++821a a a .14.在多项式56)1()21(y x ++的展开式中,3xy 项的系数为 .15.某同学在一次研究性学习中发现,以下三个式子的值都等于同一个常数: ①sin 213°＋sin 273°＋sin 2133°; ②sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°; ③sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°;根据③的计算结果,则该出同学的发现可推广为: .16.622a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的中间项系数为20,右图阴影部分是由曲线2y x 和圆22xy a 及x 轴围成的封闭图形,则封闭图形的面积S= .三.解答题(本大题共6小题,共70分)17.四个小球放入编号为1、2、3、4四个盒子中,依下列条件各有多少种放法. (1)四个小球不同,四个盒子恰有一个空着; (2)四个小球相同,四个盒子恰有一个空着; (3)四个小球不同,允许有空盒; (4)四个小球相同,允许有空盒;18.数列{}n a 满足)(2*N n a n S n n ∈-=. (1)计算4321,,,a a a a ,并由此猜想通项公式n a ; (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.19.已知函数2()ln ,().f x x g x x == (1)求函数)()()(x g x f x h -=的最大值;(2)对于任意12,(0,)x x ∈+∞,且12x x <,是否存在实数m 使得122211()()()()mg x mg x x f x x f x --+恒为正数?若存在,求m 的取值范围,若不存在,说明理由.20.设曲线)0(213123≠++=a cx bx ax y 在点),(y x A 处的切线的斜率为)(x k , 且0)1(=-k , 对,R x ∈∀都有)1(21)(2+≤≤x x k x .(1)求)1(k 的值;(2)求函数)(x k 的表达式;(3)求证:.22)(1)2(1)1(1+>+++n n n k k k21.设0a >,函数2()|ln 1|f x x a x =+-.(1)当1a =时,求曲线()y f x =在1x =处的切线方程; (2)当[1,)x ∈+∞时,求函数()f x 的最小值.22.已知函数122)21ln()(+++=x ax x f .(1)若0>a ,且)(x f 在),0(+∞上单调递增,求实数a 的取值范围;(2)是否存在实数a ,使得函数)(x f 在),0(+∞上的最小值为1?若存在,求出实数a 的值;若不存在,请说明理由.高二(下)数学期中试题参考答案一.选择题:DACD AACA DBAD二.填空题: 13.0; 14.120; 15.23)120(sin )60(sin sin 222=++++oo ααα; 16. 146π-. 三.解答题17.答案:(1)144; (2)12; (3)44; (4)3537=c(1)首先,从4个盒子中选出一个盒子当作空盒,有14C 种选法,然后,再向其余3个盒子装球,由题意,3个盒子分别装2,1,1个球,因此,装球的装法为3322111224A A C C C ⨯⨯⨯, 所以总方法数为332211122414A A C C C C ⨯⨯⨯⨯=144种; (2)首先,从4个盒子中选出一个盒子当作空盒,有14C 种选法,然后,再将其余3个盒子装球,由题意,3个盒子分别装2,1,1个球,只要选一个盒子装2个球,另外的2个盒子一定是每个装一个球.有13C 种选法,所以,总方法数为1314C C ⨯=12种.18.解:(1),815,47,23,14321====a a a a 由此猜想1212--=n n n a (2)证明:①当n =1时,左边a 1=1, 右边=1,结论成立.②假设n =k (k ≥1且k ∈N *)时,结论成立,即1212--=k k k a ,则n =k +1时,a k +1=S k +1﹣S k =2(k +1)﹣a k +1﹣2k +a k =2+a k ﹣a k +1,1211+=+k k a a , kk k k k a 212121221111-=+-⋅=+-+ 所以,n =k +1时,结论成立.由①②知对一切*N n ∈猜想1212--=n n n a 成立.19.解:(1));12(ln 21)(max +-=x h(2)由题设知:122211()()()()0mg x mg x x f x x f x --+>恒成立，即111222()()()()mg x x f x mg x x f x +>+恒成立,设()()()x mg x xf x ϕ=+, 则有12()()x x ϕϕ>恒成立,即()()()x mg x xf x ϕ=+在(0,)+∞为减函数;∴'()'()()'()2ln 10x mg x f x xf x mx x ϕ=++=++≤在(0,)+∞恒成立,∴ln 12x m x +≤-在(0,)+∞恒成立, 设ln 1()2x u x x +=-,得2ln '()2xu x x=, ∴当(0,1)x ∈时'()0u x <，当(1,)x ∈+∞时'()0u x >; ∴()u x 在(0,1)上为减函数,在(1,)+∞上为增函数;得min 1[()](1)2u x u ==-, 所以,12m ≤-20.设曲线)0(213123≠++=a cx bx ax y 在点),(y x A 处的切线的斜率为)(x k , 且0)1(=-k , 对,R x ∈∀都有)1(21)(2+≤≤x x k x .(1)求)1(k 的值; (2)求函数)(x k 的表达式;(3)求证:.22)(1)2(1)1(1+>+++n n n k k k 20.解:(1) 对,R x ∈∀都有)1(21)(2+≤≤x x k x ,令1=x ,则1)1(1≤≤k , 所以1)1(=k ;(2),)(2c bx ax x k ++=,2121,1)1(0)1(⎪⎩⎪⎨⎧==+∴⎩⎨⎧=++==+-=-∴b c a c b a k c b a k 因为,对,R x ∈∀都有)(x k x ≤ 所以0)1()(2≥+-+=-c x b ax x x k 恒成立,,04)1(2≤--=∆∴ac b.41,0)212(4124)21(44122==∴≤-=+-=--=∆∴c a a a a a a所以,;)1(41)(2+=x x k (3)方法一:数学归纳法; 证明:①当1=n 时,左,1=右,32=成立; ②假设m n =时成立,即.22)(1)2(1)1(1+>+++m m m k k k 则1+=m n 时,222)2()22(2)2(422)1(1)(1)2(1)1(1+++=+++>+++++m m m m m m m k m k k k ,3)1(2++>m m(0)3()2(43)1(2)2()22(2222>++=++-+++m m m m m m m ) 所以, 1+=m n 成立.由①②知,对一切*N n ∈不等式成立.方法二:放缩法:)2111(4)2)(1(4)1(4)(12+-+=++>+=n n n n n n k, .22)2121(4)(1)2(1)1(1+=+->+++∴n n n n k k k 所以,.22)(1)2(1)1(1+>+++n n n k k k 21.设0a >,函数2()|ln 1|f x x a x =+-.(1)当1a =时,求曲线()y f x =在1x =处的切线方程; (2)当[1,)x ∈+∞时,求函数()f x 的最小值.21(1)当a ＝1时.f (x )＝x 2＋|ln x －1|. 当0<x <e 时,f (x )＝x 2－ln x ＋1,f '(x )＝2x －1x .令x ＝1得f (1)＝2,f '(1)＝1,所以切点为(1, 2),切线的斜率为1. 所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为x －y ＋1＝0.(2)⎪⎩⎪⎨⎧<≤-≥+='∴⎩⎨⎧<≤+-≥-+=)1(2)(2)(,)1(ln )(ln )(22e x x a x e x x a x xf e x a x a x e x a x a x x f①当a ≥2e 2时，f (x )图象如图(a ); ②当2<a <2e 2时, f (x )图象如图(b );③当0<a ≤2时，f (x )图象如图(c );所以函数)(x f y =的最小值为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-≤<+=)2()22(2ln 22320(1222mine a ee a aa a a ay ）. 22.已知函数122)21ln()(+++=x ax x f .(1)若0>a ,且)(x f 在),0(+∞上单调递增,求实数a 的取值范围;(2)是否存在实数a ,使得函数)(x f 在),0(+∞上的最小值为1?若存在,求出实数a 的值;22.(1)22224824()21(21)(21)(21)a ax a f x ax x ax x +-'=-=++++, 由已知()0f x '≥在),0(+∞∈x 上恒成立,即=)(x g 04282≥-+a ax 恒成立,分离参数得142+≥x a ,214011422<+<⇒>+x x , 所以,正实数a 的取值范围为[2,)+∞.解法二: =)(x g 04282≥-+a ax 在),0(+∞∈x 上恒成立, ,0>∴a 又)(x g 的对称轴为0=x ,∴,042)0(≥-=a g 所以,正实数a 的取值范围为[2,)+∞.解法三:(分离变量法) 0)12(4122)(2≥+-+='x ax a x f , 4)12(2122+≥+∴x a ax , 41212+≤∴x a 恒成立, ,4121≤∴a 所以,.2≥a22.已知函数122)21ln()(+++=x ax x f .(1)若0>a ,且)(x f 在),0(+∞上单调递增,求实数a 的取值范围;(2)是否存在实数a ,使得函数)(x f 在),0(+∞上的最小值为1?若存在,求出实数a 的值;若不存在,请说明理由.(2)由(1)知,若函数)(x f 在),0(∞+上的最小值为1,则,20<<a)(x f 的减区间为)42,0(aa -,增区间为),42(+∞-a a ;故114222)2142ln()42()(min =+-++-=-=aaa a a a a f x f ，整理:2212ln 022a a a a a a -+---=-+,02121212ln 222=-+---+-aa a a a a ,①设]1,21(2122∈+-=a a t ,则①式即为011ln =--t t ,构造11ln )(--=t t t g , 则等价于0)(=t g ,由于t y ln =为增函数,11-=ty 为减函数,故11ln )(--=t t t g 为增函数,观察知0)1(=g ,故0)(=t g 等价于1=t ,与之对应的1=a . 综上,符合条件的实数a 是存在的,且1=a .。

广东省广州市数学高二下学期理数期中考试试卷

广东省广州市数学高二下学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）复数z=+ai（a∈R且a≠0）对应的点在复平面内位于（）A . 第一、二象限B . 第一、三象限C . 第二、四象限D . 第三、四象限2. （2分） (2016高二下·马山期末) 已知点A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C为线段AB上一点，且3||=| |，则点C的坐标是（）A .B .C .D .3. （2分） (2020高二下·张家口期中) 设，表示不超过的最大整数.如，，.若存在实数t，使得，，...，同时成立，则正整数n的最大值是（）A . 3B . 4C . 5D . 64. （2分） (2015高二下·伊宁期中) 已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°5. （2分） (2018高二下·黑龙江期中) 用反证法证明命题：“若，，能被整除，那么，中至少有一个能被整除”时，假设应为（）．A . ，都不能被整除B . ，都能被整除C . ，不都能被整除D . 不能被整除6. （2分）在用数学归纳法证明时，在验证当n=1时，等式左边为（）A . 1B . 1+aC . 1+a+a2D . 1+a+a2+a37. （2分）如图，在矩形OABC内：记抛物线与直线围成的区域为M（图中阴影部分）．随机往矩形OABC内投一点P，则点P落在区域M内的概率是（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高三上·赣州期中) 已知函数在上有极值点，则的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高三上·禅城月考) 西安市为了缓解交通压力，实行机动车限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末（周六和周日）不限行某公司有，，，，五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶.已知车周四限行，车昨天限行，从今天算起，，两车连续四天都能上路行驶，车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是（）A . 今天是周四B . 今天是周六C . 车周三限行D . 车周五限行10. （2分）(2019·陆良模拟) 已知关于的方程有2个不相等的实数根，则的取值范围是（）.A .B .C .D .11. （2分） (2019高二下·牡丹江期末) 设函数满足则时，（）A . 有极大值，无极小值B . 有极小值，无极大值C . 既有极大值又有极小值D . 既无极大值也无极小值12. （2分） (2019高三上·桂林月考) 已知函数，若 ,且，则的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2017高二下·邯郸期末) 复数在复平面内对应的点位于第________象限．14. （1分） (2017高二下·武汉期中) 求曲线y= ，y=2﹣x，y=﹣ x所围成图形的面积为________．15. （1分） (2019高二上·大庆月考) 如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，M是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是________.16. （2分） (2019高二下·温州期末) 设函数，则在点处的切线方程为________，函数的最大值为________.三、解答题 (共6题；共60分)17. （15分）已知函数 f（ x）=x 3﹣bx 2+2cx的导函数的图象关于直线 x=2对称．（1）求 b的值；（2）若函数 f（ x）无极值，求 c的取值范围；（3）若 f（ x）在 x=t处取得极小值，求此极小值为 g（ t）的取值范围．18. （5分）(2019·通州模拟) 如图，在四棱柱中，侧棱，，，，点为线段上的点，且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）判断棱上是否存在点，使得直线平面，若存在，求线段的长；若不存在，说明理由．19. （10分） (2017高三上·山东开学考) 已知函数f（x）=ax（lnx﹣1）（a≠0）．（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）当a＞0时，设函数g（x）= x3﹣f（x），函数h（x）=g′（x），①若h（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；②证明：ln（1×2×3×…×n）2e＜12+22+32+…+n2（n∈N*）．20. （15分） (2018高三上·北京期中) 如图（1）在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝2，点E在线段AB上，且BE ＝1，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCDE ，如图（2）．（1）求证：CE⊥平面A1DE；（2）求证：A1D⊥A1C；（3）线段A1C上是否存在一点F ，使得BF∥平面A1DE？说明理由．21. （5分） (2015高二下·广安期中) 已知函数f（x）=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c﹣16．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若f（x）有极大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．22. （10分） (2020高二下·吉林月考) 已知复数，若存在实数，使成立．（1）求证：定值；（2）若，求的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、答案：17-3、考点：解析：考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、。

广东省广州市高二下学期数学期中考试试卷

广东省广州市高二下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二下·西宁期末) 已知y关于x的回归直线方程为 =0.82x+1.27，且x,y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（）x0123y0.8m 3.1 4.3A . 变量x,y之间呈正相关关系B . 可以预测当x=5时, =5.37C . m=2D . 由表格数据可知,该回归直线必过点( , )2. （2分）设随机变量的分布列为，，则等于（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高一下·龙岩期末) 执行如下程序框图，如果输入的，则输出的值是（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高一下·蛟河月考) 已知变量之间满足线性相关关系，且之间的相关数据如下表所示：x1234y0.1m 3.14则实数（）A . 0.8B . 0.6C . 1.6D . 1.85. （2分）(2019.全国Ⅰ卷文) 某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2， (1000)从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）A . 8号学生B . 200号学生C . 616号学生D . 815号学生6. （2分） (2017高二下·运城期末) （1+ ）（1+x）6展开式中x2的系数为（）A . 15B . 20C . 30D . 357. （2分）一个不透明的盒子里有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．那么甲赢的概率是（）A .B .C .D . 以上均不对8. （2分）在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值（）附“若X～N（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A . 1193B . 1359C . 2718D . 34139. （2分）把一枚硬币任意抛掷三次，事件A=“至少一次出现正面”，事件B“恰有一次出现正面”，则P （B|A）=（）A .B .C .D .10. （2分）现需编制一个八位的序号，规定如下：序号由4个数字和2个x、1个y、1个z组成；2个x不能连续出现，且y在z的前面；数字在1、2、4、8之间选取，可重复选取，且四个数字之积为8．则符合条件的不同的序号种数有（）A . 12600B . 6300C . 5040D . 252011. （2分） (2015高二下·会宁期中) 某部门为了了解青年人喜欢户外运动是否与性别有关，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2=7.069，则所得到的统计学结论为：有（）把握认为“喜欢户外运动与性别有关”．附：（独立性检验临界值表）P（K2≥k0）0.050.0250.0100.0050.001k0 3.841 5.024 6.6367.87910.828A . 0.1%B . 1%C . 99%D . 99.9%12. （2分）(2018·茂名模拟) 在1,2,3,6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·汕头期末) 若数a1 ， a2 ， a3 ， a4 ， a5的标准差为2，则数3a1﹣2，3a2﹣2，3a3﹣2，3a4﹣2，3a5﹣2的方差为________．14. （1分）(2016·四川理) 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是________ ．15. （1分）有甲、乙两台相同的机器，它们互相独立工作，已知这两台机器在一天内发生故障的概率都是20%，一台机器一旦故障当天就亏损5万元无任意利润；若一台机器正常工作一天则可获利润10万元，则甲、乙两台机器在一天内的利润期望为________ 万元．16. （1分） (2018高二下·重庆期中) 袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次任取1个球，取2次，则事件“第一次取得白球的情况下，第二次恰好取得黄球”的概率为________三、解答题 (共6题；共70分)17. （15分） (2018高二上·宾阳月考) 某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4,则该产品为一等品．先从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号A1A2A3A4A5质量指标(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)(x,y,z)产品编号A6A7A8A9A10质量指标(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)(x,y,z)（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；（2）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，(ⅰ) 用产品编号列出所有可能的结果；(ⅱ) 设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．18. （10分）如图，已知是半圆的直径，，是将半圆圆周四等分的三个分点．（1）从这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；（2）在半圆内任取一点，求的面积大于的概率．19. （10分） (2017高二下·扶余期末) 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间（单位：小时）与当天投篮命中率之间的关系：时间12345命中率0.40.50.60.60.4小李这5天的平均投篮命中率；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率．附：线性回归方程中系数计算公式，，20. （10分）(2017·延边模拟) 微信是现代生活进行信息交流的重要工具，随机对使用微信的60人进行了统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人”，不超过2两小时的人被定义为“非微信达人”，己知“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3：2．（1）确定x，y，p，q的值，并补全须率分布直方图；（2）为进一步了解使用微信对自己的日不工作和生活是否有影响，从“微信达人”和“非微信达人”60人中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随积选取3人进行问卷调查，设选取的3人中“微信达人”的人数为X，求X的分布列和数学期望．使用微信时间（单频数频率位：小时）（0，0.5]30.05（0.5，1]x p（1，1.5]90.15（1.5，2]150.25（2，2.5]180.30（2.5，3]y q合计60 1.0021. （10分） (2016高三上·兰州期中) 随着苹果6手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款购买方式，某分期店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示：付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数3525a10b已知分3期付款的频率为0.15，并且店销售一部苹果6，顾客分1期付款，其利润为1千元；分2期或3期付款，其利润为1.5千元；分4期或5期付款，其利润为2千元，以频率作为概率．（1）求事件A：“购买的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率；（2）用X表示销售一该手机的利润，求X的分布列及数学期望E（x）22. （15分） (2017高二下·平顶山期末) 已知{an}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12．（1）求{an}的通项公式；（2）设，求数列{bn}的前n项和．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共70分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。