注水井地层伤害压力偏微分方程模型及求解

1 地层伤害半径与伤害区平均渗透率 的计算
在建立模型之前 , 应知道地层伤害区半径和平 均渗透率, 为此假设: ( 1) 所模拟 的地层是各向同性、 微 可压的均质 无限大地层 ; ( 2) 流体弱 可压缩, 在地层中作满 足达西定律 的等温渗流 ; ( 3) 考虑井筒效应的影响。
[ 收稿日期 ] 2007- 12 - 03 [ 收稿日期 ] 2008- 02 - 26 [ 作者简介 ] 袁达明 ( 1973 - ), 男 , 江西九江 , 南昌航空大学数信学院讲师 , 理学硕士
[ 1] [ 1] 2
( 6)
由此解得伤害区 ( re - rw ) 的平均渗透率: K2 = lnr e 1 1 1 lnre + lnrd lnrd K1 Ke K1 ( 7)
2
二维模型的建立
建立无因次渗流数学模型及其定解条件如下:
P 1D K1 P 1D P 1D 1 = (tD /CD > 0 , 1 < rD < r1D ) 2 + r r K (t /CD ) D D 2 D r D ( 8) P2 P2D P2D D 1 = (tD /CD > 0 , < r1D < r D + ] ) 2 + r r ( t rD D D D /C D ) ( 9) P 1D ( rD , 0 ) = 0 P 2D ( rD , 0 ) = 0 K1 P 1D rD = K2
25
式化简为: A ( rD , tD /CD ) rD P A r P = B r t P P ( r, 0 ) = 0 ,K r
r - 0
相应的差分方程组为 PD rD (AP r ) r, j = bi P t , j = B ( rD , tD /CD ) PD ( tD /CD ) P ( ri, 0) = 0 KP r, P ( 15 ) P = r
[ 2]
Q = P hrw Q s [ (1- r d ) + «( r d - 1) /cs ] 于是得滤液侵入地层的半径为:
2 2 re = [ ard + Q ] Ph « 1
( 5)
下面对将要使用的符号进行说明: P 1D , P 2D ) ) ) 分别作用于污染带与地层的无因次压力 v P ) ) ) 作用于泥饼上的压力降 r1D ) ) ) 基于有效井半径的无因次径向污染距离: re / rw PwD ) ) ) 无因次井底压力 tD ) ) ) 无因次时间 CD ) ) ) 无因次井筒存储系数 K 1 ) ) ) 地层受污染前的渗透率 K 2 ) ) ) 地层受污染后的渗透率 h ) ) ) 所考虑的底层厚度 K c ) ) ) 泥饼渗透率 S ) ) ) 表皮系数 Cs ) ) ) 颗粒在水中的重量浓度 «) ) ) 泥饼平均孔隙度 Q s ) ) ) 颗粒密度 Lf ) ) ) 滤液粘度 考虑厚度为 h 的圆形地层中有一口井以定量生 产 , 并且投产前 油藏处于原始静止状态。 如图 1 所 示 , 当泥浆和固体颗粒侵入地层时, 首先在井筒内壁 形成一层厚度为 rw - rd 的初始泥饼, 然后形成固定 的伤害区。 作用在底层及泥饼上的总压降为 v Q= 其中 qL f ( a - lnrd ) 2 Pkc h a = Kc lnr + K1 d
理论研究
袁达明 李俊山 雷 呈凤 注水井地层伤害压力偏微分方程模型及求解
23
q 袁达明
1
李俊山
2
雷呈凤
3
注水井地层伤害压力偏微分方程模型及求解
( 1, 3. 南昌航空大学 , 江西 [摘 南昌 330063 ; 2. 辽河油田兴隆台采油厂集输大队 , 盘锦 124209)
[ 关键词 ] 地层伤害 ; 抛物型偏微分方程 ; 差分方程 要 ] 建立注水井地层伤害二维抛物型偏微分方程新模型 , 并进一步化简为带间断系数的抛物型方程初边值 问题。考虑 O241. 8 [文献标志码 ] A [文章编号 ] 1001- 4926( 2008) 01- 0023- 04 到差分方程解的收敛 性 , 采用积分关系法建立其差分格式 , 并指出此模型在油田注水开发中的一些应用。 [ 中图分类号 ]
[ 2, 4]
;
。
[ 2, 4, 5]
( 3 ) 对于画出的无因次压力和压力导数关于时 间的曲线 , 可用来定性判断地层的伤害程 度 。 如图 2 , 当实测井的导数曲线为中等高度的 / 驼峰 0 状时, 则认为该井存在一定程度的井壁面污染 , 此种 情况可采用小型的酸化解堵措施 ; 如图 3 , 当实测井 的导数曲线出现台阶状特征时 , 说明井底存在较大 的伤害区, 此时, 需要进一步判断伤害半径、 伤害区
: ( 1)
3
模型的求解
将 ( 8 )、 ( 9) 两式简化为
1-
Kc lnr K1
( 2)
根据质量守恒定理 cs qd t = 2P rh Q s dr
, 可推得 ( 3)
K1 2 1< r PD PD K PD D < r1 D 1 = K = K2 2 + r r ( t /C ) r D D D D D 1 r1D < rD < + ] ( 14 ) 令 B ( rD , tD /CD ) = Kr, A( rD, tD /CD ) = rD, 则上
[ 3]
Q 1 Bdr h Q
i- 1 r i+ h
1 2 1 r i- h 2
1 h
i
1 dr A
- 1
( i, j) I 8
4
模型的应用
( 1 ) 利用 ( 6 ) 、 ( 7 ) 和公式 S = k1 - 1 lnr1D 计 k2
。 假设初始泥饼的厚度为 rw
- rd, 并保持不变。 此假设在固体颗粒侵入地层初期 与实际情况有较大差距, 但随着时间的推移, 假设条 件与实际情况比较接近。 因此在选取时间时应取总 的注水时间为计算时间 TD , 选取 T = TD /CD 3 . 2 时间和空间步长确定 已形成的泥饼对 固体颗粒的继 续入侵形 成阻 挡 , 因此, 随着时间的增长 , 地层被伤害的速度愈来 愈小, 直到固体颗粒不再入侵。 因而时间步长在此由 小到大 , 按等差级数变化确定 , 空间步 长按等距剖 分 , 选定适当的时间步长公差 d, 将 [ 0 , T ] 分成 J 份, 分点 0 = t0 < t1 < t2 < , < tj = T, 选定空间步长 h = ( r 1D - 1 ) / M, 记网格点集合 8 = {( ri, tj ) | i = 0 , 1 , 2, M; j = 0, 1 , 2, J }。 设 P ( r, t ) 为定义在 8 上 的函数 , 并记 P i = P ( ri, tj ), 引入记号 P r, - P
1 2 3
油田注水是保持一定地层压力水平及提高原油 采收率的有效措施之一。由于水质原因, 水中所含 的固体颗粒在注水过程中随水 侵入地层而造 成伤 害。本文从井底压力和压力导数出发 , 建立相应的 抛物型偏微分方程初、 边值问题的新模型 , 并将其简 化。为确保差分方程解的收敛性 , 采用积分关系法 建立其 Box 差分格式 , 并用有效的方法求得差分方 程的数值解。该模型不仅可用于油田注水开发地层 伤害的定性识别 , 而且还可用于伤害半径的计算、 评 估合理的颗粒浓度等。
rD = r1D 2
( 10 ) ( 11 )
P 2D rD
rD = r1D
P 1D ( r1D , tD /CD ) = P 1D ( rrD , tD /CD ), P 2D ( r1D , tD /CD ) | rDy + ] = 0 PWD ( tD /CD ) = P 1D ( 1 , tD /CD ), CD ( 12 ) dPWD K 1 P 1D = 1 dtD K 2 rD ( 13 )
联立 ( 1) 、 ( 3 ) 两式, 得泥饼形成厚度 re 与时间 t 的关系为
南昌航空大学 学报
J ou rna l of N an ch an g H an gk on g Un iv er sity 自然科学版 , , N atural Scien ce
理论研究
袁达明 李俊山 雷 呈凤 注水井地层伤害压力偏微分方程模型及求解
j i- 1 j i j [ 2]
算出表皮因子, 可用来判断注水井对地层的伤害程 度
[2 , 5]
: ( 1) 若表皮因子 S > 0 , 则可初步断定地层已
经受到伤害 , 并且 S 值越大, 地层伤害程度越严重; ( 2) 若 S = 0 , 地层不存在伤害; ( 3 ) 若 S < 0, 井底渗 透性能得到改善。 ( 2 ) 求解模型的差分方程, 得到 Pw 和 dP w /dt的 无因次的数值解, 地层受到伤害时, 压力与压力导数 曲线的形态由无因次的井筒存储系数 CD , 伤害区半 径 r1D 和伤害区渗透率 k2 三个参数决定 , 我们可利用 这三个参数的不同取值得到压力和压力导数的形状 特征, 从而判断地层是否受到伤害
2008 年 3月 第 22 卷 第 1期
理论研究
雷 呈凤 注水井地层伤害压力偏微分方程模型及求解
袁达明
李俊山
24 rw Q sL f 1 ( 1 - r ) + r lnr a+ d d d 2cs kc v Q 2
2
t=
( 4)
假设在形成整个泥饼过程中侵入地层的滤液总 量为
图 1olu tion abou t the stra tum hur ting in the w ater in jection w ell
YUAN Da- m ing , LI Jun- shan , LE I Cheng- feng