微积分3 2006 答案

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2006考研数三真题答案及详解

(C) 若 1 , 2 , , s 线性无关，则 A1 , A 2 , , A s 线性相关. (D) 若 1 , 2 , , s 线性无关，则 A1 , A 2 , , A s 线性无关. [ ]
（13）设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ，再将 B 的第 1 列的 1 倍加到第 2
[
]
（10）设非齐次线性微分方程 y P ( x ) y Q ( x ) 有两个不同的解 y1 ( x), y2 ( x), C 为任意常数，则该方程的通解是（Ａ） C y1 ( x) y2 ( x) . （Ｃ） C y1 ( x) y2 ( x) . （Ｂ） y1 ( x) C y1 ( x) y2 ( x) . （Ｄ） y1 ( x) C y1 ( x) y2 ( x) [ ]
1 ,4 . 2
（23）（本题满分 13 分）设总体 X 的概率密度为
, 0 x 1, f x; 1 ,1 x 2, 0, 其他,
其中是未知参数 0 1 ， X 1 , X 2 ..., X n 为来自总体 X 的简单随机样本，记 N 为样本值 x1 , x2 ..., xn 中小于 1 的个数. （Ⅰ）求的矩估计；（Ⅱ）求的最大似然估计
b sin b 2 cos b b a sin a 2 cos a a .
（18）（本题满分 8 分）在 xOy 坐标平面上，连续曲线 L 过点 M 1, 0 ，其上任意点 P x, y x 0 处的切线斜率与直线 OP 的斜率之差等于 ax （常数 a >0 ）. (Ⅰ) 求 L 的方程； (Ⅱ) 当 L 与直线 y ax 所围成平面图形的面积为（19）（本题满分 10 分）

微积分上册习题三答案共39页PPT

，就是极端的不公。 ——西塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们就不再配享受自由了。—— 毕达哥拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的利益，而是为了公共的利益；一部分靠有害的强制，一部分靠榜样的效力。 ——格老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话，那么法律作为一件无用之物自己就会消灭。— —洛克
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞罗
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德谟克利特 67、今天应做的事没有做，明天再早也是耽误了。——裴斯泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运的，只是一瞬之间。 ——歌德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭

2006年考研数学三真题与答案

2006年考研数学三真题一、填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。

）(1)。

【答案】【解析】【方法一】记因为且故。

【方法二】而为有界变量，则原式。

综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的四则运算(2)设函数在的某领域内可导，且则。

【答案】。

【解析】本题主要考查复合函数求导。

由知综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数的导数(3)设函数可微，且则在点处的全微分。

【答案】【解析】因为,综上所述，本题正确答案是【考点】高等数学—多元函数微积分学—偏导数、全微分(4)设矩阵，为二阶单位矩阵，矩阵满足，则___________。

【答案】2。

【解析】因为，所以。

综上所述，本题正确答案是。

【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质线性代数—矩阵—矩阵的线性运算(5)设随机变量与相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则___________。

【答案】。

【解析】本题考查均匀分布，两个随机变量的独立性和他们的简单函数的分布。

事件又根据相互独立，均服从均匀分布，可以直接写出综上所述，本题正确答案是。

【考点】概率论—多维随机变量的分布—二维随机变量的分布(6)设总体的概率密度为为总体的随机简单样本，其样本方差为则_______。

【答案】综上所述，本题正确答案是。

【考点】概率论—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质二、选择题（7~14小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则(A) (B)(C) (C)【答案】A。

【解析】【方法一】由函数单调上升且凹，根据和的几何意义，得如下所示的图由图可得【方法二】由凹曲线的性质，得，于是，即综上所述，本题正确答案是A。

【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义(8)设函数在处连续，且则(A)且存在(B)且存在(C)且存在(D)且存在【答案】C。

考研数学三(多元函数微积分学)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)

考研数学三（多元函数微积分学）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2008年] 设则( )．A．fx’(0，0)，fy’(0，0)都存在B．fx’(0，0)不存在，fy’(0，0)存在C．fx’(0，0)存在，fy’(0，0)不存在D．fx’(0，0)，fy’(0，o)都不存在正确答案：B解析：因而则极限不存在，故偏导数fx’(0，0)不存在．而因而偏导数fy’(0，0)存在．仅(B)入选．知识模块：多元函数微积分学2．[2003年] 设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则下列结论正确的是( )．A．f(x0，y)在y=y0处的导数大于零B．f(x0，y)在y=y0处的导数等于零C．f(x0，y)在y=y0处的导数小于零D．f(x0，y)在y=y0处的导数不存在正确答案：B解析：解一因f(x，y)在点(x0，y0)处可微，故f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数存在，因而一元函数f(x0，y)在y=y0处的导数也存在．又因f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，故f(x0，y0)在y=y0处的一阶(偏)导数等于零．仅(B)入选．解二由函数f(x，y)在点(x0，y0)处可微知，f(x．y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．又由二元函数极值的必要条件即得f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数都等于零．因而有知识模块：多元函数微积分学3．[2016年] 已知函数则( )．A．fx’－fy’=0B．fx’+fy’=0C．fx’－fy’=fD．fx’+fy’=f正确答案：D解析：则仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学4．[2017年] 二元函数z=xy(3－x－y)的极值点为( )．A．(0，0)B．(0，3)C．(3，0)D．(1，1)正确答案：D解析：zy’=y(3－x－y)－xy=y(3－2x－y)，zy’=x(3－x－y)－xy=x(3－x－2y)，又zxx’=－2y，zxy=3－2x－2y，zyy’=－2x，将选项的值代入可知，只有(D)符合要求，即A=zxx”(1，1)=－2，B=zxy”(1，1)=－1，C=zyy”(1，1)=－2．满足B2－AC=－3＜0，且A=－2＜0，故点(1，1)为极大值点．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学5．[2006年] 设f(x，y)与φ(z，y)均为可微函数，且φy’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，Y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．A．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0B．若fx’(x0，y0)=0，则f’y(x0，y0)≠0C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0D．若fx’(x0，y0)≠0，则f’y(x0，y0)≠0正确答案：D解析：解一由拉格朗日乘数法知，若(x0，y0)是f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点，则必有fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0，①fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0．②若fx’(x0，y0)≠0，由式①知λ≠0．又由题设有φy’(x0，y0)≠0，再由式②知fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解二构造拉格朗日函数F(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)，并记对应于极值点(x0，y0)处的参数的值为λ0，则由式③与式④消去λ0得到fx’(x0，y0)／φx’(0，y0)=一λ0=f’y(x0，y0)／φ’y(x0，y0)．即f’x(x0，y0)φ’y(x0，y0)一fy’(x0，y0)φx’(x0，y0)=0．整理得若fx’(x0，y0)≠0，则由式③知，φx’(x0，y0)≠0．因而fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解三由题设φy’(x，y)≠0知，φ(x，y)=0确定隐函数y=y(x)．将其代入f(x，y)中得到f(x，y(x))．此为一元复合函数．在φ(x，y)=0两边对x求导，得到因f(x，y(x))在x=x0处取得极值，由其必要条件得到f’x+fy’y’=fx’+fy’(一φx’／φy’)=0．因而当fx’(x0，y0)≠0时，必有fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学填空题6．[2012年] 设连续函数z=f(x，y)满足则dz｜(0,1)=__________．正确答案：2dx－dy解析：用函数f(x，y)在(x0，y0)处的微分定义：与所给极限比较易知：z=f(x，y)在点(0，1)处可微，且fx’(0，1)=2，fy’(0，1)=－1，f(0，1)=1，故dz｜(0,1)=fx’(0，1)dx+fy’(0，1)dy=2dx－dy．知识模块：多元函数微积分学7．[2009年] 设z=(x+ey)x，则正确答案：2ln2+1解析：解一为简化计算，先将y=0代入z中得到z(x，0)=(x+1)x，z为一元函数．将x=1代入上式，得到解二考虑到z(x，0)=(x+1)x为幂指函数，先取对数再求导数：lnz=xln(x+1)．在其两边对x求导，得到则知识模块：多元函数微积分学8．[2007年] 设f(u，v)是二元可微函数，则正确答案：解析：解一设u=y／x，v=x／y．为方便计，下面用“树形图”表示复合层次与过程．由式①一式②得到解二令f1’，f2’分别表示z=f(y／x，x ／y)对第1个和第2个中间变量y／x、x／y求导数，则知识模块：多元函数微积分学9．[2004年] 函数f(u，v)由关系式f[xg(y)，y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)≠0，则正确答案：解析：令u=xg(y)，v=y，由此解出于是知识模块：多元函数微积分学10．[2005年] 设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则dz｜(1,0)=_________．正确答案：2edx+(e+2)dy解析：dz=d[xex+y+(x+1)ln(1+y)]=d(xex+y)+d[(x+1)ln(1+y)] =ex+ydx+xex+y(dx+dy)+ln(1+y)dx+[(x+1)／(1+y)]dy．①将x=1，y=0代入上式(其中dz，dx，dy不变)，得到dz｜(1,0)=edx+e(dx+dy)+2dy=2edx+(e+2)dy．解二利用全微分公式求之．为此，先求出偏导数故解三用定义简化法求之．固定一个变量转化为另一个变量的一元函数求导．由z(x，0)=xex得到由z(1，y)=ey+2ln(1+y)得到故知识模块：多元函数微积分学11．[2006年] 设函数f(u)可微，且f’(0)=1／2，则z=f(4x2－y2)在点(1，2)处的全微分dz｜1,2=___________．正确答案：4dx一2dy解析：解一dz=df(4x2－y2)=f’(u)du=f’(u)d(4x2－y2)=f’(u)(8xdx－2ydy)，其中u=4x2－y2．于是dz｜1,2=f’(0)(8dx－4dy)=4dx－2dy．解二利用复合函数求导公式和定义简化法求之．由z=f(4x2－y2)得到解三由z=f(4x2－y2)得到于是故dz｜1,2=4dx－2dy．知识模块：多元函数微积分学12．[2011年] 设函数则dz｜1,1=____________．正确答案：(1+2ln2)(dx—dy)解析：解一所给函数为幂指函数，先在所给方程两边取对数，然后分别对x，y求偏导：由得到则解二先用定义简化法求出然后代入全微分公式求解．故dz｜1,1=2(ln2+1／2)dx－2(ln2+1／2)dy=(1+2ln2)(dx－dy)．知识模块：多元函数微积分学13．[2015年] 若函数z=z(x，y)由方程ex+2y+3z+xyz=1确定，则dz｜0,0=_______________．正确答案：解析：在ex+2y+3z+xyz=1①两边分别对x，y求偏导得到同法可得将x=0，y=0代入式①易求得z=0，代入式②、式③分别得到则知识模块：多元函数微积分学14．[2014年] 二次积分正确答案：解析：注意到不易求出，需先交换积分次序，由积分区域的表达式D={(x，y)|y≤x≤1，0≤y≤1)－{(x，y)|0≤y≤x，0≤x≤1}及交换积分次序得到故知识模块：多元函数微积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2006年考研数学三真题及解析

（ 8）设函数 f x 在 x
f h2
0 处连续，且 lim
h0
h2
1 ，则
(A) f 0 0且 f 0 存在
(B) f 0 1且 f 0 存在
-7-
(C) f 0 0且 f 0 存在
(D) f 0 1且 f 0 存在
[ C]
2
fh
【分析】从 lim
h0
2
h
1 入手计算 f (0) ，利用导数的左右导数定义判定
(Ⅲ) F
1 ,4 .
2
（ 23）（本题满分 13 分）设总体 X 的概率密度为
f x;
, 0 x 1, 1 ,1 x 2, 0, 其他,
其中是未知参数 0
1 ， X 1 , X 2 ..., X n 为来自总体 X 的简单随机样本，记 N 为样本值 x1 , x2 ..., x n 中
小于 1 的个数 . （Ⅰ）求的矩估计；（Ⅱ）求的最大似然估计
(D) 若 1 , 2 , , s 线性无关，则 A 1 , A 2 , , A s 线性无关 .
[
]
（ 13）设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ，再将 B 的第 1 列的 1 倍加到第 2 列得 C ，记
110 P 0 1 0 ，则
001
（Ａ） C
P
1
AP
.
（Ｂ） C PAP 1 .
(A) 若 f x ( x0 , y0 ) 0 ，则 f y ( x0 , y0 ) 0 .
(B) 若 f x ( x0 , y0 ) 0 ，则 f y ( x0 , y0 ) 0 . (C) 若 f x ( x0 , y0 ) 0 ，则 f y ( x0 , y0 ) 0 .

2006年考研数学三真题及答案

2006年考研数学三真题一、填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。

） (1) lim n→∞(n+1n)(−1)n= 。

【答案】1。

【解析】【方法一】记x n =(n+1n )(−1)n , 因为lim k→∞x 2k =limk→∞2k+12k=1, 且lim k→∞x 2k+1=lim k→∞(2k+22k+1)−1=1, 故lim n→∞x n =1。

【方法二】lim n→∞(n+1n)(−1)n =lim n→∞e(−1)n lnn+1n, 而lim n→∞lnn+1n=lim n→∞ln (1+1n)=0(无穷小量)，(−1)n 为有界变量，则原式=e 0=1。

综上所述，本题正确答案是1。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的四则运算 (2) 设函数f(x)在x =2的某领域内可导，且f ′(x )=e f (x ),f (2)=1, 则f ′′(2)= 。

【答案】2e 3。

【解析】本题主要考查复合函数求导。

由f ′(x )=e f (x )知f ′′(x )=e f (x )f ′(x )=e f (x )∙e f (x )=e 2f (x )f ′′′(x )=e 2f (x )∙2f ′(x )=2e 3f (x )f ′′′(2)=2e 3f (2)=2e 3。

综上所述，本题正确答案是2e 3。

【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数的导数(3)设函数f(u)可微，且f′(0)=12, 则z=f(4x2−y2)在点(1,2)处的全微分dz|(1,2)= 。

【答案】4dx−2dy。

微积分上学期答案

1微积分答案第一章函数一、1.Ｂ； 2.Ｄ； 3.Ａ； 4.Ｃ； 5.Ｄ二、１.1cos -x 或22sin2x ；２.100010-<⎧⎪=⎨⎪>⎩x x x 或()f x ；３.４，-1；４.y =[0,1]；５.1(1)2y x =-. 三、１. (1)[1,2)(2,4)D =⋃； (2)[3,2][3,4]D =--⋃. ２．(1)102,1y u u x ==+ ；(2)1,sin ,u y e u v v x===；(3) 2arctan ,ln ,1y u u v v x===+.3. 211,12,()12400,44ab C C x x x ====++ ()1400124c x C x x x==++.4. （１）90010090(100)0.011001600751600x P x x x <≤⎧⎪=--⋅<<⎨⎪≥⎩；（３）Ｌ＝21000（元）. (2)2300100(60)310.011001600151600x x L P x x xx x x ≤≤⎧⎪=-=-<<⎨⎪≥⎩；四、略.第二章极限与连续(一)一、1.C ； 2. D ； 3.C ； 4.B ； 5.C 二、1. -2； 2. 不存在； 3. 14； 4. 1； 5.ab e .三、 1、（1）4；（2）25；（3）1；（4）5；（5）2.2、（1）3；（2）0；（3）2；（4）5e -；（5）2e-.3、11,2=-=-αβ 4、利用夹逼定理：11←<<→四、略。

第二章极限与连续（二）一、1. D ； 2. C ； 3. B ； 4. C ； 5. B 二、１、0； 2、-2； 3、0； 4、2； 5、0,1x x ==-．2三、１、（1）1=x 是可去间断点；2=x 是连续点.（2）=xk π是第二类间断点（无穷间断点）； 2=+x k ππ是可去间断点.（3）0=x 是可去间断点. （4）1x =是跳跃间断点.2、1()011⎧<⎪==⎨⎪->⎩x x f x x x x ，1=±x是跳跃间断点.3、（1）0；（2）cos α；（3）1；（4）0；（5）12．四、略。

微积分第三版答案详解

微积分第三版答案详解微积分是数学中的一门重要学科，以及广泛应用于物理学、工程学、经济学和计算机科学等领域的数学工具。

在学习微积分的过程中，往往会遇到各种难题和复杂的问题。

因此，有一本答案详解书籍是非常必要和有益的，可以帮助学习者更好地理解和掌握微积分的概念和方法。

本文将为您提供一份微积分第三版答案详解。

第一章：函数和极限1.1 函数和数学模型题目1：求函数 f(x) = x^2 - 3x + 2 的零点。

解答：要求函数的零点即求函数在什么时候取零值。

即 f(x) = 0。

解方程得到 x^2 - 3x + 2 = 0。

通过因式分解，可得 (x - 1)(x - 2) = 0，因此 x = 1 或 x = 2。

1.2 极限的概念和性质题目2：计算极限 lim(x->0) (3x^2 - 2x + 1)。

解答：要计算此极限，只需要将 x 替换为 0 得到函数的结果即可。

即将 x 替换为 0 后，函数 f(x) = 3(0)^2 - 2(0) + 1 = 1。

因此，极限 lim(x->0) (3x^2 - 2x + 1) = 1。

第二章：导数和其应用2.1 导数的概念和运算法则题目3：求函数 f(x) = x^3 - 2x^2 + x 的导函数。

解答：使用导数的运算法则，对于 x^n，导函数为 nx^(n-1)。

因此，对于函数 f(x) = x^3 - 2x^2 + x，其导函数为 f'(x) = 3x^2 - 4x + 1。

2.2 平均值定理和导数的应用题目4：计算函数 f(x) = x^3 - 2x^2 + x 在闭区间 [0, 3] 上的极大值和极小值。

解答：首先，计算函数在区间内的导数。

f'(x) = 3x^2 - 4x + 1。

然后，求导函数的零点。

将导函数 f'(x) = 3x^2 - 4x + 1 置零，解方程得到 x = 1 或 x = 1/3。

然后，将极值点带入原函数，计算函数值。

2006年数学三真题答案解析

Δy
dy
O
x0
x0+Δx
x
结合图形分析，就可以明显得出结论： 0 dy y .
方法 2：用两次拉格朗日中值定理
y dy f (x0 x) f (x0 ) f (x0 )x (前两项用拉氏定理)
f ( )x f (x0 )x
(再用一次拉氏定理)
f ()( x0)x , 其中 x0 x0 x, x0
换元令 x h2 ，由题设可得
lim
h0
f (h2) h2
lim x0
f (x) 1 x
.
于是 lim f (x) lim f (x) x 10 0
x0
x x0
因为函数 f (x) 在点 x 0 处连续，故 f (0) lim f (x) 0 ，进而有 x0
1 lim x0
f (x) lim
2( 1 ) 1 1
2( 1 ) 1，即 1
2
1
1 2
，所以 1
2
，故选(A).
三、解答题
(15)【详解】题目考察二元函数的极限，求 g(x) 时，可以将 y 视为常数
1 y sin x
(I)
g(x)
lim
f (x, y)
y
lim [
y
y 1 xy
y ],
arctan x
由于 x 0 ，所以
dz dx
x x0
f (x0 , y0 ) f (x0 , y0 )
x
y
dy dx
x x0
fx(x0, y0)
f y( x0 ,
y0
)
x
y
( (
x0 x0
, ,

考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编32(题后含答案及解析)

考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编32(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(2009年)函数的可去间断点的个数为( )A．1．B．2．C．3．D．无穷多个．正确答案：C解析：当x=k(k=0，±1，±2，…)时，sinnx=0，则这些点都是f(x)的间断点．而当x=0，±1时，x—x3=0，又则x=0，x=±1为f(x)的可去间断点，其余均为无穷间断点．故应选C．2．(1995年)设f(x)为可导函数，且满足条件，则曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为( )A．2B．－1C．D．－2正确答案：D解析：由得f(1)=一2．所以，应选D．3．(2006年)设函数f(x)在x=0处连续，，则( )A．f(0)=0且f－’(0)存在．B．f(0)=1且f－’(0)存在．C．f(0)=0且f+’(0)存在．D．f(0)=1且f+’(0)存在．正确答案：C解析：直接法故应选C．4．(2018年)下列函数中，在x=0处不可导的是( )A．f(x)=｜x｜sin｜x｜．B．C．f(x)=cos｜x｜正确答案：D解析：由导数定义知该极限不存在，则在x=0处不可导，故应选D．5．(2009年)设函数y=f(x)在区间[一1，3]上的图形为则函数F(x)=∫0xf(t)dt 的图形为( )A．B．C．D．正确答案：D解析：由题设知，当X∈(一1，0)时F’(x)=f(x)，而当x∈(一1，0)时f(x)≡1＞0，即F’(x)＞0，从而F(x)单调增．显然A选项是错误的，因为A选项中F(x)在(一1，0)中单调减．由于F(x)=∫0xf(t)dt，则F(0)=0，显然C选项错误．由于当x∈(2，3]时f( x)≡0，则当x∈(2，3]时F(x)=∫0xf(t)dt=∫02f(t)dt+∫2xf(t)dt=∫02f(t)dt+∫2x0dt=F(2) 则B是错误的，D是正确的．6．(1999年)设f(x，y)连续，且其中D是由y=0，y=x2，x=1所围区域，则f(x，y)等于( )A．xyB．2xyC．D．xy+1正确答案：C解析：令则f(x，y)=xy+A，将f(x，y)=xy+A代入(*)式得7．(2012年)已知级数条件收敛，则( )A．B．C．D．正确答案：D解析：又由条件收敛知0＜2一a≤1则1≤a＜2故应选填空题8．(2004年)若，则a=______，b=______．正确答案：应填a=1，b=一4．解析：当a=1时，又1—b=5，则b=—4．9．(1997年)设y=f(lnx)ef(x)，其中f可微，则dy=______．正确答案：应填解析：由y=f(lnx)ef(x)可知10．(2014年)设某商品的需求函数为Q=40—2p(p为商品的价格)，则该商品的边际收益为______．正确答案：应填20—Q．解析：由题设知收益函数为则边际收益为11．(2000年)=______。

微积分课后习题参考答案第六章

第六章微分方程与差分方程§1微分方程的基本概念习题 6 — 11.验证下列各题中函数是所给微分方程的解，并指出解的类型： ⑴03=+'y y x ，3-=Cx y ；解：3-=Cx y 是03=+'y y x 的通解；⑵ax xyy +='，bx ax y +=2，其中a ，b 为常数；解：bx ax y +=2是ax xy y +='的特解（因为b 不是任意常数）；⑶()()022='-'+'+''-y y y y x y x xy ，()xy y ln =；解：()xy y ln =是()()022='-'+'+''-y y y y x y x xy 的特解；⑷0127=+'-''y y y ，x xe C e C y 4231+=；解：x xe C eC y 4231+=是0127=+'-''y y y 的通解；⑸x y y y 2103=-'+''，50355221--+=-x e C e C y x x. 解：50355221--+=-x e C eC y x x是x y y y 2103=-'+''的通解. 知识点：，定义6.2（若一个函数代入微分方程后，能使方程两端恒等，则称这个函数为微分方程的解）和若微分方程的解中含有独立的任意常数且个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解，不含任意常数的解称为特解。

2.在曲线族()xex C C y 221+=中找出满足条件10==x y ，10='=x y 的曲线.解：由题意得：()xe x C C C y 222122++='，∵10==x y ，10='=x y ， ∴解得11=C ,12-=C ，故所求曲线为()xex y 21-=（xxe y 2=）。

考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编28(题后含答案及解析)

考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编28(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(2004年)设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且则（)A．x=0必是g(x)的第一类间断点．B．x=0必是g(x)的第二类间断点．C．x=0必是g(x)的连续点．D．g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关．正确答案：D解析：由于若a=0，则g(x)在点x=0处连续；若a≠0，则g(x)在点x=0处连续．故应选D．2．(2017年)若函数在x=0处连续，则( )A．B．C．ab=0．D．ab=2．正确答案：A解析：要使f(x)在x=0处连续，则须故应选A3．(1987年)若f(x)在(a，b)内可导且a＜x1＜x2＜b，则至少存在一点ξ，使得（)A．f(b)一f(a)=f’(ξ)(b一a) (a＜ξ＜b)B．f(b)一f(x1)=f(ξ)(b一x1) (x1＜ξ＜b)C．f(x2)一f(x1)=f’(ξ)(x2一x1) (x1＜ξ＜x2)D．f(x2)一f(a)=f(ξ)(x2一a) (a＜ξ＜x2)正确答案：C解析：由f(x)在(a，b)内可导知，f(x)在[x1，x2]上连续，在(x1，x2)内可导，由拉格朗日中值定理知，存在一点ξ，使f(x2)一f(x1)=f’(ξ)(x2—x1)x1＜ξ＜x2所以应选C．A、B、D均不正确．因为由f(x)在(a，b)内可导，不能推得f(x)在[a，b]，[x1，b]，[a，x2]上连续，故A、B、D选项均不满足拉格朗日中值定理条件．4．(2005年)当a取下列哪个值时，函数f(x)=2x3一9x2+12x—a恰有两个不同的零点．( )A．2B．4C．6D．8正确答案：B解析：f’(x)=6x2一18x+12=6(x2一3x+2)=6(x一1)(x一2) 令f’(x)=0，得x1=1，x2=2 f(1)=5一a，f(2)=4一a 当a=4时，f(1)=1＞0，f(2)=0．即x=2为f(x)的一个零点，由f’(x)=6(x一1)(x一2)知当一∞＜x＜1时，f’(x)＞0，f(x)严格单调增，而f(1)=1＞0，，则f(x)在(一∞，0)内有唯一零点．当1＜x＜2时，f’(x)＜0，f(x)单调减，又f(2)=0，则当1＜x＜2时，f(x)＞0，此区间内无零点．当x＞2时，f’(x)＞0，f(2)=0．则x＞2时f(x)＞0，即在此区间内f(x)无零点．故应选B．5．(2014年)设函数f(x)具有2阶导数，g(x)=f(0)(1一x)+f(1)x，则在区间[0，1]上( )A．当f’(x)≥0时，f(x)≥g(x)B．当f’(x)≥0时，f(x)≤g(x)C．当f’’(x)≥0时，f(x)≥g(x)D．当f’’(x)≥0时，f(x)≤g(x)正确答案：D解析：令F(x)=f(x)一g(x)=f(x)一f(0)(1一x)一f(1)x，则F’(x)=f’(x)+f(0)一f(1)，F’’(x)=f’’(x)．当f’’(x)≥0时，F’’(x)≥0．则曲线y=F(X)在区间[0，1]上是凹的，又F(0)=F(1)=0，从而，当x∈[0，1]时F(x)≤0，即f(x)≤g(x)，故应选D．6．(1999年)设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则( )A．当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数．B．当f(x)是偶函数时，F(x)必为奇函数．C．当f(x)是周期函数时，F(x)必为周期函数．D．当f(x)是单调增函数时，F(x)必为单调增函数．正确答案：A解析：直接说明A正确，f(x)的原函数F(c)可表示为F(x)=∫0xf(t)dt+C 则F(一x)=∫0－xf(t)dt+C—∫0xf(－u)du+C=∫0xf(u)du+C=F(x)故A是正确选项．7．(2015年)设D={(x，y)｜x2+y2≤2x，x2+y2≤2y}，函数f(x，y)在D上连续，则=( )A．B．C．D．正确答案：B解析：积分域D如图所示，则故应选B．8．(2004年) 设有以下命题：则以上命题中正确的是( )A．①②B．②③C．③④D．①④正确答案：B解析：令un=(一1)n－1，则u2n－1+u2n=0，从而级数发散，所以①不正确．级数去掉前1 000项所得到的，由级数性质可知，若必收敛，则②正确．由检比法知若收敛，故③正确．令un=1，vn=一1，则级数都发散，则④不正确，故应选B．填空题9．(1994年) 设方程exy+y2=cosx确定y为x的函数，则=_______．正确答案：应填解析：方程exy+y2=cosx两边对x求导，得exy(y+xy’)+2yy’=一sinx解得10．(2011年)设，则f’(x)=______．正确答案：应填e3x(1+3x)．解析：f(x)=xe3x，f’(x)=e3x+3xe3x=e3x(1+3x)11．(1996年)设∫xf(x)dx=arcsinx+C，则=______．正确答案：解析：12．(2014年)设∫0axe2xdx=则a=______．正确答案：应填解析：13．(2006年)设函数f(u)可微，且则z=f(4x2一y2)在点(1，2)处的全微分dz｜(1，2)=______．正确答案：应填4dx一2dy．解析：则dz｜(1，2)=4dx一2dy14．(2009年)幂级数的收敛半径为______．正确答案：应填解析：15．(2005年)微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为______．正确答案：应填xy=2．解析：本方程是一可分离变量方程，由xy’+y=0知，ln｜y｜=一ln｜x｜+lnC1从而xy=C，又y(1)=2，则C=2．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(完整版)《微积分》各章习题及详细答案

第一章函数极限与连续一、填空题1、已知x xf cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x . 3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。

4、01sin lim 0=→xx k x 成立的k 为 .5、=-∞→x e x x arctan lim .6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b .7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________. 9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a .12、函数x xx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、lim ____________x →+∞=.14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ,则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

(Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ))()(x h x f +；(C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β,则当1→x 时有。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小； (Ｂ)α是比β低阶的无穷小； (C ）α与β是同阶无穷小；（D ）βα~.3、函数⎪⎩⎪⎨⎧=-≥≠-+-+=0)1(0,1111)(3x k x x x x x f 在0=x 处连续，则=k 。

微积分(三)_浙江大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

微积分（三）_浙江大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
1.设闭曲线【图片】为柱面【图片】与平面【图片】的交线，从x轴正向看
它为逆时针方向，则【图片】等于
参考答案:
-24
2.曲线【图片】为yoz平面上从点A(0,1,0)到点B(0,0,1)的一段光滑曲线，曲
线【图片】为zox平面上从点B(0,0,1)到点C(1,0,0)的一段光滑曲线; 则【图片】等于
参考答案:
１
3.【图片】是平面上不通过原点的简单闭曲线（逆时针方向），【图片】，
则下列正确的是
参考答案:
时，
4.设【图片】,且【图片】，则它的Fourier级数在【图片】处结论正确的是
参考答案:
收敛于0
5.向量场【图片】在点A(2,1,1)处的散度【图片】等于
参考答案:
3
6.【图片】是函数【图片】的正弦级数，【图片】是正弦级数的和函数，则
参考答案:
时。