4.示范教案(2.1.4平面与平面之间的位置关系)全面版
平面与平面之间的位置关系 说课稿 教案 教学设计
空间中直线与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系●三维目标1．知识与技能(1)正确理解空间直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系．(2)进一步培养学生的空间想象能力，以及有理有据、实事求是等严肃的科学态度．2．过程与方法(1)经历空间直线与平面位置关系及平面与平面之间的位置关系的研究过程，在研究的过程中掌握一些解决线面关系及面面关系的基本方法．(2)在结合图形探究空间直线与平面位置关系及平面与平面之间的位置关系的过程中，发展学生对数形结合思想的意识，提高解决问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)在对空间直线与平面位置关系及平面与平面之间的位置关系的研究过程中，激发学生对数学的好奇心和求知欲．(2)在合作交流中发展学生的合作精神和团队精神，在探究活动中获得成功的体验．(3)在运用数学解决问题的过程中，认识到数学具有抽象、严谨和广泛应用的特点，体会到数学的科学价值和应用价值．●重点难点重点：空间直线与平面位置关系及平面与平面之间的位置关系．难点：空间直线与平面位置关系及平面与平面之间的位置关系的判断．重难点突破：以学生熟知的长方体为切入点，采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法，引导学生通过观察、思考，归纳出空间直线与平面及平面与平面之间的位置关系．然后借助典型案例，让学生熟练掌握两种关系，突出重点的同时化解难点．【课前自主导学】言和符号语言表示．(难点)直线和平面的位置关系【问题导思】1．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中线段BC1所在的直线与长方体的六个面所在的平面有几种位置关系？【提示】三种位置关系：(1)直线在平面内；(2)直线与平面相交；(3)直线与平面平行．2．“直线与平面不相交”和“直线与平面没有公共点”一样吗？【提示】不一样．前者包括直线与平面平行及直线在平面内两种情况，而后者仅指直线与平面平行．直线和平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝A a∥α图形表示两个平面的位置关系【问题导思】观察前面问题中的长方体，平面A1C1与长方体的其余各个面，两两之间有几种位置关系？【提示】两种位置关系：两个平面相交或两个平面平行．空间两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行α∥β0个两平面相交α∩β＝l 无数个点(共线)【课堂自主导学】直线与平面的位置关系下列说法：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4【思路探究】结合直线与平面的位置关系的定义求解．【自主解答】对于①，∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l 不一定平行于α.故①是错误的．对于②，∵直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交，∴a和α不一定平行．故②是错误的．对于③，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α.故③是错误的．对于④，∵a∥b，b⊄α，那么a⊄α或a∥α，∴a可以与平面α内的无数条直线平行．故④是正确的．综上所述，正确的个数为1.【答案】 A1．本题在求解时，常受思维定势影响，误以为直线在平面外就是直线与平面平行．2．判断直线与平面位置关系的问题，其解决方式除了定义法外，还可以借助模型(如长方体)和举反例两种行之有效的方法．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是()A．α内的所有直线均与a异面B．α内不存在与a平行的直线C．α内直线均与a相交D．直线a与平面α有公共点【解析】由于直线a不平行于平面α，则a在α内或a与α相交，故A错；当a⊂α时，在平面α内存在与a平行的直线，故B错；因为α内的直线也可能与a平行或异面，故C错；由线面平行的定义知D正确．【答案】 D平面与平面间的位置关系已知下列说法：①若两个平面α∥β，a∉α，b∉β，则a∥b；②若两个平面α∥β，a∉α，b∉β，则a与b是异面直线；③若两个平面α∥β，a∉α，b∉β，则a与b一定不相交；④若两个平面α∥β，a∉α，b∉β，则a与b平行或异面；⑤若两个平面α∩β＝b，a∉α，则a与β一定相交．其中正确的是________(将你认为正确的序号都填上)．【思路探究】由平面间的位置关系逐一判断．【自主解答】①错，a与b也可能异面；②错，a与b也可能平行；③对，∵α∥β，∴α与β无公共点．又∵a∉α，b∉β，∴a与b无公共点；④对，由已知及③知：a与b无公共点，那么a∥b或a与b异面；⑤错，a与β也可能平行．【答案】③④1．两个平面的位置关系有两种：平行和相交，没有公共点则平行，有公共点则相交．熟练掌握这两种位置关系，并借助图形来说明，是解决本题的关键．2．平面与平面的位置关系的判断方法(1)平面与平面相交的判断，主要是以公理3为依据找出一个交点．(2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是()A．平行B．相交C．平行或相交D．不能确定【解析】如图所示，由图可知C正确．【答案】 C【易错易误辨析】因思维不全面致误设P是异面直线a、b外的一点，则过P与a、b都平行的平面() A．有且只有一个B．恰有两个C．没有或只有一个D．有无数个【错解】如图，过P作a1∥a，b1∥b.∵a1∩b1＝P，∴过a1、b1有且只有一个平面．故选A.【答案】 A【错因分析】本题出错的原因是考虑不全面，漏掉了直线a(或b)与点P确定的平面恰与直线b(或a)平行的情形．【防范措施】在利用图形对问题分析时，要充分考虑符合题设条件的各种情形．【正解】(1)当直线b(或a)平行于直线a(或b)与点P所确定的平面时，则过P与a，b都平行的平面不存在．(2)当直线b(或a)不平行于直线a(或b)与点P所确定的平面时，如图所示，过P作a1∥a，b1∥b.∵a1∩b1＝P，∴过a1、b1有且只有一个平面．【答案】 C【课堂小结】1．空间中直线与平面的位置关系有两种分类方式(1)按公共点的个数分类⎩⎪⎨⎪⎧直线与平面平行直线与平面没有公共点直线与平面不平行⎩⎨⎧直线与平面相交直线与平面有唯一公共点直线在平面内直线与平面有无数公共点(2)按是否在平面内分类⎩⎪⎨⎪⎧直线在平面内直线在平面外⎩⎨⎧直线与平面相交直线与平面平行2．判断直线与平面及平面与平面位置关系常用定义和反证法.。
2.1.3-2.1.4《平面与平面之间的位置关系》
变式2 已知平面α∥平面β，l⊂α，则( )
A．l⊂β
B．l∥β
C．l，β相交
D．以上均有可能
解析：如图所示．
由于平面α∥平面β，所以平面α，β无公共点，又 l⊂α，所以l，β无公共点．所以l∥β.
答案：B
要点三 线线、线面、面面位置关系综合研究 要判断线线、线面、面面位置关系时，除清楚定义 外，还要利用好身边的模型，尤其是“长方形”这个模 型。
其中正确命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：①当点在已知直线上时，不存在过该点的直 线与该直线平行，故①错；
②由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点 与一条已知直线垂直的直线有无数条，故②错；
③过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条， ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ③错；
④过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一 个，故④对．
没有公共点
图形语言
符号 语言
a⊂α
a∩α＝ A
a∥α
2.平面与平面的位置关系
位置关系
图示
符号语言 公共直线条数
两平面平行
α∥β
无
两平面相交
α∩β＝a
有 一条 公共 直线
(对应学生用书29页)
探究1：“直线在平面外”是指直线与平面平行吗？ 提示：直线与平面的位置关系也可认为分成两种： 直线在平面内和直线在平面外，直线在平面外包括直 线与平面平行和直线与平面相交．
变式1 (2010年四川模拟)对于不重合的两个平面α 与β，给定下列条件：
①存在平面γ，使得α、β都平行于平面γ； ②α内有不共线的三点到平面β的距离相等；
③存在异面直线l、m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.
《平面与平面的位置关系》教案
1.２.４平面与平面的位置关系（一）
教学目标
1.了解两个平面的位置关系；掌握两个平面平行的判定方法以及面与面平行的性质定理，并灵活运用面面平行的判定、性质定理。
2.应用类比方法理解并掌握两个平行平面的公垂线、公垂线段、距离的定义，会求两个平行平面间的距离．
3.通过线线、线面、面面平行的转化，进一步理解等价转化思想在解决立体几何问题中的运
用，并提高空间想象能力．
教学重点与难点
本节课的重点是面与面平行的判定、性质的理解及应用．难点是线线平行、线面平行、面面
平行的灵活转化．
教学过程
一、新课引入
观察教室中的四周墙壁，这四个平面两两之间是什么关系？利用手中的两本书作为两个平
面，摆一摆，两个平面具有哪几种位置关系？
工人师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平的（即桌面与地面平行），你知道其中的奥秘吗？
二、数学建构
1、学习指引
研究三维空间中物体的位置关系是立体几何重要内容之一，以上问题涉及到两个平面之
间的位置关系，你能够通过类比及转化，进一步研究两个平面之间的位置关系吗？
在前面我们已经通过直线与直线、直线与平面的公共点个数，可判断它们的位置关系，类
比思考两个平面之间的位置关系有哪几种？
如何判断两个平面平行？
思考：
（1）、平面内有一条直线与平面平行，则//，对吗？
（2）、平面内有两条直线与平面平行，则//，对吗？
（3）、平面内有无数条直线与平面平行，则//，对吗？。
平面与平面之间的位置关系教案
平面与平面之间的位置关系教案一、教学目标1. 让学生理解平面与平面之间的位置关系，包括平行和相交两种情况。
2. 让学生掌握如何判断两个平面是否平行或相交，并能够运用这个知识解决实际问题。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学内容1. 平面与平面平行的判定与性质2. 平面与平面相交的判定与性质3. 实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：平面与平面平行的判定与性质，平面与平面相交的判定与性质。
2. 教学难点：如何判断两个平面是否平行或相交，以及如何在实际问题中运用这个知识。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解平面与平面之间的位置关系的定义、判定和性质。
2. 利用多媒体展示实例，帮助学生直观理解平面与平面之间的位置关系。
3. 引导学生进行实践操作，培养学生的动手能力。
4. 设计具有针对性的练习题，巩固所学知识。
五、教学过程1. 导入：通过生活实例引入平面与平面之间的位置关系，激发学生的学习兴趣。
2. 新课导入：讲解平面与平面平行的判定与性质。
3. 实例分析：利用多媒体展示实例，让学生直观理解平面与平面平行的判定与性质。
4. 课堂练习：设计具有针对性的练习题，让学生巩固所学知识。
5. 新课导入：讲解平面与平面相交的判定与性质。
6. 实例分析：利用多媒体展示实例，让学生直观理解平面与平面相交的判定与性质。
7. 课堂练习：设计具有针对性的练习题，让学生巩固所学知识。
8. 总结与拓展：总结本节课所学内容，引导学生思考平面与平面之间的位置关系在实际问题中的应用。
9. 课后作业：布置适量作业，让学生进一步巩固所学知识。
10. 教学反思：对课堂教学进行总结，针对学生的掌握情况，调整教学策略。
六、教学评价1. 评价内容：学生对平面与平面之间位置关系的理解，包括平行和相交的判定与性质。
2. 评价方法：通过课堂练习、课后作业和课堂讨论等方式进行评价。
3. 评价指标：a. 学生能够准确判断平面与平面的位置关系；b. 学生能够运用所学知识解决实际问题；七、教学反馈1. 收集学生作业、练习和测试成绩，分析学生对平面与平面之间位置关系的掌握情况。
平面与平面之间的位置关系教案
学智教育教师备课手册教师姓名学生姓名填写时间学科年级上课时间课时计划教学目标教学内容平面与平面之间的位置关系个性化学习问题解决教学重点、难点教学过程一、基础知识导学1．空间两个平面的位置关系（有交点的是相交；没交点的是平行）.2．理解并掌握空间两个平面平行的定义；掌握空间两个平面平行判定定理（如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行）和性质定理（如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行）.3．理解并掌握空间两个平面垂直的定义（一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面垂直）；判定定理（如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直）和性质定理（如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面）. 4．二面角的有关概念（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角）与运算；二面角的平面角（以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角），二面角的平面角的常见作法(定义法、三垂线定理及逆定理法、垂面法等).二、疑难知识导析1．两个平面的位置关系关系的判定关键看有没有公共点.2．面面平行也是推导线面平行的重要手段；还要注意平行与垂直的相互联系，如：如果两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行；如果两条直线都垂直于一个平面，则这两条直线平行等.在证明平行时注意线线平行、线面平行及面面平行的判定定理和性质定理的反复运用.3．对于命题“三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线互相平行或者相交于同一点.”要会证明.4.在证明垂直时注意线线垂直、线面垂直及面面垂直的判定定理和性质定理的反复运用.5．注意二面角的范围是，找二面角的平面角时要注意与棱的垂直直线，这往往是二面角的平面角的关键所在.求二面角的大小还有公式,用的时候要进行交代.在二面角棱没有给出的情况下求二面角大小方法一：补充棱；方法二：利用“如果”；方法三：公式等，求二面角中解三角形时注意垂直（直角）、数据在不同的面上转换.三、经典例题导讲[例1]一直线与直二面角的两个面所成的角分别为α，β，则α+β满足（）.A.α+β<900B.α+β≤900C.α+β>900D.α+β≥900错解:A.错因：忽视直线与二面角棱垂直的情况.正解：B.[例2].如图，△ABC是简易遮阳棚，A，B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角应为（）.A．90°B．60°C．50°D．45°错解:A.正解：C[例3]已知正三棱柱ABC-A1B1C1底面边长是10，高是12，过底面一边AB，作与底面ABC成角的截面面积是_____.错解：.用面积射影公式求解：S底=S截=.错因：没有弄清截面的形状不是三角形而是等腰梯形.正解：.[例4]点是边长为4的正方形的中心，点，分别是，的中点．沿对角线把正方形折成直二面角D－AC－B．（1）求的大小；（2）求二面角的大小．错解:不能认识折叠后变量与不变量.不会找二面角的平面角.正解：（1）如图，过点E作EG⊥AC，垂足为G，过点F作FH⊥AC，垂足为H，则，．因为二面角D－AC－B为直二面角，又在中，，．．（2）过点G作GM垂直于FO的延长线于点M，连EM．∵二面角D－AC－B为直二面角，∴平面DAC⊥平面BAC，交线为AC，又∵EG⊥AC，∴EG⊥平面BAC．∵GM⊥OF，由三垂线定理，得EM⊥OF．∴就是二面角的平面角．在Rt EGM中，，，，∴．∴．所以，二面角的大小为[例5]如图，平面α∥平面β∥平面γ，且β在α、γ之间，若α和β的距离是5，β和γ的距离是3，直线和α、β、γ分别交于A、B、C，AC＝12，则AB＝，BC＝ .解:作′⊥α，∵α∥β∥γ，∴′与β、γ也垂直，′与α、β、γ分别交于A1、B1、C1.因此，A1B1是α与β平面间的距离，B1C1是β与γ平面间的距离，A1C1是α与γ之间的距离.∴A1B1＝5，B1C1＝3，A1C1＝8，又知AC＝12AB=，，BC= .答：AB=，BC＝ .[例6] 如图，线段PQ分别交两个平行平面α、β于A、B两点，线段PD分别交α、β于C、D两点，线段QF分别交α、β于F、E两点，若PA＝9，AB＝12，BQ＝12，△ACF的面积为72，求△BDE的面积.解：∵平面QAF∩α＝AF，平面QAF∩β＝BE又∵α∥β，∴AF∥BE同理可证：AC∥BD.∴∠FAC与∠EBD相等成互补由FA∥BE，得：BE：AF＝QB：QA＝12：24＝1：2，∴BE=由BD∥AC，得：AC：BD＝PA：PB＝9：21＝3：7，∴BD=又∵△ACF的面积为72，即＝72S==,答：△BDE的面积为84平方单位.[例7]如图，B为ACD所在平面外一点，M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心.（1）求证：平面MNG∥平面ACD（2）求S：S解:（1）连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H∵M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心，则有：连结PF、FH、PH有MN∥PF又PF平面ACD∴MN∥平面ACD同理：MG∥平面ACD，MG∩MN＝M∴平面MNG∥平面ACD.（2）由（1）可知：∴MG=，又PH=∴MG=，同理：NG=，∴△MNG∽△ACD，其相似比为1：3∴S：S=1：9[例8]如图，平面EFGH分别平行于CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CD＝a，AB＝b，CD⊥AB.(1)求证：EFGH是矩形.(2)求当点E在什么位置时，EFGH的面积最大.(1)证明：∵CD∥面EFGH,而面EFGH∩面BCD＝EF.∴CD∥EF同理HG∥CD.∴EF∥HG同理HE∥GF.∴四边形EFGH为平行四边形由CD∥EF，HE∥AB∴∠HEF为CD和AB所成的角或其补角，又∵CD⊥AB.∴HE⊥EF.∴四边形EFGH为矩形.(2)解：由(1)可知在△BCD中EF∥CD，其中DE＝m，EB＝n∴由HE∥AB∴又∵四边形EFGH为矩形∴S矩形EFGH＝HE·EF＝·b·a＝ab∵m＋n≥2，∴（m＋n）2≥４mn∴≤，当且仅当m＝n时取等号，即E为BD的中点时,S矩形EFGH=ab≤ab，矩形EFGH的面积最大为ab.点评：求最值时经常转化为函数求最值、不等式求最值、导数求最值、线性规划求最值等.四、典型习题导练1. 山坡面α与水平面成30°的角，坡面上有一条公路AB与坡角线BC成45°的角，沿公路向上去1公里时，路基升高_____米．2. 过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，且PA=AB，则平面ABP与平面CDP所成二面角(小于或等于90°)的度数是_____．3. 在60°二面角的棱上，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段．已知：AB＝4cm，AC=6cm，BD＝8cm，求CD长．4.如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°.求证：平面ABC⊥平面BSC.5. 已知：如图，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E，又SA=AB，SB=BC，求二面角E－BD－C的度数.2011-09-09 人教网课堂练习。
高中数学2.1.4平面与平面之间的地位关系教案新人教A版必修2
2.1.4 平面与平面的地位关系教学目标:1.从直线与直线、直线与平面的各种地位关系，类比联想平面与平面的地位关系；2.经过直观感知、操作确认的方法得出两个平面的地位关系，并给出相应的定义；3.会用文字言语、符号言语、图形言语表示两个平面的地位关系；4.按照“直观感知—操作确认—思辨论证”的认识过程展开教学活动，培养和发展先生的几何直觉，运用图形言语、符号言语进行交流的能力、空间想象能力与必然的推理论证能力．教学重点:平面与平面的地位关系．教学难点:用图形言语表示两个平面的地位关系、两个平面相交时,交线的作法．教学过程:一、复习旧知引出课题空间几何体各式各样，千姿百态，如何认识和把握它们呢？普通的方法是，从构成几何体的基本元素——点、直线、平面动手，研讨它们的性质和彼此之间的地位关系．经过学习，我们知道空间中直线与直线的地位关系有：共面直线（相交直线、平行直线）、异面直线；空间中直线与平面的地位关系有：直线在平面内、直线在平面外（直线与平面相交、直线与平面平行），那么平面与平面的地位关系有哪些呢？二、直观感知、思辨论证生活中处处给我们以平面与平面地位关系的抽象，譬如教室的天花板与地面的关系、左面与地面的关系等等．我们也能够经过动手操作直观的感受平面与平面的地位关系．生活实例直观感知：拿出两本书，看作两个平面，上下、摆布挪动和翻转，它们之间的地位关系有几种？先生1：平行、相交．师：请你摆放出这两种地位关系的模型．先生1:用书本摆放这两种地位关系的模型．师：这样的模型表示两个平面的哪种地位关系？先生2：相交．师：这两本书既没有公共点又感觉不平行，为甚么说它们是相交的呢？先生2：由于平面是无量延展的，所以这两本书所在的平面是相交的．我们还可以经过几何体模型直观的感受平面与平面的地位关系．平行六面体模型直观感知：如图，围成平行六面体D C B A ABCD ''''-的六个面，两两之间的地位关系有几种？ A 1D 1C 1B 1D CB A先生3：平行、相交．经过生活实例和对平行六面体模型的观察、考虑，我们可以看出，两个平面之间的地位关系有且只需以下两种：（1） 两个平面平行；（2） 两个平面相交．师:两个平面平行如何定义？先生4：两个平面没有公共点．师：直线与直线平行，直线与平面平行也是这样定义的吗？先生5：当直线与平面没有公共点时，直线与平面平行；当直线与直线没有公共点时，直线与直线平行或异面．师：用定义法判断两个平面平行关系，可行性如何？先生6：由于平面是无量延展的，所以要阐明两个平面没有公共点是一件很难的事情．师：理解的很好,我们在理想生活中看到的平面理论上是平面的局部外形,两个平面的局部没有公共点并不代表着它们延展以后也没有公共点,所以用定义法判断两个平面平行关系是比较困难的．师：两个平面平行的图形言语如图,画两个互相平行的平面时,为了突出直观性,要留意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行; 两个平面平行的符号言语是βα//．师:两个平面相交如何定义？先生7：两个平面有公共点时，两个平面相交．师：这里的“有”该怎样理解？先生7：“有”该当是“存在”的意思．师：用定义判断两个平面能否相交，可行性如何？先生8：只需求找到一个公共点，可行性强．师：当两个平面相交时，公共点有几个？它们是如何分布的．先生9：有无量多个，分布在一条直线上．师：有根据吗?先生9：有，公里3．师：你能复述一下公理3吗?先生9：:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只需一条过该点的公共直线．师：很好，根据公理3，两个平面相交时公共点的轨迹是一条直线，因而两个相交平面的图形言语如图所示：看不见的线用虚线表示，符号言语记为：l =⋂βα,或EF =⋂βα．三、动手操作 理解定义例1 如图，试根据以下要求，把被遮挡的部分改为虚线,并动手摆出这两个图形言语表达的模型：（1） 线段AB 没有被平面α遮挡； a B A（2）线段AB 被平面α遮挡．a BA本例设计意图:把两个相交平面的图形言语转化为理想中的模型,培养先生的空间想象能力．教具设计及教学方法:四块平面模型，屏幕上投影标题与图形,两块小黑板上给出图形,两个先生上台动手画图,并利用模型摆放出这两种图形对应的地位关系．例2 已知平面βα，,直线b a ,,且βα//,α⊂a ,β⊂b ,则直线a 与直线b 具有怎样的地位关系?你能用模型摆放它们的地位关系并用学过的定义，定理或者公理证明你的操作结果吗？本例设计意图:把题设中几何元素之间地位关系的符号言语转化为图形言语,培养先生运用图形言语、符号言语进行交流的能力;本题考查了两个平面的地位关系的定义,从高维(面面地位关系)到低维(线线地位关系)的转化．答： βα// ∴直线b a ,没有公共点∴直线a 与直线b 是平行直线或异面直线．例3 一个平面把空间分成几部分?两个平面把空间分成几部分? 三个平面把空间分成几部分?你能用图形言语给出这些结论吗?本例设计意图:本题考查了先生的空间想象能力,和把空间想象能力转化为用图象言语表达的能力, 也可引导先生类比低维的一个成绩:一条直线把平面分成几部分? 二条直线把平面分成几部分?三条直线把平面分成几部分?因而本题也在两个平面地位关系的基础上,考查了分类讨论的思想,和类比联想、降维的数学思想方法． 答: 一个平面把空间分成二部分;两个平面把空间分成3或者4部分; 三个平面把空间分成4,或6,或7,或8部分．四、 小结提炼 自主提升小结提炼：1. 当两个平面没有公共点时这两个平面是平行的，这个定义简洁明了，但是在判断两个平面能否平行时操作性差，同学们课后考虑一下，能否存在着一个操作性强的方法，能够用来判断两个平面能否平行？2. 只需找到一个公共点就能够阐明两个平面是相交的，两个平面的交线是经过该点的直线，因而要作出两个平面的交线，还需求找到另外一个公共点．这两个公共点怎样找？这是本节课的难点之一，请同学们自主探求线面的练习，动手画一画： 练习：如图所示，G 是正方体1111D C B A ABCD -的棱1DD 延伸线上的一点，F E ,是棱AB ，BC 的中点．试分别画出过以下各点、直线的平面与正方体表面的交线．(1)过点G 及AC ；(2)过三点1,,D F E ．本例设计意图: 两个平面相交时,交线的作法是本节课的教学难点，公里3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只需一条过该点的公共直线．运用公里3得到以下结论：两个相交平面内各有一条直线，如果这两条直线相交，则交点在两个平面的交线上．本例把一部分教学难点移到课外,次要是让先生有充足的工夫去考虑、探求，动手作图，积累宝贵的碰壁经历，从而逐渐认识到立体几何思想的周到性．。
高中数学人教A版 必修2 2.1.4 平面与平面之间的位置关系 教案
2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系学习目标：1.了解直线与平面的三种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示．(重点、易错点)2.了解不重合的两个平面之间的两种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示．(难点)[自主预习·探新知]1．直线与平面的位置关系1．思考辨析(1)若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．()(2)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行. ()(3)若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行. ()(4)若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行．()[提示](1)×平行或异面．(2)×也可能相交．(3)√(4)×也可能相交．2．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交D[∵a∥平面α，∴a与平面α无交点，故选D.]3．已知平面α∥平面β，若P，Q是α，β之间的两个点，则()A．过P，Q的平面一定与α，β都相交B．过P，Q有且仅有一个平面与α，β都平行C．过P，Q的平面不一定与α，β都平行D．过P，Q可作无数个平面与α，β都平行C[当过P，Q的直线与α，β相交时，过P，Q的平面一定与平面α，β都相交，排除B，D；当过P，Q的直线与α，β都平行时，可以作唯一的一个平面与α，β都平行，排除A，故选C.][合作探究·攻重难]直线与平面的位置关系①如果a，b是两条平行直线，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则a∥b；④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α；⑤如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，则AB∥α.A．0B．1C．2D．3C[如图，在正方体ABCDA′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面BCC′B′，A′D′∥平面BCC′B′，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即④正确；⑤显然正确，故答案为C.][规律方法]直线与平面位置关系的判断(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点．(3)可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．提醒：在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．[跟踪训练]1．下列说法中，正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行；③两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行．A．0 B．1C．2 D．3C[易知①正确，②正确．③中两条相交直线中一条与平面平行，另一条可能平行于平面，也可能与平面相交，故③错误．选C.]平面与平面的位置关系[1．如何从有无公共点的角度理解两平面位置关系？[提示]如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行．2．若一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面之间有什么位置关系？[提示]因为一个平面内任意一条直线都与另一个平面平行，所以该平面与另一平面没有公共点，根据两平面平行的定义知，这两个平面平行．3．平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α∥β是否正确？[提示]不正确．如图，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条a1，a2，…，a n，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，a n与平面β都平行，但此时α不平行于β，而α∩β＝l.以下四个命题中，正确的命题有()①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧面且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；④平面α内两条相交直线和平面β内两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行. A．③④B．②③④C．②④D．①④思路探究：依据平面与平面平行的定义判断，亦可借助长方体进行判断．A[当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误．][规律方法]1．平面与平面的位置关系的判断方法(1)平面与平面相交的判断，主要是以公理3为依据找出一个交点．(2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．2．常见的平面和平面平行的模型(1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行．(2)长方体的六个面中，三组相对面平行．[跟踪训练]2．两平面α、β平行，a⊂α，下列四个命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．其中正确命题的个数有()A．1 B．2C．3 D．4B[①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条平行，有一些是异面；②正确；③中直线a与β内的无数条直线垂直；④根据定义a与β无公共点，正确．故选B.][当堂达标·固双基]1．已知直线a在平面α外，则()A．a∥αB．直线a与平面α至少有一个公共点C．a∩α＝AD．直线a与平面α至多有一个公共点D[直线a在平面α外，则直线a与平面α平行或相交，故直线a与平面α至多有一个公共点．选D.]2．以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是() A．0B．1C．2D．3 A[如图所示，在长方体ABCDA′B′C′D中，AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误．]3．下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为________．①②[①中两个平面也可能相交；②α与β可能平行也可能相交．]4．如图2130，在正方体ABCDA1B1C1D1中判断下列位置关系：图2130(1)AD1所在的直线与平面B1BCC1的位置关系是________．(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．(1)平行(2)相交[(1)AD1所在的直线与平面B1BCC1没有公共点，所以平行．(2)平面A1BC1与平面ABCD有公共点B，故相交．]5．作出下列各题的图形．(1)画直线a，b，使a∩α＝A，b∥α.(2)画平面α，β，γ，使α∥β，γ∩α＝m，γ∩β＝n.[解]如图所示：。
2.1.4 平面与平面之间的位置关系
2.1.4 平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系是几何学中的重要问题。
它描述了两个平面之间的相对位置，在设计和建造中都非常重要。
在这篇文章中，我们将探讨平面与平面之间的三种不同的位置关系：平行、交叉和重合。
1. 平行关系两个平面如果不相交，而且它们的法向量平行，则被称为平行平面。
两个平面之间存在平行关系，意味着它们在空间中始终保持相同的距离。
这种关系在工程、建筑、制造和设计等领域非常常见。
在计算机图形学中，两个平行平面可以通过平移、旋转或缩放等变换来转换成相同的平面。
这种关系可以用以下公式来表示：(Pl1 // Pl2) ⇔ n1 || n2其中，Pl1 和 Pl2 表示两个平面，n1 和 n2 分别表示它们的法向量。
符号“//”表示平行关系，符号“||”表示向量平行。
2. 交叉关系交叉关系是指两个不相交的平面在某一点处相交，但在这个点的邻域内仍然不相交。
这种关系在空间几何中非常常见，例如在两个不同的墙面相交的地方。
如果两个平面的法向量不平行，则它们必须相交，除非它们的法线在同一条直线上。
这种关系可以用以下公式来表示：其中，符号“∩”表示交叉关系，符号“≠ Ø”表示它们的交点不是空集。
3. 重合关系两个完全一致的平面被称为重合平面。
这种关系在空间中很少见，但在建筑、制造和设计等领域中经常发生。
其中，“≡”表示重合关系，而“d1”和“d2”分别表示两个平面与原点之间的距离。
总结平面与平面之间的位置关系是几何学中的重要问题。
它们可以被归为三类：平行、交叉和重合。
这些关系在工程、建筑、制造和设计等行业中非常重要。
掌握这些关系的几何公式和概念，可以帮助人们更好地理解和处理空间中的问题。
《平面与平面之间的位置关系》教案
《平面和平面之间的位置关系》教案教学目标1．了解两个平面的位置关系，掌握两个平面平行的概念．2．掌握两个平面平行的判定定理，并能熟练运用两个平面平行的判定定理证明两个平面平行．3．掌握两个平面平行的性质定理，并能运用面面平行的判定定理和性质定理，初步实现“线线平行”，“线面平行”与“面面平行”相互转化的思想．教学重难点重点：两个平面的位置关系，两个平面平行的概念和判定定理、性质定理及其运用．难点：两个平面平行的判定定理及性质定理及其运用．教学过程：一、问题情境情境：长方体模型的面，教室的不同的墙面给我们以平面的形象，感受两个平面之间可能的位置关系．问题：根据公共点的情况，两个平面可能有哪几种位置关系呢？二、研探新知1．两个平面的位置关系(1)一个平面内的直线是否平行于另一个平面？(2)分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是怎样的呢？对于问题(1)，根据两个平面平行及直线和平面平行的定义可知，两个平面平行，其中一个平面内的直线必定平行于另一个平面．(判定线面平行的又一种方法) 对于问题(2)，分别在两个平行平面内的两条直线必定没有公共点，所以只能判定它们平行或异面．那什么情况下两个平行平面内的两条直线平行呢？ 三、课堂小结（1）两个平面平行——没有公共点.画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的平行四边形的对应边平行；（2）如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.两个平面相交——有一条公共直线；（3）如果两个平面没有公共点，则两平面平行⇔若φβα=⋂,则βα//.如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交⇔若AB =⋂βα,则α与β相交.四、布置作业 P50练习。
《平面与平面之间的位置关系》参考教案
2.1.4 平面与平面之间的位置关系
教学目的：通过生活实例以及长方体模型让学生观察、思考，得出两个平面之间的位置关系只有两种：平行与相交，培养学生关注生活、联系实际的习惯。
教学重点：两个平面之间的两种位置关系：平行与相交。
教学难点：本节练习的教学。
教学过程
一、复习提问
1、空间中两条直线有几种位置关系？分别是什么？
2、直线与平面在几种位置关系？分别是什么？
3、两条异面直线所成的角怎么求？
二、新课
1、新课引入
（1）拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，看看它们之间的位置关系有几种？
（2）如图，围成长方体ABCD－A’B’C’D’六个面，两两之间的位置关系有几种？
2、新课
在问题（1）中，通过观察可以发现，两本书可以平行，也可以是相交，注意平面是无限延展的。
在问题（2）中上下面，左右面，前后面是平行的，相邻的两个面是相交的，所以位置关系有平行与相交两种。
两个平面之间的关系有且只有两种：
（1）两个平面平行――没有公共点；
（2）两个平面相交――有一条公共直线。
两个平行平面的画法
画两个互相平行平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形
的对应边应平行。
两个平行平面的表示：
平面α与β平行，记作：α∥β
探究
已知平面α，β，直线a，b，且α∥β，a⊂α，b⊂β，则直线a与直线b具有什么样的位置关系？
没有交点，有可能平行，有可能是异面直线。
练习：
如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论。
有可能1条，也有可能3条交线。
高中数学必修二(2.1.4平面与平面之间的位置关系)示范教案新人教A版必修2
解： 如图 11, 分别连接并延长线段 EF、 BD，
图 11
∵线段 EF、 BD共面且不平行，∴线段 EF、 BD相交于一点 P.
∴连接 GP交线段 CD于 H, 分别连接 EG、 GH、 FH即为所作交线 .
点评： 利用公理 3 作两平面的交线是高考经常考查的内容，是两平面关系的重点
.
知能训练
三棱柱的各面把空间分成几部分 ?
2.
图2
图3
③如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线
. 此时，就说
两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理
3. 如图 3，用符号语言表示为： P∈ α 且
P∈ β α ∩ β =l, 且 P∈ l.
④两个平面相交——有一条公共直线 .
⑤如果两个平面没有公共点，则两平面平行
图7
答案： D
点评： 判断正误要结合图形，并善于发现反例，即注意发散思维
.
思路 2
例 1 α ∩β =l,a α,b β , 试判断直线 a、 b 的位置关系 , 并画图表示 .
活动 : 学生自己思考或讨论，再写出正确的答案 . 教师在学生中巡视，发现问题及时纠正 , 并
及时评价 .
解： 如图 8, 直线 a、 b 的位置关系是平行、相交、异面 .
图8 变式训练
α ∩ β=l,a α ,b β ,b ∩ β =P, 试判断直线 a、 b 的位置关系 , 并画图表示 . 解： 如图 9, 直线 a、 b 的位置关系是相交、异面 .
图9
直线 a、 b 不可能平行，这里仅要求学生结合图形或实物模型加以体会，学完下一节后
可以证明 .
点评：结合图形或实物模型判断直线与平面的位置关系， 目的在于培养学生的空间想象能力 .
2.1.4平面与平面之间的位置关系
定理：一个平面过另一个平面内的，则这两个平面垂直.
图形：
符号：
思考：如果一个平面经过另一个平面的斜线，这两个平面还垂直吗？
应用新知
练习：
1.已知AB⊥面BCD，BC⊥CD,请问哪些平面互相垂直？
2.（证明判定定理）
学后反思
（请你用笔在二面角模型中画出这个平面角，小组内交流画法，并说出你这样画的理由.）
二面角的平面角
如图，在二面角 的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面 和 内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的．
注：（1）二面角的平面角的大小与O点位置．
（2）二面角的平面角的范围是．
课堂学习研讨、合作交流
（1） 二面角
（类比角的定义、符号表示）
定义：从一条直线出发的___________所组成的图形叫做二面角．
这条直线叫二面角的，两个半平面叫二面角的．
图象：
符号：
探究1：如何度量二面角的大小？
问题：二面角是空间的，不能直接量，根据异面直线所成角和线面角的研究经验，必须将空间角转化为平面角来研究.如何用一个平面角来刻画二面角呢？平面角的顶点和边应该怎么摆放？
2.3.2平面与平面垂直的判定
班级：姓名：小组：
学习目标
1.理解“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；
2.掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用.
学习重点
难点
重点：平面与平面垂直的判定
难点：作出或找出二面角的平面角
学法指导
通过课前自主预习，理解“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”的定义；小组合作探究得出二面角的平面角的做法以及平面与平面垂直的判定定理．
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2.1.4 平面与平面之间的位置关系
整体设计
教学分析
空间中平面与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，平面与平面的相交和平行是本节的重点和难点.空间中平面与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的，
要求学生在公理3的基础上会判断平面与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空间中平面与平面之间的位置关系.
三维目标
1.结合图形正确理解空间中平面与平面之间的位置关系.
2.进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换.
3.培养学生全面思考问题的能力.
重点难点
平面与平面的相交和平行.
课时安排
1课时
教学过程
复习
1.直线与直线的位置关系:相交、平行、异面.
2.直线与平面的位置关系：
①直线在平面内——有无数个公共点,
②直线与平面相交——有且只有一个公共点,
③直线与平面平行——没有公共点.
导入新课
思路1.(情境导入)
拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？
思路2.(事例导入)
观察长方体（图1），围成长方体ABCD—A′B′C′D′
的六个面，两两之间的位置关系有几种？
图1
推进新课
新知探究
提出问题
①什么叫做两个平面平行？
②两个平面平行的画法.
③回忆两个平面相交的依据.
④什么叫做两个平面相交?
⑤用三种语言描述平面与平面之间的位置关系.
活动:先让学生思考，后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答
不准确的学生提示引导考虑问题的思路.
问题①引导学生回忆直线与平面平行的定义.
问题②怎样体现两个平面平行的特点.
问题③两个平面有一个公共点,两平面是否相交.
问题④回忆公理三.
问题⑤鼓励学生自我训练.
讨论结果：
①两个平面平行——没有公共点.
②画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的平行四边形的对应边平行，如图 2.
图2 图3
③如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理 3.如图3，用符号语言表示为：P∈α且P ∈βα∩β=l,且P∈l.
④两个平面相交——有一条公共直线.
⑤如果两个平面没有公共点，则两平面平行若α∩β＝,则α∥β．
如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交若α∩β=AB,则α与β相交.
两平面平行与相交的图形表示如图 4.
图4
应用示例
思路1
直线a,b,且α∥β,aα,bβ，
则直线a与直线b具有怎样的位置关系?
例1 已知平面α,β，
活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正,并及时评价.
解：如图5,直线a与直线b的位置关系为平行或异面.
图5
例2 如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.
解：三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条,如图6.。