第6章 特殊平行四边形与梯形

第6章特殊平行四边形与梯形
本章是上一章《平行四边形》的深化且延续，从知识体系上看从旋转变换定义了中心对称图形平行四边形以后，从角的特殊性（直角）、从边的特殊性（等边）得到矩形和菱形；从对图形研究的角度看，推理论证在这一章中得到加强与深化，进一步要求学生能清晰、有条理表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据．同时通过“合作学习”等形式，让学生自主探索这些基本图形的性质及其相互关系，从而丰富对空间图形的认识和感受．应该指出的是：在本套教材中，几何推理证明到此已达到最高要求，根据《数学课程标准》，在后续九（上）《圆的基本性质》《相似三角形》，九（下）《直线与圆、圆与圆的位置关系》等章内容中，除了进一步巩固书写格式、继续训练学生运用数学语言合乎逻辑进行交流讨论外，不再提出其他更高的要求．
本章的主要内容有矩形、菱形、正方形、梯形的概念、性质和四边形是矩形、菱形、正方形及等腰梯形的条件．有些内容在前两个学段学生已有接触，但还十分肤浅．本章不是对以前知识的简单复习，而是同类知识的螺旋上升．
特殊平行四边形与梯形的概念与性质是学好本章的关键，也是为学好整个平面几何打下一个坚实的基础，是本章的教学重点．与基本图形（矩形、菱形、正方形、梯形）的概念、性质及其相互关系随之而来的是几何证明，学生要正确理解证明的本身，需要一个较长的过程，是本章主要的教学难点．
本章教学时间约需14课时，具体安排如下：
6.1 矩形3课时
6.2 菱形 2课时
6.3 正方形 1课时
6.4 梯形 2课时
课题学习简单平面图形的重心 1课时
复习、评估3课时，机动使用1课时，
合计13课时
一、教科书内容和课程教学目标
(1) 本章知识结构框图如下：
(2) 本章教学要求
①在动手操作（摆火柴棒、折纸）过程中加深对矩形、菱形、正方形的概念、对称性及
其他有关性质的理解，探索并掌握四边形是矩形、菱形、正方形的条件．
②探索并了解等腰梯形的有关性质和四边形是等腰梯形的条件．
③通过交流、讨论、归纳梳理出各个概念的从属关系，各个性质和判定的相互联系与区
别，培养学生概括能力，进行矛盾的普遍性寓于矛盾的特殊性之中的客观规律教育．
④探索并了解线段、矩形、平行四边形、三角形的重心及物理意义（如一根均匀木棒、
一块均匀的矩形木板的重心），培养学生动手操作能力．
⑤了解矩形、菱形、正方形是中心对称图形．欣赏现实生活中的轴对称性与中心对称图
形．并了解它们之间的关系．
(3) 本章教材分析
1．本章的主要内容是特殊平行四边形与梯形，课本从学生生活周围熟悉的物体入手，使学生对物体形状的认识从感性逐步上升到抽象的几何图形．教师可以再补充一些日常生活中的具体的事例，以加深对这些基本图形的认识与理解．
2．矩形、菱形、正方形、梯形之间存在一定区别与联系，矩形、菱形和正方形都是一类特殊的平行四边形，矩形是有一个角是直角的平行四边形，而菱形是有一组邻边相等的平行四边形，正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，因此，它既具有矩形的性质，又具有菱形的性质．梯形不是特殊的平行四边形，它是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形．只有搞清楚它们之间的关系，才能更好把知识学好．可以抓住平行四边形这条主线，搞清楚它们之间的区别与联系．
3．本章的学习要注意多从实物出发，让学生感受到图形世界无处不在，引起学生学习的兴趣．还可以结合一些具体问题，让学生感受学习空间与图形知识的重要性和必要性．对于一些抽象的概念、性质等，也要从解决实际问题引入，让学生在探索中真正理解这些性质．同时要注意概念的定义和性质的表述，逐步使学生懂得几何语句的意义并能建立几何语句与图形之间的联系．这些不仅是学习好本章的关键，对于学好整个平面几何各章也是很重要的．4．在教学中应注重对证明本身的理解，虽然前面已有接触，但学生还不熟练，这需要一个过程．因此，教学中不要过分追求证明的数量和技巧，要控制一定的难度，控制在《标准》所规定的范围内．
二、本章编写特点
（一）充分利用现实世界中的实物原型进行教学，展示丰富多彩的几何世界
人们生活在三维空间中，丰富多彩的图形世界给“空间与图形”的学习提供了大量现实有趣的素材．在本章内容的呈现中，充分体现从生活中的实物原型到平面图形，再到基本图形——矩形、菱形、正方形、梯形，从而更好地“把握图形”．
在本章教科书的许多地方，如菱形、梯形概念的引入，基本图形的性质与判定的探究，以及合作学习、课内练习、探究活动、作业题中都呈现了大量生活中的图形，在实际教学时还可以向学生展现更多他们熟悉的生活中的物体和图形，增加学生的直观感受，提高学习空间与图形知识的兴趣，从而更好地认识图形，了解图形，最终达到用图形解决现实生活中的实际问题．
（二）强调学生的动手操作和主动参与，让他们在观察、操作、想像、交流等活动中认识图形，树立图形观念．
学习方式的转变是课程改革的一个重要目标，与其他数学内容相比，“空间与图形”的教学更容易激起学生学习数学的热情．在本章的编写中，注意从学生已有的生活经验和已有的知识出发，给学生提供“现实的、有意义的、富有挑战性的”学习材料，提供充分的数学活动和交流的机会，引导他们在“做数学”的活动中，在自主探索的过程中获得知识和技能，掌握基本的数学思想方法．
在本章的教科书中，设置了许多“合作学习”“想一想”“探究活动”等栏目，让学生在观察、操作、想像、交流等活动中认识图形等．比如利用火柴棒首尾相接摆成平行四边形，再通过观察思考这个平行四边形的特点，从而引出矩形、菱形的概念．再比如，利用一张长方形纸片，对折两次，再按照要求剪开，然后通过观察剪出的图形的特点，从而探究出判定菱形的方法等．通过这些“探究点”，鼓励学生勤思考、勤动手、多交流．其中，动手操作是学习开始阶段重要的一环，它可以帮助学生认识图形，丰富直观，验证学生的空间想像能力．（三）重视几何语言与证明思想的培养和训练
在本章，特别注意“几何模型→图形→文字→符号”这个抽象的过程．首先，教科书强调实物原型的作用，引入了大量实物模型，让学生从中抽象出几何图形，并从几何图形中抽象出文字和符号．其次，教科书重视几何证明的作用，对于对象的文字和符号描述，都是紧密联系图形，使抽象与直观结合起来，在图形的基础上培养证明思想，从而解决几何证明的有关问题．
例如，利用一张长方形纸片，对折两次，再按照要求剪开，然后通过观察剪出的图形的特点，从而探究出判定菱形的方法．这样通过学生自己动手探究出判定菱形的方法，实现了“几何模型→图形→文字”的过程，然后，再将它转化为符号语言并加以论证．因此，教学中应重视对学生几何语言的培养，这对学习几何证明非常重要．另外，几何证明也是训练学
生几何语言的一种非常有效的方法，正确的几何证明也能训练人的思维，教师应鼓励学生阅读课文，可以在作业中模仿教材中的证明，注重对证明本身的理解．
三、教学建议
（一）注意与前两个学段的衔接
这一部分知识与前两个学段联系密切，大多数图形、概念在前两个学段都接触过，要衔接前两个学段，就要深入了解前面两个学段数学中“空间与图形”——特殊平行四边形与梯形的有关内容和要求，并了解它们与这一部分内容的联系与区别．
从《数学课程标准》看，与这一章的内容相对应，前面两个学段是要直观认识长方形、正方形、梯形等几何图形，并对这些几何图形进行有关的计算．在这一章，要通过丰富的实例，认识基本图形（矩形、菱形、正方形和梯形）之间的关系，通过对平行四边形的进一步的探究，从而发展几何直觉；进一步认识这些基本图形的概念和一些性质，并能初步利用数学语言加以论证并应用．
了解了这些联系与区别，教学时便可以在学习知识的基础上，把前面两个学段学过的内容加深一步，同时避免完全的重复．
（二）把握好教学要求
在本章，不仅要像第一、二学段那样进一步丰富学生对几何图形的感性认识，还要引导学生逐步认识一些基本图形的特征．这并不意味着要用严格的几何推理的方式来展开学习，而是要强调在实际背景中理解图形的概念和性质，经历探索图形性质的过程．例如对于判定菱形的方法，教科书中先利用一张长方形纸片，对折两次，再按照要求剪开，然后通过观察剪出的图形的特点，从而探究出判定菱形的方法，然后，再将它转化为符号语言并加以论证．而课后让学生在作业中模仿教材中的证明，关键是注重对证明本身的理解，决不能片面追求证明的数量和技巧．
对于推理能力的培养，整套教科书是按照“说点儿理”“说理”“简单推理”“用符号表示推理”等不同层次，分阶段逐步加深地安排的，推理能力的培养既集中在“空间与图形”中，又结合各领域中适宜的内容自然地进行．在本章，由于已经进入第三学段的后半段，已不仅要求学生通过观察、思考、探究等活动归纳出图形的概念和性质，还要“用符号表示推理”，把它作为通过实验探究得到结论的自然延续．矩形、菱形、正方形和等腰梯形的性质的得出都通过说理来加以论证．但要控制一定的难度，证明的要求控制在《数学课程标准》所规定的范围内．
（三）重视现代信息技术的应用
现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响，信息技术工具的使用能为学生的数学学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力和学习工具，重视现代信息技术的使用也正是本套教材的特点之一．
在这一章，利用信息技术工具，可以给我们展现丰富多彩的图形世界，丰富学习资源，有助于学生从中抽象出几何图形；图形的动态演示，连续变化所形成的众多画面变换，可以在大脑中形成图形空间变化的印象，可以帮助学生在动态变化的图形中寻找图形的性质，从而发现解题思路．比如，通过《几何画板》动态演示四边形的变化过程，帮助学生寻找基本图形之间的联系，体会它们之间的内在含义．同时，也鼓励学生自己利用信息技术工具，来丰富自己的知识，提高自己的认识．
（徐鸿斌）。