线性代数-线代1-02
线代1-2全排列和对换
•奇排列：逆序数为奇数的排列; •偶排列：逆序数为偶数的排列.
例2: 计算下列排列的逆序数, 并讨论其奇偶性.
(1) 217986354.
217986354
解: 该排列逆序数为:
0 1001344 5
t = 0+1+0+0+1+3+4+4+5 = 18. 此排列为偶排列.
1. n个不同的元素的所有排列种数为n!个; 2. 排列具有奇偶性; 3. 计算排列逆序数常用的方法.
(2) n(n–1)(n–2) ···2 1 解: n (n–1) (n–2) ···2 1
0 1 2 ···(n–2) (n–1)
于是此排列的逆序数为:
t = 0+1+2+ ···+(n–2)+(n–1) nn 1,
2 当 n=4k, 4k+1 时为偶排列; 当 n=4k+2, 4k+3 时 为奇排列.
四、对换与排列奇偶性的关系
定理1: 排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性.
推论1: 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数, 偶排 列调成标准排列的对换次数为偶数. 推论2: n个自然数的所有排列中奇偶排列各占一半.
证明: 先考虑相邻对换的情形. 例如 a1 a2 ···al a b b1 ···bm 对换 a与b a1 a2 ···al b a b1 ···bm 即除 a, b 外, 其它元素的逆序数不改变.
当 a<b 时, 对换后 a 的逆序数增加1, b 的逆序数不变; 当 a>b 时, 对换后 a 的逆序数不变, b 的逆序数增加1; 因此, 相邻对换排列改变奇偶性.
线性代数第一章笔记1-2-2
(− 1)t ( p p ⋯p )a1 p a2 p ⋯anp ∑
1 2 n 1 2
n
p1 p2⋯ pn
说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 、行列式是一种特定的算式， 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而 定义的; 定义的 2、 n 阶行列式是 n! 项的代数和 、 项的代数和; 3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 、 阶行列式的每项都是位于不同行、 个元素的乘积; 列 n 个元素的乘积 4、 一阶行列式 a = a 不要与绝对值记号相混淆 、 不要与绝对值记号相混淆;
证 由行列式定义有
a11 a12 ⋯ a1n D1 = a21 a22 ⋯ a2n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ an1 an2 ⋯ ann =
(− 1)t ( p p ⋯p )a1 p a2 p ⋯anp ∑
1 2 n 1 2
n
p1 p2⋯pn
a11 a12b−1 ⋯ a1nb1−n 2− n a21b a22 ⋯ a2 nb D2 = ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ n−1 n− 2 an1b an 2b ⋯ ann
t
对于D中任意一项 对于 中任意一项
(− 1) a1 p a2 p ⋯anp ,
t
1 2 n
总有且仅有 D1 中的某一项 (− 1) aq1 1aq2 2 ⋯aqnn ,
s
与之对应并相等; 反之, 与之对应并相等 反之 对于 D1 中任意一项
(− 1)t a p 1a p 2 ⋯a p n , 也总有且仅有 中的某一项 也总有且仅有D中的某一项
3 2 5 0
4 1 = a11a 22 a 33 a 44 = 1 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 8 = 160. 6 8
同理可得下三角行列式 同理可得下三角行列式
线性代数知识点总结(第1、2章)
线性代数知识点总结（第1、2章）（一）行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。
（6）两行成比例，行列式的值为0。
（二）重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式数学归纳法证明★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）展开9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0（四）行列式公式10、行列式七大公式：（1）|kA|=k n|A|（2）|AB|=|A|·|B|（3）|A T|=|A|（4）|A-1|=|A|-1（5）|A*|=|A|n-1（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则（7）若A与B相似，则|A|=|B|（五）克莱姆法则11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。
（六）矩阵的运算12、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。
线性代数第五版第一章1-2
时为奇排列. 当 n = 4k + 2,4k + 3 时为奇排列
(3) (2k )1(2k 1)2(2k 2)3(2k 3 )L(k + 1)k
解
(2k ) 1 (2k 1) 2 (2k 2) 3 (2k 3)L(k + 1) k
↓
↓
↓
↓
↓
0 1
1
2
2
t = 0 + 1 + 1 + 2 + 2 + L + ( k 1) + ( k 1) + k
3排在首位 逆序数为 排在首位,逆序数为 排在首位 逆序数为0; 2的前面比 大的数只有一个 故逆序数为 的前面比2大的数只有一个 故逆序数为1; 的前面比 大的数只有一个3,故逆序数为
5的前面没有比 大的数 其逆序数为 的前面没有比5大的数 其逆序数为0; 的前面没有比 大的数,其逆序数为 1的前面比 大的数有 个,故逆序数为 的前面比1大的数有 故逆序数为3; 的前面比 大的数有3个 故逆序数为 4的前面比 大的数有 个,故逆序数为 的前面比4大的数有 故逆序数为1; 的前面比 大的数有1个 故逆序数为 3 2 5 1 4 0 1 0 3 1 于是排列32514的逆序数为 的逆序数为 于是排列
二、全排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列 ，共有几种不 同的排法？ 同的排法？ 定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个 个不同的元素排成一列， 元素的全排列（或排列） 元素的全排列（或排列）.
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常 个不同的元素的所有排列的种数，
用 P 表示 n表示. 由引例 P3 = 3 2 1 = 6. 同理
《线性代数》第1讲-第1章第1-2节
Linear Algebra
王健 理学院 数学系 北京工商大学 我的邮箱：wangjian04@ 课程主页：/ 登录密码：110
第一章 1 第一章 2
线性代数
课程特点： 一个中心 —— 求解线性方程组 一种工具 —— 矩阵（行列式、向量） 关于教材： 内容基本、难度低 第3.6节、第4.4节、第5.4节选讲 成绩：平时40%（出勤+作业+测验等）+ 期末60% 作业：用作业纸做，单周二交作业, 批阅1/3 作业上交情况及时上传至课程主页 答疑：单周周二下午七八节，工三303（数学系办公室）
a11
即 a 21 a 31 行标
a31
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a 33
+ +
+
a11a 22 a 33 a12 a 23 a 31 a13 a 21a 32 a11a 23 a 32 a12 a 21a 33 a13 a 22 a 31 .
第一章 13
例4 解
1 求解方程
方程左端为
1 3 9
1 x 0. x2
计算三阶行列式
1 D 2 3 2 2 4 4 1 2
D 2 3
2 4
D 3 x 2 4 x 18 9 x 2 x 2 12
1 2 (2) 2 1 ( 3) (4) ( 2) 4
由 1, 2 , 3 组成的 3级排列有： 123 , 132 , 213 , 231 , 312 , 321 .
由自然数 1 , 2 , , n 所构成的不同的 n 级排列 的总数为 n!. 通常用 Pn 表示 .
Pn n ( n 1) ( n 2 ) 3 2 1 n!.
线代1-2
kas1 kas 2 kasn a sn
线性代数 第一章 行列式
c a 例5 利用行列式的性质证明 a 1 1 c
证明
c a 左边= a c a c c a d d b b b c ac b a ac d a ac d c ac
a c c a
d b d b 0. b d b d
§1.2
一、行列式的性质
行列式的性质
如：
行列互换
设n阶行列式
将D的行列互换后得到的行列式称为D的转置行列式,记为
DT (或D' )
线性代数 第一章 行列式
1
性质1 对任何行列式D，有D=DT（行列式与其转置行列式相等）
DT 证明
将DT记为
于是有
bij a ji (i , j 1,2,, n)
解： i(i 1, 2,, n 1)行提出公因子ai，得 第
0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 a1 a 2 a n 1 1 0 0 1 1 2
0 0 0
1
0 0 1 3 n1
0 0 0 n
的值为零。
因为 D=－D1，而D1=D, 所以D=－D，2D=0，
即 D=0.
线性代数 第一章 行列式
5
性质3 用数k去乘行列式的某一行（列）的所有元素，等于 用数k去乘此行列式。 即
a11 D ai 1 a n1 a12 ai 2 an 2 a1n a in a11 D1 kai 1 a n1 a12 a1n
a11 a12 ai 2 as2 an 2 a1n a in 第i行 ） （ a sn（ 第s行 ） a nn
线性代数1和线性代数2
线性代数1和线性代数2
线性代数是数学领域中一种非常重要的分支，它是研究数学中各种解决问题的理论和方法，为科学研究和工程应用提供基础。
线性代数1和线性代数2是完成数学学习必备的两门线性代数课程，本文将对这两门课程进行介绍并对它们新学习者感兴趣的方面加以说明。
线性代数1是研究线性系统、向量空间、矩阵等一般形式的线性方程的概念的一门课程。
它的内容涉及到向量空间的定义和运算、矩阵的表示和求解、矩阵的特征值、行列式的求解、方程组的求解、线性变换等。
这门课程有助于学生对线性系统和线性变换有更加深刻和系统的认识。
线性代数2是深入研究线性可加性、线性无线性性能、线性函数的研究的一门课程。
它的内容涉及到矢量分析、线性函数的微积分、线性变换的基础知识、内积空间等，其中，最关键的是内积空间的理解和使用。
这门课程有助于学生掌握线性无线性性能，加深对线性变换的理解，能够更好地解决线性函数类型的问题。
线性代数1和线性代数2是数学中必修的两门课程，它们具有重要的实际意义和抽象理论价值，掌握它们可以帮助科学技术和工程实践中的解决问题。
在学习这两门课程时，除了学习本身的知识外，学习者还应该努力提高自己的数学思维能力，更好地分析解决复杂的问题。
总之，线性代数1和线性代数2是受到学习者的普遍重视的两门重要的数学课程，在研究科学和工程技术的解决问题时，其概念和方
法都是必不可少的。
如果想要更好地学习和掌握这两门课程，学习者除了学习本身的知识外，还需要在解决复杂问题时灵活运用所学知识，从而提高自己的数学思维能力。
线性代数详细知识点
线性代数 第一章 行列式§1 二阶和三阶行列式一、二元一次线性方程组与二阶行列式结论：如果112212210a a a a -≠，则二元线性方程组 11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩的解为122122*********b a a b x a a a a -=-，1121212112121a b b a x a b b a -=-。
定义：设11122122,,,a a a a ，记11221221a a a a -为11122122a a a a 。
称11122122a a a a 为二阶行列式有了行列式的符号，二元线性方程组的求解公式可以改写为112222111122122b a b a x a a a a =，111122211122122a b a b x a a a a =二、三阶行列式与三元一次线性方程组定义：111213212223313233a a a a a a a a a 112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---定理：如果1112132122233132330a a a D a a a a a a =≠，则***123(,,)x x x 是下面的三元线性方程组的解111122133121122223323113223333a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩当且仅当*1x =112132222333233/b a a b a a D b a a ,*2x =111132122331333/a b a a b a D a b a ,*3x =111212122231323/a a b a a b D a a b 其中111213212223313233a a a a a a a a a 为系数行列式。
线性代数 1-2 第1章2讲-行列式的基本概念(2)
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
01 n 阶行列式是由n!项组成的，结果是一个数.
02 定义式的右边每一项都是 n 个元素的乘积（称为一个乘积项）,这 n 个元素是
由行列式的不同行、不同列的元素构成的.
某一乘积项符号的确定：先把该项的 n个元素按行标排成标准顺序，然后由
03
列标所成排列的逆序数来决定这一项的符号.
当n 4k或n 4k 1时，n(n 1) 为偶数； 2
当n 4k 2或n 4k 3时，n(n 1) 为奇数. 2
6
n阶行列式
结论（3）
a11 a12 a22
a1n a2n a11a22 ann
ann
上三角行列式 对角线下方的元素全为零
解
D 中可能不为 0 的项只有 (1)N a11a22 ann ，
此项的符号为 (1)N (1)0 1 ，
所以 D a11a22 ann .
7
n阶行列式
结论（4） 结论（5）
a11 a21 a22
a11a22 ann
an1 an2
ann
a2 ( n 1)
a1n
a2n
n ( n 1)
(1) 2 a a 1n 2(n1)
an1
a a n(n1)
nn
下三角行列式 对角线上方的元素全为零
线性代数（慕课版）
第一章 行列式
第二讲 行列式的基本概念(2)
主讲教师 |
本讲内容
01 排列及其逆序数 02 二阶、三阶行列式
03 n阶行列式
n阶行列式
定义 用 n2个数aij i, j 1, 2, , n 排列成的一个 n 行 n 列的记号
线性代数1-2
al a bb1
bm
对换 a 与 b
a1
al b ab1
bm
除a,b外，其它元素的逆序数不改变. 逆序数加1或减1，奇偶性改变.
2)
一般情形
对换a与b
a1 al a b1 bm b b c1 cn
a1 al ab1 bm bc1 cn
a1
al bb1
bm ac1
cn ,
m 次相邻对换 a 1
若将t 个偶排列的前两个数对换, 则这t 个偶排列 全变成奇排列,并且它们彼此不同,于是有 t s . 故必有 s t .
本节小结
1. n元排列 2. 逆序 3. 逆序数 4. 奇偶排列 5. 对换 结论1 任一排列经过一次对换奇偶性改变. 结论2 全部n元排列中,奇偶排列各占一半.
t 18
例2 讨论排列 n n 1 n 2 解
nn 1n 2321
n1 n2
321的奇偶性.
t n 1 n 2 2 1 n n 1 , 2 当n 4k ,4k 1 时为偶排列；
当n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
例3 选择i和j,使1i25j4869成为奇排列、偶排列.
1
4.对换
n元排列中, 任意对调两个元素的位置,其余元素 不动,这种变换叫做对换．
奇 偶
25143
偶
25413
奇
这些排列的
奇偶性呢？
2 1 6 排列经过一次对换必改变奇偶性. 证明 1) 特殊情形：相邻对换 设排列为 a1
2.逆序
n元排列中,若较大的元素排在较小的元素 前面，称为一个逆序. 比如 3 2 5 1 4
3.逆序数
排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.
线性代数1-2
a2 j
a a 2n ci kc j 21
a2i ka2 j
a2 j
a2n
an1
ani
anj
ann
an1
ani kanj
anj
ann
注:(1)上述使用性质6得到的新行列式中,变化的是第i列,而第j列不变;
(2)利用性质5易证上述右式等于左式;
(3)性质2,3,6介绍了行列式关于行和列的三种运算,记为 ri rj , ri k ,
1 3 2 1
例1.5.1 求下列4阶行列式的值 D4 2 1
. 00
3 1 0 0
分析:注意到该行列式右下角的四个元素均为0,如果这四个零元素处在右
上角,就构成分块下三角行列式,可以降阶为两个二阶行列式之积.
于是想到借助性质2容易将该行列式转化为分块下三角行列式,即有
解法3:
3 1 0 0
1 p1
jpi
ip j
npn
由 定 义3
D.
证毕.
推论 如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式的值等于零. 性质3 行列式某一行(列)的所有元素都乘以常数k,等于用k乘以这个行列式.
推论 行列式某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.
性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零. 性质5 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和，例如第i列的元素都是
2 0 1 1
1 5 3 3
解:注意到第2列的元素较简单,故从这一列着眼,利用性质设法化出主对角
的上三角行列式.
1 3 1 2
1 3 1 2
c1 c2 1 5 3 4 r2 r1 0 8 4 6
D
线性代数(同济第五版)第一、二章复习提纲PPT课件
-
7
第四节 对 换
一、 对换的定义 二、 对换与排列奇偶性的关系
-
8
小结：
1. 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性．
2.行列式的三种表示方法
D 1 ta p 1 1 a p 2 2 a p n n
D 1 ta 1 p 1 a 2 p 2 a n np
2.k 1akA ik j Dij 0,当 ij;
n
D,当 ij,
k1aik A jkDij 0,当 ij;
其中ij 10,,当 当iijj， .
-
13
第七节 克拉默法则
一、克拉默法则 二、相关定理
-
14
克拉默法则:
如果线性方程组 ( n 个未知变量、 n 个方程）
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23 a1a 12a 233 a1a 22a 331 a1a 32a 132
a 31 a 32 a 33
a1a 12a 332 a1a 22a 133 a1a 32a 23,1
-
3
第二节 全排列及其逆序数
一、概念的引入 二、全排列及其逆序数
-
4
小结：
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
b1 b2
an1 an2 ann bn
对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究.
-
21
二、矩阵的定义
由 mn个数 a i j i 1 , 2 , ,m ; j 1 , 2 , ,n
排成的 m行 n列的数表
a11 a12 a1n
0 1
线性代数第一章笔记1-2-1
a a 1 ⋯ a l a b b1 ⋯ b m
a 1 ⋯ a l b a b1 ⋯ b m a
a1 ⋯ala b1 ⋯bm b c1 ⋯cn a a1 ⋯al b b1 ⋯bm a c1 ⋯cn a
定理2.1 一个排列中的任意两个元素对换， 定理2.1 一个排列中的任意两个元素对换，排 列改变奇偶性． 列改变奇偶性． 证明 设排列为
t = 0 + 1 + 0 + 3 + 1 = 5.
计算下列排列的逆序数， 例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性. 偶性
(1) 217986354
解
2 1 7 9 8 6 3 5 4
0 10 0 1 3 4 4 5
t = 5 + 4 + 4+ 3+1+ 0+ 0+1+ 0
= 18
此排列为偶排列 此排列为偶排列. 偶排列
第二节 n 阶行列式的定义(I) 阶行列式的定义(I)
一、全排列及其逆序数
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 三个数字， 、 、 三个数字 有重复数字的三位数？ 有重复数字的三位数？ 解
百位 十位 个位
1 1 1 2 1 2 3
2 2 1 3
3 3
3种放法 种放法 2种放法 种放法 1种放法 种放法
用 P 表示 n表示. 由引例 P3 = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6. 同理
Pn = n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2) ⋅ ⋯ ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!.
排列的逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序, 我们规定各元素之间有一个标准次序 n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序 标准次序. 不同的自然数，规定由小到大为标准次序 定义 在一个排列 (i1 i 2 ⋯ i t ⋯ i s ⋯ i n ) 中，若数 it > i s 则称这两个数组成一个逆序 则称这两个数组成一个逆序.
线性代数1-2行列式
的余子阵，记作 S ij
a12 a 22 a 32
a13 a 23 中元素 a 23 a 33
a11 a 31
a12 a32
a11 a12 a21 a22 定义1.9 设 A a n1 an 2 a11 a12 a1n
证
由 n 阶行列式的定义，得
a11 a21 det A an1
0 a22 an 2
0
a22
0
0 0
a 0 11 32 a11 (1) an 2 ann
a33 0 a 44 0 a 43 an3
a33
an 3 ann
a 22 0 0 0
a 22 0
0 0 11 (1) a11 0 a nn
a33 0
a nn
a33 a11 ( 1)11 a 22 0
0
a nn
a11a22 ann
（主对角线上 n 个元素的乘积）
2．副对角形行列式
说明： 交换
两行(列)记作
(
)
推论: 若行列式的某两行(列)元素完全相同，则此 行列式等于零。
性质3 行列式的某一行(列)中所有元素都乘以 同一个数k，等于用数k 乘以此行列式。
a11 kai1 a1n a12 kai 2 a2 n a1n
a11 a12 ai 2 a2 n a1n ain ann kain k ai1 a1n ann
零。即：
ai1 Aj1 ai 2 Aj 2 ain Ajn 0 (i j)
辅导讲义(线性代数第一讲)
4、利用行列式行列 展开及余子式和代数余子式解题
12345 11122 【例1.21】 设 D 3 2 1 4 6 ，则（1）A31 A32 A33 （ 22211 43210
（A）当 m n 时，必有行列式 AB 0
（B）当 m n 时，必有行列式 AB 0
（C）当 n m时，必有行列式 AB 0
【分析】
（D）当 n m 时，必有行列式 AB 0
【例1.12】 已知 n 阶 (n 3) 行列式 A a ，将 A 中的每一列都减去其余各列之和得到新的行列
0
i j
其中 Ast 是 ast 的代数余子式。
注意：见到代数余子式马上想到展开定理，想到伴随矩阵。
43000
14300
例 行列式 0 1 4 3 0 =
。
00143
00014
分析 对于此类三对角行列式，一般采用的是递推法。 按第一列展开，有
4300
3000
430
1 D5 4 0
4 1
3 4
0 (1)21 1
x 4 ，其系数显然是 2。而含 x3 的项只能是在 2x (x 3) (x 2) (x 1) 和 x 1 (x 2) (x 1) 中，
故 x3 的系数为 11。
1.2 行列式的性质 性质 1．行列式和它的转置行列式相等； 性质 2．行列式的两行（列）互换，行列式改变符号；
1
性质 3．行列式中某行（列）的公因子可提到行列式的的外面，或若以一个数乘行列式等于用该数 乘此行列式的任意一行（列）；
n
6．若 A 是 n 阶矩阵， i (i 1,2,, n) 是 A 的特征值，则 A i ； i 1
7．若 A ～ B ，则 A B 。
线性代数1和线性代数2
线性代数1和线性代数2
线性代数是数学的一个主要部分，它涉及到几何和代数的交叉，以及研究线形空间和矩阵的关系。
线性代数的学习不仅能帮助学生掌握基础的数学知识，而且能够更好地理解二维和三维空间中的几何结构，给学生们带来更多的应用知识。
线性代数1主要涉及到向量空间、线性变换、矩阵变换、行列式、特征值和特征向量以及线性方程。
线性代数2涉及到复数空间、复数矩阵、平面空间、内积空间以及秩和空间的可线性化的部分。
线性代数1是线性代数入门阶段，它专注于基本矩阵和向量空间的概念，以及特征值和特征向量的求解。
学习者需要熟练掌握变换矩阵、行列式、线性方程以及几何解释等技能，以及矩阵运算法则及其相关概念。
线性代数2是在进行线性复数作业前所必需的知识，主要涉及复数空间、复数矩阵、平面空间、内积空间、秩以及空间可线性化的知识，学习者需要掌握复数的知识、熟练的掌握内积的技能、理解矩阵的几何意义、以及可线性化的技能。
学习线性代数时，需要培养学生的空间能力，以及在一定的范围内解决一切问题的技巧。
为此，学习者应该深入理解线性代数中的基本概念，并积极地掌握相关技术，以运用线性代数解决实际问题。
通过学习线性代数，我们可以站在数学的高度，更好地理解和分析复杂的问题，有效地解决实际问题，为健康、快乐的生活创造更多可能性。
考研数学历年真题线性代数的考点总结
考研数学历年真题线性代数的考点总结线代部分对很多备考的学子来说，最深刻感觉就是，抽象、概念多、定理多、性质多、关系多。
为大家精心准备了考研数学历年真题线性代数的要点，欢迎大家前来阅读。
?线性代数章节总结第一章行列式本章的考试重点是行列式的计算，考查形式有两种：一是数值型行列式的计算，二是抽象型行列式的计算.另外数值型行列式的计算不会单独的考大题，考选择填空题较多，有时出现在大题当中的一问或者是在大题的处理问题需要计算行列式，题目难度不是很大。
主要方法是利用行列式的性质或者展开定理即可。
而抽象型行列式的计算主要：利用行列式的性质、利用矩阵乘法、利用特征值、直接利用公式、利用单位阵进展变形、利用相似关系。
06、08、10、12年、13年的填空题均是抽象型的行列式计算问题，14年选择考了一个数值型的矩阵行列式，15、16年的数一、三的填空题考查的是一个n行列式的计算，今年数一、数二、数三这块都没有涉及。
第二章矩阵本章的概念和运算较多，而且结论比较多，但是主要以填空题、选择题为主，另外也会结合其他章节的知识点考大题。
本章的重点较多，有矩阵的乘法、矩阵的秩、逆矩阵、伴随矩阵、初等变换以及初等矩阵等。
其中06、09、11、12年均考查的是初等变换与矩阵乘法之间的相互转化，10年考查的是矩阵的秩，08年考的那么是抽象矩阵求逆的问题，这几年考查的形式为小题，而13年的两道大题均考查到了本章的知识点，第一道题目涉及到矩阵的运算，第二道大题那么用到了矩阵的秩的相关性质。
14的第一道大题的第二问延续了13年第一道大题的思路，考查的仍然是矩阵乘法与线性方程组结合的知识，但是除了这些还涉及到了矩阵的分块。
16年只有数二了矩阵等价的判断确定参数。
第三章向量本章是线代里面的重点也是难点，抽象、概念与性质结论比较多。
重要的概念有向量的线性表出、向量组等价、线性相关与线性无关、极大线性无关组等。
复习的时候要注意构造和从不同角度理解。
线性代数课件1-1-2n阶行列式的定义
• 引言 • n阶行列式的定义 • 特殊类型的n阶行列式 • n阶行列式的性质与运算 • n阶行列式的应用举例 • 课程小结与思考题
01
引言
行列式的起源与发展
最初形态
重要成果
行列式的概念最初起源于17世纪，由 日本数学家关孝和与德国数学家莱布 尼茨在解线性方程组时独立提出。
和，反映了方阵的线性变换性质。
03
n阶行列式可以用递归的方式定义，即n阶行列式可
以由n-1阶行列式表示。
n阶行列式的性质
行列式与它的转置行列式相等。
互换行列式的两行（列），行列式变号。 行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列 式。
n阶行列式的性质
行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。
在行列式的发展过程中，涌现出了许多重 要的成果，如拉普拉斯定理、范德蒙德行 列式等，为线性代数的发展奠定了基础。
发展历程
经过多个世纪的发展，行列式逐渐从最 初的二阶、三阶形式扩展到n阶，同时 其性质和应用也得到了深入研究。
行列式在数学中的地位
基础工具
行列式是线性代数中的基础工具 之一，对于研究向量空间、矩阵 等概念具有重要意义。
上三角行列式
举例 $$begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n}
上三角行列式
0 & a_{22} & cdots & a_{2n} vdots & vdots & ddots & vdots
上三角行列式
• 0 & 0 & \cdots & a_{nn}