七 狭义相对论 习题课选讲例题

∆x'≠ 0 ∆t ' = 0 ∆x'= 0
∆t '
则 则
∆t ≠ 0 ∆t = 0
若 ∆x ' = 0
∆t =
1− β
2
2
> ∆ t ′ 固有时间
长度收缩： 长度收缩：运动物体在运动方向上长度收缩 .
l = l0 1 − β < l0
狭义 相对论
固有长度 固有长度
狭义相对论 总复习 六 狭义相对论动力学的基础 质量与速度的关系
y
O'
y'
v
a
x'
O
x
v l0 1 − 2 = a c 2 a v = c 1− 2 l0
2
狭义 相对论
狭义相对论 总复习 光年， 例 牛郎星距离地球约 16 光年，问 宇宙飞船以 多大的速度飞行， 年的时间（宇宙飞船上的钟） 多大的速度飞行，将以 4 年的时间（宇宙飞船上的钟） 抵达牛郎星. 抵达牛郎星 解
(3 5)c (1 5)c
狭义 相对论
狭义相对论 总复习 惯性系， 例 边长为 a 的正方形游泳池静止于K 惯性系，当 系运动时， 惯性系 K ’ 沿池一边以 0.6 c 速度相对 K 系运动时，在 K ’ 系中测得游泳池的面积为 (A)
a
2
(B) 0.6a 2 (D) a 2 0.8
(C) 0.8a 2
0.4 kg
12) ×10 kg
7
(B)
0.8 kg
7
(C) (1
(D) 12 × 10
kg
狭义 相对论
狭义相对论 总复习 例 一门宽为 a ，今有一固定长度为 l0 (l0 > a) 的水平细杆， 的水平细杆，在门外贴近门的平面沿其长度方向匀速 运动， 运动，若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被 至少为大？ 拉进此门 , 则该杆相对于门的运动速度 v 至少为大？ 解 门为 S 系，杆为 S′ 系
S′
宇宙飞船参考系
S
地球参考系
∆x = l0 = 16光年
∆t ′ = 4年
v 4 v = 16c 1 − 2 c
2
v ∆x′ = l0 1 − 2 = v∆t ′ c
宇宙飞船速度
狭义 相对论
2
4 8 v= c = 2.91 × 10 m/s 17
狭义相对论 总复习 平面内， 例 一长为 1 m 的棒静止地放在 o ' x ' y ' 平面内， 在 S' 系的观察者测得此棒与 o ' x ' 轴成 45 角，试问从 S 系的观察者来看，此棒的长度以及棒与 ox 轴的夹角 系的观察者来看， 是多少？ 是多少？设想 S' 系相对 S 系的运动速度 v = 3c 2 .
例 α 粒子在加速器中被加速到动能为其静止能 倍时， 量的 4 倍时，其质量 m 与静止质量 m0 的关系为 (A) (C)
m = 4m0
m = 6m0
(B) (D)
m = 5m0
m = 8m0
狭义 相对论
狭义相对论 总复习 某核电站年发电量为100亿度 它等于36 × 1015 J 亿度,它等于 例 某核电站年发电量为 亿度 如果这是由核材料的全部静止能转化产生的, 的能量 , 如果这是由核材料的全部静止能转化产生的 则需要消耗的核材料的质量为 (A)
y
y'
l
O O'
' y'
v
θ ' l' x ' x'x
2 2
解 在 S' 系 θ ' = 45
= , l'=1m
l 'x' = l ' y ' = 2 / 2 m
在 S 系 ly
= l ' y ' = 2 / 2m
′ l x = l x′ 1 − v c = 2l ′ 4
l = l + l = 0.79 m
(1 2)c (4 5)c
(B) (D)
(3 5)c (9 10)c
在某地发生两件事, 例 在某地发生两件事 静止位于该地的甲测得时 间间隔为 4 s, 若相对于甲作匀速直线运动的乙测得 时间间隔为5 时间间隔为 s, 则乙相对于甲的运动速度是 (A) (C)
(4 5)c (2 5)c
(B) (D)
L = L0 1 − ( v c )
2
(2) 以列车为参考系 隧道相对列车运动的距离为 L + l 以列车为参考系,
0
L + l0 L0 1 − ( v c ) + l0 ∆t ' = = v v
狭义 相对论
狭义相对论 总复习
L0 1 − ( v c ) + l0 L + l0 ∆t ' = = v v
′ 1 − β 2 ∆x′ 1 − β 2 ∆x ∆x = c∆t = c ⋅ = = 270 m c−v 1− β
狭义 相对论
解 设地球为 S 系, 飞船为 S’ 系
l = l0 1 − β 2
狭义相对论 总复习 惯性系中， 例 在 S 惯性系中，相距 ∆x = 5 × 10 m 的两个 地方发生两事件， 地方发生两事件，时间间隔 ∆t = 10 − 2 s ；而在相对于
2 x 2 y
狭义 相对论
v = 3c 2 ly θ = arctan ≈ 63.43 lx
狭义相对论 总复习 的速度飞行， 例 一宇宙飞船相对地球以 0 . 8 c 的速度飞行， 一光脉冲从船尾传到船头， 一光脉冲从船尾传到船头，飞船上的观察者测得飞 船长 90 m，地球上的观察者测得光脉冲从船尾发 ， 出达到船头两事件的空间间隔为
2
(3) 以地面为参考系（S系） , 火车长度为 以地面为参考系（ 系
l = l0 1 − ( v c )
火车运动的距离为
2
L0 + l
2
L0 + l L0 + l0 1 − ( v c ) ∆t = = v v
二者测得的时间是不一样的. 二者测得的时间是不一样的
（A）90 m ） （B）54 m ） （C）270 m （D）150 m ） ）
y y'
O'
0.8c
解 设地球为 S 系, 飞船为 S’ 系
O
x' x
∆ x '+ v ∆ t ' 1− β 2 =
90 m ∆t ' = ∆x ' = 90 m c
90 + 0 .8 × 90 1 − 0 .8 2 m = 270 m
狭义相对论 总复习 一 经典力学的相对性原理 经典力学的时空观
对于任何惯性参照系 , 牛顿力学的规律都具有相同 的形式 . 时间和空间的量度和参考系无关 , 长度和时间的测 量是绝对的. 量是绝对的 二 狭义相对论基本原理
爱因斯坦相对性原理：物理定律在所有的惯性系中 爱因斯坦相对性原理：物理定律在所有的惯性系中 所有 都具有相同的表达形式 . 光速不变原理：真空中的光速是常量， 光速不变原理：真空中的光速是常量，它与光源或 观察者的运动无关，即不依赖于惯性系的选择. 观察者的运动无关，即不依赖于惯性系的选择
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关于同时性有人提出以下一些结论，其中哪个是正确的？ 例 关于同时性有人提出以下一些结论，其中哪个是正确的？ （Ａ）在一惯性系同时发生的两个事件 在一惯性系同时发生的两个事件， （Ａ）在一惯性系同时发生的两个事件，在另一惯性系一定 不同时发生。 不同时发生。 （Ｂ）在一惯性系不同地点同时发生的两个事件 在一惯性系不同地点同时发生的两个事件， （Ｂ）在一惯性系不同地点同时发生的两个事件，在另一惯 性系一定同时发生。 性系一定同时发生。 （Ｃ）在一惯性系同一地点同时发生的两个事件 在一惯性系同一地点同时发生的两个事件， （Ｃ）在一惯性系同一地点同时发生的两个事件，在另一惯 性系一定同时发生。 性系一定同时发生。 （Ｄ）在一惯性系不同地点不同时发生的两个事件 在一惯性系不同地点不同时发生的两个事件， （Ｄ）在一惯性系不同地点不同时发生的两个事件，在另一 惯性系一定不同时发生。 惯性系一定不同时发生。
答：选 C
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狭义相对论 总复习 例 在惯性系 S 中,测得飞行火箭的长度是它静止 测得飞行火箭的长度是它静止 长度的 1 2 ,则火箭相对于 S 系的飞行速度 v为 则火箭相对于 (A) (C)
c
c 2
(B) ( (D)
3 2)c
2c
飞出的离子, 例 从加速器中以速度 v = 0.80 c 飞出的离子 在 它的运动方向上又发射出光子， 它的运动方向上又发射出光子，则这光子相对于加速 器的速度为 (A) (C)
狭义 相对论
u′ + v ux = x v 1 + 2 u′ x c u ′y u ′y = v 1 + 2 u′ x c u′ z uz = v 1 + 2 u′ x c
狭义相对论 总复习 五 狭义相对论时空观 同时的相对性 若 ∆t ' = 0 若 此结果反之亦然 . 时间延缓： 时间延缓：运动的钟走得慢 .
狭义 相对论
狭义相对论 总复习 三 洛伦兹坐标变换式
x' = γ ( x − vt )
正 变 换
z'= z v t ' = γ (t − 2 x )
c
y'= y
逆 变 换
z = z' v t = γ (t '+ 2 x' )
c
y = y'
x = γ ( x'+ vt ' )
β =v c
γ = 1 1− β 2
v = 0 .8 c
∆x =
狭义 相对论
狭义相对论 总复习 已知： 已知：
v = 0 .8 c
0.8c
∆ x ' = l 0 = 90 m
y y'
O'
y'
0.8c
x'
O'
x'
(t 2 , x2 )
O
(t1 , x1 )
x
解法二
x2 − x1 = c (t 2 − t1 ) = l + v (t 2 − t1 )
解
6
−2
狭义 相对论
狭义相对论 总复习 例 一隧道长为L0 ，横截面高为 h ，宽为 w ，一列 的速度通过隧道时. 车固有长度为 l0 ，当其以 v 的速度通过隧道时 问: （1）列车上观测者测得隧道尺寸有何变化？ （2）在列 ）列车上观测者测得隧道尺寸有何变化？ ） 车上测，其头部进入隧道到尾部离开隧道需要多少时间？ 车上测，其头部进入隧道到尾部离开隧道需要多少时间？ （3）在地面上测呢？ ）在地面上测呢？ 解 (1) 以列车为参考系（ S′系）隧道的高、宽均 以列车为参考系（ 隧道的高、 不变, 长度收缩. 不变 长度收缩 2
c
0.20c
(B) 1.80c (D) 2.0c
狭义 相对论
狭义相对论 总复习 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行 光年的星球去旅行.如 例 一宇航员要到离地球为 光年的星球去旅行 如 果宇航员希望把这路程缩短为3光年 光年, 果宇航员希望把这路程缩短为 光年 则他所乘的火箭 相对于地球的速度应是 (A) (C)
ux′ t ′ + 2A A c tA = 2 1− β
tB
ux′ B t′ + B 2 c = 2 1 − β
则
t A − tB =
( x′ − x′ ) u c 2 A B 1− β 2
说明： 则有t 说明：① 若xA/=xB/ ，则有tA=tB 即在某惯性系中同一地点 同时发生事件，在其他惯性系测量，也是同时发生的； 同时发生事件，在其他惯性系测量，也是同时发生的； ② 若xA/≠xB/ ，则tA≠tB ，即在某惯性系不同地点同 时发生的事件，在其他惯性系中测量就不是同时发生的。 时发生的事件，在其他惯性系中测量就不是同时发生的。
6
S 系沿 x 正方向运动的 S’ 系中观察到这两事件是同时 系中观察到这两事件是同时 发生的, 系中测量这两事件的地点间隔是多少？ 发生的 则在 S’ 系中测量这两事件的地点间隔是多少？
∆x = 5 ×10 m ∆t = 10 s ∆ t ' = 0 v v t 2 − 2 x2 t1 − 2 x1 v c c ∆t = 2 ∆x t '2 = t '1 = 2 2 c 1− β 1− β ∆x − v∆t 3 6 ∆x' = = 4 × 10 m v= c 2 5 1− β
m=
m0 1− β
2
动力学的基本方程
m0 v dp d F= = ( ) dt dt 1 − β 2
E = mc 2 = m0 c 2 + Ek
质量与能量的关系 动量与能量的关系
狭义 相对论
E =m c + p c
2 2 4 0
2 2
由洛仑兹变换证明： 由洛仑兹变换证明： 设在S’系中A’，B’两地有两事件同时发生，即tA/=tB/ 设在S 系中A ， 两地有两事件同时发生， 系中 两地有两事件同时发生 则在S系中， 则在S系中，有
伽利略变换
v << c 时，洛伦兹变换
狭义 相对论
狭义相对论 总复习 四 洛伦兹速度变换
正 变 换
ux − v u′ = x v 1 − 2 ux c uy u ′y = v γ (1 − 2 u x ) c uz u′ = z v γ (1 − 2 u x ) c
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逆 变 换
v 速 变 u x = c u ′ = (c − v) (1 − 2 c) = c x c