高中数学选修1-1 同步练习专题1.1 命题及其关系(原卷版)

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新编高中数学人教版选修1-1习题：第一章1.1-1.1.1命题含答案

新编人教版精品教学资料第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1 命题A级基础巩固一、选择题1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，在这4句诗中，可作为命题的是( )A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思解析：“红豆生南国”是陈述句，意思是“红豆生长在南方”，故本句是命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题．答案：A2．下列命题为真命题的是( )A．若1x＝1y，则x＝yB．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则x＝yD．若x＜y，则x2＜y2解析：很明显A正确；B中，由x2＝1，得x＝±1，所以B是假命题；C中，当x＝y＜0时，结论不成立，所以C是假命题；D中，当x＝－1，y＝1时，结论不成立，所以D是假命题．答案：A3．给出下列命题：①若直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，则l⊥m；②若a、b都是正实数，则a＋b≥2ab；③若x2＞x，则x＞1；④函数y＝x3是指数函数．其中假命题为( )A．①③B．①②③C ．①③④D ．①④解析：①显然错误，所以①是假命题；由基本不等式，知②是真命题；③中，由x 2＞x ，得x ＜0或x ＞1，所以③是假命题；④中函数y ＝x 3是幂函数，不是指数函数，④是假命题．答案：C4．命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是( )A ．两个平面B ．一条直线C ．垂直D ．两个平面垂直于同一条直线解析：把命题改为“若p 则q ”的形式为若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行，则条件为“两个平面垂直于同一条直线”．答案：D5．下列语句中命题的个数为( )①若a ，G ，b 成等比数列，则G 2＝ab .②4－x 2≥0.③梯形是中心对称图形．④π>2吗？⑤2016年是我人生中最难忘的一年！A ．2B ．3C ．4D ．5解析：依据命题的概念知④和⑤不是陈述句，故④⑤不是命题；再从“能否判断真假”的角度分析：②不是命题．只有①③为命题，故选A.答案：A二、填空题6．下列语句：①2是无限循环小数；②x 2－3x ＋2＝0；③当x ＝4时，2x >0；④把门关上！其中不是命题的是________．解析：①是命题；②不是命题，因为语句中含有变量x ，在没给变量x 赋值的情况下，无法判断语句的真假；③是命题；④是祈使句，不是命题．答案：②④7．已知命题“f (x )＝cos 2ωx －sin 2ωx 的最小正周期是π”是真命题，则实数ω的值为________．解析：f (x )＝cos 2ωx －sin 2ωx ＝cos 2ωx ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪2π2ω＝π，解得ω＝±1. 答案：±18．下列命题：①若xy ＝1，则x ，y 互为倒数；②二次函数的图象与x 轴有公共点；③平行四边形是梯形；④若ac 2＞bc 2，则a ＞b .其中真命题是________(写出所有真命题的编号)．解析：对于②，二次函数图象与x 轴不一定有公共点；对于③，平行四边形不是梯形．答案：①④三、解答题9．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假．(1)末位数字是0的整数能被5整除；(2)偶函数的图象关于y 轴对称；(3)菱形的对角线互相垂直．解：(1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除，为真命题．(2)若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y 轴对称，为真命题．(3)若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直，为真命题．10．已知：A ：5x －1＞a ，B ：x ＞1，请选择适当的实数a ，使得利用A 、B 构造的命题“若p ，则q ”为真命题．解：若视A 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x ＞1＋a 5，则x ＞1”．由命题为真命题可知1＋a 5≥1，解得a ≥4；若视B 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x ＞1，则x ＞1＋a 5”．由命题为真命题可知1＋a 5≤1，解得a ≤4.故a 取任一实数均可利用A ，B 构造出一个真命题，比如这里取a ＝1，则有真命题“若x＞1，则x ＞25”． B 级能力提升1．给出命题“方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a 的一个值可以是( )A ．4B ．2C ．1D ．－3解析：C 中，当a ＝1时，Δ＝12－4×1×1＝－3<0，方程无实根，其余3项中，a 的值使方程均有实根．答案：C2．①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a＝(1，k)，b＝(－2，6)，a//b，则k＝－3；③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．解析：取a＝0，满足a·b＝a·c，但不一定有b＝c，故①不正确；当a＝(1，k)，b＝(－2，6)，a//b时，6＋2k＝0，所以k＝－3，则②正确；非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|时，|a|，|b|，|a－b|构成等边三角形，所以a 与a＋b的夹角为30°，因此③错误．答案：②3．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)乘积为1的两个实数互为倒数；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)与同一直线平行的两个平面平行．解：(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”，它是真命题．(2)“若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称”．它是真命题．(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．。

高中人教a版数学选修1-1课时作业1-1命题及其关系 word版含答案

课时作业命题及其关系一、选择题．已知，是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，⊥α，⊥β，则下列命题中的假命题是( )．若∥，则α∥β．若α⊥β，则⊥．若α，β相交，则，相交．若，相交，则α，β相交[解析] 若α，β相交，因为⊥α，⊥β，所以与可能异面，也可能相交，故错．所以选.[答案]．有下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②“若＝，则＋＝”的逆命题；③“若>，则＋>＋”的否命题；④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题．其中真命题共有( )．个．个．个．个[解析] ①是假命题；②是真命题；③是真命题；④是假命题．故选.[答案]．若条件：∈∩，则綈是( )．∈且．或．且．∈(∪)[解析] ：∈∩，綈：∩⇔或，故选.[答案]．给出命题：“已知，，，是实数，若＝，＝，则＋＝＋”，对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，真命题有( )．个．个．个．个[解析] 原命题：已知，，，是实数，若＝，＝，则＋＝＋.真命题．逆命题：已知，，，是实数，若＋＝＋，则＝，＝.假命题．原命题与逆否命题互为等价命题，逆命题与否命题互为等价命题．故选.[答案]．在下列三个命题中，正确的为( )①命题“△和△都是直角三角形”的否定是“△和△都不是直角三角形”；②命题“若≠，则≠且≠”的逆否命题是“若＝或＝，则＝”；③命题“若∈或∈，则∈(∪)”的逆命题是“若∈(∪)，则∈且∈”．．②．②③．①③．①②③[解析] “△和△都是直角三角形”的否定是“△和△不都是直角三角形”，∴①错误，排除，；而③错误，排除.故选.[答案]．有下列三个命题：①“若＋＝，则，互为相反数”的逆命题；②“若>，则>”的逆否命题；③“若≤－，则－－>”的否命题．其中真命题的个数是( )．．．．[解析] ①的逆命题为“若，互为相反数，则＋＝”．真命题．②的逆否命题同原命题等价，而原命题为假命题，故逆否命题为假命题．③的否命题为“若>－，则－－≤”．假命题．故选.[答案]．命题“若>，则>”(这里，，都是实数)与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )．．．．[解析] “若>，则>”为假，因为当＝时不成立，而“若>，则>”为真．故选.[答案]．命题“若函数()＝(>，≠)在其定义域内是减函数，则<”的逆否命题是( )．若≥，则函数()＝(>，≠)在其定义域内不是减函数．若<，则函数()＝(>，≠)在其定义域内不是减函数．若≥，则函数()＝(>，≠)在其定义域内是减函数．若<，则函数()＝(>，≠)在其定义域内是减函数[解析] 由逆否命题，知选.[答案]二、填空题．命题：若>，则>(，，是实数)，与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为．[解析] 若>，则>，当＝时，不成立，∴原命题为假，其逆否命题也为假．又若>，则>成立，∴否命题也成立．[答案]．在下列横线上填写“互逆”“互否”或“互为逆否”：。

高中数学选修1-1(人教版练习)：1.1 命题及其关系第一课时.1含答案

第一章 1.1 1.1.1A级基础巩固一、选择题1．下列语句中，是命题的是导学号 03624019( A )A．π是无限不循环小数B．3x≤5C．什么是“绩效工资”D．今天的天气真好呀！[解析] 由命题的定义可知，选项A正确．2．下列命题为真命题的是导学号 03624020( A )A．若1x＝1y，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则x＝y D．若x<y，则x2<y2[解析] B中，若x2＝1，则x＝±1；C中，若x＝y<0，则x与y无意义；D中，若x＝－2，y＝－1，满足x<y，但x2>y2，故选A．3．下列语句中，不能成为命题的是导学号 03624021( B )A．5>12B．x>0C．已知a、b是平面向量，若a⊥b，则a²b＝0D．三角形的三条中线交于一点[解析] A是假命题；C、D是真命题，B中含变量x，未指定x的取值范围，无法判断真假，故不是命题．4．下列命题正确的是导学号 03624022( D )A．三点确定一个平面B．两条直线确定一个平面C．四边形确定一个平面D．不共面的四点可以确定四个平面[解析] 因为四点不共面，所以任意三点不共线，又不共线的三点确定一个平面，所以不共面的四点可以确定四个平面．5．下列四个命题中，真命题是导学号 03624023( D ) A．a>b，c>d⇒ac>bdB．a<b⇒a2<b2C．1a<1b⇒a>bD．a>b，c<d⇒a－c>b－d[解析] ∵c<d，∴－c>－d，又∵a>b，∴a－c>b－d，故选D．6．给定下列命题：①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.其中是真命题的是导学号 03624024( B )A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④[解析] ①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，所以①为真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确，所以②为真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，所以③是假命题；④由等式性质知命题正确，所以④是真命题，故选B．二、填空题7．给出下列命题导学号 03624025①若ac＝bc，则a＝b；②方程x2－x＋1＝0有两个实数根；③对于实数x，若x－2＝0，则(x－2)(x＋1)＝0；④若p>0，则p2>p；⑤正方形不是菱形．其中真命题是__③__，假命题是__①②④⑤__.[解析] c＝0时，①错；方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝－3<0，∴方程x2－x＋1＝0无实根；p＝0.5>0，但p2>p不成立；正方形的四条边相等，是菱形．因此①②④⑤都是假命题．对于③，若x－2＝0，则x＝2，∴(x－2)(x＋1)＝0，故正确．8．下列命题：①若xy＝1，则x、y互为倒数；②平行四边形是梯形；③若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是__①③__.导学号 03624026[解析] ①、③是真命题；②平行四边形不是梯形．三、解答题9．判断下列语句是否为命题，并说明理由.导学号 03624027(1)指数函数是增函数吗？(2)x>2；(3)x＝2和x＝3是方程x2－5x＋6＝0的根；(4)请把窗户关上；(5)8>7；(6)这是一棵大树．[解析] (1)是疑问句，所以不是命题．(2)(6)不能判断真假，不是命题．(3)(5)是陈述句且能判断真假，是命题．(4)是祈使句，不是陈述句，所以不是命题．B级素养提升一、选择题1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是导学号 03624028( A ) A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思[解析] A为可判断真假的陈述句，所以是命题；而B为疑问句，C为祈使句，D为感叹句，所以均不是命题．2．下列命题中的真命题是导学号 03624029( A )A．二次函数的图象是一条抛物线B．若一个四边形的四条边相等，则这个四边形是正方形C．已知m、n∈R，若m2＋n2≠0，则mn≠0D．平行于同一直线的两个平面平行[解析] A是真命题；B中四边形可以是菱形，故B是假命题；C中当m＝0，n＝1时，m2＋n2≠0，而mn＝0，故C是假命题；D中两平面可以相交，故D是假命题．3．有下列命题：①若xy ＝0，则|x|＋|y|＝0；②若a>b ，c ≠0，则ac>bc ；③矩形的对角线互相垂直．其中真命题共有导学号 03624030( A ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个[解析] ①中，当x ＝1，y ＝0时，xy ＝0，|x|＋|y|＝1，故①错误；②中，若a ＝2，b ＝1，c ＝－1，则ac ＝－2，bc ＝－1，ac<bc ，故②错误；③中，矩形对角线相等但不垂直，故③错误．4．下列命题中的假命题是导学号 03624031( B ) A ．若log 2x<2，则0<x<4B ．若a 与b 共线，则a 与b 的夹角为0°C ．已知非零数列{a n }满足a n ＋1－2a n ＝0，则该数列为等比数列D ．点(π，0)是函数y ＝sin x 图象上一点[解析] B 中当a 与b 共线，但方向相反时，a 与b 的夹角为180°，所以B 是假命题．5．(2017²鹰潭高二检测)在下列给出的命题中，所有正确命题的个数为导学号 03624032( C )①函数y ＝x 2－3x ＋1的图象关于x ＝32对称；②若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y x ＋2的最大值为33；③若△ABC 为锐角三角形，则sin A>cos B ． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．0个[解析] ①由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54知①正确，②y x ＋2表示平面直角坐标系中(x ，y)与(－2,0)两点所在直线的斜率，由数形结合知②正确，③由三角形中的性质知③正确，故应选C ．二、填空题。

新苏教版数学(选修1-1)同步练测：1.1命题及其关系(含答案)

1.1命题及其关系（苏教版选修1-1）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题（本题共15小题，每小题4分，共60分）1.命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是_________________________.2.命题“若f是奇函数，则f是奇函数”的否命题是________________________.3.对于函数，的图象关于轴对称”是“是奇函数”的_条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）4.设p，r都是q的充分条件,s是q的充分必要条件,t是s的必要条件,t是r的充分条件,那么p是t的条件,r是t的条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）5.下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②“若xy＝0，则|x|＋|y|＝0”的逆命题；③“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题；④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题.其中真命题共有________个.6.命题“若a＞b，则a－1＞b－1”的逆否命题是________.7.“”是“函数只有一个零点”的________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）8.为非零向量，“”是“函数为一次函数”的________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）9.“”是“直线与直线互相垂直”的________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）10.已知，那么的一个必要不充分条件是________（填序号）.①；②；③；④.11.已知集合,.若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是______.12.“函数在区间上是减函数”是“函数在区间上是减函数”的条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）13.给出下列命题：①原命题为真,它的否命题为假；②原命题为真,它的逆命题不一定为真；③若命题的逆命题为真,它的否命题一定为真；④若命题的逆否命题为真,它的否命题一定为真；⑤“若，则的解集为R”的逆命题，其中的真命题是________.(把你认为正确命题的序号都填在横线上)14.下列四个式子：①；②；③；④.其中能使成立的充分条件有.（只填序号）15.设有两个命题：（1）不等式对一切实数恒成立；（2）函数是R上的减函数．使这两个命题都是真命题的充要条件，用可表示为________.二、解答题（本题共5小题，共40分）16.（本小题满分6分）写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假.(1)全等三角形一定相似；(2)末位数字是零的自然数能被5整除.。

高中数学选修1-1同步练习题库：命题及其关系(选择题：较难)

命题及其关系（选择题：较难）1、已知命题：，使；命题：，都有.给出下列结论：①命题“”是真命题②命题“”是假命题③命题“”是真命题④命题“”是假命题，其中正确的是（）A．②④ B．②③ C．③④ D．①②③2、已知点在曲线：上运动，给出以下命题：：在轴上一定存在两个不同的定点，满足为定值；：在轴上一定存在两个不同的定点，满足为定值；：的最小值为1；：的最大值为.则下列命题为真命题的是（）A． B． C． D．3、给出下列四个命题:①“若为的极值点，则”的逆命题为真命题;②“平面向量的夹角是钝角”的充分不必要条件是③若命题，则④命题“,使得”的否定是:“均有”.其中不正确的个数是A．1 B．2 C．3 D．44、已知下列三个命题：若直线和平面内的无数条直线垂直，则；：若，则；：在中，若，则.其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．35、下列四个结论中正确的个数是（）①若，则②已知变量和满足关系，若变量与正相关，则与负相关③“已知直线，和平面、，若，，，则”为真命题④是直线与直线互相垂直的充要条件A．1 B．2 C．3 D．46、已知命题“在△中，若，则”，则在命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )A． B． C． D．7、设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则8、已知命题“在△中，若，则”，则在命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是 ( )A． B． C． D．9、设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则10、已知，有解，，，则下列选项中是假命题的为（）A． B． C． D．11、命题；命题是”关于的不等式的解集是实数集的充分必要条件，则下面结论正确的是（）A．是假命题 B．是真命题 C．是假命题 D．是假命题12、已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={}；②M={（x，y）|y=sinx+1}；③M={（x，y）|y=log2x}；④M={（x，y）|y=e x﹣2}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①② B．②③ C．①④ D．②④13、命题“”的否定形式是（）A． B．C． D．14、已知命题：函数的图象恒过定点；命题：若函数为偶函数，则函数的图象关于直线对称，则下列命题为真命题的是（）A． B． C． D．15、下列说法中，不正确的是( )A．已知，命题：“若，则”为真命题B．命题：“”的否定是：“”C．命题“或”为真命题，则命题和命题均为真命题D．“”是“”的充分不必要条件16、下列说法中正确的是（）A．“”是“函数是奇函数”的充要条件；B．若．则；C．若为假命题，则均为假命题；D．“若，则”的否命题是“若，则”．17、下列说法正确的是（）A．命题“若，则”的逆命题是“若，则”B．命题“若，则”的否命题是“若，则”C．已知，命题“若，则”的逆否命题是真命题D．若，则“”是“”的充分条件18、给出下列四个命题，其中正确的命题有个．（1）函数上的单调递增区间是；（2）均为非零实数，集合，则“”是“”的必要不充分条件（3）若为真命题，则也为真命题（4）命题的否定A． B． C． D．19、下列命题正确的个数有（）（1）命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件（2）命题“，使得”的否定是:“对，均有”（3）经过两个不同的点、的直线都可以用方程来表示（4）在数列中，，是其前项和，且满足，则是等比数列（5）若函数在处有极值10，则A．1个 B．2个 C．3个 D．4个20、下列命题正确的个数有( )（1）命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件（2）命题“，使得”的否定是:“对，均有”（3）经过两个不同的点、的直线都可以用方程来表示（4）在数列中，，是其前项和，且满足，则是等比数列（5）若函数在处有极值10，则A．1个 B．2个 C．3个 D．4个21、若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”．已知函数．有下列命题：①在内单调递增;②和之间存在“隔离直线”, 且b的最小值为-4;③和之间存在“隔离直线”, 且k的取值范围是;④和之间存在唯一的“隔离直线”．其中真命题的个数有( )．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个22、已知命题：函数在内单调递减；：曲线与轴没有交点．如果“或”是真命题，“且”是假命题，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．23、已知下列三个命题：①棱长为2的正方体外接球的体积为4；②如果将一组数据中的每一个数都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数和方差都改变；③直线被圆截得的弦长为2．其中真命题的序号是( )。

高中数学选修1-1 专题1.1 命题及其关系-高二数学(文)人教版

1．命题一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的_______叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.在本章中，我们只讨论具有“若p，则q”这种形式的命题，通常把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.注意：（1）一个数学命题要么是真命题，要么是假命题，但不能既真又假，也不能模棱两可、无法判断其真假.数学中的定义、定理、公理都是真命题（2）有一些语句，虽然目前还不能判断它的真假，但是随着科学技术的发展与时间的推移，总能确定它们的真假.我们把这一类语句也算作命题，如“神农架野人”，虽然目前还不能确定有没有野人，但是随着时间的推移，人们是能够考察清楚的.（3）数学中有一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式，但是把它的表述作适当改变，也可以写成“若p，则q”的形式.关键是分清命题的条件和结论.2．四种命题（1）原命题与逆命题一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的_________，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题.也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为“若q，则p”.（2）否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的___________，我们把这样的两个命题叫做互否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题.也就是说，如果原命题为“若p，则q ”，那么它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”. （3）逆否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的__________，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的逆否命题. 也就是说，如果原命题为“若p ，则q ”，那么它的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”.提示：在对原命题的条件和结论进行否定时，一定要注意问题的全面性，千万不能遗漏或重复.3．四种命题间的相互关系一般地，原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题之间的相互关系如图所示：一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此这四种命题的真假性之间的关系如下：（1）两个命题互为逆否命题，它们有________真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________.注意：（1）互逆命题、互否命题、互为逆否命题反映的是两个命题之间的相对关系，不具有特指性，即四种命题中的任意两个命题之间一定具有这三种关系中的一种，且唯一. （2）在四种形式的命题中，真命题的个数只能是0，2，4.（3）互为逆否命题的两个命题同真同假，可以用此来检验写出的命题是否正确，或证明原命题（或逆否命题）为真命题等.K 知识参考答案：1．陈述句 2．（1）结论和条件（2）条件的否定和结论的否定（3）结论的否定和条件的否定3．（1）相同的（2）没有关系K —重点四种命题及其关系，命题真假的判断 K —难点涉及命题真假判断的多选型试题K —易错对于含有大前提的命题，改写时，易忽略大前提1．命题的概念及真假判断判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一，是否是“陈述句”；第二，是否“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．命题真假的判断方法：（1）真命题的判断方法：真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确地逻辑推理的一个过程，判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法. （2）假命题的判断方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法. 另外，一些命题的真假也可以依据客观事实作出判断. 【例1】下列命题中的假命题是A ．在ABC △中，若sin sin AB =，则A B = B ．函数为奇函数C ．D ．对于任意的，直线与圆都相交【答案】C【解析】A ．在ABC △中，若sin sin A B =，则A B =，显然是正确的；B ．函数则故为奇函数；C ．，故不正确；D ．对于任意的，直线与圆都相交是正确的，因为直线化为，过定点，这个点在圆内部，故直线和圆总会有交点.故答案为C ．【例2】把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假. （1）能被9整除的数是偶数; （2）当x 2+(y-1)2=0时,有x =0,y =1;（3）如果a >1,那么函数f (x )=(a-1)x 是增函数.2．四种命题由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论. （1）将原命题的条件和结论交换，即得原命题的逆命题.（2）将原命题的条件和结论进行否定，作为新命题的条件和结论，即得原命题的否命题.否定命题的条件或结论，关键是否定条件或结论的关键词.（3）先写出原命题的逆命题，再写出逆命题的否命题，即得逆否命题.也可以先写出原命题的否命题，再写出否命题的逆命题，即得逆否命题.【例3】把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并分别写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，并判断真假： ①负数小于零.②在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行.【解析】①原命题：若一个数是负数，则它小于零.是真命题. 逆命题：若一个数小于零，则它是负数.是真命题. 否命题：若一个数不是负数，则它不小于零.是真命题. 逆否命题：若一个数不小于零，则它不是负数.是真命题.②原命题：在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行.是假命题. 逆命题：在空间中，若两条直线平行，则它们平行于同一个平面.是假命题.否命题：在空间中，若两条直线不平行于同一个平面，则这两条直线不平行.是假命题. 逆否命题：在空间中，若两条直线不平行，则它们不平行于同一个平面.是假命题.【名师点睛】对于①，“小于”的否定是“不小于”，而不是“大于”，因为“不小于”包括了“大于和等于”. 3．四种命题间的相互关系由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题较困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题. 【例4】判断命题“若a >0,则x 2+x-a =0有实根”的逆否命题的真假.4．由命题的真假性求参数的值对于此类问题，若由已知条件可以得出一个真命题，即可据此建立相应的不等式或方程求解.解题时要善于从条件中寻找解题思路，善于构造性质、定理等运用的条件.【例5】命题p ：若0x >，则x a >；命题q ：若2m a ≤-，则()sin m x x <∈R 恒成立.若p 的逆命题，q 的逆否命题都是真命题，则实数a 的取值范围是__________．【答案】[)0,1【解析】命题p 的逆命题：若x a >，则0x >，故0a ≥；命题q 的逆否命题为真命题，故原命题为真命题，则21a -<-，即1a <. 故实数a 的取值范围是)[01，. 5．改写命题时，忽略大前提【例6】将命题“当0a >时，函数y ax b =+的值随x 的减小而减小”写成“若p ，则q ”的形式，并写出其逆命题、否命题和逆否命题.【错解】“若p ，则q ”的形式：若0a >，则函数y ax b =+的值随x 的减小而减小. 逆命题：若函数y ax b =+的值随x 的减小而减小，则0a >. 否命题：若0a ≤，则函数y ax b =+的值随x 的不减小而不减小. 逆否命题：若函数y ax b =+的值随x 的不减小而不减小，则0a ≤.【错因分析】原命题有两个条件：0a >和x 减小，其中0a >是大前提，将原命题改写为“若p ，则q ”的形式时，要把0a >置于“若”字的前面，把x 减小作为条件.【正解】“若p ，则q ”的形式：当0a >时，若x 减小，则函数y ax b =+的值也减小. 逆命题：当0a >时，若函数y ax b =+的值减小，则x 也减小. 否命题：当0a >时，若x 不减小，则函数y ax b =+的值也不减小. 逆否命题：当0a >时，若函数y ax b =+的值不减小，则x 也不减小.【名师点睛】（1）有大前提的命题改写成“若p ，则q ”的形式时，要注意其书写格式为“大前提，若p ，则q ”.（2）对于含有大前提的命题，在写其他三种命题时，应保持大前提不变.1．命题“若a M ∈,则b N ∈”的逆命题是 A ．若a M ∈,则b N ∉ B ．若a M ∉,则b N ∈ C ．若b N ∈,则a M ∈ D ．若b N ∉,则a M ∉2．下列语句中是命题的是 A ．周期函数和是周期函数吗？ B ．sin 451=C ．2210x x +->D ．梯形是不是平面图形呢？3．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中A ．假命题与真命题的个数相同B ．真命题的个数是奇数C ．真命题的个数是偶数D ．假命题的个数是奇数 4．下列命题中为真命题的是A ．命题“若1x >，则21x >”的逆命题B ．命题“若1x =，则220x x +-=”的否命题C ．命题“若20x >，则1x >-”的逆否命题D ．命题“若x y >，则x y >”的逆命题5．原命题：“设a ，b ，c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”，在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．46．命题“若，则”的逆否命题是__________．7．命题“若,a b R 且a b ，0b ≠，则2()0a b b”的条件为__________，结论为__________.8．若命题“a 满足2111a a -≤+”为真命题，则实数a 的取值范围是__________. 9．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假． (1)能被6整除的数一定是偶数；(2)120a b -+=时，a ＝1，b ＝－2； (3)已知x ，y 为正整数，当y ＝x 2时，y ＝1，x ＝1.10．分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假.(1)若一个三角形的两条边相等,则这两条边所对的角相等;(2)奇函数的图象关于原点对称;(3)已知a ,b ,c ,d 是实数,若a =b ,c =d ,则a+c =b+d ; (4)若q <1,则方程x 2+2x+q =0有实根.11．已知原命题“若，则、中至少有一个不小于1”，原命题与其逆命题的真假情况是A ．原命题为假，逆命题为真B ．原命题为真，逆命题为假C ．原命题与逆命题均为真命题D ．原命题与逆命题均为假命题12．命题“正数a 的平方根不等于0”是命题“若一个数a 的平方根不等于0，则a 是正数”的A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定命题13．能够说明“设是实数，若，则”是假命题的一个实数的值为________．14．已知a ,b ∈R ,求证:若a 3+b 3+3ab ≠1,则a+b ≠1.15．已知两个命题2:sin cos ,:10r x x xm s x x mx ，如果对任意的,x r x R 与s x 有且仅有一个是真命题，求实数m 的取值范围.16．（山东）设m ∈R ，命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题是A ．若方程20x x m +-=有实根，则0m >B ．若方程20x x m +-=有实根，则0m ≤C ．若方程20x x m +-=没有实根，则0m >D ．若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤ 17．（陕西）原命题为“若12n n n a a a ++<，n N *∈，则{}n a 为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假18．（2018北京）能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．1 2 3 4 5 11 12 16 17 CBCDCBADA1．【答案】C【解析】因为将原命题的结论当条件，条件当结论即可到其逆命题，所以命题“若a M ∈,则b N ∈”的逆命题是“若b N ∈,则a M ∈”，故选C ． 2．【答案】B【解析】命题是可以判断真假的陈述句，4个选项中只有B 满足. 3．【答案】C【解析】一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数可以为0，2，4个，所以选C ． 4．【答案】D5．【答案】C【解析】原命题：“设a ，b ，c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”，当c =0时显然不成立，所以是假命题；由于原命题是假命题，所以其逆否命题也是假命题；逆命题为：若ac 2>bc 2，则a >b ,是真命题；由于逆命题和否命题互为逆否命题，所以其真假性是一样的，所以其否命题也是真命题. 所以在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2，故答案为C. 6．【答案】若，则【解析】“若，则”的逆否命题是：若，则.7．【答案】,a bR 且a b ，0b ≠ 2()0a b b【解析】由命题的定义易得. 8．【答案】(]1,2- 【解析】2111a a -≤+即21101a a --≤+，即201a a -≤+，解得12a -<≤. ∴实数a 的取值范围是](12-，.9．【解析】(1)若一个数能被6整除，则这个数为偶数.真命题．(2)若120a b -++=，则1a ＝且2b ＝－.真命题．(3)已知x ，y 为正整数，若2y x =，则1y ＝且1x ＝.假命题．10．【解析】(1)逆命题:若一个三角形的两个角相等,则这两个角所对的边相等.显然该命题是真命题.否命题:若一个三角形的两条边不相等,则这两条边所对的角不相等.由于原命题的逆命题是真命题,所以原命题的否命题也是真命题.逆否命题:若一个三角形的两个角不相等,则这两个角所对的边不相等.由于原命题为真命题,所以其逆否命题也是真命题.(3)逆命题:已知a ,b ,c ,d 是实数,若a+c =b+d ,则a =b ,c =d .是假命题.否命题:已知a ,b ,c ,d 是实数,若a ≠b 或c ≠d ,则a+c ≠b+d .是假命题.逆否命题:已知a ,b ,c ,d 是实数,若a+c ≠b+d ,则a ≠b 或c ≠d .是真命题.(4)逆命题:若方程x 2+2x+q =0有实根,则q <1.是假命题.否命题:若q ≥1,则方程x 2+2x+q =0无实根.是假命题.逆否命题:若方程x 2+2x+q =0无实根,则q ≥1.是真命题.11．【答案】B【解析】逆否命题为：a ，b 都小于1，则a +b ≤2，是真命题，所以原命题是真命题.逆命题为：若、中至少有一个不小于1，则a +b ＞2，例如，当a =2，b =﹣2时，满足条件，此时a +b =2+（﹣2）=0，与a +b ＞2矛盾，故为假命题.故选B ．12．【答案】A【解析】命题“正数的平方根不等于0”的条件为，结论为；命题“若一个数的平方根不等于0，则是正数”的条件为，结论为. ∴命题“正数的平方根不等于0”是命题“若一个数的平方根不等于0，则是正数”的逆命题.故选A ．13．【答案】2【解析】因为，所以，11113,11x x x x +=-++≥-- 等号成立的条件为112,01x x x -=⇒=-，故当时函数值等于3.此时不满足题干.故答案为2.14．【解析】原命题证明较困难，故可改证它的等价命题(逆否命题)：已知a ,b ∈R ，若1a b +=，则a 3+b 3+3ab =1.因为1a b +=,所以()()()23322223331a b ab a b a ab b ab a ab b ab a b ++=+-++=-++=+=, 所以原命题成立.16．【答案】D【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选D.17．【答案】A 【解析】由12n n n a a a ++<1{}n n n a a a +⇒<⇒为递减数列，所以原命题为真命题. 逆命题：若{}n a 为递减数列，则12n n n a a a ++<，n N *∈. 若{}n a 为递减数列，则1n n a a +<，即12n n n a a a ++<，所以逆命题为真命题. 因为逆否命题的真假和原命题的真假相同，否命题的真假和逆命题的真假相同，所以逆否命题、否命题也为真命题.故选A18．【答案】23()()2f x x =-- （答案不唯一）。

高中数学选修1-1同步练习题库：命题及其关系(简答题：一般)

命题及其关系（简答题：一般）1、写出命题“若＋（y＋1）2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假2、写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”以及“非p”形式的命题，并判断它们的真假：(1)p：3是素数，q：3是偶数；(2)p：x＝－2是方程x2＋x－2＝0的解，q：x＝1是方程x2＋x－2＝0的解．3、已知命题指数函数在上单调递减，命题关于的方程的两个实根均大于3.若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围.4、已知命题函数在上单调递增；命题不等式的解集为，若为真，为假，求实数的取值范围.5、已知，.（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.6、已知命题：实数满足；命题：实数满足，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.7、已知命题，；命题：当时，恒成立.若是真命题，且为假命题，求实数的取值范围.8、结合命题函数在上是减函数；命题函数的值域为.（Ⅰ）若为真命题，求实数的取值范围；（Ⅱ）如果为真命题，为假命题，求实数的取值范围.9、设命题是的必要而不充分条件；设命题实数满足方程表示双曲线.(1)若“”为真命题，求实数的取值范围；(2)若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围.10、已知命题：函数在上单调递增；命题：关于的方程有解.若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.11、设命题:若，则方程有实数根.（Ⅰ）试写出命题的逆否命题；（Ⅱ）判断命题的逆否命题的真假,并给于证明.12、命题：函数的定义域为；命题：函数在上单调递减．若命题“∨”为真，“∧”为假，求实数的取值范围.13、已知命题P：；命题Q ：，使得，若命题是真命题，求实数的取值范围.14、如果：关于的不等式对一切都成立，：关于的方程无实数根，且与中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．15、已知：方程表示双曲线；：关于x的方程有实根；如果复合命题“或”为真，“且”为假，求m的取值范围.16、设：实数满足：（），：实数满足：，．（Ⅰ）若，且为真，求实数的取值范围；（Ⅱ）是的充分不必要条件，求实数的取值范围．17、已知a>0，设命题p：函数y＝a x在R上单调递增；命题q：不等式ax2＋ax＋1>0对∀x∈R恒成立，若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．18、已知命题方程有两个不等的负实根，命题方程无实根，（1）若命题为真，求实数的取值范围；（2）若命题和命题一真一假，求实数的取值范围.19、命题：已知为实数，若关于的不等式有非空解集，则，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假.20、已知命题，；命题，.（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.21、设命题：“若，则有实根”．（1）试写出命题的逆否命题；（2）判断命题的逆否命题的真假，并写出判断过程．22、写出命题“若，则的值都等”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.23、将命题“正偶数不是质数”改写成“若则”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.24、判断“函数有三个零点”是否为命题.若是命题，是真命题还是假命题?说明理由.25、判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．(1) 垂直于同一个平面的两个平面必平行吗？(2)大角所对的边大于小角所对的边；(3)若是有理数，则都是有理数.26、设命题：“若，则有实根”．（1）试写出命题的逆否命题；（2）判断命题的逆否命题的真假，并写出判断过程．27、写出命题“若，则的值都等”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.28、将命题“正偶数不是质数”改写成“若则”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.29、判断“函数有三个零点”是否为命题.若是命题，是真命题还是假命题?说明理由.30、判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．（1）垂直于同一个平面的两个平面必平行吗？（2）大角所对的边大于小角所对的边；（3）若是有理数，则都是有理数.31、已知命题，命题方程表示焦点在轴上的双曲线.（1）命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题“”为真，命题“”为假，求实数的取值范围.32、已知a∈R，设命题p：函数f(x)=a x (a＞0且a≠1)是R上的单调递减函数；命题q：函数g(x)=lg(2ax2+2ax+1)的定义域为R．若“pÚq”是真命题，“pÙq”是假命题，求实数a的取值范围．33、已知命题关于的方程有实根；命题关于的函数在上是增函数．若“或”是真命题，“且”是假命题，求实数的取值范围．34、设命题p:方程表示双曲线；命题q:（I）若命题P为真命题，求实数m的取值范围；（II）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；（III）求使为假命题的实数m的取值范围.35、写出命题“若m，n都是有理数，则m+n是有理数。

人教版教材同步练习题选修1-1(数学)

1.1命题及其关系重难点：了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题；明白四种命题之间的关系；会利用两个命题互为逆否命题的关系判别命题的真假．考纲要求：①了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题．②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的互相关系．经典例题：已知命题；若是的充分非必要条件，试求实数的取值范围．当堂练习：1.给出以下四个命题：①“若x＋y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若，则有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题．其中真命题是( )A．①②B．②③C．①③D．③④1.“△ABC中，若∠C=90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为（）A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不是锐角B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不一定是锐角D．以上都不对3.给出4个命题：①若，则x=1或x=2；②若，则；③若x=y=0，则；④若，x＋y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数．那么：（）A．①的逆命题为真B．②的否命题为真C．③的逆否命题为假D．④的逆命题为假4.命题“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等.”的逆否命题是（）A．“若△ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角相等.”B．“若△ABC任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形.”C．“若△ABC有两个内角相等，则它是等腰三角形.”D．“若△ABC任何两个角相等，则它是等腰三角形.”5.命题p：若A∩B=B，则；命题q：若，则A∩B≠B．那么命题p与命题q 的关系是（）A．互逆B．互否C．互为逆否命题D．不能确定6.对以下四个命题的判断正确的是( )(1)原命题：若一个自然数的末位数字为0，则这个自然数能被5整除(2)逆命题：若一个自然数能被5整除，则这个自然数的末位数字为0(3)否命题：若一个自然数的末位数字不为0，则这个自然数不能被5整除(4)逆否命题：若一个自然数不能被5整除，则这个自然数的末位数字不为0A．(1)、(3)为真，(2)、(4)为假B．(1)、(2)为真，(3)、(4)为假C．(1)、(4)为真，(2)、(3)为假D．(2)、(3)为真，(1)、(4)为假7.直线的倾斜角为钝角的一个必要非充分条件是（）A．k＜0 B．k＜－1 C．k＜1 D．k＞－2 8.直线，互相平行的一个充分条件是（）A．，都平行于同一个平面B．，与同一个平面所成的角相等C．平行于所在的平面D．，都垂直于同一个平面9.已知a1，a2，a3，a4是非零实数，则a1a4=a2a3是a1，a2，a3，a4成等比数列的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分且必要条件D．既不充分又不必要条件10.在ΔABC中，条件甲：A＜B，条件乙：cos A＞cos B,则甲是乙的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件11.在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是(把符合要求的命题序号都填上).12.命题则对复合命题的下述判断：①p或q为真；②p或q为假；③p且q为真；④p且q为假；⑤非p为真；⑥非q为假．其中判断正确的序号是（填上你认为正确的所有序号）．13.设集合A={x|x2＋x－6=0}，B={x|mx＋1=0}，则B是A的真子集的一个充分不必要的条件是_ .14.设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的__________条件．15.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并指出他们的真假：(1)若xy=0，则x，y中至少有一个是0；(2)若x＞0，y＞0，则xy＞0；16.设集合，，则“或”是“”的什么条件？17.已知关于x的一元二次方程(m∈Z)① mx2－4x＋4＝0 ② x2－4mx＋4m2－4m－5＝0求方程①和②都有整数解的充要条件18.设α，β是方程x2－ax+b=0的两个实根，试分析a＞2且b＞1是两根α、β均大于1的什么条件？参考答案：经典例题：【解析】由，得．：．由，得．：B={}．∵是的充分非必要条件，且，A B．即当堂练习：1.C;2.B;3.A;4.C;5.C;6.C;7.C;8.D;9.B; 10.C; 11.②; 12.①④⑤⑥; 13. m=(也可为或0);14.充分不必要.15.【解析】(1)逆命题：若x=0，或y=0则xy=0；否命题：xy≠0，则x≠0且y≠0；逆否命题：若x≠0，且y≠0则xy≠0；(2)逆命题：若xy＞0,则x＞0，y＞0；否命题：若x≤0，或y≤0则xy≤0；逆否命题：若xy≤0；则x≤0，或y≤016.【解析】“或”，，因为“或”，但，故“或”是“”的必要不充分条件．17.【解析】方程①有实根的充要条件是解得m 1.方程②有实根的充要条件是，解得故m=－1或m=0或m=1.当m=－1时，①方程无整数解.当m=0时，②无整数解；当m=1时，①②都有整数.从而①②都有整数解m=1.反之，m=1①②都有整数解.∴①②都有整数解的充要条件是m=1.18.【解析】根据韦达定理得a=α+β,b=αβ.判定的条件是p:结论是q:(注意p中a、b满足的前提是Δ=a2－4b≥0)(1)由，得a=α+β＞2,b=αβ＞1,∴q p(2)为证明p q,可以举出反例：取α=4,β=,它满足a=α+β=4+＞2,b=αβ=4×=2＞1,但q不成立.综上讨论可知a＞2,b＞1是α＞1,β＞1的必要但不充分条件1.2简单的逻辑联结词重难点：通过实例，了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；能准确区分命题的否定与否命题．考纲要求：①了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．经典例题：已知p:方程x2＋mx＋1=0有两个不等的负根；q:方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．当堂练习：1.下列命题中为简单命题的是（）A．8或6是30的约数B．菱形的对角线垂直平分C．是无理数D．方程没有实数根2.有下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②“若xy=0，则”的逆命题；③“若a>b，则a+c>b+c”的否命题；④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题．其中真命题共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3.已知命题p：若实数x、y满足则x、y全为0；命题q：若给出下列四个复合命题：①p且q，②p或q，③p，④q.其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3 D．44.在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数可以是（）A.1或2或3或4B.0或2或4C.1或3D.0或45.若命题p：2n－1是奇数，q：2n＋1是偶数，则下列说法中正确的是（）A．p或q为真B．p且q为真C．非p为真D．非p为假6.“至多三个”的否定为（）A．至少有三个B．至少有四个C．有三个D．有四个7.“”的含义是（）A．不全为0 B.全不为0C．至少有一个为0 D.不为0且为0，或不为0且为08.如果命题“非p”与命题“p或q”都是真命题，那么（）A．命题p与命题q的真值相同B．命题q一定是真命题C．命题q不一定是真命题D．命题p不一定是真命题9.如果命题“非p”与命题“p或q”都是真命题，那么（）A．命题p与命题q的真值相同B．命题q一定是真命题C．命题q不一定是真命题D．命题p不一定是真命题10.由下列各组命题构成“p或q”为真，“p且q”为假，非“p”为真的是（）A．, B．p：等腰三角形一定是锐角三角形，q：正三角形都相似C．，D．12是质数11.命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥；命题A 的等价命题B可以是：底面为正三角形，且______________的三棱锥是正三棱锥．12.由命题p:6是12的约数，q:6是24的约数，构成的“p或q”形式的命题是：_ ___，“p 且q”形式的命题是__ _，“非p”形式的命题是__ _.13.在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是(把符合要求的命题序号都填上).14.所给命题：①菱形的两条对角线互相平分的逆命题；②= ;③对于命题:“p且q”，若p假q真，则“p且q”为假；④有两条边相等且有一个内角为60°是一个三角形为等边三角形的充要条件．其中为真命题的序号为．15.写出下列各组命题的“或”命题，并判断其真假①p：2=2；q：2＞2．②p：正方形的对角线互相垂直；q：矩形的对角线互相平分．16.关于x的不等式与指数函数若命题“p的解集为或在内是增函数”是真命题，求实数的取值范围．17.若三条抛物线中至少有一条与x轴有公共点，求a的取值范围.18.已知命题p:|x2－x｜≥6，q：x∈Z，且“p且q”与“非q”同时为假命题，求x的值. 参考答案：经典例题：【解析】由已知p，q中有且仅有一为真，一为假．．．（1）若p假q真，则；（２）若p真q假，则．综上所述：．当堂练习：1.C;2.B;3.B;4.B;5.A;6.B;7.A;8.B;9.B; 10.B; 11.此题是开放性题，答案不唯一，可以是“侧棱与底面所成角相等”；或“侧面与底面所成角相等；……; 12. 6是12或24的约数；6是12的约数，也是24的约数；6不是12的约数; 13.②;14.②③④.15.【解】①p∨q：(2=2)∨(2＞2)，即2≥2．(真)由于2=2是真命题，所以2≥2是真命题．②p∨q：(正方形的对角线互相垂直)∨(矩形的对角线互相平分)．由于两个命题都是真的，所以p∨q是真命题．16.【解析】设使p的解集为的的集合为A，使在内是增函数的的集合为B，则本题即求答案为．17.【解析】若按一般思维习惯，对三条抛物线与x轴公共点情况一一分类讨论，则较为繁琐，若从其反面思考，先求“三抛物线均与x轴无公共点的的范围”则很简单.由解之，得，记，则所求a的范围是?18.【解析】∵p且q为假 ∴p、q至少有一命题为假，又“非q”为假∴q为真，从而可知p为假.由p为假且q为真，可得：即∴故x的取值为：－1、0、1、2.1.3全称量词与存在量词重难点：通过生活和数学中丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义地利用；能准确全称量词与存在量词的意义．考纲要求：①理解全称量词与存在量词的意义．②能正确地对含有一个量词的命题进行否定．经典例题：判断下列命题是全称命题还是存在性命题．(1)线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；(2)负数的平方是正数；(3)有些三角形不是等腰三角形；(4)有些菱形是正方形．当堂练习：1.对于命题“任何实数的平方都是非负的”，下列叙述正确的是( )A.是全称命题B.是存在性命题C.是假命题D.是“若p则q”形式的命题2.命题“原函数与反函数的图象关于y=x对称”的否定是（）A 原函数与反函数的图象关于y=－x对称B 原函数不与反函数的图象关于y=x对称C 存在一个原函数与反函数的图象不关于y=x对称D 存在原函数与反函数的图象关于y=x对称3.下列全称命题中，真命题是( )A.所有的素数是奇数B. , (x－1)2＞0C., x+≥2D. , sinx+≥24.下列存在性命题中,假命题是( )A. ,B.至少有一个x∈Z．x能被2和3整除C.存在两个相交平面垂直于同一个直线D. 是无理数}．x2是有理数5.下列全称命题中假命题的个数是（）2x+1是整数（x∈R）②对所有的x∈R，x＞3③对任意一个x∈z，2x2+1为奇数A 0B 1C 2D 36.下列全称命题中真命题的个数是（）末位是0的整数，可以被2整除②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等③正四面体中两侧面的夹角相等A 1B 2C 3D 47.下列存在性命题中假命题的个数是（）有的实数是无限不循环小数②有些三角形不是等腰三角形③有的菱形是正方形A 0B 1C 2D 38.下列特称命题中真命题的个数是（）①②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数③A 0B 1C 2D 39.下列命题为存在性命题的是（）A 偶函数的图象关于y轴对称B 正四棱柱都是平行六面体C 不相交的两条直线是平行直线D 存在实数大于等于310.下列全称命题中真命题的个数是（）①末位是0的整数，可以被2整除②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等③正四面体中两侧面的夹角相等A 1B 2C 3D 411.命题“任何有理数的平方仍是有理数”用数学符号语言可以表示为．12.命题“存在实数是有理数”用数学符号语言可以表示为．13.命题“存在实数是有理数”的否定用数学符号语言可以表示为．14.命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是___________________．15.判断下列命题的真假：(1) ．+1≥x；(2) ．+1≥x；(3)存在无穷多个既是奇函数又是偶函数的函数；(4)有些相似三角形是全等三角形．16.判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断真假：(1)正方形对角线互相垂直平分：(2)所有中国人都讲汉语；(3)有些数比它的平方大；(4)有些实数的平方根是无理数．17.已知：对,a＜x+恒成立，求a的取值范围．18.写出下列命题的否定.(1)对所有的正数x，＞x－1；(2)不存在实数x，x2+1＜2x”；(3)集合A中的任意一个元素都是集合B的元素；(4)集合A中至少有一个元素是集合B的元素．参考答案：经典例题：【解析】⑴全称命题⑵全称命题⑶存在性命题．⑷存在性命题．当堂练习：1.A;2.C;3.C;4.C;5.C;6.C;7.A;8.D;9.C; 10.C; 11. ,; 12. ,;13.,x∈?RQ;14.任意一个三角形都有外接圆15.【解析】①假命题②真命题③真命题④假命题16.【解析】①全称命题;真命题②全称命题;假命题③存在命题;真命题④存在命题;真命题.17.【解析】18.【解析】(1)“对所有的正数x，＞x－1”的否定是“存在正数x，≤x－1”；(2)“不存在实数x，x2+1＜2x”的否定是“存在实数x，x2+1≥2x”；(3)“集合A中的任意一个元素都是集合B的元素”的否定是“存在集合A中的元素不是集合B中的元素”；(4)“集合A中至少有一个元素是集合B的元素”的否定是“集合A中的所有元素都不是集合B中的元素”．1.4常用逻辑用语单元测试1．函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（）A．ab=0 B．a+b=0 C．a=b D．a2+b2=02．“至多有三个”的否定为（）A．至少有三个B．至少有四个C．有三个D．有四个3．有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像．金盒上写有命题p：肖像在这个盒子里；银盒上写有命题q：肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题r：肖像不在金盒里．p、q、r中有且只有一个是真命题，则肖像在（）A．金盒里B．银盒里C．铅盒里D．在哪个盒子里不能确定4．不等式对于恒成立，那么的取值范围是（）A．B．C．D．5．“a和b都不是偶数”的否定形式是（）A．a和b至少有一个是偶数B．a和b至多有一个是偶数C．a是偶数，b不是偶数D．a和b都是偶数6．某食品的广告词为：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而他的实际效果大哩，原来这句话的等价命题是（）A．不拥有的人们不一定幸福B．不拥有的人们可能幸福C．拥有的人们不一定幸福D．不拥有的人们不幸福7．若命题“p或q”为真，“非p”为真，则（）A．p真q真B．p假q真C．p真q假D．p假q假8．条件p：，，条件q：，，则条件p是条件q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件9．2x2－5x－3＜0的一个必要不充分条件是（）A．－＜x＜3 B．－＜x＜0 C．－3＜x＜D．－1＜x＜610．设原命题：若a+b≥2，则a,b中至少有一个不小于1。

高中数学选修1-1同步练习题库：命题及其关系(填空题：较难)

命题及其关系（填空题：较难）1、下列结论：①是的充要条件②存在使得；③函数的最小正周期为；④任意的锐角三角形ABC中，有成立。

其中所有正确结论的序号为______．2、若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围是．3、已知为上的偶函数，当时，.对于结论（1）当时，；（2）函数的零点个数可以为4,5,7；（3）若，关于的方程有5个不同的实根，则；（4）若函数在区间上恒为正，则实数的范围是.说法正确的序号是__________.4、有下列四个说法：①已知向量，，若与的夹角为钝角，则m＜1；②若函数的图象关于直线对称，则；③当＜＜时，函数有四个零点；④函数在上单调递减，在上单调递增．其中正确的是________（填上所有正确说法的序号）5、给出下列四个命题：①“若，则或”是假命题；②已知在中，“”是“”成立的充要条件；③若函数，对任意的都有＜0，则实数的取值范围是；④若实数,，则满足的概率为.其中正确的命题的序号是__________（请把正确命题的序号填在横线上）．6、在钝角中，为钝角，令，若．现给出下面结论：①当时，点是的重心；②记的面积分别为，当时，；③若点在内部（不含边界），则的取值范围是；④若，其中点在直线上，则当时，．其中正确的有______________ （写出所有正确结论的序号）．7、以下命题：①若，则；②在方向上的投影为；③若中，，则；④若非零向量满足，则，所有真命题的标号是_____________．8、已知实数，满足某一前提条件时，命题“若，则”及其逆命题、否命题和逆否命题都是假命题，则实数，应满足的前提条件是________．9、给出下列命题：①半径为，圆心角的弧度数为的扇形面积为；②若为锐角，，，则或；③函数图象的一条对称轴是.其中真命题是_____________．10、已知实数，满足某一前提条件时，命题“若，则”及其逆命题、否命题和逆否命题都是假命题，则实数，应满足的前提条件是________．11、给出下列四个命题：①半径为，圆心角的弧度数为的扇形面积为；②若为锐角，，，则或；③函数图象的一条对称轴是.其中真命题是．12、给出下列结论：①集合的子集有 3个；②函数的值域是；③幂函数图象一定不过第四象限；④函数的图象过定点；⑤若成立，则的取值范围是．其中正确的序号是________________．13、下面四个命题中，①复数，则其实部、虚部分别是；②复数满足，则对应的点集合构成一条直线；③由，可得；④为虚数单位，则．正确命题的序号是______________.14、给出下列命题：①函数既有极大值又有极小值，则；②若，则的单调递减区间为；③过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围为;④双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为.其中为真命题的序号是 .15、下列命题：①已知，表示两条不同的直线，，表示不同的平面，并且，，则“”是“”的必要不充分条件；②不存在，使不等式成立；③“若，则”的逆命题为真命题；④，函数都不是偶函数．正确的命题序号是．16、若命题“”是假命题，则实数的取值范围是．17、已知命题“若，则”，命题的原命题，逆命题，否命题，逆否命题中真命题的个数为．18、给出下列四个结论：①命题“的否定是“”；②“若则”的逆命题为真；③函数（x）有3个零点；④对于任意实数x，有且x>0时,则x<0时其中正确结论的序号是．（填上所有正确结论的序号）19、给出下列四个命题：①命题“”的否定是“”；②“”是“直线与直线相互垂直”的必要不充分条件；③设圆与坐标轴有4个交点，分别为，则；④关于的不等式的解集为，则．其中所有真命题的序号是．20、已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图所示.下列关于的命题：①函数的极大值点为，；②函数在上是减函数；③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；④当时，函数有个零点。

【数学】1.1《命题及其关系》测试(苏教版选修1-1)

高中苏教选修（1-1）1.1命题及其关系测试题一、选择题1．已知命题“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，那么命题：①M 的元素都不是P 的元素；②M 中有不属于P 的元素；③M 中没有P 的元素；④M 中元素不都是P 的元素中，真命题的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：B2．下面的电路图由电池、开关和灯泡L 组成，假定所有零件均能正常工作，则电路中“开关1k 闭合”是“灯泡L 亮”的（）A ．充分不必要条件B ．必要充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案：A3．命题“a b ，都是偶数，则a b +是偶数”的逆否命题是（）A ．a b ，都不是偶数，则a b +不是偶数B ．a b ，不都是偶数，则a b +不是偶数C ．a b +不是偶数，则a b ，都不是偶数D ．a b +不是偶数，则a b ，不都是偶数答案：D4．已知αβ，均为锐角，若:sin sin()p ααβ<+；π:2q αβ+<，则p 是q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案：B5．已知A 表示点，a b c ，，表示直线，M N ，表示平面，给出下列命题：①a M b M ⊥⊄，，若b M ∥，则b a ⊥；②a M ⊥，若a N ⊥，则M N ∥；③a M ⊥，若b M ∥，c a ∥，则a b c b ⊥⊥，．其中逆命题正确的是（）A ．①和②B ．①和③C ．②和③D ．①、②、③答案：A6．设集合{}()|U x y x y =∈∈R R ，，，{}()|20A x y x y m =-+>，，{}()|0B x y x y n =+-，≤，则点(23)P ，()U A B ∈ ð的充要条件是（）A ．1m >-，5n -，5n >D ．1m <-，5n >答案：A二、填空题 7．命题“若a b >，则221a b >-”的否命题为．答案：若a b ≤，则221a b-≤8．“a b =”是“直线2y x =+与圆22()()2x a y b -+-=相切”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”）答案：充分不必要9．设，，a b c 是三个向量，则有下列四个命题：①若=a b a c ，且≠0a ，则=b c ； ②若=0a b ，则=0a 或=0b ； ③若，，a b c 互不共线，则()()=a b c a b c ； ④22(32)(32)94+-=-a b a b a b ．其中真命题的序号是．答案：④10．若x ∈R ，则函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的值恒为正的充要条件是．答案：0a >且240b ac ∆=-< 11．在直角坐标系中，点223232m m m m -⎛⎫+- ⎪-⎝⎭，在第四象限的充要条件是．答案：312m -<<或23m << 12．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若函数2()3log f x x =+的图象与()g x 的图象关于对称，则函和()g x = ．（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）答案：y 轴，23log ()x +-；或：x 轴，23log x --；或：原点，23log ()x ---；或：直线y x =，32x -三、解答题13．已知命题：末位是0的整数，可以被5整除．把命题改写为“若p ，则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断其真假．解：原命题：若一个整数的末位数是0，则这个整数可以被5整除．真命题．逆命题：若一个整数可以被5整除，则这个整数的末位数是0．假命题．否命题：若一个整数的末位数不是0，则这个整数不能被5整除．假命题．逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数不是0．真命题．14．已知:20p m -<<，01n <<；命题:q 关于x 的方程20x mx n ++=有两个小于1的正根．试分析p 是q 的什么条件．解：p 是q 的必要不充分条件．若令1(20)3m =-∈-，，1(01)2n =∈，，则211032x x -+=，此时方程的114092∆=-⨯<无解． p q ∴¿．若方程20x mx n ++=有两个小于1的正根1x ，2x ，则101x <<，201x <<， 1202x x ∴<+<，1201x x <<．∴由根与系数的关系得0201m n <-<⎧⎨<<⎩，，即2001m n -<<⎧⎨<<⎩，，q p ∴⇒．15．已知2:8200p x x --≤，22:210(0)q x x m m -+->≤ ．若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由28200x x --≤，得20x -≤≤1；由22210x x m -+-≤得11(0)m x m m -+>≤≤．由p 是q 的必要不充分条件，即q p ⇒，p q ¿．由q p ⇒得012110m m m >⎧⎪--⎨⎪+⎩≥，≤解得03m <≤．此式适合p q ¿．故m 的取值范围是(]03，．。

人教版高中数学选修(1-1)-1.1同步练习：四种命题间的相互关系2

1.1.3四种命题间的相互关系
1、下列说法错误
．．的是
A.命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2-3x+2≠0”
B.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件
C.若p∧q为假命题，则p、q均为假命题
D.对于命题p：“存在x∈R，使得x2+x+1<0”，则⌝p：“任意x∈R，均有x2+x+1≥0”
2、命题p：如果一个几何体在三个两两垂直的平面上的射影是三个全等的正方形，那么该几何体是正方体；设命题q为命题p的逆命题，则
A. p、q均真
B.p真q假
C.p假q真
D. p、q均假
3、命题“若x、y是奇数，则x+y是偶数”的逆否命题是_________.
4、“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题是________命题.
5、写出命题：“若xy = 6则x = 3且y = 2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假
参考答案
1、C
2、C
3、x+y不是偶数，则x、y不都是奇数
4、真
5、逆命题：若x = 3 且y = 2 则x + y = 5 （真）否命题：若x + y ≠ 5 则x ≠ 3且y≠2 （真）逆否命题：若x ≠ 3 或y≠2 则x + y ≠5 （假）。

高中数学选修1-1各章节作业练习题(附答案解析)

第一章常用逻辑用语§1.1 命题及其关系1.1.1命题课时目标 1.了解命题的概念，会判断一个命题的真假.2.会将一个命题改写成“若p，则q”的形式．1．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断________的__________叫做命题．其中判断为______的语句叫做真命题，判断为______的语句叫做假命题．2．在数学中，“若p，则q”是命题的常见形式，其中p叫做命题的________，q叫做命题的________．一、选择题1．下列语句中是命题的是()A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 45°＝1C．x2＋2x－1>0D．梯形是不是平面图形呢？2．下列语句中，能作为命题的是()A．3比5大B．太阳和月亮C．高年级的学生D．x2＋y2＝03．下列命题中，是真命题的是()A．{x∈R|x2＋1＝0}不是空集B．若x2＝1，则x＝1C．空集是任何集合的真子集D．x2－5x＝0的根是自然数4．已知命题“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，那么下列命题：①M的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有P的元素；④M中元素不都是P的元素．其中真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．45．命题“6的倍数既能被2整除，也能被3整除”的结论是()A．这个数能被2整除B．这个数能被3整除C．这个数既能被2整除，也能被3整除D．这个数是6的倍数6．在空间中，下列命题正确的是()A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行题号123456答案7．下列命题：①若xy ＝1，则x ，y 互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac 2>bc 2，则a >b .其中真命题的序号是________．8．命题“奇函数的图象关于原点对称”的条件p 是__________________________，结论q 是________________________________．9．下列语句是命题的是________． ①求证3是无理数； ②x 2＋4x ＋4≥0；③你是高一的学生吗？④一个正数不是素数就是合数； ⑤若x ∈R ，则x 2＋4x ＋7>0. 三、解答题10．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假． (1)偶数能被2整除．(2)当m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根．11．设有两个命题：p ：x 2－2x ＋2≥m 的解集为R ；q ：函数f (x )＝－(7－3m )x 是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围．能力提升12．设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题：①若m ＝1，则S ＝{1}；②若m ＝－12，则14≤l ≤1；③若l ＝12，则－22≤m ≤0.其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．313．设α，β，γ为两两不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③若α∥β，l ⊂α，则l ∥β；④若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．41．判断一个语句是否为命题的关键是能否判断真假，只有能判断真假的语句才是命题． 2．真命题是可以经过推理证明正确的命题，假命题只需举一反例说明即可．3．在判断命题的条件和结论时，可以先将命题改写成“若p 则q ”的形式，改法不一定唯一．第一章常用逻辑用语 §1.1 命题及其关系1．1.1 命题答案知识梳理1．真假陈述句真假 2．条件结论作业设计1．B [A 、D 是疑问句，不是命题，C 中语句不能判断真假．]2．A [判断一个语句是不是命题，关键在于能否判断其真假．“3比5大”是一个假命题．]3．D [A 中方程在实数范围内无解，故是假命题；B 中若x 2＝1，则x ＝±1，故B 是假命题；因空集是任何非空集合的真子集，故C 是假命题；所以选D.]4．B [命题②④为真命题．]5．C [命题可改写为：如果一个数是6的倍数，那么这个数既能被2整除，也能被3整除．]6．D 7．①④解析 ①④是真命题，②四条边相等的四边形也可以是菱形，③平行四边形不是梯形． 8．若一个函数是奇函数这个函数的图象关于原点对称 9．②④⑤解析 ①③不是命题，①是祈使句，③是疑问句．而②④⑤是命题，其中④是假命题，如正数12既不是素数也不是合数，②⑤是真命题，x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2≥0恒成立，x 2＋4x ＋7＝(x ＋2)2＋3>0恒成立．10．解 (1)若一个数是偶数，则这个数能被2整除，真命题．(2)若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实数根，真命题．11．解若命题p 为真命题，可知m ≤1；若命题q 为真命题，则7－3m >1，即m <2.所以命题p 和q 中有且只有一个是真命题时，有p 真q 假或p 假q 真，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤1，m ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧m >1，m <2.故m 的取值范围是1<m <2.12．D [①m ＝1时，l ≥m ＝1且x 2≥1， ∴l ＝1，故①正确．②m ＝－12时，m 2＝14，故l ≥14.又l ≤1，∴②正确．③l ＝12时，m 2≤12且m ≤0，则－22≤m ≤0，∴③正确．]13．B [①由面面垂直知，不正确；②由线面平行判定定理知，缺少m 、n 相交于一点这一条件，故不正确； ③由线面平行判定定理知，正确；④由线面相交、及线面、线线平行分析知，正确．综上所述知，③，④正确．]1.1.2四种命题课时目标 1.了解四种命题的概念.2.认识四种命题的结构，会对命题进行转换．1．四种命题的概念：(1)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的______________，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．(2)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的______________________________，我们把这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．(3)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的______________________________，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．2．四种命题的结构：用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p，綈q分别表示p和q的否定，四种形式就是：原命题：若p成立，则q成立．即“若p，则q”．逆命题：________________________.即“若q，则p”．否命题：______________________.即“若綈p，则綈q”．逆否命题：________________________.即“若綈q，则綈p”．一、选择题1．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．42．命题“若A∩B＝A，则A⊆B”的逆否命题是()A．若A∪B≠A，则A⊇BB．若A∩B≠A，则A⊆BC．若A⊆B，则A∩B≠AD．若A⊇B，则A∩B≠A3．对于命题“若数列{a n}是等比数列，则a n≠0”，下列说法正确的是()A．它的逆命题是真命题B．它的否命题是真命题C．它的逆否命题是假命题D．它的否命题是假命题4．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④若“A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．其中的真命题是()A．①②B．②③C．①③D．③④5．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A．4 B．3 C．2 D．06．命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是()A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数题号123456答案二、填空题7．命题“若x>y，则x3>y3－1”的否命题是________________________．8．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆否命题是________________________；逆命题是______________________；否命题是________________________．9．有下列四个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题；②若a2＋b2＝0，则a，b全为0；③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆命题．其中是真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．三、解答题10．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等．11．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．能力提升12．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数13．命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．1．对条件、结论不明显的命题，可以先将命题改写成“若p则q”的形式后再进行转换．2．分清命题的条件和结论，然后进行互换和否定，即可得到原命题的逆命题，否命题和逆否命题．1．1.2四种命题答案知识梳理1．(1)结论和条件(2)条件的否定和结论的否定(3)结论的否定和条件的否定2．若q成立，则p成立若綈p成立，则綈q成立若綈q成立，则綈p成立作业设计1．B[由a>－3⇒a>－6，但由a>－6 a>－3，故真命题为原命题及原命题的逆否命题，故选B.]2．C[先明确命题的条件和结论，然后对命题进行转换．]3．D 4.C5．C[原命题和它的逆否命题为真命题．]6．A[由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．]7．若x≤y，则x3≤y3－18．不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除9．②③10．解(1)原命题：“若a是正数，则a的平方根不等于0”．逆命题：“若a的平方根不等于0，则a是正数”．否命题：“若a不是正数，则a的平方根等于0”．逆否命题：“若a的平方根等于0，则a不是正数”．(2)原命题：“若x＝2，则x2＋x－6＝0”．逆命题：“若x2＋x－6＝0，则x＝2”．否命题：“若x≠2，则x2＋x－6≠0”．逆否命题：“若x2＋x－6≠0，则x≠2”．(3)原命题：“若两个角是对顶角，则它们相等”．逆命题：“若两个角相等，则它们是对顶角”．否命题：“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．逆否命题：“若两个角不相等，则它们不是对顶角”．11．解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高．否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高．(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧．逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．12．B[命题“若p，则q”的否命题为“若綈p，则綈q”，而“是”的否定是“不是”，故选B.]13．解逆命题：已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．否命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b<0.逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b<0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集．原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．1.1.3四种命题间的相互关系课时目标1．认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系．2．会利用命题的等价性解决问题．1．四种命题的相互关系2．四种命题的真假性(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假(2)四种命题的真假性之间的关系①两个命题互为逆否命题，它们有______的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性______________．一、选择题1．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是()A．若q不正确，则p不正确B．若q不正确，则p正确C．若p正确，则q不正确D．若p正确，则q正确2．下列说法中正确的是()A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价C．“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真3．与命题“能被6整除的整数，一定能被2整除”等价的命题是()A．能被2整除的整数，一定能被6整除B．不能被6整除的整数，一定不能被2整除C．不能被6整除的整数，不一定能被2整除D．不能被2整除的整数，一定不能被6整除4．命题：“若a 2＋b 2＝0 (a ，b ∈R )，则a ＝b ＝0”的逆否命题是( ) A ．若a ≠b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0 B ．若a ＝b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0C ．若a ≠0，且b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0D ．若a ≠0，或b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠05．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真6．设α、β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β.那么( )A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题题号 1 2 3 4 5 6 答案二、填空题7．“已知a ∈U (U 为全集)，若a ∉∁U A ，则a ∈A ”的逆命题是______________________________________，它是______(填“真”“或”“假”)命题．8．“若x ≠1，则x 2－1≠0”的逆否命题为________命题．(填“真”或“假”)9．下列命题：①“若k >0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题；②“若1a >1b，则a 2，则方程x 2＋2x ＋3m ＝0无实根，写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假．11．已知奇函数f (x )是定义域为R 的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥0，求证：a ＋b ≥0.能力提升12．给出下列三个命题：①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b1＋b；②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n2；③设P (x 1，y 1)是圆O 1：x 2＋y 2＝9上的任意一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心，且半径为1.当(a－x1)2＋(b－y1)2＝1时，圆O1与圆O2相切．其中假命题的个数为() A．0B．1C．2D．313．a、b、c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大的，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c的年龄不是最小的，那么a的年龄最大”都是真命题，则a、b、c的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由．1．互为逆否的命题同真假，即原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假．四种命题中真命题的个数只能是偶数个，即0个、2个或4个．2．当一个命题是否定形式的命题，且不易判断其真假时，可以通过判断与之等价的逆否命题的真假来达到判断该命题真假的目的．1．1.3四种命题间的相互关系答案知识梳理1．若q，则p若綈p，则綈q若綈q，则綈p2．(2)①相同②没有关系作业设计1．D[原命题的逆命题和否命题互为逆否命题，只需写出原命题的否命题即可．] 2．D 3.D4．D[a＝b＝0的否定为a，b至少有一个不为0.]5．D[原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题．]6．D7．已知a∈U(U为全集)，若a∈A，则a∉∁U A真解析“已知a∈U(U为全集)”是大前提，条件是“a∉∁U A”，结论是“a∈A”，所以原命题的逆命题为“已知a∈U(U为全集)，若a∈A，则a∉∁U A”．它为真命题．8．假9.①②10．解逆命题：若方程x2＋2x＋3m＝0无实根，则m>2，假命题．否命题：若m≤2，则方程x2＋2x＋3m＝0有实根，假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋3m＝0有实根，则m≤2，真命题．11．证明假设a＋b<0，即a<－b，∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)<f(－b)．又f(x)为奇函数，∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)<－f(b)，即f(a)＋f(b)<0.即原命题的逆否命题为真，故原命题为真．∴a＋b≥0.12．B[①用“分部分式”判断，具体：a1＋a≥b1＋b⇔1－11＋a≥1－11＋b⇔11＋a≤11＋b，又a≥b>－1⇔a＋1≥b＋1>0知本命题为真命题．②用基本不等式：2xy≤x2＋y2 (x>0，y>0)，取x＝m，y＝n－m，知本命题为真．③圆O1上存在两个点A、B满足弦AB＝1，所以P、O2可能都在圆O1上，当O2在圆O1上时，圆O1与圆O2相交．故本命题为假命题．]13．解能确定．理由如下：显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此应该从它的逆否命题来考虑．①由命题A为真可知，当b不是最大时，则a是最小的，即若c最大，则a最小，所以c>b>a；而它的逆否命题也为真，即“a不是最小，则b是最大”为真，所以b>a>c.总之由命题A为真可知：c>b>a或b>a>c.②同理由命题B为真可知a>c>b或b>a>c.从而可知，b>a>c.所以三个人年龄的大小顺序为b最大，a次之，c最小．§1.2充分条件与必要条件课时目标 1.结合实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.会判断(证明)某些命题的条件关系．1．如果已知“若p，则q”为真，即p⇒q，那么我们说p是q的____________，q是p 的____________．2．如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作________．这时p是q的______________条件，简称________条件，实际上p与q互为________条件．如果p⇒q且q⇒p，则p是q的________________________条件．一、选择题1．“x>0”是“x≠0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．设p：x<－1或x>1；q：x<－2或x>1，则綈p是綈q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件题号123456答案7．用符号“⇒”或“⇒”填空.(1)a>b________ac2>bc2；(2)ab≠0________a≠0.8．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x<－1，则a的取值范围是________．9．函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是__________．三、解答题10．下列命题中，判断条件p 是条件q 的什么条件： (1)p ：|x |＝|y |，q ：x ＝y .(2)p ：△ABC 是直角三角形，q ：△ABC 是等腰三角形； (3)p ：四边形的对角线互相平分，q ：四边形是矩形．11.已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，若x ∈P 是x ∈Q 的必要条件，求实数a 的取值范围．能力提升12．记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max {}x 1，x 2，…，x n ，最小数为min {}x 1，x 2，…，x n .已知△ABC 的三边边长为a ，b ，c (a ≤b ≤c )，定义它的倾斜度为l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ，则“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的( ) A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝(n ＋1)2＋c ，探究{a n }是等差数列的充要条件．1．判断p 是q 的什么条件，常用的方法是验证由p 能否推出q ，由q 能否推出p ，对于否定性命题，注意利用等价命题来判断．2．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立．“A 的充要条件为B ”的命题的证明：A ⇒B 证明了必要性；B ⇒A 证明了充分性．“A 是B 的充要条件”的命题的证明：A ⇒B 证明了充分性；B ⇒A 证明了必要性．§1.2 充分条件与必要条件答案知识梳理1．充分条件必要条件2．p ⇔q 充分必要充要充要既不充分又不必要作业设计1．A [对于“x >0”⇒“x ≠0”，反之不一定成立．因此“x >0”是“x ≠0”的充分而不必要条件．] 2．A [∵q ⇒p ，∴綈p ⇒綈q ，反之不一定成立，因此綈p 是綈q 的充分不必要条件．]3．B [因为N M .所以“a ∈M ”是“a ∈N ”的必要而不充分条件．]4．A [把k ＝1代入x －y ＋k ＝0，推得“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”；但“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”不一定推得“k ＝1”．故“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的充分而不必要条件．]5．A [l ⊥α⇒l ⊥m 且l ⊥n ，而m ，n 是平面α内两条直线，并不一定相交，所以l ⊥m 且l ⊥n 不能得到l ⊥α.]6．B [当a <0时，由韦达定理知x 1x 2＝1a<0，故此一元二次方程有一正根和一负根，符合题意；当ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根时，a 可以为0，因为当a ＝0时，该方程仅有一根为－12，所以a 不一定小于0.由上述推理可知，“a <0”是“方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根”的充分不必要条件．]7．(1) ⇒ (2)⇒ 8．a >2解析不等式变形为(x ＋1)(x ＋a )<0，因当－2<x <－1时不等式成立，所以不等式的解为－a <x <－1.由题意有(－2，－1)(－a ，－1)，∴－2>－a ，即a >2.9．b ≥－2a解析由二次函数的图象可知当－b2a≤1，即b ≥－2a 时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在[1，＋∞)上单调递增．10．解 (1)∵|x |＝|y |⇒x ＝y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |，∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．(2)△ABC 是直角三角形⇒△ABC 是等腰三角形． △ABC 是等腰三角形⇒△ABC 是直角三角形． ∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件． (3)四边形的对角线互相平分⇒四边形是矩形．四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分． ∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件． 11．解由题意知，Q ＝{x |1<x <3}，Q ⇒P ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1a ＋4≥3，解得－1≤a ≤5. ∴实数a 的取值范围是[－1,5]．12．A [当△ABC 是等边三角形时，a ＝b ＝c ，∴l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝1×1＝1.∴“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的必要条件．∵a ≤b ≤c ，∴max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝ca .又∵l ＝1，∴min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝ac，即a b ＝a c 或b c ＝a c，得b ＝c 或b ＝a ，可知△ABC 为等腰三角形，而不能推出△ABC 为等边三角形． ∴“l ＝1”不是“△ABC 为等边三角形”的充分条件．] 13．解当{a n }是等差数列时，∵S n ＝(n ＋1)2＋c ，∴当n≥2时，S n－1＝n2＋c，∴a n＝S n－S n－1＝2n＋1，∴a n＋1－a n＝2为常数．又a1＝S1＝4＋c，∴a2－a1＝5－(4＋c)＝1－c，∵{a n}是等差数列，∴a2－a1＝2，∴1－c＝2.∴c＝－1，反之，当c＝－1时，S n＝n2＋2n，可得an＝2n＋1 (n≥1)为等差数列，∴{an}为等差数列的充要条件是c＝－1.§1.3简单的逻辑联结词课时目标 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.会用逻辑联结词联结两个命题或改写某些数学命题，并能判断命题的真假．1．用逻辑联结词构成新命题(1)用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作__________，读作__________．(2)用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作________，读作__________．(3)对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作________，读作________或____________．2．含有逻辑联结词的命题的真假判断p q p∨q p∧q綈p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真一、选择题1．已知p：2＋2＝5；q：3>2，则下列判断错误的是()A．“p∨q”为真，“綈q”为假B．“p∧q”为假，“綈p”为真C．“p∧q”为假，“綈p”为假D．“p∨q”为真，“綈p”为真2．已知p：∅{0}，q：{2}∈{1,2,3}．由它们构成的新命题“綈p”，“綈q”，“p∧q”，“p∨q”中，真命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列命题：①2010年2月14日既是春节，又是情人节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形．其中使用逻辑联结词的命题有()A．0个B．1个C．2个D．3个4．设p、q是两个命题，则新命题“綈(p∨q)为假，p∧q为假”的充要条件是() A．p、q中至少有一个为真B．p、q中至少有一个为假C．p、q中有且只有一个为假D．p为真，q为假5．命题p：在△ABC中，∠C>∠B是sin C>sin B的充分不必要条件；命题q：a>b是ac2>bc2的充分不必要条件．则()A．p假q真B．p真q假C．p∨q为假D．p∧q为真6．下列命题中既是p∧q形式的命题，又是真命题的是()A．10或15是5的倍数B．方程x2－3x－4＝0的两根是－4和1C．方程x2＋1＝0没有实数根D．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形题号123456答案二、填空题7．“2≤3”中的逻辑联结词是________，它是________(填“真”，“假”)命题．8．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的范围是____________．9．已知a、b∈R，设p：|a|＋|b|>|a＋b|，q：函数y＝x2－x＋1在(0，＋∞)上是增函数，那么命题：p∨q、p∧q、綈p中的真命题是________．三、解答题10．写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“綈p”形式的复合命题，并判断真假．(1)p：1是质数；q：1是方程x2＋2x－3＝0的根；(2)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p：0∈∅；q：{x|x2－3x－5<0}⊆R；(4)p：5≤5；q：27不是质数．11．已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．能力提升12．命题p：若a，b∈R，则|a|＋|b|>1是|a＋b|>1的充分而不必要条件；命题q：函数y ＝|x－1|－2 的定义域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)，则()A．“p或q”为假B．“p且q”为真C．p真q假D．p假q真13．设有两个命题．命题p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是∅；命题q：函数f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围．1．从集合的角度理解“且”“或”“非”．设命题p：x∈A.命题q：x∈B.则p∧q⇔x∈A且x∈B⇔x∈A∩B；p∨q⇔x∈A或x∈B ⇔x∈A∪B；綈p⇔x∉A⇔x∈∁U A.2．对有逻辑联结词的命题真假性的判断当p、q都为真，p∧q才为真；当p、q有一个为真，p∨q即为真；綈p与p的真假性相反且一定有一个为真．3．含有逻辑联结词的命题否定“或”“且”联结词的否定形式：“p或q”的否定形式“綈p且綈q”，“p且q”的否定形式是“綈p或綈q”，它类似于集合中的“∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)，∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)”．§1.3简单的逻辑联结词答案知识梳理1．(1)p∧q“p且q”(2)p∨q“p或q”(3)綈p“非p”“p的否定”作业设计1．C[p假q真，根据真值表判断“p∧q”为假，“綈p”为真．]2．B[∵p真，q假，∴綈q真，p∨q真．]3．C[①③命题使用逻辑联结词，其中，①使用“且”，③使用“非”．]4．C[因为命题“綈(p∨q)”为假命题，所以p∨q为真命题．所以p、q一真一假或都是真命题．又因为p∧q为假，所以p、q一真一假或都是假命题，所以p、q中有且只有一个为假．] 5．C[命题p、q均为假命题，∴p∨q为假．]6．D[A中的命题是p∨q型命题，B中的命题是假命题，C中的命题是綈p的形式，D中的命题为p∧q型，且为真命题．]7．或真8．[1,2)解析x∈[2,5]或x∈(－∞，1)∪(4，＋∞)，即x∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于命题是假命题，所以1≤x<2，即x∈[1,2)．9．綈p解析对于p，当a>0，b>0时，|a|＋|b|＝|a＋b|，故p假，綈p为真；对于q，抛物线y＝x2－x＋1的对称轴为x＝12，故q假，所以p∨q假，p∧q假．这里綈p应理解成|a|＋|b|>|a＋b|不恒成立，而不是|a|＋|b|≤|a＋b|.10．解(1)p为假命题，q为真命题．p或q：1是质数或是方程x2＋2x－3＝0的根．真命题．p且q：1既是质数又是方程x2＋2x－3＝0的根．假命题．綈p：1不是质数．真命题．(2)p为假命题，q为假命题．p 或q ：平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题． p 且q ：平行四边形的对角线相等且互相垂直．假命题．綈p ：有些平行四边形的对角线不相等．真命题． (3)∵0∉∅，∴p 为假命题，又∵x 2－3x －5<0，∴3－292<x <3＋292，∴{x |x 2－3x －5<0} ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |3－292<x <3＋292⊆R 成立． ∴q 为真命题．∴p 或q ：0∈∅或{x |x 2－3x －5<0}⊆R ，真命题， p 且q ：0∈∅且{x |x 2－3x －5<0}⊆R ，假命题，綈p ：0∉∅，真命题．(4)显然p ：5≤5为真命题，q ：27不是质数为真命题，∴p 或q ：5≤5或27不是质数，真命题，p 且q ：5≤5且27不是质数，真命题，綈p ：5>5，假命题．11．解若方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，－m <0，解得m >2，即p ：m >2. 若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0，解得1<m <3，即q ：1<m <3.因p 或q 为真，所以p 、q 至少有一个为真．又p 且q 为假，所以p 、q 至少有一个为假．因此，p 、q 两命题应一真一假，即p 为真，q 为假，或p 为假，q 为真．所以⎩⎪⎨⎪⎧ m >2，m ≤1或m ≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3.解得m ≥3或1<m ≤2.12．D [当a ＝－2，b ＝2时，从|a |＋|b |>1不能推出|a ＋b |>1，所以p 假，q 显然为真．] 13．解对于p ：因为不等式x 2－(a ＋1)x ＋1≤0的解集是∅，所以Δ＝[－(a ＋1)]2－4<0. 解不等式得：－3<a <1.对于q ：f (x )＝(a ＋1)x 在定义域内是增函数，则有a ＋1>1，所以a >0.又p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，所以p 、q 必是一真一假．当p 真q 假时有－3<a ≤0，当p 假q 真时有a ≥1. 综上所述，a 的取值范围是(－3,0]∪[1，＋∞)．§1.4 全称量词与存在量词课时目标 1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.会判定全称命题和特称命题的真假.3.能正确的对含有一个量词的命题进行否定.4.知道全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．1．全称量词和全称命题(1)短语“______________”“____________”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“______”表示，常见的全称量词还有“对一切”“对每一个”“任给”“所有的”等．(2)含有______________的命题，叫做全称命题．(3)全称命题：“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为____________．2．存在量词和特称命题(1)短语“______________”“________________”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“________”表示，常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．(2)含有______________的命题，叫做特称命题．(3)特称命题：“存在M中的一个x0，有p(x0)成立”，可用符号简记为____________．3．含有一个量词的命题的否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：____________；(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：____________.4．命题的否定与否命题命题的否定只否定________，否命题既否定______，又否定________．一、选择题1．下列语句不是全称命题的是()A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高二(一)班绝大多数同学是团员D．每一个向量都有大小2．下列命题是特称命题的是()A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于等于33．下列是全称命题且是真命题的是()A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈Q，x2∈QC．∃x0∈Z，x20>1 D．∀x，y∈R，x2＋y2>04．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是()A．斜三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x0，使x20>0C．任一无理数的平方必是无理数D．存在一个负数x0，使1x0>25．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则()A．綈p：∃x0∈R，sin x0≥1B．綈p：∀x∈R，sin x≥1C．綈p：∃x0∈R，sin x0>1D．綈p：∀x∈R，sin x>16．“存在整数m0，n0，使得m20＝n20＋2 011”的否定是()A．任意整数m，n，使得m2＝n2＋2 011B．存在整数m0，n0，使得m20≠n20＋2 011C．任意整数m，n，使得m2≠n2＋2 011D．以上都不对题号123456答案。

(人教版)数学高中选修1-1同步练习 (全书完整版)

（人教版）高中数学选修1-1（全册）同步练习汇总►基础梳理1．命题的定义．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．♨思考：如何判断一个语句是不是命题？答案：判断一个语句是不是命题，就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件．2．命题的结构．本章中我们只讨论“若p ，则q ”这种形式的命题．我们把这种形式的命题中的p 叫做命题的条件，把q 叫做命题的结论．►自测自评1．下列语句是命题的是①(填序号)． ①π2是无限不循环小数 ②3x ≤5③什么是“温室效应”？ ④明天给我买本《金版学案》解析：选项①，“π2是无限不循环小数”是陈述句，并且它是真的，所以是命题；选项②，因为无法判断“3x ≤5”的真假，所以选项②不是命题；选项③是疑问句，选项④是祈使句，故都不是命题．2．语句“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”(C ) A ．不是命题 B ．是假命题 C ．是真命题 D ．不能判断真假3．把命题“垂直于同一平面的两条直线互相平行”改成“若p ，则q ”的形式：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行．1．下列语句是命题的是(B )①72＋1≠50 ②5－x ＝0 ③存在x ∈R ，使x 2－4>0 ④平行于同一条直线的两条直线平行吗？A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④2．下列命题中是真命题的是(B ) A.3是有理数 B ．22是实数C ．e 是有理数D ．{x |x 是小数}R3．下面是关于四棱柱的四个命题： ①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两相等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的序号是________．答案：②④4．将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假． (1)正n 边形(n ≥3)的n 个内角全相等； (2)方程x 2－x ＋1＝0有两个实根； (3)菱形的对角线互相垂直； (4)偶函数的图象关于y 轴对称．答案：(1)若n (n ≥3)边形是正多边形，则它的n 个内角全相等．真命题． (2)若一个方程是x 2－x ＋1＝0，则它有两个实根．假命题． (3)若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直．真命题． (4)若一个函数是偶函数，则它的图象关于y 轴对称．真命题．1．下列语句中，是命题的个数是(B )①求证：3是无理数 ②－5∈Z ③5是无理数 ④x 2－4x ＋7≥0.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．下列四个命题中是真命题的为(C ) A ．若sin A ＝sin B ，则∠A ＝∠B B ．若lg x 2＝0，则x ＝1C ．若a >b ，且ab >0，则1a <1bD ．若b 2＝ac ，则a 、b 、c 成等比数列 3．下列说法正确的是(D )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题C ．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D ．语句“当a >4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题解析：A 写成“若p 则q ”的形式，B 是命题，C 假命题． 4．(2013·肇庆二模)对于平面α和直线m ，n ，下列命题中假命题的个数是(D )①若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α ②若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ③若m ∥α，n ⊂a ，则m ∥n ④若m ∥n ，n ∥α，则m ∥αA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是(C ) A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面B ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ＝BC D ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ⊥BC 6．(2013·广州二模)对于任意向量a 、b 、c ，下列命题中正确的是(D ) A ．|a ·b |＝|a ||b | B ．|a ＋b |＝|a |＋|b | C ．(a ·b )c ＝a (b ·c ) D ．a ·a ＝|a |27．命题“末位数字是0或5的整数，能被5整除”，条件p ：________________________________________________________________________；结论q ：________________________________________________________________________；是________命题(填“真”或“假”)．解析：“末位数字是0或5的整数，能被5整除”改写成“若p ，则q ”的形式为：若一个整数的末位数是0或5，则这个数能被5整除，为真命题．答案：一个整数的末位数是0或5 这个数能被5整除真8．命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，得－3≤a ＜0.∴－3≤a ≤0. 答案：[－3，0]9．下面是关于四棱柱的四个命题： ①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条体对角线两两相等，则四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的序号是________．答案：②④10．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足条件：f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1，0]上是增函数，给出下面关于f (x )的命题：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于直线x ＝－1对称；③f (0)≤f (1)；④f (2)＝f (0)；⑤f (x )在[1，2]上是减函数．其中正确的命题序号是________．答案：①②④11．将下列命题改成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假． (1)正n 边形(n ≥3)的n 个内角全相等； (2)方程x 2－x ＋1＝0有两个实根； (3)菱形的对角线互相垂直； (4)偶函数的图象关于y 轴对称．答案：(1)若n (n ≥3)边形是正多边形，则它的n 个内角全相等．真命题． (2)若一个方程是x 2－x ＋1＝0，则它有两个实根．假命题． (3)若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直．真命题． (4)若一个函数是偶函数，则它的图象关于y 轴对称．真命题．12．已知p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，q ：4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p ，q 一真一假，求m 的取值范围．解析：当p 为真命题时， ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4＞0，x 1＋x 2＝－m ＜0，x 1·x 2＝1＞0，∴m ＞2.当q 为真命题时，Δ＝42(m －2)2－16＜0， ∴1＜m ＜3.若p 、q 一真一假，则， p 真q 假或p 假q 真， ①若p 真q 假， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2，m ≤1或m ≥3， ∴m ≥3.②若p 假q 真，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1＜m ＜3， ∴1＜m ≤2.综上m 的取值范围是(1，2]∪[3，＋∞)． 13．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x ＜0}，若命题“A ∩B ＝∅”是假命题，求实数m 的取值范围．解析：因为A ∩B ＝∅是假命题，所以A ∩B ≠∅. 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ≤－1或m ≥32. 假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2都非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 1＋x 2≥0，x 1x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0，解得m ≥32.又集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ≥32在全集U 中的补集是{m |m ≤－1}，所以实数m 的取值范围是{m |m ≤－1}．►体验高考1．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，是真命题的是(D ) A ．①和② B ．②和③ C ．③和④ D ．②和④解析：①中没有强调这两条直线是相交的. ③中这两条直线也可以相交或是异面． 2．设a ，b 为正实数，现有下列命题： ①若a 2－b 2＝1，则a －b <1；②若1b －1a＝1，则a －b <1；③若|a －b |＝1，则|a －b |<1； ④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1.其中真命题有____________(写出所有真命题的序号)．答案：①④►基础梳理1．四种命题的概念．(1)一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题．(2)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题．(3)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题．2．四种命题的相互关系．3．四种命题的真假性．由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．,►自测自评1．命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是(A)A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2＜0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若log a2＜0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数2．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数可以是(D) A．1或2或3或4B．1或3C．0或4D．0或2或43．若命题p的逆命题为q，命题q的否命题为r，则p是r的逆否命题．解析：设p为：“若m，则n”，则q为：“若n，则m”，所以r为：“若綈n，则綈m”．故p是r的逆否命题．1．“若x，y∈R且(x－1)2＋(y－1)2＝0，则x，y全为1”的否命题是(B)A．若x，y∈R且(x－1)2＋(y－1)2≠0，则x，y全不为1B．若x，y∈R且(x－1)2＋(y－1)2≠0，则x，y不全为1C．若x，y∈R且x，y全为1，则(x－1)2＋(y－1)2＝0D．若x，y∈R且xy≠1，则(x－1)2＋(y－1)2＝02．下列命题中，不是真命题的是(D)A．“若b2－4ac>0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”的逆否命题B．“四边相等的四边形是正方形”的逆命题C．“x2＝9，则x＝3”的否命题D．“内错角相等”的逆命题3．命题“a，b是实数，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”，用反证法证明时反设为：________________________________________________________________________.答案：若a≠1或b≠14．已知命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.”写出其逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．答案：逆命题：已知，a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.假命题．否命题：已知，a，b，c，d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题．逆否命题：已知，a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d.真命题．5．已知函数y＝f(x)是R上的增函数，对a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)成立，证明a＋b≥0.证明：原命题的逆否命题为：a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．以下证明其逆否命题：若a＋b<0，则a<－b，b<－a，又因为y＝f(x)是R上的增函数，所以f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，所以f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命题为真命题．又因为原命题和逆否命题有相同的真假性，所以求证成立．1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是(C)A．有一个解B．有两个解C．至少有三个解D．至少有两个解2．下列说法中正确的是(D)A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价C．“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真解析：否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性．3．已知原命题“若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是(B)A．0个B．1个C．2个D．3个4．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；③“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题；④“若ab是无理数，则a、b是无理数”的逆命题．其中真命题的个数是(B)A．0个B．1个C．2个D．3个5．命题“若c>0，则函数f(x)＝x2＋x－c有两个零点”的逆否命题的是：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________，则c ≤0.答案：若函数f (x )＝x 2＋x －c 没有两个零点6．若命题p 的否命题是q ，命题q 的逆命题是r ，则r 是p 的逆命题的________．解析：本题主要考查四种命题的相互关系．显然，r 与p 互为逆否命题．答案：否命题 7．(x －1)(x ＋2)＝0的否定形式是________________________________________________________________________．答案：(x －1)(x ＋2)≠0 8．命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为________________________________________________________________________________________________________________________________________________. 答案：若a ≤b ，则2a ≤2b －1 9．有下列五个命题：①“若a 2＋b 2＝0，则ab ＝0”的逆否命题； ②“若a >b ，则ac >bc ”的逆命题③“若a 1b”的逆否命题；④“若1a <1b <0，则ab bc ，则a >b ”，这是一个假命题． ③原命题是一个真命题，所以逆否命题也为真命题．④若1a <1b<0，则b <a <0，则ab >b 2故原命题为真命题，所以逆否命题也为真命题．⑤逆命题为“若a ab”．若a －b >0，1b <1a<0，则⎩⎪⎨⎪⎧－a >－b >0，－1b >－1a >0，故a b >b a . 故这是一个假命题．答案：②⑤10．若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0.证明(用反证法)：假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0，而a ＋b ＋c ＝⎝⎛⎭⎫x 2－2y ＋π2＋⎝⎛⎭⎫y 2－2z ＋π3＋⎝⎛⎭⎫z 2－2x ＋π6＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π ＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3，显然a ＋b ＋c >0，这与假设a ＋b ＋c ≤0相矛盾．因此a ，b ，c 中至少有一个大于0.►体验高考1．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是(C )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：本小题主要考查四种命题的真假，易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题有一个，选C.2．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是(A ) A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3 B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2<3 C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3 D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝33．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(B ) A ．若一个数是负数，则它的平方不是正数 B ．若一个数的平方是正数，则它是负数 C ．若一个数不是负数，则它的平方不是正数 D ．若一个数的平方不是正数，则它不是负数 4．命题“若p 则q ”的逆命题是(A )A ．若q 则pB ．若綈p 则綈qC ．若綈q 则綈pD ．若p 则綈q5．命题“若a ＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是(C )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4►基础梳理1．充分条件和必要条件．一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .这时，我们就说，由p 可推出q ，记作p ⇒q ，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．2．充要条件．一般地，如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q ，此时我们说，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件．概括地说，如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．♨思考：如何从集合与集合之间的关系上理解充分条件、必要条件和充要条件？答案：对于集合A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，分别是使命题p 和q 为真命题的对象所组成的集合.,►自测自评1．已知集合A ，B ，则“A ⊆B ”是“A ∩B ＝A ”的(C ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 2．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的(C ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的充分不必要条件．解析：由a ＝2能得到(a －1)(a －2)＝0，但由(a －1)·(a －2)＝0得到a ＝1或a ＝2，而不是a ＝2，所以a ＝2是(a －1)(a －2)＝0的充分不必要条件．1．在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的(B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当A ＝170°时，sin 170°＝sin 10°<12，所以“过不去”；但是在△ABC 中，sinA >12⇒30°<A <150°⇒A >30°，即“回得来”． 2．(2014·湛江一模)“x >2”是“(x －1)2>1”的(B ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 3．“b 2＝ac ”是“ a ，b ，c 成等比数列”的________条件．解析：因为当a ＝b ＝c ＝0时，“b 2＝ac ”成立，但是a ，b ，c 不成等比数列；但是“a ，b ，c 成等比数列”必定有“b 2＝ac ”．答案：必要不充分4．求不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立的充要条件．解析：当a ＝0时，2x ＋1>0不恒成立．当a ≠0时，ax 2＋2x ＋1>0恒成立 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a <0⇔a >1. ∴不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立的充要条件是a >1.5．已知p ：x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0，q ：2x 2－3x －2≥0，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解析：令M ＝{x |2x －3x －2≥0} ＝{x |(2x ＋1)(x －2)≥0}⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－12或x ≥2 N ＝{x |x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0}＝{x |(x －a )[x －(a －2)]≥0}⇒{x |x ≤a －2或x ≥a }，已知q ⇒p 且p ⇒/ q ，得M ?N .所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－12，a <2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－12，a ≤2⇔32≤a <2或32<a ≤2⇔32≤a ≤2.即所求a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，2.1．(2013·深圳二模)设x ，y ∈R ，则“x ≥1且y ≥2”是“x ＋y ≥3”的(A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．“直线与平面α内无数条直线垂直”是“直线与平面α垂直”的(B ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．若等比数列{a n }的公比为q ，则“q >1”是“a n ＋1>a n (n ∈N )”的(D ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：可以借助反例说明：①如数列：－1，－2，－4，－8，…公比为2，但不是增数列；②如数列：－1，－12，－14，－18，…是增数列，但是公比为12<1.4．(2013·东莞二模)已知p ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，q ：a ＝－1，则p 是q 的(A )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件5．已知直线a 、b 和平面α，则a ∥b 的一个必要不充分条件是(D )A ．a ∥α，b ∥αB ．a ⊥α，b ⊥αC ．a ∥α，b ⊂αD ．a 、b 与平面α成等角6．圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点的充要条件是(B ) A ．k ∈(－2， 2) B ．k ∈(－3， 3)C ．k ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．k ∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：本小题主要考查直线和圆的位置关系．依题意知圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点⇔d ＝21＋k 2>1⇔k ∈(－3，3)．7．已知命题p ：不等式x 2＋1≤a 的解集为∅，命题q ：f (x )＝a x (a >0且a ≠1)是减函数，则p 是q 的____________________．解析：命题p 相当于命题：a <1，命题q 相当于：0<a <1.所以，p 是q 的必要不充分条件．答案：必要不充分条件8．已知条件p ：x 2＋x －2>0，条件q ：x >a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．解析：令A ＝{x |x 2＋x －2>0}＝{x |x >1或x <－2}，B ＝{x |x >a }，∵p 是q 的充分不必要条件，∴B ?A ，∴a ≥1.答案：a ≥19．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件． (1)在△ABC 中，p ：∠A >∠B ，q ：BC >AC ； (2)p ：a ＝3，q ：(a ＋2)(a －3)＝0；(3)p ：a 0的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；如果不存在，请说明理由．解析：由x 2－x －2>0，解得x >2或x <－1，令A ＝{x |x >2或x <－1}，由4x ＋p <0，得B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－p 4.当B ⊆A 时，即－p4≤－1.即p ≥4，此时x <－p4≤－1⇒x 2－x －2>0，∴当p ≥4时，4x ＋p <0是x 2－x －2>0的充分条件．11．已知p ：－2≤－1－ x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．分析：(1)用集合的观点考察问题，先写出綈p 和綈q ，然后，由綈q ⇒綈p ，但綈p ⇒/綈q 来求m 的取值范围；(2)将綈p 是綈q 的必要不充分条件转化为p 是q 的充分不必要条件再求解．解析：方法一由x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m ，∴綈q ：A ＝{x |x >1＋m ，或x <1－m ，m >0}．由－2≤1－x －13≤2，得－2≤x ≤10，∴綈p ：B ＝{x |x ＞10，或x ＜－2}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，结合数轴∴A ?B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，解得m ≥9.1＋m ≥10.方法二 ∴綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴綈q ⇒綈p ，且綈p ⇒/ 綈q .∴p ⇒q ，且q ⇒/ p ，即p 是q 的充分不必要条件．结合数轴∵p ：C ＝{x |－2≤x ≤10}，q ：D ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}∴C ?D ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ≥10，1－m ≤－2，∴m ≥9.所以实数m 的取值范围是{m |m ≥9}．12．求证：关于x 的一元二次不等式ax 2－ax ＋1>0对于一切实数x 都成立的充要条件是0<a <4.证明：ax 2－ax ＋1>0(a ≠0)恒成立 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0⇔0<a <4. ►体验高考 1．(2014·安徽卷)“x <0”是“ln(x ＋1)<0”的(B ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由ln(x ＋1)<0得－1<x <0，故选B. 2．(2014·广东卷)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的(C )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：a ≤b ⇔2R sin A ≤2R sin B ⇔sin A ≤sin B . 3．(2014·浙江卷)设四边形ABCD 的两条对角线为AC 、BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的(A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．(2014·北京卷)设a 、b 是实数，则“a >b ”是“a 2>b 2”的(D ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．(2013·福建卷)设点P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的(A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若x ＝2且y ＝－1，则x ＋y －1＝0；反之，若x ＋y －1＝0，x ，y 有无数组解，如x ＝3，y ＝－2等，不一定有x ＝2且y ＝－1，故选A.6．设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的(A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件►基础梳理 1．且(and )．(1)定义：一般地，用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作p ∧q .读作“p 且q ”．(2)当p ，q 两个命题都为真命题时，p ∧q 就为真命题；当p ，q 两个命题中只要有一个命题为假命题时，p ∧q 就为假命题．2．或(or )．(1)定义：一般地，用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作p ∨q .读作“p 或q ”．(2)当p ，q 两个命题中，只要有一个命题为真命题时， p ∨q 就为真命题；当p ，q 两个命题都为假命题时，p ∨q 就为假命题．3．非(not )． (1)定义：一般地，对一个命题p 全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p .读作“非p ”或“p 的否定”．(2)若p 为真命题时，则綈p 必为假命题；若p 为假命题，则綈p 为真命题．4．复合命题真值表．复合命题的真假可通过真值表加以判断：p q 非p p 或q p 且q 真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假联结词，后确定被联结的简单命题)；(2)判断各个简单命题的真假；(3)结合真值表推断复合命题的真假．5．复合命题的否定．(1)命题的否定：“綈p”是命题“p”的否定，命题“綈p”与命题“p”的真假正好相反．(2)命题(p∧q)的否定：命题(p∧q)的否定是“綈p∨綈q”．(3)命题(p∨q)的否定：命题(p∨q)的否定是“綈p∧綈q”．6．常用词语及其否定．原词语等于大于(＞)小于(＜)是都是否定词语不等于不大于(≤)不小于(≥)不是不都是原词语至多有一个至少有一个至多有n个否定词语至少有两个一个也没有至少有n＋1个原词语任意的任意两个所有的能否定词语某个某两个某些不能1．命题：“不等式(x－2)(x－3)<0的解为2<x<3”，使用的逻辑联结词的情况是(B)A．没有使用逻辑联结词B．使用了逻辑联结词“且”C．使用了逻辑联结词“或”D．使用了逻辑联结词“非”2．命题p与非p(C)A．可能都是真命题B．可能都是假命题C．一个是真命题，另一个是假命题D．只有p是真命题3．若命题p：2是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题中为真的是(C)A．非pB．p且qC．p或qD．非p且非q4．若xy＝0，则x＝0或y＝0；若xy≠0，则x≠0且y≠0(填“且”或“或”)．1．以下判断正确的是(B)A．若p是真命题，则“p∧q”一定是真命题B．命题“p∧q”是真命题，则命题p一定是真命题C．命题“p∧q”是假命题时，命题p一定是假命题D．命题p是假命题时，命题“p∧q”不一定是假命题2．若p、q是两个简单命题，且“p∨q”的否定是真命题，则必有(B)A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真3．若命题p ：不等式ax ＋b >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－b a .命题q ：不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x 1；(2)p ：平行四边形对角线互相平分，q ：平行四边形的对角线互相垂直．解析：(1)p ∧q ：3是无理数且3>1；真命题． p ∨q ：3是无理数或3>1；真命题．綈p ：3不是无理数；假命题．(2)p ∧q ：平行四边形的对角线互相平分且垂直；假命题． p ∨q ：平行四边形的对角线互相平分或互相垂直；真命题．綈p ：平行四边形的对角线不互相平分；假命题．5．(1)已知命题p ：2x 2－3x ＋1≤0和命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围；(2)已知命题s ：方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的一根在(0，1)内，另一根在(2，3)内．命题t ：函数f (x )＝ln(mx 2－2x ＋1)的定义域为全体实数．若s ∨t 为真命题，求实数m 的取值范围．解析：(1)对于命题p ：2x 2－3x ＋1≤0，解得12≤x ≤1.对于命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，解得a ≤x ≤a ＋1，∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴綈q ⇒綈p 且綈pD /⇒綈q ，得p ⇒q 且q ⇒/ p .所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12a ＋1≥1解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12a ≥0即0≤9 ≤12所以实数的取值范围是0≤a ≤12.(2)对于命题s ：方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的一根在(0.1)内，另一根在(2，3)内，设g (x )＝x 2＋(m －3)x ＋m ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧g （0）>0，g （1）＜0，g （2）＜0，g （3）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1＋m －3＋m <0，4＋2m －6＋m <0，9＋3m －9＋m >0.解得0<m <23.对于命题t ：函数f (x )＝ln(mx 2－2x ＋1)的定义域为全体实数，则有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4－4m <0，解得m >1.又s ∨t 为真命题，即s 为真命题或t 为真命题．故所求实数m 的取值范围为0<m <23或m >1.1．已知命题p ：∅⊆{0}，q ：{1}∈{1，2}，由它们构成的“p ∨q ”，“p ∧q ”和“綈p ”形式的命题中，真命题有(B )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．命题p ：a 2＋b 2<0(a ，b ∈R )；命题q ：a 2＋b 2≥0(a ，b ∈R )，下列结论中正确的是(A ) A ．“p ∨q ”为真 B ．“p ∧q ”为真 C ．“綈p ”为假 D ．“綈q ”为真 3．如果命题“p 且q ”是假命题，“非p ”是真命题，那么(D ) A ．命题p 一定是真命题 B ．命题q 一定是真命题 C ．命题q 一定是假命题D ．命题q 可能是真命题也可能是假命题解析：因为“非p ”是真命题，所以命题p 为假，所以无论q 是真或是假“p 且q ”都是假命题．所以应选D.4．如果命题“綈p ∨綈q ”是假命题，则在下列各结论中，正确的为(A ) ①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧q ”是假命题； ③命题“p ∨q ”是真命题；④命题“p ∨q ”是假命题． A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．①④ 5．(2013·汕头一模)设α、β为两个不同的平面，m 、n 为两条不同的直线，m ⊂α，n ⊂β，有两个命题：p ：若α∥β，则m ∥n ；q ：若n ⊥α，则α⊥β，那么(D )A ．“p 或q ”是假命题B ．“p 且q ”是真命题C ．“非p 或q ”是假命题D ．“非p 且q ”是真命题解析：由已知得，p 是假命题，q 是真命题，则非p 是真命题，故“p 或q ”是真命题，A 错；“p 且q ”是假命题，B 错；“非p 或q ”是真命题，C 错；“非p 且q ”为真命题，D 正确．6．(2013·江门一模)设命题p ：函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π6个单位得到的曲线关于y 轴对称；命题q ：函数y ＝|3x －1|在[－1，＋∞)上是增函数，则下列判断错误的是(D ) A ．p 为假 B ．綈q 为真 C ．p ∧q 为假 D ．p ∨q 为真解析：函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π6个单位得到的图象的函数解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，它是非奇非偶函数，它的图象不关于y 轴对称，故p 是假命题；函数y ＝|3x －1|，由图象可知在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数，故q 也是假命题．綈q 为真命题，p ∧q 为假命题，p ∨q 也是假命题，故D 是不正确的．7．命题p ：菱形的对角线互相垂直，则p 的否命题是________________________________________________________________________，綈p 是________________________________________________________________________．答案：不是菱形的四边形，其对角线不互相垂直菱形的对角线不互相垂直 8．已知命题p ：(x ＋2)(x －6)≤0，命题q ：－3≤x ≤7，若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则实数x 的取值范围为________．解析：由题条件可知p 与q 一真一假，p 为真命题时，x 满足－2≤x ≤6，∴满足条件的x 的范围是[－3，－2)∪(6，7]．答案：[－3，－2)∪(6，7]9．设有两个命题．命题p ：不等式x 2－(a ＋1)x ＋1≤0的解集是∅；命题q ：函数f (x )＝(a ＋1)x 在定义域内是增函数．如果p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求a 的取值范围．解析：对于p ：因为不等式x 2－(a ＋1)x ＋1≤0的解集是∅，所以Δ＝[－(a ＋1)]2－4<0. 解这个不等式得：－3<a <1.对于q ：f (x )＝(a ＋1)x 在定义域内是增函数，则有a ＋1>1，所以a >0.又p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题．所以p 、q 必是一真一假．当p 真q 假时有－3<a ≤0，当p 假q 真时有a ≥1. 综上所述，a 的取值范围是(－3，0]∪[1，＋∞)．10．设p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋14a 的定义域为R ；q ：关于x 的不等式3x －9x <a 对一切正实数均成立．如果“p ∨q ”为真，且“p ∧q ”为假，求实数a 的取值范围解析：若p 为真，即ax 2－x ＋14a >0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－a 2<0，∴a >1. 令y ＝3x －9x＝－⎝⎛⎭⎫3x －122＋14，由x >0得3x >1，∴y ＝3x －9x 的值域是(－∞，0)．∴若q 为真，则a ≥0.由“p ∨q ”为真，且“p ∧q ”为假，知p ，q 一真一假．当p 真q 假时，a 不存在；当p 假q 真时，0≤a ≤1. 综上，a 的取值范围是[0，1]． ►体验高考 1(2014·湖南卷)已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是(C ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 2．(2013·湖北卷)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(A )A ．(綈p )∨(綈q )B ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q解析：命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”．选A.或者，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降在指定范围”的否命题，即“p ∧q ”的否定．选A.3．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是(C )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∨q 为假D ．p ∧q 为真。

高二人教a版数学选修1-1同步练习1-1-1命题含答案.doc

l.i.i一、选择题i •下列语句小命题三的个数为（）①{0}WN②他长得很高③地球上的四人洋④5的平方是20A. 0B. 1C. 2D. 3［答案］C［解析］①④是命题，②③不是命题.地球上的四大洋是不完整的句子.2.若力、B是两个集合，则下列命题中真命题是（）A.如果那么A^B=AB・女［1果那么（（屛）Q3=0C.如果4UB,那么AUB=AD.如果AUB=A f那么4UB［答案］A［解析］由集合的Venn图知选项A中的命题是真命题.3.冇下列命题：①若卩=0,则M + M = 0；②若Qb,则a+ob+c；③矩形的对角线互相垂宜•其屮真命题共有（）A.0个B. 1个C. 2个D. 3个［答案］B［解析］只有②中的命题是真命题.4.下列语句中，不能成为命题的是（）A.5>12B.x>0C.若a丄b,贝lj a b = 0D.三角形的三条中线交于一点［答案］B［解析］兀>0是开语句，故不是命题.5.如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题是（）A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B.等腰四棱锥的侧而与底而所成的二而角都相等或互补C.等腰四棱锥的底而四边形必存在外接圆D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上［答案］B4. (2008-湖南高考)设有直线m.和平面a、趴下列四个命题屮，真命题是()A.若加〃G,n//a,则m//YiB.若〃？Ua, nUa, m〃卩,n//ft,贝ija〃“C.若a丄“，mUa,则加丄0D.若匕丄0,加丄伤mQa,则m//u.［答案］D［解析］考查线面平行的位置关系.7.设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则①(a b)c=(c a)b；®\a\—\b\>\a 一方I；③(b c)a-(c a)b与c 垂直：④(3a+2*)*(3a-2^) = 9|a|2-4|fr|2中，是真命题的有( )A.①②B.②③C.③④D.②④［答案］C［解析］因为〃、c不是共线向量，所以①是假命题.②中的命题为假命题.T ［(b c)a一(c a)b\c = (b・c)(a c)一(c a){b c) = 0,・・・(b c)a_(c a)b与c垂直，所以③中的命题是真命题.由(3a + 2b)(3a - 2b) = 9a2 - 4b2 =9|af - 4|Z F|2知④中的命题为真命题.・••选C.8.卜•列命题是真命题的有()①没有一个无理数不是实数②空集是任何一个非空集合的真子集③1 + K2④至少存在一个整数x, x2~x+\是整数A.①②③④B.①噩C.①②④D.②③④［答案］C［解析］①的意思为无理数都是实数，②显然正确，④中，只要找到这样的一个整数即可，命题也正确.9.设a, 0为两个不同的平面，/,加为两条不同的直线，且/Ua,加U0,有如下两个命题：①若税〃卩,则/〃加；②若/丄加，贝心丄0,那么( )A.①是真命题，②是假命题B.①是假命题，②是真命题C.①②都是真命题D.①②都是假命题［答案］D［解析］易判断①②都假，故选D.10.给出下列三个命题：①若a则总事缶；②若正整数加和n满足加W/7,贝ljQ〃?（〃一加）W号;③设F（xi，口）为圆O］：x2+y2=9上任一点，圆。