安徽大学 08-09(1)高数B(三)答案

73 . 9
5. T =
X − μ0 S/ n
.
a x " a " " " " " a a a " x " 1 " 0 " 0 " " " x−a
再把第 1 行的 − a 倍分别加到第二行至第 n 行,得 1 1 1 0 x−a 0 Dn = [ x + (n − 1)a ] 0 0 x−a " " " 0 0 0 = [ x + (n − 1)a ]( x − a ) n −1 .
n
∑ ln x
i =1
n
.
i
ˆ=− 从而得 θ 的极大似然估计量为 θ
n
∑ ln X
i =1
n
.
i
四、证明题
1.证明:若 x1 (2α 1 + 3α 2 ) + x 2 (α 2 − α 3 ) + x3 (α 1 + α 2 + α 3 ) = 0 整理得 (2 x1 + x3 )α 1 + (3x1 + x 2 + x3 )α 2 + (− x 2 + x3 )α 3 = 0 由已知条件 α 1 , α 2 , α 3 线性无关,故组合系数必全为0,即
⎛1 0 0⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ −1 1 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −1 ⎜ ⎟ −1 所以 AQ = Q⎜ 0 1 0 ⎟ ,即 A = Q⎜ 1 ⎟Q .而, Q = ⎜ 4 − 2 1 ⎟ ,所以 ⎜ 0 0 0⎟ ⎜ ⎜ 2 −1 0⎟ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛1 ⎞ ⎛ −1 1 0⎞ ⎜ ⎟ −1 ⎜ ⎟ n A = Q⎜ 1 ⎟ Q = ⎜ − 2 2 0 ⎟ . ⎜ ⎜ 4 − 2 1⎟ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
令自由未知量 x3 = 2 得原方程组的一个基础解系η = (0,−3,2) T 因此原方程组的通解为 2 γ = γ 0 + kη = ( ,1,0) T + k (0,−3,2) T ,其中 k 为任意常数. a
(2)
3.解: 记 Ai = “所抽报名表是来自于第 i 个地区”, i = 1,2,3 .记 B = “所抽到的报
n
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2.解:首先对方程组的增广矩阵 A 进行初等行变换,将其化成阶梯形矩阵 B .
3 4⎞ ⎛ a 2 3 4⎞ ⎛ a 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ 0 2 b 2⎟ → ⎜ 0 2 b 2⎟ = B . ⎜ 2a 2 3 6 ⎟ ⎜ 0 0 b − 3 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
因此 ①当 a ≠ 0, b ≠ 3 时,此时方程组的系数行列式不为 0,从而方程组有唯一解.
2 2 .同理 Eη = . −∞ 0 3 3 +∞ +∞ 1 1 4 而 Eξη = ∫ ∫ xyϕ ( x, y )dxdy = ∫ ∫ 4 x 2 y 2 dxdy = . −∞ −∞ 0 0 9 4 2 2 故 Cov (ξ ,η ) = Eξη − EξEη = − × = 0 . 9 3 3
−∞ 0 +∞ 1
θ θ +1
.
令
θ θ +1
ˆ= = X ,解得未知参数 θ 的矩估计量 θ
X . 1− X
设 x1 , x 2 , " , x n 是相应于样本 X 1 , X 2 ," , X n 的样本值,则似然函数为
⎧ n n ⎪θ ∏ ( xi )θ −1 , 0 < xi < 1(i = 1,2,", n), L(θ ) = ⎨ i =1 ⎪ 0, 其它. ⎩
−∞ +∞
⎧0 < z − y < 1 ,如右图可知, ⎨ ⎩ 0 < y <1 当 z < 0或者z > 2 时, ϕ ζ ( z ) = 0 ;
2 当 0 < z < 1 时, ϕ ζ ( z ) = ∫ 4( z − y ) ydy = z 3 ; 0 3
z
z z=1+y 2 z=y 1
2 8 当 1 < z < 2 时, ϕ ζ ( z ) = ∫ 4( z − y ) ydy = − z 3 + 4 z − , z −1 3 3
10 15 25 ， P ( A2 ) = , P ( A3 ) = , 50 50 50 3 7 5 且 P ( B | A1 ) = ， P ( B | A2 ) = ， P ( B | A3 ) = . 10 15 25
名表是女生报名表”，由题意知 P( A1 ) =
3 1 P B = P( Ai ) P ( B | Ai ) = . ( ) (1)由全概率公式有, ∑ 3 i =1
λ +1 λE − A =
2 −4
−1 0 λ −2 0 = λ (λ − 1) 2 . λ −1 2
所以 A 的特征值为 λ1 = 0, λ 2 = λ3 = 1 . 对特征值 λ = 1 ,解方程组
⎧ 2 x1 − x 2 = 0 ⎪ ⎨ 2 x1 − x 2 = 0 ⎪− 4 x + 2 x = 0 1 2 ⎩
−∞
+∞
ϕξ ( x) = ∫ ϕ ( x, y )dy = ∫ 4 xydy = 2 x .
−∞ 0
+∞
⎧2 x 0 < x < 1, ⎧2 y, 0 < y < 1, 从而 ϕ ξ ( x) = ⎨ 同理, ϕη ( y ) = ⎨ 其它. 其它. ⎩ 0, ⎩ 0,
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易见, ϕ ( x, y ) = ϕ ξ ( x )ϕη ( y ) ,从而 ξ ,η 独立.
1
3
0
1
y
2 3 ⎧ z , 0 < z < 1, ⎪ 3 ⎪ 8 ⎪ 2 因此 ζ 的密度函数为 ϕ ζ ( z ) = ⎨− z 3 + 4 z − , 1 < z < 2, 3 ⎪ 3 0 , 其它. ⎪ ⎪ ⎩
θ 5.解: 总体 X 的数学期望为 EX = ∫ xf ( x )dx = ∫ θ x dx =
(2) Eξ = ∫ xϕ ξ ( x )dx = ∫ 2 x 2 dx =
+∞
1
(或者，由（1）知 ξ ,η 独立，从而 ξ ,η 不相关，故 Cov (ξ ,η ) = 0 ) 1) 由卷积公式知, ζ = ξ + η 的密度函数为 ϕ ζ ( z ) = ∫ ϕ ( z − y, y )dy ,注意到
安徽大学 2008—2009 学年第一学期 《高等数学 B(三)》 （A 卷）考试试题参考答案及评分标准
一.选择题（每小题 2 分，共 10 分） 1.D; 2.C; 3.D; 4.A; 5.B. 二. 填空题（每小题 2 分，共 10 分） ⎛ d − b⎞ 1. A* = ⎜ ⎜− c a ⎟ ⎟; ⎝ ⎠ 三.解答题 1.解: 根据行列式的性质,将 D 的每行均加至第一行,提出公因式 x + ( n − 1) a 得 1 a Dn = [ x + (n − 1)a ] a 1 x 1 a " " 1 a 2. t > 0 ; 3. 1 ; 4.
2 0 1 ⎧ 2 x1 + x3 = 0 ⎪ ⎨3x1 + x 2 + x3 = 0 ,而其系数行列式 3 1 1 = 1 ≠ 0 . ⎪ 0 −1 1 − x 2 + x3 ⎩
故上述齐次线性方程组只有零解,即 x1 = x 2 = x3 = 0 . 因此 2α 1 + 3a 2 , α 2 − α 3 , α 1 + α 2 + α 3 线性无关. 2.证明: A 的特征多项式为:
3 4⎞ ⎛0 2 3 4 ⎞ ⎛0 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ b 2⎟ → ⎜0 0 b − 3 − 2⎟ , ②当 a = 0 时,此时有 A → ⎜ 0 2 ⎜0 0 b − 3 0⎟ ⎜0 0 0 − 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
即 秩 ( A ) < 秩 ( A) ,从而方程组无解.
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⎛ a 2 3 4⎞ ⎜ ⎟ ③当 a ≠ 0, b = 3 时, 此时有 A → ⎜ 0 2 3 2 ⎟ = B ,即 秩( A ) = 秩( A) = 2 ,此时方程组 ⎜ 0 0 0 0⎟ ⎝ ⎠
当0 < xi < 1(i = 1,2," , n)时， L(θ ) > 0, 且
ln L = n ln θ + (θ − 1)∑ ln xi ,
i =1
n
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再令
d ln L n n ˆ=− = 0 , 得 + ∑ ln xi = 0 ,可解得 θ 的极大似然估计值为 θ θ i =1 dθ
有无穷多解. 而此时 B 对应的线性方程组为
⎧ax1 + 2 x 2 + 3x3 = 4 ⎨ ⎩ 2 x 2 + 3 x3 = 2
(1)
2 可取 x3 为自由未知量.令 x3 = 0 ,代入(1)解得原方程组得一个特解 γ 0 = ( ,1,0) T a 而(1)的导出组为
⎧ax1 + 2 x 2 + 3x3 = 0 ⎨ ⎩ 2 x 2 + 3 x3 = 0
得基础解系为 α 1 = (1,2,0) T , α 2 = (0,0,1) T . 对特征值 λ = 0 ,解方程组
x1 − x 2 = 0 ⎧ ⎪ ⎨ 2 x1 − 2 x 2 = 0 ⎪− 4 x + 2 x − x = 0 1 2 3 ⎩
得基础解系 α 3 = (1,1,−2) T .因此 α 1 , α 2 , α 3 是 A 的三个线性无关的特征向量,所以 A