高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用第3讲函数的单调性与最值课件理北师大版

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高三数学一轮复习第二章函数第二节函数的单调性与最值课件理

高三数学一轮复习第二章函数第二节函数的单调性与最值课件理

条件 (1)对于任意x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M
(1)对于任意x∈I,都有f(x)≥M; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M
结论 M为函数y=f(x)的⑦ 最大值
M为函数y=f(x)的⑧ 最小值
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y= 1x 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞). (×)
1.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是 ( )
A.y=|x|
B.y=3-x
C.y= 1
x
D.y=-x2+4
答案 A y=3-x在R上递减,y= 1 在(0,+∞)上递减,y=-x2+4在(0,+∞)上递
x
减,故选A.
2.函数y=(2m-1)x+b在R上是减函数,则 ( )
A.m> 1
2
C.m>- 1
a

2即 0
,

a

2,
f ( 1 ) 0 , a 2 1 0 ,
解得2<a≤3,
即实数a的取值范围是(2,3].
方法技巧 函数单调性的应用比较广泛,可用来比较函数值的大小、解函数不等 式、求参数的范围等. (1)利用函数单调性比较两个函数值的大小 若f(x)在给定的区间A上是递增的,任取x1,x2∈A,则x1<x2⇔f(x1)<f(x2);若f(x) 在给定的区间A上是递减的,任取x1,x2∈A,则x1<x2⇔f(x1)>f(x2).若给定 的两个自变量在同一单调区间上,可直接比较其函数值的大小,否则,要 先根据奇偶性或周期性把它们转化到同一单调区间上,再利用单调性比 较其函数值的大小. (2)利用函数单调性解函数不等式 解函数不等式的关键是利用函数的单调性脱去函数符号“f ”,变函数 不等式为一般不等式.去掉“f ”时,要注意f(x)的定义域的限制.

高考数学大一轮复习 第二章 基本初等函数、导数的应用 3 第3讲 函数的单调性与最值课件 文

高考数学大一轮复习 第二章 基本初等函数、导数的应用 3 第3讲 函数的单调性与最值课件 文
第三十一页,共四十六页。
(3)因为 f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数. 所以 f(x)在[2,9]上的最小值为 f(9). 由 fxx12=f(x1)-f(x2)得, f93=f(9)-f(3),而 f(3)=-1,所以 f(9)=-2. 所以 f(x)在[2,9]上的最小值为-2.
第十八页,共四十六页。
= x12+1- x22+1-a(x1-x2)
= x21+x121-+x22x22+1-a(x1-x2)
=(x1-x2)
x21+x11++x2x22+1-a.
因为 0≤x1< x21+1,0<x2< x22+1,
所以 0< x12+x11++x2x22+1<1.又因为 a≥1,所以 f(x1)-f(x2)>0,
第二十六页,共四十六页。
法二:(导数法)f′(x)=(x-(4x)-(1)x+2 2), 令 f′(x)=0,得 x=4 或 x=-2(舍去). 当 1<x<4 时,f′(x)<0, f(x)在(1,4)上是递减的; 当 x>4 时,f′(x)>0, f(x)在(4,+∞)上是递增的, 所以 f(x)在 x=4 处取到极小值也是最小值, 即 f(x)min=f(4)=8. 答案:8
第二十页,共四十六页。
【解】 (1)因为 y=x2 在(-∞,0)上单调递减,在[0,+∞)上 单调递增,所以当 x≤1 时,f(x)min=f(0)=0. 当 x>1 时,y=x+6x≥2 6,当且仅当 x= 6时,等号成立,此 时 f(x)min=2 6-6. 又 2 6-6<0, 所以 f(x)min=2 6-6. 故填 2 6-6.
第二十八页,共四十六页。
因为 f(x)在(2,+∞)上为增函数, 所以(x1-x2)+a(xx21-x2x1)<0. 又 x1<x2,即 x1-x2<0,所以x1ax2<1,即 a<x1x2. 因为 x1,x2∈(2,+∞),且 x1<x2, 所以 x1·x2>4. 所以 a≤4,又 a>0,所以 0<a≤4.

高考数学一轮总复习第2章函数导数及其应用2.2函数的单调性与最值课件理

高考数学一轮总复习第2章函数导数及其应用2.2函数的单调性与最值课件理
第2章 函数、导数及其应用 第2讲 函数的单调性与最值
板块一 知识梳理·自主学习
[ 必备知识] 考点 1 函数的单调性 1.单调函数的定义
2.单调性、单调区间的定义 若函数 y=f(x)在区间 D 上是 增函数 或 减函数 ,则 称函数 y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间.
[解] (1)证明:设 x1,x2∈R,且 x1<x2, ∴x2-x1>0, ∵当 x>0 时,f(x)>1,∴f(x2-x1)>1. f(x2)=f[ (x2-x1)+x1] =f(x2-x1)+f(x1)-1, ∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0⇒f(x1)<f(x2), ∴f(x)在 R 上为增函数.
(2)∵m,n∈R,不妨设 m=n=1, ∴f(1+1)=f(1)+f(1)-1⇒f(2)=2f(1)-1, f(3)=4⇒f(2+1)=4⇒f(2)+f(1)-1=4⇒3f(1)-2=4,∴ f(1)=2,∴f(a2+a-5)<2=f(1), ∵f(x)在 R 上为增函数,∴a2+a-5<1⇒-3<a<2,即 a ∈(-3,2).
②fxx11- -fx2x2>0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0)⇔f(x)在 D 上 单调递增;
③fxx11- -fx2x2<0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0)⇔f(x)在 D 上 单调递减.
[双基夯实]
一、疑难辨析
判断 下 列结 论 的 正误 . (正 确 的 打“√”, 错 误的 打
2.复合函数的单调性可依据“同增异减”的规律求解. 3.求函数的值域常常化归为求函数的最值问题,要重视 函数的单调性在确定函数最值中的应用.

2020高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第3讲函数的单调性与最值课件

2020高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第3讲函数的单调性与最值课件

[解析] (1)设 t(x)=x2-2x-3,由 t(x)≥0,即 x2-2x-3≥0,解得 x≤-1 或 x≥3,所以函数 f(x)的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).因为函数 t(x)=x2-2x -3 的图象的对称轴为 x=1,所以函数 t(x)在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+ ∞)上单调递增,所以函数 f(x)的单调递增区间为[3,+∞).故选 B.
3.设定义在[-1,7]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)在增区 间为____[-__1_,_1_]和__[_5_,_7_] ___.
4.(2018·衡水中学调研卷)若函数f(x)=x2-2x+m在[3,+∞)上的最小值为
1,则实数m的值为
(B)
A.-3
B.-2
C.-1
D.1
[解析] ∵f(x)=(x-1)2+m-1在[3,+∞)上为单调增函数,又f(x)在[3,+
C.(-∞,-1]
D.[1,+∞)
(2)函数 f(x)=|x-2|x 的单调减区间是
(A )
A.[1,2]
B.[-1,0]
C.[0,2]
D.[2,+∞)
(3)函数 f(x)=(a-1)x+2 在 R 上单调递增,则函数 g(x)=a|x-2|的单调递减区 间是____(-__∞__,__2_]___.
考点突破
考点1 函数单调性的判断与证明——自主练透
例 1 (1)判断函数 f(x)=2x+2-x 在区间(0,+∞)上的单调性. (2)已知 a>0,函数 f(x)=x+ax(x>0),证明:函数 f(x)在(0, a]上是减函数, 在[ a,+∞)上是增函数.
[解析] (1)解法一:设 0<x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=2x1+2-x1-2 x2-2-x2=(2 x2-2 x1)(2 x11+x2-1). ∵0<x1<x2,∴2x2-2 x1>0.又 2>1,x1+x2>0, ∴2x1+x2>1,故2 x11+x2-1<0. ∴f(x1)-f(x2)<0.由单调函数的定义知函数 f(x)在区间(0,+∞)上为增函数. 解法二:对 f(x)=2x+2-x 求导,得 f′(x)=2xln2-2-xln2=2-xln2(22x-1), 当 x∈(0,+∞)时,有 2-x>0,22x-1>0,此时 f′(x)>0. ∴函数 f(x)=2x+2-x 在区间(0,+∞)上为增函数.

高考理科数学一轮总复习第二章函数的单调性与最值

高考理科数学一轮总复习第二章函数的单调性与最值

第2讲函数的单调性与最值一、知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上,如果对于任意两数x1,x2∈A当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么,就称函数y=f(x)在区间A上是增加的,有时也称函数y=f(x)在区间A上是递增的当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么,就称函数y=f(x)在区间A上是减少的,有时也称函数y=f(x)在区间A上是递减的①如果y=f(x)在区间A上是增加的或是减少的,那么称A为单调区间.②如果函数y=f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的,那么就称函数y=f(x)在这个子集上具有单调性.(3)单调函数如果函数y=f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的,我们称这个函数为增函数或减函数,统称为单调函数.2.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;(2)存在x ∈I ,使得f (x )=M(2)存在x ∈I ,使得f (x )=M结论 M 为最大值M 为最小值1.函数单调性的两种等价形式 设任意x 1,x 2∈[a ,b ]且x 1≠x 2,(1)f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0⇔f (x )在[a ,b ]上是增函数;f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0⇔f (x )在[a ,b ]上是减函数.(2)(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0⇔f (x )在[a ,b ]上是增函数;(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0⇔f (x )在[a ,b ]上是减函数.2.五条常用结论(1)对勾函数y =x +ax (a >0)的增区间为(-∞,-a ]和[a ,+∞),减区间为[-a ,0)和(0,a ].(2)在区间D 上,两个增函数的和仍是增函数,两个减函数的和仍是减函数. (3)函数f (g (x ))的单调性与函数y =f (u ),u =g (x )的单调性的关系是“同增异减”. (4)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.(5)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值. 二、教材衍化1.函数f (x )=x 2-2x 的递增区间是________. 答案:[1,+∞)(或(1,+∞))2.若函数y =(2k +1)x +b 在R 上是减函数,则k 的取值范围是________. 解析:因为函数y =(2k +1)x +b 在R 上是减函数,所以2k +1<0,即k <-12.答案:⎝⎛⎭⎫-∞,-12 3.已知函数f (x )=2x -1,x ∈[2,6],则f (x )的最大值为________,最小值为__________.解析:可判断函数f (x )=2x -1在[2,6]上为减函数,所以f (x )max =f (2)=2,f (x )min =f (6)=25. 答案:2 25一、思考辨析判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x ),有f (-1)<f (3),则函数f (x )在R 上为增函数.( ) (2)函数y =f (x )在[1,+∞)上是增函数,则函数f (x )的递增区间是[1,+∞).( ) (3)函数y =1x 的递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( )(4)所有的单调函数都有最值.( )(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数,则这个函数在定义域上是增函数.( )(6)闭区间上的单调函数,其最值一定在区间端点处取到. ( ) 答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ 二、易错纠偏常见误区|K(1)求单调区间忘记定义域导致出错; (2)对于分段函数,一般不能整体单调,只能分段单调; (3)利用单调性解不等式忘记在单调区间内求解; (4)混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念. 1.函数y =log 12(x 2-4)的递减区间为________.答案:(2,+∞)2.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(a -2)x ,x ≥2,⎝⎛⎭⎫12x -1,x <2是定义在R 上的减函数,则实数a 的取值范围是________.解析:由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a -2<0,2(a -2)≤⎝⎛⎭⎫122-1, 解得⎩⎪⎨⎪⎧a <2,a ≤138,即a ≤138.答案:⎝⎛⎦⎤-∞,138 3.函数y =f (x )是定义在[-2,2]上的减函数,且f (a +1)<f (2a ),则实数a 的取值范围是________.解析:由题意得⎩⎪⎨⎪⎧-2≤a +1≤2,-2≤2a ≤2,a +1>2a ,即⎩⎪⎨⎪⎧-3≤a ≤1,-1≤a ≤1,a <1.所以-1≤a <1. 答案:[-1,1)4.(1)若函数f (x )=x 2+2(a -1)x +2在区间(-∞,4]上是减函数,则实数a 的取值范围是________;(2)若函数f (x )=x 2+2(a -1)x +2的递减区间为(-∞,4],则a 的值为________. 答案:(1)a ≤-3 (2)-3确定函数的单调性(区间)(多维探究) 角度一 给出具体解析式的函数的单调性(1)函数f (x )=|x 2-3x +2|的递增区间是( )A.⎣⎡⎭⎫32,+∞ B .⎣⎡⎦⎤1,32和[2,+∞) C .(-∞,1]和⎣⎡⎦⎤32,2D .⎝⎛⎦⎤-∞,32和[2,+∞) (2)函数y =x 2+x -6的递增区间为________,递减区间为________.【解析】 (1)y =|x 2-3x +2|=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-3x +2,x ≤1或x ≥2,-(x 2-3x +2),1<x <2. 如图所示,函数的递增区间是⎣⎡⎦⎤1,32和[2,+∞);递减区间是(-∞,1)和⎝⎛⎭⎫32,2.故选B.(2)令u =x 2+x -6,则y =x 2+x -6可以看作是由y =u 与u =x 2+x -6复合而成的函数. 令u =x 2+x -6≥0,得x ≤-3或x ≥2.易知u =x 2+x -6在(-∞,-3]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数,而y =u 在[0,+∞)上是增函数,所以y =x 2+x -6的递减区间为(-∞,-3],递增区间为[2,+∞). 【答案】 (1)B (2)[2,+∞) (-∞,-3] 角度二 含参函数的单调性(一题多解)判断并证明函数f (x )=axx -1(a ≠0)在(-1,1)上的单调性.【解】 法一:设-1<x 1<x 2<1, f (x )=a ⎝⎛⎭⎪⎫x -1+1x -1=a ⎝⎛⎭⎫1+1x -1,f (x 1)-f (x 2)=a⎝⎛⎭⎫1+1x 1-1-a ⎝⎛⎭⎫1+1x 2-1 =a (x 2-x 1)(x 1-1)(x 2-1),由于-1<x 1<x 2<1,所以x 2-x 1>0,x 1-1<0,x 2-1<0, 故当a >0时,f (x 1)-f (x 2)>0, 即f (x 1)>f (x 2),函数f (x )在(-1,1)上是减少的;当a <0时,f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2), 函数f (x )在(-1,1)上是增加的. 法二:f ′(x )=a (x -1)-ax (x -1)2=-a(x -1)2,所以当a >0时,f ′(x )<0,当a <0时,f ′(x )>0, 即当a >0时,f (x )在(-1,1)上为减函数, 当a <0时,f (x )在(-1,1)上为增函数.确定函数单调性的4种方法(1)定义法.利用定义判断.(2)导数法.适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数.(3)图象法.由图象确定函数的单调区间需注意两点:一是单调区间必须是函数定义域的子集;二是图象不连续的单调区间要分开写,用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接.(4)性质法.利用函数单调性的性质,尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时,需先确定简单函数的单调性.[提醒] 求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间.1.函数y =-x 2+2|x |+3的递减区间是________. 解析:由题意知,当x ≥0时,y =-x 2+2x +3=-(x -1)2+4;当x <0时,y =-x 2-2x +3=-(x +1)2+4,二次函数的图象如图,由图象可知,函数y =-x 2+2|x |+3的递减区间为[-1,0],[1,+∞).答案:[-1,0],[1,+∞)2.判断并证明函数f (x )=ax 2+1x (其中1<a <3)在x ∈[1,2]上的单调性.解:设1≤x 1<x 2≤2,则 f (x 2)-f (x 1)=ax 22+1x 2-⎝⎛⎭⎫ax 21+1x 1 =(x 2-x 1)⎣⎡⎦⎤a (x 1+x 2)-1x 1x 2, 由1≤x 1<x 2≤2,得x 2-x 1>0,2<x 1+x 2<4, 1<x 1x 2<4,-1<-1x 1x 2<-14.又1<a <3,所以2<a (x 1+x 2)<12,得a (x 1+x 2)-1x 1x 2>0,从而f (x 2)-f (x 1)>0,即f (x 2)>f (x 1),故当a ∈(1,3)时,f (x )在[1,2]上是增加的.求函数的最值(师生共研)(1)函数f (x )=⎝⎛⎭⎫13x-log 2(x +2)在区间[-1,1]上的最大值为________. (2)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,x ≤1,x +6x-6,x >1,则f (x )的最小值是________.【解析】 (1)由于y =⎝⎛⎭⎫13x 在R 上递减,y =log 2(x +2)在[-1,1]上递增,所以f (x )在[-1,1]上递减,故f (x )在[-1,1]上的最大值为f (-1)=3.(2)当x ≤1时,f (x )min =0,当x >1时,f (x )min =26-6,当且仅当x =6时取到最小值,又26-6<0,所以f (x )min =26-6.【答案】 (1)3 (2)26-6求函数最值的5种常用方法及其思路1.函数f (x )=1x -1在区间[a ,b ]上的最大值是1,最小值是13,则a +b =________.解析:易知f (x )在[a ,b ]上为减函数, 所以⎩⎪⎨⎪⎧f (a )=1,f (b )=13,即⎩⎨⎧1a -1=1,1b -1=13,所以⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =4. 所以a +b =6. 答案:62.(一题多解)对于任意实数a ,b ,定义min{a ,b }=⎩⎪⎨⎪⎧a ,a ≤b ,b ,a >b .设函数f (x )=-x +3,g (x )=log 2x ,则函数h (x )=min{f (x ),g (x )}的最大值是________.解析:法一:在同一直角坐标系中, 作出函数f (x ),g (x )的图象, 依题意,h (x )的图象如图所示. 易知点A (2,1)为图象的最高点, 因此h (x )的最大值为h (2)=1.法二:依题意,h (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,0<x ≤2,-x +3,x >2.当0<x ≤2时,h (x )=log 2x 是增函数, 当x >2时,h (x )=3-x 是减函数, 所以h (x )在x =2处取得最大值h (2)=1.答案:1函数单调性的应用(多维探究) 角度一 比较大小已知函数f (x )的图象关于直线x =1对称,当x 2>x 1>1时,[f (x 2)-f (x 1)](x 2-x 1)<0恒成立,设a =f ⎝⎛⎭⎫-12,b =f (2),c =f (e),则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .c >a >b B .c >b >a C .a >c >bD .b >a >c【解析】 因为f (x )的图象关于直线x =1对称. 所以f ⎝⎛⎭⎫-12=f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时, [f (x 2)-f (x 1)]·(x 2-x 1)<0恒成立,知f (x )在(1,+∞)上单调递减.因为1<2<52<e ,所以f (2)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (e),所以b >a >c . 【答案】 D角度二 解函数不等式已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 3,x ≤0,ln (x +1),x >0,若f (2-x 2)>f (x ),则实数x 的取值范围是( )A .(-∞,-1)∪(2,+∞)B .(-∞,-2)∪(1,+∞)C .(-1,2)D .(-2,1)【解析】 因为当x =0时,两个表达式对应的函数值都为零,所以函数f (x )的图象是一条连续的曲线.因为当x ≤0时,函数f (x )=x 3为增函数, 当x >0时,f (x )=ln(x +1)也是增函数, 所以函数f (x )是定义在R 上的增函数. 因此,不等式f (2-x 2)>f (x )等价于2-x 2>x , 即x 2+x -2<0,解得-2<x <1. 【答案】 D角度三 根据函数的单调性求参数(1)(2020·南阳调研)已知函数f (x )=x -a x +a2在(1,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是________.(2)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+4x ,x ≤4,log 2x ,x >4.若函数y =f (x )在区间(a ,a +1)上是增加的,则实数a的取值范围是________.【解析】 (1)法一:设1<x 1<x 2,所以x 1x 2>1. 因为函数f (x )在(1,+∞)上是增函数, 所以f (x 1)-f (x 2)=x 1-a x 1+a2-⎝⎛⎭⎫x 2-a x 2+a 2 =(x 1-x 2)⎝⎛⎭⎫1+a x 1x 2<0.因为x 1-x 2<0,所以1+ax 1x 2>0,即a >-x 1x 2.因为1<x 1<x 2,x 1x 2>1,所以-x 1x 2<-1,所以a ≥-1. 所以a 的取值范围是[-1,+∞). 法二:由f (x )=x -a x +a 2得f ′(x )=1+ax 2,由题意得1+ax2≥0(x >1),可得a ≥-x 2,当x ∈(1,+∞)时,-x 2<-1. 所以a 的取值范围是[-1,+∞).(2)作出函数f (x )的图象如图所示,由图象可知f (x )在(a ,a +1)上是增加的,需满足a ≥4或a +1≤2,即a ≤1或a ≥4.【答案】 (1)[-1,+∞) (2)(-∞,1]∪[4,+∞)函数单调性应用问题的3种常见类型及解题策略(1)比较大小.比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.(2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数.视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数.[提醒] ①若函数在区间[a ,b ]上单调,则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的;②分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.1.(2020·武汉模拟)若函数f (x )=2|x -a |+3在区间[1,+∞)上不单调,则a 的取值范围是( )A .[1,+∞)B .(1,+∞)C .(-∞,1)D .(-∞,1]解析:选B.因为函数f (x )=2|x -a |+3=⎩⎪⎨⎪⎧2x -2a +3,x ≥a -2x +2a +3,x <a , 因为函数f (x )=2|x -a |+3在区间[1,+∞)上不单调, 所以a >1.所以a 的取值范围是(1,+∞).故选B.2.定义在[-2,2]上的函数f (x )满足(x 1-x 2)·[f (x 1)-f (x 2)]>0,x 1≠x 2,且f (a 2-a )>f (2a -2),则实数a 的取值范围为( )A .[-1,2)B .[0,2)C .[0,1)D .[-1,1)解析:选C.因为函数f (x )满足(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0,x 1≠x 2, 所以函数f (x )在[-2,2]上是增加的,所以-2≤2a -2<a 2-a ≤2,解得0≤a <1,故选C.[基础题组练]1.下列四个函数中,在x ∈(0,+∞)上为增函数的是( ) A .f (x )=3-x B .f (x )=x 2-3x C .f (x )=-1x +1D .f (x )=-|x |解析:选C.当x >0时,f (x )=3-x 为减函数; 当x ∈⎝⎛⎭⎫0,32时,f (x )=x 2-3x 为减函数, 当x ∈⎝⎛⎭⎫32,+∞时,f (x )=x 2-3x 为增函数; 当x ∈(0,+∞)时,f (x )=-1x +1为增函数; 当x ∈(0,+∞)时,f (x )=-|x |为减函数.2.函数y =|x |(1-x )在区间A 上是增函数,那么区间A 是( )A .(-∞,0)B .⎣⎡⎦⎤0,12C .[0,+∞)D .⎝⎛⎭⎫12,+∞ 解析:选B.y =|x |(1-x )=⎩⎪⎨⎪⎧x (1-x ),x ≥0,-x (1-x ),x <0=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+x ,x ≥0,x 2-x ,x <0函数y 的草图如图所示.由图易知原函数在⎣⎡⎦⎤0,12上递增.故选B. 3.若函数f (x )=x 2+a |x |+2,x ∈R 在区间[3,+∞)和[-2,-1]上均为增函数,则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤-113,-3 B .[-6,-4] C .[-3,-22]D .[-4,-3]解析:选B.由于f (x )为R 上的偶函数,因此只需考虑函数f (x )在(0,+∞)上的单调性即可.由题意知函数f (x )在[3,+∞)上为增函数,在[1,2]上为减函数,故-a2∈[2,3],即a ∈[-6,-4].4.已知函数f (x )是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上递增,则满足f (2x -1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13,23 B .⎣⎡⎭⎫13,23 C.⎝⎛⎭⎫12,23D .⎣⎡⎭⎫12,23解析:选D.因为函数f (x )是定义在区间[0,+∞)上的增函数,满足f (2x -1)<f ⎝⎛⎭⎫13. 所以0≤2x -1<13,解得12≤x <23.5.定义新运算⊕:当a ≥b 时,a ⊕b =a ;当a <b 时,a ⊕b =b 2,则函数f (x )=(1⊕x )x -(2⊕x ),x ∈[-2,2]的最大值等于( )A .-1B .1C .6D .12解析:选C.由题意知当-2≤x ≤1时,f (x )=x -2,当1<x ≤2时,f (x )=x 3-2,又f (x )=x -2,f (x )=x 3-2在相应的定义域内都为增函数,且f (1)=-1,f (2)=6,所以f (x )的最大值为6.6.函数f (x )=4-x -x +2的值域为________.解析:因为⎩⎪⎨⎪⎧4-x ≥0,x +2≥0,所以-2≤x ≤4,所以函数f (x )的定义域为[-2,4].又y 1=4-x ,y 2=-x +2在区间[-2,4]上均为减函数, 所以f (x )=4-x -x +2在[-2,4]上为减函数, 所以f (4)≤f (x )≤f (-2). 即-6≤f (x )≤ 6. 答案:[-6,6]7.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,x >0,0,x =0,-1,x <0,g (x )=x 2f (x -1),则函数g (x )的递减区间是________.解析:由题意知g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,x >1,0,x =1,-x 2,x <1.函数图象如图所示,其递减区间是[0,1).答案:[0,1)8.若f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(3a -1)x +4a ,x <1,-ax ,x ≥1是定义在R 上的减函数,则a 的取值范围是________.解析:由题意知,⎩⎪⎨⎪⎧3a -1<0,(3a -1)×1+4a ≥-a ,a >0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a <13,a ≥18,a >0,所以a ∈⎣⎡⎭⎫18,13. 答案:⎣⎡⎭⎫18,139.已知函数f (x )=1a -1x (a >0,x >0).(1)求证:f (x )在(0,+∞)上是增函数;(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12,2上的值域是⎣⎡⎦⎤12,2,求a 的值.解:(1)证明:任取x 1>x 2>0,则f (x 1)-f (x 2)=1a -1x 1-1a +1x 2=x 1-x 2x 1x 2,因为x 1>x 2>0,所以x 1-x 2>0,x 1x 2>0, 所以f (x 1)-f (x 2)>0, 即f (x 1)>f (x 2),所以f (x )在(0,+∞)上是增函数. (2)由(1)可知,f (x )在⎣⎡⎦⎤12,2上为增函数, 所以f ⎝⎛⎭⎫12=1a -2=12, f (2)=1a -12=2,解得a =25.10.已知f (x )=xx -a(x ≠a ).(1)若a =-2,试证f (x )在(-∞,-2)上是增加的;(2)若a >0且f (x )在(1,+∞)上是减少的,求a 的取值范围. 解:(1)证明:设x 1<x 2<-2, 则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1+2-x 2x 2+2=2(x 1-x 2)(x 1+2)(x 2+2). 因为(x 1+2)(x 2+2)>0,x 1-x 2<0, 所以f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2), 所以f (x )在(-∞,-2)上是增加的. (2)设1<x 1<x 2, 则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1-a -x 2x 2-a =a (x 2-x 1)(x 1-a )(x 2-a ). 因为a >0,x 2-x 1>0,所以要使f (x 1)-f (x 2)>0, 只需(x 1-a )(x 2-a )>0恒成立, 所以a ≤1.综上所述,0<a ≤1.[综合题组练]1.若f (x )=-x 2+4mx 与g (x )=2mx +1在区间[2,4]上都是减函数,则m 的取值范围是( )A .(-∞,0)∪(0,1]B .(-1,0)∪(0,1]C .(0,+∞)D .(0,1]解析:选D.函数f (x )=-x 2+4mx 的图象开口向下,且以直线x =2m 为对称轴,若在区间[2,4]上是减函数,则2m ≤2,解得m ≤1;g (x )=2m x +1的图象由y =2mx 的图象向左平移一个单位长度得到,若在区间[2,4]上是减函数,则2m >0,解得m >0.综上可得,m 的取值范围是(0,1].2.已知函数f (x )=log 2x +11-x ,若x 1∈(1,2),x 2∈(2,+∞),则( )A .f (x 1)<0,f (x 2)<0B .f (x 1)<0,f (x 2)>0C .f (x 1)>0,f (x 2)<0D .f (x 1)>0,f (x 2)>0解析:选B.因为函数f (x )=log 2x +11-x 在(1,+∞)上为增函数,且f (2)=0,所以当x 1∈(1,2)时,f (x 1)<f (2)=0;当x 2∈(2,+∞)时,f (x 2)>f (2)=0, 即f (x 1)<0,f (x 2)>0.故选B.3.设f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(x -a )2,x ≤0,x +1x +a ,x >0.若f (0)是f (x )的最小值,则a 的取值范围为________.解析:因为当x ≤0时,f (x )=(x -a )2,f (0)是f (x )的最小值,所以a ≥0.当x >0时,f (x )=x +1x +a ≥2+a ,当且仅当x =1时取“=”.要满足f (0)是f (x )的最小值,需2+a ≥f (0)=a 2,即a 2-a -2≤0,解得-1≤a ≤2,所以a 的取值范围是0≤a ≤2. 答案:[0,2]4.如果函数y =f (x )在区间I 上是增函数,且函数y =f (x )x 在区间I 上是减函数,那么称函数y =f (x )是区间I 上的“缓增函数”,区间I 叫做“缓增区间”.若函数f (x )=12x 2-x+32是区间I 上的“缓增函数”,则“缓增区间”I 为________. 解析:因为函数f (x )=12x 2-x +32的对称轴为x =1,所以函数y =f (x )在区间[1,+∞)上是增函数,又当x ≥1时,f (x )x =12x -1+32x ,令g (x )=12x -1+32x (x ≥1),则g ′(x )=12-32x 2=x 2-32x 2, 由g ′(x )≤0得1≤x ≤3,即函数f (x )x =12x -1+32x 在区间[1, 3 ]上递减,故“缓增区间”I 为[1, 3 ].答案:[1, 3 ]5.已知函数f (x )=x 2+a |x -2|-4.(1)当a =2时,求f (x )在[0,3]上的最大值和最小值;(2)若f (x )在区间[-1,+∞)上是增加的,求实数a 的取值范围. 解:(1)当a =2时,f (x )=x 2+2|x -2|-4=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2x -8,x ≥2x 2-2x ,x <2=⎩⎪⎨⎪⎧(x +1)2-9,x ≥2(x -1)2-1,x <2, 当x ∈[0,2)时,-1≤f (x )<0,当x ∈[2,3]时,0≤f (x )≤7, 所以f (x )在[0,3]上的最大值为7,最小值为-1.(2)因为f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+ax -2a -4,x >2x 2-ax +2a -4,x ≤2,又f (x )在区间[-1,+∞)上是增加的,所以当x >2时,f (x ) 是增加的,则-a2≤2,即a ≥-4.当-1<x ≤2时,f (x ) 是增加的,则a2≤-1.即a ≤-2,且4+2a -2a -4≥4-2a +2a -4恒成立, 故a 的取值范围为[-4,-2].6.已知定义在R 上的函数f (x )满足:①f (x +y )=f (x )+f (y )+1,②当x >0时,f (x )>-1. (1)求f (0)的值,并证明f (x )在R 上是增函数; (2)若f (1)=1,解关于x 的不等式f (x 2+2x )+f (1-x )>4. 解:(1)令x =y =0,得f (0)=-1.在R 上任取x 1>x 2,则x 1-x 2>0,f (x 1-x 2)>-1.又f (x 1)=f [(x 1-x 2)+x 2]=f (x 1-x 2)+f (x 2)+1>f (x 2),所以函数f (x )在R 上是增函数. (2)由f (1)=1,得f (2)=3,f (3)=5.由f (x 2+2x )+f (1-x )>4得f (x 2+x +1)>f (3), 又函数f (x )在R 上是增函数,故x 2+x +1>3, 解得x <-2或x >1,故原不等式的解集为{x |x <-2或x >1}.。

高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用2.2函数的单调性与最值课件理

高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用2.2函数的单调性与最值课件理
4.函数单调性的两个等价结论 设∀x1,x 2∈D(x1≠x 2),则 fx1-fx2 (1) >0(或 x1-x2fx1-fx2>0)⇔f(x)在 D 上单调递增; x1-x2 fx1-fx2 (2) <0(或 x1-x2fx1-fx2<0)⇔f(x)在 D 上单调递减。 x1-x2
-x
)
B.y=x3
1
C.y=lnx
D.y=|x|
1
【解析】 由所给选项知只有 y=x3的定义域是 R 且为增函数。故选 B。 【答案】 B
2. (2016· 北京高考)下列函数中, 在区间(-1,1)上为减函数的是( 1 A.y= 1-x C.y=ln(x+1) B.y=cosx D.y=2-x
)
5.对勾函数的单调性 a 对勾函数 y=x+x(a>0)的递增区间为(-∞,- a]和[ a,+∞);递 减区间为[- a,0)和(0, a],且对勾函数为奇函数。 6.函数单调性常用结论
区间D上单调递增 定义法 x1< x 2⇔f(x1)<f(x2) 图象法 导数法 运算法 函数图象上升的 导数大于零 递增+递增
【解析】 当 a>0 时,由题意得 2a+1-(a+1)=2,即 a=2;当 a<0 时,a+1-(2a+1)=2,即 a=-2,所以 a=± 2。故选 C。 【答案】 C


【解析】 当 x≤1 时,f(x)=(3a-1)x+4a 为减函数,则 3a-1<0, 1 即 a<3;当 x>1 时,f(x)=logax 为减函数,则 0<a<1,且 3a-1+4a≥0, 1 1 1 即7≤a<1。综上,7≤a<3。故选 C。 【答案】 C

高考数学大一轮复习 第二章 基本初等函数、导数及其应用 第3课时 函数的单调性及最值课件 理 北师大版

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(2)①因为函数f(x)=x+ax的图像过点A2,52, 所以52=2+a2. ∴a=1.
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②证明:设x1,x2是(0,1)内的任意两个实数, 且x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=x1+x11-x2-x12 =x1-x2+x2x-1x2x1 =(x1-x2)x1xx12x-2 1 由x1,x2∈(0,1),
=f(x)在区间A上是递增的.
y=f(x)在区间A上是 递减的.
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(2)单调区间和函数的单调性 ①如果y=f(x)在区间A上是 增加的 或是 减少的 ,那么 称A为单调区间. ②如果函数y=f(x)在定义域的某个子集上是 增加的 或 是 减少的 ,那么就称函数y=f(x)在这个子集上具有单调性. (3)单调函数 如果函数y=f(x)在 整个定义域内是 增加的 或是减少的 ,我 们分别称这个函数为增函数或减函数,统称为单调函数.
答案:[3,4] 8
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5.已知函数f(x)为R上的减函数,则满足f(|x|)>f(2)的实数x的 取值范围是________.
解析:由题意得|x|<2解得-2<x<2. 答案:(-2,2)
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考点一 判断(或证明)函数的单调性
[例1] (1)(2014·高考北京卷)下列函数中,在区间(0,+∞)
2
上是增函数.
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本例(1)易将单调减区间写成[-1,0]∪[1,+∞),单调增区间 写成(-∞,-1]∪[0,1];本例(3)易忽视定义域,将单调减区间写 成(-∞,-1],单调增区间写成(-1,+∞).

高考数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数3函数的单调性和最值课件理

高考数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数3函数的单调性和最值课件理

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(2)将例 1(2)中的“x>0”改为“x<0”后,试判断函数 f(x)的单调 性,并证明.
【证明】 略 【答案】 f(x)在(-∞,- a]上是增函数,在[- a,0)上是减 函数.
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题型二 求函数的单调区间 求下列函数的单调区间. (1)f(x)=|x2-4|; (2)f(x)=log1(3-2x-x2);
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★状元笔记★ 求函数的单调区间(确定函数单调性)的方法
(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复 合函数,求单调区间.
(2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义. (3)图像法:如果 f(x)是以图像形式给出的,或者 f(x)的图像 易作出,可由图像的直观性写出它的单调区间.
x (0,1) 1 (1,+∞)
y′

0

y
由上表可知,函数的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区
间为(0,1).
【答案】 (1)单调递增区间为[-2,0],[2,+∞) 单调递
减区间为(-∞,-2],[0,2]
(2)单调递增区间为[-1,1),单调递减区间为(-3,-1]
(3)单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1)
那么就说函数 f(x)在区间 D 上 那么就说函数 f(x)在区间 D
是增函数
上是减函数
单调性与单调区间密不可分,单调区间是定义域的子区间.
第四页,共70页。
(2)证明单调性的步骤:证明函数的单调性一般从定义入手, 也可以从导数入手.①利用定义证明单调性的一般步骤是 a.∀x1, x2∈D,且 x1<x2,b.计算 f(x1)-f(x2)并判断符号,c.结论.

高考数学大一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.2 函数的单调性与最值课件 理 北师大版

高考数学大一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.2 函数的单调性与最值课件 理 北师大版

2.若函数 f(x)满足“对任意 x1,x2∈R,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2)”,
则满足 f1x<f(1)的实数 x 的取值范围是(
)
A.(-1,1)
B.(0,1)
C.(-1,0)∪(0,1)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
解析 由题意知,函数 f(x)为 R 上的减函数, 且 f1x<f(1), ∴1x>1,即|x|<1 且|x|≠0。 ∴x∈(-1,0)∪(0,1)。故选 C。 答案 C
M是f(x)的___最__小____值,记作ymin =f(x0)
基础自测
[判一判] (1)函数 y=1x的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞)。( × ) 解析 错误。单调区间不能用并集符号连接。 (2)函数 y=1x在定义域上为减函数。( × ) 解析 错误。函数 y=1x有两个单调递减区间,但在定义域上不是单调 的。
A.y= x+1
B.y=(x-1)2
C.y=2-x
D.y=log0.5(x+1)
解析 A 项,y= x+1为(-1,+∞)上的增函数,故在(0,+∞)
上递增;
B 项,y=(x-1)2 在(-∞,1)上递减,在(1,+∞)上递增;
C 项,y=2-x=12x 为 R 上的减函数; D 项,y=log0.5(x+1)为(-1,+∞)上的减函数。故选 A。 答案 A
解析 易知函数 f(x)=x-2 1在 x∈[2,6]上为减函数,故 f(x)max=f(2)=2, f(x)min=f(6)=25。
5.已知函数 f(x)= x2-2x-3,则该函数的单调增区间为_[3_,__+__∞__)_。
解析 设 t=x2-2x-3,由 t≥0,即 x2-2x-3≥0,解得 x≤-1 或 x≥3, 所以函数的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞)。 因为函数 t=x2-2x-3 的图像的对称轴为 x=1,所以函数在(-∞,- 1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增。又因为 y= t在[0,+∞)上单调 递增, 所以函数 f(x)的增区间为[3,+∞)。

数学一轮复习第二章函数导数及其应用第3讲函数的奇偶性与周期性学案含解析

数学一轮复习第二章函数导数及其应用第3讲函数的奇偶性与周期性学案含解析

第3讲函数的奇偶性与周期性[考纲解读] 1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性.(重点)3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.(重点)[考向预测]从近三年高考情况来看,函数的奇偶性与周期性是高考的一个热点.预测2021年高考会侧重以下三点:①函数奇偶性的判断及应用;②函数周期性的判断及应用;③综合利用函数奇偶性、周期性和单调性求参数的值或解不等式.1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有错误!f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数关于错误!y轴对称奇函一般地,如果对于函数f关于错误!原点数(x)的定义域内任意一个对称x,都有错误!f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数2.周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有错误!f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个错误!最小的正数,那么这个错误!最小正数就叫做f(x)的最小正周期.1.概念辨析(1)“a+b=0”是“函数f(x)在区间[a,b](a≠b)上具有奇偶性”的必要条件.()(2)若函数f(x)是奇函数,则必有f(0)=0。

()(3)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.()(4)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.()(5)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,若在(-∞,0)上是减函数,则在(0,+∞)上是增函数.()(6)若T为y=f(x)的一个周期,那么nT(n∈Z)也是函数f(x)的周期.()答案(1)√(2)×(3)√(4)√(5)√(6)×2.小题热身(1)下列函数中为奇函数的是()A.y=x2sin x B.y=x2cos xC.y=|ln x|D.y=2-x答案A解析A是奇函数,B是偶函数,C,D是非奇非偶函数.(2)若f(x)是R上周期为2的函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(3)-f(4)=________。

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2.判断函数单调性的四种方法 (1)定义法:取值、作差、变形、定号、下结论; (2)复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增函 数,不同时为减函数; (3)图象法:如果 f(x)是以图象形式给出的,或者 f(x)的图象 易作出,可由图象的直观性判断函数单调性. (4)导数法:利用导函数的正负判断函数单调性.
2.函数的最值 前 提 设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果存在实数 M 满足 (1)对于任意 x∈I,都有 条 件 (1)对于任意 x∈I,都 有________; (2)存在 x∈I,使得
f(x)≤M; ________
(2)存在 x∈I,使得
f(x)≥M
f ( x) = M ________
第二章
基本初等函数、导数及其应用
第3讲
函数的单调性与最值
1.函数的单调性 (1)增、减函数 增函数 减函数 在函数 y=f(x)的定义域内的一个区间 A 上, 如果对于任意 两数 x1,x2∈A 定 义 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2) f(x1)<f(x2) , ____________ 当 x1<x2 时,都有____________ ,那么, 那么,就称函数 y=f(x)在区间 A 就称函数 y=f(x)在区 上是增加的,有时也称函数 y= 间 A 上是减少的, 有时 f(x)在区间 A 上是递增的 也称函数 y=f(x)在区 间 A 上是递减的
3.函数最值的有关结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值, 当函数在 闭区间上单调时最值一定在端点处取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值).
1.(2014· 高考北京卷)下列函数中,定义域是 R 且为增函数 的是( B ) A.y=e
-x
B.y=x3 D.y=|x|
2 因为-1<x1<x2<1,所以 x2-x1>0,x2 - 1<0 , x 1 2 - 1<0,-
1<x1x2<1,所以 x1x2+1>0. (x2-x1)(x2x1+1) 所以 >0. 2 (x2 - 1 )( x - 1 ) 1 2 因此,当 a>0 时,f(x1)-f(x2)>0, 所以 f(x1)>f(x2),此时函数 f(x)在(-1,1)上为减函数; 当 a<0 时,f(x1)-f(x2)<0, 所以 f(x1)<f(x2),此时函数 f(x)在(-1,1)上为增函数.
结 论 M 为最大值
f(x)=M ________
M 为最小值
1.辨明两个易误点 (1)区分两个概念: “函数的单调区间”和“函数在某区间上 单调”,前者指函数具备单调性的“最大”的区间,后者是 前者“最大”区间的子集. (2)单调区间只能用区间表示, 不能用集合或不等式表示; 如 有多个单调区间应分别写出,一般不能用符号“∪”连接, 1 也不能用“或”连接.例如函数 f(x)= 在区间(-1,0)上是 x 减函数,在(0,1)上是减函数,但在(-1,0)∪(0,1)上却不 是减函数.
解析:函数 f(x)的对称轴为 x=1,函数在[1,4]上是增函数, f(x)max=f(-2)=f(4)=8.
5.(必修 1 P34 习题 2-2A 组 T1(1)改编)已知函数 f(x)= 2 2 , x∈ [2, 6],则 f(x)的最大值为 ________ ,最小值为 x-1 2 __________ . 5
2 解析: 可判断函数 f(x)= 在 [2, 6]上为减函数, 所以 f(x)max x- 1 2 = f(2)= 2, f(x)min=f(6)= . 5
考点一
函数单调性的判断与证明
ax 试讨论函数 f(x)= 2 ,x∈ (- 1,1)的单调性 (其 x -1 中 a≠ 0).
[解]设-1<x1<x2<1, ax1 ax2 则 f(x1)-f(x2)= 2 - 2 x1-1 x2-1 a(x2-x1)(x1x2+1) = . 2 2 (x1-1)(x2-1)
(2)单调区间和函数的单调性 减少的 ,那么称 增加的 或是 ________ ①如果 y = f(x) 在区间 A上是 ________ A为单调区间. 增加的 或是 ②如果函数 y = f(x) 在定义域的某个子集上是 ________ 减少的 ,那么就称函数y=f(x)在这个子集上具有单调性. ________ (3)单调函数 整个定义域 内是增加的或是减少的,我 如果函数y=f(x)在____________ 们称这个函数为增函数或减函数,统称为单调函数.
判断函数单调性的常用方法 (1)定义法和导数法. 注意证明函数单调性只能用定义法和导 数法. (2)图象法.如果 f(x)是以图象形式给出的,或者 f(x)的图象 易作出,可由图象的升、降判断函数的单调性.
x+ 2 1.判断函数 y= 在(- 1,+∞)上的单调性. x+ 1
解:法一:任取 x1, x2∈ (- 1,+∞ ),且 x1 <x2,则 y1 - y2 x1 + 2 x2 + 2 x2 - x1 = - = . x1 + 1 x2 + 1 ( x1+ 1)( x2+ 1) 因为 x1 >- 1, x2 >- 1,所以 x1+ 1>0, x2+ 1>0, 又 x1 <x2,所以 x2- x1 >0, x2 - x1 所以 >0,即 y1- y2 >0. ( x1+ 1)( x2+ 1) x+ 2 所以 y1 >y2,所以函数 y= 在 (- 1,+∞ )上是减函数. x+ 1
C.y2-3A 组 T3(3)改编)若函数 y=(2k+1)x +b 在(-∞,+∞)上是减函数,则( D ) 1 A.k> 2 1 C.k>- 2 1 B.k< 2 1 D.k<- 2
3.(2016· 长春质量检测 )已知函数 f(x)= |x+ a|在(-∞,- 1) 上是单调函数,则 a 的取值范围是 ( A ) A. (-∞, 1] C. [- 1,+∞ ) B. (-∞,- 1] D. [1,+∞ )
解析: 因为函数 f(x)在(-∞, -a)上是单调函数, 所以- a≥ - 1,解得 a≤ 1.故选 A.
4.(必修 1 P48 习题 2-4A 组 T5(2)改编)函数 f(x)=x2-2x,
8 [1,4] 上是增加的,f(x)max=__________ x∈ [-2,4]在________ .
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