3.3 基本不等式第1课时教案(高中数学必修五北师大版)

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3.3.1《基本不等式》课件(北师大版必修5)

1 1 1 即＋＋ ≥9. a b c
证法二：∵a，b，c 为正实数，
1 1 1 1 1 1 ∴a＋b＋ c＝(a＋b＋c)a＋b＋ c
b c a c a b ＝1＋a＋a＋b＋1＋b＋ c＋ c＋1
b a c a c b ＝3＋a＋b＋a＋ c＋b＋c ≥3＋2＋2＋2＝9.
• 2．已知a，b∈R＋，且a＋b＝2，则( • A．ab≤4 B．ab≥4 • C．ab≤1 D．ab≥1
a＋b 解析：由 a，b∈R ，∴ 2 ≥ ab，
＋
)
∴ ab≤1，∴ab≤1.
• 答案： C
a－c 3．已知 a＞b＞c，则 a－bb－c与 2 的大小关系是 ________．解析： ∵a－b＞0，b－c＞0， a－b＋b－c a－c ∴ a－bb－c≤ ＝ 2 . 2
≥ • 1．由不等式性质可知，对任意a，b∈R，(a－
b)2 ≥ 0，因此a2＋b2 2ab.什么时候等号能成立 a＝b 呢？当且仅当时，取等号． • 2．还记得等差中项和等比中项吗？ a＋b • 两个正数a与b的等差中项为，正的等 ab 2 比中项为 . 5 • 例如，2与8的等差中项为，正的等比中项为 4，？
1 1 1 bc 2 得a－1b－1c－1≥2· a ·
＋
ac 2 ab b · c ＝8，
1 当且仅当 a＝b＝c＝时取等号． 3 ∴原不等式成立．
a＋b＋c a＋b＋c a＋b＋c 证法二：左边＝－1 －1 －1 a b c b c a c a b ＝a＋ab＋bc＋c
x y x ④由 xy＜0，得y、x均为负数，但在推导过程中将整体y
x y y ＋x提出负号后，－y、－x均变为正数，符合均值不等式

3.2基本不等式-北师大版高中数学必修第一册(2019版)教案

3.2 基本不等式-北师大版高中数学必修第一册（2019版）教案一、教学目标1.了解不等式的概念，并掌握基本不等式的证明方法。

2.能够运用基本不等式求解基础数学题目。

二、教学重点1.基本不等式的概念。

2.基本不等式的证明方法。

3.基本不等式的应用。

三、教学难点1.基本不等式的证明方法。

2.基本不等式的应用。

四、教学内容和方法1. 教学内容1.不等式的概念。

2.基本不等式的证明方法。

3.基本不等式的应用。

4.案例演练。

2. 教学方法1.讲授法。

2.案例演练法。

3. 具体步骤(1) 不等式的概念1.引入不等式的概念，并让学生了解不等式的基本性质。

2.提供一些例题，让学生掌握不等式的基础知识。

(2) 基本不等式的证明方法1.讲解基本不等式的证明方法，并让学生理解证明思路。

2.给出一些例题，让学生通过案例演练掌握证明方法。

(3) 基本不等式的应用1.讲解基本不等式的应用，并通过案例演练让学生掌握应用方法。

2.提供一些综合应用的例题，让学生能够运用所学知识解题。

五、教学评估1.进行课堂测试，测试学生对基本不等式的理解和掌握程度。

2.打分并评估学生的学习成果和教学效果。

六、教学进度安排本次课时为2学时，具体安排如下：1.第一学时：讲解不等式的概念和基本性质，并提供例题进行练习，时间1学时。

2.第二学时：讲解基本不等式的证明方法和应用，提供案例练习和综合例题进行讲解，时间1学时。

七、教学资源准备1.基本不等式的教材教辅。

2.讲解PPT。

3.相关练习题和测试题。

基本不等式说课稿-北师大版(精美教案)

《基本不等式》说课稿一、教材分析、本节课的地位、作用和意义基本不等式又称为均值不等式，选自普遍高中课程标准实验教科书(北京师范大学出版社出版) 必修8890P P -，第章第节内容。

学生在初中学习了完全平方公式、圆、初步认识了不等式，同时，在本章前面两节学习了比较大小、一元二次不等式等，这些给本节课提供了坚实的基础；基本不等式是后面基本不等式与最大（小）值的基础，在高中数学中有着比较重要的地位，在工业生产等有比较广的实际应用。

、本节课的教学重点和难点我通过解读新课标和分析教材，认为：重点：通过对新课程标准的解读，教材内容的解析，我认为结果固然重要，但数学学习过程更重要，它有利于培养学生的数学思维和探究能力，所以均值不等式的推导是本节课的重点之一；再者，均值不等式有比较广的应用，需重点掌握，而掌握均值不等式，关键是对不等式成立条件的准确理解，因此，均值不等式以及其成立的条件也是教学重点。

突出重点的方法：我将采用①用分组讨论，多媒体展示、引导启发法来突出均值不等式的推导；用重复法（在课堂的每一环节，以各种方式进行强调均值不等式和其成立的条件），变式教学来突出均值不等式及其成立的条件。

难点：很多同学对均值不等式成立的条件的认识不深刻，在应用时候常常出错误，所以，均值不等式成立的条件是本节课的难点。

突破难点的方法：我将采用用重复法（在课堂的每一环节，以各种方式进行强调均值不等式和其成立的条件），变式教学等等来突破均值不等式成立的条件这个难点。

二、教学目标分析、知识与技能目标（）学会推导基本不等式：2a b+≥。

（）理解2a b+≥的几何意义。

（）能分钟内写出基本不等式，并说明其成立的条件，准确率为、过程方法与能力目标（）探索并了解均值不等式的证明过程。

（）体会均值不等式的证明方法。

、情感、态度、价值观目标（）通过探索均值不等式的证明过程，培养探索、研究精神。

（）通过对均值不等式成立的条件的分析，养成严谨的科学态度，勇于提出问题、分析问题的习惯。

第三章3.1基本不等式-北师大版高一数学必修5课件(共21张PPT)

探究结果
1. 对于任意实数a，b，总有 a2 b2 2ab 如何证明？
当且仅当a=b时，等号成立.
特别地，如果 a 0,b 0 ，我们用 a , b 分别代替a，b，可得
a b 2 ab，即a b ab， 2
当且仅当a=b时，等号成立.
探究结果 1. 对于
a，b，总有 a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立.
2. 如果a，b都是
，那么 a b ab 2
当且仅当a=b时，等号成立.
我们称上述不等式为
ab ，其中 2 称为a，b的算术
平均数， ab 称为a，b
. 因此，基本不等式又被称为
均值不等式.
探究结果 1. 对于
a，b，总有 a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立.
当且仅当a=b时，等号成立.
文字语言可叙述为：两个非负实数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
从数列的角度看：两个正实数的等差中项不小于它们正的等比中项.
课堂升华几何解释
如图，AB是圆O的直径，AC=a,BC=b,过点C作CD⊥AB交圆O上半
圆于D. 由射影定理可知
D
CD ab, 而OD a b ,
同向相加可得 a b c ab ac bc, 当且仅当a b c时，等号成立.
例题讲解
例2 若a b 1，比较P lg a lg b，Q 1 (lg a lg b)， 2
R lg a b 的大小关系. 2
解因为a b 1，所以 lg a lg b 0,
由 ab a b , 2
证明 (方法2)
ab
2
ab 2ab
ab(b a) 2ab
11
ba

3.2基本不等式(一)课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册

成四间禽舍的钢筋网总长最小？
解(1)设每间禽舍的长为,宽为,则4 + 6 = 36,即2 + 3 = 18.
请你与同学合作，
解决问题(2).
设 = (0 < < 9,0 < < 6).应用基本不等式，有2 + 3 ⩾ 2 2 ⋅ 3,整理得2 6 ⋅ ⩽ 18.
因此，基本不等式又称为均值不等式，也可以表述为：
两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.
基本不等式的一种几何解释
如图1-14，是半圆的直径，点在上，且 = , = .过点作的垂
+
ҭ
线，交于点,连接,
, .显然 = =
;利用三角形相似，可证得
(1)若 + = (为定值)，则当且仅当 =

时，取得最大值 ;

(2)若 = (为定值)，则当且仅当 = 时， + 取得最小值 .
+

证明(1)由基本不等式
⩾ 和 + = ,得 ⩾ .
2
2
2

所以 ⩽ .
4

2
当且仅当 = = 时，不等式中的等号成立，此时取得最大值 .
≤ 1，当且仅当 = 时，等号成立.
2
+
≤ 1.
依据图形关系得不等式
思考交流
如图1-15，是半圆的直径，点在上，且 = , = .过点作的垂线，
ҭ
交于点,连接.请你利用
⩾ 写出一个关于, 的不等式，并将这个不等式与
基本不等式进行比较.
+ + ⩾ + + ,当且仅当 = = 时，等号成立.

高中数学第三章不等式3 2基本不等式与最大小值学案含解析北师大版必修5

3.2 基本不等式与最大(小)值学习目标1.理解与两正数和积相关的命题.(数学抽象)2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.(逻辑推理)3.会用基本不等式解决简单的实际问题.(数学建模、逻辑推理)必备知识·自主学习导思1.如何记忆利用基本不等式求最值时是最大还是最小?2.利用基本不等式求最值时要满足什么条件?利用基本不等式求最值大前提条件结论三个注意点x,y均为正数若x+y=s,则当x=y 时积xy取得最大值一正:x,y必须是正数;二定:和“x+y”为定值或积“xy”为定值;三相等:等号是否能够取到若xy=p,则当x=y时和x+y取得最小值2在利用基本不等式求两个数或代数式的最值时必须注意的三个条件是什么?提示:①x,y必须是正数.②求积xy的最大值时,应看和x+y是否为定值;求和x+y的最小值时,应看积xy是否为定值.③等号成立的条件是否满足.综上,解决问题时要注意“一正、二定、三相等”.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)对于任意实数x,y,若x+y=s(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值s2. ( )(2)若两个正数的积是定值p,则这两个正数的和一定有最小值2. ( )(3)因为sin x·=1(x∈(0,2π))为定值,所以y=sin x+有最小值. ( )(4)若关于x的不等式(1+k2)x≤k4+4的解集为M,则必有2∈M. ( )提示:(1)×.条件中没有说明x,y∈(0,+∞),故错误.(2)×.等号不一定能取到,故错误.(3)×.sin x可正可负,故不满足两数都为正数,故错误.(4)√.把x=2代入不等式可得(1+k2)×2≤k4+4,即k4-2k2+2≥0,因为k4-2k2+2=+1≥1恒成立,故k4-2k2+2≥0成立.2.若x>0,则x+的最小值为( )A.2B.3C.2D.4〖解析〗选D.因为x>0,所以x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时等号成立,所以x+的最小值为4.3.(教材二次开发:例题改编)(2020·大连高一检测)设a,b是实数且a+2b=3,则2a+4b的最小值为.〖解析〗根据题意,有2a+4b≥2=2=2=2=4,当且仅当2a=4b时取最小值4.答案:4关键能力·合作学习类型一利用基本不等式求最值(逻辑推理)1.(2020·银川高一检测)已知x>2,y=x+,则y的最小值为( )A.2B.1C.4D.32.已知函数f(x)=x+(x<0),则下列结论正确的是 ( )A.f有最小值4B.f有最大值4C.f有最小值-4D.f有最大值-43.函数y=log2(x>1)的最小值为.〖解析〗1.选C.因为x>2,y=x+,所以y=(x-2)++2≥2+2=4,当且仅当x-2=,即x=3时取等号.2.选D.由题意,因为x<0,可得-x>0,则f(x)=x+=-≤-2=-4,当且仅当-x=,即x=-2时取等号,所以f(x)的最大值为-4.3.因为x++5=(x-1)++6≥2+6=8,所以log2≥3,所以y min=3,当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立.答案:3利用基本不等式求最值的两种形式及相应的策略(1)形式一:积定和最小.当a,b都为正数,且ab为定值时,有a+b≥2(定值),当且仅当a=b时,等号成立,此时a+b 有最小值,即“积定和最小”.(2)形式二:和定积最大.当a,b都为正数,且a+b为定值时,有ab≤(定值),当且仅当a=b时,等号成立,此时ab 有最大值,即“和定积最大”.以上两类问题可简称为“积大和小”问题.〖补偿训练〗已知t>0,则函数y=的最小值为.〖解析〗y==t+-4≥2-4=-2,当且仅当t=,即t=1或t=-1(舍)时,等号成立,所以y的最小值为-2.答案:-2类型二利用基本不等式求范围(逻辑推理)角度1 一般求范围问题〖典例〗已知x>0,y>0,且满足+=2,则8x+y的取值范围是.〖思路导引〗利用已知条件,使代数式8x+y能利用基本不等式求最值.〖解析〗因为x>0,y>0,+=2,则+=1,所以8x+y=(8x+y)=5++≥5+2=9.当且仅当=⇒y=4x⇒x=,y=3时,等号成立.所以,8x+y的取值范围是〖9,+∞).答案:〖9,+∞)已知a,b为正实数,向量m=(a,a-4),向量n=(b,1-b),若m∥n,则a+b的取值范围为. 〖解析〗因为m∥n,所以a(1-b)-b(a-4)=0,所以a+4b=2ab,所以+=1,且a,b为正实数,所以a+b==++2+≥2+=,当且仅当=时取“=”.所以a+b的取值范围为.答案:角度2 含参数不等式的求参数问题〖典例〗不等式|x2-3x|+x2+32≥kx恒成立,则k的取值范围是.〖思路导引〗先分离参数,再利用基本不等式求最值,最后得出范围.〖解析〗当x∈〖1,9〗时,不等式|x2-3x|+x2+32≥kx等价为≥k,设f(x)=,当1≤x≤3时,f(x)=3+在〖1,3〗上单减,所以f(x)min=f(3)=,当3<x≤9时,f(x)=2x+-3≥2·-3=13,当且仅当2x=,即x=4时成立,所以f(x)的最小值为13.所以k≤13.综上所述,k的取值范围是(-∞,13〗.答案:(-∞,13〗含有参数的不等式问题解题策略(1)对于求不等式成立时的参数范围问题,在条件简单的情况下把参数分离出来,使不等式一端是参数,另一端是一个区间上具体的函数,这样就把问题转化为求函数的最大值或最小值.如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂,就不要使用分离参数法.(2)一般地,a≥f(x)恒成立时,应有a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立时,应有a≤f(x)min.一般地,a≥f(x)能成立时,应有a≥f(x)min,a≤f(x)能成立时,应有a≤f(x)max.1.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是( )A.〖0,2〗B.〖-2,0〗C.〖-2,+∞)D.(-∞,-2〗〖解析〗选D.因为2x+2y≥2,2x+2y=1,所以2≤1,所以2x+y ≤=2-2,所以x+y≤-2,即(x+y)∈(-∞,-2〗.2.已知a>0,b>0,+=,若不等式2a+b≥9m恒成立,则实数m的最大值为( )A.8B.7C.6D.5〖解析〗选C.由已知,可得6=1,所以2a+b=6·(2a+b)=6≥6×(5+4)=54,当且仅当=时等号成立,所以9m≤54,即m≤6.类型三基本不等式的实际应用(数学建模、数学运算)〖典例〗某种商品原来每件售价为25元,年销售8万件.(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到x元.公司拟投入(x2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入x万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 四步内容理解题意(1)利用总收入≥原收入列关系式求解;(2)销售收入≥原收入+总投入.思路探求(1)设每件定价为t元,将实际问题转化为数学问题,即可解决;(2)分离参数求最值即可.续表书写表达(1)设每件定价为t元,依题意,有t≥25×8,整理得t2-65t+1 000≤0,解得25≤t≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.(2)依题意,x>25时,不等式ax≥25×8+50+(x2-600)+x有解,等价于x>25时,a≥+x+有解.因为+x≥2=10(当且仅当x=30时,等号成立),所以a≥10.2.当该商品明年的销售量a至少达到10.2万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.题后反思正确列出不等关系是解决问题的关键在应用基本不等式解决实际问题时需要注意的四点(1)先理解题意,设变量时一般把要求最值的变量定为函数;(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最值问题;(3)在定义域内,求出函数的最值;(4)写出正确答案.桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式,某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目,该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块,中间挖成三个矩形池塘养鱼,挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树,鱼塘周围的基围宽均为2米,如图所示,池塘所占面积为S平方米,其中a∶b=1∶2.(1)试用x,y表示S;(2)若要使S最大,则x,y的值各为多少?〖解析〗(1)由题可得,xy=1 800,b=2a,则y=a+b+6=3a+6,S=(x-4)a+(x-6)b=(3x-16)a=(3x-16)=1 832-6x-y(x>6,y>6,xy=1 800).(2)S=1 832-6x-y≤1 832-2=1 832-480=1 352,当且仅当6x=y,xy=1 800,即x=40,y=45时,S取得最大值1 352.课堂检测·素养达标1.若a>0,b>0,且ln(a+b)=0,则+的最小值是( )A. B.1 C.4 D.8〖解析〗选C.由a>0,b>0,ln(a+b)=0,可得所以+=+=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=时等号成立.所以+的最小值为4.2.函数y=3--x(x>0)的最大值为( )A.-1B.1C.-5D.5〖解析〗选 A.因为y=3--x=3-且x>0,故可得y=3-≤3-2=-1.当且仅当x=,即x=2时取得最大值.3.(教材二次开发:习题改编)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.〖解析〗因为直线+=1过点(1,2),所以+=1.因为a>0,b>0,所以2a+b=(2a+b)=4++≥4+2=8,当且仅当b=2a时等号成立.答案:84.已知x,y>0且x+y=1,则p=x++y+的最小值为.〖解析〗x++y+=x++y+=3+≥3+2=5,当且仅当x=y=时等号成立.答案:5。

高中数学第三章不等式3.3.2基本不等式与最大小值课件北师大版必修5

【思路点拨】利用基本不等式时，应按照“一正，二定，三相等”的原则挖掘条件，检查条件是否具备，再利用基本不等式解之．
【解析】 (1)∵x>2，∴x－2>0， ∴x＋x－4 2＝x－2＋x－4 2＋2≥2 x－2·x－4 2＋2＝6，当且仅当 x－2＝x－4 2，即 x＝4 时，等号成立．所以 x＋x－4 2的最小值为 6.
2．基本不等式求最值的条件 (1)x，y 必须是正数． (2)求积 xy 的最大值时，应看和 x＋y 是否为定值；求和 x＋y 的最小值时，应看积 xy 是否为定值． (3)等号成立的条件是否满足．
|自我尝试|
1．已知 x＋y＝1 且 x>0，y>0，则1x＋1y的最小值是( ) A．2 B．3 C．4 D．6
【课标要求】 1.能应用基本不等式解决函数及实际应用问题中的最大(小)值问题. 2.培养学生数学应用意识和数学建模思想．
自主学习基础认识
|新知预习|
1．用基本不等式求最值的结论 (1)设 x，y 为正实数，若 x＋y＝s(和 s 为定值)，则当 x＝y＝2s时，积 xy 有最大值为s42. (2)设 x，y 为正实数，若 xy＝p(积 p 为定值)，则当 x＝y＝ p时，和 x＋y 有最小值为 2 p.
xy 的最大值是( )
1
1
A.4
B.8
C．4 D．.8
解析：因为 x>0，y>0，且 2x＋y＝1，所以 xy＝12×2xy≤122x＋t;0，即 x＝14，y＝12时取等号，此时，xy 的最
大值是18.故选 B.
答案：B
3．已知 x>1，y>1 且 xy＝16，则 log2x·log2y( ) A．有最大值 2 B．等于 4 C．有最小值 3 D．有最大值 4

北师大版高中数学必修5第三章《不等式》一元二次不等式的解法(一)

3或 x 2
时，原函数的值是正数。 3
3）函数值是负数，即x2-4x+1<0，解得：，即，当 {x | 2 3 x 2 3}
2 3 x 2 3 时，原函数的值是负数。
13
课堂练习3. 是什么实数时,
x x 12
2
有意义?
2 解：要想原式有意义，即要使 x x 12 0 ，解这个不等式得：{x|x<-4或x>3} 所以，原式当x<-4或x>3时有意义。
2
准备知识
1、一元一次函数y=ax+b(a≠0）函数图像是一条直线 2、一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 当a>0时图象开口向上；当a<0时图象开口向下； b 4ac b ( 其顶点坐标为 2a , 4a ) ；对称轴为直线 x= -b/2a 。 2.不等式|x|<a的解集是 {x|-a<x<a} ； |x|>a的解集是 {x|x<-a或x>a}。
2
3
探析新课
一、一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系
x y 2 -3 2.5 -2 3 -1 3.5 0 4 1 4.5 2 5 3 y y=2x-7
1、作一元一次函数y=2x-7的图象。它的对应值表与图像如下：
由对应值表与图像可以知道：
当x=3.5时，y__0， = 即2x-7__0； = > 即2x-7__0； > 当x<3.5时，y__0， < 即2x-7__0； < 当x>3.5时，y__0，不等式2x-7>0的解即为 ﹛x|x>3.5﹜ 不等式2x-7<0的解即为 ﹛x|x<3.5﹜

北师大版高中数学必修5《三章不等式 3 基本不等式 3.2基本不等式与最大(小)值》赛课导学案_13

3．2基本不等式与最大(小)值●三维目标1．知识与技能会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题，会用基本不等式解决实际问题．通过探究实例过程，领悟利用不等式求简单的最大(小)值问题所满足的条件．3．情感、态度与价值观通过解题后的反思，逐步培养学生养成解题反思的习惯，培养学生的探索精神．●重点难点重点：用基本不等式解决简单的最值问题．难点：用基本不等式求最值的使用条件．●教学建议在用基本不等式求最值时，要讲清楚使用条件：“一正、二定、三相等”．课本P91例2就是对这三个应用条件的很好的阐释．有些问题看似不符合前面的三个条件，但经过适当的变形又可以转化成运用基本不等式解决如例3中若x<0则需要变形方可利用基本不等式求最值．●教学流程创设问题情境，提出问题：如何通过基本不等式求f(x)＝x(1－x)(0<x<1)的最值？⇒引导学生回答问题，理解利用基本不等式的使用条件“一正二定三相等”，掌握用基本不等式解决最值问题⇒通过例1及变式训练，使学生掌握基本不等式求最值⇒通过例2及互动探究，使学生掌握求有约束条件的最值⇒通过例3及变式训练，使学生掌握基本不等式解决实际问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(对应学生用书第59页)已知函数f(x)＝x(1－x)(0<x<1)，该函数有最大值还是最小值？能否通过基本不等式求它的最值？【提示】最大值；能．∵0<x<1，∴1－x>0，又∵a＋b2≥ab，∴ab≤(a＋b2)2，∴x(1－x)≤(x＋1－x2)2＝14，当且仅当x＝1－x，即x＝12时，f(x)有最大值14.已知x、y都是正数(对应学生用书第59页)(1)已知x >0，求函数y ＝x x 的最小值；(2)已知0<x <13，求函数y ＝x (1－3x )的最大值．【思路探究】 (1)利用分式的性质拆开，构造ax ＋bx 形式，再利用基本不等式；(2)转化为括号内外x 的系数互为相反数即保证和为定值时，再使用基本不等式．【自主解答】 (1)∵y ＝x 2＋5x ＋4x ＝x ＋4x ＋5≥24＋5＝9，当且仅当x ＝4x 即x ＝2时等号成立．故y ＝x 2＋5x ＋4x (x >0)的最小值为9.(2)法一 ∵0<x <13，∴1－3x >0. ∴y ＝x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13[3x ＋（1－3x ）2]2＝112.当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立． ∴当x ＝16时，函数取得最大值112.法二∵0<x<13，∴13－x>0.∴y＝x(1－3x)＝3·x(13－x)≤3·(x＋13－x2)2＝1 12，当且仅当x＝13－x，即x＝16时，等号成立．∴当x＝16时，函数取得最大值112.1．应用基本不等式的条件：“一正、二定、三相等”，在求最值时必须同时具备，解答本题易漏掉等号成立的条件．2．此类题目在命题时常常把获得“定值”条件设计为一个难点，它需要一定的灵活性和技巧性．常用技巧有“拆项”、“添项”、“凑系数”、“常值代换”等．已知x＜54，求函数y＝4x－2＋14x－5的最大值．【解】∵x＜54，∴5－4x＞0，∴y＝4x－2＋14x－5＝4x－5＋14x－5＋3＝－[(5－4x)＋15－4x]＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x即x＝1时等号成立，∴当x＝1时，y max＝1.已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求1a＋1b的最小值．【思路探究】思路一：利用“1”的整体代换求解：即把1a＋1b看作⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b×1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ×(a ＋2b )，化简后利用基本不等式求解．思路二：将式子1a ＋1b 中的1用a ＋2b 代换后，利用基本不等式求解．【自主解答】法一 1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·(a ＋2b ) ＝1＋2b a ＋a b ＋2＝3＋2b a ＋ab ≥3＋22b a ·ab＝3＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝a b a ＋2b ＝1，即⎩⎨⎧a ＝2－1b ＝1－22时等号成立．∴1a ＋1b 的最小值为3＋2 2.法二 1a ＋1b ＝a ＋2b a ＋a ＋2b b ＝1＋2b a ＋ab ＋2 ＝3＋2b a ＋ab ≥3＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝a b a ＋2b ＝1，即⎩⎨⎧a ＝2－1b ＝1－22时，等号成立，∴1a ＋1b 的最小值为3＋2 2.1．本题在解答中要注意使1a ＋1b 取最小值所对应a 、b 的值也要一并解出来． 2．解含有条件的最值问题，常结合要求最值的式子，采用“配”、“凑”的方法，构选成基本不等式的形式，从而得出最值．本例中，如何求ab 的最大值？【解】法一 ab ＝12a ·(2b )≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 22＝18，当且仅当⎩⎨⎧a ＋2b ＝1a ＝2b，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝14时，ab 取得最大值18.法二 ∵a ＋2b ＝1，∴1＝a ＋2b ≥2a ·（2b ），即ab ≤122，∴ab ≤18，当且仅当⎩⎨⎧a ＝2b a ＋2b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝14时，ab 取得最大值18.某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图3－3－3，设池塘所占总面积为S 平方米．图3－3－3(1)试用x 表示S ；(2)当x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值．【思路探究】根据题中变量，认真分析图形，构建函数关系式，利用基本不等式求最值．【自主解答】 (1)由图形知，3a ＋6＝x ， ∴a ＝x －63.S ＝(1 800x －4)·a ＋2a (1 800x －6) ＝a (5 400x －16) ＝x －63(5 400x －16)＝1 832－(10 800x ＋16x3)．即S ＝1 832－(10 800x ＋16x3)(x >0)． (2)由S ＝1 832－(10 800x ＋16x 3)，得S ≤1 832－210 800x ·16x 3＝1 832－2×240＝1 352，当且仅当10 800x ＝16x3时等号成立，此时，x ＝45，即当x 为45米时，S 最大，且S 最大值为1 352平方米．1．根据已知，列出关系式是解答本题的关键．2．利用基本不等式解决实际问题要遵循以下几点：①在理解题意的基础上设变量，确定问题中量与量之间的关系，初步确定用怎样的函数模型；②建立相应的函数解析式，将实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；③在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内，求出函数的最大值或最小值；④回到实际问题中，检验并写出正确答案．北京市有关部门经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (千米/小时)之间的函数关系为y ＝920vv 2＋3v ＋1 600(v ＞0)．(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/小时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【解】 (1)由题意 y ＝920v v 2＋3v ＋1 600＝920（v ＋1 600v ）＋3≤9202v ·1 600v ＋3＝92083，当且仅当v ＝1 600v ，即v ＝40时取等号． ∴y max ＝92083≈11.1(千辆/小时)， ∴当车速v ＝40千米/小时时，车流量最大为11.1千辆/小时． (2)由题意：920vv 2＋3v ＋1 600＞10，整理得v 2－89v ＋1 600＜0，即(v－25)(v－64)＜0，解得25＜v＜64.∴当车辆平均速度大于25千米/小时且小于64千米/小时时，车流量超过10千辆/小时．(对应学生用书第61页)忽视基本不等式的条件致误求函数y＝1－2x－3x的值域．【错解】函数可化为y＝1－(2x＋3 x)．∵2x＋3x≥22x·3x＝2 6.当且仅当2x＝3x，即x＝±62时取等号．∴y＝1－(2x＋3x)≤1－2 6.∴函数的值域为(－∞，1－26]．【错因分析】利用基本不等式求最值时，忽视了各项为正的条件．【防范措施】利用基本不等式求最值时一定注意应用条件“一正、二定、三相等”．【正解】函数可化为y＝1－(2x＋3 x)．①当x>0时，2x＋3x≥22x·3x＝2 6.当且仅当2x＝3x，即x＝62或x＝－62(舍)时等号成立．∴y＝1－(2x＋3x)≤1－2 6.②当x<0时，y＝1＋(－2x)＋(－3 x)．∵－2x＋(－3x)≥2（－2x）·（－3x）＝26，y≥1＋2 6.当且仅当－2x＝－3x时，即x＝62(舍)．若x＝－62时等号成立．∴函数的值域为(－∞，1－26]∪[1＋26，＋∞)．1．利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正二定三相等”，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用基本不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用基本不等式的情境．2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，基本不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到，若取不到，必须利用函数的单调性去求函数的最值．(对应学生用书第61页)1．下列函数中最小值为4的是()A．y＝x＋4 xB．y＝sin x＋4sin x(0＜x＜π)C．y＝3x＋4·3－xD．y＝lg x＋4log x10【解析】A不满足正数，B取不到等号成立，D不满足正数，C正确．【答案】C2．若实数a、b满足a＋b＝2，则2a＋2b的最小值为()A.2B．22C．2D．4【解析】由基本不等式得，2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝4.【答案】 D3．设x ，y ∈N ＋满足x ＋y ＝20，则lg x ＋lg y 的最大值为________．【解析】 ∵x ，y ∈N ＋，∴20＝x ＋y ≥2xy ， ∴xy ≤100，∴lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2，当x ＝y ＝10时取“＝”．【答案】 24．已知x ＞0，y ＞0，且满足8x ＋1y ＝1.求x ＋2y 的最小值．【解】 x ＞0，y ＞0，8x ＋1y ＝1， ∴x ＋2y ＝(8x ＋1y )(x ＋2y )＝10＋x y ＋16yx ≥10＋2x y ·16yx ＝18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋1y ＝1，x y ＝16y x ，即⎩⎨⎧x ＝12y ＝3时，等号成立，故当x ＝12，y ＝3时，(x ＋2y )min ＝18.(对应学生用书第113页)一、选择题 1．若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是( ) A ．2 B ．a C.2aa －1D ．3 【解析】 a ＞1，∴a －1＞0，∴a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2（a －1）·1a －1＋1＝3.【答案】 D2．设x ＞0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( ) A ．3 B ．－3 2 C ．3－2 3 D ．－1【解析】 ∵x ＞0，∴y ＝3－(3x ＋1x )≤3－23x ·1x ＝3－2 3.当且仅当3x ＝1x ，且x ＞0，即x ＝33时，等号成立．【答案】 C3．(2013·鹤岗高二检测)若x ＞0，y ＞0，且1x ＋4y ＝1，则x ＋y 的最小值是( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12【解析】 x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝1＋y x ＋4x y ＋4 ＝5＋y x ＋4xy ≥5＋2y x ·4xy ＝5＋4＝9.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋4y ＝1y x ＝4x y ，即⎩⎨⎧x ＝3y ＝6时等号成立，故x ＋y 的最小值为9.【答案】 C4．要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为( )A ．50B ．25 3C ．50 3D ．100【解析】设矩形的长和宽分别为x 、y ，则x 2＋y 2＝100. 于是S ＝xy ≤x 2＋y 22＝50，当且仅当x ＝y 时等号成立．【答案】 A5．(2013·宿州高二检测)若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b 的最小值是( ) A.14 B ．1 C ．4 D ．8【解析】由a >0，b >0，ln(a ＋b )＝0，得⎩⎨⎧a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．【答案】 C 二、填空题6．(2013·广州高二检测)若x >0，则x ＋2x 的最小值是________．【解析】 x ＋2x ≥2x ·2x ＝22，当且仅当x ＝2时，等号成立．【答案】 2 27．(2013·南京高二检测)若log m n ＝－1，则3n ＋m 的最小值是________．【解析】 ∵log m n ＝－1， ∴mn ＝1且m >0，n >0，m ≠1. ∴3n ＋m ≥23mn ＝2 3.当且仅当3n ＝m 即n ＝33，m ＝3时等号成立．【答案】 2 38．函数y ＝log 2x ＋log x (2x )的值域是________．【解析】 y ＝log 2x ＋log x 2＋1.由|log 2x ＋log x 2|＝|log 2x |＋|log x 2|≥2|log 2x |·|log x 2|＝2，得log 2x ＋log x 2≥ 2或log 2x ＋log x 2≤ －2， ∴y ≥ 3或y ≤ －1.【答案】 (－∞ ，－1]∪ [3，＋∞ ) 三、解答题9．当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值．【解】 y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－(3－2x 2＋83－2x )＋32，∵当x <32时，3－2x >0， ∴3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2 ·83－2x ＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数有最大值－52.10．已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是多少？【解】法一 ∵x ＋2y ＋2xy ＝8， ∴y ＝8－x 2x ＋2＞0，∴0＜x ＜8.∴x ＋2y ＝x ＋2·8－x2x ＋2＝(x ＋1)＋9x ＋1－2≥2（x ＋1）·9x ＋1－2＝4.当且仅当x ＋1＝9x ＋1时“＝”成立，此时x ＝2，y ＝1.法二 ∵x ＞0，y ＞0，∴8＝x ＋2y ＋2xy ＝x ＋2y ＋x ·2y ≤x ＋2y ＋(x ＋2y 2)2，即(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0， ∴[(x ＋2y )＋8][(x ＋2y )－4]≥0， ∴x ＋2y ≥4，当且仅当x ＝2y 时取等号．由x ＝2y 且x ＋2y ＋2xy ＝8，得x ＝2，y ＝1，此时x ＋2y 有最小值4. 11．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了旧城拆建工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x ＋784x ＋3－118(千元)，其中x 表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)【解】设城建公司获得的附加效益为y 千元，由题意得 y ＝2x －(6x ＋784x ＋3－118)＝118－(4x ＋784x ＋3) ＝118－[4(x ＋3)＋784x ＋3－12] ＝130－[4(x ＋3)＋784x ＋3] ≤130－24（x ＋3）·784x ＋3＝130－112＝18(千元)，当且仅当4(x ＋3)＝784x ＋3，即x ＝11时取等号．所以提前11天，能使公司获得最大附加效益．(教师用书独具)某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．【思路探究】审题、理解题意―→ 建立相应的函数解析式，标出定义域―→ 在定义域内求出函数的最小值―→ 回到实际问题，检验作答【自主解答】设该厂x (x ∈N ＋)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 1元．∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，∴x 天饲料的保管与其他费用共是6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6＝3x 2－3x (元)．从而有y 1＝1x (3x 2－3x ＋300)＋200×1.8 ＝300x ＋3x ＋357≥417.当且仅当300x ＝3x ，即x ＝10时，y 1有最小值．即10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．利用基本不等式解决实际问题的一般思路如下：(1)在理解题意的基础上设变量，确定问题中量与量间的关系，初步确立用怎样的函数模型．(2)建立相应的函数解析式，将实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内，求出函数的最大值或最小值．(4)回到实际问题中，检验并写出正确答案．从等腰直角三角形纸片ABC 上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC ＝2，∠A ＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________．【解析】设两个正方形边长分别为a ，b ，则由题可得a ＋b ＝1，且13≤a ，b ≤23，S ＝a 2＋b 2≥2×(a ＋b 2)2＝12，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．【答案】错误!。

《基本不等式》教学设计

微课《基本不等式》（第一课时）教案设计北师大版高中数学必修5第三章一、教学目标1．通过实例，引导学生利用数形结合的思想从几何图形中获得重要不等式的内容，从而得到基本不等式。

2．进一步完善基本不等式等号成立的条件，并从圆中给出不等式的几何证明，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；3．运用基本不等式进行证明，强化学生应用的能力。

以上教学目标结合教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节．二、教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式。

难点：在几何图形中抽象出基本不等式，并理解基本不等式．三、教学过程：1．实例探究：如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图体现了最早的数形结合的思想．在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为，设正方形的面积为S ，四个全等的直角三角形的面积为S ’。

问1：正方形的面积S 是多少？问2：四个全等的直角三角形的面积S ’是多少？问3: S 与S ’有怎样的关系？2.积极思考：若直角三角形的直角顶点合为一点即正方形中心时S 与S ’又有怎样的关系．（等号成立的条件）于是，得到重要不等式当且仅当a=b 时等号成立。

同时解释“当且仅当”的含义。

3.启发引导：若将重要不等式中的2a 与2b 用a 和b 代换会用怎样的结论？通过学生动手操作，探索发现基本不等式的内容：若22,,2a b R a b ab ??，则2a b +³a=b 时等号成立）。

4知识点强化：关于基本不等式的三点说明：I ：两数a ,b 必须为正数；II ：2a b +³III: “=”成立的条件。

通过教师演示几何画板，展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善基本不等式的理论：3.对基本不等式的三点总结：（1）圆的半径大于等于半弦；（2）两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数；（3）两个正数的等差中项不小于它们的几何平均数。

高中数学第三章不等式 3.3.1 基本不等式课件北师大版必修5

§3 基本不等式
3.1 基本不等式
学习目标
1.掌握基本不等式及其推导方法. 2.理解基本不等式的几何意义及其等号成立的条件. 3.能利用基本不等式证明不等式.
思维脉络
基本不等式 (1)概念:如果 a,b 都是非负数,那么��+2�� ≥ ��,当且仅当 a=b 时,等号成立.我们称上述不等式为基本不等式,其中��+2��称为 a,b 的算术平均数, ��称为 a,b 的几何平均数,因此,基本不等式又称为均值不等式. (2)文字叙述:两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数. (3)意义:
lg��·lg��;
(4)若
a,b∈(0,+∞),则1��
+
1 ��
>
2��.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)正确.在基本不等式��+2�� ≥ ��中,将 a,b 分别用 a4,b4 代换, 且 a4≥0,b4≥0,
解析:①③错,都忽视了利用基本不等式时每一项必须非负这一
条件;
②正确,若 x<0,则 x+4��=- (-��) +
-
4 ��
≤-2
(-��)·
-
4 ��
=-4,当且仅当
-x=-4��,即 x=-2 时,等号成立;
④错,当 ��2 + 2 = ��21+2时,x2+2=1,x2=-1(不成立).故正确的是②.

3.3.1基本不等式课件ppt(2013-2014年北师大版必修五)

a＋b 基本不等式 ab≤ (a>0，b>0)；在应用时要注意 2 a>0，b>0 必须同时成立，当且仅当 a＝b 时取等号；若不具备这条件，必须通过变形使其满足 a>0，b>0.
课前探究学习
课堂讲练互动
课前探究学习课堂讲练互动
法二
1 令 a＝b＝，则 a＋b＝1， 2
2 2
1 1 1 1 1 1 2 ab＝1，a ＋b ＝，2ab＝2× × ＝，再令 a＝，b＝，a＋ 2 2 2 2 2 8 1 1 5 b＝＋＝，2 ab＝2 2 8 8 ∴a＋b 最大． 1 1 1 × ＝， 2 8 2
【题后反思】当已知条件中有一个多项式的和为1时，要注意“1”的代换，这种方法体现了换元的思想，通过换元可以化繁为简，化难为易，将未知变为已知，使思路豁然开朗．
课前探究学习
课堂讲练互动
a b 已知 a＞0，b＞0，x＞0，y＞0，＋＝1，【训练3】 x y 求证：x＋y≥( a＋ b)2. a b a b 证明法一 ∵1＝＋，∴x＋y＝(x＋y) ＋ x y x y
b a (3) ＋ ≥2(ab＞0) a b a＋b (4) ≤ ab≤ ≤ 1 1 2 ＋ a b 2 a2＋b2 (a，b∈R＋ )． 2
课前探究学习课堂讲练互动
题型一
利用基本不等式比较大小
2, 则 a2 【例1】已知 0＜a＜1,0＜b＜1， a＋b,2 ab，＋b 2ab 中哪一
个最大？
课前探究学习
课堂讲练互动
名师点睛
1．对于概念的理解 (1)基本不等式成立的条件：a＞0 且 b＞0；其中等号成立的条 a＋b 件：当且仅当 a＝b 时取等号，即若 a≠b 时，则 ab≠ ， 2 a＋b 即只能有 ab＜ . 2 a＋b (2)基本不等式 ab≤ (a＞0，b＞0)又称为均值不等式，其 2 a＋b 中叫做 a，b 的算术平均数， ab叫做 a，b 的几何平均数， 2 因此两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

高中数学第三章不等式 3.1 基本不等式 3.1.2 比较大小教案北师大版必修5-北师大版高二

word1 / 1 比较大小本节教材分析教材首先给出了不等式的主要性质，这是比较大小的依据，也是应用不式解决问题的最基本的保障.几个例子分别体现了不等式性质的应用，思考交流的第2题与练习中的第2题，尽管表现形式截然不同，但就其本质上来说是一致的.三维目标1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.教学重点：掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；教学难点: 利用不等式的性质证明简单的不等式。

教学建议：1. 教学中，教师应做好点拨，利用数轴这一简单的数形结合工具，做好归纳总结.2. 通过举例引导学生归纳出比较大小的方法与步骤.3. 课堂上应根据实际具体情况，选择设计出最能体现教学规律的教学过程，不宜长期使用一种固定的教学方法.4. 设计教案时要注重难度的控制，不等式内容广泛，教学时知识应拓宽，但难度不能太大.5. 教学设计应注意学生思维能力的训练和培养.新课导入设计导入一:[情景导入]在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。

请同学们回忆初中不等式的的基本性质。

（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；即若a b a c b c >⇒±>±（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；即若,0a b c ac bc >>⇒>（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。

即若,0a b c ac bc ><⇒<然后导入新课.导入二：[类比导入]等式具有许多性质，其中有：在等式两边都加上、或都减去，或都程以，或都除以（除数不为零）同一个数，所得的依旧是等式.我们自然会联想到，不等式是否也会有此同样的性质呢？学生会进一步探究验证这个联想，由此而展开新课.。

《基本不等式》示范公开课教学PPT课件【高中数学必修5(北师大版)】

OcB
随堂练习
结论：（1） 2 11 ab
ab a b 2
a2 b2 2
2 ab (a b)2
2
3 ab a2 b2
2
随堂练习
例 2 已知 x，y 都是正数，求证：
(1) y x 2 xy
(2) (x＋y)(x2＋y2 )(x3＋y3 ) 8x3 y3
证明：(1)∵x，y 都是正数，
CD AB交圆 O 上半圆于点 D ，过点 C 作
A
CE OD 交 OD 于点 E
在 RtOCD 中，由射影定理知 DC2 DE OD
即： DE DC 2 ab 2 OD a b 1 1 2 ab
由于 DC DE 得 ab 2 ，当且仅当 a b 时，等号成立 11 ab
D
E
北师大版·统编教材高中数学必修5
第三单元·不等式
基本不等式
新课学习
1.勾股定理的背景及推导
赵爽弦图引导学生从赵爽弦图中各图形的面积关系得到勾股定理，了解勾股定理的背景。
新课学习
2.(1)问题探究——探究赵爽弦图中的不等关系
如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标，比较 4 个直角三角形的面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的不等式？
新课学习
不等式： a2 b2 2ab ,当直角三角形变为等腰直角三角形，即正方形 EFGH 缩为一个点时，有 a2 b2 =2ab
新课学习
（2）总结结论：一般的，如 a,b R,那么a2 b2 2ab当且仅当a b时“=”成立
（3）推理证明：作差法。
新课学习
重要不等式：如果 a、b∈R，那么 a2 b2 2ab （当且仅当 a＝b 时取“＝”号）
∴ x 0, y 0. y x 2 y x 2 ，即 y x 2

高中数学3.3基本不等式第1课时练习北师大版必修5

第三章 §3 第1课时一、选择题1．下列函数中，最小值为2的是( )A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝sinx ＋1sinx ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2C ．y ＝x2＋3x2＋2D ．y ＝x ＋1x[答案] D[解析] A 中，不满足正数这一条件；B 中，∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sinx ∈(0,1)，∴等号不成立；C 中，y ＝x2＋3x2＋2＝x2＋2＋1x2＋2＝x2＋2＋1x2＋2，当x2＋2＝1x2＋2时，x2＋2＝1，x2＝－1(不成立)；D 中x>0，y ＝x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，取最小值2.故选D ． 2．设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为() A ．8 B ．4 C ．1 D ．14[答案] B[解析] 由已知，得3a·3b ＝3，∴3a ＋b ＝3，∴a ＋b ＝1. ∵a>0，b>0，∴1a ＋1b ＝(1a ＋1b )(a ＋b)＝2＋b a ＋a b ≥2＋b a ·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．3．若x>4，则函数y ＝x ＋1x －4( )A ．有最大值－6B ．有最小值6C ．有最大值－2D ．有最小值2[答案] B[解析] ∵x>4，∴x －4>0，∴y ＝x －4＋1x －4＋4≥2x －4·1x －4＋4＝6. 当且仅当x －4＝1x －4，即x －4＝1，x ＝5时，取等号． 4．若a>b>1，P ＝lga·lgb ，Q ＝12(lg a ＋lg b)，R ＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，则( ) A ．R<P<Q B ．P<Q<RC ．Q<P<RD ．P<R<Q[答案] B[解析] 由a ＞b ＞1，得lga ＞lgb ＞0，Q ＝12(lga ＋lgb)＞lga·lgb ＝P ，R ＝lg(a ＋b 2)＞lg ab ＝12(lga ＋lgb)＝Q ，∴R ＞Q ＞P .5．设正数x ，y 满足x ＋4y ＝40，则lgx ＋lgy 的最大值是( )A ．40B ．10C ．4D ．2[答案] D[解析] ∵x ＋4y≥2x·4y ＝4xy ，∴xy ≤x ＋4y 4＝404＝10，当且仅当x ＝4y 即x ＝20，y ＝5时取“＝”，∴xy≤100，即(xy)max ＝100，∴lgx ＋lgy ＝lg(xy)的最大值为lg100＝2.故选D ．6．某工厂第一年产量为A ，第二年的增长率为a, 第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( )A ．x ＝a ＋b 2B ．x≤a ＋b 2C ．x ＞a ＋b 2D ．x≥a ＋b 2[答案] B[解析] ∵这两年的平均增长率为x ，∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由题设a ＞0，b ＞0.∴1＋x ＝1＋a 1＋b ≤1＋a ＋1＋b 2＝1＋a ＋b 2，∴x≤a ＋b 2.等号在1＋a ＝1＋b 即a ＝b 时成立．二、填空题7．若x<0，则y ＝2＋2x ＋4x 的最大值是________．[答案] －3 2[解析] y ＝2－(－2x －4x ) ≤2－2－2x ·－4x ＝2－28＝2－42＝－3 2.当且仅当－2x ＝－4x ，即x ＝－2时取等号．8．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．[答案] 3[解析] ∵x>0，y>0，且1＝x 3＋y 4≥2xy12，∴xy≤3，当且仅当x 3＝y 4，即x ＝32，y ＝2时，等号成立．三、解答题9．(1)若x>0，y>0，且lgx ＋lgy ＝2，求5x ＋2y 的最小值；(2)已知x>1，y>1，且lgx ＋lgy ＝2，求lgx·lgy 的最大值；(3)已知x>1，求y ＝x2x －1的最小值． [解析] (1)∵lgx ＋lgy ＝2，∴lgxy ＝2，∴xy ＝100，又∵5x ＋2y≥210xy ＝21000＝2010，当且仅当5x ＝2y ，即x ＝210，y ＝510时，5x ＋2y 取得最小值2010.(2)∵x>1，y>1，∴lgx>0，lgy>0，∴lgx·lgy≤(lgx ＋lgy 2)2，∴lgx·lgy≤1，即lgx·lgy 的最大值为1.当且仅当lgx ＝lgy ，即x ＝y ＝10时，等号成立．(3)y ＝x2x －1＝x2－1＋1x －1＝x ＋1＋1x －1＝x －1＋1x －1＋2≥2＋2＝4，当且仅当1x －1＝x －1，即(x －1)2＝1时，等式成立，∵x>1，∴当x ＝2时，ymin ＝4.10．(1)求函数y ＝1x －3＋x(x>3)的最小值． (2)设x>0，求y ＝2－x －4x 的最大值．[解析] y ＝1x －3＋x ＝1x －3＋(x －3)＋3， ∵x>3，∴x －3>0，∴1x －3＋(x －3)≥21x －3x －3＝2，当且仅当1x －3＝x －3，即x －3＝1，x ＝4时，等号成立． ∴当x ＝4时，函数y ＝1x －3＋x(x>3)取最小值2＋3＝5.(2)∵x>0，∴x ＋4x ≥2x·4x ＝4，∴y ＝2－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≤2－4＝－2.当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时等号成立，y 取最大值－2.一、选择题1．如果a ，b 满足0<a<b ，a ＋b ＝1，则12，b,2ab ，a2＋b2中值最大的是( )A ．12B ．aC ．2abD ．a2＋b2[答案] D[解析] 解法一：∵0<a<b ，∴1＝a ＋b>2a ，∴a<12，又a2＋b2≥2ab ，∴最大数必然不是a 和2ab ，又a2＋b2＝(a ＋b)2－2ab ＝1－2ab ， ∵1＝a ＋b>2ab ，∴ab<14，∴1－2ab>1－12＝12，即a2＋b2>12.解法二：特值检验法：取a ＝13，b ＝23，则2ab ＝49，a2＋b2＝59，∵59>12>49>13，∴a2＋b2最大．2．设x ＋3y ＝2，则函数z ＝3x ＋27y 的最小值是( )A ．23B ．2 2C ．3D ．6[答案] D[解析] z ＝3x ＋27y≥23x·33y＝23x ＋3y ＝6，当且仅当x ＝2y ＝1，即x ＝1，y ＝13时，z ＝3x ＋27y 取最小值6.3．设a ，b 为正数，若5是5a 与5b 的等比中项，则3a ＋2b 的最小值为( )A ．5B ．2C ．5＋26D ．3＋2 5 [答案] C[解析] 5a·5b ＝5，∴a ＋b ＝1，(3a ＋2b )(a ＋b)＝3＋2＋3b a ＋2a b ≥5＋2 6.故选C ．4．设a 、b ∈R ＋，若a ＋b ＝2，则1a ＋1b 的最小值等于( )A ．1B ．3C ．2D ．4[答案] C[解析] 1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b) ＝1＋12⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥2，等号在a ＝b ＝1时成立．二、填空题5．周长为l 的矩形对角线长的最小值为________．[答案] 24l[解析] 设矩形长为a ，宽为b ，则a ＋b ＝l 2，∵(a ＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2a2＋2b2，∴a2＋b2≥a ＋b 22， ∴对角线长a2＋b2≥a ＋b 22＝24l. 当且仅当a ＝b 时，取“＝”．6．若a>0，b>0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是__________(写出所有正确命题的编号)．①ab≤1； ②a ＋b ≤2； ③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3； ⑤1a ＋1b ≥2.[答案] ①③⑤[解析] ①ab≤(a ＋b 2)2＝(22)2＝1，成立．②欲证a ＋b ≤2，即证a ＋b ＋2ab ≤2，即2ab ≤0，显然不成立．③欲证a2＋b2＝(a ＋b)2－2ab≥2，即证4－2ab≥2，即ab≤1，由①知成立．④a3＋b3＝(a ＋b)(a2－ab ＋b2)≥3⇔a2－ab ＋b2≥32⇔(a ＋b)2－3ab≥32⇔4－32≥3ab ⇔ab≤56，由①知，ab≤56不恒成立．⑤欲证1a ＋1b ≥2，即证a ＋b ab ≥2，即证ab≤1，由①知成立．三、解答题7．已知x>0，y>0，lgx ＋lgy ＝1，求2x ＋5y 的最小值．[解析] 方式一：由已知条件lgx ＋lgy ＝1可得：x>0，y>0，且xy ＝10.则2x ＋5y ＝2y ＋5x 10≥210xy10＝2，所以⎝⎛⎭⎫2x ＋5y min ＝2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2y ＝5x xy ＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝5时等号成立．方式二：由已知条件lgx ＋lgy ＝1可得：x>0，y>0，且xy ＝10，2x ＋5y ≥22x ·5y ＝21010＝2(当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝5y xy ＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝5时取等号)．所以(2x ＋5y )min ＝2.8．某商场预计全年分批购入每台2 000元的电视机共3 600台，每批都购入x 台(x 是正整数)，且每批均需运费400元，储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比．若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43 600元．现在全年只有24 000元资金可以付出这笔费用，请问：能否恰当放置每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．[解析] 设全年需用去的运费和保管费的总费用为y 元，题中比例系数为k ，每批购入x 台，则共需分3 600x 批，每批费用为2 000x 元．由题意得y ＝3 600x ×400＋k·2 000x.由x ＝400时，有y ＝43 600得k ＝5100＝120，所以y ＝3 600x ×400＋100x≥2 3 600x ×400×100x ＝24 000(元)．当且仅当3 600x ×400＝100x ，即x ＝120时，等号成立．故只需每批购入120台，可以使资金够用．。