菱形6
菱形正方形长方形平行四边形 的特征
菱形正方形长方形平行四边形的特征一、菱形的特征菱形是一种四边形，它的四条边都相等且相互平行，同时它的对角线相互垂直且长度相等。
菱形的四个内角都是直角，即每个内角为90度。
菱形的特点使得它在几何学中具有重要的地位。
它具有对称性，即通过菱形的对角线可以将它分为两个完全相同的部分。
这种对称性在很多应用中都有着重要的作用。
二、正方形的特征正方形是一种特殊的菱形，它的四条边都相等且相互平行，同时它的四个内角都是直角。
正方形具有对称性和等边性，它的每个内角为90度，每条边的长度也相等。
正方形在日常生活中非常常见，例如我们常见的围棋棋盘、象棋棋盘、西洋棋棋盘等都是正方形的形状。
此外，在建筑中，很多房屋的平面图都是正方形或由多个正方形组成的。
三、长方形的特征长方形是一种特殊的平行四边形，它的两条对边相等且相互平行，同时它的四个内角都是直角。
长方形具有对称性和等边性，它的每个内角为90度，两条相对的边长度不同。
长方形在我们的日常生活中随处可见，例如书本的封面、电视机的屏幕、门窗的形状等都是长方形。
在建筑中，很多房屋的平面图都是长方形，例如我们常见的矩形房屋。
四、平行四边形的特征平行四边形是一种四边形，它的两对边分别相等且相互平行。
平行四边形的两对对边分别平行且相等，而且它的内角之和为360度。
平行四边形在我们的日常生活中也非常常见，例如书桌的形状、电视机架的形状、图画的边框等都是平行四边形的形状。
在建筑中，很多建筑物的地面、墙面等都是由平行四边形组成的。
五、菱形、正方形、长方形和平行四边形的应用菱形、正方形、长方形和平行四边形在我们的生活中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，很多房屋的平面图都可以使用这些形状来描述。
在城市规划中，很多道路、街区等也是由这些形状组成的。
在工业生产中，很多产品的形状也可以使用这些形状来描述。
例如电视机、电脑显示屏等产品的外形常常是正方形或长方形的。
在艺术设计中，这些形状也常常被用来构图和设计。
6菱形及性质
菱形概念及性质强立新教学目的：1．掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．2．理解并掌握菱形的定义及性质1、2；会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积．3．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．4．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想．二、重点、难点重点：菱形的性质1、2．难点：菱形的性质及菱形知识的综合应用三、考点分析：在近几年的中考中，四边形与三角形占有很大的比重，常以中等难度的题型出现，题型也比较活。
而菱形这部分内容，更是四边形中重要的一环，主要考查菱形的判定和性质。
教学过程一、复习创情导入我们已经学习了矩形的性质：性质有：定理1，矩形的四个角都是直角；定理2，矩形的对角线相等；推论，直角三角形斜边的中线是斜边的一半。
其中矩形的判定方法有：定义：有一个角是直角平行四边形定理1：三个角是直角的四边形定理2：对角线相等的平行四边形二课堂引入1．（复习）什么叫做平行四边形？什么叫矩形？平行四边形和矩形之间的关系是什么？2．（引入）我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，请看演示：（可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示）如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念．菱形也是特殊的平行四边形，当平行四边形的两个邻边发生变化时，即当两个邻边相等时，平行四边形变成了菱形知识点一：菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．知识点二：菱形的性质要点诠释：菱形具有平行四边形一切性质，此外，它还具有如下特殊性质：1.菱形的四条边相等。
2.菱形的两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。
平行四边形的面积法则适用于求菱形的面积。
菱形的面积=两条对角线的乘积的一半。
说明：要判定四边形是菱形的方法：法一：先证出四边形是平行四边形，再证出有一组邻边相等。
（这是定义证明）。
法二：先证出四边形是平行四边形，再证出对角线互相垂直。
菱形面积公式
菱形面积公式菱形是一个四边形，其特点是四条边相等且相交处形成四个直角。
我们可以使用菱形的对角线来计算其面积。
菱形的面积公式如下：面积 = (对角线1 × 对角线2) ÷ 2对角线是连接菱形相对顶点的线段。
菱形的对角线分为主对角线和次对角线，主对角线是连接两对相对顶点的线段，次对角线是连接剩下两个相对顶点的线段。
要计算菱形的面积，首先需要确定对角线的长度。
然后，将两条对角线的长度相乘，并除以2，最后得到的结果就是菱形的面积。
例如，假设菱形的主对角线长度为10厘米，次对角线长度为6厘米。
按照公式计算，菱形的面积为(10 × 6) ÷ 2 = 30平方厘米。
利用这个面积公式，我们可以解决一些与菱形面积有关的问题。
以下是一些例子：例1：已知菱形的主对角线长度为12厘米，次对角线长度为8厘米。
计算菱形的面积。
解：根据面积公式，菱形的面积等于(12 × 8) ÷ 2 = 48平方厘米。
例2：已知菱形的面积为36平方米，主对角线长度为12米。
求菱形的次对角线长度。
解：设次对角线长度为x米。
根据面积公式，36 = (12 × x) ÷ 2。
化简方程，得到x = (36 × 2) ÷ 12 = 6米。
通过这些例子，我们可以看到菱形面积公式的应用。
只要我们知道对角线的长度，就可以轻松计算菱形的面积。
记住，在计算面积时，确保对角线的单位一致。
如果对角线的长度是以厘米为单位，那么面积也应该以平方厘米为单位。
同时，我们还可以根据菱形的性质来计算面积。
菱形可以被划分为两个相等的直角三角形。
这意味着我们可以使用三角形的面积公式来计算菱形的面积。
菱形的面积公式如下：面积 = (对角线1 × 对角线2) ÷ 2这是一种简单而实用的方法，可以帮助我们计算菱形的面积。
无论是使用对角线还是三角形的方法，都可以得到正确的答案，取决于我们更喜欢使用哪种方法。
数学菱形教案【优秀6篇】
数学菱形教案【优秀6篇】作为一位优秀的人民教师，时常会需要准备好教案，教案是教材及大纲与课堂教学的纽带和桥梁。
我们应该怎么写教案呢？下面是为大伙儿带来的6篇《数学菱形教案》，可以帮助到您，就是最大的乐趣哦。
数学菱形教案篇一一、教学目的：1.理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；2.在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力。
二、重点、难点1.教学重点：菱形的两个判定方法。
2.教学难点：判定方法的证明方法及运用。
三、例题的意图分析本节课安排了两个例题，其中例1是教材P109的例3，例2是一道补充的题目，这两个题目都是菱形判定方法的直接的运用，主要目的是能让学生掌握菱形的判定方法，并会用这些判定方法进行有关的论证和计算。
这些题目的推理都比较简单，学生掌握起来不会有什么困难，可以让学生自己去完成。
程度好一些的班级，可以选讲例3.四、课堂引入1.复习(1)菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形；(2)菱形的性质1菱形的四条边都相等；性质2菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；(3)运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？(判定：2个条件)2.【问题】要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？3.【探究】(教材P109的探究)用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形。
转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？通过演示，容易得到：菱形判定方法1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
注意此方法包括两个条件：(1)是一个平行四边形；(2)两条对角线互相垂直。
通过教材P109下面菱形的作图，可以得到从一般四边形直接判定菱形的方法：菱形判定方法2 四边都相等的四边形是菱形。
数学菱形教案篇二重难点分析本节的重点是菱形的性质和判定定理。
菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。
小学数学六年级上册--菱形的周长练习题
小学数学六年级上册--菱形的周长练习题1. 练题1菱形的周长是多少？答案：菱形的周长等于四倍菱形的边长。
2. 练题2已知菱形的一条边长为8cm，求菱形的周长。
答案：菱形的周长等于4乘以边长，所以菱形的周长为4乘以8，即32cm。
3. 练题3已知菱形的周长为24cm，求菱形的边长。
答案：设菱形的边长为x，根据题意，菱形的周长等于四倍边长，所以有4x=24。
解方程得到x=6，所以菱形的边长为6cm。
4. 练题4菱形的周长是20cm，求菱形的面积。
答案：已知菱形的周长等于四倍菱形的边长，所以菱形的边长为20除以4，即5cm。
菱形的面积等于边长乘以高，而菱形的对角线互相垂直且相等，所以可以通过对角线算出菱形的高。
根据勾股定理，菱形的对角线的一半的平方等于边长的一半的平方加上高的平方。
设菱形的高为h，根据题意，(5/2)^2=(5/2)^2+h^2，解方程得到h=3。
所以菱形的面积等于边长乘以高的一半，即5乘以3除以2，即7.5平方厘米。
5. 练题5已知菱形的周长为36cm，求菱形的面积。
答案：根据题意，菱形的周长等于四倍菱形的边长，所以菱形的边长为36除以4，即9cm。
菱形的面积等于边长乘以高的一半。
由于没有给出菱形的高，无法计算出菱形的面积。
6. 练题6菱形的边长是7cm，求菱形的周长和面积。
答案：菱形的周长等于4乘以边长，所以菱形的周长为4乘以7，即28cm。
菱形的面积等于边长乘以高的一半。
由于没有给出菱形的高，无法计算出菱形的面积。
7. 练题7菱形的周长是32cm，菱形的一条对角线的长度是12cm，求菱形的面积。
答案：根据题意，菱形的周长等于四倍菱形的边长，所以菱形的边长为32除以4，即8cm。
菱形的面积等于边长乘以高的一半。
由于菱形的对角线互相垂直且相等，可以通过对角线计算出菱形的高。
设菱形的对角线长度为d，边长为a，高为h，根据勾股定理，d的一半的平方等于a的一半的平方加上h的平方。
所以(12/2)^2=(8/2)^2+h^2，解方程得到h=4。
九年级数学菱形的性质与判定
第一章特殊平行四边形第一节菱形的性质与判定一、什么是菱形菱形是一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 强调两部分：一是菱形是平行四边形二是菱形一组邻边相等二、菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质三、一般平行四边形的性质有：对边相等且互相平行，对角相等，对角线互相平分四、菱形的性质：菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，两条对称轴互相垂直。
也就是他的两条对角线互相垂直。
五、菱形的两条定理：菱形的四条边相等菱形的对角线互相垂直。
六、定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形四边相等的四边形是菱形课后练习：1、四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB=5，AO=4，求BD的长。
解答：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ， ∴AC ⊥BD ，DO=BO ，∵AB=5，AO=4，∴BO=3452222=-=-AO AB∴BD=2BO=2×3=6.2、在菱形ABCD 中，∠BAD=2∠B ，试求出∠B 的度数，并说明△ABC 是等边三角形。
解答：在菱形ABCD 中，∠B+∠BAD=180∘.又∵∠BAD=2∠B ，∴∠B=60∘.∴△ABC 是等边三角形。
3、如图，在菱形ABCD 中，BD=6，AC=8，求菱形的周长。
解答：在菱形ABCD 中，BD=6，AC=8，∴OA=21AC=4,OB=21BD=3，AC ⊥BD ，∴AB=5342222=+=+OB OA∴菱形的周长为：4×5=20.4、已知，如图在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，求证：AC 平分∠BAD 和∠BCD ，BD 平分∠ABC 和∠ADC.解答：证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=AB=DC=BC ，∠ADC=∠ABC ，在△ADC 和△ABC 中，∵AD=DC∠ADC=∠ABCAB=BC ，∴△ADC≌△ABC，∴AC平分∠BAD和∠BCD，同理：△DAB≌△DCB，所以BD平分∠ABC和∠ADC.5、如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,图中有多少个等腰三角形和直角三角形？解答：∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD=BC=DC∴△ABD、△ABC、△ADC、△BCD均是等腰三角形，∵AC⊥BD∴△DOA、△AOB、△COB、△COD均是直角三角形故图中的等腰三角形有：△ABD、△ABC、△ADC、△BCD，共4个；直角三角形有：△DOA、△AOB、△COB、△COD，共4个。
菱形的判定6种方法
菱形的判定6种方法
菱形是一种常见的几何形状，它有许多应用，比如在数学中用于判定某些条件是否成立。
下面我们来介绍一下菱形的判定方法。
1. 对角线相等法：如果一个四边形的对角线相等，那么它就是一个菱形。
这是最基本的判定方法。
2. 边长相等法：如果一个四边形的四条边相等，那么它就是一个菱形。
这个方法比较容易理解，但是实际应用中不太常见。
3. 顶角相等法：如果一个四边形的相邻两个顶角相等，那么它就是一个菱形。
这个方法也比较容易理解，但是需要注意的是，只有相邻的两个顶角相等才行。
4. 垂直平分线相等法：如果一个四边形的对角线互相垂直，并且它们的交点处的两条垂直平分线相等，那么它就是一个菱形。
这个方法比较复杂，需要一定的几何知识。
5. 对角线平分线相等法：如果一个四边形的对角线互相平分，并且它们的交点处的两条对角线平分线相等，那么它就是一个菱形。
这个方法也比较复杂，需要一定的几何知识。
6. 内角相等法：如果一个四边形的内角都相等，那么它就是一个菱形。
这个方法比较特殊，只有在某些特殊情况下才能使用。
以上就是菱形的六种判定方法，它们各有优缺点，可以根据实际情况选择合适的方法。
在实际应用中，我们通常会结合多种方法来判定一个四边形是否为菱形，以提高判定的准确性。
判定菱形的6种方法
判定菱形的6种方法
嘿，咱今儿个就来讲讲判定菱形的6 种方法呀！你可别小瞧这菱形，它在数学的世界里那可是有着独特地位的呢！
第一种方法，那就是一组邻边相等的平行四边形就是菱形啦。
你想
想看，平行四边形本来就有它自己的特点，这再来个一组邻边相等，
可不就成菱形了嘛，就好像一个普通人突然有了个特别厉害的技能，
一下子就脱颖而出啦！
第二种呢，四条边都相等的四边形。
这就好比是一个团队，每个成
员都一样优秀，那这个团队肯定不一般呀，这样的四边形就是菱形咯！
第三种，对角线互相垂直的平行四边形。
这就好像是两个人互相扶
持又互相制约，达到一种平衡的状态，这样的图形就是菱形啦，多有
意思呀！
第四种，对角线互相垂直且平分的四边形。
哎呀呀，这就像是有一
双神奇的手，把这个四边形安排得妥妥当当，横竖都恰到好处，菱形
就这么诞生啦！
第五种，一条对角线平分一组对角的平行四边形。
这就像是给平行
四边形开了个小灶，有了这个特殊待遇，它就华丽转身变成菱形啦。
第六种，两组对角分别相等的四边形。
你说这四边形也是有它的独
特之处，两组对角都相等了，再努努力，不就成菱形了嘛。
其实啊，判定菱形就像是一场有趣的探索之旅，每一种方法都是一个小线索，我们顺着这些线索一点点去发现菱形的奥秘。
这多像我们生活中的各种挑战呀，只要找到了正确的方法和途径，就能成功呀！所以说，数学可不只是那些枯燥的公式和定理，它也有着无穷的乐趣和魅力呢！咱可得好好去体会，去发现呀！希望大家都能在数学的海洋里畅游，找到属于自己的那片菱形天地！。
初中数学 四边形模块6-4 菱形讲义(含答案解析) - 副本
第四部分菱形题型练题型一菱形定义菱形定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．两菱形既有可变性，又具有相对稳定性的性质例1下列说法正确的是（）A ．对角线相等的四边形是菱形B ．四条边相等的四边形是菱形C ．一组邻边相等的四边形是菱形D ．对角线互相垂直的四边形是菱形【解析】A 、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故原题说法错误，不符合题意；B 、四边相等的四边形是菱形，故原题说法正确，符合题意；C 、四边相等的四边形是菱形，故原题说法错误，不符合题意；D 、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故原题说法错误，不符合题意；变式11.如图所示，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD ＝12cm ，AC ＝6cm ，求菱形的周长．【答案】．【解析】【分析】先根据菱形的性质可得3cm,6cm,OA OB AC BD ==⊥，再利用勾股定理可得AB 的长，然后利用菱形的周长公式即可得．【详解】解： 四边形ABCD 是菱形，12cm,6cm BD AC ==，113cm,6cm,22OA AC OB BD AC BD ====⊥∴，AB ∴==，则菱形ABCD的周长为4AB ．【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键．题型二菱形的性质（一）菱形的四条边都相等．例2如图所示，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD的周长是（）A．10B．12C．15D．20【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD．又∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴△ABD的周长＝3AB＝15．所以选C．变式22.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（）A. B.2 C. D.4【答案】A【解析】【详解】【分析】根据菱形的性质得菱形边长为4，AC⊥BD，由一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得△ABD是等边三角形；在Rt△AOD中，根据勾股定理得，，根据三角形面积公式得S△ACD=12ODꞏAC=4，根据中位线定理得OE∥AD，根据相似三角形的面积比等于相似比继而可求出△OCE的面积.【详解】∵菱形ABCD的周长为16，∴菱形ABCD的边长为4，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，又∵O是菱形对角线AC、BD的交点，∴AC⊥BD，在Rt△AOD中，∴==∴∴S△ACD=12ODꞏAC=12，又∵O、E分别是中点，∴OE∥AD，∴△COE∽△CAD，∴12 OEAD=，∴14COECADSS=，∴S△COE=14S△CAD=14故选A.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，结合图形熟练应用相关性质是解题的关键.题型三菱形的性质（二）菱形的对角线互相垂直且平分．例3下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（）A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．邻边互相垂直【解析】A．对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有；B．对角线互相平分是菱形和矩形共有的性质；C．对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有；D．邻边互相垂直是矩形具有的性质，菱形不一定具有．变式33.菱形的两条对角线长分别是方程214480-+=的两实根，则菱形的面积为x x______．【答案】24【解析】【详解】解：x2﹣14x+48=0，则有（x-6）(x-8)=0解得：x=6或x=8．所以菱形的面积为：（6×8）÷2=24．菱形的面积为：24．故答案为24．点睛：本题考查菱形的性质．菱形的对角线互相垂直，以及对角线互相垂直的四边形的面积的特点和根与系数的关系．题型四菱形的判定（一）四边相等的四边形是菱形．例4如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ABCD 为菱形的是（）A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60°D．∠ACB=60°【解析】∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AB平行且相等CD，∴四边形ABCD为平行四边形，∴当AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形．变式44.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥DC，垂足分别是E，F，并且BE=DF，求证；四边形ABCD是菱形．【答案】见解析【解析】【分析】平行四边形的对角相等，得∠B=∠D，结合AE⊥BC，AF⊥DC和BE=DF，由角边角定理证明△ABE全等△ADF，再由全等三角形对应边相等得DA=AB，最后根据邻边相等的平行四边形是菱形判定四边形ABCD是菱形.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∵AE⊥BC，AF⊥DC∴∠AEB=∠AFD=90°又∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF(AAS)∴DA=AB，∴平行四边形ABCD是菱形【点睛】此题主要考查菱形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质及菱形的判定定理.题型五菱形的判定（二）对角线互相垂直的平行四边形是菱形．例5如图所示，平行四边形ABCD的对角线BD的垂直平分线与边AB，CD分别交于点E，F．求证：四边形DEBF是菱形．【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC．∴∠FDO＝∠EBO．又∵EF垂直平分BD，∴OB＝OD．在△DOF和△BOE中，∴△DOF≌△BOE(ASA)．∴OF＝OE．∴四边形DEBF是平行四边形．又∵EF⊥BD，∴四边形DEBF是菱形．变式55.在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）菱形【解析】【详解】分析：（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；（2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断；详证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∴∠ABE=∠ADF，在△ABE 与△ADF 中AB AD ABE ADF BE DF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABE ≌△ADF.（2）如图，连接AC，四边形AECF 是菱形．理由：在正方形ABCD 中，OA=OC ，OB=OD ，AC ⊥EF ，∴OB+BE=OD+DF ，即OE=OF ，∵OA=OC ，OE=OF ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵AC ⊥EF ，∴四边形AECF 是菱形．点睛：本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．题型六菱形判定与性质综合（一）根据菱形的性质与判定求角度．例6如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE //AC 交AB 于E ，DF //AB 交AC 于F ，且AD 交EF 于O ，∠BAC ＝58°，则∠AEF ＝_____度．【解析】∵DE//AC，DF//AB，∴四边形AEDF为平行四边形，∴OA=OD，AE=DF，∠EDA=∠FAD，∵AD是△ABC的角平分线，∵∠EAD=∠FAD，∴∠EAD=∠EDA，∴AE=DE．∴□AEDF为菱形．∴AD⊥EF，即∠AOF=90°．在直角△AEO中，∵∠BAC＝58°，∴∠EAD=29°，∴∠AEF＝90°－29°=61°．变式66.如图，已知四边形ABCD的四边都相等，等边△AEF的顶点E、F分别在BC、CD上，且AE=AB，则∠C=（）A.100°B.105°C.110°D.120°【答案】A【解析】【分析】根据四边形ABCD的四边都相等得出菱形ABCD，根据菱形的性质推出∠B=∠D，∠BAD=∠C，AD∥BC，根据平行线的性质得出∠DAB+∠B=180°，根据等边三角形的性质得出∠AEF=∠AFE=60°，AF=AD，根据等边对等角得出∠B=∠AEB，∠D=∠AFD，设∠BAE=∠F AD=x，根据三角形的内角和定理得出方程x+2（180°-60°-2x）=180°，求出方程的解即可求出答案．【详解】∵四边形ABCD的四边都相等，∴四边形ABCD是菱形，∴∠B=∠D，∠BAD=∠C，AD∥BC，∴∠DAB+∠B=180°，∵△AEF是等边三角形，AE=AB，∴∠AEF=∠AFE=60°，AF=AD，∴∠B=∠AEB，∠D=∠AFD，由三角形的内角和定理得：∠BAE=∠FAD，设∠BAE=∠F AD=x，则∠D=∠AFD=180°-60°-2x，∵∠F AD+∠D+∠AFD=180°，∴x+2（180°-60°-2x）=180°，解得：x=20°，∴∠C=∠BAD=2×20°+60°=100°，故选A．【点睛】本题主要考查对菱形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识点的理解和掌握，设∠BAE=∠F AD=x，根据这些性质得出∠D=∠AFD=180°-60°-2x是解此题的关键，题型较好，难度适中．题型七菱形判定与性质综合（二）对根据菱形的性质与判定求线段长．例7如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC 上．若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是（）A ．B ．C ．5D ．6【解析】连接EF 交AC 于点M ，由四边形EGFH 为菱形可得FM =EM ，EF ⊥AC ；利用AAS 或ASA 易证△FMC ≌△EMA ，根据全等三角形的性质可得AM =MC ；在Rt △ABC 中，由勾股定理求得AC =tan ∠BAC =12BC AB =；在Rt △AME 中，AM =12AC =，tan ∠BAC =12EM AM =可得EM Rt △AME 中，由勾股定理求得AE =5．变式77.如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝45°，△AEF 是由△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转得到的，连接BE ，CF 相交于点D ，当四边形ACDE 为菱形时，求BD 的长．1-．【解析】【分析】先根据菱形的性质可得1,//DE AC BE AC ==，再根据平行线的性质可得45ABE BAC ∠=∠=︒，然后根据旋转的性质可得1AE AB ==，最后根据等腰直角三角形的判定与性质可得BE =，由此即可得出答案．AC=，【详解】解： 四边形ACDE是菱形，1∴==，1,//DE AC BE AC∴∠=∠=︒，ABE BAC45由旋转的性质得：1==，AE AB∴∠=∠=︒，AEB ABE45∴ 是等腰直角三角形，ABE∴==BE∴=-=-．BD BE DE1【点睛】本题考查了菱形的性质、旋转的性质等知识点，熟练掌握菱形和旋转的性质是解题关键．题型八菱形判定与性质综合（三）对根据菱形的性质与判定求面积．例8如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF，若AB=5，AC=6，求平行四边形ABCD的面积．【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°，∵BE=DF，∴△AEB≌△AFD，∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形；连接BD交AC于O，∵四边形ABCD是菱形，AC=6，∴AC⊥BD，AO=OC=12AC=12×6=3，∵AB=5，AO=3，∴BO，∴BD=2BO=8，∴S平行四边形ABCD =12×AC×BD=24．变式88.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．若CE=1，DE=2，求四边形ABCD的面积．【答案】4．【解析】【分析】先根据菱形的性质可得AC BD⊥，再根据矩形的判定与性质可得2,1OC DE OD CE====，然后根据菱形的面积公式即可得．【详解】解： 四边形ABCD是菱形，AC BD∴⊥，//,//CE OD DE OC，∴四边形OCED是矩形，2,1OC DE OD CE∴====，则四边形ABCD 的面积为114421422OC OD ⨯⋅=⨯⨯⨯=．【点睛】本题考查了菱形的性质与面积公式、矩形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键．实战练9.如图，菱形ABCD 中,150D ︒∠=，则1∠=（）A.30︒B.25︒C.20︒D.15︒【答案】D【解析】【分析】根据菱形的性质得出AB ∥CD ，∠BAD =2∠1，求出∠BAD =30°，即可得出∠1=15°．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∠D =150°，∴AB ∥CD ，∠BAD =2∠1，∴∠BAD +∠D =180°，∴∠BAD =180°﹣150°=30°，∴∠1=15°．故选D ．【点睛】本题考查了菱形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键．10.如图，点P 是边长为1的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，点M ，N 分别是AB ，BC 边上的中点，则MP+PN 的最小值是（）A.12 B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】先作点M 关于AC 的对称点M ′，连接M ′N 交AC 于P ，此时MP+NP 有最小值．然后证明四边形ABNM′为平行四边形，即可求出MP+NP=M′N=AB=1．【详解】解：如图，作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值，最小值为M′N的长．∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，∴M′是AD的中点，又∵N是BC边上的中点，∴AM′∥BN，AM′=BN，∴四边形ABNM′是平行四边形，∴M′N=AB=1，∴MP+NP=M′N=1，即MP+NP的最小值为1，故选B．11.如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A.245B.125C.5D.4【答案】A【解析】【分析】根据菱形性质求出AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可．【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD，∵AC ＝8，DB ＝6，∴AO ＝4，OB ＝3，∠AOB ＝90°，由勾股定理得：AB ＝5，∵S 菱形ABCD ＝12AC BD AB DE ⨯⨯=⨯，∴18652DH ⨯⨯=⨯，∴DH ＝245，故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S 菱形ABCD ＝12×AC×BD ＝AB×DH 是解此题的关键．12.如图，在□ABCD 中，AM ，CN 分别是∠BAD 和∠BCD 的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AMCN 为菱形的是（）A.AM =ANB.MN ⊥ACC.MN 是∠AMC 的平分线D.∠BAD =120°【答案】D【解析】【分析】【详解】解：如图，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B =∠D ，∠DAB =∠DCB ，AB =CD ，AD =BC ，∵AM ，CN 分别是∠BAD 和∠BCD 的平分线，∴∠DCN =12∠DCB ，∠BAM =12∠BAD ，∴∠BAM =∠DCN ，在△ABM 和△CDN 中D BAB CD DCN BAM∠=∠=∠=∠⎧⎨⎩，∴△ABM ≌△CDN （ASA ），∴AM =CN ，BM =DN ，∵AD =BC ，∴AN =CM ，∴四边形AMCN 是平行四边形，A 、∵四边形AMCN 是平行四边形，AM =AN ，∴平行四边形AMCN 是菱形，故本选项错误；B 、∵MN ⊥AC ，四边形AMCN 是平行四边形，∴平行四边形AMCN 是菱形，故本选项错误；C 、∵四边形AMCN 是平行四边形，∴//AN BC ，∴ANM CMN ∠=∠，∵MN 平分∠AMC ，∴AMN CMN ∠=∠，∴ANM AMN ∠=∠，∴AN AM =，∵四边形AMCN 是平行四边形，∴四边形AMCN 是菱形，故本选项错误；D 、根据∠BAD =120°和平行四边形AMCN 不能推出四边形是菱形，故本选项正确；故选D ．13.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，()0,0O ，()4,0A ，60AOC ∠=︒，则对角线交点E 的坐标为__________．【答案】(【解析】【分析】如图（见解析），先根据菱形的性质可得4,//,AB OA OC AB OE BE ===，再根据平行线的性质可得60BAD AOC ∠=∠=︒，然后根据直角三角形的性质、勾股定理可得2,AD BD ==B 的坐标，最后根据线段中点坐标的求法即可得．【详解】解：如图，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，四边形OABC 为菱形，()0,0O ，()4,0A ，4,//,AB OA OC AB OE BE ∴===，60BAD AOC ∴∠=∠=︒，3900ABD BAD ︒-∴∠=∠=︒，12,2AD AB BD ∴====6OD OA AD ∴=+=，(6,B ∴，又OE BE = ，即点E 是OB 的中点，600(,)22E +∴，即(E ，故答案为：(．【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键．14.己知一个菱形的边长为2，较长的对角线长为，则这个菱形的面积是_____．【答案】【解析】【详解】分析：根据菱形的性质结合勾股定理可求出较短的对角线的长，再根据菱形的面积公式即可求出该菱形的面积．详解：依照题意画出图形，如图所示．在Rt △AOB 中，AB=2，∴，∴AC=2OA=2，∴S 菱形ABCD =12AC•BD=12故答案为点睛：本题考查了菱形的性质以及勾股定理，根据菱形的性质结合勾股定理求出较短的对角线的长是解题的关键．15.两张宽2cm 矩形纸片重叠在一起，然后将其中的一张任意旋转一个角度，则重叠部分（图中的阴影部分）的四边形ABCD 的形状为________，其面积的最小值为________2cm ．【答案】(1).菱形(2).4【解析】【分析】首先，四边形显然是平行四边形，然后根据平行四边形的面积表达式，高相等则底相等，即邻边相等，说明为菱形；因为菱形的面积公式为底乘以高，而高为矩形的宽是一定值，所以只有底最小时，则面积最小，而底的最小值为2，进而求出其面积．【详解】作AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ．∵纸条对边平行，∴ABCD 为平行四边形．∵纸条等宽，∴AE=AF ．∵SABCD=BC•AE=CD•AF ，∴BC=CD ．∴ABCD 为菱形；其面积的最小值为：2×2=4cm 2．【点睛】本题考查了矩形的性质和菱形的判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，属于中等难度的题型．利用了图形的等积表示法证明线段相等．16.如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AD 的中点，点F ，G 在AB 上，EF ⊥AB ，OG //EF ．若AD =10，EF =4，求OE 和BG 的长．【答案】5OE =，2BG =．【解析】【分析】先根据菱形的性质可得,10OB OD AB AD ===，再根据三角形中位线定理可得15,//2OE AB OE AB ==，然后根据平行四边形的判定与性质可得5FG OE ==，根据勾股定理可得AF 的长，最后根据线段的和差即可得．【详解】解： 四边形ABCD 是菱形，10AD =，,10OB OD AB AD ∴===，E 是AD 的中点，OE ∴是ABD △的中位线，15,//2OE AB OE AB ∴==，//OG EF ，∴四边形OEFG 是平行四边形，5FG OE ∴==，又E 是AD 的中点，10AD =，152AE AD ∴==，,4EF AB EF ⊥= ，3AF ∴==，10352BG AB AF FG ∴=--=--=．【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．17.如图，在ABCD 中，E 是对角线BD 上的一点，过点C 作CF ∥DB ，且CF ＝DE ，连接AE ，BF ，EF（1）求证：△ADE ≌△BCF ；（2）若∠ABE +∠BFC ＝180°，则四边形ABFE 是什么特殊四边形？说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形ABFE 是菱形【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定证明即可；（2）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定以及菱形的判定解答即可．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC ，AD ∥BC ，∴∠ADB =∠DBC ．∵CF ∥DB ，∴∠BCF =∠DBC ，∴∠ADB =∠BCF在△ADE 与△BCF 中DE CF ADE CBFAD BC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝，＝∴△ADE ≌△BCF （SAS ）．（2）四边形ABFE 是菱形理由：∵CF ∥DB ，且CF =DE ，∴四边形CFED 是平行四边形，∴CD =EF ，CD ∥EF ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ，∴AB =EF ，AB ∥EF ，∴四边形ABFE 是平行四边形．∵△ADE ≌△BCF ，∴∠AED =∠BFC ．∵∠AED +∠AEB =180°，∴∠ABE =∠AEB ，∴AB =AE ，∴四边形ABFE 是菱形．【点睛】本题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和全等三角形的判定以及菱形的判定解答．18.如图，△ABC 中，∠ACB =90°，D 、E 分别是BC 、BA 的中点，联结DE ，F 在DE 延长线上，且AF =AE ，若四边形ACEF 是菱形，求∠B的度数．【答案】30°．【解析】【分析】先根据菱形的性质可得AF AC CE ==，从而可得AC CE AE ==，再根据等边三角形的判定与性质可得60BAC ∠=︒，然后根据直角三角形的两锐角互余即可得．【详解】解： 四边形ACEF 是菱形，AF AC CE =∴=，AF AE = ，AC CE AE =∴=，ACE ∴ 是等边三角形，60BAC ∴∠=︒，又90ACB ∠=︒ ，9003B B AC ∠∴︒-=∠=︒．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键．19.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，BE=2DE ，延长DE 到点F ，使得EF=BE ，连接CF ．（1）求证：四边形BCFE 是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE 的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）从所给的条件可知，DE 是△ABC 中位线，所以DE ∥BC 且2DE=BC ，所以BC 和EF 平行且相等，所以四边形BCFE 是平行四边形，又因为BE=FE ，所以四边形BCFE 是菱形．（2）因为∠BCF=120°，所以∠EBC=60°，所以菱形的边长也为4，求出菱形的高面积就可．【详解】解：（1）证明：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC 且2DE=BC ．又∵BE=2DE ，EF=BE ，∴EF=BC ，EF ∥BC ．∴四边形BCFE 是平行四边形．又∵BE=FE，∴四边形BCFE是菱形．（2）∵∠BCF=120°，∴∠EBC=60°．∴△EBC是等边三角形．∴菱形的边长为4，高为．∴菱形的面积为4×=20.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，点E为CD的中点，射线BE交AD的延长线于点F，连接CF．（1）求证：四边形BCFD是菱形；（2）若AD=1，BC=2，求BF的长．【答案】【解析】【详解】（1）∵AF∥BC，∴∠DCB=∠CDF，∠FBC=∠BFD，∵点E为CD的中点，∴DE=EC，在△BCE与△FDE中，FBC BFDDCB CDFDE EC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE≌△FDE，∴DF=BC，又∵DF∥BC，∴四边形BCDF为平行四边形，∵BD=BC，∴四边形BCFD是菱形；（2）∵四边形BCFD是菱形，∴BD=DF=BC=2，在Rt△BAD中，AB=，∵AF=AD+DF=1+2=3，在Rt△BAF中，BF．培优练21.【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第112页的部分内容．例2如图，已知菱形ABCD 的边长为2cm ，120BAD ∠=︒，对角线AC 、BD 相交于点O ．试求这个菱形的两条对角线AC 与BD 的长．（结果保留根号）结合图①，写出求解过程．【应用】（1）如图②，过图①中的点A 分别作AE AD ⊥，AF AB ⊥，连结CE 、CF ，则四边形AECF 的面积为_________．（2）如图③，在菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒，对角线AC 、BD 相交于点O ．将其绕着点O 顺时针旋转90°得到菱形A B C D ''''．若1AB =，则旋转前后两个菱形重叠部分图形的周长为_________．【答案】【教材呈现】BD =cm ，AC=2cm ；【应用】（1）3cm 2；（2）4-．【解析】【分析】教材呈现：由菱形ABCD 性质证得ABC 是等边三角形，进而证得AOB 是直角三角形，可得AC ，BD 长度；应用：（1）根据教材发现，证明AEF 为等边三角形，然后使用对角线积的一半求面积即可；（2）根据菱形ABCD 性质及旋转的性质，证明C EB AEB ''≅△△，求得AE 的长度，由重叠部分为正八边形的周长．【详解】教材呈现：∵四边形ABCD 是菱形，∴//AD BC ，AB BC =．∴180BAD ABC ∠+∠=︒．∴18060ABC BAD ∠=︒-∠=︒．∴ABC ∆是等边三角形．∴2AC AB ==cm ．∵AC BD ⊥，∴AOB 是直角三角形．∴BO ===cm ．∴2BD BO ==cm ．应用：（1）由【教材呈现】知：ABC 是等边三角形∵四边形ABCD 是菱形∴1302ABO ABC ∠=∠=°∵AF AB⊥∴2BF AF =，AB =，60AFE ∠=°∵AB=2cm∴AF=3cm同理可得：3AE =cm ，60AEF ∠=°∴AEF 为等边三角形∴EF=AE=3cm∴S 四边形AECF =12AC ∙EF=12×2×3=3cm 2故答案为：3cm 2．（2）设AB 与B C ''交于点E由菱形ABCD 性质可知：30EBC BEC AEB EB A ''''∠=∠=∠=∠=°∵,OB OB OA OC ''==∴AB C B''=∴C EB AEB ''≅△△∴AE EC BC ''==∴BE =∴1AB AE BE AE =+==∴12AE -=∵菱形ABCD 与菱形A B C D ''''的重叠部分是正八边形∴其周长为：182⨯=4．故答案为：4-．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形，含30°角的直角三角形的计算，旋转的性质等，熟知以上知识的算法，是解题的关键．。
19.2 菱形 华东师大版八年级下册同步练习(含解析)
19.2 菱形基础过关全练知识点1 菱形的定义及性质1.【一题多变】(2022四川凉山州会东参鱼中学期中)如图,若四边形ABCD 是菱形,AC =24,BD =10,则菱形ABCD 的边长是( )A.13B.12C.26D.52[变式一](2022河南许昌建安期中)菱形的面积为12 cm 2,一条对角线的长为6 cm,那么菱形的另一条对角线的长为( )A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm[变式二](2022四川眉山期末)如图,在菱形ABCD 中,对角线AC =4,BD =5,则△AOD 的面积为( )A.52B.5C.112D.62.(2022福建福州立志中学期中)如图,在菱形ABCD 中,∠DAC =25°,则∠B =( )A.120°B.125°C.130°D.150°3.(2022江苏宿迁宿城期中)如图,四边形ABCD为菱形,对角线AC,BD 相交于点O,DH⊥AB于H,连结OH,若∠CAD=25°,则∠DHO的度数是( )A.25°B.30°C.35°D.40°4.(2022广东中考)菱形的边长为5,则它的周长为 .5.(2022湖北武汉江岸期中)如图,在菱形ABCD中,过顶点C作CE⊥BC 交对角线BD于点E,若∠A=130°,则∠BEC= °.6.(2022甘肃武威三中期中)如图,在菱形ABCD中,过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.求证:AE=CF.7.(2022湖南长沙麓山国际实验学校期中)如图,已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连结CE.(1)求证:BD=EC;(2)若∠E=50°,求∠BAO的大小.8.(2021福建厦门模拟)如图,四边形ABCD是菱形,过AB的中点E作AC 的垂线EF,交AD于点M,交CD的延长线于点F.(1)求证:AM=DM;(2)若DF=3,求菱形ABCD的周长.知识点2 菱形的定义判定法9.【教材变式·P118习题T2变式】如图,已知AD是△ABC的角平分线,DE∥AC交AB于点E,请你添加一个条件: ,使四边形AEDF 是菱形.10.(2022江苏盐城大丰实验初中月考)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC,CE∥DB.求证:四边形OBEC是菱形.11.(2022广东湛江雷州模拟)如图,点E、F分别在▱ABCD的边BC、CD 上,BE=DF,∠BAF=∠DAE.求证:四边形ABCD是菱形.12.(2022福建泉州科技中学期中)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BA=BC,BD平分∠ABC.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)连结AC,过点D作DE∥AC,交BC的延长线于点E,若BC=5,BD=8,求ED的长.知识点3 菱形的判定定理113.(2022湖南郴州中考)如图,四边形ABCD是菱形,E,F是对角线AC 上的两点,且AE=CF,连结BF,FD,DE,EB.求证:四边形DEBF是菱形.14.(2022陕西西安高新区一中期末)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于点D,交AB于点E,F在DE上,且AF=CE=AE,试探索当∠B满足什么条件时,四边形ACEF是菱形.15.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,连结BE交AC于F,连结DF.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)试探究BE满足什么条件时,∠EFD=∠BCD,并说明理由.知识点4 菱形的判定定理216.(2022黑龙江齐齐哈尔中考)如图,在四边形ABCD中,AC⊥BD,垂足为O,AB∥CD,要使四边形ABCD为菱形,应添加的条件是 .(只需写出一个条件即可)17.(2022江苏连云港中考改编)如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到点E,使DE=AD,且BE⊥DC.求证:四边形DBCE为菱形.18.(2022江苏宿迁宿城期中)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,E是边AC 的中点,∠BAC的平分线AD交BC于点D,作AF∥BC,连结DE并延长交AF于点F,连结FC.(1)求证:△AEF≌△CED.(2)当AB与AC满足什么关系时,四边形ADCF是菱形?并说明理由.能力提升全练19.(2022广西河池中考,8,)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列结论中错误的是( )A.AB=ADB.AC⊥BDC.AC=BDD.∠DAC=∠BAC20.(2022四川乐山中考,13,)已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD 的长分别是8 cm和6 cm,则菱形的面积为 cm2.21.(2022北京中考,21,)如图,在▱ABCD中,AC,BD交于点O,点E,F 在AC上,AE=CF.(1)求证:四边形EBFD是平行四边形;(2)若∠BAC=∠DAC,求证:四边形EBFD是菱形.22.(2022浙江舟山中考,18,)小惠自编一题:“如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC⊥BD,OB=OD.求证:四边形ABCD是菱形.”并将自己的证明过程与同学小洁交流.小惠:证明:∵AC⊥BD,OB=OD,∴AC垂直平分BD.∴AB=AD,CB=CD,∴四边形ABCD是菱形.小洁:这个题目还缺少条件,需要补充一个条件才能证明.若赞同小惠的证法,请在第一个方框内打“√”;若赞成小洁的说法,请你补充一个条件,并证明.23.(2022湖南岳阳中考,19,)如图,点E,F分别在▱ABCD的边AB,BC 上,AE=CF,连结DE,DF.请从以下三个条件:①∠1=∠2;②DE=DF;③∠3=∠4中,选择一个合适的作为已知条件,使▱ABCD为菱形.(1)你添加的条件是 (填序号);(2)添加了条件后,请证明▱ABCD为菱形.24.(2021山东聊城中考,21,)如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,且AO=CO,点E在BD上,满足∠EAO=∠DCO.(1)求证:四边形AECD是平行四边形;(2)若AB=BC,CD=5,AC=8,求四边形AECD的面积.素养探究全练25.【推理能力】(2020广东阳江阳西期末)如图,在菱形ABCD 中,AB=6,∠DAB=60°,点E是AD边的中点,点M是AB边上一动点(不与点A重合),延长ME交射线CD于点N,连结MD、AN.(1)求证:四边形AMDN是平行四边形.(2)①当AM的值为 时,四边形AMDN是矩形;②若AM=6,求证:四边形AMDN是菱形.答案全解全析基础过关全练1.A ∵四边形ABCD 是菱形,∴OA =OC ,OB =OD ,AC ⊥BD ,∵AC =24,BD =10,∴OA =12,OB =5,在Rt △AOB 中,由勾股定理得,AB =OA 2+OB 2=122+52=13,故菱形ABCD 的边长为13,故选A.[变式一]B 设另一条对角线的长为x cm,则12×6x =12,解得x =4.故选B.[变式二]A ∵四边形ABCD 是菱形,AC =4,BD =5,∴AO =12AC =2,DO =12BD =52,AC ⊥BD ,∴∠AOD =90°,∴S △AOD =12AO ·DO =12×2×52=52.故选A.2.C ∵四边形ABCD 是菱形,∠DAC =25°,∴∠DAB =2∠DAC =50°,AD ∥BC ,∴∠DAB +∠B =180°,∴∠B =130°,故选C.3.A ∵四边形ABCD 是菱形,∠CAD =25°,∴BO =OD ,∠DAO =∠BAO =25°,AC ⊥BD ,∴∠ABD =90°-∠BAO =65°,∵DH ⊥AB ,BO =DO ,∴∠BDH =90°-∠ABD =25°,HO =12BD =DO ,∴∠DHO =∠BDH =25°,故选A.4.答案 20解析 菱形的四条边都相等,故它的周长为4×5=20.5.答案 65解析 ∵四边形ABCD是菱形,∴∠DBC=12∠ABC,AD∥BC,∴∠A+∠ABC=180°,∵∠A=130°,∴∠ABC=180°-130°=50°,∴∠DBC=12×50°=25°,∵CE⊥BC,∴∠BEC=90°-25°=65°.6.证明 ∵四边形ABCD是菱形,∴AD=CD,∠A=∠C,∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠AED=∠CFD=90°,在△ADE和△CDF中,∠AED=∠CFD,∠A=∠C,AD=CD,∴△ADE≌△CDF(A.A.S.),∴AE=CF.7.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=CD,AB∥CD,又∵BE=AB,∴BE=CD,∴四边形BECD是平行四边形,∴BD=EC. (2)∵四边形BECD是平行四边形,∴BD∥CE,∴∠ABO=∠E=50°,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∴∠BAO=90°-∠ABO=40°.8.解析 (1)证明:连结BD,如图所示,∵四边形ABCD是菱形,∴BD⊥AC,AB∥CD,∴∠EAM=∠FDM,∵EF⊥AC,∴EF∥BD,∴四边形EFDB是平行四边形,∴DF=EB,∵E是AB的中点,∴AE=EB,∴AE=DF,在△AEM和△DFM中,∠AME=∠DMF,∠EAM=∠FDM,∴△AEM≌△DFM(A.A.S.),AE=DF,∴AM=DM.(2)∵AE=DF,DF=3,∴AE=3,∵E是AB的中点,∴AB=2AE=6,∴菱形ABCD的周长为4×6=24.9.答案 DF∥AB(答案不唯一)解析 添加条件:DF∥AB.∵DE∥AC,DF∥AB,∴四边形AEDF是平行四边形,∠EAD=∠ADF,∵AD是△ABC的角平分线,∴∠EAD=∠FAD,∴∠ADF=∠FAD,∴FA=FD,∴四边形AEDF是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).(答案不唯一)10.证明 ∵BE∥AC,CE∥DB,∴四边形OBEC是平行四边形,∵四边形ABCD是矩形,∴OB=OC,∴四边形OBEC是菱形.11.证明 ∵∠BAF=∠DAE,∴∠BAE=∠DAF,∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABE=∠ADF,在△ABE和△ADF中,∠BAE =∠DAF ,∠ABE =∠ADF ,BE =DF ,∴△ABE ≌△ADF (A.A.S.),∴AB =AD ,∴四边形ABCD 是菱形.12.解析 (1)证明:∵BD 平分∠ABC ,∴∠ABD =∠CBD ,∵AD ∥BC ,∴∠ADB =∠CBD ,∴∠ADB =∠ABD ,∴AB =AD ,又∵BA =BC ,∴AD =BC ,∴四边形ABCD 为平行四边形,∵AB =AD ,∴四边形ABCD 为菱形.(2)∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD ,∵DE ∥AC ,∴DE ⊥BD ,∵AD ∥BC ,DE ∥AC ,∴四边形ACED 为平行四边形,∴CE =AD =BC =5,∴BE =BC +CE =10,在Rt △BDE 中,由勾股定理得,DE =BE 2―BD 2=6.13.证明 ∵四边形ABCD 是菱形,∴AB =BC =CD =AD ,∠DAB =∠DCB ,AC 平分∠DAB ,CA 平分∠DCB ,∴∠DAC =∠BAC =12∠DAB ,∠DCA =∠ACB =12∠DCB ,∴∠DAC =∠BAC =∠DCA =∠ACB ,∵AE =CF ,∴△ADE ≌△ABE ≌△CBF ≌△CDF (S.A.S.),∴DE =BE =BF =DF ,∴四边形DEBF是菱形.14.解析 当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形.∵∠ACB=90°,∠B=30°,∴∠EAC=60°,∵ED垂直平分BC,∴∠BDE=90°,∴∠BED=60°,∴∠FEA=60°,∵AF=CE=AE,∴△AEF、△EAC都是等边三角形,∴AF=EF=EC=CA,∴四边形ACEF是菱形.15.解析 (1)证明:在△ABC和△ADC中,AB=AD, CB=CD, AC=AC,∴△ABC≌△ADC(S.S.S.),∴∠BAC=∠DAC,∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD,∴∠DAC=∠ACD,∴AD=CD.∵AB=AD,CB=CD,∴AB=CB=CD=AD.∴四边形ABCD是菱形.(2)当BE⊥CD时,∠EFD=∠BCD,理由如下:由(1)知四边形ABCD为菱形,∴∠BCF=∠DCF,在△BCF和△DCF中,BC=DC,∠BCF=∠DCF, CF=CF,∴△BCF≌△DCF(S.A.S.),∴∠CBF=∠CDF.∵BE⊥CD,∴∠BEC=∠DEF=90°,∴∠BCD+∠CBF=∠EFD+∠CDF=90°,∴∠EFD=∠BCD.16.答案 AB=CD(答案不唯一)解析 若添加AB=CD,因为AB∥CD,AB=CD,所以四边形ABCD为平行四边形.因为AC⊥BD,所以四边形ABCD为菱形.(答案不唯一) 17.证明 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,且AD=BC,∵DE=AD,∴DE=BC.∵点E在AD的延长线上,∴DE∥BC,∴四边形DBCE为平行四边形,又∵BE⊥DC,∴四边形DBCE为菱形.18.解析 (1)证明:∵AF∥BC,∴∠AFE=∠CDE,∵E是AC的中点,∴AE =CE ,在△AEF 和△CED 中,∠AFE =∠CDE ,∠AEF =∠CED ,AE =CE ,∴△AEF ≌△CED (A.A.S.).(2)当AB =12AC 时,四边形ADCF 是菱形.理由:由(1)知,△AEF ≌△CED ,∴AF =CD ,∵AF ∥CD ,∴四边形ADCF 是平行四边形,∵AD 是∠BAC 的平分线,∴∠EAD =∠BAD ,∵AE =12AC ,AB =12AC ,∴AE =AB ,在△AED 和△ABD 中,AE =AB ,∠EAD =∠BAD ,AD =AD ,∴△AED ≌△ABD (S.A.S.),∴∠AED =∠B =90°,即DF ⊥AC.∴四边形ADCF 是菱形.能力提升全练19.C 菱形的四条边相等,对角线互相垂直且平分对角,故A 、B 、D 选项不符合题意;菱形的对角线不一定相等,故C 选项符合题意.20.答案 24解析 ∵菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8 cm和6 cm,=24 cm2.∴菱形的面积为8×6221.证明 (1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,BO=DO.∵AE=CF,∴AO-AE=CO-CF,即OE=OF,∴四边形EBFD是平行四边形.(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,∴∠BAC=∠DCA,∵∠BAC=∠DAC,∴∠DCA=∠DAC,∴DA=DC,∴四边形ABCD是菱形.∴BD⊥AC,又∵四边形EBFD是平行四边形,∴四边形EBFD是菱形.22.解析 赞成小洁的说法.补充AB=CB(补充的条件不唯一).证明:∵AC⊥BD,OB=OD,∴AC垂直平分BD,∴AB=AD,CB=CD,∵AB=CB,∴AB=AD=CB=CD.∴四边形ABCD是菱形.23.解析 (1)①或③(填一个即可).(2)添加①:证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,在△ADE和△CDF中,∠1=∠2,∠A=∠C, AE=CF,∴△ADE≌△CDF(A.A.S.),∴AD=CD,∴四边形ABCD是菱形.添加③:证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,在△ADE和△CDF中,∠A=∠C, AE=CF,∠3=∠4,∴△ADE≌△CDF(A.S.A.),∴AD=CD,∴四边形ABCD是菱形.24.解析 (1)证明:在△AOE和△COD中,∠EAO=∠DCO,AO=CO,∠AOE=∠COD,∴△AOE≌△COD(A.S.A.),∴OD=OE.又∵AO=CO,∴四边形AECD 是平行四边形.(2)∵AB =BC ,AO =CO ,∴直线BO 为线段AC 的垂直平分线,∴BO ⊥AC ,∴平行四边形AECD 是菱形.∵AC =8,∴CO =12AC =4,在Rt △COD 中,OD =CD 2―CO 2=52―42=3,∴DE =2OD =6,∴S 菱形AECD =12DE ·AC =12×6×8=24,即四边形AECD 的面积为24.素养探究全练25.解析 (1)证明:∵四边形ABCD 是菱形,∴AB ∥CD ,∴∠DNE =∠AME ,∵点E 是AD 边的中点,∴AE =DE ,在△NDE 和△MAE 中,∠DNE =∠AME ,∠DEN =∠AEM ,DE =AE ,∴△NDE ≌△MAE (A.A.S .),∴NE =ME ,∴四边形AMDN 是平行四边形.(2)①当AM 的值为3时,四边形AMDN 是矩形.详解:∵四边形ABCD 为菱形,∴AB =AD =6,∵点E 是AD 边的中点,∴AE =12AD =3,∴AM =AE ,∵∠DAB =60°,∴△AEM 是等边三角形,∴EM =AE ,MN,∴MN=AD,∵NE=ME=12∴平行四边形AMDN是矩形.②证明:∵AB=AD=6,AM=6,M在AB上,∴点M与点B重合,AD=AM,∵∠DAB=60°,∴△AMD是等边三角形,∴ME⊥AD,∴平行四边形AMDN是菱形.。
八年级数学人教版下册菱形的性质课件
角
菱形的两组对角分别相等
对角线
菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对 角线平分一组对角
对称性
菱形是轴对称图形
课堂总结
2.本节课你感受到了哪些数学思想方法？ （1）从一般到特殊： 平行四边形 有一组邻边相等 菱形. （2）转化思想： 将四边形问题转化为三角形问题. （3）从特殊到一般：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.
求证:AC⊥BD.
分析：
菱形ABCD （从定义出发）
AB=AD □ABCD
等腰△ABD OB=OD
猜想2：菱形的对角线互相垂直.
已知:四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD交于点O. 求证:AC⊥BD.
分析：等腰△ABD
OB=OD
三线合一
AO⊥BD，AO平分∠BAD AC⊥BD，AC平分∠BAD
猜想2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
∵点C在y轴负半轴上，∴点C的坐标为（0，-2）.
=△ABD的面积+△CBD的面积
点D的坐标为（ ，0）.
2 解∴：OD∵=四OB边=形ABCD是菱形，AC=6，BD=8体， 会几何图形研究的一般步骤和方法
菱形的两组对角分别相等
= BD×AO + BD×CO
(1)菱形是轴对称图形.
猜想2：菱形的对角线互相垂直.
问题1：平行四边形的边特殊化得到什么图形呢？
∴AB=AD，OB=OD.
证明:∵四边形ABCD是菱形，
菱形的两组对角分别相等
菱形性质定理1：菱形的四条边都相等.
例3 如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD，∠ABC=60°，点A的坐标为（0，2）.
求B，C，D各点的坐标.
猜想2：菱形的对角线互相垂直.
人教版八年级下册数学 第六讲 菱形的判定与性质(培优版)
第六讲菱形的判定与性质（培优版）【版块一菱形的性质】【题型一】对角线互相垂直1．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC＝10，BD＝24，则FG的长为（）A．5B．6.5C．10D．122．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S＝48，则OH的长为（）菱形ABCDA．4B．8C．D．63．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A，D分别在y轴的正半轴和负半轴上，顶点B在x轴的负半轴上，若OA＝3OD，S菱形ABCD＝16，则点C的坐标为．【题型二】线段和最小值问题（将军饮马模型）4．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点G是边CD边的中点，点E、F分别是AG、AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是．5．如图，在△ABC中，AB＝3+，∠B＝45°，∠C＝105°，点D，E，F分别在AC、BC、AB上，且四边形ADEF为菱形，则菱形的边长为；若点P是AE上一个动点，则PF+PB的最小值为．【题型三】规律探究6．如图，在平面直角坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，点B在y轴上，OA＝1，将菱形OABC 沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2021次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2021的坐标为（）A．（1010，0）B．（1345，）C．（，）D．（1346，0）【题型四】动点问题7．如图，在菱形ABCD中，AB＝4cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB 方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为．【题型五】奔驰模型8．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，对角线AC平分∠BAD，点P是△ABC内一点，连接P A、PB、PC，若P A＝6，PB＝8，PC＝10，则菱形ABCD的面积等于．【题型六】做辅助线构造全等9．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，M、N分别为线段AB、BC上的两点，且BM＝CN，AN、CM相交于点E （1）证明：△BCM≌△CAN．（2）求∠AED的度数．（3）证明：AE+CE＝DE．【版块二菱形的判定】【题型一】邻边相等的平行四边形为菱形1．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．【题型二】对角线互相垂直+平行四边形=菱形2．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，将△ABD沿着BD折叠，使点A与点E重合．（1）如图（1），对角线AC、BD相交于点O，连接OE，则线段OE的长＝；（2）如图（2），过点E作EF∥CD交线段BD于点F，连接AF，求证：四边形ABEF是菱形；（3）如图（3），在（2）条件下，线段AE、BD相交于M，连接CE，求线段CE的长．【版块三菱形的性质与判定】【题型一】几何多项选择问题（综合）1．如图所示，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向△ABC外构造等边△ACD和等边△ABE，F 为AB的中点，连接CF，DF，EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．有下列五个结论：①AC⊥DF；②DA+DF ＝BE；③四边形ADCF是菱形；④S四边形BCDE＝6S△ACD；⑤四边形BCDF是平行四边形．其中正确的结论是（填序号）【变式】如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F 为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，给出如下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④4FH＝BD；其中正确结论的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【题型二】动点问题3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）四边形AEFD能构成菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．【题型三】构造直角三角形求线段长3．如图1，在▱ABCD中，AB＝AD，AC＝16，BD＝12，AC、BD相交于点O．（1）求AB的长．（2）若CE∥BD，BE∥AC，连接OE，求证：OE＝AD．（3）在（2）条件下如图2，设BC与OE相交于点P，连接DP，求DP的长．【巩固训练】1．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：其中正确的是（）①BE⊥AC；②EG＝GF；③△EFG≌△GBE；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．A．①②③B．①③④C．①②⑤D．②③⑤2．如图，在等边△ABC中，BC＝8cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）填空：①当t为s时，以A、F、C、E为顶点的四边形是平行四边形；②当t为s时，四边形ACFE是菱形．3．如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、CF，过点D作DG⊥CF于点G．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？为什么？（3）在（2）的条件下，若AB＝6，BC＝10，求DG的长．11。
1.1菱形的性质与判定第3课时课件北师大版九年级数学上册
回忆：菱形有哪些性质？
.
回顾复习
2. 如图2所示，在□ABCD中添加一个条件使其成为菱形：
添加方式 1：一组邻边相等；
添加方式 2：AC⊥BD.
B
A
C
D
图2
回忆：菱形有哪些判定定理？
典例精讲
例1 如图3，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中
对角线BD长为10 cm.
求：（1）对角线AC的长度；
长 DE 到点 F ，使得 EF ＝ BE ，连接 CF .
求：（1）菱形的边长；
（2）求菱形一条边上的高.
图4
典例精讲
答案：（1） 10 cm，（2） 9.6 cm .
思考：求菱形面积的方法有几种？
重大发现：菱形的面积等于其对角线乘积的一半.
探究新知
做一做
如图5，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，
重叠部分ABCD是菱形吗？为什么？
图5
探究新知
图5
重叠的部分ABCD是菱形. 第一要根据纸条的两边长
图3
典例精讲
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，即∠AED=90°，
DE=
1
BD
2
1
= ×10=5（cm），
2
∴在 Rt△ADE中，由勾股定理可得：
AE AD DE 13 5 12 （cm）.
2
2
2
2
∴ AC=2AE=2 ×12=24 （cm）.
图3
典例精讲
例1 如图3，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中
1
2
3
4
5
6
课时学业质量评价
第3课时
图形的平移与旋转练习题及答案全套
情景再现：你对以上图片熟悉吗？请你答复以下几个问题：〔1〕汽车中的乘客在乘车过程中，身高、体重改变了吗？乘客所处的地理位置改变了吗？〔2〕传送带上的物品，比方带有图标的长方体纸箱，向前移动了20米，它上面的图标移动了多少米？〔3〕以上都是我们常见的平移问题，认真想一想，你还能举一些平移的例子吗？1.如图1，面积为5平方厘米的梯形A′B′C′D′是梯形ABCD经过平移得到的且∠ABC=90°.那么梯形ABCD的面积为________，∠A′B′C =________.图12.在下面的六幅图中，〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕中的图案_________可以通过平移图案〔1〕得到的.图2“小鱼〞向左平移5格.图34.请欣赏下面的图形4，它是由假设干个体积相等的正方体拼成的.你能用平移分析这个图形是如何形成的吗？§图形的平移与旋转一、填空：1、如下左图，△ABC经过平移到△A′B′C′的位置，那么平移的方向是______，平移的距离是______，约厘米______.2、如下中图，线段AB是线段CD经过平移得到的，那么线段AC与BC的关系为〔〕3、如下右图，△ABC经过平移得到△DEF，请写出图中相等的线段______，互相平行的线段______，相等的角______.〔在两个三角形的内角中找〕4、如下左图，四边形ABCD平移后得到四边形EFGH，那么：①画出平移方向，平移距离是_______；〔准确到0.1cm〕②HE=_________，∠A=_______,∠A=_______.③DH=_________=_______A=_______.5、如下右图，△ABC平移后得到了△DEF，〔1〕假设∠A=28º，∠E=72º，BC=2，那么∠1=____º，∠F=____º，EF=____º；〔2〕在图中A、B、C、D、E、F六点中，选取点_______和点_______，使连结两点的线段与AE平行.6、如图，请画出△ABC向左平移4格后的△A1B1C1，然后再画出△A1B1C1向上平移3格后的△A2B2C2，假设把△A2B2C2看成是△ABC经过一次平移而得到的，那么平移的方向是______，距离是____的长度.二、选择题：7、如下左图，△ABC经过平移到△DEF的位置，那么以下说法：①AB∥DE，AD=CF=BE；②∠ACB=∠DEF；③平移的方向是点C到点E的方向；④平移距离为线段BE的长.其中说法正确的有〔〕8、如下右图，在等边△ABC中，D、E、F分别是边BC、AC、AB的中点，那么△AFE经过平移可以得到〔〕A.△DEFB.△FBDC.△EDCD.△FBD和△EDC三、探究升级：1、如图，△ABC上的点A平移到点A1，请画出平移后的图形△A1B1C1.3、△ABC经过平移后得到△DEF，这时，我们可以说△ABC与△DEF是两个全等三角形，请你说出全等三角形的一些特征，并与同伴交流.4、如以下图中，有一块长32米，宽24米的草坪，其中有两条宽2米的直道把草坪分为四块，那么草坪的面积是______.5、利用如图的图形，通过平移设计图案，并用一句诙谐、幽默的词语概括你所画的图形.§图形的平移与旋转一、填空、选择题：1、图形的旋转是由____和____决定的，在旋转过程中位置保持不动的点叫做____，任意一对对应点与旋转中心连线所成的角叫做_____.2、如以下图，如果线段MO绕点O旋转90°得到线段NO，在这个旋转过程中，旋转中心是_______，旋转角是_______，它时______°.3、如图，在以下四张图中不能看成由一个平面图形旋转而产生的是〔〕4、请你先观察图，然后确定第四张图为( )4、如下左图，△ABC绕着点O旋转后得到△DEF，那么点A的对应点是_______，线段AB 的对应线段是_____，_____的对应角是∠F. 6、如下中图，△ABC与△BDE都是等腰三角形，假设△ABC经旋转后能与△BDE重合，那么旋转中心是________，旋转了______°.7、如下右图，C是AB上一点，△ACD和△BCE 都是等边三角形，如果△ACE经过旋转后能与△DCB重合，那么旋转中心是_______，旋转了______°，点A的对应点是_______.二、解答题：8、如图11.4.7，△ABC绕顶点C旋转某一个角度后得到△A′B′C，问：〔1〕旋转中心是哪一点？〔2〕旋转角是什么？〔3〕如果点M是BC的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？9、观察以下图形，它可以看作是什么“根本图形〞通过怎样的旋转而得到的？三、探究升级10、如图，△ACE、△ABF都是等腰三角形，∠BAF=∠CAE=90°，那么△AFC是哪一点为旋转中心，旋转多少度之后能与另一个三角形重合？点F的对应点是什么？§图形的平移与旋转一、选择题1.平面图形的旋转一般情况下改变图形的〔 〕° ° ° °ABCD 旋转到平行四边形A ′B ′C ′D ′的位置，以下结论错误的选项是〔 〕A.AB =A ′B ′B.AB ∥A ′B ′C.∠A =∠A ′D.△ABC ≌△A ′B ′C ′ 二、填空题4.钟表上的指针随时间的变化而移动，这可以看作是数学上的_______.ABCD 绕点O 沿逆时针方向旋转到四边形D C B A '''',那么四边形D C B A ''''是________. 6.△ABC 绕一点旋转到△A ′B ′C ′，那么△ABC 和△A ′B ′C ′的关系是_______.7.钟表的时针经过20分钟，旋转了_______度. 8.图形的旋转只改变图形的_______，而不改变图形的_______. 三、解答题9.以下图中的两个正方形的边长相等，请你指出可以通过绕点O 旋转而相互得到的图形并说明旋转的角度.10.在图中，将大写字母H 绕它右上侧的顶点按逆时针方向旋转90°，请作出旋转后的图案.11.如图，菱形A ′B ′C ′D ′是菱形ABCD 绕点O 顺时针旋转90°后得到的，你能作出旋转前的图形吗？△ABC ，绕它的锐角顶点A 分别逆时针旋转90°、180°和顺时针旋转90°，〔1〕试作出Rt △ABC 旋转后的三角形； 〔2〕将所得的所有三角形看成一个图形，你将得到怎样的图形？13.如图，将右面的扇形绕点O 按顺时针方向旋转，分别作出旋转以下角度后的图形： 〔1〕90°；〔2〕180°；〔3〕270°.你能发现将扇形旋转多少度后能与原图形重合吗？14.如图，分析图中的旋转现象，并仿照此图案设计一个图案.§图形的平移与旋转看一看：以下三幅图案分别是由什么“根本图形〞经过平移或旋转而得到的？1.2.3.试一试：怎样将以下图中的甲图变成乙图？做一做：1、如图①，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是BA 延长线上的一点，AF =21AB ， 〔1〕△ABE ≌△ADF .吗？说明理由。
新北师大版五年级数学上册菱形的面积易错题
新北师大版五年级数学上册菱形的面积易错题题目一某菱形的对角线长分别为8厘米和6厘米，求菱形的面积。
解答一菱形的对角线相交于菱形的中心，将菱形分成四个等边三角形。
我们可以利用勾股定理求得每个三角形的高和宽，然后计算四个三角形的面积之和即可得到菱形的面积。
首先，根据勾股定理可以得到：\(a^2 + b^2 = c^2\)其中，\(a\)和\(b\)是三角形的两条直角边长，而\(c\)是斜边长。
对于第一个三角形，我们有：\(a = \frac{8}{2} = 4\)（对角线的一半）\(b = \frac{6}{2} = 3\)（对角线的一半）将这些值代入勾股定理，可以求得斜边长\(c\)：\(c^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25\)因此，\(c = \sqrt{25} = 5\)接下来，可以计算第一个三角形的面积：\(S_1 = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6\)同理，我们可以得到其他三个三角形的面积（因为菱形的四边长度相等，所以四个三角形的面积相同）：\(S_2 = S_3 = S_4 = 6\)最后，将四个三角形的面积相加得到菱形的面积：\(S_{\text{菱形}} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = 6 + 6 + 6 + 6 = 24\) 所以，该菱形的面积为24平方厘米。
题目二某菱形的对角线长分别为10厘米和12厘米，求菱形的面积。
解答二按照题目一的方法，可以求得该菱形的面积。
对于第一个三角形，我们有：\(a = \frac{10}{2} = 5\)（对角线的一半）\(b = \frac{12}{2} = 6\)（对角线的一半）将这些值代入勾股定理，可以求得斜边长\(c\)：\(c^2 = 5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61\)因此，\(c = \sqrt{61}\)接下来，可以计算第一个三角形的面积：\(S_1 = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times 5 \times 6 = 15\)同理，我们可以得到其他三个三角形的面积：\(S_2 = S_3 = S_4 = 15\)最后，将四个三角形的面积相加得到菱形的面积：\(S_{\text{菱形}} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = 15 + 15 + 15 + 15 = 60\)所以，该菱形的面积为60平方厘米。
专题06 菱形的性质和判定(解析版)
专题06 菱形的性质和判定姓名：___________考号：___________分数：___________（考试时间：100分钟满分：120分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列命题中，正确的是（）．A．两邻边相等的四边形是菱形B．一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C．对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D．对角线垂直的四边形是菱形【答案】B【分析】根据菱形的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【解析】两邻边相等的平行四边形是菱形，故选项A不符合题意；一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形，故选项B符合题意；对角线垂直且一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了命题、菱形的知识；解题的关键是熟练掌握菱形的性质，从而完成求解．2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，点E，F分别为AO，DO的中点，则线段EF的长为（）A．2.5 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出AD的长，再根据中位线定理即可求出EF的长．【解析】解：因为在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，∴AC⊥BD，AO=4，DO=3，∴AD=2222435AO DO+=+=，∵点E，F分别为AO，DO的中点，∴12.52==EF AD；故选：A．【点睛】本题考查的是菱形的性质和中位线的性质，注意到菱形的对角线互相垂直平分是解决本题的关键．3．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=6，则BC的长为（）．A．3 B．2C．3D．32 2【答案】C【分析】根据菱形AECF，得∠FCO=∠ECO，再利用∠ECO=∠ECB，可通过折叠的性质，结合直角三角形勾股定理求解．【解析】解：∵菱形AECF，AB=6，设BE=x，则AE=CE=6-x，∵菱形AECF，∴∠FCO=∠ECO，∵∠ECO=∠ECB，∴∠ECO=∠ECB=FCO=30°，∴2BE=CE，即CE=2x，∴2x=6-x，解得：x=2，∴CE=4，又EB=2，则利用勾股定理得：23BC ，故选：C．【点睛】此题主要考查了折叠问题以及勾股定理等知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．4．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，M为AD中点，P为对角线BD上一动点，连接PA和PM，则PA＋PM的最小值是( )A．3 B．23C．33D．6【答案】C【分析】首先连接AC，交BD于点O，连接CM，则CM与BD交于点P，此时PA+PM的值最小，由在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，易得△ACD是等边三角形，BD垂直平分AC，继而可得CM⊥AD，则可求得CM的值，继而求得PA+PM的最小值．【解析】解：连接AC，交BD于点O，连接CM，则CM与BD交于点P，此时PA+PM的值最小，∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，∴∠ADC=∠ABC=60°，AD=CD=6，BD垂直平分AC，∴△ACD是等边三角形，PA=PC，∵M为AD中点，∴DM=12AD=3，CM⊥AD，∴CM=22CD DM -=33，∴PA+PM=PC+PM=CM=33．故选C ．【点睛】此题考查了最短路径问题、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及菱形的性质．注意准确找到点P 的位置是解此题的关键．5．如图在平面直角坐标系xOy 中若菱形ABCD 的顶点,A B 的坐标分别为(6,0),(4,0)-，点D 在y 轴上，则点C 的坐标是（ ）A ．(6,8)B ．(10,8)C ．(10,6)D ．(4,6)【答案】B【分析】 首先根据菱形的性质求出AB 的长度，再利用勾股定理求出DO 的长度，进而得到点C 的坐标．【解析】∵菱形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别为(-6，0)、(4，0)，点D 在y 轴上，∴AB=AO+OB=6+4＝10，∴AD=AB=CD=10，∴22221068DO AD AO =-=-=，∴点C 的坐标是：(10，8)．故选：B ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，解题的关键是利用勾股定理求出DO 的长度． 6．如图，ABCD 中，AC 平分BAD ∠，若2,3AC AB ==ABCD 的面积为（ ）A ．2B ．22C ．42D ．82【答案】B【分析】 连接BD 交AC 于点O ，首先证明四边形ABCD 为菱形，然后求出BD 的长，最后根据菱形的面积公式解答．【解析】解：如图，连接BD 交AC 于点O ，在ABCD 中，//AD BC ，,DAC ACB ∴∠=∠AC 平分BAD ∠，DAC BAC ∴∠=∠，BAC BCA ∴∠=∠，AB BC ∴=，∴四边形ABCD 为菱形，11,2122AC BD OA AC ∴⊥==⨯=， 22312OB AB OA ∴=-=-222BD OB ==，ABCD ∴的面积为：112222222ABCD S AC BD =•=⨯⨯=故选B ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质以及勾股定理等知识，解题的关键是证得四边形ABCD 为菱形．7．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点C 作CE ⊥AD 于点E ，连接OE ，若OB ＝6，S 菱形ABCD ＝60，则OE 的长为（ ）A ．23B ．5C ．5D ．6【答案】C【分析】 先根据菱形的性质、面积公式可得AC 的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得．【解析】四边形ABCD 是菱形，6OB =，212BD OB ∴==，OA OC =，162ABCD BD AC S AC =⋅=菱形， 60ABCD S =菱形，660AC ∴=，解得10AC =，又OA OC =，CE AD ⊥，OE ∴是Rt ACE △斜边AC 上的中线，1110522OE AC ∴==⨯=， 故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握菱形的性质是解题关键．8．如图，在菱形ABCD 中，E F ，分别是BC CD ，的中点，设ABCD S S =四边形，1AEF S S ∆=，则（ ）A ．112S S =B ．112S S <C ．112S S >D ．152S S = 【答案】B【分析】利用三角形的中线得到12AECF S S =四边形，判断出A 、C 错误，B 符合题意，利用三角形中位线定理求得CEF 18S S =，通过计算得到183S S =，即可得到正确的答案． 【解析】连接BD 、AC ，∵E ，F 分别是BC ，CD 的中点， ∴ABE ABC ADF ACD 1122S S S S ==，， ∴A CD 1122AECF B S S S ==四边形菱形， ∵AEF AECF S S <四边形，即112S S <，故A 、C 错误，B 符合题意； ∵E ，F 分别是BC ，CD 的中点，∴EF=12BD ，EF ∥BD ， ∴CEF CBD A CD 111488B S S S S ===菱形，∴1AEF CEF 113288AECF S S S S S S S ==-=-=四边形， 即183S S =，故D 错误，故选：B ．【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中线有关的面积计算，三角形中位线与三角形的面积，熟练掌握菱形的性质是解决问题的关键．9．如图，在▱ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ，以A 为圆心，AB 为半径的弧交AD 于点F ，连接EF ．若BF ＝6，AB ＝5，则四边形ABEF 面积是（ ）A ．12B ．24C ．36D ．48【答案】B【分析】 根据题意AB ＝AF ，利用角平分线和平行证明BA ＝BE ，用一组对边平行且相等证明四边形ABEF 为平行四边形，再用邻边相等证明它是菱形，最后用菱形面积公式计算面积．【解析】记AE 与BF 相交于O 点，如图，由作法得AB ＝AF ＝10，AE 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝∠DAE ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠BEA ，∴∠BAE ＝∠BEA ，∴BA ＝BE ，∴AF ＝BE ，∵AF ∥BE ，∴四边形ABEF 为平行四边形，∵AB＝AF，∴四边形ABEF为菱形，∴OA＝OE，OB＝OF＝12BF＝3，AE⊥BF，在Rt△AOB中，OA22534=-=，∴AE＝2AO＝8，∴四边形ABEF面积116824 22AE BF=⋅=⨯⨯=．故选：B．【点睛】本题考查角平分线的性质，菱形的判定和面积求解，解题的关键是根据题目中的角平分线和平行的条件能够证明等腰三角形，再根据菱形的判定和面积公式求四边形面积．10．如图，在菱形ABCD中，AE是菱形的高，若对角线AC、BD的长分别是6、8，则AE的长是()A．174B．245C．163D．5【答案】B【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，BO=DO=4，CO=AO=3，由勾股定理可求CB=5，由菱形的面积公式可求AE的长．【解析】解：四边形ABCD是菱形AC BD∴⊥，4BO DO==，3CO AO==225BC BO CO ∴=+=12ABCD S AC BD BC AE =⨯⨯=⨯菱形 245AE ∴=245AE ∴= 故选B ．【点睛】本题菱形的性质，熟练运用菱形的面积公式是本题的关键．11．如图，菱形ABCD 的边长为13，对角线AC 的长为24，延长AB 至E ，BF 平分CBE ∠，点G 是BF 上任意一点，则ACG 的面积为（ ）A ．30B ．60C ．90D ．120【答案】B【分析】 连接BD 交AC 于点O ，根据菱形的性质可得BD 与AC 互相垂直平分，再根据AC 平分∠DAB ，BF 平分∠CBE ，可以证明AC ∥FB ，根据平行线间的距离处处相等可得S △CBG =S △ABG ，进而可得S △ACG =S △ABC ．【解析】解：如图，连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴BD 与AC 互相垂直平分，∴OA=OC=12，∴OB=OD=221312=5，∵DA∥CB，∴∠DAB=∠CBE，∵AC平分∠DAB，∴∠CAB=12∠DAB，∵BF平分∠CBE，∴∠FBE=12∠CBE，∴∠CAB=∠FBE，∴AC∥FB，∴S△CBG=S△ABG，∴S△ACG=S△ABC=12×AC•OB=12×24×5=60，则△ACG的面积为60．故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的面积，解决本题的关键是掌握菱形的性质．12．两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，AB=AF，AE=BC．若AB=1，BC=3，则图中重叠（阴影）部分的面积为（）．A．2 B3C．53D．43【答案】C【分析】证得四边形AGCH是平行四边形，由△ABG≌△CEG（AAS），证得四边形AGCH是菱形，设AG=CG=x，则BG=BC-CG=3-x，在Rt△ABG中，由勾股定理得出方程，解方程求得CG的长，即可求出菱形AGCH的面积．【解析】设BC 交AE 于G ，AD 交CF 于H ，如图所示：∵四边形ABCD 、四边形AECF 是全等的矩形，∴AB=CE ，∠B=∠E=90°，AD ∥BC ，AE ∥CF ，∴四边形AGCH 是平行四边形，在△ABG 和△CEG 中，AGB CGE B EAB CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABG ≌△CEG （AAS ），∴AG=CG ，∴四边形AGCH 是菱形，设AG=CG=x ，则BG=BC-CG=3-x ，在Rt △ABG 中，由勾股定理得：12+(3-x)2=x 2，解得：x=53， ∴CG=53， ∴菱形AGCH 的面积=CG ⋅AB=55133⨯=， 即图中重叠（阴影）部分的面积为53． 故选：C ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．菱形的周长为12cm ，一个内角等于120︒，则这个菱形的面积为_________2cm ． 932【分析】作AE ⊥BC 于E ，由直角三角形的性质求出菱形的高AE ，再运用菱形面积公式＝底×高计算即可．【解析】解：作AE⊥BC于E，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，周长为12cm，∠BCD＝120°，∴AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，∵AE⊥BC，∴∠BAE＝30°，∴BE＝12AB＝32cm，AE=3BE＝332cm，∴菱形的面积＝BC•AE＝3×332932cm2）；932【点睛】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质、菱形的面积等知识；熟练掌握菱形的性质，求出菱形的高是解决问题的关键．14．己知菱形ABCD的边长是3，点E在直线AD上，DE=1，联结BE与对角线AC相交于点M，则AMMC的值是______．【答案】23或43【分析】首先根据题意作图，注意分为E在线段AD上与E在AD的延长线上，然后由菱形的性质可得AD∥BC，则可证得△MAE∽△MCB，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．【解析】解：∵菱形ABCD的边长是3，∴AD=BC=3，AD∥BC，如图①：当E在线段AD上时，∴AE=AD－DE=3－1=2，∴△MAE∽△MCB，∴23 MA AEMC BC==；如图②，当E在AD的延长线上时，∴AE=AD+DE=3+1=4，∴△MAE∽△MCB，∴43 MA AEMC BC==．∴MAMC的值是23或43．故答案为23或43．【点睛】此题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键是注意此题分为E在线段AD 上与E在AD的延长线上两种情况，小心不要漏解．15．如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF 并延长与AB的延长线相交于点G，则EG ＝____．【答案】10；【分析】连接菱形的另一条对角线，利用菱形性质特征和勾股定理可求BD长；利用三角形中位线定理可得EF长；在利用三角形全等可证EF GF=即可得解．【解析】连接BD 交AC 与点O ，在菱形ABCD 中 ∵111222AC BD OC OA AC OD OB BD ⊥=====，，， 在RT DOC △中 222213125OD DC OC =-=-=，∴10BD =，∵点E 、F 分别是边CD 、BC 的中点，∴152EF BD ==， ∵//AB CD ，∴BGF CEF GBF ECF ∠=∠∠=∠，，又∵CF BF =，∴BGF CEF ≅△△，∴5EF GF ==，∴10EG =．故答案为：10．【点睛】本题主要考查菱形的性质特征、三角形的中位线定理、平行线性质、勾股定理以及全等三角形等．中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．运用三角形中位线定理求线段长的方法：当题中有中点，特别是一个三角形中出现两边中点时，我们常常考虑运用三角形的中位线来解决问题，首先证明出它是三角形的中位线，然后利用中位线构造线段这间的关系，并由此建立待求线段与已知线段的联系，从而求出线段的长．16．在数学必修拓展课上，小兰利用一张直角三角形纸片折出了一个菱形AFDE ，如图所示，若∠ACB ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，则折痕EF 的长为______．【答案】354【分析】过点D 作DH ⊥AB 于 H ，连结AD 、EF ，设CD=x ，则DH=x ，BD=4−x ，由勾股定理求得x 的值，设CF=y ，则 AF=3−y=FD ，由勾股定理求得y 的值，由菱形的性质得AD 与EF 垂直平分，进而求得EF 的长．【解析】解：如图，过点D 作DH ⊥AB 于 H ，连结AD 、EF ，∵菱形AFDE ，∴AD 平分∠BAC ，∵∠ACB=90°，∴CD=DH ，∴AH=AC=3，设CD=x ，则DH=x ，BD=4−x ，∵2222345AC BC +=+=，∴HB=5−3=2，在Rt △DBH 中，()22222242BD DH BH x x =+-=+，，∴x=1.5，即CD=1.5，设CF=y ，则AF=3−y=FD ，在Rt △CDF 中，()222222321.534CF CD FD y y y +=+=-=，，， 即CF=324，∴AF=3−324， 在Rt △ACD 中，2222363 1.5AC CD +=+=， ∴AO=136362=，由菱形的性质得AD 垂直平分EF ，OF=22223236353448AF AO ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴EF=2OF= 3535284⨯=， 故答案为35． 【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，角平分线的性质．17．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH AB ⊥于点H ，连接OH ，若20DHO ∠=︒，则HDB ∠的度数是______．【答案】20︒【分析】先根据菱形的性质得OD ＝OB ，而DH ⊥AB ，所以OH 为Rt △DHB 的斜边DB 上的中线，得到OH ＝OD ，利用等腰三角形的性质得∠HDB ＝∠DHO ．【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴OD ＝OB ，∵DH ⊥AB ，∴∠DHB ＝90°，∴OH 为Rt △DHB 的斜边DB 上的中线，∴OH ＝OD ，∴∠HDB ＝∠DHO ＝20°，故填：20°．【点睛】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．已知：如图，点P 是边长为2的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，点M 是AB 边的中点，且60BAD ∠=︒，则MP PB +的最小值是_______．【答案】3 【分析】 找出B 点关于AC 的对称点D ，连接DM ，则DM 就是PM+PB 的最小值，求出即可．【解析】解：连接DE 交AC 于P ，连接BD ，BP ，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B 、D 关于AC 对称，则PD=PB ，∴PE+PB=PE+PD=DE ，即DM 就是PM+PB 的最小值，∵∠BAD=60°，AD=AB ，∴△ABD 是等边三角形，∵AE=BE ，∴DE ⊥AB （等腰三角形三线合一的性质）在Rt △ADE 中，DM=22AD AM －=2221=3－．故PM+PB 的最小值为3．故答案为：3．三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ．过点B 作AC 的平行线，过点C 作BD的平行线，两线相交于点P ．（1）求证：四边形OBPC 是菱形．（2）已知3AB =，5BC =，求四边形OBPC 的面积．【答案】（1）证明过程见解析；（2）152OBPC S =四边形 【分析】（1）根据平行四边形的判定证得四边形OBPC 是平行四边形，再根据矩形的性质可知OB=OC ，然后根据菱形的判定即可证得结论；（2）根据菱形的性质和三角形的中线将三角形面积平分可证得四边形OBPC 的面积等于三角形ABC 的面积，利用直角三角形的面积公式即可解答．【解析】（1）∵//BP OC ，//CP OB ，∴四边形OBPC 是平行四边形，在矩形ABCD 中，AC BD =，且AC 与BD 互相平分，∴OB OC =，∴'平行四边形OBPC 是菱形．（2）∵四边形OBPC 是菱形，∴OBC BCP S S =△△，又∵AO OC =，∴AOB BOC S S =△△，∴OBC BCP AOB S S S ==△△△，∴四边形OBPC 的面积等于三角形ABC 的面积， ∴11522ABC S AB BC =⋅=△， ∴152OBPC S =四边形． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、三角形的中线与面积关系、三角形的面积公式，属于基础题型，难度适中，解答的关键是熟练掌握菱形的判定与性质的应用．20．如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F．（1）求证：AE＝BF；（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．【答案】（1）见解析；（2）BD=2【分析】（1）根据菱形的性质和平行线的性质得到AB＝BC，∠A＝∠CBF，结合垂直的性质得到△AEB≌△BFC，根据三角形全等的性质即可证明；（2）首先证明BE是AD的垂直平分线，然后根据垂直平分线的性质即可求解．【解析】（1）证明：四边形ABCD是菱形∴AB＝BC，AD∥BC∴∠A＝∠CBF∵BE⊥AD、CF⊥AB∴∠AEB＝∠BFC＝90°∴△AEB≌△BFC（AAS）∴AE＝BF（2）∵E是AD中点，且BE⊥AD∴直线BE为AD的垂直平分线∴BD＝AB＝2【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的证明，垂直平分线的性质，关键是要利用好菱形的性质求解．，连接CE．21．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE DE（1）求证：DE CE =．（2）当EA AB ⊥于点A ，1AE ED ==时，求菱形的边长．【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）根据SAS 证明△ADE ≌△CDE ，从而得到AE ＝CE ，再根据AE ＝DE ，再得出结论；（2）连接AC 交BD 于H ，由菱形的性质可得AB=AD ，AC ⊥BD ，BH=DH ，AH=CH ，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠DAE=∠ADE=∠ABD=30°，利用直角三角形的性质可求解即可．【解析】（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝DC ，∠ADE ＝∠CDE ，在△ADE 和△CDE 中，AD DC ADE CDE DE DE ⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝＝ ，∴△ADE ≌△CDE （SAS ），∴AE ＝CD ，又∵AE=DE ，∴DE CE =；（2）如图，连接AC 交BD 于H ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=AD ，AC ⊥BD ，BH=DH ，AH=CH ，∴∠ABD=∠ADB ，∵AE═ED=1，∴∠DAE=∠EDA ，∴∠DAE=∠ADE=∠ABD ，∵∠DAE+∠ADE+∠BAE+∠ABD=180°，∴∠DAE=∠ADE=∠ABD=30°，∴BE=2AE=2，∴BD=BE+DE=3，∴BH=DH=32， ∵∠ABD=30°，AH ⊥BD ，∴AB=2AH ，BH=3 AH ，∴AH=3，AB=2AH=3， ∴菱形的边长为3．【点睛】考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，解题关键是灵活运用其性质． 22．如图，ABC ∆中，90BCA ∠=︒，CD 是边AB 上的中线，分别过点C ，D 作BA 和BC 的平行线，两线交于点E ，且DE 交AC 于点O ，连接AE ．（1）求证：四边形ADCE 是菱形；（2）若60B ∠=︒，6BC =，求四边形ADCE 的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）S 菱形ADCE 183=【分析】（1）先证明四边形ADCE 为平行四边形，再证明AC ⊥DE 即可证明；（2）根据勾股定理得到AC 的长度，由含30度角的直角三角形的性质求得DE 的长度，然后由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求．【解析】（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB，∴四边形DBCE是平行四边形．∴EC∥DB，且EC=DB．在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∴AD=DB=CD．∴EC=AD．∴四边形ADCE是平行四边形．∴ED∥BC．∴∠AOD=∠ACB．∵∠ACB=90°，∴∠AOD=∠ACB=90°，∴AC⊥DE，∴ADCE是菱形；（2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B=60°，BC=6，∴AD=DB=CD=6．∴AB=12，由勾股定理得AC=63．∵四边形DBCE是平行四边形，∴DE=BC=6．∴S菱形ADCE6361832AC ED⋅⨯===．【点睛】本题主要考查菱形的性质和判定以及面积的计算，含30°角的直角三角形．（1）掌握菱形的判定定理并能灵活运用是解题关键；（2）中理解菱形的面积等于对角线的乘积的一半是解题关键．23．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）当AC=6时，求出四边形OCED的周长.【答案】（1）详见解析；（2）12【分析】（1）首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形OCED是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD，即可判定四边形OCED是菱形，（2）求出OC=OD=3，由菱形的性质即可得出答案．【解析】（1）∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形OCED为平行四边形，又∵四边形 ABCD 是矩形，∴OD=OC，∴四边形OCED为菱形；（2）∵四边形 ABCD 是矩形，∴OC=OD=12 AC，又∵AC=6，∴OC=3，由（1）知，四边形OCED为菱形，∴四边形OCED的周长为=4OC=4×3=12．【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．24．如图，四边形ABCD中，60B︒∠=，连接对角线AC，AC BC=，点E在AB上，将CE绕点C顺时针旋转60︒得到CF，且点F在AD上．（1）求证：AF BE=；（2）若AE DF=，求证：四边形ABCD是菱形．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）证明ABC ∆是等边三角形，由旋转的性质得出CE CF =，60ECF ︒∠=，通过证明ACF BCE ∆≅∆进行求证；（2）由已知条件可求出AD BC =，由（1）可证//AD BC ，进而可得出四边形ABCD 是平行四边形，最后根据邻边相等的平行四边形是菱形进行求证．【解析】证明：（1）∵60B ︒∠=，AC BC =，ABC ∆∴是等边三角形，60ACB ︒∴∠=，AB AC BC ==， CE 绕点C 顺时针旋转60︒得到CF ，CE CF ∴=，60ECF ︒∠=，∵ACB ACE ECB ∠=∠∠＋，ECF ACE ACF ∠=∠∠＋，BCE ACF ∴∠=∠，在ACF 和BCE 中AC BC ACF BCE CF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACF BCE SAS ∴∆≅∆，AF BE ∴=；（2）AE DF =，AF BE =，DF AF AE BE ∴+=+，即AB AD =，又AB BC =，AD BC ∴=，由（1）知BCE ACF ∆∆≌，60B CAF ︒∴∠=∠=，60ACB CAF ︒∴∠=∠=，//AD BC ∴，∴四边形ABCD 是平行四边形，又AB AD =，∴四边形ABCD 是菱形．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，旋转的性质，平行四边形与菱形的判定，由已知条件证明BCE ACF ∆∆≌是解题的关键．。
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我要买的物品都 在打折，赶紧去 抢购吧！
Kitty和小熊在国庆节 那天一起去逛商场……
说 一 说 下列物品中有什么图形
菱
1
1 4
形
4
3
2
2
3
注意： 菱形4条边都相等.
摆一摆
摆出菱形
找一找 找出菱形
（
）
（
√
）（Leabharlann ）（√）
（
）
（
√
）
（
）
（
√
）
哇!带有菱形 的 物品还真 不少啊！
我们拍一些照 片拿回去给同 学们看看吧!
图形宝宝要回家了,快 来帮忙 ! 这是我家
这是我家 我家在这儿
……
该下课了！
给你留个作业：
1.选一个或几个自己喜欢的 菱形给它涂上喜欢的颜色. 2.去生活中找找看哪里有菱 形,说个同学和爸爸妈妈听.
给下面的菱形涂上你喜欢的颜色.