第4章 数据的描述性分析

=
n
∑
n
i =1
1 xi
加权调和平均数
xH m 1 + m 2 + ...... + m n = = m m1 m + 2 + ...... + n x1 x2 xn
∑m ∑
i =1 n i =1
n
i
mi xi
调和平均数是算术平均数的变形
x
H
=
∑m ∑
i =1 n i =1
n
i
mi xi
=
∑ ∑
n x−x SK = ∑ s (n −1)(n − 2)
3
3 - 45
统计学
STATISTICS
3 - 46
统计学
STATISTICS
峰态
(kurtosis) kurtosis)
统计学家Pearson于1905年首次提出。数据分布峰值的高低 统计学家Pearson于1905年首次提出。数据分布峰值的高低 kurtosis) 测度统计量是峰态系数( 测度统计量是峰态系数(coefficient of kurtosis) 峰态系数=0扁平峰度适中 峰态系数=0扁平峰度适中 峰态系数<0为扁平分布 峰态系数<0为扁平分布 峰态系数>0为尖峰分布 峰态系数>0为尖峰分布 计算公式
哪名运动员的发挥更稳定?
最后的比赛结果是，中国运动员郭文珺凭借决赛的稳 定发挥，以总成绩492.3环夺得金牌，预赛排在第1名 的俄罗斯运动员纳塔利娅·帕杰林娜以总成绩489.1 环获得银牌，预赛排在第4名的格鲁吉亚运动员妮 诺·萨卢克瓦泽以总成绩487.4环的成绩获得铜牌， 而预赛排在第3名的蒙古运动员卓格巴德拉赫·蒙赫 珠勒仅以479.6环的成绩名列第8名。 由此可见，在射击比赛中，运动员能否取得好的成绩， 发挥的稳定性至关重要。那么，怎样评价一名运动员 的发挥是否稳定呢？通过本章内容的学习就能很容易 回答这样的问题。
平均数
易受极端值影响 数学性质优良，实际中最常用 数据对称分布或接近对称分布时代表性较好
中位数
不受极端值影响 数据分布偏斜程度较大时代表性接好
众数
不受极端值影响 具有不惟一性 数据分布偏斜程度较大且有明显峰值时代表性较好
3 - 32
极差与四分位差
极差也叫全距，是一组数据的最大值与 最小值之离差，即：
二、位置平均数
1. 中位数 2. 众数
离散程度的 第二节 离散程度的描述 描述 一、绝对指标
1. 极差与四分位差 2. 平均差 3. 标准差与方差
二、相对指标～离散系数
数据标准化
集中趋势
集中趋势反映的是一组数据向某一中心 值靠拢的倾向，在中心附近的数据数目较 多，而远离中心的较少。对集中趋势进行 描述就是寻找数据一般水平的中心值或代 表值。
第四章 数据的描述性分析
王文举
统计名言 一些人使用统计就像喝醉酒的人 使用街灯柱—支撑的功能多于照 明。 ——Andrew Lang
哪名运动员的发挥更稳定?
在奥运会女子10米气手枪比赛中 在奥运会女子 10米气手枪比赛中， 每个运动员首先进行 10 米气手枪比赛中， 每组10枪共4组的预赛， 10枪共 每组10枪共4组的预赛，然后根据预赛总成绩确定进入决 赛的8名运动员。决赛时8名运动员再进行10枪射击， 10枪射击 赛的 8 名运动员 。 决赛时 8 名运动员再进行 10 枪射击 ， 再 将预赛成绩加上决赛成绩确定最后的名次。 将预赛成绩加上决赛成绩确定最后的名次。 2008年 10日举行的第29届北京奥运会女子10米气手 日举行的第29届北京奥运会女子10 在2008年8月10日举行的第29届北京奥运会女子10米气手 枪决赛中，进入决赛的8名运动员的预赛成绩和最后10 10枪 枪决赛中，进入决赛的8名运动员的预赛成绩和最后10枪 的决赛成绩如下表： 的决赛成绩如下表：
−
M
D
=
i=1
加权式平均差
M
D
=
∑
n
x − x f
−
i=1
i
∑
i
f
i=1
i
标准差与方差
标准差又称均方差，它是各单位变量值与其平 均数离差平方的平均数的方根，通常用 σ 表示。 它是测度数据离散程度的最主要方法。
◆简单式标准差 ◆总体与样本标准差 ◆加权式标准差
方差是各变量值与其算术平均数离差平方和的 平均数，即是标准差的平方，用 σ 2 表示总体的 方差；用 s 2 表示样本的方差。
n
∏
n
xi
i =1
加权几何平均数
xG =
f 1 + f 2 + ...... + f n
x1
f1
⋅ x2
Байду номын сангаасf2
⋅ ...... ⋅ x n
fn
= ∑
f
∏
i =1
n
fi
xi
中位数
中位数是一组数据按大小顺序排列后， 处于中间位置的那个变量值，通常用M 表 示。其定义表明，中位数就是将某变量的 全部数据均等地分为两半的那个变量值： 一半数值小于中位数，另一半数值大于中 位数。中位数是一个位置代表值，因此它 不受极端变量值的影响。
简单式标准差
σ =
∑
n
i =1
(xi − x)2 n
−
加权式标准差
σ =
∑
n
i =1
(xi − x)2 fi
−
∑
n
i =1
fi
总体与样本标准差
总体 简单式 样本
2 n −
σ=
∑ (x
i =1
i
− x)
s=
∑
i =1
n
( xi − x) 2 n −1
−
n
n
加权式
σ =
∑
n
i =1
(xi − x)
调和平均数（Harmonic mean）是各 变量值倒数的算术平均数的倒数。由于它 是根据变量值倒数计算的，所以又称作倒 数平均数，通常用 x 表示。
− H
◆简单调和平均数 ◆加权调和平均数 ◆调和平均数是算术平均数的变形
简单调和平均数
x
H
=
n 1 1 1 + + ...... + x1 x2 xn
3 - 43
统计学
STATISTICS
数据分布的形状— 数据分布的形状—偏态与峰态
峰态
偏态
左偏分布
扁平分布
与标准正态 分布比较！ 分布比较！
右偏分布
3 - 44
尖峰分布
统计学
STATISTICS
偏态
(skewness) skewness)
统计学家Pearson 于 1895年首次提出 。 统计学家 Pearson于 1895 年首次提出。 是指数据分布的 不对称性 测度统计量是偏态系数( 测度统计量是偏态系数(coefficient of skewness) skewness) 2. 偏态系数=0为对称分布；>0为右偏分布；<0为左偏 偏态系数= 为对称分布；> 为右偏分布；< 分布 偏态系数大于1或小于偏态系数大于1或小于-1，为高度偏态分布；偏态系数在 0.5～1或-1～-0.5之间，为是中等偏态分布；偏态系 之间， 数越接近0 数越接近0，偏斜程度就越低 计算公式
算术平均数
算术平均数是总体中各个体的某个数量 标志的总和与个体总数的比值，一般用符 号 x 表示。
−
某数量标志的总和 算术平均数 = 对应的个体总数
◆简单算术平均数 ◆加权算术平均数 ◆算术平均数的数学性质
简单算术平均数
x + x 2 + ....... + x n = x = 1 n
∑
n
i =1
1. 标准差与其相应的均值之比 对数据相对离散程度的测度 消除了数据水平高低和计量单位的影响 4. 用于对不同组别数据离散程度的比较 5. 计算公式为
s vs = x
3 - 42
统计学
STATISTICS
离散系数
(例题分析) 例题分析)
【 例 】评价哪名运动员的发挥更稳定
发挥比较稳定的运动员是塞尔维亚的亚斯娜· 发挥比较稳定的运动员是塞尔维亚的亚斯娜·舍卡里奇和中国 的郭文珺，发挥不稳定的运动员蒙古的卓格巴德拉赫· 的郭文珺，发挥不稳定的运动员蒙古的卓格巴德拉赫·蒙赫珠 勒和波兰的莱万多夫斯卡· 勒和波兰的莱万多夫斯卡·萨贡
四分位数— 四分位数—用3个点等分数据
(quartile) quartile)
排序后处于25%和75%位置上的值 排序后处于25%和75%位置上的值
25%
Q1
25%
Q2
25%
25%
Q3
2. 不受极端值的影响
3 - 27
众数
众数是一组数据中出现次数最多的那 个变量值，通常用 M 表示。
o
◆由未分组数据确定众数 ◆由单项数列确定众数
由单项数列确定中位数
f 先计算各组的累计次数，再按公式 ∑
i =1 n i
+1
确定
2
中位数的位置，并对照累计次数确定中位数。
分位数 三个数值可以将变量数列划分为项 数相等的四部分，这三个数值就定义 为四分位数。 十分位数和百分位数分别是将变量 数列十等分和一百等分的数值 。
统计学
STATISTICS
R = max( x i ) − min( x i )
四分位差是指第三四分位数与第一四分 位数之差，也称为内距或四分间距，计算 公式为：
Q
r
= Q
3
− Q
1
平均差