待定系数法

三、待定系数法 适用于1()n n a qa f n +=+
基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

1．形如
0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型
（1）若c=1时，数列{
n a }为等差数列; （2）若d=0时，数列{
n a }为等比数列;
（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅
助数列来求.
待定系数法：设
)(1λλ+=++n n a c a ,
得
λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+比较系数得
d c =-λ)1(,所以
)0(,1≠-=
c c
d λ所以有：
)1(11-+=-+-c d a c c d a n n 因此数列⎭⎬
⎫⎩
⎨⎧-+1c d a n 构成以11-+c d a 为首项，以c 为公比的等比数列， 所以
11)1(1-⋅-+=-+
n n c c d a c d a 即：
1)1(11--⋅-+=-c d c c d a a n n . 规律：将递推关系
d ca a n n +=+1化为
)1(11-+=-+
+c d
a c c d a n n ,构造成公比为c 的
等比数列
}1{-+
c d a n 从而求得通项公式)1(1111-++-=-+c d
a c c d a n n
逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系
d ca a n n +=+1中把n 换成n-1有
d ca a n n +=-1,两式相减有)(11-+-=-n n n n a a c a a 从而化为公比为c 的等比数列
}{1n n a a -+,进而求得通项公式. )(121a a c a a n n n -=-+,再利用类型(1)即可求得通项公式.
我们看到此方法比较复杂.
例6已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。

解法一：
121(2),n n a a n -=+≥
112(1)n n a a -∴+=+ 又
{}112,1n a a +=∴+是首项为2，公比为2的等比数列
12n n a ∴+=，即21n n a =- 解法二：
121(2),n n a a n -=+≥
121n n a a +∴=+
两式相减得112()(2)n n n n a a a a n +--=-≥，故数列{}1n n a a +-是首项为2，公比
为2的等比数列，再用累加法的……
练习．已知数列
}{n a 中，
,2121,211+=
=+n n a a a 求通项n a 。

答案：1
)21
(1+=-n n a
2．形如：n n n q a p a +⋅=+1 (其中q 是常数，且n ≠0,1)
①若p=1时，即：n
n n q a a +=+1，累加即可.
②若1≠p 时，即：n n n q a p a +⋅=+1，
求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以1
+n p .目的是把所求数列构造成等差数列
即：
n n
n n n q p p q a p a )(111
⋅+
=
++,令n
n n p a b =，则
n n n q p
p b b )(11⋅=-+,然后类型1，累加求通项.
ii.两边同除以1
+n q
. 目的是把所求数列构造成等差数列。

即：
q q a q p q a n n n n 1
1
1
+⋅=
++,
令
n n
n q a b =
,则可化为
q b q p b n n 11+⋅=
+.然后转化为类型5来解，
iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列
设
)(11n
n n n p a p q a ⋅+=⋅+++λλ.通过比较系数，求出λ，转化为等比数列求通项. 注意：应用待定系数法时，要求p ≠q ，否则待定系数法会失效。

例7已知数列{}n a 满足1
1
12431n n n a a a -+=+⋅=，，求数列{}n a 的通项公式。

解法一（待定系数法）：设1
1123(3n n n n a a λλλ-++=+⋅)，比较系数得124,2λλ=-=，
则数列
{}
143n n
a
--⋅是首项为
11
1435a --⋅=-，公比为2的等比数列， 所以114352n n n a ---⋅=-⋅，即11
4352n n n a --=⋅-⋅
解法二（两边同除以1
+n q
）： 两边同时除以13n +得：
112
24
3333n n n n a a ++=⋅+，下面解法略 解法三（两边同除以1+n p ）： 两边同时除以12+n 得：n
n n n n a a )23(3422
11⋅+=++，下面解法略
练习.（2003天津理）
设0a 为常数，且
)(2311
N n a a n n n ∈-=--．证明对任意n ≥1，
12)1(]2)1(3[51
a a n n n n n n ⋅-+⋅-+=-；
3．形如
b kn pa a n n ++=+1 (其中k,b 是常数，且0≠k )
方法1：逐项相减法（阶差法） 方法2：待定系数法 通过凑配可转化为 ))1(()(1y n x a p y xn a n n +-+=++-;
解题基本步骤： 1、确定()f n =kn+b
2、设等比数列
)(y xn a b n n ++=，公比为p
3、列出关系式
))1(()(1y n x a p y xn a n n +-+=++-,即1-=n n pb b
4、比较系数求x,y
5、解得数列
)(y xn a n ++的通项公式
6、解得数列
{}n a 的通项公式
例9. 在数列{}n a 中，
3
62,23
11-=-=
-n a a a n n ,求通项n a .（待定系数法）
解：原递推式可化为
y n x a y xn a n n ++-+=++-)1()(21
比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为
12-=n n b b
所以
{}n b 是一个等比数列，首项
299611=
+-=n a b ,公比为21.1
)21
(29-=∴n n b
即：
n
n n a )21
(996⋅=+- 故9
6)21
(9-+⋅=n a n n .
4．形如
c n b n a pa a n n +⋅+⋅+=+2
1 (其中a,b,c 是常数，且0≠a ) 基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函
数。

例10 已知数列{}n a 满足21123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：设221(1)(1)2()n n a x n y n z a xn yn z ++++++=+++ 比较系数得3,10,18x y z ===，
所以2213(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++ 由213110118131320a +⨯+⨯+=+=≠，得2310180n a n n +++≠
则212
3(1)10(1)18231018
n n a n n a n n ++++++=+++，故数列2{31018}n a n n +++为以21311011813132a +⨯+⨯+=+=为首项，以2为公比的等比数列，因此2131018322n n a n n -+++=⨯，则42231018n n a n n +=---。

5.形如21 n n n a pa qa ++=+时将n a 作为()f n 求解
分析：原递推式可化为211()() n n n n a a p a a λλλ++++=++的形式，比较系数可求得λ，数列{}1n n a a λ++为等比数列。

例11 已知数列
{}n a 满足211256,1,2n n n a a a a a ++=-=-=，求数列{}n a 的通项公式。

解：设
211(5)()n n n n a a a a λλλ++++=++
比较系数得3λ=-或2λ=-，不妨取2λ=-，（取-3 结果形式可能不同，但本质相同）
则
21123(2)n n n n a a a a +++-=-，则{}12n n a a +-是首项为4，公比为3的等比数列
11243n n n a a -+∴-=⋅，所以114352n n n a --=⋅-⋅
练习.数列{}n a 中，若2,821==a a ,且满足03412
=+-++n n n a a a ,求n a .
答案： n
n a 311-=.。