2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

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2009年全国初中数学竞赛(江西赛区)预赛试卷(含答案)

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3b 23a 0b -a 23b 23a 0b -a 20b -a 23-a 20b -a 2b 2-6b -a 23-a 2y b -a 2b 2-6x ＞＜＜或＜＞＞即＞＞由已知，得种情况共，，或种情况共有，，，，3654b 1a ;102521b 65423a ⎩⎨⎧===⨯⎩⎨⎧==2009年全国初中数学江西赛区预赛试题（九年级）（2009年3月22日上午9：30~11：30）喻老师整理一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）以下每道小题均给出代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填，多填或错填都的0分）1、已知非零实数a 、b 满足|2a-4|+|b+2|+(a-3)b 2 +4=2a ，则a+b 等于（）A 、-1B 、0C 、1D 、2解有题设知a≥3，题设等式化为|b+2|+(a-3)b 2 =0，于是a=3，b=-2，从而a+b=1，选C2、如图所示，菱形ABCD 边长为a ，点O 在对角线AC 上一点，且OA=a ，OB=OC=OD=1,则a 等于（）A 、5+12B 、5-12C 、1D 、2解：∵△BOC ∽△ABC ，∴B0AB =BC AC 即1a =a a+1∴a 2-a-1=0由于a ＞0，解得a=5+12 ，选A3、将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方形骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=+=+2y 2x 3by ax 只有正数解的概率为（）A 、112B 、29C 、518D 、1336解当2a-b=0时，方程组无解当2a-b ≠0时，方程组的解为由a 、b 的实际意义为1，2，3，4，5，6可得又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况，故所求概率为1336 选D4、如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=90°，动点P 从点B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A 运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，把y 看作x 的函数，函数图象如图2所示，则△ABC 的面积为（）A 、10B 、16C 、18D 、32解根据图象可得BC=4,CD=5,DA=5,进而求的AB=8，故S △ABC =12 ×8×4=16 选B5、关于x 、y 的方程x 2+xy+y 2=29的整数解（x 、y ）的组数为（）A 、2组B 、3组C 、4组D 、无穷多组解可将原方程视为关于x 的二次方程，将其变形为x 2+yx+（2y 2-29）=0 由于该方程有整数根，根据判别式△≥0，且是完全平方数由△=y 2-4(2y 2-29)= -7y 2+116≥0解得y 2≤116 ≈16.57显然只有y 2=16时，△=4是完全平方数，符合要求当y=4时，原方程为x 2+4x+3=0，此时x 1=-1，x 2=-3当y=-4时，原方程为x 2-4x+3=0，此时x 3=1，x 4=3所以，原方程的整数解为⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==4-y 3x 4-y 1x 4y 3-x 4y 1-x 44332211；；；选C 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6、一自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎。

全国初中数学联合数学竞赛试题(2009年)

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题参考答案答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.2．解答书写时不要超过装订线. 3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，则444y x+的值为（）．（A ）7 （B ）（C ）（D ）5 【答】（A ）解：因为20x >，2y ≥0，由已知条件得21x ==， 2y ==，所以444y x +=22233y x ++- 2226y x=-+=7．另解：由已知得：2222222()()30()30x x y y ⎧-+--=⎪⎨⎪+-=⎩，显然222y x -≠，以222,y x -为根的一元二次方程为230t t +-=，所以 222222()1,()3y y x x-+=--⨯=- 故444y x +＝22222222[()]2()(1)2(3)7y y x x-+-⨯-⨯=--⨯-= 2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的（第3题）图象与x 轴有两个不同交点的概率是（）．（A ）512 （B ）49 （C ）1736（D ）12【答】（C ）解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知∆＝24m n -＞0，即2m ＞4n .通过枚举知，满足条件的m n ，有17对. 故1736P =. 3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．（A ）6条（B ） 8条（C ）10条（D ）12条【答】（B ）解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ，F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线．所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．4．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB AB a ==，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（）．（A（B ）1 （C （D ）a 【答】（B ）解：如图，连接OE ，OA ，OB ．设D α∠=，则 120ECA EAC α∠=︒-=∠．又因为()1160180222ABO ABD α∠=∠=︒+︒-120α=︒-，所以ACE △≌ABO △，于是1AE OA ==．另解：如图，作直径EF ，连结AF ，以点B 为圆心，AB 作⊙B，因为AB ＝BC ＝BD ，则点A ，C ，D 都在⊙B 上，（第4题）由11603022F EDA CBA ∠=∠=∠=⨯︒=︒ 所以2301AE EF sim F sim =⨯∠=⨯︒=5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）．（A ）2种（B ）3种（C ）4种（D ）5种【答】（D ）解：设12345a a a a a ，，，，是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．首先，对于1234a a a a ，，，，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．又如果i a （1≤i ≤3）是偶数，1i a +是奇数，则2i a +是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u v uv v *=+．若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是．【答】0a >，或1a <-．解：由1()4x a x **=-，得21(1)(1)04a x a x ++++=，依题意有 210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩，，解得，0a >，或1a <-．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔（第8题）D 3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是x 米/分，小王行走的速度是y 米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s 米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则 s y x =-66． ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则s y x =+33． ② 由①，②可得 x s 4=，所以4=xs．即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．8．如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点， AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为．【答】9．解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ，则MN ∥AB ．又//MF AD ，所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠，所以 12FN MN AB ==．因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9．另解：如图，过点C 作AD 的平行线交BA 的延长线为E ，延长MF AE 于点N.则E BAD DAC ACE ∠=∠=∠=∠所以11AE AC ==. 又//FN CE ，所以四边形CENF 是等腰梯形，即11(711)922CF EN BE ===⨯+=9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为．【答】163．解：如图，设△ABC 的三边长为a ，b ，c ，内切圆I 的半径为r ， BC 边上的高为a h ，则（第8题答案）11()22a ABC ah S abc r ==++△，所以a r ah a b c=++．因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，因此a a h r DEh BC-=，所以 (1)(1)a a a h r r aDE a a a h h a b c-=⋅=-=-++()a b c a b c +=++，故 879168793DE ⨯+==++（）．另解：ABC S rp ∆==＝=（这里2a b cp ++=）所以112r ==，228ABC a S h a ⨯===△由△ADE ∽△ABC ，得23a a h r DE BC h -===，即21633DE BC === 10．关于x ，y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为．【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，，解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x ，y 都是偶数．设2,2x a y b ==，则22104()a b a b +=-，同上可知，a ，b 都是偶数．设2,2a c b d ==，则2252()c d c d +=-，所以，c ，d 都是偶数．设2,2c s d t ==，则2226()s t s t +=-，于是 22(13)(13)s t -++＝2213⨯，其中s ，t 都是偶数．所以222(13)213(13)s t -=⨯-+≤2222131511⨯-<．所以13s -可能为1，3，5，7，9，进而2(13)t +为337，329，313，289，257，故只能是2(13)t +＝289，从而13s -＝7．于是62044s s t t ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，；，因此 481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，，另解：因为222(104)(104)2104216x y -++=⨯= 则有2(104)21632,y +≤又y 正整数，所以 143y ≤≤令22|104|,|104|,21632a x b y a b =-=++=　则因为任何完全平方数的个位数为：1，4，5，6，9由2221632a b +=知22,a b 的个位数只能是1和1或6和6；当22,a b 的个位数是1和1时，则,a b 的个位数字可以为1或9但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数，与22a b +的十位数字为3矛盾。

2009年全国初中数学竞赛试题及答案数学周报杯

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题,每小题7分,共35分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分）1．已知非零实数a ,b 满足 2242(3)42a b a b a -+++-+=,则a b +等于（）．（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 【答】C ．解.由题设知a ≥3,所以,题设的等式为22(3)0b a b ++-=,于是32a b ==-，,从而a b +＝1．2．如图,菱形ABCD 的边长为a ,点O 是对角线AC 上的一点,且OA ＝a ,OB ＝OC ＝OD ＝1,则a 等于（）．（A ）51+ （B ）51- （C ）1 （D ）2 【答】A ．解.因为△BOC ∽ △ABC ,所以BO BCAB AC=,即 11aa a =+,所以, 210a a --=．由0a >,解得15a +=． 3．将一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次,记第一次掷出的点数为a ,第二次掷出的点数为b ,则使关于x ,y 的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩，只有正数解的概率为（）．（A ）121 （B ）92 （C ）185 （D ）3613【答】D ．解.当20a b -=时,方程组无解．当02≠-b a 时,方程组的解为62,223.2b x a ba y ab -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩由已知,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->--,0232,0226b a a b a b即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>>-,3,23,02b a b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<-.3,23,02b a b a由a ,b 的实际意义为1,2,3,4,5,6,可得2345612a b =⎧⎨=⎩，，，，，，，共有 5×2＝10种情况；或1456a b =⎧⎨=⎩，，，，共3种情况．又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况,故所求的概率为3613． 4．如图1所示,在直角梯形ABCD 中,AB ∥DC ,90B ∠=︒. 动点P 从点 B 出发,沿梯形的边由B →C →D →A 运动. 设点P 运动的路程为x ,△ABP 的面积为y . 把y 看作x 的函数,函数的图像如图2所示,则△ABC 的面积为（）．（A ）10 （B ）16 （C ）18 （D ）32【答】B ．解.根据图像可得BC ＝4,CD ＝5,DA ＝5,进而求得AB ＝8,故S △ABC ＝12×8×4＝16.5．关于x ,y 的方程22229x xy y ++=的整数解（x ,y ）的组数为（）．（第4题）（第2题）图1 图2（A ）2组（B ）3组（C ）4组（D ）无穷多组【答】C ．解.可将原方程视为关于x 的二次方程,将其变形为 22(229)0x yx y ++-=．由于该方程有整数根,则判别式∆≥0,且是完全平方数．由 2224(229)7116y y y ∆=--=-+≥0, 解得 2y ≤11616.577≈．于是 2y0 1 4 9 16 ∆11610988534显然,只有216y =时,4∆=是完全平方数,符合要求．当4y =时,原方程为2430x x ++=,此时121,3x x =-=-；当y ＝－4时,原方程为2430x x -+=,此时341,3x x ==．所以,原方程的整数解为111,4;x y =-⎧⎨=⎩ 223,4;x y =-⎧⎨=⎩ 331,4;x y =⎧⎨=-⎩ 443,4.x y =⎧⎨=-⎩ 二、填空题（共5小题,每小题7分,共35分）6．一个自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮,则自行车行驶 3000 km 后报废,行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废,那么这辆车将能行驶 km ．【答】3750．解.设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为5000k ,安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000k.又设一对新轮胎交换位置前走了x km ,交换位置后走了y km .分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有,50003000,50003000kx ky k ky kx k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相加,得()()250003000k x y k x y k +++=, 则 237501150003000x y +==+．7．已知线段AB 的中点为C ,以点A 为圆心,AB 的长为半径作圆,在线段AB 的延长线上取点D ,使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心,DA 的长为半径作圆,与⊙A 分别相交于F ,G 两点,连接FG 交AB 于点H ,则AH AB的值为．解.如图,延长AD 与⊙D 交于点E ,连接AF ,EF ．由题设知13AC AD =,13AB AE =,在△FHA 和△EF A 中, 90EFA FHA ∠=∠=︒,FAH EAF ∠=∠所以 Rt △FHA ∽Rt △EF A ,AH AFAF AE=.而AF AB =,所以AH AB 13=. 8．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数,若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根,则b 的值为．【答】 10．解.因为()()()()()123452009b a b a b a b a b a -----=,且12345a a a a a ，，，，是五个不同的整数,所有12345b a b a b a b a b a -----，，，，也是五个不同的整数．（第7题）又因为()()2009117741=⨯-⨯⨯-⨯,所以1234541b a b a b a b a b a-+-+-+-+-=．由123459a a a a a++++=,可得10b=．9．如图,在△ABC中,CD是高,CE为ACB∠的平分线．若AC＝15,BC＝20,CD ＝12,则CE 的长等于．【答】6027．解.如图,由勾股定理知AD＝9,BD＝16,所以AB＝AD＋BD＝25 ．故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形,且90ACB∠=︒．作EF⊥BC,垂足为F．设EF＝x,由1452ECF ACB∠=∠=︒,得CF＝x,于是BF＝20－x．由于EF∥AC,所以EF BFAC BC=,即20 1520x x-=,解得607x=．所以60227CE x==．10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是.每个人心里都想好一个数,并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人,然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示,则报3的人心里想的数是．【答】2-．解.设报3的人心里想的数是x,则报5的人心里想的数应是8x-．于是报7的人心里想的数是12(8)4x x--=+,报9的人心里想的数是16(4)12x x-+=-,报1的人心里想的数是20(12)8x x--=+,报3的人心里想的数是4(8)4x x-+=--．所以4x x=--,解得2x=-．三、解答题（共4题,每题20分,共80分）11．已知抛物线2y x=与动直线cxty--=)12(有公共点),(11yx,),(22yx,且3222221-+=+ttxx.（1）求实数t的取值范围；（2）当t为何值时,c取到最小值,并求出c的最小值.解.（1）联立2y x=与cxty--=)12(,消去y得二次方程2(21)0x t x c--+=①有实数根1x,2x,则121221,x x t x x c+=-=．所以2221212121[()()]2c x x x x x x==+-+=221[(21)(23)]2t t t--+-＝21(364)2t t-+．②………………5分把②式代入方程①得221(21)(364)02x t x t t--+-+=．③………………10分t的取值应满足2221223t t x x+-=+≥0, ④且使方程③有实数根,即22(21)2(364)t t t∆=---+＝2287t t-+-≥0, ⑤解不等式④得t≤-3或t≥1,解不等式⑤得222-≤t≤222+.所以,t的取值范围为（第9题）（第10题）222-≤t ≤222+. ⑥ ………………15分(2) 由②式知22131(364)(1)222c t t t =-+=-+.由于231(1)22c t =-+在222-≤t ≤222+时是递增的,所以,当222t =-时,2min 3211162(21)2224c -=--+=. ………………20分12．已知正整数a 满足3192191a +,且2009a <,求满足条件的所有可能的正整数a 的和．解.由3192191a +可得31921a -．619232=⨯,且()[]311(1)1(1)(1)(1)a a a a a a a a -=-++=-++-．………………5分因为()11a a ++是奇数,所以6321a -等价于621a -,又因为3(1)(1)a a a -+,所以331a -等价于31a -．因此有1921a -,于是可得1921a k =+．………………15分又02009a <<,所以0110k =，，，．因此,满足条件的所有可能的正整数a 的和为11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571． ………………20分13．如图,给定锐角三角形ABC ,BC CA <,AD ,BE 是它的两条高,过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ,过点D ,E 分别作l 的垂线,垂足分别为F ,G ．试比较线段DF 和EG 的大小,并证明你的结论．解法1.结论是DF EG =．下面给出证明． ………………5分因为FCD EAB ∠=∠,所以Rt △FCD ∽ Rt △EAB ．于是可得CDDF BE AB =⋅．同理可得 CEEG AD AB=⋅．………………10分又因为tan AD BEACB CD CE∠==,所以有BE CD AD CE ⋅=⋅,于是可得 DF EG=．………………20分解法2.结论是DF EG =．下面给出证明．……………… 5分连接DE ,因为90ADB AEB ∠=∠=︒,所以A ,B ,D ,E 四点共圆,故CED ABC ∠=∠． ………………10分又l 是⊙O 的过点C 的切线,所以ACG ABC ∠=∠． ………………15分所以,CED ACG ∠=∠,于是DE ∥FG ,故DF ＝EG ．………………20分14．n 个正整数12n a a a ，，，满足如下条件.1212009n a a a =<<<=；且12n a a a ，，，中任意n －1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n 的最大值．解.设12n a a a ，，，中去掉i a 后剩下的n －1个数的算术平均数为正整数i b ,12i n =，，，．即 12()1n ii a a a a b n +++-=-．于是,对于任意的1≤i j <≤n ,都有1j i i j a a b b n --=-,从而 1()j i n a a --． ………………5分由于 11200811n n a a b b n n --==--是正整数,故 312251n -⨯． ………………10分（第13A 题）（第13A 题）由于 ()()()112211n n n n n a a a a a a a ----=-+-++-≥()()()2111(1)n n n n -+-++-=-,所以,2(1)n -≤2008,于是n ≤45.结合312251n -⨯,所以,n ≤9． ………………15分另一方面,令123801,811,821a a a =⨯+=⨯+=⨯+,…,8871a =⨯+,982511a =⨯+,则这9个数满足题设要求．综上所述,n 的最大值为9. ………………20分。

“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．已知非零实数a ，b 满足24242a b a -+++=，则a b +等于（）．（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2【答】C ．解：由题设知a ≥3，所以，题设的等式为20b +=，于是32a b ==-，，从而a b +＝1．2．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（）．（A）（B（C ）1 （D ）2 【答】A ．解：因为△BOC ∽ △ABC ，所以BO BC AB AC =，即 11a a a =+，所以， 210a a --=．由0a >，解得12a +=． 3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩，只有正数解的概率为（）．（A ）121 （B ）92 （C ）185 （D ）3613【答】D ．解：当20a b -=时，方程组无解．当02≠-b a 时，方程组的解为62,223.2b x a b a y a b -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩由已知，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->--,0232,0226b a a b a b 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>>-,3,23,02b a b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<-.3,23,02b a b a 由a ，b 的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得2345612a b =⎧⎨=⎩，，，，，，，共有 5×2＝10种情况；或1456a b =⎧⎨=⎩，，，，共3种情况．又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为3613． 4．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90B ∠=︒. 动点P 从点 B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A 运动. 设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y . 把y 看作x 的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC 的面积为（）．（A ）10 （B ）16 （C ）18 （D ）32【答】B ．解：根据图像可得BC ＝4，CD ＝5，DA ＝5，进而求得AB ＝8，故S △ABC ＝12×8×4＝16. 5．关于x ，y 的方程22229x xy y ++=的整数解（x ，y ）的组数为（）．（A ）2组（B ）3组（C ）4组（D ）无穷多组【答】C ．解：可将原方程视为关于x 的二次方程，将其变形为22(229)0x yx y ++-=．由于该方程有整数根，则判别式∆≥0，且是完全平方数．由 2224(229)7116y y y ∆=--=-+≥0，解得 2y ≤11616.57≈．于是显然，只有216y =时，4∆=是完全平方数，符合要求．当4y =时，原方程为2430x x ++=，此时121,3x x =-=-；当y ＝－4时，原方程为2430x x -+=，此时341,3x x ==．所以，原方程的整数解为111,4;x y =-⎧⎨=⎩ 223,4;x y =-⎧⎨=⎩ 331,4;x y =⎧⎨=-⎩ 443,4.x y =⎧⎨=-⎩ 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．【答】3750．解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为5000k ,安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000k .又设一对新轮胎交换位置前走了x km ，交换位置后走了y km .分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有,50003000,50003000kx ky k ky kx k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相加，得 ()()250003000k x y k x y k +++=，则 237501150003000x y +==+．7．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AH AB的值为．解：如图，延长AD 与⊙D 交于点E ，连接AF ，EF ．由题设知13AC AD =，13AB AE =，在△FHA 和△EF A 中， 90EFA FHA ∠=∠=︒，FAH EAF ∠=∠所以 Rt △FHA ∽Rt △EF A ， AH AF AF AE=. 而AF AB =，所以AH AB 13=. 8．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为．【答】 10．解：因为()()()()()123452009b a b a b a b a b a -----=，且12345a a a a a ，，，，是五个不同的整数，所有12345b a b a b a b a b a -----，，，，也是五个不同的整数．又因为()()2009117741=⨯-⨯⨯-⨯，所以1234541b a b a b a b a b a -+-+-+-+-=．由123459a a a a a ++++=，可得10b =．9．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为ACB ∠的平分线．若AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12，则CE 的长等于．．解：如图，由勾股定理知AD ＝9，BD ＝16，所以AB ＝AD ＋BD ＝25 ．故由勾股定理逆定理知△ACB 为直角三角形，且90ACB ∠=︒．作EF ⊥BC ，垂足为F ．设EF ＝x ，由1452ECF ACB ∠=∠=︒，得CF ＝x ，于是BF ＝20－x ．由于EF ∥AC ，所以E F B F A C B C=，即 201520x x -=，解得607x =．所以7CE ==． 10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是．【答】2-．解：设报3的人心里想的数是x ，则报5的人心里想的数应是8x -．于是报7的人心里想的数是 12(8)4x x --=+，报9的人心里想的数是 16(4)12x x -+=-，报1的人心里想的数是 20(12)8x x --=+，报3的人心里想的数是4(8)4x x -+=--．所以4x x =--，解得2x =-．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知抛物线2y x =与动直线c x t y --=)12(有公共点),(11y x ，),(22y x ，且3222221-+=+t t x x . （1）求实数t 的取值范围；（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值.解：（1）联立2y x =与c x t y --=)12(，消去y 得二次方程2(21)0x t x c --+= ①有实数根1x ，2x ，则121221,x x t x x c +=-=．所以 2221212121[()()]2c x x x x x x ==+-+ =221[(21)(23)]2t t t --+-＝21(364)2t t -+． ② ………………5分把②式代入方程①得221(21)(364)02x t x t t --+-+=． ③ ………………10分t 的取值应满足2221223t t x x +-=+≥0， ④且使方程③有实数根，即22(21)2(364)t t t ∆=---+＝2287t t -+-≥0， ⑤解不等式④得 t ≤-3或t ≥1，解不等式⑤得 2-t ≤2+所以，t 的取值范围为22-≤t ≤22+. ⑥ ………………15分(2) 由②式知22131(364)(1)222c t t t =-+=-+.由于231(1)22c t =-+在22-≤t ≤22+时是递增的，所以，当22t =-时,2min 3111(21)2224c -=--+=. ………………20分 12．已知正整数a 满足3192191a +，且2009a <，求满足条件的所有可能的正整数a 的和．解：由3192191a +可得31921a -．619232=⨯，且()[]311(1)1(1)(1)(1)a a a a a a a a -=-++=-++-．………………5分因为()11a a ++是奇数，所以6321a -等价于621a -，又因为3(1)(1)a a a -+，所以331a -等价于31a -．因此有1921a -，于是可得1921a k =+．………………15分又02009a <<，所以0110k =，，，．因此，满足条件的所有可能的正整数a 的和为11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571． ………………20分13．如图，给定锐角三角形ABC ，BC CA <，AD ，BE 是它的两条高，过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ，过点D ，E 分别作l 的垂线，垂足分别为F ，G ．试比较线段DF 和EG 的大小，并证明你的结论．解法1：结论是DF EG =．下面给出证明． ………………5分因为FCD EAB ∠=∠，所以Rt △FCD ∽ Rt △EAB ．于是可得CD DF BE AB=⋅．同理可得 CE EG AD AB =⋅． ………………10分又因为tan AD BE ACB CD CE ∠==，所以有BE CD AD CE ⋅=⋅DF EG=．………………20分解法2：结论是DF EG =．下面给出证明．……………… 5分连接DE ，因为90ADB AEB ∠=∠=︒，所以A ，B ，D ，E四点共圆，故 CED ABC ∠=∠． ………………10分又l 是⊙O 的过点C 的切线，所以ACG ABC ∠=∠． ………………15分所以，CED ACG ∠=∠，于是DE ∥FG ，故DF ＝EG ．………………20分14．n 个正整数12n a a a ，，，满足如下条件：1212009n a a a =<<<=；且12n a a a ，，，中任意n －1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n 的最大值．解：设12n a a a ，，，中去掉i a 后剩下的n －1个数的算术平均数为正整数i b ，12i n =，，，．即 12()1n i i a a a a b n +++-=-．于是，对于任意的1≤i j <≤n ，都有1j ii j a a b b n --=-，从而 1()j i n a a --． ………………5分由于 11200811n n a a b b n n --==--是正整数，故 312251n -⨯． ………………10分由于 ()()()112211n n n n n a a a a a a a ----=-+-++- ≥()()()2111(1)n n n n -+-++-=-，所以，2(1)n -≤2008，于是n ≤45.结合312251n -⨯，所以，n ≤9． ………………15分另一方面，令123801,811,821a a a =⨯+=⨯+=⨯+，…，8871a =⨯+， 982511a =⨯+，则这9个数满足题设要求．综上所述，n 的最大值为9. ………………20分。

全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为D C B A ,,,的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式2211a b+的值为（） )(A 5. )(B 7. )(C 9. )(D 11.【答】B .解由题设条件可知2310a a -+=，2310b b -+=，且a b ≠，所以,a b 是一元二次方程2310x x -+=的两根，故3a b +=，1ab =，因此222222222211()23217()1a b a b ab a b a b ab ++--⨯+====. 故选B . 2．如图，设AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，若6AB =，5BC =，3EF =，则线段BE 的长为（） )(A 185. )(B 4. )(C 215. )(D 245. 【答】D . 解因为AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，易知,,,B C E F 四点共圆，于是△AEF ∽△ABC ，故35AF EF AC BC ==，即3cos 5BAC ∠=，所以4sin 5BAC ∠=. 在Rt △ABE 中，424sin 655BE AB BAC =∠=⨯=. 故选D . 3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（）)(A 15. )(B 310. )(C 25. )(D 12. 【答】C . 解能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个. 所以所组成的数是3的倍数的概率是82205=. 故选C .4．在△ABC 中，12ABC ∠=︒，132ACB ∠=︒，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点,M N 分别在直线AC 和直线AB 上，则（）)(A BM CN >. )(B BM CN =.)(C BM CN <. )(D BM 和CN 的大小关系不确定.【答】B .解 ∵12ABC ∠=︒，BM 为ABC ∠的外角平分线，∴1(18012)842MBC ∠=︒-︒=︒. 又180********BCM ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴180844848BMC ∠=︒-︒-︒=︒，∴BM BC =. 又11(180)(180132)2422ACN ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒， ∴18018012()BNC ABC BCN ACB ACN ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠+∠168(13224)=︒-︒+︒12ABC =︒=∠，∴CN CB =. 因此，BM BC CN ==.故选B .5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，则r 的最小值为（）)(A 39()8. )(B 49()8. )(C 59()8. )(D 98. 【答】 B .解容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况.设5种商品降价前的价格为a ，过了n 天. n 天后每种商品的价格一定可以表示为98(110%)(120%)()()1010k n k k n k a a --⋅-⋅-=⋅⋅，其中k 为自然数，且0k n ≤≤. 要使r 的值最小，五种商品的价格应该分别为：98()()1010i n i a -⋅⋅，1198()()1010i n i a +--⋅⋅， 2298()()1010i n i a +--⋅⋅，3398()()1010i n i a +--⋅⋅，4498()()1010i n i a +--⋅⋅，其中i 为不超过n 的自然数. 所以r 的最小值为44498()()91010()988()()1010i n i i n ia a +---⋅⋅=⋅⋅. 故选B . 6．已知实数,x y满足(2008x y =，则223233x y x y -+-2007-的值为（）)(A 2008-. )(B 2008. )(C 1-. )(D 1.【答】D .解 ∵(2008x y =，∴x y -==y x -==由以上两式可得x y =. 所以2(2008x =，解得22008x =，所以22222323320073233200720071x y x y x x x x x -+--=-+--=-=.故选D .二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．设12a -=，则5432322a a a a a a a+---+=-2-.解 ∵221a a ===-，∴21a a +=， ∴543232323222()2()2a a a a a a a a a a a a a a a a+---++--++=-⋅- 33332221211(1)(11)2(1)1a a a a a a a a a a a--+--===-=-++=-+=-⋅----.2．如图，正方形ABCD 的边长为1，,M N 为BD 所在直线上的两点，且AM =135MAN ∠=︒，则四边形AMCN 的面积为52解设正方形ABCD 的中心为O ，连AO ，则AO BD ⊥，2AO OB ==,2MO ===, ∴MB MO OB =-=又135ABM NDA ∠=∠=︒， 13590NAD MAN DAB MAB MAB ∠=∠-∠-∠=︒-︒-∠45=︒-MAB AMB ∠=∠，所以△ADN ∽△MBA ，故AD DNMB BA =，从而12AD DN BA MB =⋅==. 根据对称性可知，四边形AMCN 的面积115222222MAN S S MN AO ==⨯⨯⨯=⨯⨯=△. 3．已知二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为m ，n ，且1m n +≤.设满足上述要求的b 的最大值和最小值分别为p ，q ，则p q +=12解根据题意，,m n 是一元二次方程20x ax b ++=的两根，所以m n a +=-，mn b =. ∵1m n +≤，∴1m n m n +≤+≤，1m n m n -≤+≤. ∵方程20x ax b ++=的判别式240a b ∆=-≥，∴22()1444a m n b +≤=≤. 22244()()()11b mn m n m n m n ==+--≥+-≥-，故14b ≥-，等号当且仅当12m n =-=时取得； 22244()()1()1b mn m n m n m n ==+--≤--≤，故14b ≤，等号当且仅当12m n ==时取得. 所以14p =，14q =-，于是12p q +=. 4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是 1 .解 21到23，结果都只各占1个数位，共占133⨯=个数位； 24到29，结果都只各占2个数位，共占2612⨯=个数位；210到231，结果都只各占3个数位，共占32266⨯=个数位；232到299，结果都只各占4个数位，共占468272⨯=个数位；2100到2316，结果都只各占5个数位，共占52171085⨯=个数位；此时还差2008(312662721085)570-++++=个数位.2317到2411，结果都只各占6个数位，共占695570⨯=个数位.所以，排在第2008个位置的数字恰好应该是2411的个位数字，即为1.第二试（A ）一．（本题满分20分）已知221a b +=，对于满足条件01x ≤≤的一切实数x ，不等式 (1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥ （1）恒成立.当乘积ab 取最小值时，求,a b 的值.解整理不等式（1）并将221a b +=代入，得 2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ （2）在不等式（2）中，令0x =，得0a ≥；令1x =，得0b ≥.易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式（2）对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥. 由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ （3）消去b ，得42161610a a -+=，所以224a -=或224a +=. 又因为0a ≥，所以a =a =，于是方程组（3）的解为4,4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或,44a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以ab 的最小值为14，此时,a b 的值有两组，分别为a b ==a b ==二．（本题满分25分）如图，圆O 与圆D 相交于,A B 两点，BC为圆D 的切线，点C 在圆O 上，且AB BC =.（1）证明：点O 在圆D 的圆周上.（2）设△ABC 的面积为S ，求圆D 的的半径r 的最小值.解（1）连,,,OA OB OC AC ，因为O 为圆心，AB BC =，所以△OBA ∽△OBC ，从而OBA OBC ∠=∠.因为,OD AB DB BC ⊥⊥，所以9090DOB OBA OBC DBO ∠=︒-∠=︒-∠=∠，所以DB DO =，因此点O 在圆D 的圆周上.（2）设圆O 的半径为a ，BO 的延长线交AC 于点E ，易知BE AC ⊥.设2AC y =(0)y a <≤，OE x =，AB l =，则222a x y =+，()S y a x =+，22222222()2222()aS l y a x y a ax x a ax a a x y=++=+++=+=+=. 因为22ABC OBA OAB BDO ∠=∠=∠=∠,AB BC =,DB DO =，所以△BDO ∽△ABC ，所以BD BO AB AC=，即2r a l y =，故2al r y =.所以22223222()4422a l a aS S a S r y y y y ==⋅=⋅≥，即2r ≥其中等号当a y =时成立，这时AC 是圆O 的直径.所以圆D 的的半径r 三．（本题满分25分）设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+ （1）求a ，b 的值.解（1）式即2634511()509509a b a b ++=，设634511,509509a b a b m n ++==，则 509650943511m a n a b --== （2）故351160n m a -+=，又2n m =，所以2351160m m a -+= （3）由（1）式可知，2(2)a b +能被509整除，而509是质数，于是2a b +能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程（3）有整数根，所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数.不妨设2251172a t ∆=-=（t 为自然数），则2272511(511)(511)a t t t =-=+-. 由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，所以只可能有以下几种情况：①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解. ②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解.③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解. ④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解.⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =.⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去. 综合可知251a =.此时方程（3）的解为3m =或5023m =（舍去）. 把251a =，3m =代入（2）式，得5093625173b ⨯-⨯==. 第二试（B ）一．（本题满分20分）已知221a b +=，对于满足条件1,0x y xy +=≥的一切实数对(,)x y ，不等式 220ay xy bx -+≥ （1）恒成立.当乘积ab 取最小值时，求,a b 的值.解由1,0x y xy +=≥可知01,01x y ≤≤≤≤.在（1）式中，令0,1x y ==，得0a ≥；令1,0x y ==，得0b ≥.将1y x =-代入（1）式，得22(1)(1)0a x x x bx ---+≥，即2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ （2）易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式（2）对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥. 由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ （3）消去b ，得42161610a a -+=，所以2a =2a =0a ≥，所以a =或4a =. 于是方程组（3）的解为,4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以满足条件的,a b 的值有两组，分别为44a b ==44a b == 二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试（C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设a 为质数，,b c 为正整数，且满足29(22)509(41022511)2a b c a b c b c ⎧+-=+-⎨-=⎩ (1)(2) 求()a b c +的值.解（1）式即266341022511()509509a b c a b c +-+-=，设66341022511,509509a b c a b c m n +-+-==，则 5096509423511m a n a b c ---== （3）故351160n m a -+=，又2n m =，所以 2351160m m a -+= （4）由（1）式可知，2(22)a b c +-能被509整除，而509是质数，于是22a b c +-能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程（4）有整数根，所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数.不妨设2251172a t ∆=-=（t 为自然数），则2272511(511)(511)a t t t =-=+-. 由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，所以只可能有以下几种情况：①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解.②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解. ③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解.④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解. ⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =.⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去.综合可知251a =，此时方程（4）的解为3m =或5023m =（舍去）. 把251a =，3m =代入（3）式，得50936251273b c ⨯-⨯-==，即27c b =-. 代入（2）式得(27)2b b --=，所以5b =，3c =，因此()251(53)2008a b c +=⨯+=.。

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一级建造师《机电工程管理与实务》模拟试题（一）(考试时间4小时，满分160分)一、单项选择题(每题1分。

每题的备选项中，只有1个最符合题意)1．对开环控制系统按给定控制方式特点的表述中，下列错误的是（）。

A．控制的精度准确性较差B．控制原理简单C．控制作用的传递具有多向性D．因为结构简单、调整方便、成本低，应用面很广2．（）主要用于在机械运转中随时将主、从动轴结合或分离。

A．联轴器B．联轴器和离合器C．离合器D．自动离合器3．键主要用来实现轴和轴上零件之间的周向固定以传递( )。

A、弯矩B、扭矩C、力D、速度4．高压隔离开关作用主要是( )。

A、隔离高压电源，保证安全检修B、分断电路中的用电负荷C、保护电路中的用电设备D、分断大电流电路5．下列对工业纯铜的描述错误的是（）。

A．密度为8.969／cm3B．具有良好的导电性C．导热性差D．具有优良的焊接性能6．在电阻电路、电感电路、电容电路中，电流和电压关系的共同点是（）。

A．电流与电压同频率B．电压相位超前电流相位90°C．电压与电流同相位D．电流相位超前电压相位90°7．自动控制系统主要的特点是有反馈存在，按()进行控制。

A、偏差B、电压C、电流D、给定值8．基孔制的孔为基准孔，基准孔的代号为（）。

A．B B．HC．b D．h9．轴的材料通常采用（）。

A．合金钢和普通钢B．普通钢的冷拉钢C．碳素钢和普通钢D．碳素钢和合金钢10．轴承的功用是为支承轴及轴上零件，承受其荷载，并保持轴的旋转精度，减少轴与支承的摩擦和磨损。

通常轴承分为（）。

A．推力轴承和滑动轴承B．向心轴承和滚动轴承C．滑动轴承和滚动轴承D．推力轴承和向心轴承11．()是将电解液中的金属离子在直流电的作用下，在阴极上沉积出金属而形成镀层的工艺过程。

A、热镀B、渗镀C、电镀D、喷镀12．电动机的额定功率是指在额定电压、额定频率下满载运行时电动机( )。

A、输入的机械功率B、轴上输出的机械功率C、输入功率D、轴上输出的电功率13．在现场环境限制较多、其他起重机无法进行吊装的场合，且被吊设备或构件几何寸大、重量重的机电设备安装和大型结构安装工程中，首先考虑选用( )起重机。

历年(95-10)全国初中数学竞赛联赛几何

历年(95-10)年全国数学竞赛(联赛)分类题型详解- 几何(1)选择题(30道题)1. 如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［]A．62πB．63π C．64πD．65π1995年全国初中数学联赛试题答案: D详解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一．又由AB2＋AD2 ＝252＋602 ＝52×（52＋122）＝52×132＝(32＋42)×132 ＝392＋522 ＝BC2＋CD2故可取BD＝65为直径，得周长为65π，选D．2. 设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则[ ]A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定1995年全国初中数学联赛试题答案: B详解1: 不失一般性，设CE≥ED，在CE上取CF＝ED，则有OF＝OE，且S△ACE－S△ADE＝S△AEF＝2S△AOE．同理，S△BCE－S△BDE＝2S△BOE．相加，得S△ABC－S△DAB＝2S△OAB，即M＝N．选B．详解2: 若过C、D、O分别作AB的垂线（图3），CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB，垂足分别为E、F、L．连CF、DE，可得梯形CEDF．又由垂径分弦定理，知L是EF的中点．根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有｜CE－DF｜＝2OL．即M＝N．选B．3．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于[ ]1996年全国初中数学联赛试题答案: B4．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的[ ]A．内心B．外心 C．重心 D．垂心1996年全国初中数学联赛试题答案: A5．如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有[ ]A．4个B．8个C．12个D．24个1996年全国初中数学联赛试题答案: C6. 在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC 的面积等于（）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）181998年全国数学联赛试卷答案: C详解: 连ED，则又因为DE是△ABC两边中点连线，所以故选C．7．一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（）．A．11 B．12 C．13 D．141999年全国初中数学竞赛答案: C8．在三角形ABC中，D是边BC上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC的面积是（）．A．30 B．36 C．72 D．1251999年全国初中数学竞赛答案: B9．在正五边形ABCDE 所在的平面内能找到点P ，使得△PCD 与△BCD 的面积相等，并且△ABP 为等腰三角形，这样的不同的点P 的个数为（）．A ．2B ．3C ．4D ．51999年全国初中数学竞赛答案: D10. 设a ，b ，c 分别是△ABC 的三边的长，且cb a b a b a +++=，则它的内角∠A 、∠B 的关系是（）。

2009年全国初中数学竞赛江西赛区预赛试题及答案

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3b 23a 0b -a 23b 23a 0b -a 20b -a 23-a 20b -a 2b2-6b -a 23-a 2y b -a 2b 2-6x ＞＜＜或＜＞＞即＞＞由已知，得种情况共，，或种情况共有，，，，3654b 1a ;102521b 65423a ⎩⎨⎧===⨯⎩⎨⎧==2009年全国初中数学竞赛江西赛区预赛试题一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）以下每道小题均给出代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填，多填或错填都的0分） 1、已知非零实数a 、b 满足|2a －4|+|b+2|+(a-3)b 2+4=2a ，则a+b 等于（） A 、－1 B 、0 C 、1 D 、2解有题设知a≥3，题设等式化为|b+2|+(a-3)b 2 =0，于是a=3，b=－2，从而a+b=1，选C 2、如图所示，菱形ABCD 边长为a ，点O 在对角线AC 上一点，且OA=a ，OB=OC=OD=1,则a 等于（） A 、5+12 B 、5-12C 、1D 、2 解：∵△BOC∽△ABC，∴B0AB =BC AC 即1a =a a+1∴a 2－a －1=0由于a ＞0，解得a=5+12，选A 3、将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方形骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=+=+2y 2x 3by ax 只有正数解的概率为（）A 、112B 、29C 、518D 、1336 解当2a －b=0时，方程组无解当2a －b ≠0时，方程组的解为由a 、b 的实际意义为1，2，3，4，5，6可得又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况，故所求概率为1336选D4、如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=90°，动点P 从点B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，把y 看作x 的函数，函数图象如图2所示，则△ABC 的面积为（）A 、10B 、16C 、18D 、32解根据图象可得BC=4,CD=5,DA=5,进而求的AB=8，故 S △ABC =12×8×4=16 选B5、关于x 、y 的方程x 2+xy+y 2=29的整数解（x 、y ）的组数为（） A 、2组 B 、3组 C 、4组 D 、无穷多组解可将原方程视为关于x 的二次方程，将其变形为x 2+yx+（2y 2－29）=0 由于该方程有整数根，根据判别式△≥0，且是完全平方数由△=y 2－4(2y 2－29)= －7y 2+116≥0解得y 2≤1167≈16.57显然只有y 2=16时，△=4是完全平方数，符合要求当y=4时，原方程为x 2+4x+3=0，此时x 1=－1，x 2=－3 当y=－4时，原方程为x 2－4x+3=0，此时x 3=1，x 4=3 所以，原方程的整数解为⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==4-y 3x 4-y 1x 4y 3-x 4y 1-x 44332211；；；选C 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6、一自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎。

2009年全国初中数学竞赛试题及答案

2009年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．已知非零实数a ，b 满足24242a b a -++=，则a b +等于（）．（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2【答】C ．解：由题设知a ≥3，所以，题设的等式为20b +，于是32a b ==-，，从而a b +＝1．2．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（）．（A（B（C ）1 （D ）2【答】A ．解：因为△BOC ∽ △ABC ，所以BO BC AB AC =，即11aa a =+，所以，2a 由0a >，解得a =3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y 的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩，只有正数解的概率为（）．（A ）121 （B ）92 （C ）185 （D ）3613 【答】D ．解：当20a b -=时，方程组无解．当02≠-b a 时，方程组的解为62,223.2b x a ba y ab -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩由已知，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->--,0232,0226b a a b a b即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>>-,3,23,02b a b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<-.3,23,02b a b a 由a ，b 的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得2345612a b =⎧⎨=⎩，，，，，，，共有 5×2＝10种情况；或1456a b =⎧⎨=⎩，，，，共3种情况．又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为3613． 4．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90B ∠=︒. 动点P 从点 B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A 运动. 设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y . 把y 看作x 的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC 的面积为（）．（A ）10 （B ）16 （C ）18 （D ）32【答】B ．解：根据图像可得BC 5，AB ABC ＝12×8×4＝16. 5．关于x ，y 的方程2x y =x ，y ）．（A ）2组（B ）3组（（D ）无穷多组【答】C ．解：可将原方程视为关于x 的二次方程，将其变形为22(229)0x yx y ++-=．由于该方程有整数根，则判别式∆≥0，且是完全平方数．由2224(229)7116y y y ∆=--=-+≥0，解得 2y ≤11616.57≈．于是显然，只有216y =时，4∆=是完全平方数，符合要求．当4y =时，原方程为2430x x ++=，此时121,3x x =-=-；当y ＝－4时，原方程为2430x x -+=，此时341,3x x == ．所以，原方程的整数解为111,4;x y =-⎧⎨=⎩223,4;x y =-⎧⎨=⎩ 331,4;x y =⎧⎨=-⎩ 443,4.x y =⎧⎨=-⎩ （第4题）二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．【答】3750．解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为5000k ,安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000k.又设一对新轮胎交换位置前走了x km ，交换位置后走了y km .分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有,50003000,50003000kx ky k ky kx k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相加，得 ()()250003000k x y k x y k +++=，则 237501150003000x y +==+．7．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AHAB的值为．解：如图，延长AD 与⊙D 交于点E ，连接AF ，EF ．由题设知13AC AD =，13AB AE =，在△FHA 和△EF A 中，EFA ∠=∠FAH EAF ∠=∠ 所以Rt △FHA ∽Rt △EF A ， AH AFAF AE=. 而AF AB =以AH AB 13=. 8．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为．【答】 10．解：因为()()()()()123452009b a b a b a b a b a -----=，且12345a a a a a ，，，，是五个不同的整数，所有12345b a b a b a b a b a -----，，，，也是五个不同的整数．又因为()()2009117741=⨯-⨯⨯-⨯，所以1234541b a b a b a b a b a -+-+-+-+-=．由123459a a a a a ++++=，可得10b =．9．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为ACB ∠的平分线．若AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12，则CE 的长等于．．解：如图，由勾股定理知AD ＝9，BD ＝16，所以AB ＝AD ＋BD ＝25 ．故由勾股定理逆定理知△ACB且90ACB ∠=︒．作EF ⊥BC，垂足为F ．设EF ＝x ，由12ECF ∠=CF ＝x ，于是BF ＝20－x ．由于EF ∥AC ，所以 EF BF AC BC =，即 15x =解得607x =．所以7CE ==． 10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是．【答】2-．解：设报3的人心里想的数是x ，则报5于是报7的人心里想的数是 12(8)4x x --=+，报9数是16(4)12x x -+=-，报1的人心里想的数是 20(12)8x x --=+是4(8)4x x -+=--．所以4x x =--，解得2x =-．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知抛物线2y x =与动直线c x t y --=)12(有公共点),(11y x ，),(22y x ，且3222221-+=+t t x x .（1）求实数t 的取值范围；（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值. 解：1.联立2y x =与c x t y --=)12(，消去y 得二次方程2(21)0x t x c --+= ①有实数根1x ，2x ，则121221,x x t x x c +=-=．所以2221212121[()()]2c x x x x x x ==+-+ =221[(21)(23)]2t t t --+-＝21(364)2t t -+． ②………………5分把②式代入方程①得221(21)(364)02x t x t t --+-+=． ③………………10分t 的取值应满足2221223t t x x +-=+≥0， ④ 且使方程③有实数根，即22(21)2(364)t t t ∆=---+＝2287t t -+-≥0，⑤解不等式④得 t ≤-3或t ≥1，解不等式⑤得 22-≤t ≤22+所以，t 的取值范围为22-≤t ≤22+⑥ ………………15分(2) 由②式知22131(364)(1)222c t t t =-+=-+.由于231(1)22c t =-+在22-t ≤22+时是递增的，所以，当22t =-时,2min 3111(21)2224c -=--+=. ………………20分12．已知正整数a 满足3192191a +，且2009a <，求满足条件的所有可能的正整数a 的和．解：由3192191a +可得31921a -．619232=⨯，且()[]311(1)1(1)(1)(1)a a a a a a a a -=-++=-++-． ………………5分因为()11a a ++是奇数，所以6321a -等价于621a -，又因为3(1)(1)a a a -+，所以331a -等价于31a -．因此有1921a -，于是可得1921a k =+．………………15分又02009a <<，所以0110k = ，，，．因此，满足条件的所有可能的正整数a 的和为11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571． ………………20分 13．已知AB 为⊙O 的直径，弦//DC AB ，连接DO ．过点D 作DO 的垂线，与BA 的延长线交于点E ，过点E 作AC 的平行线交CD 于点F ，过点D 作AC 的平行线交BF 于点G ．求证：AG BG ⊥．（第13题）证明：连接AD ，BC ，因为四边形AEFC 是平行四边形，所以AE FC =．AD CB DAE BCF =∠=∠，，因此有DAE ∆≌BCF ∆（SAS ），于是可得 ADE CBF ∠=∠． ………………10分又因为DE 与⊙O 相切于点D ，所以DCA ADE ∠=∠．结合//DG AC ，可得GDC DCA ADE GBC ∠=∠=∠=∠，于是D B C G ，，，四点共圆．因此点G 在⊙O 上，从而有AG BG ⊥．……………20分14．n 个正整数12n a a a ，，，满足如下条件：1212009n a a a =<<<= ；且12n a a a ，，，中任意n －1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n 的最大值．解：设12n a a a ，，，中去掉i a 后剩下的n －1个数的算术平均数为正整数i b ，12i n = ，，，．即 12()1n ii a a a a b n +++-=- ．于是，对于任意的1≤i j <≤n ，都有1j i i j a a b b n --=-，从而 1()j i n a a --． ………………5分由于 11200811n n a a b b n n --==--是正整数，故312251n -⨯． ………………10分由()()()112211n n n n n a a a a a a a ----=-+-++- ≥()()()2111(1)n n n n -+-++-=- ，所以，2(1)n -≤2008，于是n ≤45. 结合312251n -⨯，所以，n ≤9． ……15分另一方面，令123801,811,821a a a =⨯+=⨯+=⨯+，…，8871a =⨯+，982511a =⨯+，则这9个数满足题设要求．综上所述，n 的最大值为9. ………20分。

2009 数学试题参考答案及评分标准

2009数学试题参考答案及评分标准一．选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．72° 12．(1)(1)a b a b ++-- 13． 14．2y x x =+，21133y x =-+三．（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．解：原式＝2131+-+………………………………………………………6分＝1…………………………………………………………………8分16．证：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°∵MP 为⊙O 的切线，∴∠PMO ＝90° ∵MP ∥AC ，∴∠P ＝∠CAB∴∠MOP ＝∠B …………………………………………………………6分故MO ∥BC ．……………………………………………………………8分四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（1）猜想：11⨯=-++n nn n n n ……………………………………………3分（2）证：右边＝12+-+n n n n ＝12+n n ＝左边，即11⨯=-++n nn n n n ……8分 18．解：（1） ……………………4分（2）设坐标纸中方格边长为单位1，则P （x ，y ）2O 以为位似中心放大为原来的倍（2x ，2y ）y 经轴翻折（-2x ，2y ）4向右平移个单位（24x -+，2y ）5向上平移个单位（24x -+，25y +）…………8分说明：如果以其它点为位似中心进行变换，或两次平移合并，或未设单位长，或（2）中直接写出各项变换对应点的坐标，只要正确就相应赋分．五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．解：（1）菱形图案水平方向对角线长为230cos 310o ⨯⨯＝30cm按题意，6010)1231(2630=-⨯+=L cm ……………………………5分（2）当=d 20cm 时，设需x 个菱形图案，则有：6010)1(2030=-⨯+x …………………………………………………8分解得300=x即需300个这样的菱形图案．…………………………………………10分20．解：（1） …………………………5分说明：其它正确拼法可相应赋分．（2）解法一：由拼图前后的面积相等得：2)(])[(y x y y y x +=++………………8分因为y ≠0，整理得：01)(2=-+yxy x解得：215-=y x （负值不合题意，舍去）……………………………………10分解法二：由拼成的矩形可知：yxy y x y x =+++)(…………………………………8分以下同解法一．……………………………………………………………………10分③④① ②六、（本题满分12分） 21．解：（1）第①组频率为：196%0.04-=∴第②组频率为：0.120.040.08-=这次跳绳测试共抽取学生人数为：120.08150÷=人∵②、③、④组的频数之比为4:17:15可算得第①～⑥组的人数分别为6、12、51、45、24、12．………6分（2）第⑤、⑥两组的频率之和为0.160.080.24=+=由于样本是随机抽取的，估计全年级有9000.24216⨯=人达到跳绳优秀………9分（3）10061101212051130451402415012150x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈127次………12分七、（本题满分12分） 22．（1）证：△AMF ∽△BGM ，△DMG ∽△DBM ，△EMF ∽△EAM （写出两对即可）……2分以下证明△AMF ∽△BGM ．∵∠AFM ＝∠DME ＋∠E ＝∠A ＋∠E ＝∠BMG ，∠A ＝∠B∴△AMF ∽△BGM ．………………………………………………………………6分（2）解：当α＝45°时，可得AC ⊥BC 且AC ＝BC∵M 为AB 的中点，∴AM ＝BM＝7分又∵AMF ∽△BGM ，∴AF BMAM BG=∴2833AM BM BG AF===………………………………………………9分又4AC BC ===，∴84433CG =-=，431CF =-=∴53FG =…………………………………………12分八、（本题满分14分） 23．（1）解：图①表示批发量不少于20kg 且不多于60kg 的该种水果，可按5元/kg 批发；……3分图②表示批发量高于60kg 的该种水果，可按4元/kg 批发． ………………………………………………………………3分（2）解：由题意得： 2060 6054m m w m m ⎧=⎨⎩≤≤（））＞（，函数图象如图所示．………………………………………………………………7分由图可知资金金额满足240＜w ≤300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果．……………………………8分（3）解法一：设当日零售价为x 元，由图可得日最高销量32040w m =- 当m ＞60时，x ＜6.5 由题意，销售利润为2(4)(32040)40[(6)4]y x m x =--=--+………………………………12分当x ＝6时，160y =最大值，此时m ＝80即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160元．……………………………………………14分解法二：设日最高销售量为x kg （x ＞60）则由图②日零售价p 满足：32040x p =-，于是32040xp -= 销售利润23201(4)(80)1604040x y x x -=-=--+………………………12分当x ＝80时，160y =最大值，此时p ＝6即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160元．……………………………………………14分）。

2009年全国初中数学联赛(含答案)

12009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．设71a =，则32312612a a a +--=（）A ．24B ．25C ．4710D ．4712【解析】 A ．由()217a +=，有2226,62a a a a +==-．于是32312612a a a +--()()3621262612a a a a =-+---()2261212621224a a a a =+-=+-=2．在ABC △中，最大角A ∠是最小角C ∠的两倍，且7AB =，8AC =，则BC =（）A ．2B ．10C 105D ．73【解析】 C ．做A ∠的角平分线交BC 边于D ．于是78AB BD AC DC ==．不妨设7,8BD x DC x ==，由BAD BAC △∽△，有BD AB AB BC =，即77715x x =，于是715x ，15105BC x =3．用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程[]2230x x --=的解的个数为（）2A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 C ．原问题等价于函数23y x =-与函数[]2y x =的图像的交点个数问题．观察出交点个数为3个．方程的解分别为2,3x x =-=，另一个位于2，3之间．4．设正方形ABCD 的中点为点O ，在以五个数A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（）A ．314B ．37C ．12D ．47【解析】 B ．不妨设三角形边长为1，则三角形的面积有两种，一种是14，形如ABO △，有4个；一种是12，形如ABD △，有4个．于是对于这8个三角形，先选出任意一个，再选出其余7个三角形中面积和它相等的三角形（共3个）中的一个，概率为37．5．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则sin CBE ∠=（）A 6B ．23C ．13D 103ECBDA【解析】 D ．取BC 中点F ，连接AF ，则CBE BAF ∠=∠，于是2210sin sin 13CBE BAF ∠=∠==+6．设n 是大于1909的正整数，使得19092009n n--为完全平方数的n 的个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 B ．由1909100120092009n n n -=-+--，而1002009n-可能取整数2,5,4,10,25,50,100．若10012009n --为完全平方数，则有1002,5,10,502009n=-．于是这样的n 有4个．二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知t 是实数，若a ，b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则()()2211a b --的最小值是．【解析】3-．2,1a b ab t +==-，又由0∆≥知2t 1≤≤．于是()()()222222111a b a b a b --=+-+424t =-．于是当1t =时代数式有最小值3-．2．设D 是ABC △ 的边AB 上的一点，作DE BC ∥交AC 于点E ，作DF AC ∥交BC 于点F ，已知ADE △、DBF △的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为．【解析】 2mn ADE BDF △∽△，相似比为ADDB．观察到DEF △的面积等于m 和n 的等比中项，所以所求答案为2mn3．如果实数a ，b 满足条件221a b +=，221221a b a b a -+++=-，则a b += ．【解析】 1-．分情况讨论，可得221221a b a b a -+++=-或22(12)21a b a b a --+++=-．如果是第一种，则222b b a +=-，消去a 可得2230b b --=，可得1b =-或32．经检验，1,0b a =-=符合，所求结果为1-；如果是第二种，则224a b b a -=-．因为去绝对值符号的时候有120a b -+≤，即21a b +≥，而10b +≥，则设法凑出含有1b +的形式．因为2240a a b b +--=，所以2222114()22a ab b a b +--++=，即22238(1)4a a b a +=+≤，所以8a ≥或0a ≤，因此只能有0a =，和第一种情况是同一个解．4．已知a ，b 是正整数，且满足15152a b 是整数，则这样的有序数对()a b ，共有对．5【解析】 7．显然两个根式的值都是有理数（否则把它平方即可发现）．穷举，可能是1+1，112+， 1122+，1144+，1136+，考虑顺序，共7种．第二试（A ）一、（本题满分20分）已知二次函数()20y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B ，与y 轴的交点为C ．设ABC △的外接圆的圆心为点P ．⑴ 证明：P ⊙与y 轴的另一个交点为定点．⑵ 如果AB 恰好为P ⊙的直径且2ABC S =△，求b 和c 的值．【解析】 ⑴ 易求得点C 的坐标为()0c ，，设()10A x ，，()20B x ，，则12x x b +=-，12x x c =．设P ⊙与y 轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是P ⊙的两条相交弦，它们的交点为点O ，所以OA OB OC OD ⨯=⨯则121x x c OA OB OD OC c c⨯====．因为0c <，所以点C 在y 轴的负半轴上，从而点D 在y 轴的正半轴上，旗开得胜6所以点D 为定点，它的坐标为()01，． ⑵ 因为AB CD ⊥，如果AB 恰好为P ⊙的直径，则C 、D 关于点O 对称，所以点C 的坐标为()01-，，即1c =-．又()()222121212444AB x x x x x x b c b =-+---+所以21141222ABC S AB OC b =⋅+⋅△，解得23b =±．二、（本题满分25分）设CD 是直角三角形ABC 的斜边AD 上的高，1I 、2I 分别是ADC △、BDC △的内心，3AC =，4BC =，求12I I ．I 2I 1CABBACE DFI 1I 2【解析】作1I E AB ⊥于E ，2I F AB ⊥于F ．旗开得胜7在直角三角形ABC 中，3AC =，4BC =，225AB AC BC +=．又CD AB ⊥，由射影定理可得295AC AD AB ==，故165BD AB AD =-=，22125CD AC AD -．因为1I E 为直角三角形ACD 的内切圆的半径，所以()11325I E AD CD AC =+-=．连接1DI 、2DI ，则1DI 、2DI 分别是ADC ∠和BDC ∠的平分线，所以112245I DC I DA I DC I DB ∠=∠=∠=∠=o，故1290I DI ∠=o，所以12I D I D ⊥，1113325sin sin 45I E DI ADI ===∠o ．同量，可求得245I F =，242DI ．所以2212122I I DI DI +三、（本题满分25分）已知a ，b ，c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②旗开得胜8a b c【解析】证法1：将①②两式相乘，得()8b c a c a b a b c a b c bcca ab +-+-+-⎛⎫++++= ⎪⎝⎭，即()()()2222228b c a c a b a b c bccaab+-+-+-++=，即()()()222222440b c a c a b a b c bccaab+-+-+--+-+=，即()()()2222220b c a c a b a b c bccaab----+-++=，即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bccaab-+---+--+++-++=，即()()()()0b c a ab c a b c a b c a b c abc-+----++++=⎡⎤⎣⎦，即()22220b c a ab a b c abc-+⎡⎤--+=⎣⎦，即()()220b c a c a b abc-+⎡⎤--=⎣⎦，即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=，所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=．a b c9证法2：结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=，变形，得()2221102424a b c abc -++=③又由①式得()21024a b c ++=，即()22210242a b c ab bc ca ++=-++，代入③式，得()110242102424ab bc ca abc --++=⎡⎤⎣⎦，即()164096abc ab bc ca =++-．()()()()()331616161625616409625632160a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-=-+⨯-=，所以16a =或16b =或16c =．结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=．a b c第二试（B ）一、（本题满分20分）已知二次函数()20y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B ，与y 轴的交点为C ．设ABC △的外接圆的圆心为点P ．10⑴ 证明：P ⊙与y 轴的另一个交点为定点．⑵ 如果AB 恰好为P ⊙的直径且2ABC S =△，求b 和c 的值．【解析】 ⑴ 易求得点C 的坐标为()0c ，，设()10A x ，，()20B x ，，则12x x b +=-，12x x c =．设P ⊙与y 轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是P ⊙的两条相交弦，它们的交点为点O ，所以OA OB OC OD ⨯=⨯则121x x c OA OB OD OC c c⨯====．因为0c <，所以点C 在y 轴的负半轴上，从而点D 在y 轴的正半轴上，所以点D 为定点，它的坐标为()01，． ⑵ 因为AB CD ⊥，如果AB 恰好为P ⊙的直径，则C 、D 关于点O 对称，所以点C 的坐标为()01-，，即1c =-．又()()222121212444AB x x x x x x b c b =-+---+所以21141222ABC S AB OC b =⋅+⋅△，解得23b =±．旗开得胜11二、（本题满分25分）已知ABC △中，90ACB ∠=o ，AB 边上的高线CH 与ABC △的两条内角平分线AM 、BN 分别交于P 、Q 两点PM 、QN 的中点分别为E 、F ．求证：DE AB ∥．ACBHNMF P EQQEP F MNHBCA【解析】因为BN 是ABC ∠的平分线，所以ABN CBN ∠=∠．又因为CH AB ⊥，所以9090CQN BQH ABN CBN CNB ∠=∠=-∠=-∠=∠o o ，因此CQ NC =．又F 是QN 的中点，所以CF QN ⊥，所以90CFB CHB ∠==∠o ，因此C 、F 、H 、B 四点共圆．又FBH FBC ∠=∠，所以FC FH =，故点F 在CH 的中垂线上．、同理可证，点E 在CH 的中垂线上．旗开得胜12因此EF CH ⊥，又AB CH ⊥，所以EF AB ∥．三、（本题满分25分）已知a ，b ，c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②a b c【解析】证法1：将①②两式相乘，得()8b c a c a b a b c a b c bc ca ab +-+-+-⎛⎫++++= ⎪⎝⎭，即()()()2222228b c a c a b a b c bccaab+-+-+-++=，即()()()222222440b c a c a b a b c bccaab+-+-+--+-+=，即()()()2222220b c a c a b a b c bccaab----+-++=，即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bccaab-+---+--+++-++=，13即()()()()0b c a ab c a b c a b c a b c abc-+----++++=⎡⎤⎣⎦，即()22220b c a ab a b c abc-+⎡⎤--+=⎣⎦，即()()220b c a c a b abc-+⎡⎤--=⎣⎦，即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=，所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=．a b c证法2：结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=，变形，得()2221102424a b c abc -++=③又由①式得()21024a b c ++=，即()22210242a b c ab bc ca ++=-++，代入③式，得()110242102424ab bc ca abc --++=⎡⎤⎣⎦，即()164096abc ab bc ca =++-．()()()()()331616161625616409625632160a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-=-+⨯-=，所以16a =或16b =或16c =．结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=．a b c第二试（C）一、（本题满分20分）△的已知二次函数()20y x bx c c=++<的图象与x轴的交点分别为A、B，与y轴的交点为C．设ABC 外接圆的圆心为点P．⊙与y轴的另一个交点为定点．⑴ 证明：P1415⑵ 如果AB 恰好为P ⊙的直径且2ABC S =△，求b 和c 的值．【解析】 ⑴ 易求得点C 的坐标为()0c ，，设()10A x ，，()20B x ，，则12x x b +=-，12x x c =．设P ⊙与y 轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是P ⊙的两条相交弦，它们的交点为点O ，所以OA OB OC OD ⨯=⨯则121x x c OA OB OD OC c c⨯====．因为0c <，所以点C 在y 轴的负半轴上，从而点D 在y 轴的正半轴上，所以点D 为定点，它的坐标为()01，． ⑵ 因为AB CD ⊥，如果AB 恰好为P ⊙的直径，则C 、D 关于点O 对称，所以点C 的坐标为()01-，，即1c =-．又()()222121212444AB x x x x x x b c b =-+---+所以21141222ABC S AB OC b =⋅+⋅△，解得23b =±．16二、（本题满分25分）已知ABC △中，90ACB ∠=o ，AB 边上的高线CH 与ABC △的两条内角平分线AM 、BN 分别交于P 、Q 两点PM 、QN 的中点分别为E 、F ．求证：DE AB ∥．ACBHNMF P EQQEP F MNHBCA【解析】因为BN 是ABC ∠的平分线，所以ABN CBN ∠=∠．又因为CH AB ⊥，所以9090CQN BQH ABN CBN CNB ∠=∠=-∠=-∠=∠o o ，因此CQ NC =．又F 是QN 的中点，所以CF QN ⊥，所以90CFB CHB ∠==∠o ，因此C 、F 、H 、B 四点共圆．又FBH FBC ∠=∠，所以FC FH =，故点F 在CH 的中垂线上．、同理可证，点E 在CH 的中垂线上．因此EF CH ⊥，又AB CH ⊥，所以EF AB ∥．17三、（本题满分25分）已知a ，b ，c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②a b c【解析】解法1：将①②两式相乘，得()8b c a c a b a b c a b c bc ca ab +-+-+-⎛⎫++++= ⎪⎝⎭，即()()()2222228b c a c a b a b c bccaab+-+-+-++=，即()()()222222440b c a c a b a b c bccaab+-+-+--+-+=，即()()()2222220b c a c a b a b c bccaab----+-++=，即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bccaab-+---+--+++-++=，即()()()()0b c a ab c a b c a b c a b c abc-+----++++=⎡⎤⎣⎦，18即()22220b c a ab a b c abc-+⎡⎤--+=⎣⎦，即()()220b c a c a b abc-+⎡⎤--=⎣⎦，即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=，所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=．a b c 90o ．解法2：结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=，变形，得()2221102424a b c abc -++=③又由①式得()21024a b c ++=，即()22210242a b c ab bc ca ++=-++，代入③式，得()110242102424ab bc ca abc --++=⎡⎤⎣⎦，即()164096abc ab bc ca =++-．()()()()()331616161625616409625632160a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-=-+⨯-=，所以16a =或16b =或16c =．结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=．a b c 90o ．19。

2009年全国初中数学联赛南昌市竞赛试卷(八年级)附答案

2009年全国初中数学联赛南昌市竞赛试卷（八年级）（2009年3月22日上午9：00~11：30）喻老师整理一、选择题（本大题共6小题，每个小题7分，满分42分），每小题均给出四个选项，其中有且仅有一个正确的选项，请将正确的选项的代号填在下表指定的位置1、已知三点A（2,3),B(5，4)，C（-4，1）依次连接这三点，则A、构成等边三角形B、构成直角三角形C、构成锐角三角形D、三点在同一直线上解：AB的解析式为y=13x+73当x= -4时，y=1，即点C在直线AB上，∴选D2、边长为整数，周长为20的三角形个数是（）A、4个B、6个C、8个D、12解设三进行三边为a、b、c且a≥b≥c，a+b+c=20，⇒a≥7，又b+c＞a，2a＜20⇒a＜10，又7≤a≤9，可列出（a、b、c）有：（9，9，2）（9，8，3）（9，7，4）（9，6，5）（8，8，4）（8，7，5）（8，6，6）（7，7，6）共八组，选C3、N=31001+71002+131003，则N的个位数字是（）A、3B、6C、9D、0解31001的个位数字为3，71002的个位数字为9，131003的个位数字为7，∴N的各位数字为9，选C4、P为正方形ABCD内一点，若PA:PB:PC=1：2：3，则∠APB的度数为（）A、120°B、135°C、150°D、以上都不对解：过P作BP’⊥BP，且使BP’=BP，连P’A易得△P’AB≌△PBC,则P’A=PC,设PA=k，则PB=2k，PC=P’A=3k，连PP’,则Rt△PBP’中，∠P’PB=45°且PP’=2 2 k，在△P’AP中有：P’A2=P’P2+PA2,∴∠P ’PA=90°，∴∠APB=135° 选B5、在函数y= -a 2+1x （a 为常数）的图象上有三点：（-1，y 1）（-14 ，y 2）（12 ，y 3），则函数值y 1，y 2，y 3的大小关系是（）A 、y 1＜y 2＜y 3B 、y 3＜y 2＜y 1C 、y 3＜y 1＜y 2D 、y 2＜y 1＜y 3 ∵-（a 2+1）＜0，∴在每个象限，y 随x 的增大而增大，因此y 1＜y 2 又∵（-1，y 1）在第二象限，而（12 ，y 3）在第四象限，∴y 3＜y 1 选C 6、已知a+b+c ≠0，且a+b c =b+c a =a+cb =p ，则直线y=px+p 不经过（） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限解 ⎪⎭⎪⎬⎫=+=+=+bp a c ap c a cp b a 20)()(2=⇒⎭⎬⎫≠++++=++⇒p c b a c b a p c b a因此，直线y=px+p 不可能通过第四象限，选D二、填空题（本大题有4小题，每小题7分，满分28分）请将正确答案填在下表的指定位置7、如果a 是方程x 2-3x+1=0的根，那么分式2a -6a +2a -a -13a的值是；解根据题意a 2-3a+1=0，原式=2a 3(a 2-3a+1)-(a 2+1)3a=-a 2+13a =-1，∴填-1 8、甲乙两个机器人同时按匀速进行100米速度测试，自动记录仪表明：当甲距离终点差1米，乙距离终点2米；当甲到达终点时，乙距离终点1.01米，经过计算，这条跑道长度不标准，这这条跑道比100米多；解设跑道实际长为x 米，甲、乙两位机器人的速度分别为v 甲，v 乙，甲距离终点1米时说花的时间为t ，v 乙·t=x-2，于是v 甲v 乙=x-1x-2又设甲到达终点时所花的时间为t ’则v 甲·t ’=x ，v 乙·t ’=x-1.01 于是v 甲v 乙 =x x-1.01 ，因此可得方程x-1x-2 =xx-1.01 ，解得x=101米，因此，这条跑道比100米多1米，填19、根据图中所标的数据，图中的阴影部分的面积是；解有对称性可知5个三角形中的面积为S 0=S ’0, S 1=S ’1, 且S 0S 1=32 即2S 0=3S 1, 又2S 0+S 1=152 即3S 1+ S 1=152 , S 1=258 S 0=4516又S 2+S 1=2,∴S 2=5-S 1=258 填25810、有三个含有30°角的直角三角形，它们的大小互不相同，但彼此有一条边相等，这三个三角形按照从大到小的顺序，其斜边的比为；解设三角形甲的勾=三角形乙的股=三角形丙的弦，则三者的弦分别为2，233 ，1即所求比为2：233 ：1，填2：233 ：1三、解答题（本大题共有3小题，第11小题20分，第12、13小题各25分，满分70分）11、已知△ABC 是等边三角形，E 是AC 延长线上一点，选择一点D ，使得△CDE 是等边三角形，如果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点，求证：△CMN 是等边三角形证明：∵△ACD ≌△BCE ∴AD=BE,AM=BN ……6分又∵△AMC ≌△BNC∴CM=CN,∠ACM=∠BCN ……12分又∠NCM=∠BCN-∠BCM ∠ACB=∠ACM-∠BCM ∴∠NCM=∠ACB=60°∴△CMN 是等边三角形 ……20分12、已知n 是大于1的整数求证：n 3可以写出两个正整数的平方差证明：n 3=（n2 ）2·4n ……8分=（n2 ）2[(n+1)2-（n-1）2] ……15分=[n 2 (n+1)]2-[n2 (n-1)]2 ……20分∵n （n+1），n （n-1）不仅大于1，而且均能被2整除 ∴n 2 (n+1)，n2 (n-1)均为正整数因此，命题得证 ……25分13、已知正整数x 、y 满足条件：2x +1y =a ，（其中，a 是正整数，且x ＜y ）求x 和y解 ∵x ≥1，y ≥2，2x +1y ≤2+12 ，即a ≤212 因此a=1或a=2当a=1是，2x +1y =1，若x=1，则1y =-1，与y 是正整数矛盾，∴x ≠1，若x=2，则1y =0，与y 是正整数矛盾，∴x ≠2 若x ≥3，则2x +1y ≤23 +14 ＜1，与2x +1y =1矛盾，∴x ＜3 综上所述，a ≠1当a=2时有2x +1y =2，若x=1，则1y =0，与y 是正整数矛盾，∴x ≠1 若x ≥3，则2x +1y ≤23 +14 ，与2x +1y =2矛盾，∴x ＜3 因此1＜x ＜3，∴x=2，y=1。

2009年全国初中数学联赛试题及解答

2009年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题1.设1a =−，则32312612a a a +−−=（）A.24.B. 25.C. 10+.D. 12+.2．在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的两倍，且AB ＝7，AC ＝8，则BC ＝（）A..B. 10.C..D. 3．用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程22[]30x x −−=的解的个数为（） A.1. B. 2. C. 3. D. 4.4．设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（）A.314. B. 37. C. 12. D. 47. DC5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则CBE ＝（）sin ∠A.3. B. 23. C. 13.D. 10.6．设是大于1909的正整数，使得n 19092009n n−−为完全平方数的n 的个数是（）A.3.B. 4.C. 5.D. 6.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知是实数，若是关于t ,a b x 的一元二次方程221x x t 0−+−=的两个非负实根，则(1的最小值是____________.22)(1)a b −−22|21a b a b a 2．设D 是△ABC 的边AB 上的一点，作DE//BC 交AC 于点E ，作DF//AC 交BC 于点F ，已知△ADE 、△DBF 的面积分别为和，则四边形DECF 的面积为______.m n 3．如果实数满足条件，|1,a b 221a b +=2−+++=−，则a b +=______. 4．已知是正整数，且满足,a b 是整数，则这样的有序数对共有对. (,)a b第二试（A）一．已知二次函数的图象与2(0y x bx c c =++<)x 轴的交点分别为A 、B ，与轴的交点为C.设△ABC 的外接圆的圆心为点P.y （1）证明：⊙P 与轴的另一个交点为定点.y （2）如果AB 恰好为⊙P 的直径且，求和的值.2ABC S △＝b c 二．设CD 是直角三角形ABC 的斜边AD 上的高，I 、I 分别是△ADC 、△BDC 的内心，AC ＝3，BC ＝4，求I .1212I 三．已知为正数，满足如下两个条件：,,a b c 32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab+−+−+−++= ②.第二试（B）一．题目和解答与（A ）卷第一题相同.NB二．已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线 AM 、BN 分别交于P 、Q 两点.PM 、QN 的中点分别为E 、F.求证：EF ∥AB.三．题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试（C）一．题目和解答与（A ）卷第一题相同. 二．题目和解答与（B ）卷第二题相同. 三．已知为正数，满足如下两个条件：,,a b c 32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +−+−+−++=② .2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题 1．A 2．C 3．C 4．B 5．D 6．B 二、填空题 1． 3−2． 3． 1−4．7第二试（A）一．解（1）易求得点的坐标为，设，，则C (0,)c 1A(,0)x 2B(,0)x 12x x b +=−，12x x c =.设P ⊙与轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是P ⊙的两条相交弦，它们的交点为点O ，所以OA×OB ＝OC×OD ，则y 121x x c OA OB OD OC c c×====. 因为，所以点C 在轴的负半轴上，从而点D 在轴的正半轴上，所以点D 为定点，它的坐标为(0,1).0c <y y （2）因为AB CD ⊥，如果AB 恰好为P ⊙的直径，则C 、D 关于点O 对称，所以点的坐标为，即.C (0,1)−1c =−又12AB x x =−===，所以12ABC S ==△，解得b =±.二．解作E ⊥AB 于E ，F ⊥AB 于F.1I 2I 在直角三角形ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB =5=.又CD ⊥AB ，由射影定理可得2AC 9A D =AB 5=，故16BD =AB AD 5−=，12CD =5=.C 因为E 为直角三角形ACD 的内切圆的半径，所以I ＝1I 1E 13(AD CD AC)25+−=. 连接D 、D 2，则D 1I 、2I 分别是ADC ∠和∠BDC 的平分线，所1I DC ＝∠A ＝∠2I DC ＝∠2I DB 45°∠1I D 2I ＝90°，所以1ID 2D ，1I I D 以∠D ＝，故⊥1I I 1I E 1135DI sin ADI sin 45===5∠°.同理，可求得24I F 5=，2D I 5=. 所以1I 2I =. 三．证法1 将①②两式相乘，得()b c a c a b a b ca b c bc ca ab+−+−+−()8++++=，即222222()()()8b c a c a b a b c bc ca ab +−+−+−++=，即222222()()()44b c a c a b a b c bc ca ab +−+−+−−+−+=0，即222222()()()0b c a c a b a b c bc ca ab−−−−+−++=，即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab −+−−−+−−+++−++=，即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc−+−−−−++++=，即222()[2]0b c a ab a b c abc −+−−+=，即22()[()]b c a c a b abc 0−+−−=，即()()()b c a c a b c a b abc−++−−+=0，所以或或，即0b c a −+=0c a b +−=0c a b −+=b a c +=或c a b +=或. c b a +=.证法2 结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab −−−++=，变形，得222110242()4a b c abc −++=③ 又由①式得，即， 2()1024a b c ++=22210242()a b c ab bc ca ++=−++代入③式，得110242[10242()]4ab bc ca abc −−++=，即 16()4096abc ab bc ca =++−.3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c −−−=−+++++−3409625632160=−+×−=，所以或或16a =16b =16c =.结合①式可得b a 或或c b .c +=c a b +=a +=.第二试（B）二．证明因为BN 是∠ABC 的平分线，所以ABN CBN ∠=∠.又因为CH ⊥AB ，所以， CQN BQH 90ABN 90CBN CNB ∠=∠=°−∠=°−∠=∠因此.CQ NC =又F 是QN 的中点，所以CF ⊥QN ，所以CFB 90CHB ∠=°=∠，因此C 、F 、H 、B 四点共圆.又，所以FC ＝FH ，故点F 在CH 的中垂线上.FBH =FBC ∠∠N B同理可证，点E 在CH 的中垂线上. 因此EF CH.⊥又AB CH ⊥，所以EF AB. ∥第二试（C）三．解法1 将①②两式相乘，得()b c a c a b a b ca b c bc ca ab+−+−+−++++()8=，即222222()()()8b c a c a b a b c bc ca ab +−+−+−++=，即222222()()()44b c a c a b a b c bc ca ab +−+−+−−+−+=0，即222222()()()0b c a c a b a b c bc ca ab −−−−+−++=，即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab −+−−−+−−+++−++=，即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc−+−−−−++++=，即222()[2]0b c a ab a b c abc −+−−+=，即22()[()]b c a c a b abc 0−+−−=，即()()()b c a c a b c a b abc−++−−+=0，所以或0b c a −+=0c a b +−=或0c a b−+=，即b ac +=或c a b +=或.c b a +=90°. 解法2 结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab −−−++=，变形，得22211024 ③ 2()4a b c abc −++=又由①式得，即， 2()1024a b c ++=22210242()a b c ab bc ca ++=−++代入③式，得110242[10242()]4ab bc ca abc −−++=，即 16()4096abc ab bc ca =++−.3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c −−−=−+++++−3409625632160=−+×−=，所以或或.16a =16b =16c =结合①式可得b a 或c a 或c b c +=b +=a +=.90°.。

2009年全国初中数学竞赛试题

报出来若报出来的数如图所示则报
．
，
3
的人
一
心里想的数是
参考答案
、
．
选择题
，
1 10
1
2 3
．
由题设知口 ≥ 3
=
所以题设的等式可化为
于是
a
=
／ f b + 2 f + 、瓦二巧矿
a +
o
，
3 ，6 —
2
，
从而
9
b 1
=
．
选C
I~
}
．
8
、
6
r
4 5
-
：
,
2 64
9
；
=
㈣
，
；
fx 3
心里想的数应是 8 吨
．
=
2 544
，
fx 4
；
-
2 364
于是报 7 的人心里想的
【3 6 0 1 7 2 0 9 y
=
【4 6 0 1 7 2 0 9 y
=
．
数是
16
一
12
一
(8 吨 ) 4 帆
=
=
，
报
9
的人心里想的数是
20
一
(4 慨 )
2
．
A B OC
—
A ABC
，
所以
器器即
=
，
上
=
』
，
所以扛
0
—
1= 0
．
第1 0 题图
副