平面向量(1)基础题型
平面向量题型学霸总结五(含答案)-
平面向量题型学霸总结五(含答案)阳光老师:祝你学业有成一、选择题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知平面非零向量，满足：，在方向上的投影为，则与夹角的余弦值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【试题解析】【分析】本题主要考查平面向量的数量积以及平面向量的投影．属于基础题．设出两向量的夹角，结合向量的数量积和向量垂直转化，再结合投影公式、夹角公式计算公式求解即可．【解答】解：设，两向量夹角为，则有，所以．故选D．2.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若角A，C，B成等差数列，且，则的形状为A. 直角三角形B. 等腰非等边三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了等差数列的性质，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．由已知利用等差数列的性质可得，由正弦定理可得，根据余弦定理可求，即可判断三角形的形状．【解答】解：由题意可知，，，则，所以，所以，故的形状为等边三角形．故选C．3.已知，，且，则向量在方向上的投影为A. B. C. D.【答案】D【解析】略4.已知向量，，，若，则A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】本题考查平面向量垂直的充要条件，以及向量加法、数乘和数量积的坐标运算．可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出．【解答】解：；又；；解得．故选：C．5.已知向量，满足，为向量与向量的夹角，那么A. B. C. D. 0【答案】C【解析】【分析】本题考查向量的夹角，向量的模，向量的数量积的计算，考查运算化简的能力，属于基础题．设向量，的夹角为，由，求得，再由向量夹角公式可得结论．【解答】解：设向量，的夹角为，，，可得，，解得，．故选C．6.已知向量，，则下列结论正确的是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查向量的模、数量积及判断两个平面向量的平行、垂直关系，属于基础题．由，，易求出向量的模，结合平面向量的数量坐标运算，对四个答案逐一进行判断，即可得到答案．【解答】解：，，，，故不正确，即A错误，故B错误，，易得，故C正确，D错误；故选C．7.已知两个单位向量，若，则的夹角为A. B. C. D.【答案】B【解析】略8.设向量，，则下列结论中正确的是A. B.C. 与的夹角为D. 在方向上的投影为【答案】C【解析】【分析】本题考查向量的运算，共线，垂直的条件，考查了向量的夹角，向量的投影，属于基础题．利用向量共线的条件判断A，利用向量垂直的条件判断B，利用向量的夹角公式判断C，利用向量的投影公式判断D．【解答】解：A．，不平行，故A错误；B.，不垂直，故B错误；C.设的夹角为，则夹角为，故C正确；D.在方向上的投影为，故D错误．故选C．9.在中，若，则A. 一定是正三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是等腰三角形D. 形状无法确定【答案】C【解析】【分析】本题考查三角形形状的判定和向量数量积的运算，属于基础题．根据向量数量积的运算化简，然后将运算结果运用于三角形中判定三角形的形状即可．【解答】解：在中，，，即．故：所以一定是等腰三角形．故答案为C．10.已知，，，则．A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】D【解析】【试题解析】【分析】本题主要考查向量的数量积及模，考查向量的坐标运算，属于基础题．由，求出的坐标，根据，可求t，结合向量数量积的坐标运算即可求解．【解答】解：由，，则，，所以．故选D．11.已知向量，，若与的夹角为，则A. 2B.C.D. 1【答案】B【解析】【分析】本题考查向量数量积的坐标运算，向量的模，属于基础题．由题意可得，，即可求，由展开即可求解．【解答】解：由题意可知：，，，则．故选B．12.如图，，为互相垂直的两个单位向量，则A. 20B.C.D.【答案】C【解析】【试题解析】【分析】本题考查两个向量的加减法的法则，以及其模的公式的运用，考查运算能力，属于基础题．以，是互相垂直的单位向量，所在的直线分别为x轴和y轴，建立直角坐标系，得到向量，的终点坐标和起点坐标，从而得到向量a，b的坐标，即可得到和向量的坐标，再由模的公式即可得到答案．【解答】解：以，是互相垂直的单位向量，所在的直线分别为x轴和y轴，建立直角坐标系，则向量的终点坐标为，起点坐标为，的终点坐标为，起点坐标为，则有，，，即有．故选C．13.已知O为内一点且满足，若的面积为且，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题为中档题．考查向量的平行四边形法则；向量的数量积公式及三角形的面积公式，得出O为三角形的重心是解决问题的关键．根据向量判断出点O为三角形的重心，由重心的性质得出的面积与面积的关系，利用向量的数量积公式和三角形的面积公式可求出，即可求出【解答】解：，，为三角形的重心，的面积为面积的，的面积为，，，，即，由可得，即，即，故选A14.已知向量，若，则与夹角为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查用数量积表示两个向量的夹角，两个向量的夹角公式，属于基础题．由题意可得与反向，故与的夹角即为与的夹角，利用两个向量的夹角公式求解即可．【解答】解：向量，，，若，则与反向，与的夹角即为与的夹角，设为，，，，即与的夹角为．故选A．二、不定项选择题（本大题共3小题，共12.0分）15.已知向量，，则A. 若与垂直，则B. 若，则的值为C. 若，则D. 若，则与的夹角为【答案】BC【解析】【分析】本题主要考查了向量的数量积公式，向量的模长公式，向量垂直的条件，平行的条件，夹角，属于较易题逐个判断即可得出结果．【解答】解：向量，，A.若与垂直，则，解得，故A错误；B.若，则，解得，则，，故B正确；C.若，则，，则，故C正确；D.若，则，，，，，故D错误．故选BC．16.对于任意向量，，，下列命题正确的是A. 若，，则B. 若，则C. 若，，则D. 若，则【答案】CD【解析】【分析】本题主要考查平面向量的基本概念以及数量积，属于较易题目，根据向量的定义和向量数量积的性质逐一判断即可．【解答】解：A项，若为零向量，零向量与任何向量都平行，则不能推出，故A项错误设与的夹角为，与的夹角为，则B项，，可得即，不能推出，故B项错误C 项，若，，由概念可得，故C正确；D项，即为，化简得于是有，故D项正确故选CD．17.已知向量，则A. B.C. 共线D. 夹角是钝角【答案】BCD【解析】【分析】本题考查平面向量的坐标运算、模长公式、共线和夹角，属于基础题．利用已知条件逐个判断即可．【解答】解：由题意，得，对于A，因为，故错误；对于B，因为，故正确；对于C，因为，故与共线，故正确；对于D，因为，则，且与不共线，故与夹角是钝角，故正确，故选BCD．三、填空题（本大题共6小题，共30.0分）18.已知向量，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是．【答案】19.若a，b，a与b的夹角为，则a b_______，a b_______．【答案】【解析】【分析】本题考查向量的有关计算，属于基础题先求出向量和与向量差的平方，再开平方即可得到结果．【解答】解：由题可得：，．故答案为．20.已知a，b．当a b时，a b_______．当a b时，a b_______．当a b时，a与b的夹角为_______．【答案】【分析】本题考查向量的夹角，数量积及向量平行或垂直的公式，属于基础题．【解答】解：根据向量垂直的定义得，当时，；当时，向量的夹角为或，；，故，因此向量的夹角为．故答案为．21.已知向量，，，则________．【答案】4【解析】【分析】本题考查平面向量数量积的坐标运算，向量的模，考查运算求解能力，属于基础题．利用平面向量数量积的坐标运算求解得，由向量的模得关于m的方程求解．【解答】解：因为，所以，则，，，，所以．故答案为4．22.已知向量，若，则；若，则【答案】2或，【解析】【分析】本题主要考查两个向量平行和垂直的性质，属于基础题．由条件利用两个向量平行和垂直的条件，求得t的值．【解答】解：向量，若，则，求得或，若，，求得，故答案为：2或，．23.已知向量，，，若，，则的值为________．【答案】10【解析】【分析】本题考查向量的数量积运算，向量的坐标运算，以及向量平行、垂直的条件，属于基础题．由解得x，由解得y，得到和，进而得解．【解答】解：由，可得，解得，则，由，可得，解得，则，即，则．故答案为10．四、解答题（本大题共7小题，共84.0分）24.已知向量，，若与向量垂直，求实数k的值；若向量，且与向量平行，求实数k的值．【答案】解：由题意得，垂直，，解得；由题意得，平行，，解得．【解析】本题考查了向量垂直与共线、向量共线定理，涉及向量的坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由与向量垂直，再运用数量积公式化简即可求解；利用向量共线定理即可得出．25.已知向量a，b，c a b，求与c平行的单位向量的坐标．【答案】解：向量，，，与平行的单位向量的坐标为，即为或．【解析】本题考查了平面向量的坐标运算和平面向量共线的充要条件，还考查了向量的模和单位向量，由题意得，所以，所以与平行的单位向量的坐标为，即可得出结果．26.已知平面向量，．Ⅰ求与的夹角的余弦值；Ⅱ若向量与互相垂直，求实数k的值．【答案】解：Ⅰ，，，Ⅱ向量与互相垂直，，，，．【解析】本题主要考查了向量数量积的性质：向量夹角公式及向量垂直的性质的简单应用，属于基础题．Ⅰ由向量夹角公式，代入即可求解；Ⅱ由已知可得，，结合已知条件可求k．27.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．求角A的大小；若点D是BC的中点，且，求的面积的最大值．【答案】解：由题意，可得，，，又，．，当且仅当时等号成立，，，故面积的最大值为【解析】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角形面积公式，求三角函数最值，考查基本不等式求最值，是基础题利用正弦定理将边角关系统一，结合余弦定理求解；首先利用正弦定理可得可得得出，，然后利用余弦定理可求解；由题可得，将其平分，再结合基本不等式解出，当且仅当时等号成立，进而得出，故面积的最大值为28.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．Ⅰ求sin B；Ⅱ若的周长为8，求的面积的取值范围．【答案】解：且，又，，，，．由题意知：，故，，，，或舍，即当时等号成立综上，的面积的取值范围为．【解析】直接利用三角函数关系式的变换的应用和倍角公式的应用求出结果．利用余弦定理和不等式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．29.已知向量，，且函数．若，求的值；在中，且，求面积的最大值．【答案】解：因为，，，且，所以，即，所以，所以．由题可得，因为，所以，又，所以．在中，由余弦定理可得，即．所以，当且仅当时等号成立，故面积的最大值为．【解析】本题考查向量的数量积，向量垂直的判定，二倍角公式，同角三角函数的基本关系，两角差的三角函数公式，三角形面积公式，余弦公式以及基本不等式的应用，属于中档题．因为，且，可得，即可得到，进而求解．由题可得，再根据，得到，结合，即可求出在中由余弦定理可得，即可求出，再根据三角形的面积公式即可得解．30.复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是，向量对应的复数是，向量对应的复数是，求点C在复平面内的坐标．【答案】解：，对应的复数为．设，则，，，，点C在复平面内的坐标为．【解析】本题考查复数的运算，以及向量的加减运算，首先，根据三角形法则用表示出，对应的复数相减，得出对应的复数，接下来，设出C点坐标为，用A点对应的复数以及C点对应的复数表示出，据此求出x和y的值，找到对应的点，即可得到答案．。
平面向量习题及答案
平面向量习题及答案【篇一：平面向量练习题集答案】>典例精析题型一向量的有关概念【例1】下列命题：①向量ab的长度与ba的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量ab与向量cd是共线向量，则a、b、c、d必在同一直线上.其中真命题的序号是.【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；ab与cd是共线向量，则a、b、c、d可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①.【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.【变式训练1】下列各式：①|a|＝a?a；②(a?b) ?c＝a? (b?c)；③oa－ob＝ba；④在任意四边形abcd中，m为ad的中点，n为bc的中点，则ab ＋＝2；其中正确的个数为( )a.1b.2c.3d.4【解析】选d.| a|＝a?a正确；(a?b) ?c≠a? (b?c)； oa－ob＝ba 正确；如下图所示，mn=++且mn=++，两式相加可得2mn＝ab＋dc，即命题④正确；因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b为菱形的两条对角线，即得(a＋b)⊥(a－b).所以命题①③④⑤正确.题型二与向量线性运算有关的问题【例2】如图，abcd是平行四边形，ac、bd交于点o，点m在线段do上，且=，点n在线段oc上,且=,设=a, =b,试用a、b表示，，1313.【解析】在?abcd中，ac，bd交于点o，111所以＝＝(－)a－b)，222＝2＝2(＋)＝2(a＋b).11又＝，＝， 331所以＝ad＋＝b＋ 31115＝b(a－b)＝a， 3266111＝＋＝＋3 4412＝＝(a＋b)a＋b). 3323所以＝－ 21511＝(a＋b)－＋)＝a. 36626【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形.所以? (＋)＝?0＝0，故填0.题型三向量共线问题【例3】设两个非零向量a与b不共线.(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：a，b，d三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线. 1【解析】(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，所以bd＝bc＋cd＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5ab，所以ab， bd共线.又因为它们有公共点b，所以a，b，d三点共线.(2)因为ka＋b和a＋kb共线，因为a与b是不共线的两个非零向量，【点拨】(1)向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.【变式训练3】已知o是正三角形bac内部一点，+2+3=0，则△oac的面积与△oab的面积之比是（3a. 2c.2 2b. 31d. 3 ）【解析】如图，在三角形abc中， oa＋2ob＋3oc＝0，整理可得oa＋oc＋2(ob＋oc)＝0.1令三角形abc中ac边的中点为e，bc边的中点为f，则点o在点f与点e连线的处，即oe＝2of. 32由于ab＝2ef，oe＝，所以ab＝3oe， 31s△oacoe?h2＝＝.故选b. 3s△oabab?h4总结提高1.向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)的情形，而向量平行则包括共线(即重合)的情形.2.判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来.3.当向量a与b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当向量a与b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||；当向量a与b不共线时，|a＋b|＜|a|＋|b|.典例精析题型一平面向量基本定理的应用【例1】如图?abcd中,m,n分别是dc，bc中点.已知am=a,=b,试用a，b表示，ad与ac【解析】易知am＝ad＋dm 1＝＋， 21an＝ab＋bn＝ab2ad， 1???a,??2即? ??1?b.?2?22所以＝b－a)，＝2a－b). 332所以＝＋＝a＋b). 3【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟.【变式训练1】已知d为△abc的边bc上的中点，△abc所在平面内有一点p，满足＋＋＝0等于( ) 1b. 2c.1 d.2 1a. 3【解析】由于d为bc边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知pb＋pc＝2pd，因此结合pa＋bp＋cp＝0即得pa＝2pd，因此易得p，a，d三点共线且d是pa＝1，即选c.题型二向量的坐标运算【例2】已知a＝(1，1)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b.(1)若u＝3v，求x；(2)若u∥v，求x.【解析】因为a＝(1，1)，b＝(x，1)，所以u＝(1，1)＋2(x，1)＝(1，1)＋(2x，2)＝(2x＋1，3)，v＝2(1，1)－(x，1)＝(2－x，1).(1)u＝3v?(2x＋1，3)＝3(2－x，1)?(2x＋1，3)＝(6－3x，3)，所以2x＋1＝6－3x，解得x＝1.?2x?1??(2?x),?? 3????(2x＋1)－3(2－x)＝0?x＝1.【点拨】对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视.＋|a141＋b|2的最大值为.值为284.题型三平行(共线)向量的坐标运算【例3】已知△abc的角a，b，c所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin b，sin a)，p＝(b－2，a－2).(1)若m∥n，求证：△abc为等腰三角形；【解析】(1)证明：因为m∥n，所以asin a＝bsin b.由正弦定理，得a2＝b2，即a＝b.所以△abc为等腰三角形.a(b－2)＋b(a－2)＝0，所以a＋b＝ab.由余弦定理，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，所以(ab)2－3ab－4＝0.所以ab＝4或ab＝－1(舍去).113所以s△abc＝absin c3. 222【点拨】设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，则①m∥n?x1y2＝x2y1；②m⊥n?x1x2＋y1y2＝0.【变式训练3】已知a，b，c分别为△abc的三个内角a，b，c的对边，向量m＝(2cosc－1，－2)，n＝(cos c，cos c＋1).若m⊥n，且a＋b＝10，则△abc周长的最小值为( )a.10－3c.10－23b.10＋53d.10＋231【解析】由m⊥n得2cos2c－3cos c－2＝0，解得cos c＝－cos c＝2(舍去)，所以c2＝a2＋b2－2abcos 2【篇二：高中数学平面向量测试题及答案】选择题：1。
高中数学高一平面向量常见题型分类总结
平面向量常见题型题型一、利用平面向量待定系数求参数值（平面向量基本定理的应用）例题1： 在正方形中， 分别是的中点，若，则的值为（ ）变式1： 如图，两块斜边长相等直角三角板拼在一起．若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝___y ＝___题型二、向量基本定理与不等式,、三角函数相结合例题2： 在Rt ABC ∆中，090A ∠=，点D 是边BC 上的动点，且3AB =,4AC =,(0,0)AD AB AC λμλμ=+>>，则当λμ取得最大值时， AD 的值为变式2： 已知点A 在线段BC 上（不含端点），O 是直线BC 外一点，且20OA aOB bOC −−= 则221a ba b b+++的最小值是___________变式3： 给定两个长度为1的平面向量,OA OB ，它们的夹角为120.如图1所示，点C 在以ABCD ,M N ,BC CD AC AM BN λμ=+λμ+O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈，则x y +的最大值是______.变式4：变式5： 若非零向量a b 、满足a b b −=，则下列不等式恒成立的为（ ） A. 22b a b >− B. 22b a b <− C. 22a a b >− D. 22a a b <−题型三、坐标系法处理平面向量的数量积在处理向量数量积问题时，若几何图形特殊（如正方形，等边三角形等），易于建系并写出点的坐标，则考虑将向量坐标化解1. 数量积的定值问题例2.在边长为1的正三角形ABC 中，设2,3BC BD CA CE ==，则AD BE ⋅=____变式6： 如图，在矩形ABCD中，2AB BC ==，点E 为BC 中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=AE BF ⋅的值是____________变式7： 如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于M ，点P 是MD 的中点，若2AB =，1AD =，且60BAD ∠=，则AP CP ⋅=_________2. 数量积的最值问题例3.平面向量,,a b c 满足1,2,2,1a e b e a b e ⋅=⋅=−==，则a b ⋅最小值是______变式8.已知点M 为等边三角形ABC 的中心，2AB =，直线l 过点M 交边AB 于点P ，交边AC 于点Q ，则BQ CP ⋅的最大值为 .3. 数量积的范围问题例题3： 如图，在直角三角形ABC中，1AC BC ==，点,M N 分别是,AB BC 的中点，点P 是ABC 内及边界上的任一点，则AN MP ⋅的取值范围是_______变式8： 如图，四边形ABCD 是半径为1的圆O 的外切正方形，PQR 是圆O 的内接正三角形，当PQR 绕着圆心O 旋转时，AQ OR ⋅的取值范围是变式9： 在平面上，12AB AB ⊥ ，12121,OB OB AP AB AB ===+，若12OP <，则OA 的取值范围是题型四、平面向量的投影问题数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题。
平面向量常考题型
《数学》必会基础题型——《平面向量》【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】1.向量：既有大小又有方向的量。
记作：AB 或a 。
2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。
3.单位向量：长度为1的向量。
若e 是单位向量，则||1e =。
4.零向量：长度为0的向量。
记作：0。
【0方向是任意的，且与任意向量平行】5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
6.相等向量：长度和方向都相同的向量。
7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。
AB BA =-。
8.三角形法则：AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数）9.平行四边形法则：以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。
10.共线定理：//a b a b λ=⇔。
当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。
11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ⋅=⋅； cos ||||a b a b θ⋅=⋅ 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ⇔=⇔=；121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+= 题型1.向量的加减运算1.设a 表示“向东走8km ”, b 表示“向北走6km ”,则||a b += 。
2.化简()()AB MB BO BC OM ++++= 。
3.已知||5OA =,||3OB =,则||AB 的最大值和最小值分别为 、 。
4.已知AC AB AD 为与的和向量，且,AC a BD b ==，则AB = ，AD = 。
5.已知点C 在线段AB 上，且35AC AB =,则AC = BC ，AB = BC 。
平面向量重难点题型训练
平面向量重难点题型训练摘要：一、平面向量的基本概念二、平面向量的重难点题型三、平面向量的解题技巧四、总结与展望正文：一、平面向量的基本概念平面向量是平面内的有序线段，可以用来表示平面内的物理量，如速度、加速度、力等。
平面向量具有大小和方向两个属性，通常用有序实数对(a,b) 来表示，其中a 和b 分别表示向量的水平和垂直分量。
平面向量的基本运算包括加法、减法、数乘和向量积等。
二、平面向量的重难点题型1.向量加法与减法向量加法和减法是平面向量的基本运算之一，其难点在于处理不同方向的向量。
解决这类问题时，需要将向量分解为水平和垂直分量，然后进行相应的加减运算。
2.向量数乘向量数乘是平面向量的另一个基本运算，其难点在于理解数乘的物理意义和计算方法。
向量数乘的结果是一个向量，其大小等于原向量的大小与数乘因子的乘积，方向与原向量相同或相反。
3.向量积向量积是平面向量的高级运算，其难点在于理解向量积的物理意义和计算方法。
向量积的结果是一个向量，其大小等于原向量之积与夹角的余弦值的乘积，方向垂直于原向量所在的平面。
三、平面向量的解题技巧1.图形法图形法是解决平面向量问题的一种直观方法，通过画图可以直观地表示向量的大小和方向，以及向量之间的运算关系。
2.分解法分解法是解决平面向量问题的一种常用方法，通过将向量分解为水平和垂直分量，可以简化向量运算，尤其是处理不同方向的向量时。
3.数学建模法数学建模法是解决平面向量问题的一种高级方法，通过将实际问题抽象为数学模型，可以更好地理解向量的物理意义和计算方法。
四、总结与展望平面向量是物理学、工程学等领域中的重要概念，掌握平面向量的基本概念和解题技巧对于解决实际问题具有重要意义。
平面向量基本定理练习题(含答案)
【题型一】利用基底表示向量例1如图，ABCD 平行四边形对角线交于点M ，且,,b AD a AB ==你能用吗？、、、表示MD MC MB MA b a , 小结：结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则，将两个向量的和或差表示出来，这是解决问题的关键。
记住对角线所在向量的表示方法是关键。
变式1 如图，.,,,AM b a BC M b AC a AB ABC 表示边的中点，请用是中，==∆变式2 如 图，.,41,,AN b a BC BN b AC a AB ABC 表示，请用且中，===∆ 变式3 如图，.,3,,AD b a DC BD b AC a AB ABC 表示，请用且中，===∆变式4 如图， .,,,,,AD AB d c d AN c AM BC DC N M 表示请用的中点，已知，分别为在平行四边形中，== 小结：用基地表示平面向量，要充分利用向量加法减法的三角形法则或平行四边形法则，结合数乘的表示，解题时要注重基本结论和基本方法的应用。
【题型二】平面向量和三角形的重心基本概念：三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心.重心定理：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为1:2.可以通过三角形相似证明得到.例1 .,,,AG b a b AC a AB ABC G 表示请用的重心，设是点==∆变式1 .0=++∆GC GB GA ABC G 的重心，求证是点变式2 ).0.(0=++=++∆CF BE AD FC EB DA ABC G 或的重心，求证是点 【题型三】二元一次方程组解向量问题 例1 已知.,,0,2,23,212121的值求若向量，是平面内两个不共线的y x b y a x e e b e e a e e =++-=-=变式1.,47,2,23,21212121c b a e e c e e b e e a e e 表示，试用向量若向量，是平面内两个不共线的-=+-=-=小结：把向量c 用表示，b a ，常用待定系数法，基本思路是假设b y a xc +=，解方程组可得出结果.变式2 设向量.,,23,24,32p n m b a p b a n b a m 表示向量试用向量+=-=-= 答案：【题型1】.2121,2121,2121,2121 1b a MD b a MC b a MB b a MA +-=+=-=--=例 ., 4.4341 3.4143 2.2121 1323432342121⎩⎨⎧⎩⎨⎧==+=+=+=-=-=+=+=c d a d c b b a d b a c b AD a AB b a AD b a AN b a AM 解得可知假设变式变式变式变式 【题型2】b a 3131AG 1+=例【题型3】.81347p 22c 10y x 1n m b a +-=-===变式变式例。
平面向量知识点归纳及常考题型分析
平面向量知识点归纳及常考题型分析【知识点回顾】1、实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ) a ;(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa ;(3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb2、向量的数量积的运算律：(1) a ·b = b ·a （交换律）;(2)（λa ）·b = λ（a ·b ）=λa ·b =a ·（λb ）;(3)（a +b ）·c = a ·c +b ·c3、平面向量基本定理如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a =λ11e +λ22e ．不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．4、向量共线（平行）的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a //b (b ≠0)1221x y x y ⇔-=5、a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ6、a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．7、平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b =1212(,)x x y y ++(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b =1212(,)x x y y --(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,AB OB OA x x y y =-=--(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,x y λλ (5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b =1212(x x y y +8、两向量的夹角公式 121cos ||||x a b a b x θ⋅==⋅+a =11(,)x y ,b =22(,)x y )9、平面两点间的距离公式,A B d =||AB AB AB =⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ) 10、向量的平行与垂直 ：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 a ||b ⇔b =λa 1221x y x y ⇔-=a ⊥b (a ≠0)⇔ a ·b =01212x x y y ⇔+=11、线段的定比分公式 ：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+） 12、三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,33x x x y y y G ++++ 13、点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,h k 14、“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,P x h y k ++ (2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+ (3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)f x h y k --= (5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,x y15、 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔== （2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=（5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+【题型归纳】一、向量的概念和基本运算例1、（1）判断下列命题是否正确：①若a b =，则a b =；②两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同；③若AB DC =，则ABCD 是平行四边形；④若ABCD 是平行四边形，则AB DC =；⑤若,a b b c ==，则a c =；⑥若//,//a b b c ，则//a c 。
专题01 平面向量的概念(解析版)
专题01 平面向量的概念一、单选题1．下列说法正确的是A ．单位向量都相等B ．若a b ≠，则a b ≠C ．若a b ＝，则//a bD ．若a b ≠，则a b ≠ 【试题来源】山西省忻州市第一中学北校2019-2020学年高一下学期3月月考【答案】D【分析】根据向量的概念，向量的两个要素：大小和方向性，即可判断各选项．【解析】对于A ，单位向量的大小都相等，但方向不一定相同，所以单位向量不一定都相等，所以A 错误；对于B ，两个向量不相等，可以大小相等，方向不同，因而当a b ≠时可能a b ＝，所以B 错误； 对于C ，两个向量的模相等，但方向可以不同，因而当a b ＝时a 和b 不一定平行，所以C 错误；对于D ，若两个向量的模不相等，则两个向量一定不相同，所以若a b ≠，则a b ≠成立，所以D 正确．综上可知，D 为正确选项，故选D 【名师点睛】本题考查了向量的概念，向量的两个要素：大小和方向性，属于基础题． 2．给出下列四个说法：①若||0a =，则0a =；②若||||a b =，则a b =或a b =-；③若//a b ，则||||a b =；④若//a b ，//b c ，则//a c ．其中错误的说法有A ．1B ．2C ．3D ．4【试题来源】安徽省六安市第一中学2019-2020学年高一上学期期末（文）【答案】D【解析】①只有零向量的模是0，因此应有0a =，不是0，错；②模相等的向量方向不确定，不一定相同或相反，错；③两向量平行，只要方向相同或相反或有一个为零向量，模不作要求，错；④当0b =时，,a c 不一定共线，错．故选D ．【名师点睛】本题考查向量的概念，掌握向量的定义是解题关键．3．下列关于向量的命题正确的是A ．若||||a b =，则a b =B ．若||||a b =，则//a bC ．若a b =，b c =，则a c =D ．若//a b ，//b c ，则//a c【试题来源】2020-2021学年高一数学十分钟同步课堂专练（人教A 版必修4）【答案】C【分析】利用向量的知识对每一个选项逐一分析判断得解．【解析】A ． 若||||a b =，则,a b 不一定相等，因为向量是既有大小，又有方向的，||||a b =只能说明向量的大小相等，不能说明方向相同，所以该选项错误；B ． 若||||a b =，则,a b 不一定平行，所以该选项错误；C ． 若a b =，b c =，则a c =，所以该选项是正确的；D ． 若//a b ，//b c ，则//a c 错误，如：=0b ，,a c 都是非零向量，显然满足已知，但是不一定满足//a c ，所以该选项错误．故选C【名师点睛】本题主要考查平面向量的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．4．下列命题正确的是A ．若||0a =，则0a =B ．若||||a b =，则a b =C ．若||||a b =，则//a bD ．若//a b ，则a b =【试题来源】2020-2021学年【补习教材寒假作业】高一数学（人教A 版2019）【答案】A【分析】根据零向量的定义，可判断A 项正确；根据共线向量和相等向量的定义，可判断B ，C ，D 项均错．【解析】模为零的向量是零向量，所以A 项正确；||||=时，只说明向,a b的长度相等，无法确定方向，a b所以B，C均错；a b 时，只说明,a b方向相同或相反，没有长度关系，不能确定相等，所以D错．故选A．【名师点睛】本题考查有关向量的基本概念的辨析，属于基础题．5．下列说法中，正确的个数是①时间、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一个正实数；③相等向量一定是平行向量；④向量a→与b→不共线，则a→与b→都是非零向量A．1B．2C．3D．4【试题来源】湖北省武汉市第六中学2018-2019学年高一下学期2月月考【答案】B【分析】根据向量的相关概念，逐项判定，即可得出结果．【解析】①时间没有方向，不是向量，摩擦力，重力都是向量，故①错误；②零向量的模为零，故②错；③相等向量的方向相同，模相等，所以一定是平行向量，故③正确；④零向量与任意向量都共线，因此若向量a→与b→不共线，则a→与b→都是非零向量，即④正确．故选B．【名师点睛】本题主要考查向量有关命题的判定，熟记向量的相关概念即可，属于基础题型．6．下列说法中正确的是A．平行向量就是向量所在的直线平行的向量B．长度相等的向量叫相等向量C．零向量的长度为零D．共线向量是在一条直线上的向量【试题来源】吉林省长春市第二十九中学2019-2020学年高一下学期线上检测数学试卷【答案】C【分析】直接根据共线向量、相等向量、零向量的概念判断即可．【解析】平行向量也叫共线向量，是指方向相同或相反的两个向量，另外规定零向量与任意向量平行，故A，D错；相等向量是指长度相等、方向相同的向量，故B错；长度为零的向量叫零向量，故C对；故选C．【名师点睛】本题主要考查平面向量的有关概念，属于基础题．7．下列命题正确的是A．若,a b都是单位向量，则a b=B．两个向量相等的充要条件是它们的起点和终点都相同C．向量AB与BA是两个平行向量A B C D四点是平行四边形的四个顶点D．若AB DC=，则,,,【试题来源】2021年新高考数学一轮复习讲练测【答案】C【分析】利用单位向量的定义可判断A；利用向量相等的定义可判断B；利用平行向量的定义可判断C；利用向量相等的定义可判断D．【解析】对于A，单位长度为1的向量为单位向量，,a b都是单位向量，但方向可能不同，故A不正确；对于B，模相等，方向相同的向量为相等向量，故B不正确；对于C，向量AB与BA为相反向量，所以两个为平行向量，故C正确；A B C D四点在同一条直线上，对于D，AB DC=，若,,,A B C D 不能构成平行四边形，故D不正确；故选C,,,【名师点睛】本题考查了向量的基本概念，需理解单位向量、相等向量、共线向量的概念，属于基础题．8．下列说法错误的是A．向量OA的长度与向量AO的长度相等B．零向量与任意非零向量平行C．长度相等方向相反的向量共线D．方向相反的向量可能相等【试题来源】2021年新高考数学一轮复习讲练测【答案】D【分析】向量有方向、有大小，平行包含同向与反向两种情况．向量相等意味着模相等且方向相同，根据定义判断选项．【解析】A．向量OA与向量AO的方向相反，长度相等，故A正确；B ．规定零向量与任意非零向量平行，故B 正确；C ．能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C 正确；D ．长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D 不正确．【名师点睛】本题主要考查向量的基本概念及共线（平行）向量和相等向量的概念，属于基础概念题型．9．有下列命题：①若向量a 与b 同向，且||||a b >，则a b >；②若四边形ABCD 是平行四边形，则AB CD =；③若m n =，n k =，则m k =；④零向量都相等．其中假命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【试题来源】2021年高考数学复习一轮复习笔记【答案】C【分析】分别根据每个命题的条件推论即可判断．【解析】对于①，因为向量是既有大小又有方向的量，不能比较大小，故①是假命题； 对于②，在平行四边形ABCD 中，,C AB D 是大小相等，方向相反的向量，即AB CD =-，故②是假命题；对于③，显然若m n =，n k =，则m k =，故③是真命题；对于④，因为大小相等，方向相同的向量是相等向量，而零向量的方向任意，故④是假命题．故选C ．【名师点睛】本题主要考查平面向量的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．10．下列说法中正确的是．A ．零向量没有方向B ．平行向量不一定是共线向量C ．若向量a 与b 同向且a b =，则a b =D ．若向量a ，b 满足a b >且a 与b 同向，则a b >【试题来源】吉林省松原市扶余市第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试【答案】C【分析】由零向量，平行向量，相等向量的定义逐一判断可得选项．【解析】对于A ，零向量的方向是任意的，故A 错误；对于B ，平行向量就是共线向量，故B 错误；对于C ，由相等向量的定义：两向量的方向相同，大小相等可知，C 正确；对于D ，两个向量不能比较大小，故D 错误．故选C ．【名师点睛】本题考查向量的基本定义，在判断关于向量的命题时注意向量的方向，属于基础题．11．以下说法正确的是A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．零向量没有方向C ．共线向量又叫平行向量D ．若a 和b 都是单位向量，则a b =【试题来源】2020-2021学年高一数学十分钟同步课堂专练（人教A 版必修4）【答案】C【分析】根据向量的基本概念逐一判断即可．【解析】只要两个向量的方向相同，模长相等，这两个向量就是相等向量，故A 错误， 零向量是没有方向的向量，B 错误； 共线向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，C 正确；若a ，b 都是单位向量，两向量的方向不定，D 错误；故选C ．12．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若,a b 都是单位向量，则a b =；③向量AB 与BA 相等．则所有正确命题的序号是A ．①B ．③C ．①③D ．①②【试题来源】2020-2021学年高一数学单元测试定心卷（人教B 版2019必修第二册）【答案】A【分析】根据零向量和单位向量的概念可以判定①②，注意相等向量不仅要长度相等，方向要相同，可否定③．【解析】根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向AB 与BA 互为相反向量，故③错误．故选A ．【名师点睛】本题考查零向量和单位向量的概念，相等向量的概念，属概念辨析，正确掌握概念即可．13．下列关于平面向量的命题中，正确命题的个数是（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；（3）若a b ≠，则a b →→≠；（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【分析】根据相等向量的有关概念判断．【解析】由相等向量的定义知（1）正确；平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，（2）错；方向不相同且长度相等的两个是不相等向量，（3）错；相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，（4）错，所以正确答案只有一个．故选B ．14．下列命题中，正确命题的个数是①单位向量都共线；②长度相等的向量都相等；③共线的单位向量必相等；④与非零向量a 共线的单位向量是||a a ．A ．0B ．1C ．2D ．3【试题来源】天津市和平区耀华中学2019-2020学年高一下学期期中【答案】A【分析】根据单位向量，相等向量，共线向量的定义进行判断即可．【解析】因为不同的单位向量的方向可能不相同，所以①错误；相反向量的长度相等，但方向相反，则②错误；因为共线的单位向量方向可能相反，所以它们不一定相等，则③错误；与非零向量a 共线的单位向量是||a a 或||a a -，则④错误；故选A 【名师点睛】本题主要考查了对单位向量，相等向量，共线向量的辨析，属于基础题． 15．有下列命题：①若a b →→=，则a b →→=；②若AB DC →→=，则四边形ABCD 是平行四边形；③若m n →→=，n k →→=，则m k →→=；④若//a b →→，//b c →→，则//a c →→．其中，假命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 【试题来源】宁夏育才中学2019-2020学年高一5月教学质量检测 【答案】C 【分析】根据平面向量的概念及向量平行的相关知识逐个判断即可．【解析】a b →→=，则a b →→，的方向不确定，则a b →→，不一定相等， ①错误；若AB DC →→=，则,AB DC →→的方向不一定相同，所以四边形ABCD 不一定是平行四边形，②错误；若m n →→=，n k →→=，则m k →→=，③正确；若//a b →→，//b c →→，则0b →→=时，//a c →→不一定成立，所以④错误．综上，假命题的是①②④，共3个．故选C ．【名师点睛】本题主要考查平面向量的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．16．下列说法不正确的是A ．平行向量也叫共线向量B ．两非零向量平行，则它们所在的直线平行或重合C ．若a 为非零向量，则a a是一个与a 同向的单位向量 D ．两个有共同起点且模相等的向量，其终点必相同【试题来源】安徽省六安市第一中学2019-2020学年高一上学期期末（理）【答案】D【分析】根据共线向量的定义判断AB ；由a a 的模长为1，10a >得出a a是一个与a 同向的单位向量；举例排除D ．【解析】由于任一组平行向量都可以平移到一条直线上，则平行向量也叫共线向量，A 正确； 两非零向量平行，则它们所在的直线平行或重合，由共线向量的定义可知，B 正确； a a 的模长为1，10a >，则a a是一个与a 同向的单位向量，C 正确； 从同一点出发的两个相反向量，有共同的起点且模长相等，但终点不同，D 错误；故选D【名师点睛】本题主要考查了共线向量概念的辨析，属于基础题．17．下列四个命题正确的是A ．两个单位向量一定相等B ．若a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量C ．共线的单位向量必相等D ．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同【试题来源】辽宁省阜新市第二高级中学2019-2020学年高一下学期第一次学考【答案】B【分析】由相等向量、共线向量的概念逐一核对四个选项得答案．【解析】两个单位向量一定相等错误，可能方向不同；若a与b不共线，则a与b都是非零向量正确，原因是零向量与任意向量共线；共线的单位向量必相等错误，可能是相反向量；两个相等的向量的起点、方向、长度必须相同错误，原因是向量可以平移．故选B．【名师点睛】本题考查命题的真假判断与运用，考查了平行向量、向量相等的概念，属于基础题．18．有下列说法：①若两个向量不相等，则它们一定不共线；②若四边形ABCD是平行四边形，则AB CD=；③若//a c；b c，则//a b，//AB CD．④若AB CD=，则AB CD且//其中正确说法的个数是A．0B．1C．2D．3【试题来源】2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）【答案】A【分析】对于①，根据向量相等的定义以及向量共线的定义可知结论不正确；对于②，根据向量相等的定义可知结论不正确；对于③，找特殊向量，当0b=时，可知结论不正确；对于④，AB与CD不一定平行，AB与CD可能在一条直线上，可知结论不正确．【解析】对于①，当两个向量不相等时，可能方向相反，所以可能共线，故①不正确；对于②，若四边形ABCD是平行四边形，则AB DC=，故②不正确；对于③，当0b=时，a与c可以不共线，故③不正确；AB CD或AB与CD在一条直线上”，故④不对于④，“若AB CD=，则AB CD且//正确．故选A．【名师点睛】本题考查了向量相等的定义，考查了向量共线的定义，属于基础题．19．下列说法正确的是A ．单位向量都相等B ．若//a b ，则a b =C ．若a b =，则a b =D ．若λa b ，（0b ≠），则a 与b 是平行向量 【试题来源】山西省大同市灵丘县豪洋中学2019-2020学年高一下学期期中 【答案】D 【分析】根据相等向量，共线向量的定义判断可得；【解析】对于A ，单位向量的模长相等，但方向不一定相同，所以A 错误；对于B ，当//a b 时，其模长a 与b 可能相等或a b λ=0λ≥，或b a λ=0λ≥，所以B 错误；对于C ，当a b =时，不一定有a b =，因为a b =要a b =且a 与b 同向，所以C 错误； 对于D ，λa b ，（0b ≠），则a 与b 是平行向量，D 正确．故选D ． 【名师点睛】本题考查了平面向量的基本概念应用问题，属于基础题．20．如图所示，在正ABC 中，D ，E ，F 均为所在边的中点，则以下向量中与ED 相等的是A ．EFB ．BEC ．FBD ．FC【试题来源】2020-2021学年【补习教材寒假作业】高一数学（人教A 版2019）【答案】D【分析】由题意先证明//DE CB 且12DE CB =，再利用中点找出所有与向量ED 相等的向量【解析】DE 是ABC 的中位线，//DE CB ∴且12DE CB =， 则与向量ED 相等的有BF ，FC ．故选D ．【名师点睛】本题考查了相等向量的定义，利用中点和中位线找出符合条件的所求的向量，属于基础题．21．已知a 、b 是平面向量，下列命题正确的是A ．若||||1a b ==，则a b =B ．若||||a b <，则a b <C ．若0a b +=，则//a bD ．零向量与任何非零向量都不共线【试题来源】备战2021年新高考数学一轮复习考点微专题【答案】C【分析】A ，根据向量的定义判断；B ．向量不能比较大小判断；C ，若0a b +=，则b a =-，由共线向量定理判断；D ，由零向量与任一向量共线判断．【解析】对于A ，向量方向不相同则向量不相等，选项A 错误；对于B ．向量不能比较大小，选项B 错误；对于C ，若0a b +=，则b a =-，//b a ∴，选项C 正确；对于D ，零向量与任一向量共线，选项D 错误．故选C ．【名师点睛】本题主要考查平面向量的概念及线性运算，还考查了理解辨析的能力，属于基础题．22．下列命题中正确的是A ．若||a b |=|，则a b =B ．若a b ≠，则a b ≠C ．若||a b |=|，则a 与b 可能共线D ．若a b ≠，则a 一定不与b 共线【试题来源】考点18 平面向量的概念及其线性运算-备战2021年高考数学（理）一轮复习考点一遍过【答案】C【分析】利用共线向量、模的计算公式，即可得出．【解析】因为向量既有大小又有方向，所以只有方向相同､大小(长度)相等的两个向量才相等，因此A 错误；两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B 错误；无论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，故C正确，D错误．故选C【名师点睛】本题考查了共线向量、模的计算公式，考查了理解能力，属于基础题．23．下列关于向量的概念叙述正确的是A．方向相同或相反的向量是共线向量B．若//a ca b，//b c，则//C．若a和b都是单位向量，则a b=D．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合【试题来源】山西省2019-2020学年高一下学期期末（理）【答案】A【分析】由向量共线的定义，可知A正确；当0b=时，可知B不正确；单位向量，方向不定，不相等；向量相等即大小和方向相同即可．【解析】由向量共线的定义可知，A正确；当0b=时，可知B不正确；单位向量，方向不确定，故C不正确；向量是自由的，向量相等，只需大小和方向相同即可，不需起点终点重合，故D不正确．故选A【名师点睛】本题考查了向量的定义和基本性质，考查了理解辨析能力，属于基础题目．24．已知向量a与b共线，下列说法正确的是A．a b=或a b=-B．a与b平行C．a与b方向相同或相反D．存在实数λ，使得λa b【试题来源】安徽省合肥市庐江县2019-2020学年高一下学期期末【答案】B【分析】根据向量共线的概念，以及向量共线定理，逐项判断，即可得出结果．【解析】向量a与b共线，不能判定向量模之间的关系，故A错；向量a与b共线，则a与b平行，故B正确；a为零向量，则满足a与b共线，方向不一定相同或相反；故C错；当0a ≠，0b =时，满足a 与b 共线，但不存在实数λ，使得λa b ，故D 错．故选B ．【名师点睛】本题主要考查向量共线的有关判定，属于基础题型．25．下列关于平面向量的命题中，正确命题的个数是①任一向量与它的相反向量都不相等；②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若a b ≠，则||||a b ≠；⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【解析】零向量与它的相反向量相等，①错；由相等向量的定义知，②正确；两个向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，例如，在平行四边形ABCD 中，//AB CD ，且=AB CD ，但AB CD ≠，故③错； a b ≠，可能两个向量模相等而方向不同，④错；两个向量相等，是指它们方向相同，大小相等，向量可以自由移动，故起点和终点不一定相同，⑤错．故选B ．26．判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同； ②若//a b ，则a 与b 的方向相同或相反； ③若//a b 且//b c ，则//a c ； ④若a b =，则2a b >．其中正确的命题个数为A ．0B ．1C ．2D ．3【试题来源】四川省凉山州2019-2020学年高一下学期期末考试（文）【答案】B【分析】根据相等向量、共线向量、零向量等知识确定正确命题的个数．【解析】①，两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同，根据相等向量的知识可知①是正确的．②，若//a b ，则可能b 为零向量，方向任意，所以②错误．③，若//a b 且//b c ，则可能b 为零向量，此时,a c 不一定平行，所以③错误．④，向量既有长度又有方向，所以向量不能比较大小，所以④错误．故正确的命题有1个．故选B【名师点睛】本题主要考查相等向量、共线向量、零向量等知识，属于基础题． 27．设,a b 是非零向量，则“2a b =”是“a a b b =” 成立的 A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【试题来源】山东省济南市莱芜第一中学2020-2021学年高三上学期11月月考【答案】B 【分析】结合共线向量、单位向量的知识，以及充分、必要条件的概念，判断出正确选项．【解析】依题意,a b 是非零向量，a a 表示与a 同向的单位向量，b b 表示与b 同向的单位向量，当2a b =时，,a b 的方向相同，所以a a b b =， 当a a b b =时，,a b 的方向相同，但不一定有2a b =，如3a b =也符合， 所以“2a b =”是“a a b b=” 成立的充分不必要条件．故选B【名师点睛】本题主要考查共线向量的知识、单位向量的知识，考查充分、必要条件的判断，属于基础题．28．若四边形ABCD 是矩形，则下列说法不正确的是A ．AB →与CD →共线B ．AC →与BD →共线 C ．AD →与CB →模相等，方向相反 D ．AB →与CD →模相等【试题来源】2020-2021学年【补习教材寒假作业】高一数学（苏教版）【答案】B【分析】根据向量的共线及模的概念即可求解．【解析】因为四边形ABCD 是矩形，所以AB →与CD →共线，AD →与CB →模相等，方向相反，AB →与CD →模相等正确， AC →与BD →共线错误，故选B29．设,a b →→是两个平面向量，则“a b →→=”是“||||a b →→=”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【试题来源】浙江省金华市曙光学校2020-2021学年高二上学期期中【答案】A【分析】根据充分条件、必要条件的定义及向量的概念判断即可．【解析】因为a b →→=，则一定有||||a b →→=，而||||a b →→=推不出a b →→=，所以“a b →→=”是“||||a b →→=”的充分不必要条件，故选A30．下列关于向量的结论：（1）若||||a b =，则a b =或a b =-；（2）向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量a 与b 同向，且||||a b >，则a b >．其中正确的序号为A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（4）D ．（3） 【试题来源】专题07 平面向量的实际背景及基本概念（重点练）-2020-2021学年高一数学十分钟同步课堂专练（人教A 版必修4）【答案】D【分析】根据向量的定义可判断（1）（4）错误，向量,a b 都是零向量时，由向量,a b 平行得不出方向相同或相反，从而判断（2）错误，根据相等向量的定义可判断（3）正确．【解析】（1）若||||a b =，由于,a b 的方向不清楚，故不能得出a b =或a b =-，故（1）不正确．（2）由零向量与任何向量平行，当向量a 与b 平行时，不能得出a 与b 的方向相同或相反，故（2）不正确．（3）由向量的相等的定义，起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；故（3）正确．（4）向量不能比较大小，故（4）不正确．故选D ．二、多选题1．下面的命题正确的有．A ．方向相反的两个非零向量一定共线B ．单位向量都相等C ．若a ，b 满足a b >且a 与b 同向，则a b >D ．“若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，且AB DC =”⇔“四边形ABCD 是平行四边形”【试题来源】备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过【答案】AD【分析】根据向量的概念：方向相反或相同的非零向量共线，模相等且方向相同的向量相等，向量除了相等的情况不能比较大小，即可判断选项正误；【解析】方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故A 正确；单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故B 错误；向量是有方向的量，不能比较大小，故C 错误；A 、B 、C 、D 是不共线的点，AB DC =，即模相等且方向相同，即平行四边形ABCD 对边平行且相等，反之也成立，故D 正确．故选AD【名师点睛】本题考查了向量的基本概念，需要理解向量共线、相等的条件，属于简单题；2．若四边形ABCD 是矩形，则下列命题中正确的是A ．,AD CB 共线B ．,AC BD 相等 C ．,AD CB 模相等，方向相反 D ．,AC BD 模相等【试题来源】2020-2021学年高一数学单元测试定心卷（人教B 版2019必修第二册）【答案】ACD【分析】根据向量的加法和减法的几何意义（平行四边形法则)，结合矩形的判定与性质进行分析可解．【解析】因为四边形ABCD 是矩形，,ADBC AC BD ∴=‖， 所以,AD CB 共线，,AC BD 模相等，故A 、D 正确；因为矩形的对角线相等，所以|AC|=|BD|，,AC BD 模相等，但的方向不同，故B 不正确；|AD|=|CB|且AD ∥CB ，所以,AD CB 的模相等，方向相反，故C 正确．【名师点睛】本题考查向量的共线，相等，模，向量的加减法的几何意义，属基础题，根据向量的加减法的平行四边形法则和矩形的性质综合判定是关键．3．在下列结论中，正确的有A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．平行向量又称为共线向量C ．两个相等向量的模相等D ．两个相反向量的模相等【试题来源】江苏省淮安市涟水县第一中学2019-2020学年高一上学期第二次月考【答案】BCD【分析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案．【解析】A ． 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误； B ． 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；C ． 相等向量方向相同，模相等，正确；。
平行向量基本定理题型练习-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
第六章 6.3.1 平行向量基本定理【基础篇】题型1 平面向量基本定理的理解1．已知{e 1，e 2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能．．作为基底的一组是( )A ．2e 1－e 2和2e 2－4e 1B ．e 1＋e 2和e 1－2e 2C ．e 1－2e 2和e 1D ．e 1＋e 2和2e 2＋e 12．(多选)如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列叙述中正确的有( ) A ．λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α内的任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数λ，μ有无数多对C ．若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)D ．若存在实数λ，μ使λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝03．如图所示，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅰ，Ⅰ，Ⅰ(不包括边界)．若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，且点P 落在第Ⅰ部分，则实数a ，b 满足( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0题型2 向量相等4． 如图所示，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点．若DE →＝λ2AB →＋2μAD→(λ，μ∈R )，则λ＋μ等于( )A ．1B ．－1C .14D .185．设E 为△ABC 的边AC 的中点，BE →＝mAB →＋nAC →，则m ＋n ＝________.题型3 平面向量的分解6．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，设AB →＝a ，AF →＝b ，则AC →＝( )A ．a ＋2bB ．2a ＋3bC ．2a ＋bD .32a ＋b7．如图，在△ABC 中，点D 是线段AB 上靠近A 的三等分点，点E 是线段CD 的中点，则( )A .AE →＝16AB →＋12AC →B.AE →＝13AB →＋12AC →C.AE →＝16AB →－12AC →D.AE →＝13AB →－12AC →8．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，用向量a 和b 表示c ，则c ＝________．9．在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，DC 边的中点，BE ，BF 分别与AC 交于R ，T 两点，ET →＝xAB →＋yAD →(x ，y ∈R )，则x ＋y ＝( ) A .16B .13C .23D .56【提升篇】1．如果{a ，b }是一个基底，那么下列不能作为基底的是( ) A ．a ＋b 与a －bB ．a ＋2b 与2a ＋bC ．a ＋b 与－a －bD ．a 与－b2．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB .若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →＝( ) A .13a ＋23b B .23a ＋13b C .35a ＋45bD .45a ＋35b3．(多选)[浙江宁波九校2022高一期末]在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC 与BD 交于M .设AB →＝a ，AD →＝b ，则下列结论正确的有( ) A .AC →＝12a ＋bB .BC →＝－12a ＋bC .BM →＝－13a ＋23bD .EF →＝－14a ＋b4．如图，在△ABC 中，D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BC →＝3BD →，EC →＝λAE →，F 是AD ，BE 的交点．若AF →＝35AD →，则λ＝( )A ．2B ．3C ．6D ．75．某中学八角形校徽由两个正方形叠加组合而成，体现“方方正正做人”之意，又体现南开人“面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神．如图的多边形，由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转45°后的正方形组合而成．已知向量n ，k ，则向量a ＝( )A ．3k ＋2nB ．3k ＋(2＋2)nC ．(2＋2)k ＋(2＋2)nD ．(2＋2)k ＋(1＋2)n6．(多选)[湖北孝感2022高一期末]已知△ABC 中，O 是BC 边上靠近B 的三等分点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N .设AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，其中m >0，n >0，则下列结论正确的是( ) A .AO →＝23AB →＋13AC →B.AO →＝13AB →＋23AC →C ．2m ＋n ＝3D ．m ＋2n ＝37．在等腰梯形ABCD 中，DC →＝2AB →，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，记DA →＝a ，DC →＝b .若用a ，b 表示DF →，则DF →＝________.8．在△ABC 中，AD →＝12AB →，BE →＝23BC →.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________.9．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．10．如图，在正△ABC 中，点G 为边BC 的中点，边AB ，AC 上的动点D ，E 分别满足AD →＝λAB →，AE →＝(1－2λ)AC →，λ∈R .设DE 的中点为F ，记|FG →||BC →|＝R(λ)，则R(λ)的取值范围为________．11．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，F ，G 分别是AD ，BC 的四等分点⎝⎛⎭⎫AF ＝14AD ，BG ＝14BC .设AB →＝a ，AD →＝b . (1)用a ，b 表示EF →，EG →.(2)如果|b |＝2|a |，EF ，EG 有什么位置关系？用向量的方法证明你的结论．12．如图所示，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M .过点M 的直线l与OA ，OB 分别交于点E ，F . (1)试用OA →，OB →表示向量OM →；(2)设OE →＝λOA →，OF →＝μOB →，求证：1λ＋3μ是定值．13．如图，在直角梯形OABC 中，OA ∥CB ，OA ⊥OC ，OA ＝2BC ＝2OC ，M 为AB 上靠近B的三等分点，OM 交AC 于点D ，P 为线段BC 上的动点． (1)用OA →和OC →表示OM →； (2)求OD DM；(3)设OB →＝λCA →＋μOP →，求λμ的取值范围．答案及解析【详解】对于A 选项，因为2e 2－4e 1＝－2(2e 1－e 2)，所以2e 1－e 2和2e 2－4e 1共线，A 选项不满足条件；对于B 选项，设e 1＋e 2＝λ(e 1－2e 2)＝λe 1－2λe 2，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，－2λ＝1，无解，故e 1＋e 2和e 1－2e 2不共线，B 选项能作为基底；同理可知e 1－2e 2和e 1不共线，e 1＋e 2和2e 2＋e 1也不共线，C ，D 选项均能作为基底．故选A.2．【答案】AD【详解】由平面向量基本定理可知，A ，D 正确．对于B ，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于C ，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，λ有无数个．故选AD.3．【答案】B【详解】取第Ⅰ部分内一点画图易得a >0，b <0.4．【答案】D【详解】因为E 为AO 的中点，所以AE →＝14AC →＝14(AB →＋AD →)，所以DE →＝AE →－AD →＝14(AB →＋AD →)－AD →＝14AB →－34AD →.又因为DE →＝λ2AB →＋2μAD →，所以⎩⎨⎧λ2＝14，2μ＝－34，解得⎩⎨⎧λ＝12，μ＝－38，所以λ＋μ＝18，故选D.5．【答案】－12【详解】因为BE →＝BA →＋AE →＝－AB →＋12AC →＝mAB →＋nAC →，所以m ＝－1，n ＝12，所以m ＋n ＝－12.6．【答案】C【详解】在正六边形ABCDEF 中，连接FC ，则FC ∥AB ，FC ＝2AB ，所以AC →＝AF →＋FC →＝AF →＋2AB →＝2a ＋b .故选C.【详解】由题图知AE →＝12AD →＋12AC →＝16AB →＋12AC →.故选A.8．【答案】a －2b【详解】因为a ，b 不共线，设c ＝xa ＋yb (x ，y ∈R)，则xa ＋yb ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2)＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2.又因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，所以c ＝a －2b .9．【答案】D 【详解】如图所示，设CT →＝μCA →＝2μCF →＋μCB →(μ∈R)．因为F ，T ，B 共线，所以3μ＝1，解得μ＝13.所以AT →＝23AC →，所以ET →＝AT →－AE →＝23AC →－AE →＝23AB →＋16AD →.又ET →＝xAB →＋yAD →，所以x ＝23，y ＝16，所以x ＋y ＝56.故选D.【详解】由题意知，a 与b 不共线，根据平行四边形法则，可知A ，B ，D 选项中的两个向量都可以作为基底，而a ＋b 与－a －b 共线，不能作为基底．2．【答案】B【详解】∵CD 平分∠ACB ，∴|CA →||CB →|＝|AD →||DB →|＝2.∴AD →＝2DB →＝23AB →＝23(CB →－CA →)＝23(a －b )．∴CD→＝CA →＋AD →＝b ＋23(a －b )＝23a ＋13b .3．【答案】ABD【详解】由题意得，AC →＝AD →＋DC →＝b ＋12a ，故A 正确；BC →＝BA →＋AC →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a ，故B 正确；由△CMD ∽△AMB ，且CD ＝12AB 得AM →＝23AC →，则BM →＝BA →＋AM →＝－a ＋23AC →＝－a ＋23b ＋13a ＝23b －23a ，故C 错误；EF →＝EA →＋AD →＋DF →＝－12a ＋b ＋14a ＝b －14a ，故D 正确．故选ABD.4．【答案】A【详解】由题意得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →.因为B ，E ，F 三点共线，所以AF →＝kAB →＋(1－k )AE →＝kAB →＋1－k λ＋1AC →.因为AF →＝35AD →，所以kAB →＋1－k λ＋1AC →＝35⎝⎛⎭⎫23AB →＋13AC →，则⎩⎨⎧k ＝25，1－k λ＋1＝15.解得λ＝2，故选A.5．【答案】D【详解】根据题意可得|n |＝|k |，已知该图形是由以正方形中心为中心逆时针旋转45°后的正方形与原正方形组合而成，如图，由对称性可得|AB |＝|BC |＝|CD |＝|DE |＝|EQ |＝|QF |，|CE |＝|EF |＝|FG |＝2|AB |＝2|n |. 由图可知点B ，C ，E ，Q 共线，点Q ，F ，G 共线，所以BQ →＝BC →＋CE →＋EQ →＝(2＋2)k ， QG →＝QF →＋FG →＝(1＋2)n ，所以a ＝BG →＝BQ →＋QG →＝(2＋2)k ＋(1＋2)n .故选D.6．【答案】AC【详解】AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →，A 正确，B 错误．因为AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，所以AO →＝23AB →＋13AC →＝2m 3AM →＋n 3AN →.又因为M ，O ，N 三点共线，所以2m 3＋n3＝1，故2m ＋n ＝3，C 正确，D 错误．故选AC.7．【答案】14a ＋38b【详解】DE →＝12DB →＋12DC →＝12(DA →＋AB →)＋12DC →＝34DC →＋12DA →，∴DF →＝12DE →＝38DC →＋14DA →，即DF →＝14a ＋38b .8．【答案】12【详解】DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，又DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，所以λ1＋λ2＝12.9．【答案】78【详解】∵E ，F 是AD 的两个三等分点，D 是BC 的中点，∴BF →＝BD →＋DF →，CF →＝CD →＋DF →＝DF →－BD →，BA →＝BD →＋DA →＝BD →＋3DF →，CA →＝CD →＋DA →＝3DF →－BD →.∴BA →·CA →＝9|DF →|2－|BD →|2＝4， BF →·CF →＝|DF →|2－|BD →|2＝－1， 解得|DF →|2＝58，|BD →|2＝138.又∵BE →＝BD →＋DE →＝BD →＋2DF →，CE →＝CD ＋DE →＝2DF →－BD →，∴BE →·CE →＝4|DF →|2－|BD →|2＝208－138＝78.10．【答案】⎣⎡⎦⎤12，74 【解析】设正△ABC 的边长为2，则AB →·AC →＝2×2×cos π3＝2，|BC →|＝2. FG →＝AG →－AF →＝12(AB →＋AC →)－12(AD →＋AE →)＝12(1－λ)AB →＋λAC →，所以|FG →|＝ （1－λ）2＋4λ2＋2λ（1－λ）＝3λ2＋1.又0≤1－2λ≤1，0≤λ≤1，所以0≤λ≤12，因此|FG →|＝3λ2＋1∈⎣⎡⎦⎤1，72，R(λ)＝3λ2＋12∈⎣⎡⎦⎤12，74.11．【答案】(1)由已知，得AE →＝EB →＝12a ，AF →＝BG →＝14b ， 所以EF →＝EA →＋AF →＝14b －12a ， EG →＝EB →＋BG →＝14b ＋12a . (2)EF 与EG 互相垂直．证明如下：EF →·EG →＝⎝⎛⎭⎫14b ＋12a ·(14b －12a )＝116b 2－14a 2， 因为|b |＝2|a |，所以EF →·EG →＝0，即EF ⊥EG ，所以EF 与EG 互相垂直．12．【答案】(1)【解】由A ，M ，D 三点共线可得存在实数m ，使得OM →＝mOA →＋(1－m )OD →，又OD →＝12OB →，故OM →＝mOA →＋1－m 2OB →. 由C ，M ，B 三点共线可得存在实数n ，使得OM →＝nOC →＋(1－n )OB →，又OC →＝14OA →，故OM →＝n 4OA →＋(1－n )OB →. 由题意知OA →，OB →不共线，则⎩⎨⎧m ＝14n ，1－m 2＝1－n ，解得⎩⎨⎧m ＝17，n ＝47，故OM →＝17OA →＋37OB →. (2)【证明】由E ，M ，F 三点共线，可设OM →＝kOE →＋(1－k )OF →(k ∈R)，由OE →＝λOA →，OF →＝μOB →，得OM →＝kλOA →＋(1－k )μOB →.由(1)知OM →＝17OA →＋37OB →， 则⎩⎨⎧kλ＝17，（1－k ）μ＝37，即⎩⎨⎧λ＝17k ，3μ＝7－7k ，所以1λ＋3μ＝7，故1λ＋3μ是定值． 13．【答案】(1)依题意CB →＝12OA →，AM →＝23AB →， ∴AM →＝23(OB →－OA →)＝23(OC →＋CB →)－23OA →＝23OC →－13OA →， ∴OM →＝OA →＋AM →＝OA →＋⎝⎛⎭⎫23OC →－13OA →＝23OA →＋23OC →.(2)设OD →＝tOM →(t ∈R)．由(1)可知OD →＝23tOA →＋23tOC →. 又A ，C ，D 三点共线，∴23t ＋23t ＝1，解得t ＝34，故OD DM ＝3. (3)由题意得OB →＝OC →＋CB →＝OC →＋12OA →， 已知P 是线段BC 上的动点，设CP →＝xOA →⎝⎛⎭⎫0≤x ≤12. ∵OB →＝λCA →＋μOP →＝λ(OA →－OC →)＋μ(OC →＋CP →)＝(λ＋μx )OA →＋(μ－λ)OC →，又OC →，OA →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧μ－λ＝1，λ＋μx ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ－1，μ＝32＋2x. 又0≤x ≤12，∴1≤x ＋1≤32，∴1≤μ≤32. 可知λμ＝μ(μ－1)＝⎝⎛⎭⎫μ－122－14在区间⎣⎡⎦⎤1，32上单调递增， 当μ＝1时，(λμ)min ＝0，当μ＝32时，(λμ)max ＝34， 故λμ的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，34.。
考点30平面向量的概念及线性运算(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习(新高考版)
考点30平面向量的概念及线性运算（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．【知识点】1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有 的量叫做向量，向量的大小称为向量的．(2)零向量：长度为的向量，记作．(3)单位向量：长度等于 长度的向量．(4)平行向量：方向相同或 的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量．(5)相等向量：长度相等且方向 的向量．(6)相反向量：长度相等且方向 的向量．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a ＋b ＝ ；结合律：(a ＋b )＋c ＝________减法a －b ＝a ＋(－b )数乘|λa |＝，当λ>0时，λa 的方向与a 的方向；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向 ；当λ＝0时，λa ＝λ(μa )＝ ；(λ＋μ)a ＝ ；λ(a ＋b )＝3.向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 .常用结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2—→ ＋A 2A 3—→ ＋A 3A 4—→ ＋…＋A n －1A n ———→ ＝A 1A n —→，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F 为线段AB 的中点，O 为平面内任意一点，则OF → ＝12(OA → ＋OB → )．3．若A ，B ，C 是平面内不共线的三点，则PA → ＋PB → ＋PC → ＝0⇔P 为△ABC 的重心，AP → ＝13(AB → ＋AC → )．4．对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.【核心题型】题型一 平面向量的基本概念平行向量有关概念的四个关注点(1)非零向量的平行具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．(4)a|a |是与a 同方向的单位向量．【例题1】（2024·湖南永州·三模）在ABC V 中，120ACB Ð=o，3AC uuu r =，4BC =uuu r，0DC DB ×=uuu r uuu r，则AB AD +uuu r uuu r 的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．1D 2【变式1】（2023·北京大兴·三模）设a r ，b r 是非零向量，“a a bb =r r rr ”是“a b =r r”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【变式2】（2022·江苏·三模）已知向量()6,2a =r ，与a r共线且方向相反的单位向量b =r.【变式3】（2022·上海虹口·二模）已知向量a r ，b r满足2a =r ，1b =r ，a +r ，则a b -=r r.题型二 平面向量的线性运算平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义．(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．命题点1 向量加、减法的几何意义【例题2】（2024·福建福州·三模）已知线段AB 是圆O 的一条长为2的弦，则AO AB ×=uuu r uuu r（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式1】（2024·河南三门峡·模拟预测）在ABC V 中，3,4AN NC BP PN ==uuu r uuu r uuu r uuu r ，则AP =uuu r （ ）A ．1355AB CA+uuur uuu r B ．3455AB CA-uuur uuu r C ．3155AB CA-uuur uuu r D ．1355AB CA-uuur uuu r 【变式2】（2023·四川乐山·一模）已知正六边形ABCDEF 边长为2，MN 是正六边形ABCDEF 的外接圆的一条动弦，2MN =，P 为正六边形ABCDEF 边上的动点，则PM PN ×uuuu r uuu r的最小值为 .【变式3】（2023·上海金山·二模）已知a r 、b r 、c r 、d ur 都是平面向量，且|||2||5|1a a b a c =-=-=r r r r r ，若,4a d p =r u r ，则||||b dcd -+-r u r r u r的最小值为．命题点2 向量的线性运算【例题3】（2023·河北·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，已知24==A D A B ，且4AB BC ×=-uuu r uuu r ，则向量AB uuu r与AC uuu r 的夹角的余弦值为（ ）A ．12-B ．0C ．12D 【变式1】（2024·安徽·模拟预测）已知O 为等边ABC V 的中心，若3,2OA a AB b ==uuu r uuu r r r，则AC =uuu r．（用,a b r r 表示）【变式2】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知不共线的三个单位向量,,a b c r r r 满足0,a b c a l ++=r r r r r 与b r 的夹角为π3，则实数l =.【变式3】（2024·江苏扬州·模拟预测）记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()()3a b c a b c +++-=，且ABC V (1)求角C ；(2)若2AD DB =uuu r uuu r，求CD 的最小值.命题点3 根据向量线性运算求参数【例题4】（2024·江苏·二模）已知非零向量π(cos 2,sin())4a a a =+r ，π(sin(4b a =+r ，若//a b r r ，则sin 2a =（ ）A ．1-B C ．45D ．35【变式1】（2024·浙江杭州·三模）已知不共线的平面向量a r ，b r满足()()2a b a b l l ++∥r r r r ，则正数l =（ ）A ．1B C D ．2【变式2】（2024·上海·三模）设平面向量()sin ,1a q =r ，(cos b q =r ，若a r ，b r 不能组成平面上的一个基底，则tan q = ．【变式3】（2023·四川南充·一模）在ABC V 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知向量),sin m A A =r，()1,1n =-r ，且m n ∥r r．(1)求角A 的大小；(2)若a =sin sin 0a B c A -=，求ABC V 的面积．题型三 共线定理及其应用利用共线向量定理解题的策略(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)是判断两个向量共线的主要依据．(2)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(3)若OA → ＝λOB → ＋μOC → (λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.【例题5】（2024·全国·模拟预测）已知平面上点O ，A ，B 满足2OA OB ==uuu r uuu r ，且||OA OB OA +=uuu r uuu r uuu r ，点C 满足OC OB -=uuu r uuu rP 满足()1OP tOA t OC =+-uuu r uuu r uuu r ，则OP uuu r 的最小值为（ ）A B C ．1D ．1【变式1】（2024·浙江·模拟预测）已知向量1e u r ，2e u ur 是平面上两个不共线的单位向量，且122AB e e =+u r uuu r u u r ，1232BC e e =-+uuur u r u u r ，1236DA e e =-uuu r u r u u r ，则（ ）A ．、、ABC 三点共线B ．A BD 、、三点共线C ．A C D 、、三点共线D ．B C D 、、三点共线【变式2】（2024·上海松江·二模）已知正三角形ABC 的边长为2，点D 满足CD mCA nCB =+uuu r uuu r uuu r，且0m >，0n >，21m n +=，则||CD uuu r 的取值范围是 .【变式3】（2022·江苏盐城·模拟预测）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，过中心O 的直线l 与两边AB ，CD 分别交于点M ，N ．(1)若Q 是BC 的中点，求QM QN ×uuuu r uuu r的取值范围；(2)若P 是平面上一点，且满足2(1)OP OB OC l l =+-uuu r uuu r uuu r ，求PM PN ×uuuu r uuu r的最小值．【课后强化】【基础保分练】一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知平面向量a r ，b r ，则“//a b rr ”是“存在R l Î，使得a b l =r r ”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2023·贵州黔东南·三模）在△ABC 中，已知4AB =，M 为线段AB 的中点，3CM =，若2CN NM=uuu r uuuu r，则NA NB ×=uuu r uuu r （ ）A ．92-B ．3-C ．D ．3．（2024·广东深圳·模拟预测）已知点()2,6A ，()2,3B --，()0,1C ，7,62D æöç÷èø，则与向量2AB CD +uuu r uuu r同方向的单位向量为（ ）A ．B ．C ．D ．43,55æö-ç÷èø4．（2024·山西朔州·一模）已知)2,a b ==r r，且a b ^r r ，则2a b -=r r （ ）A ．B ．C ．4D ．二、多选题5．（2024·辽宁·二模）ABC V 的重心为点G ，点O ，P 是ABC V 所在平面内两个不同的点，满足OP OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r，则（ ）A ．,,O P G 三点共线B ．2OP OG =uuu r uuu rC ．2OP AP BP CP =++uuu r uuu r uuu r uuu rD ．点P 在ABC V 的内部6．（2024·浙江宁波·二模）若平面向量,,a b c r r r 满足1,1,3a b c ===r r r 且a c b c ×=×r r r r ，则（ ）A ．a b c ++r r r的最小值为2B ．a b c ++r r r的最大值为5C ．a b c -+r r r 的最小值为2D ．a b c -+r r r的最大值为三、填空题7．（2023·重庆·一模）在PAB V 中，4,3AB APB p=Ð=，点Q 满足2()QP AQ BQ =+uuu r uuu r uuu r ，则QA QB×uuu r uuu r的最大值为.8．（2023·云南大理·模拟预测）若a b =r r ，8a b +=r r ，6a b -=r r ，则a r 在b r上投影向量的模为．9．（2023·陕西西安·模拟预测）若平面四边形ABCD 满足0AB CD +=uuu r uuu r r，()0AB AD AC -×=uuu r uuu r uuu r ，则该四边形一定是 .四、解答题10．（2024·山西朔州·一模）已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量()(),,sin sin ,sin sin m a b c n A C A B =+=--r r ，且//m n r r ．(1)求B ；(2)求222b a c+的最小值．11．（2024·四川·模拟预测）已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos 2cos B a bC c-=．(1)求角C ；(2)若4AB AC +=uuu r uuu r，求ABC V 面积的最大值．【综合提升练】一、单选题1．（2023·四川南充·一模）已知正方形ABCD 的边长为1，则AB BC CA +-=uuu r uuu r uuu r （ ）A ．0B C ．D ．42．（2024·全国·模拟预测）已知向量()4,a m =r ，()2,2b m =-r ，则“4m =”是“a r 与b r共线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2024·安徽马鞍山·三模）已知平面向量1e u r ，2e u u r 不共线，12(21)2a k e e =-+r u r u u r ，12b e e =-r u r ur ，且//a b r r，则k =（ ）A ．12-B ．0C ．1D ．324．（2024·四川遂宁·模拟预测）在ABC V 中，点F 为线段BC 上任一点（不含端点），若()20,0AF xAB y AC x y =+>>uuu r uuu r uuu r ，则12x y+的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．8D ．95．（2023·四川南充·一模）已知正方形ABCD 的边长为1，则AB BC CA +-=uuu r uuu r uuu r （ ）A ．0B C ．2D ．6．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知向量a r ，b r，满足a b a b ==-r r r r ，则()·a a b +=r r r （ ）A ．212a r B ．212b rC ．()212a b +r r D ．()212a b -r r7．（23-24高三上·全国·阶段练习）设平面向量(1,3)a =r ，||2b =r ，且||a b -=rr ，则()()2·a b a b +-r rr r =（ ）A ．1B ．14C D8．（2024·上海杨浦·二模）平面上的向量a r 、b r 满足：3a =r，4b =r ，a b ^r r .定义该平面上的向量集合{|||||,}A x x a x b x a x b =+<+×>×r rr r r r r r r .给出如下两个结论：①对任意c A Îr ，存在该平面的向量d A Îu r ，满足0.5c d -=rr ②对任意c A Îr ，存在该平面向量d A Ïu r ，满足0.5c d -=rr 则下面判断正确的为（ ）A ．①正确，②错误B ．①错误，②正确C ．①正确，②正确D ．①错误，②错误二、多选题9．（2023·海南海口·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）A ．一组数据22 ，20 ，17 ，15，13，11，9，8，8，7 的第90百分位数是21B ．若等差数列{}n a 满足x y p q a a a a +=+(x 、y 、p 、*N )q Î，则x y p q +=+C ．非零平面向量a r 、b r 、c r 满足//a b r r ，//b c r r，则//a cr r D ．在ABC V 中，“AB AC >”与“cos cos C B <”互为充要条件10．（2024·全国·模拟预测）设,a b r r是两个非零向量，下列命题正确的是（ ）A ．若0a b ×=r r，则//a b r r B ．若a b a b ×=×r r r r ，则//a br r C ．若a b ^r r，则()2a b a b×=×r r r r D ．若a b a b +=-r r r r ，则a b^r r11．（2022·辽宁·模拟预测）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O 的半径为2，点P 是圆O 内的定点，且OP =，弦AC 、BD 均过点P ，则下列说法正确的是（ ）A ．PA PC ×uu u r uuu r为定值B ．OA OC ×uuu r uuu r的取值范围是[]2,0-C ．当AC BD ^时，AB CD ×uuu r uuu r为定值D ．AC BD ×uuu r uuu r 的最大值为12三、填空题12．（2024·天津·一模）已知平行四边形ABCD 的面积为23πBAD Ð=，且2BE EC =uuu r uuu r .若F 为线段DE 上的动点，且56AF AB AD l =+uuu r uuu r uuu r，则实数l 的值为 ；AF uuu r 的最小值为 .13．（2023·河南·模拟预测）已知向量()1cos ,sin e a a =u r ，()2cos ,sin e b b =u u r ，()0,1m =u r ，若12e e m +=u r u u r u r ，则12e e ×=u r u u r．14．（2024·青海西宁·二模）若向量,a b r r 不共线，且()()//xa b a yb ++r r r r，则xy 的值为 ．四、解答题15．（2024·吉林延边·一模）已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin sin sin A B c aC b a +-=-．(1)求B ；(2)若点D 在AC 上，且2AD BD DC ==，求ac．16．（2024·浙江温州·模拟预测）ABC V 的角,,A B C 对应边是 a ，b ，c ，三角形的重心是 O .已知3,4,5OA OB OC ===.(1)求 a 的长.(2)求ABC V 的面积.17．（2023·湖南·模拟预测）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c ABC V 的面积为πsin 3A A æö-ç÷èø.(1)求C 的大小.(2)点D 满足AD CA =uuu r uuu r.若c =,a b .18．（2023·四川成都·三模）在锐角ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且6a =，()2sin 2sin()A C b B C +++=(1)求角B 的大小；(2)若3AC DC =uuu r uuu r ，BD =c 的值．19．（2024·山东青岛·一模）已知O 为坐标原点，点W 为O e ：224x y +=和M e 的公共点，0OM OW ×=uuuu r uuuu r ，M e 与直线20x +=相切，记动点M 的轨迹为C ．(1)求C 的方程；(2)若0n m >>，直线1:0l x y m --=与C 交于点A ，B ，直线2:0l x y n --=与C 交于点A ¢，B ¢，点A ，A ¢在第一象限，记直线AA ¢与BB ¢的交点为G ，直线AB ¢与BA ¢的交点为H ，线段AB 的中点为E ．①证明：G ，E ，H 三点共线；②若()217m n ++=，过点H 作1l 的平行线，分别交线段AA ¢，BB ¢于点T ，T ¢，求四边形GTET ¢面积的最大值．【拓展冲刺练】一、单选题1．（2024·黑龙江·模拟预测）已知在梯形ABCD 中，//AB CD 且满足2AB DC =uuu r uuur，E 为AC 中点，F 为线段AB 上靠近点B 的三等分点，设AB a =uuu r r ，AD b uuu r r =，则EF =uuu r （ ）．A ．2132a b -r r B ．3146a b -r r C ．51122a b -r r D ．1126a b -r r 2．（2024·北京西城·二模）已知向量a r ，b r 满足()4,3a =r ，()210,5a b -=-r r ，则（ ）A ．0a b +=r r r B ．0a b ×=r r C ．a b >r r D ．a br r ∥3．（2024·全国·二模）点,O P 是ABC V 所在平面内两个不同的点，满足OP OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r ，则直线OP 经过ABC V 的（ ）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心4．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知ABC V 是边长为1的正三角形，1,3AN NC P =uuu r uuu r 是BN 上一点且29AP mAB AC =+uuu r uuu r uuu r ，则AP AB ×=uuu r uuu r （ ）A ．29B ．19C ．23D ．1二、多选题5．（2024·福建厦门·三模）已知等边ABC V 的边长为4，点D ，E 满足2BD DA =uuu r uuu r ，BE EC =uuu r uuu r ，AE 与CD 交于点O ，则（ ）A ．2133CD CA CB =+uuu r uuu r uuu r B ．8BO BC ×=uuu r uuu rC ．2CO OD =uuu r uuu r D ．||OA OB OC ++=uuu r uuu r uuu r 6．（2024·安徽淮北·一模）如图，边长为2的正六边形ABCDEF ，点P 是DEF V 内部（包括边界）的动点，AP xAB y AD =+uuu r uuu r uuu r ，x ，y ÎR .（ ）A ．0AD BE CF -+=uuu r uuu r uuu r rB ．存在点P ，使x y=C ．若34y =，则点P 的轨迹长度为2D ．AP AB ×uuu r uuu r 的最小值为2-三、填空题7．（2024·山西太原·三模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了 “勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以直角三角形的斜边为边得到的正方形). 类比 “赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且DF AF =，点P 在AB 上，2BP AP =，点Q 在DEF V 内 (含边界)一点，若PQ PD PA l =+uuu r uuu r uuu r ，则l 的最大值为 .8．（2022·辽宁鞍山·模拟预测）点P 在椭圆2214x y +=上，P 不在坐标轴上，()2,0A ，()2,1C ，()10,1B ，()20,1B -，直线1B P 与2x =交于点T ，直线2B P 与x 轴交于点S ，设OS OA l ®®=，AT AC m ®®=，则l m +的值为 ．9．（2023·四川乐山·一模）已知正方形ABCD 边长为MN 是正方形ABCD 的外接圆的一条动弦，2MN =，P 为正方形ABCD 边上的动点，则MP PN ×uuu r uuu r 的最大值为 .四、解答题10．（2023·江西·模拟预测）在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知M为BC 边的中点，()2a ab AM CB -×=uuuu r uuu r ．(1)求角C 的大小；(2)若ABC V 的面积为ABC V 周长的最小值．11．（2023·河北·模拟预测）如图，D 为ABC V 内部一点，DE BC ^于E ，AB AD =.请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立.①3CE EB =uuu r uuu r ；②())sin sin sin B C B C +=-；③2AD DE AE DE AD AD DE +=×.。
专题平面向量常见题型与解题指导
平面向量常见题型与解题指导一、考点回顾1、本章框图2、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。
3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。
7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。
8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。
3、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.3.向量在空间中的应用（在B类教材中）.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。
对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。
本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。
总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。
考查的重点是基础知识和基本技能。
4、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。
平面向量经典例题讲解
平面向量经典例题讲解讲课时间:___________姓名：___________课时：___________讲课教师：___________一、选择题（题型注释）1． 空间四边形OABC 中，OA a =,OB b =, OC c =,点M 在OA 上，且MA OM 2=，N 为BC 的中点，则MN =（ ）A．121-a b c +B 211a b c ++ C 112-a b c + D221-a b c + 【答案】B 【解析】点，则1()2ON OB OC =+，12()2MN ON OM OB OC OA=-=+-=112b c a +-，选B 考点：向量加法、减法、数乘的几何意义；2．已知平面向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ，且()+⊥a b a ，则a 与b 的夹角是（ ）（A （（C ）（D 【答案】D 【解析】试题分析：2()()00a b a a b a a a b +⊥∴+⋅=∴+⋅=，||1=a ，||2=b ，设夹角为θ，则2112cos a a b +⋅=+⨯ 考点：本题考查向量数量积的运算点评：两向量垂直的充要条件是点乘积得0，用向量运算得到cos θ的值，求出角3．若OA 、OB 、OC 三个单位向量两两之间夹角为60OA OB OC ++= A.3 C.6 【答案】D 【解析】试题分析： OA 、OB 、OC 三个单位向量两两之间夹角为60°222222232coa b c a b c ab bc ac a b ++=+++++=+6=考点:向量的数量积.4．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ,若AC a =，BD b =，则AF =( )A.1142a b +B.1233a b + C.1124a b + D.2133a b + 【答案】D 【解析】试题分析：由题意可知，AEB ∆与FED ∆相似，且相似比为3:1，所以13DF DC =,由向量加减法的平行四边形法则可知，,AB AD a AD AB b +=-=，解得，,a b a bAD AB +-==可知，121AF AD DF AD AB a b =+=+=+,故D 正确。
第1讲 平面向量的概念及线性运算4种题型(解析版)
第1讲 平面向量的概念及线性运算4种题型【考点分析】考点一：向量的基本概念①定义：既有大小又有方向的量叫做向量．②向量的模：向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度，叫做向量的模，记作||AB ． ③零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ④单位向量：长度等于1个单位的向量．⑤平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行． ⑥相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑦相反向量：长度相等且方向相反的向量． 考点二：向量的线性运算和向量共线定理 ①向量的线性运算考点三：向量共线定理①如果λ=a b 且0≠b ，则a b ∥；反之a b ∥且0≠b ，则一定存在唯一一个实数λ，使λ=a b ． 推论：①三点A ，B ，C 共线⇔AB ，AC 共线（功能：证明三点共线）；①向量PA ，PB ，PC 中三个向量的终点A ，B ，C 共线⇔存在实数λ，μ使得PA PB PC λμ=+，且1.λμ+=①BD DC λ=，111AD AC AC λλλ=+++． 【题型目录】题型一： 平面向量的概念 题型二： 平面向量的加法、减法 题型三： 平面向量的线性运算与共线定理 题型四： 由平面向量的性质判断图形的形状 【典型例题】题型一： 平面向量的概念【例1】给出下列说法：①零向量是没有方向的；①零向量的长度为0；①零向量的方向是任意的；①单位向量的模都相等.其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据零向量及单位向量的概念即可求解. 【详解】解：对①：零向量的方向是任意的，故①错误； 对①：零向量的长度为0，故①正确； 对①：零向量的方向是任意的，故①正确； 对①：单位向量的模都等于1，故①正确. 故选：C.【例2】下列命题中正确的是（ ）A ．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同B ．两个有公共终点的向量，一定是共线向量C ．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同D ．若AB 与CD 是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上 【答案】A【分析】根据向量相等与共线的概念即可解决.【详解】两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A 正确； 两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B 错误；两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C 错误；AB 与CD 是共线向量，也可能是AB 平行于CD ，故D 错误.故选：A【例3】有下列结论：①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同； ①若a b ≠，则a ，b 不是共线向量；①若AB DC =，则四边形ABCD 是平行四边形； ①若m n =，n k =，则m k =；①有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中，错误的个数是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5，若a b ≠也有可能a ，b 长度不等，但方向相同或相反，即共线，AB DC =，则AB ，DC 不一定相等，所以四边形，若m n =，n k =，则m k =，①正确；，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，综上，错误的是①①①，共3个. 【例4】设0a 为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |0a ；②若a 与0a 平行，则a ＝|a |0a ；③若a 与0a 平行且|a |＝1，则a ＝0a ．上述命题中，假命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D【详解】单位向量的模为1，方向可以是不同方向，所以①错 ；若a 与0a 平行，则两个向量可以同向，也可以反向，方向不一定相同，所以①错；①错因此选D 【例5】下列命题中，正确的个数是（ ）①单位向量都相等；①模相等的两个平行向量是相等向量； ①若,a b 满足||||a b >，且a 与b 同向，则a b >①若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ①若,a b b c ∥∥，则a c ∥ A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可. 【详解】单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误； 模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故①错误； 向量有方向，不能比较大小，故①错误；向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点与终点不一定相同，故①错误； 当0b =时，可满足,a b b c ∥∥，但a 与c 不一定平行，故①错误； 综上，正确的个数是0， 故选：A ．【例6】下面关于向量的说法正确的是（ ） A ．单位向量：模为1的向量B ．零向量：模为0的向量，零向量没有方向C ．平行（共线）向量：方向相同或相反的向量D ．相等向量：模相等，方向相同的向量 【答案】ACD【分析】根据平面向量的基本定义逐个辨析即可.【详解】根据向量的定义可得，模为1的向量为单位向量，模为0的向量为零向量，零向量的方向是任意的，方向相同或相反的向量为共线向量，模相等，方向相同的向量为相等向量，ABCD 均正确， 故选：ACD ．【例7】下列叙述中错误的是（ ） A ．若a b =，则32a b > B ．若a b ∥，则a 与b 的方向相同或相反 C ．若a b ∥，b c ∥，则a c ∥ D ．对任一非零向量a ，||aa 是一个单位向量 【答案】ABC【分析】对于A ，根据向量的概念判断，对于BCD ，举例判断.【详解】因为是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A 错误；由于零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故，若b 为零向量，则a 与c 可能不是共线向量，故，对任一非零向量a ，||aa 表示与a ABC 【题型专练】1.下列命题正确的是（ ）A ．向量AB 与BA 是相等向量 B ．共线的单位向量是相等向量C ．零向量与任一向量共线D ．两平行向量所在直线平行 【答案】C【详解】A 选项方向不同，所以错 ；B 选项共线向量是方向相同或者相反，所以错；C 选项，规定零向量的方向是任意的，所以C 对；D 选项向量共线可以在一条直线上，直线平行不能共线，所以D 错 2.下列命题中正确的个数是（ ）①若向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上； ①若向量a 与向量b 平行，则a ，b 方向相同或相反；①若非零向量AB 与CD 是共线向量，则它们的夹角是0°或180°； ①若a b =，则a ，b 是相等向量或相反向量. A ．0 B ．1C ．2D ．3，根据模长的定义，可知方向不确定，可得答案.【详解】①错误，平行向量又叫共线向量，向量AB 与CD 是共线向量，则AB 与CD 平行或共线；错误，a 与b 至少有一个为零向量时，结论不成立；由向量的夹角可知正确； 错误，由a b =，只能说明a ，b 的长度相等，确定不了方向.3.给出下列命题:①共线向量一定在同一条直线上;①若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;①a b =的充要条件是||a b |=|且//a b .其中正确命题的序号是_______.【答案】①【详解】①不正确,共线向量不一定在同一条直线上,也可能在两条平行直线上; ①正确 ①AB DC =,①||||AB DC =且//AB DC , 又A ,B ,C ,D 是不共线的四点, ①四边形ABCD 为平行四边形.反之,若四边形ABCD 为平行四边形,则//AB DC 且||||AB DC =,①AB DC =;①不正确,当//a b 且方向相反时,||||a b =,但不能得到a b =,故||||a b =且//a b 不是a b =的充要条件,而是必要不充分条件. 故答案为：①4.把所有单位向量的起点平移到一点O ,则其终点构成的图形是_____________. 【答案】以O 为圆心的单位圆设终点为A ，则1AO =，则终点构成的图形是以O 为圆心的单位圆. 故答案为：以O 为圆心的单位圆. 5.下列说法中正确的是（ ） A ．若12,e e 为单位向量，则12e e = B ．若a 与b 共线，则a b =或a b =-C ．若0a =，则0a =D ．a a是与非零向量a 共线的单位向量中，向量12,e e 的方向不一定相同，所以中，向量a 与b 的长度不一定相等，所以0a =，根据零向量的定义，可得0a =，所以C 1a a a a =⋅，可得a a与向量a 同向，a a的模等于a a是与非零向量a 共线的单位向量，所以故选：CD.6．下列说法中正确的是（ ）A ．力是既有大小，又有方向的量，所以是向量B ．若向量//AB CD ，则//AB CDC ．在四边形ABCD 中，若向量//AB CD ，则该四边形为平行四边形 D ．速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算 【答案】AD【分析】根据向量的定义，共线向量的定义，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，根据向量的定义，力是既有大小，又有方向的量，所以是向量，所以A 正确； 对于B 中，向量//AB CD ，则//AB CD 或AB 与CD 共线，所以B 错误；对于C 中，在四边形ABCD 中，若向量//AB CD 、则只有一组对边平行，不一定是平行四边形，所以C 错误；对于D 中，根据向量的运算法则，可得速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算，所以D 正确. 故选：AD.7．下列结论中正确的是（ ） A ．若a b =，则a b = B ．若,a b b c ==，则a c =C ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB DC =”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件 D ．“a b =”的充要条件是“a b =且a b ∥” 是不共线的四点，则当AB DC =时，，故且,AB DC 同向，故AB DC =，故C ，当a b 且方向相反时，即使a b =，也不能得到a b =，故D 错误；8．下列结论中正确的是（ ） A ．a 与b 是否相等与a ，b 的方向无关 B ．零向量相等，零向量的相反向量是零向量 C ．若a ，b 都是单位向量，则a b = D ．向量AB 与BA 相等【答案】AB【分析】由向量的模、零向量、单位向量、相等向量的定义判断各选项．【详解】对于C ，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等；对于D ，向量AB 与BA 互为相反向量，由向量模的定义，零向量的定义AB 正确． 故选：AB ．题型二： 平面向量的加法、减法【例1】AO OB OC CA BO ++++等于（ ）A ．AB B ．0C ．BCD ．AC【答案】B【分析】根据平面向量加法的运算律计算可得； 【详解】解：AO OB OC CA BO ++++ ()()AO OC CA BO OB =++++000=+=故选：B【例2】化简下列各式： (1)AO OB CA CB ++-； (2)MN MD NQ DQ -+-.【答案】(1)0；(2)0【分析】（1）由向量的加法法则与减法法则求解即可； （2）由向量的加法法则与减法法则求解即可；（1）()()AO OB CA CB AO OB CA CB ++-=++-0AB BA =+=；（2）()()MN MD NQ DQ MN MD NQ QD -+-=-++0DN ND =+= 【例3】正方形ABCD 的边长为1，则AB AD +为（ ） A．1 BC ．3D ．根据向量加法的平行四边形法则，AB AD AC +=, 212AB A AD C +==，故选：B.【例4】在ABC 中，M 是BC 的中点，则AB AC +等于（ ） A ．12AM B ．AM C ．2AM D ．MA【答案】C【分析】根据向量的加法法则计算．【详解】如图，作平行四边形ABEC ，因为M 是BC 的中点，所以M 也是AE 的中点，则2AB AC AE AM +==. 故选：C.【例5】如图为正八边形ABCDEFGH ，其中O 为正八边形的中心，则OC HG FH ++=（ ）A ．OB B ．ODC ．OFD ．OH【答案】A【分析】根据平面向量的概念及加法的运算法则，准确运算，即可求解.【详解】由平面向量的运算法则，可得OC HG FH OC FG OC CB OB ++=+=+=. 故选：A.【例6】设M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，O 为平面上任意一点，则OA OB OC OD +++=（ ） A ．4OM B ．3OM C ．2OM D ．OM【分析】分别在OAC 和OBD 【详解】解：在OAC 所以1()2OM OA OC =+，即2OA OC OM +=．在OBD 中，因为M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，所以1()2OM OB OD =+，即2OB OD OM +=． 所以4OA OB OC OD OM +++=． 故选：A ．【例7】若74AB AC ==，，则BC 的取值范围是（ ）A ．[3，7]B ．()37，C ．[]311， D ．(311)， 【分析】根据向量的减法的几何意义，确定向量,AC AB 共线时取得最值，即可求得答案74AB AC ==，，且||BC AC AB -=,当,AC AB 同向时，BC 取得最小值，|||||||4||BC AC AB AC AB ===---当,AC AB 反向时，BC 取得最大值，|||||||||4BC AC AB AC AB -+===+当,AC AB 不共线时，BC 取得最小值，3||||||||||1||||1AC AB BC AC AB =<-<+=，BC 的取值范围是[]311，， 故选：C【例8】已知ABC 为正三角形，则下列各式中成立的是___________.（填序号）AC AB =-①AB CA BC AB -=-；①AB CA CA BC -=-；①CA BC AB AC -=-. AB AC CB BC -==，故①分别为,,AB BC AC 的中点，32AB ， 23AB CA AB AC AE AB -=+==， 23BC AB BC BA BF BA -=+==，所以AB CA BC AB -=-，故①成立；对于①，23CA BC CA CB CD AB -=+==， 所以AB CA CA BC -=-，故①正确；①，AB AC CB AB CA BC -==≠-，故①不成立故答案为：①①①.【题型专练】1.32AB BC AC +-=（ ） A ．AB AC + B ．AB AC - C ．AB D ．BA【答案】A【分析】根据向量的运算法则，准确化简，即可求解.【详解】由向量的运算法则，可得3222AB BC AC AB BC AB AC +-=++- 2AC CB AB AC =+=+．故选：A.2．下列能化简为PQ 的是（ ） A ．QC QP CQ -+ B ．()AB PA BQ ++C ．()()AB PC BA QC ++- D ．PA AB BQ +-【答案】ABC【分析】根据向量运算对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A 选项，QC QP CQ PC CQ PQ -+=+=，A 选项正确. B 选项，()AB PA BQ AB AQ BQ PA PA PQ ++=+=+=+，B 选项正确.C 选项，()()AB PC BA QC AB BA PC QC CQ CP PQ ++-=++-=-=，C 选项正确. D 选项，()PA AB BQ PB BQ BP BQ BP BQ PQ +-=-=--=-+≠，D 选项错误. 故选：ABC3. 在四边形ABCD 中，若CA CB CD =+，则（ ） A ．四边形ABCD 是矩形 B ．四边形ABCD 是菱形 C ．四边形ABCD 是正方形 D ．四边形ABCD 是平行四边形【答案】D【分析】根据平面向量加法的运算法则及向量相等的充要条件判断即可；【详解】解：CA CB CD =+，CA CB BA =+，∴CB BA CB CD +=+∴BA CD =，//AB DC ∴且AB DC =，∴四边形ABCD 是平行四边形．故选：D ．4. 在平面四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则下列向量与AB DC +不相等的是（ ） A ．2EF B ．AC DB + C ．EB EC + D ．FA FD +所以11,22AE ED AD BF FC BC ====， 因为EF EA AB BF =++，EF ED DC CF =++ 2EF ED DC CF EA AB BF AB DC =+++++=+, A 正确，因为,DC DA AC AB AD DB =+=+，所以DC AB DA AC AD DB AC DB +=+++=+，所以B 正确，因为,DC DE EC AB AE EB =+=+，所以DC AB DE EC AE EB EC EB +=+++=+，所以因为()FA FD FB BA FC CD BA CD AB DC +=+++=+=-+， D 错误， 故选：D5．在四边形ABCD 中，给出下列四个结论，其中一定正确的是（ ） A ．AB BC CA +=B ．AB AD BD -=C．AB AD AC+=D．BC CD BD+=【答案】D【分析】由向量加法的三角形法则可判断AD，由向量减法的运算法则可判断B，由向量加法的平行四边形法则可判断C.【详解】根据三角形法则可得AB BC AC+=，所以A错误；根据向量减法的运算法则可得AB AD DB-=，所以B错误；四边形ABCD不一定是平行四边形，所以不一定有AB AD AC+=，C错误；根据三角形法则可得BC CD BD+=正确，所以D正确.故选：D.6．在四边形ABCD中，AB DC=，若AD AB BC BA-=-，则四边形ABCD是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．不确定【分析】由AB DC=，可得四边形为平行四边形，又BD AC=，从而即可求解【详解】解：在四边形ABCD因为AB DC=，所以四边形AD AB BC BA-=-，即BD AC=，所以平行四边形ABCD为矩形，故选：B.7．在ABC中，D，E，F分别是边BC,CA,AB的中点，点G为ABC的重心，则下列结论中正确的是（）A．AB BC CA-=B．1()3AG AB AC=+C．0AF BD CE++=D．0GA GB GC++=【答案】BCD【分析】由向量的线性运算结合三角形的重心的性质求解即可．【详解】解：如图：，2AB BC AB CB EB AC-=+=≠，即选项为ABC的重心，则2211()()3323AG AD AB AC AB AC==⨯+=+，即选项，1()02AF BD CE AB BC CA++=++=，即选项C正确；，122()2GA GD GB GC=-=-⨯+，即0GA GB GC++=，即选项D正确，8．如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：(1)DG EA CB++；(2)EG CG DA EB+++.【答案】(1)GE；(2)0.【分析】（1）（2）根据图形中相关线段的位置关系，结合向量加法的几何意义化简目标式.（1）DG EA CB GC BE CB GB BE GE+++++===；（2）EG CG DA EB EG GD DA AE ED DE==+=++++++.题型三：平面向量的线性运算与共线定理【例1】[多选题]下列命题是真命题的是（）．A．若A，B，C，D在一条直线上，则AB与CD是共线向量B．若A，B，C，D不在一条直线上，则AB与CD不是共线向量C．若向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上D．若向量AB与AC是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上【答案】AD【分析】向量平行与共线是同一个概念，对四个命题依次判断即可．【详解】A 项为真命题，A，B，C，D在一条直线上，则向量AB，CD的方向相同或相反，因此AB与CD是共线向量；B 项为假命题，A ，B ，C ，D 不在一条直线上，则AB ，CD 的方向不确定，不能判断AB 与CD 是否共线；C 项为假命题，因为AB ，CD 两个向量所在的直线可能没有公共点， 所以A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上；D 项为真命题，因为AB ，AC 两个向量所在的直线有公共点A ， 且AB 与AC 是共线向量，所以A ，B ，C 三点共线． 故选：AD ．【例2】已知向量a ，b ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（ ） A ．A ，B ，D B ．A ，B ，CC ．B ，C ，DD ．A ，C ，D【分析】由已知，分别表示出选项对应的向量，然后利用平面向量共线定理进行判断即可完成求解【详解】因为2AB a b =+，BC 56a b =-+，72CD a b =-，，2AB a b =+，(56)(72)24B a b D B D b C a C b a ++-+==-+=，若A ，B 则AB BD λ=，即2(24)a b a b λ+=+，解得12λ=，故该选项正确； 选项B ，2AB a b =+，BC 56a b =-+，若A ，B ，C 三点共线，则AB BC λ=，即2(56)a b a b λ+=-+，解得不存在，故该选项错误；选项C ，BC 56a b =-+，72CD a b =-，若B ，三点共线，则BC BD λ=，即56(72)a b a b λ-+=-，不存在，故该选项错误；，(2)(56)48a b a A b AB BC a b C ++=+=+-=-+，72CD a b =-，若A ，C ，D 三点共线，则AC CD λ=，48(72)a b a b λ+=-，解得λ不存在，故该选项错误； 故选：A.【例3】下列说法正确的是（ ）A ．a 与b 是非零向量，则a 与b 同向是a b =的必要不充分条件B ．,,A BC 是互不重合的三点，若AB 与BC 共线，则,,A B C 三点在同一条直线上 C ．a 与b 是非零向量，若a 与b 同向，则a 与b -反向D ．设,λμ为实数，若a b λμ=，则a 与b 共线 【答案】ABC选项：根据向量共线的性质，可知A 、选项：a 与b 同向，则a 与b -反向，显然正确; 选项：如果0λμ==，则无法得知a 与b 共线.【详解】a 与b 同向，但a 不一定与b 相等，∴a b ≠，若a b =，则a 与b 同向， a =b ，∴a 与b 同向是a b =的必要不充分条件，A 正确.AB 与BC 共线，则有AB =BC λ，故一定有,,A B C 三点在同一条直线上，B 正确.a 与b 同向，则a 与b -反向，C 正确.0λμ==时，a 与b 不一定共线，D 错误.故选：ABC【例4】“AB CD ∥”是“A ，B ，C ，D 四点共线”的________条件． 【答案】必要不充分【分析】根据向量平行的定义结合充分性、必要性的定义判断即可. 【详解】当AB CD ∥时，直线AB 与CD 的位置关系有可能是平行或共线， 当二者平行时A ，B ，C ，D 四个点分别位于两条平行线上而不是四点共线， 则“AB CD ∥”无法推出“A ，B ，C ，D 四点共线”；当A ，B ，C ，D 四点共线时，直线AB 与CD 的位置关系为重合，此时，AB CD ∥， 则“A ，B ，C ，D 四点共线”可以推出“AB CD ∥”，因此“AB CD ∥”是“A ，B ，C ，D 四点共线”的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分.【例5】设向量,a b 不平行，向量λ+a b 与2+a b 平行，则实数λ= ___． 【答案】21 【解析】因向量λ+a b 与2+a b 平行，所以()b a b a b a μμμλ22+=+=+，所以⎩⎨⎧==μμλ21，解得⎪⎩⎪⎨⎧==2121μλ 【例6】已知P 是①ABC 所在平面内的一点，若CB PB PA λ-=，其中λ①R ，则点P 一定在（ ） A ．AC 边所在的直线上 B ．BC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上D ．①ABC 的内部【答案】A【分析】根据向量的线性运算整理可得，再结合向量共线分析即可. 【详解】①CB PB PA λ-=，PB PC CB =+①()CB PC CB PA λ-+=，则PC -=λPA ，则CP PA λ= ①CP PA ∥①P 点在AC 边所在直线上． 故选：A ．【例7】在①ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144+AB ACD ．1344+AB AC【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+① 所以3144EB AB AC =-①故选A.【例8】在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且EB AB AC λμ=+，则λ=________，μ=_________．【答案】3414-【解析】如下图所示：D 为BC 的中点，则()()111222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，E 为AD 的中点，所以，()1124AE AD AB AC ==+，因此，()131444EB AB AE AB AB AC AB AC =-=-+=-，即34λ=，14μ=-. 故答案为：34；14-.【例9】在ABC 中，4AC AD =，P 为BD 上一点，若13AP AB AC λ=+，则实数λ的值（ ） A ．18B ．316C ．16D ．38【答案】C 【解析】4AC AD =，14AD AC ∴=，则14BD AD AB AC AB =-=-， 1233BP AP AB AB AC AB AC AB λλ⎛⎫=-=+-=- ⎪⎝⎭，由于P 为BD 上一点，则//BP BD ，设BP k BD =，则21344kAC AB k AC AB AC k AB λ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭， 所以423k k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得16λ=.【例10】在ABC ∆中，点P 满足3BP PC =，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，若AM AB λ=，()0,0AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（ ）A．12+ B1 C ．32D ．52【答案】B【解析】如下图所示：3BP PC =，即()3AP AB AC AP -=-，1344AP AB AC∴=+， AM AB λ=，()0,0AN AC μλμ=>>，1AB AM λ∴=，1AC ANμ=， 1344AP AM ANλμ∴=+，M 、P 、N 三点共线，则13144λμ+=. ()133********λμλμλμλμμλ⎛⎫∴+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭，当且仅当μ=时，等号成立，因此，λμ+1+，故选：B. 【例11】已知M 为ABC 的边AB 的中点，N 为ABC 内一点，且13AN AM BC =+，则AMN BCNS S =△△（ ） A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】B【解析】因为13AN AM BC =+，所以13MN BC =， 所以MN ①BC ，又因为 M 为边AB 的中点，所以点A 到MN 的距离等于点N 到BC 的距离， 所以13AMN BCN MN S S BC==△△,【题型专练】1.已知()1221123,,2AB e e CB e e CD e e =+=-=+，则下列结论中成立的是（ ）A ．A ，B ，C 三点共线B ．A ，B ，D 三点共线C ．A ，D ，C 三点共线D ．D ，B ，C 三点共线 【答案】C【分析】根据平面向量的线性运算可得2AC CD =，从而可求解.【详解】解：()()1221123422AC AB CB e e e e e e CD -=-=+-=+=,所以A ，D ，C 三点共线.故选:C.2.已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且35OA a b =+，47OB a b =+，OC a mb =+，若A ，B ，C 三点共线，则m =（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2- 【答案】A【解析】法一：b a b a b a OB AO AB 27453+=++--=+=，()b m a b m a b a OC BO BC 7374-+-=++--=+=，因A ，B ，C 三点共线，所以AB 与BC 共线，所以()[]()b m a b m a b a 73732-+-=-+-=+λλλ，所以()⎩⎨⎧-=-=7231m λλ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=131m λ 法二：由,,A B C 三点共线，得(1)(4)(72)OC xOA x OB x a x b =+-=-+-，故41,72,x x m -=⎧⎨-=⎩解得1m =． 3.设12e e ，是两个不共线的向量，若向量12m e ke =-+（k ∈R ）与向量212n e e =-共线，则 A ．0k =B ．1k =C ．2k =D ．12k = 【答案】D【解析】因为向量12=-+m e ke （k ∈R ）与向量212=-n e e 共线，所以存在实数λ，使得λ=m n ， 所以有2211(2)λ-+=-e ke e e ，因此12k λλ=⎧⎨-=-⎩，解得12k =. 4.在ABC △中，D 是AB 边上的中点，则CB =（ ）A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA - D ．2CD CA +【答案】C【解析】：CA CD AC CD CD AC CD AD CD DB CD CB -=+=++=+=+=225.在ABC 中，点P 为AC 中点，点D 在BC 上，且3BD DC =，则DP =( )A ．1144AB AC + B ．1144AB AC -- C ．1144AB AC - D ．1144AB AC-+ 【答案】B【解析】①点P 为AC 中点，①12AP AC =,①3BD DC =，()3AD AB AC AD ∴-=-, ①1344AD AB AC =+,①113244DP AP AD AC AB AC =-=--=1144AB AC --,故选：B. 6.设,,D E F 分别为ABC 的三边BC,CA,AB 的中点，则EB FC +=( ) A ．ADB ．12ADC ．12BCD ．BC 【答案】A【解析】111()()()222EB FC BA BC CA CB AB AC AD +=-+-+=+=，故选：A7.设D 为①ABC 所在平面内的一点,若3,AD BD CD CA CB λμ==+,则μλ=_____. 【答案】3-【解析】如图所示：3CD CA AD CA BD =+=+，CA =+3(CD CB -)，即有CD =﹣1322CA CB +， 因为CD CA CB λμ=+，所以λ=﹣12，μ=32，则μλ=﹣3，故答案为：﹣3. 8.如图，在ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +=（ ）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C 【解析】连接AO ，由O 为BC 中点可得，1()222m n AO AB AC AM AN =+=+， M 、O 、N 三点共线，122m n ∴+=，2m n ∴+=.故选：C.9.在ABC 中，2AB =，4BC =，60ABC ∠=︒，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+，则λμ+=（ ）A ．13B ．23C ．38 D ．58【答案】D【解析】AD 是BC 边上的高，∴90ADB ∠=︒，在ADB △中，1cos 22BD BD ABD AB ∠===，解得1BD =，4BC =，∴14BD BC =， ∴14AD AB BD AB BC =+=+，O 为AD 中点， ∴1111122428AO AD AB BC AB BC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，AO AB BC λμ=+， ∴1128AB BC AB BC λμ+=+，∴12λ=，18μ=， ∴115288λμ+=+=. 10.已知O 是ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（ ） A ．AO OD = B ．2AO OD = C ．3AO OD = D ．4?AO OD【答案】A【解析】D 为BC 边中点，①2OB OC OD +=，①20OA OB OC ++=，①0OA OD =+，即AO OD =.11．设,,D E F 分别是ABC 的三边BC,CA,AB 上的点，且2,2,2DC BD CE EA AF FB ===，则AD BE CF ++与BC （ ）A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直 首先根据平面向量基本定理表示2133AD AB BD AB AC =+=+，2133BE BA BC =+，2133CF CB CA =+，【详解】()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ 同理：2133BE BA BC =+，2133CF CB CA =+， 所以212121333333AD BE CF AB AC BA BC CB CA ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13CB , 所以AD BE CF ++与BC 反向平行.故选：A【点睛】本题主要考查向量共线定理和平面向量基本定理，重点考查向量的表示，属于基础题型题型四：由平面向量的性质判断图形的形状【例1】若O 是ABC ∆所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC ∆的形状为____【答案】直角三角形=OC OA OC +=+=-+，+= 所以ABC ∆的形状为直角三角形【例2】若113e ,5e AB CD ===，则四边形ABCD 是（ ）A ．平行四边形B ．菱形C ．等腰梯形D ．不等腰的梯形 ，结合AD BC =，即可判断四边形【详解】解：因为113e ,5e AB CD ==，所以35AB CD =-，所以//AB CD AB CD ≠，AD BC =，所以四边形ABCD 为等腰梯形.故选：C.【题型专练】1．在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，若2323OA OC OD OB +=+，则四边形ABCD 一定是（ ）A ．矩形B ．梯形C ．平行四边形D ．菱形 【答案】B【分析】由2323OA OC OD OB +=+化简可得23DA CB =，结合向量共线定理判断四边形ABCD 的形状.【详解】① 2323OA OC OD OB +=+，① 2()3()OA OD OB OC -=-，① 23DA CB =，① 四边形ABCD 一定是梯形． 故选：B.2．四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，若a 、b 不共线，则四边形ABCD 为（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形 【分析】由向量知识可知//AD BC ，AD BC ≠可得答案【详解】由已知得，2453822AD AB BC CD a b a b a b a b BC =++=+----=--= ， 故//AD BC ，由AD BC ≠，所以四边形ABCD 是梯形.故选：C.3．在四边形ABCD 中，若CA CB CD =+，则（ ）A ．四边形ABCD 是矩形B ．四边形ABCD 是菱形C ．四边形ABCD 是正方形D ．四边形ABCD 是平行四边形 【答案】D 【分析】根据平面向量加法的运算法则及向量相等的充要条件判断即可；【详解】解：CA CB CD =+，CA CB BA =+，∴CB BA CB CD +=+ ∴BA CD =，//AB DC ∴且AB DC =，∴四边形ABCD 是平行四边形． 故选：D ．4．下列有关四边形ABCD 的形状判断正确的是（ ）A ．若AD BC =，则四边形ABCD 为平行四边形B ．若13AD BC =，则四边形ABCD 为梯形 C ．若AB DC =，且AB AD =，则四边形ABCD 为菱形D ．若AB DC =，且AC BD ⊥，则四边形ABCD 为正方形 【分析】由向量平行与相等的关系确定四边形的边的关系得结论．【详解】AD BC =，则AD 13AD BC =，则//AD BC 若AB DC =，四边形ABCD AB AD =，即AB 若AB DC =，四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ⊥，即AC 故选：ABC ．。
(压轴题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试卷(有答案解析)(1)
一、选择题1．已知点G 是ABC 的重心，(),AG AB AC R λμλμ=+∈，若120,2,A AB AC ∠=︒⋅=-则AG 的最小值是（ ）ABC ．12D ．232．过点()3,1P 的直线l 与函数21()26x f x x -=-的图象交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则()OA OB OP +⋅=（ ）AB．C ．10D ．203．已知O 为坐标原点，点M 的坐标为（2，﹣1），点N 的坐标满足111x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩,则OM ON ⋅的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．－14．已知非零向量,a b 满足4,2a b ==，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则a b -等于（ ） A ．1B ．25C ．5D ．35．已知非零向量a →，b →夹角为45︒，且2a =，2a b -=,则b →等于（）A ．B．2 CD6．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝13BC ，则AM ·MN ＝（ ） A ．6B ．4C ．3D ．27．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且AE EB =，2AD DC =，与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）A ．1AB CD ⋅=- B ．1233BD BC BA =+ C ．3OA OB OC ++= D ．ED 在BC 方向上的投影为768．在ABC 中，4A π=，3B π=，2BC =，AC 的垂直平分线交AB 于D ，则AC CD ⋅=（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．39．在ABC 中，||:||:||3:4:5AB AC BC =，圆O 是ABC 的内切圆，且与BC 切于D 点，设AB a =，AC b =，则AD =（ ）A ．2355a b +B ．3255a b + C ．2133a b +D ．1233a b +10．已知向量(6,4),(3,),(2,3)a b k c =-==-，若//a b ，则b 与c 的夹角的余弦值为（ ） A ．1213B ．1213-C ．45-D ．4511．已知ABC ∆为等边三角形，则cos ,AB BC =( ) A ．3-B ．12-C ．12D ．3 12．在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，点E 是AB 边上的中点，点F 是BC 边上的动点，则DE DF ⋅的取值范围是（ ）A ．0,3⎡⎤⎣⎦B ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣ C ．3,3⎡⎤⎣⎦D ．[]0,3二、填空题13．如图，正方形ABCD 的边长为2，E 是以CD 为直径的半圆弧上一点，则AD AE ⋅的最大值为______．14．在梯形ABCD 中，//AB CD ，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=︒，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，且BP BC λ=，14DQ DC λ=，则AP BQ ⋅的最大值为______.15．已知向量(2,1)a =，(,1)b x y =-，且a b ⊥，若x ，y 均为正数，则21x y+的最小值是__________. 16．已知||1,||3,0OA OB OA OB ==⋅=|，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则mn等于 ． 17．向量a ，b ，c 在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中的位置如图所示，若向量a b λ+与c 共线，则||a b λ-=________．18．已知向量()()2,3,1,2==-a b ，若ma b +与2a b -平行，则实数m 等于______. 19．如图，在四边形ABCD 中，60B ∠=︒，2AB =，6BC =，1AD =，若M ，N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的取值范围为_________．20．已知平面向量a ，b 满足1a =，2a b -与2b a -的夹角为120°，则2b 的最大值是_______.三、解答题21．在ABC 中，3AB =，6AC =，23BAC π∠=，D 为边BC 的中点，M 为中线AD 的中点.（1）求中线AD 的长；（2）求BM 与AD 的夹角θ的余弦值.22．已知(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，其中0αβπ<<<. （1）求向量a b +与a b -所成的夹角； （2）若k a b +与a k b -的模相等，求2αβ-的值（k 为非零的常数）.23．设()2,0a →=，(3b →=.（1）若a b b λ→→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭，求实数λ的值；（2）若(),m x a y b x y R →→→=+∈，且23m =，m →与b →的夹角为6π，求x ，y 的值.24．如图，在正ABC ∆中，2AB =，P ，E 分别是BC 、CA 边上一点，并且3CA EA =，设BP tBC =，AP 与BE 相交于F ．（1）试用AB ，AC 表示AP ； （2）求·AP BE 的取值范围．25．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =. （1）若35b =，且//a b ，求b 的坐标；（2）若2c =，且()()2a c a c +⊥-，求a 与c 的夹角θ的余弦值. 26．ABC 中，点()2,1A 、()1,3B 、()5,5C . （1）若D 为BC 中点，求直线AD 所在直线方程； （2）若D 在线段BC 上，且2ABDACDSS=，求AD .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先根据重心得到()13AG AB AC =+，设0,0AB x AC y =>=>，利用数量积计算4xy =，再利用重要不等式求解()2219A AGB AC =+的最小值，即得结果. 【详解】点G 是ABC 的重心，设D 为BC 边上的中点，则()2133AG AD AB AC ==+， 因为120,2,A AB AC ∠=︒⋅=-设0,0AB x AC y =>=>，则cos1202xy ︒=-，即4xy =，故()()()222211144249999AG x y x B AC y A =+-≥-=+=，即23AG ≥，当且仅当2x y ==时等号成立，故AG 的最小值是23. 故选：D. 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键在于通过重心求得向量关系()13AG AB AC =+，利用数量积得到定值，才能利用重要不等式求最值，突破难点，要注意取条件的成立.2．D解析：D 【分析】判断函数()f x 的图象关于点P 对称，得出过点()3,1P 的直线l 与函数()f x 的图象交于A ，B 两点时，得出A ，B 两点关于点P 对称，则有 2OA OB OP +=，再计算()OA OB OP +⋅的值．【详解】()52121263x f x x x -==+-- ，∴函数21()26x f x x -=-的图象关于点()3,1P 对称，∴过点()3,1P 的直线l 与函数()2126x f x x -=-的图象交于A ，B 两点，且A ，B 两点关于点()3,1P 对称，∴ 2OA OB OP +=，则()()222223120OA OB OP OP +⋅==⨯+=．故选D ． 【点睛】本题主要考查了函数的对称性，以及平面向量的数量积运算问题，是中档题．3．A解析：A 【分析】根据题意可得，OM ON ⋅＝2x ﹣y ，令Z ＝2x ﹣y ，做出不等式组所表示的平面区域，做直线l 0：2x ﹣y ＝0，然后把直线l 0向可行域内平移，结合图象可判断取得最大值时的位置． 【详解】根据题意可得，OM ON ⋅＝2x ﹣y ，令Z ＝2x ﹣y做出不等式组所表示的平面区域，如图所示的△ABC 阴影部分：做直线l 0：2x ﹣y ＝0，然后把直线l 0向可行域内平移， 到点A 时Z 最大，而由x+y=11x ⎧⎨=⎩可得A （1，0）， 此时Z max ＝2． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了利用线性规划求解最优解及目标函数的最大值，解题的关键是正确作出不等式组所表示的平面区域，并能判断出取得最大值时的最优解的位置．利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y bx a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。
平面向量常见题型汇编(含答案)
解析：外心 在 上的投影恰好为它们的中点，分别设为 ，
所以 在 上的投影为 ，而 恰好为 中点，
故考虑 ，
所以
2.范围问题
例题8： 若过点 的直线 与 相交于 两点，则 的取值范围是_______
解析：本题中因为 位置不断变化，所以不易用数量积定义求解，可考虑利用投影，即过 作直线 的垂线，
，则 ， ，
由 ， 为中点可得： 为 中点，从而 在 方向上的投影分别为 ，由 即可求得 的范围为
3.综合问题
例题10：已知 为直角三角形 的外接圆， 是斜边 上的高，且 ， ，点 为线段 的中点，若 是 中绕圆心 运动的一条直径，则 _________
解析：本题的难点在于 是一条运动的直径，所以很难直接用定义求解。
解析：由 可将三角形放入平面直角坐标系中，建立如图坐标系，
其中 ， ，
∵ ∴
∵ ，即 当且仅当 时取等号
∴
变式2：已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且 ,则 的最小值是___________
分析：本题主要考查了不等式，不等式求最值问题，属于中档题。解决此类问题，重要的思路是如何应用均值不等式或其他重要不等式，很多情况下，要根据一正、二定、三取等的思路去思考，本题根据条件构造 ，研究的式子分别加1后变形，即可形成所需条件，应用均值不等式.
解析： ，
变式9：在平面上， ， ，若 ，则 的取值范围是
分析：以 为入手点，考虑利用坐标系求解，题目中用字母表示：设 ，则 ，所求 范围即为求 的范围。下一步将题目的模长翻译成 关系，再寻找关于 的不等关系即可
解析：如图以 为轴建立坐标系：设 ，
高一 平面向量基本定理及坐标表示知识点+例题+练习 含答案
1．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21. (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (a ≠0)，如果a ∥b ，那么x 1y 2－x 2y 1＝0；反过来，如果x 1y 2－x 2y 1＝0，那么a ∥b . 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( × )(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．( √ )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( × )(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( √ )1．设e 1，e 2是平面内一组基底，那么下列说法正确的是________(填序号)． ①若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0；②空间内任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)； ③对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在该平面内；④对平面内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对． 答案 ①2．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s ＝________. 答案 0解析 因为CD →＝2DB →，所以CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →，则r ＋s ＝23＋⎝⎛⎭⎫－23＝0. 3．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________． 答案 (－3，－5)解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)， ∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．4．设0＜θ＜π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________.答案 12解析 ∵a ∥b ，∴sin 2θ×1－cos 2 θ＝0， ∴2sin θcos θ－cos 2 θ＝0，∵0＜θ＜π2，∴cos θ＞0，∴2sin θ＝cos θ，∴tan θ＝12.5．(教材改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________． 答案 (1,5)解析 设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.题型一 平面向量基本定理的应用例1 (1)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________.(2)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________． 答案 (1)45 (2)311解析 (1)因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，所以AB →＝85AN →－45AM →，所以λ＋μ＝45.(2)设BP →＝kBN →，k ∈R . 因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN → ＝AB →＋k (AN →－AB →)＝AB →＋k (14AC →－AB →)＝(1－k )AB →＋k 4AC →，且AP →＝mAB →＋211AC →，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.思维升华 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．(1)在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝________.(用e 1，e 2表示)(2)如图，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则xy x ＋y的值为________．答案 (1)－23e 1＋512e 2 (2)13解析 (1)如图，MN →＝CN →－CM →＝CN →＋2BM →＝CN →＋23BC →＝－14AC →＋23(AC →－AB →)＝－14e 2＋23(e 2－e 1)＝－23e 1＋512e 2.(2)易知AG →＝13AB →＋13AC →，MN →＝－xAB →＋yAC →，故MG →＝⎝⎛⎭⎫13－x AB →＋13AC →.由于MG →与MN →共线，所以⎝⎛⎭⎫13－x y ＝－13x ， 即xy ＝13(x ＋y )，因此xy x ＋y ＝13.题型二 平面向量的坐标运算例2 (1)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c ＝________. (2)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量A B →同方向的单位向量为__________． 答案 (1)⎝⎛⎭⎫－133，－43 (2)⎝⎛⎭⎫35，－45 解析 (1)由已知3c ＝－a ＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．所以c ＝⎝⎛⎭⎫－133，－43. (2)A B →＝O B →－O A →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与A B →同方向的单位向量为A B→|A B →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 思维升华 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．(1)已知点A (－1,5)和向量a ＝(2,3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为__________．(2)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝________.答案 (1)(5,14) (2)(－6,21)解析 (1)设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5)．由AB →＝3a ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝14.(2)BC →＝3PC →＝3(2PQ →－P A →)＝6PQ →－3P A →＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．题型三 向量共线的坐标表示命题点1 利用向量共线求向量或点的坐标例3 (1)已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________.(2)已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________． 答案 (1)(－4，－8) (2)(2,4)解析 (1)由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ， 得1×m ＝2×(－2)，即m ＝－4. 从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)． (2)∵在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC ＝2AB ， ∴DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(4,2)－(x ，y )＝(4－x,2－y )， AB →＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)． 命题点2 利用向量共线求参数例4 若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________． 答案 －54解析 AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，根据题意AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5， ∴a ＝－54.命题点3 求交点坐标例5 已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________． 答案 (3,3)解析 方法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)． 又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP→＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)． 方法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线， 所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3， 所以点P 的坐标为(3,3)．思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(3)三点共线问题．A ，B ，C 三点共线等价于AB →与AC →共线．设OA →＝(－2,4)，OB →＝(－a,2)，OC →＝(b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b 的最小值为________．答案3＋222解析 由题意得AB →＝(－a ＋2，－2)，AC →＝(b ＋2，－4)， 又AB →∥AC →，所以(－a ＋2，－2)＝λ(b ＋2，－4)，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2＝λ(b ＋2)，－2＝－4λ，整理得2a ＋b ＝2， 所以1a ＋1b ＝12(2a ＋b )(1a ＋1b )＝12(3＋2a b ＋b a )≥12(3＋22a b ·b a )＝3＋222(当且仅当b ＝2a 时，等号成立)．11．解析法(坐标法)在向量中的应用典例 (14分)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．思维点拨 可以建立平面直角坐标系，将向量坐标化，求出点A ，B 的坐标，用三角函数表示出点C 的坐标，最后转化为三角函数求最值． 规范解答解 以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1,0)，B (－12，32)．[4分]设∠AOC ＝α(α∈[0，2π3])，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，[8分] 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，[11分]又α∈[0，2π3]，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.[14分]温馨提醒 本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出x ＋y 的最大值．引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了解析法(坐标法)解决问题的优势，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础．[方法与技巧]1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． 2．根据向量共线可以证明点共线；利用两向量共线也可以求点的坐标或参数值． [失误与防范]1．要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况．2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1.如图，设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组： ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.其中可作为该平面内其他向量的基底的是________． 答案 ①③解析 ①中AD →，AB →不共线；③中CA →，DC →不共线．2．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝________.答案 (－1,2)解析 12a ＝(12，12)，32b ＝(32，－32)，故12a －32b ＝(－1,2)． 3．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝________. 答案 12a －32b解析 设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，∴⎩⎨⎧λ＝12，μ＝－32，∴c ＝12a －32b .4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝________. 答案 12解析 ∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)， 且(a ＋λb )∥c ，∴1＋λ3＝24，∴λ＝12.5．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n 的值为________．答案 3解析 ∵OA →·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系，OA →＝(1,0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n )．∵tan 30°＝3n m ＝33，∴m ＝3n ，即mn＝3. 6．已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝________.答案 2解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x －7，y －1)，CB →＝(1－x,4－y )，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝2(1－x )，y －1＝2(4－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.∴C (3,3)．又∵C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ·3，∴a ＝2.7．已知点A (－1,2)，B (2,8)，AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，则CD →的坐标为________．答案 (－2，－4)解析 设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)． 因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.所以点C ，D 的坐标分别为(0,4)，(－2,0)， 从而CD →＝(－2，－4)．8．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________． 答案 m ≠54解析 由题意得AB →＝(－3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，若A ，B ，C 能构成三角形，则AB →，AC →不共线，则－3×(1－m )≠1×(2－m )，解得m ≠54. 9．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式；(2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解 (1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →.∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．10．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →.(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线．(1)解 OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)． 当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2＜0，2t 1＋4t 2≠0， 故所求的充要条件为t 2＜0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明 当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2)．∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →，∴AM →与AB →共线，又有公共点A ，∴A ，B ，M 三点共线．B 组 专项能力提升(时间：15分钟)11．在△ABC 中，点P 是AB 上的一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则t 的值为________．答案 34解析 ∵CP →＝23CA →＋13CB →， ∴3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →.∴2AP →＝PB →，因此P 为AB 的一个三等分点．∵A ，M ，Q 三点共线，∴CM →＝xCQ →＋(1－x )CA →＝x 2CB →＋(x －1)AC → (0<x <1)． ∵CB →＝AB →－AC →，∴CM →＝x 2AB →＋⎝⎛⎭⎫x 2－1AC →. ∵CP →＝CA →－P A →＝－AC →＋13AB →， 且CM →＝tCP →(0<t <1)，∴x 2AB →＋⎝⎛⎭⎫x 2－1AC →＝t ⎝⎛⎭⎫－AC →＋13AB →. ∴x 2＝t 3且x 2－1＝－t ，解得t ＝34. 12．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为________．答案 －12解析 ∵u ＝(1,2)＋k (0,1)＝(1,2＋k )，v ＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，又u ∥v ，∴1×3＝2(2＋k )，得k ＝－12. 13．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(2cos α，2sin α)(α∈R )，实数m ，n 满足m a ＋n b ＝c ，则(m －3)2＋n 2的最大值为________．答案 16解析 由m a ＋n b ＝c ，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2cos α，m －n ＝2sin α，故(m ＋n )2＋(m －n )2＝2，即m 2＋n 2＝1，故点M (m ，n )在单位圆上，则点P (3,0)到点M 的距离的最大值为OP ＋1＝3＋1＝4，故(m －3)2＋n 2的最大值为42＝16.14．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.答案 3解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴M 为△ABC 的重心．如图所示，连结AM 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点．∴AM →＝23AD →. 又AD →＝12(AB →＋AC →)， ∴AM →＝13(AB →＋AC →)， 即AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3.15．如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．答案 (－1,0)解析 由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)，又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0. 又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →，∴mOA →＋nOB →＝kλOA →＋k (1－λ)OB →，∴m ＝kλ，n ＝k (1－λ)，∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1,0)．。
平面向量综合练习7讲(等和线,极化恒等式,奔驰定理,矩形大法一应俱全)
目录第1讲平面向量基本概念和基本定理..............................................................................................1第2讲平面向量基本定理及三点共线定理....................................................................................21第3讲平面向量中的范围、最值问题..........................................................................................30第4讲极化恒等式............................................................................................................................44第5讲矩形大法................................................................................................................................50第6讲五心问题（奔驰定理）........................................................................................................55第7讲等和线 (67)第1讲平面向量基本概念和基本定理题型1平面向量的线性运算1．如图，平面内有三个向量,,OA OB OC ，其中OA 与OB 的夹角为120︒，OA 与OC的夹角为30︒，且||||1,||3OA OB OC === ，若OC OA OB λμ=+，则(λμ+=)A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】解： OA 与OB 的夹角为120︒，OA 与OC的夹角为30︒，且||||1,||3OA OB OC === ；∴对OC OA OB λμ=+两边平方得：223λλμμ=-+①；对OC OA OB λμ=+ 两边同乘OA 得：322μλ=-，两边平方得：22944μλλμ=-+②；①-②得：23344μ=；根据图象知，0μ>，1μ∴=，代入322μλ=-得，2λ=；3λμ∴+=．故选：C ．2．已知向量,OA OB 满足||||1,,(,)OA OB OA OB OC OA OB R λμλμ==⊥=+∈，若M 为AB 的中点，并且||1MC =，则λμ+的最大值是()A ．1-B ．1+C ．D ．1【解析】解：如图所示，向量,OA OB 满足||||1OA OB == ，OA OB ⊥，不妨取(1,0)A ，(0,1)B ．M 为AB 的中点，11(,)22M ∴．(1OC OA OB λμλ=+=，0)(0μ+，1)(λ=，)μ． ||1MC =，∴2211(()122λμ-+-=，设1cos 2λθ=+，1sin 2μθ=+，[0θ∈，2)π．则1sin cos 1)14πλμθθθ+=++=++ sin(14πθ+=时取等号．λμ∴+的最大值是1+故选：B ．3．在ABC ∆中，AB c = ，AC b =．若点D 满足2,(BD DC AD == 则)A ．2133b c+ B ．5233c b-C ．2133b c-D ．1233b c+【解析】解：由题意可得AD AB BD=+22()33AB BC AB AC AB =+=+- 12213333AB AC b c =+=+故选：A ．4．已知OA ，OB 是两个单位向量，且0OA OB =．若点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，(,)OC mOA nOB m n R =+∈ ，则(m n=)A ．13B ．3C ．D 【解析】解：因为OA ，OB 是两个单位向量，且0OA OB = ．所以OA OB ⊥，故可建立直角坐标系如图所示．则(1,0)OA = ，(0,1)OB = ，故(1OC mOA nOB m =+=，0)(0n +，1)(m =，)n ，又点C 在AOB ∠内，所以点C 的坐标为(,)m n ，在直角三角形中，由正切函数的定义可知，tan 30n m ︒==mn=故选：D ．5．在ABC ∆中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN AB AC λμ=+，则λμ+的值为()A ．12B ．13C ．14D ．1【解析】解：设BM tBC=则1111()2222AN AM AB BM AB BM==+=+ 111()2222t AB tBC AB AC AB =+⨯=+-1()222t t AB AC =-+∴122t λ=-，2tμ=∴12λμ+=故选：A ．6．点M 是ABC ∆的边BC 上任意一点，N 在线段AM 上，且AN xAB y AC =+ ，若13x y +=，则NBC ∆的面积与ABC ∆的面积的比值是()A ．12B ．13C ．23D ．14【解析】解：如图，设BM BC λ= ，AM AN μ=，∴111()()AN AM AB BM AB BC λμμμ==+=+11()AB AC AB AB AC λλλλμμμ-=+-=+， AN xAB y AC =+ ，且13x y +=，∴1113λλμμμ-+==，则3μ=．∴3AM AN = ，则2AM NM = ，又NBC ∆ 与ABC ∆的底边BC 相等，NBC ∴∆的面积与ABC ∆的面积的比值是||23||AM NM =．故选：C ．7．ABC ∆中，M 为边BC 上任意一点，N 为线段AM 上一点，且3AM AN =，又AN AB AC λμ=+ ，则λμ+的值为()A ．12B ．13C ．14D ．1【解析】解：设BM tBC = ，3AM AN =，∴11()33AN AM AB BM ==+ 1133AB BM =+1133AB tBC =+11()33AB t AC AB =+-1(333t t AB AC =-+，又AN AB AC λμ=+ ，所以11(3333t t λμ+=-+=故选：B ．8．在ABC ∆中，点D 满足3,(,)AD DC BD BA CB R λμλμ==-∈，则λμ= 316．【解析】解： 点D 满足3AD DC =，∴34AD AC = ，又AC BC BA =- ，∴3()4AD BC BA =- ，∴313()444BD BA AD BA BC BA BA CB =+=+-=- ．又BD BA CB λμ=- ，∴14λ=，34μ=．∴1334416λμ=⨯=．故答案为：316．9．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC DE AP λμ=+，则λμ+的最小值为12．【解析】解：以A 为原点，以AB 所在的为x 轴，建立坐标系，设正方形ABCD 的边长为1，则1(2E ，0)，(1,1)C ，(0,1)D ，(0,0)A ，(1,0)B ．设(cos ,sin )P θθ，∴(1,1)AC =．再由向量1(2AC DE AP λμλ=+= ，1)(cos μθ-+，sin )(θ=cos 2λμθ+，sin λμθ-+)(1=，1)，∴cos 12sin 1λμθλμθ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，∴2sin 2cos 2cos sin 32cos sin θθλθθμθθ-⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，32sin 2cos (2cos sin )3sin 33sin 312cos sin 2cos sin 2cos sin θθθθθθλμθθθθθθ+---+++∴+===-++++．由题意得02πθ ，0cos 1θ∴，0sin 1θ ．求得223cos (2cos sin )(33)(2sin cos )66sin 3cos ()0(2cos sin )(2cos sin )sn θθθθθθθθλμθθθθ+-+-++-+'=>++，故λμ+在[0，2π上是增函数，故当0θ=时，即cos 1θ=，这时λμ+取最小值为3021202+-=+，故答案为：12．10．如图，在ABC ∆中，M 为BC 上不同于B ，C 的任意一点，点N 满足2AN NM =．若AN xAB y AC =+ ，则229x y +的最小值为25．【解析】解：不妨设BM BC λ=，01λ<<，∴222222222()()33333333AN AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC λλλλ-==+=+=+-=+ ，AN xAB y AC =+，223x λ-∴=，23y λ=，222222(22)4084401294()99999105x y λλλλλ-∴+=+=-+=-+，当110λ=时，229x y +有最小值，最小值为25，故答案为：25．题型2平行问题1．已知(1,1),(1,0),(1,2)a b c =-==- ，若a与b mc - 平行，则(m =)A ．1-B ．1C ．2D ．3【解析】解：(1,1),(1,0),(1,2)a b c =-==-，(1,2)b mc m m -=-，当a与b mc - 平行时，1(1)(1)20m m ⨯---⨯=，解得1m =-．故选：A ．2．已知向量()()1,2,,1,2,2,//a b x u a b v a b u v ===-=+若，则实数x 为()A ．112-B ．72或2-C ．1D ．12【解析】解：由题意可得：22(1u a b =-=，2)(x -，1)(2x =-，3)，2(1v a b =+=，2)2(x +，1)(12x =+，4)//u v，(2)43(12)0x x ∴-⨯-⨯+=，解得12x =故选：D ．3．已知向量(3,)m k = ，(2,4)n = ，若//m n ，则m n =30．【解析】解： 向量(3,)m k = ，(2,4)n = ，且//m n，212k ∴=，即6k =．则(3m n =，6)(2 ，4)326430=⨯+⨯=．故答案为：30．4．已知向量(,2)a x x =+ ，(3,4)b = ，若//a b ，则向量a的模为10．【解析】解：向量(,2)a x x =+，(3,4)b = ，若//a b，则43(2)0x x -+=，解得6x =，∴(6,8)a =，∴向量a的模为||10a == ．故答案为：10．5．已知||10a =，(3,4)b = ，//a b ，则向量a =(6,8)或(6,8)--．【解析】解；设：(,)a x y =， //b a ，||10a =，∴22430100x y x y +=⎧⎨+=⎩解得；68x y =⎧⎨=⎩或68x y =-⎧⎨=-⎩∴a等于(6,8)或(6,8)--故答案为(6,8)或(6,8)--．题型3模长问题1．设向量a，b满足||a b +=||a b -= ，则(a b = )A ．1B ．2C ．3D ．5【解析】解：||a b +=||a b -=，∴分别平方得22210a a b b ++= ，2226a a b b -+= ，两式相减得41064a b =-=，即1a b =，故选：A ．2．若向量a，b 满足||1a = ，(2)a b a +⊥ ，(2)a b b +⊥ ，则||(b = )A ．2B ．22C ．1D【解析】解： 向量a，b 满足||1a = ，(2)a b a +⊥ ，(2)a b b +⊥ ，∴222cos ,02cos ,0a ab a b a b a b b ⎧+<>=⎪⎨<>+=⎪⎩ ，∴22b a =，||||1b a ∴== ．故选：C ．3．已知向量a，b 的夹角为45︒，且||1a =，|2|a b -= ||(b = )AB．C．D．【解析】解：因为向量a，b 的夹角为45︒，且||1a =，|2|a b -= 所以224410a a b b -+=，即2|||60b b --= ，解得||b = 或||b =)．故选：C ．4．已知向量a与b 的夹角为45︒，且||1a = ，||b = ||a b -=1．【解析】解：根据题意得，222()21221451a b a a b b -=-⋅+=+-⨯⨯︒=∴1a b-= 故答案为1．5．已知向量a，b 夹角为45︒，且||1a = ，||b = ，则|2|a b - 【解析】解：根据题意，得；|2|a b -====6．已知向量(2,1),10,||a a b a b =⋅=+=，则||b = 5．【解析】解： 向量(2,1),10a a b =⋅=，又 ||a b +=∴2()50a b +=即22||||250a b a b ++⋅=即25||2050b ++=即2||25b =∴||5b = 故答案为：57．已知向量,a b满足||2a = ，||b = ，a 与b 的夹角为4π，则||a b +【解析】解：向量,a b满足||2a =，||b = a 与b 的夹角为4π，则||a b +===．题型4夹角问题1．已知向量a = ，(3,)b m = ，若向量a，b 的夹角为6π，则实数(m =)A．BC ．0D．【解析】解：由题意可得cos 62||||a b a b π== ，解得m =，故选：B ．2．已知非零向量a ，b 满足||4||b a = ，且(2)a a b ⊥+ ，则a与b 的夹角为()A ．3πB ．2πC ．23πD ．56π【解析】解：由已知非零向量a，b 满足||4||b a = ，且(2)a a b ⊥+ ，可得2(2)20a a b a a b +=+= ，设a与b 的夹角为θ，则有22||||4||cos 0a a a θ+= ，即1cos 2θ=-，又因为[0θ∈，]π，所以23πθ=，故选：C ．3．已知非零向量,a b满足：||2||a b a b ==- ，则a与b 的夹角为()A ．23πB ．2πC ．3πD ．6π【解析】解：由||2||a b a b ==-，所以22222874(2)a b a a b b ==-+ ，解得||2||b a = ，且2||a b a =- ；所以2||1cos ||2||2||||a b a a a a b θ-===-⨯⨯ ；又[0θ∈，]π，所以23πθ=，即a与b 的夹角为23π．故选：A ．4．已知非零向量,a b满足||||a b a b +=- ，则a 与b 的夹角为()A ．3πB ．2πC ．4πD ．23π【解析】解：由于非零向量,a b满足||||a b a b +=- ，等号两边同时平方化简得：0a b =，则夹角为2π，故选：B ．5．已知向量(1,2)a =- ，(1,)b λ= ，若a b ⊥ ，则2a b + 与a的夹角为()A ．23πB ．34πC ．3πD．4π【解析】解：根据题意，设2a b + 与a的夹角为θ，向量(1,2)a =-，(1,)b λ= ，若a b ⊥，则有(1)120a b λ=-⨯+= ，解可得12λ=，则1(1,2b = ，则2(1,3)a b +=，则有|2|a b +=，||a =(2)(1)1235a b a +=-⨯+⨯= ，则有(2)cos 2|2|||a b a a b a θ+===+，则4πθ=；故选：D ．6．在ABC ∆中，22AB AC ==，120BAC ∠=︒，点D 为BC 边上一点，且2BD DC =，则AB AD =23．【解析】解：由题意可知D 为BC 的靠近C 的三等分点，∴2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，∴21212122()412cos1203333333AB AD AB AB AC AB AB AC =+=+=⨯+⨯⨯⨯︒= ．故答案为：23．题型5平面向量的坐标运算1．已知(2,1)a =，(1,2)b =- ，若(9,8)(,)ma nb m n R +=-∈ ，则m n -的值为()A ．2B ．2-C ．3D ．3-【解析】解：(2,1)a =，(1,2)b =- ，(2,2)ma nb m n m n +=+- ，(9,8)(,)ma nb m n R +=-∈，可得：2928m n m n +=⎧⎨-=-⎩，可得2m =，5n =．3m n -=-故选：D ．2．向量a，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若(,)c a b R λμλμ=+∈ ，则(λμ=)A ．2B ．4C ．12D ．12-【解析】解：以向量a，b 的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得(1,1)a =- ，(6,2)b = ，(1,3)c =--(,)c a b R λμλμ=+∈，∴1632λμλμ-=-+⎧⎨-=+⎩，解之得2λ=-且12μ=-，因此，则4λμ=故选：B ．3．已知向量(1,1)a =-，(1,2)b =- ，则(2)(a b b += )A ．1-B ．0C ．1D ．2【解析】解： (1,1)a =-，(1,2)b =- ，222(2)22(12)(1)2651a b b a b b ∴+=+=--+-+=-+=- 故选：A ．4．在ABC ∆中，点P 在BC 上，且2BP PC =，点Q 是AC 的中点，若(4,3)PA = ，(1,5)PQ = ，则(BC = )A ．(2,7)-B ．(6,21)-C ．(2,7)-D ．(6,21)-【解析】解：(3,2)AQ PQ PA =-=-点Q 是AC 的中点∴2(6,4)AC AQ ==-(2,7)PC PA AC =+=-2BP PC = 3(6,21)BC PC ==-故选：B ．5．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则(AE BD =)A ．2-B ．6C ．2D ．6-【解析】解：根据题意，如图：以B 为坐标原点建立坐标系，BC 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴建立坐标系，则(2C ，0)(0A ，2)，(2,2)D ，则(2,1)E ，则(2,1)AE =- ，(2,2)BD =，则22(1)22AE BD =⨯+-⨯=，故选：C ．6．已知向量(2,1)a =，(1,2)b =- ，若(9ma nb += ，8)(m -，)n R ∈，则m n -的值为3-．【解析】解：向量(2,1)a =，(1,2)b =- ，若(9,8)ma nb +=- 可得2928m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得2m =，5n =，3m n ∴-=-．故答案为：3-．7．已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC的值为18．【解析】解：以BC 所在的直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，ABC ∆ 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，1(2B ∴-，0)，1(2C ，0)，(0,0)E ，2A ，1(4D ∴-，∴(1,0)BC = ，1(4DE = ，34-，设(,)F x y ，∴(,)EF x y =，2DE EF = ，∴2DE EF = ，1(4∴，2(x =，)y ，解得18x =，38y =，∴(AF = 18，8-，∴(AF BC = 18，(1 ，10)8=，故答案为：18．题型6投影问题1．已知点(1,1)A -，(1,2)B ，(2,1)C --，(3,4)D ，则向量AB 在CD方向上的投影为()A ．3152-B ．3152C ．322-D ．322【解析】解：(2,1),(5,5)AB CD ==；∴向量AB 在CD 方向上的投影为：32||cos ,2||AB CD AB AB CD CD <>==．故选：D ．2．已知ABC ∆外接圆圆心为O ，半径为1，2AO AB AC =+ ，且||||OA AB = ，则向量AB 在向量BC方向的投影为()A ．12B ．2C ．2D ．12-【解析】解：由2AO AB AC =+知，O 为BC 的中点，如图所示；又O 为ABC ∆外接圆的圆心，半径为1，BC ∴为直径，且2BC =，1OA AB ==，3ABC π∠=；∴向量AB 在向量BC 方向的投影为1||cos()32AB ππ-=- ．故选：D ．3．已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC ++= ，则向量CA 在向量CB方向上的投影为()A ．3B C ．3-D ．【解析】解：ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC ++= ，∴OB CA =，OBAC ∴为平行四边形．ABC ∆ 的外接圆的圆心为O ，半径为2，得||||||OA AB OB ==，∴四边形OBAC 是边长为2的菱形，且60ABO ACO ∠=∠=︒，因此，1302ACB ACO ∠=∠=︒，∴向量CA 在CB方向上的投影为：||cos 2cos30AC ACB ∠=︒= 故选：B ．4．已知向量a ，b 的夹角为60︒，且||2a = ，|2|a b -= ，则向量b 在a方向上的投影等于()A ．2B ．32C ．12D ．1【解析】解： ,60a b <>=︒，||2a = ，|2|a b -= ，∴244||4||28b b +-= ，解得||3b =或2-（舍去），∴b 在a方向上的投影等于3||cos 602b ︒= ．故选：B ．5．已知向量(1,2)a = ，(,1)b m = ，且向量b 满足()3b a b ⋅+= ，则向量a在b 方向上的投影为()A B ．22C ．2D ．2或22【解析】解：向量(1,2)a =，(,1)b m = ，()3b a b ⋅+= ，可得：20m m +=，解得0m =，1m =-，当0m =时，(0,1)b =，向量a在b 方向上的投影为2||a b b ⋅= ，当1m =-时，(1,1)b =-，向量a在b 方向上的投影为2||a b b ⋅== ，故选：D ．6．向量a ，b 满足a = ，||1b = ，||a b += b 在a方向上的投影为()A ．1-B ．12-C ．12D ．1【解析】解：向量a，b 满足a = ，||1b = ，||a b += 可得2223a a b b ++= ，所以1a b =-，则b 在a方向上的投影为：1||2a b a =- ．故选：B ．7．已知向量b =，向量a在b 方向上的投影为4-，若()a b b λ+⊥ ，则实数λ的值为()A ．3B ．12C ．13D ．23【解析】解： ||2b = ，a在b 方向上的投影为4-，∴42a b =- ，8a b =-，又()a b b λ+⊥，∴2()840a b b a b b λλλ+=+=-+= ，解得12λ=．故选：B ．8．若b 为单位向量，||||a b a += ，则向量a在向量b 方向上的投影为()A ．1-B ．1C ．12D ．12-【解析】解： ||1,||||b a b a =+=，∴2212a a b a ++= ，∴12a b =-，∴a在b 方向上的投影为：12||a b b =- ．故选：D ．9．已知非零向量a ，b 满足||2a = ，|2|4a b -= ，a在b 方向上的投影为1，则(2)b a b ⋅+= 36．【解析】解：设a ，b 的夹角为θ，则a在b 方向上的投影为||cos 1||a b a b θ⋅== ，∴||a b b ⋅=，|2|4a b -= ，∴224||4||16a a b b -⋅+=，2164||||16b b ∴-+= ，解得：||4b = ，∴4a b ⋅=，∴2(2)2||43236b a b a b b ⋅+=⋅+=+=．故答案为：36．10ABC ∆中，则向量AB在向量CA方向上的投影为32．【解析】解：根据题意，||,120AB AB CA =<>=︒，∴AB 在CA 方向上的投影为：1||cos120()22AB ︒=-=-．故答案为：11．已知向量||3b = ，且6a b ⋅= ，则向量a在向量b 的方向上的投影为2．【解析】解： ||3,6b a b =⋅=，∴a在b 的方向上的投影为2||a b b ⋅= ．故答案为：2．12．若两单位向量a ，b 的夹角为3π，则向量2a b - 在a方向上的投影为32．【解析】解： ||||1,,3a b a b π==<>=，∴12a b = ，213(2)2222a b a a a b -=-=-=，∴2a b - 在a方向上的投影为：(2)3||2a b a a -= ．故答案为：32．13．已知向量a ，b 满足|||2|a b a b +=- ，其中b 是单位向量，则a在b 方向上的投影为．【解析】解： ||1b = ，|||2|a b a b +=-，∴221244a a b a a b ++=+- ，∴12a b = ，∴a在b 方向上的投影是12||a b b = ．故答案为：12．题型7垂直问题1．已知向量(1,2)a =，(,1)b m =- ，且()a a b ⊥+ ，则(m =)A ．5-B ．5C ．6D ．7【解析】解：(1,3)a b m +=- ，(1,2)a =，且()a a b ⊥+ ，∴()160a a b m +=-+=，解得7m =．故选：D ．2．已知向量(1,2)a = ，(,4)b x = ，(2,)c y = ，若//a b ，a c ⊥，则()(b ac -= )A ．14B ．14-C ．10D ．6【解析】解：向量(1,2)a = ，(,4)b x = ，(2,)c y =，//a b，可得142x ⨯= ，解得2x =，(2,4)b = ，a c ⊥，可得1220y ⨯+=，解得1y =-，(1,3)a c -=-，则()21210b a c -=-+=．故选：C ．3．已知向量(1,2)a =，向量(,4)b x = ，且a b ⊥ ，则(x =)A ．6B ．2C ．6-D ．8-【解析】解： 向量(1,2)a = ，向量(,4)b x = ，且a b ⊥，∴80a b x =+=，则8x =-，故选：D ．4．已知向量(1,2)a =- ，(,1)b m = ．若向量a b + 与a垂直，则(m =)A ．6B ．3C ．7D ．14-【解析】解：已知向量(1,2)a =- ，(,1)b m = ，若向量a b + 与a垂直，则2()5(2)0a b a a a b m +=+=+-+=，求得7m =，故选：C ．5．设x ，y R ∈，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ==-=- 且a c ⊥，//b c ，则||(a b += )A B C ．D ．10【解析】解： a c ⊥；∴240a c x =-=；2x ∴=； //b c ；420y ∴-=；2y ∴=；∴(2,1),(1,2)a b ==-；∴(1,3)a b +=；∴||10a b +=．故选：B ．6．已知两个单位向量a，b 的夹角为60︒，(1)c t a tb =-+ ，若0b c = ，则t =1-．【解析】解： 两个单位向量a，b 的夹角为60︒，∴111cos 602a b =⨯⨯︒=．(1)c t a tb =-+ ，0b c =，∴20(1)b c t a b tb ==-+ ，10(1)2t t ∴=-+，解得1t =-，故答案为：1-．第2讲平面向量基本定理及三点共线定理一．选择题（共4小题）1．如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM xAB =，AN y AC =，则x y +的最小值为()A ．2B ．13C ．43D ．34【解析】解：根据条件：1AC AN y= ，1AB AM x =；又1133AG AB AC =+ ；∴1133AG AM AN x y=+；又M ，G ，N 三点共线；∴11133y x+=；0x > ，0y >；111124()()23333333333x y x y x y x y x y y x y x ∴+=++=++++= ；x y +的最小值为43．当且仅当23x y ==．故选：C ．2．如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM xAB =，AN y AC =，则2x y +的最小值为()A ．2B ．13C ．3223+D ．34【解析】解：M ，N ，G 三点共线，∴MG GN λ= ，∴()AG AM AN AG λ-=- ， 点G 是ABC ∆的重心，∴1()3AG AB AC =+ ，∴11()(())33AB AC x AB y AC AB AC λ+-=-+，∴11331133x y λλλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得，(31)(31)1x y --=；结合图象可知112x ，112y ；令31x m -=，31y n -=，1(22m ，12)2n ；故1mn =，13m x +=，13ny +=；故112233m n x y +++=+⨯211221333m n =+++ ，（当且仅当233m n=，即2m =，22n =时，等号成立），故2x y +的最小值为132222133++= ；故选：C ．3．如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线分别与AB ，AC 两边交于M ，N 两点（点N 与点C 不重合），设AB xAM = ，AC y AN = ，则111x y +-的最小值为()A ．2B ．12+C ．32D ．22+【解析】解：G 为ABC ∆的重心，∴21()32AG AB AC =⨯+ 1()3xAM y AN =+又G 在线段MN 上，∴11133x y +=3x y ∴+=(1)2x y ∴+-=∴11111[(1)]()121x y x y x y +=+-+--11(11)21x y y x-=+++-1(22)22+= 故选：A ．4．已知G 是三角形ABC 的重心，过G 的直线分别交直线AB ，AC 于M ，N 两点，AB mAM = ，AC nAN =，(m ，n 都是正数），12m n+的最小值是()A ．2B ．3C ．1D ．2213+【解析】解：如图所示，设D 是BC 的中点．M ，N ，G 三点共线，∴存在实数λ使得(1)AG AM AN λλ=+-， AB mAM = ，AC nAN =，(m ，n 都是正数），∴1AG AB AC m n λλ-=+，G 是三角形ABC 的重心，∴22111()33233AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+．∴13113m nλλ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，化为3m n +=．又m ，n 为正数，∴1211212122()()(3)(313333n m m n m n m n m n +=++=+++=+，当且仅当1)n ==时取等号．∴12m n +的最小值是2213+．故选：D ．二．填空题（共5小题）5．如图，在ABC ∆中，D 是线段BC 上的一点，且4BC BD =，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N ，若AM AB λ= ，(0,0)AN AC μλμ=>>，则3λμ+的最小值是3．【解析】解： 若AM AB λ= ，(0,0)AN AC μλμ=>>，∴(1)MB MD DB AB λ=+=- ，M ，D ，N 三点共线，∴存在实数k ，使()MD kMN k AN AM k AB k AC λμ==-=-+． 111444DB CB AB AC ==- ，11()((1)44k AB k AC AB λμλ∴-+-=-，∴114k λλ-=-，104k μ-=，43λμλ∴=-，3343λλμλλ+=+-．设3()43f λλλλ=+-，0λ>，则29()1(43)f λλ-'=+-，令()0f λ'=得，0λ=，或32λ=．在3(0,)2上，()0f λ'<；在(32，)+∞时，()0f λ'>；32λ∴=时，()f λ取极小值，也是最小值；()f λ∴的最小值为3，即3λμ+的最小值是3，故答案为：3．6．在ABC ∆中，M ，N 分别在AB ，BC 上，且2AM MB = ，3BN NC =，AN 交CM 于点P ，若BP xPA yBC =+ ，则x =18，y =．【解析】解：如图：过点M 作//MD BC 交AN 于D ； 2AM MB = ，3BN NC = ，2AD DN ∴=；2DP PN =；18NP AP ∴=∴3148BP BN NP BC PA =+=+ ；BP xPA yBC =+ ，18x ∴=，34y =．故答案为：18，34．7．如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且,AM xAB AN y AC == ，则xyx y+的值为13．【解析】解：根据题意G 为三角形的重心，∴1()3AG AB AC =+ ，111()()333MG AG AM AB AC x AB x AB AC =-=+-=-+ ，111()()333GN AN AG y AC AG y AC AB AC y AC AB =-=-=-+=-- ，由于MG 与GN 共线，根据共线向量基本定理知，存在实数λ，使得MG GN λ= ，即1111()[(]3333x AB AC y AC AB λ-+=--，∴113311()33x y λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去λ得30x y xy +-=，3x y xy ∴+=，即13xy x y =+．8．已知点G 为ABC ∆的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且,AM xAB AN y AC ==，x ，y R +∈，则x y +的最小值为43．【解析】解：M ，G ，N 三点共线，∴存在m ，使(1)(1)AG mAM m AN mxAB m y AC =+-=+-，又G 是ABC ∆的重心，∴1()(1)3AG AB AC mx AB m y AC =+=+- ，13mx ∴=，1(1)3m y -=，∴11133x y +=，即113x y+=．111114()()(2)(23333y x x y x y x y x y ∴+=++=+++= ，当且仅当23x y ==时取等号．故答案为：43．9．点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且AM xAB = ，AN y AC =．若12x =，则y =1，若23AMN ABC S S ∆∆=，则x y +=．【解析】解：根据条件：1AC AN y = ，1AB AM x=；又1133AG AB AC =+ ；∴1133AG AM AN x y=+；又M ，G ，N 三点共线；∴11133x y+=；12x =，1y ∴=； 23AMN ABC S S ∆∆=，∴1sin 2213sin 2AM AN MANAM AN xy AB AC AB AC BAC ∠===∠ ，又113x y +=，即3x y xy+=，2x y ∴+=．故答案为：1，2．三．解答题（共3小题）10．已知点G 为ABC ∆的重心，过点G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且,AM xAB AN y AC == ，求11x y+的值．【解析】解：根据题意G 为三角形的重心，1()3AG AB AC =+ ，111()()333MG AG AM AB AC x AB x AB AC =-=+-=-+ ，GN AN AG y AC AG=-=-1()3y AC AB AC =-+ 11(33y AC AB =--，由于MG 与GN 共线，根据共线向量基本定理知，存在实数λ，使得MG GN λ= ，即1111()[()]3333x AB AC y AC AB λ-+=--，即113311(33x y λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴11331133xy -=--即30x y xy +-=两边同除以xy 整理得113x y+=．11．若点M 是ABC ∆所在平面内一点，且满足：3144AM AB AC =+．（1）求ABM ∆与ABC ∆的面积之比．（2）若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点O ，设BO xBM yBN =+，求x ，y 的值．【解析】解（1）由3144AM AB AC =+，根据三点共线的性质，31144+=，且AB 与AC 不共线，可知M 、B 、C 三点共线．如图令1()(1)4BM BC AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC λλλλλλ=⇒=+=+=+-=-+⇒= ，∴14ABM ABC S S ∆∆=，即面积之比为1:4．（2）由2y BO xBM yBN BO xBM BA =+⇒=+，4x BO BC yBN =+ ，由O 、M 、A 三点共线及O 、N 、C 三点共线41726147y x x x y y ⎧⎧=+=⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩12．在ABC ∆中，3144AM AB AC=+（Ⅰ）求ABM ∆与ABC ∆的面积之比（Ⅱ）若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点P 且(,)AP xAB y AC x y R =+∈，求x y +的值．【解析】解：（Ⅰ）在ABC ∆中，3144AM AB AC =+⇒4303()AM AB AC AM AB AC AM--=⇒-=- 3BM MC ⇒=，即点M 在线段BC 上的靠近B 的四等分点，ABM ∴∆与ABC ∆的面积之比为14．（Ⅱ） 3144AM AB AC =+ ，(,)AP xAB y AC x y R =+∈，//AP AM ，∴设334424AP AM AB AC AN AC λλλλλ==+=+ ；三点N 、P 、C 共线，∴341,247λλλ+==解得，3311,4747x y λλ====，47x y +=．第3讲平面向量中的范围、最值问题一．选择题（共17小题）1．如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，3OD =，点P 为BCD ∆内（含边界）的动点，设(,)OP OC OD R αβαβ=+∈，则αβ+的最大值等于()A ．14B ．43C ．13D ．1【解析】解：以O 为原点，以OD 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设点(,)P x y ， OP OC OD αβ=+，则(x ，)(0y α=，1)(3β+，0)(3β=，)α．所以，3x y βα=⎧⎨=⎩13x y αβ+=+．由于点P 在BCD ∆内（包含边界），目标函数为13x y αβ+=+，如图所示，当点P 为点(1,1)B 时，13x y αβ+=+取得最大值，其最大值为14133+=，故选：B ．2．已知1,||,||AB AC AB AC t t ⊥== ，若P 点是ABC ∆所在平面内一点，且4||||AB ACAP AB AC =+，则PB PC ⋅ 的最大值等于()A ．13B ．15C ．19D ．21【解析】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得(0,0)A ，1(B t，0)，(0,)C t ，4||||AB ACAP AB AC =+，(1,4)P ∴，∴1(1PB t=- ，4)-，(1,4)PC t =-- ，∴11(1)4(4)17(4PB PC t t t t ⋅=----=-+ ，由基本不等式可得144t t += ，117(4)17413t t ∴-+-= ，当且仅当14t t =即12t =时取等号，∴PB PC ⋅的最大值为13，故选：A ．3．已知AB AC ⊥ ，1||AB t = ，||AC t = ，1[4t ∈，4]；若P 是ABC ∆所在平面内一点，且4||||AB AC AP AB AC =+，则PB PC的取值范围是()A ．[13，17]B ．[12，13]C ．3[4，12]D ．3[4，13]【解析】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得(0,0)A ，1(B t，0)，(0,)C t ，4(1||||AB ACAP AB AC =+=，0)(0+，4)(1=，4)，(1,4)P ∴，∴1(1PB t =- ，4)-，(1,4)PC t =-- ，∴11(1)4(4)17(4)1713PB PC t t t t =----=-+-= ，当且仅当14t t =，即11[24t =∈，4]，时，取等号，由4t =可得1317(1644-+=，由14t =可得17(14)12-+=，∴PB PC 的最大值为13，最小值为34．则PB PC 的范围是3[4，13]．故选：D ．4．已知a，b 是平面内互不相等的两个非零向量，且||1a = ，a b - 与b 的夹角为150︒，则||b 的取值范围是()A ．(0B ．[1C ．(0，2]D ．2]【解析】解：如图所示，设OA a = ，OB b = ，则BA OA OB a b =-=-．由于||1a =，a b - 与b 的夹角为150︒，可得OAB ∆中，1OA =，30OBA ∠=︒．由正弦定理可得：OAB ∆的外接圆的半径1r =．则点B 为圆上的动点．由图可令(1cos ,sin )b OB θθ==+，则||b ==．∴||(0,2]b ∈．故选：C ．5．设向量α，β 的夹角θ定义：||||sin αβαβθ⨯= 若平面内互不相等的两个非零向量a ，b满足：||1a = ，()a b - 与b 的夹角为150︒，a b ⨯的最大值为()A ．2BC ．D 【解析】解：设a OA =，b OB = ，则BA a b =- ，||1a = ，a b - 与b的夹角为150︒，OAB ∴∆中，1OA =，30OBA ∠=︒，由正弦定理可得：OAB ∆的半径为1，则B 点为圆上与OA 不重合的动点，设(0150)AOB θθ∠=︒<<︒，由正弦定理可得，2sin AB θ=，2sin(150)OB θ=︒-，则sin 2sin30OAB a b OA OB S AB OB θ∆⨯===︒2sin sin(150)[cos150cos(2150)]θθθ=︒-=-︒--︒cos(2150)2θ=+-︒，当75θ=︒时，a b ⨯取得最大值，且为1+故选：C ．6．已知平面内互不相等的非零向量a，b 满足||1a = ，a b - 与b 的夹角为150︒，则a b 的最大值为()A ．2BC ．32D ．32【解析】解：如图所示，设OA a = ，OB b =．则BA OA OB a b =-=- ．||1a =，a b - 与b 的夹角为150︒，OAB ∴∆中，1OA =，18015030OBA ∠=︒-︒=︒．由正弦定理可得：OAB ∆的外接圆的半径1r =．则点B 为圆上与A 点重合的动点．由图可令：1(,2a OA ==，(1cos ,sin )b OB θθ==+ ．∴11313cos sin()222622a b πθθθ=+-=--+ ，当sin(16πθ-=-时取等号．∴a b 的最大值为32．故选：C ．7．已知向量OA 与OB 的夹角为θ，||2OA = ，||1OB = ，OP tOA = ，(1)OQ t OB =-，||PQ 在0t 时取最小值，当0104t <<时，cos θ的取值范围为()A ．1(2-，0)B ．1(2-，14-C ．1(4，1)D ．1(2-，1)4【解析】解：由题意得：21cos 2cos OA OB θθ=⨯⨯=，(1)PQ OQ OP t OB tOA =-=-- ，∴22222(1)2(1)PQ t OB t OA t t OA OB=-+-- 222(1)44(1)cos (54cos )(24cos )1t t t t t t θθθ=-+--=++--+，由二次函数知，当上式取最小值时，012cos 54cos t θθ+=+，0104t <<，12cos 1054cos 4θθ+∴<<+，解得11cos 24θ-<<．cos θ∴的取值范围为11(,)24-．故选：D ．8．已知向量OA 与OB 的夹角为θ，||2OA = ，||1OB = ，OP tOA = ，(1)OQ t OB =-，||PQ 在0t 时取得最小值．当0105t <<时，夹角θ的取值范围为()A ．(0,)3πB ．(3π，)2πC ．(2π，2)3πD ．2(0,3π【解析】解：由题意可得21cos 2cos OA OB θθ=⨯⨯=，(1)PQ OQ OP t OB tOA =-==-- ，∴2222222(1)2(1)(1)44(1)cos PQ t OB t OA t t OA OB t t t t θ=-+--=-+-- 2(54cos )(24cos )1t t θθ=++--+，由二次函数知，当上式取最小值时，012cos 54cos t θθ+=+，由题意可得12cos 1054cos 5θθ+<<+，求得1cos 02θ-<<，∴223ππθ<<，故选：C ．9．设向量1e 、2e 满足：12||2,||1e e == ，1e ，2e 的夹角是90︒，若1227te e + 与12e te +的夹角为钝角，则t 的取值范围是()A ．(,0)-∞B ．1414(,(22-∞-C ．(,)2-∞-D ．(2-【解析】解： 向量1e 、2e 满足：12||2,||1e e == ，1e ，2e 的夹角是90︒，∴120e e =．若1227te e + 与12e te +的夹角为钝角，则1212(27)()0te e e te ++< ，且12(27)te e + 与12()e te +不共线，即22122070te te ++< ，且271t t≠，即870t t +<，且t ≠．求得0t <，142t ≠±，即(t ∈-∞，1414)(22--⋃，0)，故选：B ．10．在空间直角坐标系O xyz -中，已知(1,2,3)OA = ，(2,1,2)OB = ，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB取得最小值时，点Q 的坐标为()A ．131(,,)243B ．133(,,)224C ．448(,,)333D ．447(,,333【解析】解： 点Q 在直线OP 上运动，∴存在实数λ使得(OQ OP λλ==，λ，2)λ，∴(1,2,32)QA λλλ=--- ，(2,1,22)QB λλλ=---．∴(1)(2)(2)(1)(32)(22)QA QB λλλλλλ=--+--+--22498616106()33λλλ=-+=--，当且仅当43λ=时，上式取得最小值，448(,,333Q ∴．故选：C ．11．已知Rt AOB ∆的面积为1，O 为直角顶点，设向量||OA a OA ==，||OB b OB =，2OP a b =+ ，则PA PB 的最大值为()A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】解：以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，设(,0)A m ，(0,)B n ，则(1,0)a =，(0,1)b = ，2(1,2)OP a b =+=，(1,2)PA m =-- ，(1,2)PB n =-- ，Rt AOB ∆的面积为1，即有2mn =，则12(2)PA PB m n =---5(2)55221m n =-+-=-⨯= ．当且仅当22m n ==时，取得最大值1．故选：A ．12．已知向量a ，b 均为单位问量，且12a b = ．向量a c - 与向量b c - 的夹角为6π，则||a c - 的最大值为()A ．32B ．1C ．233D ．2【解析】解： 由12a b = ，向量a ，b 为单位向量，可得a ，b的夹角为60︒．设OA a = ，OB b = ，OC c = ．由向量12a b = ，向量a ，b 均为单位问量11cos a ∴⨯⨯<，12b >= ，∴a <，3b π>= ．设OA a = ，OB b = ，OC c = ． 向量c 满足a c -与b c - 的夹角为6π，6ACB π∴∠=．由等边三角形OAB ，点C 在AB 外且ACB ∠为定值，可得C 的轨迹是两段圆弧，ACB ∠是AB 所对的圆周角．可知：当AC 时是弧 AB 所在圆（上述圆弧）的直径时，||a c -取得最大值||AC ，在ABC ∆中，由正弦定理可得：2sin 30ABAC ==︒．|∴，||a c -取得最大值||AC 取得最大值是2．故选：D ．13．已知平面向量(1,2)a = ，(2,1)b = ，(,)c x y =，满足0x ，0y ．若1a c ⋅ ，1b c ⋅ ，()z a b c=-+⋅ 则()A ．z 有最大值2-B ．z 有最小值2-C ．z 有最大值3-D ．z 有最小值3-【解析】解： 21a c x y ⋅=+21b c x y ⋅=+332x y ∴+ ()(33)3()2Z a b c x y x y =-+⋅=-+=-+-Z ∴的最大值为2-故选：A ．14．已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足()()0c a c b --= ，则||c 的最大值是()A ．1B ．2C ．D【解析】解：由题意可得0a b =，可得||a b +== 2()()()c a c b c a b c a b --=+-+ 2||||||cos (c c a b a b =-+<+ ，0c >=，即为||c a b =<+ ，c > ，当cos a b <+ ，1c >= 即a b + ，c同向时，||c故选：C ．15．已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量b = 1)-则|2|a b - 的最大值，最小值分别是()A ．0B ．4，C ．16，0D ．4，0【解析】解：2(2cos a b θ-=-，2sin 1)θ+，|2|a b -===4，最小值为0．故选：D ．16．已知,a b是单位向量，0a b = ，若向量c 满足||1c a b -+= ，则|||c b - 的取值范围是()A ．1]-B ．1]+C ．[0，2]D ．1]-+【解析】解：由,a b是单位向量，且0a b = ，则可设(1,0)a = ，(0,1)b = ，(,)c x y = ；向量c满足||1c a b -+= ，|(1,1)|1x y ∴-+=，∴1=，即22(1)(1)1x y -++=，它表示圆心为(1,1)C -，半径为1r =的圆；又|||(c b x -=，1)|y -=C 上的点到点(0,1)B 的距离，如图所示：且||BC =，∴1||1PB - ；即||c b -的取值范围是1-1]+．故选：D．17．设1e ，2e 为单位向量，非零向量12b xe ye =+ ，x ，y R ∈，若1e ，2e 的夹角为6π，则||||b x的最小值为()A ．14B ．12C ．1D ．4【解析】解： 1e ，2e 为单位向量，非零向量12b xe ye =+ ，x ，y R ∈，若1e ，2e 的夹角为6π，∴12123||||cos 62e e e e π==，则22221212||()2b xe ye x y xye e =+=++=，则||1||2b x ==== ，当且仅当y x =故选：B ．二．填空题（共7小题）18．在边长为2的等边三角形ABC 中，D 是AB 的中点，E 为线段AC 上一动点，则EB ED的取值范围为23[16，3]．【解析】解：由题意可得AE 和AB 的夹角为60︒，设||AE x =，[0x ∈，2]，22()()212cos60cos60EB ED AB AE AD AE AB AD AB AE AD AE AE x x x=--=--+=⨯-︒-︒+ 2233232()2416x x x =-+=-+，故当34x =时，EB ED 取得最小值为2316，当2x =时，EB ED 取得最大值为3，故EB ED 的取值范围为23[,3]16，19．已知向量,,a b c满足||6,||a b == ，a 与b 的夹角为4π，()()4c a c b --=- ，则||c a - 的最小值为1-．【解析】解：由向量||6a = ，||b = ，a与b 的夹角为4π，可设(6,0)OA a == ，4OB b π== ，(24π=，2)，(,)OC c x y == ，由()()4c a c b --=-，得(6)(2)(2)4x x y y --+-=-；化为22(4)(1)1x y -+-=，所以点C 在以(4,1)M 为圆心，以1为半径的圆的上；且||c a -=表示圆上的点到点(6,0)A 的距离，。
平面向量常见基础题型(含参考答案)
平面向量常见基础题型（一）向量共线1. 设向量），（，（3212==若向量b a +λ与向量)74(--=，共线，则=λ2．已知），（），，（），，（73231x C B A --，设=，=且∥，则x 的值为 （ ）(A) 0 (B) 3 (C) 15 (D) 183．已知，是同一平面内的两个向量，其中a =（1，252=，且a ∥，求的坐标4.n 为何值时，向量），（1n =与),4(n =共线且方向相同？5.已知,不共线，k -=+=,，如果c ∥d ，那么k= ,c 与d 的方向关系是（二）向量的垂直1．已知向量=--==n n 与），若，（，（211242==，且与的夹角为3π，若的值垂直，求与k k k 22-+。
3.已知单位向量⊥-，求证：（的夹角为和23π4.已知,24），（=求与垂直的单位向量的坐标。
5. ）满足于（，若向量），（a c c b a +-==)3,2(,21∥，___=+⊥（（三）向量的夹角1.平面向量,41==且满足2.=，则与的夹角为2.已知非零向量,（2-⊥=，则与的夹角为3.已知平面向量,满足424)2.(==-=+-（且，则与的夹角为 4.设非零向量、、满足=+==|,|||||，则>=<,5.的夹角。
与求b a ,732=+==6.若非零向量b a ,,0).2(=+=则b a 与的夹角为（四）求向量的模1.已知零向量==+==，则），（2510.,12 2. 已知向量,====221 3. 已知向量)3,1(=，=+-=b )0,2(4．已知向量-==),cos ,1(),sin ,1(θθ的最大值为 5. 设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，（）==+=BC162(A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 16. 设向量，则+-⊥==2),2(,21 （五）投影1．，45==，与的夹角32πθ=，则向量在向量上的投影为 2已知点()1,1A -.()1,2B .()2,1C --.()3,4D ,则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）ABC．D． 3在Rt △ABC 中，===∠AC C .,4,2则π4关于c a b a ..=且0≠a ，有下列几种说法：① )(-⊥； ② ⊥ ；③0).(=- ④在方向上的投影等于在 方向上的投影 ；⑤λ=；⑥=,其中正确的个数是 （ ） （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个 （六）平面向量基本定理1在下列向量组中，可以把向量()2,3=表示出来的是（ ） A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e e C.)10,6(),5,3(21==e e D.)3,2(),3,2(21-=-=e e2设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（ ） （A ）1433AD AB AC =-+ (B)1433AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ (D)4133AD AB AC =-3 中，边的高为，若，，，，，则 （A ） （B ）（C ） （D ） ABC ∆AB CD CB a =CA b =0a b ⋅=||1a =||2b =AD =1133a b -2233a b -3355a b -4455a b -4设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点,AB AD 21=,BC BE 32=,若AC AB DE 21λλ+=(21λλ，为实数),则21λλ+的值为__________.5向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示.若c =λa +μb (λ,μ∈R),则λμ=_________.（七）向量定值1在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM=3，BC=10，则=________.2己知正方形ABCD 的边长为l ，点E 是AB 边上的动点.则的值为 ，的最大值为_________.3如图在平行四边形ABCD 中 ，AP⊥BD，垂足为P ，且= .4 如图，在矩形中，，点是的中点，点在边上，若，则的值是5.如图，在ΔABC 中，，，， 则=（ ） （A ） （B ）（C ） （D ） 6如图所示，在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =，2AP BP ⋅=，则AB AD ⋅的值是 ．AB AC ⋅DE CB ⋅DE DC ⋅3AP =AP AC ABCD 2,2AB BC ==E BC F CD 2AB AF ⋅=AE BF ⋅AD AB ⊥3BC =BD 1AD =AC AD ⋅2332333ABCDEF参考答案：（一）1、51- 2、B 3、（2,4）或（-2，-4） 4、n=2 5、k=-1 相反 （二）1、2 2、±4 3、略 4、（552,55-）或（552,55-） 5、（37,97--） （三）1、3π2、3π 3、32π 4、32π 5、32π 6、32π （四）1、5 2、6 3、2 4、2 5、C 6、10 （五）1、-2 2、A 3、16 4、B（六）1、B 2、A 3、D 4、215、-4（七）1、-16 2、1 ，1 3、18 4、2 5、D 6、22。
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高 三 年级 印数：60 学生姓名： 班级：高 （ ）班 编制人： 何为难 审核人： 林锦波 2015年 月 日 送印
平面向量（1） ——平面向量基础题型
题型一、向量的线性运算及基本定理
1. 若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－2,4)，则用a ，b 表示c 为( )
A ．－a ＋3b
B ．a －3b
C ．3a －b
D ．－3a ＋b
2.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →
等于( )
A.14a ＋12b
B.23a ＋13b
C.12a ＋14b
D.13a ＋23
b 3.若A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，若O 不在l 上，存在实数x 使得x 2OA →＋xOB →＋BC →
＝0，实数x 为( )
A ．－1
B ．0 C.－1＋52 D.1＋5
2
4.如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E 、F 两点，且交其对角线于K ，其中AE →＝13AB →，AF →＝12
AD →，AK →＝λAC →
，则λ的值为( )
A.15
B.14
C.13
D.12
题型二、向量的位置关系
1.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，则实数λ等于( )
A ．－2
B ．－13
C ．－1
D ．－2
3
2. 已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为( )
A.12 B ．2 C ．－2 D ．－1
2
3.已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( )
A ．－1
B ．－ 3
C ．－3
D ．1
4.已知a ＝(1,2)，b ＝(3，－1)，且a ＋b 与a －λb 互相垂直，则实数λ的值为( )
A ．－611
B ．－116 C.611 D.11
6
题型三、数量积
1.设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a 、b 间的夹角为( )
A ．150°
B ．120°
C ．60°
D ．30°
2.向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝
3
2
，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝( ) A.12 B.13 C.14
D.15
3.已知向量a ＝(3,4)，b ＝(－2,1)，则a 在b 方向上的投影等于________．
4.已知向量a 与b 的夹角为2π
3，且|a |＝1，|b |＝4，若(2a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________.
5.非零向量,a b 夹角为60
，且1a b -= ，则a b + 的取值范围为
6.平面中的四点A,B,C,D 满足||2,||3,||4,||7AB BC CD DA ====
,则AC BD ⋅ 的值为_________。