专题08 函数奇偶性型-2021年高考数学压轴题解法分析与强化训练

专题08 函数奇偶性型
[真题再现]
例1 （2020·扬州中学五月考·13）圆2
2
640x y x y ++-=与曲线24
3
x y x +=
+相交于,,,A B C D 点四点，O 为坐标原点，则OA OB OC OD +++=_______.
【分析】注意发现圆与一次分式函数24
3
x y x +=
+的图象均关于点(−3, 2)对称，利用三角形中线的向量表示，将所求转化即可.
【解析】由圆方程2
2
640x y x y ++-=，可得()()22
3213x y ++-=，圆心坐标为(−3, 2)
242(3)22
2333
x x y x x x ++-=
==-+++，其对称中心为(−3, 2). 在同一直角坐标系中，画出圆和函数图像如右图所示： 数形结合可知，圆和函数都关于点M (−3, 2)对称， 故可得其交点A 和C ，B 和 D 都关于点M (−3, 2)对称. 故2OA OC OM +=，2OB OD OM += 4413OD OM =思想，函数的零点满足(
)2
1
12=x x x x a e
e ---+.
设
()
11=x x e e
---+，显然()g x 是由函数x
x
y e e -=+向右平移
一个单位而得到，易知x
x y e e -=+是偶函数且在[
)0,+∞上是增函数.故()g x 关于
直线
1x =对称，且在[)1,+∞上是增函数，在(],1-∞上是减函数，
()()min 12g x g ==.
设()2
2h x x x =-，显然()2
2h x x x =-关于直线1x =对称，顶点为()1,1.
若0a <，则函数()y a g x =⋅关于直线1x =对称，且在[
)1,+∞上是减函数，在(]
,1-∞上是增函数，最大值为2a ，()max 2a h x <.
若()y a g x =⋅的图象与()h x 的图象有一个公共点A ，根据对称性必有另一个公共点B.所以，0a <不合题意；
若0a
>，函数()y a g x =⋅关于直线1x =对称，且在[)1,+∞上是增函数，在
(],1-∞上是减函数，最小值为2a .若()y a g x =⋅的图象与()h x 的图象只有一个
公共点，必有21a
=，得12
a =
. 【解析】()2
1
1()1()1x x f x x a e
e --+=-++-，令2()(1)1()x x g x
f x x a e e -=++=++
则易知()g x 是偶函数，所以()f x 图象关于直线1x =对称，欲使()f x 有唯一零点，
必有(1)0f =，即210a -=，所以12
a =
. 例3 已知关于x 的方程03)2(log 22
2
22
=-+++a x a x 有唯一解，则实数a 的值为
________. 【答案】1
【分析】利用隐藏的对称性，易得f (0)＝0，求得a ＝1或a ＝－3，再利用数形结合，将增解舍弃.
【解析】通过对函数f (x )＝x 2＋2a log 2(x 2＋2)＋a 2－3的研究，可发现它是一个偶函数，那么它的图象就关于y 轴对称，若有唯一解，则该解必为0．
将x ＝0代入原方程中，可求得a ＝1或a ＝－3．这就意味着，当a ＝1或a ＝－3时，
原方程必有一解0，但是否是唯一解，还需进一步验证．
当a ＝1时，原方程为x 2＋2log 2(x 2＋2)－2＝0，即2log 2(x 2＋2)＝2－x 2，该方程实数根的研究可能过函数y ＝2log 2t 和函数y ＝4－t 的交点情况来进行，不难发现，此时是符合题意的；而当a ＝－3时，原方程为x 2－6log 2(x 2＋2)＋6＝0，即x 2＋6＝6log 2(x 2＋2)．通过研究函数y ＝4＋t 和y ＝6log 2t 可以发现，此时原方程不止一解，不合题意，需舍去．
例4 （2020·启东中学最后一卷·12）已知函数12()sin 21
x x f x x +=++在区间[,]k k -的
值域为[,]m n ，则m n +的值为_______. 【答案】2
【分析】本题的难点在于发现函数内隐藏的奇偶性、对称性.
【解析】因为()()12121221()sin sin sin 1212121
x x x x x x x f x x x x +-++-=+=+=+++++ 设21
g()sin 21
x x x x -=++，则g()x 为定义在R 上的单调递增函数
所以()f x 在区间[,]k k -单增，且关于点（0,1）对称 所以m n +=2. 点评：
以具体的奇、偶函数为依托，使函数的对称性内隐于函数解析式，设计对称性函数，要求学生理解知识间的关联，洞察函数的奇、偶性，迁移奇、偶函数的对称性，运用数形结合、函数与方程等思想解决问题，考查学生运用知识解决问题的能力，综合性强，体现能力立意，具有一定难度.
[强化训练]
1.若函数
22()243f x x a x a =++-的零点有且只有一个，则实数a = .
【答案】2
a
=2.(2017·南京、盐城·二检·12)若函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8有唯一零点，则满足
条件的实数m 组成的集合为 ． 【答案】m =2
【解法提示】发现f (x )是偶函数，故得到f (0)=0，立得m =2或m =－4，难点在于对m =－4
的取舍问题.思路有二，一是“分离函数”，利用“形”助数；二是利用导数知识，只需当x ＞0时，函数恒增或恒减即可.
3.已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++，a R ∈ ，则函数()f x 零点的个数所有可能值构成
的集合为 ． 【答案】{0,1,2,4}
4.函数1
1
y x =
-的图象与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ）
A.2
B. 4
C.6
D.8 【答案】B
5.已知函数满足，若函数与图象的交点
为 则 （ ）
A. 0
B. m
C. 2m
D. 4m
【答案】B
【分析】该题设计抽象函数()f x 关于点()0,1成中心对称，函数
由奇函数
1
y x
=
向上平移一个单位得到，也关于点()0,1成中心对称，因而两函数图象的交点为也关于点()0,1成中心对称，
1
m i
x ∑1
m
i
y +∑，考虑倒序相加法，可得
1
0m i
x
=∑，1
m i y m =∑，故
m .。