2000年全国高中数学联合竞赛试卷及参考答案

合集下载

【试题】2000年全国高中数学联赛试题及解答1

【关键字】试题2000年全国高中数学联合竞赛试卷（10月15日上午8:009:40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．设全集是实数，若A={x|≤0}，B={x|10=10x}，则A∩∁RB是( )(A){2} (B){1} (C){x|x≤2} (D)2．设sin＞0，cos＜0，且sin＞cos，则的取值范围是( )(A)(2k+，2k+)，k Z (B)( + ，+)，k Z(C)(2k+，2k+)，k Z (D)(2k+，2k+)∪(2k+，2k+)，k Z3．已知点A为双曲线x2y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是( )(A) (B) (C)3 (D)64．给定正数p，q，a，b，c，其中p q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx22ax+c=0( )(A)无实根(B)有两个相等实根(C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最小值是( )(A) (B) (C) (D)6．设ω=cos+isin，则以，3，7，9为根的方程是( )(A)x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4x3+x2x+1=0(C) x4x3x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2x1=0二．填空题（本题满分54分，每小题9分）1．arcsin(sin2000)=__________．2．设an是(3)n的展开式中x项的系数(n=2，3，4，…)，则(++…+))=________.3．等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是____________.4．在椭圆+=1 (a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________.5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________.6．如果：(1)a，b，c，d都属于{1，2，3，4}；(2)a b，b c，c d，d a；(3)a是a，b，c，d中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________三、解答题(本题满分60分，每小题20分)1．设Sn=1+2+3+…+n，n N*，求f(n)=的最大值．2．若函数f(x)=－x2+在区间[a，b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a，b]．3．已知C0：x2+y2=1和C1：+=1 (a ＞b ＞0)．试问：当且仅当a ，b 满足什么条件时，对C1上任意一点P ，均存在以P 为顶点，与C0外切，与C1内接的平行四边形？并证明你的结论．2000年全国高中数学联赛二试题（10月15日上午10∶00-12∶00）一．（本题满分50分）如图，在锐角三角形ABC 的BC 边上有两点E 、F ，满足∠BAE=∠CAF ，作FM ⊥AB ，FN ⊥AC （M 、N 是垂足），延长AE 交三角形ABC 的外接圆于D ．证明：四边形AMDN 与三角形ABC 的面积相等．二．（本题满分50分）设数列{a n }和{b n }满足a 0=1，a 1=4，a 2=49，且 ⎩⎨⎧a n +1=7a n +6b n －3，b n +1=8a n +7b n －4．n=0，1，2，…… 证明a n （n=0，1，2，…）是完全平方数．三．（本题满分50分）有n 个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意n －2个人之间通电话的次数相等，都是3 k 次，其中k 是自然数，求n 的所有可能值．2000年全国高中数学联合竞赛试题解答第一试一．选择题（本题满分36分，每小题6分）1．设全集是实数，若A={x |x －2≤0}，B={x |10x 2－2=10x }，则A ∩∁R B 是( ) (A ){2} (B ){-1} (C ){x |x ≤2} (D ) ∅ 解：A={2}，B={2，－1}，故选D ．2．设sin α＞0，cos α＜0，且sin α3＞cos α3，则α3的取值范围是( )(A )(2k π+π6，2k π+π3)， k ∈Z (B )( 2kπ3+ π6，2kπ3+π3)，k ∈Z(C )(2k π+5π6，2k π+π)，k ∈ Z (D )(2k π+π4，2k π+π3)∪(2k π+5π6，2k π+π)，k ∈Z解：满足sin α＞0，cos α＜0的α的范围是(2k π+π2，2k π+π)，于是α3的取值范围是(2kπ3+π6，2kπ3+π3)，满足sin α3＞cos α3的α3的取值范围为(2k π+π4，2k π+5π4)．故所求范围是(2k π+π4，2k π+π3)∪(2k π+5π6，2k π+π)，k ∈Z ．选D ．3．已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是( )(A ) 33 (B ) 332(C )3 3 (D )6 3 解：A (－1，0)，AB 方程：y=33(x +1)，代入双曲线方程，解得B (2，3)，∴ S=33．选C ． 4．给定正数p ，q ，a ，b ，c ，其中p ≠q ，若p ，a ，q 是等比数列，p ，b ，c ，q是等差数列，则一元二次方程bx 2-2ax +c=0( )(A )无实根 (B )有两个相等实根 (C )有两个同号相异实根 (D )有两个异号实根解：a 2=pq ，b +c=p +q ．b=2p +q 3，c=p +2q3；14△=a 2－bc=pq －19(2p +q )(p +2q )=－29(p －q )2<0．选A ． 5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=53x +45的距离中的最小值是( )(A ) 34170 (B ) 3485 (C ) 120 (D ) 130解：直线即25x －15y +12=0．平面上点(x ，y )到直线的距离=|25x －15y +12|534=|5(5x －3y +2)+2|534．∵5x －3y +2为整数，故|5(5x －3y +2)+2|≥2．且当x=y=－1时即可取到2．选B ．6．设ω=cos π5+i sin π5，则以ω，ω3，ω7，ω9为根的方程是( )(A )x 4+x 3+x 2+x +1=0 (B ) x 4-x 3+x 2-x +1=0 (C ) x 4-x 3-x 2+x +1=0 (D ) x 4+x 3+x 2-x -1=0解：ω5+1=0，故ω，ω3，ω7，ω9 都是方程x 5+1=0的根．x 5+1=(x +1)(x 4－x 3+x 2－x +1)=0．选B ．二．填空题（本题满分54分，每小题9分）1．arcsin(sin2000︒)=__________.解：2000°=180°×12－160°．故填－20°或－π9．2．设a n 是(3-x )n的展开式中x 项的系数(n=2，3，4，…)，则limn →∞(32a 2+33a 3+ (3)a n ))=________.解：a n =3n －2C 2n ．∴3k a k =2·323k －2n (n －1)=18n (n －1)，故填18．3．等比数列a +log 23，a +log 43，a +log 83的公比是____________.解：q=a +log 43a +log 23=a +log 83a +log 43=(a +log 43)－(a +log 83)(a +log 23)－(a +log 43)=log 43－log 83log 23－log 43=13．填13．4．在椭圆x 2a 2+y 2b2=1 (a ＞b ＞0)中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为B .若该椭圆的离心率是5－12，则∠ABF=_________. 解：c=5－12a ，∴|AF |=5+12a ．|BF |=a ，|AB |2=|AO |2+|OB |2=5+32a 2．故有|AF |2=|AB |2+|BF |2．即∠ABF=90°．填90°．或由b 2=a 2－c 2=5－12a 2=ac ，得解．5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积是________.解：取球心O 与任一棱的距离即为所求．如图，AE=BE=32a ，AG=63a ，AO=64a ，BG=33a ，AB ∶AO=BG ∶OH ．OH=AO ·BG AB =24a ．V=43πr 3=224πa 3．填224πa 3．．6．如果：(1)a ，b ，c ，d 都属于{1，2，3，4}； (2)a ≠b ，b ≠c ，c ≠d ，d ≠a ；(3)a 是a ，b ，c ，d 中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数____abcd 的个数是_________解：a 、c 可以相等，b 、d 也可以相等．⑴ 当a 、c 相等，b 、d 也相等时，有C 24=6种； ⑵ 当a 、c 相等，b 、d 不相等时，有A 23+A 22=8种； ⑶ 当a 、c 不相等，b 、d 相等时，有C 13C 12+C 12=8种；⑷ 当a 、c 不相等，b 、d 也不相等时，有A 33=6种；共28种．填28．三、解答题(本题满分60分，每小题20分)1．设S n =1+2+3+…+n ，n ∈N *，求f (n )=S n(n +32)S n +1的最大值．解：S n =12n (n +1)，f (n )= n (n +1)(n +32)(n +1)(n +2) = 1n +64n +34≤150．(n=8时取得最大值)．2．若函数f (x )=－12x 2+132在区间[a ，b ]上的最小值为2a ，最大值为2b ，求[a ，b ]．解：⑴ 若a ≤b <0，则最大值为f (b )=－12b 2+132=2b ．最小值为f (a )=－12a 2+132=2a ．即a ，b 是方程x 2+4x－13=0的两个根，而此方程两根异号．故不可能．⑵ 若a <0<b ，当x=0时，f (x )取最大值，故2b=132，得b=134．当x=a 或x=b 时f (x )取最小值，①f (a )=－12a 2+132=2a 时．a=－2±17，但a <0，故取a=－2－17．由于|a |>|b |，从而f (a )是最小值．②f (b )=－12b 2+132=3932=2a >0．与a <0矛盾．故舍．⑶ 0≤a <b ．此时，最大值为f (a )=2b ，最小值为f (b )=2a ．∴ －12b 2+132=2a ．－12a 2+132=2b ．相减得a +b=4．解得a=1，b=3．∴ [a ，b ]=[1，3]或[－2－17，134]．3．已知C 0：x 2+y 2=1和C 1：x 2a 2+y 2a2=1 (a ＞b ＞0)．试问：当且仅当a ，b 满足什么条件时，对C 1上任意一点P ，均存在以P 为顶点，与C 0外切，与C 1内接的平行四边形？并证明你的结论．解：设PQRS 是与C 0外切且与C 1内接的平行四边形．易知圆的外切平行四边形是菱形．即PQRS 是菱形．于是OP ⊥OQ ．设P (r 1cos θ，r 1sin θ)，Q (r 2cos(θ+90°)，r 2sin(θ+90°)，则在直角三角形POQ 中有r 12+r 22=r 12r 22(利用△POQ 的面积)．即1r 21+1r 22=1．但r 21cos 2θa 2+r 22sin 2θb 2=1，即1r 21=cos 2θa 2+sin 2θb 2，同理，1r 22=sin 2θa 2+cos 2θb 2，相加得1a 2+1b 2=1．反之，若1a 2+1b2=1成立，则对于椭圆上任一点P (r 1cos θ，r 1sin θ)，取椭圆上点Q (r 2cos(θ+90°)，r 2sin(θ+90°)，则1r 21=cos 2θa 2+sin 2θb 2，，1r 22=sin 2θa 2+cos 2θb 2，，于是1r 21+1r 22=1a 2+1b2=1，此时PQ 与C 0相切．即存在满足条件的平行四边形．故证．第二试一．（本题满分50分）如图，在锐角三角形ABC 的BC 边上有两点E 、F ，满足∠BAE=∠CAF ，作FM ⊥AB ，FN ⊥AC （M 、N 是垂足），延长AE 交三角形ABC 的外接圆于D ．证明：四边形AMDN 与三角形ABC 的面积相等．证明：连MN ，则由FM ⊥AM ，FN ⊥AN 知A 、M 、F 、N 四点共圆，且该圆的直径为AF ．又∠AMN=∠AFN ，但∠F AN=∠MAD ，故∠MAD +∠AMN=∠F AN +∠AFN=90︒．∴MN ⊥AD ，且由正弦定理知，MN=AF sin A ．∴S AMDN =12 AD ·MN=12AD ·AF sin A ．连BD ，由∠ADB=∠ACF ，∠DAB=∠CAF ，得⊿ABD ∽⊿AFC ． ∴ AD ∶AB=AC ∶AF ，即AD ·AF=AB ·AC ．∴ S AMDN =12 AD ·AF sin A=12AB ·AC sin A=S ABC ．二．（本题满分50分）设数列{a n }和{b n }满足a 0=1，a 1=4，a 2=49，且⎩⎨⎧a n +1=7a n +6b n －3，b n +1=8a n +7b n －4．n=0，1，2，…… 证明a n （n=0，1，2，…）是完全平方数．证明 ⑴×7：7a n +1=49a n +42b n －21， ⑵×6：6b n +1=48a n +42b n －24．两式相减得，6b n +1－7a n +1=－a n －3，即6b n =7a n －a n －1－3．代入⑴：a n +1=14a n －a n －1－6．故a n +1－12=14(a n －12)－(a n －1－12)．其特征方程为x 2－14x +1=0，特征方程的解为x=7±43．故a n =α(7+43)n +β(7－43)n +12,现a 0=1，a 1=4，a 2=49．解得α=β=14．A B C DE MN F∴ a n =14(7+43)n +14(7－43)n +12=14(2+3)2n +14(2－3)2n +12=[12(2+3)n +12(2－3)n ]2．由于[12(2+3)n +12(2－3)n ]是整数，故知a n 是整数的平方．即为完全平方数．三．（本题满分50分）有n 个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意n －2个人之间通电话的次数相等，都是3 k 次，其中k 是自然数，求n 的所有可能值．解：由条件知，统计各n －2人组的通话次数都是3k 次，共有Cn －2n =C 2n 个n －2人组，若某两人通话1次，而此二人共参加了C n －4n －2= C 2n －2个n －2人组，即每次通话都被重复计算了C 2n －2次．即总通话次数应为n (n －1)(n －2)(n －3)·3k 次．由于(n －1，n －2)=1，故n －2|n ∙3k ．若n －2|n ，故n －2|2，易得n=4，(n=3舍去)此时k=0．由n －2|3k ，n=3m +2，(m 为自然数，且m ≤k )，此时n (n －1)(n －2)(n －3)·3k =(3m +2)(3m +1)3m (3m －1)·3k=[3m +4+63m －1]·3k －m ，即3m －1|6．∴ m=0，1．当m=0时，n=3(舍去)，当m=1时，n=5．又：n=4时，每两个人通话次数一样，可为1次(任何两人都通话1次)；当n=5时，任何两人都通话1次．均满足要求． ∴ n=0，5．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

2000年全国高中数学联赛试题及答案

2000年全国高中数学联赛试题一、选择题1.设全集是实数，若{}{}2201010x x A B x −=≤==，，则B A 是（） (A){}2 (B){}1− (C){}2x x ≤ (D)∅2. 设sin 0,cos 0a a ><，且sin cos 33a a >，则3α的取值范围是（） (A)2,2,63k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z (B)22,,3633k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z (C)52,2,6k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z (D)52,22,2,436k k k k k ππππππππ⎛⎫⎛⎫++++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z3. 已知点A 为双曲线221x y −=的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是（）(A)33(B)233 (C) (D)4. 给定正数p ,q ,a ,b ,c ，其中p q ≠，若p ,a ,q 是等比数列，p ,b ,c ,q 是等差数列，则一元二次方程220bx ax c −+=（）(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根答案：D ．解：2≤得2x =，故{}2A =；由221010x x −=得220x x −−=，故{}12B =−，.所以A B =∅．答案：D ．解：由sin 0α>，cos 0α<得2,2,2k k k παπππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭Z 从而有22,,33633k k k αππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭Z ………………① 又因为sin cos 33αα>，所以又有3α∈52,2,344k k k αππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭Z …………② 如上图所示，是①、②同时成立的公共部分为52,22,2,436k k k k k ππππππππ⎛⎫⎛⎫++++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z ．答案：C ．解：如图所示，设BD t =，则1OD −，从而()1,B t t − 满足方程221x y −=，可以得到t 所以等边三角形，ΔABC 的面积是。

2000年全国高中数学联赛试卷及详细解析

2000年全国高中数学联赛试题第一试（10月15日上午8:00-9:40）一、选择题本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1．设全集是实数，若A ={x |2-x ≤0}，B ={x |2210-x=x 10},则B A 是（）(A) {2} (B) {-1} (C) {x |x ≤2} (D) ∅2．设sin α＞0,cos α＜0,且sin3α＞cos 3α,则3α的取值范围是（） (A) (2k π+6π,2k π+3π), k ∈Z (B) (32πk +6π,32πk +3π),k ∈Z(C)(2k π+65π,2k π+π),k ∈Z (D)(2k π+4π,2k π+3π) (2k π+65π,2k π+π),k ∈Z3．已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是（）(A)33 (B) 233 (C) 33 (D) 63 4．给定正数p ,q ,a ,b ,c ，其中p ≠q ，若p ,a ,q 是等比数列，p ,b ,c ,q 是等差数列，则一元二次方程bx 2-2ax +c =0 （）(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5435+=x y 的距离中的最小值是 (A)17034 (B) 8534 (C) 201 (D) 301（） 6．设5sin5cosππωi +=，则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是（）(A) x 4+x 3+x 2+x +1=0 (B) x 4-x 3+x 2-x +1=0(C) x 4-x 3-x 2+x +1=0 (D) x 4+x 3+x 2-x -1=0二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

全国高中数学联赛试题

）．
8．设ａｎ是（3－）ｎ的展开式中ｘ项的系数（ｎ＝2，3，4，…），则
＝_______．
9．等比数列ａ＋ｌｏｇ23，ａ＋ｌｏｇ43，ａ＋ｌｏｇ83 的公比是______． 10．在椭圆ｘ2／ａ2＋ｙ2／ｂ2＝1（ａ＞ｂ＞0）中，记左焦点为 F，右顶点为 A，短轴上方的端点为 B．若该椭
圆的离心率是
2
（A）y=sin|x|
（B）y=cos|x|
（C）y=|ctgx|
（D）y=lg|sinx|
4、如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k 的⊿ABC 恰有一个，那么 k 的取值范围是
（A）k=8 3
（B）0<k≤12
（C）2
（D）0＜ｋ≤12 或 k 8 3
5．若（1＋ｘ＋ｘ2）1000 的展开式为ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋…＋ａ2000ｘ2000，
4
ＢＣ的面积是（
）．
Ａ．／3
Ｂ．3 ／2
Ｃ．3
Ｄ．6
4．给定正数ｐ，ｑ，ａ，ｂ，ｃ，其中ｐ≠ｑ．若ｐ，ａ，ｑ是等比数列，ｐ，ｂ，ｃ，ｑ是等差数列，则一
元二次方程ｂｘ2－2ａｘ＋ｃ＝0（
）．
Ａ．无实根
Ｂ．有两个相等实根
Ｃ．有两个同号相异实根
Ｄ．有两个异号实根
5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线ｙ＝5／3ｘ＋4／5 的距离中的最小值是（
二．填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分） 1．arcsin(sin2000)=__________．
2．设 an 是(3
x)n 的展开式中 x 项的系数(n=2，3，4，…)，则 lim (32+33+…+ 3n ))=________. n→∞ a2 a3 an

2年全国高中数学联赛试题及解答

2000年全国高中数学联合竞赛试卷（10月15日上午8:00?9:40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．设全集是实数，若A={x|≤0}，B={x|10=10x}，则A∩?R B是()(A){2}(B){?1}(C){x|x≤2}(D)?2．设sin?＞0，cos?＜0，且sin＞cos，则的取值范围是()(A)(2k?+，2k?+)，k?Z(B)(+，+)，k?Z(C)(2k?+，2k?+?)，k?Z(D)(2k?+，2k?+)∪(2k?+，2k?+?)，k?Z3．已知点A为双曲线x2?y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC的面积是()(A)(B)(C)3(D)64．给定正数p，q，a，b，c，其中p?q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q 是等差数列，则一元二次方程bx2?2ax+c=0()(A)无实根(B)有两个相等实根(C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最小值是()(A)(B)(C)(D)6．设ω=cos+i sin，则以?，?3，?7，?9为根的方程是()(A)x4+x3+x2+x+1=0(B)x4?x3+x2?x+1=0(C)x4?x3?x2+x+1=0(D)x4+x3+x2?x?1=0二．填空题（本题满分54分，每小题9分）1．arcsin(sin2000?)=__________．2．设a n是(3?)n的展开式中x项的系数(n=2，3，4，…)，则(++…+))=________.3．等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是____________.4．在椭圆+=1(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________.5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________.6．如果：(1)a，b，c，d都属于{1，2，3，4}；(2)a?b，b?c，c?d，d?a；(3)a是a，b，c，d中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________三、解答题(本题满分60分，每小题20分)1．设S n=1+2+3+…+n，n?N*，求f(n)=的最大值．2．若函数f(x)=－x2+在区间[a，b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a，b]．3．已知C0：x2+y2=1和C1：+=1(a＞b＞0)．试问：当且仅当a，b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为顶点，与C0外切，与C1内接的平行四边形？并证明你的结论．2000年全国高中数学联赛二试题（10月15日上午10∶00-12∶00）一．（本题满分50分）如图，在锐角三角形ABC 的BC 边上有两点E 、F ，满足∠BAE=∠CAF ，作FM ⊥AB ，FN ⊥AC （M 、N 是垂足），延长AE 交三角形ABC 的外接圆于D ．证明：四边形AMDN 与三角形ABC 的面积相等．二．（本题满分50分）设数列{a n }和{b n }满足a 0=1，a 1=4，a 2=49，且n=0，1，2，……证明a n （n=0，1，2，…）是完全平方数．三．（本题满分50分）有n 个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意n －2个人之间通电话的次数相等，都是3k次，其中k 是自然数，求n 的所有可能值．2000年全国高中数学联合竞赛试题解答第一试一．选择题（本题满分36分，每小题6分）1．设全集是实数，若A={x |≤0}，B={x |10=10x }，则A ∩?R B 是() (A ){2}(B ){?1}(C ){x |x ≤2}(D )? 解：A={2}，B={2，－1}，故选D ．2．设sin ?＞0，cos ?＜0，且sin ＞cos ，则的取值范围是() (A )(2k ?+，2k ?+)，k ?Z (B )(+，+)，k ?Z(C )(2k ?+，2k ?+?)，k ?Z (D )(2k ?+，2k ?+)∪(2k ?+，2k ?+?)，k ?Z解：满足sin ?＞0，cos ?＜0的α的范围是(2k ?+，2k ?+π)，于是的取值范围是(+，+)，满足sin ＞cos 的的取值范围为(2k ?+，2k ?+)．故所求范围是(2k ?+，2k ?+)∪(2k ?+，2k ?+?)，k ?Z ．选D ．3．已知点A 为双曲线x 2?y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是()(A )(B )(C )3(D )6 解：A (－1，0)，AB 方程：y=(x +1)，代入双曲线方程，解得B (2，)，∴S=3．选C ．4．给定正数p ，q ，a ，b ，c ，其中p ?q ，若p ，a ，q 是等比数列，p ，b ，c ，q 是等差数列，则一元二次方程bx 2?2ax +c=0()(A )无实根(B )有两个相等实根(C )有两个同号相异实根(D )有两个异号实根解：a 2=pq ，b +c=p +q ．b=，c=；△=a 2－bc=pq －(2p +q )(p +2q )=－(p －q )2<0．选A ．5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x +的距离中的最小值是() (A )(B )(C )(D )A CBy x OA B C DE FM N解：直线即25x －15y +12=0．平面上点(x ，y )到直线的距离==．∵5x －3y +2为整数，故|5(5x －3y +2)+2|≥2．且当x=y=－1时即可取到2．选B ． 6．设ω=cos+i sin ，则以?，?3，?7，?9为根的方程是() (A )x 4+x 3+x 2+x +1=0(B )x 4?x 3+x 2?x +1=0 (C )x 4?x 3?x 2+x +1=0(D )x 4+x 3+x 2?x ?1=0 解：ω5+1=0，故?，?3，?7，?9都是方程x 5+1=0的根．x 5+1=(x +1)(x 4－x 3+x 2－x +1)=0．选B ．二．填空题（本题满分54分，每小题9分）1．arcsin(sin2000?)=__________.解：2000°=180°×12－160°．故填－20°或－． 2．设a n 是(3?)n 的展开式中x 项的系数(n=2，3，4，…)，则(++…+))=________. 解：a n =3n －2C ．∴==，故填18．3．等比数列a +log 23，a +log 43，a +log 83的公比是____________. 解：q=====．填．4．在椭圆+=1(a ＞b ＞0)中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为B .若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________.解：c=a ，∴|AF |=a ．|BF |=a ，|AB |2=|AO |2+|OB |2=a 2．故有|AF |2=|AB |2+|BF |2．即∠ABF=90°．填90°．或由b 2=a 2－c 2=a 2=ac ，得解．5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积是________.解：取球心O 与任一棱的距离即为所求．如图，AE=BE=a ，AG=a ，AO=a ，BG=a ，AB ∶AO=BG ∶OH ． OH==a ．V=πr 3=πa 3．填πa 3．．6．如果：(1)a ，b ，c ，d 都属于{1，2，3，4}； (2)a ?b ，b ?c ，c ?d ，d ?a ；(3)a 是a ，b ，c ，d 中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________解：a 、c 可以相等，b 、d 也可以相等．⑴当a 、c 相等，b 、d 也相等时，有C=6种； ⑵当a 、c 相等，b 、d 不相等时，有A +A=8种； ⑶当a 、c 不相等，b 、d 相等时，有CC +C=8种；⑷当a 、c 不相等，b 、d 也不相等时，有A=6种；共28种．填28．三、解答题(本题满分60分，每小题20分)1．设S n =1+2+3+…+n ，n ?N *，求f (n )=的最大值．解：S n =n (n +1)，f (n )==+34)≤错误！未指定书签。

2000年全国高中数学联合竞赛试题及解答.

5 1 a ， ∴ 2
AF
5 1 a ． 2
BF a ，由
AB AO BO
2 2
2
2
2
5 3 2 2 2 2 a ．故有 AF AB BF |AF|2=|AB|2+|BF|2．即 ABF 90 0 . 2
2
本题也可以由 b a c
5 1 2 a ac ，解得． 2
2000 年全国高中数学联合竞赛试题第 4 页共 7 页
1 2
2
13 2b ．最小值为 2
a 0 矛盾．故舍．
⑶ 0 a b ．此时，最大值为 f ( a ) 2b ，最小值为 f (b) 2a ．
1 2 13 b 2 2 a ∴ 2 ．两式相减得 a b 4 ．解得 a 1, b 3 ． 1 13 a 2 2b 2 2
3 1 1 1 2 2 2
Sn 的最大值． (n 32) S n 1 n(n 1) n(n 1) ，得 f ( n) 2 (n 32)(n 1)(n 2) 1 1 =． 64 50 n 34 n
★解析：由题意得 S n
(当 n 8 时 f ( n) 取得最大值)． 2000*14、（本题满分 20 分）若函数 f ( x ) 求 a, b ． ★解析：⑴
∴ 符合条件的 a, b 有 1,3 或 17 ,

13 ． 4
x2 y2 2000*15、（本题满分 20 分）已知 C 0 : x y 1 和 C1 : 2 2 1 ( a b 0 )．试问：当且仅当 a b
2 2
a, b 满足什么条件时，对 C1 上任意一点 P ，均存在以 P 为顶点，与 C 0 外切，与 C1 内接的平行四边

全国高中数学联赛试题

B
A
M
N
EF
C
二．（本题满分 50 分）
D
设数列{a n}和{b n }满足 a0=1，a1=4，a2=49，且
an+1=7an+6bn－3， bn+1=8an+7bn－4．n=0，1，2，……
证明 a n（n=0，1，2，…）是完全平方数．
三．（本题满分 50 分）有 n 个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意 n－2 个人之间通电话的次数相等，都是 3 k 次，
2
（A）y=sin|x|
（B）y=cos|x|
（C）y=|ctgx|
（D）y=lg|sinx|
4、如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k 的⊿ABC 恰有一个，那么 k 的取值范围是
（A）k=8 3
（B）0<k≤12
（C）2
（D）0＜ｋ≤12 或 k 8 3
5．若（1＋ｘ＋ｘ2）1000 的展开式为ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋…＋ａ2000ｘ2000，
4
ＢＣ的面积是（
）．
Ａ．／3
Ｂ．3 ／2
Ｃ．3
Ｄ．6
4．给定正数ｐ，ｑ，ａ，ｂ，ｃ，其中ｐ≠ｑ．若ｐ，ａ，ｑ是等比数列，ｐ，ｂ，ｃ，ｑ是等差数列，则一
元二次方程ｂｘ2－2ａｘ＋ｃ＝0（
）．
Ａ．无实根
Ｂ．有两个相等实根
Ｃ．有两个同号相异实根
Ｄ．有两个异号实根
5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线ｙ＝5／3ｘ＋4／5 的距离中的最小值是（
3
二○○一年全国高中数学联合竞赛加试试题
（10 月 4 日上午 10：00—12：00）
学生注意：1、本试卷共有三大题，全卷满分 150 分。

2000年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案

2000年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案佚名【期刊名称】《中学数学》【年(卷),期】2000(000)012【摘要】选择题(本题满分36分,每小题6分)1.设全集是实数集,若A={x|x-2≤0},B={x|10x2-2=10x},则A∩B是( ). (A){2} (B){-1} (C){x|x≤2}(D)解由x-2≤0得x=2,故A={2};由10x2-2=10x得x2-x-2=0,故B={-1,2}.所以A∩B=.故选(D).2.设sinα>0,cosα<0,且sinα3>cosα3,则α3的取值范围是( ). (A)(2kπ+π6,2kπ+π3),k∈Z(B)(2kπ3+π6,2kπ3+π3),k∈Z(C)(2kπ+5π6,2kπ+π),k∈Z(D)(2kπ+π4,2kπ+π3)∪(2kπ+5π6,2kπ+π),k∈Z 解由2kπ+π2<α<2kπ+π得2kπ3+π6<α3<2kπ3+π3,k∈Z.又sinα3>cosα3,所以又有2kπ+π4<α3<2kπ+5π4,k∈Z.此两式的公共部分为(2kπ+π4,2kπ+π3)∪(2kπ+5π6,2kπ+π),k∈Z.故选(D).3.已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点,点B和点C在双曲线的右分支上,△ABC是等边三角形,则△ABC的面积是( ).(A...【总页数】4页(P)【正文语种】中文【中图分类】G63【相关文献】1.2002年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案 [J],2.2000年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案 [J], 李名德3.2006年全国高中数学联合竞赛试题参考答案(试题见上期) [J],4.《2002年全国高中数学联合竞赛试题》参考答案 [J], 无5.《2002年全国高中数学联合竞赛加试试题》参考答案 [J], 无因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

2000年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案

n- 2 解由二项式定理知, a n = C 2 n�3 , 因此 n 2 3 3 ×2 1 1
于是 r = O E =
= 3 2 a 8
OB 2 - B E 2 1 2 1 a = a, 4 2 2
an
2
n→∞
=
n (n 3
= 18 ( 1) nn
1
-
n
),
3 3 3 ) lim ( + + …+ a2
4 3 6
故选 (D ). 3 . 已知点A 为双曲线 x 2 - y 2 = 1 的左顶点, 点 B 和点 C 在双曲线的右分支上, △ A B C 是等边三角形, 则 △A BC 的面积是 ( ).
(A ) 3 (C ) 3 3 (D ) 6 3 2 解设点B 在 x 轴上方, 由 △AB C 是等边三角 3 3
(B )
3
形得直线A B 的斜率 k = 点, 故方程为 y =
x2 3 3 x +
3 3
, 又直线过A (3 3
1, 0)
. 代入双曲线方程 3 ). 同理可得,
+ isin , 则以 Ξ, Ξ3 , Ξ7 , Ξ9 5 5 为根的方程是 ( ). (A ) x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = 0 (B ) x 4 - x 3 + x 2 - x + 1 = 0 (C ) x 4 - x 3 - x 2 + x + 1 = 0 (D) x 4 + x 3 + x 2 - x - 1 = 0 2Π 2Π 解由 Ξ= cos + isin 知, Ξ, Ξ2 , Ξ3 , …, Ξ10 10 10 (= 1 ) 是 1 的 10 个 10 次方根 . (x - Ξ) (x - Ξ2 ) (x - Ξ3 ) … (x - Ξ10 ) = x 10 - 1. ① 又 Ξ2 , Ξ4 , Ξ6 , Ξ8 , Ξ10 是 1 的 5 个 5 次方根, 故 (x - Ξ2 ) (x - Ξ4 ) (x - Ξ6 ) (x - Ξ8 ) (x - Ξ10 ) = x5 - 1 . ② 6 .

2000年全国高中数学联赛试题

第一试（10月15日上午8:00-9:40）一、选择题本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1．设全集是实数，若A ={x |2-x ≤0}，B ={x |2210-x=x 10},则B A 是【答】（）(A) {2} (B) {-1} (C) {x |x ≤2} (D) ∅ 2．设sin α＞0,cos α＜0,且sin 3α＞cos3α,则3α的取值范围是【答】（）(A) (2k π+6π,2k π+3π), k ∈Z (B) (32πk +6π,32πk +3π),k ∈Z(C)(2k π+65π,2k π+π),k ∈Z (D)(2k π+4π,2k π+3π) (2k π+65π,2k π+π),k ∈Z3．已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是【答】（） (A)33 (B) 233 (C) 33 (D) 63 4．给定正数p ,q ,a ,b ,c ，其中p ≠q ，若p ,a ,q 是等比数列，p ,b ,c ,q 是等差数列，则一元二次方程bx 2-2ax +c =0 【答】（） (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根 5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5435+=x y 的距离中的最小值是 (A)17034 (B) 8534 (C) 201 (D) 301【答】（） 6．设5sin5cosππωi +=，则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是【答】（）(A) x 4+x 3+x 2+x +1=0 (B) x 4-x 3+x 2-x +1=0 (C) x 4-x 3-x 2+x +1=0 (D) x 4+x 3+x 2-x -1=0二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

2000年全国高中数学联合竞赛试卷及参考

2000年全国高中数学联合竞赛试卷及参考答案（10月15日上午8:00-9:40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．设全集是实数，若A ={x |2-x ≤0}，B ={x |2210-x =x 10},则B A 是( )(A){2} (B){-1} (C){x |x ≤2} (D)∅2．设sin α＞0,cos α＜0,且sin 3α＞cos 3α,则3α的取值范围是( ) (A)(2k π+6π,2k π+3π), k ∈Z (B)(32πk +6π,32πk +3π),k ∈Z (C)(2k π+65π,2k π+π),k ∈Z (D)(2k π+4π,2k π+3π) (2k π+65π,2k π+π),k ∈Z 3．已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是( ) (A)33 (B)233 (C)33 (D)63 4．给定正数p ,q ,a ,b ,c ，其中p ≠q ，若p ,a ,q 是等比数列，p ,b ,c ,q 是等差数列，则一元二次方程bx 2-2ax +c =0( )(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5435+=x y 的距离中的最小值是( ) (A)17034 (B)8534 (C)201 (D)301 6．设5sin 5cosππωi +=，则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是( )(A)x 4+x 3+x 2+x +1=0 (B) x 4-x 3+x 2-x +1=0(C) x 4-x 3-x 2+x +1=0 (D) x 4+x 3+x 2-x -1=0 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．arcsin(sin2000︒)=__________.8．设a n 是(3-nx )的展开式中x 项的系数(n =2,3,4,…)，则nnn a a a 333(lim 3322+++∞→ )=________. 9．等比数列a +log 23,a +log 43,a +log 83的公比是____________.10．在椭圆12222=+b y a x (a ＞b ＞0)中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为B .若该椭圆的离心率是215-，则∠ABF =_________. 11．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积是________.12．如果：(1)a ,b ,c ,d 都属于{1,2,3,4};(2)a ≠b ,b ≠c ,c ≠d ,d ≠a ;(3)a 是a ,b ,c ,d 中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数abcd 的个数是_________.三、解答题(本题满分60分，每小题20分)13．设S n =1+2+3+…+n ,n ∈N ，求f (n )=1)32(++n n S n S 的最大值.14．若函数21321)(2+-=x x f 在区间[a ,b ]上的最小值为2a ，最大值为2b ，求[a ,b ].15．已知C 0:x 2+y 2=1和C 1:12222=+by a x (a ＞b ＞0)。

2000年全国高中数学联赛试题及答案

1．设全集是实数，若A ={x |2-x ≤0}，B ={x |2210-x=x 10},则B A 是【答】（）(A) {2} (B) {-1} (C) {x |x ≤2} (D) ∅ 2．设sin α＞0,cos α＜0,且sin3α＞cos 3α,则3α的取值范围是【答】（） (A) (2k π+6π,2k π+3π), k ∈Z (B) (32πk +6π,32πk +3π),k ∈Z(C)(2k π+65π,2k π+π),k ∈Z (D)(2k π+4π,2k π+3π) (2k π+65π,2k π+π),k ∈Z3．已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是【答】（）(A)33 (B) 233 (C) 33 (D) 63 4．给定正数p ,q ,a ,b ,c ，其中p ≠q ，若p ,a ,q 是等比数列，p ,b ,c ,q 是等差数列，则一元二次方程bx 2-2ax +c =0 【答】（）(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5435+=x y 的距离中的最小值是 (A)17034 (B) 8534 (C) 201 (D) 301【答】（） 6．设5sin5cosππωi +=，则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是【答】（）(A) x 4+x 3+x 2+x +1=0 (B) x 4-x 3+x 2-x +1=0 (C) x 4-x 3-x 2+x +1=0 (D) x 4+x 3+x 2-x -1=0二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

全国高中数学联赛试题汇编

2000年全国高中数学联合竞赛试卷及参考答案（10月15日上午8:00-9:40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．设全集是实数，若A ={x |2-x ≤0}，B ={x |2210-x =x 10},则B A I 是( )(A){2} (B){-1} (C){x |x ≤2}(D)∅2．设sin α＞0,cos α＜0,且sin 3α＞cos 3α,则3α的取值范围是( ) (A)(2k π+6π,2k π+3π), k ∈Z (B)(32πk +6π,32πk +3π),k ∈Z (C)(2k π+65π,2k π+π),k ∈Z (D)(2k π+4π,2k π+3π)Y (2k π+65π,2k π+π),k ∈Z 3．已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是( ) (A)33 (B)233 (C)33 (D)634．给定正数p ,q ,a ,b ,c ，其中p ≠q ，若p ,a ,q 是等比数列，p ,b ,c ,q 是等差数列，则一元二次方程bx 2-2ax +c =0( )(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5435+=x y 的距离中的最小值是( ) (A)17034 (B)8534 (C)201 (D)301 6．设5sin 5cos ππωi +=，则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是( )(A)x 4+x 3+x 2+x +1=0 (B) x 4-x 3+x 2-x +1=0(C) x 4-x 3-x 2+x +1=0 (D) x 4+x 3+x 2-x -1=0二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7． arcsin(sin2000︒)=__________.8．设a n 是(3-n x )的展开式中x 项的系数(n =2,3,4,…)，则nnn a a a 333(lim 3322+++∞→Λ)=________. 9．等比数列a +log 23,a +log 43,a +log 83的公比是____________.10．在椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为B .若该椭圆的离心率是215-，则∠ABF =_________. 11．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积是________.12．如果：(1)a ,b ,c ,d 都属于{1,2,3,4};(2)a ≠b ,b ≠c ,c ≠d ,d ≠a ;(3)a 是a ,b ,c ,d 中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数abcd 的个数是_________.三、解答题(本题满分60分，每小题20分)13．设S n =1+2+3+…+n ,n ∈N ，求f (n )=1)32(++n n S n S 的最大值.14．若函数21321)(2+-=x x f 在区间[a ,b ]上的最小值为2a ，最大值为2b ，求[a ,b ].15．已知C 0:x 2+y 2=1和C 1:12222=+b y a x (a ＞b ＞0)。

2000年全国高中数学联赛试题

2000年全国高中数学联赛试题第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．设全集是实数，若A={x|√(x-2)≤0}，B={x|10x2 - 2= 10x},则A∩B是()(A){2}(B){-1}(C){x|x≤2}(D)空集[注：√表示根号]2．设sina＞0,cosa＜0,且sin(a/3)＞cos(a/3),则a/3的取值范围是()(A)(2kπ+π/6,2kπ+π/3),k∈Z(B)(2kπ+π/6,2kπ－π/3),k∈Z(C)(2kπ+5π/6,2kπ+π),k∈Z(D)(2kπ+π/4,2kπ+π/3)∪(2kπ+5π/6,2kπ+π),k∈Z3．已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是()(A)√3/3(B)3√3/2(C)3√3(D)6√34．给定正数p,q,a,b,c，其中p≠q，若p,a,q是等比数列，p,b,c,q是等差数列，则一元二次方程bx2-2ax+c=0()(A)无实根(B)有两个相等实根(C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=(5/3)x+4/5的距离中的最小值是()(A)√34/170(B)√34/85(C)1/20(D)1/306．设ω = cos(π/5)+isin(π/5)，则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是()(A)x4+x3+x2+x+1=0(B) x4-x3+x2-x+1=0(C) x4-x3-x2+x+1=0(D) x4+x3+x2-x-1=0二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．arcsin(sin2000°)=__________.8．设an是(3-√x)n的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…)，则(32/a2+33/a3+…+3n/an)的极限=________.9．等比数列a + log23,a + log43,a + log83的公比是____________.10．在椭圆x2/a2+y2/b2(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是(√5- 1)/2，则∠ABF=____.11．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________.12．如果：(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4}；(2)a≠b,b≠c,c≠d,d≠a；(3)a是a,b,c,d中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________.三、解答题(本题满分60分，每小题20分)13．设Sn=1+2+3+…+n，求f(n)=Sn/((n+32)Sn+1)的最大值.14．若函数f(x)=(-1/2)x2+13/2在区间[a,b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a,b].15．已知C0:x2+y2=1和C1:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)。

2000年全国高中数学联赛试题2

二○○二年全国高中数学联赛试卷（10月13日上午8:00-9:40）一、选择题(本题满分36分，每小题6分) 1．函数f(x)＝21log (x 2－2x －3)的单调递增区间是(A)（－∞,－1) (B)(－∞,1) (C)(1,＋∞) (D)(3,＋∞) 2．若实数x,y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝142，则x 2＋y 2的最小值为(A)2 (B)1 (C)3 (D)2 3．函数f(x)＝221xx x -- (A)是偶函数但不是奇函数 (B)是奇函数但不是偶函数 (C)既是偶函数又是奇函数 (D)既不是偶函数也不是奇函数4．直线34yx +＝1与椭圆191622=+y x 相交于A 、B 两点，该椭圆上点P ，使得△PAB 面积等于3，这样的点P 共有(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个5．已知两个实数集合A ＝{a 1,a 2,…,a 100}与B ＝{b 1,b 2,…,b 50}，若从A 到B 的映射f 使得B 中每个元素都有原象，且f(a 1)≤f(a 2)≤…≤f(a 100) 则这样的映射共有(A)50100C (B) 5099C (C) 49100C (D) 4999C6．由曲线x 2＝4y, x 2＝-4y, x ＝4, x ＝-4围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为V 1，满足x 2＋y 2≤16, x 2＋(y -2)2≥4, x 2＋(y ＋2)2≥4的点(x,y)组成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为V 2，则 (A)V 1＝21V 2 (B)V 1＝32V 2 (C)V 1＝V 2 (D)V 1＝2V 2 二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7．已知复数Z 1、Z 2满足|Z 1|＝2，|Z 2|＝3，若它们对应的向量的夹角为60︒, 则||||2121Z Z Z Z -+＝_____.8．将二项式n xx )21(4+的展开式按x 的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x 的幂指数是整数的项共有_______个.9．如图，点P 1、P 2、…、P 10分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组(P 1、P i 、P j 、P k )(1<i<j<k ≤10)有_______个.10．已知f(x)是定义在R 上的函数，f(1)＝1且对任意x ∈R都有f(x ＋5)≥f(x)＋5 f(x ＋1)≤f(x)＋1 若g(x)＝f(x)＋1-x, 则g(2002)＝__________.11．若log 4(x ＋2y)＋log 4(x -2y)＝1，则|x|-|y|的最小值是__________.12．使不等式sin 2x ＋acosx ＋a 2≥1＋cosx 对一切x ∈R 恒成立的负数a 的取值范围是________．三、解答题(本题满分60分，每小题20分)13．已知点A(0,2)和抛物线y 2＝x ＋4上两点B 、C 使得AB⊥BC ，求点C 的纵坐标的取值范围．14．如图，有一列曲线P 0，P 1，P 2，……．已知P 0所围成的图形是面积为1的正三角形，P k ＋1是对P k 进行如下操作得到：将P k 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（k ＝0,1,2,…）. 记S n 为曲线P n 所围成图形的面积． (1)求数列{S n }的通项公式； (2)求∞→n lim S n ．…………P 0 P 1 P 2 15．设二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 满足条件：P 8P P 9((1)当x∈R时，f(x-4)＝f(2-x), 且f(x)≥x;(2)当x∈(0,2)时, f(x)≤221⎪⎭⎫⎝⎛+x;(3)f(x)在R上的最小值为0；求最大的m(m＞1)，使得存在t∈R，只要x∈[1, m]，就有f(x＋t)≤x．二○○二年全国高中数学联赛加试试卷（10月13日上午10：00－12：00）考生注意：1、本试卷共三大题，全卷满分150分．2、卷面的第1页、第3页、第5页印有试题，第2页、第4页、第6页是空白页，留作答题用．3、用圆珠笔或钢笔作答．4、解题书写不要超出装订线．一．（本题满分50分）如图，在△ABC 中，∠A ＝60︒, AB ＞AC, 点O 是外心，两条高BE 、CF 交于H 点．点M 、N 分别在线段BH 、HF 上，且满足BM ＝CN ．求OHNHMH +的值．二．（本题满分50分）实数a,b,c 和正数λ使得f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有三个实根x 1,x 2,x 3, 且满足（1）x 2-x 1＝λ （2）x 3＞21(x 1＋x 2) 求339272λabc a -+的最大值．三．（本题满分50分）在世界杯足球赛前，F 国教练为了考察A 1,A 2,…,A 7这七名队员，准备让他们在三场训练比赛（每场90分钟）都上场．假设在比赛的任何时刻，这些BC队员中有且仅有一人在场上，并且A1,A2,A3,A4每人上场的总时间（以分钟为单位）均被7整除，A5,A6,A7每人上场的总时间（以分钟为单位）均被13整除．如果每场换人次数不限，那么按每名队员上场的总时间计算，共有多少种不同的情况．出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。

十全国高中数学联合竞赛试题及参考答案

2000年全国高中数学联赛试题第一试（10月15日上午8:009:40）一、选择题本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1．设全集是实数，若A ={x |2-x ≤0}，B ={x |2210-x =x 10},则B A I 是【答】（）2． (A) {2} (B) {1} (C) {x |x ≤2} (D) ∅3．设sin ＞0,cos ＜0,且sin3α＞cos 3α,则3α的取值范围是【答】（） 4． (A) (2k +6π,2k +3π), kZ (B) (32πk +6π,32πk +3π),kZ5． (C)(2k +65π,2k +),kZ (D)(2k +4π,2k +3π)Y (2k +65π,2k +),kZ6．已知点A 为双曲线x 2y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是【答】（）7． (A)33 (B) 233 (C) 33 (D) 63 8．给定正数p ,q ,a ,b ,c ，其中pq ，若p ,a ,q 是等比数列，p ,b ,c ,q 是等差数列，则一元二次方程bx 22ax +c =0 【答】（）9． (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根10．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5435+=x y 的距离中的最小值是11． (A)17034 (B) 8534 (C) 201 (D) 301【答】（） 12．设5sin5cosππωi +=，则以,3,7,9为根的方程是【答】（）(A) x 4+x 3+x 2+x +1=0 (B) x 4x 3+x 2x +1=0 (C) x 4x 3x 2+x +1=0 (D) x 4+x 3+x 2x 1=0二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

2000年全国高中数学联合竞赛试题及解答.

2000年全国高中数学联合竞赛一试一、选择题：本大题共68个小题，每小题6分，共36分。

2000*1、设全集是实数，若{}02|≤-=x x A ，{}x xx B 1010|22==-，则B C A R 是( )A.{}2B.{}1-C. {}2|≤x xD.φ ◆答案：D★解析：由题意得：A={2}，B={2，－1}，故选D ． 2000*2、设0sin >α，0cos <α，且3cos3sin αα>，则3α的取值范围是( ) A.⎪⎭⎫⎝⎛++32,62ππππk k ，Z k ∈ B. ⎪⎭⎫⎝⎛++332,632ππππk k ，Z k ∈ C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛++ππππk k 2,652，Z k ∈ D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛++32,42ππππk k ⎪⎭⎫⎝⎛++ππππk k 2,652 Z k ∈ ◆答案：D★解析：满足0sin >α，0cos <α的α的范围是⎪⎭⎫⎝⎛++ππππk k 2,22，于是3α的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛++332,632ππππk k ，满足3cos 3sin αα>的3α的取值范围为⎪⎭⎫ ⎝⎛++452,42ππππk k ．故所求范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛++32,42ππππk k ⎪⎭⎫⎝⎛++ππππk k 2,652 ，Z k ∈．选D ．2000*3、已知点A 为双曲线122=-y x 的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，若ABC ∆是等边三角形，则ABC ∆的面积是( ) A.33 B. 233 C. 33 D. 36 ◆答案：C★解析：由题意得()0,1-A ，AB 方程：()133+=x y ，代入双曲线方程，解得()3,2B ，33=S ,选C ．2000*4、给定正数c b a q p ,,,,，其中q p ≠，若q a p ,,是等比数列，q c b p ,,,是等差数列，则一元二次方程022=+-c ax bx ( )A.无实根B.有两个相等实根C.有两个同号相异实根D.有两个异号实根 ◆答案：A★解析：由题意得：pq a =2，q p c b +=+．32q p b +=，32q p c +=；0)(982<--=∆q p ，选A ．2000*5、平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5435+=x y 的距离中的最小值是( ) A.17034 B. 8534 C. 201 D. 301◆答案：B★解析：直线即0121525=+-y x ．平面上点()y x ,到直线的距离()34522355345121525++-=+-=y x y x d ．235+-y x 为整数，故()222355≥++-y x ．且当1-==y x 时即可取到2．选B ．2000*6、设5sin5cosππωi +=，则以973,,,ωωωω为根的方程是( )A.01234=++++x x x x B. 01234=+-+-x x x x C. 01234=++--x x x x D. 01234=--++x x x x◆答案：B★解析：由于015=+ω，故973,,,ωωωω都是方程015=+x 的根．又()()01112345=+-+-+=+x x x x x x ．选B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题9分，共54分。