数字信号处理第7章

第7章 有限长单位脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计方法7.1 学习要求1掌握线性相位FIR 滤波器的时域和频域特性，以及其零点分布规律； 2掌握线性相位的条件和特点、频率响应的特点；3掌握窗函数法设计线性相位FIR 滤波器的方法，以及窗函数对设计结果的影响； 4掌握频率采样法设计线性相位FIR 滤波器的原理及方法； 5了解FIR 滤波器和IIR 滤波器特点，并进行比较。

7.2 学习要点FIR 滤波器的优点：对)(n h 附加一些条件，就可以获得严格的线性相位；极点始终在单位圆内，系统永远稳定。

FIR 滤波器的缺点：FIR 的阶数较高，运算量大。

设计思路：选择有限长度)(n h ，即)(z H 的系数，使)(ωj e H 满足技术指标（幅度特性、线性相位）。

设计方法：由于)(n h 有限，)(z H 是多项式，设计方法与IIR 有很大不同。

主要有：窗函数法、频率采样法等。

7.2.1 线性相位FIR 滤波器的特点FIR 滤波器的单位脉冲响应()h n 是有限长的(01n N ≤≤-)，其z 变换为1()()N n n H z h n z --==∑ (7-1)在有限z 平面(0)z <<∞有(1)N -个零点，在0z =处，则有(1)N -阶极点。

1 线性相位条件FIR 滤波器的频率响应：1j j j ()0()()()N nn H e h n eH e ωωθωω--===∑其中j ()H e ω是幅度响应，j ()()H H e ωω=±，有两类准确的线性相位，满足()θωτω=-，()θωβτω=-。

FIR 滤波器具有线性相位的充要条件： (1) ()h n 是实数。

(2) ()h n 以(1)2n N =-为偶对称中心或奇对称中心，即)1()(n N h n h --±=。

2 线性相位特点(1) 当)1()(n N h n h --=时，有ωωθ21)(--=N 相位函数)(ωθ是严格的线性相位，说明FIR 数字滤波器有2)1(-N 个抽样的群延迟。

(2) 当)1()(n N h n h ---=时，有ωπωθ212)(--=N 相位函数)(ωθ是线性相位，说明FIR 数字滤波器有2)1(-N 个抽样的群延迟，而且还产生一个90的相移。

3 频率响应的特点 (1) ()h n 偶对称j (1)1jj 21()()()cos[()]2N N z en N H e H z eh n n ωωωω---==-==-∑ (7-2) 幅度函数为：101()()cos[()]2N n N H h n n ωω-=-=-∑ 当()h n 对(1)2n N =-偶对称时，FIR 滤波器是具有准确的线性相位的滤波器。

(2) ()h n 奇对称j (1)1jj j 221()()()sin[()]2N N z e n N H e H z eh n n ωπωωω---+==-==-∑ (7-3) 幅度函数为：101()()sin[()]2N n N H h n n ωω-=-=-∑ 当()h n 对(1)2n N =-奇对称时，FIR 滤波器将是一个具有准确的线性相位的理想正交变换网络。

4幅度函数的特点(1) )(n h 偶对称，N 为奇数。

(1)0()()cos()N n H a n n ωω-==∑(7-4)其中，1(0)()2N a h -=，11()2(),1,2,,22N N a n h n n --=-= 特点：幅度函数)(ωH 对0=ω和πω=呈偶对称。

适用：可通过)(n h 灵活设计幅度函数的零点位置，低通、高通、带通和带阻滤波器都可使用。

(2) ()h n 偶对称，N 为偶数211()()cos[()]2N n H b n n ωω==-∑ (7-4)其中，()2(),1,2,,22N Nb n h n n =-= 特点：幅度函数)(ωH 对0=ω呈偶对称，对πω=呈奇对称，且0)(=πH 。

适用：这类FIR 系统只能做低通和带通滤波器的设计。

(3) ()h n 奇对称，N 为奇数(1)21()()sin()N n H c n n ωω-==∑(7-5)其中，11()2(),1,2,,22N N c n h n n --=-= 特点：幅度函数)(ωH 对0=ω和πω=呈奇对称，且0)0(=H ，0)(=πH 。

适用：这类FIR 系统只能做带通滤波的设计。

(4) ()h n 奇对称，N 为偶数211()()sin[()]2N n H d n n ωω==-∑ (7-6)其中，()2(),1,2,,22NN d n h n n =-= 特点：幅度函数)(ωH 对0=ω呈奇对称，对πω=呈偶对称，且0)0(=H 。

适用：这类FIR 系统只能用做高通和带通滤波器的设计。

以上4种线性相位FIR 滤波器特性如表7-1所示。

表7-1 线性相位FIR 滤波器特性5零点位置线性相位FIR 数字滤波器的零点必是互为倒数的共轭对，或者说是共轭镜像的。

若i z z =是()H z 的零点，*i z z =及1**1()i iz z z -==也一定是()H z 的零点。

有以下四种情况： ① 零点i z 既不在实轴上，也不在单位圆上，零点是两组互为倒数的共轭对，如图7-1(a)所示。

② 零点i z 在单位圆上，但不在实轴上，此时零点的共轭值是它的倒数，如图7-1(b)所示。

③ 零点i z 在实轴上，但不在单位圆上，此时零点是一对互为倒数的实数，它没有复共轭部分，如图7-1(c)所示。

④ 零点i z 既在实轴上也在单位圆上，这时零点位于1i z =或1i z =-，既是自己的复共轭，又是倒数，如图7-1(d)和(e)所示。

i z ]iiz *(a )(b )(c )(d )(e )图7-1 线性相位FIR 滤波器的零点位置图7.2.2 窗函数法设计FIR 数字滤波器1 设计原理FIR 滤波器的设计问题，就是要使所设计的FIR 滤波器的频率响应)(j ωe H 逼近所要求的理想滤波器的频率响应)(j d ωe H 。

逼近可在时域进行，也可在频域进行。

窗函数法设计FIR 数字滤波器是在时域进行的，用窗函数截取无限长的)(n h d ，这样得到的频率响应)(j ωe H 逼近于理的频率响应)(d ωj e H 。

窗函数流程为：)()()()(j d j d ωωe H n h n h e H −−−−→−−−−−→−−−−−−→−序列傅里叶变换移序加窗截断序列傅里叶反变换综上所述，加窗函数处理后，对理想频率响应产生以下几点影响：(1) ()H ω将d ()H ω在截止频率处的间断点变成了连续曲线，使理想频率特性不连续点处边沿加宽，形成一个过渡带，过渡带的宽度等于窗的频率响应的主瓣宽度4N ωπ∆=，即正肩峰与负肩峰的间隔为4N π。

窗函数的主瓣越宽，过渡带也越宽。

(2) 在截止频率c ω的两边即2c Nπωω=±的地方，()H ω出现最大的肩峰值，肩峰的两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的多少取决于旁瓣的多少。

(3) 改变N ，只能改变窗谱函数的主瓣宽度，改变ω的坐标比例以及改变()R W ω的绝对值大小。

2 常用的窗口函数 对窗函数的要求：(1) 窗谱的主瓣宽度应尽可能窄，使设计出的滤波器有较陡的过渡带。

(2) 窗谱的最大副瓣相对于主瓣尽可能小，使设计的滤波器幅频特性中肩峰和余振较小，阻带衰减较大。

最简单的窗是矩形窗，另外常用的窗函数还有三角窗、汉宁窗、海明窗、布莱克曼窗和凯泽窗等。

6种窗函数的基本参数比较如表7-2所示。

(1) 矩形窗101()()0N n N w n R n n≤≤-⎧==⎨⎩其它(2) 三角形（Bartlett ）窗21012()212112n N n N w n n N n N N ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨-⎪-≤≤-⎪-⎩(3) 汉宁(Hanning)窗，又称升余弦窗212()sin ()1cos ()121N N n n w n R n R n N N ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦(4) 汉明(Hamming)窗，又称改进的升余弦窗2()0.540.46cos ()1N n w n R n N π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦(5) 布莱克曼(Blackman)窗，又称二阶升余弦窗24()0.420.5cos 0.08cos ()11N n n w n R n N N ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦(6) 凯泽(Kaiser)窗这是一种适应性较强的窗，其窗函数的表示式为0()01w n n N =≤≤-式中，0()I 是第一类变形零阶贝塞尔函数，β是一个可自由选择的参数，改变β可对主瓣宽度与旁瓣衰减进行选择。

表7-2 常用窗函数的基本参数3 窗函数法的设计步骤(1) 给定希望逼近的频率响应函数j d ()H e ω； (2) 求单位脉冲响应d ()h n ；(j j d d 1()()2n h n H e e d πωωπωπ-=⎰)(3) 由过渡带宽及阻带最小衰减的要求，可选定窗形状，并估计窗口长度N 。

(4) 计算所设计的FIR 滤波器的单位脉冲响应；d ()()()01h n h n w n n N =≤≤-(5) 由()h n 求FIR 滤波器的频率响应j ()H e ω，检验是否满足设计要求。

4 窗函数设计的优缺点优点：窗口设计法简单、方便、实用。

缺点：通带和阻带的截止频率不易控制；若j d ()H e ω不能用简单的函数表示，则很难求出d ()h n 。

7.2.3 频率抽样法设计FIR 数字滤波器频率采样法是从频域出发，把给定的理想频响j d ()H e ω加以等间隔抽样，然后以此)(d k H 作为实际FIR 数字滤波器的频率特性的抽样值)(k H ，具体设计流程有2种：(1) )()()()()()(j ZTIDFT 2j d j d ωωe H z H n h k H eH e H k N π或频率采样−→−−−→−=−−−→−(2) )()()()()(j k N2jd j d ωπωe H z H k H eH e H 或内插公式频率采样−−−→−=−−−→−)(j d ωe H 以π2为周期，频率采样只需在]2,0[π间采样N 点，采样间隔为Nπ2，采用的内插公式为12j 011()()1NN k k Nz H k H z Nez π---=--=-∑1线性相位的约束设计线性相位的FIR 滤波器，其采样值()H k 的幅度和相位一定要满足前面所讨论的四类线性相位滤波器的约束条件。

(1) 对于第一类线性相位滤波器，即()h n 偶对称，N 为奇数，k N k H H -=，11k k N θπ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭。