9应力状态2

2.广义胡克定律 2.广义胡克定律 图示为受力构件内部某点处的主单元体。
σ2 σ1 σ3 σ2
=
σ1
+
+
σ3
ε 由胡克定律知，在弹性范围内， = σ 横向应变 ε ′ = − µ σ E E 在材料的弹性范围内，单元体在三个主应力方向的线应变，可 σ σ σ ε1 = 1 − µ 2 − µ 3 用叠加法求得。 即 E E E ε 1 = 1 [σ 1 − µ (σ 2 + σ 3 )]
例9-4 图示铸铁构件上危险点的应力状态，已知[σ+]=30MPa, 试校核其强度。 解：单元体只有正应力而无压应力，可能发 生脆断，故用最大拉应力理论校核。 由给定应力状态，得
σ max 10 + 20 10 − 20 2 = ± ( ) + 10 2 = 15 ± 11.2MPa 2 2 σ min σ xd 1 = σ 1 = 26.2MPa < [σ + ] 所以此点的强度满足。
2 2
2 2 1 σ x + 4τ x 4
σ2 = 0
σ3 =
σx
2
−
2 2 1 σ x + 4τ x 4
此类应力状 态对应第三 2 2 σ xd 4 = 1 [(σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 ] = σ x +3τ x = 140MPa < [σ ] 、四强度理 2 论相当应力 所以此钢构件的强度满足。 的表达式
Us =
(1 + µ ) 2 σs 6E
(1 + µ ) [(σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 + ] 6E
式中σxd4为形状改变比能理论的相当应力。
2
强度理论的适用范围：一般脆性材料适用第一强度理论；塑性材 强度理论的适用范围： 强度理论的适用范围 料适用第三、四强度理论。但在三向拉应力 拉应力状态下，无论脆性还是 拉应力 塑性材料，都会发生断裂，用第二强度理论。在三向压应力 压应力状态下 压应力 ，脆性和塑性材料，都发生屈服，用第三、四强度理论。
σα = τα = σ x −σ y
2
2
2
+
2
con 2α − τ x sin α
sin 2α + τ x con α
± (
2.主应力和主平面 σ max σ x + σ y 主应力和主平面
= σ min
σ x −σ y
2
) 2 +τ x
2
课后作业： 课后作业：《工程力学练习册》练习三十三 三十三
Fs Fs
τ max =
σ1 −σ 3
2
=
σs
2
引入安全系数 ，则相应的强度准则为
σ xd 3 = σ 1 − σ 3 ≤ [σ ]
式中σxd3为最大拉应变理论的相当应力
4.形状改变比能理论 形状改变比能理论（第四强度理论） 形状改变比能理论 单元体的变形能包括了体积改变能和形状改变能两部分。对于 单元体单位体积内的形状改变能称为形状改变比能，用Ud表示。复 单元体单位体积内的形状改变能称为形状改变比能 杂应力状态下，形状改变比能与主应力的关系（证明从略）为
例9-5 图示某钢构件上危险点的应力状态，已知σ x=110MPa, τ x=-50MPa, [σ]=160MPa,试校核其强度。 σ max σ x 1 2 2 = 2 ± 4 σ x + 4τ x 解：1.求主应力 得 σ min
σ1 = σx
2 +
构件材料为钢，故用第三、第四强度理论。
σ max 40 + (−20) 40 − (−20) 2 = ± [ ] + 30 2 = 10 ± 30 2MPa 2 2 σ min
σ 1=52.1MPa, σ 2=0, σ 1=-32.1MPa, τ max=42.1MPa
例9-2 图示为圆轴扭转时的应力状态，试分析铸铁试样扭转破坏 现象。
σ1 − σ 3
2
1 最大线应变 ε 1 = E [σ 1 − µ (σ 2 + σ 3 )]
二、强度理论 强度理论—关于材料在复杂应力状态下失效因素的假说。 强度理论 1.最大拉应力理论 最大拉应力理论（第一强度理论） 最大拉应力理论
本课节小结
一、应力状态的概念 一点的应力状态—表示出截面应力的单元体 一点的应力状态 二、应力状态分类 1.单向应力状态 有一个主应力不为零的应力状态。2.二向 单向应力状态 二向 应力状态 有二个主应力不为零的应力状态。3.三向应力状态 三向应力状态 有三个主应力不为零的应力状态。 三、二向应力状态分析 1.斜截面上的应力 斜截面上的应力 σ x +σ y σ x −σ y
M M
解 圆轴扭转时，在横截面的圆周边缘处有最大切应力。 其σ x=0, σ y=0, τ x= τ ，是纯剪切应力状态。
σ max σ x + σ y σ x −σ y 2 2 ± ( ) +τ x = ±τ = 2 2 σ min
主应力为 σ 1= τ, σ 2=0, σ 3= -τ 。 圆截面铸铁扭转时，表面各点主应力σ 1所在主平面组成倾 角为45°的螺旋面。由于铸铁抗拉强度低，试样将沿这一螺旋 面因拉伸而发生断裂破坏 。
σ ε 1 = 1 [σ 1 − µ (σ 2 + σ 3 )] = b
E E
Fb
Fb 引入安全系数 ，则相应的强度准则为
σb ε== σ εb E
E
σ xd 2 = σ 1 − µ (σ 2 + σ 3 ) ≤ [σ ]
式中σxd2为最大拉应变理论的相当应力
3.最大切应力理论 最大切应力理论（第三强度理论） 认为：无论材料处于何 最大切应力理论 种应力状态，当其最大切应力 切应力达到单向拉伸材料屈服时的极限切 切应力 应力τs时，材料就发生屈服失效。 即 τmax = τs时
Fb Fb Fb
σ xd 1 = σ 1 ≤ [σ ]
σb
式中σxd1表示最大拉应力理论的 相当应力。
2.最大拉应变理论 1.最大拉应变理论 最大拉应变理论（第二强度理论） 认为：无论材料处于何 最大拉应变理论 种应力状态，当其最大拉应变 拉应变达到单向拉伸材料断裂时的极限拉 拉应变 应变εb时，材料就发生断裂破坏。 即 ε1= εb时
课题9 2 ◆ 课题9–2
强度理论简介
△
一、三向应力状态的最大切应力和广ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ胡克定律 1.三向应力状态的最大切应力 三向应力状态的最大切应力 弹性力学的研究结果表明，三向应力状态的最大切应力为
τ max = σ1 − σ 3
2
由于单向和二向应力状态是三向应力状态的特殊情况，上述 结论同样适用于单向和二向应力状态。 例9-3 图示三向应力状态，单位为MPa,求主应力和最大切应力。 40 解：已知一个主应力为-30MPa, σ x=120MPa, σ y=40MPa, τ x= -30MPa,求另外两个主应力 120
σ α dA − (σ x dAconα )conα + (τ x dAconα ) sin α − (σ y dA sin α ) sin α + (τ x dA sin α )conα = 0 τ α dA − (σ x dAconα ) sin α − (τ x dAconα )conα ∑ Fτ = 0 : + (σ y dA sin α )conα + (τ x dA sin α ) sin α = 0 σ +σ y σ x −σ y σα = x + con 2α − τ x sin α
第九章 应力状态和强度理论
课题9 1 ◆ 课题9–1 ◆ 课题9–2 课题9 2
应力状态分析 强度理论简介
课题9 1 ◆ 课题9–1
旧课复习： 旧课复习： 1.轴向拉（ 1.轴向拉（压） 轴向拉
应力状态分析
F F F
△
σ
2.圆轴扭转 2.圆轴扭转
M
M
τmax
3.弯曲 3.弯曲
M
M
σmax
M
σmax
σ max σ x + σ y σ x −σ y 2 2 ± ( ) +τ x = 2 2 σ min σ x −σ y 2 σ −σ3 2 τ max = ( ) +τ x = 1
2 2
x y
例9-1 图示应力状态，应力单位为MPa,求主应力和最大切应力。 解： σ x=40MPa, σ y=-20MPa, τ x=30MPa
∑ Fn
= 0:
解得
2 2 σ x −σ y τα = sin 2α + τ x con α 2
2.主应力和主平面 主应力和主平面 由函数求极值知： dσ α = −2[σ x − σ y sin 2α + τ x con α ] = 0
dα 2
正应力有极值的斜截面上，切应力为零，是单元体的主平面 主平面。 主平面 极值正应力是单元体的主应力 主应力。 主应力 2τ x tan 2α 0 = − 主平面α0为 σ −σ 极值正应力 最大切应力
E ε 2 = 1 [σ 2 − µ (σ 1 + σ 3 )] E ε 3 = 1 [σ 3 − µ (σ 1 + σ 2 )] E
此式称为广义胡克定理 广义胡克定理，表明:构件内部一点处的最大线应 广义胡克定理 变，发生在第1主应力的方向上，并用ε1表示。
二、强度理论 问题引入： 问题引入：简单应力状态下，可通过实验测定确定其强度准 则，但在复杂应力状态下如何确定其强度准则？ 强度理论—关于材料在复杂应力状态下失效因素的假说。 强度理论 在强度问题中，失效 失效包含了两种不同的含义，一是由于应力 失效 过大发生的断裂破坏；二是发生了一定量的塑性变形。材料在不 同应力状态下的失效可分为屈服失效和断裂失效。 1.最大拉应力理论 最大拉应力理论（第一强度理论） 认为：无论材料处于何 最大拉应力理论 种应力状态，当其最大拉应力 拉应力达到单向拉伸材料断裂时的抗拉强 拉应力 度σb，材料就发生断裂破坏。 σb 即 σ1= σb，引入安全系数, n = [σ ] ，则相应的强度准则为