2012-2013学年上海市虹口区高一(下)学期期末数学试卷 (解析版)
上海市虹口区2013届高三数学下学期二模试题 文(上海虹口二模)沪教版
虹口区2013年数学学科高考练习题(文科)（时间120分钟，满分150分） 2013.4 一、填空题（每小题4分，满分56分）1、函数1)12()(+-=x k x f 在R 上单调递减，则k 的取值范围是 ．2、已知复数i i z +-=1)1(3，则=z ．3、已知31cos sin sin cos =ββαα，则=+)(2cos βα ． 4、设nx )21(+展开式中二项式系数之和为n a ，各项系数之和为n b ，则=+-∞→nn nn n b a b a lim．5、已知双曲线与椭圆161622=+y x 有相同的焦点，且渐近线方程为x y 21±=，则此双曲线方程为 ．6、如果14log -=b a ，则b a +的最小值为 ．7、数列{}n a 的通项2sinπn n a n ⋅=，前n 项和为n S ，则=13S ． 8、设1F 、2F 是椭圆1422=+y x 的两个焦点，点P 在椭圆上，且满足221π=∠PF F ，则21PF F ∆的面积等于 ． 9、从集合{}3,2,1的所有非空子集中，等可能地取出一个，所取出的子集中含数字1的概率是 ．10、对于R x ∈，不等式a a x x 2122-≥++-恒成立，则实数a 的取值范围是 ．11、在ABC ∆中，1=AB ，2=AC ，2)(=⋅+AB AC AB ，则ABC ∆面积等于 ．12、将边长为2的正方形沿对角线AC 折起，以A ，B ，C ，D 为顶点的三棱锥的体积最大值等于 ．13、设)2(log 1+=+n a n n )(*∈N n ，称k a a a a 321为整数的k 为“希望数”，则在)2013,1(内所有“希望数”的个数为 ．14、已知函数aax x a x a x x f 2222)1()(22-++--+=的定义域是使得解析式有意义的x 的集合，如果对于定义域内的任意实数x ，函数值均为正，则实数a 的取值范围是 ．二、选择题（每小题5分，满分20分）15、已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤+015y y x y x ，则目标函数y x f 2+=的最大值是（ ）.A 1 .B 5 .C 7 .D 816、在正方体1111D C B A ABCD -中与异面直线AB ，1CC 均垂直的棱有（ ）条．.A 1． .B 2． .C 3． .D 4．17、已知函数)2cos()2sin(2ππ-+=x x y 与直线21=y 相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为1M ，2M ，3M）.A π6 .B π7 .C π12 .D π13 18、若22παπ≤≤-，22πβπ≤≤-，R m ∈，如果有0sin 3=++m αα，0sin 3=+--m ββ，则)cos(βα+值为（ ）． .A 1- .B 0 .C 21.D 1三、解答题（满分74分）19、（本题满分12分）如图，⊥PA 平面ABCD ，1=PA ，矩形ABCD 的边长1=AB ，2=BC ，E 为BC 的中点． （1）求异面直线PE 与AB 所成的角的大小； （2）求四棱锥ABED P -的侧面积．20、（本题满分14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，向量)cos 2,sin 2(B B m =，)cos ,cos 3(B B n -=，且1=⋅n m ．（1）求角B ；D（2）若a ，b ，c 成等差数列，且2=b ，求ABC ∆的面积．21、（本题满分14分）已知复数i b a z n n n ⋅+=，其中R a n ∈，R b n ∈，*∈N n ，是虚数单位，且i z z z n n n 221++=+，i z +=11． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求和：①n z z z +++ 21；②n n b a b a b a +++ 2211．22、（本题满分16分）已知抛物线C ：px y 22=)0(>p ，直线交此抛物线于不同的两个点),(11y x A 、),(22y x B ．（1）当直线过点)0,(p M -时，证明21y y ⋅为定值；（2）当p y y -=21时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由； （3）记)0,(p N ，如果直线过点)0,(p M -，设线段AB 的中点为P ，线段PN 的中点为Q ．问是否存在一条直线和一个定点，使得点Q 到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．23、（本题满分18分）定义域为D 的函数)(x f ，如果对于区间I 内)(D I ⊆的任意两个数1x 、2x 都有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立，则称此函数在区间I 上是“凸函数”． （1）判断函数2)(x x f -=在R 上是否是“凸函数”，并证明你的结论；（2）如果函数xax x f +=2)(在区间]2,1[上是“凸函数”，求实数a 的取值范围； （3）对于区间],[d c 上的“凸函数”)(x f ，在],[d c 上的任取1x ，2x ，3x ，……，n x 2，证明：)]()()([21)2(221221n nx f x f x f x x x f n n+++≥+++ ．虹口区2013年数学学科高考练习题答案（文） 一、填空题（每小题4分，满分56分） 1、)21,(∞-； 2、2； 3、97-； 4、1-； 5、12822=-y x ； 6、1； 7、7； 8、1； 9、74； 10、]3,1[-； 11、23； 12、322； 13、9； 14、07≤<-a 或2=a ； 二、选择题（每小题5分，满分20分）15、C ； 16、D ； 17、A ； 18、D ； 三、解答题（满分74分）19、(12分) 解：（1）取AD 的中点F ，连EF 、PF ．AB EF //，∴PEF ∠的大小等于异面直线PE 与AB 所成的角或其补角的大小．……2分由1=PA ，1==BE AB ，⊥PA 平面ABCD ，ABCD 是矩形，得1=EF ，2=AE ，2=PF ，3=PE ，∴3332213cos =-+=∠PEF ．………………5分 ∴异面直线PE 与AB 所成的角的大小等于33arccos．………………6分 （2） ⊥PA 平面ABCD ，1=PA ，1=AB ，1=AD ，21=∆PAB S ，1=∆PAD S ． BE PA ⊥，AB BE ⊥，∴⊥BE 平面PAB ，∴⊥BE PB ，2=PB ，22=∆PBE S ．D…………………………9分 连AE ，由1==BE AB ，得2=AE ，同理2=DE ，322=+=AE PA PE ，又522=+=AD PA PD ∴222PD DE PE =+，由勾股定理逆定理得︒=∠90AED ，∴26=∆PED S .∴四棱锥ABED P -的侧面积为2623++．………………12分20、（14分）解：（1） 1=⋅n m ，∴1cos 2cos 3sin 22=-⋅B B B ，22cos 2sin 3=-B B ，1)62sin(=-πB ，……………………5分又π<<B 0，∴611626πππ<-<-B ，∴262ππ=-B ，∴3π=B ………………7分（2） 2=b ，c a b +=2，∴4=+c a ．又B ac c a b cos 2222⋅-+=，∴3cos 2422π⋅-+=ac c a ，即ac c a -+=224 (10)分将4=+c a 代入得0442=+-a a ，得2=a ，从而2=c ，三角形为等边三角形．……12分∴3sin 21==∆B ac S ．………………14分21、（14分）解：（1） i i b a z +=⋅+=1111，∴11=a ，11=b ． 由iz z z n n n 221++=+得ib a i i b a i b a i b a n n n n n n n n ⋅++=+⋅-+⋅+=⋅+++)2(32)()(211，∴⎩⎨⎧+==++2311n n nn b b a a ………………3分 ∴数列{}n a 是以1为首项公比为3的等比数列，数列{}n b 是以1为首项公差为2的等差数列，∴13-=n n a ，12-=n b n ．……………………6分 （2）由（1）知13-=n n a ，12-=n b n ．①i n i b b b a a a z z z nn n n ⋅+-=⋅+++++++=+++2212121)13(21)()( ．……10分 ②令n n n b a b a b a S +++= 2211，)12(35333112-⋅++⋅+⋅+=-n S n n （Ⅰ） 将（Ⅰ）式两边乘以3得)12(3533313332-⋅++⋅+⋅+⋅=n S n n （Ⅱ） 将（Ⅰ）减（Ⅱ）得)12(33232323212132-⋅-⋅++⋅+⋅+⋅+=--n S n n n ．)22(322+-+-=-n S n n ，13)1(+⋅-=n n n S .……………………14分22、（16分）解：（1）过点)0,(p M -与抛物线有两个交点，可知其斜率一定存在，设)(:p x k y l +=，其中0≠k （若0=k 时不合题意），由⎩⎨⎧=+=px y p x k y 2)(2得02222=+-⋅k p py y k ，∴2212p y y =⋅．………………4分注：本题可设p my x l -=:，以下同．（2）当直线l 的斜率存在时，设b kx y l +=:，其中0≠k （若0=k 时不合题意）．由⎩⎨⎧=+=pxy b kx y 22得0222=+-pb py ky ． p k pb y y -==∴221，从而2kb -=．………………6分 假设直线过定点),(00y x ，则b kx y +=00，从而200k kx y -=，得0)21(00=--y k x ，即⎪⎩⎪⎨⎧==02100y x ，即过定点)0,21(．………………8分当直线l 的斜率不存在，设0:x x l =，代入px y 22=得022px y =，02px y ±=，p px px px y y -=-=-⋅=∴000212)2(2，从而210=x ，即21:=x l ，也过)0,21(． 综上所述，当p y y -=21时，直线过定点)0,21(．………………10分（3）依题意直线的斜率存在且不为零，由（1）得点P 的纵坐标为kp y y y P =+=)(2121，代入)(:p x k y l +=得p k p x P -=2，即),(2kpp k pP -．…………12分设),(y x Q ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅=+-=k py p p kp x 21)(212消k 得x p y 22=…………14分 由抛物线的定义知存在直线8p x -=，点)0,8(p，点Q 到它们的距离相等．…………16分23、（18分）解：（1）设1x ，2x 是任意两个实数，则有)]()([21)(21)2(41)2()2(21222122212122121x f x f x x x x x x x x x x f +≥--≥---=+-=+． ∴函数2)(x x f -=在R 是“凸函数”．………………4分 （2）若对于]2,1[上的任意两个数1x ，2x ，均有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立，即)]()[(212)2(22212121221x a x x a x x x a x x +++≥+++，整理得)()(21)(2121221221x x x x x x a x x +--≤-……………………7分 若21x x =，a 可以取任意值． 若21x x ≠，得)(212121x x x x a +-≤， 1)(2182121-<+-<-x x x x ，∴8-≤a ． 综上所述得8-≤a ．………………10分 （3）当1=k 时由已知得)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立． 假设当mk =)(*∈N m 时，不等式成立即)]()()([21)2(2211221m kx f x f x f x x x f mm +++≥++++ 成立． 那么，由d x x x c mm≤+++≤2221 ，d x x x c mmm m m ≤+++≤+++2222212得]}22[21{)2(22221222112211mm m mm m m m m x x x x x x f x x x f +++++++++++=++++ )]2()2([21222212221mm m m m m m x x x f x x x f ++++++++++≥ )]}()()([21)]()()([21{21122212221++++++++≥++m m m m x f x f x f x f x f x f m m )]()()([2112211++++=+m x f x f x f m ． 即1+=m k 时，不等式也成立．根据数学归纳法原理不等式得证．………………18分。
2024届上海市十二校高一数学第二学期期末经典试题含解析
2024届上海市十二校高一数学第二学期期末经典试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．某程序框图如图所示，该程序运行后输出S 的值是（ ）A ．910B ．1011C ．1112D ．1112．点()1,1-到直线10x y -+=的距离是（ ）A ．32B ．22C ．3D ．3223．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．34B ．42C ．54D ．724．已知直线a b ，，平面α，且a α⊥，下列条件中能推出a b ∥的是（ ） A ．b αB ．b α⊂C ．b α⊥D ．b 与α相交5．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，那么四棱锥1D ABCD -的体积是（）A ．14 B ．13C ．12D ．16．下图所示的几何体是由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为质点的圆锥面得到，现用一个垂直于底面的平面去截该几何体、则截面图形可能是（ ）A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（1）（4）7．如图所示，在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，向该正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域的概率是38，则该阴影区域的面积是（ ）A ．3B ．32C ．2D ．348．在等比数列{}n a 中，212a =，68a =，则4a =（ ） A ．4 B ．2 C ．4±D ．2±9．函数的图象在内有且仅有一条对称轴，则实数的取值范围是 A ．B ．C ．D ．10．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则20a 等于（ ）. A ．1-B ．1C ．3D ．7二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
虹口区2012学年度第一学期高一年级数学学科期终教学质量监控测试试卷
虹口区高一年级数学 本试卷共6页 第1页虹口区2012学年度第一学期高一年级数学学科 期终教学质量监控测试试卷（考试时间90分钟，满分100分） 2013.1【考生注意】 1、请在试卷首页相应位置正确填写学校、班级、姓名、学号等信息。
2、本试卷共20题，部分题目分为(A 卷题)和（B 卷题），请考生务必看清自己 应答的试题．得分评卷人一、填空题（本大题满分30分）本大题共10题，每题3分。
1、已知集合{}{}21,0,1,,A B x x x =-==则________.A B ⋂=2、不等式21x ->的解集是_______________.3、若函数231,3(),log ,3x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩则((9))f f = ． 4、已知条件:24,p x ≤<条件:312,q k x k -≤≤-且p q 是的充分条件，则实数k 的取值范围 是 ．5、命题“若实数15a a a =+、b 满足且b=3,则b<”的逆否命题是 _________________________. 6、函数11()2,,25f x x x x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦的值域是 ． 7、（A 卷题）函数32()32f x x x x =-+的零点是 ． （B 卷题）已知函数()5xf x a =+的反函数为1()y fx -=，若函数1()y f x -=的图像过点(4,1)，则实数a 的值为 ．虹口区高一年级数学 本试卷共6页 第2页 8、（A 卷题）已知函数()2x af x -=在区间[)3∞，+上是增函数，则实数a 的取值范围是 ．（B 卷题）已知函数()log (2)a f x ax =-在区间[]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围 是 ．9、已知函数)(x f y =是定义在实数集R 上的奇函数，若()f x 在区间(0,)+∞单调递增，且 (3)0,f =则不等式()0f x x≤的解集是 ． 10、函数22232()1x x f x x ++=+的最大值与最小值的差等于 ．得分评卷人二、选择题（本大题满分20分）本大题共5题，每题4分。
2012-2013学年上海市虹口区中考二模数学试卷及参考答案
2012-2013学年上海市虹口区中考二模数学试卷及答案一选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．在下列各数中，属于无理数的是A ．53B ．πC D 2．在下列一元二次方程中，没有实数根的是A ．20x x -=B ．210x -=C ．2230x x --=D ．2230x x -+=3．在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x =-+经过A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限4．某小区20则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是 A ．180，160B ．160，180C ．160，160D ．180，1805．已知两圆内切，圆心距为5，其中一个圆的半径长为8，那么另一个圆的半径长是 A ．3B ．13C ．3或13D ．以上都不对6．在下列命题中，属于假命题．．．的是 A ．对角线相等的梯形是等腰梯形 B ．两腰相等的梯形是等腰梯形 C ．底角相等的梯形是等腰梯形D ．等腰三角形被平行于底边的直线截成两部分，所截得的四边形是等腰梯形二．填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：22-= ．8．不等式组24050x x +>⎧⎨-<⎩的解集是 ．9．用换元法解分式方程13201x x x x +-+=+时，如果设1x y x+=，那么原方程化为关于y 的整式方程可以是 ．10x 的解是 ．11．对于双曲线1k y x-=，若在每个象限内，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是 ．214．为了解某校九年级学生体能情况，随机抽查了其中的25名学生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成频数分布直方图（如图所示），那么仰卧起坐的次数在20～25的频率是 ．15．若正六边形的边长是1，则它的半径是 ．16．在□ABCD 中，已知AC a =，DB b =，则用向量a 、b 表示向量AB 为 ． 17．将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n 倍得△AB′ C′ ，即如图①，'BAB θ∠=，''''AB B C AC n AB BC AC===，我们将这种变换记为[θ，n ] ．如图②，在△DEF 中，90DFE ∠=︒，将△DEF 绕点D 旋转，作变换[60°,n ]得△DE′F′，如果点E 、F 、F′恰好在同一直线上，那么n = ．18．如图，在直角梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，90A ∠=︒， 30C ∠=︒，点F 是CD 边上一点，将纸片沿BF 折叠，点C落在E 点，使直线BE 经过点D ，若8BF CF ==，则AD 的 长为 ．三．解答题（本大题共7题，满分78分）19．先化简，再求值：2224442x x x x x ⎛⎫-+÷- ⎪+⎝⎭，其中x20．解方程组：222321x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩① ② A BCD第18题图第14题图（每组含最小值，不含最大值）ABC B′第17题图C ′DE ′F ′F图① 图②21．如图，在△ABC 中，10AB AC ==，3sin ABC 5∠=，圆O 经过点B 、C ，圆心O 在△ABC 的内部，且到点A 的距离为2，求圆O 的半径．22．某超市进了一批成本为6元/个的文具．调查后发现：这种文具每周的销售量y （个）与（1）求y 与x 之间的函数解析式（不必写出定义域）；（2）已知该超市这种文具每周的销售量不少于60个，若该超市某周销售这种文具（不考虑其它因素）的利润为800元，求该周每个文具的销售价．第21题图23．已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，BAE DAF ∠=∠．（1）求证：BE DF =；（2）联结AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM OA =，联结EM 、FM ．求证：四边形AEMF 是菱形．24．已知：直线24y x =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点C 为x 轴上一点，1AC =， 且OC OA <．抛物线2y ax bx c =++()0a ≠经过点A 、B 、C ． （1）求该抛物线的表达式；（2）点D 的坐标为()3,0-，点P 为线段AB 上一点，当锐角PDO ∠的正切值为12时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，该抛物线上的一点E 在x 轴下方，当△ADE 的面积等于四边形APCE 的面积时，求点E 的坐标．AD BEFOCM第23题图25．在Rt △ABC 中，90,6,8A AB AC ∠=︒==，点D 为边BC 的中点，DE BC ⊥交边AC 于点E ，点P 为射线AB 上一动点，点Q 为边AC 上一动点，且90PDQ ∠=︒．（1）求ED 、EC 的长； （2）若2BP =，求CQ 的长；（3）记线段PQ 与线段DE 的交点为点F ，若△PDF 为等腰三角形，求BP 的长．ABEC DABCED第25题图（备用图）参考答案一、选择题：（本大题共6题，满分24分）1．B ； 2．D ； 3．B ； 4．A ； 5．C ； 6．C ．二、填空题：（本大题共12题，满分48分）7．14； 8． 25x -<<； 9．2230y y +-=； 10．3x =； 11．k ＜1； 12．23(2)y x =+； 13．4； 14．0.2；15．1； 16．1122a b +； 17．2； 18．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式=2(2)(2)44(2)x x x x x x x +--+÷+………………………………………………（3分） 2(2)(2)(2)(2)x x x x x x +-=⋅+- …………………………………………………（2分） 1x =- ………………………………………………………………………（2分）当x =原式2…………………………………………………（3分）20．解：由②得：2()1x y -=，∴ 1x y -=或1x y -=- ……………………………………………………（2分） 把上式同①联立方程组得：231x y x y +=⎧⎨-=⎩，23,1x y x y +=⎧⎨-=-⎩ …………………………………………………（4分）解得：114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨=⎪⎩∴原方程组的解为114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．……………………………………………（4分） 注：用代入消元法解，请参照给分.21．解：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为点D …………………………………………………（1分）∵3sin 5ABC ∠= ∴4cos 5ABC ∠=………………………………………………（1分）在Rt △ABD 中，4cos 1085BD AB ABC =⋅∠=⨯=………………………………（1分）3sin 1065AD AB ABC =⋅∠=⨯=…………………………………（1分）∵AB=AC=10 AD ⊥BC ∴BC=2BD=16…………………………………………（1分） ∵AD 垂直平分BC ∴圆心O 在直线AD 上………………………………………（2分） ∴OD=6-2=4 ……………………………………………………………………………（1分） 联结BO ，在Rt △OBD 中，BO=（2分） ∴圆O 的半径为22．解：（1）设所求函数解析式为y ＝kx ＋b （0k ≠）…………………………………（1分）由题意得：220819011k bk b =+⎧⎨=+⎩解之得：10300k b =-⎧⎨=⎩………………………（2分）∴y 与x 之间的函数解析式为y ＝-10x ＋300． ………………………………（1分）（2）由题意得(x －6)(-10x ＋300)=800 ……………………………………………（2分）整理得，x 2－36x ＋260=01210,26x x ==…………………………………………………………………（2分） 当x =10时，y =200当x =26时，y =40<60 ∴x =26舍去 ……………………………………………（1分）答：该周每个文具销售价为10元． ………………………………………………（1分）23．证明：（1）∵正方形ABCD ，∴AB=AD ，∠B =∠D =90°…………………………（2分）∵∠BAE = ∠DAF∴△ABE ≌△ADF ……………………………………………………………（1分） ∴BE = DF ……………………………………………………………………（2分） （2）∵正方形ABCD ，∴∠BAC =∠DAC ………………………………………（1分） ∵∠BAE =∠DAF ∴∠EAO =∠F AO ……………………………………（1分）∵△ABE ≌△ADF ∴AE = AF …………………………………………（1分） ∴EO=FO ，AO ⊥EF …………………………………………………………（2分） ∵OM = OA ∴ 四边形AEMF 是平行四边形……………………………（1分） ∵AO ⊥EF ∴四边形AEMF 是菱形……………………………………（1分）24．解:（1）易得：A （2，0），B （0，4）∵AC =1且OC ＜OA ∴点C 在线段OA 上∴C （1，0） …………………………………………………………………（1分） ∵A （2，0），B （0，4），C （1，0）在抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上， ∴42040a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪++=⎩ 解得： 264a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴所求抛物线的表达式为2264y x x =-+………………………………（3分） （2）∵锐角∠PDO 的正切值为12， 1tan 2ABO ∠= （ABO ∠为锐角）∴ABO PDA ∠=∠，∵点P 为线段AB 上一点，∴BAO DAP ∠=∠∴△ABO ∽△ADP ……………………………………………………………（1分） ∴AP ADAO=， 又AO =2 ， AB =，AD =5 ∴AP =（1分）过点P 作PF AO ⊥于点F ，可证PF ∥BO ，∴AP PFAB BO=可得：P F=2，即点P 的纵坐标是2.∴可得P （1，2）………………………………………………………………（2分）（3）设点E 的纵坐标为m （m ＜0）， ∴1522ADE S AD m m =⋅=-△ ∵P （1，2），∴11()(2)22p APCE S AC y m m =⋅+=-四由ADE APCE S S =△四得：15(2)22m m -=- ……………………………………（2分）解得：12m =-∴点E 31(,)22-…………………………………………………………………（2分）25．解：（1）在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB=6，AC=8 ∴BC=10……………………（1分）点D 为BC 的中点 ∴CD =5 可证△ABC ∽△DEC∴DE EC CD AB BC AC ==， 即56108DE EC ==………………………………（1分） ∴154DE =，254CE =……………………………………………………（2分）（2）①当点P 在AB 边上时，在Rt △ABC 中，∠B +∠C =90°，在Rt △EDC 中，∠DEC +∠C =90°， ∴∠DEC=∠B∵DE ⊥BC ，∠PDQ =90° ∴∠PDQ =∠BDE =90° ∴∠BDP =∠EDQ∴△BPD ∽△EQD ……………………………………………………………（1分）∴EQ DE BP BD =， 即15425EQ =， ∴32EQ = ………………………………………………………………………（2分）∴CQ=EC -EQ 194=……………………………………………………………（1分）②当点P 在AB 的延长线上时，同理可得：32EQ =，∴CQ=EC +EQ 314= …………………………………………………………（1分）（3）∵线段PQ 与线段DE 的交点为点F ，∴点P 在边AB 上∵△BPD ∽△EQD ∴43BP BD PD EQ ED QD === 若设BP =x ，则34E Q x =，25344CQ x =- …………………………………（1分）可得4cot cot 3QPD C ∠== ∴∠QPD =∠C又可证∠PDE =∠CDQ ∴△PDF ∽△CDQ∵△PDF 为等腰三角形 ∴△CDQ 为等腰三角形………………………（1分） ①当CQ=CD 时，可得：253544x -= 解得：53x =………………………（1分）②当QC=QD 时， 过点Q 作QM ⊥CB 于M ， ∴1522CM CD ==，5525248CQ =⨯= ∴25325448x -=， 解得 256x =……………………………………………（1分）③当DC=DQ 时，过点D 作DN ⊥CQ 于N ， ∴4545CN =⨯=，28CQ CN ==∴253844x-=，解得73x=-(不合题意，舍去)…………………………（1分）∴综上所述，53BP=或256.。
2012学年第一学期虹口区高三数学质量调研卷(文理)
虹口区2012学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试卷（时间120分钟，满分150分） 2013.1一、填空题：（每小题4分，满分56分）1.已知集合{}0322<-+=x x x A ，{}21<-=x x B ，则=⋂B A ． 2.已知向量)2,1(-=a ，)1,1(=b ，b a m -=，b a n λ+=，如果n m ⊥，则实数=λ ．3.从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者，则甲被选中的概率是 ．4.双曲线1322=-y x 的两条渐近线的夹角大小等于 ． 5.已知ααcos 3sin =，则=+αα2sin 12cos ．6.在下面的程序框图中，输出的y 是x 的函数，记为)(x f y =，则=-)21(1f ．输出结束开始7.关于z 的方程20132012101i zii izi+=--+（其中i 是虚数单位），则方程的解=z ． 8.若对于任意0>x ，不等式a x x x≤++132恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 9.在等比数列{}n a 中，已知3221=a a ，243=a a ，则=+++∞→)(lim 21n n a a a ． 10.在ABC ∆中，32=AB ，2=AC 且︒=∠30B ，则ABC ∆的面积等于 ． 11.已知正实数x 、y 满足xy y x =+2，则y x +2的最小值等于 ．12.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0211=-++-m m m a a a ，3812=-m S ，则=m ．13.设定义在R 上的函数)(x f 是最小正周期为π2的偶函数，当],0[π∈x 时，1)(0<<x f ，且在]2,0[π上单调递减，在],2[ππ上单调递增，则函数x x f y sin )(-=在]10,10[ππ-上的零点个数为 ．14.设点P 在曲线22+=x y 上，点Q 在曲线2-=x y 上，则PQ 的最小值等于 ．二、选择题：（每小题5分，满分20分）15.若i -2是关于x 的实系数方程02=++b ax x 的一根，则该方程两根的模的和为（ ）A . 5；B ．52；C .5；D .10.16.已知1l 、2l 、3l 是空间三条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）A .如果21l l ⊥ ，32//l l ．则31l l ⊥；B ．如果21//l l ，32//l l ．则1l 、2l 、3l 共面．C .如果21l l ⊥ ，32l l ⊥．则31l l ⊥；D .如果1l 、2l 、3l 共点．则1l 、2l 、3l 共面．17.定义域为R 的函数c x b ax x f ++=2)()0(≠a 有四个单调区间，则实数c b a ,,满足（ ）A . 0042>>-a ac b 且；B ．042>-ac b ；C .02>-ab ； D .02<-ab .18.数列}{n a 满足⎩⎨⎧=-==k n a k n n a k n 2,12,当当，其中*∈N k ，设n n a a a a n f 21221)(++++=- ，则)2012()2013(f f -等于（ ）A . 20122；B ．20132；C .20124；D .20134.三、解答题：（满分74分） 19.（本题满分12分）在正四棱锥ABCD P -中，侧棱PA 的长为52，PA 与CD 所成的角的大小等于DCBA P510arccos． （1）求正四棱锥ABCD P -的体积；（2）若正四棱锥ABCD P -的五个顶点都在球O 的表面上，求此球O 的半径．20.（本题满分14分）已知函数x x x x x x f 2cos cos sin 3)3sin(sin 2)(+⋅+-⋅=π．（1）求函数)(x f 的最小正周期，最大值及取最大值时相应的x 值； （2）如果20π≤≤x ，求)(x f 的取值范围．21.（本题满分14分）已知圆:O 422=+y x ．（1）直线1l ：0323=-+y x 与圆O 相交于A 、B 两点，求AB ； （2）如图，设),(11y x M 、),(22y x P 是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为1M ，点M 关于x 轴的对称点为2M ，如果直线1PM 、2PM 与y 轴分别交于),0(m 和),0(n ，问n m ⋅是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．22.（本题满分16分）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，且满足12-=n n a S ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求和nn n n n n C S C S C S C S ⋅++⋅+⋅+⋅+1231201 ；（3）设有m 项的数列{}n b 是连续的正整数数列，并且满足：)lg(log )11lg()11lg()11lg(2lg 221m ma b b b =+++++++ ． 问数列{}n b 最多有几项？并求这些项的和．23.（本题满分18分）如果函数)(x f y =的定义域为R ，对于定义域内的任意x ，存在实数a 使得)()(x f a x f -=+成立，则称此函数具有“)(a P 性质”．（1）判断函数x y sin =是否具有“)(a P 性质”，若具有“)(a P 性质”求出所有a 的值；若不具有“)(a P 性质”，请说明理由．（2）已知)(x f y =具有“)0(P 性质”，且当0≤x 时2)()(m x x f +=，求)(x f y =在]1,0[上的最大值．（3）设函数)(x g y =具有“)1(±P 性质”，且当2121≤≤-x 时，x x g =)(．若)(x g y =与mx y =交点个数为2013个，求m 的值．虹口区2012学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试卷答案一、填空题（每小题4分，满分56分）1、)1,1(-；2、2；3、21； 4、3π； 5、21-； 6、1-； 7、i 21-； 8、51≥a ； 9、16±； 10、32或3；11、9； 12、10； 13、20； 14、427； 二、选择题（每小题5分，满分20分）15、B ； 16、A ； 17、C ； 18、C ； 三、解答题（满分74分） 19、(12分) 解：（1）取AB 的中点M ，记正方形ABCD 对角线的交点为O '，连PM ，O P '，AC ，则AC 过O '．PB PA =，AB PM ⊥∴，又510cos =∠PAM ，52=PA ，得22=AM .………………4分4='O A ，2='O P3642)24(31312=⋅⋅='⋅=-O P S V ABCD P 底 ∴正四棱锥ABCD P -的体积等于364（立方单位）．………………8分（2）连AO ，O O '，设球的半径为R ，则R OA =，2-='-='R O P R O O ，在A O O Rt '∆中有2224)2(+-=R R ，得5=R 。
2012-2013学年上海市浦东新区高一(下)学期期末数学试卷 (解析版)
2012-2013学年上海市浦东新区高一第二学期期末数学试卷一、填空题（本大题共12道题目，满分36分.只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分）注：答案等价表示均对1．若函数f （x ）＝2x +1的反函数为f ﹣1（x ），则f ﹣1（﹣2）＝ ． 2．若对数函数y ＝f （x ）图象过点（4，2），则其解析式是 ． 3．若角θ满足sin θ•cos θ＜0，则角θ在第 象限． 4．已知扇形的圆心角为2π3，半径为5，则扇形的面积S ＝ ．5．若θ∈(π2，π)，sinθ=35，则sin2θ＝ ．6．化简：cos(2π−θ)cot(π+θ)tan(−θ−π)sin(π−θ)cot(3π−θ)= ．7．函数y ＝log 2（x 2﹣6x +11）在区间[1，2]上的最小值是 ． 8．已知等腰三角形的顶角的余弦值等于−725，则这个三角形底角等于 （用反三角函数值表示）．9．方程(log 3x)2+log 93x −2=0的解是 ． 10．方程sin x ＝cos2x 的解集是 ．11．函数f （x ）＝2sin 2x +6cos x +3的最大值为 ．12．若为y ＝sin （2x +α）+cos （2x +α）奇函数，则最小正数α的值为 ．二、选择题（本大题共4道题目，每题3分，满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的. 13．“x ＝2k π+π4（k ∈Z ）”是“tan x ＝1”成立的（ ）A ．充分不必要条件．B ．必要不充分条件．C ．充要条件．D ．既不充分也不必要条件． 14．下列命题：①第一象限的角是锐角． ②正切函数在定义域内是增函数．③arcsin π3=√32．正确的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．315．在△ABC 中，角A ，B 均为锐角，且cos A ＞sin B ，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形16．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（π2，π）上为减函数的是（ ） A ．y ＝cos 2x B ．y ＝2|sin x |C ．y =(13)cosxD ．y ＝﹣cot x三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.注：其他解法相应给分17．已知sinθ=45，cosϕ=−513，且θ∈(π2，π)，ϕ∈(π2，π)，求sin （θ﹣ϕ）的值．18．如图，在一个半径为r 的半圆形铁板中有一个内接矩形ABCD ，矩形的边AB 在半圆的直径上，顶点C 、D 在半圆上，O 为圆心．令∠BOC ＝θ，用θ表示四边形ABCD 的面积S ，并求这个矩形面积S 的最大值．19．已知△ABC 的周长为4(√2+1)，且sinB +sinC =√2sinA ． （Ⅰ）求边长a 的值；（Ⅱ）若S △ABC ＝3sin A ，求cos A 的值． 20．已知函数f(x)=log 4(4x −1) （1）判断f （x ）的单调性，说明理由． （2）解方程f （2x ）＝f ﹣1（x ）．21．已知函数f(x)=2cosxsin(x +π3)−√3sin 2x +sinxcosx ． （1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）的最小值及取得最小值时相应的x 值；（3）说明f （x ）的图象如何由函数y ＝2sin x 的图象变换而来．2012-2013学年上海市浦东新区高一第二学期期末数学试卷参考答案一、填空题（本大题共12道题目，满分36分.只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分）注：答案等价表示均对1．若函数f （x ）＝2x +1的反函数为f ﹣1（x ），则f ﹣1（﹣2）＝ −32 ．【分析】问题可转化为已知f （x 0）＝﹣2，求x 0的值，解方程即可 解：设f （x 0）＝﹣2，即2x 0+1＝﹣2，解得x 0=−32故答案为−322．若对数函数y ＝f （x ）图象过点（4，2），则其解析式是 f （x ）＝log 2x ． 【分析】利用待定系数法求出对数函数的解析式． 解：设对数函数y ＝f （x ）＝log a x ，（a ＞0且a ≠1）， 因为对数函数的图象过点（4，2）， 所以f （4）＝log a 4＝2，解得a ＝2， 所以对数函数的解析式为f （x ）＝log 2x ． 故答案为：f （x ）＝log 2x ．3．若角θ满足sin θ•cos θ＜0，则角θ在第 二或四 象限．【分析】根据条件判断出sin θ和cos θ异号，根据三角函数的符号判断出θ所在的象限． 解：∵sin θ•cos θ＜0， ∴{sinθ＞0cosθ＜0或{sinθ＜0cosθ＞0， 则θ在第二或四象限， 故答案为：二或四． 4．已知扇形的圆心角为2π3，半径为5，则扇形的面积S ＝25π3．【分析】利用S =12lr =12αr 2，即可求得结论．解：∵扇形的圆心角为2π3，半径为5，∴S =12lr =12αr 2=12×2π3×25=25π3故答案为：25π35．若θ∈(π2，π)，sinθ=35，则sin2θ＝ −2425．【分析】根据角的范围和平方关系，求出cos θ的值，再由倍角的正弦公式求出sin2θ．解：∵θ∈(π2，π)，sinθ=35，∴cos θ=−√1−sin 2θ=−45，则sin2θ＝2sin θcos θ=−2425， 故答案为：−2425． 6．化简：cos(2π−θ)cot(π+θ)tan(−θ−π)sin(π−θ)cot(3π−θ)= 1 ．【分析】直接利用诱导公式化简求值即可． 解：原式=cosθcotθ(−tanθ)sinθ(−cotθ)=−cosθsinθ(−cotθ)=−cotθ−cotθ=1． 7．函数y ＝log 2（x 2﹣6x +11）在区间[1，2]上的最小值是 log 23 ． 【分析】利用复合函数的性质求函数的最小值，可以考虑使用换元法． 解：设t ＝x 2﹣6x +11，则t ＝x 2﹣6x +11＝（x ﹣3）2+2，因为x ∈[1，2]，所以函数t ＝x 2﹣6x +11，在[1，2]上单调递减，所以3≤t ≤6． 因为函数y ＝log 2t ，在定义域上为增函数，所以y ＝log 2t ≥log 23． 所以函数y =log 2(x 2−6x +11)在区间[1，2]上的最小值是log 23． 故答案为：log 23．8．已知等腰三角形的顶角的余弦值等于−725，则这个三角形底角等于 arcsin 35（用反三角函数值表示）．【分析】设△ABC 中 AB ＝AC ，作AD ⊥BC 于D ，设∠CAD ＝α，则∠ABC ＝2α．利用二倍角的余弦公式列式，解出cos α=35．进而在Rt △ACD 中算出sin C =35，由此即可得到此等腰三角形的底角大小．解：设等腰三角形为△ABC ，AB ＝AC ，如图所示 作AD ⊥BC 于D ，设∠CAD ＝α，则∠BAC ＝2α∵cos ∠ABC =−725，即cos2α=−725∴2cos 2α﹣1=−725，解之得cos α=35（舍负）因此，Rt△ACD中，sin∠C＝cosα=35，可得角C=arcsin35即此等腰三角形的底角等于arcsin 3 5故答案为：arcsin 3 59．方程(log3x)2+log93x−2=0的解是x1＝3，x2=√39．【分析】先利用对数的运算性质和换底公式将方程进行化简，然后利用换元法，将方程转化为一元二次方程求解．解：因为方程为(log3x)2+log93x−2=0，所以可得(log3x)2+log3(3x)log39−2=(log3x)2+1+log3x2−2=0，即(log3x)2+12log3x−32=0，所以2(log3x)2+log3x−3=0．设t＝log3x，则原不等式等价为2t2+t﹣3＝0，解得t＝1或t=−3 2．当t＝1时，得log3x＝1，解得x＝3．当t=−32时，得log3x=−32=−32log33=log33−32，解得x=3−32=√39．所以方程的两个解是x1＝3，x2=√39．故答案为：x1＝3，x2=√39．10．方程sin x＝cos2x的解集是{x|x=nπ+(−1)n π6或x=2nπ−π2，n∈Z}．【分析】方程sin x＝cos2x，可化为2sin2x+sin x﹣1＝0，由此可得方程的解集．解：∵sin x＝cos2x，∴2sin2x+sin x﹣1＝0∴sin x＝﹣1或sinx=1 2∴x=nπ+(−1)n π6或x=2nπ−π2，n∈Z∴方程sin x＝cos2x的解集是{x|x=nπ+(−1)n π6或x=2nπ−π2，n∈Z}故答案为{x|x=nπ+(−1)n π6或x=2nπ−π2，n∈Z}．11．函数f（x）＝2sin2x+6cos x+3的最大值为9．【分析】把函数化简为关于cos x的二次函数f（x）＝﹣2cos2x+6cos x+5，利用二次函数在闭区间[﹣1，1]上的最值求解即可．解：f（x）＝2sin2x+6cos x+3＝﹣2cos2x+6cos x+5=−2(cosx−32)2+192∵﹣1≤cos x≤1∴函数在[﹣1，1]单调递增∴函数在cos x＝1时取得最大值9故答案为：912．若为y＝sin（2x+α）+cos（2x+α）奇函数，则最小正数α的值为α=3π4．【分析】首先分析题目已知y＝sin（2x+α）+cos（2x+α）是奇函数，则由奇函数的性质得：在原点的函数值为0．可把函数化为标准型再求解，取最小正数即可直接得到答案．【解答】解因为y＝sin（2x+α）+cos（2x+α）为奇函数，且y＝sin（2x+α）+cos（2x+α）=√2sin(2x+α+π4)是奇函数，则x＝0时y＝0 所以√2sin(α+π4)=0且α是正数，所以α+π4=πα=3π4，故答案为α=3π4．二、选择题（本大题共4道题目，每题3分，满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的.13．“x＝2kπ+π4（k∈Z）”是“tan x＝1”成立的（）A．充分不必要条件．B．必要不充分条件．C ．充要条件．D ．既不充分也不必要条件．【分析】根据正切函数的定义，分别判断当x ＝2k π+π4（k ∈Z ）时，tan x ＝1是否成立及tan x ＝1时，x ＝2k π+π4（k ∈Z ）是否成立，进而根据充要条件的定义可得答案 解：当x ＝2k π+π4（k ∈Z ）时，tan x ＝1成立 当tan x ＝1时，x ＝2k π+π4或x ＝2k π+5π4（k ∈Z ） 故x ＝2k π+π4（k ∈Z ）是tan x ＝1成立的充分不必要条件 故选：A ． 14．下列命题：①第一象限的角是锐角． ②正切函数在定义域内是增函数．③arcsin π3=√32．正确的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】①根据第一象限角和锐角的定义判断．②利用正切函数的图象和性质判断．③利用反三角函数的定义判断．解：①因为锐角的范围是0°＜θ＜90°．而第一象限角的范围是k 360°＜θ＜k ＜360°+90°，∈z ，所以①错误．②正切函数的单调增区间为(−π2+kπ，π2+kπ)，k ∈Z ，但在整个定义域上，正切函数不单调，所以②错误．③根据反三角函数的定义可知，函数y ＝arcsin x 的定义域为（﹣1，1）．因为π3＞1，所以③错误．故正确的个数是0个． 故选：A ．15．在△ABC 中，角A ，B 均为锐角，且cos A ＞sin B ，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【分析】利用cos （π2−α）＝sin α及正弦函数的单调性解之．解：因为cos A ＞sin B ，所以sin （π2−A ）＞sin B ，又角A ，B 均为锐角，则0＜B ＜π2−A ＜π2，所以0＜A +B ＜π2， 且△ABC 中，A +B +C ＝π，所以π2＜C ＜π．故选：C ．16．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（π2，π）上为减函数的是（ ）A ．y ＝cos 2xB ．y ＝2|sin x |C ．y =(13)cosxD ．y ＝﹣cot x【分析】分别求出四个选项中函数的周期，排除选项后，再通过函数的单调减区间找出正确选项即可．解：由题意考察选项，C 的周期不是π，所以C 不正确； 由于Ay ＝cos 2x 在区间（π2，π）上为增函数，选项A 不正确；y ＝2|sin x |以π为最小正周期，且在区间（π2，π）上为减函数，正确；y ＝﹣cot x 且在区间（π2，π）上为增函数，D 错误；故选：B ．三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.注：其他解法相应给分17．已知sinθ=45，cosϕ=−513，且θ∈(π2，π)，ϕ∈(π2，π)，求sin （θ﹣ϕ）的值．【分析】根据角的范围和平方关系分别求出cos θ、sin φ，再由两角差的正弦公式求出sin （θ﹣ϕ）的值．解：∵sinθ=45且θ∈(π2，π)，∴cosθ=−√1−sin 2θ=−35． ∵cosϕ=−513且ϕ∈(π2，π)，∴sinϕ=√1−cos 2ϕ=1213．则sin （θ﹣ϕ）＝sin θcos ϕ﹣cos θsin ϕ =45×(−513)−(−35)×1213=1665．18．如图，在一个半径为r 的半圆形铁板中有一个内接矩形ABCD ，矩形的边AB 在半圆的直径上，顶点C 、D 在半圆上，O 为圆心．令∠BOC ＝θ，用θ表示四边形ABCD 的面积S ，并求这个矩形面积S 的最大值．【分析】根据直角三角形中的三角函数和图形求出矩形的长和宽，再表示出矩形的面积，利用倍角的正弦公式化简，再由正弦函数的最值求出矩形面积的最大值． 解：由图得，BC ＝r sin θ，AB ＝2r cos θ， ∴S ＝AB ×BC ＝2r cos θ×r sin θ＝r 2sin2θ， 当θ=π4时，sin2θ=sin π2=1， ∴S max =r 2．19．已知△ABC 的周长为4(√2+1)，且sinB +sinC =√2sinA ． （Ⅰ）求边长a 的值；（Ⅱ）若S △ABC ＝3sin A ，求cos A 的值．【分析】（I ）根据正弦定理把sinB +sinC =√2sinA 转化为边的关系，进而根据△ABC 的周长求出a 的值．（II ）通过面积公式求出bc 的值，代入余弦定理即可求出cos A 的值． 解：（I ）根据正弦定理，sinB +sinC =√2sinA 可化为b +c =√2a ．联立方程组{a +b +c =4(√2+1)b +c =√2a ，解得a ＝4． ∴边长a ＝4； （II ）∵S △ABC ＝3sin A ， ∴12bcsinA =3sinA ，bc =6．又由（I ）可知，b +c =4√2，∴cosA =b 2+c 2−a 22bc =(b+c)2−2bc−a 22bc =13．20．已知函数f(x)=log 4(4x −1) （1）判断f （x ）的单调性，说明理由． （2）解方程f （2x ）＝f ﹣1（x ）．【分析】（1）利用函数单调性的定义，或复合函数单调性的判定方法，可得结论；（2）求出f ﹣1（x ），可得方程，解方程，即可得到结论．解：（1）4x ﹣1＞0，所以x ＞0，所以定义域是（0，+∞），f （x ）在（0，+∞）上单调增．证法一：设0＜x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=log 4(4x 1−1)−log 4(4x 2−1)=log 44x 1−14x 2−1又∵0＜x 1＜x 2，∴1＜4x 1＜4x 2，0＜4x 1−1＜4x 2−1∴4x 1−14x 2−1＜1，即log 44x 1−14x 2−1＜0∴f （x 1）＜f （x 2），f （x ）在（0，+∞）上单调增．…5分 证法二：∵y ＝log 4x 在（0，+∞）上都是增函数，…2分 y ＝4x ﹣1在（0，+∞）上是增函数且y ＝4x ﹣1＞0…4分 ∴f(x)=log 4(4x −1)在（0，+∞）上也是增函数． …5分 （2）f −1(x)=log 4(4x +1)，∴f （2x ）＝f ﹣1（x ），即0＜42x ﹣1＝4x +142x ﹣4x ﹣2＝0，解得4x ＝﹣1（舍去）或4x ＝2， ∴x =log 42=12⋯9分经检验，x =12是方程的根． …10分．21．已知函数f(x)=2cosxsin(x +π3)−√3sin 2x +sinxcosx ．（1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）的最小值及取得最小值时相应的x 值；（3）说明f （x ）的图象如何由函数y ＝2sin x 的图象变换而来． 【分析】首先将函数化为正弦型y =2sin(2x +π3)， （1）周期易求（2）当2x +π3=2kπ−π2，f （x ）取最小值为﹣2； （3）利用图象变换规律求解．解：f(x)=2cosxsin(x +π3)−√3sin 2x +sinxcosx =cosxsinx +√3cos 2x −√3sin 2x +sinxcosx =sin2x +√3cos2x =2sin(2x +π3)⋯3分 （1）由上可知，f （x ）得最小正周期为T ＝π；…4分（2）当2x +π3=2kπ−π2，即x =kπ−5π12，k ∈Z 时，f （x ）取最小值为﹣2；…8分（3）将函数y ＝2sin x 的图象向左平移π3单位，再将得到的函数图象上所有的点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12倍，可得到函数f （x ）的图象．…12分．。
2024届上海市虹口高级中学数学高一下期末调研试题含解析
2024届上海市虹口高级中学数学高一下期末调研试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．棱长为2的正四面体的表面积是（ ） A ．3B ．4C ．43D ．162．若两个正实数x ，y 满足2142x x y +=，且不等式224yx m m x+<-有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,2- B ．()(),21,-∞-⋃+∞ C ．()2,1-D ．()(),12-∞-+∞3．已知{}n a 为递增等比数列47565,6a a a a +==，则110a a +=（） A ．152B ．5C ．6D ．3564．一实体店主对某种产品的日销售量（单位：件）进行为期n 天的数据统计，得到如下统计图，则下列说法错误的是（ ）A ．30n =B ．中位数为17C ．众数为17D ．日销售量不低于18的频率为0.55．同时掷两枚骰子，则向上的点数相等的概率为（ ） A ．136B ．112C ．19D ．166．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．16B ．20C ．24D ．287．若圆锥的高扩大为原来的3倍，底面半径缩短为原来的，则圆锥的体积（ ） A ．缩小为原来的 B ．缩小为原来的 C ．扩大为原来的2倍D ．不变8．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为（） A ．22B 3C 32D 319．直线10ax y +-=与直线2320x y +-=平行，则实数a 的值为（ ） A ．23B ．1-C ．32-D ．610．某班的60名同学已编号1,2,3，…，60，为了解该班同学的作业情况，老师收取了号码能被5整除的12名同学的作业本，这里运用的抽样方法是( ) A ．简单随机抽样 B ．系统抽样 C ．分层抽样D ．抽签法二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
上海市高一(下)期末数学试卷十
静安区2012学年第二学期期末测试十高一年级 数学试卷（完成时间90分钟，满分100分）2013.6一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，每题4分，只要求直接填写结果．1．已知角x 的终边与单位圆的交点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-53,54 则x tan 的值为 . 2．已知扇形的圆心角为2，面积为4，则扇形的周长为 ． 3．计算：lg4+=___________.4．函数224)(1+-=+x xx f 的值域是______.5．函数x x f 2log )(=与)(x g y =的图像关于直线x y =对称，则=)2(g .6．设集合}sin 3{α，=A ，}cos 2{α，=B ，若}22{-=B A ，则=α . 7．设集合{}23,log P a =，{},Q a b =，若{}0P Q = ，则P Q = . 8．在△ABC 中，已知41tan =A ，53tan =B ，且△ABC 最大边的长为17，则△ABC 最小边的长为____________．9．函数)1cos(+=x y ，]2,0[π∈x 的图象与直线31=y 的交点的横坐标之和为 . 10．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于 .11．已知钝角三角形ABC 的边长分别为２、3、x ，则第三边x 的取值范围是 .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.12．既是偶函数又在区间),0(π上单调递减的函数是……………………（ ） （A ）x y sin =； （B ）x y cos =；（C ）x y 2sin =；（D ）x y 2cos =.13．已知△ABC 两内角A 、B 的对边边长分别为a 、b ，则“B A =”是“B b A a cos cos =的…（ ）（A ）充分非必要条件；（B ）必要非充分条件；（C ）充要条件；（D ）非充分非必要条件． 14．下列命题中正确的是…………………………（ ）（A ）函数x y sin =与x y arcsin =互为反函数；（B ）函数x y sin =与x y arcsin =都是增函数； （C ）函数x y sin =与x y arcsin =都是奇函数；（D ）函数x y sin =与x y arcsin =都是周期函数． 15．设定义在R 上的函数)(x f 是最小正周期为π2的偶函数，当],0[π∈x 时，1)(0<<x f ，且在]2,0[π上单调递减，在],2[ππ上单调递增，则函数x x f y sin )(-=在]10,10[ππ-上的零点个数为…………（ ）（A ）0； （B ）10； （C ）20； （D ）40.三、解答题（本大题满分40分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 16.(本题满分6分)已知函数22()log (23)f x x x =-++，求该函数的定义域和值域，并指出其单调区间.17.(本题满分8分)，已知函数x x a x f cos sin )(+=，a 为是常数，R ∈x ． （1）请指出函数)(x f 的奇偶性，并给予证明；（2）当3=a ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求)(x f 的取值范围．18.(本题满分8分．请给出两种解法，每种正确解法各得4分)已知5cos 4sin 3=+x x ，求x tan 的值.19.(本题满分8分)一铁棒AB 欲水平通过如图所示的直角走廊，试回答下列问题：（1）用θ表示铁棒的长度)(θL ；（2）若铁棒能通过该直角走廊，求铁棒长度的最大值．20.(本题满分10分)已知函数14cos 4sin 2)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+=x x x f ππ （1）求函数)(x f 的周期；（2）若函数x x f x g 2cos 32)()(-=，试求函数)(x g 的单调递增区间； （3）若72cos )(22--≥-m m x x f 恒成立，试求实数m 的取值范围.【参考答案】 1.43-；2.8；3.2；4.),1[+∞；5.4；6.Z k k ∈+,245ππ；7.}1,0,3{；8.2；9.22-π；10.257；11. )5,13()5,1( 12.B ；13.Ａ；14.D ；15.C16.(本题满分6分)已知函数22()log (23)f x x x =-++，求该函数的定义域和值域，并指出其单调区间.解：由2230x x -++>，解得13x -<<，所以函数()f x 的定义域为(1,3)-. 2分 令2223(1)4t x x x =-++=--+，则04t <≤，所以22()log log 42f x t =≤=， 因此函数()f x 的值域为(,2]-∞ ………………………………………… 2分 单调递增区间]1,1(-，递减区间为)3,1[ ………………………………… 2分17.(本题满分8分)，已知函数x x a x f cos sin )(+=，a 为是常数，R ∈x ． （1）请指出函数)(x f 的奇偶性，并给予证明；（2）当3=a ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求)(x f 的取值范围．解：（1）x x a x f cos sin )(+-=-，⇔=-)()(x f x f x x a x x a cos sin cos sin +=+-00sin 2=⇔=⇔a x a ,所以，当0=a 时，)(x f 是偶函数． ……………………2分⇔-=-)()(x f x f x x a x x a cos sin cos sin --=+- 0cos 2=⇔x ,Z k k x ∈+=⇔.2ππ仅对成立，所以，)(x f 是不是奇函数．……2分综上：当0=a 时，)(x f 是偶函数；当0≠a 时，)(x f 是非奇非偶函数．注：当0≠a 时，证明)(x f 是非奇或非偶函数可举例说明．（2）当3=a 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=6sin 2cos sin 3)(πx x x x f ……………2分由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，得3266πππ≤+≤x ，16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤πx ．所以．[]2,1)(∈x f ．………………………………………………………（2分）18.(本题满分8分．请给出两种解法，每种正确解法各得4分)已知5cos 4sin 3=+x x ，求x tan 的值. 解法1：由5cos 4sin 3=+x x 得：5114123222=+-++⋅t t t t （其中2tan x t =），整理得01692=+-t t ，即0)13(2=-t ，从而31=t ， 所以：4331131212tan 22=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=-=t t x 解法2：由5cos 4sin 3=+x x 得：5cos 54sin 535=⎪⎭⎫⎝⎛+x x ， 从而1)sin(=+ϕx ，其中)20(34tan πϕϕ<<=。
上海高一下数学期末考卷
2012年度高一年级数学补考卷（时间90分，共100分）姓名________班级_________得分__________一、填空题（每题5分，本大题共10题，共50分）1．若{ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT |6πθ=，则_____________． 2．已知扇形的圆心角为,半径为5,则扇形的弧长=__________3．若,则_______4．化简:__________5．已知sin α=,0<α<,那么=__________6．已知且,则用反三角表示_________7．已知tan α,tan β是方程x 2+3x +4=0的两根,,则8．△ABC 三内角满足acos A=bcosB ,则△ABC 的形状为.____________9．方程在内的解集是____________10．某货轮在A 处看灯塔S 在北偏东30°，它以每小时36海里的速度向正北方向航行，40分钟后航行到B 处，看灯塔S 在北偏东75°，则这时货轮到灯塔S 的距离为__________二、选择题（每题5分，本大题共3题，共15分）11．函数的图像恒经过定点P,则P 点的坐标是.( )A. (1,4)B. (4,1)C. (2,4)D..(4,2)12．“”是“函数的最小正周期为”的( )条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要13．函数的值域是( )A. B. C. D.三.解答题（35分）14．(1)计算: （2）已知矩阵A=求15．已知函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,>0,|φ|<)在同一周期中最高点的坐标为(2,2),最底点的坐标为(8,).（1）求A,ω,φ的值；（2）用“五点作图法”作出函数的一个周期的简图,.16．设函数f(x)＝, x∈R.（1）化简并求它的最小正周期？（2）若f(x)=1-,且x∈[,],求x；。
上海市虹口区2019-2020学年高一下期末学业质量监测数学试题含解析
上海市虹口区2019-2020学年高一下期末学业质量监测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．把函数cos 22y x x =的图象经过变化而得到2sin 2y x =的图象，这个变化是（ ） A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：cos 222sin 22sin 2612y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与2sin 2y x =比较可知：只需将cos 22y x x =+向右平移12π个单位即可考点：三角函数化简与平移 2．若某扇形的弧长为2π，圆心角为4π，则该扇形的半径是（ ） A ．14 B ．12C ．1D ．2【答案】D 【解析】 【分析】由扇形的弧长公式列方程得解. 【详解】设扇形的半径是r ，由扇形的弧长公式l r α=⋅得：42r π=π⨯，解得：2r故选D 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，考查了方程思想，属于基础题．3．若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B 【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值. 【详解】作出约束条件1,0,20,yx yx y≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，所对应的可行域（如图阴影部分）变形目标函数可得1122y x z=-，平移直线12y x=可知，当直线经过点()1,1C-时，直线的截距最小，代值计算可得z取最大值()max1213z=-⨯-=故选B.【点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4．阅读如图的程序框图，运行该程序，则输出s的值为（）A．3 B．1C ．-1D ．0【答案】D 【解析】 【分析】从起始条件1i =、1s =开始执行程序框图，直到5i =终止循环. 【详解】1s =，1,1(31)13i s ==⋅-+=， 2,3(32)14i s ==⋅-+=， 3,4(33)11i s ==⋅-+=， 4,1(34)10i s ==⋅-+=，54,i =>输出0s =.【点睛】本题是直到型循环，只要满足判断框中的条件，就终止循环，考查读懂简单的程序框图.5．函数2sin cos 2y x x x =的单调增区间是( ) A ．5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ B ．[,]()63k k k Z ππππ-+∈C ．[,]()36k k k Z ππππ-+∈D ．5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ 【答案】D 【解析】 【分析】化简函数可得y ＝2sin （2x 3π-），把“2x 3π-”作为一个整体，再根据正弦函数的单调增区间，求出x 的范围，即是所求函数的增区间． 【详解】22222sin 23y sinxcosx x sin x x x （）π===-，由2π-+2kπ≤2x 32ππ-≤+2kπ得，kπ12π-≤x≤kπ512π+ （k ∈z ），∴函数的单调增区间是[kπ12π-，kπ512π+]（k ∈z ），故选D ． 【点睛】本题考查了正弦函数的单调性应用，一般的做法是利用整体思想，根据正弦函数（余弦函数）的性质进行求解．6．已知5a =，3b =，且12a b ⋅=-，则向量a 在向量b 上的投影等于（ ） A ．-4 B ．4C ．125-D ．125【答案】A 【解析】 【分析】根据公式，向量a 在向量b 上的投影等于a bb⋅，计算求得结果.【详解】向量a 在向量b 上的投影等于1243a b b⋅-==-. 故选A. 【点睛】本题考查了向量的投影公式，只需记住公式代入即可，属于基础题型. 7．已知一扇形的周长为15cm ，圆心角为3rad ，则该扇形的面积为( ) A ．29cm B ．210.5cm C ．213.5cm D ．217.5cm【答案】C 【解析】 【分析】根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与弧长公式即可求出扇形的弧长与半径，进而根据扇形的面积公式即可求解． 【详解】设扇形的弧长为l ，半径为r ，扇形的圆心角的弧度数是α. 则由题意可得：215,3r l l r r α+===. 可得：2315r r +=，解得：3r =，9l =. 可得：211=9313.522S lr cm =⨯⨯=扇形 故选：C 【点睛】本题主要考查扇形的周长与扇形的面积公式的应用，以及考查学生的计算能力，属于基础题．8．已知数列{a n }满足331log 1log ()n n a a n N +++=∈且2469a a a ++=，则15793log ()a a a ++的值是( )A ．－5B ．－15C ． 5D ．15【答案】A 【解析】试题分析：331313log 1log log log 1n n n n a a a a +++=∴-=即13log 1n n a a +=13n naa +∴= ∴数列{}n a 是公比为3的等比数列335579246()393a a a q a a a ∴++=++=⨯=15793log ()5a a a ∴++=-．考点：1．等比数列的定义及基本量的计算；2．对数的运算性质． 9．函数，，若存在，，使得成立，则的最大值为（ ） A ．12 B ．22C ．23D ．32【答案】B 【解析】 【分析】 由题得，构造，分析得到，即得解.【详解】 由得，令，，，得.的最大值为22. 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的最值的求法，注意运用转化思想，以及二次函数在闭区间上的最值求法，考查运算能力，属于中档题．10．已知向量()2,1a =-，()1,b x =，a b ⊥，则x =（ ） A ．1- B ．1C ．2-D ．2【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量垂直的坐标等价条件列等式求出实数x 的值. 【详解】()2,1a =-，()1,b x =，a b ⊥，20a b x ∴⋅=-+=，解得2x =，故选D.【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，解题时将向量垂直转化为两向量的数量积为零来处理，考查计算能力，属于基础题.11．如图，函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭与坐标轴的三个交点P ，Q ，R 满足(1,0)P ，4PQR π∠=，M 为QR 的中点，5PM =，则A 的值为（ ）A ．2B ．52C 1633D 833【答案】D 【解析】 【分析】用周期T 表示出Q 点坐标，从而又可得R 点坐标，再求出M 点坐标后利用5PM =T ，得,,A ωϕ． 【详解】记函数的周期T ，则(1,0)2T Q +，因为4PQR π∠=，∴(0,1)2TR --，M 是QR 中点，则11(,)2424T TR +--， ∴2211(1)()52424T TPM =+-+--=6T =，∴263ππω==， 由sin()03πϕ+=得,3k k Z πϕπ+=∈，∵2πϕ≤，∴3πϕ=-，()sin()33f x A x ππ=-，(0)sin()1332f A A π=-=-=--，∴3A =， 故选：D. 【点睛】本题考查求三角函数的解析式，掌握正弦函数的图象与性质是解题关键．12．设在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为 （ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理可得()2sin sin B C A +=，结合三角形内角和定理与诱导公式可得sin 1,2A A π==，从而可得结果. 【详解】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以由正弦定理可得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，()22sin sin sin sin B C A A A +=⇒=，所以sin 1,2A A π==，所以是直角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 二、填空题：本题共4小题13．等差数列{}n a 满足3198,4a a a =+=，则其公差为__________． 【答案】3- 【解析】 【分析】首先根据等差数列的性质得到52a =，再根据532a a d -=即可得到公差的值. 【详解】19524a a a +==，解得52a =. 5326a a d -==-，所以3d =-.故答案为：3- 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，熟记公式为解题的关键，属于简单题.14．若x 、y 满足约束条件24326x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为________.【答案】18 【解析】 【分析】先作出不等式组24326x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩所表示的平面区域，再观察图像即可得解.【详解】解：作出不等式组24326x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩所表示的平面区域，如图所示，由图可得：目标函数3z x y =+所在直线过点14(,4)3M 时，z 取最大值， 即max 1434183z =⨯+=， 故答案为：18 .【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，重点考查了作图能力，属基础题.15．已知数列{}n a 是等差数列，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1133S =，则6a =________.【答案】1 【解析】 【分析】由等差数列的求和公式和性质可得11611S a =，代入已知式子可得6a ． 【详解】由等差数列的求和公式和性质可得：11S =()111112a a +＝66112112a a ⨯=，且1133S =，∴63a =. 故答案为：1． 【点睛】本题考查了等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题．16．已知数列n n n n n n na abc b a b ≥⎧=⎨<⎩，，，其中()5*122n n n t a n b n N -⎛⎫=+=∈ ⎪⎝⎭，，若数列{}n c 中，7n c c <恒成立()*7n N n ∈≠，，则实数t 的取值范围是_______. 【答案】31(,13)2-- 【解析】 【分析】由函数（数列）单调性确定n c 的项，哪些项取n a ，哪些项取n b ，再由7c 是最小项，得不等关系． 【详解】由题意数列{}n a 是递增数列，数列{}n b 是递减数列，存在0n ，使得0n n ≤时，n n c b =，当0n n >时，n n c a =， ∵数列{}n c 中，7c 是唯一的最小项， ∴778a b a ≤<或776b a b ≤<，178242t t +≤<+或117422t ≤+<， 312722t -<≤-或27132t -≤<-， 综上31132t -<<-． ∴ t 的取值范围是31(,13)2--．故答案为：31(,13)2--．【点睛】本题考查数列的单调性与最值．解题时楞借助函数的单调性求解．但数列是特殊的函数，它的自变量只能取正整数，因此讨论时与连续函数有一些区别．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2012年虹口区数学一模
上海市虹口区2012届高三上学期期终教学质量监控测试卷一、填空题（每小题4分，满分56分）1、已知集合{}4,3,2,1=M ，{}7,5,3,1=N ，集合N M P ⋂=，则集合P 的子集共有 个．2、若函数xa x x f +=4)(在区间]2,0(上是减函数，则实数a 的取值范围是 ． 3、已知ααcos 31sin -=，则ααπ2cos )4sin(-的值等于 ． 4、若三角方程12cos 7sin 2-=-m αα有解，则实数m 的取值范围是 ．5、从1，2，3，4，5，6这六个数中一次随机取出两数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率等于 ．6、已知函数)4sin()(πω+=x x f （R x ∈，0>ω）的最小正周期为π，将)(x f y =图像向左平移ϕ个单位长度)20(πϕ<<所得图像关于y 轴对称，则=ϕ ．7、，是两个不共线的单位向量，若向量-与向量k +2垂直，则实数=k ．8、数列{}n a 满足01=a ，且211111=---+nn a a )(*∈N n ，则通项公式=n a ． 9、过抛物线x y 82=的焦点作弦AB ，点),(11y x A ，),(22y x B ，且1021=+x x ， 则=AB ． 10、已知双曲线112422=-y x 的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 在双曲线上， 且︒=∠9021PF F ，则点P 到x 轴的距离等于 ．11、过圆25)3()1(22=-+-y x 内的点），01(的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积等于 ．12、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若189=S ，304=-k a )9(>k ，336=k S ， 则=k ．13、已知函数a x x f +=2)(，16)(2+-=x x x g ，对于任意的]1,1[1-∈x 都能找到 ]1,1[2-∈x ，使得)()(12x f x g =，则实数a 的取值范围是 ．14、已知a bc ，b ac ，c ab 成等差数列，则①2b ac ≥；②ac b ≥2；③b c a ≥+2中，正确的是 ．（填入序号）二、选择题（每小题5分，满分20分）15、正方体1111D C B A ABCD -中，E 为线段11D B 上的一个动点，则下列结论中错误的是（ ）.A BE AC ⊥ .B //1E B 平面ABCD.C 三棱锥ABC E -的体积为定值 .D 直线E B 1⊥直线1BC16、已知数列{}n a 的前n 项和n S ，对于任意的*∈N n m ,，都满足n m m n S S S +=+，且21=a ，则2011a 等于（ ）.A 2 .B 2011 .C 2012 .D 402217、定义在R 上的函数)(x f ，当]1,1(-∈x 时，x x x f -=2)(，且对任意的x 满足)()2(x af x f =-（常数0>a ），则函数)(x f 在区间]7,5(上的最小值是（ ） .A 341a - .B 341a .C 341a.D 341a - 18、已知集合{}R x x x x A ∈<+-=,0342，{}R x x a x a x B x ∈≤++-≤+=-,05)7(20221且， 若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）.A ]0,4[- .B ]1,4[-- .C ]0,1[- .D ]1,314[--三、解答题（满分74分）19、（13分）已知椭圆P 的焦点坐标为)1,0(±，长轴等于焦距的2倍． （1）求椭圆P 的方程；（2）矩形ABCD 的边AB 在y 轴上，点C 、D 落在椭圆P 上，求矩形绕y 轴旋转一周后所得圆柱体侧面积的最大值．20、（15分）已知向量)1,sin (x =，)21,cos 3(x =，函数x f ⋅+=)()(． （1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）若a ，b ，c 是ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边，32=a ，22=c ，且)(A f 是函数)(x f 在]2,0(π上的最大值，求：角A ，角C 及b 边的大小．21、（15分）（1）求以02=±y x 为渐近线，且过点)2,72(-的双曲线A 的方程；（2）求以双曲线A 的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆B 的方程；（3）椭圆B 上有两点P ，Q ，O 为坐标原点，若直线OP ，OQ 斜率之积为51，求证：22OQ OP + 为定值．22、（15分）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，2)21(211+-=--n n n S S （2≥n ，*∈N n ），且211=a ． （1）求2a 的值，并写出n a 和1+n a 的关系式；（2）求数列{}n a 的通项公式及n S 的表达式；（3）我们可以证明：若数列{}n b 有上界（即存在常数A ，使得A b n <对一切*∈N n 恒成立）且单调递增；或数列{}n b 有下界（即存在常数B ，使得B b n >对一切*∈N n 恒成立）且单调递减，则n n b ∞→lim 存在．直接利用上述结论，证明：n n S ∞→lim 存在．23、（16分）已知函数2)1(1log )(---=x x m x f a （0>a ，1≠a ）． （1）若1-=m 时，判断函数)(x f 在),2(∞+上的单调性，并说明理由；（2）若对于定义域内一切x ，0)1()1(=-++x f x f 恒成立，求实数m 的值；（3）在（2）的条件下，当),(a b x ∈时，)(x f 的取值恰为),1(∞+，求实数a ，b 的值．虹口区2011学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试卷答案一、填空题（每小题4分，满分56分）1、4；2、16≥a ；3、223； 4、]2,1[-； 5、51； 6、8π； 7、21； 8、 1222--n n ； 9、14； 10、3； 11、40； 12、21； 13、62≤≤-a ； 14、③ ；二、选择题（每小题5分，满分20分）15、D ； 16、A ； 17、D ； 18、B ；三、解答题（满分74分）19、(13分)（1）椭圆的方程为14322=+y x …………………………………………………………4分 （2）记),(y x D ，∴xy S ππ4AB BC 2=⋅⋅=侧…………………………………7分 由34324312222xy y x y x =⋅≥+=，得3≤xy ，∴π34≤侧S ．…………12分 当214322==y x ，即26=x ，2=y 时取到．………………………………13分 20、（15分）（1）23cos sin 3sin )1,sin ()23,cos 3sin ()(2+⋅+=⋅+=x x x x x x x f 2)62sin(+-=πx ， π=T ………………………………………………………………………………5分（2） 20π≤<x ，∴65626πππ≤-<-x ，∴)(x f 的最大值为3． ∴32)62sin()(=+-=πA A f ， A 为三角形内角，∴3π=A ………………9分又C sin 223sin 32=π，得22sin =C ， π<+C A ，∴4π=C ………………12分 由212228122⋅⋅-+=b b ， 得04222=--b b ，∴62+=b ………15分21、（15分） （1）设双曲线方程为λ=-224y x )0(≠λ将)2,72(-代入，得20=λ，得双曲线A ：152022=-y x ……………………………………………………………3分 （2）椭圆的顶点为)0,5(±，焦点为)0,20(±，∴52=b ，椭圆B ：152522=+y x …6分 （3）设k k OP =，k k OQ 51=，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=152522y x kx y ，得152522+=k x ，∴15)1(25222++=k k OP …10分 同理可得15)125(5222++=k k OQ ，3015301502222=++=+k k OQ OP …………15分 22、（15分）（1）212=a ．当2≥n 时，2)21(211+-=--n n n S S ①；2)21(21+-=+n n n S S ② ②—①得n n n a a )21(21+=+．又112)21(12+==a a ，即1=n 时也成立． ∴n n n a a )21(21+=+)(*∈N n …………………………………………………………5分（2）由（1）得12211+=++n n n n a a ，121=a ，∴{}n n a 2是首项为1，公差为1的等差数列， ∴n n a n n =⨯-+=1)1(12，∴nn n a 2=， 2≥n 时，2)21(211+-=---n n n S S ，2)21(1+-=+-n n n a S ，n n n S 222+-=，又2111==a S ，也满足上式，∴n n n S 222+-=)(*∈N n ……………………10分 （3） 021)222()232(111>+=+--+-=-+++n n n n n n n n S S ， ∴{}n S 单调递增， 又2222<+-=n n n S ，∴n n S ∞→lim 存在……………………………………………15分 23、（16分）（1）2log )(-=x x x f a ，任取212>>x x ，记2)(-=x x x ϕ， ∴0)2)(2()(2)()(212121>----=-x x x x x x ϕϕ，∴)(x ϕ单调递减． 当1>a 时，)(x f 在),2(∞+单调递减；当10<<a 时，)(x f 在),2(∞+单调递增．……………………………………4分 （2）由011log 11log =--++--xmx x mx a a ，得222x x m -=-，1±=m ………………8分 当1=m 时，22log )(--=x x x f a 无意义． ∴1-=m ，2log )(-=x x x f a ……………………………………………………10分 （3）)(x f 的定义域为),2()0,(∞+⋃∞-o 1．若)0,(),(∞-⊆a b ，与0>a 矛盾，不合；……………………………12分 o 2．若),2(),(∞+⊆a b ，∴a b <≤2．取a x x b <<<21，∴0)2)(2()(22221212211>----=---x x x x x x x x ． 又2>a ，2log 2log 2211->-x x x x a a ，此时)(x f 为减函数 （或由（1）得)(x f 为减函数）…………………………………………………14分 ∴值域 ))(),((b f a f 为),1(∞+，∴2=b ………………………………15分 又12log =-a a a ，得3=a ……………………………………………………16分。
上海市虹口区2013届高三数学一模试卷(文理卷-含答案)
虹口区2012学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试卷（一模）（时间120分钟，满分150分）2013.1一、填空题（每小题4分，满分56分）1、已知集合{}0322<-+=x x x A ，{}21<-=x x B ，则=⋂B A ． 2、已知向量)2,1(-=a ，)1,1(=b ，b a m -=，b a n λ+=，如果n m ⊥，则实数=λ ．3、从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者，则甲被选中的概率是．4、双曲线1322=-y x 的两条渐近线的夹角大小等于 ． 5、已知ααcos 3sin =，则=+αα2sin 12cos ．6、在下面的程序框图中，输出的y 是x 的函数，记为)(x f y =，则=-)21(1f ．否是输出输入实数结束开始7、关于z 的方程20132012101i zii izi+=--+（其中i 是虚数单位），则方程的解=z ． 8、若对于任意0>x ，不等式a x x x≤++132恒成立，则实数a 的取值范围是 ．9、在等比数列{}n a 中，已知3221=a a ，243=a a ，则=+++∞→)(lim 21n n a a a ．10、在ABC ∆中，32=AB ，2=AC 且︒=∠30B ，则ABC ∆的面积等于 ．11、已知正实数x 、y 满足xy y x =+2，则y x +2的最小值等于 ．12、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0211=-++-m m m a a a ，3812=-m S ，则=m ．13、设定义在R 上的函数)(x f 是最小正周期为π2的偶函数，当],0[π∈x 时，1)(0<<x f ，且在]2,0[π上单调递减，在],2[ππ上单调递增，则函数xx f y sin )(-=在]10,10[ππ-上的零点个数为 ．14、设点P 在曲线22+=x y 上，点Q 在曲线2-=x y 上，则PQ 的最小值等于 ．二、选择题（每小题5分，满分20分）15、若i -2是关于x 的实系数方程02=++b ax x 的一根，则该方程两根的模的和为（ ）.A 5 .B 52 .C 5 .D 1016、已知1l 、2l 、3l 是空间三条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）.A 如果21l l ⊥ ，32//l l ．则31l l ⊥． .B 如果21//l l ，32//l l ．则1l 、2l 、3l 共面． .C 如果21l l ⊥ ，32l l ⊥．则31l l ⊥． .D 如果1l 、2l 、3l 共点．则1l 、2l 、3l 共面．17、定义域为R 的函数c x b ax x f ++=2)()0(≠a 有四个单调区间，则实数c b a ,,满足（ ）DCBAP.A 0042>>-a ac b 且 .B 042>-ac b .C 02>-a b .D 02<-ab18、数列}{n a 满足⎩⎨⎧=-==kn a k n n a k n 2,12,当当，其中*∈N k ，设n n a a a a n f 21221)(++++=- ，则)2012()2013(f f -等于( )．.A 20122 .B 20132 .C 20124 .D 20134三、解答题（满分74分）19、（本题满分12分）在正四棱锥ABCD P -中，侧棱PA 的长为52，PA 与CD 所成的角的大小等于510arccos． （1）求正四棱锥ABCD P -的体积；（2）若正四棱锥ABCD P -的五个顶点都在球O 的表面上，求此球O 的半径．20、（本题满分14分）已知函数x x x x x x f 2cos cos sin 3)3sin(sin 2)(+⋅+-⋅=π．（1）求函数)(x f 的最小正周期，最大值及取最大值时相应的x 值； （2）如果20π≤≤x ，求)(x f 的取值范围．21、（本题满分14分）已知圆:O 422=+y x ．（1）直线1l ：0323=-+y x 与圆O 相交于A 、B 两点，求AB ； （2）如图，设),(11y x M 、),(22y x P 是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为1M ，点M 关于x 轴的对称点为2M ，如果直线1PM 、2PM 与y 轴分别交于),0(m 和),0(n ，问n m ⋅是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．22、（本题满分16分）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，且满足12-=n n a S ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求和nn n n n n C S C S C S C S ⋅++⋅+⋅+⋅+1231201 ；（3）设有m 项的数列{}n b 是连续的正整数数列，并且满足：)lg(log )11lg()11lg()11lg(2lg 221m ma b b b =+++++++ ． 问数列{}n b 最多有几项？并求这些项的和．23、（本题满分18分）如果函数)(x f y =的定义域为R ，对于定义域内的任意x ，存在实数a 使得)()(x f a x f -=+成立，则称此函数具有“)(a P 性质”．（1）判断函数x y sin =是否具有“)(a P 性质”，若具有“)(a P 性质”求出所有a 的值；若不具有“)(a P 性质”，请说明理由．（2）已知)(x f y =具有“)0(P 性质”，且当0≤x 时2)()(m x x f +=，求)(x f y =在]1,0[上的最大值．（3）设函数)(x g y =具有“)1(±P 性质”，且当2121≤≤-x 时，x x g =)(．若)(x g y =与mx y =交点个数为2013个，求m 的值．虹口区2012学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试卷答案一、填空题（每小题4分，满分56分）1、)1,1(-；2、2；3、21； 4、3π； 5、21-； 6、1-； 7、i 21-； 8、51≥a ； 9、16±； 10、32或3；11、9； 12、10； 13、20； 14、427； 二、选择题（每小题5分，满分20分）15、B ； 16、A ； 17、C ； 18、C ； 三、解答题（满分74分）19、(12分) 解：（1）取AB 的中点M ，记正方形ABCD 对角线的交点为O '，连PM ，O P '，AC ，则AC 过O '．PB PA =，AB PM ⊥∴，又510cos =∠PAM ，52=PA ，得22=AM .………………4分4='O A ，2='O P3642)24(31312=⋅⋅='⋅=-O P S V ABCD P 底 ∴正四棱锥ABCD P -的体积等于364（立方单位）．………………8分（2）连AO ，O O '，设球的半径为R ，则R OA =，2-='-='R O P R O O ，在A O O Rt '∆中有2224)2(+-=R R ，得5=R 。
上海市虹口区上海市继光高级中学2023年数学高一第二学期期末质量检测模拟试题含解析
2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若(3,1)P 为圆222240x y x +--=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A ．250x y +-= B ．20x y --= C ．250x y --=D ．270x y +-=2．函数22(1)1x y x x +=>-的最小值为（ ）A ．232 B ．232-+ C ．232- D ．232+3．若向量,a b 的夹角为3π，且||2a =，||1b =，则向量2a b +与向量a 的夹角为（ ） A ．3πB ．6πC ．23π D ．56π4．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，2AB =，1AD =，60DAB ∠=，PD BD =，且PD ⊥平面ABCD ，Q 为PC 的中点，则下列结论错．误．的是（ ）A ．AD PB ⊥B ．PQ DB ⊥C ．平面PBC ⊥平面PBD D ．三棱锥D PBQ -的体积为145．若函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0>ω）的最大值与最小正周期相同，则下列说法正确的是（ ）A ．在59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数B ．图象关于直线12x =对称 C ．图象关于点1,04⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()f x 的值域为()2,26．若变量,x y R ∈，且满足约束条件22011x y x y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为（ ）A ．15B ．12C ．3D ．1-7．已知(1,0),(1,2),(1,)A B C c -，若//AB BC ，则c 的值是（ ）.A ．-1B ．1C ．2D ．-28．若直线3y x b =+与圆221x y +=相切，则b =（ ）A ．233±B ．2±C ．2±D ．5±9．如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点且APB β∠=，02πβ<<，则图中阴影区域面积的最大值为（ )A ．cos ββ+B ．sin ββ+C ．22cos ββ+D ．44sin ββ+10．设函数()sin (0)3f x wx w π⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()4f x f π⎛≤⎫⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则w 的最小值为（ ） A ．12B ．23C ．34D ．1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2011-2012学年上海市虹口区复兴高级中学高一(下)学期期末数学练习试卷 (解析版)
2011-2012学年上海市虹口区复兴高级中学高一第二学期期末数学练习试卷一、填空题（本大题满分36分）1．函数f （x ）＝log 3（x +3）的反函数的图象与y 轴的交点坐标是 ．2．（上海卷理8）对任意不等于1的正数a ，函数f （x ）＝log a （x +3）的反函数的图象都经过点P ，则点P 的坐标是 3．行列式|cos π3sin π6sinπ3cosπ6|的值是 ． 4．若行列式|45x1x3789|中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是 ． 5．若向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=2且a →与b →的夹角为π3，则|a →+b →|= ．6．函数f(x)=√3sinx +sin(π2+x)的最大值是 ．7．设函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，若当x ∈（0，+∞）时，f （x ）＝lg x ，则满足f （x ）＞0的x 的取值范围是 ．8．方程x 2+√2x ﹣1＝0的解可视为函数y ＝x +√2的图象与函数y =1x的图象交点的横坐标，若x 4+ax ﹣4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k （k ≤4）所对应的点（x i ，4x i ）（i ＝1，2，…，k ）均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是 ．9．当0≤x ≤1时，不等式sin πx2≥kx 成立，则实数k 的取值范围是 ． 10．在n 行n 列表( 123⋯n −2n −1n 234⋯n −1n 1345⋯n 12⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯n12⋯n −3n −2n −1)中，记位于第i 行第j 列的数为a ij （i ，j ＝1，2，…，n ）．当n ＝9时，a 11+a 22+a 33+…+a 99＝ ．11．已知函数f （x ）＝sin x +tan x ，项数为27的等差数列{a n }满足a n ∈（−π2，π2），且公差d ≠0，若f （a 1）+f （a 2）+…f （a 27）＝0，则当k ＝ 时，f （a k ）＝0．12．将函数y =√4+6x −x 2−2（x ∈[0，6]）的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ（0≤θ≤α），得到曲线C ．若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图象，则α的最大值为 ．二、选择题（本大题满分16分）13．“x ＝2k π+π4（k ∈Z ）”是“tan x ＝1”成立的（ ） A ．充分不必要条件． B ．必要不充分条件． C ．充要条件．D ．既不充分也不必要条件．14．若x 0是方程(12)x =x 13的解，则x 0属于区间（ ）A ．（23，1）B ．（12，23）C ．（13，12）D ．（0，13）15．（上海卷理18）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，15，则此人将（ ） A ．不能作出这样的三角形 B ．作出一个锐角三角形 C ．作出一个直角三角形D ．作出一个钝角三角形16．在△ABC 中，若sin 2A +sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定三、解答题（本大题满分48分） 17．已知f （x ）＝lg （x +1）（1）若0＜f （1﹣2x ）﹣f （x ）＜1，求x 的取值范围；（2）若g （x ）是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，g （x ）＝f （x ），求函数y ＝g （x ）（x ∈[1，2]）的反函数．18．已知函数f （x ）＝sin2x ，g （x ）＝cos (2x +π6)，直线x ＝t （t ∈R ）．与函数f （x ），g（x ）的图象分别交于M 、N 两点． （1）当t =π4时，求|MN |的值； （2）求|MN |在t ∈[0，π2]时的最大值．19．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，且小区里有一条平行于BO 的小路CD ，已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）20．若实数x、y、m满足|x﹣m|＞|y﹣m|，则称x比y远离m．（1）若x2﹣1比1远离0，求x的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2ab√ab；（3）已知函数f（x）的定义域D={{x|x≠kπ2+π4，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sin x和cos x中远离0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）．21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线y=1249x2；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t．（1）当t＝0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？2011-2012学年上海市虹口区复兴高级中学高一第二学期期末数学练习试卷参考答案一、填空题（本大题满分36分）1．函数f（x）＝log3（x+3）的反函数的图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2）．【分析】本题考查反函数相关概念、互为反函数的函数图象特征等相关知识．本题可用两种方法：1、根据已知条件，求出原函数的反函数，令x＝0即得反函数的图象与y轴的交点坐标；2、利用互为反函数的函数图象关于y＝x对称的特点，只需求出原函数在x轴的交点坐标，再由横纵坐标互换即得．解：法一：由函数f（x）＝log3（x+3）的得其反函数为y＝3x﹣3，令x＝0，得y＝﹣2，即函数f（x）＝log3（x+3）的反函数的图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2）；法二：由已知，函数f（x）＝log3（x+3）图象与x轴交点为（﹣2，0），因为互为反函数的函数图象关于y＝x对称，∴函数f（x）＝log3（x+3）的反函数的图象与y轴的交点为（0，﹣2）．答案：（0，﹣2）2．（上海卷理8）对任意不等于1的正数a，函数f（x）＝log a（x+3）的反函数的图象都经过点P，则点P的坐标是（0，﹣2）【分析】本题考查的是指数函数和对数函数的性质，根据指数函数恒过（0，1）点，对数函数恒过（1，0），结合函数图象平移法则和反函数图象的性质，易得结果．解：函数f（x）＝log a x恒过（1，0），将函数f（x）＝log a x向左平移3个单位后，得到f（x）＝log a（x+3）的图象故f（x）＝log a（x+3）的图象过定点（﹣2，0），又由互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称，所以其反函数的图象过定点（0，﹣2）故答案为：（0，﹣2）3．行列式|cosπ3sinπ6sin π3cos π6|的值是 0 ． 【分析】按照行列式的运算法则，直接展开化简计算即可． 解：考查行列式运算法则|cosπ3sinπ6sinπ3cos π6|=cos π3cos π6−sin π3sin π6=12×√32−√32×12=0． 故答案为：0 4．若行列式|45x1x3789|中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是 x ＞83且x ≠4 ． 【分析】根据3阶行列式D 的元素a ij 的余子式M ij 附以符号（﹣1）i +j 后，叫做元素a ij 的代数余子式，所以4的余子式|x389|加上（﹣1）1+1即为元素4的代数余子式，让其大于0列出关于x 的不等式，求出不等式的解集即可得到x 的范围． 解：依题意得，（﹣1）2|x389|0， 即9x ﹣24＞0，解得x ＞83，且x ≠4，故答案为：x ＞83且x ≠45．若向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=2且a →与b →的夹角为π3，则|a →+b →|= √7 ．【分析】根据|a →+b →|2=|a →|2+|b →|2+2|a →||b →|cos π3可得答案．解：∵|a →|=1，|b →|=2且a →与b →的夹角为π3∴|a →+b →|2=|a →|2+|b →|2+2|a →||b →|cos π3=7∴则|a →+b →|=√7故答案为：√76．函数f(x)=√3sinx +sin(π2+x)的最大值是 2 ．【分析】先根据两角和与差的正弦公式进行化简，再由正弦函数的性质即可得到其最大值． 解：由f(x)=√3sinx +cosx =2sin(x +π6)⇒f(x)max =2． 故答案为：27．设函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，若当x ∈（0，+∞）时，f （x ）＝lg x ，则满足f （x ）＞0的x 的取值范围是 （﹣1，0）∪（1，+∞） ．【分析】首先画出x∈（0，+∞）时，f（x）＝lg x的图象，然后由奇函数的图象关于原点对称画出x∈（﹣∞，0）时的图象，最后观察图象即可求解．解：由题意可画出f（x）的草图观察图象可得f（x）＞0的解集是（﹣1，0）∪（1，+∞）故答案为（﹣1，0）∪（1，+∞）8．方程x2+√2x﹣1＝0的解可视为函数y＝x+√2的图象与函数y=1x的图象交点的横坐标，若x4+ax﹣4＝0的各个实根x1，x2，…，x k（k≤4）所对应的点（x i，4x i）（i＝1，2，…，k）均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）．【分析】原方程等价于x3+a=4x，分别作出左右两边函数的图象：分a＞0与a＜0讨论，可得答案．【解答】解析：方程的根显然x≠0，原方程等价于x3+a=4x，原方程的实根是曲线y＝x3+a与曲线y=4x的交点的横坐标；而曲线y＝x3+a是由曲线y＝x3向上或向下平移|a|个单位而得到的．若交点（x i，4x i ）（i＝1，2，k）均在直线y＝x的同侧，因直线y＝x与y=4x交点为：（﹣2，﹣2），（2，2）；所以结合图象可得：{a ＞0x 3+a ＞−2x ≥−2或{a ＜0x 3+a ＜2x ≤2⇒a ∈(−∞，−6)∪(6，+∞)；9．当0≤x ≤1时，不等式sinπx2≥kx 成立，则实数k 的取值范围是 k ∈（﹣∞，1] ． 【分析】此题先把常数k 分离出来，再构造成k ≤sin πx 2x再利用导数求函数的最小值，使其最小值大于等于k 即可． 解：由题意知：∵当0≤x ≤1时 sin πx2≥kx （1）当x ＝0时，不等式sinπx2≥kx 恒成立 k ∈R （2）当0＜x ≤1时，不等式sin πx2≥kx 可化为 k ≤sin πx 2x要使不等式k ≤sin πx 2x恒成立，则k ≤(sin πx2x )min 成立 令f （x ）=sin πx 2xx ∈（0，1] 即f '（x ）=π2xcos πx 2−sin πx 2x 2再令g （x ）=π2xcos πx 2−sin πx2g '（x ）=−π24xsin πx 2∵当0＜x ≤1时，g '（x ）＜0 ∴g （x ）为单调递减函数 ∴g （x ）＜g （0）＝0∴f '（x ）＜0即函数f （x ）为单调递减函数所以 f （x ）min ＝f （1）＝1 即k ≤1 综上所述，由（1）（2）得 k ≤1 故此题答案为 k ∈（﹣∞，1]． 另解：设m ＝sin π2x ，n ＝kx ，x ∈[0，1]．当0≤x ≤1时，不等式sin π2x ﹣kx ≥0成立，根据题意画图得：m ≥n 恒成立即要m 的图象要在n 图象的上面， 当x ＝1时，即π2x =π2时相等，所以此时k ＝1，所以k ≤1， 故此题答案为 k ∈（﹣∞，1]．10．在n 行n 列表( 123⋯n −2n −1n 234⋯n −1n 1345⋯n 12⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯n12⋯n −3n −2n −1)中，记位于第i 行第j 列的数为a ij （i ，j ＝1，2，…，n ）．当n ＝9时，a 11+a 22+a 33+…+a 99＝ 45 ．【分析】逐一确定a 11，a 22，a 33，…，a 99各项的值，进行计算． 解：a 11+a 22+a 33+…+a 99＝1+3+5+7+9+2+4+6+8＝45． 故答案为：45．11．已知函数f （x ）＝sin x +tan x ，项数为27的等差数列{a n }满足a n ∈（−π2，π2），且公差d ≠0，若f （a 1）+f （a 2）+…f （a 27）＝0，则当k ＝ 14 时，f （a k ）＝0．【分析】本题考查的知识点是函数的奇偶性及对称性，由函数f （x ）＝sin x +tan x ，项数为27的等差数列{a n }满足a n ∈（−π2，π2），且公差d ≠0，若f （a 1）+f （a 2）+…f （a 27）＝0，我们易得a 1，a 2，…，a 27前后相应项关于原点对称，则f （a 14）＝0，易得k 值．解：因为函数f （x ）＝sin x +tan x 是奇函数， 所以图象关于原点对称，图象过原点． 而等差数列{a n }有27项，a n ∈（−π2，π2）． 若f （a 1）+f （a 2）+f （a 3）+…+f （a 27）＝0， 则必有f （a 14）＝0， 所以k ＝14． 故答案为：1412．将函数y =√4+6x −x 2−2（x ∈[0，6]）的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ（0≤θ≤α），得到曲线C ．若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图象，则α的最大值为 arctan 23 ．【分析】先画出函数y =√4+6x −x 2−2（x ∈[0，6]）的图象，然后根据由图可知当此圆弧绕坐标原点逆时针方向旋转角大于∠MAB 时，曲线C 都不是一个函数的图象，求出此角即可．解：先画出函数y =√4+6x −x 2−2（x ∈[0，6]）的图象 这是一个圆弧，圆心为M （3，﹣2）由图可知当此圆弧绕坐标原点逆时针方向旋转角大于∠MAB 时， 曲线C 都不是一个函数的图象 ∴∠MAB ＝arctan 23故答案为：arctan 23二、选择题（本大题满分16分）13．“x ＝2k π+π4（k ∈Z ）”是“tan x ＝1”成立的（ ） A ．充分不必要条件． B ．必要不充分条件．C ．充要条件．D ．既不充分也不必要条件．【分析】根据正切函数的定义，分别判断当x ＝2k π+π4（k ∈Z ）时，tan x ＝1是否成立及tan x ＝1时，x ＝2k π+π4（k ∈Z ）是否成立，进而根据充要条件的定义可得答案 解：当x ＝2k π+π4（k ∈Z ）时，tan x ＝1成立 当tan x ＝1时，x ＝2k π+π4或x ＝2k π+5π4（k ∈Z ） 故x ＝2k π+π4（k ∈Z ）是tan x ＝1成立的充分不必要条件 故选：A ．14．若x 0是方程(12)x =x 13的解，则x 0属于区间（ ）A ．（23，1）B ．（12，23）C ．（13，12）D ．（0，13）【分析】由题意x 0是方程(12)x =x 13的解，根据指数函数和幂数函数的增减性进行做题．解：∵(12)13＞(13)13，(12)12＜(12)13，∴x 0属于区间（13，12）．故选：C ．15．（上海卷理18）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，15，则此人将（ ） A ．不能作出这样的三角形 B ．作出一个锐角三角形 C ．作出一个直角三角形D ．作出一个钝角三角形【分析】先设出三边来，根据面积相等和三条高的长度求得a ，b 和c 的比，进而利用余弦定理求得cos A 通过结果小于0判断出A 为钝角． 解：设三边分别为a ，b ，c ，利用面积相等可知113a =111b =15c ， ∴a ：b ：c ＝13：11：5 令a ＝13，b ＝11，c ＝5由余弦定理得cos A =52+112−1322×5×11＜0，所以角A 为钝角，故选：D ．16．在△ABC 中，若sin 2A +sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定【分析】由sin 2A +sin 2B ＜sin 2C ，结合正弦定理可得，a 2+b 2＜c 2，由余弦定理可得CosC =a 2+b 2−c 22ab 可判断C 的取值范围 解：∵sin 2A +sin 2B ＜sin 2C ，由正弦定理可得，a 2+b 2＜c 2由余弦定理可得cos C =a 2+b 2−c 22ab＜0 ∴π2＜C ＜π ∴△ABC 是钝角三角形故选：C ．三、解答题（本大题满分48分）17．已知f （x ）＝lg （x +1）（1）若0＜f （1﹣2x ）﹣f （x ）＜1，求x 的取值范围；（2）若g （x ）是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，g （x ）＝f （x ），求函数y ＝g （x ）（x ∈[1，2]）的反函数．【分析】（1）应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可；（2）结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．解：（1）f （1﹣2x ）﹣f （x ）＝lg （1﹣2x +1）﹣lg （x +1）＝lg （2﹣2x ）﹣lg （x +1）， 要使函数有意义，则由{2−2x ＞0x +1＞0解得：﹣1＜x ＜1． 由0＜lg （2﹣2x ）﹣lg （x +1）＝lg2−2x x+1＜1得：1＜2−2x x+1＜10， ∵x +1＞0，∴x +1＜2﹣2x ＜10x +10，∴−23＜x ＜13． 由{−1＜x ＜1−23＜x ＜13，得：−23＜x ＜13．（2）当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，∴y＝g（x）＝g（x﹣2）＝g（2﹣x）＝f（2﹣x）＝lg（3﹣x），由单调性可知y∈[0，lg2]，又∵x＝3﹣10y，∴所求反函数是y＝3﹣10x，x∈[0，lg2]．18．已知函数f（x）＝sin2x，g（x）＝cos(2x+π6)，直线x＝t（t∈R）．与函数f（x），g（x）的图象分别交于M、N两点．（1）当t=π4时，求|MN|的值；（2）求|MN|在t∈[0，π2]时的最大值．【分析】（1）先根据题意表示出|MN|进而利用诱导公式化简，利用余弦函数的性质求得答案．（2）表示出|MN|的表达式，利用两角和公式对表达式化简整理，利用正弦函数的性质求得其最大值．解：（1）将t=π4代入函数f（x）、g（x）中得到∵|MN|=|f(π4)−g(π4)|=|sin(2×π4)−cos(2×π4+π6)|=|1−cos2π3|=32.（2）∵|MN|=|f(t)−g(t)|=|sin2t−cos(2t+π6 )|=|32sin2t−√32cos2t| =√3|sin(2t−π6)|∵t∈[0，π2]，2t−π6∈[−π6，π−π6]，∴|MN|的最大值为√3．19．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）【分析】连接OC，由CD∥OB知∠CDO＝60°，可由余弦定理得到OC的长度．解：法一：设该扇形的半径为r米，连接CO．由题意，得CD＝500（米），DA＝300（米），∠CDO＝60°在△CDO中，CD2+OD2﹣2CD•OD•cos60°＝OC2即，5002+(r−300)2−2×500×(r−300)×12=r2解得r=490011≈445（米）答：该扇形的半径OA的长约为445米．法二：连接AC，作OH⊥AC，交AC于H，由题意，得CD＝500（米），AD＝300（米），∠CDA＝120°在△CDO中，AC2＝CD2+AD2﹣2•CD•AD•cos120°=5002+3002+2×500×300×12= 7002．∴AC＝700（米）．cos∠CAD=AC 2+AD2−CD22⋅AC⋅AD=1114．在直角△HAO中，AH＝350（米），cos∠HAO=11 14，∴OA=AHcos∠HAO=490011≈445（米）．答：该扇形的半径OA的长约为445米．20．若实数x 、y 、m 满足|x ﹣m |＞|y ﹣m |，则称x 比y 远离m ．（1）若x 2﹣1比1远离0，求x 的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：a 3+b 3比a 2b +ab 2远离2ab √ab ；（3）已知函数f （x ）的定义域D ={{x|x ≠kπ2+π4，k ∈Z ，x ∈R}．任取x ∈D ，f （x ）等于sin x 和cos x 中远离0的那个值．写出函数f （x ）的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）．【分析】（1）根据定义可得|x 2﹣1|＞1再按照绝对值不等式的解法求解．（2）证明：易知∵b 2a +a 2b ＞a +b ＞2√ab ab 得到要证明的问题．（3）根据定义可得f(x)={sinx ，x ∈(kπ+π4，kπ+3π4)cosx，x ∈(kπ−π4，kπ+π4)，再由正弦函数和余弦函数的性质进行探讨．解：（1）根据定义可得：|x 2﹣1|＞1∴x 2﹣1＞1或x 2﹣1＜﹣1解得x ∈(−∞，−√2)∪(√2．+∞)（2）证明：欲证明a 3+b 3比a 2b +ab 2远离2ab √ab即证|a 3+b 3−2ab √ab |＞|a 2b +ab 2−2ab √ab |，又任意两个不相等的正数a 、b即证|b 2a +a 2b −2√ab|＞|a +b −2√ab| 由于a +b ≥2√ab ，b 2a +a 2b −(a +b)=(a+b)(a 2+b 2−2ab)ab ＞0 ∴b 2a +a 2b ＞a +b ＞2√ab 即证|b 2a +a 2b−2√ab|＞|a +b −2√ab|成立 ∴|a 3+b 3−2ab √ab |＞|a 2b +ab 2−2ab √ab |（3）由题意知f(x)={sinx ，x ∈(kπ+π4，kπ+3π4)cosx ，x ∈(kπ−π4，kπ+π4)性质：①函数是偶函数；②周期T=π2③在区间(kπ2+π4，kπ2+π2]k∈z是增函数，在[kπ2−π4，kπ2+π4)k∈z是减函数④最大值为1，最小值为√22⑤定义域D=x|x≠kπ2+π4，k∈Z，x∈R21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线y=1249x2；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t．（1）当t＝0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？【分析】（1）t＝0.5时，确定P的横坐标，代入抛物线方程可得P的纵坐标，利用|AP|，即可确定救援船速度的大小和方向；（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2），从而可得v关于t的关系式，利用基本不等式，即可得到结论．解：（1）t＝0.5时，P的横坐标x P＝7t=72，代入抛物线方程y=1249x2中，得P的纵坐标y P＝3．由|AP|=√9492，得救援船速度的大小为√949海里/时．由tan∠OAP=730，得∠OAP＝arctan730，故救援船速度的方向为北偏东arctan730弧度；（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2）．由vt=√(7t)2+(12t2+12)2，整理得v2＝144（t2+1t2）+337因为t2+1t2≥2，当且仅当t＝1时等号成立，所以v2≥144×2+337＝252，即v≥25．因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．。
虹口区高一期末数学试卷
考试时间：120分钟满分：100分一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，属于有理数的是（）A. $\sqrt{2}$B. $\pi$C. $\frac{1}{3}$D. $\infty$2. 若 $a > 0$，$b < 0$，则 $a + b$ 的符号是（）A. 正B. 负C. 零D. 无法确定3. 下列函数中，定义域为全体实数的是（）A. $y = \sqrt{x^2 - 1}$B. $y = \frac{1}{x}$C. $y = \log_2(x + 1)$D. $y = |x|$4. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $S_3 = 12$，$S_5 = 30$，则 $a_4$ 的值为（）A. 6B. 8C. 10D. 125. 函数 $y = 2^x - 3$ 的图像（）A. 在 $y$ 轴左侧递增B. 在 $y$ 轴右侧递减C. 在 $y$ 轴左侧递减D. 在 $y$ 轴右侧递增6. 若 $\cos \alpha = \frac{1}{2}$，则 $\sin 2\alpha$ 的值为（）A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$B. $\frac{1}{2}$C. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ D. $-\frac{1}{2}$7. 下列不等式中，正确的是（）A. $2x > x + 1$B. $2x < x + 1$C. $2x \leq x + 1$D. $2x \geq x + 1$8. 已知 $a$，$b$ 是方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$ 的两个根，则 $a^2 + b^2$ 的值为（）A. 11B. 14C. 15D. 169. 下列函数中，是偶函数的是（）A. $y = x^2 - 2x + 1$B. $y = x^3 - 3x$C. $y = |x|$D. $y = x^2 + x$10. 已知 $x + y = 5$，$xy = 6$，则 $x^2 + y^2$ 的值为（）A. 19B. 21C. 25D. 29二、填空题（每题5分，共25分）11. 若 $a = -\frac{1}{2}$，$b = 3$，则 $a^2 + 2ab + b^2$ 的值为______。
上海市虹口区高一第二学期期末数学试卷(含参考答案)
上海市虹口区第二学期期末教学质量监控测试高一数学试卷一、填空题（本大题共12题，每小题3分，满分36分）1、已知扇形的圆心角为3π，半径为3，则扇形的弧长l = 2、已知向量(3,4)a =，写出与a 平行的单位向量 （写一个即可）3、在ABC ∆中，已知3cos 5A =-，则cos()B C += 4、函数sin(2)3y x π=-单调递增区间是5、已知(1,0),(1,1)a b ==，且()a b a λ+⊥，则λ=6、函数sin cos y x x =+的值域是7、在ABC ∆中，顶点A 的坐标为(3,1)，边BC 中点D 的坐标为(3,1)-，则ABC ∆重心坐标为8、已知2sin 23α=，则2cos ()4πα+= 9、若函数()sin(2)(0,)22f x A x A ππϕϕ=+>-<<的部分图象如右图， 则10、已知sin 3cos αα=，则sin 21cos 2αα=+ 11、已知sin ,(,)2x a x ππ=∈，用反正弦函数表示x ，则x =12、（普通中学做）如图圆O 是半径为1的圆，点0123,,,P P P P将圆4等分，则00(0,1,2,3)i OP P i ⋅=的取值集合是 12、（重点中学做）如图圆O 是半径为1的圆，点0123,,,P P P P 将圆12等分，则00(0,1,2,3)i OP P i ⋅=的取值集合是 二、选择题（本题共4小题，每小题3分，满分12分）13、若(1,1),(3,4)a b ==-，则a 与b 的夹角等于 （ ）A ．2arcsin(B ．2arcsin ．2arccos( D ．2-14、要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ） A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向左平移3π个单位 15、设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=，则tan cot A B 的值是（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．以上都不对16、（普通中学做）函数()sin 2cos )f x x x x ϕ=-+，则cos ϕ等于（ ）A ．5B ．12- C ．5 D ．5- 16、（重点中学做）设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ等于（ ）A ．5B ．12- C ．5 D ．5- 三、解答题（本大题共60分，第20、21题，普通中学做，第（1）（2）两个小题，重点中学三个小题全做）17、（本题8分）已知(,),sin (cos ,sin ),(cos 2,sin 2)25a b παπααααα∈=== 求（1）判断a 与b 是否平行？ （1）求a b ⋅的值。
上海重点中学2012学年高一第二学期数学期末考试(试卷含答案)
12012学年度第二学期高一年级数学期末考试试卷 2013.6命题： 审卷： 打印：1. 若sin cos 1α⋅β=，则cos sin α⋅β=_______________.2. 设12,x x 是方程233sincos 055x x -π+π=的两解，则12arctan arctan x x +=________. 3. 000sin 20sin 40sin80⋅⋅= .4. 公差为d ，各项均为正整数的等差数列{}n a 中，若11,73n a a ==，则n d +的最小值等于 ．5. 解方程x +log 2(2x-31)=5__________________。
6. 若tan θ＝－2，则θ+θ-θ2cos 12sin 2cos ＝______________ 7. 函数y=arcos(21－x 2)的值域是_______________． 8. 在ABC ∆中，若tan A tan B =tan A tan C +tanctan B ，则 222cb a += . 9. 已知函数)4541(2)cos()sin()(≤≤+-=x xπx πx x f ，则f (x )的最小值为_____ 10. 设()cos 22(1cos )f x x a x =-+的最小值为12-，则a =_____________．11. 已知a >0且a ¹1，试求使方程有解的k 的取值范围是___。
12. 设t s r ,,为整数，集合}0,222|{r s t a a tsr<<≤++=中的数由小到大组成数列}{n a ： ,14,13,11,7，则=36a 。
二、选择题13. 设f(x)=x 2－πx, α=arcsin31, β=arctan 45, γ=arcos(－31), δ=arccot(－45)，则（ ） A ．f(α)>f(β)>f(δ)>f(γ) B ．f(α)>f(δ)>f(β)>f(γ)C ．f(δ)>f(α)>f(β)>f(γ)D ．f(δ)>f(α)>f(γ)>f(β)14. 已知数列{a n }满足3a n+1+a n =4(n ≥1)，且a 1=9，其前n 项之和为S n 。
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2012-2013学年上海市虹口区高一第二学期期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分，共10题，每题3分）1．若cos x =−√22(0＜x ＜π)，则x ＝ ．2．方程tan x ＝2的解集为 ．3．若点P （cos α，sin α）（0≤α＜2π）在第三象限，则α的取值范围为 ． 4．若tan(α+β)=23，tan(α−π5)=4，则tan(β+π5)= ．5．若三阶行列式|12k−237−31−2|第2行第1列元素的代数余子式为6，则k ＝ ．6．增广矩阵（|1242−13|）的二元一次方程组的解（x ，y ）＝ ．7．若(√3−120)(sinxcosx )=(2√3)，则实数x 的取值集合为 ．8．已知π2＜α＜π，化简√1+cos(π+α)1+cos(2π−α)+√1−cos(π−α)1−cos(2π+α)= ．9．若tan α＝﹣3，则sin(π−α)+3cos(3π+α)2cos(2π−α)tan(−α)= ．10．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，|φ|＜π2）的图象如图所示，为了得到g （x ）＝sin2x 的图象，则需将f （x ）的图象向右最小平移 个长度单位．11．已知函数f(x)={3x ，(x ≤1)3+log 13x ，(x ＞1)，若关于x 的方程|f （x ）|＝k 有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ． 12．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b}={a ，a ≤b b ，a ＞b.设函数f （x ）＝﹣x +3，g （x ）＝log 2x ，则函数h （x ）＝min {f （x ），g （x ）}的最大值是 ．二、选择题（本大题满分24分，共5题，每题4分）13．下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（ ） A ．y =ln 1|x|B ．y ＝x 3C ．y ＝2|x |D ．y ＝cos x14．函数f （x ）＝3x ﹣log 2（﹣x ）的零点所在区间是（ ） A ．(−52，−2)B ．（﹣2，﹣1）C ．(−1，−12)D ．（1，2）15．已知a ，b ，c 为△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且cos 2A 2=b+c 2c，则△ABC 为（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形16．若√1−sinα1+sinα=tan α﹣sec α则α的取值范围是（ ）A ．（2k π，2k π+π2）（k ∈Z ） B ．（2k π−π2，2k π）（k ∈Z ）C ．（2k π+π2，2k π+π）∪（2k π+π，2k π+3π2）（k ∈Z ） D ．（2k π+π2，2k π+3π2）（k ∈Z ） 17．已知sinα2=35，cosα2=−45，那么α的终边在（ ）A ．第一象限B ．第三或第四象限C ．第三象限D ．第四象限18．设函数y ＝ln （cos x ），x ∈（−π2，π2）的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．19．若π2＜α＜π，则√12+12√12+12cos2α=（ ）A ．sin α2B ．cos α2C ．﹣sin α2D ．﹣cos α2三.解答题20．已知tan α＝2（π＜α＜2π） （1）求sin2α，cos2α，tan2α的值； （2）求2cos 2α2−sinα−1√2sin(α+π4)的值．21．已知sin α=45，cosβ=−513，α，β∈(π2，π)（1）求sin （α+β），cos （α+β）的值； （2）求cos β2、tan α2的值．22．利用行列式解关于x ，y 的方程组{mx +y =33x +(m +2)y =m．23．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．cos C =45，c ＝2b cos A ．（Ⅰ）求证：A ＝B ；（Ⅱ）若△ABC 的面积S =152，求c 的值．24．已知函数f （x ）=1+cos2x 4sin(π2−x)−asin x 2cos(π−x2)(a ＞0) （1）若a ＝1，试求解f （x ）的最小正周期与单调减区间； （2）若（sin x +cos x ）•f （x ）=a2，求tan x ．25．已知函数f(x)=2sin(x+π6)−2cosx（1）若sin x=45(π2＜x＜π)，求f（x）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间．26．如图，一条河的两岸是平行线，两岸边各有一个小镇A与B，它们的直线距离为2km，河宽AC＝1km，根据规划，需要在两岸间铺设一条电缆线，从A处铺设水下电缆到D处（D为线段BC上的点），再从D处铺设地下电缆到B处，已知铺设水下电缆的费用是铺设地下电缆费用的2倍，记∠ADC＝θ．（1）设铺设地下电缆的费用是a元/km，试将该项目工程的总费用y表示成θ的函数；（2）当θ为何值时，工程的总费用y最低？2012-2013学年上海市虹口区高一第二学期期末数学试卷参考答案一、填空题（本大题满分36分，共10题，每题3分） 1．若cos x =−√22(0＜x ＜π)，则x ＝3π4．【分析】直接利用余弦函数的图象与性质写出结果即可．解：cos x =−√22(0＜x ＜π)，而cos3π4=−√22． ∴x =3π4．故答案为：3π42．方程tan x ＝2的解集为 {x |x ＝k π+arctan2（k ∈Z ）} ．【分析】tan x ＝2，解得x ＝k π+arctan2（k ∈Z ）．即可得出方程tan x ＝2的解集． 解：∵tan x ＝2，∴x ＝k π+arctan2（k ∈Z ）．∴方程tan x ＝2的解集为{x |x ＝k π+arctan2（k ∈Z ）}． 故答案为：{x |x ＝k π+arctan2（k ∈Z ）}．3．若点P （cos α，sin α）（0≤α＜2π）在第三象限，则α的取值范围为 （π，3π2） ．【分析】由条件根据第三象限内点的坐标特征，可得cos α＜0，sin α＜0，再根据0≤α＜2π进一步确定角α的范围．解：∵点P （cos α，sin α）（0≤α＜2π）在第三象限， ∴cos α＜0，sin α＜0，∴α∈（π，3π2），故答案为：（π，3π2）．4．若tan(α+β)=23，tan(α−π5)=4，则tan(β+π5)= −1011 ．【分析】根据两角和与差的正切函数公式化简后即可求值． 解：∵tan(α+β)=23，tan(α−π5)=4，∴tan(β+π5)=tan[（α+β）﹣（α−π5）]=tan(α+β)−tan(α−π5)1+tan(α+β)tan(α−π5)=23−41+23×4=−1011．故答案为：−1011．5．若三阶行列式|12k−237−31−2|第2行第1列元素的代数余子式为6，则k ＝ 2 ．【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第2行第1列后所余下的2阶行列式带上符号（﹣1）i +j 为M 21，求出其表达式列出关于k 的方程解之即可． 解：由题意得M 21＝（﹣1）3|2k1−2|=2×2+1×k ＝6 解得：k ＝2． 故答案为：2．6．增广矩阵（|1242−13|）的二元一次方程组的解（x ，y ）＝ （2，1） ．【分析】利用增广矩阵得到相应的行列式的值，再根据公式法求出方程组的解，也可以恢复成两个二元一次方程组成的方程组的形式，消元解方程组得到本题结论． 解：∵二元一次方程组的增广矩阵[1242−13]， ∴D =|122−1|=1×（﹣1）﹣2×2＝﹣5， D x =|423−1|=4×（﹣1）﹣2×3＝﹣10，D y =|1423|=1×3﹣2×4＝﹣5，∴x =Dx D =−−10−5=2， y =D y D =−5−5=1， 故答案为：（x ，y ）＝（2，1）．7．若(√3−120)(sinx cosx )=(2√3)，则实数x 的取值集合为 {x |x =π3+2k π，k ∈Z } ．【分析】由(√3−120)(sinx cosx )=(2√3)，可得√3sin x ﹣cos x ＝2，2sin x =√3，即sin x =√32，cos x =−12，从而可得实数x 的取值集合． 解：∵(√3−120)(sinxcosx )=(2√3)，∴√3sin x ﹣cos x ＝2，2sin x =√3，∴sin x =√32，cos x =−12，∴x =π3+2k π，k ∈Z ，故答案为：{x |x =π3+2k π，k ∈Z }．8．已知π2＜α＜π，化简√1+cos(π+α)1+cos(2π−α)+√1−cos(π−α)1−cos(2π+α)= 2sinα ．【分析】直接利用诱导公式化简所求表达式， 解：∵π2＜α＜π，∴√1+cos(π+α)1+cos(2π−α)+√1−cos(π−α)1−cos(2π+α) =√1−cosα1+cosα+√1+cosα1−cosα=1−cosαsinα+1+cosαsinα =2sinα． 故答案为：2sinα．9．若tan α＝﹣3，则sin(π−α)+3cos(3π+α)2cos(2π−α)tan(−α)= ﹣1 ．【分析】利用诱导公式化简所求表达式，然后代入已知条件求解即可． 解：tan α＝﹣3， 则sin(π−α)+3cos(3π+α)2cos(2π−α)tan(−α)=sinα−3cosα−2cosαtanα=tanα−3−2tanα=−3−3−2(−3)=−1．故答案为：﹣1．10．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，|φ|＜π2）的图象如图所示，为了得到g （x ）＝sin2x 的图象，则需将f （x ）的图象向右最小平移π6 个长度单位．【分析】首先根据函数的图象确定A 、ω、φ的值，进一步确定解析式，然后利用函数图象的平移变换求得结果． 解：根据函数的图象：A ＝1 T =4(7π12−π3)=π所以：ω＝2当x =π3时，f(π3)=0 由于|φ|＜π2） 解得：φ=π3 f （x ）＝sin （2x +π3）要得到g （x ）＝sin2x 的图象，则需将f （x ）的图象向右最小平移π6个单位即可．故答案为：π611．已知函数f(x)={3x ，(x ≤1)3+log 13x ，(x ＞1)，若关于x 的方程|f （x ）|＝k 有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是 1 ．【分析】由题意画出函数y ＝|f （x ）|，y ＝k 的图象，判断方程|f （x ）|＝k 有三个不同的实根，求出k 的范围即可．解：因为函数f(x)={3x (x ≤1)3+log 13x(x ＞1)，所以函数y ＝|f （x ）|，y ＝k 的图象如图：由图象可知， 关于x 的方程|f （x ）|＝k 有三个不同的实根，k ∈（0，3）．函数y ＝|f （x ）|，y ＝k 的图象有3个不同的交点． 所以实数k 的取值范围是（0，3）． 故答案为：（0，3）．12．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b}={a ，a ≤b b ，a ＞b.设函数f （x ）＝﹣x +3，g （x ）＝log 2x ，则函数h （x ）＝min {f （x ），g （x ）}的最大值是 1 ．【分析】分别作出函数f （x ）＝﹣3+x 和g （x ）＝log 2x 的图象，结合函数f （x ）＝﹣3+x 和g （x ）＝log 2x 的图象可知，在这两个函数的交点处函数h （x ）＝min {f （x ），g （x ）}的最大值．解：∵x ＞0，∴f （x ）＝﹣x +3＜3，g （x ）＝log 2x ∈R ，分别作出函数f （x ）＝﹣3+x 和g （x ）＝log 2x 的图象，结合函数f （x ）＝﹣3+x 和g （x ）＝log 2x 的图象可知， h （x ）＝min {f （x ），g （x ）}的图象，在这两个函数的交点处函数h （x ）＝min {f （x ），g （x ）}的最大值． 解方程组{y =−x +3y =log 2x得{x =2y =1，∴函数h （x ）＝min {f （x ），g （x ）}的最大值是1． 故答案是1．二、选择题（本大题满分24分，共5题，每题4分）13．下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（ ） A ．y =ln 1|x|B ．y ＝x 3C ．y ＝2|x |D ．y ＝cos x【分析】根据题意，将x用﹣x代替判断解析式的情况利用偶函数的定义判断出为偶函数；求出导函数判断出导函数的符号，判断出函数的单调性．解：对于y=ln1 |x|函数的定义域为x∈R且x≠0将x用﹣x代替函数的解析式不变，所以是偶函数当x∈（0，+∞）时，y=ln1|x|=ln1x∵y′=−1x＜0∴y=ln1|x|在区间（0，+∞）上单调递减的函数故选：A．14．函数f（x）＝3x﹣log2（﹣x）的零点所在区间是（）A．(−52，−2)B．（﹣2，﹣1）C．(−1，−12)D．（1，2）【分析】要判断函数f（x）＝3x﹣log2（﹣x）的零点所在区间，我们可以利用零点存在定理，即函数f（x）在区间（a，b）上若f（a）•（b）＜0，则函数f（x）在区间（a，b）上有零点，分析四个区间，易得答案．解：∵f（﹣2）＝3﹣2﹣log22＜0f（﹣1）＝3﹣1﹣log21=13−0=12＞0∴f（﹣2）•f（﹣1）＜0∴函数f（x）＝3x﹣log2（﹣x）在区间（﹣2，﹣1）必有零点故选：B．15．已知a，b，c为△ABC中角A，B，C的对边，且cos2A2=b+c2c，则△ABC为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【分析】利用正弦定理把已知条件中的边转化为角的正弦，化简整理求得cos C的值，进而求得C判断出三角形的形状．解：由正弦定理知cos 2A 2=b+c 2c =sinB+sinC2sinC， 即2sin C cos 2A 2=sin B +sin C ，∴sin C （1+cos A ）＝sin B +sin C ，∴sin C cos A ＝sin B ＝sin （A +C ）＝sin A cos C +cos A sin C ， ∴sin A cos C ＝0， ∵sin A ＞0，∴cos C ＝0，即C =π2， 故三角形为直角三角形． 故选：B ．16．若√1−sinα1+sinα=tan α﹣sec α则α的取值范围是（ ）A ．（2k π，2k π+π2）（k ∈Z ） B ．（2k π−π2，2k π）（k ∈Z ）C ．（2k π+π2，2k π+π）∪（2k π+π，2k π+3π2）（k ∈Z ） D ．（2k π+π2，2k π+3π2）（k ∈Z ） 【分析】根据平方关系、商的关系将等式两边分别化简，再进行比较，由三角函数值的符号求出角的范围．解：左边=√1−sinα1+sinα=√(1−sinα)21−sin 2α=1−sinα|cosα|，右边＝tan α﹣sec α=sinαcosα−1cosα=1−sinα−cosα， ∴1−sinα|cosα|=1−sinα−cosα，则cos α＜0，∴角α的取值范围是：（2k π+π2，2k π+3π2）（k ∈Z ）， 故选：D ． 17．已知sinα2=35，cosα2=−45，那么α的终边在（ ）A ．第一象限B ．第三或第四象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】先求出sin α、cos α的符号，根据三角函数在各个象限的符号可确定答案． 解：∵sin α＝2sin α2cosα2=−2425＜0，cos α＝cos 2α2−sin 2α2=725＞0，∴α终边在第四象限． 故选：D ．18．设函数y ＝ln （cos x ），x ∈（−π2，π2）的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据三角形函数的值域得到0＜cos x ＜1，再根据对数函数的性质，得到ln （cos x ）＜0，问题得以解决 解：∵x ∈（−π2，π2），∴0＜cos x ＜1，∵函数y ＝lnx 为增函数，ln 1＝0 ∴ln （cos x ）＜0， 故选：A ．19．若π2＜α＜π，则√12+12√12+12cos2α=（ ）A ．sin α2B ．cos α2C ．﹣sin α2D ．﹣cos α2【分析】利用余弦的二倍角公式对原式进行层层化简．解：√12+12√12+12cos2α=√12+12√12+cos 2α−12=√12+12√cos 2α=√12−12cosα=√12−12+sin 2α2=√sin 2α2=sin α2，故选：A ． 三.解答题20．已知tan α＝2（π＜α＜2π） （1）求sin2α，cos2α，tan2α的值； （2）求2cos 2α2−sinα−1√2sin(α+π4)的值．【分析】（1）分别把sin2α化成2•1tanα+1tanα，cos2α化成1−tan 2α1+tan 2α，tan2α化成2tanα1−tan α，最后把tan α的值代入即可．（2）利用二倍角公式和两角和公式把原式转化成关于tan α的式子，最后把tan α的值代入． 解：（1）sin2α＝2sin αcos α＝2•1tanα+1tanα=2×12+12=45， cos2α＝cos 2α﹣sin 2α=1−tan 2α1+tan 2α=1−41+4=−35，tan2α=2tanα1−tan 2α=2×21−4=−43． （2）2cos 2α2−sinα−1√2sin(α+π4)=√2sin(α+π4)=cosα−sinαsinα+cosα=1−tanα1+tanα=1−21+2=−1321．已知sin α=45，cosβ=−513，α，β∈(π2，π)（1）求sin （α+β），cos （α+β）的值； （2）求cos β2、tan α2的值．【分析】（1）根据同角三角函数基本关系式，进行求解，并结合两角和的正弦和余弦公式进行求解；（2）直接根据二倍角的余弦公式进行求解即可．解：（1）∵sin α=45，cosβ=−513，α，β∈(π2，π)∴cos α=2α=35， sin β=√1−sin 2β=1213，∴sin （α+β）＝sin αcos β+cos αsin β =45×(−513)+35×1213=1665，cos （α+β）＝cos αcos β﹣sin αsin β =35×(−513)+45×1213 =3365，（2）cos β2=√1+cosβ2=2√1313，sinα2=√1−cosα2=√55， cosα2=√1+cosα2=2√55，∴tanα2=12．22．利用行列式解关于x ，y 的方程组{mx +y =33x +(m +2)y =m．【分析】先根据题意，求出系数行列式D ，D x ，D y ，然后讨论m ，从而确定二元一次方程解的情况． 解：D =|m13m +2|=m 2+2m ﹣3＝（m +3）（m ﹣1） D x =|31m m +2|=2（m +3） D y =|m 33m|=（m +3）（m ﹣3） （1）当D ≠0时m ≠1且m ≠﹣3，方程组有唯一解，x =2m−1，y =m−3m−1， （2）当m ＝﹣3时，方程组有无；（3）当m ＝1时，此时D x ≠0，方程组无解．23．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．cos C =45，c ＝2b cos A ．（Ⅰ）求证：A ＝B ；（Ⅱ）若△ABC的面积S=152，求c的值．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简c＝2b cos A，再根据三角形的内角和定理及诱导公式得到sin C＝sin（A+B），将得出的sin C代入化简后的式子中，利用两角和与差的正弦函数公式化简，移项合并整理后，再根据两角和与差的正弦函数公式得到sin（A﹣B）＝0，根据A和B为三角形的内角，得出A﹣B的范围，即可得到A﹣B＝0，即A＝B，得证；（Ⅱ）根据第一问得出的A＝B，根据等角对等边可得a＝b，由cos C的值及C为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sin C的值，利用面积公式表示出三角形ABC 的面积，把已知三角形的面积及sin C的值代入求出ab的值，再根据a与b相等，可求出a与b的值，由a，b及cos C的值，利用余弦定理列出关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．解：（Ⅰ）∵c＝2b cos A，∴根据正弦定理得：sin C＝2sin B•cos A，又sin C＝sin[π﹣（A+B）]＝sin（A+B），∴sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝2sin B•cos A，整理得：sin A cos B﹣cos A sin B＝sin（A﹣B）＝0，在△ABC中，∵0＜A＜π，0＜B＜π，∴﹣π＜A﹣B＜π，则A＝B；（Ⅱ）由（Ⅰ）A＝B，可得a＝b，∵cosC=45，且C为三角形的内角，∴sin C=√1−cos2C=35，又△ABC的面积S=152，∴S=12ab sin C=310ab=152，即ab＝a2＝25，∴a＝b＝5，又cos C=4 5，由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝10，则c=√10．24．已知函数f （x ）=1+cos2x 4sin(π2−x)−asin x 2cos(π−x2)(a ＞0)（1）若a ＝1，试求解f （x ）的最小正周期与单调减区间； （2）若（sin x +cos x ）•f （x ）=a2，求tan x ．【分析】（1）首先通过三角函数的恒等变换，把函数关系式变形呈正弦型函数，进一步求出最小正周期和单调区间．（2）利用三角函数的诱导关系变换求出函数的值．解：（1）you 函数f （x ）=1+cos2x 4sin(π2−x)−asin x 2cos(π−x2)(a ＞0)=12cosx +a 2sinx当a ＝1时，函数f （x ）=√22sin(x +π4)所以：T =2π1=2π 令：π2+2kπ≤x +π4≤3π2+2kπ（k ∈Z ）解得：π4+2kπ≤x ≤5π4+2kπ所以单调递减区间为：[π4+2kπ，5π4+2kπ]（k ∈Z ）（2）由（1）得：f （x ）=12cosx +a2sinx所以：（sin x +cos x ）（12sinx +a 2cosx)=a 2=a212sin 2x +a 2sinxcosx +12sinxcosx +a 2cos 2x =a 21−cos2x2+asin2x 2+sin2x 2+a(1+cos2x)2=a1+a a−1sin2x +cos2x =1 1+a a−1sinx ⋅cosx =sin 2x所以：tanx =1+aa−125．已知函数f(x)=2sin(x +π6)−2cosx（1）若sin x =45(π2＜x ＜π)，求f （x ）的值；（2）求函数f （x ）的最小正周期与单调增区间．【分析】（1）直接利用两角和的正弦公式展开，然后，结合所给条件进行求解；（2）利用三角函数的图象与性质求解．解：（1）∵函数f(x)=2sin(x+π6)−2cosx=√3sin x﹣cos x∵sin x=45(π2＜x＜π)，∴cos x=−√1−sin2x =−35，∴f（x）=√3×45−（−35）=3+4√35（2）根据（1）得f（x）＝2sin（x−π6），∴f（x）的最小正周期T＝2π，令−π2+2kπ≤x−π6≤π2+2kπ，k∈Z，∴−π3+2kπ≤x−π6≤23π+2kπ，∴单调增区间[−π3+2kπ，23π+2kπ]，（k∈Z）．26．如图，一条河的两岸是平行线，两岸边各有一个小镇A与B，它们的直线距离为2km，河宽AC＝1km，根据规划，需要在两岸间铺设一条电缆线，从A处铺设水下电缆到D处（D为线段BC上的点），再从D处铺设地下电缆到B处，已知铺设水下电缆的费用是铺设地下电缆费用的2倍，记∠ADC＝θ．（1）设铺设地下电缆的费用是a元/km，试将该项目工程的总费用y表示成θ的函数；（2）当θ为何值时，工程的总费用y最低？【分析】（1）由题意把|AD|，|DB|用含有θ的代数式表示，然后结合造价得到项目工程的总费用y与θ的函数关系；（2）把（1）中的函数求导，求出函数的极小值，即函数的最小值得答案．解：（1）如图，由题意可知，π6≤θ≤π2，∵|AC |＝1，|AB |＝2， ∴|CB |=√3，|CD |＝cot θ，|AD |=√1+cot 2θ=cscθ，|BD |=√3−cotθ， ∵铺设地下电缆的费用是a 元/km ， 则铺设水下电缆的费用是2a 元/km ，∴y ＝2a csc θ+a （√3−cotθ）=a(2sinθ−cosθsinθ+√3)，π6≤θ≤π2， （2）由y =a(2sinθ−cosθsinθ+√3)，π6≤θ≤π2， 得y ′=a(−2cosθsin 2θ−−sin 2θ−cos 2θsin 2θ)=a(1−2cosθ)sin 2θ， 由y ′＝0，得1﹣2cos θ＝0， ∴cos θ=12，θ=π3．当π6＜θ＜π3时，y ′0，∴当θ=π3时y 有最小值，即工程的总费用最低．。