1.2排列与组合
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2组合第1课时组合与组合数公式讲义新人教A版选修2_3
第1课时组合与组合数公式知识点组合的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素□01合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．知识点组合与组合数公式组合的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“合成一组”，表示与元素的顺序无关，排列与组合的相同点是从n 个不同元素中任取m 个元素，不同点是组合是“不管元素的顺序合成一组”，而排列是要求元素按照一定的顺序排成一列．因此区分某一问题是组合还是排列，关键是看取出的元素有无顺序．组合数的两个性质，性质1反映了组合数的对称性，在m >n2时，通常不直接计算C mn 而改为C n －m n ，对于性质2，C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n 要会正用、逆用、变形用．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a ，b ，c 三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C 23.( ) (2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C 24个积．( ) (3)1,2,3与3,2,1是同一个组合．( ) (4)C 35＝5×4×3＝60.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．做一做(1)从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是________． (2)C 1820＝________. (3)C 399＋C 299＝________.答案 (1)20 (2)190 (3)161700解析 (1)由组合数公式知C 36＝6×5×43×2×1＝20.(2)C 1820＝C 220＝20×192×1＝190. (3)C 399＋C 299＝C 3100＝100×99×983×2×1＝161700.探究1 组合的有关概念 例1 给出下列问题：(1)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？ (2)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？ (3)a ，b ，c ，d 四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？ (4)a ，b ，c ，d 四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？ (6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？ 在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？[解] (1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题． (2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题． (4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．(5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺序，是组合问题． (6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题． 拓展提升判断是否为组合问题，关键是判断问题是否与顺序有关，可以结合条件理解，也可以选择一个结果，交换这个结果中两个元素先后顺序，看是否对结果产生影响，若无新变化，则是组合问题．总之，与顺序有关是排列问题，若与顺序无关，则是组合问题．[跟踪训练1] 判断下列问题是排列问题，还是组合问题．(1)从集合A ＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相加，得到的和共有多少个？ (2)从集合A ＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相除，得到的商共有多少个？(3)从a ，b ，c ，d 这四名同学中任取两名同学去参加某一活动，共有多少种不同的选法？ (4)四个人互发一个电子邮件，共写了多少个电子邮件？解 (1)从集合A 中取出两个数后，改变两个数的顺序，其和不变．因此此问题，只与取出的元素有关，与元素的顺序无关，故是组合问题．(2)从集合A 中取出两个数相除，若改变其分子、分母的位置，其结果就不同，因此其商的值与元素的顺序有关，是排列问题．(3)由于从4名同学中取出的两名同学参加的同一项活动，没有顺序，因此是组合问题． (4)四人互发电子邮件，由于发信人与收信人是有区别的，与顺序有关，是排列问题． 探究2 组合数及组合数性质的运用 例2 (1)计算：C 410－C 37·A 33； (2)已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求C m8；(3)求C 38－n3n ＋C 3n21＋n 的值； (4)证明：m C m n ＝n C m －1n －1. [解] (1)原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)原方程可化为m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7×(7－m )！m ！10×7！，即m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )(5－m )！6×5！＝7×m ！(7－m )(6－m )(5－m )！10×7×6×5！，∴1－6－m 6＝(7－m )(6－m )60，即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或21(不符合题意，舍去)．∴C m 8＝C 28＝28.(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧38－n ≤3n ，3n ≤21＋n ，∴9.5≤n ≤10.5，∵n ∈N *，∴n ＝10， ∴C 38－n3n ＋C 3n21＋n ＝C 2830＋C 3031＝30！28！·2！＋31！30！·1！＝466.(4)证明：m C mn ＝m ·n ！m ！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n C m －1n －1.拓展提升(1)像排列数公式一样，公式C mn＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！一般用于计算；而公式C m n ＝n ！m ！(n －m )！及C mn ＝A mn A m m 一般用于证明、解方程(不等式)等．(2)在解决与组合数有关的问题时，要注意隐含条件“m ≤n 且m ，n ∈N *”的运用．如本例(3)．(3)要注意公式Am n ＝C m n A m m 的逆向运用，如本例(1)中可利用“C 37A 33＝A 37”简化计算过程． (4)本例(4)所推导的结论“m C m n ＝n C m －1n －1”以及它的变形公式是非常重要的公式，应熟练掌握．[跟踪训练2] (1)①求值：C 5－n n ＋C 9－nn ＋1；②求证：C mn ＝m ＋1n －mC m ＋1n . (2)计算：①C 58＋C 98100·C 77； ②C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55； ③C n n ＋1·C n －1n .解 (1)①⎩⎪⎨⎪⎧5－n ≤n ，5－n ≥0，9－n ≤n ＋1，9－n ≥0，解得4≤n ≤5.又因为n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5. 当n ＝4时，原式＝C 14＋C 55＝5， 当n ＝5时，原式＝C 05＋C 46＝16.②证明：因为C mn ＝n ！m ！(n －m )！，m ＋1n －m C m ＋1n ＝m ＋1(m ＋1)！·n ！(n －m )(n －m －1)！＝n ！m ！(n －m )！，所以C mn ＝m ＋1n －mC m ＋1n . (2)①原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4950＝5006.②原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32. ③原式＝C 1n ＋1·C 1n ＝(n ＋1)n ＝n 2＋n . 探究3 简单的组合问题例3 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)从中选出2名男教师或2名女教师去外地学习，有多少种不同的选法？ (3)从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？[解] (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即有C 210＝10×92×1＝45种不同的选法． (2)可把问题分两类：第1类，选出2名男教师，有C 26种方法；第2类，选出2名女教师，有C 24种方法，即共有C 26＋C 24＝21种不同的选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有C 26·C 24＝6×52×1×4×32×1＝90种不同的选法． 拓展提升解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于：排列问题与取出的元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．[跟踪训练3] 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．解 (1)从中任取5人是组合问题，共有C 512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C 29＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C13＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C49种选法．共有C13C49＝378种不同的选法．1．下列问题不是组合问题的是 ( )A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C．集合{a1，a2，a3，…，a n}的含有三个元素的子集有多少个？D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？答案 D解析组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，选D.2．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 答案 C解析 C 7n ＋1＝C 7n ＋C 8n ＝C 8n ＋1，∴n ＋1＝7＋8，n ＝14，故选C. 3．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有 ( ) A ．A 310种 B ．C 310种 C ．C 310A 310种 D ．30种答案 B解析 三张票没区别，从10人中选3人即可，即C 310，故选B. 4．若C 4n >C 6n ，则n 的集合是________． 答案 {6,7,8,9} 解析 ∵C 4n >C 6n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n ，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9n －10<0，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6.∵n ∈N *，∴n ＝6,7,8,9. ∴n 的集合为{6,7,8,9}．5．在6名内科医生和4名外科医生中，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？(1)有3名内科医生和2名外科医生； (2)既有内科医生，又有外科医生．解 (1)先选内科医生有C 36种选法，再选外科医生有C 24种选法，故有C 36C 24＝120种选派方法．(2)既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医生去1人，2人，3人，4人，有C 16C 44＋C 26C 34＋C 36C 24＋C 46C 14＝246种选派方法．若从反面考虑，则有C 510－C 56＝246种选派方法．。
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2第1课时组合与组合数公式课件新人教A版选修23
(4)冠 、亚军是有顺序的，是排列问题． (5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺 序，是组合问题． (6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1 枪，有顺序，是排列问题.
类型 2 组合数的计算
[典例 2] (1)计算：C9979＋C9989＋C91900＝________； (2)求值：C5n－n＋C9n－＋n1＝________； (3)解不等式 C4n>C6n. 解析：(1)C9979＋C9989＋C91900＝C91800＋C91900＝C91901＝C2101＝ 101×100 2×1 ＝5 050.
第一章 计数原理
1.2 排列与组合 1．2.2 组合
第 1 课时 组合与组合数公式
[学习目标] 1.理解组合及组合数的概念(重点)． 2. 能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单 的组合问题(重点、难点)．
1．组合的概念 (1)组合：一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n) 个元素合成一组，叫作从n不同元素中取出m个元素的一 个组合． (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 所有不同组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元 素的组合数，用符号Cnm表示．
2．下列计算结果为 21 的是( )
A．A24＋C26 B．C77
C．A27
D．C27
解析：C27＝72× ×61＝21.
答案：D
3．下面几个问题中属于组合问题的是________． ①由 1，2，3，4 构成的双元素集合；②由 1，2，3 构成两位数的方法；③由 1，2，3 组合无重复数字的两位 数的方法． 解析：①中选出的两个元素构成集合，与顺序无关，
2017-2018年度高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2.1 组合及组合数公式讲义 新人教B版选修2-3
12
知识拓展 (1)如果两个组合中的元素完全相同,不管它们的顺序 如何,都是相同的组合.
(2)当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不同)时, 就是不同的组合.例如从a,b,c三个不同的元
素中取出两个元素的所有组合有3个,它们分别是ab,ac,bc.要注意 ba,ab是相同的组合.
(3)组合问题与排列问题的共同点是:都要“从n个不同元素中,任 取m个元素”,不同点是:前者是“不管顺序并成一组”,而后者要“按照 一定顺序排成一列”.
题型一 题型二 题型三 题型四
题型四 易错辨析
【例 4】
已知C15������
−
1 C6������
=
107C7������,求
m.
错解:由已知得������!(55!-������)!
−
������!(6-������)! 6!
=
7(170-������)7!!������!,
即 60-10(6-m)=(7-m)(6-m),
1234 5
4.已知C������2������-1
=
C������������ 3
=
C���������4���+1,则
m
与
n
的值分别为
.
解析:
由C������������-1
2
=
C������������可得
3
5m=2n+2,①
由C������������
3
=
C������������+1可得
=
������! ������!(������-������)!
=
������(������-1)(������-2���)���…! (������-������+1),这里
高中数学1.2 排列与组合
练习: (课本20页) 1. 写出:
(1) 从 4 个不同元素中任取 2 个元素的所有排列; (2) 从 5 个不同元素中任取 2 个元素的所有排列. 解: (1) 设 4 个元素为 a, b, c, d.
ab ba ac ca ad da
bc cb bd db
cd dc 共 12 个.
练习: (课本20页) 1. 写出:
再看下面一个问题:
问题2: 从 a, b, c, d 这 4 个字母中, 每次取出 3 个按顺序排成一列, 写出所有的排法, 看一共有多少 不同的排法? 取出abc有: a b c a c b b a c b c a c a b c b a 取出abd有: a b d a d b b a d b d a d a b d b a
1.2.1 排列
(第一课时)
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问题1. 从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名参加某 天的一项活动, 其中 1 名同学参加上午的活动, 1 名 同学参加下午的活动, 你能写出所有的安排方法吗?
第一步, 从 3 名同学中任选择 2 名出来: 或 甲 乙, 或 甲 丙, 或 乙 丙. 第二步, 对每选择出来的 2 人按上、下午排列: 甲 乙, 乙 甲; 甲 丙, 丙 甲; 乙 丙, 丙 乙.
Amn = n(n-1)(n- 2)(n- m +1).
如: “问题1”中, 从 3 名同学中抽 2 名分别排在上午, 下午, 其排列数为
A32 = 32 = 6. “问题2” 中, 从 a、b、c、d 4 个字母中抽出 3 个 字母的排列, 其排列数为
A43 = 432 = 24.
问题5. A175中有多少个数相乘? 最大的一个数是 多少? 最小的一个数是多少? 如果 Amn =1716…4, 那么 n 等于多少? m 等于多少?
1.2排列与组合(经典系统全面知识点梳理)
课题：1、2排列与组合学科：数学 年级：高二 班级：学习目标:1.理解排列、组合的概念．; 2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．3.能解决简单的实际问题．教学重点：排列、组合、组合数、排列数的概念掌握组合数的两个性质教学难点：排列数公式的推导 掌握解排列问题的常用方法掌握解有限制条件的排列应用题的一些常用方法，并能运用排列的相关知识解一些简单的排列应用题；能解决有限制条件的组合问题[知识梳理]1．排列与排列数(1)排列从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．(2)排列数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，记作A m n .2．组合与组合数(1)组合从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素合成一组，叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．(2)组合数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数，叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，记作C m n .3．排列数、组合数的公式及性质必记结论(1)C0n＋C1n＋…＋C n n＝2n(全组合公式)．.(2)C m n＋C m n－1＋…＋C m m＋1＋C m m＝C m＋1n＋1.(3)k C k n＝n C k－1n－1一、排列应用题求解排列应用题的主要方法(1)直接法；(2)优先法；(3)捆绑法；(4)插空法；(5)先整体后局部；(6)定序问题除法处理；(7)间接法．二、组合应用题组合问题常有以下2类题型(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取；(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．三、分组分配问题分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配．关于分组问题，无论分成几组，应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象．常见的命题角度有：(1)整体均分问题．(2)不等分问题．解决分组分配问题的2种策略(1)整体均分：解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A n n(n为均分的组数)，避免重复计数．(2)不等分组：只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．。
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1.1排列与排列数公式a23a高二23数学
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忽视排列问题中的限制条件致误 【例 4】 在 1,2,3,4 的排列 a1a2a3a4 中，满足 a1>a2，a3>a2， a3>a4 的排列个数是_____5___． 【错解】 排列的个数是 12 个或 8 个． 【错因分析】 3 个限制只注意 1 个限制条件或 2 个限制条 件．
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知识点一 排列的概念
1．排列的定义
[填一填]
一般地，从 n 个 不同 元素中取出 m(m≤n)个元素，按照一 定的顺序 排成一列，叫做从 n 个 不同 元素中取出 m 个
元素的一个排列．
2．相同排列 两个排列相同，当且仅当两个排列的元素 完全相同 ，且 元素的 排列顺序 也相同．
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(2)计算AA5525的值． 解：AA5255＝5×4×5×3×4 2×1＝6.
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类型三 列举法解决排列问题 【例 3】 (1)从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数字组成两位
数，共有多少个不同的两位数？ (2)写出从 4 个元素 a，b，c，d 中任取 3 个元素的所有排列．
Hale Waihona Puke [目标] 1.理解排列和排列数的特征.2.正确运用排列数公式 进行计算．
[重点] 理解排列的概念，会用排列数公式进行计算． [难点] 对排列的有序性的正确理解，排列数公式的逆用．
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要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
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1.2排列与组合123
3.几种阶乘变形.
n! A = (n-m)!
m n
n!+n n!=(n+1)!
1 1 n = n! (n+1)! (n+1)!
排列应用题1
【概念复习】： 1 ．排列的定义，理解排列定义需要注意的 几点问题； 从n个不同元素中，任取m(m<n)个元素（这 里的被取元素各不相同）按照 一定的顺序 排 成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素 的一个排列. 2．排列数的定义，排列数的计算公式
41 41
41 4 1 2
2 3 1 3 1
2
由此可写出所有的三位数：
123，124，132，134，142，143; 213，214，231，234，241，243，
312，314，321，324，341，342; 412，413，421，423，431，432。
叙述为: 从4个不同的元素a,b,c,d 中任取3个，然后按 照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？ abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc; cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.
从3个不同的元素a,b,c中任取2个，然后按照一定 的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？ ab, ac, ba, bc, ca, cb
问题2：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成 一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
1 2
3
2 4
3
3
1
3
4
3
1 2
2
4
1
4 2
3
3 42 42 3
第一章12排列组合
1.2排列与组合一、基础知识一般地，从n 个不同元素中，任取m (n m ≤)个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．排列数的公式：!(1)(2)(1)()!mn n A n n n n m n m =---+=-组合数的公式：!)1()2)(1(m m n n n n A A C m m m n mn+---== 或 )!(!!m n m n C m n -=),,(n m N m n ≤∈*且组合数的性质：① m n nmnC C -= ② 1m n m n m 1n C C C -++= 规定：10=n C ，0!1=二、典型例题 （一）投信箱法（1）由数字0，1，2，3，4可组成多少个可重复数字的四位数？ （2）5个人到4家旅馆住店有几种住法？（3）5个不同的小球，放在4个不同的盒子内，有多少种放法？ （4）5个相同的小球，放在4个不同的盒子内，有多少种放法？（5）有5群鸽子其中有2群各自分别栖息在甲已两片树林中的栖息方法有多少种？ （二）站队问题⑴ 7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？⑵ 7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？⑶ 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ ⑷ 7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ ⑸ 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ （6）8人排成一排照相，A 、B 、C 三人互不相邻的排法共有多少种？ （7）8人排成一排照相，A 、B 相邻的排法共有多少种？（8）8人排成一排照相，A 、B 、C 三人互不相邻，D 、E 也不相邻，共有多少种排法？ （三）查字典法1、由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复数字比324105大的数？（297）2、用0、1、2、3、4五个数字，可以组成比2000大、且百位数字不是3的四位数有多少个？ 3、由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字能被3整除的五位数？（216） （四）计算1. 求值：97100C = ；123456234567C C C C C C +++++= .2. 求值：310A = ；2321n n A A ++÷=. 3. (1)若x 1618x 218C C -=,则x= ； (2)若8x 12x C C =,则x= ；（五）恰当分组⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ ⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？（4）乒乓球的10名队员中有三名主力队员，派五名参赛，三名主力队员要求安排在一 、三、五位置，其余7名队员选取2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排法有多少？ （5）有划船运动员10员，其中3人会划右舷，2人只会划左舷，其中5人既会划右舷又 会划左舷，现在要从这10人当中选出6人平均分配在一只船的两舷划桨，不考虑在同 一舷中3人的顺序，有多少种选法？ （六）元素相同与不同的分组（1）四名优等生保送到三所学校，每所学校至少一名，则不同的选送方案是（ ） （2）将10个名额分配给7个班，每个班至少有一个名额的分配方法（ ） （3）将3个相同的小球，放在4个不同的盒子内，有多少种放法？ （七）有关至多至少1．100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查．⑴ 都不是次品的取法有多少种？ ⑵ 至少有1件次品的取法有多少种？ ⑶ 不都是次品的取法有多少种？ （八）平均分组法6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：⑴分给甲、乙、丙三人，每人两本；⑵分为三份，每份两本；⑶分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；⑷分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；⑸分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．（九）插隔板法⑴某运输公司有7个车队，每个车队的车多于4辆，现在从这7个车队中抽出10辆车组成运输队，且每个车队至少1辆，则不同的抽法有（）845=126⑵把10本相同的笔记本分给6名学生，每人至少1本，有多少种分法？C9⑶方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？（分析：将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个间隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，而每一种分派所得4堆球的3）各堆球的数目，即为a,b,c,d的一组正整数解，故原方程的正整数解的组数共有C11（十）八环行排列1．教师2人，学生6人，师生8人围圆桌而坐，有多少种不同的坐法？2．在排成4*4的方阵的16个点中，中心4个点在某一个圆内，其余12个点在圆外。
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1第1课时排列与排列数公式a23a高二23数学
义及表示 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn 表示
全排列的概念
n个不同元素__全__部__(q_uá_nb_ù_)取_的出一个排列
阶乘的概念
把_n_·(_n_－__1_)_·…__·_2_·_1记作n！，读作：n的阶乘
Anm＝___n_(_n_－__1_)…__(_n_－__m__＋__1_) ____
2021/12/12
第十五页，共三十六页。
[跟踪训练] 1．判断下列问题是否是排列问题 (1)同宿舍4人，每两人互通一封信，问他们一共写了多少封信？ (2)同宿舍4人，每两人通一次电话，问他们一共通了几次电话？
[解] (1)是一个排列问题，相当于从4个人中任取两个人，并且按顺序 排好．有多少个排列就有多少封信，共有A24＝12封信．
题．
()
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[解析] (1)× 因为相同的两个排列不仅元素相同，而且元素的排列顺 序也相同．
(2)√ 因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法，每种选法与“顺 序”有关，属于排列问题．
(3)× 因为分组之后，各组与顺序无关，故不属于排列问题． (4)√ 因为任取的两个数进行指数运算，底数不同、指数不同结果不 同．结果与顺序有关，故属于排列问题． (5)√ 因为纵、横坐标不同，表示不同的点，故属于排列问题．
第二页，共三十六页。
[自 主 预 习·探 新 知]
1．排列的概念 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照_一__定_(_yī_dì_ng_)_的_顺排序成一列，叫 做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 2．相同排列的两个条件 (1)_元__素__(_yu相án s同ù) ． (2)_顺__序__(s_hù相nxù同) ． 思考：如何理解排列的定义？
1.2 排列与组合
Yiqiang Wei <weiyiqiang@>
1.2 排列与组合
1.2.2 组合
定义 从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集， 而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。 组合的全体组成的集合用 C(n,r) 表示，
Yiqiang Wei <weiyiqiang@>
1.2 排列与组合
例1.2.2 A单位有7名代表，B单位有3位代表，排成一列合影， 如果要求B单位的3人排在一起，问有多少种不同的排列方 案。若A单位的2人排在队伍两端，B单位的3人不能相邻， 问有多少种不同的排列方案？
B单位3人按一个元素参加排列，则有
例1.2.3 求由{1,3,5,7}组成的不重复出现的整数的总和 解：这样的整数可以是1位数,2位数,3位数,4位数, 若设 Si，i=1,2,3,4，是i位数的总和，则
S=S1+S2+S3+S4,
于是我们只需要计算Si即可。 显然，一位数之和 S1=1+3+5+7=16； 两位数有：13,15,17,31,35,37,51,53,57,71,73,75, 所以 S2=3(1+3+5+7)10+3(1+3+5+7)= 480+48=528
Yiqiang Wei <weiyiqiang@>
1.2 排列与组合
从n个中取r个的排列的典型例子是(取球模型): 从n个有区别的球中,取出r个,放入r个有标志的盒子里,且无 一空盒。 第1个盒子有n种不同选择； 第2个有n-1种选择； · · · · · · ， 第r个有n-r+1种选择。故由乘法原理有 P(n,r)=n(n-1)· · · · · · (n-r+1) =n!/(n-r)!
高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 第1课时 组合与组合数公式 新人教A版选
12345
解析 答案
规律与方法
1.排列与组合的联系与区别 (1)联系：二者都是从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素. (2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序.
2.关于组合数的计算 (1)涉及具体数字的可以直接用公式 Cmn ＝AAmmnm＝nn－1n－m2！…n－m＋1 计算； (2)涉及字母的可以用阶乘式 Cmn ＝m！nn！－m！计算. (3)组合数的两个性质： 性质 1：Cmn ＝Cnn－m； 性质 2：Cmn＋1＝Cnm＋Cmn －1.
第一章 1.2.2 组 合
第1课时 组合与组合数公式
学习目标 1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系. 2.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用 组合数公式进行计算. 3.会解决一些简单的组合问题.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点一 组合的定义
思考 ①从3,5,7,11中任取两个数相除； ②从3,5,7,11中任取两个数相乘. 以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同特点？ 答案 ①是排列，①中选取的两个数是有序的，②中选取的两个数无需 排列.
跟踪训练 2 (1)计算 C34＋C35＋C36＋…＋C32 017的值为
A.C42 017
B.C52 017
√C.C42 018－1
D.C52 017－1
解析 C34＋C35＋C36＋…＋C32 017
＝C44＋C34＋C35＋C36＋…＋C32 017－C44
＝C45＋C35＋…＋C32 017－1＝…
解答
类型二 组合数公式及性质的应用 命题角度1 有关组合数的计算与证明 例 2 (1)计算 C410－C37·A33； 解 原式＝C410－A37＝140××39××28××17－7×6×5＝210－210＝0.
新人教A版高中数学(选修2-3)1.2《排列与组合》(组合)
例6．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至
周五的5天中参加某项志愿者活动，要求
每人参加一天且每天至多安排一人，并要
求甲安排在另外两位前面。不同的安排方
法共有（ ）
种方法，
所以，一共有90+360+90＝540种方法．
元素相同问题隔板策略
例.有10个运动员名额，再分给7个班，每 班至少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成 一排。相邻名额之间形成９个空隙。
在９个空档中选６个位置插个隔板， 可把名额分成７份，对应地分给７个 班级，每一种插板方法对应一种分法 将n个相同共的有元__素__分__成__m__份_种（分n，法m。为正整数）,每 份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素 排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为
组合数性质1： 2：
特别地：
练习一
（1） （2）
（3） （4） （5）求
0 7
1,或5
的值 511
例题解读
求证： 证明：因为
左边= =左边，所以等式成立
评注： 注意阶乘的变形形式：
练习精选： 证明下列等式 ： （1）
（2）
例题解读：
例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种 不同的选法： （1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；
你发现ad了b bda dba
acd
什么ac?d cad dac
adc cda dca
bcd cbd dbc
bcd
bdc cdb dcb
（三个元素的）1个组合，对应着6个排列
对于 ，我们可以按照以下步骤进行
概念讲解
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系． 一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的
高中-数学-通用版-1.2 排列与组合
试卷第1页，共2页 1.2 排列与组合一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、2243A C -=（ ）A. 9B. 12C. 15D. 32、从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到lg a -lg b 的不同值的个数是（ ）A. 6B. 8C. 12D. 163、5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，则不同的分法种数为（ ）A. 240种B. 120种C. 96种D. 480种 4、某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（ ）A. 8种B. 12种C. 16种D. 20种 5、从4名本县教师和2名客县教师中选出3名教师参加高考某考场的监考工作，其分别负责核对身份，指纹认定和金属探测仪使用的工作，要求至少1名客县教师，且要求金属探测仪必须由客县监考教师负责使用，则不同安排方法的种数为（ ）A. 24B. 40C. 60D. 1206、由数字1，2，3，…，9组成的三位数中，各位数字按严格递增(如“156”)或严格递减(如“421”)顺序排列的数的个数是（ ）A. 120B. 168C. 204D. 2167、将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中．若每个盒子放2个，其中标号为1，2的小球放入同一盒子中，则不同的方法共有（ ）A. 12种B. 16种C. 18种D. 36种 8、现有2个男生，3个女生和1个老师共6人站成一排照相，若两端站男生，3个女生中有且仅有2人相邻，则不同的站法种数是（ ）A. 12B. 24C. 36D. 489、汉中市2019年油菜花节在汉台区举办，组委会将甲、乙等6名工作人员分配到两个不同的接待处负责参与接待工作，每个接待处至少2人，则甲、乙两人不在同一接待处的分配方法共有（ ）A. 12种B. 22种C. 28种D. 30种试卷第2页，共2页10、用数字0，1，2，3，4组成无重复数字的四位数，则比2340小的四位数共有（ ）A. 20个B. 32个C. 36个D. 40个二、填空题：请将答案填在题中横线上．11、若34A C n n =，则n =______．12、旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为______（用数字作答）．13、从A ，B ，C ，D ，E 五名歌手中任选三人出席某义演活动，当三名歌手中有A 和B 时，A 需排在B 的前面出场（不一定相邻），则不同的出场方法有______种．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14、计算：（1）()2973100100101C C A +÷；（2）3333410C C C +++．15、在上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理六门学科中选择三门参加等级考试，受各因素影响，小李同学决定选择物理，并在生物和地理中至少选择一门．（1）小李同学共有多少种不同的选科方案？（2）若小吴同学已确定选择生物和地理，求小吴同学与小李同学选科方案相同的概率． 16、现有5名男生和2名女生站成一排照相．（用数字作答）（1）两女生相邻，有多少种不同的站法?（2）两名女生不相邻，有多少种不同的站法?（3）女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法?（4）女生甲要在女生乙的右方（可以不相邻）有多少种不同的站法?17、用0、1、2、3、4、5这六个数字组成无重复数字的整数，求满足下列条件的数各有多少个．（1）六位奇数；（2）能被5整除的四位数；（3）比210435大的六位数．答案第1页，共6页参考答案1、【答案】A【分析】本题考查排列数公式和组合数公式. 【解答】由题得224332A C 4312392⨯-=⨯-=-=.故答案为A. 2、【答案】C【分析】本题考查排列、组合以及简单计数问题.【解答】由于lg a -lg b ＝lga b ，从3，5，7，11中取出两个不同的数分别赋值给a 和b ，共有24A ＝12种，∴得到不同的值有12个．3、【答案】A【分析】本题考查排列、组合以及简单计数问题.区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无“顺序”，有顺序就是排列问题，而无顺序就是组合问题．而要判断它是否有顺序的方法是：先将元素取出来，看交换元素的顺序对结果有无影响，有影响就是“有序”，也就是排列问题；没有影响就是“无序”，也就是组合问题．【解答】由题先把5本书的两本捆起来看作一个元素共有25C 10=种可能，这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列共有44A 24=种可能，∴不同的分法种数为1024240⨯=种．选A.4、【答案】C【分析】本题考查排列、组合以及简单计数问题.【解答】若一名学生只选物理和历史中的一门，则有1224C C 12=种组合；若一名学生物理和历史都选，则有14C 4=种组合，因此共有12416+=种组合．选C.5、【答案】B【分析】本题考查排列、组合以及简单计数问题.【解答】由题意得先选一名客县教师负责金属探测仪的使用，共12C 2=种，再从剩余的5人中，选两名监考员，一人负责核对身份，一人负责指纹认证，共25A 20=种，∴不同的安排方案共有22040⨯=种方法．6、【答案】B【分析】本题考查排列、组合以及简单计数问题.【解答】首先要从9个数字中选出3个数字，共39C 种情形，当三个数字确定以后，这答案第2页，共6页三个数字按严格递增或严格递减排列共有2种情况，根据分步计数原理知共有239C ＝168．选B.7、【答案】C【分析】本题考查排列、组合以及简单计数问题.【解答】先将标号为1，2的小球放入盒子，有3种情况；再将剩下的4个球平均放入剩下的2个盒子中，共有222422C C ·A 62!=种情况，∴不同的方法共有3×6＝18（种）． 8、【答案】B【分析】本题考查排列、组合以及简单计数问题.在有限制条件的排列问题中，有时限定某元素必须排在某位置，某元素不能排在某位置；有时限定某位置只能排（或不能排）某元素．这种特殊元素（位置）解题时要优先考虑． ①元素分析法——即以元素为主，优先考虑特殊元素，再考虑其他元素，先特殊后一般． ①位置分析法——即以位置为主，优先考虑特殊位置，再考虑其他位置，先分类后分步．【解答】第一步，2个男生站两端，有22A 种站法；第二步，3个女生站中间，有33A 种站法；第三步，老师站正中间女生的左边或右边，有12A 种站法．由分步乘法计数原理，得共有2323A A ⋅·12A =24（种）站法．9、【答案】C【分析】本题考查排列、组合以及简单计数问题.【解答】由题可分两种情况讨论：①甲可能在A 组，组内分到其他四人中的1人，2人或3人，则有123444C C C 14++=种分法；①甲可能在B 组，组内分到其他四人中的1人，2人或3人，则有123444C C C 14++=种分法.则一共有141428+=种分法．选C.10、【答案】D【分析】本题考查排列、组合以及简单计数问题.数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项：（1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子答案第3页，共6页安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论．（2）常用方法：直接法、间接法．（3）注意事项：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理．【解答】①首位为1时，符合题意的四位数共34A 24=个；①首位为2时，第二位为0，1都满足题意，符合题意的四位数共232A 12=个；①首位为2时，第二位为3，第三位为0，1，符合题意的四位数共122A 2=个．综上，共有40个，选D.11、【答案】27【分析】本题考查排列数公式和组合数公式.【解答】由34A C n n =得(1)(2)(3)(1)(2)4321n n n n n n n =-----⨯⨯⨯，解得27n =． 12、【答案】10【分析】本题考查排列、组合以及简单计数问题.【解答】分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有33A 种可选的路线； 第二种：不在最后体验甲景区，则有1222C A 种可选的路线．∴小李可选的旅游路线数为33A ＋1222C A ＝10．13、【答案】51【分析】本题考查排列、组合以及简单计数问题. 先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法，利用先选后排法解答问题只需要用三步即可完成．第一步：选元素，即选出符合条件的元素；第二步：进行排列，即把选出的元素按要求进行排列；第三步：计算总数，即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算方法总数．【解答】应分没有A 和B 、只有A 或B 中的一个、A 和B 均有这三种情况进行讨论． 第一类，这三名歌手中没有A 和B ，由其他歌手出席该义演活动，共有33A 种情况；第二类，只有A 或B 中的一个出席该义演活动，需从C ，D ，E 中选两人，共有123233C C A 种情况；第三类，A ，B 均出席该义演活动，需再从C ，D ，E 中选一人，∵A 在B 前，共有133322C A A 种情况．答案第4页，共6页由分类加法计数原理得不同的出场方法有33A +123233C C A +133322C A A =51种． 14、【答案】（1）16；（2）330. 【分析】本题考查排列数公式和组合数公式的应用.A C A m mn n mm=这个公式体现了排列数公式和组合数公式的联系，也可以用这个关系去加强对公式的记忆．每个公式都有相应的连乘形式和阶乘形式，连乘形式多用于数字计算，阶乘形式多用于对含有字母的排列数或者组合数进行变形或证明．【解答】（1）原式()23333100100101101101C CA C A =+÷=÷333101101333A 1A 1A A 6=÷=÷=． （2）原式43333445105104C C C C C C =++++=++4334346610101011C C C C C C =+++==+=330=．15、【答案】（1）7种；（2）128． 【分析】本题考查排列、组合以及简单计数问题.【解答】（1）在化学、生物、政治、历史、地理任意选两门的方法数为25C 10=，在化学、政治、历史任意选两门的方法数为23C 3=，2253C C 7-=，因此，小李同学共有7种不同的选科方案．（2）小吴同学有4种不同的选科方案，小吴同学与小李同学两人选科的方案共有4728⨯=种，其中两人选科相同的方案只有1种， 因此，小吴同学与小李同学选科方案相同的概率为128． 16、【答案】（1）1440种；（2）3600种；（3）3720种；（4）2520种.【分析】本题考查排列、组合以及简单计数问题.解决排列问题的主要方法有：（1）“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置．（2）解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列．（3）解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相答案第5页，共6页邻的元素插在前面元素排列的空当中．（4）对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列． （5）若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法”．【解答】（1）把两女生捆绑作为一个元素与5名男生进行排列，有2626A A 1440=种不同的站法．（2）先把5名男生排列后，再把2名女生插入到男生间的空档中，有2556A A 3600=种不同的站法．（3）解法一：先把7人全排列，然后减去女生甲在左端的排列数及女生乙在右端的排列数，同时加上女生甲在左端且女生乙在右端的排列数，即765765A 2A A 3720-+=．解法二：可以先采取特殊元素与特殊位置优先安排的方法：第一类女生甲站在右端，其他5人全排列，第二类女生甲排在中间5个位置中的一个，女生乙除了右端还有5个位置可安排，然后再排列5名男生，即61156555A C C A +=3720．（4）女生甲要么在乙的左端，要么在乙的右端，因此只要用全排列除以2即可，即771A 25202=． 17、【答案】（1）288个；（2）108个；（3）453个.【分析】本题考查排列、组合以及简单计数问题.（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素（或位置）的性质进行分类；①按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素（或位置）为主体，即先满足特殊元素（或位置），再考虑其他元素（或位置）．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型： ①不均匀分组；①均匀分组；①部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．【解答】（1）先排个位，个位数字只能从1，3，5中选有3种方法；再排首位，首位不能为0，故还有4个数字可选，有4种方法；最后排中间四位，没有其他附加条件，排法数为4！，由分步乘法计数原理知，共有不同排法种数为3×4×4！＝288个．（2）能被5整除，个位只能是0或5，个位是0时，没有其他附加条件，其他三个数答案第6页，共6页 位排法有35A 种；个位是5时，首位排法有4种，再排十位与百位，有24A 种，①个位是5的有244A 种， 由分类加法计数原理知共有35A ＋244A ＝108个． （3）①首位是4、3、5时满足要求，有3×55A 个； ①首位是2时，当万位是4、3、5时满足要求，有3×44A 个； 当万位是1时，千位是4、3、5时满足要求，有3×33A 个； 当首位为2，万位是1，千位是0时，若百位是5，有22A 个，若百位是4，则十位为5，只有1个．由分类加法计数原理知，共有比210435大的六位数553A ＋443A ＋333A ＋22A ＋1＝453个．。
高中数学选修2-3(人教A版)第一章计数原理1.2知识点总结含同步练习及答案
1 6 7 12 C0 12 < C12 < ⋯ < C12 > C12 > ⋯ > C12 ，所以 2x − 3 ⩾ 5 且 2x ⩽ 12 解得 4 ⩽ x ⩽ 6．
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− A5 9
= =
8 × 7 × 6 × 5 × (8 + 7) 8 × 7 × 6 × 5 × (24 − 9) = 1.
2×8×7×6×5×4+7×8×7×6×5 8×7×6×5×4×3×2×1−9×8×7×6×5
（3）根据原方程，可得
3x(x − 1)(x − 2) = 2(x + 1)x + 6x(x − 1).
0 10 （1）计算：C5 10 ⋅ C10 − C10 ； m−1 （2）证明：mCm n = nCn−1 ．
解：（1）原式= （2）证明：因为
10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 1 − 1 = 252 − 1 = 251 ； 5×4×3×2×1
Cm n =
n! , m!(n − m)! (n − 1)! n(n − 1)! n m−1 n n! ⋅ = = . Cn−1 = m m (m − 1)!(n − m)! m ⋅ (m − 1)!(n − m)! m!(n − m)!
正整数 1 到 n 的连乘积，叫做 n 的阶乘，用 n! 表示．另外，我们规定 0! = 1 ．所以排列数公 式还可以写成
Am n =
(n − m)！
n！
.
组合的定义 一般地，从 n 个不同元素中取出 m （m ⩽ n ）个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合（combination）． 组合数及组合数的公式 从 n 个不同元素中取出 m （m ⩽ n ）个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的组合数，用符号 Cm n 表示．
1.2排列与组合
人教A 版，高中数学，选修2-31.2排列与组合 1.2.1排列 练习（P20）1．写出：（1）从4个不同元素中任取2个元素的所有排列； （2）从5个不同元素中任取2个元素的所有排列。
【解析】（1）,,,,,,,,,,,ab ac ad ba bc bd ca cb cd da db dc ；（2）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad ae ba bc bd be ca cb cd ce da db dc de ea eb ec ed 。
2．用计算器计算：（1）415A； （2）77A ； （3）42882A A-； （4）812712A A ； 【解析】（1）4151514131232760A =⨯⨯⨯=；（2）777!5040A ==；（3）4288287652871568A A -=⨯⨯⨯-⨯⨯=； （4）87121277121255A A A A ==.3．用计算器计算下表中的阶乘数，并填入表中：N 2 3 4 5 6 7 8!N2624120 720 5040 403204．求证：（1）11n m m n A nA --=； （2）8767876787A A A A -+=【解析】（1）因为!()!nm n A n m =-，11(1)![(1)(1)]!m n n nA n n m ---=⨯---(1)!()!n n n m -=⨯-!()!n n m =-，所以11nm m n A nA --=。
（2）876777787677778788A A A A A A A -+=-+=。
5．从参加乒乓球团体比赛的５名运动员中选出３名，并按排定的顺序出场比赛，有多少种不同方法？【解析】3560A =（种）。
6．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行实验，有多少种不同的种植方法？【解析】3424A =（种）。
1.2.2组合 练习（P25）1．甲、乙、丙、丁4个足球队举行单循环赛，列出：（1）所有各场比赛的双方； （2）所有冠亚军的可能情况。
1.2排列与组合(课后习题详解)
3 2
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（4） 3C8 2C5 3 56 2 10 148 。
3 2
6．求证 Cn
m
m 1 m1 Cn1 。 n 1
【解析】
m 1 m1 m 1 (n 1)! n! m Cn1 Cn n 1 n 1 (m 1)![(n 1) (m 1)]! m! n m !
4 A4 24 .
6．一个学生有 20 本不同的书，所有这些书能够以多少种不同的方式排在一个单层的书架上？ 【解析】排列 由于书架是单层的，所以问题相当于 20 个元素的全排列，有 A20 种不同的排法. 7．学校要安排一场文艺晚会的 11 个节目的演出顺序，除第 1 个节目和最后一个节目已确定外，4 个音乐节目要求排在第 2,5,7,10 的位置，3 个舞蹈节目要求排在第 3,6,9 的位置，2 个曲艺节目 要求排在第 4,8 的位置，共有多少种不同的排法？ 【解析】分步乘法计数原理，排列 可以分三步完成： 第一步，安排 4 个音乐节目，共有 A4 种排法； 第二步，安排舞蹈节目，共有 A3 种排法； 第三步，安排曲艺节目，共有 A2 种排法。 所以不同的排法有 A4 A3 A2 288 （种） 。
n 2 Cn 1 Cn (n 1)
（4） Cn 1 Cn
n
n2
n(n 1) n(n2 1) 。 2 2
3．求证： （1） An1 An n An1 ；
n 2 n 1 n 1
（2）
(n 1)! n! (n k 1)n ! （k n） 。 k! (k 1)! k!
2．用计算器计算： （1） A15 ；
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排列教学目的：理解排列、排列数的概念及公式的推导，并能进行计算；能用“树型图”写出一个排列中所有的排列；理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合；明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题．理解排列数m n A 与组合数C m n 之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算。
教学重点、难点：排列、排列数的概念及公式的推导；组合的概念和组合数公式，有关组合的应用问题．排列问题1：从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？分析：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题。
问题就是3个人中选2人按顺序参加一项活动，有多少项选法。
解决这个问题可以分为二步：先确定上午的人，再确定下午的人，根据分步乘法计数原理得共有3×2=6种，如图所示。
把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从3个不同的元素 a , b ，。
中任取 2 个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是 ab,ac,ba,bc,ca, cb,共有 3×2=6 种．问题2：从a,b,c,d 这四个字母中，每次取出3个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？分析：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定左边的字母，在4个字母中任取1个，有4种方法；第二步确定中间的字母，从余下的3个字母中取，有3种方法；第三步确定右边的字母，从余下的2个字母中取，有2种方法由分步乘法计数原理共有：4×3×2=24种不同的方法，用树型图排出，可以写出所有的排列。
由此可写出所有的三位数：123，124, 132, 134, 142, 143，213，214, 231, 234, 241, 243，312，314, 321, 324, 341, 342，412，413, 421, 423, 431, 432 。
同样，问题 2 可以归结为：从4个不同的元素a, b, c ，d 中任取 3 个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？所有不同排列是：abc, abd, acb, acd, adb, adc,bac, bad, bca, bcd, bda, bdc,cab, cad, cba, cbd, cda, cdb,dab, dac, dba, dbc, dca, dcb.共有4×3×2=24种.一般地，从n 个不同元素中，任取m （m n ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
排列的特征：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同例如123与213为什么是不同的排列。
排列数从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n A 表示问题1中是：62323=⨯=A ，问题2中是：2423434=⨯⨯=A 注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n 个不同元素中，任取m 个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号m n A 只表示排列数，而不表示具体的排列。
排列数的探求1 求2n A ：由2n A 的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n 个元素12,,na a a 中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数2n A ．由分步计数原理完成上述填空共有(1)n n -种填法，∴2n A =(1)n n -。
同理，求3n A 可以按依次填3个空位来考虑，∴3n A =(1)(2)n n n --。
一般地，求排列数可m n A 以按依次填m 个空位来考虑，根据分步乘法计数原理有：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+ ，这样，我们得到排列数公式：这里,,m n N m n *∈≤，这个公式叫做排列数公式。
比如3360141516316=⨯⨯=A ；720666==！A 。
说明：（1）公式特征：第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是1n m -+，共有m 个因数；（2）全排列：当n m =时即n 个不同元素全部取出的一个排列。
全排列数公式如下：(1)(2)21!n n A n n n n =--⋅=（3）正整数1到n 的连乘积，12)2)(1(⋅-- n n n ，叫做n 的阶乘；用n ！表示： ， 即n n A =!n ，规定0!1=．（4））排列数的另一个计算公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+ (1)(2)(1)()321()(1)321n n n n m n m n m n m ---+-⋅⋅=---⋅⋅ =!()!n n m - 即 m n A =!()!n n m -。
例1 计算⑴688A A ÷；⑵66248108!A A A +-；⑶11(1)!()!n m m A m n ----； ⑵原式876543216543218710987⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=⨯-⨯⨯⨯=5765432513056(89)623⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯- ⑶原式(1)!1(1)!()!()!m m m n m n -==---．例2 （1）若17161554mn A =⨯⨯⨯⨯⨯ ，则n= ，m= ．（2）若,n N ∈则(55)(56)(68)(69)n n n n ---- 用排列数符号表示为 ．解：（1）n=17，m=14 ．（2）若,n N ∈则(55)(56)(68)(69)n n n n ---- ＝ 1569n A -．例3 某年全国足球甲级（A 组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？解：任意两队间进行1次主场比赛与 1 次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列．因此，比赛的总场次是214A =14×13=182.例4 （1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ （2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？解：（1）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是：3554360A =⨯⨯=，所以，共有60种不同的送法（2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是：555125⨯⨯=，所以，共有125种不同的送法说明：本题两小题的区别在于：第（1）小题是从5本不同的书中选出3本分送给3位同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而第（2）小题中，给每人的书均可以从5种不同的书中任选1种，各人得到那种书相互之间没有联系，要用分步计数原理进行计算。
例5 用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解法1：用分步计数原理：所求的三位数的个数是：1299998648A A ⋅=⨯⨯=解法2：符合条件的三位数可以分成三类：每一位数字都不是0的三位数有39A 个，个位数字是0的三位数有29A 个，十位数字是0的三位数有29A 个， 由分类计数原理，符合条件的三位数的个数是：322999648A A A ++=．解法3：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为310A ，其中以0为排头的排列数为29A ，因此符合条件的三位数的个数是32109648A A -=-29A ． 说明：解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法直接法：通过对问题进行恰当的分类和分步，直接计算符合条件的排列数如解法1，2；间接法：对于有限制条件的排列应用题，可先不考虑限制条件，把所有情况的种数求出来，然后再减去不符合限制条件的情况种数如解法3．对于有限制条件的排列应用题，要恰当地确定分类与分步的标准，防止重复与遗漏。
例6 ⑴7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？⑵7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？⑶7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？⑷7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？⑸7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？⑹甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？⑺甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？⑻甲、乙、丙按指定顺序排列。
解：⑴问题可以看作：7个元素的全排列77A ＝5040．⑵根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040． ⑶问题可以看作：余下的6个元素的全排列——66A =720．⑷根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有22A 种；第二步 余下的5名同学进行全排列有55A 种，所以，共有22A 55A ⋅=240种排列方法 ⑸解法1（直接法）：第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有25A 种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有55A 种方法，所以一共有25A 55A ＝2400种排列方法解法2：（排除法）若甲站在排头有66A 种方法；若乙站在排尾有66A 种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有55A 种方法，所以，甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有77A －662A ＋55A =2400种．说明：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元素可以优先考虑。
⑹解法一：（排除法）3600226677=⋅-A A A ；解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有55A 种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”吧），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有26A 种方法，所以一共有36002655=A A 种方法．⑺解：先将其余四个同学排好有44A 种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有35A 种方法，所以一共有44A 35A ＝1440种．说明：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）．例7 某天课表共六节课，要排政治、语文、数学、物理、化学、体育共六门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，共有多少种不同的排课方法？解法1：对特殊元素—数学和体育进行分类解决（1）数学、体育均不排在第一节和第六节，有24A 种，其他有44A 种，共有2444A A ⋅种； （2）数学排在第一节、体育排在第六节有一种，其他有44A 种，共有44A 种；（3）数学排在第一节、体育不在第六节有14A 种，其他有44A 种，共有1444A A ⋅种； （4）数学不排在第一节、体育排在第六节有14A 种，其他有44A 种，共有1444A A ⋅种； 所以符合条件的排法共有()214444442121504A A A A ++==种 解法2：对特殊位置—第一节和第六节进行分类解决（1）第一节和第六节均不排数学、体育有24A 种，其他有44A 种，共有2444A A ⋅种； （2）第一节排数学、第六节排体育有一种，其他有44A 种，共有44A 种；（3）第一节排数学、第六节不排体育有14A 种，其他有44A 种，共有1444A A ⋅种；（4）第一节不排数学、第六节排体育有14A 种，其他有44A 种，共有1444A A ⋅种；所以符合条件的排法共有()214444442121504A A A A ++==种． 解法3：本题也可采用间接排除法解决不考虑任何限制条件共有66A 种排法，不符合题目要求的排法有：（1）数学排在第六节有55A 种；（2）体育排在第一节有55A 种；考虑到这两种情况均包含了数学排在第六节和体育排在第一节的情况44A 种所以符合条件的排法共有6546542504A A A -+=种。