20.3.1矩形

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1.2.3 矩形的性质与判定的综合运用九年级上册数学北师大版

O
易证 Rt△AOE ≌ Rt△COE, AE ＝ EC．
BF
C
由勾股定理,得 ED2＋DC2＝EC2＝AE2, 得 EC＝245cm．
∴OE ＝245cm,折痕长 EF ＝ 2OE ＝ 7.5 cm．
6. （教材P19习题1.6第5题）如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB = 3，AD = 4，P 是 AD 上不与 A 与 D 重合的一个动点，过点 P 分别作 AC 和 BD的垂线，垂足为 E，F. 求 PE + PF 的值.
矩形的判定定理
直角三角形斜边上中线
的性质
状元成才路
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 矩形的四个角都是直角矩形的对角线相等对角线相等的平行四边形是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
N 分别为 BC，AD 中点， ∴ MD ⊥BC，BN ⊥AD , ∠DMB＝ 90°,∠DNB ＝ 90°,
D N
C M
∠DBM ＝60°,∠DBN ＝30°,
A
B
即∠NBM ＝90°, 得证四边形 BMDN 是矩形．
2. （教材P18习题1.6第1题）如图，在矩形 ABCD 中，对角
线 AC 与 BD 相交于点 O，∠ACB = 30°，BD = 4，求矩形
A
D
A
D
O
O
B
C
B
C
新知探究
例3 如图，在矩形 ABCD 中，AD = 6，对角线
AC 与 BD 交于点 O，AE ⊥ BD，垂足为 E，ED =
3BE. 求 AE 的长.
A
D
O
E
B
C
解：∵ 四边形 ABCD 是矩形，

2024届福建省清流一中重点中学高三第一次六校联考数学试题试卷

2024届福建省清流一中重点中学高三第一次六校联考数学试题试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取得最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（）A ．31-B ．21-C ．512- D ．212- 2．已知数列{}n a 对任意的*n N ∈有111(1)n n a a n n +=-++成立，若11a =，则10a 等于（）A ．10110B ．9110C ．11111D ．122113．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．4．若数列{}n a 为等差数列，且满足5383a a a ++＝，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则11S ＝（） A ．27B ．33C ．39D ．445．已知集合{}1,2,3,,M n =（*n N ∈），若集合{}12,A a a M =⊆，且对任意的b M ∈，存在{},1,0,1λμ∈-使得i j b a a λμ=+，其中,i j a a A ∈，12i j ≤≤≤，则称集合A 为集合M 的基底.下列集合中能作为集合{}1,2,3,4,5,6M =的基底的是（）A ．{}1,5B ．{}3,5C ．{}2,3D ．{}2,46．已知函数e 1()e 1x x f x -=+，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．3481(3)(2)x x x+-展开式中x 2的系数为( ) A ．－1280B ．4864C ．－4864D ．12808．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当()1,0x ∈-时，()433xf x =+，则33log 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．2-B ．3C ．3-D ．29．已知纯虚数z 满足()122i z ai -=+，其中i 为虚数单位，则实数a 等于（） A ．1-B ．1C ．2-D ．210．已知复数41iz i=+，则z 对应的点在复平面内位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限11．已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为( )A ．3172B ．210C ．132D ．31012．已知复数z 满足i i z z ⋅=+,则z 在复平面上对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》同步练习含答案解析

《1.2 矩形的性质与判定》一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线相等B．两组对边分别平行C．对角线互相平分D．两组对角分别相等2．下列关于矩形的说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的对角线互相垂直且平分3．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则OC的长为（）A．2 B．3 C．2 D．44．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（）A．4 B．8 C．10 D．125．如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF6．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P 到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．4.8 B．5 C．6 D．7.27．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A．B．C．D．8．如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．75°9．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2，DE=2，则四边形OCED 的面积（）A．2 B．4 C．4 D．810．如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题11．如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为．12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE= 度．13．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．14．如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为．15．已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO=1，那么BD= ．16．如图，矩形ABCD中，对角线AC=2，E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB= ．17．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E= 度．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为．三、解答题19．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．20．如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）．（2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．21．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．22．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=AO，求∠ABD的度数．23．如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）连接BD、CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．24．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积．25．如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q 两点．（1）求证：CP=AQ；（2）若BP=1，PQ=2，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．26．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．结合小敏的思路作答（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题：（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．《1.2 矩形的性质与判定》参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线相等B．两组对边分别平行C．对角线互相平分D．两组对角分别相等【考点】矩形的性质；菱形的性质．【分析】根据矩形与菱形的性质求解即可求得答案．注意矩形与菱形都是平行四边形．【解答】解：∵矩形具有的性质是：对角线相等且互相平分，两组对边分别平行，两组对角分别相等；菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，两组对角分别相等；∴矩形具有而菱形不具有的性质是：对角线相等．故选A．【点评】此题考查了矩形与菱形的性质．注意熟记定理是解此题的关键．2．下列关于矩形的说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的对角线互相垂直且平分【考点】矩形的判定与性质．【分析】根据矩形的性质和判定定理逐个判断即可．【解答】解：A、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；B、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；故选B．【点评】本题考查了矩形的性质和判定的应用，能熟记矩形的性质和判定定理是解此题的关键．3．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则OC的长为（）A．2 B．3 C．2 D．4【考点】矩形的性质．【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2AB=4，再根据矩形的对角线互相平分解答．【解答】解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∵∠ACB=30°，AB=2，∴AC=2AB=2×2=4，∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OA=AC=2．故选A．【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．4．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（）A．4 B．8 C．10 D．12【考点】矩形的性质；菱形的判定与性质．【专题】计算题；矩形菱形正方形．【分析】由四边形ABCD为矩形，得到对角线互相平分且相等，得到OD=OC，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形DECO为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形DECO为菱形，根据AC的长求出OC的长，即可确定出其周长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，∴OA=OB=OC=OD=2，∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形DECO为平行四边形，∵OD=OC，∴四边形DECO为菱形，∴OD=DE=EC=OC=2，则四边形OCED的周长为2+2+2+2=8，故选B【点评】此题考查了矩形的性质，以及菱形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．5．如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF【考点】矩形的性质；全等三角形的判定．【分析】先根据已知条件判定△AFD≌△DCE（AAS），再根据矩形的对边相等，以及全等三角形的对应边相等进行判断即可．【解答】解：（A）由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC．又∵DE=AD，∴△AFD≌△DCE（AAS），故（A）正确；（B）∵∠ADF不一定等于30°，∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故（B）错误；（C）由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，由矩形ABCD，可得AB=CD，∴AB=AF，故（C）正确；（D）由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，由矩形ABCD ，可得BC=AD ，又∵BE=BC ﹣EC ，∴BE=AD ﹣DF ，故（D ）正确；故选B ．【点评】本题主要考查了矩形和全等三角形，解决问题的关键是掌握矩形的性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等．解题时注意：在直角三角形中，若有一个锐角等于30°，则这个锐角所对的直角边等于斜边的一半．6．如图，点P 是矩形ABCD 的边AD 上的一动点，矩形的两条边AB 、BC 的长分别是6和8，则点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是（）A ．4.8B ．5C ．6D ．7.2【考点】矩形的性质．【分析】首先连接OP ，由矩形的两条边AB 、BC 的长分别为3和4，可求得OA=OD=5，△AOD 的面积，然后由S △AOD =S △AOP +S △DOP =OA •PE+OD •PF 求得答案．【解答】解：连接OP ，∵矩形的两条边AB 、BC 的长分别为6和8，∴S 矩形ABCD =AB •BC=48，OA=OC ，OB=OD ，AC=BD=10，∴OA=OD=5，∴S △ACD =S 矩形ABCD =24，∴S △AOD =S △ACD =12，∵S △AOD =S △AOP +S △DOP =OA •PE+OD •PF=×5×PE+×5×PF=（PE+PF ）=12，解得：PE+PF=4.8．故选：A．【点评】此题考查了矩形的性质以及三角形面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法以及掌握整体数学思想的运用是解题的关键．7．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A．B．C．D．【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC=90°，根据勾股定理求出答案．【解答】解：连接BF，∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=3，又∵AB=4，∴AE==5，∴BH=，则BF=，∵FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，∴CF==．故选：D．【点评】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．8．如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．75°【考点】矩形的性质；平行线的性质．【分析】首先过点D作DE∥a，由∠1=60°，可求得∠3的度数，易得∠ADC=∠2+∠3，继而求得答案．【解答】解：过点D作DE∥a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°，∵a∥b，∴DE∥a∥b，∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5，∴∠2=90°﹣30°=60°．故选C．【点评】此题考查了矩形的性质以及平行线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．9．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2，DE=2，则四边形OCED 的面积（）A．2 B．4 C．4 D．8【考点】矩形的性质；菱形的判定与性质．【专题】计算题；矩形菱形正方形．【分析】连接OE，与DC交于点F，由四边形ABCD为矩形得到对角线互相平分且相等，进而得到OD=OC，再由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到ODEC为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形ODEC为菱形，得到对角线互相平分且垂直，求出菱形OCEF的面积即可．【解答】解：连接OE，与DC交于点F，∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，即OA=OB=OC=OD，∵OD∥CE，OC∥DE，∴四边形ODEC为平行四边形，∵OD=OC，∴四边形ODEC为菱形，∴DF=CF，OF=EF，DC⊥OE，∵DE∥OA，且DE=OA，∴四边形ADEO为平行四边形，∵AD=2，DE=2，∴OE=2，即OF=EF=，在Rt△DEF中，根据勾股定理得：DF==1，即DC=2，=OE•DC=×2×2=2．则S菱形ODEC故选A【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．10．如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．【专题】几何图形问题．【分析】①根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE=45°，然后利用求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE=AB，从而得到AE=AD，然后利用“角角边”证明△ABE和△AHD 全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DH，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE=∠AED=67.5°，根据平角等于180°求出∠CED=67.5°，从而判断出①正确；②求出∠AHB=67.5°，∠DHO=∠ODH=22.5°，然后根据等角对等边可得OE=OD=OH，判断出②正确；③求出∠EBH=∠OHD=22.5°，∠AEB=∠HDF=45°，然后利用“角边角”证明△BEH和△HDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=HF，判断出③正确；④根据全等三角形对应边相等可得DF=HE，然后根据HE=AE﹣AH=BC﹣CD，BC﹣CF=BC﹣（CD﹣DF）=2HE，判断出④正确；⑤判断出△ABH不是等边三角形，从而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到⑤错误．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE=AB，∵AD=AB，∴AE=AD，在△ABE和△AHD中，，∴△ABE≌△AHD（AAS），∴BE=DH，∴AB=BE=AH=HD，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED=∠CED，故①正确；∵AB=AH，∵∠AHB=（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），∴∠OHE=67.5°=∠AED，∴OE=OH，∵∠DHO=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，∴∠DHO=∠ODH，∴OH=OD，∴OE=OD=OH，故②正确；∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH=∠OHD，在△BEH和△HDF中，，∴△BEH≌△HDF（ASA），∴BH=HF，HE=DF，故③正确；∵HE=AE﹣AH=BC﹣CD，∴BC﹣CF=BC﹣（CD﹣DF）=BC﹣（CD﹣HE）=（BC﹣CD）+HE=HE+HE=2HE．故④正确；∵AB=AH，∠BAE=45°，∴△ABH不是等边三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故⑤错误；综上所述，结论正确的是①②③④共4个．故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．二、填空题11．如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为3．【考点】矩形的性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质．【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA=AB=OB=3，得出BD=2OB=6，由勾股定理求出AD即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OA=OB，∵AE垂直平分OB，∴AB=AO，∴OA=AB=OB=3，∴BD=2OB=6，∴AD===3；故答案为：3．【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE= 22.5 度．【考点】矩形的性质．【分析】首先证明△AEO是等腰直角三角形，求出∠OAB，∠OAE即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OA=OB═OC，∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，∴∠AOE=∠OAC+∠OCA=2∠OAC，∵∠EAC=2∠CAD，∴∠EAO=∠AOE，∵AE⊥BD，∴∠AEO=90°，∴∠AOE=45°，∴∠OAB=∠OBA==67.5°，∴∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°．故答案为22.5°．【点评】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是发现△AEO是等腰直角三角形这个突破口，属于中考常考题型．13．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件EB=DC ，使四边形DBCE是矩形．【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．【分析】利用平行四边形的判定与性质得到四边形DBCE为平行四边形，结合“对角线相等的平行四边形为矩形”来添加条件即可．【解答】解：添加EB=DC．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴DE∥BC，又∵DE=AD，∴DE=BC，∴四边形DBCE为平行四边形．又∵EB=DC，∴四边形DBCE是矩形．故答案是：EB=DC．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质．解题时，也可以根据“有一内角为直角的平行四边形为矩形”填空．14．如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为4或2．【考点】矩形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理．【专题】分类讨论．【分析】要求直线AD上满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个时的AB长，则需要分类讨论：①当AB=AD时；②当AB＜AD时，③当AB＞AD时．【解答】解：①如图，当AB=AD时满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，△P1BC，△P2BC是等腰直角三角形，△P3BC是等腰直角三角形（P3B=P3C），则AB=AD=4．②当AB＜AD，且满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个时，如图，∵P2是AD的中点，∴BP2==，易证得BP1=BP2，又∵BP1=BC，∴=4∴AB=2．③当AB＞AD时，直线AD上只有一个点P满足△PBC是等腰三角形．故答案为：4或2．【点评】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．15．已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO=1，那么BD= 2 ．【考点】矩形的性质．【分析】根据矩形的性质：矩形的对角线互相平分且相等，求解即可．【解答】解：在矩形ABCD中，∵角线AC与BD相交于点O，AO=1，∴AO=CO=BO=DO=1，∴BD=2．故答案为：2．【点评】本题考查了矩形的性质，解答本题的关键是掌握矩形的对角线互相平分且相等的性质．16．如图，矩形ABCD中，对角线AC=2，E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB= ．【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】先根据折叠得出BE=B′E，且∠AB′E=∠B=90°，可知△EB′C是直角三角形，由已知的BC=3BE得EC=2B′E，得出∠ACB=30°，从而得出AC与AB的关系，求出AB的长．【解答】解：由折叠得：BE=B′E，∠AB′E=∠B=90°，∴∠EB′C=90°，∵BC=3BE，∴EC=2BE=2B′E，∴∠ACB=30°，在Rt△ABC中，AC=2AB，∴AB=AC=×2=，故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质和翻折问题，明确翻折前后的图形全等是本题的关键，同时还运用了直角三角形中如果一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°这一结论，是常考题型．17．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E= 15 度．【考点】矩形的性质．【分析】连接AC，由矩形性质可得∠E=∠DAE、BD=AC=CE，知∠E=∠CAE，而∠ADB=∠CAD=30°，可得∠E度数．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=30°，∴∠E=∠DAE，又∵BD=CE，∴CE=CA，∴∠E=∠CAE，∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，∴∠E+∠E=30°，即∠E=15°，故答案为：15．【点评】本题主要考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为．【考点】矩形的判定与性质；垂线段最短．【分析】连接CM，先证明四边形CDME是矩形，得出DE=CM，再由三角形的面积关系求出CM的最小值，即可得出结果．【解答】解：连接CM，如图所示：∵MD⊥AC，ME⊥CB，∴∠MDC=∠MEC=90°，∵∠C=90°，∴四边形CDME是矩形，∴DE=CM，∵∠C=90°，BC=3，AC=4，∴AB===5，当CM⊥AB时，CM最短，此时△ABC的面积=AB•CM=BC•AC，∴CM的最小值==，∴线段DE的最小值为；故答案为：．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形面积的计算方法；熟练掌握矩形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．三、解答题19．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．【考点】矩形的判定；菱形的性质．【专题】证明题．【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，再根据平行四边形的判定定理得四边形AODE为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形AODE是矩形．【解答】证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE为平行四边形，∴四边形AODE是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定以及菱形的性质，还考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．20．如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）．（2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．【考点】矩形的性质；作图—基本作图．【专题】矩形菱形正方形．【分析】（1）分别以B、D为圆心，比BD的一半长为半径画弧，交于两点，确定出垂直平分线即可；（2）连接BE，DF，四边形BEDF为菱形，理由为：由EF垂直平分BD，得到BE=DE，∠DEF=∠BEF，再由AD与BC平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=BF，再由BF=DF，等量代换得到四条边相等，即可得证．【解答】解：（1）如图所示，EF为所求直线；（2）四边形BEDF为菱形，理由为：证明：∵EF垂直平分BD，∴BE=DE，∠DEF=∠BEF，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE，∴∠BEF=∠BFE，∴BE=BF，∵BF=DF，∴BE=ED=DF=BF，∴四边形BEDF为菱形．【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定，以及作图﹣基本作图，熟练掌握性质及判定是解本题的关键．21．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题；图形的全等；矩形菱形正方形．【分析】由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，再由EF与FD垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形BEF与三角形CFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，∵EF⊥DF，∴∠EFD=90°，∴∠EFB+∠CFD=90°，∵∠EFB+∠BEF=90°，∴∠BEF=∠CFD，在△BEF和△CFD中，，∴△BEF≌△CFD（ASA），∴BF=CD．【点评】此题考查了矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．22．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=AO，求∠ABD的度数．【考点】矩形的性质．【分析】首先证明OA=OB，再证明△ABO是等边三角形即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴AO=OB，∵AB=AO，∴AB=AO=BO，∴△ABO是等边三角形，∴∠ABD=60°．【点评】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键，属于基础题，中考常考题型．23．如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）连接BD、CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）先根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，再由BE=AB得出BE=CD，根据平行线的性质得出∠BEF=∠CDF，∠EBF=∠DCF，进而可得出结论；（2）根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，∠A=∠DCB，再由AB=BE，可得CD=EB，进而可判定四边形BECD是平行四边形，然后再证明BC=DE即可得到四边形BECD是矩形【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∵AB=CD，AB∥CD．∵BE=AB，∴BE=CD．∵AB∥CD，∴∠BEF=∠CDF，∠EBF=∠DCF，在△BEF与△CDF中，∵，∴△BEF≌△CDF（ASA）；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∠A=∠DCB，∵AB=BE，∴CD=EB，∴四边形BECD是平行四边形，∴BF=CF，EF=DF，∵∠BFD=2∠A，∴∠BFD=2∠DCF，∴∠DCF=∠FDC，∴DF=CF，∴DE=BC，∴四边形BECD是矩形．【点评】此题主要考查的值矩形的判定及平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边相等；对角相等；对角线互相平分．24．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积．【考点】矩形的性质；平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）首先由矩形的性质和折叠的性质证得AB=CD，AD∥BC，∠ANF=90°，∠CME=90°，易得AN=CM，可得△ANF≌△CME（ASA），由平行四边形的判定定理可得结论；（2）由AB=6，AC=10，可得BC=8，设CE=x，则EM=8﹣x，CM=10﹣6=4，在Rt△CEM中，利用勾股定理可解得x，由平行四边形的面积公式可得结果．【解答】（1）证明：∵折叠，∴AM=AB，CN=CD，∠FNC=∠D=90°，∠AME=∠B=90°，∴∠ANF=90°，∠CME=90°，∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD∥BC，∴AM=CN，∴AM﹣MN=CN﹣MN，即AN=CM，在△ANF和△CME中，，∴△ANF≌△CME（ASA），∴AF=CE，又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形；（2）解：∵AB=6，AC=10，∴BC=8，设CE=x，则EM=8﹣x，CM=10﹣6=4，在Rt△CEM中，（8﹣x）2+42=x2，解得：x=5，∴四边形AECF的面积的面积为：EC•AB=5×6=30．【点评】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理和勾股定理等，综合运用各定理是解答此题的关键．25．如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q 两点．（1）求证：CP=AQ；（2）若BP=1，PQ=2，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）由矩形的性质得出∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，证出∠E=∠F，AE=CF，由ASA证明△CFP≌△AEQ，即可得出结论；（2）证明△BEP、△AEQ是等腰直角三角形，得出BE=BP=1，AQ=AE，求出PE=BP=，得出EQ=PE+PQ=3，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出AQ=AE=3，求出AB=AE﹣BE=2，DQ=BP=1，得出AD=AQ+DQ=4，即可求出矩形ABCD的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，∴∠E=∠F，∵BE=DF，∴AE=CF，在△CFP和△AEQ中，，∴△CFP≌△AEQ（ASA），∴CP=AQ；（2）解：∵AD∥BC，∴∠PBE=∠A=90°，∵∠AEF=45°，∴△BEP、△AEQ是等腰直角三角形，∴BE=BP=1，AQ=AE，∴PE=BP=，∴EQ=PE+PQ=+2=3，∴AQ=AE=3，∴AB=AE﹣BE=2，∵CP=AQ，AD=BC，∴DQ=BP=1，∴AD=AQ+DQ=3+1=4，∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×4=8．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．26．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．结合小敏的思路作答（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题：（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．【考点】矩形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定与性质．【分析】（1）如图2，连接AC，根据三角形中位线的性质得到EF∥AC，EF=AC，然后根据平行四边形判定定理即可得到结论；（2）由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=BD，HG=AC，于是得到当AC=BD时，FG=HG，即可得到结论；（3）根据平行线的性质得到GH⊥BD，GH⊥GF，于是得到∠HGF=90°，根据矩形的判定定理即可得到结论．【解答】解：（1）是平行四边形，证明：如图2，连接AC，∵E是AB的中点，F是BC的中点，∴EF∥AC，EF=AC，同理HG∥AC，HG=AC，综上可得：EF∥HG，EF=HG，故四边形EFGH是平行四边形；（2）AC=BD．理由如下：由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=BD，HG=AC，∴当AC=BD时，FG=HG，∴平行四边形EFGH是菱形，（3）当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形；理由如下：同（2）得：四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，GH∥AC，∴GH⊥BD，∵GF∥BD，∴GH⊥GF，∴∠HGF=90°，∴四边形EFGH为矩形．【点评】此题主要考查了中点四边形，关键是掌握三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．。

九年级先修3.2.1矩形

第三章证明（三） 3.2.1特殊平行四边形—矩形【学习目标】1．理解并掌握矩形的性质、判定定理，并应用定理来解决问题； 2．在合作交流中体验定理的证明过程，融合解题的技巧。

【学习过程】一、自主探究及巩固：探究1 矩形的性质定理：性质1：性质2：性质3：对称性：【自我巩固与积累1】1．如图，AC 、BD 是矩形ABCD 的对角线，过点D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于E ，则图中与△ABC 全等的三角形共有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【感悟】矩形具备平行四边形的所有性质，所以容易得到线平行和线段相等，同时，它包含四个直角，因此更应从直角三角形去思考。

2．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，若∠AOB=60°，AB=4㎝，则AC=_______㎝。

【感悟】由于矩形中包含直角三角形，所以考察点多有关特殊角的相关计算上，出现“60°”角，容易构造“等边三角形”和“含30°角”的直角三角形，所以对相关数量关系要熟练掌握。

3．如图，矩形的对角线交于点O ，过点O 的直线交AD 、BC 于点E 、F ，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为__________ 【感悟】矩形是中心对称图形，对角线交点(对角线的中点)就是对称中心，所以可利用旋转的方法将分散的部分转化为整体，进第1题DABCE而根据相关知识使问题得以解决。

4．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF=ED，EF⊥ED.求证：AE平分∠BAD.【感悟】善于将已知条件体现在所给图形中是证明几何问题必须具备的好习惯，可以让我们更直观的发现图中相关线段、角之间的等量关系，从而构造出三角形全等所需要的条件。

5．如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD=6，求AF的长。

【感悟】折叠是轴对称的一种形式，关键是确定对应．．关系，找到相等的角和线段，而在矩形的折叠中，一定要确定相应的直角．．．．．．．（含30°角）的数量关．．，以便于利用特殊直角三角形系或者利用勾股定理．．．．建立线段之间的数量关系，从而解决问题。

北师大版初三数学上册《矩形》知识讲解及例题演练

矩形【学习目标】1. 理解矩形的概念.2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.【要点梳理】要点一、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.要点二、矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.要点三、矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.要点四、直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.【典型例题】类型一、矩形的性质1、如图所示，已知四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；(2)PA＝PQ．【思路点拨】(1)矩形的四个内角都等于90°，利用条件△PBC和△QCD都是等边三角形，容易求得∠PBA 和∠PCQ 度数；(2)利用(1)的结论以及矩形的性质进一步证明△PAB ≌△PQC(SAS)，从而证得PA ＝PQ ．【答案与解析】证明：(1)∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠ABC ＝∠BCD ＝90°．∵ △PBC 和△QCD 是等边三角形，∴ ∠PBC ＝∠PCB ＝∠QCD ＝60°，∴ ∠PBA ＝∠ABC －∠PBC ＝30°，∠PCD ＝∠BCD －∠PCB ＝30°．∴∠PCQ ＝∠QCD －∠PCD ＝30°，故∠PBA ＝∠PCQ ＝30°(2)∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AB ＝DC ．∵ △PBC 和△QCD 是等边三角形，∴ PB ＝PC ，QC ＝DC ＝AB ．∵ AB ＝QC ，∠PBA ＝∠PCQ ，PB ＝PC ．∴ △PAB ≌△PQC ，∴ PA ＝PQ ．【总结升华】利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出有用的结论作论据即可．举一反三：【变式】如图所示，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B '处，点A落在点A '处．(1)求证：B E BF '=；(2)设AE ＝a ，AB ＝b ，BF ＝c ，试猜想a b c 、、之间有何等量关系，并给予证明．【答案】证明：(1)由折叠可得B FE BFE '∠=∠．∵ AD ∥BC ， ∴ B E F B F E B F E''∠=∠=∠， (2)猜想222a b c +=．理由：由题意，得A E AE a '==，A B AB b ''==．由(1)知B E BF c '==．在A B E ''△中，∵ 90A '∠=°，A E a '=，A B b ''=，B E c '=，2、如图所示，矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，∠CAE ＝15°，求∠BOE 的度数．【思路点拨】∠BOE 在△BOE 中，易知∠OBE ＝30°，直接求∠BOE 有困难，转为考虑证BO ＝BE ．由AE 平分∠BAD 可求∠BAE ＝45°得到AB ＝BE ，进一步可得等边△AOB ．有AB ＝OB ．证得BO ＝BE ．【答案与解析】解：∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠DAB ＝∠ABC ＝90°，AO ＝12AC ，BO ＝12BD ，AC ＝BD ． ∴ AO ＝BO ．∵ AE 平分∠BAD ，∴ ∠BAE ＝45°．∴ ∠AEB ＝90°－45°＝45°＝∠BAE ．∴ BE ＝AB ．∵ ∠CAE ＝15°，∴ ∠BAO ＝60°．∴△ABO是等边三角形．∴BO＝AB，∠ABO＝60°．∴BE＝BO，∠OBE＝30°．∴∠BOE＝18030752-=°°°．【总结升华】矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰三角形，因此矩形中的计算问题可以转化到直角三角形和等腰三角形中去解决．类型二、矩形的判定3、如图，在▱ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．【思路点拨】（1）根据平行四边形性质得出AB=CD，∠A=∠C．求出∠ABD=∠CDB．推出∠ABE=∠CDF，根据ASA推出全等即可；（2）根据全等得出AE=CF，根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，推出DE∥BF，DE=BF，得出四边形DFBE是平行四边形，根据等腰三角形性质得出∠DEB=90°，根据矩形的判定推出即可．【答案与解析】证明：（1）在□ABCD中，AB=CD，∠A=∠C．∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB．∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，∴∠ABE=∠ABD，∠CDF=∠CDB．∴∠ABE=∠CDF．∵在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA）．（2）∵△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴DE∥BF，DE=BF，∴四边形DFBE是平行四边形，∵AB=DB，BE平分∠ABD，∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．∴平行四边形DFBE是矩形．【总结升华】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定，角平分线定义等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．举一反三：【变式】如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO中，且∠ABC+∠ADC=180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若∠ADF ：∠FDC=3：2，DF ⊥AC ，则∠BDF 的度数是多少？【答案】（1）证明：∵A0=C0，B0=D0∴四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC ，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD 是矩形；（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF ：∠FDC=3：2，∴∠FDC=36°，∵DF ⊥AC ，∴∠DCO=90°﹣36°=54°，∵四边形ABCD 是矩形，∴OC=OD ，∴∠ODC=54°∴∠BDF=∠ODC ﹣∠FDC=18°．类型三、直角三角形斜边上的中线的性质4、如图所示，BD 、CE 是△ABC 两边上的高，G 、F 分别是BC 、DE 的中点．求证：FG ⊥DE ．【答案与解析】证明：连接EG 、DG ，∵ CE 是高，∴ CE ⊥AB ．∵ 在Rt △CEB 中，G 是BC 的中点，∴ EG ＝12BC ，同理DG ＝12BC ． ∴ EG ＝DG ．又∵ F 是ED 的中点，∴ FG ⊥DE ．【总结升华】直角三角形斜边中线的性质是依据矩形的对角线互相平分且相等推出来的．根据这个性质．又可以推出直角三角形的斜边上的中线把直角三角形分成了两个等腰三角形．温馨提示：若题目中给出直角三角形斜边上的中点，常设法用此性质解决问题．举一反三：【变式】如图，∠MON ＝90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB ＝2，BC ＝1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为（）1 C.5 D.52【答案】A ；解：如图，取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，∵OD≤OE ＋DE ，∴当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，此时，∵AB ＝2，BC ＝1，∴OE＝AE＝12AB＝1，DE==∴OD1.。

沪科版八年级数学下册目录

沪科版八年级数学下册目录
数学教材是八年级数学学习的重要组成部分，其中课本目录收录了哪些知识呢?小编整理了关于沪科版八年级数学下册的目录，希望对大家有帮助!
沪科版八年级数学下册课本目录
第16章二次根式
16.1 二次根式
16.2二次根式的运算
第17章一元二次方程
17.1 一元二次方程
17.2一元二次方程的解法
17.3一元二次方程的根的判别式
17.4一元二次方程的根与系数的关系
17.5 一元二次方程的应用
第18章勾股定理
18.1 勾股定理
18.2 勾股定理的逆定理
第19章四边形
19.1 多边形内角和
19.2平行四边形
19.3 矩形菱形正方形
19.4 中心对称图形
19.5梯形
第20章数据的初步分析
20.1数据的频数分布
20.2数据的集中趋势与离散程度
20.3综合与实践体重指数
泸科版八年级数学下册知识点：二次根式的加法和减法
1 同类二次根式
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。

2 合并同类二次根式
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。

3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。

二次根式的混合运算
1确定运算顺序
2灵活运用运算定律
3正确使用乘法公式
4大多数分母有理化要及时
5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化。

矩形运算方法

一败涂地、解线性方程组（线性矩阵方程）解线性方程组是科学计算中最常见的问题。

所说的“最常见”有两方面的含义：１）问题的本身是求解线性方程组；２）许多问题的求解需要或归结为线性方程组的求解。

关于线性方程组B A x B Ax 1-=⇒=（１）其求解方法有两类：１）直接法：高斯消去法（Gaussian Elimination ）；２）间接法：各种迭代法（Iteration ）。

１、高斯消去法１）引例考虑如下（梯形）线性方程组：()⎪⎩⎪⎨⎧==+==+-=⇒⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⇔⎪⎩⎪⎨⎧==-=+-5.0141315.3221122004301211214322332321321332321x x x x x x x x x x x x x x x 高斯消去法的求解思路：把一般的线性方程组（１）化成（上或下）梯形的形式。

２）高斯消去法——示例考虑如下线性方程组：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⇔⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+-=+-306015129101.2001.221113*********.2001.221321321321321x x x x x x x x x x x x １）第一个方程的两端乘12加到第二个方程的两端，第一个方程的两端乘－１加到第三个方程的两端，得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3060031110001.0001.00111321x x x２）第二个方程的两端乘001.010-加到第三个方程的两端，得 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--60600311010001.0001.00111321x x x３）从上述方程组的第三个方程依此求解，得()⎪⎩⎪⎨⎧==+-==+-=600300001.03100024011332321x x x x x x ３）高斯消去法的不足及其改进——高斯（全、列）主元素消去法在上例中，由于建模、计算等原因，系数2.001而产生0.0005的误差，实际求解的方程组为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---306015129101.20005.22111321x x x ⎪⎩⎪⎨⎧===⇒70.4509.30142.2565321x x x 注：数值稳定的算法高斯列主元素消去法就是在消元的每一步选取（列）主元素—一列中绝对值最大的元取做主元素，高斯列主元素消去法是数值稳定的方法。

2021年中考数学复习专题-【矩形及其性质】选择题考点专练(一)(解析版)

2021年中考数学复习专题-【矩形及其性质】选择题考点专练（一）1．矩形ABCD中，E在AD上，AE＝ED，F在BC上，若EF把矩形ABCD的面积分为1：2，则BF：FC＝（）（BF＜FC）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．2：92．一个矩形，长为6、宽为4，若以该矩形的两条对称轴为坐标轴建立平面直角坐标系，下面哪个点不在矩形上（）A．（3，﹣2）B．（﹣3，3）C．（﹣3，2）D．（0，﹣2）3．如图所示，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、DC上，BF∥DE，若AD＝12cm，AB＝7cm，且AE：EB＝5：2，则阴影部分的面积是（）cm2．A．12 B．24C．30 D．以上结论都不对4．在矩形ABCD中，AC、BD相交于O，OF⊥AB于F，若AC＝2AD，OF＝9cm，则BD的长为（）A．90cm B．36cm C．93cm D．183cm5．如果矩形ABCD的对角线的交点与平面直角坐标系的原点重合，且点A和点B的坐标分别为（3，2）和（﹣3，2），则矩形的面积为（）A．32 B．24 C．6 D．86．如图，在矩形ABCD中，AD＝30，AB＝20，若点E、F三等分对角线AC，则△ABE的面积为（）A．60 B．100 C．150 D．2007．如图，有一个矩形的空地，需要建成绿化园地，中间阴影部分为道路，具体的尺寸如图所示．修建后绿化地带的实际面积是（）A．bc﹣ab+ac+c2B．ab﹣bc﹣ac+c2C．a2+ab+bc﹣ac D．b2﹣bc+a2﹣ab8．周长100cm的铁丝制成一个矩形，其面积为625cm2，那么这个矩形的对角线长为（）cm．A．12.5B．50C．25D．以上结论都不对9．如图，在探究“尺规三等分角”这个数学名题中，四边形ABCD是矩形，线段AC绕点A 逆时针旋转得到线段AF，CF、BA的延长线交于点E，若∠E＝∠FAE，∠ACB＝21°，则∠ECD的度数是（）A．7°B．21°C．23°D．34°10．如图，P为矩形ABCD的边BC上的一个动点，对角线AC，BD相交于O点，且PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，若AB＝6，BC＝8，则PE+PF的值为（）A．2.4 B．4.8 C．5 D．1011．在矩形ABCD中，AC，BD相交于O，AE⊥BD于E，OF⊥AD于F，若BE：ED＝1：3，OF＝3cm，则BD的长是（）cm．A．6 B．8 C．10 D．1212．已知矩形的两条对角线的夹角为60°，两条对角线的和为8，则矩形的周长为（）A．2+4B．C．D．13．在下列性质中：①对角线互相平分；②对边相等；③对角线互相垂直且相等；④对角相等．矩形和菱形都具有的性质是（）A．①②③B．①②④C．①③D．③④14．如果矩形的一边与对角线的夹角为50°，则两条对角线相交所成的锐角的度数为（）度．A．60 B．70 C．80 D．9015．下列说法中：（1）四个角都相等的四边形是矩形．（2）两组对边分别相等并且有一个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线相等并且有一个角是直角的四边形是矩形．（4）一组对边平行，另一组对边相等并且有一个角为直角的四边形是矩形．正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个16．下列叙述：①对角线互相平分的四边形；②对角线相等的四边形；③对角线相等的平行四边形；④对角线互相平分且相等的四边形．其中能判定四边形是矩形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个17．下列说法错误的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是矩形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．对角线互相垂直的矩形是正方形18．已知，在等腰△ABC中，AB＝AC，分别延长BA，CA到D，E点，使DA＝AB，EA＝CA，则四边形BCDE是（）A．任意四边形B．矩形C．菱形D．正方形19．已知四边形ABCD中，AC⊥BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．梯形20．如图，矩形ABCD中，若AB＝4，BC＝9，E、F分别为BC，DA上的点，则S等四边形AECF于（）A．12 B．24 C．36 D．48参考答案1．解：把矩形的长看作是1，设BF＝x，则FC＝1﹣x．根据题意可知分成的两部分是梯形．根据梯形的面积公式，得．＝．x＝．则1﹣x＝．则BF：FC＝：＝1：5．故选：C．2．解：建立如图所示的直角坐标系，矩形的四个顶点坐标是（﹣3，2），（﹣3，﹣2），（3，2），（3，﹣2）；或（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（2，3），（2，﹣3），故选：B．3．解：因为EB∥FD，又因为BF∥DE，故四边形BEDF为平行四边形．又因为AB＝7cm，且AE：EB＝5：2，＝EB•AD＝2×12＝24cm2．故选B．故EB＝7×＝2cm，S阴影4．解：已知AC＝2AD，根据直角三角形的性质可求出∠ACD＝ABD＝30°，又因为OP＝9cm，故BO＝18cm，所以BD＝2BO＝36cm．故选：B．5．解：因为A和点B的坐标分别为（﹣3，2）和（3，2），且矩形ABCD的对角线的交点与平面直角坐标系的原点重合所以AB＝6，BC＝4，所以矩形的面积为6×4＝24．故选：B．＝AB•BC＝20×30＝600，6．解：S矩形ABCD矩形ABCD，∴AB＝DC，AD＝BC，∵AC＝AC，∴△ABC≌△CDA，S＝×600＝300，△ABC∵AE＝EF＝FC，根据等底等高的三角形的面积相等得到：S＝×300＝100，△ABE故选：B．7．解：大矩形的面积为ab．平行四边形的面积为bc；小矩形的面积为ac；重叠部分面积为c2．所以绿化带的实际面积为ab﹣（bc+ac﹣c2）＝ab﹣bc﹣ac+c2．故选：B．8．解：设矩形长为x，则宽为（50﹣x）．∴x（50﹣x）＝625．解得：x＝25．∴长为25，宽为25．则对角线为：．故选：C．9．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，AB∥CD，AD∥BC，∴∠FEA＝∠ECD，∠DAC＝∠ACB＝21°，∵∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠FEA，∴∠ACF＝2∠FEA，设∠ECD＝x，则∠ACF＝2x，∴∠ACD＝3x，∴3x+21°＝90°，解得：x＝23°；故选：C．10．解：设PE为x，PF为a．BP为y，CP为b．∵∠EBP＝∠DBC，∠BEP＝∠DCB．∴△BEP∽△BCD．∴＝．同理证得＝．∴x+a＝（y+b）＝4.8．故选：B．11．解：∵ABCD是矩形，∴BO＝OD＝OA．∵BE：ED＝1：3，∴BE＝EO．又AE⊥BD，∴OB＝OA＝AB．∴∠ABD＝60°．∴∠FDO＝30°∵OF⊥AD，OF＝3，∴OD＝6．∴BD＝2•OD＝12．故选D．12．解：如图，∵AC+BD＝8，∴AC＝BD＝4，∵∠AOB＝60°，∴∠ACB＝30°，OA＝OB＝AB＝2，∴由勾股定理得：BC＝＝＝2，∴矩形的周长＝2（2+2）＝4+4，故选：C．13．解：矩形的性质对角线互相平分；对边相等；对角相等；对角线相等菱形的性质是对角线互相平分；对边相等；对角线互相垂直；对角相等．故选B．14．解：如图因为矩形两对角线相等，一边与对角线的夹角为50°，即∠OAB＝50°，所以另一角∠OBA ＝50°，由三角形内角和可得两条对角线相交所成的锐角的度数即∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，故选：C．15．解：由矩形的判定定理易推得（1）、（2）、（4）正确；（3）错误．故选：C．16．解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，故错误；②对角线相等的四边形还有可能是等腰梯形，故错误；③对角线相等的平行四边形是矩形，故正确；④对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故正确．故正确的有2个．故选：B．17．解：说法错误的是B，因为对角线互相垂直的四边形也可以是一般的四边形．故选：B．18．解：如图所示，∵AC＝AE，AB＝AD∴四边形BCDE为平行四边形，∵AB＝AE，∴∠AEB＝∠ABE，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°∠ABC＝∠ACB∴∠ABC+∠EBA＝90°∴四边形BCDE为矩形．故选：B．19．解：如图，依题意四边形ABCD，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，根据矩形的判定（矩形的对角线相等且相互平分）可得四边形EFGH是矩形．故选：B．20．解：AB＝4，BC＝9，则矩形ABCD的面积为4×9＝36，△ABE的面积为×4×3＝6，△CDF的面积为×4×3＝6，∴四边形AECF的面积为36﹣6﹣6＝24，故选：B．。

矩形的动点问题含答案

专题1.20矩形的动点问题（专项练习）一、解答题1．已知，在矩形ABCD 中，AB a =，BC b =，动点M 从点A 出发沿边AD 向点D 运动．如图，当2b a =，点M 运动到边AD 的中点时，请证明90BMC ∠=︒．2．如图，在矩形ABCD 中，20AB cm =，动点P 从点A 开始沿AB 边以4/cm s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CD 边以1/cm s 的速度运动，点P 和点Q 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动点的运动时间为ts ，则当t 为何值时，四边形APQD 时矩形？3．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，P 是AD 上不与A 和D 重合的一个动点，过点P 分别作AC 和BD 的垂线，垂足为点E ，F ，求PE+PF 的值。

4．如图，点M 是矩形ABCD 边AD 的中点，2AB AD =，点P 是BC 边上一动点，PE MC ⊥，PF BM ⊥，垂足分别为E 、F ，求点P 运动到什么位置时，四边形PEMF 为正方形，并证明．5．如图，在矩形ABCD 中，点P 是BC 边上一动点，连接AP ，过点D 作DE AP ⊥于点E.设AP x =，DE y =，若6AB =，8BC =，试求y 与x 之间的函数关系式.6．如图，A 、B 、C 、D 是矩形的四个顶点，AB ＝32cm ，BC ＝12cm ，动点P 从点A 出发，以6cm/s 的速度向点B 运动，直到点B 为止；动点Q 向时从点C 出发，以4cm/s 的速度向点D 运动，何时点P 和点Q 之间的距离是20cm ？7．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是AD 上一个动点，把△BAE 沿BE 向矩形内部折叠，当点A 的对应点A 1恰好落在∠BCD 的平分线上时，求CA 1的长．8．如图，点M 是矩形ABCD 的边AD 的中点，点P 是BC 边上一动点，PE ⊥MC ，PF ⊥BM ，垂足为E 、F ．(1)当矩形ABCD 的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF 为矩形？猜想并证明你的结论．(2)在(1)中，当点P 运动到什么位置时，矩形PEMF 变为正方形，为什么？9．如图，矩形ABCD 中，5AD =，7AB =，点E 为DC 上一个动点，把ADE ∆沿AE 折叠，当点D 的对应点D ¢落在ABC ∠的平分线上时，求DE 的长．10．已知矩形ABCD 中，E 是AD 边上的一个动点，点F 、G 、H 分别是BC 、BE 、CE 的中点．（1）求证：BGF FHC ∆≅∆．（2）若4=AD ，当四边形EGFH 是正方形时，求矩形ABCD 的面积．11．如图，在矩形ABCD 中，AB=5，BC=7，点E 是AD 上一个动点，把△BAE 沿BE 向矩形内部折叠，当点A 的对应点A '恰好落在∠BCD 的平分线上时，C A '的长为多少？12．已知矩形ABCD 中，E 是AD 边上的一个动点，点F ，G ，H 分别是BC ，BE ，CE 的中点.求证：BGF FHC ∆≅∆；13．如图1，矩形ABCD 中，点E 是边AD 上动点，点F 是边BC 上动点，连接EF ，把矩形ABCD 沿直线EF 折叠，点B 恰好落在边AD 上，记为点G ；如图2，把矩形展开铺平，连接BE ，FG.（1）判断四边形BEGF 的形状一定是，请证明你的结论；（2）若矩形边AB ＝4，BC ＝8，直接写出四边形BEGF 面积的最大值为．14．如图，E 是矩形ABCD 的边BC 的中点，P 是AD 边上一动点，PF AE ⊥，PH DE ⊥，垂足分别为F H ，．（1）当矩形ABCD 的边AD 与AB 满足什么条件时，四边形PHEF 是矩形？请予以证明；（2）在（1）中，动点P 运动到什么位置时，矩形PHEF 为正方形？为什么？15．如图，在矩形ABCD 中，M 是AD 的中点，连接BM 、CM ，点P 是BC 边上的动点，作PE MC ⊥于E 点，PF MB ⊥于F 点，当矩形的长与宽是什么关系时，四边形PEMF 是矩形？并证明．16．在矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，点E 是边BC 上一动点，连接AE ，将ABE △沿AE 翻折，点B 的对应点为点B '．（1）如图，设BE x =，3BC =，在点E 从B 点运动到C 点的过程中．①AB CB ''+最小值是______，此时x =______；②点B '的运动路径长为______．（2）如图，设35BE a =，当点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的边上时，求a 的值．17．如图，在矩形ABCD 中，AB =8cm ，BC =6cm ．动点P 、Q 分别从点A 、C 以2cm/s 的速度同时出发．动点P 沿AB 向终点B 运动，动点Q 沿CD 向终点D 运动，连结PQ 交对角线AC 于点O ．设点P 的运动时间为t （s ）．（1）求OC 的长．（2）当四边形APQD 是矩形时，直接写出t 的值．（3）当四边形APCQ 是菱形时，求t 的值．（4）当△APO 是等腰三角形时，直接写出t 的值．18．有一张矩形纸片ABCD ，其中10,6AB AD ==，现将矩形折叠，点D 的对应点记为点P ，折痕为EF （点E 、F 是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．（1）若点P 落在矩形ABCD 的边AB 上（如图1）．①当点P 与点A 重合时，DEF ∠=__________︒，当点E 与点A 重合时，DEF ∠=__________︒，当点F 与C 重合时，AP =__________；②若P 为AB 的中点时，求AE 的长；（2）若点P 落在矩形的外部（如图2），点F 与点C 重合，点E 在AD 上，线段BA 与线段FP 交于点M ，当AM DE =时，请求出线段AE 的长度．（3）若点E 为动点，点F 与点DC 的中点，直接写出线段AP 的最小值=__________．参考答案1．见解析.【分析】由b ＝2a ，点M 是AD 的中点，可得AB ＝AM ＝MD ＝DC ＝a ，又由四边形ABCD 是矩形，即可求得∠AMB ＝∠DMC ＝45°，则可求得∠BMC ＝90°．【详解】证明：∵b ＝2a ，点M 是AD 的中点，∴AB ＝AM ＝MD ＝DC ＝a ，又∵在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，∴∠AMB ＝∠DMC ＝45°，∴∠BMC ＝90°．【点拨】本题考查了矩形的性质以及等腰直角三角形的性质，求出∠AMB ＝∠DMC ＝45°是解题的关键．2．当4t s =时，四边形APQD 是矩形【分析】根据题意表示出AP=4t,DQ=20-t;根据菱形的对边相等,求出的值,即可解决问题.【详解】由题意得：4AP t =，20DQ t =-；∵四边形APQD 是矩形，∴AP DQ =，即420t t =-，解得：()4t s =．即当4t s =时，四边形APQD 是矩形．【点拨】本题主要考查矩形的判定与性质.3．PE+PF=125【解析】【分析】连接OP ，过点A 作AG ⊥BD 于G ，利用勾股定理列式求出BD ，再利用三角形的面积求出AG ，然后根据△AOD 的面积求出PE+PF=AG 即可．【详解】解：如图所示，连接OP ，过点A 作AG ⊥BD 于G ，∵AB=3，AD=4，∴BD=22345+=，S △ABD =12AB•AD=12BD•AG ，即12×3×4=12×5×AG ，解得：AG=125，在矩形ABCD 中，OA=OD ，∵S △AOD =12OA•PE+12OD•PF=12OD•AG ，∴PE+PF=AG=125．故PE+PF=125【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积；熟练掌握各性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．4．当P 是BC 的中点时，矩形PEMF 为正方形．【解析】【分析】根据矩形的相知和已知条件推出∠A=∠D=90°，AB=CD ，AM=DM ，求出∠ABM=∠AMB=45°，∠DCM=∠DMC=45°，求出∠BMC=90°，即可求出矩形PEMF.根据AAS 证△BFP ≌△CEP ，推出PE=PF 即可.【详解】解：当P 是BC 的中点时，四边形PEMF 为正方形．理由如下：∵四边形ABCD 为矩形，∴90A D ∠=∠= ，∵22AD AB CD ==，12AM DM AD ==，∴AB AM DM CD ===，∴45ABM AMB ∠=∠= ，45DCM DMC ∠=∠= ，∴180454590BMC ∠=--= ，∵PE MC ⊥，PF BM ⊥，∴90MEP FPE ∠=∠= ，∴四边形PEMF 为矩形，∴90PFM PFB PEC ∠=∠=∠= ．在BFP 和CEP 中FBP ECP PFB PEC BP CP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BFP CEP AAS ≅ ，∴PE PF =，∵四边形PEMF 是矩形，∴矩形PEMF 是正方形，即当P 是BC 的中点时，矩形PEMF 为正方形．【点拨】本题主要考察对矩形的判定和性质，正方形的判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，熟练地运用性质进行推理是解此题的关键.5．48(610)y x x= .【解析】【分析】根据2APD ABCD AP DE S S ⋅==矩形△列出关系式，整理即可.【详解】连接PD ，则26848APD ABCD AP DE S S ⋅===⨯=矩形△，所以48xy =，故y 与x 之间的函数关系式为：48(610)y x x= .【点拨】本题考查了反比例函数的定义，根据2APD ABCD S S =矩形△列出关系式是解题关键.6．85s 或245s 【分析】设当t 秒时PQ ＝20cm ，利用勾股定理得出即可．【详解】设当时间为ts 时，点P 和点Q 之间的距离是20cm ，过点Q 作ON ⊥AB 于点N ，则QC ＝2tcm ，PN ＝（32﹣10t ）cm ，故122+（32﹣10t ）2＝400，解得：t 1＝85，t 2＝245．故当时间为85s 或245s 时，点P 和点Q 之间的距离是20cm ．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理和矩形的性质，能构造直角三角形是解此题的关键，用了方程思想．7．±1【分析】过点A 1作A 1M ⊥BC ，A 1N ⊥CD ，证明MA 1＝MC ，在△BMA 1中，运用勾股定理列出关于x的方程，求出x ，根据CA 1x ，即可解决问题．【详解】解：如图，过点A1作A1M⊥BC，A1N⊥CD；∵四边形ABCD为矩形，且CA1平分∠BCD，∴∠BCD＝90°，∠MCA1＝∠MA1C＝45°，∴△MA1C是等腰直角三角形，∴MA1＝MC，设MA1＝MC＝x，则BM＝4﹣x；由折叠的性质得：BA1＝BA＝3；在△BMA1中，由勾股定理得：x2+（4﹣x）2＝32，解得：x＝2±2 2，∴CA1x＝±1，∴CA1的长为±1．【点拨】本题考查矩形的翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、角平分线的性质等，灵活根据题意构造直角三角形运用勾股定理求解是解题关键．8．(1)当AD=2AB时，四边形PEMF为矩形，理由见解析；(2)当P是BC的中点时，矩形PEMF为正方形，理由见解析【分析】(1)根据矩形的性质推出∠A=∠D=90°，AB=CD，AM=DM，求出∠ABM=∠AMB=45°，∠DCM=∠DMC=45°，求出∠BMC，即可求出矩形PEMF．(2)根据AAS证△BFP≌△CEP，推出PE=PF即可．【详解】(1)当AD=2AB时，四边形PEMF为矩形．证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠D=90°，∵AD=2AB=2CD ，AM=DM=12AD ，∴AB=AM=DM=CD ，∴∠ABM=∠AMB=45°，∠DCM=∠DMC=45°，∴∠BMC=180°-45°-45°=90°，∵PE ⊥MC ，PF ⊥BM ，∴∠MEP=∠FPE=90°，∴四边形PEMF 为矩形，即当AD=2AB 时，四边形PEMF 为矩形；(2)当P 是BC 的中点时，矩形PEMF 为正方形．理由是：∵四边形PEMF 为矩形，∴∠PFM=∠PFB=∠PEC=90°，在△BFP 和△CEP 中9045PFB PEC FBP ECP BP CP ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△BFP ≌△CEP(AAS)，∴PE=PF ，∵四边形PEMF 是矩形，∴矩形PEMF 是正方形，即当P 是BC 的中点时，矩形PEMF 为正方形．【点拨】本题主要考查了矩形的判定和性质，正方形的判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．9．52或53【分析】过点D ¢作MN AB ⊥，交CD 于点N ，交AB 于点M ，连接BD '，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE ．【详解】如图，过点D ¢作MN AB ⊥，交CD 于点N ，交AB 于点M ，连接BD '．∵点D 的对应点D ¢恰落在ABC ∠的平分线上，∴D M BM '=，设BM D M x '==，则7AM x =-．由折叠知，5DA D A '==．在Rt D AM '∆中，222D M D A AM ''=-，∴2225(7)x x --=，∴3x =或4x =，即3D M '=或4D M '=．设DE m =，则D E m '=，分两种情况讨论：（1）当3D M '=时，3BM NC ==，2D N '=，734EN CD DE NC m m =--=--=-．在Rt D NE '∆中，222(4)2m m =-+，∴52m =，即52DE =．（2）当4D M '=时，4BM NC ==，1D N '=，743EN CD DE NC m m =--=--=-，在Rt D NE '∆中，222(3)1m m =-+，∴53m =，即53DE =．综上，DE 的长为52或53．【点拨】此题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，解题关键在于作辅助线和分情况讨论.10．（1）见解析；（2）8．【分析】（1）根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可；（2）利用正方形的性质和矩形的面积公式解答即可．【详解】解：（1）连接EF ，∵点F ，G ，H 分别是BC ，BE ，CE 的中点，∴FH ∥BE ，FH=12BE ，FH=BG ，∴∠CFH=∠CBG ，∵BF=CF ，∴△BGF ≌△FHC （SAS ），（2）当四边形EGFH 是正方形时，连接GH ，可得：EF ⊥GH 且EF=GH ，∵在△BEC 中，点，H 分别是BE ，CE 的中点，∴GH=12BC ＝12AD ＝2，且GH ∥BC ，∴EF ⊥BC ，∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∴AB=EF=GH=2，∴矩形ABCD 的面积=AB•AD ＝2×4＝8．【点拨】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键是根据全等三角形的判定和正方形的性质解答．11．23或24【解析】试题分析：过点A’作A’M ⊥BC ，，A’N ⊥CM ，然后证得四边形A’MCN 是正方形，然后根据正方形的性质及勾股定理可求解．试题解析：解：过点A’作A’M ⊥BC ，，A’N ⊥CM ，∵∠BCD=90°，∴四边形A’MCN 是矩形，∵CA’平分∠BCD∴矩形A’MCN 是正方形∴A’M=CM ，A’M∴BM=BC-CM=7-A’M∵BA’=BA=5，∠BMA’=90°∴A’B²=BM²+A’M²即5²=（7-A’M）²+A’M²∴A’M=3或A’M=4∴A’C=32或A’C=42考点：折叠问题，矩形与正方形的性质12．详见解析【分析】根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可；【详解】证明:解：连接EF，（1）∵点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，∴FH∥BE，FH=12BE，FH=BG，∴∠CFH=∠CBG，∵BF=CF，∴△BGF≌△FHC，【点拨】本题考查三角形中位线定理和全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握三角形中位线的性质定理.13．（1）四边形BEGF是菱形，证明见解析；（2）四边形BEGF面积的最大值为20.【分析】（1）由折叠的性质可得∠BFE＝∠EFG，BF＝FG，由平行线的性质可得∠DEF＝∠GFE＝∠EFB，可得EG＝FG＝BF，AD∥BC，可证四边形BEGF是菱形；（2）当EG最大时，四边形BEGF面积有最大值，由勾股定理可求EG的长，即可求解．【详解】（1）四边形BEGF 是菱形，∵四边形ABCD 是矩形∴AD ∥BC ，∴∠DEF ＝∠EFB ，∵把矩形ABCD 沿直线EF 折叠，点B 恰好落在边AD 上，∴∠BFE ＝∠EFG ，BF ＝FG ，∴∠DEF ＝∠GFE ，∴EG ＝FG ，∴EG ＝BF ，且AD ∥BC ，∴四边形BEGF 是平行四边形，且BF ＝FG ，∴四边形BEGF 是菱形，（2）∵四边形BEGF 是菱形，∴BE ＝EG ，∵S 四边形BEGF ＝EG ×AB ＝4EG ，∴当EG 最大时，四边形BEGF 面积有最大值，当AE +EG ＝AD 时，EG 最大，∵AB 2+AE 2＝BE 2，∴2216()AD ED BE +=﹣，∴2216(8)BE BE +=﹣，∴BE ＝5＝EG ，∴四边形BEGF 面积的最大值＝4×5＝20.【点拨】本题考查了翻折变换，矩形的性质，由勾股定理求EG 的长是正确解答本题的关键.14．（1）当2=AD AB 时，四边形PHEF 是矩形；（2）点P 运动到AD 的中点时，矩形PHEF 为正方形．理由见解析.【解析】【分析】（1）当四边形PFEH 是矩形时，∠FEH=90°；易证得△ABE ≌△DCE ，则∠AEB=∠DEC=45°；那么△ABE 、△DCE 是等腰直角三角形，此时AB=BE=EC=CD ，故矩形ABCD 满足长是宽的2倍时，四边形PFEH 是矩形；（2）若矩形PHEF 是正方形，则PF=PH ，此时可证得△PAF ≌△PDH ，则AP=PD ，所以当P 为AD 中点时，矩形PHEF 变为正方形．【详解】（1）当2=AD AB 时，四边形PHEF 是矩形．证明如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC =，AB CD =．∵E 是BC 的中点，2=AD AB ，∴AB BE EC CD ===，∴ABE ∆，DCE ∆是等腰直角三角形，∴45AEB DEC ︒∠=∠=，90AED ︒=∠．在四边形PHEF 中，∵90PFE FEH EHP ︒∠=∠=∠=，∵四边形PHEF 是矩形．（2）点P 运动到AD 的中点时，矩形PHEF 为正方形．理由如下：由（1）可得45BAE CDE ︒∠=∠=，∴45FAP HDP ︒∠=∠=，又∵90AFP PHD ︒∠=∠=，AP PD =，∴AFP DHP ∆∆≌，∴PF PH =，∴矩形PHEF 是正方形．【点拨】此题考查矩形的判定与性质，正方形的判定，解题关键在于证明△ABE 、△DCE 是等腰直角三角形.15．证明见解析【分析】当长=宽的2倍的时候，根据4个角为直角即可证明四边形PEMF 是矩形．【详解】∵M 是AD 的中点，2AD AB=∴AM MD AB CD ===，∵矩形ABCD 中，90A D ∠=∠= ，∴45AMB DMC ∠=∠= ，∴180454590BMC ∠=--= ，∴36090909090EPF ∠=---=∴四边形PEMF 是矩形．【点拨】本题考查了矩形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握矩形的判定与性质.16．（1）①2，3；②23π；（2）53a =或3a =【分析】（1）①由题意，当点B '恰好在直线AC 上时，AB CB ''+有最小值，然后求出答案即可；②先证明点B '在以A 为圆心，1为半径的圆上，再求出2120BAB BAC '∠=∠=︒，然后根据弧长公式，即可求出答案；（2）分两种情况，①当点B '落在AD 边上时，四边形ABEB '为正方形，然后求出答案；②当点B '落在CD 边上时，证明CEB DB A '' △△，利用相似三角形的性质，即可求出答案．【详解】解：（1）①连接B C '，如图1，,由折叠的性质得：1AB AB '==，AB E B '∠=∠，∵四边形ABCD 是矩形，∴90AB E B '∠=∠=︒，∴B E AB ''⊥；当点B '恰好在直线AC 上时，AB CB ''+有最小值，∵2AB B C AC ''+====，∴12AB AC =，1B C '=，∴30ACB ∠=︒，AB B C ''=，∴903060BAC ∠=︒-︒=︒，AE CE =，∴30EAC ACB ∠=∠=︒，∴30BAE ∠=︒，∴3333BE AB ==；故答案为：2，3；②当点E 从B 到点C 的过程中，1AB '=，∴点B '在以A 为圆心，1为半径的圆上，由①知，60BAC ∠=︒，∴2120BAB BAC '∠=∠=︒，∴点B '的运动路径长为：120121803p p ´=；故答案为：23π；（2）当点B '落在AD 边上时（如图），四边形ABEB '为正方形，∴1BE AB ==，∴315a =，解得53a =；当点B '落在CD 边上时（如图），由折叠得'B E BE a ==，1AB AB '==∴25CE a =，21BD a '=-由CEB DB A '' △△得，∴CE DB B E AB '=''，2215315a a a -=，解得53a =±，∵0a >，∴53a =，∴53a =或53a =；【点拨】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、正方形的判定和性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、弧长公式等知识，熟练掌握所学的知识，正确进行分析题意是解题的关键．17．（1）5；（2）t =2；（3）258t =；（4）2516t =或52t =或4t =【分析】（1）根据矩形的性质以及勾股定理判定AOP ∆≌COQ ∆，即可得解；（2）根据题意判定当四边形APQD 是矩形时，P 、Q 分别为AB 、CD 的中点，即可得解；（3）根据菱形的性质以及勾股定理的运用，构建一元二次方程，即可得解；（4）分情况：当AO=OP 时，当AO=AP 时，当AP=OP 时，求解即可.【详解】（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD ∥．∴CQO APO ∠=∠，QCO PAO ∠=∠．在Rt △ABC 中，∠B =90°，由勾股定理，得10AC ==．∵2AP CQ t ==，∴AOP ∆≌COQ ∆．∴152CO AC ==．（2）当四边形APQD 是矩形时，P 、Q 分别为AB 、CD 的中点即2AP CQ t ===4t =2．（3）如图，当四边形APCQ 是菱形时，AP =CP =2t ．∴PB =8-2t ．在Rt △BCP 中，∠B =90°，由勾股定理，得222CP BP BC =+．∴222(2)(82)6t t =-+．解得258t =．当258t =时，四边形APCQ 是菱形．（4）当AO=OP 时，如图所示：∵AO=5∴P 运动到点B∴4t =；当AO=AP 时，∵AO=AP=5∴52t =；当AP=OP 时，由（2），得OH=3，AH=4∴PH=4-2t,OP=2t∴222OP OH PH =+，即()()2224342t t =+-∴2516t =综上所述，2516t =或52t =或4t =．【点拨】此题主要考查四边形动点综合问题，熟练掌握，即可解题.18．（1）①90°，45°，2；②1112；（2）127；（35【分析】（1）①分别根据图形，利用折叠的性质计算即可；②设AE =x ，利用折叠的性质表示出EP ，求出AP ，利用勾股定理列出方程，解之即可；（2）设AE =x ，证明Rt △AEM ≌Rt △PME ，得到AE =PM =x ，在Rt △B CM 中，利用勾股定理得到方程，求出x 值即可；（3）根据折叠的性质得到PF 为定值，得到当A ，P ，F 三点共线时，AP 最小，再求解即可．解：（1）①当点P 与点A 重合时，∴EF 是AD 的中垂线，∴∠DEF =90°，当点E 与点A 重合时，此时∠DEF =12∠DAB =45°，当点F 与C 重合时，CD =CP =AB =10，∵AD =BC =6，∴BP =8，∴AP =AB -BP =2；②如图，点P 为AB 中点，则AP =BP =5，由折叠可知：DE =EP ，DF =PF ，设AE =x ，则DE =EP =6-x ，在△AEP 中，222AE AP EP +=，即()22256x x +=-，解得：x =1112，即AE =1112；（2）连接EM，设AE=x，由折叠知PE=DE，∠CDB=∠EPM=90°，CD=CP=10，∵AM=DE，∠A=90°，EM=EM，∴Rt△AEM≌Rt△PME（HL），∴AE=PM=x，∴CM=10-x，BM=AB-AM=AB-DE=10-（6-x）=4+x，在Rt△B CM中，BM2+BC2=CM2，∴（4+x）2+62=（10-x）2，解得x=12 7．∴AE=12 7．（3）如图，∵F为CD中点，∴DF=CF=5，由折叠可知：DF=PF=5，即PF的长度不变，∴当A，P，F三点共线时，AP最小，∵AF，∴AP=AF-PF5，即AP5-．【点拨】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是关键，本题难度适中，注意运用数形结合的思想．。

《用公式法求解一元二次方程》课件 2022年北师大版九上数学PPT

老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0); 2.b2-4ac≥0.
心动不如行动公式法是这样生产的
你能用公式法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
解:a 2,b 9, c 8. 1.变形:化方程为一般
b2 4ac 92 428 17 0. 形式;
图 20.3.1
如图，你还可以作一个两条对角线互相垂直的平行四边形．
图 20.3.2
和你的同伴交换一下，看看是否成了一个菱形．
由此可以得到判定菱形的一种方法：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD互相垂直，我们可以证明：四边形ABCD是菱形．
证明
∵ 四边形ABCD是平行四边形
解: 设这三个连续偶数中间的一个为x,根据题意得
x2 x 22 x 22.
B
即x2 8x 0.
解这个方程, 得
x1 8, x2 0(不合题意,舍去). A
C
x 2 6, x 2 10.
答: 三角形的三条边长分别为6,8,10.
我最棒
,解题大师——标准正确!
解以下方程: (1). x2-2x－8＝0； (2). 9x2＋6x＝8； (3). (2x-1)(x-2) =-1;
心动不如行动公式法将从这里诞生
你能用配方法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
解 : x2 9 x 4 0. 2
x2 9 x 4.
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边;
x2
9
2 x
9
2
9
2

2025版高考物理一轮复习全程训练计划周测七恒定电流含解析

恒定电流夯基提能卷⑦ 立足于练题型悟技法——保底分(本试卷满分95分)一、选择题(本题包括8小题，每小题6分，共48分．在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项是正确的，有的小题有多个选项是正确的．全部选对的得6分，选不全的得3分，有选错或不答的得0分)1．[2024·潍坊模拟]在长度为l 、横截面积为S 、单位体积内自由电子数为n 的金属导体两端加上电压，导体中就会产生匀强电场．导体内电荷量为e 的自由电子在电场力作用下先做加速运动，然后与阳离子碰撞而减速，如此往复……所以，我们通常将自由电子的这种运动简化成速率为v (不随时间变更)的定向运动．已知阻碍电子运动的阻力大小与电子定向移动的速率v 成正比，即f ＝kv (k 是常量)，则该导体的电阻应当等于( )A.kl neS B.kl ne 2S C.kS nel D.kS ne 2l答案：B解析：电子定向移动，由平衡条件，kv ＝e Ul ，则U ＝kvl e，导体中的电流I ＝neSv ，电阻R ＝U I ＝kl ne 2S，选项B 正确． 2．[2024·青岛模拟]如图所示，a 、b 、c 为不同材料做成的电阻，b 与a 的长度相等，横截面积是a 的两倍；c 与a 的横截面积相等，长度是a 的两倍．当开关闭合后，三个志向电压表的示数关系是U 1：U 2：U 3＝1：1：2.关于这三种材料的电阻率ρa 、ρb 、ρc ，下列说法中正确的是( )A ．ρa 是ρb 的2倍B ．ρa 是ρc 的2倍C ．ρb 是ρc 的2倍D ．ρc 是ρa 的2倍答案：C解析：设a 的长度为L ，横截面积为S ，因为R ＝U I ，而R ＝ρL S ，所以R a R b ＝U 1U 2，即ρa L S ρb L 2S＝1，故ρb ＝2ρa ；同理R a R c ＝U 1U 3＝12，所以ρa L S ρc 2L S＝12，故ρa ＝ρc ，由上述可知ρb ＝2ρc ，C 正确．3．(多选)如图所示，把四个相同的灯泡接成甲、乙两种电路后，灯泡都正常发光，且两个电路的总功率相等．则下列对这两个电路中的U 甲、U 乙、R 甲、R 乙之间的关系的说法正确的是( )A ．U 甲>2U 乙B ．U 甲＝2U 乙C ．R 甲＝4R 乙D ．R 甲＝2R 乙答案：BC解析：设灯泡的电阻为R ，正常发光时电流为I ，电压为U ，由于两个电路的总功率相等，P ＝U 甲I ＝U 乙·2I ，得U 甲＝2U 乙；又由U 甲＝2U ＋IR 甲，U 乙＝U ＋2IR 乙，得R 甲＝4R 乙，故B 、C 正确．4．(多选)如图所示，四个相同的表头分别改装成两个电流表和两个电压表，电流表A 1的量程大于电流表A 2的量程，电压表V 1的量程大于电压表V 2的量程，把它们按图接入电路中，则下列说法正确的是(读数均表示改装后的测量值)( )A ．电流表A 1的偏转角大于电流表A 2的偏转角B ．电流表A 1的读数大于电流表A 2的读数C ．电压表V 1的读数小于电压表V 2的读数D ．电压表V 1的偏转角等于电压表V 2的偏转角答案：BD解析：电流表A 1的量程大于电流表A 2的量程，故电流表A 1的内阻小于电流表A 2的内阻；由题图可以知道，两电流表并联，故两电流表两端的电压相等，两电流表由同一表头改装而成，而将电流表扩大量程时应并联一小电阻，故相当于四个电阻并联，故两表头中电流相同，故两表头指针的偏转角相同，故改装好的电流表A 1中的电流要大于电流表A 2中的电流，故电流表A 1的读数比电流表A 2的读数大，故A 错误，B 正确；电压表V 1的量程大于电压表V 2的量程，故电压表V 1的电阻大于电压表V 2的电阻，两电压表串联，故通过两表头的电流相等，故电压表V 1的读数比电压表V 2的读数大，两电压表串联，通过表头的电流相等，表头指针偏转角度相等，电压表V 1的偏转角等于电压表V 2的偏转角，故C 错误，D 正确．5．[2024·重庆调研]如图所示，电源电动势为E ，内阻恒为r ，R 是定值电阻，热敏电阻R T 的阻值随温度的降低而增大，C 是平行板电容器．闭合开关S ，带电液滴刚好静止在C 内．在热敏电阻温度降低的过程中，分别用ΔI 、ΔU 1、ΔU 2和ΔU 3表示电流表、电压表V 1、电压表V 2和电压表V 3示数变更量的肯定值．关于该电路工作状态的变更，下列说法正确的是( )A.ΔU 1ΔI 、ΔU 2ΔI 、ΔU 3ΔI 肯定都变大 B.ΔU 1ΔI 和ΔU 3ΔI 肯定不变，ΔU 2ΔI肯定变大 C ．带电液滴肯定向下加速运动D ．电源的工作效率变大答案：D解析：由题意和题图可知，当热敏电阻温度降低时，热敏电阻的阻值增大，电路总阻值增大，总电流减小，电源内阻的分压减小，外电压增大，则电压表V 3的示数增大、电压表V 1的示数减小、电压表V 2的示数增大．由于U 1＝IR ，则ΔU 1ΔI＝R 不变，由闭合电路欧姆定律有U 3＝E －Ir ，则ΔU 3ΔI ＝r 不变，又U 2＝E －I (r ＋R )，则ΔU 2ΔI＝r ＋R 不变，AB 错误；由于电容器两极板之间的电压增大，电场力大于带电液滴所受的重力，则带电液滴向上做加速运动，C 错误；电源的效率为η＝I 2R ＋R T I 2R ＋R T ＋r×100%＝11＋r R ＋R T，即当R T 增大时，电源的工作效率变大，D 正确． 6．[2024·成都模拟]如图所示，E 为内阻不计的电源，MN 为同种材料制成的粗细匀称的长电阻丝，B 为电容器．当滑动触头P 以恒定速率从左向右匀速滑动时，关于电流计A 的读数状况及通过A 的电流方向，下列说法正确的是( )A ．读数渐渐变小，通过A 的电流方向向左B ．读数渐渐变大，通过A 的电流方向向右C ．读数稳定，通过A 的电流方向向右D ．读数稳定，通过A 的电流方向向左答案：C解析：设在Δt 时间内，触头P 移动的距离为ΔL ，则ΔL ＝v Δt ，电源内阻不计，电阻丝单位长度上的电压值为EL ，因此在Δt 时间内电容器两板间电压变更了ΔU ＝E L ΔL ＝E Lv Δt ，而I ＝ΔQ Δt ＝C ΔU Δt ＝CE L v Δt Δt ＝CE Lv ，电流值恒定，即电流表读数稳定，A 、B 错误；电容器的电压等于右半部分电阻丝两端的电压，当滑动触头P 以恒定速率从左向右匀速滑动时，电容器的电压减小，放电，放电电流方向由正极板流向负极板，右极板带正电，所以通过A 的电流方向向右，故C 正确，D 错误．7．压敏电阻的阻值随所受压力的增大而减小，有同学利用压敏电阻设计了推断小车运动状态的装置，其工作原理如图甲所示，将压敏电阻和一块挡板固定在绝缘小车上，中间放置一个绝缘重球，重球直径略小于压敏电阻和挡板间距，小车向右做直线运动的过程中，电流表示数如图乙所示，下列推断正确的是( )A ．从0到t 1时间内，小车肯定做匀速直线运动B ．从t 1到t 2时间内，小车做匀加速直线运动C ．从t 2到t 3时间内，小车做匀加速直线运动D ．从t 2到t 3时间内，小车做匀速直线运动答案：C解析：由I －t 图象可知，0～t 1和t 2～t 3时间内，电流不变，说明电路中电阻不变，重球对压敏电阻的压力不变，即重球受力不变，0～t1时间内的电流小于t2～t3时间内的电流，则0～t1时间内小车可能做匀速运动，也可能匀加速运动，t2～t3时间内，小车做匀加速直线运动，故A、D错误，C正确；t1～t2时间内电流匀称增加，表示电路中电阻减小，说明重球对压敏电阻的压力变更，即重球受力变更，所以小车做变加速运动，故B错误．8．(多选)在如图所示的电路中，电源内阻r≠0，定值电阻R2消耗的功率用P表示，两电表均为志向电表，电容器与滑动变阻器并联，电压表和电流表的读数分别用U、I表示，电容器所带的电荷量用Q表示，通过电源的电荷量为q时，电源所做的功用W表示．当滑动变阻器的滑片向右移动时，下列图象正确的是( )答案：AB解析：当滑动变阻器滑片向右滑动过程中，接入电路的电阻减小，电路中的电流增大，R2消耗的功率为P＝I2R2，功率与电流的关系为二次函数关系，A正确；电容器C的电压U C＝E－I(R2＋r)，电荷量Q＝CU C＝C[E－I(R2＋r)]，则ΔQΔI＝－C(R2＋r)，保持不变，则Q－I图线是向下倾斜的直线，B正确；电压表示数U＝E－Ir，U—I图线应是向下倾斜的直线，C 错误；电源通过电荷量q时，电源做的功W＝qE，E是电源的电动势，则W—q是过原点的直线，D错误．二、非选择题(本题包括4小题，共47分)9．(8分)[2024·唐山模拟]发光晶体二极管是用电器上做指示灯用的一种电子元件．它的电路符号如图甲所示，正常运用时，带“＋”号的一端接高电势，“－”号的一端接低电势．某同学用试验方法测得它两端的电压U和通过它的电流I的关系数据如表所示.U/V00.40.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.6 2.8 3.0I/mA00.9 2.3 4.3 6.812.019.024.030.037.0(1)在图乙中的虚线框内画出该同学的试验电路图．(除电源、开关、滑动变阻器外，试验用电压表V：内阻R V约为10 kΩ；电流表mA：内阻R A约为100 Ω)(2)在图丙中的小方格纸上用描点法画出二极管的伏安特性曲线。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第二十一章(20200511214824)

第十一章重积分§ 1二重积分的概念1•把重积分. .xydxdy作为积分和的极限，计算这个积分值，其中D=l0,1】0,1】,并用直线D「i j网x= ,y= (i,j=1,2,…,n-1)分割这个正方形为许多小正方形，每一小正方形取其右上顶点为n n其界点•2•证明：若函数f在矩形式域上D可积，则f在D上有界•3•证明定理(20.3):若f在矩形区域D上连续，则f在D上可积•4•设D为矩形区域，试证明二重积分性质2、4和7.性质2若f、g都在D上可积，则f+g在D上也可积，且° f g = f °g •性质4若f、g在D上可积，且f _ g ,则岂D g ,性质7(中值定理)若f为闭域D上连续函数，则存在, D，使得D f =f , D5. 设D o、D1和D2均为矩形区域，且D o = D1 D 2, intD j int D j = •一，试证二重积分性质 3.性质3(区域可加性)若D o =D1 D2且int D1int D j —一，则f在D o上可积的充要条件是f在D2上都可积，且6. 设f在可求面积的区域D上连续，证明：(1) 若在D 上f x,y - 0,f x,y - 0则D f 0 ；(2) 若在D内任一子区域D D上都有D f 二0,则在D 上f x,y . = 0。

7・证明：若f在可求面积的有界闭域D上连续,,g在D上可积且不变号，则存在一点, D，使得f x,yg x,y dxdy=f , gx,y dxdy.D D8.应用中值定理估计积分r r dxdy2 2-凶砒o1OO cos x cos y的值§ 2二重积分的计算1.计算下列二重积分：⑴y -2x dxdy,其中D= 3,5】1,2】；D⑵xy2dxdy,其中(i )D= 0,2〕0,3 1( ii )D= 0,3】0,2】；D2.设f(x,y)= f l x f2 y为定义在D= a i, bj ^2, bj上的函数若f l在la i,b」上可积,f2在a2,b21上可积，则f在D上可积,且3. 设f在区域D上连续试将二重积分 f x,y dxdy化为不同顺序的累次积分D(1)D由不等式y-x,y-a,x-b 0-a-b所确的区域⑶!! cosx y dxdy,其中D=D⑷..Dx1 xydxdy，其中D= 0,1 0,11.2 2 2⑵D 由不等式x y _a 与x y <a (a>0)所确定的区域(3)D=如,y )x + y4. 在下列积分中改变累次积分的顺序5. 计算下列二重积分2(1) i ixy dxdy ,其中D 由抛物线y=2px 与直线D⑵ 11 ix 2 y 2 dxdy ,其中 D= ：x,y 0 _ x _1, . x 乞 y 乞 2 一 x [D卄 dxdy(3) .. ------------- (a>0),其中D 为图(20— 7)中的阴影部分;D2a -x⑷ I l -xdxdy ,其中 D='x,y x 2 y 2 乞 x jD(5) Il xydxdy ,其中为圆域 x 2 ya 2.D6.写出积分11 f x,y dxdy 在极坐标变换后不同顺序的累次积分d2 2(1)D 由不等式x y 乞1,y^x ,y-0所确定的区域x(1) 0 dx x f (x,y dy ；11 ^x 2⑵ j d ^_1^2fx,y dy ；⑶ 0dy 0 f x,y dy + dxX 专(p >0)所围的区域；3dy .⑵D由不等式a2 _x2• y2 _b2所确定的区域(3)D= ：x,y x2y2zy,x _0「7•用极坐标计算二重积分：⑴Il si n x2y2dxdy,其中D= ' x, y 二2乞x2y2<4~2'；D(2) x y dxdy,其中D^ x,y x2y2_x y』；曽F rD(3) II「X2• y2dxdy,其中D为圆域x2R2.D8•在下列符号分中引入新变量后，试将它化为累次积分：2 2丄(1) 0 dx f (x, y )dy ,其中u=x+y,v=x-y;(2) i if x,y dxdy ,其中D=，x,y . x y 乞.a , x _ 0 , y _ 0』，若x= U cos4 v ,D4y 二U sin v .(3) i if x,y dxdy，其中D=，x,y x y — a ,x — 0, y — Of,若x+y=u,y=uv.9•求由下列曲面所围立体V的体积：(1) v由坐标平面及x=2,y=3,x+y+Z=4所围的角柱体；2 2 | 一 ,(2) v由z= x * y 和z=x+y围的立体；2 2 2 22 x v x v(3) v由曲面Z 和2Z= 所围的立体•4 9 4 911. 试作适当变换，计算下列积分：(1) 11 [x y sin x - y dxdy ,D= ：x.y 0 _ x y _ 二0 _ x - y _ T；Dy(2)I ie x y dxdy ,D= x,y x y 岂1, x _ 0,y _ 0D12. 设f:[a,b] T R为连续函数，应用二重积分性质证明-b I2j b|[f(xdx I 兰(b—a)[f (xdx，其中等号仅在f为常量函数时成立。

矩形、菱形正方形----菱形的定义与性质

20.3矩形、菱形、正方形----菱形的定义与性质学习准备1、复习平行四边形定义：叫平行四边形。

2.矩形定义：有一个角为的叫矩形。

34、矩形是特殊的平行四边形，因此矩形具有的所有性质。

矩形特有的性质：① ②5、平行四边形是对称图形。

矩形是对称图形，又是对称图形 6.定义：的平行四边形叫菱形。

7、菱形是特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的性质外，还特殊在：（1）菱形的都相等。

（2）菱形的两条对角线，并且。

请证明菱形对角线特殊性质如图已知：求证：8、菱形对称图形，菱形有对称轴。

【知识延展】：（1）、由菱形性质：BD 平分∠ ∠ ，AC 平分∠ ∠ ，所以对角线交点是菱形四个内角角平分线的交点，由角平分线性质 ∴菱形形对角线的交点O 到各距离相等（2）、由菱形性质：对角线，由图可知，在菱形中有个直角三角形，由菱形性质：，由图可知，有个等腰三角形，它们分别是8.如图：菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，AB=a ．求：（1）∠ABC 的度数；（2）对角线AC 的长；（3）菱形ABCD 的面积．9．在菱形ABCD 中，∠A 与∠B 的度数比为1：2，周长是48cm ．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．10.从菱形钝角的顶点向对边作垂线，且垂线平分对边，求菱形各角的度数．如图所示，在边长为2的菱形ABCD 中，∠DAB=60°，点E 为AB 中点，点F 是AC 上一动点，则EF+BF 的最小值为（提示：根据轴对称的性质）11.如图，O 为菱形ABCD 对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥BD ．（1）试判断四边形OCED 的形状，并说明理由；（2）若AC=6，BD=8，求线段OE 的长．12.在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AB=5，AC=6．过D 点作DE ∥AC 交BC 的延长线于点E ．（1）点P 为线段BC 上的点，连接PO 并延长交AD 于点Q ．求证：BP=DQ ．（2）求△BDE 的周长．B【达标检测】1、在菱形ABCD 中 ,AB=5cm ，则此菱形的周长为（）。

辽宁省大连市一二一中学九年级数学《矩形》课件人教新课标版

B
连结AE、BE.
∵AD = BD ， DE =CD ∴四边形ACBE是平行四边形又∵∠ACB = 90° ∴ ACBE是矩形 ∴CE = AB（ ? ）
1 由于CD= 2 CE
所以CD =
1 2
AB
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学海无涯
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（A ）
A.对角线相等
B.对边相等
C.对角相等
矩形对角线的长？
A
D
O
B
C
学海无涯
5．（补充练习）电视的尺寸是采用电视屏幕（矩形）对
角线的长度来计量的．（如：25英寸彩电的屏幕的对角线是25英寸．）小丽家新买的电视屏幕短边的长是17英寸，两条对角线的一个交角是120度，问小丽家新买的电视是多少英寸？
矩形性质在数学中的应用:
1.用于证明:可用来证明线段的相等或倍分,直
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
线的平行或垂直,角相等等等. 2.用于计算.
总结
1.矩形的定义：有一个角是直角的 2.矩形的性质：平行四边形叫矩形
边：对边平行且相等
角：四个角都是直角对角线：对角线互相平分且相等
3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
4. 矩形的对角线把矩形分成两对全等的等腰三角形
5.矩形是轴对称图形，也是中心对称图形.
D
C
O
A
B
A O
B
A
D
O
B
C
D
C
A
D
O
B
C
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
已知△ABC中∠ACB=90°，AD = BD

2021年中考数学一轮专题训练：矩形及其性质(二)(解析版)

2021年中考数学一轮专题训练：矩形及其性质（二）1．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（）A．B．C．D．2．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使得其面积为原矩形面积的一半，则平行四边形ABCD的内角∠BCD的大小为（）A．100°B．120°C．135°D．150°3．一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标分别是（﹣1，﹣1）、（﹣1，2）、（3，2），则第四个顶点的坐标是（）A．（2，2）B．（2，3）C．（3，﹣1）D．（3，3）4．矩形ABCD中，点M在对角线AC上，过M作AB的平行线交AD于E，交BC于F，连接DM和BM，已知，DE＝2，ME＝4，则图中阴影部分的面积是（）A．12 B．10 C．8 D．65．下列结论中，矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．内角和为360°B．对角线互相平分C．对角线相等D．对边平行6．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，连接CE，△DEC的周长为（）A．10 B．11 C．12 D．137．如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD 上从点C到点D运动．则当时间t为（）s时，能够使△BPE与△CQP全等．A．1 B．1或4 C．1或2 D．2或48．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，重足为E，已知∠EAB：∠EAD＝1：3，则∠EOA的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°9．如图所示，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE交AB于点F，若DE＝2，矩形ABCD的周长为16，且CE＝EF，求AE的长（）A．2 B．3 C．4 D．610．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在这段时间内，线段PQ平行于AB的次数是（）A．2 B．3 C．4 D．511．检查一个门框（已知两组对边分别相等）是矩形，不能用的方法是（）A．测量两条对角线是否相等B．用重垂线检查竖门框是否与地面垂直C．测量门框的三个角是否都是直角D．测量两条对角线是否互相平分12．▱ABCD添加下列条件后，仍不能使它成为矩形的是（）A．AB⊥BC B．AC＝BD C．∠A＝∠B D．BC＝CD 13．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，下列条件中能判定这个平行四边形是矩形的是（）A．AC＝BD B．AB＝BC C．∠BAC＝∠CAD D．AC⊥BD 14．下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是（）A．∠A＝∠C B．∠A＝∠B C．AC＝BD D．AB⊥BC 15．平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，添加一个条件不能使平行四边形ABCD变为矩形的是（）A．OD＝OC B．∠DAB＝90°C．∠ODA＝∠OAD D．AC⊥BD 16．在平行四边形ABCD中添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（）A．∠ABC＝90°B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠ACD＝∠CDB 17．平行四边形的四个内角平分线相交所构成的四边形一定是（）A．一般平行四边形B．一般四边形C．对角线垂直的四边形D．矩形18．如图，四边形ABCD，∠D＝∠C＝90°，CD＝2，点E在边AB，且AD＝AE，BE＝BC，则AE•BE的值为（）A．B．1 C．D．19．下列说法错误的是（）A．矩形的对角线互相平分B．有一个角是直角的四边形是矩形C．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形D．矩形的对角线相等20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（）A．B．C．3 D．4参考答案1．解：∵AB＝3，BC＝4，∴矩形ABCD的面积为12，AC＝，∴AO＝DO＝AC＝，∵对角线AC，BD交于点O，∴△AOD的面积为3，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即3＝AO×EO+DO×EF，∴3＝××EO+×EF，∴5（EO+EF）＝12，∴EO+EF＝，故选：C．2．解：如图，作AE⊥BC于点E．∵矩形的面积＝BC•CF＝2S平行四边形ABCD＝2BC•AE，∴CF＝2AE，∴AB＝2AE，∴∠ABE＝30°，∵AB∥CD，∴∠BCD＝180°﹣∠ABE＝150°．故选：D．3．解：如图所示：过（﹣1，﹣1）、（3，2）两点分别作x轴、y轴的平行线，交点为（3，﹣1），即为第四个顶点坐标．故选：C．4．解：过M作MP⊥AB于P，交DC于Q，如图所示：则四边形DEMQ，四边形QMFC，四边形AEMP，四边形MPBF都是矩形，∴S△DEM＝S△DQM，S△QCM＝S△MFC，S△AEM＝S△APM，S△MPB＝S△MFB，S△ABC＝S△ADC，∴S△ABC﹣S△AMP﹣S△MCF＝S△ADC﹣S△AEM﹣S△MQC，∴S四边形DEMQ＝S四边形MPBF，∵DE＝CF＝2，∴S△DEM＝S△MFB＝×2×4＝4，∴S阴＝4+4＝8，故选：C．5．解：矩形的性质：内角和360°，对边平行且相等，对角线互相平分且相等；平行四边形的性质：内角和360°，对边平行且相等，对角线互相平分；故选项A、B、D不符合题意，C符合题意；故选：C．6．解：设DE＝x，则AE＝6﹣x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，DC＝AB＝4，AD＝BC＝6，AO＝OC，∵EF⊥AC，AO＝OC，∴AE＝CE＝6﹣x，在Rt△DEC中，由勾股定理得：DE2+DC2＝EC2，即x2+42＝（6﹣x）2，解得：x＝，即DE＝，CE＝AE＝6﹣＝，∴△DEC的周长为DE+CE+DC＝++4＝10，故选：A．7．解：分两种情况：①当EB＝PC，BP＝QC时，△BPE≌△CQP，∵AB＝20cm，AE＝6cm，∴EB＝14cm，∴PC＝14cm，∵BC＝16cm，∴BP＝2cm，∵点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，∴t＝2÷2＝1（s）；②当BP＝CP，BE＝QC时，△BEP≌△CQP，由题意得：2t＝16﹣2t，解集得：t＝4（s），故选：B．8．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB，∠BAD＝90°，∴∠OAB＝∠OBA，∵∠EAB：∠EAD＝1：3，∴∠EAB＝22.5°，∵AE⊥BD于点E，∴∠AEB＝90°，∴∠ABE＝67.5°，∴∠OBA＝∠OAB＝67.5°，∴∠AOB＝45°，即∠EOA的度数为45°，故选：D．9．解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∵EF⊥CE，∴∠CEF＝90°，∴∠CED+∠AEF＝90°，∵∠CED+∠DCE＝90°，∴∠DCE＝∠AEF，在△AEF和△DCE中，，∴△AEF≌△DCE（AAS），∴AE＝DC，由题意可知：2（AE+DE+CD）＝16，DE＝2，∴2AE＝6，∴AE＝3；故选：B．10．解：当AP＝BQ时，AP∥BQ．∵AP∥BQ，AP＝BQ，∴四边形ABQP为平行四边形，∴QP∥AB．∵点P运动的时间＝12÷1＝12秒，∴点Q运动的路程＝4×12＝48cm．∴点Q可在BC间往返4次．∴在这段时间内PQ与AB有4次平行．故选：C．11．解：∵门框两组对边分别相等，∴门框是个平行四边形，∵对角线相等的平行四边形是矩形，故A不符合题意；∵竖门框与地面垂直，门框一定是矩形；故B不符合题意；∵三个角都是直角的四边形是矩形，故C不符合题意；∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D符合题意，故选：D．12．解：A、∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴▱ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、∵四边形ABD是平行四边形，AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝90°，∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，BC＝CD，∴▱ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．13．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形；故选项A符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形；故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵∠BAC＝∠CAD，∴∠ACD＝∠CAD，∴AD＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形；故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形；故选项D不符合题意；故选：A．14．解：A、在▱ABCD，若∠A＝∠C，则四边形ABCD还是平行四边形；故选项A符合题意；B、在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、在▱ABCD中，AC＝BD，则▱ABCD是矩形；故选项C不符合题意；D、在▱ABCD中，AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形，故选项D不符合题意；故选：A．15．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，A、OD＝OC时，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、四边形ABCD是平行四边形，∠DAB＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、∵∠ODA＝∠OAD，∴OA＝OD，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．16．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；B、根据四边形ABCD是平行四边形和AC⊥BD不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；D、∵∠ACD＝∠CDB，∴OD＝OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，BO＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；故选：B．17．解：如图；∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB+∠ADC＝180°；∵AH、DH平分∠DAB、∠ADC，∴∠HAD+∠HDA＝90°，即∠EHG＝90°；同理可证得：∠HEF＝∠EFG＝∠FGH＝90°；故四边形EFGH是矩形．故选：D．18．解：过A作AF⊥BC于F，∵∠D＝∠C＝90°，∴四边形AFCD是矩形，∴AF＝CD＝2，CF＝AD，设AD＝AE＝x，BE＝BC＝y，∴AB＝x+y，BF＝y﹣x，∵AB2＝AF2+BF2，∴（x+y）2＝（y﹣x）2+22，∴xy＝1，∴AE•BE＝1，故选：B．19．解：A、矩形的对角线互相平分；正确；B、有一个角是直角的四边形是矩形；错误；C、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；正确；D、矩形的对角线相等；正确；故选：B．20．解：∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝，∴MN的最小值为；故选：A．。

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沪科版初中数学-目录备注：七年级上册：1-5七年级下册：6-11八年级上册：12-17八年级下册：18-22九年级上册：23-25九年级下册：26-28第1章有理数1.1正数和负数1.2数轴1.3有理数的大小1.4有理数的加减1.5有理数的乘除1.6有理数的乘方1.7近似数第2章整式加减2.1用字母表示数2.2代数式2.3整式加减第3章一次方程与方程组3.1一元一次方程及其解法3.2二元一次方程组3.3消元解决方程组3.4用一次方程（组）解决问题第4章直线与角4.1多彩的几何图形4.2线段、射线、直线4.3线段的长短比较4.4角的表示与度量4.5角的大小比较4.6作线段与角第5章数据处理5.1数据的收集5.2数据的整理5.3统计图的选择5.4从图表中获取信息第6章实数6.1平方根立方根6.2实数第7章一元一次不等式与不等式组7.1不等式及其基本性质7.2一元一次不等式7.3一元一次不等式组第8章整式乘除与因式分解8.1幂的运算8.2整式乘法8.3平方差公式与完全平方公式8.4整式除法8.5因式分解第9章分式9.1分式及其基本性质9.2分式的运算9.3分式方程第10章相交线平行线与平移10.1相交线10.2平行线的判定10.3平行线的性质10.4平移第11章频率分布11.1频数与频率11.2频数分布第12章平面直角坐标系12.1平面上点的坐标12.2图形在坐标系中的平移第13章一次函数13.1函数13.2一次函数-13.3一次函数与一次方程、一次不等式13.4二元一次方程组的图象解法第14章三角形中的边角关系14.1三角形中的边角关系14.2命题与证明第15章全等三角形15.1全等三角形15.2三角形全等的判定第16章轴对称图形与等腰三角形16.1轴对称图形16.2线段的垂直平分线16.3等腰三角形16.4角的平分线第17章勾股定理17.1勾股定理17.2勾股定理的逆定理第18章二次根式18.1二次根式18.2二次根式的运算第19章一元二次方程19.1一元二次方程19.2一元二次方程的解法19.3一元二次方程的根的判别式19.4一元二次方程的根与系数的关系19.5一元二次方程的应用第20章四边形20.1多边形内角和20.2平行四边形20.3矩形菱形正方形20.4梯形第21章数据的集中趋势21.1平均数21.2中位数与众数21.3从部分看总体第22章数据的离散程度22.1极差22.2方差、标准差第23章二次函数与反比例函数23.1二次函数23.2二次函数y=a某^2的图象和性质23.3二次函数y=a某^2+b某+c的图象和性质23.4二次函数与一元二次方程23.5.二次函数的应用23.6反比例函数第24章相似形24.1比例线段24.2相似三角形的判定24.3相似三角形的性质24.4相似多边形的性质24.5位似图形第25章解直角三角形25.1锐角三角函数25.2锐角三角函数值25.3解直角三角形及其应用第26章圆26.1旋转26.2圆的对称性26.3圆的确定26.4圆周角26.5直线与圆的位置关系26.6三角形的内切圆26.7圆与圆的位置关系26.8正多边形与圆26.9弧长与扇形面积第27章投影与视图27.1投影27.2三视图第28章概率初步28.1随机事件28.2等可能情形下的概率计算28.3用频数估计概率。

矩形的性质学案(精华)

20.3矩形菱形正方形----矩形的性质一、学习准备1、复习平行四边形定义：叫平行四边形。

23、平行四边形是对称图形。

二、问题探究4、矩形定义：有一个角为的叫矩形。

5、矩形是特殊的平行四边形，因此矩形具有的所有性质。

矩形特有的性质：① ②6、证明矩形对角线的特性。

已知：证明：【知识延展】：（1）、由矩形性质有OA=OC=21AC OB=OD=21BD 且AC=BD 得OA= = =∴矩形对角线的交点O 到各顶点的距离。

（2）、由图可知，在矩形中有个直角三角形，它们分别是有个等腰三角形，它们分别是。

∴我们通常在直角三角形、等腰三角形中求有关边与角。

（3）、由矩形性质有∠ABC=900，OA=OB=OC这说明：Rt △ABC 中，若OB 是斜边AC 的，则OB= AC ∴直角三角形斜边上的中线等于斜边长的（4）、∵矩形是平行四边形，∴矩形是对称图形。

思考：矩形是轴对称图形吗？将矩形作业纸对折，我们发现：矩形是图形，有条对称轴。

对称轴是对边点所确定两条直线。

∴矩形既是对称图形，又是对称图形，对称轴为三、反思小结1、的平行四边形是矩形。

2、矩形性质3、矩形性质延伸（1）矩形对角线交点到各顶点的距离（2）直角三角形斜边上的等于斜边的四、典例解析例1、如图矩形ABCD ，AB=6cm ，BC=8cm ，求AC,AD,BD,CD 的长。

变式1、如图矩形ABCD ，对角线AC=5cm ，BC=4cm ，就OD,CD 的长。

变式2、如图矩形ABCD ，∠AOD=1200，，证明△ABO 为等边三角形。

变式3、如图矩形ABCD ，∠AOD=1200，，AB=4cm ，求矩形对角线长。

变式4、如图矩形ABCD ，∠AOD=1200，，证明AC=2AB.变式5、已知矩形ABCD 的两条对角线夹角为60°，一边长为矩形对角线长。

例2、如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE⊥AC 于E ，CF⊥BD 于F. 求证：BE=CF.变式：如图,矩形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O,点E 、F 分别在OA 、OD 上,且OA OE31=,OD OF 31=求证:BE=CF.例3如图，矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于O 点，AE 平分∠BAD ，交BC 于E 点，若∠CAE=15°，求∠BOE例4. 如图：AD 是△ABC 的高，M 、N 、E 分别是AB 、AC 、BC 边上的中点．（1）求证：ME=DN ；（2）若BC=AD=12，AC=13，求四边形DEMN 的面积．例5矩形ABCD 中，1=AB ，3=AD ，AF 平分DAB ∠，过C点作BD CE ⊥于E ，延长AF 、EC 交于点H 。

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XXX版初中数学电子版教材下载及总目录all~试题整理华东师大版初中数学电子教材七年级上册（双击章节下载）第一章.rar走进数学世界第二章.rar有理数第三章.rar整式的加减第四章.rar图形的初步认识第五章.rar数据的收集与表示七年级下册（双击章节下载）第六章.rar一元一次方程第七章.rar二元一次方程组第八章.rar一元一次不等式第九章.rar多边形第十章.rar轴对称第十一章.rar体验不确定现象八年级上册（双击章节下载）第十二章.rar数的开方all~试题1all~试题整理第十三章.rar整式的乘除第十四章.rar勾股定理第十五章.rar平移与旋转第十六章.rar平行四边形的认识八年级下册（双击章节下载）第十七章.rar分式第十八章.rar函数及其图像第十九章.rar全等三角形第二十章.rar平行四边形的判定第二十一章.rar数据的整理与初步处理九年级上册（双击章节下载）第二十二章.rar二次根式第二十三章.rar一元二次方程第二十四章（1）.rar图形的相似第二十四章（2）.rar图形的相似第二十五章.rar解直角三角形all~试题2all~试题整理第二十六章.rar随机事件的概率九年级下册(以下为电子书需求先装阅读器软件包如"Adobe Acrobat Reader"等)二十七二次函数.rar二次函数（扫描版）第27章二次函数.rar(word旧版本)二十八圆.rar圆二十九几何的回顾.rar几何的回顾几何的回顾.rar（word 旧版本）三十样本与总体.rar样本与总体样本与总体.rar（word旧版本）本电子教材转载自XXX（双击章节下载）初中数学七年级（上）（XXX版）-1.doc初中数学七年级（上）（XXX版）-2.doc初中数学七年级（上）（XXX版）-3.doc初中数学七年级（上）（XXX版）-4.doc初中数学七年级（上）（XXX版）-5.doc初中数学七年级（下）（XXX版）-1.doc初中数学七年级（下）（XXX版）-2.doc初中数学七年级（下）（XXX版）-3.doc初中数学七年级（下）（XXX版）-4.doc初中数学七年级（下）（XXX版）-5.doc初中数学七年级（下）（XXX版）-6 .doc 初中数学八年级（上）（XXX版）-1.doc all~试题3all~试题整理初中数学八年级（上）（XXX版）-2.doc 初中数学八年级（上）（XXX版）-3.doc 初中数学八年级（上）（XXX版）-5.doc 初中数学八年级（下）（XXX版）-1.doc 初中数学八年级（下）（XXX版）-2.doc 初中数学八年级（下）（XXX版）-3.doc 初中数学八年级（下）（XXX版）-4.doc 初中数学八年级（下）（XXX版）-5.doc 初中数学九年级（上）（XXX版）-1.doc 初中数学九年级（上）（XXX版）-2.doc 初中数学九年级（上）（XXX版）-3.doc 初中数学九年级（上）（XXX版）-4.doc 初中数学九年级（上）（XXX版）-5.doc 初中数学九年级（下）（XXX版）-1.pdf 初中数学九年级（下）（XXX版）-2.pdf 初中数学九年级（下）（XXX版）-3.pdf初中数学九年级（下）（XXX版）-4.pdfXXX版初中数学教材按年级分目录七年级上走进数学世界；有理数；整式的加减；图形的初步认识；数据的收集与表示；试题4all~七年级下一元一次方程；二元一次方程组；一元一次不等式；多边形；轴对称；体验不确定现象；八年级上数的开方；整式的乘除；勾股定理；平移与扭转；平行四边形的认识八年级下分式；函数及其图像；全等三角形；平行四边形的判定；数据整理与初步处理九年级上二次根式；一元二次方程；图形的相似；解直角三角形；随机事件的概率；九年级下二次函数；圆；多少的回忆；样本与整体；XXX版按章节分目录第1章走进数学世界§1.1从理论题目到方程：1.数学伴我们成长；2.人类离不开数学；3.人人都能学会数学；阅读材料XXX的故事；视数学为生命的XXX；少年XXX的速算；§1.2 让我们来做数学；1.跟我学；2.尝尝看；阅读材料幻方.第2章有理数§2.1 正数和负数：1.相反意义的量；2.正数与负数；3.有理数；§2.2 数轴；1.数轴；2.在数轴上比较数的大小；§2.3 相反数；§2.4 绝对值；§2.5 有理数的大小比较；1.数轴；2.在数轴上比较数的大小；§2.6 有理数的加法；1.有理数的加法法则；2.有理数加法的运算律；§2.7 有理数的减法；§2.8 有理数的加减混合运算；1.加减法统一成加法；2.加法运算律在加减混合运算中的应用；阅读材料中国人最早使用负数；§2.9 有理数的乘法；1.有理数的乘法法则；2.有理数乘法的运算律；§2.10有理数的除法；§2.11 有理数的乘方；阅读材料与；§2.12 科学记数法；阅读材料光年和纳米；§2.13 有理数的混合运算；§2.14 近似数和有效数字；§2.15 用计算器进行数的简单运算；阅读材料从结绳记数到计算器；小结；复题第3章整式的加减§3.1 列代数式：1.用字母透露表现数；2.代数式；3.列代数式；§3.2 代数式的值；阅读材料有趣的“3x+1”题目；§3.3整式；1.单项式；2.多项式；3.升幂布列与降幂布列；§3.4 整式的加减；1.同类项；2.归并同类项；3.去括号与添括号；4.整式的加减；阅读材料用星散系数法举行整式的加减运算；供给站的最佳位置在哪里；复题；课题研究身份证号码与学籍号第4章图形的开端认识§4.1 糊口中的立体图形；阅读材料欧拉公式；§4.2 画立体图形；1.由立体图形到视图；2.由视图到立体图形；§4.3 立体图形的外表睁开图；§4.4 平面图形；阅读材料七巧板；§4.5 最基本的图形－点和线；1.点和线；2.线段的是非比力；§4.6 角；1.角；2.角的比力和运算；3.角的特殊干系；§4.7 订交线；1.垂线；2.订交线中的角；§4.8 平行线；1.平行线；2.平行线的辨认；3.平行线的特性；小结；复题；5第5章数据的收集与表示§5.1 数据的收集；1.数据有用吗；2.数据的收集；阅读材料赢在哪里；谁是《红楼梦》的作者；§5.2数据的表示；1.利用统计图表传递信息；2.从统计图表获取信息；阅读材料计算机帮我们画统计图小结；复题；课题研究图标的收集与探讨XXX版七年级下详细目录：第6章一元一次方程；§6.1 从实际问题到方程；§6.2 解一元一次方程；1.方程的简单变形；2.解一元一次方程；阅读材料丢番图的墓志铭与方程；§6.3 实践与探索；阅读材料2=3吗；小结；复题第7章二元一次方程组；§7.1二元次方程组和它的解；§7.2二元一次方程组的解法；§7.3理论与探究；阅读材料鸡兔同笼；小结；复题；第8章一元一次不等式；§8.1认识不等式；§8.2解一元一次不等式；1.不等式的解集；2.不等式的简朴变形；3.解一元一次不等式；§8.3一元一次不等式组；小结；复题；第9章多边形§9.1三角形；1.认识三角形；2.三角形的外角和；3.三角形的三边关系；§9.2多边形的内角和与外角和；§9.3用正多边形拼地板；1.用相同的正多边形拼地板；2.用多种正多边形拼地板；阅读材料多姿多彩的图案；小结；复题；课题研究图形的镶嵌第10章轴对称§10.1生活中的轴对称；阅读材料剪正五角星；§10.2轴对称的认识；1.简单的轴对称图形；2.画图形的对称轴；3.设计轴对称图案；阅读材料对称拼图游戏；§10.3等腰三角形；1.等腰三角形；2.等腰三角形的识别；阅读材料Times and dates；小结；复题；第11章体验不确定征象§11.1可能还是确定；1.不可能发生、可能发生和必然发生；2.不太可能是不可能吗；§11.2机会的均等与不等；1.成功与失败；2.游戏的公平与不公平；阅读材料搅匀对保证公平很重要；§11.3在反复实验中观察不确定现象；阅读材料计算机帮我们处理数据；小结；复题；课题研究红灯与绿灯第12章数的开方§12.1 平方根与立方根；1.平方根；2.立方根；§12.2 实数与数轴；阅读材料为甚么根号5不是有理数根号5的算法；第13章整式的乘除§13.1 幂的运算；1.同底数幂的乘法；2.幂的乘方；3.积的乘方；4.同底数幂的除法；§13.2 整式的乘法；1.单项式与单项式相乘；2.单项式与多项式相乘；3.多项式与多项式相乘；§13.3 乘法公式；1.两数和乘以这两数差；2.两数和的平方；阅读材料贾宪三角；§13.4 整式的除法；1.单项式除以单项式；.多项式除以单项式；§13.5 因式分化；阅读材料你会读吗；课题研究面积与代数恒等式第14章勾股定理§14.1 勾股定理；1.直角三角形三边的关系；2.直角三角形的判定；阅读材料勾股定理史话；美丽的勾股树；§14.2 勾股定理的应用；课题研究勾股定理的无字证明6第15章平移与扭转§15.1 平移；1.图形的平移；2.平移的特征；§15.2 旋转；1.图形的旋转；2.旋转的特征；3.旋转对称图形；§15.3 中心对称；§15.4 图形的全等；阅读材料古建筑中的旋转对称；－从敦煌洞窟到欧洲教堂课题研究图案设计；第16章平行四边形的认识§16.1 平行四边形的性质；§16.2 矩形、菱形与正方形的性质；1.矩形；2.菱形；3.正方形；阅读材料黄金矩形；§16.3 梯形的性质；阅读材料四边形的变身术第17章分式17.1分式及其基本性质；17.2分式的运算；阅读材料历史上的分数运算法则；17.3可化为一元一次方程的分式方程；17.4零指数幂与负整指数幂；小结；复题第18章函数及其图象18.1变量与函数；18.2函数的图象；阅读材料笛卡儿的故事；18.3一次函数；阅读材料XXX算得正确吗？；18.4反比例函数；18.5实践与探索；阅读材料XXX小结；复题第19章全等三角形19.1命题与定理；19.2全等三角形的断定；阅读材料图形中的"裂痕"；19.3尺规作图阅读材料由尺规作图产生的三大难题；19.4逆命题与逆定理；小结；复题第20章平行四边形的判定20.1平行四边形的断定；20.2矩形的断定；20.3菱形的断定；20.3正方形的断定；阅读材料完全正方形；20.4等腰梯形的断定；小结；复题；课题研究中点四边形第21章数据的整理与初步处理21.1算术均匀数与加权均匀数；阅读材料均贫富；21.2均匀数、中位数和众数的选用阅读材料对平均数、中位数和众数说长；道短；21.3极差、方差和标准差；阅读材料借助计算机求方差与标准差；早穿皮袄午穿纱；标准分；小结；复题；课题研究心率与年龄第22章二次根式22.1二次根式的概念；阅读材料蚂蚁和大象一样重吗？；22.2二次根式的乘除法；22.3二次根式的加减法；小结；复题；第23章一元二次方程23.1一元二次方程；23.2一元二次方程的解法；阅读材料一元二次方程根的鉴别式§23.3理论与探究；小结；复题第24章图形的相似24.1相似的图形；24.2相似图形的特征；阅读材料黄金分割；24.3相似三角形阅读材料线段的等分；24.4画相似图形；阅读材料数学与艺术的美妙结合－分形24.5图形与坐标；小结；复题第25章解直角三角形725.1测量；25.2三角函数；25.3解直角三角形；阅读材料葭生池中；小结；复题课题研究高度的测量；第26章随机事件的概率26.1概率的含义；阅读材料电脑键盘上的字母为什么不按；顺序布列；26.2概率的展望26.3模仿尝试；小结；复题；课题研究通信录的设计第27章二次函数27.1二次函数；27.2二次函数的图像与性质；阅读材料糊口中的抛物线；27.3理论与探究小结；复题第28章圆28.1圆的认识；28.2与圆有关的位置关系；阅读材料你能画吗；28.3圆中的计算问题阅读材料古希腊人对大地的测量；圆周率；小结；复题第29章几何的回顾29.1多少题目的处置惩罚办法；29.2反证法；阅读材料多少本来；小结；复题；课题研究图形中的趣题第30章样本与总体30.1统计的意义；30.2简单的随机抽样；阅读材料空气污染指数；30.3用样本估计总体30.4数据分析与决策；阅读材料漫谈收视率；小结；复题；课题研究改进我们的课桌椅.XXX版初中数学按常识模块分目次代数部分：第1章走进数学世界发现数的规律，数的排列规律，叠加规律.第2章有理数§2.1 正数和负数：1.相反意义的量；2.正数与负数；3.有理数；§2.2 数轴；1.数轴；2.在数轴上比力数的大小；§2.3 相反数；§2.4 绝对值；§2.5 有理数的大小比力；1.数轴；2.在数轴上比力数的大小；§2.6 有理数的加法；1.有理数的加法法例；2.有理数加法的运算律；§2.7 有理数的减法；§2.8 有理数的加减夹杂运算；1.加减法同一成加法；2.加法运算律在加减夹杂运算中的使用；§2.9 有理数的乘法；1.有理数的乘法法例；2.有理数乘法的运算律；§2.10 有理数的除法；§2.11 有理数的乘方；§2.12 科学记数法；§2.13 有理数的夹杂运算；§2.14 近似数和有效数字；§2.15 用计较器举行数的简朴运算；第3章整式的加减§3.1 列代数式：1.用字母表示数；2.代数式；3.列代数式；§3.2 代数式的值；§3.3 整式；1.单项式；2.多项式；3.升幂排列与降幂排列；§3.4 整式的加减；1.同类项；2.合并同类项；3.去括号与添括号；4.整式的加减；用分离系数法进行整式的加减运算；8第6章一元一次方程；§6.1 从实际问题到方程；§6.2 解一元一次方程；1.方程的简单变形；2.解一元一次方程；§6.3 实践与探索；第7章二元一次方程组；§7.1二元次方程组和它的解；§7.2二元一次方程组的解法；§7.3实践与探索；第8章一元一次不等式；§8.1认识不等式；§8.2解一元一次不等式；1.不等式的解集；2.不等式的简单变形；3.解一元一次不等式；§8.3一元一次不等式组；第12章数的开方§12.1 平方根与立方根；1.平方根；2.立方根；§12.2 实数与数轴；第13章整式的乘除§13.1 幂的运算；1.同底数幂的乘法；2.幂的乘方；3.积的乘方；4.同底数幂的除法；§13.2 整式的乘法；1.单项式与单项式相乘；2.单项式与多项式相乘；3.多项式与多项式相乘；§13.3 乘法公式；1.两数和乘以这两数差；2.两数和的平方；§13.4 整式的除法；1.单项式除以单项式；.多项式除以单项式；§13.5 因式分化；第17章分式17.1分式及其基本性质；17.2分式的运算；阅读材料历史上的分数运算法则；17.3可化为一元一次方程的分式方程；17.4零指数幂与负整指数幂；第18章函数及其图像18.1变量与函数；18.2函数的图象；18.3一次函数；18.4反比例函数；18.5实践与探索；第22章二次根式22.1二次根式的概念；22.2二次根式的乘除法；22.3二次根式的加减法；第23章一元二次方程23.1一元二次方程；23.2一元二次方程的解法；一元二次方程根的判别式§23.3实践与探索；第27章二次函数27.1二次函数；27.2二次函数的图象与性质；27.3实践与探索统计概率部分：第5章数据的收集与表示§5.1 数据的收集；1.数据有用吗；2.数据的收集；§5.2 数据的表示；1.利用统计图表传递信息；2.从统计图表获取信息；第11章体验不确定现象§11.1可能还是确定；1.不可能发生、可能发生和必然发生；2.不太可能是不可能吗；§11.2机会的均等与不等；1.成功与失败；2.游戏的公平与不公平；§11.3在反复实验中观察不确定现象；第21章数据的整理与初步处理21.1算术均匀数与加权均匀数；21.2均匀数、中位数和众数的选用21.3极差、方差和尺度差；9第26章随机事件的概率26.1概率的含义；26.2概率的展望26.3模仿尝试；第30章样本与总体30.1统计的意义；30.2简朴的随机抽样；30.3用样本估计整体30.4数据分析与决议；几何部分第4章图形的初步认识§4.1 糊口中的立体图形；§4.2 画立体图形；1.由立体图形到视图；2.由视图到立体图形；§4.3 立体图形的外表睁开图；§4.4 平面图形；§4.5 最基本的图形－点和线；1.点和线；2.线段的是非比力；§4.6 角；1.角；2.角的比力和运算；3.角的特殊干系；§4.7 订交线；1.垂线；2.订交线中的角；§4.8 平行线；1.平行线；2.平行线的辨认；3.平行线的特性；第9章多边形§9.1三角形；1.认识三角形；2.三角形的外角和；3.三角形的三边关系；§9.2多边形的内角和与外角和；§9.3用正多边形拼地板；1.用相同的正多边形拼地板；2.用多种正多边形拼地板；图形的镶嵌第10章轴对称§10.1糊口中的轴对称；§10.2轴对称的认识；1.简朴的轴对称图形；2.绘图形的对称轴；3.设计轴对称图案；§10.3等腰三角形；1.等腰三角形；2.等腰三角形的辨认；第14章勾股定理§14.1 勾股定理；1.直角三角形三边的关系；2.直角三角形的判定；§14.2 勾股定理的应用；第15章平移与旋转§15.1 平移；1.图形的平移；2.平移的特征；§15.2 旋转；1.图形的旋转；2.旋转的特征；3.旋转对称图形；§15.3 中心对称；§15.4 图形的全等；图案设计；第16章平行四边形的认识§16.1 平行四边形的性质；§16.2 矩形、菱形与正方形的性质；1.矩形；2.菱形；3.正方形；黄金矩形；§16.3 梯形的性质；第19章全等三角形19.1命题与定理；19.2全等三角形的判定；19.3尺规作图19.4逆命题与逆定理；第20章平行四边形的断定20.1平行四边形的判定；20.2矩形的判定；20.3菱形的判定；20.3正方形的判定；20.4等腰梯形的判定；中点四边形第24章图形的相似24.1相似的图形；24.2相似图形的特征；黄金分割；24.3相似三角形线段的等分；24.4画相似图形；24.5图形与坐标；第25章解直角三角形。

冷拔无缝矩形钢管的尺寸规格

5.65
250
150
±1.60
8.0
46.5
59.2
4886
2219
391
296
9.08
6.12
260
180
±1.80
8.0
51.5
65.6
6145
3493
473
388
9.68
7.30
300
200
±2.00
10.0
72.0
91.7
11110
5969
741
591
11.0
8.07
320
200
±2.00
10.0
2
1.011
0.794
2.5
1.19
0.936
14
0.8
0.539
0.423
1
0.663
0.520
1.5
0.951
0.746
2
1.21
0.951
2.5
1.44
1.13
24
12
0.8
0.539
0.423
1
0.663
0.520
1.5
0.951
0.747
2
1.21
0.951
2.5
1.44
1.13
25
10
0.8
2.24
1.76
3
2.61
2.05
3.5
2.94
2.31
4
3.25
2.55
40
16
2
2.01
1.58
2.5
2.44
1.92
3
2.85