2020年北京市门头沟区高考数学一模试卷(含答案解析)

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2023年北京市门头沟区高考数学一模试卷+答案解析(附后)

2023年北京市门头沟区高考数学一模试卷1. 已知集合，，则( )A. B.C. D.2. 复数，则( )A. B. C. 2 D. 33. 双曲线的离心率为2，则其渐近线方程为( )A. B. C. D.4. 中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰.书里记载了这样一个问题“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”译文是“今有一女子很会织布，每日加倍增长，5天共织5尺，问每日各织布多少尺？”，则该女子第二天织布( )A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺5. 若点M是圆C：上的任一点，直线l：与x轴、y轴分别相交于A、B两点，则的最小值为( )A. B. C. D.6.在平面直角坐标系中，角与的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，终边构成一条直线，且，则( )A. 1B.C.D.7. 在声学中，音量被定义为：，其中是音量单位为，是基准声压为，p是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如图所示，其中240Hz对应的听觉下限阈值为20dB，1000Hz对应的听觉下限阈值为0dB，则下列结论正确的是( )A. 音量同为20dB的声音，的低频比的高频更容易被人们听到B. 听觉下限阈值随声音频率的增大而减小C. 240Hz的听觉下限阈值的实际声压为D. 240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍8. 已知非零向量，则“与共线”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 已知函数，若存在使得恒成立，则的取值范围( )A. B. C. D.10. 已知数列满足，①数列每一项都满足②数列的前n项和；③数列每一项都满足成立；④数列每一项都满足其中，所有正确结论的序号是( )A. ①③B. ②④C. ①③④D. ①②④11.在的展开式中，的系数为______ 用数字作答12. 在边长为4的正中，点P是边BC上的中点，则______ .13. 同一种产品由甲、乙、丙三个厂商供应.由长期的经验知，三家产品的正品率分别为、、，甲、乙、丙三家产品数占比例为2：3：5，将三家产品混合在一起.从中任取一件，求此产品为正品的概率______ .14. 设函数①给出一个的值，使得的图像向右平移后得到的函数的图像关于原点对称，______ ；②若在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是______ .15. 在正方体中，棱长为1，已知点P，Q分别是线段，上的动点不含端点其中所有正确结论的序号是______ .①PQ与垂直；②直线PQ与直线CD不可能平行；③二面角不可能为定值；④则的最小值是16. 已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且是AB的中点，，求的大小；求a的值.17. 周末李梦提出和父亲、母亲、弟弟进行羽毛球比赛，李梦与他们三人各进行一场比赛，共进行三场比赛，而且三场比赛相互独立.根据李梦最近分别与父亲、母亲、弟弟比赛的情况，得到如下统计表：父亲母亲弟弟比赛的次数506040李梦获胜的次数103032以上表中的频率作为概率，求解下列问题.如果按照第一场与父亲比赛、第二场与母亲比赛、第三场与弟弟比赛的顺序进行比赛.求李梦连胜三场的概率；如果李梦胜一场得1分，负一场得0分，设李梦的得分为X，求X的分布列与期望；记“与父亲、母亲、弟弟三场比赛中李梦连胜二场”的概率为p，此概率p与父亲、母亲、弟弟出场的顺序是否有关？如果有关，什么样的出场顺序使概率p最大不必计算？如果无关，请给出简要说明.18. 如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点.证明：；再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值及点A到平面BPC的距离.①；②19. 已知当时，求函数在处的切线方程；求证：；若在恒成立，求a的取值范围.20. 已知椭圆C：的离心率为，长轴的左端点为求C的方程；过椭圆c的右焦点的任一直线l与椭圆C分别相交于M，N两点，且AM，AN与直线，分别相交于D，E两点，求证：以DE为直径的圆恒过x轴上定点，并求出定点.21. 已知集合…，若对于集合M的任意k元子集A，A中必有4个元素的和为，则称这样的正整数k为“好数”，所有好数的最小值记作当，即集合写出M的一个子集B，且B中存在4个元素的和为；写出M的一个5元子集C，使得C中任意4个元素的和大于；证明：；证明：答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合，或，则故选：根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：，则故选：先化简，再计算模长即可．本题主要考查复数模长的计算，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：已知双曲线的离心率为2，则，即，即，则其渐近线方程为故选：由双曲线的性质，结合双曲线渐近线方程的求法求解即可．本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线渐近线方程的求法，属基础题．4.【答案】B【解析】解：设每日织布尺数构成的数列为，则是公比为2的等比数列，由题知，解得，该女子第二天织布数为故选：由题得每日织布尺数成公比为2的等比数列，根据前5项和能求出第二天织布数．本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】A【解析】解：由题意可知，若最小，则AM应为圆C的切线，，，如图所示，可得，的最小值为故选：由题意可知，AM为圆C的切线时，最小，求解即可．本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想，属中档题．6.【答案】C【解析】解：角与的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，终边构成一条直线，则，，，故选：根据已知条件，结合余弦函数的二倍角公式，即可求解．本题主要考查余弦函数的二倍角公式，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：对于A，的低频对应图像的听觉下限阈值高于20dB，的高频对应的听觉下限阈值低于20dB，所以对比高频更容易被听到，故A错误；对于B，从图像上看，听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大，故B错误；对于C，240Hz对应的听觉下限阈值为，令，此时，故C错误；对于D，1000Hz的听觉下限阈值为0dB，令，此时，所以240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍，故D正确．故选：对于选项A、B，可以直接观察图像得出听觉下限阈值与声音频率的关系进行判断；对于C、D，通过所给函数关系代入听觉下限阈值计算即可判断．本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：若与共线，取为方向相反的单位向量，则，，，充分性不成立；若，则，整理得到，若或，不等式成立，且与共线，若且，设a，夹角为，则，即，即，即，故与共线，必要性成立．综上所述，“与共线”是“”的必要不充分条件．故选：取，为方向相反的单位向量，得到不充分，根据得到，得到必要性，从而可得答案．本题主要考查充分必要条件的判断，向量共线的条件，考查逻辑推理能力，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：设，易知函数在R上单调递增，又，则，即，则，于是，设，，则，易知当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在上的最小值为，又，则最大值为故选：设，则由的单调性结合题意可得，则，设，，利用导数即可得到的的最值，进而得解．本题考查函数与导数的综合运用，考查转化思想以及运算求解能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：数列满足，，可得，故①正确；由，，，可得，故②错误；由，可得即又，两边同除以，可得，，，，累加可得，即有，当时，，故③正确；由，，，满足；由，且时，，可得，则，故④正确．故选：由不等式的性质可得，可判断①；求出，，，可判断②；推得运用累加法和不等式的性质可判断③；由，结合不等式的性质和二项式定理可判断④．本题考查数列的递推式和数列的累加法、数列不等式的证明，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．11.【答案】【解析】解：的展开式的通项为，令得，故展开式中项的系数是：故答案为：利用二项展开式的通项公式求出第项，令x的指数为2，求出展开式中项的系数即可．本题考查二项展开式的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】12【解析】解：如图，，，是边BC上的中点，，则故答案为：把用、表示，再由平面向量数量积的运算求解．本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】【解析】解：根据题意，设事件A表示取到的产品为正品，，，分别表示产品由甲、乙、丙厂生产．则，且，，两两互斥，甲、乙、丙三家产品数占比例为2：3：5，则，，，则，，，故故答案为：设事件A表示取到的产品为正品，，，分别表示产品由甲、乙、丙厂生产，由全概率公式计算可得答案．本题考查条件概率的计算，涉及互斥事件的定义和性质，属于基础题．14.【答案】答案不唯一【解析】解：①由题意知，，因为的图像关于原点对称，所以，，则，，不妨取，则②由知，，因为在区间上有且仅有两个零点，所以，解得，即的取值范围是故答案为：①答案不唯一；②①根据函数图象的平移法则，可得，再由正弦函数的中心对称性，即可得解；②由知，，再根据正弦函数的零点问题，得解．本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握正弦函数的对称性，零点问题是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．15.【答案】①④【解析】解：对于①：在正方体中，可得，，，平面，平面，，故①正确；对于②：平面，可得过CD的平面与平面相交，与直线，相交于P，Q，则直线，故②不正确；对于③：二面角是平面与平面所成的二面角，故③错误；对于④：把平现与平面展开在同一平面上，设，，，则，线段，，，的最小值是，故④正确．故答案为：①④．利用正方体的性质，逐项计算判断即可得结论．本题考查空间几何体的性质，考查运算求解能力，考查转化思想，属中档题．16.【答案】解：因为，由正弦定理得：，因为，所以，得，因为，所以；在中，由余弦定理得：，即，解得：负值舍去，则，在中，由余弦定理得：，所以，所以【解析】利用正弦定理得，进而求得A；在和中分别使用余弦定理，计算a的值．本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．17.【答案】解：李梦与爸爸比赛获胜概率为；与妈妈比赛获胜概率为；与弟弟比赛获胜概率为；则李梦连胜三场的概率为；的可能取值为0，1，2，3，则，，，，故分布列为X 0 1 2 3P若出场顺序为爸爸妈妈弟弟：；若出场顺序为爸爸弟弟妈妈：；若出场顺序为妈妈爸爸弟弟：；若出场顺序为妈妈弟弟爸爸：；若出场顺序为弟弟妈妈爸爸：；若出场顺序为弟弟爸爸妈妈：；故与出场的顺序有关，出场顺序为妈妈弟弟爸爸或爸爸弟弟妈妈概率p最大．【解析】李梦获胜的概率分别为，计算即可；的可能取值为0，1，2，3，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案．出场顺序共有6种，分别计算概率，比较大小即可．本题考查了离散型随机变量的分布列与期望以及概率在实际问题中的应用，属于中档题．18.【答案】证明：连接PO，BO，，，O为AC的中点，，，又，平面POB，而平面POB，；解：若选择条件①，在中，，，，即，，在底面ABC上的射影为底面三角形的外心，即P的射影为O，可得平面ABC，又，、OC、OP两两互相垂直，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则，，，，平面PAC的一个法向量为，，，，设平面PBC的一个法向量为，由，取，可得，，由图可知，二面角的平面角为锐角，则二面角的余弦值为；点A到平面BPC的距离若选择条件②，由知，，又，且，平面ABC，，，即O为的外心，而O为AC的中点，可知，在中，，可得，又，、OC、OP两两互相垂直，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则，，，，平面PAC的一个法向量为，，，，设平面PBC的一个法向量为，由，取，可得，，由图可知，二面角的平面角为锐角，则二面角的余弦值为；点A到平面BPC的距离【解析】连接PO，BO，由已知可得平面POB，进一步得到；若选择条件①，证明，再证明OB、OC、OP两两互相垂直，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的余弦值及点A到平面BPC的距离；若选择条件②，证明平面ABC，可得O为的外心，求出，说明OB、OC、OP两两互相垂直，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的余弦值及点A到平面BPC的距离．本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角与点到平面的距离，是中档题．19.【答案】解：当时，，，则在处的切线方程为；证明：设，，时，，在上单调递减，时，，在上单调递增，，所以，则，即；解：当时，由得，当时，，设，，则在上单调递增，，得，则在上，，在上单调递减，，在不恒成立，不合题意．综上，当时，在恒成立．【解析】求导，将切点横坐标代入导数为切线斜率，利用点斜式可得切线方程；构造函数，证明其最小值为0即可；利用中所得结论，分类讨论即可．本题考查切线，考查不等式恒成立，属于中档题．20.【答案】解：因为椭圆C：的离心率为，长轴的左端点为，所以，得，所以椭圆C的方程：；证明：椭圆右焦点坐标为，由题直线斜率不为零，设直线l方程为，设，，由题，联立方程组，消去x得，所以，直线，得，同理，直线，得，设x轴上一点，则，同理得：，所以，因为，所以，解得：，即或，所以以DE为直径的圆恒过x轴上定点，定点分别为，【解析】由离心率及顶点坐标得a，b，c的值，从而求得椭圆的方程；设，，将直线方程与椭圆方程联立，求得，由垂直关系利用数量积等于零，求得圆与x轴的交点．本题考查了椭圆的标准方程以及椭圆中的定点问题，属于中档题．21.【答案】解：取集合M的一个子集，则B中的4个元素的和为；取M的一个5元子集，且C中任意4个元素的和大于，即，，，，；证明：若，，，从小到大取a个元素，…，，，或…，1，，…，，；则A中任意4个元素之和大于或等于，假设不成立，所以；证明：当时，把集合M的元素按和为分组，得：…，，所以A中至少有2个二元子集满足，，若把集合M的元素按和为0分组，得：…，，所以A中至少有3个二元子集满足，，，因为集合，，两两互不相交，与、、中每一个至多有一个公共元素，所以，，中必有一个与没有公共元素，不妨设，则的4个元素就是A的4个互异元素，而这4个元素的和为，又因为，所以【解析】取集合M的一个子集B，且使B中的4个元素的和为即可；取M的一个5元子集C，且使C中任意4个元素的和大于即可；假设，，，从小到大取a个元素得A，得出A中任意4个元素之和大于或等于0，假设不成立；时，把集合M的元素按和为分组，得集合M的子集，把集合M的元素按和为0分组，得集合M的子集；由此判断子集满足的条件，从而证明结论成立．本题考查了集合的新定义应用问题，也考查了推理与证明能力，是难题．。

【精选3份合集】北京市门头沟区2019-2020学年高考数学统考试题

2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设ln3a =，则lg3b=，则（）A．a b a b ab+>-> B．a b ab a b+>>- C．a b a b ab->+> D．a b ab a b->>+2．已知复数z满足()11z i i+=-（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．i-B．i C．1 D．1-3．“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n阶幻方()*3,n n≥∈N”是由前2n个正整数组成的—个n阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（）A．75 B．65 C．55 D．454．在ABC中，角、、A B C的对边分别为,,a b c，若tan2sin()a Bb B C=+．则角B的大小为() A．π3B．π6C．π2D．π45．已知等比数列{}n a满足13a=，13521a a a++=，则357a a a++=（）A．21B．42C．63D．846．已知函数()()2sin1f x xωϕ=+-（0>ω，0ϕπ<<）的一个零点是3π，函数()y f x=图象的一条对称轴是直线6xπ=-，则当ω取得最小值时，函数()f x的单调递增区间是（）A．3,336k kππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k∈Z）B．53,336k kππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k∈Z）C．22,236k kππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k∈Z）D．2,236k kππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k∈Z）7．点(,)P x y为不等式组+4x yy xy≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域上的动点，则+22-yx的取值范围是（）A．()(),21,-∞-⋃+∞B．(][),11,-∞-+∞C．()2,1-D．[]2,1-8．已知数列{}n a满足()*331log1logn na a n N++=∈,且2469a a a++=,则()13573log a a a++的值是( )A ．5B ．3-C ．4D ．9919．已知抛物线22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点且MN 为过焦点的弦，若||1OF =，||8MN =，则OMN 的面积为（）A．B．C．D．210．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x+2）＝f （x ），当x ∈[﹣3，﹣2]时，f （x ）＝﹣x ﹣2，则（） A ．66f sinf cos ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞ B ．f （sin3）＜f （cos3）C ．4433f sinf cos ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＜ D ．f （2020）＞f （2019）11．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B 两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（）AB ．32C ．53D12．已知集合{}10A x x =+≤，{|}B x x a =≥，若A B R =，则实数a 的值可以为（）A ．2B ．1C ．0D ．2-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年北京高考模拟试题(一卷)数学试卷答案

高考模拟试卷参考答案第 7 页共 7 页
高考模拟试卷参考答案第 3 页共 7 页
EX 0 7 1 31 2 6 11 --------------------------------------------11 分
50 50 25 10
（Ⅲ）
DY1
1 2
1 2
1 4
；
DY2
3 20
17 20
51 400
；
DY3
3 4
若 ,则前 4 项中有 2 项大于 3,因此
,矛盾.
即
且
,因此
.--(12 分)
假设当
时命题成立,则当
时,
构造数列 ,满足
,
可知
,
,同理
,
即
满足题设条件,由归纳假设可知
, ------(13 分)
因此
,
,
,
高考模拟试卷参考答案第 6 页共 7 页
即当
时命题成立,证毕.
-------(14 分)
连接 GH
GH AD, AD 2GH
…………1 分
底面 ABCD 是正方形，
AD BC, AD BC
…………2 分
BC=2EF ，BC EF
AD EF,AD=2EF EF HG,EF=HG
EFGH 是平行四边形 FG EH
…………4 分
FG 面ABE, EH 面ABE
40 40 50
PX 1 12 8 28 32 31
40 40 40 40 50
PX 2 12 32 6 --------------------------------------------9 分

2020年北京市门头沟区高考数学一模试卷(带答案)

根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，通过比较把你得到最重要的两个结论写在答案纸指定的空白处． ①______． ②______．
14. 已知两点 A（-1，0），B（1，0），若直线 x-y+a=0 上存在点 P（x，y）满足 • =0，
则实数 a 满足的取值范围是______． 15. 集合 A={（x，y）||x|+|y|=a，a＞0}，B={（x，y）||xy|+1=|x|+|y|}，
19. 已知椭圆 G： + =1（a＞b＞0），上顶点为 B（0，1），离心率为，直线 l：y=kx-2 交 y 轴于 C 点，交椭圆于 P，Q 两点，直线 BP，BQ 分别交 x 轴于点 M，N．（Ⅰ）求椭圆 G 的方程；（Ⅱ）求证：S△BOM•S△BCN 为定值．
①函数 f（x）的周期为 π；
第 2 页，共 13 页
②x= 是函数 f（x）的对称轴； ③f（）=0 且在区间（，）上单调．（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数 f（x）的解析式；（Ⅱ）若 x∈[0， ]，求函数 f（x）的值域．
17. 在四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 中，BC∥AD，CD⊥AD， PO⊥平面 ABCD，O 是 AD 的中点，且 PO=AD=2BC=2CD=2．（Ⅰ）求证：AB∥平面 POC；（Ⅱ）求二面角 O-PC-D 的余弦值；（Ⅲ）线段 PC 上是否存在点 E，使得 AB⊥DE，若存在指出点 E 的位置，若不存在，请说明理由．
C. （2，+∞）
D. （2，3）
3. 已知双曲线 C： - =1， C 的渐近线方程为（）
A. y=± x
B. y=± x
C. y=± x
D. y=± x

北京市门头沟区高考数学一模试卷(文科)

高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x2-2x-3＜0}，B={x|x≥0}，则A∩B等于（）A. （-1，3）B. [0，3）C. （-1，0]D. （-1，2]2.复数z满足z=，那么|z|是（）A. B. 2 C. 2 D.3.一个体积为12正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为（）A. 6B. 8C. 8D. 124.如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）A. c＞xB. x＞cC. c＞bD. b＞c5.向量，满足||=||=1，且其夹角为θ，则“||=1”是“θ=”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是（）A. B.C. D.7.已知△ABC中，AB=，BC=1，sin C=cos C，则△ABC的面积为（）A. 2B.C.D.8.函数f（x）=-x2+2ex+m-1，函数g（x）=x+（x＞0），（其中e为自然对数的底数，e≈2.718）若函数h（x）=f（x）-g（x）有两个零点，则实数m的取值范围为（）A. m＜-e2+2e+1B. m＞e2-2e+1C. m＞-e2+2e+1D. m＜e2-2e+1二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.若x，y满足条件，则z=x+2y的最大值为______．10.双曲线C：2x2-y2=1的渐近线方程是______．11.等比数列{a n}中，S3=21，2a2=a3则数列{a n}的通项公式a n=______．12.过抛物线y2=4x焦点且斜率为1的直线l与此抛物线相交于A，B两点，则|AB|=______．13.若函数f（x）满足对定义域上任意x1，x2都有不等式f（）＞成立，则称此函数为“P函数”，请你写出一个“P函数”的解析式______．14.一半径为4m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动（按逆时针方向）3圈，当水轮上点P从水中浮现时开始计时，即从图中点P0开始计算时间．（Ⅰ）当t=5秒时点P离水面的高度______；（Ⅱ）将点P距离水面的高度h（单位：m）表示为时间t（单位：s）的函数，则此函数表达式为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数f（x）=sin x cosx-cos2x+（x∈）．（1）求f（x）的周期及单调增区间；（2）若x∈[0，]时，求f（x）的最大值与最小值．16.在等差数列{a n}中，S n为其前n项的和，若S5=25，a10=19．（1）求数列{a n}的通项公式a n及前n项和S n；（2）若数列{b n}中b n=，求数列{b n}的前n和T n．17.在某区“创文明城区”（简称“创城”）活动中，教委对本区A，B，C，D四所高中学校按各校人数分层抽样，随机抽査了100人，将调查情况进行整理后制成如表：（注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值）假设每名高中学生是否参与”创城”活动是相互独立的．（Ⅰ）若该区共2000名高中学生，估计A学校参与“创城”活动的人数；（Ⅱ）在随机抽查的100名高中学生中，随机抽取1名学生，求恰好该生没有参与“创城”活动的概率；（Ⅲ）在表中从B，C两校没有参与“创城”活动的同学中随机抽取2人，求恰好B，C两校各有1人没有参与“创城”活动的概率是多少？18.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为6的菱形，且∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，PA=6，F是棱PA上的一动点，E为PD的中点．（Ⅰ）求此三棱锥D-PBC的体积；（Ⅱ）求证：平面BDF⊥平面ACF；（Ⅲ）若AF=2，侧面PAD内是否存在过点E的一条直线，使得直线上任一点M 都有CM∥平面BDF，若存在，给出证明，若不存在，请明理由．19.如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0），F1，F2分别为其左、右焦点，过F1的直线与此椭圆相交于D，E两点，且△F2DE的周长为8，椭圆C的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（0，1）与点Q（0，2），过P的动直线l（不与x轴平行）与椭圆相交于A，B两点，点B1是点B关于y轴的对称点．（i）Q，A，B1三点共线．（ii）=．20.已知f（x）=axe x在点（0，0）处的切线与直线y=x-2平行．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设g（x）=f（x）-b（+x）（b∈R）．（i）若函数g（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，求b的最大值；（ii）当b≤0时，判断函数g（x）有几个零点，并给出证明．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A={x|-1＜x＜3}；∴A∩B=[0，3）．故选：B．可解出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】A【解析】解：∵z==，∴|z|=．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】A【解析】解：设棱柱的高为h，由左视图知，底面正三角形的高是，由正三角形的性质知，其边长是4，故底面三角形的面积是=4由于其体积为，故有h×=，得h=3由三视图的定义知，侧视图的宽即此三棱柱的高，故侧视图的宽是3，其面积为3×=故选：A．此几何体是一个正三棱柱，正视图即内侧面，底面正三角形的高是，由正三角形的性质可以求出其边长，由于本题中体积已知，故可设出棱柱的高，利用体积公式建立起关于高的方程求高，再由正方形的面积公式求侧视图的面积即可．本题考点是简单空间图形的三视图，考查根据作三视图的规则几何体的直观图的能力以及利用体积公式建立方程求参数的能力，三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．4.【答案】A【解析】解：由流程图可知：第一个选择框作用是比较x与b的大小，故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，∵条件成立时，保存最大值的变量X=C故选：A．根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，由于该题的目的是选择最大数，因此根据第一个选择框作用是比较x与b的大小，故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，而且条件成立时，保存最大值的变量X=C．本题主要考察了程序框图和算法，是一种常见的题型，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：由||=1得||2=1，得||2+||2-2•=1，即1+1-2•=1，得2•=1，即•=，则cosθ===，即θ=成立，反之当θ=时，•=，则||2=||2+||2-2•=1+1-2×=1+1-1=1，即||=1成立，即“||=1”是“θ=”的充要条件，故选：C．根据向量模长与向量数量积的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合成立数量积与向量模长公式的关系是解决本题的关键．6.【答案】D【解析】解：对于A，AB为体对角线，MN，MQ，NQ分别为棱的中点，由中位线定理可得它们平行于面对角线，连接另一条面对角线，由三垂线定理可得AB垂直于MN，MQ，NQ，可得AB垂直于平面MNQ；对于B，AB为上底面的对角线，显然AB垂直于MN，与AB相对的下底面的面对角线平行，且与直线NQ垂直，可得AB垂直于平面MNQ；对于C，AB为前面的面对角线，显然AB垂直于MN，QN在下底面且与棱平行，此棱垂直于AB所在的面，即有AB垂直于QN，可得AB垂直于平面MNQ；对于D，AB为上底面的对角线，MN平行于前面的一条对角线，此对角线与AB所成角为60°，则AB不垂直于平面MNQ．故选：D．由中位线定理和异面直线所成角，以及线面垂直的判定定理，即可得到正确结论．本题考查空间线面垂直的判定定理，考查空间线线的位置关系，以及空间想象能力和推理能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：∵sin C=cos C，∴tan C=，∴C=，∵=，∴sin A=•sin C=，∴A=或，当A=时，∠C+∠A＞π，应舍去．∴A=，∴B=π--=，即三角形为直角三角形，∴S△ABC=AB•BC=××1=．故选：C．根据已知条件求得tan C的值，进而取得C，利用正弦定理求得sin A的值，求得A，利用内角和求得B，最后利用三角形面积公式求得答案．本题主要考查了正弦定理的应用．在求角的时候，一定注意角的范围．8.【答案】C【解析】解：由已知有h（x）=f（x）-g（x）=-x2+（2e-1）x-+m-1，所以h′（x）=-2x+（2e-1）+，由复合函数的单调性可得：h′（x）在（0，+∞）为减函数，又h′（e）=0，即0＜x＜e时，h′（x）＞0，x＞e时，h′（x）＜0，即函数h（x）在（0，e）为增函数，在（e，+∞）为减函数，即h（x）max=h（e）=e2-2e+m-1，函数h（x）=f（x）-g（x）有两个零点，则需h（x）max=h（e）=e2-2e+m-1＞0，即m＞-e2+2e+1，故选：C．由导数的应用得：函数h（x）在（0，e）为增函数，在（e，+∞）为减函数，由函数y=h（x）的最值可得：函数h（x）=f（x）-g（x）有两个零点，则需h（x）max=h （e）=e2-2e+m-1＞0，即m＞-e2+2e+1，得解本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值，属中档题9.【答案】2【解析】解：由x，y满足条件作出可行域如图，由z=x+2y，得y=x+z，由图可知，当直线y=x+z过可行域内点A时直线在y轴上的截距最大，z最大．联立，解得A（0，1）．∴目标函数z=x+2y的最大值为0+2×1=2．故答案为：2．由约束条件作出可行域，化目标函数z=x-2y为直线方程的斜截式，可知当直线在y轴上的截距最小时z最大，结合图象找出满足条件的点，联立直线方程求出点的坐标，代入目标函数可求z的最大值．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，关键是正确作出可行域，是中档题．10.【答案】【解析】解：∵双曲线2x2-y2=1的标准方程为：∴，b2=1，可得a=，b=1又∵双曲线的渐近线方程是y=±x∴双曲线2x2-y2=1的渐近线方程是y=±x故答案为：y=±x将双曲线化成标准方程，得到a、b的值，再由双曲线的渐近线方程是y=±x，即可得到所求渐近线方程．本题给出双曲线方程，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的简单几何性质，属于基础题．11.【答案】3×2n-1【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．设等比数列{a n}的公比为q，由S3=21，2a2=a3，可得：a1（1+q+q2）=21，2=q，解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵S3=21，2a2=a3，∴a1（1+q+q2）=21，2=q，解得a1=3．数列{a n}的通项公式a n=3×2n-1．故答案为：3×2n-1．12.【答案】8【解析】解：抛物线焦点为（1，0），且斜率为1，则直线方程为y=x-1，代入抛物线方程y2=4x得x2-6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）∴x1+x2=6根据抛物线的定义可知|AB|=x1++x2+=x1+x2+p=6+2=8，故答案为：8．先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y，根据韦达定理求得x1+x2=的值，进而根据抛物线的定义可知|AB|=x1++x2+，求得答案．本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质．对学生基础知识的综合考查．关键是：将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系，利用弦长公式即可求得|AB|值，从而解决问题．13.【答案】f（x）=log2x【解析】解：函数f（x）满足对定义域上任意x1，x2都有不等式f（）＞成立，则称此函数为“P函数”，函数的图象如图：所以“P函数”的解析式可以为：f（x）=log2x．故答案为：f（x）=log2x．判断“P函数”的图象特征，然后找出满足题意的函数的即可．本题考查函数与方程的应用，函数的图象的特征是解题的关键．14.【答案】（Ⅰ）(2+2)m；（Ⅱ）h（t）=4sin（t-）+2【解析】【分析】本题考查了函数y=A sin（ωx+φ）的图象与应用问题，理解函数解析式中参数的物理意义，是解题的关键．（Ⅰ）根据题意，利用直角三角形的边角关系，即可求出5秒后点P离开水面的距离；（Ⅱ）由题意求出ω的值，然后结合t=0时h（0）=0求出φ的值，求得函数的解析式．【解答】解：（Ⅰ）t=5秒时，水轮转过角度为×5=，如图，在Rt△MOP0中，MP0=2，∴∠MOP0=；在Rt△AON中，∠AON=，∴AN=4×sin=2，此时点A即点P离开水面的高度为(2+2)m；（Ⅱ）由题意可知，ω==，设角φ（-＜φ＜0）是以Ox为始边，OP0为终边的角，由条件得h（t）=4sin（t+φ）+2，其中（-＜φ＜0）；将t=0，h（0）=0代入，得4sinφ+2=0，∴φ=-；∴所求函数的解析式为h（t）=4sin（t-）+2．故答案为：（Ⅰ）(2+2)m；（Ⅱ）h（t）=4sin（t-）+2．15.【答案】解：（1）f（x）=sin2x-cos2x=sin（2x-），∴函数的周期T=，由2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈，得kπ-≤x≤kπ+，k∈，即函数的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈．（2）若x∈[0，]时，则2x-∈[-，]，则当2x-=-时，函数f（x）取得最小值为sin（-）=-，当2x-=时，函数f（x）取得最大值为sin=1．【解析】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用二倍角公式以及辅助角公式进行化简是解决本题的关键．（1）利用二倍角公式和辅助角公式进行化简，然后求解即可．（2）求出角2x-的范围，结合三角函数的性质进行求解．16.【答案】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵S5=25，a10=19．∴5a1+d=25，a1+9d=19，联立解得：a1=1，d=2．∴a n=1+2（n-1）=2n-1．S n==n2．（2）b n===，∴数列{b n}的前n和T n===．【解析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由S5=25，a10=19．可得5a1+d=25，a1+9d=19，联立解得：a1，d．即可得出．（2）b n===，利用裂项求和即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（I）A学校高中生的总人数为50÷=1000人．A学校参与“创城”活动的人数为1000×=800人（II）设恰好该生没有参与“创城”活动这一事件为M，则P（M）=．（II）B校这5人分别记为A1，A2，A3，A4，A5，C校这1人记为B，任取2人共有A1A2，A1A3，A1A4，A1A5，A1B，A2A3，A2A4，A2B，A2A5，A3A4，A3B，A3A5，A4A5，A4B，A5B，15种情况，设事件N为抽取2人中B，C两校各有1人参与”创城”活动，则P（C）==．【解析】（Ⅰ）根据抽查比例进行计算即可．（Ⅱ）根据古典概型的概率公式进行计算即可．（Ⅲ）利用列举法结合古典概型的概率公式进行计算即可．本题主要考查分层抽样的应用以及古典概型的概率计算，利用列举法是解决本题的关键．比较基础．18.【答案】解：（Ⅰ）由题意得PA⊥平面ABCD，=18．证明：（Ⅱ）由题意知，PA⊥平面ABCD，则BD⊥PA，又底面ABCD是菱形，BD⊥AC，∴BD⊥平面PAC，∴平面BDF⊥平面ACF．解：（Ⅲ）设G是PF的中点，连结EG，CG，OF，则EG∥FD，CG∥OF，∵EG∩CG=G，FD∩OF=F，∴平面CEG∥平面FBD，∴直线EG上任一点M都满足CM∥平面BDF．【解析】（Ⅰ）由PA⊥平面ABCD，，由此能求出结果．（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，得BD⊥PA，由底面ABCD是菱形，得BD⊥AC，从而BD⊥平面PAC，由此能证明平面BDF⊥平面ACF．（Ⅲ）设G是PF的中点，连结EG，CG，OF，则EG∥FD，CG∥OF，由此能证明平面CEG∥平面FBD，从而直线EG上任一点M都满足CM∥平面BDF．本题考查三棱锥的体积的求法，考查面面垂直的证明，考查线面平行的点是否存在的判断与证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）∵△F2DE的周长为8，∴4a=8，即a=2，∵e==，∴c=，∴b2=a2-c2=2，故椭圆C的方程为+=1（Ⅱ）（i）证明：当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴两端点，满足Q，A，B1三点共线．当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=kx+1，联立，得（1+2k2）x2+4kx-2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则B1（-x2，y2），x1+x2=-，x1x2=-，=（x1，y1-2），=（-x1，y2-2），∵x1（y2-2）+x2（y1-2）=x1（kx2-1）+x2（kx1-1）=2kx1x2-（x1+x2）=+=0．∴与共线，则Q，A，B1三点共线．（ii）由（i）可知Q，A，B1三点共线，∴===∴=【解析】（Ⅰ）由三角形的周长可得a=2，根据离心率可得c=，即可求出b2=2，则椭圆方程可求；（Ⅱ）（i）当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴两端点，满足Q，A，B′三点共线．当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=kx+1，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，然后利用向量证明．（ii）由（i）可知Q，A，B1三点共线，即===，问题得以证明本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由题意求f（x）的导数，得f′（x）=ae x（x+1），当x=0时，得f（x）在点（0，0）处的切线斜率为f′（0）=a=1，即实数a的值为1；（Ⅱ）（i）g（x）=f（x）-b（+x）=xe x-b（+x），g′（x）=（x+1）（e x-b），当x∈[0，+∞）时，若b≤1，则e x-b≥0，所以g′（x）≥0，g（x）是单调增函数，所以g （x）≥g（0）=0；当x∈[0，+∞）时，若b＞1，令g′（x）=0，解得x1=-1（舍去），x2=ln b＞0，g（x）在（0，ln b）内单调递减，则g（ln b）＜g（0）=0，所以g（x）≥0不恒成立；所以函数g（x）≥0在[0，+∞）上恒成立时，b的最大值为1；（ii）g（x）=xe x-b（+x）=x[e x-b（+1）]，显然g（x）有一个零点为0；设h（x）=e x-b（+1），则h′（x）=e x-b，当b=0时，h（x）=e x无零点，所以g（x）只有一个零点0；当b＜0时，h′（x）=e x-b＞0，所以h（x）在R上单调递增，且h（0）=1-b＞0，h（-2）=-1＜0，由零点存在性定理知，h（x）在（-∞，0）上有唯一零点x0，所以g（x）有2个零点；综上所述，b=0时，g（x）只有1个零点；b＜0时，g（x）有2个零点．【解析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，利用f′（0）=1列方程求出a的值；（Ⅱ）（i）求函数g（x）的导数，利用导数判断g（x）在x∈[0，+∞）内的单调性，求出g（x）≥0时b的最大值；（ii）化简g（x）知0是g（x）的一个零点，再构造函数，利用导数研究函数的单调性与最值，判断函数是否存在零点，从而让得出g（x）有几个零点．本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了函数零点应用问题，是中档题．。

北京市门头沟2020年高三综合练习数学试题及答案

D A B C P 北京市门头沟区2020年高三综合练习数学 2020.4一、选择题（本大题共8个小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 设全集U = {}0,1,2,3,4,5，集合{1,3},{3,5}A B ==，则U ()C A B U =A ．｛0，4｝B ．｛1，5｝C ．｛2，0，4｝D ．｛2，0，5｝2. 复数z 满足23z i i=-，复数z 对应的点在复平面的 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D. 第四象限3.对于函数()sin (,,)f x a x bx c a b R c Z =++∈∈,计算(1)f 和(1)f -，所得出的正确结果一定不可能是A ．4和6B ．3和1C ．2和4D ．1和2 4. 抛物线28y x =焦点F 到双曲线22:13y C x -=的一条渐近线的距离是 A ．1 B ．2 C ．3 D 35. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第五天走的路程为A. 48里B. 24里C. 12里D. 6里6.在直角梯形ABCD 中，0//,90AB CD DAB ∠=，且222,AB CD AD P ===是BC 的中点，则PD PA ⋅u u u r u u u r 为A ．94B ．3C ．2D ．527. 已知函数)sin()(ϕω+=x A x f )||,0,0(πϕω<>>A 的部分图像如图所示，则“2m ≥”是“函数()f x m ≤对[0,8]x ∈恒成立”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.某电力公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的，按照综合得分的高低进行综合排序，综合排序高者中标。

2020年北京各区高三一模数学试题分类汇编(一)

2020年北京各区高三一模数学试题分类汇编（一）复数（2020海淀一模）（1）在复平面内，复数i(2i)-对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（2020西城一模）2.若复数z =(3−i)(1+i),则|z|= (A)2√2(B)2√5(C)√10(D)20（2020东城一模）(3) 已知21i ()1ia +a =-∈R ，则a =(A) 1 (B) 0 (C) 1- (D)2-（2020朝阳一模）（11）若复数21iz =+，则||z =________．（2020石景山一模） 2. 在复平面内，复数5+6i , 3-2i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C对应的复数是 A. 8+4iB. 2+8iC. 4+2iD. 1+4i（2020丰台一模）3．若复数z 满足i 1iz=+，则z 对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（2020西城5月诊断）02．若复数z 满足i 1i z ⋅=-+，则在复平面内z 对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限集合（2020海淀一模）（2）已知集合{ |0 3 }A x x =<<，A B ={ 1 }，则集合B 可以是（2020西城一模）1.设集合A ={x|x <3},B ={x|x <0,或x >2},则A ∩B = (A)(−∞,0)(B)(2,3) (C)(−∞,0)∪(2,3)(D)(−∞,3)（2020东城一模）(1) 已知集合{}1>0A x x =-，{}1012B =-，，，，那么A B =(A){}10-， (B) {}01， (C) {}1012-，，， (D) {}2（2020朝阳一模）（1）已知集合{}1,3,5A =，{}|(1)(4)0B x x x =∈--<Z ，则AB =（A ）{ 1 2 }，（B ）{ 1 3 }，（C ）{ 0 1 2 }，，（D ）{ 1 2 3 }，，（A ）{}3（B ）{}1,3 （C ）{}1,2,3,5 （D ）{}1,2,3,4,5（2020石景山一模）1. 设集合}4321{，，，=P ，},3|||{R x x x Q ∈≤=，则Q P ⋂等于 A. {}1 B. {}1,23，C. {}34，D. {}3,2,1,0,1,2,3---（2020西城5月诊断）01．设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则AB =（A ）{}0,2 （B ）{}2,2-（C ）{}2,0,2-（D ）{}2,1,0,1,2--（2020丰台一模）1．若集合{|12}A x x =∈-<<Z ，2{20}B x x x =-=，则AB =（A ）{0} （B ）{01}，（C ）{012}，，（D ）{1012}-，，，（2020石景山一模）15. 石景山区为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名一线中小学教师组成的支教团队，记者采访其中某队员时询问这个团队的人员构成情况，此队员回答：①有中学高级教师；②中学教师不多于小学教师；③小学高级教师少于中学中级教师；④小学中级教师少于小学高级教师；⑤支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；⑥无论是否把我计算在内，以上条件都成立.由此队员的叙述可以推测出他的学段及职称分别是_______、_______．计数原理（2020朝阳一模）（6）现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为（A ）23 （B ） 25 （C ） 35 （D ） 910（2020石景山一模）5. 将4位志愿者分配到博物馆的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（）种 A. 36B. 64C. 72D. 81二项式定理（2020海淀一模）（5）在61(2)x x-的展开式中，常数项为（A ）120- （B ）120（C ）160- （D ）160（2020西城一模）11.在(x +1x )6的展开式中,常数项为.(用数字作答)（2020东城一模）(12) 在62()x x+的展开式中常数项为 . (用数字作答)三角函数与解三角形（2020海淀一模）（6）如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动.当圆M 滚动到圆M '时，圆M '与直线l 相切于点B ，点A 运动到点A '，线段AB 的长度为3π2，则点M '到直线BA '的距离为（A ）1 （B ）32 （C ）22（D ）12（2020西城一模）9.已知函数f(x)=sinx1+2sinx 的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有 ①绕着x 轴上一点旋转180°; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. (A)①③(B)③④(C)②③(D)②④（2020东城一模）(7)在平面直角坐标系中，动点M 在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点M 的初始位置坐标为(,)1322，则运动到3分钟时，动点M 所处位置的坐标是 (A)(,)3122 (B) (,)-1322(C) (,)-3122(D) (,)--3122（2020朝阳一模）（8）已知函数()=3sin()(>0)f x ωxφω的图象上相邻两个最高点的距离为π，则“6ϕπ=”是“()f x 的图象关于直线3x π=对称”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（2020石景山一模）（2020丰台一模）9. 将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象，且(0)1g =，下列说法错误．．的是（A ）()g x 为偶函数（B ）π()02g -=（C ）当5ω=时，()g x 在π[0]2,上有3个零点（D ）若()g x 在π[]50,上单调递减，则ω的最大值为9（2020西城5月诊断）05．在ABC ∆中，若::4:5:6a b c =，则其最大内角的余弦值为（A ）18（B ）14（C ）310 （D ）35（2020西城5月诊断）13．设函数2()sin 22cos f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期为____；若对于任意x ∈R ，都有()f x m ≤成立，则实数m 的最小值为____．（2020西城一模）14.函数f(x)=sin(2x +π4)的最小正周期为 ;若函数f(x)在区间(0,α)上单调递增,则α的最大值为.（2020海淀一模）（14）在△ABC中，AB =4B π∠=，点D 在边BC 上，23ADC π∠=，2CD =，则AD = ；△ACD 的面积为 . （2020东城一模）(14)ABC 是等边三角形，点D 在边AC 的延长线上，且3AD CD =，BD =则CD = ，sin ABD ∠= .（2020海淀一模）（17）（本小题共14分）已知函数212()2cos sin f x x x ωω=+．（Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）从①11ω=，22ω=； ②11ω=，21ω=这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数()f x 在[2π-,7.函数()cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π，则()f x 满足A. 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B. 图象关于直线6x π=对称C. 32f π⎛⎫= ⎪⎝⎭D. 当512x π=时有最小值1-]6π上的最小值，并直接写出函数()f x 的一个周期. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。

2020年高考一模数学试题及答案(数学)

(Ⅰ)试估计在这 50 万青年学生志愿者中,英语测试成绩在 80 分以上的女生人数;
(Ⅱ)从选出的 8 名男生中随机抽取 2 人,记其中测试成绩在 70 分以上的人数为 X,求的分布列和数学期望;
(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于 5000),并在每组中随机选取个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有 1 人的英语测试成绩在 70 分以上的概率大于 90%.根据图表中数据,以频率作为概率,给出的最小值.(结论不要求证明)
.
2/5
14.函数吠h ⸶ .
h吠 h的最小正周期为
;若函数吠h在区间 ㄱㄠ h上单调递增,则的最大值为
15.在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有 100 名学生参加,其中:甲校男生成绩的优秀率为 70%,女生成绩的优秀率为 50%;乙校男生成绩的优秀率为 60%,女生成绩的优秀率为 40%.对于此次测试,给出下列三个结论:
第Ⅱ卷(非选择题共 110 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
11.在吠吠 h 的展开式中,常数项为
.(用数字作答)
12.若向量 ⸶ 吠hㄠhhㄠ ⸶ ㄠ吠h满足 ㄰ 㸴,则实数吠的取值范围是
.
13.设双曲线吠h t
h
h⸶
t ㄱh的一条渐近线方程为
⸶
h h
吠,则该双曲线的离心率为
h,设ㄠ hㄠㄠ h是的一个“正整数分拆”,
且 ⸶ h,求的最大值;
(Ⅲ)对所有的正整数 ,证明: 쳌 ;并求出使得等号成立的的值.
(注:对于的两个“正整数分拆” ㄠ hㄠㄠ h与ㄠ hㄠㄠ h,当且仅当 ⸶ 且 ⸶ ㄠ h ⸶ hㄠㄠ ⸶ 时, 称这两个“正整数分拆”是相同的.)

2020门头沟一模数学

23门头沟区 2020 年高三综合练习评分标准数学2 0 2 0 . 3一、选择题（本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.复数 2i (1+ i ) 的模为（）1 A.B. 1C. 2D . 2 22.集合 A = {x x > 2 , x ∈ R }, B = {x x 2- 2x - 3 > 0} ，则 A B = （）A . (3, +∞)B. (-∞, -1) (3, +∞)C.(2, +∞) D. (2,3)3. 已知双曲线C : x y 2- = 1，则C 的渐近线方程为（）A ． y = ± 949 4 xB ． y = ± 4 x 9 C. y = ± 3 x 2D. y = ± 2 x34. 若等差数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S 13 = 0 ， a 3 + a 4 = 21 ，则 S 7 的值为A. 21 B . 63 C. 13 D. 845. 某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为 1 的等腰直角三角形和边长为 1 的正方形，则该几何体中最长的棱长为A.B .C. 1D.解：由题意可知，此几何体如图所示，底面为一个直角三角形，高为 1，最长的棱为正方体的主对角线，长为 26323 PMPF - 1 3 6. 设向量a , b 满足的b = 2, a= 1 ，且b 与 a 的夹角为θ。

则“ b - a = π”是“θ= ” 3A.充分非必要条件 B. 必要非充分条件C .充分必要条件D. 既不充分也不必要条件解： b - a = ⇔ 4 +1- 2a ⋅ b = 3 ⇔ a ⋅ b = 1 ⇔ θ= π选 C 【利用向量几何运算更易】3⎧ 2x 7.已知函数 f (x ) = ⎨ ⎩ln x 数根，则实数 a 的取值范围 (x ≤ 0) (x > 0)，且关于 x 的方程 f (x ) + x - a = 0 有且只有一个实A. [0, +∞)B .(1, +∞)C.(0, +∞) D. [-∞,1)解： f (x ) + x - a = 0 ⇔ f (x ) = a - x 作图可得：Bπ8. 若函数 f (x ) = sin 2x 的图象向右平移个单位长度得到函数 g (x ) 的图象，若函数6g (x ) 在区间[0, a ] 上单调递增，则a 的最大值为ππ5π A.B.C .2312π 7π D.12π π5π解： g (x ) = sin(2x - ) ，g (a ) 为最大值， a 的最大值 2a - = ⇒ a = ，选 C33 2 129. 已知点 M (2, 0) ，点 P 在曲线 y2= 4x 上运动，点 F 为抛物线的焦点，2则的最小值为A.B. 2（ -1)C.4D. 4解：设 P (x , y ) 是抛物线上任一点，(x - 2)2 + y 2x 2 + 4 4抛物线的焦点为 F (1, 0) ，= == x + ≥ 4xxx3 5 5PM 2PF -16 610. 一辆邮车从 A 地往 B 地运送邮件，沿途共有n 地，依次记为 A 1 , A 2 , A n （ A 1 为 A 地，A n 为B 地）。

北京市门头沟区高考数学一模试卷(文科)

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20.难度：中等
已知数列{An}的前n项和为Sn，a1=1，满足下列条件
①∀n∈N*，an≠0；
②点Pn（an，Sn）在函数f（x）= 的图象上；
（I）求数列{an}的通项an及前n项和Sn；
（II）求证：0≤|Pn+1Pn+2|-|PnPn+1|＜1．
17.难度：中等
如图已知平面α，β，且α∩β=AB，PC⊥α，PD⊥β，C，D是垂足．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面PCD；
（Ⅱ）若PC=PD=1，CD= ，试判断平面α与平面β的位置关系，并证明你的结论．
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18.难度：中等
某学校有两个参加国际中学生交流活动的代表名额，为此该校高中部推荐了2男1女三名候选人，初中部也推荐了1男2女三名候选人．
A．1
B．lg3-lg2
C．-1
D．lg2-lg3
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5.难度：中等
如图所示，为一几何体的三视图，则该几何体的体积是（）
A．1
B．
C．
D．
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6.难度：中等
若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a+b）2-c2=4，且C=60°，则ab的值为（）
A．
B．
C．1
D．
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7.难度：中等
三、解答题
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15.难度：中等
已知函数f（x）=sin2x+cosxcos（ -x）．
（Ⅰ）求f （）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及值域．
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（Ⅰ）f（x）在x=-1处的切线与x轴平行，求b的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
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北京市门头沟区高考数学一模试卷（文科）

2020年北京高三一模分类汇编集合(含答案)

2020北京各区高三数学一模分类汇编—集合1、（2020北京朝阳一模）已知集合{}1,3,5A =，{}|(1)(4)0B x x x =∈--<Z ，则A B =（A ）{}3（B ）{}1,3（C ）{}1,2,3,5（D ）{}1,2,3,4,52、（2020北京东城一模）已知集合，，那么(A) (B)(C)(D)3、（2020北京房山一模）已知集合则 z4、（2020北京丰台一模）若集合，，则（A ）（B ）（C ）（D ）5、（2020北京适应一模）已知集合则（A ）（B ）（C ）（D ）6、（2020北京高考模拟一模）已知集合，，则A ．，B ．，C ．，D ．7、（2020北京海淀一模）己知集合，则集合B 可以是A. B.C.D.8、（2020北京密云一模）已知集合，则A. B.C. D.9、（2020北京密云一模）已知集合A={x|x>-1},集合B={x|x(x+2)<0},那么A∪B等于A.{x|x>-2}B.{x|-1<x<0}C.{x|x>-1}D.{x|-1<x<2}10、（2020北京人大附一模）若集合,则集合等于()A. B.C. D.11、（2020北京15中一模）若集合A＝{x|x2+2x＜0}，B＝{x||x|＞1}，则A∩B＝（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1} D．{x|1＜x＜2}12、（2020北京石景山一模）设集合，则等于A. B.C. D.13、（2020北京顺义一模）已知集合那么A. B.C. D.14、（2020北京通州一模）已知集合，，则A. B.C. D.15、（2020北京西城一模）设集合则(A) (B)(C) (D)16、（2020北京延庆一模）已知集合,且则的取值范围是17、（2020北京11中一模）已知集合，，则（）A． B．C． D．18、（2020北京11校一模）若集合则“”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件2020北京各区高三数学一模分类汇编—集合参考答案1、C2、D3、34、C5、C6、D7、B8、C9、A10、 D11、 A12、 B13、 C14、 D15、 C16、17、 B18、 A。

北京市各区2020年高考数学一模试题分类解析(6)数列理

六、数列2.（ 2020 年海淀一模理 2）在等比数列{ a n}中，a1= 8，a4= a3a5，则a7 =（ B ）A．1B ．1C．1D．1 168427.（ 2020 年西城一模理7）设等比数列{ a n}的各项均为正数，公比为q，前n项和为S n．若对n N*，有 S2 n3S n，则q的取值范围是（ A ）A．(0,1]B． (0, 2)C．[1,2)D． (0, 2)6．（ 2020 年东城一模理6）已知x，y，z R，若1，x， y ，z， 3 成等比数列，则xyz 的值为（C）A．3B． 3C．33D． 3 310．（ 2020 年丰台一模理 10）已知等比数列{ a n}的首项为1，若4a1，2a2， a 成等差数3列，则数列{1}的前 5 项和为 ______．a n答案：31. 162．（ 2020 年门头沟一模理2）在等差数列a n中，a1 3 ， a3 2 ，则此数列的前10 项之和S10等于（B）A. 55.5B. 7.5C. 75D.153.（2020 年旭日一模理3）已知数列{a n } 的前 n 项和为S n，且 S2an1(n N ) ，则 a5n（B ）A.16B.16C.31D.3210. （ 2020 年石景山一模理10）等差数列a n前9项的和等于前 4 项的和．若a4a k0 ，则 k =________ ．答案： 10。

2．（2020 年密云一模理2）设S n为等比数列a n的前n项和，8a2a50 ，则S5（ D ）S2A．11B．5C．8D．1120. （ 2020 年丰台一模理20）已知函数 f ( x) x2x ， f '( x) 函数 f (x) 的函数．（Ⅰ）若数列 { a n } 足 a n 1 f '(a n ) ，且 a11，求数列 { a n } 的通公式；（Ⅱ）若数列 { b n } 足b1 b ， b n 1 f (b n ) ．（ⅰ）能否存在数b，使得数列 { b n} 是等差数列？若存在，求出b的；若不存在，明原因；n b i1（ⅱ）若 b>0，求：．i 1 b i 1b解：（Ⅰ）因 f ( x)x2x ，因此 f '( x) 2x 1 ．因此a n 12a n1，因此 a n 1 12(a n1) ，且 a1 1 11 2 ，因此数列 { a n1} 是首2，公比2的等比数列．因此 a n 1 2 2n 12n，即 a n 2n1．⋯⋯4分（Ⅱ）（ⅰ）假存在数 b ，使数列{ b n}等差数列，必有2b2b1 b3，且 b 1 b ， b 2f (b 1 ) b 2 b ， b 3 f (b 2 ) (b 2b)2(b 2 b) ．因此 2(b 2 b) (b 2 b)2(b 2b) b ，解得 b 0 或 b 2 ．当 b 0 ， b 10 ， b n 1f (b n ) 0，因此数列 { b n } 等差数列；当 b2 ， b 1 2 ， b 2 2 ， b 36 ， b 442 ，然不是等差数列．因此，当 b 0 ，数列 { b n } 等差数列．⋯⋯9分（ⅱ） b 1b 0 ， b n1f (b n ) ， b n 1 f (b n ) b n2b n ；因此 b n 2 bn 1b n ；因此b n b n b n b n2bn 1b n 11b n 1b n 1 b nb n 1 b nb n 1 b n b n．b n 1因 b n 2 bn 1bn0 ，因此 b n 1b nbn 1L b 1b 0 ；因此nb i ( 1 1) (11 ) L (11 ) 1 11 ．i 1 b i 1 b 1 b 2 b 2 b 3b nb n 1 b b n 1b20（. 2020 年城 11 校考理 20）直 l 1 : y kx1 k ( k 0, k1)与 l 2 : y1 x 1222订交于点 P . 直 l 1 与 x 交于点 P 1 ，点 P 1 作 x 的垂交直 l 2 于点 Q 1 ，点 Q 1 作 y的垂交直 l 1 于点 P 2 ，点 P 2 作 x 的垂交直 l 2 于点 Q 2 ，⋯，向来作下去，可获得一系列 P 1, Q 1 , P 2 ,Q 2 ，⋯，点 P n (n 1,2,L ) 的横坐组成数列 x n . （ 1）当 k2 ，求点 P 1 , P 2 , P 3 的坐并猜出点 P n 的坐；（2）明数列 x n1是等比数列，并求出数列x n 的通公式；（ 3）比2 | PP n |2 与 4k 2 | PP 1 |2 5的大小 .解： (1)P 11,0 ,P 2 7 , 3 , P 3 31, 15 , 可猜得 P n22n 1 1 , 2 2n 2 1 .2 8 4 32 1622n 122n 2⋯⋯4分（ 2）点 P n 的坐是 (x n , y n ) ，由已知条件得点Q n , P n1 的坐分是：( x n , 1 x n1), ( x n 1, 1x n2 22由 P n 1 在直 l 11 kx n 1 k. 1 上，得22 xn1因此 1(x n1)k (x n 1 1), 即 x11(xn 2n 12k因此数列 { x n 1} 是首 x 11, 公比1 的等比数列2k1 ).21), n N.由知x 1 11, x 1 11 0,kk进而 x n 11( 1)n 1,即 x n 1 2 ( 1) n , n N .⋯⋯9分k2k2ky kx 1 k,（3）由y1 x 1 得点 P 的坐（1， 1）.,22因此2 | PP n |2 2(x n 1) 22(kx n 1 k 1) 28 ( 1 )2 n 2( 1 ) 2n 2 ,12k 2k4k 2254k 2[(1 1)2 (01)2] 5 429.|PP 1 |kk（i ）当 | k |1,即 k1或 k1， 4k 2 | PP 1 |251910,222而此0 |1 | 1,因此2 | PP n |2 8 1 2 10.故 2 | PP n |2 4k 2 | PP 1 |25.2k（ii）当 0| k |1,即 k( 1 ,0) ( 0, 1) ， 4k 2 | PP 1 |25 1 910 .22 2而此| 1 | 1,因此 2 | PP n |2 8 1 2 10.故 2 | PP n |2 4k 2 | PP 1 |2 5. 14 分2k20. （ 2020 年房山一模 20）在直角坐平面上有一点列P 1 (x 1, y 1 ), P 2 ( x 2 , y 2 ) , P n ( x n , y n )，全部正整数 n ，点 P n 位于函数 y 3x13的541 公差的等差数列x n ．（ I ）求点 P n 的坐；象上，且 P n 的横坐组成以首，2（II ）抛物列 c 1, c 2 ,c 3 , , c n , , 中的每一条的称都垂直于x ，第 n 条抛物 c n的点 P n ，且点 D n (0, n 21) ，与抛物c n 相切于 D n 的直的斜率 k n ，求： 11 1 ；（ III ） Sx | x2x n , n N * ,Ty | y 4 y n , n N * ，k 1 k 2 k 2 k 3k n 1k n等差数列a n 的任一 a n S I T ，此中 a 1 是 S I T 中的最大数，265a10125 ，求 a n 的通公式．解：（ I ） x n5 (n1) ( 1)n3⋯⋯⋯2分2 2y n3 x n13 3n5, P n ( n 3 3n5 ⋯⋯⋯ 3分44 , )24（II）c n 的称垂直于 x ，且点P n . c n 的方程：y a(x 2n3) 2 12n 5 , ⋯⋯5 分把 D n (0, n 2 2 41) 代入上式，得a 1 ，c n 的方程： y x 2 (2n 3) x n 21 .⋯⋯7 分y2x 2n 3当 x0 ， k n2n 311111)k n 1 kn((2n 1)(2n 3) 2 2n 1 2n 3111 1 1 1 1 1 (11)]k 1 k 2k 2 k 3k n 1kn[( ) ()2 5 77 92n 1 2n 31 1 1)11⋯⋯9分= (52n 10 4n 62 3（III） S { x | x(2n 3), n N , n 1} ，T { y | y(12 n 5), nN , n 1} { y | y 2(6n 1) 3, nN , n1}S I TT ,T 中最大数 a 117 .⋯⋯10 分{a n }公差 d ， a 1017 9d ( 265, 125) ，由此得248 d 12, 又 a nTd12m( mN *),9d24, a n 724n(n N *).20．（ 2020 年沟一模理20）数列 a n足 a 11, a n 1a n 2 (n 1,2,L ) ．3a n 2 a n 1（Ⅰ）求 a 2 ， a 3 ； ( Ⅱ ) 求 :a 1 a 2a n1 a n 1；（Ⅲ）求 :2 1 a n11 1a 1 a 2a n 11232n 1232 n．解：（Ⅰ） a 211 ⋯⋯⋯ 2分， a 3 437明：（Ⅱ）由 a na n 2知1 1 11a n 2 a n 1a n 1a n 21，a n1 11 ( 11) ．（ 1）an 1a na nan 1a 2a因此nna n ,1an 11 a n1 a n即a na n a n1．⋯⋯5分1 a n1 a n 1进而a 1 a 2a na 1 a 2a 2 a 3 a nan 11 a 11 a2 1 a 21 a 31 a n1 a n 1a 1 a n 11a n 1．⋯ 7 分1 a 11 a n 12 1 a n 1(Ⅲ) 明11a 1 a 2a n1 1等价于2 32n 12 32 n明111an 11 1，2 32n 12 1 a n 1 232n即32n 11 a n 132n．（ 2）⋯ 8 分an 1当 n 1 ，1 a 26， 321 16321，a 2即 n 1 ，（ 2）建立．nk( k 1) ，（ 2）建立，即32k11ak 132 k．ak 1当 nk 1 ，由（ 1）知1 a k 21 1 a k 1)1 a k 1) 232k⋯⋯ 11分a k 2(a k 1 (a k 1；a k 1又由（ 1）及 a 11 1a n ( n 1) 均整数，3知a n1 a k 132k1 a k 132k1即13 2k，进而由a k有ak 11a k 11 a k 21 1 a k 132 k32k32k 1因此ak 1ak 1，ak 2即（ 2）n k 1也建立．因此（ 2）n1的正整数都建立，即11a1 a2a n11n n 1 的正整数都建立．⋯13 分2n 123232。

2022年北京市门头沟区高考数学一模试卷+答案解析(附后)

2022年北京市门头沟区高考数学一模试卷1.已知集合，，则( )A. B.C. D.2.复数对应的点在复平面内的( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.函数的图像与函数的图像关于y轴对称，则( )A. 2B.C. 4D. 14.若点为圆C：的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )A. B. C. D.5.已知抛物线，O为坐标原点，过其焦点的直线l与抛物线相交于A，B两点，且，则AB中点M到y轴的距离为( )A. 2B. 3C. 5D. 66.已知，，，则( )A. B. C. D.7.“角，的终边关于原点O对称”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知D是边长为2的正边BC上的动点，则的取值范围是( )A. B. C. D.9.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于M，若，则C的渐近线方程为( )A. B. C. D.10.新型冠状病毒肺炎严重影响了人类正常的经济与社会发展．我国政府对此给予了高度重视，采取了各种防范与控制措施，举国上下团结一心，疫情得到了有效控制．人类与病毒的斗争将是长期的，有必要研究它们的传播规律，做到有效预防与控制，防患于未然．已知某地区爆发某种传染病，当地卫生部门于4月20日起开始监控每日感染人数，若该传染病在当地的传播模型为表示自4月20日开始单位：天时刻累计感染人数，的导数表示t时刻的新增病例数，，根据该模型推测该地区新增病例数达到顶峰的日期所在的时间段为( )A. 4月30日月2日B. 5月3日月5日C. 5月6日月8日D. 5月9日月11日11.在的展开式中，的系数为______用数字作答12.下表记录了某地区一年之内的月降水量．月份123456789101112月降水量584853465656517156536466根据上述统计表，该地区月降水量的中位数是______；分位数是______.13.在中，，，，则______；D为BC的中点，则AD的长为______.14.请举出一个各项均为正数且公差不为0的等差数列，使得它的前n项和满足：数列也是等差数列，则______.15.如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，且，，平面ABCD，F，O分别是PA，BD的中点，E是线段PB上的动点，给出下列四个结论：①；②；③直线PO与底面ABCD所成角的正弦值为；④面积的取值范围是其中所有正确结论的序号是______.16.已知函数，是函数的对称轴，且在区间上单调．从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得的解析式存在，并求出其解析式；条件①：函数的图像经过点；条件②：是的对称中心；条件③：是的对称中心．根据中确定的，求函数的值域．17.第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在北京、张家口盛大开幕．为保障本届冬奥会顺利运行，共招募约万人参与赛会志愿服务．赛会共设对外联络服务、竞赛运行服务、媒体运行与转播服务、场馆运行服务、市场开发服务、人力资源服务、技术运行服务、文化展示服务、赛会综合服务、安保服务、交通服务、其他共12类志愿服务．甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务．已知甲被分配到对外联络服务，求乙被分配到场馆运行服务的概率是多少？已知来自某中学的每名志愿者被分配到文化展示服务类的概率是，设来自该中学的2名志愿者被分配到文化展示服务类的人数为，求的分布列与期望．万名志愿者中，岁人群占比达到，为了解志愿者对某一活动方案是否支持，通过分层抽样获得如下数据：岁人群其它人群支持不支持支持不支持方案90人5人1人4人假设所有志愿者对活动方案是否支持相互独立．将志愿者支持方案的概率估计值记为，去掉其它人群志愿者，支持方案的概率估计值记为，试比较与的大小．结论不要求证明18.如图，在正三棱柱中，，D，P分别是BC，的中点．在侧棱上作出点F，满足平面，并给出证明；求二面角的余弦值及点B到平面的距离．19.已知当时，判断函数零点的个数；求证：；若在恒成立，求k的最小值．20.已知椭圆C：的离心率为，长轴的右端点为求C的方程；直线l：与椭圆C分别相交于M，N两点，且，点A不在直线l上，试证明直线l过一定点，并求出此定点；从点A作垂足为D，点，写出的最小值结论不要求证明21.素数又称质数，是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数．早在2000多年前，欧几里德就在《几何原本》中证明了素数是无限的．在这之后，数学家们不断地探索素数的规律与性质，并取得了显著成果．中国数学家陈景润证明了“”，即“表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”，成为了哥德巴赫猜想研究上的里程碑，在国际数学界引起了轰动．如何筛选出素数、判断一个数是否为素数，是古老的、基本的，但至今仍受到人们重视的问题．最早的素数筛选法由古希腊的数学家提出．1934年，一名印度数学家发明了一种素数筛选法，他构造了一个数表A，具体构造的方法如下：A中位于第i行第j列的数记为，首项为且公差为的等差数列的第j项恰好为，其中，2，⋯⋯；，2，⋯⋯.请同学们阅读以上材料，回答下列问题：求；证明：；证明：①若s在A中，则不是素数；②若s不在A中，则是素数．答案和解析1.【答案】C【解析】解：，故选：可求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查了集合的列举法和描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：，复数z对应的点，位于平面内的第二象限．故选：根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：由函数的图像与函数的图像关于y轴对称，可得，则，故选：由图像关于y轴对称的特点，可得的解析式，再由对数的运算性质可得所求值．本题考查函数的图像变换，考查转化思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：圆的圆心为根据题意：又，，直线AB的方程是故选：由的一般方程可得，圆心为，由点M为弦的中点，则该点与圆心的连线垂直于直线AB求解其斜率，再由点斜式求得其方程．本题主要考查直线与圆的位置关系及其方程的应用，主要涉及了弦的中点与圆心的连线与弦所在的直线垂直，属基础题．5.【答案】B【解析】解：设，，根据抛物线定义，，，可知，，线段AB的中点P到y轴的距离为：故选：先设出A，B的坐标，根据抛物线的定义求得，求出p，得到AB中点的横坐标，然后推出结果．本题主要考查了抛物线的标准方程．解题的关键是利用了抛物线的定义．6.【答案】A【解析】解：，，又，，，故选：利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．7.【答案】C【解析】解：角，的终边关于原点O对称，不妨设，，“角，的终边关于原点O对称”是“”的充要条件，故选：角，的终边关于原点O对称，不妨设，，利用特殊角的三角函数值及其充要条件的意义即可判断出结论．本题考查了特殊角的三角函数值及其充要条件的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：如图：D在边长为2的正边BC上的动点，D在AB上的射影为E，，显然D在B时，取得最大值D在C时，取得最小值2，则的取值范围是故选：画出图形，判断D的位置，求解向量数量积的最值即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的几何性质，考查计算能力以及逻辑推理能力．9.【答案】B【解析】解：如图所示，设与圆相切于点N，过作，故，又，则，则，由双曲线定义得，即，故渐近线方程为，故选：根据直线与圆相切及三角形的性质，结合双曲线的定义可得，进而得解．本题考查了双曲线的性质，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：该传染病在当地的传播模型为，求导可得，，当且仅当，即，即，天时，故该模型推测该地区新增病例数达到顶峰的日期所在的时间段为4月30日月2日．故选：根据已知条件，先对求导，再结合基本不等式的公式，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，考查基本不等式的公式，属于中档题．11.【答案】【解析】解：的展开式中的通项为，令，解得，的系数为，故答案为：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求出r的值，即可求得展开式中的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．12.【答案】56 64【解析】解：把表中数据按照从小到大顺序排列为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71；计算中位数是；因为，所以分位数是第10个数据，是故答案为：56；把表中数据按照从小到大顺序排列，再求中位数和百分位数．本题考查了中位数和百分位数的计算问题，是基础题．13.【答案】【解析】解：因为在中，，，，由正弦定理，可得，可得，因为，可得B为锐角，所以，所以，可得，又D为BC的中点，可得，所以在中，由余弦定理可得故答案为：，由已知利用正弦定理可得，又，可得B为锐角，进而可求B的值，利用三角形内角和定理可求A的值，进而可求，可求CD的值，在中由余弦定理可得AD的值．本题考查了正弦定理，三角形内角和定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．14.【答案】【解析】解：当时为等差数列，此时，则也是等差数列，满足题意．故答案为：当时，，也是等差数列，满足题意．本题考查等差数列通项公式及前n项和公式，考查数学运算能力，属于基础题．15.【答案】①④【解析】解：由，得平面PBD，因为平面PBD，所以，①正确计算可得，，，，，，，所以，②不正确；由线面角定义知，就是直线PO与底面ABCD所成的角，，③不正确；由得，，，，时最小，④正确．故答案为：①④．①通过线面垂直证明线线垂直；②通过计算可得到结果；③通过线面角的定义与计算可得到结果；④通过求OE的取值范围计算三角形面积的取值范围．本题主要考查空间中的垂直关系，线面角的计算，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．16.【答案】解：由题意，得，；在区间上单调，，，选条件①：，，，得，符合题意，可得，选条件③：，，可得，即，可得，符合题意，可得，选条件②：，不满足，故解析式不存在．由得，，，，函数的值域为【解析】是函数的对称轴，且在区间上单调．可得，再依据选①利用，求的值，进而求，得到解析式；③，，可求得的解析式；选条件②，由不满足，解析式不存在；由，，可求值域．本题考查正弦型函数的单调性，求解析式，值域问题，属中档题．17.【答案】解：由已知共12类志愿服务，甲被分配到对外联络服务，且甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，故乙可被分配的志愿服务共11类，所以乙被分配到场馆运行服务的概率为：由已知可得随机变量的可能取值为0，1，2，故，，，分布列如下：0 1 2P期望；由已知得志愿者支持方案的概率估计值记为，去掉其它人群志愿者，支持方案的概率估计值记为，故【解析】本题考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．根据古典概型的计算公式直接计算；分别计算概率并列出分布列，并求期望；根据古典概型计算公式分别计算与，并比较大小．18.【答案】解：证明：设的中点为E，BE的中点为F，则，，则，平面，平面，平面设O是边AC的中点，Z是的中点，则平面ABC，为正三角形，所以，，OB，OC，OZ两两垂直，建立如图所示坐标系则，，设平面的法向量为，所以，则，平面的法向量为，所以二面角的余弦值为，又，设点B到平面的距离为d，则【解析】由线面平行的判定定理证明；建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，求出夹角；设点B到平面的距离为d，由，即可求得距离．本题考查线面平面，及利用向量法求二面角与距离，考查学生的运算能力，属于中档题．19.【答案】解：当时，，所以在R上单调递增，而，所以只有一个零点；证明：设，当时，，所以在上单调递增，所以，所以，即当时，由得恒成立．当时，设，则，，所以在上单调递增，，，由零点的存在性定理得：存在，使得，所以在上单调递减，所以不恒成立，所以k的最小值为【解析】当时，求导得在R上单调递增，又因为，即可求出零点的个数．设，求导得在上单调递增，则，即可证明．当时，由得恒成立．当时，设，判断的最小值大于0是否成立，即可求出答案．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：椭圆C：的离心率为，长轴的右端点为，可得，解得，所以椭圆的标准方程为证明：联立方程组，整理得，可得，设，，所以，因为，即，可得，所以，解得或，当时，直线方程为，此时过，不符合题意舍去；当时，直线方程为，此时过，符合题意，综上可得，直线过定点由题意，从点A作垂足为D，点，如图所示，点D落在以AP为直径的圆上，且圆心坐标为，半径为，则，所以的最小值为【解析】根据题意得出关于a，b，c的方程组，求得，，解得求解；联立方程组得出，根据，得到，结合，列出方程求得，即可求解；根据，得到点D落在以AP为直角的圆上，求得圆心坐标和半径，结合点与圆的最值，即可求解．本题主要考查椭圆方程的求解，圆锥曲线中的定点问题，韦达定理及其应用，直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中等题．21.【答案】解：根据题意：，，证明：，公差，，，公差，，故证明：①若s在A中，由可知，存在i，，使得，所以不是素数．②若s不在A中，反证法：假设为合数．不妨令，这里a，b皆为大于1的奇数这是因为为奇数令，其中p，q为正整数，则由得A中数的通项公式，可知在A中，这与已知矛盾，所以假设不成立，从而为素数．【解析】先求出和d，根据等差数列即可求解；先求和，再求出，，代入等差数列公式求解即可；先假设s在A中，得到，所以不是素数；再假设s不在A中，利用反证法，为合数，令，，，得到，可知在A中，假设不成立即可求解．本题考查数列的应用，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．。

2020年北京市门头沟区高考数学一模试卷(含答案解析)

2023年北京市门头沟区高考数学一模试卷+答案解析(附后)

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