C3-3洛必达法则
洛比达法则
lim
f (a + x ) + f (a − x ) − 2 f (a ) ． x [ f (a + x ) − f (a − x )]
解
f (a + x ) + f (a − x ) − 2 f (a ) lim x →0 x [ f (a + x ) − f (a − x )]
= lim
1 ∞2
−
1 ∞1
1 ∞ 1 ⋅∞ 2
0 = 0
∞ ln 1
=e
，
．
0 =e
0
0⋅ln 0
=e
∞ ⋅0
，
∞ =e
0⋅ln ∞
=e
∞ ⋅0
一、
0 0
型不定式
若 f ( x ) 和 g( x ) 满足下列条件：
定理 (洛必达法则 1)
(1) 在 x0 的某个去心邻域内可导 ，且 g ( x ) ≠ 0；
( 0 型)
0
x 例 13 lim (sin x ) + x→0
ln sin x = lim+ e = exp lim+ = exp lim 1 x →0 x → 0+ x →0 x −x = exp lim+ x ⋅ cos x = 1 x → 0 sin x
2 2
n n n −1 − x 例 12 lim x +x x → +∞ n n 1 + t − 1 1 1 + t 1 = lim − (令 x = ) = lim+ n t t t t →0 t →0+ t 1 (1 + t ) = lim+ n 1 t →0
高等数学洛必达法则
x ( 1)
lim x
x
x
1
1 x2
1 x2
x2
lim x 1
x2
lim x
1 1 x2 1
1.
4
例3 求 lxim 1 x3x3x23xx21 . 解 lxi m 1 x3x3x23xx21 00 lxim 1(x(3x3x23xx2)1)
lnsinax xl im0 lnsinbx,(
)
1
定理 设 limf(x)0，limg(x)0，
xa
xa
在 U(aˆ,) 内，f(x)，g(x)都存在，且 g(x)0，
f (ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx)
lim
xa
g( x)
存在（或无穷大），
则 limf(x)limf(x) xa g(x) xa g(x)
但与其它求极限方法结合使用，效果更好.
10
例9
求
tanxx lx i m 0 x2 tanx
.
解
0
原式 lx i0 m taxx n3x 0 lxim0 s
e
c2 x 1 3x2
0
lim
x0
tan2 x 3x2
0 l i m2sec2 xtanx
x0
6x
1
1x
lim( 3x0 c
2.每次使用前都应检查是否为
0 0
，其它两个条件在计算
中可得到检验（是否可导，lim xa
f F
( (
x) x)
是否存在）.
3.当x a，x a，x， x ， x 时，
该法则仍然成立.
4.xa，x时的未定式
洛必达法则
洛必达法则简介洛必达法则（L’Hôpital’s rule），又称洛必达法则（L’Hospital’s rule），是微积分中的一条重要定理，用于求解某些形式的极限。
这一定理由法国数学家洛必达（Guillaume-Roger-François, Marquis de L’Hôpital）在18世纪提出，被认为是微积分学中的重要工具之一。
洛必达法则主要用于解决形如f(x) / g(x)形式的函数极限问题，其中f(x)和g(x)是两个可导函数，并且极限结果存在不定型。
通过洛必达法则，我们可以将其转化为求f’(x) / g’(x)的极限，从而得到准确的结果。
洛必达法则的条件洛必达法则适用于以下情况：1.极限形式为f(x) / g(x)；2.函数f(x)和g(x)在极限点的附近均连续；3.函数g’(x)不为零，除了可能在极限点上。
洛必达法则的表述洛必达法则的一般形式可表示为：若函数f(x)和g(x)满足洛必达法则的条件，并且极限：存在或为无穷大时，那么：其中，f’(x) 和g’(x) 分别表示函数f(x)和g(x)的导数。
洛必达法则的应用步骤使用洛必达法则解决极限问题的步骤如下：1.将函数f(x)和g(x)分别求导，得到f’(x)和g’(x)；2.计算f’(x) / g’(x)的极限值。
若结果存在或为无穷大，则该极限值就是原始极限的结果；3.若求导后的函数又出现不定型，可以继续应用洛必达法则，依次求导，直到结果不再出现不定型。
示例让我们通过一个简单的例子来说明洛必达法则的应用。
假设我们需要求解如下极限问题：可以看到，分母g(x)在极限点0的附近为零，因此我们可以尝试使用洛必达法则来求解。
首先，我们计算函数f(x)和g(x)的导数：然后，我们计算f’(x) / g’(x)的极限：因此，根据洛必达法则，原始极限的结果为1。
总结洛必达法则是微积分中解决某些形式的极限问题的重要工具。
高数洛必达法则
与夹逼定理（Squeeze Theorem）结合使用，可以 求解一些复杂的不定式极限
问题。
与单调有界定理（Monotone Bounded Theorem）相关联， 可用于判断数列或函数的收敛
性。
02
洛必达法则证明过程
构造函数法证明
构造函数
01
通过构造一个与原函数在某点处切线斜率相同的辅助函数，将
适用范围及条件
适用于0/0型和∞/∞型的不定式极限。
使用条件：当x趋向于某一值时（可以是无穷大），函数f(x)与g(x)都趋向于0或者无穷大，且两者的导函数存在且比值为常（Taylor's Theorem）有密切关系，洛必 达法则是泰勒公式在求解极限
时的特殊应用。
变量替换法
在某些情况下，通过变量替换可以简化极限的计算过程。
05
洛必达法则拓展与延伸
多元函数洛必达法则
多元函数洛必达法则的定 义
对于多元函数，当其在某点的偏导数存在且 连续时，该点处的极限值可以通过洛必达法 则求解。
多元函数洛必达法则的应用 条件
要求函数在考察点处偏导数存在且连续，同时需要 满足一定的限制条件，如分母不为零等。
高数洛必达法则
• 洛必达法则基本概念 • 洛必达法则证明过程 • 洛必达法则应用举例 • 洛必达法则注意事项 • 洛必达法则拓展与延伸
01
洛必达法则基本概念
洛必达法则定义
洛必达法则（L'Hôpital's Rule）是微 积分学中的一个重要定理，用于求解 不定式极限。
该法则以法国数学家纪尧姆·弗朗索瓦· 安托万·德·洛必达命名。
解不等式
将不等式转化为函数值比较问题，利用洛必 达法则求解函数的极值点，进而确定不等式 的解集。
使用洛必达法则求极限的三个条件
使用洛必达法则求极限的三个条件
洛必达法则求极限是一种可以用来求取极限的方法，这是由十九世纪著名的德国数学家洛必达提出的，也可以称之为洛必达定理。
这个定理有三个条件：首先，在每一次运算的过程中，都可以用无穷小的增量值来衡量函数的变换，并且可以在每次运算后，都有无穷小的误差值;其次，当无穷小的误差值趋近于0时，可以逐步累计增量值，从而形成一个特定的结果；最后，可以把特定的值或者结果看作是极限。
因此，实际上，洛必达法则求取极限是通过对无穷小的增量值进行连续不断的累计，来形成特定结果或者特定值，从而可以把特定值或者结果看作极限的一种求取极限的方法。
洛必达法则求极限的三个条件：一是在运算的过程中，用可以表示无穷小的增量值来衡量函数的变化，并且存在误差值也被表示为无穷小；二是误差值极限成0时，逐步累加增量值，构成特定的结果值；三是把构成的特定结果值看作极限。
可以看出，洛必达法则求极限的运用价值及其广泛，是极限求取研究中一个重要的分支，并且具有一定的重要性及重要意义。
高等数学——详解洛必达法则
高等数学——详解洛必达法则今天和大家一起复习的是洛必达法则，这个法则非常重要，在许多问题的解法当中都有出现。
虽然时隔多年，许多知识点都已经还给老师了，但是我仍然还记得当年大一的时候，高数老师在讲台上慷慨激昂的样子。
上篇文章当中我们回顾了微分中值定理，今天要说的洛必达法则其实是微分中值定理一个经典的应用。
所以有遗忘或者是新关注的同学可以点下下方的链接回顾一下上篇文章的内容。
一文讲透高数中的微分中值定理用处我们学习的目的往往很朴素，就是学以致用，之前的时候我总觉得这种想法有些现实，后来我发现很多学了不能致用的知识都忘得差不多了。
所以尽管我们的心态要放好，但是操作的时候可以实际一些，先从用处入手，也许能更好地理解也说不定。
洛必达法则的应用场景非常简单，就是能解决一些一下子无法求解的极限问题。
不知道大家有没有发现，不管在什么领域，总有一些一下子无法解决的问题。
伴随着对这些问题的研究，我们的技术和理论在不断的进步，工作在不断地简化，效率越来越高。
无论是数学上某个领域的突破还是计算机当中某些工具的迭代和演进，莫不如此。
我们之前介绍极限的文章当中讲过一道例题：在这题当中，由于x趋向于0的时候，sinx 和x都趋向于0，我们要计算0除以0的结果，当时为了解决这个问题，我们用上了夹逼法，对它进行了缩放之后才得到了极限。
类似的极限还有很多，本质上来说问题在于当分子和分母都趋向于0时，我们很难计算得到结果。
再比如x/x^2，这个问题很简单，只要进行约分，那么就是1/x 的极限，x趋向于0时，显然 1/x 趋向于无穷大。
但如果不约分呢？它就是一个极限0除以极限0的问题，和上面的结果不同，它的比值结果是无穷大。
洛必达法则就是为了解决上述这些极限问题而出现的。
定义洛必达法则的本质是一个定理，它规定，如果一个形如的极限，如果它满足：1.x趋向于常数a时，函数f(x)和F(x)都趋向于02.在点a的去心邻域内，f(x)和F(x)的导数都存在，并且F'(x) 不等于 03.存在 lim f'(x)/F'(x)那么：也就是当变量趋向于一个常数时，如果分子分母函数的导数存在，那么我们可以用导数的极限比值来代替原函数的比值。
洛必达法则洛必达法则
洛必达法则洛必达法则洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
比如利用泰勒公式求解。
②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（T aylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.) /n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
洛必达法则的基础与进阶
洛必达法则的基础与进阶
微分中值定理的可怖估计少年们已经深刻的体会了，四大天王里面也只剩下泰勒我们还没有介绍，但由于他的威力太过强大，所以在被泰勒弄死之前，课本很人性化地安排了相对很简单的洛必达法则，让大家先吃点好的，以缓和连续学不会的尴尬局面！今天我们要来分别从基础版和进阶版两部分学习洛必达法则，大家可以根据自身需求选择内容。
【注】本文为高等数学初步知识
例一
例二
例三
例四
例五
例六
例七
——筑基通关宝典——
▼
进阶版
筑基完成了，没太懂的小朋友们再看看上面姑姑的视频。
下面我们再来看几个技巧性稍强的题目。
例八
例九
例十
——进击成为巨人宝典——
▼
- END -。
32洛必达法则(改)
0
用夹逼准则
说明:
1) 例3 , 例4 表明 x 时,
ln x,
ex ( 0)
后者比前者趋于 更快 .
2) 洛必达法则也有失效的情况，例如：
用洛必达法则
例3. lim
x
ln x xn
0
(n 0).
而
例4.
lim
x
xn e x
0
(n 0 , 0).
3) 若 lim f (x)不存在 ( )时, F ( x)
lim f (x) lim f (x) .
F ( x)
F ( x)
例如, lim x sin x
lim 1 cos x
x x
x 1
极限不存在
lim (1 sin x) 1
x
x
三、其他未定式:
解: 注意到 ～
原式
lim
x0
tan x x3
x
lim
x0
sec2 x 3x2
1
lim
x0
tan 2 3x2
x
1 3
内容小结
洛必达法则
型
f
g
1 g
1 f
1 g
1 f
00 ,1 , 0 型
0型 0 型
令 y fg
取对数
0 型
f
g
f
1
g
P138
解决方法:
通分
转化
0
00
0 取倒数
取对数
0
转化
转化
1
0
例5. 求 lim xn ln x (n 0).
洛必达法则和导数应用
x
xlim(lxn2(122xx))12
2 2
lim x(
x
x2 2x)1
4
解法二 lim ln(1 e2 x )ln(1 2 )
x
x
原 式 lim ln1(e2x)2
x
x
2xl im 12ee22xx
4
例5 计算lx im 0seex2cxecox2xs
ex2 ex2
lxim0 secx cosx
2 3 cos 1
例2 li( m x 2 4 x x 2 6 x 2 x )
x
令t 1 x
原t式 l 0 im (1 ＝ t2 4t1 t2 6t2 t)
＝ lim14t 16t2
t 0
t
1 4 1 6
＝lim2 14t 2 16t 5
t0
1
例3
讨论函 f(x数 )1x1, ex11,
3x2
3
二.不等式的证明
1
例8 设 x0,证(1 明 x)xe
证明：原不等式 ln1(等 x)价 1于 x
即 ln 1(x)x
在[0，x]上对 ln1(x)应用中值定理：
l1 n x )( l1 n x )( l1 n 0 ) (d l1 n x )( (x 0 ) dx x ξ
lim
x0
e x2 1
e cos 2
x2
x
cos x
ex2 ex2
lim x0
x2
coxs
x2t
et
lim
t0
et t
lim(et et) 2 t0
解法二 limex2 ex2
x0secxcosx
xl im0seecxx2(1(e2cx2o2s1x)) xl im 0seexxc2xl im 0s2ixn22x
洛必达法则(高考题)
洛必达法则(高考题)洛必达法则洛必达法则是微积分中的重要概念之一。
它用于求解未定式的极限，主要包括三个法则。
法则1：若函数f(x)和g(x)满足一定条件，那么它们的极限相等。
法则2：若函数f(x)和g(x)满足一定条件，且在正负无穷处极限存在，那么它们的极限相等。
法则3：若函数f(x)和g(x)满足一定条件，且在某一点的去心邻域内极限存在，那么它们的极限相等。
在使用洛必达法则求解极限时，需要注意以下几点：1.检查是否满足前提条件，否则结果可能不正确。
2.可以连续多次使用洛必达法则，直到求出极限为止。
3.若不满足前提条件，不能使用洛必达法则，需要从其他途径求解。
XXX在高考中也经常出现，例如以下题目：1.设函数f(x) = e^(-1-x-ax)/(x^2)，求f(x)的单调区间和a的取值范围。
解：根据洛必达法则，当a = 1时，f(x) = e^(-1-x)，f'(x) = e^(-1)。
当x∈(-∞,0)时，f'(x)。
0.因此，f(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增。
又因为f(x)≥1/x^2，所以当x≥1时，f(x)≥1/e。
因此，a的取值范围为a≤1/2.经过格式修正和改写，文章变得更加清晰易懂。
首先，将文章中的数学符号进行修改，使其符合规范。
然后，删除掉明显有问题的段落，比如第一段中的“于是当x时，f(x).”这句话没有明确的意义。
最后，对每段话进行小幅度的改写，使其更加清晰易懂。
具体修改如下：首先，对于函数 $f(x)$，当 $f'(x) \geq 0$（$x \geq 0$）时，有 $f(0) = 2$。
因此，当 $x \geq 0$ 时，$f(x) \geq 2$。
由不等式 $e。
1+x$（$x \neq 0$）可得 $e^x - x。
1 -x$（$x \neq 0$）。
因此，当 $a。
1$ 时，有：2f'(x) < e^x - 1 + 2a(e^{-x} - 1) = e^{-x}(e^x - 1)(e^x - 2a)$$因此，当 $x \in (0.\ln(2a))$ 时，$f'(x) < 0$，而 $f(0) = 2$，因此当 $x \in (0.\ln(2a))$ 时，$f(x) < 2$。
浅析洛必达法则求函数极限
用洛必达法则求未定式极限的方法一、 洛必达法则求函数极限的条件及适用范围（一）洛必达法则定理定理1[1]若函数)(x f 与函数)(x g 满足下列条件： （1）在a 的某去心邻域)(x v 内可导，且0)('≠x g （2）0)(lim 0=+→x f a x 0)(lim 0=+→x g a x（3）A x g x f a x =+→)(')('lim则A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim 00（包括A 为无穷大的情形）定理2 若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件 （1）在a 的某去心邻域)(x v 内可导，且0)('≠x g （2）∞=+→)(lim 0x f a x ∞=+→)(lim 0x g a x（3）A x g x f a x =+→)(')('lim则A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim 00（包括A 为无穷大的情形）此外法则所述极限过程对下述六类极限过程均适用：-∞→+∞→∞→→→→-+x x x x x x x x x ,,,,,000。
定理证明：作辅助函数⎩⎨⎧=+∈=a x a a x x f x F 当当,0),,(),()(δ⎩⎨⎧=+∈=a x a a x x g x G 当当,0),,(),()(δ于是函数F(x)及G(x)在[δ+a a ,）连续，在()δ+a a ,可导，并且.0)('≠x G 今对()δ+a a ,内任意一点x ，利用柯西中值定理得).,(,)(')(')()()()()()(000x a x x G x F a G x G a F x F x G x F ∈=--= 由)()(x G x F 及的定义，上式即)(')(')()(00x g x f x g x f =所以当0+→a x 时（这时显然有00+→a x ），对上式两端取极限，即A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim0000证毕。
诺必达法则公式
诺必达法则公式（原创版）目录1.诺必达法则公式的概述2.诺必达法则公式的推导过程3.诺必达法则公式的应用4.诺必达法则公式的局限性正文【1.诺必达法则公式的概述】诺必达法则公式，又称为洛必达法则，是一种求极限的方法，主要应用于求解形如“0/0”和“∞/∞”这样的不定式极限。
该方法是由法国数学家吉尼拉 - 罗兰·诺必达（Guillaume de l"Hpital）提出的，因此得名诺必达法则。
【2.诺必达法则公式的推导过程】诺必达法则的推导过程相对简单。
假设我们有一个函数 f(x) 和g(x)，当 x 趋近于 a 时，f(x) 和 g(x) 都趋近于 0，即 f(x)->0，g(x)->0。
同时，我们还知道 f"(x) 和 g"(x)，当 x 趋近于 a 时，f"(x) 和 g"(x) 都存在且 f"(x)->0，g"(x)->0。
在这样的条件下，我们可以得出：lim (f(x)/g(x)) = lim (f"(x)/g"(x))这就是诺必达法则公式的基本形式。
【3.诺必达法则公式的应用】诺必达法则公式在求极限时十分实用。
比如，对于极限 lim(x->0) (sinx/x)，我们可以使用诺必达法则，因为当 x 趋近于 0 时，sinx->0，x->0。
同时，我们还知道 (sinx)"/x = cosx/x，因此，原式可以转化为lim(x->0) (cosx/x)。
再应用诺必达法则，得到 lim(x->0) (cosx/x) = lim(x->0) (-sinx/x^2) = 0。
所以，原式的极限为 0。
【4.诺必达法则公式的局限性】虽然诺必达法则公式在求解极限时十分有效，但它也有局限性。
首先，它只能应用于“0/0”和“∞/∞”这样的不定式极限，对于其他形式的极限，诺必达法则无法使用。
洛必达法则课件
0 0
)
lim lim
e cos x 2x e sin x
x
x 0
(
)
.
x 0
2
12
洛必达法则
例 求 lim
x
tan x tan 3 x
2
.
(
)
解
原式 lim
x
sin x cos 3 x cos x sin 3 x
cos 3 x cos x
0 0
2
lim
)
有:
lim
e n次
x ln x .
n!
x
e
n
x
0
14
洛必达法则
用法则求极限有两方面的局限性
其一, 当导数比的极限不存在时,不能断定函数 比的极限不存在, 这时不能使用洛必达法则. 例
求 lim x cos x x
x
x
解
原式 lim
x a ( x )
lim
f ( x) F ( x)
lim
称为
tan x x
0 0
(
或
0 0 )
型未定式.
lim ln sin ax ln sin bx
x 0
如,
(
)
x 0
未定 意味着关于它的极限不能确定出一般的
结论, 而并不是在确定的情况下关于它的极限 不能确定. 在第一章中看到, 两个无穷小之商或两个 无穷大之商, 其极限都不能直接利用极限运算 法则来求.
9
洛必达法则
1 f f ( x ) z lim lim A x F ( x ) z 0 1 F z
3-3洛必达法则
1 lim t 0 1 2t
0 0
1
步骤：
1 1 00 0 0 00
x ln x 【例3】 lim x 0 ln x lim x 0 1 x
(0 型 )
步骤：
1 1 0 ,或 0 0 0
x a x a (1) 可以改为 或 x a 说明 (2) x a 时不定型 也有相应的洛必达法则． 0 (3)洛必达法则对 x x 或 x 时 或 0 的情形仍成立．
【例1】 lim
x0
1 x 1 1 x lim x0 x 1
x ex ex e lim lim lim 1 n x nx x n n 1 x n 2 x n !
ex 一般 xlim x
R
注意 洛必达法则是求不定式的一种有效方法，但与其它求极 限方法结合使用，效果更好.
f a x f a x x f a x f a x f (a x ) f (a ) f (a x ) f (a ) x x lim x 0 f (a x ) f (a ) f (a x ) f (a ) f (a x ) f (a x ) x x
xa xa
(2) f ( x ) , g ( x )在某 N a , 内可导，且 g x 0 (3) lim
xa
f x g x
A 或
f x f x lim A 或 则有 lim xa g x xa g x
数学历史上著名的“洛必达法则”，你知道是怎么产生的吗？
数学历史上著名的“洛必达法则”，你知道是怎么产生的吗？
相信很多学过微积分的朋友，都学过“洛必达法则”。
这可是个好东西，当你求极限碰到一个很复杂的公式时，往往那么上下同时求导就能算出结果。
虽然也会碰到一些不能求导的情况，但这种方法无疑给我们解题带来了极大的方便。
可是你知道吗？大名鼎鼎的“洛必达法则”，却不是洛必达发明出来的。
“洛必达法则”例题
故事发生在17世纪的欧洲，数学学科空前繁荣，整个社会表现出对数学的推崇和喜爱。
主人公洛必达出生于法国贵族家庭，家境优渥，自幼酷爱数学，并展现出了过人天赋。
后来，洛必达拜瑞士数学大师约翰.伯努利为师，成为其座下弟子。
值得一提的是洛必达为此所支付的薪酬是伯努利工资的两倍。
后来洛必达找到他：“亲爱的老师啊，你看你家里这么穷，不如把你的文章卖一份给我，你也赚点钱花，我也落得个美名，如何？”伯努利欣然接受：“好啊好啊！我这里还有好几份，你都买走吧！”
洛必达
于是洛必达在伯努利处陆陆续续买了数份文章，基于这些文章整理出版了《无限小分析》一书，书中提出了著名的算法“洛必达法则”，发表后轰动一时。
1704年，洛必达英年早逝，年仅43岁。
在他去世后，伯努利发声：“我才是‘洛必达法则’的真正创立者，只是当年洛必达给了不菲的报酬我才卖给了他，这个法则应该更名为‘伯努利法则’！”但遭到了人们的质疑：“你当初为了蝇头小利背叛了数学道德和良知，如今发声也只是为了利益而已。
”人们也不再理会他。
伯努利
如今有极少数学书称法则为“伯努利法则”，人们还是习惯称之为“洛必达法则”。
这可能是伯努利一生最后悔的一件事了。
洛必达法则的一些应用
1 引言18世纪数学本身的发展，以及这个世纪后期数学研究活动的扩张和数学教育的改革都为19世纪数学的发展准备了条件．微积分学的深人发展，才有了后面的洛比达法则，而且在英国和欧洲大陆是循着不同的路线进行的．在欧洲大陆，新分析正在莱布尼茨的继承者们的推动下蓬勃发展起来．伯努利家族的数学家们首先继承并推广莱布尼茨的学说. 雅各布·伯努利运用莱布尼茨引用的符号，并称之为积分，莱布尼茨采用他的建议，并列使用微分学与积分学两个术语．雅各布·伯努利的弟弟约. 翰·伯努利在莱布尼茨的协助之下发展和完善了微积分学. 他借助于常量和变量，用解析表达式来定义函数，这比在此之前对函数的几何解释有明显的进步. 他在求“0/0”型不定式的值时，发现了现称为洛必达法则的方法，即用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限. 约翰·伯努利的学生、法国数学家洛必达的《无限小分析》(1696)一书是微积分学方面最早的教科书，在十八世纪时为一模范著作，他在书中规范了这一种算法即洛必达法则，之后洛必达法则的也得到了广泛应用，这对传播微分学起到很大的作用.从极限概念的产生到现在已经经历了两千五百多年的发展，漫漫的历史长河，人类在寻求真理和科学的过程中不断探索和总结，对于数学的探索给了人类科学发展以强大的动力．我们应当对任何知识都认真的学习、研究及做出总结．不仅踏寻前人的路迹，同时也要从中开创新的空间．极限是数学分析的基石，是微积分学的基础．不定式极限是一种常见和重要的极限类型，其求法多种多样，变化无穷．本文先介绍了洛必达法则的定义，然后对洛必达法则使用条件及其常见误区进行了详细分析，阐述了该法则适用于解决函数极限的类型并举例说明其应用，总结了洛必达法则的各种形式及使用范围，并介绍了洛必达法则的基本应用，以及在使用洛必达法则解题时应注意的问题．文章还将法则的适用范围推广至求数列极限，然后分析法则的使用过程中容易出现的错误；最后通过具体实例说明了可以将法则和其他求极限方法结合起来使用，使我们对法则有了更深入的理解，进而提高了应用洛必达法则解决问题的能力．2 洛必达法则及使用条件在计算一个分式函数的极限时，常常会遇到分子分母同时趋向于零或无穷大的情况，由于这时无法使用“商的极限等于极限的商”的法则，运算将遇到很大的困难，事实上，这时极限可能存在，也可能不存在，当极限存在时，极限的值也会有各种各样的可能，如当a x →（或∞→x ）时，两个函数)(x f 与)(x g 都趋于零或都趋于无穷大，那么极限第 2 页 共16页)()(lim)(x g x f x ax →∞→可能存在也可能不存在. 通常把这种极限叫做未定式，并分别简记为0型和∞∞型. 未定式极限除了以上两种外，还有∞⋅0型、∞-∞型、0∞型、∞1型、00型等五种，后面几种都可以转换成前面两种类型来进行计算，因此掌握0型和∞∞型极限的计算方法是前提．2.1 洛必达法则型 定理2.1 设函数)(x f ，)(x g 满足：（1）当a x →时，函数)(x f 及)(x g 都趋于零；（2）在点a 的某去心邻域内，)('x f 及)('x g 都存在且0)('≠x g ； （3）)(')('limx g x f ax →存在（或为无穷大）， 那么)(')('lim )()(limx g x f x g x f a x ax →→=. 这就是说，当)(')('limx g x f ax →存在时，)()(lim x g x f a x →也存在且等于)(')('lim x g x f a x →；当)(')('lim x g x f a x →为无穷大时，)()(limx g x f ax →也是无穷大，这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 证明 因为)()(x g x f 当a x →时的极限与)(a f 及)(a g 无关，所以可以假定0)()(==a g a f ，于是由条件（1）、（2）知道，)(x f 及)(x g 在点a 的某一邻域内是连续的，设x 是这一邻域内的一点，那么在以x 及a 为端点的区间上，柯西中值定理的条件均满足，因此有)(')(')()()()()()(ξξg f a g x g a f x f x g x f =--= （ξ在x 与a 之间）.令a x →，并对上式两端求极限，注意到a x →时a →ξ，再根据条件（3）便得要证明的结论.如果)(')('x g x f 当a x →时仍属于0型，且这时)('x f ，)('x g 都能满足定理中)(x f ，)(x g 所要满足的条件，那么可以继续使用洛必达法则，从而确定)()(limx g x f ax →，即 )('')(''lim)(')('lim )()(limx g x f x g x f x g x f a x a x ax →→→==. 且可以依次类推.定理2.2 设函数)(x f ，)(x g 满足：（1）当∞→x 时，函数)(x f 及)(x g 都趋于零； （2）当N x >时，)('x f 及)('x g 都存在且0)('≠x g ； （3）)(')('limx g x f x ∞→存在（或为无穷大）， 那么)(')('lim )()(limx g x f x g x f x x ∞→∞→=. 2.2 洛必达法则∞∞型 定理2.3 设函数)(x f ，)(x g 满足：（1）当a x →时，函数)(x f 及)(x g 都趋于∞；（2）在点a 的某去心邻域内，)('x f 及)('x g 都存在且0)('≠x g ； （3）)(')('limx g x f ax →存在（或为无穷大）， 那么)(')('lim )()(limx g x f x g x f a x ax →→=. 定理2.4 设函数)(x f ，)(x g 满足：（1）当∞→x 时，函数)(x f 及)(x g 都趋于∞； （2）当N x >时，)('x f 及)('x g 都存在且0)('≠x g ； （3）)(')('limx g x f x ∞→存在（或为无穷大），第 4 页 共16页那么)(')('lim )()(limx g x f x g x f x x ∞→∞→=. 2.3 其他类型未定式除了上述的00型和∞∞型未定式外，还有∞-∞∞⋅∞∞,0,,0,100等类型的未定式．这几种类型的未定式，都可转化为0型或∞∞型的未定式，即可利用洛必达法则进行求解．如下图所示：具体步骤如下：(1)∞⋅0型未定式可将乘积化为除的形式，即当0x x →或∞时，若0)(→x f ,∞→)(x g ，则()()()()x g x f x g x f x x x x 1limlim 0→→=⋅或()()()()x f x g x g x f x x x x 1lim lim 00→→=⋅， 这样，∞⋅0型未定式就变为00型或∞∞型未定式. (2)∞-∞型未定式可通过通分计算，即当0x x →或∞时，若∞→)(x f ,∞→)(x g ，则型∞∞型 ∞-∞型∞⋅0型0,1,0∞∞型()()()()()()11()lim lim11x x x x f x g x f x g x f x g x →→---=⋅，这样，∞-∞型未定式就变为型未定式. (3)00，1∞，0∞型未定式可先化为以e 为底的指数函数的极限, 再利用指数函数的连续性, 转为直接求指数的极限, 而指数的极限形式为“∞⋅0”型, 再转化为“” 型或“∞∞”型计算.当0x x →或∞时，若0)(→x f (或1)(→x f ，或∞→)(x f )，0)(→x g （或∞→)(x g ）. 则()()ln ()lim ()lim g x g x f x x x x x f x e →→=或000lim ()ln ()()()ln ()lim ()lim x x g x f x g x g x f x x x x x f x e e →→→==，这样就可利用洛必达法则进行求解.2.4 洛必达法则求极限的条件从定理知道, 无论是“0”型还是“∞∞”型,都必须具备一个重要条件, 即在自变量的同一变化过程中，)(')('lim)(x g x f x ax →∞→存在（或为∞）时，才有)()(lim )(x g x f x a x →∞→存在（或为∞），且)(')('lim )()(lim)()(x g x f x g x f x x a x ax →∞→∞→→=，但是此条件却不便先验证后使用，所以连续多次使用法则时，每次都必须验证它是否为“”型或“∞∞”型，其使用程序如下：)()(lim )(x g x f x a x →∞→（“00”），)(')('l i m )(x g x f x a x →∞→（“00”），...，)()(lim )1()1()(x g x f n n a x x --→→∞（“00”），若)()(lim )()()(x g x f n n a x x →∞→存在（或为∞），那么才有式子)()(lim )()(lim ...)(')('lim )()(lim )()()1()1()()()()(x g x f x g x f x g x f x g x f n n a x n n a x a x a x x x x x →∞→∞→∞→∞→--→→→====成 立。
高考中的洛必达法则
导默啊器——潜必达试則一、问題指引“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决成立、或 恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数(最)值，若出现V 型或工型可以考虑使用 洛必达法则。
二、方法碎鮮诫则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1) lim/(x) = O 及limg(x) = O ； X-W7 .Yf d(2) 在点a 的去心邻域内,f(x)与g(x)可导且g(x)MO ；那么 lim ZW =lim £W =/o 5 g(x) i g\x)注则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1) lim/(x) = 0 及 limg(x) = O ；(2) *A O, f(x)和 g(x)在(Y ,A)与(4,wo)上可导，且 g*(xyO ；那么 Hm 44=i im £(4=/o注则3若函数f(x)和g(x)满足下列条件:(1)lim /(x) = co 及lim g (兀)=s ;(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)^O：f r(x\(3)lim^4 = /,i g(X)那么lim』異= lim马* =几jg(x) fg(x)利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：1.将上面公式中的X—>a, XT*换成XT+OO, XT~OC, XT/, XTY厂洛必达法则也成立。
2•洛必达法则可处理O co, l w, 0°, oo-oo型。
0 O03.在着手求极限以前，首先要检查是否满足V,工，O.oo, r, S。
，0% 00-00型定式，否0 S则滥用洛必达法则会出错。
当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
(一)典例分析【例1】若不等式sinx>x-ax i对于"(0,彳)恒成立，求"的取值范圉.2【解折】当xe(O,-)时，原不等式等价于。
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解
1 2 原式 lim 1 x x 1 2 x
0 （ ） 0
x2 lim x 1 x 2
1.
18
3. 型不定式洛必达法则
定理 设
(1) lim f ( x ) lim F ( x ) ;
x x0 x x0
(2) 在 x0 点的某空心邻域内, f ( x )及 F ( x ) 都存在 且 F ( x ) 0; f ( x ) (3) lim A ( A可为有限数也可为无穷大); x x0 F ( x ) f ( x) f ( x ) 那末 lim lim A. x x0 F ( x ) x x 0 F ( x )
( )
7
0 2. 型不定式的洛必达法则 0
定理 设
(1) lim f ( x ) lim F ( x ) 0;
x x0 x x0
(2) 在 x0 点的某空心邻域内, f ( x )及 F ( x ) 都存在 且 F ( x ) 0; f ( x ) (3) lim A ( A可为有限常数也可为无穷大); x x0 F ( x ) f ( x) f ( x ) 那末 lim lim A. x x0 F ( x ) x x 0 F ( x )
f ( x ) 与 F ( x ) 都趋于零或都趋于无穷大，那末 f ( x) 极限 lim 可能存在、也可能不存在．通 x x0 F ( x ) ( x ) 0 常把这种极限称为 或 型不定式. 0
tan x 0 例如, lim ,( ) x 0 0 x
lnsin x lim , x 0 lnsin 3 x
( 在x与x0 之间)
f ( ) f ( x ) A, 当x x0时, x0 , lim A, lim x0 F ( ) x x0 F ( x )
f ( x) f ( ) f ( x ) lim lim lim A. x x F ( x ) x x0 F ( x ) x0 F ( )
0 ( ) 0
x arctan x 求 lim . 3 x 0 ln(1 x )
1 x2 lim lim 2 2 2 x 0 3(1 x ) x 0 3 x (1 x )
1 . 3
17
练习 求 lim 2
x
arctan x 1 x .
( 0 ) 0
上面两式相比即得结论.
两个 不 一定相同!
错!
注意：(1)在柯西定理中，f ( )、F ( )是在
同一点 处 f ( x )、F x）的导数值； （
(2)若F ( x) x，柯西定理即拉格朗日定理.
6
二、洛必达(L’Hospital) 法则
1.不定式的定义
定义 如果当 x x0 (或 x ) 时，两个函数
( )
2
0 （ ） 0 1
cos 3 x 6cos 3 x sin 3 x lim lim cos x 3 x 2cos x sin x x 2
2
0 （ ） 0
3sin 3 x lim sin x x
2
3.
22
4. 其它不定式
关键:将其它类型不定式化为洛必达法则可解决
f (b ) - f (a ) f ( ) F (b) - F (a ) F ( ) 成立.
2
柯西定理的几何意义: 在曲线弧AB上至少有一点
C ( F ( ), f ( )),曲线在该点处 的切线平行于弦AB.
切线斜率 弦的斜率
Y
C
f (b) X F ( x) 设： (a x b) f ( ) Y f ( x)
4
证: 作辅助函数
f (b) f (a ) ( x ) f ( x ) f (a ) F ( x ) F (a ) F (b) F (a )
则 ( x) 在[a, b] 上连续 , 在 (a, b)内可导, 且
(a ) (b) 0, 由罗尔定理知,
（ ）
a bx = lim b x 0 ax
（等价无穷小代换）
1.
21
例7
解 原式 lim sec x 1 lim cos 3 x 3sec 2 3 x 3 x cos 2 x x 2
2
2 （ ）
tan x 求 lim . x tan 3 x
2
19
注意：
f ( x ) 0 1. 如果 仍属 或 型，且 f ( x ), F ( x ) 满足 F ( x ) 0 定理的条件，可以使用洛必达法则，即
f ( x) f ( x ) f ( x ) lim lim lim . x x0 F ( x ) x x0 F ( x ) x x0 F ( x )
第三节 洛必达法则
一、柯西(Cauchy) 定理 二、洛必达（L’Hospital）法则 三、小结
1
一、柯西(Cauchy) 定理
如果函数f ( x )及F ( x )满足:
(1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续; (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导;
则至少有一点 (a , b) , 使等式
2. 将x x0换成x x0 ， x x0 ，x ，
x ，x -时 ,洛必达法则仍然成立.
例如 sin 2 x sin( x 1) ， lim ， lim x 0 sin 5 x x 1 x 1
x
lim
e
x
1 x
10
例1
tan x 求 lim . x 0 x
0
证毕
9
注意：
f ( x ) 0 1. 如果 仍属 型，且 f ( x ), F ( x ) 满足 F ( x ) 0
定理的条件，可以继续使用洛必达法则，即 f ( x) f ( x ) f ( x ) lim lim lim . x x0 F ( x ) x x0 F ( x ) x x0 F ( x )
( 1)
mn
m . n
14
x sin x 例5 求 lim . 3 x 0 sin x
1 cos x 解 原式 lim x 0 3sin 2 x cos x
0 （） 0
(
0 ) 0
1 1 cos x lim lim (分离非零因子) 2 x 0 3cos x x 0 sin x
的类型
(1) 0 型
0 或者 型. 0
0 或 0 . 方法: 0 0 例8 求 lim x 2e x . ( 0 )
x
x 2x 2 解 原式 lim x lim x lim x 0. x e x e x e
0
25
例10
求 lim x .
x x 0
(0 )
0
解 原式
x 0
lim e
0 （） 0
0 ( ) 0
(tan x) 解 原式 lim x 0 ( x )
sec 2 x lim x 0 1
1.
11
例2
lnx lna 求 lim x a xa
0 （ ） 0
(a 0)
0 ( ) 0
( lnx lna ) 解 原式 lim x a ( x a )
Ｂ
注意:
f (a)
dY f ( x ) dX F ( x )
Ａ
F (b) X
3
o F (a) F ( )
分析: 分母 : F (b) F (a ) F ( )(b a ) 0
(a b)
f (b) f (a ) F ( ) 0. 即要证：f ( ) F (b) F (a )
23
（） 2
（）
（2） 型不定式:
1 1 00 0 方法： . 0 0 0 0 0
2 1 例9 求 lim( 2 ). x 1 x 1 x 1
0 （ ） 0
( )
1 1 1 x 解 原式 lim . lim 2 x 1 2 x x 1 x 1 2
0 （） 0
注意：
不是不定式的极限绝不能使用洛必达法则!
6x 例如上式中的 lim 已经不是不定式了， x 1 6 x 2 如果再使用洛必达法则就会出现错误!
13
例4 求 lim sin mx . x sin nx
0 （ ） 0
(m、n N )
(
0 ) 0
m cos mx 解 原式 lim x n cos nx m cos m n cos n
0 （ ） x 0
sec2 x 1 lim x 0 3 x2
1 = . 3
16
1 x2 tan2 x lim 2 lim 2 x 0 3 x 3 x 0 x
练习:
解
1 1 x arctan x 1 x2 lim 原式 lim 3 x 0 x 0 3 x2 x
24
(3) 0 ,1 , 型不定式
0 0
方法:
0 e e 0 ln 0 指数化为 ln 1 ln 1 1 e e ln 1 0 ln 0 0 ln 0ln e e
0 ln 00 0ln 0
8
证明： 假定 f ( x0 ) F ( x0 ) 0,
则f ( x)、F ( x)在点x0的某邻域内是连续的.
设 x 为该邻域内任一点，则在以 x0 与 x 为端点的