第8章 列联表的对应分析
应用多元统计分析-第八章 列联与对应分析
82
123
% within sex
66.67 100.00%
观察值的分布
事实上，表8.2就是一个最简单的观察值 的分布。 观察值分布虽然反映了数据的分布，但 因为基数不同，不适合于进行对比。 为了能在此相统的基数上比较，使列联 表中的数据提供更多的分布
如果我们想进一步了解不同性别的人对 这项政策的观点是否存在着显著的差异， 就要进行检验。 从逻辑上讲，如果男女性别的人对这项 政策的看法相同，那么男性不赞同方案 的人应为：58×33.3%=19人，女性不赞同 方案的人应为：65×33.3%=22人。 这19人和22人就是本例中的期望值，由 此可以计算出期望值的分布。
对应分析
由于所有的检验都很显著，看来两个变 量的确不独立。 但是如何用象因子分析的载荷图那样的 直观方法来展示这两个变量各个水平之 间的关系呢？这就是本章要介绍的对应 分析（correspondence analysis）方法。 对应分析是将指标型的因子分析与样品 型的因子分析结合起来进行的统计分析。
例7.1—数据文件：ChMath.sav
这项研究是为了考察汉字具有的抽 象图形符号的特性能否会促进儿童 空间和抽象思维能力。 该数据以列联表形式展示在表中：
人们可以对这个列联表进行前面所说的X2检验来考 察行变量和列变量是否独立。结果在下面表 （通过Analyze-Descriptive Statistics-Crosstabs）
sex * opinion Crosstabulation
opinion
不赞成
sex 女 % within sex 男 Count % within sex Total Count
赞成
18
27.69 23 39.66
对应分析
p12 / p1. p22 / p2. p n 2 / pn .
p1 p / p1. p 2 p / p 2. pnp / pn.
pij n pij E ( ) = ∑ . pi. = p. j , j = 1,2,, p pi. i =1 pi.
因为原始变量的数量等级可能不同,所以为了尽 量减少各变量尺度差异,将行轮廓中的(各列元素) 均除以其期望的平方根.得矩阵D(R)
32 6
15 1
62 8
11 1
40 8
58 6
35 10
58 67
21 23
70 95
17 25
70 71
62 89
83 91
American European Japanese Large Medium Small Family Sporty Work 1 Income 2 Incomes Own Rent Married Married with Kids Single
变量的叉积矩阵
∑ R = (X* )′X* ( p × p)
样品的叉积矩阵
∑ Q = X* ( X* )′ ( n × n)
显而易见,变量和样品的叉积矩阵的阶数不同,一般来说, 显而易见,变量和样品的叉积矩阵的阶数不同,一般来说, 他们的非零特征根也不一样,那么能否将观测值做变换. 他们的非零特征根也不一样,那么能否将观测值做变换.
含义 雪糕 纯水 碳酸饮料 果汁饮料 保健食品 空调 洗衣机 毛毯
代码 Feel1 Feel2 Feel3 Feel4 Feel5 Feel6 Feel7 Feel8
含义 清爽 甘甜 欢快 纯净 安闲 个性 兴奋 高档
name1
product1 product2 product3 product4 product5 product6 product7 product8 feel1 feel2 feel3 feel4 feel5 feel6 feel7 feel8 50 508 55 109 34 11 30 2 368 217 19 142 16 2 4 3
对应分析方法与对应图解读方法
对应分析方法与对应图解读方法——七种分析角度对应分析是一种多元统计分析技术，主要分析定性数据Category Data方法，也是强有力的数据图示化技术，当然也是强有力的市场研究分析技术。
这里主要介绍大家了解对应分析的基本方法，如何帮助探索数据，分析列联表和卡方的独立性检验，如何解释对应图，当然大家也可以看到如何用SPSS操作对应分析和对数据格式的要求！对应分析是一种数据分析技术，它能够帮助我们研究由定性变量构成的交互汇总表来揭示变量间的联系。
交互表的信息以图形的方式展示。
主要适用于有多个类别的定类变量，可以揭示同一个变量的各个类别之间的差异，以及不同变量各个类别之间的对应关系。
适用于两个或多个定类变量。
主要应用领域：概念发展（Concept Development)新产品开发 (New Product Development)市场细分 (Market Segmentation)竞争分析 (Competitive Analysis)广告研究 (Advertisement Research)主要回答以下问题：谁是我的用户？还有谁是我的用户？谁是我竞争对手的用户？相对于我的竞争对手的产品，我的产品的定位如何？与竞争对手有何差异？我还应该开发哪些新产品？对于我的新产品，我应该将目标指向哪些消费者？数据的格式要求对应分析数据的典型格式是列联表或交叉频数表。
常表示不同背景的消费者对若干产品或产品的属性的选择频率。
背景变量或属性变量可以并列使用或单独使用。
两个变量间——简单对应分析。
多个变量间——多元对应分析。
案例分析：自杀数据分析上面的交互分析表，主要收集了48961人的自杀方式以及自杀者的性别和年龄数据！POISON（毒药）GAS（煤气）HANG（上吊）DROWN（溺水）GUN（开枪）JUMP（跳楼）（我们就不翻译成中文了，读者可以把六个方式想象成品牌或别的什么）当然，我们拿到的最初原始数据可能是SPSS数据格式记录表，其中，性别取值1-male 2-female，年龄取值1-5，分别表示不同年龄段。
对应分析
可见 λk 也是ZZ’的特征根，相应的特征向量是 Zu k
因此将原始数据矩阵X变换成矩阵Z，则变量和 样品的协差阵分别可表示为 A = Z ′Z 和B=ZZ′ ，A和 B具有相同的非零特征值，相应的特征向量有很密 切的关系。 这样就可以用相同的因子轴去同时表示变量 和样品，把变量和样品同时反映在具有相同坐标 轴的因子平面上。
= ∑ z ak z aj
a =1
n
pak − pa. p.k xak − xa. x.k = z ak = pa. p.k xa. x.k
令Z为zij所组成的矩阵，则 A = Z′Z
p1 j 称 p. j
p2 j p. j
L
pnj x1 j = p. j x. j
L
第i个行变量的期望：
E( pij p. j )=∑
j =1 p
pij p. j
. p. j = pi.
因为原始变量的数量等级可能不同，所以为了尽量 减少各变量尺度差异，将列形象中的各行元素均除以 其期望的平方根。得矩阵D(Q)
p11 p.1 p1. p21 D (Q ) = p.1 p2. M p n1 p.1 pn. p12 p.2 p1. p22 p.2 p2. M pn 2 p.2 pn.
X ⋅ X*
*
′
x11 − x1 x21 − x1 L xn1 − x1 x11 − x1 x12 − x2 L x1p − xp x12 − x2 x22 − x2 L xn2 − x2 x21 − x1 x22 − x2 L x2 p − xp = × M M M M M M x − x x − x L x − x x −x x − x L x − x np p n1 1 n2 2 np p 1p p 2 p p
对应分析方法与对应图解读方法 (2)
对应分析方法与对应图解读方法——七种分析角度对应分析就是一种多元统计分析技术,主要分析定性数据Category Data方法,也就是强有力的数据图示化技术,当然也就是强有力的市场研究分析技术。
这里主要介绍大家了解对应分析的基本方法,如何帮助探索数据,分析列联表与卡方的独立性检验,如何解释对应图,当然大家也可以瞧到如何用SPSS操作对应分析与对数据格式的要求！对应分析就是一种数据分析技术,它能够帮助我们研究由定性变量构成的交互汇总表来揭示变量间的联系。
交互表的信息以图形的方式展示。
主要适用于有多个类别的定类变量,可以揭示同一个变量的各个类别之间的差异,以及不同变量各个类别之间的对应关系。
适用于两个或多个定类变量。
主要应用领域:概念发展(Concept Development)新产品开发(New Product Development)市场细分(Market Segmentation)竞争分析(Competitive Analysis)广告研究(Advertisement Research)主要回答以下问题:谁就是我的用户？还有谁就是我的用户？谁就是我竞争对手的用户？相对于我的竞争对手的产品,我的产品的定位如何？与竞争对手有何差异？我还应该开发哪些新产品？对于我的新产品,我应该将目标指向哪些消费者？数据的格式要求对应分析数据的典型格式就是列联表或交叉频数表。
常表示不同背景的消费者对若干产品或产品的属性的选择频率。
背景变量或属性变量可以并列使用或单独使用。
两个变量间——简单对应分析。
多个变量间——多元对应分析。
案例分析:自杀数据分析上面的交互分析表,主要收集了48961人的自杀方式以及自杀者的性别与年龄数据！POISON(毒药)GAS(煤气)HANG(上吊)DROWN(溺水)GUN(开枪)JUMP(跳楼)(我们就不翻译成中文了,读者可以把六个方式想象成品牌或别的什么)当然,我们拿到的最初原始数据可能就是SPSS数据格式记录表,其中,性别取值1-male 2-female,年龄取值1-5,分别表示不同年龄段。
研究生统计学讲义第7讲R×C表资料分析
2分布具有可加性 ; 2分布常用作某些统计量分布 的近似。
例如，当处理组较多，各处理组样本含量较大时，
Kruskal Wallis法的H分布可用2分布来近似。 医学 中2检验是常用的检验方法之一。
第一节 一般四格表的2 检验
一、 2 检验的基本思想
2 检验的基本思想是衡量实际频数(actual frequency)和理论频数(theoretical frequency)之间的偏 离度。检验统计量的意义和算法可用基本公式来说明
2．配对四格表资料的独立性 2 检验 H0为配对的两种 属性相互独立，彼此无关。目的是推断配对的两种属 性(因素)是否有关。独立性的对立面就是相关，配对 四格表的独立性检验即行列属性的相关性检验。在配 对两法相关即不独立时，可认为差异无统计意义。在 配对两法无相关即独立时，可认为差异有统计意义。 统计量仍用四格表的 2 检验公式(见表10.3)，如两种 属性有关，可进而确定关系的密切程度。
理论数是根据检验假设 H0 来确定的，H0 为比较 的各组处理效果相同，均等于合计的处理效果，据 此推出第 r 行第c 列位置上理论数的计算公式为：
Trc
nr n
nc n
n
nr
nc n
式中 nr 表示第 r 行的行合计，nc 表示第 c 列的列合 计； n 表示总合计。
例8.1 某中医院收治367例胃脘痛患者，随机分成两 组，分别用新研制的中药胃金丹和西药治疗，结果 如表10.1，探讨两种药物疗效有无差别。
定义 如果u1，u2，...，un是n个相互独立的标准正 态变量，则称随机变量
2 = u12 +u22 +...+un2 服从自由度为df=n的2分布(2-distribution)。
对应分析
对应分析法一、简介对应分析(Correspondence analysis)也称关联分析、R-Q型因子分析，是近年新发展起来的一种多元相依变量统计分析技术，是一种多元统计分析技术，主要分析定性数据的方法，也是强有力的数据图示化技术。
对应分析是一种数据分析技术，它能够帮助我们研究由定性变量构成的交互汇总表来揭示变量间的联系。
交互表的信息以图形的方式展示。
主要适用于有多个类别的定类变量，可以揭示同一个变量的各个类别之间的差异，以及不同变量各个类别之间的对应关系，适用于两个或多个定类变量。
对应分析是由法国人Benzenci于1970年提出的，起初在法国和日本最为流行，然后引入到美国。
对应分析法是在R型和Q型因子分析的基础上发展起来的一种多元统计分析方法，因此对应分析又称为R－Q型因子分析。
在因子分析中，如果研究的对象是样品，则需采用Q型因子分析；如果研究的对象是变量，则需采用R型因子分析。
但是，这两种分析方法往往是相互对立的，必须分别对样品和变量进行处理。
因此，因子分析对于分析样品的属性和样品之间的内在联系，就比较困难，因为样品的属性是变值，而样品却是固定的。
于是就产生了对应分析法。
对应分析就克服了上述缺点，它综合了R型和Q型因子分析的优点，并将它们统一起来使得由R型的分析结果很容易得到Q型的分析结果，这就克服了Q 型分析计算量大的困难；更重要的是可以把变量和样品的载荷反映在相同的公因子轴上，这样就把变量和样品联系起来便于解释和推断。
对应分析数据的典型格式是列联表或交叉频数表。
常表示不同背景的消费者对若干产品或产品的属性的选择频率。
背景变量或属性变量可以并列使用或单独使用。
两个变量间——简单对应分析；多个变量间——多元对应分析。
对应分析的基本思想是将一个联列表的行和列中各元素的比例结构以点的形式在较低维的空间中表示出来。
它最大特点是能把众多的样品和众多的变量同时作到同一张图解上，将样品的大类及其属性在图上直观而又明了地表示出来，具有直观性。
R语言版应用多元统计分析对应分析
应用多元统计分析第8章 对应分析- 1-对应分析(Correspondence Analysis)是在因子分析的基础上发展起来的一种视觉化的数据分析方法,目的是通过定位点图直观地揭示样品和变量之间的内在联系。
R型因子分析是对变量（指标）进行因子分析，研究的是变量之间的相互关系；Q型因子分析是对样品作因子分析，研究的是样品之间的相互关系。
但无论是R型或Q型分析都不能很好地揭示变量和样品之间的双重关系。
而在许多领域错综复杂的多维数据分析中，经常需要同时考虑三种关系，即变量之间的关系、样品之间的关系以及变量与样品之间的交互关系。
法国学者苯参次(J.P.Benzecri)于1970年提出了对应分析方法，这个方法对原始数据采用适当的标度化处理，把R型和Q型分析结合起来，通过R型因子分析直接得到Q型因子分析的结果，同时把变量和样品反映到同一因子平面上，从而揭示所研究的样品和变量之间的内在联系。
在因子分析中，R型因子分析和Q型因子分析都是从分析观测数据矩阵出发的，它们是反映一个整体的不同侧面，因而它们之间一定存在内在联系。
对应分析就是通过某种特定的标准化变换后得到的对应变换矩阵Z将两者有机地结合起来。
具体地，就是首先给出变量的R型因子分析的协方差阵 和样品的Q型因子分析的协方差阵 。
由于矩阵 和 有相同的非零特征值，记为 ，如果 的对应于特征值 的标准化特征向量为 ，则容易证明， 的对应于同一特征值的标准化特征向量为当样本容量n很大时，直接计算矩阵 的特征向量会占用相当大的容量，也会大大降低计算速度。
利用上面关系式，很容易从 的特征向量得到 的特征向量。
并且由 的特征值和特征向量即可得到R 型因子分析的因子载荷阵A和Q型因子分析的因子载荷阵B，即有由于 和 具有相同的非零特征值，而这些特征值又是各个公因子的方差，因此设有p个变量的n个样品观测矩阵 ，这里要求所有元素 ，否则对所有数据同时加上一个适当的正数，以使它们满足以上要求。
对应分析
pij pi1 p '( L pi. pi.
r i
L
pip pi.
) i 1,L , n
P X j, Y i P(Y i)
Q pij pi.
j 1
p
显然，
j 1
p
pij pi.
1
p 所以， ir '是p维超平面 x1 x2 L xp 1 上的一个点。
对应分析方法（Correspondence Analysis）又称相应分
析是一种多元相依变量统计分析技术，是通过分析由定性 变量构成的交互汇总数据来解释变量之间的内在联系的。 同时，使用这种分析技术还可以揭示同一变量的各个类别 之间的差异以及不同变量各个类别之间的对应关系。该统 计研究技术在市场细分、产品定位、品牌形象以及满意度 研究等领域正在越来越广泛的运用。
p1 j p2 j M pij M pnj
L L
L
p1 p p1 p M pip M pnp
P ' ( p.1 , L , p. p ) J
• 行剖面和列剖面分析 已知 pij 表示变量Y的第i状态与变量X的第j状态同时出 现的概率,相应的 pi.和p. j 就有边缘概率的含义。 所谓行剖面是指当变量Y的取值定为i时,变量X的各个状 态出现的概率，即矩阵P中第i行的每一个元素除以 pi. 则第i行的行剖面为 表示条件概率
对应分析的目标就是在原假设被否定后，进一步探讨两特性 各状态之间的关系。
对应分析的基本理论
• 行剖面点集N(r) 对于一个频率矩阵 P ( pij )n p 第i个行剖面为
pij pi1 p '( L pi. pi.
对应分析 课件讲解
行记分(row score) xi和列记分yj的加权均值成 比例, 而列记分yj和行记分xi的加权均值成比 例. 数值r为行列记分的相关(在典型相关的意 义上).
记R=diag(ai.), C=diag(a.i), R1/2= diag(a.i1/2), 则上面式子为
rx=R-1Ay; ry=C-1A’x 或
例子（数据ChMath.txt )
该数据关于汉字读写能力的变量有三个水 平：
“纯汉字”意味着可以完全自由使用纯汉 字读写，
“半汉字”意味着读写中只有部分汉字 （比如日文），
而“纯英文”意味着只能够读写英文而不 会汉字。而数学成绩有4个水平（A、B、C、 D）。
人们可以对这个列联表进行前面所说的c2检验来考 察行变量和列变量是否独立。结果在下面表中 （通过Analyze－Descriptive Statistics－Crosstabs）
类似地，点击Continue之后，把“数学成绩” 选入Column (列)，并以同样方式定义其范围 为1到4。
由于其他选项可以用默认值，就可以直接点击 OK来运行了。这样就得到上述表格和点图。
附录 对应分析的数学
因子分析对变量和对样品要分别对待. 对应分 析把变量和样本同时反映到相同坐标轴(因子 轴)的一张图形上. 数学上, 令A=[aij]为n×p矩阵, x=[xi] 为n-(列) 向量, y=[yj] 为p-(列)向量. 那么(r,x,y)称为对 应分析问题C0(A)的解, 如果
Z’Z的特征根为l1≥l2≥…≥lp; Z’Z相应的特征 向量为u1,u2…,up. ZZ’相应的特征向量为 v1,v2…,vn.对最大的m个特征值得因子载荷阵
u11
l1
F
对应分析
对应分析对应分析方法（Correspondence Analysis）又称相应分析、关联分析，是一种多元相依变量统计分析技术，是通过分析由定性变量构成的交互汇总数据来解释变量之间的内在联系的。
同时，使用这种分析技术还可以揭示同一变量的各个类别之间的差异以及不同变量各个类别之间的对应关系。
特别是当分类变量的层级数比较大时，对应分析可以将列联表中众多的行和列的关系在低维的空间中表示出来。
而且，变量划分的类别越多，这种方法的优势就越明显。
对应分析的基本思想是将一个联列表的行和列中各元素的比例结构以点的形式在较低维的空间中表示出来。
它最大特点是能把众多的样品和众多的变量同时作到同一张图上，将样品的大类及其属性在图上直观而又明了地表示出来，具有直观性。
另外，它还省去了因子选择和因子轴旋转等复杂的数学运算及中间过程，可以从因子载荷图上对样品进行直观的分类，而且能够指示分类的主要参数(主因子) 以及分类的依据,是一种直观、简单、方便的多元统计方法。
该统计研究技术在市场细分、产品定位、品牌形象以及满意度研究等领域正在越来越广泛的运用。
方法原理◆将数据整理为交叉表，然后按照零假设成立的情况进行变量变换（计数资料连续化）。
◆分别对行变量和列变量进行因子分析，得到各自的因子分解方式和各类别的评分。
◆将行、列变量的因子分析结果结合起来观察，研究两变量各级别的关系。
要点◆是多维图示分析技术的一种◆与因子分析有关（分类资料的因子分析）◆通过图形直观展示两个/多个分类变量各类间的关系◆研究较多分类变量间关系时较佳◆各个变量的类别较多时较佳◆结果直观、简单例在研究读写汉字能力与数学的关系时，取得了232个美国亚裔学生的数学成绩和汉字读写能力的数据。
关于汉字读写能力的变量有三个水平：“纯汉字”意味着可以完全自由使用纯汉字读写，“半汉字”意味着读写中只有部分汉字（比如日文），而“纯英文”意味着只能够读写英文而不会汉字。
数学成绩有4个水平：A、B、C、F。
对应分析
对应分析对应分析的基本思想对应分析( Correspondence Analysis )又称为相应分析，是由法国统计学家于1970提出的，是在R型和Q型因子分析基础上，发展起来的一种多元相依的变量统计分析技术。
它通过分析由定性变量构成的交互汇总表来揭示变量间的关系。
当以变量的一系列类别以及这些类别的分布图来描述变量之间的联系时，使用这一分析技术可以揭示同一变量的各个类别之间的差异以及不同变量各个类别之间的对应关系。
对应分析方法是通过对交互表的频数分析来确定变量及其类别之间的关系。
例如，在分析顾客对不同品牌商品的偏好时，可以将商品与顾客的性别、收入水平、职业等进行交叉汇总，汇总表中的每一项数字都代表着某一类顾客喜欢某一品牌的人数，这一人数也就是这类顾客与这一品牌的“对应”点，代表着不同特点的顾客与品牌之间的联系。
通过对应分析，可以把品牌、顾客特点以及它们之间的联系同时反映在一个二维或三维的分布图上，顾客认为比较相似的品牌在图上的分布就会彼此靠近在一起。
根据顾客特点与每一品牌之间的距离，就可以判断它们之间关系的密切程度。
在对应分析中，每个变量的类别差异是通过直观图上的分值距离来表示。
这个距离并不是我们通常所说的距离，而是经过加权的距离，在加权的过程中，以卡方值的差异表现出来。
因此，对应分析的基础是将卡方值转变为可度量的距离。
卡方值是由累计交叉汇总表中每一交互组的实际频数与期望频数的差值计算得出。
如果卡方值是负值，就说明这一单元中实际发生频数低于期望频数。
每一单元格(每个行变量类别与列变量类别在表中的交叉点)频数的期望值取决于它在行分布中所占比例和列分布中所占比例。
如果某一单元格的卡方值是正值，而且数值很大，就说明这一单元格对应的行变量与列变量有很强的对应关系，这两个类别在图上的距离就会很近。
反之，若为负值，则在图上的距离就会远。
总之，对应分析是通过对定性变量构成的交互表进行分析，将定性变量的数据转变成可度量的分值，减少维度并做出分值分布图。
第8章 列联分析
( f0 - fe)2 fe
25
39
-14
40
35
5
47
42
5
46
42
4
69
627Leabharlann 5156-5
74
67
7
57
67
-10
36
29
7
26
26
0
19
31
-12
37
31
6
196
5.0256
25
0.7143
25
0.5952
16
0.3810
49
0.7903
25
0.4464
49
0.7313
100
1.4925
49
1.6897
表中主栏的每个单元有四个数据，各数据的含义分别为：条件频数，行百分数，列百分 数，总百分数。如低收入组经常购买中，第一个数字 25 为条件频数；第二个数字 15.8 为行
2
百分数，即 25/158=15.8%；第三个数字 19.2 为列百分数，即 25/130=19.2%；第四个数字 4.7 为总百分数，即 25/527=4.7%。在最右边和最下边的合计栏中各有两行数据，第一行是 边缘频数，第二行是边缘频数的百分数。如最右边的 30.0%=158/527，最下边的 24.7%=130/ 527。这里我们分析的是观察值的分布，但是仅仅依赖这些还难以进行深入的分析，为此我 们引入期望分布的概念。
53.1
43.6
52.8
40.7
13.1
9.7
14.0
10.8
36
26
19
37
30.5
22.0
对应分析
对应分析（Correspondence Analysis）在进行数据分析时，经常要研究两个定性变量（品质变量）之间的相关关系。
我们曾经介绍过使用列联表和卡方检验来检验两个品质变量之间相关性的方法，但是该方法存在一定的局限性。
卡方检验只能对两个变量之间是否存在相关性进行检验，而无法衡量两个品质型变量各水平之间的内在联系。
例如，汽车按产品类型可以分豪华型、商务型、节能型、耐用型，按销售区域可分为华北区、华南区、华中区、华东区、西南区、西北区、东北区。
利用卡方检验，只能检验销售地区与对型的偏好之间是否相关，但无法知道不同地区的消费者到底比较偏好哪种车型。
对应分析方法（Correspondence Analysis）又称相应分析、关联分析，是一种多元相依变量统计分析技术，是对两个定性变量（因素）的多种水平之间的对应性进行研究，通过分析由定性变量构成的交互汇总数据来解释变量之间的内在联系。
同时，使用这种分析技术还可以揭示同一变量的各个类别之间的差异以及不同变量各个类别之间的对应关系。
特别是当分类变量的层级数比较大时，对应分析可以将列联表中众多的行和列的关系在低维的空间中表示出来。
而且，变量划分的类别越多，这种方法的优势就越明显。
对应分析以两变量的交叉列联表为研究对象，利用“降维”的方法，通过图形的方式，直观揭示变量不同类别之间的联系，特别适合于多分类定性变量的研究。
对应分析的基本思想是将一个联列表的行和列中各元素的比例结构以点的形式在较低维的空间中表示出来。
它最大特点是能把众多的样品和众多的变量同时作到同一张图上，将样品的大类及其属性在图上直观而又明了地表示出来，具有直观性。
另外，它还省去了因子选择和因子轴旋转等复杂的数学运算及中间过程，可以从因子载荷图上对样品进行直观的分类，而且能够指示分类的主要参数（主因子）以及分类的依据，是一种直观、简单、方便的多元统计方法。
该统计研究技术在市场细分、产品定位、品牌形象以及满意度研究等领域得到了广泛的运用。
高中数学第八章成对数据的统计分析8.3列联表与独立性检验学案含解析选择性第三册
8.3 列联表与独立性检验最新课标(1）通过实例,理解2×2列联表的统计意义．（2）通过实例,了解2×2列联表独立性检验及其应用．[教材要点]要点一分类变量与列联表1。
分类变量：区别不同的现象或性质的随机变量称为分类变量．错误! 1.分类变量的取值一定是离散的．2。
分类变量是大量存在的，如是否吸烟，商品的等级等．2。
2×2列联表：一般地，假设有两个分类变量X和Y,它们的取值分别为｛x1，x2}和{y1,y2}，其样本频数列联表（称为2×2列联表)为错误!(1）列联表是两个或两个以上分类变量的汇总统计表，现阶段我们仅研究两个分类变量的列联表，并且每个分类变量(2）列联表有助于直观地观测数据之间的关系，如a表示既满足x1，又满足y1的样本量，错误!表示在x1情况下，又满足y1条件的样本所占的频率．要点二独立性检验1.定义：利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立性的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验"，简称独立性检验．2.公式：χ2＝错误!。
3.临界值：忽略χ2的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值α,可以找到相应的正实数xα，使得P（χ2≥xα）＝α成立，称xα为α的临界值．这个临界值就可作为判断χ2大小的标准．常用临界值表如下：错误!列联表中的数据是样本数据，它只是总体的代表,具有随机性，因此，需要用独立性检验的方法确认所得结论在多大程度上适用于总体，即独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论,因此才出现了临界值表,在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果做出错χ2≥10.828,就认为有99。
9％以上的把握认为“两个分类变量有关系"，或者说在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，可以认为“两个分类变量有关系"．通常认为χ2≤2.706时，样本数据中没有充分的证据支持结论“两个分类变量有关系"．［基础自测］1。
对应分析
对应分析练习题一．对应分析的思想方法及特点（一）对应分析的基本思想及特点对应分析的基本思想是将一个联列表的行和列中各元素的比例结构以点的形式在较低维的空间中表示出来。
它最大特点是能把众多的样品和众多的变量同时作到同一张图解上，将样品的大类及其属性在图上直观而又明了地表示出来，具有直观性。
另外，它还省去了因子选择和因子轴旋转等复杂的数学运算及中间过程，可以从因子载荷图上对样品进行直观的分类，而且能够指示分类的主要参数（主因子）以及分类的依据，是一种直观、简单、方便的多元统计方法。
（二）对应分析方法的优缺点1.定性变量划分的类别越多，这种方法的优越性越明显2.揭示行变量类间与列变量类间的联系3.将类别的联系直观地表现在图形中4.不能用于相关关系的假设检验5.维数有研究者自定6.受极端值的影响二．对应分析中的总惯量总惯量不仅反映了行剖面集定义的各点与其重心加权距离的总和,同时与2 统计量仅相差一个常数,而统计量反映了列联表横联与纵联的相关关系,因此总惯量也反映了两个属性变量各状态之间的相关关系。
对应分析就是在对总惯量信息损失最小的前提下，简化数据结构以反映两属性变量之间的相关关系。
三．对应分析具体案例1.搜集5387位中学生眼睛颜色与头发颜色的调查数据，应用对应分析比较两变量的关系2.对数据进行预处理，以频数变量进行加权：分析-降维-对应分析3.结果分析（1）对应分析反映的是眼睛颜色和头发颜色不同组合下的实际样本数（2）对应分析摘要维度=最小分类数（眼睛颜色数）-1，前两个维度就解释了99.6%的信息。
（3）对应分析坐标值及贡献值质量栏表示各种类别的构成比，维中的得分栏表示个类别在相关维度上的评分，惯量栏给出了总惯量在行变量中的分解情况，数值越大表示该类别对惯量的贡献越大。
深色、蓝色、浅色都主要分布在第一维度上，棕色主要分在第二维度上，总计表示各唯独的信息比例之和，可见红色这一类别在前两位中只提出80.3%的信息，效果最差。
高考数学必背知识手册-第八章-成对数据的统计分析(公式、定理、结论图表)
第八章成对数据的统计分析（公式、定理、结论图表）一、成对数据的统计相关性1．变量的相关关系(1)函数关系函数关系是一种确定性关系，常用解析式来表示.(2)相关关系两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系.2．散点图(1)散点图成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图. (2)正相关和负相关如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关.3．线性相关一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，则称这两个变量线性相关.4．样本相关系数(1)对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(,)，(,)，，(,)，利用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，相关系数r的计算公式：（其中，，，和，，，的均值分别为和）.①当r >0时，称成对样本数据正相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常也变小；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常也变大.②当r <0时，称成对样本数据负相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常会变大；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常会变小.二、一元线性回归模型及其应用1.线性回归方程：（1）最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．（2）回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，其回归方程为a bx y +=∧，则1221,.ni i i nii x y nx y b x nx a y bx ==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑注意：线性回归直线经过定点(),x y ．（3）相关系数：()()()()12211nii i nni i i i xx y y rx x y y ===--=--∑∑∑1222211ni ii n ni i i i x y nxyx nx y ny ===-=⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑．【方法归纳】（1）利用散点图判断两个变量是否有相关关系是比较直观简便的方法．如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．若点散布在从左下角到右上角的区域，则正相关．（2）利用相关系数判定，当r 越趋近于1相关性越强．当残差平方和越小，相关指数2R 越大，相关性越强．（3）在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，也可计算相关系数r 进行判断．若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．（4）正确运用计算 ,ba 的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键．并充分利用回归直线 y bxa =+ 过样本点的中心(),x y 进行求值．2、回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。
对应分析在市场研究中的应用
品牌A在消费者中的形象为：历史悠久，适 合任何时候食用，适合小孩食用，物有所值， 质量比以前差了。 品牌B在消费者中的形象为：口感好，营养 好，方便面专家，味道够地道，质量好，牌 子高档，经验丰富，不断推出新产品，包装 美观。 品牌C在消费者中尚未建立一定的形象。
象限分析：根据原点把整个图划分成四 象限，每个象限代表着不同属性的点 （产品），具体原理可参见SWOT分析， 另遇到可以用 SWOT方式解读是很特殊 和偶然的情况，读者需要根据实际情况 选择此方法。
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对应分析在市场研究中的运用
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对应分析在市场研究中应用
对应分析可以回答的问题
谁是我的用户？ 还有谁是我的用户？ 谁是我竞争对手的用户？ 相对于我的竞争对手的产品，我的产品的定位如何？ 与竞争对手有何差异？ 我还应该开发哪些新产品？ 对于我的新产品，我应该将目标指向哪些消费者
pij nij / n
5
对应分析 Correspondence Analysis CA
基于行列变量之间交叉列联表的关联性的一种低维表现图
数据是列联表中的频数，也可以是距离或其它测量尺度 非常普遍和流行的方法 非常适合研究两个定类变量——定性数据的分析 程序生成对应图 品牌和属性靠近的点具有相关性
7
对应分析的步骤
Step 4
解读对应分析图
p 3
运用SPSS执行对应分析
Step 2
建立列联表
通过统计软件（SPSS）进行计算, 并描绘 出对应分析图。
通过列连联表的形式将需要的数据特征描述出来。
Step 1
获取对应分析数据
首先需明确研究的目的，进而选择对应分析 中所需数据
8.3.1分类变量与列联表课件(人教版)
，y =
,
1, 该生数学成绩优秀
1, 该生来自乙校
我们将所给数据整理成表（单位：人）
学校
甲校(X=0)
乙校(X=1)
合计
数学成绩
合
不优秀(Y=0) 优秀(Y=1) 计
33
38
71
10
7
17
43
45
88
左表是关于分类变量X和Y的抽样数据
的2×2列联表:最后一行的前两个数分
别是事件(Y=0)和(Y=1)的频数;最后一
(1)频率分析法：通过对样本的每个分类变量的不同类别事件产生的频率大
小进行比较来分析分类变量之间是否有关联关系.
如可以通过列联表中
与
值的大小粗略地判断分类变量x和Y之间有无
+
+
关系.一般其值相差越大,分类变量有关系的可能性越大.
(2)图形分析法：与表格相比，图形更能直观地反应出两个分类变
巩固练习
4.假设在本小节“问题”中,只是随机抽取了44名学生,按照性别和体育锻
炼情况整理为如右的列联表:单位:人 性别
数学成绩
合
(1)据此推断性别因素是否影响学生
不经常(Y=0) 经常 (Y=1) 计
锻炼的经常性;
5
15
20
女生(X=0)
(2)说明你的推断结论是否可能犯错,
6
18
24
男生(X=1)
8.3列联表与独立性检验
8.3.1 分类变量与列联表
回顾旧知
1.线性回归模型y＝bx＋a＋e含有随机误差e，其中x为解释变量，y响应变量
n
2.残差平方和：Q(a, b) yi (bxi a )
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第八章 对应分析
对应分析的思想
根据独立性检验的原理，当卡方值较大时 认为两个属性变量之间不相互独立； 皮尔逊据此提出了度量属性变量相关程度 的φ系数， 2 / n ；该系数实质上是对 pearson相关系数的估计，即 ( p p p )2
I
ij i j
对应分析中，把I称为总惯量(Inertia)。 根列联表的对应分析
主要步骤：
行属性分析
首先根据R型因子分析法，把总惯量I分解：
I , 1 2 m 其中， 0是T的m个非零特征根 1 2 m
然后，一般取前两个主成分，使它们的贡献率>80%以上； 并计算各类别在I的两个组成部分中的得分，形成横坐标 和纵坐标； 根据Q型因子分析法，按照与行分析类似的步骤计算出横 坐标和纵坐标；
pi p j
对应分析的思想
在知道相关程度大小基础上，我们还想进一步 了解属性A的哪几个类别与属性B的哪几个类 别相关性强，它们相互对应。这就是对应分析。 基本思想：对应分析是把总惯量I分解为几个 部分，这几部分中有的对属性A与B相关程度 的度量值大，有的小，将它们按主次顺序排列， 然后取其前两个部分，并计算属性A的r个类别 和属性B的c个类别在其中的得分，把它们表现 在平面图上。它们的距离越近，表示有差不多 的得分，从而认为它们相互对应。
高维列联表的对应分析
三维以上的列联表对应分析称为多重对应分析。 就三维列联表而言，对应分析与二维表有所不 同。二维表讨论的是两个属性的类别间的对应 关系，三维表则是讨论某个属性与另外两个属 性的对应关系。 三维列联表对应分析的解决办法是：通过构造 一个二维列联表，对二维表进行对应分析。 对三维以上的列联表的对应分析，可以与三维 表类似，通过构造二维表的方式来进行对应分 析。
其中， ,T m min{r, c} 1为观察向量矩阵的协差阵；
列属性分析
二维列联表的对应分析
最后，把以上坐标点在对应分析图上。
i1 i2
j1 j2
在对应分析图上，点 ( f , f )与点 ( g , g )距离越近， 就认为属性A的第i个类别Ai，与属性B的第j个 类别Bj相对应。 需要指出的是，对应分析中对于一个实际问题 来说，不能说对应分析与样本量n没有任何关 系。 很显然，尽管是利用概率列联表进行的对应分 析，但概率还是要以观测频数为依据来估计的。