物理竞赛1-35届真题分类6(万有引力2)

i 1
M ri （2） ri 2
符号

i 1
n
表示对所有小段求和．因△ri = ri － ri－1 是个小量，注意到 riri－1 = ri( ri －
n
2 △ri ) ≈r ，因此
i
r
i 1
ri
2
i

i 1
n
ri ri 1 n 1 1 1 1 ( ) ri ri 1 ri r0 rn i 1 r i 1
1
2 EL2 为偏心率， m 和 E 分别为 P 的质量和机械能。假设有一颗彗星绕太阳运动 G 2 M 2 m3 的轨道为抛物线，地球绕太阳运动的轨道可近似为圆，两轨道相交于 C、D 两点，如图所示。 已知地球轨道半径 RE 1.49 1011 m ，彗星轨道近日点 A 到太阳的距离为地球轨道半径的三分 之一，不考虑地球和彗星之间的相互影响。求彗星
R +
2
π
2
（9）
4
根号前取正号，代入有关数据，注意到 T = 8.64 ×10 s ，得 Rl = 1.50 ×108 m （10） 8 所以天梯的长度 L = Rl －R0 = 1.44 ×10 m （11） （24 届决赛）二、 （本题 20 分）为了近距离探测太阳并让探测器能回到地球附近，可发 射一艘以椭圆轨道绕太阳运行的携带探测器的宇宙飞船，要求其轨道与地球绕太阳的运动轨 道在同一平面内，轨道的近日点到太阳的距离为百分之一 AU（AU 为距离的天文单位，表示太 阳和地球之间的平均距离，1AU=1.495*10 E12m），并与地球具有相同的绕日运行周期（为简 单计算，设地球以圆轨道绕太阳运动）。试问从地球表面应以多大的相对于地球的发射速度 u(发射速度是指在关闭火箭发动机，停止对飞船加速时飞船的速度)发射此飞船，才能使飞船 在克服地球引力作用后，仍在地球绕太阳运行轨道附近（也就是说克服了地球引力作用的飞 船仍可看作在地球轨道上）进入符合要求的椭圆轨道绕日运行？ 已知地球半径 R=6.37*10E6m,地面处的重力加速度 g=9.80m/s2，不考虑空气阻力。
2
Rl －R0
2
（5）
T
（ 6）
式中 T 为地球自转的周期． 由（3）、（4）、（5）、（6）式可得 2 GMT ( Rl －R0 ) ( R + R0Rl － ) = 0 2 l 2π R0
2
Rl －R0 = 0 ，表示天梯无长度，不符合题意，符合题意的天梯长度满足的方程为 2 GMT2 R + R0Rl － = 0 （7） 2 l 2π R0
相减可得
（1）
ma
kq 2 er r2
（2）
其中 a aB aA 为 B 相对于 A 的加速度。（2）式表明，B 相对于 A 的运动即力心固定之 库仑势场中质点的 m 运动，其电势能为：
kq 2 U 2 r
(3)
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中心力场中运动质点的角动量、能量守恒。此处角动量与能量均应为 B 相对 A 的运动的 值，可由初始条件定出：
kq 2 ，k 为静 md
y
O B u A d u 0 0
参考答案：
x
两质点的相对位矢为 r r A r B ，记其单位矢量为 e r
r 。由于质点约束在管内运动， r
所受合力必定沿运动方向，即静电力沿运动方向的分力，两质点运动方程
kq 2 ma A 2 (er i )i r kq 2 maB 2 (er j ) j r
L mdi (u0 j u0 i ) md
kq 2 md
（4）
1 kq 2 kq 2 2 E m(u0 j u0 i ) 2 2 d d
（5）
所求量即近力心点到力心的距离 rm ，该点速度 um 必与矢径 rm er 垂直，故有：
mrmum md
kq 2 md
度为 ρ 的许多非常小的小段组成，则每小段到地球中心的距离不同，因而所受地球引力的大 小也不同，其中与地心的距离为 ri－1 到 ri 间的长度为△ri 的小段所受地球引力为
f i= G
Mρ△ri r
2
（ 1）
i
n
整个天梯所受的地球引力 F 就等于每小段所受地球引力之和， 即F =

i 1
n
fi = G
/ l
缩放，则周期按 缩放，故有
（7）
l /3
/2
（8） 2 3 （9） l
/
1 2
评分标准： 本题共 15 分 第一小题占 10 分，正确得出（6）式得得 10 分，其中正确得出（5）式得 5 分。 第二小题占 5 分。正确得出（9）式得 5 分。
（28 届决赛）三、（20 分）某空间站 A 绕地球作圆周运动，轨道半径为 rA=6.73×10 m. 一人造地球卫星 B 在同一轨道平面内作圆周运动，轨道半径为 rB=3rA/2，A 和 B 均沿逆时针方 向运行。现从空间站上发射一飞船（对空间站无反冲）前去回收该卫星，为了节省燃料，除 了短暂的加速或减速变轨过程外， 飞船在往返过程中均采用同样形状的逆时针椭圆转移轨道， 作无动力飞行。往返两过程的椭圆轨道均位于空间站和卫星的圆轨道平面内，且近地点和远 6 地点都分别位于空间站和卫星的轨道上， 如图 28 决—3 所示。 已知地球半径为 Re=6.38×10 m， 2 地球表面重力加速度为 g=9.80m/s .试求： （1）飞船离开空间站 A 进入椭圆转移轨道所必须的速度增量 ΔvA，若飞船在远地点恰好 与卫星 B 相遇，为了实现无相对运动的捕获，飞船所需的速度增量 ΔvA. （2）按上述方式回收卫星，飞船从发射到返回空间站至少需要的时间，空间站 A 至少需 要绕地球转过的角度。
(6) (7)
1 kq 2 kq 2 mrum 2 2 2 2 rm d
从而解得 r
1 5 d 4
（8）
评分标准： 本题共 20 分 正确得出（3）式得 10 分；（4）、（5）、(6)、(7)与(8)各占 2 分。 (33 届复赛)三、 （20 分）木星是太阳系内质量最大的行星（其质量约为地球的 318 倍） 。 假设地球与木星均沿 圆轨道绕太阳转动，两条轨道在同一平面内。将太阳、地球和木星都视 为质点，忽略太阳系内其 它星体的引力；且地球和木星之间的引力在有太阳时可忽略。已 知太阳和木星质量分别为 ms 和 m j ，引力常量为 G 。地球和木星绕太阳运行的轨道半径
6
（26 届决赛）三、（20 分）在水平面上有两根垂直相交的内壁光滑的连通细管，管内放 置两个质量均为 m、电荷量均为 q 的同号带点质点 A 和 B。初始时，质点 A 至两管交点 O 的距
离为 d，质点 B 位于交点 O 处，速度相互垂直，方向如图所示，大小均为 u0 电力常量。求在以后的运动中，它们之间的最小距离。
分别是 re 和 rj 。假设在某个时刻，地球与太阳的连线和木星与太阳的连线之间的夹角为 θ 。 这时若太阳质量突然变为零，求 （1）此时地球相对木星的速度大小 vej 和地球不被木星引力俘获所需要的最小速率 v0 （ 2 ） 试 讨论 此 后 地 球 是 否 会 围 绕 木 星 转 动 ， 可 利 用 （ 1 ） 中 结 果 和 数 据
（26 届决赛） 二、 （15 分） 天体或微观系统的运动可借助计算机动态模拟软件直观显示。 这涉及几何尺寸的按比例缩放。为使显示的运动对缩放后的系统而言是实际可发生的，运动 时间也应缩放。 1.在牛顿力学框架中，设质点在力场 F (r ) 中作轨道运动，且有 F ( r ) F (r ) ， k 为 常数， r 为位矢。若几何尺寸按比率 缩放显示，确定运行时间的缩放率。 2.由此证明，行星绕太阳轨道运动周期的平方与轨道几何尺寸的立方成正比。 参考答案
真题分类----万有引力 2
（23 届决赛）一、建造一条能通向太空的天梯，是人们长期的梦想．当今在美国宇航局 （NASA）支持下，洛斯阿拉莫斯国家实验室的科学家已在进行这方面的研究．一种简单的设 计是把天梯看作一条长度达千万层楼高的质量均匀分布的缆绳，它由一种高强度、很轻的纳 米碳管制成，由传统的太空飞船运到太空上，然后慢慢垂到地球表面．最后达到这样的状态 和位置： 天梯本身呈直线状； 其上端指向太空， 下端刚与地面接触但与地面之间无相互作用； 整个天梯相对于地球静止不动．如果只考虑地球对天梯的万有引力，试求此天梯的长度．已 6 －2 知地球半径 R0 = 6.37 ×10 m ，地球表面处的重力加速度 g = 9.80 m·s ．
（1） (2)
a / lim /
缩放前后质点均满足牛顿运动方程，即 (3) ma F (r )
ma / F (r / )
ma k 1 2 F (r )
(4)
k
利用（2）式及 F ( r ) F (r ) ，（4）式化简为 （5）
k 1 2
对照（3）式，得 （6） 2.万有引力场中，有 k 2 ，设想轨道尺寸按
T
) ri
2
（4′）
对所有小段求和，就得到整个天梯所受的惯性离心力
F ′ =
f = (
i 1 i
n

n
2π
i 1
T
) ri△ri
2
（5′） 2π
2
（5′）式中所示的和可以用图 2 过原点的直线 y = ρ( 面积来表示，即 y ( Rl － ρ( 2π 2 ) Rl T
T
) r 下的一个带阴影的梯形
k
1.设位矢、时间缩放分别为 r r , t t , 故速度、加速度满足关系
/ /
v / lim /
r / r lim v / t 0 t t 0 t v / v 2 lim v / t 0 t t 0 t 2
2 2 R0gT 因为 GM = R g ，所以得 R + R0Rl － 2 = 0 0 l 2π
2
（8）
【从跟随地球一起转动的参考系看，也可得到（8）式．这时，天梯在地球引力和惯性离 心力的作用下，处于平衡静止状态，地球引力仍为（3）式，天梯所受的惯性离心力可由下面 的方法求得： 仍把天梯看作由很多长度为△ri 的小段组成， 则第 i 小段受的惯性离心力为 f i′ = ρ△ri( 2π
用 R0 表示地球半径，也就是天梯下端到地心的距离，Rl 表示天梯上端到地心的距离，则 r0 = R0 ，rn = Rl ，代入（2）式得
F = GMρ(
1
Rl 整个天梯的质量 m = ρ ( Rl －R0 )
R0
－
1
)
（3）
（4）
天梯的质心位于天梯的中点，它到地心的距离 rC = R0 + 根据质心运动定理，有 F = mrC ( 2π )
一、要使天梯相对于地球静止不动，由地面伸向太空，与地面之间无相互作用力，这样 的天梯的下端只能位于赤道上某处，且天梯与该处地球表面垂直，并与地球同步转动．如图 1 所示． 从坐标原点与地球中心 固连、 L 坐标轴指向恒星的惯性参考 系来 R1 R0 看，天梯和地球一起匀速转 O 动．天梯所受的外力只有地 球的 万有引力．把天梯看作是由 线密 图1
F ′ = ρ( R0 )
2π
T
)
2
R0 + Rl
2
（6′） 因为地球引力与惯性离心力平衡， 由（3）式和（6′）式可得
GM ( R0 + Rl
2
1
R0
－
1
Rl
) =(
2π
T
)
2
ρ(
2π 2 ) R0 T r O R0 图2
2
( Rl －R0 )
（7′）
Rl
2 因为 GM = R g ，化简（7′）式 0 最后也能得到（8）式．】 －R0 ± 解（8）式得 Rl = 2 0 2R0gT
ms 2.0 1030 Kg ， m j 1.9 1027 Kg ，木星的周期 T 12 y
（34 届复赛 17 年）二、（40 分）星体 P（行星或彗星）绕太阳运动的轨迹为圆锥曲线 k r P C 1 cos 式中， r 是 P 到太阳 S 的距离， 是矢径 SP 相对于 r L2 A 极轴 SA 的夹角（以逆时针方向为正）， k , L B 2 GMm S 11 3 1 2 RE 是 P 相对于太阳的角动量， G 6.67 10 m kg s 为 引 力 常 量 ， M 1.99 1030 kg 为 太 阳 的 质 量 ， D