专题03三角函数与平面向量(讲)2017年高考数学(理)二轮复习讲练测(无答案)

2017年高三二轮复习讲练测之讲案【新课标版理科数学】专题三 三角函数与平面向量考向一 三角恒等变形 1.讲高考 【考纲要求】：(1)两角和与差的三角函数公式①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．②会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．③会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系． (2)简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)． 【命题规律】（1）预计2017年高考仍将在角的变换、角的范围方面对三角恒等变形进行考查，对两角和与差、二倍角公式将重点考查；（2）对三角恒等变换的考查力度可能会加大，对角的变换的考查，使问题更具有综合性，复习时需加强这方面的训练；（3）通过三角恒等变换，化简三角函数式，进一步研究函数的性质、解三角形等是常考题型. 例1【2016高考新课标3理数】若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625例2【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725（B ）15 （C ）15- （D ）725-2.讲基础1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1) sin()αβ±=____________________. (2) cos()αβ±=____________________. (3) tan()αβ±=____________________. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1) sin 2α=______________．(2) cos 2α=___________＝___________＝___________． (3) tan 2α=____________________. 3．半角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin α2＝±1－cosα2. (2)cos α2＝±1＋cosα2. (3)tan α2＝±1－cosα1＋cosα＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.4．几个常用的变形公式(1)升幂公式：1±sinα＝____________________；1＋cosα＝____________________；1－cosα＝____________________． (2)降幂公式：sin 2α＝____________________；cos 2α＝____________________． (3)tan α±tan β＝______________________； tan αtan β＝tan α－tan βtan （α－β）－1＝1－tan α＋tan βtan （α＋β）.(4)辅助角公式：asinα＋bcosα＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中cosφ＝____________________，sinφ＝________________，或tan φ＝________________，φ角所在象限与点 (a ，b)所在象限________． 3.讲典例【例1】【湖北省襄阳市四校2017届高三上学期期中联考】θ为锐角，sin 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则1tan tan θθ+=（ ） A ．2512 B ．724 C ．247 D ．1225【趁热打铁】已知tan()2θπ-=，则22sin sin cos 2cos 3θθθθ+-+的值为 . 【例2】【四川省资阳市2017届高三上学期第一次诊断考试】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，(2)(0)P m m m -≠，是角α终边上的一点，则tan()4απ+的值为（ ）A ． 3B ．13 C ． 13- D ． 3- 【趁热打铁】【山西大学附中2017届高三第二次模拟测试】已知θ的终边过点()2,3，则7tan 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）A ．15-B ．15C ．-5D ．5 4.讲方法(1)巧记六组诱导公式 对于“απ±2k ，Z k ∈的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限． (2)几个常见的变形切入点： ①ααcos sin 可凑倍角公式； ②αcos 1±可用升次公式；③αsin 1±可化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-±απ2cos 1，再用升次公式；或21sin sin cos 22ααα⎛⎫±=± ⎪⎝⎭④()ϕααα++=+sin cos sin 22b a b a （其中 ab=ϕtan ）这一公式应用广泛，熟练掌握.⑤当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式； ⑥当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． ⑦常见的配角技巧：22αα=⋅；()ααββ=+-；()αββα=--；1[()()]2ααβαβ=++-；1[()()]2βαβαβ=+--；()424πππαα+=--；()44ππαα=--. 5.讲易错 若函数1cos 2()sin cos()224sin()2xx xf x a x ππ+=--+的最大值为2，试确定常数a 的值．【错因】上述表达式中要根据诱导公式以及二倍角公式的降幂变形，最后利用辅助角公式将函数转化为关于x 的三角函数的表达式，用错公式是本题出错的原因.【反思提升】善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，完成统一角和角与角转换的目的是三角函数式的求值的常用方法. 三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角． 考向二 三角函数的图象和性质 1.讲高考 【考纲要求】 (1)任意角、弧度制①了解任意角的概念和弧度制的概念． ②能进行弧度与角度的互化． (2)三角函数①理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．②能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y ＝sinx ，y ＝cosx ，y ＝tanx 的图象，了解三角函数的周期性．③理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的单调性． ④理解同角三角函数的基本关系式： sin 2x ＋cos 2x ＝1，sinxcosx＝tanx.⑤了解函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 【命题规律】（1）预计2017年高考仍将作为基础内容出现于综合题中，分值为5到12分；（2）三角函数的周期性、单调性、有界性及图象的平移和伸缩变换，以函数性质为主的结合图象的综合题，在复习时应予以关注.例1.【2016高考浙江理数】设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ）A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关 例2.【2016高考天津理数】已知函数f(x)=4tanxsin(2x π-)cos(3x π-(Ⅰ)求f (x )的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论f(x)在区间[,44ππ-]上的单调性. 2.讲基础（1）特殊角的三角函数值※sin15易求15°，75°的余弦值和余切值． （2）三角函数的图象和性质（3）用五点法画用五点法画y ＝Asin(ωx ＋φ)在一个周期内的简图时，要找五个特征点，如下表所示.（4）图象变换(ω＞路径①：先向左(φ>0)或向右(φ<0)平移________个单位长度，得到函数y ＝sin(x ＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的________倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象．路径②：先将曲线上各点的横坐标变为原来的________倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ωx 的图象；然后把曲线向左(φ>0)或向右(φ<0)平移 个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的________倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象． 3.讲典例【例1】【河南省天一大联考2017届高中毕业班阶段性测试（二）】将函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，22ππϕ-<<）图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半，再向右平移6π个单位长度得到函数sin y x =的图象，则ω，ϕ的值分别为（ ）A ．12，6π B ．23π, C ．2,6πD ．1,26π-【趁热打铁】将函数sin(2)3y x π=+的图象向右平移ϕ(0ϕ>)个单位，所得图象关于原点O对称，则ϕ的最小值为（ ）A.23π B.3π C.6π D.12π 【例2】【河南省新乡市2017届高三上学期第一次调研测试】已知函数()()2sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则把函数()f x 的图像向左平移6π后得到的函数图象的解析式是（ ）A ．2sin 2y x =B ．2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．2sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【趁热打铁】【河北省衡水中学2016届高三二调4】已知函数()sin y x m ωϕ=A ++的最大值为4，最小值为0．两个对称轴间最短距离为2π，直线6x π=是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式为( ) A ．4sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 226y x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭C ．2sin 3y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭D ．2sin 223y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭讲方法1.函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象的作法（1）五点法：用“五点法”作sin()y A x ωϕ=+的简图，主要是通过变量代换，设z x ωϕ=+，由z 取0， 2π，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．（2）图象变换法：由函数sin y x =的图象通过变换得到sin()y A x ωϕ=+的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是||ϕ个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是||(0)ϕωω>个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是于x ω加减多少值．2.确定sin()(0,0)y A x b A ωϕω=++>>的步骤和方法 （1）求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则2M m A -=，2M mb +=. （2）求ω，确定函数的周期T ，则可得2Tπω=. （3）求ϕ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y b =的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定ϕ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下： “第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时0x ωϕ+=；“第二点”(即图象的“峰点”)时2x πωϕ+=；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时x ωϕπ+=；“第四点”(即图象的“谷点”)时32x πωϕ+=；“第五点”时2x ωϕπ+=． 3.利用三角函数图象与x 轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的12个最小正周期，可求解参数ω的值，利用图象的最高点、低点为三角函数最值点，可求解参数A 的值．在求函数值域时，由定义域转化成x ωϕ+的范围，即把x ωϕ+看作一个整体，再结合三角函数的图象求解． 5.讲易错 求)213sin(x y -=π的单调递增区间. 【错解】直接根据正弦函数的增区间，列出不等式122,2322k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解出x 的范围.【错因】没有掌握复合函数确定单调区间的方法，或忽视内层函数132x π-是减函数. 【反思提升】求形如y ＝Asin(ωx ＋φ)或y ＝Acos(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx ＋φ(ω>0)”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与y ＝sin x(x ∈R)，y ＝cos x(x ∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反)．考向三 解三角形 1.讲高考 【考纲要求】(1)正弦定理和余弦定理：掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． (2)应用：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 【命题规律】（1）预计2017年高考将以正弦、余弦定理的直接应用为主要考查目标，以解答题形式出现的可能性较大，难度以中档题为主；（2）结合向量或几何知识构建综合性题目是可能的发展方向，复习时需加以关注.例1【2016高考天津理数】在△ABC 中，若AB ，120C ∠= ,则AC = （ ） （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4例2【2016高考新课标1卷】ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ；（II ）若c ABC =∆求ABC 的周长． 2.讲基础 正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 ．其中R 是三角形外接圆的半径． (2)正弦定理的其他形式：①2sin a R A =，b ＝____________，c ＝____________； ②sin 2aA R=，sinB ＝ ，sinC ＝ ； ③a ∶b ∶c ＝______________________. 余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝______________，b 2＝______________，c 2＝______________.若令C ＝90°，则c 2＝______________，即为勾股定理．(2)余弦定理的推论：cosA ＝______________，cosB ＝______________，cosC ＝______________.若C 为锐角，则cosC>0，即a 2＋b 2______c 2；若C 为钝角，则cosC<0，即a 2＋b 2______c 2.故由a 2＋b 2与c 2值的大小比较，可以判断C 为锐角、钝角或直角．(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角____________，余弦定理亦可以写成sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sinBsinCcosA ，类似地，sin 2B ＝__________________；sin 2C ＝__________________.注意式中隐含条件A ＋B ＋C ＝π. 解三角形的类型(1)已知三角形的任意两个角与一边，用____________定理，只有一解． (2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用__________定理，可能有__________________．如在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如表：(3)已知三边，用(4)已知两边及夹角，用____________定理，必有一解． 三角形中的常用公式及变式(1)三角形面积公式S △＝ ＝ ＝＝ ＝ ．其中R ，r 分别为三角形外接圆、内切圆半径． (2)A ＋B ＋C ＝π，则A ＝__________，A2＝__________，从而sinA ＝____________，cosA ＝____________，tanA ＝____________；sin A 2＝__________，cos A 2＝__________，tan A2＝__________.tanA ＋tanB ＋tanC ＝____________.(3)若三角形三边a ，b ，c 成等差数列，则2b ＝____________⇔2sinB ＝____________⇔2sin B2＝cos A －C 2⇔2cos A ＋C 2＝cos A －C 2⇔tan A 2tan C 2＝13.(4)在△ABC 中，a ＝bcosC ＋ccosB ，b ＝____________，c ＝____________.(此定理称作“射影定理”，亦称第一余弦定理) 3.讲典例【例1】【四川省资阳市2017届高三上学期第一次诊断】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c cos bB=，D 是BC 边上的一点．(Ⅰ) 求角B 的大小；(Ⅱ) 若7AC =，5AD =，3DC =，求AB 的长.【趁热打铁】【湖南省郴州市2017届高三上学期第一次教学质量监测】在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，S 为ABC ∆的面积，且222()4S a b c =--． （I ）求角A 的大小；（II ）若a =b c >，D 为BC 的中点，且AD =sin C 的值． 【例2】在 ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且sin sin cos ,,sin sin cos B C BA A A成等差数列． （1）求角A 的值；（2）若a =，5b c +=时，求ABC ∆的面积．【趁热打铁】在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin tan cos cos A BC A B+=+,sin()cos B A C -=．（1）求,A C ；（2）若3ABC S ∆=求,a c ． 4.讲方法判定三角形形状的两种常用途径：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．（2）利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断．提醒：在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．（3）已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断． 三角形面积公式的应用原则： （1）对于面积公式111sin sin sin 222S bc A ac B ab C ===，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．（2）与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 5.讲易错【题目】已知ABC ∆中，内角C B A 、、所对的边分别为c b a ,,，且b c C a =+23cos ，若123,1=-=b c a ，则角B 为（ ） A.4π B.6π C.3π D.12π 【错因】未利用正弦定理进行边角的统一是本题错误的典型例子.【反思提升】在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围． 考向四 平面向量的数量积及其应用 1.讲高考 【考纲要求】(1)平面向量的实际背景及基本概念 ①了解向量的实际背景．②理解平面向量的概念和两个向量相等的含义． ③理解向量的几何表示． (2)向量的线性运算①掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义．②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义． ③了解向量线性运算的性质及其几何意义． (3)平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义． ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件． (4)平面向量的数量积①理解平面向量数量积的含义及其物理意义． ②了解平面向量的数量积与向量投影的关系．③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． (5)向量的应用①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 【命题规律】（1）预计2017年高考仍将对向量的长度和角度进行重点考查，题型延续选择题或填空题形式，分值为4到5分；（2）运用向量的数量积处理其他数学问题是一种新的趋势，复习时需加以关注. 例1【2016高考山东理数】已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（tm +n ），则实数t 的值为（ ） （A ）4（B ）–4（C ）94（D ）–94例2.【2016年高考四川理数】在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA =DB =DC ,DA ⋅DB =DB ⋅DC =DC ⋅DA =-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，则2BM 的最大值是( )（A ）434 （B ）494 （C （D 2.讲基础（一）平面向量的概念及线性运算 1．向量的有关概念(1)向量：既有____________又有____________的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的____________(或称模).AB →的模记作____________．(2)零向量：____________的向量叫做零向量，其方向是________的．(3)单位向量：长度等于__________________的向量叫做单位向量.a||a 是一个与a 同向的____________．－a|a|是一个与a________的单位向量．(4)平行向量：方向________或________的________向量叫做平行向量．平行向量又叫____________，任一组平行向量都可以移到同一直线上． 规定：0与任一向量____________．(5)相等向量：长度____________且方向____________的向量叫做相等向量． (6)相反向量：长度____________且方向____________的向量叫做相反向量． (7)向量的表示方法：用________表示；用____________表示；用________表示． 2．向量的加法和减法 (1)向量的加法①三角形法则：以第一个向量a 的终点A 为起点作第二个向量b ，则以第一个向量a 的起点O 为________以第二个向量b 的终点B 为________的向量OB →就是a 与b 的________(如图1)．推广：A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋A n －1A n ＝____________.图1 图2②平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作▱ABCD ，则以A 为起点的__________就是a 与b 的和(如图2)．在图2中，BC →＝AD →＝b ，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式． ③加法的运算性质：a ＋b ＝____________(交换律)； (a ＋b)＋c ＝____________(结合律)； a ＋0＝____________＝a. (2)向量的减法已知向量a ，b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝____________，即a －b 表示从向量b 的终点指向向量a(被减向量)的终点的向量(如图)． 3．向量的数乘及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作____________，它的长度与方向规定如下：①||λa ＝____________；②当λ>0时，λa 与a 的方向____________； 当λ<0时，λa 与a 的方向____________； 当λ＝0时，λa ＝____________. (2)运算律：设λ，μ∈R ，则： ①λ(μa)＝____________； ②(λ＋μ)a ＝____________； ③λ(a ＋b)＝____________. 4．两个向量共线定理向量a(a≠0)与b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得____________． （二）平面向量的基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使________________．我们把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组__________． 2．向量的夹角(1)已知两个________向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角(如图)．(2)向量夹角θ的范围是_______________．a 与b 同向时，夹角θ＝________；a 与b 反向时，夹角θ＝____________.(3)如果向量a 与b 的夹角是____________，我们就说a 与b 垂直，记作____________． 3．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个____________的向量，叫做向量的正交分解．(2)在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底．任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝xi ＋yj.则实数对__________叫做向量a 的(直角)坐标，记作a ＝__________，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，该式叫做向量的坐标表示．与a 相等的向量的坐标也为________．显然，i ＝________， j ＝________，0＝________. 4．平面向量的坐标运算(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a±b ＝__________________________. (2)如果A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则AB →＝___________________________. (3)若a ＝(x ，y)，则λa ＝____________.(4)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b≠0)，则a ∥b 的充要条件是____________________． ※5.线段的分点坐标设点P 是线段P 1P 2上的一点，且P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P(x ，y)． 当P 1P →＝λPP 2→时，点P 的坐标(x ，y)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ. 特别地：①当λ＝1时，点P 为线段P 1P 2的中点，其坐标为P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.②G(x ，y)为△ABC 的重心，若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，则AB 中点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.再由CG →＝2GD →，我们便得到了三角形的重心坐标G(x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33)． （三）平面向量的数量积 1．数量积的概念已知两个非零向量a 与b ，我们把数量________________叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作____________，即a·b ＝________，其中θ是a 与b 的夹角，|a|cos θ(|b|cos θ)叫向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的____________．a·b 的几何意义：数量积a·b 等于__________________________________． 2．数量积的运算律及常用结论 (1)数量积的运算律①交换律：___________________； ②数乘结合律：____________________； ③分配律：_____________________． (2)常用结论①(a±b)2＝________________________； ②(a ＋b)·(a －b)＝_________________； ③ a 2＋b 2＝0⇔______________________； ④|||a －||b |________||a ＋||b . 3．数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 ① e·a ＝____________. ② a ⊥b ⇔____________.③当a 与b 同向时，a·b ＝____________； 当a 与b 反向时，a·b ＝____________.特别地，a·a ＝____________或||a ＝____________. ④ cos θ＝____________. ⑤||a·b ≤____________. 4．数量积的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则①a·b ＝________________；a 2＝________________；||a ＝________________. ② a ⊥b ⇔____________________.③||x 1x 2＋y 1y 2≤________________________. （四）平面向量的应用1．用向量方法解决几何问题的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直、距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量的符号形式及图形形式的重要结论 (1)向量的和与差的模：||a ＋b ＝______________，||a －b ＝________________________.(2)①G 为△ABC 重心的一个充要条件：___________________； ②O 为△ABC 外心的一个充要条件：______________________； ③P 为△ABC 垂心的一个充要条件：______________________.(3)不同的三点A ，B ，C 共线⇔存在α，β∈R ，使得OA →＝αOB →＋βOC →，O 为平面任意一点，且____________．3．向量坐标形式的几个重要结论设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，A(x 3，y 3)，B(x 4，y 4)，θ为a 与b 的夹角． (1)长度或模||a ＝__________；||AB →＝________________. (2)夹角cos θ＝_________＝________________. (3)位置关系a ∥b ⇔____________(b≠0且λ∈R)⇔____________.a ⊥b ⇔____________⇔____________. 3.讲典例【例1】【湖北省襄阳市四校2017届高三上学期期中联考】已知向量cos,12x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，23sin ,cos 22x x n ⎛⎫= ⎪⎭，函数()1f x m n =⋅+ ()I 若,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()x f 的最小值及对应的x 的值； ()II 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，()1011=x f ，求sin x 的值. 【趁热打铁】【山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校2017届高三上学期第二次联考】设向量),1(x =，)),((x x f -=，且R x x g ∈=⋅),(，若函数)(x f 为偶函数，则)(x g 的解析式可以为（ ）A ．3xB ．x +1C ．x cosD ．x xe【例2】【河南省开封市2017届高三上学期10月月考】已知向量a =（1b =（3, m ），且b 在a 上的投影为3，则向量a 与b 夹角为 .【趁热打铁】已知非零向量,-==，则a 与a b +的夹角,a a b <+>= ．【例3】【河南省新乡市2017届高三上学期第一次调研测试】已知向量()2,4,5m n ==，若,m n 间的夹角为3π，则23m n -=____________． 【趁热打铁】【河南省天一大联考2016-2017学年高中毕业班阶段性测试（二）】已知向量a ，b 的夹角为23π，且(3,4)a =-，||2b =，则|2|a b +=（ ）A ．B ．2C ．D ．84 4.讲方法向量的几何表示是高考的热点问题，特别是用三角形的各种心的向量表示经常是命题的素材，常见的结论如下：①1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心，特别地0PA PB PC P ++=⇔为ABC ∆的重心；(),[0,)AB AC λλ+∈+∞是BC 边上的中线AD 上的任意向量，过重心；()1,2AD AB AC =+等于已知AD 是ABC ∆中BC 边的中线. ②PA PB PB PC PC PA P⋅=⋅=⋅⇔为ABC∆的垂心；()||cos ||cos AB ACAB B AC Cλ+[0,)λ∈+∞是△ABC 的边BC 的高AD 上的任意向量，过垂心. ③||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC∆的内心；向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线).④()()()0OA OB AB OB OC BC OC OA CA +⋅=+⋅=+⋅=，222OA OB OC OA OB OC ⇔==⇔==⇔O 为ABC ∆的外心.向量与平行四边形相关的结论向量的加法的几何意义是通过平行四边形法则得到，其应用非常广泛.在平行四边形ABCD 中，设,AB a AC b ==，则有以下的结论：①,AB AC a b AD +=+=通过这个公式可以把共同起点的两个向量进行合并；若C ABD =,可判断四边形为平行四边形；②,,a b AD a b CB +=-=若0a b a b a b +=-⇔⋅=对角线相等或邻边垂直，则平行四边形为矩形；()()0a b a b a b +⋅-=⇔=对角线垂直.则平行四边形为菱形；③222222a b a b a b ++-=+说明平行四边形的四边的平方和等于对角线的平方和； ④||||||||||||a b a b a b -≤±≤+，特别地，当 a b 、同向或有0⇔||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-；当a b、反向或有0⇔||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+；当 a b 、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+(这些和实数比较类似). 5.讲易错【题目】已知向量(1,2),(,1)a b x →→==，且向量a 与b 夹角为锐角，求x 的范围； 【错解】因为向量a 与b 夹角为锐角，所以a b ∙=x +2＞0，解得x ＞-2. 【错因】从0a b →→⋅>出发解出x 的值，忽视剔除,a b →→同向的情况． 【反思提升】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．。