专题九 第3讲 分类讨论思想--数学(二轮)理20
二轮专题复习(02)：分类讨论思想
中考第二轮专题复习二：分类讨论思想Ⅰ、专题精讲：1、在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．2、分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．分类的思想随处可见，既有概念的分类：如实数、有理数、绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系和两圆相切等概念的分类；又有解题方法上的分类，如代数式中含有字母系数的方程、不等式；还有几何中图形位置关系不确定的分类，等腰三角形的顶角顶点不确定、相似三角形的对应关系不确定等。
Ⅱ、典型例题剖析一、与概念有关的分类【例1】、一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是-3≤x≤6，，相应的函数值的取值范围是-5≤y≤-2 ，则这个函数的解析式。
【例2】、函数y=ax2-ax+3x+1与x轴只有一个交点，求a的值与交点坐标。
二、图形位置的分类：【例3】、如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个?【例4】在下图三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的两顶点构成等腰三角形！【例5】如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6），点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向O点移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒。
当t为何值时，APQ与AOB相似？OABPQDOa1500B CA50°110°20°【例6】（2005，杭州）在平面直角坐标系内,已知点A(2,1),O 为坐标原点.请你在坐标轴上确定点P,使得ΔAOP 成为等腰三角形.在给出的坐标系中把所有这样的点P 都找出来,画上实心点,并在旁边标上P 1,P 2,……,P k,写出他们的坐标值（有k 个就标到P K 为止,不必写出画法）Ⅲ、同步跟踪配套试题：（45分钟完成）一、选择题（每题 3分，共 15分）1．若等腰三角形的一个内角为500则其他两个内角为（ ） A ．50○，80o B ．65○， 65○C ．50○，65○D ．50○，80○或 65○，65○2．若||3,||2,,( )a b a b a b ==>+=且则 A ．5或－1 B ．－5或1 C ．5或1 D ．－5或－13．等腰三角形的一边长为3cm ，周长是13cm ，那么这个等腰三角形的腰长是（ ）A ．5cmB ，3cmC ．5cm 或3cmD ．不确定4．若⊙O 的弦 AB 所对的圆心角∠AOB=60°，则弦AB 所对的圆周角的度数为（ ） A ．30○B 、60○C ．150○D ．30○或 150○5．一次函数y=kx+b ，当－3≤x ≤l 时，对应的y 值为l ≤y ≤9， 则kb 值为（ ）A ．14B ．－6C ．－4或21 D.－6或14 二、填空题（每题3分，共15分）6．已知||3,||2,0,x y xy x y ==<+=且则_______.7．已知⊙O 的半径为5cm ，AB 、CD 是⊙O 的弦，且 AB=8cm ，CD=6cm ，AB ∥CD ，则AB 与CD 之间的距离为__________ 8．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm 和3 cm 两部分，则这个矩形的面积为______________9．已知⊙O 1和⊙O 2相切于点P ，半径分别为1cm 和3cm ．则⊙O 1和⊙O 2的圆心距为_____________.10 若a 、b 在互为倒数，b 、c 互为相反数，m 的绝对值为 1，则2()abb c m m m++-的值是__________. 三、解答题（每题10分，共30分）11．已知 y=kx ＋3与两坐标轴围成的三角形的面积为 24，求其函数解析式．12．解关于x 的方程(2)1a x b -=-．13．已知：如图3－2－8所示，直线l 切⊙O 于点C ，AD 为⊙O的任意一条直径，点B 在直线l 上，且∠BAC=∠CA D(A D 与AB 不在一条直线上)，试判断四边形ABCO 为怎样的特殊四边形？14．半径为R 的两个等圆外切，则半径为2R 且和这两个圆都相切的圆有几个？Ⅳ、同步跟踪巩固试题（80分钟完成）一、选择题（每题4分，共20分）1．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个三角形的周长是（ ）A ．16B ．16或 17 C.17 D ．17或 18 2．已知11||1,||a a a a-=+则的值为（ ）.5 .5 .3 .51A B C D ±±或3．若2222122,a b a b ab ab a b +++-=+则值为（ ） A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D ．2或－2或04．若直线4y x b =-+与两坐标轴围成的三角形的面积是5，则b的值为（ ）.25 .210 .210 .210A B C D ±±- 5．在同一坐标系中，正比例函数-3y x =与反比例函数ky x=的图象的交点的个数是（ ）A ．0个或2个B ．l 个C ．2个D ．3个6.一条直线过点（5，2），且在x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为（ ）A. x y +-=70B. 250x y -=C. x y x y +-=-=70250或D. x y y x ++=-=70250或7.一个点到圆的最小距离为6cm ，最大距离为9cm ，则该圆的半径是（ ）A. 1.5cmB. 7.5cmC. 1.5cm 或7.5cmD. 3cm 或15cm 二、填空题（每题4分，共24分）8．已知点P （2，0），若x 轴上的点Q 到点P 的距离等于2，则点Q 的坐标为_________．9．已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2，那么另一个圆的半径是________．10．等腰三角形的一个内角为70°，则其预角为______． 11．要把一张面值为10元的人民币换成零钱，现有足够的面值为2元、1元的人民币，那么有______种换法．12．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为_______．13．矩形ABCD ，AD=3，AB=2，则以矩形的一边所在直线为轴旋转一周所得到的圆柱的表面积为 14．半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为3，那么这条弦所对的圆周角的度数等于___________15．在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为3和2，则∠BAC 的度数是__________16．已知半径为4和22的两圆相交，公共弦长为4，则两圆的圆心距为17．两圆相切，一圆半径为3cm ，圆心距为5cm 。
初三数学第二轮总复习(2)分类讨论思想
00k k b ⎧⎪⎨⎪⎩+时时
点与直线的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与直线的位置关系。
三角形的分类、四边形的分类
【例题与练习】
少元？此所得税法修改前少纳税多少元？
(3)已知某人2006年9月激纳个人所得税a（0＜a＜200）元,求此人本月工资（未纳税）
是多少元？
9.已知：如图所示，直线l切⊙O于点C，AD为⊙O的任意一条直径，
点B在直线l上，且∠BAC=∠CA D(A D与AB不在一条直线上)，试
判断四边形ABCO为怎样的特殊四边形？
10. (1)抛物线2
22
y x bx
=+-经过点A (1，0)．
①求b的值；
②设P为此抛物线的顶点，B（a，0）（a≠1）为抛物线上的一点，Q是坐标平面内
的点．如果以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，试求线段PQ的长．(2)已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点，作一条射线，将矩形
分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于1
2
，
设梯形的面积为S，梯形中较短的底的长为x，试写出梯形面积S关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．
布置作业见学案
教后记。
高考数学二轮复习 专题9 思想方法专题 第三讲 分类讨论思想 理
例 3 已知函数 f(x)＝2x3－3x. (1)求 f(x)在区间[－2，1]上的最大值； (2)若过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线 y＝f(x)相切，求 t 的取值 范围； (3)问过点 A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲 线 y＝f(x)相切(只需写出结论)? 思路点拨：(1)求导数，导数等于 0 求出 x，再代入原函数解析式， 最后比较大小，即可；(2)设切点，由相切得出切线方程，然后列表 并讨论求出结果；(3)由(2)容易得出结果．
随堂讲义
专题九 思想方法专题 第三讲 分类讨论思想
分类讨论思想是历年高考的必考内容，它不仅是高 考的重点和热点，也是高考的难点，高考中经常会有一道 解答题，解题思路直接依赖于分类讨论．
预测2016年的高考，将会一如既往地考查分类讨论思 想，特别在解答题中(尤其是导数与函数问题)，将有一道 进行分类求解的难度大的题，选择题、填空题也会出现不 同情形的分类讨论求解题．
解析：(1)设等差数列{an}的公差为 d， 由 a2n＝2an 得 a2＝2a1＝2，所以 d＝a2－a1＝1. 又 a2n＝an＋nd＝an＋n＝2an， 所以 an＝n. (2)由 bn＝anpan 得 bn＝npn， 所以 Tn＝p＋2p2＋3p3＋…＋(n－1)pn－1＋npn.① 当 p＝1 时，Tn＝n（n2＋1）. 当 p≠1 时，pTn＝p2＋2p3＋…＋(n－1)pn＋npn＋1，②
①－②得，(1－p)Tn＝p＋p2＋p3＋…＋pn－npn＋1＝p（11－－ppn） －npn＋1，
∴Tn＝p（（11－－pp）n）2 －n1p－n＋p1.
n（n2＋1），p＝1， 综上所述，Tn＝ p（（11－－pp）n）2 －n1p－n＋p1，p≠1.
高考数学二轮复习专题9思想方法专题第三讲分类讨论思想理
高考数学二轮复习专题 9 思想方法专题第三讲分类议论思想理第三讲分类议论思想分类议论思想是将一个较复杂的数学识题分解( 或切割 ) 成若干个基础性问题，经过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题推行分类与整合，分类标准等于是增加的一个已知条件，实现了有效增设，将大问题( 或综合性问题) 分解为小问题 ( 或基础性问题) ，优化解题思路，降低问题难度．1．由数学观点惹起的分类议论：有的观点自己是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．2．由性质、定理、公式的限制惹起的分类议论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不一样的条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单一性等．3．由数学运算要求惹起的分类议论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同时乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．4．由图形的不确立性惹起的分类议论：有的图形种类、地点需要分类，如角的终边所在的象限；点、线、面的地点关系等．5．由参数的变化惹起的分类议论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，因为参数的取值不一样会致使所得结果不一样，或对于不一样的参数值要运用不一样的求解或证明方法．6．由实质意义惹起的议论：此类问题在应用题中，特别是在解决摆列、组合中的计数问题经常用．判断下边结论能否正确 ( 请在括号中打“√”或“×” ) ．(1) 24ac － b 2二次函数 y ＝ ax ＋ bx ＋c ， x ∈ [a ， b] 的最值必定是.( ×)4a(2) 二次函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋c ， x ∈ R ，不行能是偶函数． ( × )(3) 幂函数的图象都经过点(1 ，1)和点 (0 ，0) ．( ×)(4) 当 n>0 时，幂函数 y ＝x n 是定义域上的增函数．( × )222(5) 若函数 f(x) ＝ (k － 1)x ＋ 2x － 3 在 ( －∞， 2) 上单一递加，则 k ＝± 2 .( × )(6)2＝f(0) ＝ 5，f(x)＝ f(3) ＝2.( ×)已知 f(x) ＝x －4x ＋ 5，x ∈ [0 ， 3) ，则 f(x)minmax1．过双曲线 2x 2－y 2＝ 2 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A ， B 两点，若 |AB| ＝ 4，则这样的直线有 ( B)A ．4 条B ．3 条C ．2条D ．1 条2分析： 由 2x 2－ y 2＝ 2，得 x 2－y2 ＝ 1.2b 2 当 l 无斜率时， |AB| ＝＝ 4，切合要求。
2020版高考数学大二轮培优理科通用版课件：专题九 第3讲 分类讨论思想
C. -∞,5
2
D. -∞,83
解析:∵f(x+1)=2f(x),∴f(x)=2f(x-1).
∵当 x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1),
∴f(x)的图象如图所示. ∵当 2<x≤3 时,f(x)=4f(x-2)=4(x-2)(x-3), ∴令 4(x-2)(x-3)=-89, 整理得 9x2-45x+56=0,
解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-������12
-1+������������
=-������
2
-������������ ������ 2
+1.
①若 a≤2,则 f'(x)≤0,当且仅当 a=2,x=1 时 f'(x)=0,所以 f(x)在
(0,+∞)单调递减.
②若 a>2,令 f'(x)=0 得,x=������- ������2-4或 x=������+ ������2-4.
C.[0,e] D.[1,e]
解析:(1)当a≤1时,二次函数的对称轴为x=a.需a2-2a2+2a≥0.a2-
2a≤0.∴0≤a≤2.
而
f(x)=x-aln
x,f'(x)=1-������������
=
������-������ ������
>0.
此时要使f(x)=x-aln x在(1,+∞)上单调递增,
2
2
2
2
∞
单调递减,在
������-
������ 2 -4 2
,
������ +
������ 2 -4 2
2020年九年级数学中考复习——常用数学思想方法之【分类讨论思想】
2．几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情 况等.
3．综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.
在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这 种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．
分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想 方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决 问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．
e
故答案为：5；
m
1 2
m s；
11. 24或 6 或 8
解：已知三角形的周长为 3 e 4 e m 12， 设另一个与它相似的三角形的周长为 x，
2 与 3 是对应边时， 两三角形相似，
m 2，
12 3
解得 m h； 与 4 是对应边时，
两三角形相似，
12
m
2，
4
解得 m ；
2 与 5 是对应边时，
A. 34
B. 30
C. 30 或 34
D. 30 或 36
【解】： 当 m 4 时， t h， 、b 是关于 x 的一元二次方程 2
4 e m 12， m h 不符合；
同理， m 4 时，不符合题意； 当 m 时， 、b 是关于 x 的一元二次方程 2
12 e s e 2 m 0 的两根， 12 e s e 2 m 0 的两根，
m
1 2
e 3 与坐标轴分别交于点 A、B，与直线
m
交于点 C，
线段 OA 上的点 Q 以每秒 1 个长度单位的速度从点 O 出发向点 A 作匀速运动，运动时
高考数学思想技法攻略精讲：第三讲分类讨论思想
第三讲 分类讨论思想要点一 由概念、性质、运算引起的分类讨论[解析] (1)①当2－a ≥2，即a ≤0时，22－a －2－1＝1， 解得a ＝－1，则f (a )＝f (－1)＝－log 2[3－(－1)]＝－2； ②当2－a <2即a >0时，－log 2[3－(2－a )]＝1， 解得a ＝－12，舍去．综上所述，f (a )＝－2，故选A. (2)由题意得q 2＝a 3＋a 6＋a 9a 1＋a 4＋a 7＝9，q ＝±3，①当q ＝3时，a 2＋a 5＋a 8＝3(a 1＋a 4＋a 7)＝6，S 9＝2＋6＋18＝26； ②当q ＝－3时，a 2＋a 5＋a 8＝－3(a 1＋a 4＋a 7)＝－6，S 9＝2－6＋18＝14.所以S 9＝14或26.[答案] (1)A (2)14或26解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题的步骤第一步：确定需分类的目标与对象．即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标．第二步：根据公式、定理确定分类标准．运用公式、定理对分类对象进行区分．第三步：分类解决“分目标”问题．对分类出来的“分目标”分别进行处理．第四步：汇总“分目标”．将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理．[对点训练]1．(2018·洛阳统考)已知x1，x2∈R，则“x1>1且x2>1”是“x1＋x2>2且x1x2>1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]当x1>1且x2>1时，x1＋x2>2且x1·x2>1成立，即充分性成立；当x1＋x2>2，且x1x2>1时，不妨取x1＝0.1，x2＝100，此时x1>1不成立，即必要性不成立．故“x1>1且x2>1”是“x1＋x2>2且x1x2>1”的充分不必要条件，故选A.[答案] A2．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B ⊆A，则实数m的取值范围是________．[解析]当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2，满足B⊆A；当B≠∅时，若B⊆A，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围为(－∞，4]． [答案] (－∞，4]要点二 由图形位置或形状引起的分类讨论[解析] (1)根据题意可分以下两种情况讨论：①当焦点在x 轴上时，则有⎩⎪⎨⎪⎧3－m >0，m －1<0，解得m <1，此时渐近线方程为y ＝±1－m3－m x ，由题意得，1－m 3－m＝12，解得m ＝13；②当焦点在y 轴上时，则有⎩⎪⎨⎪⎧3－m <0，m －1>0，解得m >3，此时渐近线方程为y ＝±m －1m －3 x ，由题意得，m －1m －3＝12，无解．综上可知m ＝13，故选B(2)函数f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a 24的图象的对称轴为x ＝a 2，应分a 2<－1，－1≤a 2≤1，a2>1，即a <－2，－2≤a ≤2和a >2三种情形讨论．①当a <－2时，由图(1)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝－1－a ＝－(a ＋1)，由－(a ＋1)＝4，得a ＝－5，满足题意．②当－2≤a ≤2时，由图(2)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24，由a 24＝4，得a ＝±4(舍去)．③当a >2时，由图(3)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (1)＝a －1，由a －1＝4，得a ＝5，满足题意．综上可知，a ＝5或－5. [答案] (1)B (2)5或－5几类常见的由图形的位置或 形状变化引起的分类讨论(1)二次函数对称轴的变化； (2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化； (4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等． [对点训练]3．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，y ＋x ≤s ，y ＋2x ≤4下，当3≤s ≤5时，z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围是( )A ．[6,15]B ．[7,15]C ．[6,8]D ．[7,8][解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝s ，y ＋2x ＝4，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－s ，y ＝2s －4，由图，可得A (2,0)，B (4－s,2s －4)，C (0，s )，C ′(0,4)． ①当3≤s <4时，不等式组所表示的可行域是四边形OABC 及其内部，此时，z ＝3x ＋2y 在点B 处取得最大值，且z max ＝3(4－s )＋2(2s－4)＝s＋4，由3≤s<4，得7≤z max<8.②当4≤s≤5时，不等式组所表示的可行域是△OAC′及其内部，此时z＝3x＋2y在点C′处取得最大值，且z max＝8.综上可知，z＝3x＋2y的最大值的变化范围是[7,8]，故选D.[答案] D4．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为________．[解析]当矩形长、宽分别为6和4时，体积V＝2×3×12×4＝43；当长、宽分别为4和6时，体积V＝43×233×12×6＝833.综上所述，所求体积为43或83 3.[答案]43或83 3要点三由参数变化引起的分类讨论【例3】(2018·山东青岛调研)已知f(x)＝ax－(2a＋1)ln x－2 x，其中a∈R，讨论函数f(x)在定义域上的单调性．[解] 函数f (x )＝ax －(2a ＋1)ln x －2x 的定义域为{x |x >0}． f ′(x )＝(ax )′－(2a ＋1)(ln x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ′＝a －2a ＋1x ＋2x 2＝ax 2－(2a ＋1)x ＋2x 2＝(ax －1)(x －2)x 2. 当a ＝0时，f ′(x )＝－(x －2)x 2. 可以看出，当x >2时，f ′(x )<0； 当0<x <2时，f ′(x )>0，所以，a ＝0时，函数f (x )在区间(0,2)上单调递增；在(2，＋∞)上单调递减．当a ≠0时，f ′(x )＝(ax －1)(x －2)x 2＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)x 2.(ⅰ)若a <0，则1a <0<2，当0<x <2时，f ′(x )>0；当x >2时，f ′(x )<0，所以a <0时，f (x )在(0,2)上单调递增；在(2，＋∞)上单调递减．(ⅱ)若0<a <12，则0<2<1a ，解不等式a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)x 2>0，得0<x <2或x >1a ；解不等式a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)x2<0，得2<x <1a .所以0<a <12时，函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a 上单调递减；在区间(0,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增． (ⅲ)若a ＝12，则f ′(x )＝(x －2)22x 2，在定义域(0，＋∞)上，总有f ′(x )＝(x －2)22x 2≥0.所以a ＝12时，在定义域(0，＋∞)上，函数f (x )为单调递增函数． (ⅳ)若a >12，则0<1a <2，解不等式a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)x2>0，得0<x <1a 或x >2； 解不等式a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)x 2<0，得1a <x <2.所以，a >12时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(2，＋∞)上单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上单调递减．综上，当a ≤0时，f (x )在(0,2)上单调递增；在(2，＋∞)上单调递减；当0<a <12时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫2，1a 上单调递减；在(0,2)，⎝⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增；当a ＝12时，在定义域(0，＋∞)上，函数f (x )为单调递增函数；当a >12时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(2，＋∞)上单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上单调递减．破解由参数变化引起分类讨论的4个关键点(1)确定范围，确定需要分类问题中参数的取值范围．(2)确定分类标准，这些分类标准都是在解题过程中根据解决问题的需要确定的，注意有些参数可能出现多级分类，要做到不重不漏．(3)分类解决问题，对分类出来的各相应问题分别进行求解． (4)得出结论，将所得到的结论进行汇总，得出正确结论． [对点训练]5．(2018·郑州质检)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)． (1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0，求a 的取值范围． [解] (1)f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)的定义域为(0，＋∞)． 当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)，f ′(x )＝ln x ＋1x －3.由于f ′(1)＝－2，f (1)＝0.曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0. (2)当x >1时，f (x )>0⇔ln x －a (x －1)x ＋1>0.设g (x )＝ln x －a (x －1)x ＋1，则g ′(x )＝x 2＋2(1－a )x ＋1x (x ＋1)2，①当a ≤2时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1>0，∴g ′(x )>0，则g (x )在(1，＋∞)上单调递增，且g (1)＝0，因此g (x )>0.②当a >2时，令g ′(x )＝0，得x 1＝a －1－(a －1)2－1，x 2＝a－1＋(a －1)2－1.由x 2>1和x 1x 2＝1，得x 1<1， 故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，∴g (x )在区间(1，x 2)上单调递减，且g (1)＝0，此时g (x )<0，与已知矛盾，舍去．综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]．1.分类讨论的原则 (1)不重不漏．(2)标准要统一，层次要分明．(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论． 2.分类讨论的思维流程明确讨论的对象和动机―→确定分类的标准―→逐类进行讨论―→归纳综合结论―→检验分类是否完备(即检验分类对象彼此交集是否为空集，并集是否为全集)．分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”．专题跟踪训练(三)一、选择题1．(2018·佛山二模)若椭圆mx 2＋ny 2＝1的离心率为12，则mn ＝( )A.34B.43C.32或233D.34或43[解析] 若焦点在x 轴上，则方程化为x 21m ＋y 21n ＝1，依题意得1m －1n 1m ＝14，所以m n ＝34；若焦点在y 轴上，则方程化为y 21n ＋x 21m ＝1，同理可得m n ＝43.所以所求值为34或43，故选D.[答案] D2．(2018·大同二模)已知函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．[0,4]C ．(0,4]D ．[0,4)[解析] 因为函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，所以m ≥0，当m ＝0时，函数f (x )＝1，其定义域是实数集R ；当m >0时，则Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上所述，实数m 的取值范围是0≤m ≤4，故选B.[答案] B3．(2018·湖南郴州质量监测)甲、乙、丙三人站成一排照相，甲排在左边的概率是( )A ．1 B.16 C.12D.13[解析] 甲、乙、丙三人站成一排照相的站法有甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6种，其中甲排在左边的站法为2种，∴甲排在左边的概率是26＝13，故选D.[答案] D4．(2018·湖北武汉调研)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0x ＋2y ≤4x －2y ≤2，如果目标函数z ＝x ＋ay 的最大值为163，则实数a 的值为( )A ．3 B.143 C ．3或143D ．3或－113[解析] 先画出线性约束条件所表示的可行域如图阴影部分所示，目标函数化为y ＝－1a x ＋1a z ，目标函数z ＝x ＋ay 取最大值只需直线在x 轴上的截距最大，当a >0时，－1a <0，①若－12<－1a <0，即a >2，最优解为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，z ＝43＋43a ＝163，a ＝3，符合题意；②若－1a <－12，即0<a <2，最优解为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12， z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合题意，舍去． 当a <0时，－1a >0，③若0<－1a <12，即a <－2，最优解为C (－2，－2)，z ＝－2－2a ＝163，a ＝－113，符合题意；④若－1a >12，即－2<a <0，最优解为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合题意，舍去； 综上可知实数a 的值为3或－113，故选D. [答案] D5．函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)[解析] 解法一：当a ＝0时，f (x )＝4x －3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意．当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2a 2－3－4a ， 其对称轴为x ＝－2a .当a >0时，f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意．当a <0时，只有当－2a ≥2，即－1≤a <0时，f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意．综上，当a ≥－1时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，故选B.解法二：由f (x )＝ax 2＋4x －3，得f ′(x )＝2ax ＋4， 要使函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，需使f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上为单调递增函数，则f ′(x )＝2ax ＋4≥0在[0,2]上恒成立，当x ＝0时成立，当x ≠0时，由x ∈(0,2]，得a ≥－2x ， 因为－2x 在(0,2]上的最大值为－1，所以a ≥－1.综上，当a ≥－1时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，故选B.解法三：当a ＝0时，f (x )＝4x －3在[0,2]上单调递增，最大值为f (2)，满足题意，排除A 、C 、D ，故选B.[答案] B6．已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0[解析] ∵a ，b >0且a ≠1，b ≠1，∴当a >1，即a －1>0时，不等式log a b >1可化为a log a b >a 1，即b >a >1，∴(a －1)(a －b )<0，(b －1)(a －1)>0，(b －1)(b －a )>0.当0<a <1，即a －1<0时，不等式log a b >1可化为a log a b <a 1，即0<b <a <1，∴(a －1)(a －b )<0，(b －1)(a －1)>0，(b －1)(b －a )>0.综上可知，选D. [答案] D 二、填空题7．(2018·郑州模拟)过点P (3,4)与圆x 2－2x ＋y 2－3＝0相切的直线方程为______________．[解析] 圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4. 当直线的斜率不存在时，直线x ＝3适合； 当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为 y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0. 由|k －0＋4－3k |k 2＋1＝2，得k ＝34. 此时直线方程为y －4＝34(x －3)，即3x －4y ＋7＝0. 综上所述，所求切线的方程为x ＝3或3x －4y ＋7＝0. [答案] x ＝3或3x －4y ＋7＝08．已知2sin2α＝1＋cos2α，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为________．[解析] ∵2sin2α＝1＋cos2α， ∴4sin αcos α＝1＋2cos 2α－1， 即2sin αcos α＝cos 2α.①当cos α＝0时，α＝k π＋π2(k ∈Z )， 此时tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1； ②当cos α≠0时，tan α＝12，此时tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝3. 综上所述，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为－1或3. [答案] －1或39．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________．[解析] 若∠PF 2F 1＝90°. 则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25， 解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，所以|PF 1||PF 2|＝72.若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， 所以|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20，所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以|PF 1||PF 2|＝2.综上知，|PF 1||PF 2|＝72或2.[答案] 72或2 三、解答题10．(2018·广东七校联考)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，A ＝π3，且32－sin(B －C )＝sin2B ，求△ABC 的面积．[解] 解法一：由已知及A ＋B ＋C ＝π可得32－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －23π＝sin2B ，即sin2B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －23π＝32，∴sin2B －32cos2B －12sin2B ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3＝32.∵A ＝π3，∴0<B <23π，∴－π3<2B －π3<π， ∴2B －π3＝π3或2π3，∴B ＝π3或π2. 当B ＝π2时，C ＝π6，∴S △ABC ＝12×2×2×tan π6＝233；当B ＝π3时，△ABC 是边长为2的等边三角形，∴S △ABC ＝34a 2＝34×4＝ 3.综上可知，△ABC 的面积为3或233.解法二：∵A ＝π3，且32－sin(B －C )＝sin2B ，∴32＝sin2B ＋sin(B －C )，即sin A ＝sin2B ＋sin(B －C )，又sin A ＝sin(B ＋C )，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos B ＋sin B cos C －cos B sin C ，即cos B sin C ＝sin B cos B .当cos B ＝0时，可得B ＝π2，C ＝π6， ∴S △ABC ＝12ac ＝12×2×2×tan π6＝233；当cos B ≠0时，sin B ＝sin C ，由正弦定理可知b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形，又∵A ＝π3，∴a ＝b ＝c ＝2，∴S △ABC ＝34a 2＝ 3.综上可知△ABC 的面积为3或233.11．已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且F 2到直线x －3y －9＝0的距离等于椭圆的短轴长．(1)求椭圆C 的方程；(2)若圆P 的圆心为P (0，t )(t >0)，且经过F 1，F 2两点，Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外，过Q 作圆P 的切线，切点为M ，当|QM |的最大值为322时，求t 的值．[解] (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 依题意可得2b ＝|1－9|2＝4，所以b ＝2，又c ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝5， 所以椭圆C 的方程为x 25＋y 24＝1. (2)设Q (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫满足x 25＋y 24＝1，圆P 的方程为x 2＋(y －t )2＝t 2＋1， 连接PM ，因为QM 为圆P 的切线， 所以PM ⊥QM ， 所以|QM |＝|PQ |2－t 2－1 ＝x 2＋(y －t )2－t 2－1 ＝－14(y ＋4t )2＋4＋4t 2.①若－4t ≤－2，即t ≥12时， 当y ＝－2时，|QM |取得最大值，且|QM |max ＝4t ＋3＝322， 解得t ＝38<12(舍去)． ②若－4t >－2，即0<t <12， 当y ＝－4t 时，|QM |取得最大值， 且|QM |max ＝4＋4t 2＝322，解得t 2＝18，又0<t <12，所以t ＝24.综上，当t ＝24时，|QM |的最大值为322.12．(2018·东北三校联考)设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，其中a ∈R ，讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由．[解] 由题意知函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)， f ′(x )＝1x ＋1＋a (2x －1)＝2ax 2＋ax －a ＋1x ＋1.令g (x )＝2ax 2＋ax －a ＋1，x ∈(－1，＋∞)． ①当a ＝0时，g (x )＝1，此时f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点． ②当a >0时，Δ＝a 2－8a (1－a )＝a (9a －8)． (ⅰ)当0<a ≤89时，Δ≤0，g (x )≥0，f ′(x )≥0，函数f (x )在(－1，＋∞)单调递增，无极值点； (ⅱ)当a >89时，Δ>0，设方程2ax 2＋ax －a ＋1＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)， 因为x 1＋x 2＝－12，所以x 1<－14，x 2>－14. 由g (－1)＝1>0， 可得－1<x 1<－14.所以当x ∈(－1，x 1)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 因此函数有两个极值点． ③当a <0时，Δ>0，由g (－1)＝1>0，可得x 1<－1.当x ∈(－1，x 2)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． 所以函数有一个极值点．综上所述，当a <0时，函数f (x )有一个极值点； 当0≤a ≤89时，函数f (x )无极值点； 当a >89时，函数f (x )有两个极值点．专题跟踪训练(三)一、选择题1．(2018·佛山二模)若椭圆mx 2＋ny 2＝1的离心率为12，则mn ＝( )A.34B.43C.32或233D.34或43[解析] 若焦点在x 轴上，则方程化为x 21m ＋y 21n ＝1，依题意得1m －1n 1m ＝14，所以m n ＝34；若焦点在y 轴上，则方程化为y 21n ＋x 21m ＝1，同理可得m n ＝43.所以所求值为34或43，故选D.[答案] D2．(2018·大同二模)已知函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．[0,4]C ．(0,4]D ．[0,4)[解析] 因为函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，所以m ≥0，当m ＝0时，函数f (x )＝1，其定义域是实数集R ；当m >0时，则Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上所述，实数m 的取值范围是0≤m ≤4，故选B.[答案] B3．(2018·湖南郴州质量监测)甲、乙、丙三人站成一排照相，甲排在左边的概率是( )A ．1 B.16 C.12D.13[解析] 甲、乙、丙三人站成一排照相的站法有甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6种，其中甲排在左边的站法为2种，∴甲排在左边的概率是26＝13，故选D.[答案] D4．(2018·湖北武汉调研)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0x ＋2y ≤4x －2y ≤2，如果目标函数z ＝x ＋ay 的最大值为163，则实数a 的值为( )A ．3 B.143 C ．3或143D ．3或－113[解析] 先画出线性约束条件所表示的可行域如图阴影部分所示，目标函数化为y ＝－1a x ＋1a z ，目标函数z ＝x ＋ay 取最大值只需直线在x 轴上的截距最大，当a >0时，－1a <0，①若－12<－1a <0，即a >2，最优解为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，z ＝43＋43a ＝163，a ＝3，符合题意；②若－1a <－12，即0<a <2，最优解为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12， z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合题意，舍去． 当a <0时，－1a >0，③若0<－1a <12，即a <－2，最优解为C (－2，－2)，z ＝－2－2a ＝163，a ＝－113，符合题意；④若－1a >12，即－2<a <0，最优解为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合题意，舍去； 综上可知实数a 的值为3或－113，故选D. [答案] D5．函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)[解析] 解法一：当a ＝0时，f (x )＝4x －3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意．当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2a 2－3－4a ， 其对称轴为x ＝－2a .当a >0时，f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意．当a <0时，只有当－2a ≥2，即－1≤a <0时，f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意．综上，当a ≥－1时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，故选B.解法二：由f (x )＝ax 2＋4x －3，得f ′(x )＝2ax ＋4， 要使函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，需使f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上为单调递增函数，则f ′(x )＝2ax ＋4≥0在[0,2]上恒成立，当x ＝0时成立，当x ≠0时，由x ∈(0,2]，得a ≥－2x ， 因为－2x 在(0,2]上的最大值为－1，所以a ≥－1.综上，当a ≥－1时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，故选B.解法三：当a ＝0时，f (x )＝4x －3在[0,2]上单调递增，最大值为f (2)，满足题意，排除A 、C 、D ，故选B.[答案] B6．已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0[解析] ∵a ，b >0且a ≠1，b ≠1，∴当a >1，即a －1>0时，不等式log a b >1可化为a log a b >a 1，即b >a >1，∴(a －1)(a －b )<0，(b －1)(a －1)>0，(b －1)(b －a )>0.当0<a <1，即a －1<0时，不等式log a b >1可化为a log a b <a 1，即0<b <a <1，∴(a －1)(a －b )<0，(b －1)(a －1)>0，(b －1)(b －a )>0.综上可知，选D. [答案] D 二、填空题7．(2018·郑州模拟)过点P (3,4)与圆x 2－2x ＋y 2－3＝0相切的直线方程为______________．[解析] 圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4. 当直线的斜率不存在时，直线x ＝3适合； 当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为 y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0. 由|k －0＋4－3k |k 2＋1＝2，得k ＝34. 此时直线方程为y －4＝34(x －3)，即3x －4y ＋7＝0. 综上所述，所求切线的方程为x ＝3或3x －4y ＋7＝0. [答案] x ＝3或3x －4y ＋7＝08．已知2sin2α＝1＋cos2α，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为________．[解析] ∵2sin2α＝1＋cos2α， ∴4sin αcos α＝1＋2cos 2α－1， 即2sin αcos α＝cos 2α.①当cos α＝0时，α＝k π＋π2(k ∈Z )， 此时tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1； ②当cos α≠0时，tan α＝12，此时tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝3. 综上所述，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为－1或3. [答案] －1或39．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________．[解析] 若∠PF 2F 1＝90°. 则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25， 解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，所以|PF 1||PF 2|＝72.若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， 所以|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20，所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以|PF 1||PF 2|＝2.综上知，|PF 1||PF 2|＝72或2.[答案] 72或2 三、解答题10．(2018·广东七校联考)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，A ＝π3，且32－sin(B －C )＝sin2B ，求△ABC 的面积．[解] 解法一：由已知及A ＋B ＋C ＝π可得32－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －23π＝sin2B ，即sin2B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －23π＝32，∴sin2B －32cos2B －12sin2B ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3＝32.∵A ＝π3，∴0<B <23π，∴－π3<2B －π3<π， ∴2B －π3＝π3或2π3，∴B ＝π3或π2. 当B ＝π2时，C ＝π6，∴S △ABC ＝12×2×2×tan π6＝233；当B ＝π3时，△ABC 是边长为2的等边三角形，∴S △ABC ＝34a 2＝34×4＝ 3.综上可知，△ABC 的面积为3或233.解法二：∵A ＝π3，且32－sin(B －C )＝sin2B ，∴32＝sin2B ＋sin(B －C )，即sin A ＝sin2B ＋sin(B －C )，又sin A ＝sin(B ＋C )，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos B ＋sin B cos C －cos B sin C ，即cos B sin C ＝sin B cos B .当cos B ＝0时，可得B ＝π2，C ＝π6， ∴S △ABC ＝12ac ＝12×2×2×tan π6＝233；当cos B ≠0时，sin B ＝sin C ，由正弦定理可知b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形，又∵A ＝π3，∴a ＝b ＝c ＝2，∴S △ABC ＝34a 2＝ 3.综上可知△ABC 的面积为3或233.11．已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且F 2到直线x －3y －9＝0的距离等于椭圆的短轴长．(1)求椭圆C 的方程；(2)若圆P 的圆心为P (0，t )(t >0)，且经过F 1，F 2两点，Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外，过Q 作圆P 的切线，切点为M ，当|QM |的最大值为322时，求t 的值．[解] (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 依题意可得2b ＝|1－9|2＝4，所以b ＝2，又c ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝5， 所以椭圆C 的方程为x 25＋y 24＝1. (2)设Q (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫满足x 25＋y 24＝1，圆P 的方程为x 2＋(y －t )2＝t 2＋1， 连接PM ，因为QM 为圆P 的切线， 所以PM ⊥QM ， 所以|QM |＝|PQ |2－t 2－1 ＝x 2＋(y －t )2－t 2－1 ＝－14(y ＋4t )2＋4＋4t 2.①若－4t ≤－2，即t ≥12时， 当y ＝－2时，|QM |取得最大值，且|QM |max ＝4t ＋3＝322， 解得t ＝38<12(舍去)． ②若－4t >－2，即0<t <12， 当y ＝－4t 时，|QM |取得最大值， 且|QM |max ＝4＋4t 2＝322，解得t 2＝18，又0<t <12，所以t ＝24.综上，当t ＝24时，|QM |的最大值为322.12．(2018·东北三校联考)设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，其中a ∈R ，讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由．[解] 由题意知函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)， f ′(x )＝1x ＋1＋a (2x －1)＝2ax 2＋ax －a ＋1x ＋1.令g (x )＝2ax 2＋ax －a ＋1，x ∈(－1，＋∞)． ①当a ＝0时，g (x )＝1，此时f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点． ②当a >0时，Δ＝a 2－8a (1－a )＝a (9a －8)． (ⅰ)当0<a ≤89时，Δ≤0，g (x )≥0，f ′(x )≥0，函数f (x )在(－1，＋∞)单调递增，无极值点； (ⅱ)当a >89时，Δ>0，设方程2ax 2＋ax －a ＋1＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)， 因为x 1＋x 2＝－12，所以x 1<－14，x 2>－14. 由g (－1)＝1>0， 可得－1<x 1<－14.所以当x ∈(－1，x 1)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 因此函数有两个极值点． ③当a <0时，Δ>0，由g (－1)＝1>0，可得x 1<－1.当x ∈(－1，x 2)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． 所以函数有一个极值点．综上所述，当a <0时，函数f (x )有一个极值点； 当0≤a ≤89时，函数f (x )无极值点； 当a >89时，函数f (x )有两个极值点．。
高考数学二轮复习讲义 分类讨论思想方法
高考数学二轮复习讲义 分类讨论思想方法在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。
分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。
有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。
引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。
如|a|的定义分a>0、a ＝0、a<0三种情况。
这种分类讨论题型可以称为概念型。
② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。
如等比数列的前n 项和的公式，分q ＝1和q ≠1两种情况。
这种分类讨论题型可以称为性质型。
③ 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。
如解不等式ax>2时分a>0、a ＝0和a<0三种情况讨论。
这称为含参型。
另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。
进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。
其中最重要的一条是“不漏不重”。
解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。
一 例题1．集合A ＝{x||x|≤4,x ∈R}，B ＝{x||x －3|≤a ，x ∈R}，若A ⊇B ，那么a 的范围是( )。
A. 0≤a ≤1B. a ≤1C. a<1D. 0<a<12.若a>0且a ≠1，p ＝log a (a 3＋a ＋1)，q ＝log a (a 2＋a ＋1)，则p 、q 的大小关系是( )。
高考数学二轮复习 第3讲 分类讨论思想课件 文
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第一部分 数学思想方法专题大突破
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第三讲 分类讨论思想
第三页，共43页。
思想方法 归纳概括
高三冲刺,给你一颗勇敢的心
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1．分类讨论思想的含义 (1)分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究 时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研 究，得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解 答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为 整”的解题策略．
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故f(x)在R上为增函数． (3)由(1)知，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c，而2e2x＋2e－ 2x≥2 2e2x·2e－2x＝4，当x＝0时等号成立． 下面分三种情况进行讨论． 当c＜4时，对任意x∈R，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c＞0， 此时f(x)无极值；
[答案] D
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[解析] 作出可行域，平移直线y＝x，由z的最小值为－4求 参数k的值．
第二十二页，共43页。
作出可行域，如图中阴影部分所示，直线kx－y＋2＝0与x 轴的交点为A－2k，0.
∵z＝y－x的最小值为－4， ∴2k＝－4，解得k＝－12，故选D.
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[思路方法] (1)先根据相关的求导法则，正确求得相应函 数的导数，再结合偶函数的定义及导数的几何意义确定相关的 待定系数；(2)结合函数的导函数与基本不等式，由此判定相应 函数的导数的符号，进而确定其单调性；(3)结合函数的导数与 极值的意义，通过判断相关函数的零点情况，确定待定系数的 取值范围．
答案：(0， 6＋ 2)
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解析：根据条件，四根长都为2的直铁条与两根长都为a的 直铁条要组成三棱锥形的铁架，有以下两种情况：
2019-2020年高三数学第二轮专题复习分类讨论思想课堂资料
2019-2020年高三数学第二轮专题复习分类讨论思想课堂资料一、基础知识整合分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。
所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。
实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。
1.分类原则：分类应按同一标准进行，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论. 2.分类方法：明确讨论对象以及研究的范围;确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论. 3.含参数问题的分类讨论是常见题型。
4.注意简化或避免分类讨论。
二、例题解析[例1] 一条直线过点（5，2），且在x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为（ ） (A) (B)(C)x y x y +-=-=70250或 (D)x y y x ++=-=70250或 [分析]设该直线在x 轴，y 轴上的截距均为a , 当a =0时，直线过原点，此时直线方程为；当时，设直线方程为x a yaa +==17，则求得，方程为。
[例2] 15sin cos cos 213ABC A B C ∆==中，已知，，求.[分析][]∴=-+=--⋅cos cos()cos cos sin sin C A B A B A B因此，只要根据已知条件，求出cos A ，si n B 即可得cosC 的值.但是由si nA 求cos A 时，是一解还是两解？这一点需经过讨论才能确定，故解本题时要分类讨论。
对角A 进行分类.[解]50cos 132B B ABC <=<∆为的一个内角 ∴<<=45901213 B B ，且sin ⑴若为锐角，由，得，此时A A A A sin cos ===123032⑵若为钝角，由，得，此时A A A A B sin ==+>12150180这与三角形的内角和为180°相矛盾。
中考数学复习讲义课件 专题3 分类讨论思想
4．能使 6|k＋2|＝(k＋2)2 成立的 k 值为 －2，4或－8 . 5．(2021·自贡)当自变量－1≤x≤3 时，函数 y＝|x－k|(k 为常数)的最小值为 k＋3，则满足条件的 k 的值为 －2 .
6．函数 y＝|x－1|＋|2x－1|＋|3x－1|取最小值时，求实数 x 的取值范围． 解：当 x≥1 时，y＝x－1＋2x－1＋3x－1＝6x－3，x＝1 时，y 的最小值为 3； 当12≤x＜1 时，y＝1－x＋2x－1＋3x－1＝4x－1，x＝21时，y 的最小值为 1； 当13≤x＜12时，y＝1－x＋1－2x＋3x－1＝1，y 的最小值为 1； 当 x≤13时，y＝1－x＋1－2x＋1－3x＝－6x＋3，x＝13时，y 的最小值为 1. 故当函数取最小值时，实数 x 的取值范围是31≤x≤21.
④P4A 为以 A 为切点的⊙O 的切线． ∵∠1＝120°，OP1＝OA， ∴∠P1AO＝∠OP1A＝60°. ∴∠P4OA＝60°. 在 Rt△OP4A 中， AP4＝OA·tan∠P4OA＝3×tan60°＝3× 3＝3 3. 综上所述，当△APB 为直角三角形时，AP＝3 或 3 3或 3 7.
☞示例 1 若关于 x 的方程 kx2－(k＋1)x＋14(k－1)＝0 有解，则 k 的取值范 围是( C )
A．k≥－13且 k≠0
B．k＞－13且 k≠0
C．k≥－13
D．k＞－13
[解析] 当 k ＝0 时，原方程化为－x－14＝0，有解，符合题意；当 k≠0 时， 原方程为一元二次方程，要使方程有解，则(k＋1)2－4k·14(k－1)≥0，解得 k ≥－13.故选 C. [点评] 分一元一次方程和一元二次方程讨论．
用分类讨论解决问题的方法涉及的知识面多，所以要根据不同的对象进行 分类，或者对涉及的范围进行划分，然后对各类情况逐一讨论，最终解决 问题．可分为三个步骤：首先要确定分类对象，其次实施分类讨论(注意： 分类时要做到不重不漏)，最后归纳综合结论．
九年级数学中考二轮专题思想方法复习——分类讨论思想
2021年九年级数学中考二轮专题思想方法复习——分类讨论思想一、分类思想：是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。
分类以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果。
分类必须有一定的标准，标准不同分类的结果也就不同。
分类要做到不遗漏，不重复。
分类后，对每个类进行研究，使问题在各种不同的情况下，分别得到各种结论，这就是讨论。
分类讨论是对问题深入研究的思想方法，用分类讨论的思想，有助于发现解题思路和掌握技能技巧，做到举一反三，触类旁通。
二、引起分类讨论的原因主要有：1．涉及的数学概念是分类进行的2．涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的3．解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论4．某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等三、分类讨论的步骤：第一，确定讨论的对象以及讨论对象的取值范围；第二，正确选择分类标准，合理分类；第三，逐类、逐段分类讨论；第四，归纳并做出结论。
四、主要分类有：1.数与代数中的分类2.几何中图形位置关系不确定的分类。
3.动点引起的分类（一）.数与代数中的分类1.概念中的分类例.1.|m-n| =n-m,且|m| =4,|n| =3,则(m+n)²=（）解∵|m| =4,|n| =3,所以 m=±4,n=±3,又∵|m-n| =n-m,所以 n-m ≥0,n ≥m. 当 n=3时,m 可能取的值为-4, (m+n)²＝1; 当 n=-3 时,m 可能取值为-4,则(m+n)²＝49, 所以(m+n)²的值是 49 或 1.小结：绝对值概念是一个需要分类讨论的概念,只有通过分类讨论后,得到的结论才是完整的,正确的,如不分类讨论,就很容易出现错误.练习．（1）已知||3,||2,0,x y xy x y ==<+=且则______（2）已知a ，b 为有理数，且ab>0，则 的值为( )2..(2009 年钦州)当 b ≠0 时,比较1+b 与1 的大小; 解∵b ≠0 时, ∴ b>0 或 b<0. 当 b>0 时,1+b>1; 当 b<0 时,1+b<1.小结：用分类讨论可以判断大小。