11.6 从等腰三角形到等边三角形
等边三角形和等腰三角形的性质
等边三角形和等腰三角形的性质等边三角形是指三条边长度相等的三角形，而等腰三角形则是指两条边长度相等的三角形。
这两种特殊的三角形在几何学中具有一些独特的性质和特点。
本文将分别探讨等边三角形和等腰三角形的性质，从而帮助读者更好地理解和运用它们。
一、等边三角形的性质1.等边三角形的边相等等边三角形的三条边长度相等，即AB=BC=AC。
这是等边三角形最基本的性质。
2.等边三角形的角度相等等边三角形的三个内角均相等，都是60度。
这是由于等边三角形的三条边长度相等，从而使得每条边对应的两个角度也相等。
3.等边三角形的高、中线、角平分线重合在等边三角形ABC中，等边三角形的高、中线、角平分线在垂直平分三角形的直径上重合。
垂直平分三角形的直径是由一个顶点到对边的中点的直线段。
4.等边三角形的外接圆和内切圆等边三角形的外接圆是过三个顶点的圆，而内切圆是与三条边相切的圆。
这两个圆均有特殊的性质，例如等边三角形的外接圆半径等于边长，内切圆的半径等于边长的三分之根号3。
二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的两边相等等腰三角形的两条边长度相等，即AB=AC。
这是等腰三角形最基本的性质。
2.等腰三角形的顶角和底角相等等腰三角形的两个顶角相等，即∠A=∠C。
这是由于等腰三角形的两条边长度相等，从而使得对边上的角度也相等。
3.等腰三角形的高和中线相等在等腰三角形ABC中，等腰三角形的高和中线都相等，且垂直平分底边AC。
这是由于等腰三角形的两条边长度相等，从而使得对边上的高和中线长度也相等。
4.等腰三角形的外接圆和内切圆等腰三角形的外接圆是过三个顶点的圆，而内切圆是与底边AC相切的圆。
这两个圆均有特殊的性质，例如等腰三角形的外接圆圆心位于底边上的中点，内切圆的半径等于高的两倍。
结语通过对等边三角形和等腰三角形的性质的讨论，我们可以看到它们在形状和角度上都具有一定的相似性。
同时，这些性质也为我们解题和推导提供了一定的便利。
无论是在数学学习还是实际应用中，对等边三角形和等腰三角形的性质的理解都是十分重要的。
等腰三角形与等边三角形的性质 (2)
(等角对等边.)
标杆题
1. 已知：如图，∠CAE是△ABC的外 角，AD∥BC且∠1=∠2．
求证：AB=AC．
反思：在同一个三角形中证明线段相等的方法是什么？
巩固练习 课本第10页随堂练习1
学习活动（二）请你说出等边三角形的判别方法 ，并说明理由。
（1）三边都相等的三角形是等边三角形 （2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 （3）三个角都相等的三角形是等边三角形
∴AB=BC=CA， 即△ABC是等边三角形．
求证：三个角都相等的三角形是等边三角形．
已知：△ABC中，∠A=∠B=∠C．
A
求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵∠A=∠B，
∴BC=AC(等角对等边)．
又∵∠A=∠C，
B
C
∴BC=AB(等角对等边)．
∴AB=BC=CA，
即△ABC是等边三角形．
反思总结：等边三角形的性质和判定：
求证：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三
角形．
已知：△ABC中，AB=AC,∠A=60°．
求证：△ABC是等边三角形．
A
证明：∵AB=AC
∴ ∠B= ∠C （等角对等边） ，
∵∠A +∠B +∠C=180°
∠A=60°
B
C
∴ ∠B= ∠C=60° ， ∴ ∠A= ∠B=60°
∴AC=BC(等角对等边)．
谈谈本节课你学到了 什么？
Hale Waihona Puke 性质判定的条件“三线合一”,即等腰三角形顶 角平分线，底边上的中线、高互 相重合
有一角是60°的等腰三角形 是等边三角形
等边三角形三边相等，三个角都 相等，且每个角都是60°
等腰三角形与等边三角形的性质
等边三角形1．等边三角形的性质：三边相等；三角都是60°；三边上的中线、高、角平分线相等2．等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半注意：推论1是判定一个三角形为等边三角形的一个重要方法.推论2说明在等腰三角形中，只要有一个角是600，不论这个角是顶角还是底角，就可以判定这个三角形是等边三角形。
推论3反映的是直角三角形中边与角之间的关系.3．由学生解答课本148页的例子；4．补充：已知如图所示, 在△ABC 中, BD 是AC 边上的中线, DB ⊥BC 于B, ∠ABC=120o , 求证: AB=2BC分析 由已知条件可得∠ABD=30o , 如能构造有一个锐角是30o 的直角三角形, 斜边是AB,30o 角所对的边是与BC 相等的线段,问题就得到解决了.证明: 过A 作AE ∥BC 交BD 的延长线于E∵DB ⊥BC(已知)∴∠AED=90o (两直线平行内错角相等)在△ADE 和△CDB 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠)()()(已知对顶角相等已证CD AD BDC ADE CBD E∴△ADE ≌△CDB(AAS)∴AE=CB(全等三角形的对应边相等)∵∠ABC=120o ,DB ⊥BC(已知)∴∠ABD=30o在Rt △ABE 中,∠ABD=30o∴AE=21AB(在直角三角形中,如果一个锐角等于30o , 那么它所对的直角边等于斜边的一半) B∴BC=21AB 即AB=2BC 点评 本题还可过C 作CE ∥AB5、训练：如图所示,在等边△ABC 的边的延长线上取一点E,以CE 为边作等边△CDE,使它与△ABC 位于直线AE 的同一侧,点M 为线段AD 的中点,点N 为线段BE 的中点,求证:△CNM 是等边三角形.分析 由已知易证明△ADC ≌△BEC,得BE=AD,∠EBC=∠DAE,而M 、N 分别为BE 、AD 的中点，于是有BN=AM ，要证明△CNM 是等边三角形，只须证MC=CN ，∠MCN=60o ，所以要证△NBC ≌△MAC ，由上述已推出的结论，根据边角边公里，可证得△NBC ≌△MAC证明：∵等边△ABC 和等边△DCE ，∴BC=AC ，CD=CE ，（等边三角形的边相等）∠BCA=∠DCE=60o （等边三角形的每个角都是60）∴∠BCE=∠DCA∴△BCE ≌△ACD （SAS ）∴∠EBC=∠DAC （全等三角形的对应角相等）BE=AD （全等三角形的对应边相等）又∵BN=21BE ，AM=21AD （中点定义） ∴BN=AM∴△NBC ≌△MAC （SAS ）∴CM=CN （全等三角形的对应边相等）∠ACM=∠BCN （全等三角形的对应角相等）∴∠MCN=∠ACB=60o∴△MCN 为等边三角形（有一个角等于60o 的等腰三角形是等边三角形）。
等边三角形和等腰三角形的性质
等边三角形和等腰三角形的性质等边三角形和等腰三角形是我们在初中数学中经常遇到的几何形状，它们具有一些独特的性质。
本文将详细介绍等边三角形和等腰三角形的定义、性质以及一些相关的定理。
一、等边三角形的定义与性质等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。
在等边三角形中，三个内角均为60度。
下面是一些等边三角形的性质：1. 等边三角形的三角内角均为60度。
因为等边三角形的三条边长度相等，根据三角形内角和定理，三个内角必然相等，所以等边三角形的三个内角都是60度。
2. 等边三角形的三条高线、中线和角平分线重合于同一个点。
等边三角形的高线、中线和角平分线都会通过三角形的垂心，而在等边三角形中，三条高线、中线和角平分线重合于同一个点，也就是三角形的重心、垂心、外心和内心都重合。
3. 等边三角形的面积公式为：S = (边长^2 * √3) / 4。
我们可以根据等边三角形的性质来推导其面积公式。
设等边三角形的边长为a，高为h，将等边三角形分成两个等腰三角形，每个等腰三角形的底边为a，高为h。
根据等腰三角形的面积公式，每个等腰三角形的面积为S1 = (a * h) / 2，所以等边三角形的面积为S = 2 * S1 = a * h = (a^2 * √3) / 4。
二、等腰三角形的定义与性质等腰三角形是指两边的长度相等的三角形。
在等腰三角形中，两个底角（底边所对的两个角）相等。
下面是一些等腰三角形的性质：1. 等腰三角形的底角（底边所对的两个角）相等。
在等腰三角形中，两边相等，根据等边三角形的证明，两个底角必然相等。
2. 等腰三角形的顶角（顶点所对的角）为锐角或直角。
在等腰三角形中，两边相等，所以顶角为锐角或直角，不可能为钝角。
3. 等腰三角形的高线、中线和角平分线重合于同一个点。
等腰三角形的高线、中线和角平分线都会通过三角形的顶点和底边的中点，这三条线段重合于同一个点。
4. 等腰三角形的面积公式为：S = (底边 * 高) / 2。
形的等腰与等边知识点总结
形的等腰与等边知识点总结等腰三角形是指具有两边长度相等的三角形，而等边三角形则是指三条边的长度均相等的三角形。
在几何学中，等腰与等边三角形有着重要的地位，并且在应用中也常常被使用。
下面是对于等腰与等边三角形的知识点总结。
1. 等腰三角形的性质等腰三角形有以下重要性质：- 两边边长相等，即两边是等长的。
- 两个底角相等，即两个底边上的角度是相等的。
- 顶角是两个底角的对角，也就是顶角的度数等于两个底角的度数之和的一半。
2. 等边三角形的性质等边三角形具有以下重要性质：- 三条边的长度均相等，即三个边是等长的。
- 三个内角均为60度。
由于三角形内角之和为180度，而且三条边长度均相等，所以每个角度都是60度。
3. 如何判断等腰三角形和等边三角形- 对于等腰三角形，通常可以通过观察两边的边长是否相等来判断。
如果两边边长相等，则可以判断为等腰三角形。
- 对于等边三角形，我们只需要检查三条边的长度是否均相等即可。
4. 等腰与等边三角形的应用等腰与等边三角形在几何学中有广泛的应用：- 在建筑中，等腰三角形常用于构建大门、窗户和建筑元素。
- 在图形设计和艺术中，等边三角形常用于构建稳定、平衡的图案和装饰。
- 在数学中，等腰三角形和等边三角形是很多几何定理和证明的基础，是解决其他几何问题的重要工具。
总结：等腰三角形和等边三角形是几何学中的重要概念，具有许多特性和性质。
了解和应用这些知识点可以帮助我们更好地理解三角形的性质和其应用领域。
希望本篇文章对于你了解形的等腰与等边三角形有所帮助。
讲义等腰三角形与等边三角形
讲义等腰三角形与等边三角形在我们的数学世界里，三角形家族可是非常庞大且重要的。
其中，等腰三角形和等边三角形更是有着独特的魅力和重要的地位。
先来说说等腰三角形。
等腰三角形，顾名思义，就是至少有两条边长度相等的三角形。
这两条相等的边被称为“腰”，而另外一条边则被称为“底边”。
等腰三角形有一个非常重要的性质，那就是两腰所对应的两个底角相等。
想象一下，你有一个等腰三角形的风筝。
风筝的骨架就是等腰三角形的三条边。
当你拿着风筝线奔跑时，你会发现风筝的两个底角角度是一样的。
这就是等腰三角形的奇妙之处。
而且，等腰三角形的对称轴也很有趣。
它的对称轴就是过顶点和底边中点的直线。
沿着这条对称轴对折，等腰三角形能够完全重合，就像我们对折一张纸一样。
等腰三角形在我们的生活中随处可见。
比如，一些屋顶的形状就是等腰三角形，这样可以使雨水顺利地流下来。
还有一些交通标志，也是等腰三角形的形状，能够引起人们的注意。
接下来，咱们再聊聊等边三角形。
等边三角形可是等腰三角形的“进阶版”，因为它的三条边长度全都相等。
既然三条边都相等，那三个角自然也都相等，而且每个角都是 60 度。
等边三角形就像是一个非常公平、完美的存在。
它的每一条边都没有“特殊待遇”，每一个角也都平等地占据着自己的位置。
在建筑设计中，等边三角形也有着自己的用武之地。
比如一些现代的建筑结构，会运用等边三角形的稳定性来增强建筑物的支撑能力。
当我们研究等腰三角形和等边三角形的关系时，会发现等边三角形其实是一种特殊的等腰三角形。
因为等边三角形满足等腰三角形的定义，只不过它更加特殊，三条边都相等。
在数学问题中，经常会出现让我们判断一个三角形是等腰三角形还是等边三角形的题目。
这时候，我们就要根据它们的定义和性质来进行判断。
比如，给我们一个三角形的三条边长度分别是 5 厘米、5 厘米、6 厘米。
很明显，有两条边长度相等，所以这是一个等腰三角形。
再比如，一个三角形的三条边都是 4 厘米，那不用多说，这肯定是一个等边三角形。
小学数学知识点等边三角形与等腰三角形的特征
小学数学知识点等边三角形与等腰三角形的特征等边三角形与等腰三角形是小学数学中的重要知识点。
它们都是三角形的特殊形式，具有各自独特的特征和性质。
一、等边三角形的定义和特征等边三角形是指三条边都相等的三角形。
根据其定义，我们可以得到等边三角形的以下特征：1. 三条边的边长相等，即a = b = c。
2. 三个角度均为60度，即∠A = ∠B = ∠C = 60°。
3. 三条高线、三条中线、三条角平分线和三条垂直平分线重合，即等边三角形的高线、中线、角平分线和垂直平分线都是同一条线段。
4. 等边三角形的内角和为180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
二、等腰三角形的定义和特征等腰三角形是指两条边相等的三角形。
根据其定义，我们可以得到等腰三角形的以下特征：1. 两条边的边长相等，即a = b。
2. 两个底角（等边的两个角）相等，即∠A = ∠B。
3. 等腰三角形的顶角（不等边的角）可以任意，即∠C可为任意值。
4. 等腰三角形的内角和为180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
三、等边三角形与等腰三角形的关系等边三角形是等腰三角形的特殊情况，即所有的等边三角形也是等腰三角形。
在等边三角形中，两条等边就是等腰三角形的两条边，同时，等腰三角形还可以有不等的顶角。
举个例子来说明：假设有一个等腰三角形ABC，其中AB = AC。
如果我们再假设BC = AB = AC，我们就得到了一个等边三角形ABC。
所以，等边三角形是等腰三角形的特殊情况。
另外，等边三角形和等腰三角形都具有对称性。
等边三角形的三条边互相对称，等腰三角形的两条边和两个底角也是相互对称的。
总结：等边三角形和等腰三角形是小学数学中的常见知识点。
等边三角形的特征是三条边都相等，等腰三角形的特征是两条边相等。
等边三角形包括等腰三角形作为特殊情况。
等腰三角形的两个底角相等，顶角可以任意。
等边三角形的三个角度均为60度。
等腰三角形和等边三角形的判定PPT课件
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C. （两直线平行，同位角相等）
∴ ∠ADE=∠AED（. 等量代换）
∴ △ADE为等腰三角形. （有两个角相等的三角形是等腰三角形）
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动脑筋
有一个角是60°的等腰三角 形是等边三角形吗？为什么？
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如图，在等腰三角形ABC中，
性质
判定
等
A 有两边 1.两腰相等
1.两边相等
腰
相等的
三
三角形 2.两底角相等 2.两角相等
角
是等腰
形 B
C 三角形 3. “三线合一”
4.是轴对称图形
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等边三角形
名称 图 形 定 义
性质
判定
等
A 三边相 1.三边相等
1.三边相等
边
等的三
三
角形是 2.三角相等
2.三角相等
角 形B
等边三
由此得到等腰三角形的判定定理：
结论
有两个角相等的三角形是等腰三角形 (简称“等角对等边”).
注意：“等边对等角”的前提条件是在同一个三角形中。
A
几何语言表示如下：
在∆ABC中，
∵∠B=∠C
∴AB=AC
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B
C
巩固练习：下列两个图形是否是等腰三角形？
300
400
400
750
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结论
由此并且结合三角形内角和定理， 还可以得到等边三角形的判定定理： 三个角都是60°的三角形是等边三角 形。
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例2 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D， E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC.
四年级数学最新课件-等腰三角形和等边三角形 精品
顶角
腰
腰
底角 底角 底
底角 底
腰
顶角 底角 腰
腰 底角
顶角 底 腰
底角
Hale Waihona Puke 等腰三角形的两条边相等， 两个底角也相等。
一个等腰三角形的顶角是70度， 它的一个底角是多少度？
700 55° 55°
180°70°=110°
110°÷ 2 =55°
等腰三角形的一个底角是35 度，求顶角的度数。
110
350 °
35°× 2 =70° 180°- 70°=110°
等边三角形的三条边相等， 三个内角也相等，都是60度。
算一算：
用一根18厘米长的线，可以围 成边长是几厘米的等边三角形？
18÷3＝6(厘米) 要围一个边长是8厘米的等边 三角形需要多少长的铁丝？
8×3＝24（厘米）
等腰直角三角形
等腰锐角三角形
等腰钝角三角形
每天都有收获， 每天都有进步！
等腰三角形和等边三角形的性质
等腰三角形和等边三角形的性质一、等腰三角形的性质1.1 定义：等腰三角形是指有两边相等的三角形。
1.2 两边相等：在等腰三角形中，两个底角相等，两条底边相等。
1.3 底角平分线：在等腰三角形中，底边的垂直平分线同时也是底角平分线。
1.4 顶角平分线：在等腰三角形中，顶角的平分线、底边的中线和底角的平分线三线合一。
1.5 面积公式：等腰三角形的面积公式为：S=12absinC，其中 a 和 b 分别为等腰三角形的底边，C 为顶角。
二、等边三角形的性质2.1 定义：等边三角形是指三边相等的三角形。
2.2 内角相等：在等边三角形中，三个内角都相等，每个内角为60∘。
2.3 外角相等：在等边三角形中，每个外角都相等，每个外角为120∘。
2.4 中线相等：在等边三角形中，三条中线相等，且都垂直于对边。
2.5 高线相等：在等边三角形中，三条高线相等，且都垂直于对边。
2.6 面积公式：等边三角形的面积公式为：S=√34a2，其中 a 为等边三角形的边长。
2.7 圆周角定理：在等边三角形中，每个圆周角都等于60∘。
2.8 圆心对称：等边三角形具有圆心对称性，即三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线都相交于同一点，称为三角形的垂心。
2.9 稳定性：等边三角形是稳定的，不会因为外力的作用而变形。
总结：等腰三角形和等边三角形是特殊的三角形，它们具有独特的性质。
通过掌握这些性质，我们可以更好地理解和解决与等腰三角形和等边三角形相关的问题。
习题及方法：1.习题：判断以下三角形是否为等腰三角形。
解答：根据等腰三角形的性质，只需要判断两边是否相等即可。
如果两边相等，则为等腰三角形。
2.习题：已知等腰三角形的底边长为8cm，腰长为5cm，求该三角形的面积。
解答：根据等腰三角形的性质，底边上的高也是腰长的垂直平分线。
因此，可以将三角形分成两个直角三角形，每个直角三角形的底边为4cm，高为5cm。
面积公式为S=12×底边×高，所以面积为12×4cm×5cm=10cm2。
三角形等腰三角形等边三角形的关系
三角形等腰三角形等边三角形的关系三角形是初中数学中的重要概念之一，它由三条线段组成，其中任意两条线段之和大于第三条线段。
在三角形中，有许多特殊的形态，包括等腰三角形、等边三角形等。
下面将分别介绍这些特殊的三角形，并探讨它们之间的关系。
一、三角形1. 什么是三角形？三角形是由3条线段组成的图形，其中任意两条线段之和大于第三条线段。
2. 三角形的性质（1）任意两边之和大于第三边；（2）任意两边之差小于第三边；（3）每个内角都小于180度；（4）外角等于与它不相邻的内角之和。
二、等腰三角形1. 什么是等腰三角形？等腰三角形是指至少有两边长度相等的三角形。
2. 等腰三角形的性质（1）底边上的两个底角相等；（2）顶点上的两个顶角相等；（3）对称轴为底边中垂线。
3. 如何判断一个三角形是否为等腰三角形？判断一个三角形是否为等腰三角形，只需要判断它的两条边是否相等即可。
4. 等腰三角形的应用等腰三角形在日常生活中有许多应用，例如：鱼尾纹、雪花、箭头、旗帜等。
三、等边三角形1. 什么是等边三角形？等边三角形是指三条边长度都相等的三角形。
2. 等边三角形的性质（1）每个内角都是60度；（2）对称轴为任意一条中垂线；（3）对称轴上的任意一点到各顶点的距离相等。
3. 如何判断一个三角形是否为等边三角形？判断一个三角形是否为等边三角形，只需要判断它的三条边是否相等即可。
4. 等边三角形的应用等边三角形在日常生活中也有许多应用，例如：正六边形、正十二面体、立方体等。
四、不同类型三角形之间的关系1. 等腰和等边之间有什么关系？一个等腰三角形也可以是一个等边三角形。
当且仅当一个三角形既是等腰三角形又是等边三角形时，该三角形为正三角形。
2. 等腰和一般三角形之间有什么关系？一个一般的三角形可以是一个等腰三角形。
当且仅当一个三角形的两边相等时，该三角形为等腰三角形。
3. 等边和一般三角形之间有什么关系？一个一般的三角形可以是一个等边三角形。
中考数学复习《等腰三角形与等边三角形》
（B）
A. 5个
B. 4个
C. 3个
D. 2个
6. 如图1-4-4-11，△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，DF 经过点E，分别与AB，AC相交于点D，F，且DF∥BC. （1）求证：△DEB是等腰三角形； （2）求证：DF-BD=CF.
证明：（1）∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE. ∵DF∥BC，∴∠DEB=∠CBE. ∴∠ABE=∠DEB. ∴BD=DE. ∴△DEB是等腰三角形. （2）∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE. ∵DF∥BC，∴∠FEC=∠BCE. ∴∠ACE=∠FEC. ∴EF=CF. ∵BD=DE，∴DF-BD=CF.
第一部分 教材梳理
第四章 图形的认识（一） 第4节 等腰三角形与等边三角形
知识梳理
概念定理
1. 等腰三角形 （1）定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形. （2）性质 ①性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等 角）. ②推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上 的高线互相重合（简称：三线合一）.
解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°. ∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°. ∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°. ∴∠F=90°-∠EDC=30°. （2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°， ∴△EDC是等边三角形. ∴ED=DC=2. ∵∠DEF=90°，∠F=30°， ∴DF=2DE=4.
（3）其他性质 ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°. ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但 顶角可为钝角（或直角）.
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则
________.
④等腰三角形的三角关系：设顶角为∠A，底角为∠B，∠C，
等腰三角形和等边三角形的性质
等腰三角形和等边三角形的性质三角形是几何学中最基本的图形之一，常见的三角形包括等腰三角形和等边三角形。
在这篇文章中，我们将探讨这两种三角形的性质以及它们在几何学中的应用。
一、等腰三角形的性质等腰三角形是指两条边长度相等的三角形。
下面是等腰三角形的一些性质：1. 定义：等腰三角形的两条边相等，另一条边称为底边，底边上的高称为等腰三角形的高。
2. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（与底边相对的两个角）是相等的。
3. 两腰角相等：等腰三角形的两个腰角（与两条腰相邻的两个角）是相等的。
4. 性质推论：等腰三角形的两个底角之和等于180度，腰角的度数也相等。
等腰三角形的性质有助于我们解决几何学中与等腰三角形相关的问题。
例如，在解题过程中，我们可以利用等腰三角形的两个底角相等的性质，通过已知条件推导出未知量。
二、等边三角形的性质等边三角形是指三边长度都相等的三角形。
下面是等边三角形的一些性质：1. 定义：等边三角形的三条边长度都相等，三个内角都是60度。
2. 共有性质：等边三角形的三个内角相等于180度。
3. 相互性质推论：等边三角形的任意两边之间的夹角都是60度。
等边三角形在几何学中具有重要的地位，其性质常被用于解决各种几何问题。
由于等边三角形的三个内角相等，我们可以根据已知条件推导其他未知量，解决与等边三角形相关的问题。
三、等腰三角形和等边三角形的应用等腰三角形和等边三角形的性质在几何学中有广泛的应用。
1. 利用等腰三角形的性质可以求解各种与等腰三角形相关的问题，包括求底角、腰角、高等。
2. 利用等边三角形的性质可以求解各种与等边三角形相关的问题，包括求角度、边长等。
3. 等边三角形常出现在建筑物和工程中，如正六边形的结构，其内部形成了多个等边三角形，以保证结构的稳定性。
4. 地图制图中，等腰三角形和等边三角形常用于测量距离和角度。
总结：等腰三角形和等边三角形具有一些特殊的性质和应用。
通过了解这些性质，我们可以更好地理解和应用于几何学中的问题。
等腰三角形等边三角形的关系
等腰三角形等边三角形的关系《等腰三角形和等边三角形，你真的懂吗？》嘿，同学们！今天咱们来聊聊数学里的等腰三角形和等边三角形，这可有意思啦！你们看，等腰三角形就像一个有点特别的“小怪物”。
它有两条边是一样长的，就好像是它的两只胳膊一样，长度相同。
这两条一样长的边叫做腰，剩下的那条边就叫底边啦。
有一次上课，老师在黑板上画了一个等腰三角形，然后问我们：“同学们，你们说等腰三角形的两个底角大小会一样吗？”大家都开始思考，我心里也在想：“这怎么可能一样呢？”可是后来老师一讲解，哎呀，还真的是一样大！这就好像是双胞胎兄弟，长得一样，性格也差不多呢！那等边三角形呢，它就更特别啦！它的三条边全都一样长，就像是三个好朋友，谁也不比谁差，谁也不比谁短。
它的三个角也都一样大，都是60 度。
我还记得有一次，我和同桌一起做数学作业，碰到了一道关于等边三角形的题目。
我当时就有点迷糊，我跟同桌说：“这等边三角形也太难搞懂啦，三条边都一样，怎么算啊？”同桌却笑着说：“你别着急，咱们慢慢想。
”然后我们一起讨论，一起计算，终于把那道题给做出来了。
那时候，我可开心啦，就觉得这等边三角形也没那么可怕嘛！其实啊，等腰三角形和等边三角形就像是一家人。
等边三角形可以说是等腰三角形的“进阶版”，因为等边三角形满足等腰三角形的特征呀，可等腰三角形却不一定能达到等边三角形那么完美。
这是不是很有趣？你们说，要是我们的生活中到处都是等腰三角形和等边三角形会怎么样？比如房子是等腰三角形的，桌子是等边三角形的，那得多好玩啊！所以啊，同学们，等腰三角形和等边三角形虽然看起来有点复杂，但只要我们认真去学，去思考，就一定能把它们搞得清清楚楚！难道不是吗？我的观点就是：等腰三角形和等边三角形是数学世界里非常有趣和重要的部分，我们要好好掌握它们，这样才能在数学的海洋里畅游无阻！。
等腰三角形与等边三角形
《等腰三角形的判定与等边三角形》教案前面我们已经学过了等腰三角形的性质，我们知道了等腰三角形有“等腰对等角”，轴对称，“三线合一”等非常良好的性质，那我们怎么来判定一个三角形是等腰三角形呢，这就是我们今天学习的第一部分内容。
首先我们来看等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）我们怎么证明这样一个定理呢，这是一个文字证明题，这种题的一般步骤是-----？等待学生回答，对，画图，写出已知证明，证明作答。
好，我们按此步骤来解答一下：COBA已知：△AOB ，∠A ＝∠B ， 求证：AO=BO证明：过点O 作OC ⊥AB 于点C ，由∠A ＝∠B 、∠ACO=∠BCO 、OC=OC 证得△AOC ≌△BOC ，进而得到AO=BO ．（此题不讲，跳过，大家自己看一下，但点一下结论）下面我们来看一下课本上给出的例题：求证：如果三角形一个外角的角平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。
如图（12.3-5），∠CAE 是△ABC 的一个外角，∠1＝∠2，AD //BC ，求证：AB=AC ．21E DCBA利用等腰三角形的判定方法来证明，只要推出∠B =∠C 即可，由AD//BC 和AD 平分∠EAC 容易得到．在黑板上画出图形，和学生一起分析一下，然后让学生把课本上的证明过程补充完整。
最后总结：此题是不告诉我们另一个判别等腰三角形的办法。
例题一：如图（7），在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．通过分析、讨论，易知DE=AE ，那么只要证明DE=CD 即可，由等腰三角形，只需证两角相等，题中出现了AD 垂直于CD ，DE//AB ，我们可以延长CD ，AB ，两线相较于P 点，可以发现思路：〔解答〕证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如图（7）． 在△ADP 和△ADC 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠ADC ADP ADAD 21∴△ADP ≌△ADC ， ∴∠P =∠ACD ． 又∵DE ∥AP ∴∠4=∠P ， ∴∠4=∠ACD ． ∴DE=CE ．同理可证：AE=DE ． ∴AE=CE ．下面我们来学习本节课的第二部分内容------等边三角形。
等腰三角形与等边三角形的性质和判定学生版
2014年秋季同步课初二年级学生姓名：上课时间：等腰三角形与等边三角形的性质和判定内容基本要求略高要求较高要求 等腰三角形了解等腰三角形、等边三角形的概念，会识别这两种图形；理解等腰三角形、等边三角形的性质和判定能用等腰三角形、等边三角形的性质和判定解决简单问题会运用等腰三角形、等边三角形的知识解决有关问题知识框架图⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧判定性质定义等边三角形判定性质定义等腰三角形等腰三角形 知识点讲解一、等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
二、等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。
等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。
三、等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论中考考纲知识体系定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。
）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2. 定理及其推论的作用。
等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。
等腰三角形和等边三角形
等腰三角形和等边三角形一、等腰三角形的定义和性质1.1 等腰三角形的定义：等腰三角形是指有两边相等的三角形。
1.2 等腰三角形的性质：(1)等腰三角形的两腰相等。
(2)等腰三角形的底角相等。
(3)等腰三角形的底边垂直平分线也是高线、中线和角平分线。
(4)等腰三角形的底角小于或等于顶角。
二、等边三角形的定义和性质2.1 等边三角形的定义：等边三角形是指三边都相等的三角形。
2.2 等边三角形的性质：(1)等边三角形的三边相等。
(2)等边三角形的三角相等，都是60度。
(3)等边三角形的各边垂直平分线也是高线、中线和角平分线。
(4)等边三角形的面积计算公式为：(S = a^2)，其中a为边长。
3.1 等腰三角形的判定：(1)如果一个三角形有两边相等，那么这个三角形是等腰三角形。
(2)如果一个三角形的两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。
3.2 等边三角形的判定：(1)如果一个三角形三边都相等，那么这个三角形是等边三角形。
(2)如果一个三角形的三角都相等，都是60度，那么这个三角形是等边三角形。
四、等腰三角形和等边三角形在实际生活中的应用4.1 等腰三角形的应用：(1)建筑物的设计中，等腰三角形的结构稳定性较好，常用于设计桥梁、塔架等。
(2)几何画板或者绘图工具中，等腰三角形可以用来制作对称图案。
4.2 等边三角形的应用：(1)装饰品设计中，等边三角形的对称性美观，常用于设计各种图案。
(2)几何学中，等边三角形是研究三角形性质的基本模型。
五、等腰三角形和等边三角形的相关定理5.1 等腰三角形的定理：(1)角平分线定理：等腰三角形的角平分线、中线和底边垂直平分线是同一条线。
(2)面积定理：等腰三角形的面积等于底边乘以高线除以2。
5.2 等边三角形的定理：(1)面积定理：等边三角形的面积计算公式为：(S = a^2)。
(2)内切圆定理：等边三角形的内切圆半径等于边长乘以根号3除以6。
六、等腰三角形和等边三角形的相关问题6.1 等腰三角形的问题：(1)已知等腰三角形的一边长和一角大小，求其它两边的长度和角度大小。
等腰三角形 等边三角形
学习新知识：等腰三角形
特征：两腰相等，两底角相等，是轴对称图形，底边 上的高在它的对称轴上。
学习新知识：等边三角形
2.7cm 2.7cm
你发现了什么？ 2.7cm 定义 三条边都相等的三角形。
特征
三条边相等 三个角相等 是轴对称图形
课堂总结
这节课我们学习了…
巩固练习
等腰三角形 等边三角形
知识点回顾
1.三角形三边的关系 三角形任意两边长度的和大于第三边。
2.三角形的内角和 三角形的内角和等于180°
3.三角形的分类
学习新知识：等腰三角形
2.5cm
2.5cm 2cm
2.9cm
Байду номын сангаас1.8cm
2cm
3.5cm
2cm
2cm
你发现了什么？ 知识点： 定义 各部分名称 特征
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巩固练习
练1．如图，在△ABC中， ∠A=100°，AB=AC，BE是 ∠ABC的角平分线．求证：AE+BE=BC．
A E
B
C
巩固练习
练2．如图，已知△ABC为等边三角形， D是BC线上一点， 再延长BA到E，使AE=BD，求证：CE=DE．
E
A
B
C
D
典型例题
例2．如图，在△ABC中，∠BAC=80°，AB=AC，O为△ABC内 一点，且∠OBC=10°，∠OCA=20°，求∠BAO的度数.
A F B
《优等生数学》八年级P32 T3、T4 ，P34 T1 、T3，其它选做在书上
预习《优等生数学》八年级第十二章15节
提高练习
练2．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°， AC=8， F是 AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持 AD=CE. 连接DE、DF、EF. 在此运动变化的过程中，证明 下列结论： C E （1）△DFE是等腰直角三角形； （2）四边形CDFE的面积保持不变； D （3）AD+BE>DE．
第十一章 生活中的轴对称
11.6 从等腰三角形到等边三角形
典型例题例1．如图Fra bibliotek过△ABC的顶点A，作直线点AE与∠B的角平分 线垂直相交于点E，与BC相交于点N，且与∠C的角平分线 相交于点P. 过P作直线与底边BC平行，且与AB交于Q，与 BE交于M，与AC交于R，求证：QR=AQ+CR．
A
E Q B R M P N C
A
O B C
巩固练习
练3．如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段 AB、BC、CA上的点． （1）若AD=BE=CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你 的结论； （2）若△DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？试证 明你的结论．
A
D F
B
E
C
课堂小结
这节课你的收获是什么？
课后作业