4.3.1相似三角形的判定
(完整版)相似三角形的判定方法
(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形的判定和判定方法
相似三角形的判定和判定方法1.边长比较法：通过比较两个三角形的各个边长，可以判断它们是否相似。
如果两个三角形的对应边长成比例关系，即每对对应边长之比相等，那么这两个三角形是相似的。
比如，如果一个三角形的边长是另一个三角形的边长的两倍，那么这两个三角形就是相似的。
2.角度比较法：通过比较两个三角形的各个角度，可以判断它们是否相似。
如果两个三角形的对应角度相等（或互为对应角的补角），那么这两个三角形是相似的。
比如，如果一个三角形的一对内角是另一个三角形的一对内角的两倍，那么这两个三角形就是相似的。
3.角边比较法：通过比较两个三角形的一个角和对边的比值，可以判断它们是否相似。
如果两个三角形的一个角相等，并且对应边长之比相等，那么这两个三角形是相似的。
比如，如果一个三角形的一个角是60度，它的对边长是另一个三角形的一个角是30度，它的对边长的两倍，那么这两个三角形就是相似的。
4.比例关系法：通过使用相似三角形的比例关系，可以判断两个三角形是否相似。
根据数学原理，如果两个三角形的对应边长之比相等，那么它们是相似的。
这个比例关系可以表示为：AB/DE=BC/EF=AC/DF其中AB、BC、AC分别是一个三角形的三条边长，DE、EF、DF分别是另一个三角形的对应边长。
如果这个比例关系满足，那么这两个三角形就是相似的。
需要注意的是，相似三角形的判定必须满足两个条件：对应角度相等（或互为对应角的补角），以及对应边长成比例关系。
如果只满足其中一个条件，那么这两个三角形不是相似的。
此外，还可以根据相似三角形的性质解决一些图像类问题，比如计算物体在投影变换下的大小、角度等。
在计算机图形学和计算机视觉领域，相似三角形的概念被广泛应用于图像识别、图像重建等算法中。
总之，判定两个三角形是否相似有多种方法，包括比较边长、角度和使用比例关系。
通过这些方法，可以解决一些几何和图像问题，应用广泛。
初中数学知识归纳相似三角形的判定方法
初中数学知识归纳相似三角形的判定方法相似三角形是数学中重要的概念之一，它们具有相同的形状但是尺寸不同。
在初中数学中，我们经常需要判断两个三角形是否相似。
本文将归纳总结相似三角形的判定方法，以帮助初中生更好地理解和应用这一知识。
（正文部分）相似三角形的判定方法有以下几种：1. AAA相似判定法首先，AAA相似判定法是最基本的判定方法之一。
如果两个三角形的对应角度相等，那么它们就是相似三角形。
例如，若∠A₁=∠A₂，∠B₁=∠B₂，∠C₁=∠C₂，那么三角形ABC与三角形A₂B₂C₂相似。
2. AA相似判定法在某些情况下，我们只能通过两个角的对应关系来判定三角形的相似性。
如果两个三角形中有两个对应角度相等，那么它们就是相似三角形。
例如，若∠A₁=∠A₂，∠B₁=∠B₂，那么三角形ABC与三角形A₂B₂C₂相似。
3. 比例判定法有时候我们需要借助于三角形的边长来判定它们的相似性。
如果两个三角形的对应边长成比例，那么它们就是相似三角形。
例如，若AB/A₂B₂＝BC/B₂C₂＝CA/C₂A₂，那么三角形ABC与三角形A₂B₂C₂相似。
4. 弦割定理判定法在某些情况下，我们需要利用弦割定理来判定三角形的相似性。
该定理规定，如果两个三角形的两边分别平行，那么它们就是相似三角形。
例如，若AB平行于A₂B₂，并且BC平行于B₂C₂，那么三角形ABC与三角形A₂B₂C₂相似。
5. 斜线判定法最后，斜线判定法是一种特殊的相似三角形判定方法。
该方法适用于当两个三角形有公共一个顶点，并且它们的底边平行时。
例如，若顶点A₂与顶点A重合，并且线段BC平行于线段B₂C₂，那么三角形ABC与三角形A₂B₂C₂相似。
总结：相似三角形的判定方法有AAA相似判定法、AA相似判定法、比例判定法、弦割定理判定法和斜线判定法。
通过掌握这些方法，我们可以准确地判断两个三角形是否相似，从而在解题过程中灵活应用相似三角形的性质和定理。
（文章以以上方式展开，总字数超过1500字）。
三角形相似的5个判定方法
三角形相似的5个判定方法
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
下面是五个判定方法来判断三角形是否相似：
1. AAA判定法，如果两个三角形的对应角度相等，那么它们是相似的。
这意味着如果两个三角形的三个角分别相等，那么它们是相似的。
2. AA判定法，如果两个三角形的一个角相等，并且它们的对应边成比例，那么它们是相似的。
这意味着如果两个三角形的两个角分别相等，并且它们的对应边成比例，那么它们是相似的。
3. SSS判定法，如果两个三角形的对应边成比例，那么它们是相似的。
这意味着如果两个三角形的三条边分别成比例，那么它们是相似的。
4. SAS判定法，如果两个三角形的一个角相等，并且它们的两个对应边分别成比例，那么它们是相似的。
这意味着如果两个三角形的一个角相等，并且它们的两个对应边分别成比例，那么它们是相似的。
5. 直角三角形的判定法，如果一个三角形是直角三角形，且两个直角三角形的一个角相等，那么它们是相似的。
这意味着如果一个三角形是直角三角形，且两个直角三角形的一个角相等，那么它们是相似的。
这些判定方法可以帮助我们确定三角形是否相似，从而在几何学中应用相似三角形的性质。
通过这些方法，我们可以更好地理解和解决与相似三角形相关的问题。
完整版相似三角形的判定方法
（一）相似三角形1定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形.①当一个三角形的三个角与另一个（或几个）三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个（或几个）三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例.2、相似三角形对应边的比叫做相似比.①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1 •所以全等三角形是相似三角形的特例•其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例.②相似比具有顺序性.例如△ ABC A B，的对应边的比，即相似比为k，则△ A B' 0△ ABC的相似比「当它们全等时，才有k=k' =1③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出.3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似.①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：•/ DE // BC ,•••△ ABC ADE ;②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理. 它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到见平行，想比例”，还要想到见平行，想相似（二）相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，/ 仁/ 2=7 3,求证：△ AB（0A ADEA（双A型）例2、如图，E、F分别是△ ABC的边BC上的点，DE // AB,DF // AC , 求证：△ ABC DEF.判定定理2:如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
(精心整理)相似三角形的判定方法
(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形的判定
相似三角形的判定相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个三角形。
在几何学中，判定两个三角形是否相似是非常重要的，它们的相似性质可以帮助我们解决许多几何问题。
本文将介绍相似三角形的判定方法，涵盖三个常用的相似性条件。
一、边比例相等法边比例相等法是最简单且常用的相似三角形判定方法。
根据边比例相等的性质，如果两个三角形的各边长度成比例，则它们是相似的。
具体来说，如果在两个三角形ABC和DEF中，对应边的比值相等，即AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么它们就是相似的。
二、角度相等法角度相等法是判定相似三角形的另一种常用方法。
根据角度相等的性质，如果两个三角形的对应角度相等，则它们是相似的。
具体来说，如果在两个三角形ABC和DEF中，对应角度的度数相等，即∠A =∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，那么它们就是相似的。
三、边角对应相等法边角对应相等法是一种综合利用边长和角度信息的相似三角形判定方法。
根据边角对应相等的性质，如果两个三角形的一个角度和与其对应的两条边的比值相等，则它们是相似的。
具体来说，如果在两个三角形ABC和DEF中，存在一个角度相等，且它与两个对应边的比值相等，即∠A = ∠D，AB/DE = AC/DF 或 AB/DE = BC/EF 或 AC/DF = BC/EF，那么它们就是相似的。
相似三角形的判定对于解决实际问题具有重要意义。
例如，我们可以利用相似三角形的性质测量无法直接测量的高度，计算远离的距离以及解决一些实际建筑和工程问题。
在解决这些问题时，我们可以利用上述相似三角形判定方法来确定是否存在相似性。
然而，在应用相似三角形判定方法时，我们需要注意以下几点：1. 注意约定符号：在比较边长或角度大小时，确保使用相同的单位，并始终遵循约定的符号规范。
2. 角度的对应性：在进行边角对应相等法判定时，确保对应的边与对应的角度匹配，以免出现误判。
3. 正确标记相似标志：在证明或应用相似三角形时，可以使用符号“∼”来表示相似，例如ΔABC ∼ΔDEF。
相似三角形的判定方法
相似三角形的判定方法
1、两角分别对应相等的两个三角形相似；
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
3、三边成比例的两个三角形相近；
4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似；
5、用一个三角形的两边回去比另一个三角形与之相对应当的两边，分别对应成比例，如果三组对应边较之都相同，则三角形相近。
方法一:定理法，即平行于三角形一边的直线和其他俩边（或他的延长线）相交，所
截得的三角形与原三角形相似，俗话来讲就是一个大的三角形包含一个小的三角形，小的
三角形两边延长就成为了大三角形的两边；
方法二:俩角对应成正比的三角形相近，俗语来说先找出这两个三角形的对应边，间
接找到三角形三组对应角有俩组与成正比则相近；
方法三:两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，俗话来讲:先找到各对应边对应角，一一对应后会很方便。
两边对应成比例:两组对应边之比相等，即按同一种比法相比。
夹
角相等:即所成比例的两边之间的那个角相等；
方法四:三边对应成比例，俗语来说:如上均先找出对应边对应角，将其一一对应。
三边对应成比例:就是三组对应边之比相等，比法均一致；
认定五:只适用于于直角三角形:直角边和斜边对应成比例则这俩个三角形相近，俗语
来说俗语来说:某种程度上直角三角形一个直角边和一个斜边对应成比例也同时代表着另
外一个直角边也对应成比例。
相似三角形的判定方法
相似三角形的判定方法相似三角形是初中数学中一个非常重要的概念，它在几何学中有着广泛的应用。
在实际问题中，我们经常需要判定两个三角形是否相似，因此掌握相似三角形的判定方法对于解题至关重要。
接下来，我们将介绍相似三角形的判定方法，希望能够帮助大家更好地理解和运用这一概念。
首先，我们来看相似三角形的定义。
两个三角形中，对应的三条边的比值相等，并且对应的角度也相等，那么这两个三角形就是相似的。
根据这个定义，我们可以得出相似三角形的判定方法。
一、AAA相似判定法。
AAA相似判定法是最简单的相似三角形判定方法之一。
当两个三角形的对应角分别相等时，这两个三角形就是相似的。
例如，如果三角形ABC和三角形DEF的对应角分别相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么这两个三角形就是相似的。
二、AA相似判定法。
当两个三角形的一个角相等，且其对边成比例时，这两个三角形就是相似的。
例如，如果三角形ABC和三角形DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，且AB/DE=BC/EF，那么这两个三角形就是相似的。
三、SAS相似判定法。
SAS相似判定法是指当两个三角形的一个角相等，且两对边成比例时，这两个三角形就是相似的。
例如，如果三角形ABC和三角形DEF中，∠A=∠D，AB/DE=BC/EF，AC/DF=BC/EF，那么这两个三角形就是相似的。
四、SSS相似判定法。
SSS相似判定法是指当两个三角形的三条边成比例时，这两个三角形就是相似的。
例如，如果三角形ABC和三角形DEF中，AB/DE=BC/EF=AC/DF，那么这两个三角形就是相似的。
以上就是相似三角形的判定方法，通过这些方法，我们可以轻松地判断两个三角形是否相似。
在实际问题中，我们可以根据这些判定方法来解决各种相关的几何问题，例如计算相似三角形的边长比例、求解相似三角形的面积等等。
总之，相似三角形是几何学中非常重要的概念，掌握相似三角形的判定方法对于解题至关重要。
希望通过本文的介绍，大家能够更好地理解和掌握相似三角形的判定方法，为解决实际问题提供帮助。
4.3(1)相似三角形的判定
1.相似三角形的定义是什么？
A A',B B',C C'
A
A/
AB AC BC
A'B' A'C ' B'C ' B
C
ΔABC∽ΔA/B/C/
B/
C/
2.相似三角形与全等三角形有什
么内在的联系呢？
全等三角形是相似比为1的特 殊的相似三角形。
3.三角形的中位线截得的三角形
与原三角形是否相似？相似比是
A Ａ 直线与另一边ＡＣ 或者BC相交，使截
得的小三角形与D●Leabharlann △ABC相似，这样的Ｂ
C 直线有几条？
2.如图，ABC内接于圆O，
的平B分A线C分别交圆O ，BC
于点D，E，连结BD、 CD B
A
E
C
（1）求证：ABE ~ CDE
D
（2）根据题中条件，找 出图中
各对相似三角形 。ECD ~ CAD
ABE ~ CDE BED ~ ABD
原三角形相似.
试一试
如图，已知EF∥CD∥AB，请说出
图中的相似三角形
C A
O
E
F
D B
试问：相似三角形的判定条件 是否可以弱化？
比如：有两个角对应相等的两个 三角形相似？ A
A/
B
C B/
C/
三角形相似的判定定理1：
有两个角对应相等的两个三
角形相似。
A
A′
数学语言: B
∵ A A B B
∴ ΔABC∽ △ABC
见书P109作业题的2,3,4
例1.为了测量大峡谷的宽度AB,地质勘 探人员采用了如下方法:从A处沿与AB垂 直的直线方向走４０m到达Ｃ处,插一根 标杆,然后沿同方向继续走１５m到达Ｄ 处,再右转９０度走到Ｅ处,使Ｂ,Ｃ,Ｅ 三点恰好在一条直线上,量得DE=20m.请 你帮他们算出峡谷的宽度.
相似三角形及其判定
相似三角形及其判定相似三角形是初中数学中的一个重要概念，它是指两个或多个三角形的对应角相等，对应边成比例。
在实际问题中，利用相似三角形的特性可以简化求解过程，加深对三角形性质的理解。
本文将介绍相似三角形的定义、判定条件以及相关性质。
一、相似三角形的定义相似三角形的定义是指两个或多个三角形的对应角相等，对应边成比例。
简而言之，相似三角形是指两个三角形具有对应的角度相等，并且对应的两边之比相等。
对于两个三角形ABC和DEF来说，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，并且AB/DE=BC/EF=AC/DF，那么可以判定两个三角形相似。
二、相似三角形的判定条件相似三角形的判定有三种常见的条件：AAA判定、AA判定、SAS 判定。
下面将依次介绍这三种判定条件。
1. AAA判定当两个三角形的三个内角分别相等时，可以判定它们相似。
这是相似三角形最简单也最常见的判定条件。
例如，已知三角形ABC和DEF，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么可以得出结论：三角形ABC与DEF相似。
2. AA判定当两个三角形的两个内角分别相等，并且对应的某一边之比相等时，可以判定它们相似。
例如，已知三角形ABC和DEF，∠A=∠D，∠B=∠E，并且AB/DE=AC/DF，那么可以得出结论：三角形ABC与DEF相似。
3. SAS判定当两个三角形的一对对应边之比相等，并且这对对应边之间的夹角相等时，可以判定它们相似。
例如，已知三角形ABC和DEF，AB/DE=BC/EF，并且∠ABC=∠DEF，那么可以得出结论：三角形ABC与DEF相似。
三、相似三角形的性质相似三角形有很多有趣的性质，下面介绍其中几个常见的性质。
1. 对应角相等性质相似三角形中，对应的角都相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
2. 对应边成比例性质相似三角形中，对应边之比相等，即AB/DE=BC/EF=AC/DF。
3. 高度成比例性质相似三角形中，对应边的高度也成比例。
相似三角形及判定
相似三角形及其判定一、知识导航1、相似三角形定义2、相似三角形判定二、典例精讲：精讲一、相似三角形定义：定义：对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形.相似用符号“S”表示，读作“相似于”，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）．①记两个三角形相似时，和记两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上②全等是特殊的相似，相似比是1:1.全等要求形状相同与大小相等，而相似只是形状相同③由相似的定义，得相似三角形对应角相等，对应边成比例.④相似三角形有传递性：若AABC s AABC，AABC s AABC，则AABC AABC111222222333111333精讲二、相似三角形的判定：1、预备定理：平行于三角形一边的直线与另外两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2、相似三角形的判定定理★判定定理1、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．例1、(1)如图，B,C,D三点共线，且AB丄BD,DE丄BD,AC丄CE.求证：A ABC s A CDE.D(2)如图B,C,D三点共线，且ZB=ZD=ZACE,求证：AABC s ACDE.变式:1、如图，A ABC中,Z ACB=60。
，点P是A ABC内一点，使得Z APB=Z BPC=Z CPA,求证：AAPC s ACPB.2、已知A PQR是等边三角形，ZAPB=120。
，指出图中的相似三角形并证明.例2、(1)已知：如图，A ABC的高AD,BE相交于点F,求证：AF-FD=BF-FE.⑵如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°,CD是RtAABC的高.求证：CD2=AD-BD；BC2=AB-BD；AC2二AD-AB.变式：如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°，CD是RtAABC的高.若E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F.求证：DF2=BF-CF.★判定定理2、如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似.简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.例3、(1)如图，已知AD-AB二AE-AC.贝y：①AADE s AACB；②AAEB s AADC正确的是；相似依据是.(2)如图，四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为2的正方形.①求证：AAEF s ACEA；②求ZAFB+ZACB的值.(3)如图，A ABC是等边三角形，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上点.①当BD、BC和CE满足什么条件时，A ADB s A EAC?②当A ADB s A EAC时，求Z DAE的度数.A变式:1、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.OA-OC二OB-OD,则①②③④哪些对应相似，请写出.2、如图，已知Z BAE=Z CAD,AB=18,AC=48,AE=15,AD=40.3、如图，在A ABC和A ADB中，Z ABC=Z ADB=90。
判断相似三角形的方法
判断相似三角形的方法
平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；三边对应成比例，两个三角形相似；两角对应相等，两个三角形相似。
这四种方法可以证明两个三角形相似。
相似三角形的定义
三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。
全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。
相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。
相似三角形判定定理
1.利用定义判定：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似；
2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；
3.如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；
4.如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
相似三角形判定定理
探讨相似三角形判定定理的逆命题
9字
两三角形如果对应边成比例， 那么这两个三角形是否一定 相似？
9字
两三角形如果面积比等于相 似比的平方，那么这两个三 角形是否一定相似？
9字
回答是肯定的。如果两个三 角形的对应边成比例，那么 它们的对应角必然相等，因 此这两个三角形一定相似。
9字
回答也是肯定的。如果两个 三角形的面积比等于相似比 的平方，那么它们的对应边 必然成比例，因此这两个三 角形一定相似。
该定理是相似三角形判定的基础，也是 应用最广泛的判定方法之一。
判定定理二：两边对应成比例且夹角相等
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例， 并且夹角相等，则这两个三角形相似。
该定理是相似三角形判定的另一种方法，适用于已知两边和夹 角的情况。
判定定理三：三边对应成比例
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，则这两个三角形相 似。
该定理是相似三角形判定的另一种方法，适用于已知三边长度的情况。
以上三个判定定理是相似三角形判定的主要方法，它们在实际应用中具有广泛的适 用性和实用性。同时，这些定理也是学习相似三角形知识的基础和关键。
03
相似三角形证明方法
综合法证明
综合运用相似三角形的性质
01
通过已知条件，结合相似三角形的对应角相等、对应边成比例
飞机的位置。
建筑设计中的应用
比例缩放
在建筑设计中，相似三角形可以帮助 设计师按比例缩放模型，使得不同大 小的建筑保持相同的比例和美感。
透视绘图
在绘制建筑透视图时，相似三角形原 理可以帮助准确表现物体的远近关系 和立体感。
结构分析
在建筑结构分析中，相似三角形可以 帮助工程师理解和计算结构的稳定性 和承重能力。
初中数学知识归纳相似三角形的性质与计算
初中数学知识归纳相似三角形的性质与计算相似三角形是初中数学中的重要概念之一，它在几何学中具有很大的应用价值。
了解相似三角形的性质和计算方法，对于解决各种几何问题以及日常生活中的实际问题都有一定的帮助。
本文将对初中数学中与相似三角形相关的知识进行归纳总结，包括相似三角形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的计算方法等。
一、相似三角形的性质相似三角形的性质主要包括比例关系和角度关系两个方面。
1.1 比例关系设两个三角形ABC和A'B'C'相似，对应边的比例关系为：AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'其中，AB与A'B'、BC与B'C'、AC与A'C'的比值相等。
根据比例关系，我们可以得出以下结论：1）相似三角形的对应边成比例；2）相似三角形的对应线段中点连线与其余两边也成比例。
1.2 角度关系相似三角形的对应角相等，即∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，∠C = ∠C'。
根据角度关系，我们可以得出以下结论：1）相似三角形的对应角以及对应角的余角相等；2）相似三角形的对应边与其对应角的正弦、余弦、正切等三角函数值相等。
二、相似三角形的判定判定两个三角形是否相似，一般需要满足以下条件之一：2.1 AAA判定法则如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。
2.2 AA判定法则如果两个三角形的两对对应角相等，则这两个三角形相似。
2.3 SAS判定法则如果两个三角形的一对对应边成比例，且这两对对应边所夹的角相等，则这两个三角形相似。
2.4 SSS判定法则如果两个三角形的三对对应边成比例，则这两个三角形相似。
三、相似三角形的计算方法在解决相似三角形问题时，我们常常需要运用比例关系进行计算。
以下是一些常见的计算方法：3.1 求相似三角形的边长比例已知两个相似三角形的一个对应边的长度比例，可以通过设置比例等式求解另一个对应边的长度比例。
判断相似三角形的五个判定方法
判断相似三角形的五个判定方法相似三角形是一种特殊的几何概念，它指的是两个三角形有着相同的形状，但是大小不一样。
它在日常生活中十分常见，如自然界中的景观等。
了解如何判断两个三角形是否相似对学习几何学有着重要的意义。
本文将介绍判断相似三角形的五个判定方法，以便读者更好的理解相似三角形的概念。
首先，要判断两个三角形是否相似，需要了解三角形的边长和角度。
在几何中，不同的三角形有着不同的边长和角度。
因此，为了判断两个三角形是否相似，需要了解它们的边长和角度。
其次，可以把两个三角形的边长和角度相互比较，看看它们之间是否有比例关系。
如果两个三角形的边长和角度都有着相等的比例关系，则可以断定它们是相似的。
再次，根据三角形的谐比定理，可以确定两个三角形的偏移程度，也就是判断它们是否存在旋转、翻转等形态变化。
若三角形存在着这些变化，则可以断定它们依然是相似的。
第四，可以采用变形法来判断两个三角形是否相似。
即将一个三角形放大或缩小，如果放大后两个三角形依然保持着完全一致的形状，则可以断定它们是相似的。
最后，也可以采用图像处理的方法来判断两个三角形是否相似。
即通过颜色特征等信息，将两个三角形的图像建模，比较它们的相似度，最后判断它们是否相似。
总之，判断相似三角形的五个判定方法是：首先了解三角形的边长和角度；其次比较两个三角形的边长和角度，看看它们之间是否有比例关系；再次根据三角形的谐比定理，确定两个三角形的偏移程度；第四采用变形法来判断；最后采用图像处理的方法来判断。
读者可以根据这些判定方法，来确定两个三角形是否相似。
此外，为了更好的理解相似三角形的概念，读者需要深入学习三角形的边长、角度以及相关的几何概念。
只有不断积累知识，才能更好地判断两个三角形是否相似。
通过本文介绍，读者应该已经对判断相似三角形的五个判定方法有了初步的认识，并可以熟练运用这些方法来判断两个三角形是否相似。
同时，也希望读者能够坚持学习，以便在学习几何学的过程中取得更多的收获。
证明相似三角形判定方法
证明相似三角形判定方法证明相似三角形的判定方法有多种，以下是其中的50种方法，并对每种方法进行详细描述：1. 相似角对应相等：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。
2. 辅助角相等：如果两个三角形的一个角等于另一个角的辅助角，则这两个三角形相似。
3. 边长比例相等：如果两个三角形的对应边的比例相等，则这两个三角形相似。
4. 三边比例相等：如果两个三角形的三条边的比例相等，则这两个三角形相似。
5. 比较周长：如果两个三角形的周长比例相等，则这两个三角形相似。
6. 比较面积：如果两个三角形的面积比例相等，则这两个三角形相似。
7. 角平分线所成的相似三角形：如果两个三角形的一个角被其相对边的平分线所平分，且两个角相等，则这两个三角形相似。
8. 内切圆和外切圆：如果两个三角形的内切圆和外切圆的半径比例相等，则这两个三角形相似。
9. 三角形的高比较：如果两个三角形的高的比例相等，则这两个三角形相似。
10. 图中的角平分线构成相似三角形：如果两个三角形的一个角被图中一条直线平分，且划分的相邻两边的比例相等，则这两个三角形相似。
11. 内接三角形相似性：如果一个三角形内部有另一个相似的三角形，则这两个三角形相似。
12. 应用正弦定理：如果两个三角形中包含的两个角的正弦比相等，则这两个三角形相似。
13. 应用余弦定理：如果两个三角形中包含的两个角的余弦比相等，则这两个三角形相似。
14. 应用正切定理：如果两个三角形中包含的两个角的正切比相等，则这两个三角形相似。
15. 利用半角公式：如果两个三角形中包含的两个角的半角正弦比相等，则这两个三角形相似。
16. 利用角平分定理：如果平分一个三角形的一个角，并且用两条角平分线切分其对边，则所得的小三角形相似。
17. 边角边：如果两个三角形的一对对应边和夹角相等，则这两个三角形相似。
18. 角边角：如果两个三角形的一对对应角和夹边相等，则这两个三角形相似。
19. 边边边：如果两个三角形的三条边相等，则这两个三角形相似。
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质在我们的数学世界中，相似三角形是一个非常重要的概念。
它不仅在数学理论中有着关键的地位，还在实际生活的各种场景中有着广泛的应用。
今天，咱们就来好好聊聊相似三角形的判定与性质。
先来说说相似三角形的判定方法。
第一种方法是“两角分别相等的两个三角形相似”。
想象一下，有两个三角形，它们对应的两个角分别相等，就好像两个形状相同但大小可能不同的“模型”，这就足以说明它们是相似的。
比如说，一个三角形的两个角分别是 60 度和 80 度，另一个三角形也有两个角分别是 60 度和 80 度，那么这两个三角形就是相似的。
第二种判定方法是“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。
假如有两个三角形，其中一组对应边的比例相等，并且它们所夹的角也相等，那就可以判定这两个三角形相似。
打个比方，一个三角形的两条边分别是 4 和 6，夹角是 70 度；另一个三角形对应的两条边是 8 和12，夹角也是 70 度，那它们就是相似的。
第三种是“三边成比例的两个三角形相似”。
如果两个三角形的三条边对应的比例都相等，那它们肯定相似。
就像用不同大小的尺子去量同一个形状的东西，比例一样，形状也就一样。
接下来，咱们看看相似三角形都有哪些重要的性质。
相似三角形的对应边成比例，这是最基本也是最重要的性质之一。
也就是说，如果两个三角形相似，那么它们对应边的长度之比是一个固定的值。
比如一个三角形的三条边分别是 3、4、5，另一个与之相似的三角形对应边分别是 6、8、10，那么它们对应边的比例就是 1 ： 2 。
相似三角形的对应角相等。
这意味着相似三角形的形状是完全一样的，只是大小可能不同。
就像前面提到的例子，不管三角形大小如何变化，只要它们相似，对应的角的度数就不会改变。
还有，相似三角形的周长之比等于相似比。
相似比就是对应边的比值。
假设一个三角形的周长是 12，另一个与其相似的三角形的相似比是 2 ： 1，那么后者的周长就是 24 。
相似三角形的判定方法
相似三角形的判定方法相似三角形是指具有相同形状但是尺寸不同的三角形。
在几何学中，判定两个三角形是否相似是一个重要的问题。
本文将介绍相似三角形的判定方法，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、AAA判定法AAA（全等的英文首字母）判定法是判定相似三角形常用的方法之一。
根据AAA原理，如果两个三角形的对应角度分别相等，则可以判定它们为相似三角形。
换句话说，如果两个三角形的三个角均对应相等，则这两个三角形相似。
例如，已知三角形ABC与三角形DEF，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F，则可以判定三角形ABC与三角形DEF为相似三角形。
二、AA判定法AA（对应角的英文首字母）判定法也是常用的判定方法之一。
根据AA原理，如果两个三角形的两个对应角度分别相等，则可以判定它们为相似三角形。
换句话说，如果两个三角形的两个角对应相等，则这两个三角形相似。
例如，已知三角形ABC与三角形DEF，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则可以判定三角形ABC与三角形DEF为相似三角形。
三、SAS判定法SAS（边角边的英文缩写）判定法也是常用的判定方法之一。
根据SAS原理，如果两个三角形的一个角度相等，且两边成比例，则可以判定它们为相似三角形。
换句话说，如果两个三角形的一个角相等，且两边的比例相等，则这两个三角形相似。
例如，已知三角形ABC与三角形DEF，若∠A＝∠D，且AB/DE＝AC/DF，则可以判定三角形ABC与三角形DEF为相似三角形。
四、SSS判定法SSS（边边边的英文缩写）判定法是判定相似三角形常用的方法之一。
根据SSS原理，如果两个三角形的三边成比例，则可以判定它们为相似三角形。
换句话说，如果两个三角形的三边比例相等，则这两个三角形相似。
例如，已知三角形ABC与三角形DEF，若AB/DE＝BC/EF＝AC/DF，则可以判定三角形ABC与三角形DEF为相似三角形。
五、比例法判定法比例法判定法是判定相似三角形的常用方法之一。
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《相似三角形的判定》第一课时教学设计
一、设计思想：让学生经历“观察－探索－猜测－证明”的学习过程，体验科学发现的一般规律，同时提高几何的图形语言、符号语言、文字语言表达能力。
二、教材分析：
1、本节课使用的教材是华东师大版《数学（九年级下册）》第二十四章《图形的相似》的第24.3.2节“相似三角形的判定（第一课时）”。
2、本课内容按排在图形的相似、判定三角形相似的定义法之后学习的，且利用三角形全等的简单判定，通过类比的方法对相似三角形的简单判定也有启示和奠基的作用。
三、学情分析：
学生以前比较少接触过类比的方法，特别是本节需要的矛盾转化的数学思想和整理知识的能力有待进一步提高，他们的理解能力不一定能很好的跟上，教学中会有一定难度。
四、教学目标：
1、知识目标：
掌握两组对应角相等的两个三角形相似的判定定理。
2、能力目标：
会运用“两组角相等的两个三角形相似”的方法进行简单推理。
3、情感目标：
学会从特殊到一般的方法认识事物，用类比的方法展开思维，通过观察猜想、度量验证等实践活动获得数学猜想的经验，激起探索知识的兴趣。
五、教学重点：
掌握两组对应角相等的两个三角形相似的判定定理，会运用这个判定定理判定两个三角形相似。
教学难点：
1、探究三角形相似的条件；
2、运用两个三角形相似的判定定理解决问题。