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全国名校联盟2020届高三上学期第二次质量检测试题 数学(理) Word版含答案

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福建省名校联盟全国优质校2022-2023学年高三下学期2月大联考试题 物理试卷(含答案解析)

福建省名校联盟全国优质校2022-2023学年高三下学期2月大联考试题 物理试卷(含答案解析)

名校联盟全国优质校2023届高三大联考物理试题一、单项选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.2022年11月30日，在距地面400km的近圆轨道运行的天和核心舱与神舟十五号载人飞船成功对接，两个航天员乘组首次实现了“太空会师”。

已知天和核心舱质量约为24吨，推进系统配置4台霍尔推进器用于轨道高度调整，总推力为0.32N，则（）A.神舟十五号载人飞船从发射到对接，运动路程为400kmB.天和核心舱在轨道上绕行的速度大于7.9km/sC.能使质量为0.32kg物体产生21cm/s加速度的力为0.32ND.若4台霍尔推进器用于加速核心舱，持续运行一天，最大能使核心舱产生约1.15m/s的速度增量2.有一项理论认为所有比铁重的元素都是超新星爆炸时形成的。

已知235U和236U的半衰期分别为90.70410⨯年和94.4710⨯年，若地球上的铀来自95.9410⨯年前的恒星爆炸，且爆炸时产生相同数量的235U和236U，则目前地球上两者的数量比235236UU约为（）A.912⎛⎫⎪⎝⎭B.712⎛⎫⎪⎝⎭C.512⎛⎫⎪⎝⎭D.312⎛⎫⎪⎝⎭3.如图所示为某健身器械的原理示意图，轻杆P一端通过铰链固定在墙壁，另一端通过轻绳OA与一重为G 的重物连接。

某同学利用轻绳OS绕过光滑轻质定滑轮Q吊起重物并保持静止，此时轻杆P保持水平，绳QS 段与OQ段与水平方向夹角均为30α=︒，则（）A.轻杆对节点O的作用力大小为GB.细绳对人的拉力大小为GC.D.地面对人的支持力的大小等于人和重物的总重力大小4.A 、B 两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，它们之间的距离R 随时间变化的关系如图所示，已知地球的半径为R ，卫星A 的线速度大于卫星B 的线速度，A 、B 之间的万有引力忽略不计，则（）A.卫星A 、B 轨道半径分别为3R 、5RB.卫星A 、B 做圆周运动周期之比为1：4C.卫星A 绕地球做圆周运动的周期为18T D.地球的第一宇宙速度为167TR二、多项选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分。

2020届全国名师联盟高三第二次联考数学(理)试题

2020届全国名师联盟高三第二次联考数学(理)试题

2020届全国名师联盟高三第二次联考数学（理科）试卷★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设集合M ={1,2,3}，N ={x |1log 2>x ），则N M ⋂=( ) A ．{3} B ．{2,3} C ．{1,3} D ．{1,2,3}2、设()f x 是R 上的任意函数，下列叙述正确的是（ ）A 、()()f x f x -是奇函数；B 、()()f x f x -是奇函数；C 、()()f x f x +-是偶函数；D 、()()f x f x --是偶函数 3、下列各式错误．．的是（ ）. A. 0.80.733> B. 0..50..5log 0.4log 0.6> C. 0.10.10.750.75-< D. lg1.6lg1.4>4、设集合{|12}M x x =-≤<,{|0}N x x k =-≤，若M ∩N ≠∅，则k 的取值范围是（ ）A ．]2,(-∞B ．),1[+∞-C ．),1(+∞-D ．[－1，2]5、 若)(x f 是奇函数，且0x 是函数x e x f y -=)(的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点( )A ．1)(--=xe xf y +1 B ．1)(+=-xex f y C ．1)(+=x e x f y D ．1)(-=x e x f y6、 函数2651()()3xx f x -+=的单调递减区间为（ ）.A. (,)-∞+∞B. [3,3]-C. (,3]-∞D. [3,)+∞7、 如图的曲线是幂函数n x y =在第一象限内的图象. 已知n 分别取2±，12±四个值，与曲线1c 、2c 、3c 、4c 相应的n 依次为（ ）.A ．112,,,222-- B. 112,,2,22-- C. 11,2,2,22-- D. 112,,,222--8、函数2ln 4)(x x x f -=的大致图象是( )9、 下列有关命题的说法中错误的是．．．．（ ） （A ）若“p q 或”为假命题，则p 、q 均为假命题 （B ）“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件（C ）“12sin x =”的必要不充分条件是“6x π=”（D ）若命题p ：“∃实数x 使20x ≥”，则命题p ⌝为“对于x R ∀∈都有20x <”10、函数f (x )＝1＋log 2x 和g (x )＝21＋x 在同一直角坐标系下的图象大致是( )425c 4c 3c 2c 1第1页 共4页11、函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋3a ， x <0a x ， x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范是( )A ．(0,1)B ．[13，1)C ．(0，13]D ．(0，23]12、定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R )，f (1)＝2，则 f (－3)等于 ( )A ．2B ．3C ．6D ．9二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.13、函数3log y x =的定义域为 . （用区间表示）14、已知幂函数()y f x =的图像过点12,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则()22log f 的值为 . 15、设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________．16、我国的人口约13亿，如果今后能将人口数年平均增长率控制在1%，那么经过x 年后我国人口数为y 亿，则y 与x 的关系式为____________________.三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、（本题满分12分）已知二次函数()f x 的最小值为1，且(0)(2)3f f ==（1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 在区间[]2,1a a +上是单调函数，求实数a 的取值范围． 18、（本题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =. （1）若a b =，求cos ;B（2）若90B =，且2,a = 求ABC ∆的面积. 19、（本题满分12分）已知{a n }是公差d≠0的等差数列，a 2，a 6，a 22成等比数列，a 4+a 6=26；数列{b n }是公比q 为正数的等比数列，且b 3=a 2，b 5=a 6． （Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （Ⅱ）求数列{a n •b n }的前n 项和T n ． 20、（本题满分12分）有编号为1210,,,D D D L 的10个零件，测量其直径（单位：mm ），得到下面数据： 其中直径在区间（148，152]内的零件为一等品． 编号 1D 2D3D4D5D6D7D8D9D10D直径 151148 149 151 149 152 147 146 153 148（1）从上述10个零件中，随机抽取2个，求这2个零件均为一等品的概率； （2）从一等品零件中，随机抽取2个. 用ξ表示这2个零件直径之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望． 21、（本题满分12分）已知函数)0(3ln )(≠∈--=a R a ax x a x f 且．（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若函数)(x f y =的图像在点))2(,2(f 处的切线的斜率为1，问： m 在什么范围取值时，对于任意的]2,1[∈t ，函数)](2[)(23x f mx x x g '++=在区间)3,(t 上总存在极值？ 22、（本题满分10分）第3页 共4页在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．（Ⅰ）直线l的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求直线l与曲线C交点的极坐标（其中ρ≥0，0≤θ≤2π）．数学(理科) 答案一、选择题（每小题5分） ACCBC DABCD BC12.[答案] C [解析] ∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy ，对任意x 、y ∈R 成立，∴x ＝y ＝0时，有f (0)＝f (0)＋f (0)， ∴f (0)＝0，又f (1)＝2，∴y ＝1时，有f (x ＋1)－f (x )＝f (1)＋2x ＝2x ＋2，∴f (0)－f (－1)＝0，f (－1)－f (－2)＝－2，f (－2)－f (－3)＝－4， 三式相加得：f (0)－f (－3)＝－6，∴f (－3)＝6. 二、填空题（每小题5分）13、[1,)+∞； 14、12； 15、12； 16、*13 1.01,x y x N =⨯∈。

学2020届高三数学上学期第二次质量检测试题理(含解析)

学2020届高三数学上学期第二次质量检测试题理(含解析)

学2020届高三数学上学期第二次质量检测试题理（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化简集合A,B,再判断每一个选项得解.【详解】∵，，由此可知，，，，故选A．【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2.设，则（）A. B.C. D.【解析】【分析】由题意利用所给的数所在的区间和指数函数的单调性比较大小即可.【详解】由题意可得：，，，指数函数单调递减，故，综上可得：.故选C.【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．3.“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【解析】【详解】因为，所以．又因，所以，因此“”是“”的充分不必要条件．故选A．考点：充分性、必要性问题．4.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别验证区间端点值符号，结合零点存在定理可得到结果.【详解】，，，，，，由零点存在定理可知：零点所在区间为.故选：.【点睛】本题考查利用零点存在定理确定零点所在区间的问题，属于基础题.5.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由二倍角公式可得，结合，可求出的值.【详解】因为，所以，又因为，所以.【点睛】本题考查了二倍角公式的应用，考查了计算能力，属于基础题.6.已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（）A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】【分析】根据导数的几何意义，求得直线的斜率，即为倾斜角的正切值；结合同角三角函数关系式中齐次式的化简方法，即可得到最后的值．【详解】曲线，点的坐标为所以，在点处切线斜率，即所以分子分母同时除以可得所以选B【点睛】本题考查了导数的几何意义，三角函数式的化简求值，属于中档题．7.下列选项中说法正确的是（）A. 函数的单调减区间为；B. 命题“”的否定是“”；C. 在三角形中，“若，则”的逆否命题是真命题D. 幂函数过点，则.【答案】CD【解析】【分析】对选项逐一判断，可得答案. A项，先求函数定义域，再根据复合函数单调性的判断依据“同增异减”，可求函数的单调递减区间. B项，全称量词命题的否定是存在量词命题，注意“一改量词，二改结论”.C项，原命题与其逆否命题是等价命题，故可利用正弦定理判断原命题的真假. D项，由幂函数的定义可得的值，把点代入解析式，可得的值，即求.【详解】A项，令，可得或，函数的定义域为.又函数在上单调递减，且函数是增函数，函数的单调减区间为.故A错误.B项，全称量词命题的否定是存在量词命题，命题“”的否定是“”.故B错误.C项，三角形中，由正弦定理可得为三角形外接圆的半径..命题：在三角形中，“若，则”是真命题.原命题与其逆否命题是等价命题，故其逆否命题是真命题.故C正确.D项，是幂函数，.又的图象过点，.故D正确.故选：CD.【点睛】本题考查复合函数的单调性、含有一个量词的命题的否定、命题的真假及幂函数的有关知识，综合性较强，属于中档题.8.若函数在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数的取值范围为( )A. (－∞，2)B. (－∞，2]C.D.【答案】D【解析】【详解】∵，当时，恒成立，即恒成立，∴恒成立．，∴当时，，即在上单调递增，∴.故选：D.9.函数的图像大致为（）A. B. C.D.【答案】A【解析】试题分析：为奇函数且时，函数无意义，可排除，又在是减函数，故选.考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数的图象.10.定义在上的函数满足及，且在上有则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据已知可得是周期为的奇函数，将转化为，即可求出结论.【详解】由得，且，所以是周期为的奇函数，当时，.故选：A【点睛】本题考查函数的性质，利用函数的周期性和奇偶性求函数值，属于基础题.11.已知函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（）A. 关于点对称B. 关于点对称C 关于直线对称 D. 关于直线对称【答案】B【解析】分析】先根据相邻两条对称轴距离可得周期为，从而，再根据平移变换得到新图像对应的解析式，根据其对称性可计算，从而可确定图像的对称轴和对称中心，故可得正确答案．【详解】因为相邻两条对称轴的距离为，故，，从而．设将的图像向左平移单位后，所得图像对应的解析式为，则，因的图像关于轴对称，故，所以，，所以，因，所以．又，令，故对称轴为直线，所以C，D错误；令，故，所以对称中心为，所以A错误，D正确．综上，选D．【点睛】一般地，我们研究的图像和性质时，通常用复合函数的方法来讨论，比如求函数的单调区间时，我们先确定的单调性，再函数的单调性确定外函数的单调区间后求出的范围即可，比如求函数的对称轴、对称中心时，可以由的对称轴或对称中心得到相应的对称轴或对称中心.12.已知是奇函数的导函数，当时，，则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，可得为奇函数且在上单调递增，根据奇偶性可得在上单调递增，原不等式化为，从而可得结果.【详解】令，当时，，在上单调递增，为奇函数，也是奇函数，且在上单调递增，由化为得，，的解集为，故选B.【点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.内角，，的对边分别为，，，若，则__________．【答案】【解析】∵，∴，即，∴，∴．14.已知.若，那么实数的值为________.【答案】【解析】【分析】先求f（1）=4，再求f（4）=14，得a的方程求解即可【详解】由题f（1）=4，则f（4）=16+,解a=故答案为【点睛】本题考查分段函数的函数值，考查计算求解能力，是基础题15.如图，矩形中曲线的方程分别为，，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为____.【答案】【解析】【分析】运用定积分可以求出阴影部分的面积，再利用几何概型公式求出在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率.【详解】解:阴影部分的面积为，故所求概率为【点睛】本题考查了几何概型，正确运用定积分求阴影部分的面积是解题的关键.16.已知函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极小值，则实数c 的值为______【答案】2【解析】求出，由函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极小值列方程，解得或，验证当时，，不满足函数f（x）=x（x﹣6）2在x=2处有极小值，问题得解．【详解】由题可得：因为函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极小值，所以，解得：或，当时，恒成立，不满足函数f（x）=x（x﹣6）2在x=2处有极小值，故舍去．所以.【点睛】本题主要考查了极值的概念及方程思想，考查计算能力，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知.（1）化简；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据诱导公式化简可得答案；（2）将两边平方可得，再将通分可得答案.【详解】（1）（2）.【点睛】本题考查了利用诱导公式化简，考查了平方关系式，属于基础题.18.若函数f(x)＝ax2＋bx－ln x的导函数的零点分别为1和2．（I）求a ， b的值；（Ⅱ）若当时，恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（I）求出函数的导数，由，求出的值即可；（Ⅱ）当时，恒成立，等价于，利用导数研究函数的单调性，根据单调性求出函数的最小值，从而求出的取值范围即可.【详解】（I）函数的定义域是，∵函数的零点分别为1和2，∴，得， b = 2，（Ⅱ）当时，恒成立，当且仅当，由（I）得，．．由f′(x)＝0，得x＝1或x＝2．①当f′(x)＞0时1＜x＜2；②当f′(x)＜0时0＜x＜1或x＞2．当x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下表：因此，f(x)的区间的最小值是和的较小者，∵，∴，∴f（x）的区间的最小值是，∴实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.19.在中，内角的对边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由两角和的正切得，进而得，即可求解C; （2），展开整理得，得,由正弦定理求a，则面积可求【详解】（1）因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以.（2）由及得，即，化简得，即.因为及，所以由正弦定理得，得，所以的面积.【点睛】本题考查两角和的正切公式，正弦定理解三角形，考查面积公式，熟记公式，准确计算是关键，是中档题20.已知函数(1)写出函数的最小正周期；(2)设，的最小值是，最大值是，求实数的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式可得，利用最小正周期的计算公式可得所求的最小正周期.（2）求出的范围后利用正弦函数的性质可求的最值，结合已知的最值可求的值.【详解】（1），故的最小正周期为.（2）当时，，故，又，故，所以，故.【点睛】形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、最值、对称轴方程和对称中心等．21.已知函数.（1）若过点的直线与曲线相切，求直线的斜率的值；（2）设，若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设直线的方程为，设切点坐标为，根据题意可得出关于、的方程组，求出、的值，进而可得出的值；（2）根据题意知，当时，，当时，，然后求得函数的导数，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，验证条件“当时，，当时，”是否满足，由此可得出实数的取值范围.【详解】（1）因为直线过点，不妨设直线的方程为，由题意得，设切点为，则，解得.直线过点，则有，解得，即直线的斜率为；（2），①若，则当时，，函数在上单调递减，此时，即，不合乎题意；②若，则，当且仅当时等号成立.（i）当时，，函数在上单调递增.又，所以当时，；当时，.于是有；（ii）当时，记，则，当时，，所以函数在上单调递减，此时，即，不合乎题意；（iii）若，记，则，当时，，所以函数在上单调递减，此时，即，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数求解切线过点的问题，同时也考查了利用导数求解函数不等式恒成立，考查分类讨论思想以及运算求解能力，属于难题.22.在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系中，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴非负半轴为极轴，圆C的方程为.（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点，设圆C与直线l交于点A，B，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由得，利用互化公式可得直角坐标方程.（2）将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出.【详解】（1）由得，化为直角坐标方程为，即.（2）将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，由，设是上述方程的两根，，又直线过点，结合的几何意义得，的最小值.【点睛】本题考查了极坐标方程与普通方程的互化、参数的几何意义以及根与系数关系，属于基础题.学2020届高三数学上学期第二次质量检测试题理（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化简集合A,B,再判断每一个选项得解.【详解】∵，，由此可知，，，，故选A．【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2.设，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意利用所给的数所在的区间和指数函数的单调性比较大小即可.【详解】由题意可得：，，，指数函数单调递减，故，综上可得：.故选C.【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．3.“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】因为，所以．又因，所以，因此“”是“”的充分不必要条件．故选A．考点：充分性、必要性问题．4.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别验证区间端点值符号，结合零点存在定理可得到结果.【详解】，，，，，，由零点存在定理可知：零点所在区间为.故选：.【点睛】本题考查利用零点存在定理确定零点所在区间的问题，属于基础题.5.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由二倍角公式可得，结合，可求出的值.【详解】因为，所以，又因为，所以.【点睛】本题考查了二倍角公式的应用，考查了计算能力，属于基础题.6.已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（）A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】【分析】根据导数的几何意义，求得直线的斜率，即为倾斜角的正切值；结合同角三角函数关系式中齐次式的化简方法，即可得到最后的值．【详解】曲线，点的坐标为所以，在点处切线斜率，即所以分子分母同时除以可得所以选B【点睛】本题考查了导数的几何意义，三角函数式的化简求值，属于中档题．7.下列选项中说法正确的是（）A. 函数的单调减区间为；B. 命题“”的否定是“”；C. 在三角形中，“若，则”的逆否命题是真命题D. 幂函数过点，则.【答案】CD【解析】【分析】对选项逐一判断，可得答案. A项，先求函数定义域，再根据复合函数单调性的判断依据“同增异减”，可求函数的单调递减区间. B项，全称量词命题的否定是存在量词命题，注意“一改量词，二改结论”.C项，原命题与其逆否命题是等价命题，故可利用正弦定理判断原命题的真假. D项，由幂函数的定义可得的值，把点代入解析式，可得的值，即求.【详解】A项，令，可得或，函数的定义域为.又函数在上单调递减，且函数是增函数，函数的单调减区间为.故A错误.B项，全称量词命题的否定是存在量词命题，命题“”的否定是“”.故B错误.C项，三角形中，由正弦定理可得为三角形外接圆的半径..命题：在三角形中，“若，则”是真命题.原命题与其逆否命题是等价命题，故其逆否命题是真命题.故C正确.D项，是幂函数，.又的图象过点，.故D正确.故选：CD.【点睛】本题考查复合函数的单调性、含有一个量词的命题的否定、命题的真假及幂函数的有关知识，综合性较强，属于中档题.8.若函数在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数的取值范围为( )A. (－∞，2)B. (－∞，2]C.D.【答案】D【解析】【详解】∵，当时，恒成立，即恒成立，∴恒成立．，∴当时，，即在上单调递增，∴.故选：D.9.函数的图像大致为（）A. B. C.D.【答案】A【解析】试题分析：为奇函数且时，函数无意义，可排除，又在是减函数，故选.考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数的图象.10.定义在上的函数满足及，且在上有则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据已知可得是周期为的奇函数，将转化为，即可求出结论.【详解】由得，且，所以是周期为的奇函数，当时，.故选：A【点睛】本题考查函数的性质，利用函数的周期性和奇偶性求函数值，属于基础题.11.已知函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（）A. 关于点对称B. 关于点对称C 关于直线对称 D. 关于直线对称【答案】B【解析】分析】先根据相邻两条对称轴距离可得周期为，从而，再根据平移变换得到新图像对应的解析式，根据其对称性可计算，从而可确定图像的对称轴和对称中心，故可得正确答案．【详解】因为相邻两条对称轴的距离为，故，，从而．设将的图像向左平移单位后，所得图像对应的解析式为，则，因的图像关于轴对称，故，所以，，所以，因，所以．又，令，故对称轴为直线，所以C，D错误；令，故，所以对称中心为，所以A错误，D正确．综上，选D．【点睛】一般地，我们研究的图像和性质时，通常用复合函数的方法来讨论，比如求函数的单调区间时，我们先确定的单调性，再函数的单调性确定外函数的单调区间后求出的范围即可，比如求函数的对称轴、对称中心时，可以由的对称轴或对称中心得到相应的对称轴或对称中心.12.已知是奇函数的导函数，当时，，则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，可得为奇函数且在上单调递增，根据奇偶性可得在上单调递增，原不等式化为，从而可得结果.【详解】令，当时，，在上单调递增，为奇函数，也是奇函数，且在上单调递增，由化为得，，的解集为，故选B.【点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.内角，，的对边分别为，，，若，则__________．【答案】【解析】∵，∴，即，∴，∴．14.已知.若，那么实数的值为________.【答案】【解析】【分析】先求f（1）=4，再求f（4）=14，得a的方程求解即可【详解】由题f（1）=4，则f（4）=16+,解a=故答案为【点睛】本题考查分段函数的函数值，考查计算求解能力，是基础题15.如图，矩形中曲线的方程分别为，，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为____.【答案】【解析】【分析】运用定积分可以求出阴影部分的面积，再利用几何概型公式求出在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率.【详解】解:阴影部分的面积为，故所求概率为【点睛】本题考查了几何概型，正确运用定积分求阴影部分的面积是解题的关键.16.已知函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极小值，则实数c的值为______【答案】2【解析】【分析】求出，由函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极小值列方程，解得或，验证当时，，不满足函数f（x）=x（x﹣6）2在x=2处有极小值，问题得解．【详解】由题可得：因为函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极小值，所以，解得：或，当时，恒成立，不满足函数f（x）=x（x﹣6）2在x=2处有极小值，故舍去．所以.【点睛】本题主要考查了极值的概念及方程思想，考查计算能力，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知.（1）化简；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据诱导公式化简可得答案；（2）将两边平方可得，再将通分可得答案.【详解】（1）（2）.【点睛】本题考查了利用诱导公式化简，考查了平方关系式，属于基础题.18.若函数f(x)＝ax2＋bx－ln x的导函数的零点分别为1和2．（I）求a ， b的值；（Ⅱ）若当时，恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（I）求出函数的导数，由，求出的值即可；（Ⅱ）当时，恒成立，等价于，利用导数研究函数的单调性，根据单调性求出函数的最小值，从而求出的取值范围即可.【详解】（I）函数的定义域是，∵函数的零点分别为1和2，∴，得， b = 2，（Ⅱ）当时，恒成立，当且仅当，由（I）得，．．由f′(x)＝0，得x＝1或x＝2．①当f′(x)＞0时1＜x＜2；②当f′(x)＜0时0＜x＜1或x＞2．当x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下表：因此，f(x)的区间的最小值是和的较小者，∵，∴，∴f（x）的区间的最小值是，∴实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.19.在中，内角的对边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由两角和的正切得，进而得，即可求解C; （2），展开整理得，得,由正弦定理求a，则面积可求【详解】（1）因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以.（2）由及得，即，化简得，即.因为及，所以由正弦定理得，得，所以的面积.【点睛】本题考查两角和的正切公式，正弦定理解三角形，考查面积公式，熟记公式，准确计算是关键，是中档题20.已知函数(1)写出函数的最小正周期；(2)设，的最小值是，最大值是，求实数的值．【答案】（1）；（2）.（1）利用降幂公式和辅助角公式可得，利用最小正周期的计算公式可得所求的最小正周期.（2）求出的范围后利用正弦函数的性质可求的最值，结合已知的最值可求的值.【详解】（1），故的最小正周期为.（2）当时，，故，又，故，所以，故.【点睛】形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、最值、对称轴方程和对称中心等．21.已知函数.（1）若过点的直线与曲线相切，求直线的斜率的值；（2）设，若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.（1）设直线的方程为，设切点坐标为，根据题意可得出关于、的方程组，求出、的值，进而可得出的值；（2）根据题意知，当时，，当时，，然后求得函数的导数，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，验证条件“当时，，当时，”是否满足，由此可得出实数的取值范围.【详解】（1）因为直线过点，不妨设直线的方程为，由题意得，设切点为，则，解得.直线过点，则有，解得，即直线的斜率为；（2），①若，则当时，，函数在上单调递减，此时，即，不合乎题意；②若，则，当且仅当时等号成立.（i）当时，，函数在上单调递增.又，所以当时，；当时，.于是有；（ii）当时，记，则，当时，，所以函数在上单调递减，此时，即，不合乎题意；（iii）若，记，则，当时，，所以函数在上单调递减，此时，即，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数求解切线过点的问题，同时也考查了利用导数求解函数不等式恒成立，考查分类讨论思想以及运算求解能力，属于难题.22.在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系中，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴非负半轴为极轴，圆C的方程为.（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点，设圆C与直线l交于点A，B，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由得，利用互化公式可得直角坐标方程.（2）将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出.【详解】（1）由得，化为直角坐标方程为，即.（2）将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，由，设是上述方程的两根，，。

浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2020届高三12月第二次联考数学试题附答案

浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2020届高三12月第二次联考数学试题附答案

考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的地方．3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上答题一律无效．4．考试结束后，只需上交答题卷．参考公式：如果事件, A B 互斥那么()()()P A B P A P B +=+如果事件,A B 相互独立那么()()()P AB P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为()C (1)(0,1,2,,)k k n k n n P k p p k n -=-=L 台体的体积公式()1213V S S h =++ 其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh = 其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π= 其中R 表示球的半径选择题部分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{0,1}A =，{}2B a =，若A B A ⋃=，则实数a 允许取的值有（ ） A ．2个 B ．3个C ．4个D ．无数个2．双曲线22132x y -=的焦点坐标是（ ）A ．(1,0)-，(1,0)B ．(0,1)-，(0,1)C ．(，D ．(0,，3．若复数11i z i+=-（i 为虚数单位），则3z 的值是（ ） A ．1- B ．1 C ．i D ．i -4．设,a b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ）A ．,//,a b αβαβ⊥⊥B ．,,//a b αβαβ⊥⊥C ．,,//a b αβαβ⊂⊥D ．,//,a b αβαβ⊂⊥5．若向量a b r r ，的夹角为3π，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（ ）A ．12-B ．12C ．2D ．2-6．随机变量ξ的分布列是若11()4E ξ=，则随机变量2ξ的方差(2)D ξ的值为（ ） A ．1116 B ．118 C ．114 D ．1127．函数()cos(sin )sin(cos )f x x x =-的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．现准备将8本相同的书全部分配给5个不同的班级，其中甲、乙两个班级每个班级至少2本，其它班级允许1本也没有，则不同的分配方案共有（ ）A ．60种B ．70种C ．82种D ．92种9．已知平面四边形ABCD 中，90A C ︒∠=∠=，BC CD =，再将ABD V 沿着BD 翻折成三棱锥A BCD -的过程中，直线AB 与平面BCD 所成角均小于直线AD 与平面BCD 所成角，设二面角A BC D --，A CD B --的大小分别为αβ、，则（ ）A ．αβ<B ．αβ>C ．存在αβπ+=D ．存在αβπ+>10．已知数列{}n a 满足1a a =，2(0)a b ab =≠，若2112n n n na a a a ++++=，则下列判断正确的是（ ） A ．当0ab <时，数列{}n a 是有穷数列 B ．当0ab >时，数列{}n a 是有穷数列C ．当数列{}n a 是无穷数列时，数列{}n a 单调D ．当数列{}n a 单调时，数列{}n a 是无穷数列非选择题部分二、填空题：本大题7小题，11-14题每题6分，15-17每题4分，共36分，把答案填在题中的横线上．11．《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各出几何？其意：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，苗主人要求赔偿五斗。

2020届江西省名校联盟高三第二次联考数学(理)试卷

2020届江西省名校联盟高三第二次联考数学(理)试卷

2020届江西省名校联盟高三第二次联考理科数学试卷★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2{|560},{|5},A x x x B x x =--≤=<则A B =（ ）A. [1,5)-B. ∞（－,6]C.[1,6]－D.∞（－,5) 2．已知复数312a ii-+在复平面内对应的点位于第二象限，则实数a 的取值范围为（ ） A.6a < B.32a >- C.32a <- D.6a >3．已知函数31221,1()3log ,1xx f x x x -⎧-≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，则((4))f f =（ ）A.3B.4C.5D.144．已知二项式51()ax x-的展开式中含x 的项的系数为270，则实数a =（ ）A.3B.－3C.2D.－25．某市为最大限度的吸引“高精尖缺”人才，向全球“招贤纳士”,推进了人才引入落户政策，随着人口增多,对住房要求也随之而来,而选择购买商品房时,住户对商品房的户型结构越来越重视,因此某商品房调查机构随机抽取n 名市民,针对其居住的户型结构和满意度进行了调查，如图1调查的所有市民中四居室共200户,所占比例为13,二居室住户占16，如图2是用分层抽样的方法从所有调查的市民的满意度问卷中,抽取10%的调查结果绘制成的统计图,则下列说法正确的是（ ） A. 样本容量为70B. 样本中三居室住户共抽取了25户C. 根据样本可估计对四居室满意的住户有70户D. 样本中对三居室满意的有15户6．函数()3sin 2cos 2(0)f x x x ωωω=->的最小正周期为π，则下列说法不正确的是（ ）A.函数()12y f x π=+是奇函数 B.函数()f x 的图象关于直线56x π=对称 C.在原点左侧，函数()f x 的图象离原点最近的一个对称中心为5(,0)12π- D.函数()f x 在[,]62ππ-上单调递增 7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.213π+ B.123π+C.213π+D.21π+8．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”，该问题可用如图所示的程序框图来求解，则输入的x 的值为（ ）A.34 B.78 C.1516D.4 9．已知5sin 26cos()0,(0,),2παπαα+-=∈则2cos ()24απ+=（ ） A.45 B.15－ C. 35D.1510．已知离心率为2的双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>：的左、右焦点分别为12F F ，，直线:l y kx =与C 交于,A B 两点，若123||||2AB F F =， 则k =（ ）A.1B. －1C.±1D.311．如图，正方体1111ABCD A B C D －的棱长为4，线段1DD 上有两动点E ，F ，且=2EF .点M N 、分别在棱1111C D B C 、上运动，且2MN =，若线段MN 的中点为P ，则四面体B EFP —的体积最大值为（ ）A. 5B. 4C.43D. 53212．若存在斜率为3(0)a a >的直线l 与曲线21()222f x x ax b =+-与2()3ln g x a x =都相切，则实数b 的取值范围为（ ）A.233)4e ∞（-, B.234(,]3e -∞ C.343[,)2e +∞ D.342[,)3e +∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

百校联盟2020届高三TOP20三月联考(全国II卷)理科数学试题(word版,PDF解析)

百校联盟2020届高三TOP20三月联考(全国II卷)理科数学试题(word版,PDF解析)

百校联盟2020届高三TOP20三月联考（全国II 卷）数学(理)试题一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合A={x|2x-3≥0}.B={x|x(x -2)<0}.则A∩B= 3()|2A x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭… (B)3{|2}2x x <„ (C){r|0≤x<2} (D)3|02x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭„ (2)设复数z 满足21i i z+=-.则|z |等于 (A 3)2 (B)10 (C 2) (D)2(3)下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)上单调递增的是(A)f(x)=1-x 2 (B)1()f x x x =- (C)12)()log ||f x x = (D)f(x)=2|x|(4)已知双曲线22:13y C x -=，F 为双曲线C 的右焦点,过点F 作与渐近线垂直的直线与另一条渐近线交点M.则|FM|=()23A ()3B ()22C (D)4(5)如图所示。

某几何体的三视图均为直角三角形。

则围成该几何体的各面中。

直角三角形的个数为(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(6)如图，在平面直角坐标系xOy 中.扇形AOB 的圆心角为34π.半径为1.Р是¶AB 上一点,其横坐标为223则sin ∠BOP=(2)3A(B)33(C42)6+(D)326+(7)正六面体有6个面，8个顶点:正八面体有8个面，6个顶点.我们称它们互相对偶.如图.连接正六面体各面的中心，就会得到对偶的正八面体.在正六面体内随机取一点,则此点取自正八面体内的概率是(1)6A(B)15(C1)4(D)13(8)执行如图所示的程序框图,若输入a的值为2019,则输出S的值为(A)4 (B)10 (C)79 (D)93(9)设x,y 满足不等式组 2..0.x y y x a y +⎧⎪⎪⎪+⎨⎪⎪≈⎪⎩„„且4y x +的最大值为12则实数a 的值为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4(10)设0<1,tan()tan 2cos a πβαβββ<<-+=.则 ()22A παβ+= (B)22παβ-= ()22C a πβ+= (D)22παβ-=(11)已知椭圆C 2222:1(0x y a b a b+=>>的右焦点为F.点A.B 是椭圆C 上关于原点O 对称的两个点.且||||,0.AO AF FA FB =⋅=u u u r u u u r 则椭圆C 的离心率为(1A()2B(C)2(D)3(12)若函数f(x)=alnx-e x 有极值点,则实数a 的取值范围是(A)(-e,+∞)(B)(1,e) (C)(1,+∞) (D)(0,+∞)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. (13)261()x x +的展开式中含x 3项的系数是____(用数字作答).(14)甲、乙,丙、丁4人站在一栋房子前·甲说:"我没进过房子":乙说:"丙进去过":丙说:"丁进去过":丁说:"我没进过房子".这四人中只有一人进过房子，且只有一人说了真话.则进过这栋房子的人是__. (15)在△ABC 中,∠A=60∘,AB=3.24, 33BD BC AD BC =⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r ,则AC=______. (I6)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,且b+c=a(cosB+cosC).若△ABC 的周长的最大值为4+则a=___.三,解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,12111,,21(2)3n n n a a a a n a +===+∈且*N … (I)证明:1{}na 为等差数列: (II)求数列3{}nna 的前n 项和T n .(18)(本小题满分12分)如图，四棱锥A-BCDE 中,底面BCDE 为直角梯形,ED ∥BC,∠EDC=90°，22EB EC ==，AB=AE=ED=2,F 为AB 的中点.(Ⅰ)证明:EF ∥平面ACD;(Ⅱ)若23AC =，求直线BC 与平面ACD 所成角的正弦值.（19）（本小题满分12分）近几年。

浙江省Z20名校联盟(浙江省名校新高考研究联盟)2023届高三上学期第二次联考试题 数学含答案

浙江省Z20名校联盟(浙江省名校新高考研究联盟)2023届高三上学期第二次联考试题 数学含答案

Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2023届高三第二次联考数学试题卷（答案在最后）注意事项：1.答卷前，务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.请保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}280A x x =+>，{}39xB x =<，则A B =（ ）A.∅B.RC.{}4x x >-D.{}42x x -<<2.若12i i z +=（i 为虚数单位），则z =（ ）A.53.已知一组样本数据1x ，2x ，…，10x 的平均数为a ，由这组数据得到另一组新的样本数据1y ，2y ，…，10y ，其中2i i y x =-（1i =，2，…，10），则（ ） A.两组样本数据的平均数相同 B.两组样本数据的方差不相同 C.两组样本数据的极差相同D.将两组数据合成一个样本容量为20的新的样本数据，该样本数据的平均数为2a -4.已知多项式()()562560125621x x a a x a x a x a x -+-=+++⋅⋅⋅++，则1a =（ ）A.11B.74C.86D.1-5.已知ABC △是边长为1的正三角形，2BD DC =，2AB AC AE +=，则AE AD ⋅=（ ） A.34B.32C.38D.16.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 是线段11B D 上的动点，则三棱锥1P A BD -的体积为（ ） A.18B.16C.15D.147.已知直角ABC △的直角顶点A 在圆()()22:321D x y -+-=上，若点()1,0B -，(),0C a ，则a 的取值范围为（ ）A.1217,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.1417,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.1416,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.1416,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 8.已知sinea π=，2e b =，c =（e 为自然对数的底数），则（ ） A.a b c >>B.b c a >>C.c a b >>D.b a c >>二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知抛物线()2:20C y px p =>与直线:250l x y -+=有公共点，则p 的值可以是（ ） A.2B.3C.4D.510.已知函数()2cos 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则（ ） A.()f x 的周期为π B.()f x 为奇函数 C.()g x 的图象关于点17,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称D.当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()g x 的取值范围为2⎡-⎢⎣⎦11.新型冠状病毒肺炎（Corona Virus Disease2019，COVID-19），简称“新冠肺炎”，世界卫生组织命名为“2019冠状病毒病”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎.用核酸检测的方法可以诊断是否患有新冠，假设()0.99P A B =，()0.999P A B =，其中随机事件A 表示“某次核酸检测被检验者阳性”，随机事件B 表示“被检验者患有新冠”，现某人群中()0.01P B =，则在该人群中（ ） A.每100人必有1人患有新冠B.若()0.99P B A =，则事件A 与事件B 相互独立 C.若某人患有新冠，则其核酸检测为阳性的概率为0.999 D.若某人没患新冠，则其核酸检测为阳性的概率为0.00112.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x ='.若()212f x x +-与()2g x +均为偶函数，则（ ） A.()11g =B.函数()1f x x+的图象关于点()0,1对称C.函数()g x 的周期为2D.()()202411110k g k g k =-++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若实数1b a >>，且10log log 3a b b a +=，则3ln ln a b -=______. 14.我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式.在ABC △中，设a ，b ，c 分别为ABC △的内角A ，B ，C 的对边，S 表示ABC △的面积，其公式为S =若sin sin a B C =，b =2S =，则c =______. 15.已知实数1a b >>，满足1111a b a b +≥+--，则4a b +的最小值是______. 16.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，过坐标原点O 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.在AFB △中，120AFB ∠=︒，且满足12AFB S ac ≥△，则椭圆C 的离心率e 的取值范围为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*1N n a n =+∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 为等比数列，且11b a =，22b a =，求数列(){}1nn ab +⋅的前n 项和n T .18.（12分）已知半圆O 的直径2AB =，点C 为圆弧上一点（异于点A ，B ），过点C 作AB 的垂线，垂足为D .（1）若AC =ACD △的面积；（2）求AC CDAC AD++的取值范围.19.（12分）“体育强则国家强，国运兴则体育兴”，多参加体育运动能有效增强中学生的身体素质.篮球和排球是我校学生最为喜爱的两项运动，为调查喜爱运动项目与性别之间的关系，某调研组在校内随机采访男生、女生各50人，每人必须从篮球和排球中选择最喜爱的一项，其中喜爱排球的归为甲组，喜爱篮球的归为乙组，调查发现甲组成员48人，其中男生18人.（1）根据以上数据，填空下述22⨯列联表：（2）根据以上数据，能否有95%的把握认为学生喜欢排球还是篮球与“性别”有关?（3）现从调查的女生中按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，抽取的5人中再随机抽取3人发放礼品，求这3人中在甲组中的人数X 的概率分布列及其数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++为样本容量.参考数据：20.（12分）如图，在四棱锥P OABC -中，已知1OA OP ==，2CP =，4AB =，3CPO π∠=，6ABC π∠=，2AOC π∠=，E 为PB 中点，F 为AB 中点.（1）证明：平面CEF ∥平面PAO ；（2）若PA =POC 与平面PAB 所成夹角的余弦值.21.（12分）已知双曲线E 的顶点为()1,0A -，()1,0B ，过右焦点F 作其中一条渐近线的平行线，与另一条渐近线交于点G ，且OFG S =△点P 为x 轴正半轴上异于点B 的任意点，过点P 的直线l 交双曲线于C ，D 两点，直线AC 与直线BD 交于点H . （1）求双曲线E 的标准方程； （2）求证：OP OH ⋅为定值.22.（12分）已知λ为正实数，函数()()()2ln 102x f x x x x λλ=+-+>.（1）若()0f x >恒成立，求λ的取值范围；（2）求证：()()215212ln 12ln 13n i n n i i =⎛⎫+-<-<+ ⎪⎝⎭∑（1i =，2，3，…）.Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2023届高三第二次联考数学参考答案一、二选择题三、填空题 13.0 14.1或315.916.124⎡⎢⎣⎦或12⎡⎢⎢⎣ 四、解答题 17.解析：（1）由1n a =+可得2421n n n S a a =++①，2111421n n n S a a ---=++②，由-①②可得：()22111422n n n n n n S S a a a a ----=-+-，即2211422n n n n n a a a a a --=-+-， 即2211220n n n n a a a a -----=，化简可得()122n n a a n --=≥，可知数列{}n a 为以1为首项，公差为2的等差数列，则()11221n a a n n =+-⨯=-.……5分（2）由（1）得：222213b a ==⨯-=，∵数列{}n b 为等比数列， ∴21331b q b ===，1113n n nb b q --==，则()()111211323n n n n a b n n --+=+-=⨯， 则()212123333n n T n -=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯③，()2332323333n n T n =+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯④，-③④得：()211322133332313nn n nn T n n -⎛⎫--=+++⋅⋅⋅+-⨯=-⨯ ⎪-⎝⎭，则()21312n n n T -+=.……10分18.解析：（1）如图，连接BC .在Rt ABC △中，AC =2AB =，cos AC CAB AB ∠==，则30CAB ∠=︒. 在ACD △中，3cos302AD AC =︒==，所以1131sin3022228ACD S AD AC =︒=⨯=△.……6分 （2）设CAD θ∠=，易知02πθ<<.在ACD △中，2221sin cos 1sin 122tan 11cos 222cos 12CD AC CD AC AD AC AD ACθθθθθθ⎛⎫++ ⎪++⎛⎫⎝⎭====+ ⎪++⎝⎭+①， 因为02πθ<<，所以024θπ<<，则0tan12θ<<，代入①式可得：AC CD AC AD ++的取值范围为：1,22⎛⎫⎪⎝⎭.……12分19.解析：（1）22⨯列联表……3分（2）零假设为0H ：学生选排球还是篮球与性别无关 由22⨯列联表可得()()()()()()22210018203032 5.769 3.84148525050n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯；有95%的把握认为“甲组”用户与“性别”有关.……7分 （3）按分层抽样，甲组中女生3人，乙组中女生2人()1232353110C C P X C ===，()213235632105C C P X C ====，()33351310C P X C === ∴概率分布列为数学期望()123105105E X =⨯+⨯+⨯=.……12分20.解析：（1）连接AC ，∵E 为PB 中点，F 为AB 中点，∴EF PA ∥，∴EF ⊄面PAO ，PA ⊂面PAO ，∵EF ∥面PAO 在PCO △中，1OP =，2CP =，3CPO π∠=，∵OC =在ACO △中，1OA =，2AOC π∠=，∵2AC =，3OAC π∠=，在ACB △中，4AB =，6ABC π∠=，∴2ACB π∠=，3CAB π∠=，∵23OAB π∠=. ∵F 为AB 中点，∴122CF AB ==，23CFB π∠=，∴OA CF ∥ ∵CF ⊄面PAO ，OA ⊂面PAO ，∴CF ∥面PAO∵CFEF F =，CF ，EF ⊂面CEF ，∴平面CEF ∥平面PAO .……5分（2）解法一：延长CO 与BA 交于H ，连PH ，则面PAB 面POC PH =.∵PO CO ⊥，OA CO ⊥，PO OA O =，∴CO ⊥面POA ，∵面PCO ⊥面POA .过A 作AM PO ⊥，则AM ⊥面PCO ，∵PH ⊂面PCO ，∵AM PH ⊥.过A 作AN PH ⊥，连MN ， ∵AMAN A =，AM ⊂面AMN ，AN ⊂面AMN ，∵PH ⊥面AMN .∴PH MN ⊥，∴ANM ∠即为面POC 与面PAB 所成二面角的平面角 ∵1OP OA ==，PA =120POA ∠=︒∵2CF =，OA CF ∥，∴OH =，2AH =，∴2PH =，∴AN =，∴MN =∴cos 13ANM ∠==.……12分解法二：以OC 为x 轴，OA 为y 轴，过O 且垂直于面OABC 的射线为z 轴建立空间直角坐标系，()0,0,0O ，()0,1,0A，)C，()B ，则(),,P x y z101222PO x PC y PA z ⎧⎪⎪⇒⎨⎧⎪===⎪⎪===-⎨⎪⎪⎩⎪⎪===⎪⎩，∵10,,22P ⎛- ⎝⎭ 设平面POC 的法向量()1111,,n x y z=，10,,22OP ⎛=- ⎝⎭，()3,0,0OC =11111100200OP n y z OC n x ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩=⎩，令11z =，则1y =，∴()10,3,1n = 设平面PAB 的法向量()2222,,n x y z =，30,2AP ⎛=- ⎝⎭，()2AB=2211222003002y AB n AP n y z ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩令21x=,则2y =，23z =-, ∴()21,3n =-，12cos ,13n n ==-， ∴平面POC 与平面PAB.……12分21.解析：（1）设双曲线2222:1x y E a b -=，易知1a =.由题意可知：OFG △为等腰三角形，则2G c x =，代入by x a=得：22G bc bc y a ==，则122OFG bc S c =⨯⨯=△，又22221c a b b =+=+，则解得b =，则双曲线22:12y E x -=.……4分（2）设直线l 的方程为：x ty m =+，（0m >且1m ≠），()11,C x y ，()22,D x y .联立2212x ty my x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消x 得：22212102t y mty m ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭， 122212mty y t -+=-，2122112m y y t -=-，()212121.2m y y y y mt -=+-易得：()11:11y AC y x x =++①，()22:11yBD y x x =--②， 联立①②，解得：211221211221H y x y x y y x y x y x y y ++-=-++.又()2121212y x y ty m ty y my =+=+，同理，12121y x ty y my =+，把它们代入H x ，得()()()()()21212211212212121212112H m y y m y y y y ty y m y y y y m x m y y y y m y y y y --++++-+++-==-++-++()()()()1221122121212121111y y y y y y m y y m m y y y y m m y y y y m ++-++-===-++-++，故11H OP OH mx m m⋅==⨯=，得证.……12分 22.解析：（1）()221111x x x x x f x x x x x λλλλλλλλλλ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎣⎦=-+==+++'. ①若10λλ-≤，即01λ<≤，()0f x '>，函数()f x 在区间()0,+∞单调递增，故()()00f x f >=，满足条件；②若10λλ->，即1λ>，当10,x λλ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，则()()00f x f <=，矛盾，不符合题意.……4分 综上：01λ<≤.（2）先证右侧不等式，如下：由（1）可得：当1λ=时，有()()2ln 102x f x x x =+-+>，则21111ln 102f x x x x⎛⎫⎛⎫=+-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()211ln 1ln 2x x x x +->-，即()2212ln 12ln x x x x+->-，则有 ()()()22221212121212ln 12ln 2ln 2ln 12ln22ln11111ni n n n n n n n ii n =⎛⎫+-+--+⋅⋅⋅+->-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪-⎝⎭-∑，即()21212ln 1ni n ii =⎛⎫+>- ⎪⎝⎭∑，右侧不等式得证.……8分下证左侧不等式，如下：易知()()ln 10x x x +<>，可得11ln 1x x⎛⎫+<⎪⎝⎭，即()1ln 1ln x x x +-<，则有()()111ln 1ln ln ln 1ln2ln111n n n n n n +-+--+⋅⋅⋅+-<++⋅⋅⋅+-， 即()111ln 111n n n +<++⋅⋅⋅+-. 2221441124412121n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭，则 22211111111151212355721213n n n ⎛⎫++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+-< ⎪-+⎝⎭，故 ()222215*********ln 1231112n i n n n n i i =⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-<++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑，左侧得证.综上，不等式()()215212ln 12ln 13n i n n i i =⎛⎫+-<-<+ ⎪⎝⎭∑成立.……12分（评分标准仅供参考，具体阅卷评分由 阅卷学校商定）。

2020届辽宁省名校联盟高三第二次联考数学(理)试卷

2020届辽宁省名校联盟高三第二次联考数学(理)试卷

2020届辽宁省名校联盟高三第二次联考理科数学试卷★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1.已知集合，则为（ ）A ．B ．C ．D ．2.A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件132413.(),log 3,log 7,,,2a b c a b c ===已知则的大小关系为（ ）A. B. C. D.124.sin(),cos(2)633ππαα-=+若则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.A. 4.55B. 5.45C. 4.2D. 5.86.奇函数满足，当时，，则=（ ）A ． 2B ．C ．D ． -27．各项都是正数的等比数列中，,成等差数列，则 的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 或 8. 在同一直角坐标系中，函数()2f x ax =-，（0a >，且1a ≠）的图象大致为（ ）A. B. C. D.9．给出下列四个命题:①“若为的极值点，则”的逆命题为真命题；②“平面向量 的夹角是钝角”的充分不必要条件是；③若命题 ，则 ；④命题“，使得”的否定是：“，均有”.其中不正确的个数是( )A ． 0B ． 2C ． 1D ． 310．已知函数)1(+=x f y 是定义域为R 的偶函数，且)(x f 在[)∞+，1上单调递减，则不等式)2()12(+>-x f x f 的解集为( )A ． ⎪⎭⎫⎝⎛-1,31 B ．[)3,1 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,31 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,3111. 如图，在△中，点是线段上两个动点， 且AD AE xAB yAC +=+，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．'2()02()()6(1)21()3 A.{|22} B.{|11} C.{|11} D.{|11}f x x f x xf x f f x x x x x x x x x x x x >+<=>-<->-<<<->-<<12.已知偶函数，当时满足，且， 则 的解集为（ ）或或二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 13．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则 的最小值是14.图中所示的矩形OABC 区域内任取一点M(x,y),则点M 取自阴影部分的概率为15．设点P 为函数 311()()2f x x x=- 图象上任一点，且在点P 处的切线的倾斜角为 ，则的取值范围为________．16. 函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数范围是三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．(12分)在ABC△中，设内角A，B，C的对边为a，b，c，向量14⎫=⎪⎪⎝⎭m，(cos,sin)A A =-n，+=m n．（1）判定ABC△的形状；（2）若2b=，a=，求ABC△的内切圆与外接圆的面积比．()ln().f x x x x f x=+18.(10分)已知函数，证明：函数存在零点19.（12分）已知数列与,若且对任意正整数n满足,数列的前n项和(1)求数列,的通项公式;(2)求数列{}的前n项和Tn.20. （12分）平面直角坐标系中，直线的参数方程为11x ty=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：.（1）写出直线的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程；（2）已知与直线平行的直线'l 过点，且与曲线C 交于两点，试求.21．（12分）为了参加某数学竞赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩(单位：分)记录如下． 理科：79,81,81,79,94,92,85,89 文科：94,80,90,81,73,84,90,80画出理科、文科两组同学成绩的茎叶图；(2)计算理科、文科两组同学数学成绩的期望和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥比较好；(3)若在成绩不低于90分的同学中随机抽出3人进行培训，求抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学的概率．22. （12分）已知函数2()ln (1)2a f x x x a x =+-+. （1）若函数()f x 在区间（2，+∞）内单调递增，求a 的取值范围； （2）设1x ，2x （120x x <<）是函数()()g x f x x =+的两个极值点，证明：12()()ln 2ag x g x a -<-恒成立.参考答案一、选择题1.C2. B3.C4. B5.A6.D7.C8.A9.D 10.D 11.A 12.B二、填空题13．π6. 14 15．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2 16.三、解答题17．【答案】（1）直角三角形；（2）3+【解析】（1）∵1cos ,sin 4A A ⎫+=+-⎪⎪⎝⎭m n 且+=m n ，∴2213cos sin 44A A ⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即223113cos sin sin 161624A A A A ++-+=，11sin 22A A -=-， 即π1cos 62A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∵A 为ABC △的内角，∴π2A =，故ABC △为直角三角形． （2）由（1）知222b c a +=，又2b =，a =，∴2c =，a =；∴ABC △外圆的半径12R a ==22b c ar +-==，∴面积比为222(232r R ==-． 18.''22'22min2200218.0+()1ln 1ln 211()0ln 20,+11()0ln 20,11001f x x x f x x x f x e e f x x x f x e ef x f e e f x f x e f x ∞=++=+>+>>∴∞<+<<∴∴=<>∴∈∴解：由题意可得，函数定义域为（，） 令，即（）在（，）单调递增令，即（）在（0,）单调递减（）（）=-又（e ）=2e 存在（,e ）,使得（）=0（）存在零点19.解:(1)由题意知数列{a n }是公差为2的等差数列, 又因为a 1=3,所以a n =3+2(n-1)=2n+1. 数列{b n }的前n 项和S n =n 2+a n =n 2+2n+1=(n+1)2, 当n=1时,b 1=S 1=4;当n ≥2时,b n =S n -S n-1=(n 2+2n+1)-[(n-1)2+2(n-1)+1]=2n+1. 上式对b 1=4不成立.所以数列{b n }的通项公式为b n=(2)n=1时,T 1==,n ≥2时,== 12(-),所以T n =+12(-+-+…+-)=+=.n=1仍然适合上式.综上,T n =.20.【答案】(1)直线的极坐标方程为，曲线的直角坐标方程为.(2).试题解析：（1）将，代入直线方程得，由可得， 曲线的直角坐标方程为.（2）直线的倾斜角为，∴直线的倾斜角也为，又直线过点，∴直线的参数方程为（为参数），将其代入曲线的直角坐标方程可得，设点对应的参数分别为.由一元二次方程的根与系数的关系知，，∴.21.【答案】（1）见解析（2）理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好．（3）详解：(1)理科、文科两组同学成绩的茎叶图如下：(2)从平均数和方差的角度看，理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好. 理由如下：理科同学成绩的平均数=×（79+79+81+81+85+89+92+94）=85,方差是=×[（79﹣85）2+（79﹣85）2+（81﹣85）2+（81﹣85）2+（85﹣85）2+（89﹣85）2+（92﹣85）2+（94﹣85）2]=31.25；文科同学成绩的平均数=×（73+80+80+81+84+90+90+94）=84.方差是=×[（73﹣84）2+（80﹣84）2+（80﹣84）2+（81﹣84）2+（84﹣84）2+（90﹣84）2+（90﹣84）2+（94﹣84）2]=41.75；由于，，所以理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好．(3)设理科组同学中成绩不低于90分的2人分别为A，B，文科组同学中成绩不低于90分的3人分别为a，b，c，则从他们中随机抽出3人有以下10种可能：ABa，ABb，ABc，Aab，Aac，Abc，Bab，Bac，Bbc，abc.其中全是文科组同学的情况只有abc 一种，没有全是理科组同学的情况，记“抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学”为事件M ，则P(M)＝1－＝.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．22.解：()f x 的定义域为(0,)+∞，1()(1)f x ax a x '=+-+……1分 若满足题意，只要1()(1)0f x ax a x'=+-+≥在(2,)+∞恒成立即可， 即1(1)x a x x --≥恒成立，又x ∈(2,)+∞，所以12a ≥……4分 （Ⅱ）证明：2()()ln 2a g x f x x x x ax =+=+-，则()g x 的定义域为(0,)+∞，211()ax ax g x ax a x x-+'=+-=，若()g x 有两个极值点()1212,0x x x x <<， 则方程210ax ax -+=的判别式21212140,1,0a a x x x x a ∆=->+==>且， 得212112114,,,0a x x x x x x a ><<∴<=<<又0即……7分 所以11122221211212)ln(ln 2ln 2ln )()(ax a ax x ax x a x ax x a x x g x g -++=+---+=-， 设()ln ln()2a h t t at at =++-，其中1t x =∈，由2()0h t a t '=-=得2t a =……9分 又0212<-=-a a aa ，所以()h t 在区间2(0,)a 内单调递增，在区间2(a 内单调递减，即()h t 的最大值为2()2ln 2ln 2ln 22a a h a a a =-+-<-， 从而()()12ln 2a g x g x a -<-恒成立……12分。

浙江省Z20名校联盟(名校新高考研究联盟)2024届高三第二次联考数学试题含答案

浙江省Z20名校联盟(名校新高考研究联盟)2024届高三第二次联考数学试题含答案

Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2024届高三第二次联考数学试题卷（答案在最后）注意事项：1.答卷前，务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.请保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第I 卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若集合{}2,0,2,{2}M N x =-=<，则M N ⋂=（）A.{}2,0,2- B.{}2,0- C.{}0,2 D.{}0【答案】C 【解析】【分析】求出对应集合，再利用交集的定义求解即可.2<，解得22x -<≤，则{22}N xx =-<≤∣，故M N ⋂={}0,2，故选：C2.已知12i +是关于x 的实系数一元二次方程220x x m -+=的一个根，则m =（）A.2B.3C.4D.5【答案】D 【解析】【分析】利用复数相等可求参数的值.【详解】因为12i +是关于x 的实系数一元二次方程220x x m -+=的一个根，所以()()2012i 12i 2m +-++=，整理得到:50m -=即5m =，故选：D.3.已知向量()()1,1,2,0a b =-= ，向量a 在向量b 上的投影向量c =（）A.()2,0- B.()2,0C.()1,0- D.()1,0【答案】C 【解析】【分析】利用平面向量投影向量的定义求解.【详解】解：因为向量()()1,1,2,0a b =-=，所以向量a 在向量b 上的投影向量()21,0a b c b b⋅=⋅=- ，故选：C4.已知直线0x my -=交圆22:((1)4C x y -+-=于,A B 两点，设甲：0m =，乙：60ACB ∠= ，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】A 【解析】【分析】结合直线和圆的位置关系，判断甲：0m =和乙：60ACB ∠= 之间的逻辑推理关系，即可得答案.【详解】圆22:((1)4C x y -+-=的圆心为，半径为2r =，当0m =时，直线0x =，则到直线0x =，此时||2AB ==，而||||2CA CB ==，即ACB △为正三角形，故60ACB ∠= ；当60ACB ∠= 时，ACB △为正三角形，则C 到AB 的距离为sin 60d r == ，即圆心C 到直线0x my -=距离为d ==，解得0m =或m =，即当60ACB ∠= 时，不一定推出0m =，故甲是乙的充分条件但不是必要条件，故选：A5.已知数列{}n a 满足()()()2*1123214832,,1n n n a n a n n n n a ----=-+≥∈=N ，则n a =（）A.22n -B.22n n -C.21n -D.2(21)n -【答案】B 【解析】【分析】根据递推关系可证明21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列，即可求解.【详解】()()()()212321483=2123n n n a n a n n n n ----=-+--，所以112123n n a a n n --=--，111a =，所以21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列，且公差为1，首项为1，故1+121na n n n =-=-，即()2212n a n n n n =-=-，故选：B6.函数()()2ln 21f x x x x =--+的单调递增区间是（）A.()0,1 B.1,12⎛⎫⎪⎝⎭C.11,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D.11,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】求出函数的定义域与导函数，再令()0f x ¢>，解得即可.【详解】函数()()2ln 21f x x x x =--+的定义域为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，且()()()()22121221221212121x x x f x x x x x ⎤⎤-----⎣⎦⎣⎦'=-+==---，令()0f x ¢>，解得11222x <<，所以()f x的单调递增区间为11,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.故选：D 7.已知ππ,π,0,22αβ⎛⎫⎛⎫∈∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()13sin ,cos 33αββ+==，则cos2α=（）A.13B.13-C.2327D.2327-【答案】D 【解析】【分析】根据角的范围，利用同角的三角函数关系求得cos(),sin αββ+的值，利用两角差的余弦公式即可求得cos α，继而利用二倍角余弦公式求得答案.【详解】由于ππ,π,0,22αβ⎛⎫⎛⎫∈∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则π3π,22αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，而()1sin 3αβ+=，故π22,π,cos()23αβαβ⎛⎫+∈∴+==- ⎪⎝⎭，由0c ,2s 3π,o ββ⎛⎫∈ ⎪=⎝⎭，可得sin 3β=，则cos cos[()]cos()cos sin()sin ααββαββαββ=+-=+++913333=-+=-⨯⨯，故2223cos22cos 12(1279αα=-=⨯-=-，故选：D8.假设变量x 与变量Y 的n 对观测数据为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，两个变量满足一元线性回归模型()()2,0,Y bx e E e D e σ=+⎧⎨==⎩.要利用成对样本数据求参数b 的最小二乘估计ˆb ，即求使()21()ni i i Q b y bx ==-∑取最小值时的b 的值，则（）A.121ˆniii nii x ybx===∑∑ B.121ˆniii nii x yby===∑∑C.ˆniix yb =∑ D.()()ˆniix x y y b --=∑【答案】A 【解析】【分析】化简为二次函数形式，根据二次函数性质得到最值.【详解】因为()()222211(,)2nnii i i i i i i Q a b ybx y bx y b x ===-=-+∑∑2221112nnnii i i i i i bxb x y y ====-+∑∑∑，上式是关于b 的二次函数，因此要使Q 取得最小值，当且仅当b 的取值为121ˆniii nii x ybx===∑∑.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键是化简为二次函数形式，利用其性质得到最值时的b .二､多项选择题：本题共4小题，每小颗5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.为了了解某公路段汽车通过的时速，随机抽取了200辆汽车通过该公路段的时速数据，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），绘制成频率分布直方图，“根据直方图，以下说法正确的是（）A.时速在[)70,80的数据有40个B.可以估计该组数据的第70百分位数是65C.时速在[)50,70的数据的频率是0.07D.可以估计汽车通过该路段的平均时速是62km 【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，直接由对应的频率乘以200即可验算；对于B ，由百分位数的定义即可判断；对于C ，由对应的长方形面积之和即可判断；对于D ，由平均数的计算公式即可得解.【详解】对于A ，()2000.02807040⨯⨯-=，即时速在[)70,80的数据有40个，故A 正确；对于B ，1100.040.020.010.03a =÷---=，所以该组数据的第70百分位数位于[)60,70不妨设为x ，则()()0.010.0310600.040.7x +⨯+-⨯=，解得67.5x =，故B 错误；对于C ，时速在[)50,70的数据的频率是()0.030.04100.7+⨯=，故C 错误；对于D ，可以估计汽车通过该路段的平均时速是()0.01450.03550.04650.02751062km ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，故D 正确.故选：AD.10.函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()()11,11f x f x f -=+=-，以下结论正确的是（）A.()30f = B.()40f =C.20231()0k f k ==∑ D.20231(21)0k f k =-=∑【答案】BC 【解析】【分析】首先由抽象函数的形状判断函数的周期，并求()()()2,3,4f f f 的值，即可求解.【详解】由条件()()11f x f x -=+，可知()()()2f x f x f x +=-=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 是周期为4的函数，()()()3111f f f =-=-=，故A 错误；()()400f f ==，故B 正确；由条件()()11f x f x -=+，可知()()200f f ==，所以()()()()12340f f f f +++=()()()()()()()20231()5051234202120222023k f k f f f f f f f =⎡⎤=++++++⎣⎦∑()()()1230f f f =++=，故C 正确；由函数的周期为4，且()11f =-，()31f =，所以()()()()()()20231(21)1357...20212023k f k f f f f f f =-=++++++∑()()0202331f f =+==，故D 错误.故选：BC11.曲线的法线定义：过曲线上的点，且垂直于该点处切线的直线即为该点处的法线.已知点()4,4P 是抛物线2:2C x py =上的点，F 是C 的焦点，点P 处的切线1l 与y 轴交于点T ，点P 处的法线2l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点G ，与C 交于另一点B ，点M 是PG 的中点，则以下结论正确的是（）A.点T 的坐标是()0,2-B.2l 的方程是2120x y +-=C.2||TG PA PB=⋅D.过点M 的C 的法线（包括2l ）共有两条【答案】BCD 【解析】【分析】利用导数求出切线斜率，进而确定切线方程判断A ，利用法线的定义判断B ，利用两点间距离公式判断C ，分类讨论判断D 即可.【详解】对A ，将点()4,4P 代入22x py =，得2p =，则2,42x x y y '==，当4x =时，2y '=故1l 的方程为()424y x -=-，令0x =，则4,y =-∴点T 的坐标是()0,4-，故A 错误；对B ，122l l l ⊥∴ 的方程为()1442y x -=--，整理得2120x y +-=，故B 正确；对C ，易得2l 与x 轴的交点A 的坐标为()12,0，与y 轴的交点G 的坐标为()0,6，联立221204x y x y +-=⎧⎨=⎩，解得69x y =-⎧⎨=⎩或44x y =⎧⎨=⎩.与C 的另一个交点B 的坐标为()6,9-，则22||100,|||||||||TG PA PB TG PA PB ===∴=⋅，故C 正确；对D ，易得点M 的坐标为()2,5，设点()00,Q x y 为抛物线上一点，当Q 是原点时，Q 处的法线为y 轴，显然不过点M ，当点Q 不是原点时，则Q 处的法线方程为()0002y y x x x -=--，将点()2,5M 代入得，()000252y x x -=--，又2004x y =，则()()23000012160,420x x x x --=∴-+=，故04x =或2,-∴过点M 的C 的法线（包括2l ）共有两条，故D 正确.故选：BCD12.已知棱长为1的正方体1111,ABCD A B C D δ-是空间中一个动平面，下列结论正确的是（）A.设棱1,,AB AD AA 所在的直线与平面δ所成的角为,,αβγ，则222sin sin sin 1αβγ++=B.设棱1,,AB AD AA 所在的直线与平面δ所成的角为,,αβγ，则222cos cos cos 1αβγ++=C.正方体的12条棱在平面δ上的射影长度的平方和为8D.四面体11A B CD -的6条棱在平面δ上的射影长度的平方和为8【答案】ACD 【解析】【分析】以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系，设δ的法向量为(),,n a b c =，利用向量法求线面角和射影问题.【详解】对于A，以点A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()()()()1110,0,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,0,1,1A B C D A B D ,得()1,0,0AB = ，()()10,1,0,0,0,1AD AA == ，设δ的法向量为(),,n a b c =，则222222sin AB na abc AB nα⋅==++⋅，同理可得2222222222sin ,sin b c a b c a b cβγ==++++，222sin sin sin 1αβγ∴++=，故A 正确；对于B，则()()()222222cos cos cos 1sin 1sin 1sin 312αβγαβγ++=-+-+-=-=，故B 错误；对于C ，1,,AB AD AA 这3条棱在平面δ上的射影长度的平方和为()()()2221cos cos cos 2AB AD AA αβγ++=，12∴条棱在平面δ上的射影长度的平方和为8，故C 正确；对于D ，()()111,1,0,1,1,0AC D B ==-，设AC 与平面δ所成角为11,D B θ与平面δ所成角为ϕ，则()()22222222222()()sin ,sin 22AC na b a b a b ca b cAC nθϕ⋅+-===++++⋅，2222222sin sin a b a b cθϕ+∴+=++，11,AC D B ∴在平面δ上的射影长度的平方和为()()()()22222211(cos )cos 2cos cos 22sin sin AC D B θϕθϕθϕ+=+=-+ 22222224a b a b c+=-++，则四面体11A B CD -的6条棱在平面δ上的射影长度的平方和为2222222222222222222224441248a b b c c a a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：ACD 【点睛】方法点睛：建立空间直角坐标系，设δ的法向量为(),,n a b c =，向量法求线面角的正弦值和余弦值，向量法求射影长度，结果用,,a b c 表示，化简即可.第II 卷三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13.422x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数是__________.【答案】8【解析】【分析】写出二项式展开式的通项公式，令x 的指数为1，解出r ，可得结果.【详解】422x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为44314422C C 2rr r r r rr T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，(其中0,1,2,3,4r =)，令431r -=，解得1r =，即二项式展开式中x 的系数为14C 28⨯=.故答案为：814.已知正方形ABCD 的四个顶点均在椭圆2222:1x y E a b+=上，E 的两个焦点12,F F 分别是,AB CD 的中点，则E 的离心率是__________.【答案】12【解析】【分析】由题意||2BC a =，将x c =代入椭圆方程22221x y a b+=，得22||b CD a =，结合正方形性质可得||||BC CD =，即可得,a c 齐次式，即可求得答案.【详解】不妨设12,F F 为椭圆2222:1x y E a b+=的左、右焦点，由题意知AB x ⊥轴，CD x ⊥轴，且,AB CD 经过椭圆焦点，12(,0),(,0)F c F c -，则2BC c =，将x c =代入椭圆方程22221x ya b +=，得2||b y a=，故22||2||b CD y a ==，由||||BC CD =，得222b c a=，结合222b a c =-，得220c ac a +-=，即210e e +-=，解得152e -±=（负值舍），故E 512-，故答案为：512-15.设函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若存在()00,πx ∈使()012f x =成立，则ω的取值范围是__________.【答案】4(,)3+∞【解析】【分析】根据题意确定()0,πx ∈时，πππ(π,)666x ωω-∈-，结合正弦函数的图象和性质找到当π6x <时，离π6最近且使得1sin 2x =的x 值，由此列出不等式，即可求得答案.【详解】由于函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，当()0,πx ∈时，πππ(π,)666x ωω-∈-，根据正弦函数sin y x =的性质可知当π6x <时，离π6最近且使得1sin 2x =的x 值为7π6-,故存在()00,πx ∈，使()012f x =成立，需满足π7π4π<,663ωω--∴>，即ω的取值范围为4(,)3+∞，故答案为：4(,)3+∞16.已知函数()2212ex f x x =+，()2ln g x m x =-，若关于x 的不等式()()f x xg x ≤有解，则m 的最小值是__________.【答案】12##0.5【解析】【分析】参变分离可得()2ln 2e2ln x xm x x --≥---有解，令2ln t x x =--，()e t g t t =-，利用导数求出()min g t ，即可求出参数的取值范围，从而得解.【详解】由()()f x xg x ≤得()22122ln ex x x m x +≤-，显然0x >，所以()2ln 2122ln e 2ln ex xxm x x x x x --≥++=---有解，令2ln t x x =--，则t ∈R ，令()e tg t t =-，则()e 1tg t '=-，所以当0t <时()0g t '<，当0t >时()0g t '>，所以()g t 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，所以()()min 01g t g ==，即()2ln e 2ln 1x xx x -----≥，所以21m ≥，则12m ≥，即m 的最小值是12.故答案为：12【点睛】关键点点睛：本题的关键是参变分离得到()2ln 2e 2ln x xm x x --≥---有解，再构造函数，利用导数求出()2ln mine2ln x xx x --⎡⎤---⎣⎦.四､解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且()()22111,41,41n n n n a b S a T b ===+=+.（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和.【答案】17.21n a n =-，1(1)n n b -=-18.()11n n--【解析】【分析】（1）根据()()()22*11444112,N n n n n n a S S a a n n --=-=+-+≥∈得到na和1n a -的关系式，同理得到n b 和1n b -的关系式，根据{}n a 是等比数列和{}n b 是等比数列求出n a 和n b 的通项；（2）令()1(1)21n n n n c a b n -=⋅=--，对n 分偶数和奇数讨论即可.【小问1详解】()()()22*11444112,N n n n n n a S S a a n n --=-=+-+≥∈得：()()1120n n n n a a a a --+--=，10n n a a -∴+=或12n n a a --=，同理：10nn b b -∴+=或12n n b b --=，{}n a 是等差数列，12221n n n a a d a n -∴-=∴=∴=-，{}n b Q 是等比数列1101(1)n nn n bb q b --∴+=∴=-∴=-；【小问2详解】令()1(1)21n n n n c a b n -=⋅=--，其前n 项和为n H ，当n 为偶数时，()()()()1234561n n n H c c c c c c c c -=++++++++ ()()()()()135********n n n ⎡⎤=-+-+-++---=-⋅⎣⎦ 当n 为奇数时，()111(1)21nn n n H H c n n n ++=-=----+=.综上所述，1(1)n n H n -=-.18.如图，已知三棱锥,P ABC PB -⊥平面,,PAC PA PC PA PB PC ⊥==，点O 是点P 在平面ABC 内的射影，点Q 在棱PA 上，且满足3AQ PQ =.（1）求证：BC OQ ⊥；（2）求OQ 与平面BCQ 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）33【解析】【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系P xyz -，先判断ABC 是正三角形，再求点O 的坐标，进而利用向量的垂直关系即可证明BC OQ ⊥；（2）先求平面BCQ 的法向量，再利用向量法即可求解.【小问1详解】连结PO ，PB ⊥ 平面,,PAC PA PC ⊂平面,PAC PB PA PB PC ∴⊥⊥，又PA PC PA PB PC ⊥∴ ､､两两垂直，以P 为原点，PA 为x 轴，PC 为y 轴，PB 为z 轴建立空间直角坐标系P xyz -，如下图所示：不妨设4PA =，可得()()()()()0,0,0,4,0,0,0,4,0,0,0,4,1,0,0P A C B Q ，()()4,0,4,4,4,0AB AC C =-=-.AB BC CA ===ABC 是正三角形，点O 为正三角形ABC 的中心，所以()()2118448,4,4,,323333AO AB AC ⎛⎫=⨯+=-=- ⎪⎝⎭，()8444444,0,0,,,,333333PO PA AO ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,所以444,,333O ⎛⎫⎪⎝⎭.144,,333QO ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，又()0,4,4BC =-，0QO BC BC OQ ∴⋅=∴⊥.【小问2详解】()()0,4,4,1,4,0BC QC =-=- ，144,,333QO ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3QO == ，设平面BCQ 的一个法向量为(),,n x y z =，由0n BC n QC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得：44040y z x y -=⎧⎨-+=⎩，则()1444,1,1,4,1,1,4114333x y z n n n QO ===∴===⋅=⨯+⨯+⨯= ，设OQ 与平面BCQ 所成角为θ，则sin cos ,33QO nQO n QO nθ⋅===⋅.故直线OQ 与平面BCQ 所成角的正弦值为26633.19.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，cos sin cos20A B a B a +-=.（1）求tan A 的值；（2）若a =，点M 是AB 的中点，且1CM =，求ABC 的面积.【答案】（1；（2）4.【解析】【分析】（1）根据正弦定理和二倍角的余弦公式得tan A =；（2）根据同角三角函数关系求出cos ,sin 44A A ==，再利用余弦定理求出,b c 值，最后利用三角形面积公式即可.【小问1详解】cos sin cos20A B a B a +-=()2cos sin 1cos22sin A B a B a B∴=-=由正弦定理得：22sin 2sin sin A B A B =，()0,πB ∈ ，则sin 0B >，sin A A =，cos A 不等于0，tan A ∴【小问2详解】sin tan cos A A A == ()0,A π∈，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，联立22sin cos 1A A +=，cos 44A A ∴==，在ABC 中，由余弦定理得：222222cos 22b c a b c A bc bc+-+-==①在AMC 中，由余弦定理得：222212222cos 222c c b b A c bc b ⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭==⋅②由①=②式得：22b c =故2223222cos ,12422c b c A c b bc -+-===∴==，1147sin 244ABC S bc A ∴===.20.已知双曲线2222:1x y C a b-=的左右焦点分别为12,F F ，点()1,2P -在C 的渐近线上，且满足12PF PF ⊥.（1）求C 的方程；（2）点Q 为C 的左顶点，过P 的直线l 交C 于,A B 两点，直线AQ 与y 轴交于点M ，直线BQ 与y 轴交于点N ，证明：线段MN 的中点为定点.【答案】（1）2214y x -=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，借助向量垂直的坐标表示及双曲线渐近线方程求出,,a b c 即可得解.（2）设出直线l 的方程，与双曲线方程联立，借助韦达定理及向量共线的坐标表示求出MN 的中点纵坐标即可得解.【小问1详解】设()()12,0,,0F c F c -，()()121,2,1,2PF c PF c =-+-=+- ，由12PF PF ⊥，得212140PF PF c ⋅=-+=，解得25c =，即225a b +=，而曲线2222:1x y C a b -=的渐近线方程为22220x y a b-=，由点()1,2P -在C 的渐近线上，得2222(1)20a b --=，即224b a =，因此221,4a b ==，所以C 的方程为2214y x -=.【小问2详解】由（1）知(1,0)Q -，设直线l 为1122342(1),(,,,,)(0,,0)()(,)y k x A x y B x y M y N y -=+，由()222144y k x x y ⎧-=+⎨-=⎩消去y 得：()()2222424480kx kk x k k --+---=，则221212222448,44k k k k x x x x k k +---+==--，113(1,),(1,)QA x y QM y =+=，由,,A Q M 三点共线，得1311y y x =+，同理2421y y x =+，因此12341211y yy y x x +=+++()()12211212121y x y x y y x x x x +++=+++()()()()122112*********kx k x kx k x kx k kx k x x x x +++++++++++=+++()()()12121212222241kx x k x x k x x x x +++++=+++()()()()()()()222222248222424448244k k k k k k k k k k k k k ---+++++-=---+++-1644==--，所以MN 的中点T 为定点()0,2-.21.某商场推出购物抽奖促销活动，活动规则如下：①顾客在商场内消费每满100元，可获得1张抽奖券；②顾客进行一次抽奖需消耗1张抽奖券，抽奖规则为：从放有5个白球，1个红球的盒子中，随机摸取1个球（每个球被摸到的可能性相同），若摸到白球，则没有中奖，若摸到红球，则可获得1份礼品，并得到一次额外抽奖机会（额外抽奖机会不消耗抽奖券，抽奖规则不变）；③每位顾客获得的礼品数不超过3份，若获得的礼品数满3份，则不可继续抽奖；（1）顾客甲通过在商场内消费获得了2张抽奖券，求他通过抽奖至少获得1份礼品的概率；（2）顾客乙累计消耗3张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份，则他在消耗第2张抽奖券抽奖的过程中，获得礼品的概率是多少？（3）设顾客在消耗X 张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份，要获得X 张抽奖券，至少要在商场中消费满Y 元，求()(),E X D Y 的值.（重复进行某个伯努利试验，且每次试验的成功概率均为p .随机变量ξ表示当恰好出现r 次失败时已经成功的试验次数.则ξ服从参数为r 和p 的负二项分布.记作(),NB r p ξ~.它的均值()1prE pξ=-，方差()2.(1)prD p ξ=-）【答案】（1）1136；（2）12；（3）()16E X =，()900000D Y =.【解析】【分析】（1）确定一次摸奖摸到白球的概率，根据对立事件的概率计算，即可得答案；（2）分别求出顾客乙累计消耗3张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份，以及顾客乙在消耗第2张抽奖券抽奖的过程中，获得礼品的概率，根据条件概率的计算公式，即可求得答案；（3）由题意确定53,,16r p X ξ===-，结合负二项分布的均值和方差公式，即可求得答案.【小问1详解】由题意可知一次摸奖摸到红球的概率为16，摸到白球的概率为56，故甲至少获得1份礼品的概率551116636P =-⨯=；【小问2详解】设A =“顾客乙累计消耗3张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份”，B =“顾客乙在消耗第2张抽奖券抽奖的过程中，获得礼品”()2323244515125C 666666P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()()232321435515175C C 366666P AB P A P AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⋅=⋅⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()4525167526P AB P B A P A ∴===∣；【小问3详解】由题意可知53,,16r p X ξ===-则()()()52111116116prE X E X E pξ=-+=+=+==-，()()()()21001001001000010000900000(1)prD Y D X D D p ξξ==+==⋅=-.22.已知函数()πe sin cos 1,0,2xf x x ax x x ⎡⎤=+--∈⎢⎥⎣⎦，（1）当1a =时，求函数()f x 的值域；（2）若函数()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）π20,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）2a ≤【解析】【分析】（1）求导()πe cos sin cos e sin 00,2xxf x x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=++-=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭'，易得()f x 在π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x 上单调递增求解；（2）方法一：()()e sin 1cos xf x ax x a x =+-'+分0a ≤，01a <≤，12a <≤，2a >，由()min 0f x ≥求解；方法二：当0x =时，()00f =成立，当π2x =时，π2πe 02f ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭成立，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，转化为e sin 1cos x x a x x+-≤恒成立，由()min a g x ≤求解.【小问1详解】因为()e sin cos 1xf x x x x =+--，所以()πe cos sin cos e sin 00,2x xf x x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=++-=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭'，()f x ∴在π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上单调递增又()π2π00,e 2f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()f x ∴的值域是π20,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】方法一：①当0a ≤时，()πe sin cos 1sin cos 00,2x f x x ax x x ax x x ⎡⎤=+--≥-≥∈⎢⎥⎣⎦在上恒成立，②当01a <≤时，()()()πe cos sin cos e sin 1cos 1cos 00,2x x f x x ax x a x ax x a x a x x ⎛⎫⎡⎤=++-=++->->∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭'，()f x ∴在π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上单调递增，()()00f x f ∴≥=成立.③当2a >时，令()()e cos sin cos xg x f x x ax x a x ==++-'，则()()()e 1sin sin cos 0xg x a x a x x x =+-++>'，所以()g x 在π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上单调递增，即()f x '在π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上单调递增，()π2ππ020,e 022f a f a ⎛⎫=-=+ ⎪⎝''⎭ ，0π0,2x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭使得当()00,x x ∈时()0f x '<，故()f x 在()00,x x ∈上单调递减，则()()000,f x f <=不成立，④当12a <≤时，令()()e cos sin cos xg x f x x ax x a x ==++-'，则()()()e 1sin sin cos 0xg x a x a x x x =+-++>'，所以()g x 在π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上单调递增，即()f x '在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()020f x f a ∴='-'≥≥，即()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，则()()00f x f ≥=成立.综上所述，若函数()0f x ≥恒成立，则2a ≤.方法二当0x =时，()00f =成立，当π2x =时，π2πe 02f ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭成立，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，e sin 1cos x x a x x +-≤恒成立，令()e sin 1cos x x g x x x+-=，则min ()a g x ≤，又()e sin 1sin e 1cos cos x xx x x x g x x x x x +-+->∴=> ，令()()()()()221cos cos sin cos sin sin ,cos cos x x x x x x x x x x h x h x x x x x+⋅-+-+=='，222sin sin cos cos x x x x x x x+-=，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin x x >，()()222222sin 1cos sin sin sin sin cos 0cos cos x x x x x x x x x h x x x x x-++-∴>=>'，()h x ∴在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.00sin 1cos lim lim 2cos cos sin x x x x x x x x x x→→++==-，，故()2h x >，()e sin 12cos x x g x x x +-∴=>，又00e sin 1e cos lim lim 2cos cos sin x x x x x x x xx x x →→+-+==- ，min ()2g x ∴→，故2a ≤.【点睛】方法点睛：对于()0,f x x D ≥∈恒成立问题，法一：由()min 0,f x x D ≥∈求解；法二：转化为()g x a ≥()(),g x a x D ≤∈由()()()min min ,g x a g x a x D ≥≤∈求解.。

浙江省Z20名校联盟(浙江省名校新高考研究联盟)2023届高三第二次联考数学试题(高频考点版)

浙江省Z20名校联盟(浙江省名校新高考研究联盟)2023届高三第二次联考数学试题(高频考点版)

一、单选题二、多选题1. 设，其中，是实数，则的值为（ ）A ．1B．C．D ．22.图中表示一次函数与正比例函数（是常数，且）图象的是（ ）A．B．C．D．3.如图所示，在直角坐标系中，已知，对于任意点M ，它关于点A 的对称点为S ，点S 关于点B 的对称点为N ，则向量用表示为（ ）.A．B．C．D．4. 命题“，使”的否定是（ ）A ．，使B ．，使C．，使D ．，使5.已知抛物线的焦点为，点，，在抛物线上，且，则有（ ）A．B．C．D．6.双曲线的标准方程为，则下列说法正确的是（ ）A．该曲线两顶点的距离为B．该曲线与双曲线有相同的渐近线C ．该曲线上的点到右焦点距离的最小值为1D ．该曲线与直线有两个公共点7. 在棱长为的正方体中，，分别是，的中点，则下列说法正确的是（）A ．四边形是菱形B．直线与直线的距离是C ．直线与平面所成角的正弦值是浙江省Z20名校联盟(浙江省名校新高考研究联盟)2023届高三第二次联考数学试题(高频考点版)浙江省Z20名校联盟(浙江省名校新高考研究联盟)2023届高三第二次联考数学试题(高频考点版)三、填空题四、解答题D ．平面与平面所成角的正弦值是8.已知椭圆与双曲线，点，，是它们的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ）A ．过原点与点的直线与双曲线的左、右两支各有一个交点B．若在椭圆上，的最大值为5C．若在椭圆上，的最大值为D．若在双曲线上，，则9.已知正实数满足，则的最小值为___________.10. 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，小球来回摆动时，若离开平衡位置的位移s （）与时间t （s ）的函数关系是，则小球开始摆动时，离开平衡位置______，小球离开平衡位置的最大距离是______，小球来回摆动一次需要______s.11. 函数在上是增函数,则a 的取值范围是______．12. 在一个不透明的布袋中，红色，黑色，白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球，黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数可能是_________个.13.已知数列满足，.(1)求证数列是等差数列，并求通项公式；(2)已知数列的前项和为，求.14. 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a cos C －b－=0.(1)求A ；(2)若a =求b +2c 的取值范围.15.的定义域为，，（1）求证：；（2）在最小值为，求的解析式；（3）在（2）的条件下，设表示不超过的最大整数，求的值域．．16.设函数对任意的实数，都有，且时，，.（1）求证：是奇函数；（2）试问当时，是否有最大值或最小值？如果有，求出最值；如果没有，请说出理由.。

河北省九校2020届高三上学期数学(理)第二次联考卷附答案详析

河北省九校2020届高三上学期数学(理)第二次联考卷附答案详析

河北省九校2020届高三上学期第二次联考数学（理）试卷一、单选题1．已知集合2{|}20,A x x x x =-<∈-Z ，{}|2,xB y y x A ==∈，则A B =U （ ）A ．{1}B ．{0,1,2}C ．1,1,2,42⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．{0,1,2,4}2．已知复数413z i=-+（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第三象限C ．直线3y x =-上D ．直线3y x =上3．设124a -=，121log 3b =，3log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<4．函数()21sin 1x f x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．5．甲、乙、丙三家企业产品的成本分别为10000，12000，15000，其成本构成如下图所示，则关于这三家企业下列说法错误的是（ ）A ．成本最大的企业是丙企业B ．费用支出最高的企业是丙企业C ．支付工资最少的企业是乙企业D ．材料成本最高的企业是丙企业6．设{}n a 是公差大于0的等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则“20a >”是“1n S S n +>”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知两个不相等的非零向量a v ，b v ，满足1a =v ，且a v 与b v －a v的夹角为60°，则b v 的取值范围是( )A ．30,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．3,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭D ．()1,+∞8．如图网格纸中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．7842π++B ．7442π++C ．5842π++D ．5442π++9．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周牌算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供6种不同的颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A ，C 区域涂同色的概率为（ ）A ．27B ．57C ．913D ．41310．某学生对函数()sin f x x x =的图象与性质进行研究，得出如下结论：①函数()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；①点(),0π是函数()f x 的图象的一个对称中心；①函数()f x 的图象关于直线2x π=对称；①存在常数0M>，使()||||f x M x ≤对一切实数x 均成立.其中正确的结论是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①11．已知1,F 2F 分别是双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，直线l 过1F ，且l与一条渐近线平行，若2F 到l 的距离大于a ，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ）A ．(5,)+∞B ．(1,5)C ．5,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ D ．51,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭12．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，1'()ln ()<-f x x f x x，则使得2(1)()0x f x ->成立的x 的取值范围是（ ） A ．(1,0)(0,1)-U B ．(,1)(1,)-∞-+∞U C ．(1,0)(1,)-??D ．(,1)(0,1)-∞-U二、填空题13．已知正项等比数列{}n a 满足31a =，5a 与432a 的等差中项为12，则1a 的值为__________.14．已知23nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第5项为常数项，则该式中所有项系数的和为_________.15．已知抛物线2:8C x y =的准线与y 轴交于点A ，焦点为F ，点P 是抛物线C 上任意一点，令||||PA t PF =，当t 取得最大值时，直线PA 的斜率是________. 16．三棱锥P ABC -中，点P 到A 、B 、C 三点的距离均为8，PA PB ⊥，PA PC ⊥，过点P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，连接AO ，此时6cos 3PAO ∠=，则三棱锥P ABC -外接球的体积为______. 三、解答题17．已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，其外接圆半径R 满足22232cos R ac B a c +=+.（1）求B 的大小； （2）已知ABC ∆的面积312abcS =，求a c +的取值范围.18．如图，四棱锥P ABCD -，//AB CD ，90BCD ∠=︒，224AB BC CD ===，PAB ∆为等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，Q 为PB 中点.（1）求证：AQ ⊥平面PBC ； （2）求二面角B PC D --的余弦值.19．椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，短轴长为23，右顶点为A ，上顶点为B ，ABF V 的面积为332. (1)求椭圆的标准方程；(2)过A 作直线l 与椭圆交于另一个点M ，连接MF 并延长交椭圆于点N ，当AMN V 面积最大时，求直线l 的方程.20．已知函数()cos x f x e x =-.(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)证明：()f x 在区间(,)2π-+∞上有且仅有2个零点.21．2019年7曰1日至3日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善.某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行分析，得到如下的频率分布直方图：（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布()2,Nμσ，经计算第（1）问中样本标准差s 的近似值为50.用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,Nμσ，则()0.6827P μσξμσ-<+≈„，(22)0.9545P μσξμσ-<+≈„，(33)0.9973P μσξμσ-<+≈„.（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.已知硬币出现正、反面的概率都是12，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第50格.遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k 到1k +），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从k 到2k +），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束，设遥控车移到第n 格的概率为n P ，试说明{}1n n P P --是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2324x ty t=-⎧⎨=-+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos tan ρθθ=. （1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程； （2）若1C 与2C 交于A ，B 两点，点P 的极坐标为722,4π⎛⎫⎪⎝⎭，求11||||PA PB +的值.23．已知x ，y ，z 均为正数．（1）若xy ＜1，证明：|x +z |①|y +z |＞4xyz ； （2）若xyz x y z ++＝13，求2xy ①2yz ①2xz 的最小值．解析河北省九校2020届高三上学期第二次联考数学（理）试卷一、单选题1．已知集合2{|}20,A x x x x =-<∈-Z ，{}|2,xB y y x A ==∈，则A B =U （ ）A ．{1}B ．{0,1,2}C ．1,1,2,42⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．{0,1,2,4}【答案】B【解析】解出集合A 中的不等式，得出解集，求出集合B ，即可求得A B U . 【详解】 解不等式220x x --<，()()120x x +-<，得12x -<<，所以{}2{|}0,120,A x x x x =-<-=∈Z ，{}{}|2,1,2x B y y x A ==∈=，所以{0,1,2}A B =U .故选：B【点睛】此题考查解一元二次不等式，求函数值域，求两个集合的并集，关键在于根据集合关系准确求解.2．已知复数413z i=-+（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第三象限C ．直线3y x =-上D ．直线3y x =上【答案】C 【解析】因为413z i=-+=1313i z i --∴=-+ 在复平面内对应的点为(1,3)- 在第二象限，在直线3y x =-上 ，选C.3．设124a -=，121log 3b =，3log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】B【解析】一是借助于中间值1，二是化为同底数的对数比较可得． 【详解】112211log log 132>=，12142-=，3311log 2log 32>>=，∴1231214log 2log 3-<<，即a c b <<．故选：B. 【点睛】本题考查对数和幂的比较大小，比较大小时，同是对数的能化为同底数的化为同底数，同是幂的化为同底数或者化为同指数，不能转化的借助中间值如1，0等等比较． 4．函数()21sin 1x f x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据已知中函数的解析式，可得函数f （x ）为偶函数，可排除C,D ，由()0,0x f x →>得到答案． 【详解】()211sin sin 11x x x e f x x x e e ⎛⎫-⎛⎫=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭故()()f x f x -=则()f x 是偶函数，排除C 、D ，又当()0,0x f x →>故选：A. 【点睛】本题主要考查函数的图象特征，函数的奇偶性的判断，结合排除特值与极限判断是常见方法，属于基础题．5．甲、乙、丙三家企业产品的成本分别为10000，12000，15000，其成本构成如下图所示，则关于这三家企业下列说法错误的是（ ）A ．成本最大的企业是丙企业B ．费用支出最高的企业是丙企业C ．支付工资最少的企业是乙企业D ．材料成本最高的企业是丙企业【答案】C【解析】直接根据图中数据计算对应结果即可求出结论． 【详解】甲企业的成本为：10000； 乙企业的成本为：12000； 丙企业的成本为：15000故成本最大的是丙企业，故A 正确； 甲企业费用支出为：100005%500⨯=； 乙企业费用支出为：1200017%2040⨯=； 丙企业费用支出为：1500015%2250⨯= 故费用支出最高的企业是丙企业，故B 正确； 甲企业支付工资为：1000035%3500⨯=； 乙企业支付工资为：1200030%3600⨯=； 丙企业支付工资为：1500025%3750⨯=； 故甲企业支付的工资最少，故C 错误； 甲企业材料成本为：1000060%6000⨯=； 乙企业材料成本为：1200053%6360⨯=； 丙企业材料成本为：1500060%9000⨯= 故材料成本最高的企业是丙企业，故D 正确； 故选：C ．【点睛】本题主要考查根据图表分析解决问题，是对基础知识的考查，关键是理解题中数据，属于基础题． 6．设{}n a 是公差大于0的等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则“20a >”是“1n S S n +>”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充分条件、必要条件以及等差数列的性质判断即可. 【详解】 解：由{}n a 是公差大于0的等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，若20a >，则10n a +>，又 11n S S n n a ++=-，1n S S n +∴>，故充分性成立； 若1n S S n +>，则1n 10S S n n a ++-=>，20a ∴>，故必要性成立； 综上可得，“20a >”是“1n S S n +>”的充要条件. 故选：C 【点睛】本题考查等差数列的性质以及充分条件必要条件的判定，属于基础题.7．已知两个不相等的非零向量a v ，b v ，满足1a =v ，且a v 与b v －a v的夹角为60°，则b v 的取值范围是( )A ．30,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．3,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭D ．()1,+∞【答案】D【解析】设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，由已知a r 与b a -r r的夹角为60︒可得120ABC ∠=︒，由正弦定理sin sin120a b C=︒rr 得31s n 2i b C=>r ，从而可求b r 的取值范围【详解】解：设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r，， 如图所示： 则由BCAC AB =-u u u ru u u r u u u r 又Q a r与b a -r r的夹角为60︒，120ABC ∴∠=︒又由1AB a ==u u u r r由正弦定理sin sin120a b C=︒r r 得23sin b C=r 0,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q3sin 0,2C ⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭()231,sin b C∴=∈+∞r故选：D ．【点睛】本题主考查了向量的减法运算的三角形法则，考查了三角形的正弦定理及三角函数的性质，属于中档题．8．如图网格纸中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．7842π++B ．7442π++C ．5842π++D ．5442π++【答案】C【解析】根据三视图可知，该几何体为一个八分之一球与一个三棱柱拼接而成的几何体，并且三棱柱的上底面被遮掉，并计算出各面的面积，相加即可得出该几何体的表面积. 【详解】由三视图可知，该几何体为一个八分之一球与一个三棱柱拼接而成的几何体， 故所求的表面积为()221142234222584284πππ⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯=++， 故选：C.【点睛】本题考查由三视图计算几何体的表面积，解题时要还原几何体的实物图，结合简单几何体的表面积公式进行计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.9．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周牌算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供6种不同的颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A ，C 区域涂同色的概率为（ ）A ．27B ．57C ．913D ．413【答案】D【解析】本题从颜色使用数量上来分类，又由条件知至少使用三种颜色，所以只剩三种情况了．然后选色，再按照规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，使用分步计数原理逐一涂色，即可求出总的基本事件，再弄清A ，C 区域涂同色的占了多少个基本事件，利用古典概型及其概率计算公式求答案． 【详解】解：根据题意，至少使用3种颜色．由使用颜色数量，下面我们分三种情况：（1）使用5种颜色：选色56C ，涂上去55A ，共有5565720C A =种； （2）使用4种颜色：选色46C ，先涂D 有4种，下面，∴、若A 、C 同色，则B 和E 各涂剩余的两色，有223A 种，∴、若A 、C 不同色，则B 和E 必同色，有33A 种．∴共42436263434360360720C A C A ⨯⨯+⨯⨯=+=种；（3）使用3种颜色：选色36C ，先涂D 有3种选择，D 用掉一种颜色，下面只有A 、C 同色，B 、E 同色，有22A 种，共32623120C A ⨯=种，∴共计7207201201560++=种，其中A ，C 区域涂同色的有360120480+=种，则A ，C 区域涂同色的概率为4804156013=． 故选：D ． 【点睛】本题考查古典概型概率计算与分类、分步计数原理的应用，关键正确理解题意，选择好分类标准．属于中档题． 10．某学生对函数()sin f x x x =的图象与性质进行研究，得出如下结论：①函数()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；①点(),0π是函数()f x 的图象的一个对称中心；①函数()f x 的图象关于直线2x π=对称；①存在常数0M >，使()||||f x M x ≤对一切实数x 均成立.其中正确的结论是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①【答案】B【解析】根据函数的奇偶性，单调性，对称性，值域依次判断每个选项得到答案. 【详解】 易知()sin f x x x =为偶函数，()sin cos f x x x x '=+，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≥，所以()f x 在[0]2π，上单调递增，又()sin f x x x =为偶函数，所以()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，故∴正确；因为()(2)sin (2)sin(2)sin (2)sin f x f x x x x x x x x x ππππ+-=+--=--2sin 2sin 0x x x π=-=不恒成立，所以点(),0π不是函数()f x 的图象的对称中心，故∴错误；因为()()sin ()sin()sin ()sin f x f x x x x x x x x x ππππ--=---=--2sin sin 0x x x π=-=不恒成立，即()()f x f x π=-不恒成立，所以直线2x π=不是函数()f x 的图象的对称轴，故∴错误；因为|()||sin ||||sin |||f x x x x x x ==…，所以当1M =时，()||||f x M x ≤对一切实数x 均成立，故∴正确.综上可知，正确的结论是∴∴. 故选：B . 【点睛】本题主要考查函数的图象与性质，考查考生的逻辑推理能力和基本运算能力，考查的核心素养是数学运算和逻辑推理.11．已知1,F 2F 分别是双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，直线l 过1F ，且l与一条渐近线平行，若2F 到l 的距离大于a ，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ）A ．(5,)+∞B ．(1,5)C ．5,2⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭D ．51,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】设直线l ：()b y x c a =+，由2F 到l 的距离大于a ，得出b a 的范围，再由21()be a=+计算即可. 【详解】设过1F 与渐近线by x a =平行的直线l 为()b y x c a=+， 由题知2F 到直线l 的距离d a >，即22||bc bc d b a +=+2b a =>，可得12b a >， 所以离心率251()2b e a=+>. 故选：C. 【点睛】本题考查计算双曲线离心率的范围，熟知公式21()b e a=+可使计算变得简便，属于常考题.12．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，1'()ln ()<-f x x f x x，则使得2(1)()0x f x ->成立的x 的取值范围是（ ） A ．(1,0)(0,1)-U B ．(,1)(1,)-∞-+∞U C ．(1,0)(1,)-??D ．(,1)(0,1)-∞-U【答案】D【解析】构造函数，令()()()ln 0g x x f x x =⋅>，则()()()'ln 'f xg x xf x x=+，由()()1'f x lnx f x x<-可得()'0g x <， 则()g x 是区间()0,∞+上的单调递减函数，且()()1ln110gf =⨯=，当x ∴(0,1)时,g (x )>0,∴lnx <0,f (x )<0,(x 2-1)f (x )>0; 当x ∴(1,+∞)时,g (x )<0,∴lnx >0,∴f (x )<0,(x 2-1)f (x )<0 ∴f (x )是奇函数,当x ∴(-1,0)时,f (x )>0,(x 2-1)f (x )<0 ∴当x ∴(-∞,-1)时,f (x )>0,(x 2-1)f (x )>0.综上所述,使得(x 2-1)f (x )>0成立的x 的取值范围是()(),10,1-∞-⋃.本题选择D 选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效．二、填空题13．已知正项等比数列{}n a 满足31a =，5a 与432a 的等差中项为12，则1a 的值为__________.【答案】4【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，建立方程计算得到答案.【详解】 设等比数列{}n a 的公比为q ，因为5a 与432a 的等差中项为12，所以54312a a +=，所以233312a q a q +=，又31a =，所以22320q q +-=， 又数列{}n a 的各项均为正数，所以12q =，所以3124a a q ==.故答案为：4. 【点睛】本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.14．已知23nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第5项为常数项，则该式中所有项系数的和为_________.【答案】-32【解析】先写出二项式展开式中第5项，因为第5项为常数项解出n ，然后令1x =得各项系数和. 【详解】 解：因为()444242105381n n nn T Cx C x x --⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且第5项为常数项 所以2100n -=，即5n =令1x =，得所有项系数和为()()5513232-=-=- 故答案为：32- 【点睛】本题考查了二项式定理的展开通项式，以及各项系数和问题，属于基础题.15．已知抛物线2:8C x y =的准线与y 轴交于点A ，焦点为F ，点P 是抛物线C 上任意一点，令||||PA t PF =，当t 取得最大值时，直线PA 的斜率是________. 【答案】±1【解析】令PAB α∠=，则||||1||||sin PA PA t PF PB α===，设200,8x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于4x y '=，所以在点P 处切线的斜率04x k =，计算得到答案. 【详解】由题意知()0,2A -，()0,2F，过点P 作PB l ⊥（l 为抛物线的准线），垂足为B .由抛物线的定义可知||||PF PB =.令PAB α∠=，则||||1||||sin PA PA t PF PB α===， 当sin α最小时，t 最大，当直线PA 与抛物线28x y =相切时，sin α最小，即t 最大.设200,8x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于4x y '=，所以在点P 处切线的斜率04x k =， 所以在点P 处的切线方程为()200084x xy x x -=-，又切线过()0,2A -，所以2200284x x --=-，解得04x =±，所以当t 取得最大值时，直线PA 的斜率为±1. 故答案为：±1.【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值和直线的斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力 16．三棱锥P ABC -中，点P 到A 、B 、C 三点的距离均为8，PA PB ⊥，PA PC ⊥，过点P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，连接AO ，此时6cos 3PAO ∠=，则三棱锥P ABC -外接球的体积为______. 【答案】2563π【解析】先证明出PA ⊥平面PBC ，根据6cos 3PAO ∠=计算出AD 、BD ，并证明出点D 为BC 的中点，可得出BC ，利用勾股定理可证明出PB PC ⊥，然后构造正方体模型可求出三棱锥P ABC -外接球的半径长，最后利用球体体积公式可计算出结果. 【详解】因为PA PB ⊥，PA PC ⊥，PB PC P ⋂=,故PA ⊥平面PBC ， 因为8PA PB PC ===，故82AB AC ==，6cos 3PA PAO AD ∠==Q ，3384666PA AD ⨯∴===，则2242BD AB AD =-=，PA ⊥Q 平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，BC PA ∴⊥.PO ⊥Q 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，BC PO ∴⊥.PA PO P =Q I ，BC ∴⊥平面PAO ，PD ⊂Q 平面PAO ，PD BC ∴⊥，8PB PC ==Q ，D ∴为BC 的中点，282BC BD ∴==，222PB PC BC ∴+=.故PC PB ⊥，构造正方体模型可知，四面体P ABC -的外接球半径222432PA PB PC R ++==，因此，三棱锥P ABC -外接球的体积为()344325633V ππ=⨯=.故答案为：2563π.【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积的计算，解题的关键在于推导出线面垂直关系，并结合几何体的结构找出合适的模型计算出外接球的半径，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题17．已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，其外接圆半径R 满足22232cos R ac B a c +=+.（1）求B 的大小； （2）已知ABC ∆的面积312abcS =，求a c +的取值范围. 【答案】（1）3B π=（2）(33,6]【解析】（1）利用正弦定理和余弦定理计算得到答案. （2）根据面积公式化简得到6sin 6a c A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，根据角度范围得到值域. 【详解】（1）∴22232cos R ac B a c +=+，∴222232cos R a c ac B b =+-=，即33R b =， ∴33sin 2223b B b R b==⨯=，又B 为锐角，∴3B π=. （2）∴ABC ∆的面积31sin 1223abc S ac π==， ∴3b =，∴232233R b ==，又2sin sin a c R A C ==，23A C B π+=π-=， ∴2332(sin sin )23sin sin 23sin cos 322a c R A C A A A A π⎫⎡⎤⎛⎫⎛+=+=+-=+⎪⎪ ⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎣⎦⎭6sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由ABC ∆是锐角三角形得,62A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2,633A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴3sin ,162A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦， ∴(33,6]a c +∈，即a c +的取值范围为(33,6]. 【点睛】本题主要考查利用正、余弦定理解三角形和三角形面积公式的应用，考查的核心素养是数学运算.18．如图，四棱锥P ABCD -，//AB CD ，90BCD ∠=︒，224AB BC CD ===，PAB ∆为等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，Q 为PB 中点.（1）求证：AQ ⊥平面PBC ； （2）求二面角B PC D --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）14-【解析】（1）证明BC AQ ⊥及PB AQ ⊥，即可证明：AQ ⊥平面PBC ，问题得证．（2）建立空间直角坐标系，由（1）得()3,0,3AQ =-u u u v为平面PBC 的法向量，求得平面PCD的法向量为()0,3,1n =v，利用空间向量夹角的数量积表示即可求得二面角B PC D --的余弦值. 【详解】（1）证明：因为//AB CD ，90BCD ∠=︒，所以AB BC ⊥， 又平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB ⋂平面ABCD AB =，所以BC ⊥平面PAB .又AQ ⊂平面PAB ，所以BC AQ ⊥， 因为Q 为PB 中点，且PAB ∆为等边三角形，所以PB AQ ⊥. 又PB BC B ⋂=，所以AQ ⊥平面PBC .（2）取AB 中点为O ，连接PO ，因为PAB ∆为等边三角形，所以PO AB ⊥， 因为平面PAB ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PO OD ⊥，由224AB BC CD ===，90ABC ∠=︒， 可知//OD BC ，所以⊥OD AB .以AB 中点O 为坐标原点，分别以OA ，OD ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.所以()2,0,0A，()0,2,0D ，()2,2,0C -，()0,0,23P ，()2,0,0B -，所以()0,2,23DP =-u u u v ，()2,0,0CD =u u u v，由（1）知，AQ uuu v为平面PBC 的法向量，因为Q 为PB 的中点，所以()1,0,3Q -，所以()3,0,3AQ =-u u u v， 设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =v，由00n CD n DP u u u v v u u u v v ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得202230x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，则()0,3,1n =v.所以23cos ,3331AQ n AQ n AQ n ⋅==+⋅+u u u v vu u u v v u u u v v 14=. 因为二面角B PC D --为钝角， 所以，二面角B PC D --的余弦值为14-. 【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明，考查转化能力及空间思维能力，还考查了利用空间求二面角的余弦值，考查计算能力，属于中档题．19．椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，短轴长为23，右顶点为A ，上顶点为B ，ABF V 的面积为332. (1)求椭圆的标准方程；(2)过A 作直线l 与椭圆交于另一个点M ，连接MF 并延长交椭圆于点N ，当AMN V 面积最大时，求直线l 的方程.【答案】(1) 22143x y += (2) 1(2)2y x =±-【解析】试题分析：（1）根据题意布列方程组，从而得到椭圆的标准方程；（2）设MN 所在直线斜率存在时()()10y k x k =+≠，由()22134120y k x x y ⎧=+⎨+-=⎩，得到()22234690k yky k +--=，借助韦达定理表示()24221834AMN k k S k +=+V ，利用换元法转为二次函数最值问题，即可得到直线l 的方程. 试题解析：（∴）根据短轴长知3b =，()133·322ABF S a c V =+=， 则3a c +=，因为222b a c =-，则1a c -=，故21a c ==，， 则椭圆方程为22143x y +=．（∴）设MN 所在直线斜率存在时()()10y k x k =+≠， ()()1122M x y N x y ，，，()212121213||?||422AMN S AF y y y y y y V =-=+-，∴()22134120y k x x y ⎧=+⎨+-=⎩， ()22234690k y ky k ⇒+--=， 122634k y y k +=+，21229·34k y y k-=+． 代入∴式得()222422223636182343434AMNk k k k S k k k +⎛⎫=+= ⎪++⎝⎭+V ，令2343t k =+>，则234t k -=， 2222392391811622AMNt t S t t t --==--<V ， 当k 不存在时，92AMN S =V ． 故当AMN V 面积最大时，MN 垂直于x 轴，此时直线l 的斜率为12±， 则直线l 方程：()122y x =±-． 20．已知函数()cos x f x e x =-.(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)证明：()f x 在区间(,)2π-+∞上有且仅有2个零点.【答案】（1）0x y -=；（2）见解析【解析】（1）给函数求导，将切点的横坐标带入原函数，导函数，分别求出切点和斜率，用点斜式写出直线方程即可. （2）当0x >时，()cos 0x f x e x =->，所以，函数()y f x =在区间()0,∞+上没有零点；又()00f =，下面只需证明函数()y f x =在区间(,0)2π-上有且只有一个零点.因为函数()y f x '=在区间(,0)2π-上单调递增，2()102f eππ-'-=-<，()010f '=>，存在(,0)2t π∈-，使得()0f t '=，函数()y f x =在x t =处取得极小值，则()()00f t f <=，又2()02f eππ--=>，所以()()02f f t π-⋅<，由零点存在定理可知，函数()y f x =在区间(,0)2π-上有且只有一个零点.综上可得，函数()y f x =在(,)2π-+∞上有且仅有两个零点.【详解】 （1）()cos x f x e x =-Q，则()sin x f x e x '=+，()00f ∴=，()01f '=.因此，函数()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y x =，即0x y -=.（2）当0x >时，1cos x e x >≥，此时，()cos 0x f x e x =->，所以，函数()y f x =在区间()0,∞+上没有零点；又()00f =，下面只需证明函数()y f x =在区间(,0)2π-上有且只有一个零点.()sin x f x e x '=+，构造函数()sin x g x e x =+，则()cos x g x e x '=+，当02x π-<<时，()cos 0x g x e x '=+>，所以，函数()y f x '=在区间(,0)2π-上单调递增，2()102f eππ-'-=-<Q ，()010f '=>，由零点存在定理知，存在(,0)2t π∈-，使得()0f t '=，当2x t π-<<时，()0f x '<，当0t x <<时，()0f x '>.所以，函数()y f x =在x t =处取得极小值，则()()00f t f <=，又2()02f eππ--=>，所以()()02f f t π-⋅<，由零点存在定理可知，函数()y f x =在区间(,0)2π-上有且只有一个零点.综上可得，函数()y f x =在(,)2π-+∞上有且仅有两个零点.【点睛】本题第一问考查导数几何意义中的切线问题，第二问考查函数零点的存在，同时考查了利用导函数求函数的单调区间，属于难题.21．2019年7曰1日至3日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善.某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行分析，得到如下的频率分布直方图：（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布()2,Nμσ，经计算第（1）问中样本标准差s 的近似值为50.用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,Nμσ，则()0.6827P μσξμσ-<+≈„，(22)0.9545P μσξμσ-<+≈„，(33)0.9973P μσξμσ-<+≈„.（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.已知硬币出现正、反面的概率都是12，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第50格.遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k 到1k +），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从k 到2k +），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束，设遥控车移到第n 格的概率为n P ，试说明{}1n n P P --是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车.【答案】（1）300（千米）（2）0.8186（3）说明详见解析，此方案能够成功吸引顾客购买该款新能源汽车【解析】（1）利用频率分布直方图的平均数的计算方法即可得出x ． （2）由~(300X N ，250)．利用正态分布的对称性可得(250400)P X <„．（3）遥控车开始在第0 格为必然事件，01P =．第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为12，即112P =．遥控车移到第(249)n n 剟格的情况是下面两种，而且只有两种：∴遥控车先到第2n -格，又掷出反面，其概率为212n P -．∴遥控车先到第1n -格，又掷出正面，其概率为112n P -．可得：211122n n n P P P --=+．变形为112(1)2n n n n P P P P ----=--．即可证明149n 剟时，数列1{}n n P P --是等比数列，首项为10P P -，公比为12-的等比数列．利用112100()()()n n n n n P P P P P P P P ---=-+-+⋯⋯+-+，及其求和公式即可得出．可得获胜的概率49P ，失败的概率50P ．进而得出结论．【详解】 解：（1）0.002502050.004502550.009503050.004503550.00150405300x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（千米）．（2）由~(300X N ，250)．0.95450.6827(250400)0.95450.81862P X -∴<=-=„．（3）遥控车开始在第0 格为必然事件，01P =．第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为12，即112P =． 遥控车移到第(249)n n 剟格的情况是下面两种，而且只有两种：∴遥控车先到第2n -格，又掷出反面，其概率为212n P -． ∴遥控车先到第1n -格，又掷出正面，其概率为112n P -． 211122n n n P P P --∴=+．1121()2n n n n P P P P ---∴-=--．149n ∴剟时，数列1{}n n P P --是等比数列，首项为1012P P -=-，公比为12-的等比数列．1112P ∴-=-，2211()2P P -=-，3321()2P P -=-，⋯⋯，11()2nn n P P --=-． 1112100111()()()()()1222n n n n n n n P P P P P P P P ----∴=-+-+⋯⋯+-+=-+-+⋯⋯-+ 1111()212[1()]1321()2n n ++--==----(0n =，1，⋯⋯，49)． ∴获胜的概率504921[1()]32P =--，失败的概率49495048112111[1()][1()]223232P P ==⨯--=+． 5049484950211111[1()][1()][1()]0323232P P ∴-=---+=->． ∴获胜的概率大．∴此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车．【点睛】本题考查了频率分布直方图的性质、正态分布图的性质、等比数列的定义通项公式与求和公式、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2324x ty t =-⎧⎨=-+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos tan ρθθ=. （1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程； （2）若1C 与2C 交于A ，B 两点，点P 的极坐标为722,4π⎛⎫⎪⎝⎭，求11||||PA PB +的值. 【答案】（1）1C 的普通方程为4320x y +-=.2C 的直角坐标方程为2y x =.（2）815【解析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程的公式得到答案.（2）1C 的参数方程转化为标准形式为325425x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+'⎩'⎪代入2y x =，利用韦达定理得到12809t t ''+=，12503t t ''=，计算得到答案.【详解】（1）消去参数t 得曲线1C 的普通方程为4320x y +-=.曲线2C 的极坐标方程可化为2cos sin ρθθ=，即22cos sin ρθρθ=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴曲线2C 的直角坐标方程为2y x =.（2）1C 的参数方程转化为标准形式为325425x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+'⎩'⎪（t '为参数），代入2y x =得29801500t t ''-+=，点P 的直角坐标为()2,2-，设'1t ，'2t 分别是,A B 对应的参数，则12809t t ''+=，12503t t ''=. ∴121211||||8||||||||15t t PA PB PA PB PA PB t t ''''+++===⋅. 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程标准形式的应用，考查的核心素养是数学运算和直观想象. 23．已知x ，y ，z 均为正数．（1）若xy ＜1，证明：|x +z |①|y +z |＞4xyz ；（2）若xyz x y z ++＝13，求2xy ①2yz ①2xz 的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为8 【解析】（1）利用基本不等式可得|x |||22242z y z xz yz z xy +⋅+≥⋅= , 再根据0＜xy ＜1时, 即可证明|x +z |∴|y +z |＞4xyz . （2）由xyz x y z ++＝13, 得1113yz xz xy ++=，然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz ≥3，从而求出2xy ∴2yz ∴2xz 的最小值. 【详解】（1）证明：∴x ，y ，z 均为正数， ∴|x +z |∴|y +z |＝（x +z ）（y +z ）≥22xz yz ⋅＝4z xy ，当且仅当x ＝y ＝z 时取等号． 又∴0＜xy ＜1，∴44zxy xyz >，。

重庆市名校联盟高2020级高三第二次联考理科数学试题

重庆市名校联盟高2020级高三第二次联考理科数学试题

秘密★启用前重庆市名校联盟高三第二次联合考试理科数学试题（高2020级）（本试卷共2页，总分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、座位号及科类名称。

2．请将准考证条形码粘贴在右侧的[考生条形码粘贴处]的方框内。

3．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整、笔迹清楚。

4．请按题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。

5．保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =I ( ) A ．{}02，B ．{}12，C ．{}0D ．{}21012--，，，， 2．若(1i)2i z +=，则z =（ ） A ．1i --B ．1+i -C ．1i -D ．1+i3．已知向量()()1,3,2a m b ==-r r ，，且()a b b ⊥r r r+，则m =( )A ．−8B ．−6C ．6D ．84．“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（ ）A ．32fB ．322fC ．1252fD ．1272f5．以下茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x +y 的值为（ ）A ．7B ．10C ．13D ．166．已知)1,0(∈x ，令x x c x b a 3,cos ,5log ===，那么c b a ,,之间的大小关系为（）A ．c b a<< B ．c a b <<C ．a c b<< D ．b a c <<7．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m βP ”是“αβP ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，M ，N 是抛物线上两个不同的点．若|MF |+|NF |＝5，则线段MN 的中点到y 轴的距离为（ ） A ．3B ．C ．5D ．9．函数)sin()(ϕω+=x A x f （0>A ，0>ω，2π0<<ϕ）的部分图象如图所示，给出下列说法： ①函数)(x f 的最小正周期为π；②直线12π5-=x 为函数)(x f 的一条对称轴； ③点)0,3π2(-为函数)(x f 的一个对称中心； ④函数)(x f 的图象向右平移3π个单位后得到x y 2sin 2=的图象.其中正确说法的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E 、F 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（ ） A ．240种B ．188种C ．156种D ．120种11．已知双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，12,F F 为双曲线的左右焦点，P 为渐近线上一点且在第一象限，且满足120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，若01230PF F ∠=，则双曲线的离心率为（ ） A 2B ．2C ．2D ．312．已知定义在R 上的函数()2(0)x f x e mx m m =+->，当121x x +=时，不等式()()()()1201f x f f x f +>+恒成立，则实数1x 的取值范围是（ ）A ．(),0-∞B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,+∞ 第II 卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45 s ，黄灯时间为3 s ，绿灯时间为60 s ．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为____．14．函数()2log 03xxx f x x >⎧=⎨≤⎩，则14f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦__________. 15ABCC b c B A b a C B A ABC c b a ∆-=-+=∆则且（的对边，的三个内角分别是已知,sin )()sin )(sin 2,2,,,,面积的最大值为____________．16．已知四边形ABCD 为矩形, 24AB AD ==,M 为AB 的中点,将ADM ∆沿DM 折起,得到四棱锥1A DMBC -,设1A C 的中点为N ,在翻折过程中,得到如下有三个命题:①//BN 平面1A DM ，且BN 的长度为定值5； ②三棱锥N DMC -的最大体积为223； ③在翻折过程中，存在某个位置，使得1DM AC ⊥. 其中正确命题的序号为__________．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：（本大题共6小题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.若数列等差数列}{n a 和等比数列}{n b 满足*,32N n n b a n n n ∈+=+,（1）求}{n nb a +的前10项和；（2）若等比数列}{n b 的首项31=b ，求数列}{n a 和}{n b 的通项公式.18．某中学随机抽取部分高一学生调查其每日自主安排学习的时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成如图所示的频率分布直方图，其中自主安排学习时间的范围是[]0,100，样本数据分组为[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100．（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）从学校全体高一学生中任选4名学生，这4名学生中自主安排学习时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）．19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ， 已知13BCC π∠=，1BC =，12AB C C ==，点E 是棱1C C 的中点.（1）求证：1C B ⊥平面ABC ； （2）求二面角11A EB A --的余弦值；20．已知函数()2122ln 2f x x a x x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭. （1）当1=a 时，求()f x 的单调性；（2）已知函数()222e 24ln 2x a g x a x x a x+⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭在[]1,x e ∈时总有()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围.21．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点3(1,)，离心率为3，点A 为椭圆C 的右顶点，直线l 与椭圆相交于不同于点A 的两个点1122(,),(,)P x y Q x y . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）当•0AP AQ u u u r u u u r=时，求OPQ ∆面积的最大值；（Ⅲ）若直线l 的斜率为2，求证：APQ ∆的外接圆恒过一个异于点A 的定点.请从下面所给的22、23两题中选定一题做答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分. 22.（本小题满分10分）【选修4-4:极坐标与参数方程选讲】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系， 曲线1C ：24sin 20ρρθ-+=，曲线2C ：2cos 042πρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求曲线1C ，2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线1C 与y 轴交于A ，B 两点，P 为曲线2C 上任一点，求PA PB +的最小值. 23.（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】已知()11f x x ax =+--.（Ⅰ）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（Ⅱ）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.答 案选择题1-6：ADDDCA 7-12:BBCDBD 填空题13.512 14．1915. 16．①②解答题17. （原创题）（Ⅰ）2321711+ 5分（Ⅱ）n n b n a 3,2n == 12分18. 18．（Ⅰ）0.0125；（Ⅱ）分布列见解析，()1E X =. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用直方图中矩形面积的和为1，直接求解x 即可； （Ⅱ）依题意得14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭:，随机变量ξ的所有可能取值为0、1、2、3、4，由此能求出ξ的分布列及其数学期望． 【详解】（Ⅰ）由于频率分布直方图中所有矩形面积之和为1，可得()200.0250.00650.00321x ⨯+++⨯=，解得0.0125x =； 4分（Ⅱ）由频率分布直方图可知，全体高一学生中，自主安排学习时间少于20分钟的学生的频率为1200.01254⨯=，X 的可能取值为0、1、2、3、4，且14,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，()()441304,44kkk P X k C k k N -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅≤≤∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，随机变量X 的数学期望为()1414E X =⨯=． 12分 【点睛】本题考查频率直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．19．（1）证明见解析（2【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，即可证得1C B ⊥平面ABC .（2）以B 为原点，分别以BC u u u r ，1u u u u r BC 和BA u u u r的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面1AB E 和平面11A B E 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解； 【详解】（1）由题意，因为1BC =，12CC =，13BCC π∠=，∴1BC =又∴22211BC BC CC +=，∴1BC BC ⊥，∵AB ⊥侧面11BB C C ，∴1AB BC ⊥. 又∵AB BC B ⋂=，AB ，BC ⊂平面ABC ∴直线1C B ⊥平面ABC . 5分（2）以B 为原点，分别以BC u u u r ，1u u u u r BC 和BA u u u r的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有()0,0,2A，()1B -，1,22E ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，()1A -， 设平面1AB E 的一个法向量为()111,,n x y z =r()12AB =--u u u r，122AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ∵100n AB n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v，∴1111112012022x z x y z ⎧-+-=⎪⎨+-=⎪⎩，令1y =，则11x =，∴()n =r 设平面11A B E 的一个法向量为(),,m x y z =u r ，()110,0,2A B =-u u u u r，13,,222A E ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，∵11100m A B m A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v v u u u v v，∴203202z x y z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令y =1x =，∴()m =u r ， 2m =u r，n =r 4m n ⋅=u r r，∴cos ,m n m n m n ⋅===u r ru r r u r r 设二面角11A EB A --为α，则cos cos ,5m n α==u r r∴设二面角11A EB A --. 12分 【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20．（1）见解析 （2）()24e ,00,e 1⎛⎤-∞ ⎥-⎝⎦U 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，得到()()2x a x a f x x⎛⎫--⎪⎝⎭'=，即解不等式可求出结果；（2）先构造函数()()()2e2ln a F x f x g x ax x x+=-=--，分别讨论0a <，0a >两种情况，用导数的方法研究函数单调性，即可根据题意求出参数范围. 【详解】(1)())()()(是减函数，是增函数，在，和，在21210∞+x f 5分（2）构造函数()()()2e2ln a F x f x g x ax x x+=-=--， 当0a <时，由[]1,x e ∈，得0a ax x -≤，2e2ln 0x x--<，∴()0F x <. 当0a >时，()2222eax x a F x x-++'=， 因为[]1,x e ∈，所以220e x -≥，20ax a +>所以()0F x '>在[]1,e 上恒成立，故()F x 在[]1,x e ∈上单调递增.()max e 40e a F x a =--≤，解得24e e 1a ≤-，又0a >，所以24e0e 1a <≤-. 故a 的取值范围是()24e ,00,e 1⎛⎤-∞ ⎥-⎝⎦U . 12分 【点睛】本题主要考查判断函数的单调性，以及由不等式恒成立求参数的范围，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数单调性，最值等即可，属于常考题型.21．（I ）2214x y +=；（II ）2425；（III ）308,1717⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】 【详解】试题分析：(I)根据已知椭圆上的一个点和离心率，列方程组，可求得,a b 的值.（II ）当直线斜率不存在时，设出直线方程，代入椭圆方程，求出,P Q 两点坐标，代入0AP AQ ⋅=u u u r u u u r ，可求得直线方程，进而求得三角形的面积.当直线斜率存在时，设出直线方程，联立直线的方程和椭圆的方程 ，写出韦达定理，利用弦长公式和点到直线的距离公式计算得面积的表达式，并利用二次函数求最值的方法求得最大值.（III ）设出直线l 方程和外接圆的方程，分别联立直线的方程与圆、椭圆的方程，化简后的两个方程同解，通过对比系数可求得圆方程的表达式并求出定点坐标. 试题解析：解：（Ⅰ）由题意知：且222222{141c a a b c a b==++=，可得：2{1a b c ===，椭圆C 的标准方程为2214x y +=. 3分（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，设:=l x m ，与2214x y +=联立得：,,P m Q m ⎛⎛ ⎝⎝. 由于0AP AQ •=u u u r u u u r ，得()222104m m ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，解得65m =或2m =（舍去）. 此时85PQ =，OPQ ∆的面积为2425. 当直线l 的斜率存在时，设:l y kx m =+，与2214x y +=联立得：()()222418410kx kmx m +++-=.由>0∆，得22410k m -+>；且148221+=+k km x x ()()212241*41m x x k -=+.由于0AP AQ •=u u u r u u u r，得：()()()()()()2212121212221240x x y y k x x km x x m --+=++-+++=.代入()*式得：22125160k m km ++=，即65m k =-或2m k =-（此时直线l 过点A ，舍去）.PQ == 点O 到直线l的距离为：d =.OPQ ∆，将65m k =-代入得： OPQ ∆的面积为24242525.OPQ ∆面积的最大值为2425. 7分 （Ⅲ）设直线l 的方程为y kx m =+，联立方程2214xy +=得：()221716410x mx m ++-=①.设APQ ∆的外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=：联立直线l 的方程y kx m =+的：()()225420x M D E x m mE F ++++++=②.方程①②为同解方程，所以：()22411716542m m m D E m mE F-==++++. 又由于外接圆过点()2,0A ，则24D F +=-. 从而可得到关于,,D E F 的三元一次方程组：22412{2173201717D F DE m mEF m +=-+=+=-，解得：62417312{17122017m D m E m F -=+=+=-. 代入圆的方程为：2262431212200171717m m m x y x y -+++++-=.高2020级【理科数学试题】·第 11 页（共 2 页）整理得：()22241220324017171717m x y x y x y ⎛⎫+-+-++-= ⎪⎝⎭； 所以222412200{171717240x y x y x y +-+-=+-=，解得3017{817x y ==或2{0x y ==（舍去）. APQ ∆的外接圆恒过一个异于点A 的定点308,1717⎛⎫ ⎪⎝⎭. 12分 22（Ⅰ）因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以曲线1C 的直角坐标方程为22420x y y +-+=，因为)cos cos sin 14πρθρθρθ⎛⎫-+=++ ⎪⎝⎭， 所以曲线2C 的直角坐标方程为10x y ++=. 5分（Ⅱ）因为曲线1C 与y轴交于(0,2A，(0,2B 两点，点A 关于直线10x y ++=的对称点为()'31A --， 所以'PA PB A B ==+≥，所以PA PB + 10分 23．详解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭． 5分 （2）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥； 若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]0,2． 10分。

2020届高三数学上学期第二次质检试题理(含解析)

2020届高三数学上学期第二次质检试题理(含解析)

2020届高三数学上学期第二次质检试题理（含解析）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案选项涂在答题卡上）1.已知集合A＝{x|x＜1}，集合B＝{x|}，则A∩B＝（）A. （﹣∞，1）B. （﹣1，0）C. （0，1）D. （﹣1，1）【答案】C【解析】【分析】先利用对数函数的单调性求出集合,再根据交集运算即可求出．【详解】因为，A＝{x|x＜1}，所以．故选：C．【点睛】本题主要考查集合的交集运算以及对数函数的性质应用，属于基础题．2.复数满足，则（）．A. B. C. 1 D.【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式，即可求解，得到答案．【详解】由题意，复数，得，∴．故选B．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.计算的结果为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用诱导公式将各个三角函数化成锐角三角函数，再利用两角差的正弦公式即可求出．【详解】．故选：C．【点睛】本题主要考查诱导公式和两角差的正弦公式的应用，属于基础题．4.设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得，进而得到解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.详解：因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.5.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：设圆锥底面圆的半径为，高为，依题意，，，所以，即的近似值为，故选B.考点：《算数书》中近似计算，容易题.【此处有视频，请去附件查看】6.某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三视图可知几何体为三棱锥，根据三棱锥体积公式直接求得结果.【详解】由三视图可知，几何体为高为的三棱锥三棱锥体积：本题正确选项：【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够根据三视图确定几何体的底面积和高，属于基础题.7.平面向量与的夹角为，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：∵平面向量与的夹角为，，，∴，∴，故选A.考点：平面向量数量积的运算.8.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设出椭圆方程为：以及直线：，再根据椭圆中心原点到直线的距离公式列出方程，即可求出离心率．【详解】不妨设椭圆方程为：，则可设直线：，依题有，，即，，，故选：B．【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质和点到直线的距离公式的应用，以及离心率的求法，意在考查学生的数学计算能力．9.若实数，满足，，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用对数函数的性质求出m,n，l的范围，再比较l和n的大小关系.【详解】∵实数，满足，，，，．∴，，的大小关系为．故选B．【点睛】(1)本题主要考查对数函数的图像和性质及对数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)比较实数的大小，一般先和“0”比，再和“±1”比,比较时常用作差法.10.若函数恰好有三个单调区间，则实数取值范围为（）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】因为函数恰好有三个单调区间，所以有两个不等零点，则，解得或.故选D.11.已知双曲线C：（a＞b＞0）的两条渐近线与圆O：x2＋y2＝5交于M，N，P，Q四点，若四边形MNPQ的面积为8，则双曲线C的渐近线方程为A. y＝±xB. y＝±xC. y＝±xD. y＝±x【答案】B【解析】【分析】求出交点坐标，利用四边形为矩形面积为8，且根据双曲线的对称性，，结合可得，从而可得结果.【详解】依题意，不妨设点在第一象限，联立解得（其中），可知四边形为矩形且面积为8，且根据双曲线的对称性，，即，又因为，所以可得，解得（舍去），故所求渐近线方程为，故选B.【点睛】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的渐近线，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求双曲线的渐近线方程，关键是得到关于的齐次方程.12.若函数在上有两个不同的零点，则实数m的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令得，，所以直线与函数在上的图象有两个交点，利用导数判断出函数的单调性，画出图象，即可求出．【详解】令得，，所以直线与函数在上的图象有两个交点．因为，当时，，当时，，而，，，作出图象，由图可知，．故选：C．【点睛】本题主要考查函数零点，方程的根，函数图象之间交点个数的关系应用，以及利用导数研究函数的单调性与极值，意在考查学生的转化能力与数学计算能力．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.抛物线y2=2px（p＞0）上一点P（2，m）到其焦点F的距离为4，则p=______．【答案】4【解析】【分析】根据抛物线的定义可知，，即可求出．【详解】根据抛物线定义可知，准线方程为，所以，解得．故答案为：4．【点睛】本题主要考查抛物线定义和简单性质的应用，属于基础题．14. 如图,无人机在离地面高200m的A处,观测到山顶M处的仰角为15°、山脚C处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN为_________m.【答案】300【解析】试题分析：由条件，,所以,,,所以,,这样在中，,在中，，解得,中，，故填：300.考点：解斜三角形【思路点睛】考察了解三角形的实际问题，属于基础题型，首先要弄清楚两个概念，仰角和俯角，都指视线与水平线的夹角，将问题所涉及的边和角在不同的三角形内转化，最后用正弦定理解决高度.【此处有视频，请去附件查看】15.已知椭圆的左、右焦点为，，点P为椭圆上动点，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】设为椭圆上任意一点，根据向量数量积运算求，利用二次函数求值域即可.【详解】设为椭圆上任意一点,则，所以，因为P在椭圆上，所以，所以，即的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，椭圆的简单几何性质，属于中档题.16.如图,在矩形中,,,为边的中点.将三角形ADE沿翻折,得到四棱锥.设线段的中点为,在翻折过程中,有下列三个命题:①总有平面;②三棱锥体积的最大值为;③存在某个位置,使与所成的角为.其中正确的命题是______.（写出所有正确命题的序号）【答案】①②【解析】【分析】利用直线与平面平行的判定定理判断①的正误；求出棱锥的体积的最大值，判断②的正误；利用直线与平面垂直判断③的正误.【详解】取DC的中点为F，连结FM，FB，可得MF∥A1D，FB∥DE，可得平面MBF∥平面A1DE，所以BM∥平面A1DE，所以①正确；当平面A1DE与底面ABCD垂直时，三棱锥C﹣A1DE体积取得最大值，最大值为：，所以②正确．存在某个位置，使DE与A1C所成的角为90°．因为DE⊥EC，所以DE⊥平面A1EC，可得DE⊥A1E，即AE⊥DE，矛盾，所以③不正确；故答案为①②【点睛】本题考查命题的真假的判断，直线与平面平行，直线与平面垂直以及几何体的体积的最值的求法，考查空间想象能力以及计算能力．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=81，a3+a5=14．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=，若{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜．【答案】（1）an=2n-1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差数列的性质可知，S9=9a5=81，a3+a5=14，即可求出a3=5，a5=9，因而可求出公差，故可求得通项公式．（2）由的形式可知，采用裂项相消法求出数列{bn}的前n项和，即可证明．【详解】（1）设等差数列{an}的公差为d，由S9=9a5=81，得a5=9，又由a3+a5=14，得a3=5，由上可得等差数列{an}的公差d=2，∴an=a3+（n-3）d=2n-1；（2）由题意得，所以．【点睛】本题主要考查利用等差数列的性质求通项公式以及裂项相消法求和的应用，意在考查学生的数学计算能力，属于基础题．18.已知函数f（x）＝2sinx•cosx+2cos2x（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间（2）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a＝7，若锐角A满足f（），且b+c，求bc的值．【答案】（1）最小正周期,单调减区间为,Z （2）40【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化简成，即可利用周期公式求出周期以及利用代换法求出单调减区间；（2）先由可得，进而可求出锐角，再根据余弦定理即可求出．【详解】,,的最小正周期,令,Z,解得,的单调减区间为,Z；由,即,为锐角,，由余弦定理可知：，整理得：．【点睛】本题主要考查利用二倍角公式和辅助角公式进行三角恒等变换，余弦定理以及三角函数的性质应用，意在考查学生的转化能力和数学计算能力，属于中档题．19.如图1，梯形ABCD中，，，，，E为AD中点将沿BE翻折到的位置，如图2，为正三角形．（1）求证：平面平面BCDE；（2）求直线与平面所成角的正弦值；【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据面面垂直的判定定理，只需证明平面即可；（2）在平面内过E作ED的垂线，由平面，建立空间直角坐标系，由向量法即可求出直线与平面所成角的正弦值．【详解】证明：，，且，，平面，平面，平面BCDE，平面平面BCDE；解：在平面内过E作ED的垂线，由平面，建系如图．则，0，，1，，1，，0，．，，，设平面的法向量为，则，即，令，得，．与平面所成角的正弦值为．【点睛】本题主要考查面面垂直、线面垂直判定定理的应用以及利用向量法求直线与平面所成角，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力．20.已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，为椭圆上一动点（异于左右顶点），面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆相交于点两点，问轴上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）由面积最大值可得，又，以及，解得，即可得到椭圆的方程，（2）假设轴上存在点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，设，，线段的中点为，根据韦达定理求出点的坐标，再根据，，即可求出的值，可得点的坐标.【详解】（1）面积最大值为，则：又，，解得：，椭圆的方程为：（2）假设轴上存在点，是以为直角顶点的等腰直角三角形设，，线段的中点为由，消去可得：，解得：∴，，依题意有，由可得：，可得：由可得：，代入上式化简可得：则：，解得：当时，点满足题意；当时，点满足题意故轴上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系，斜率公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.21.已知函数为自然对数的底数.(1)当时,试求的单调区间;(2)若函数在上有三个不同的极值点,求实数的取值范围.【答案】（1）单调增区间为,单调减区间为；（2）【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用导数的知识求解；（2）依据题设运用导数的有关知识进行分析探求.试题解析：（1）函数的定义域为,.当时，对于恒成立，所以，若，若，所以的单调增区间为，单调减区间为.（2）由条件可知，在上有三个不同的根，即在上有两个不同的根，且，令，则，当单调递增，单调递减，的最大值为，而.考点：导数与函数的单调性的关系等有关知识的综合运用.【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以函数解析式为背景,精心设置了两个问题,旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求函数的单调区间,求解时运用求导法则借助的范围及导数与函数的单调性的关系,分别求出求出其单调区间；第二问则通过构造函数,运用求导法则及转化化归思想,分析推证建立不等式,从而求出,使得问题获解.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于两点，若，求值．【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标互化原则即可求得结果；（2）将直线参数方程代入曲线直角坐标方程，可求得和，根据直线参数方程参数的几何意义可知，代入可求得结果.【详解】（1）由，得，即（2）将直线的参数方程代入曲线的方程得：设是方程的根，则：，∴，又或【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程、直线参数方程的几何意义的应用，关键是能够根据几何意义将已知弦长表示为韦达定理的形式，构造出关于的方程，属中档题．2020届高三数学上学期第二次质检试题理（含解析）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案选项涂在答题卡上）1.已知集合A＝{x|x＜1}，集合B＝{x|}，则A∩B＝（）A. （﹣∞，1）B. （﹣1，0）C. （0，1）D. （﹣1，1）【答案】C【解析】【分析】先利用对数函数的单调性求出集合,再根据交集运算即可求出．【详解】因为，A＝{x|x＜1}，所以．故选：C．【点睛】本题主要考查集合的交集运算以及对数函数的性质应用，属于基础题．2.复数满足，则（）．A. B. C. 1 D.【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式，即可求解，得到答案．【详解】由题意，复数，得，∴．故选B．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.计算的结果为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用诱导公式将各个三角函数化成锐角三角函数，再利用两角差的正弦公式即可求出．【详解】．故选：C．【点睛】本题主要考查诱导公式和两角差的正弦公式的应用，属于基础题．4.设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得，进而得到解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.详解：因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.5.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：设圆锥底面圆的半径为，高为，依题意，，，所以，即的近似值为，故选B.考点：《算数书》中近似计算，容易题.【此处有视频，请去附件查看】6.某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三视图可知几何体为三棱锥，根据三棱锥体积公式直接求得结果.【详解】由三视图可知，几何体为高为的三棱锥三棱锥体积：本题正确选项：【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够根据三视图确定几何体的底面积和高，属于基础题.7.平面向量与的夹角为，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：∵平面向量与的夹角为，，，∴，∴，故选A.考点：平面向量数量积的运算.8.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设出椭圆方程为：以及直线：，再根据椭圆中心原点到直线的距离公式列出方程，即可求出离心率．【详解】不妨设椭圆方程为：，则可设直线：，依题有，，即，，，故选：B．【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质和点到直线的距离公式的应用，以及离心率的求法，意在考查学生的数学计算能力．9.若实数，满足，，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用对数函数的性质求出m,n，l的范围，再比较l和n的大小关系.【详解】∵实数，满足，，，，．∴，，的大小关系为．故选B．【点睛】(1)本题主要考查对数函数的图像和性质及对数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)比较实数的大小，一般先和“0”比，再和“±1”比,比较时常用作差法.10.若函数恰好有三个单调区间，则实数取值范围为（）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】因为函数恰好有三个单调区间，所以有两个不等零点，则，解得或.故选D.11.已知双曲线C：（a＞b＞0）的两条渐近线与圆O：x2＋y2＝5交于M，N，P，Q四点，若四边形MNPQ的面积为8，则双曲线C的渐近线方程为A. y＝±xB. y＝±xC. y＝±xD. y＝±x【答案】B【解析】【分析】求出交点坐标，利用四边形为矩形面积为8，且根据双曲线的对称性，，结合可得，从而可得结果.【详解】依题意，不妨设点在第一象限，联立解得（其中），可知四边形为矩形且面积为8，且根据双曲线的对称性，，即，又因为，所以可得，解得（舍去），故所求渐近线方程为，故选B.【点睛】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的渐近线，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求双曲线的渐近线方程，关键是得到关于的齐次方程.12.若函数在上有两个不同的零点，则实数m的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令得，，所以直线与函数在上的图象有两个交点，利用导数判断出函数的单调性，画出图象，即可求出．【详解】令得，，所以直线与函数在上的图象有两个交点．因为，当时，，当时，，而，，，作出图象，由图可知，．故选：C．【点睛】本题主要考查函数零点，方程的根，函数图象之间交点个数的关系应用，以及利用导数研究函数的单调性与极值，意在考查学生的转化能力与数学计算能力．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.抛物线y2=2px（p＞0）上一点P（2，m）到其焦点F的距离为4，则p=______．【答案】4【解析】【分析】根据抛物线的定义可知，，即可求出．【详解】根据抛物线定义可知，准线方程为，所以，解得．故答案为：4．【点睛】本题主要考查抛物线定义和简单性质的应用，属于基础题．14. 如图,无人机在离地面高200m的A处,观测到山顶M处的仰角为15°、山脚C处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN为_________m.【答案】300【解析】试题分析：由条件，,所以,,,所以,,这样在中，,在中，，解得,中，，故填：300.考点：解斜三角形【思路点睛】考察了解三角形的实际问题，属于基础题型，首先要弄清楚两个概念，仰角和俯角，都指视线与水平线的夹角，将问题所涉及的边和角在不同的三角形内转化，最后用正弦定理解决高度.【此处有视频，请去附件查看】15.已知椭圆的左、右焦点为，，点P为椭圆上动点，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】设为椭圆上任意一点，根据向量数量积运算求，利用二次函数求值域即可.【详解】设为椭圆上任意一点,则，所以，因为P在椭圆上，所以，所以，即的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，椭圆的简单几何性质，属于中档题.16.如图,在矩形中,,,为边的中点.将三角形ADE沿翻折,得到四棱锥.设线段的中点为,在翻折过程中,有下列三个命题:①总有平面;②三棱锥体积的最大值为;③存在某个位置,使与所成的角为.其中正确的命题是______.（写出所有正确命题的序号）【答案】①②【解析】【分析】利用直线与平面平行的判定定理判断①的正误；求出棱锥的体积的最大值，判断②的正误；利用直线与平面垂直判断③的正误.【详解】取DC的中点为F，连结FM，FB，可得MF∥A1D，FB∥DE，可得平面MBF∥平面A1DE，所以BM∥平面A1DE，所以①正确；当平面A1DE与底面ABCD垂直时，三棱锥C﹣A1DE体积取得最大值，最大值为：，所以②正确．存在某个位置，使DE与A1C所成的角为90°．因为DE⊥EC，所以DE⊥平面A1EC，可得DE⊥A1E，即AE⊥DE，矛盾，所以③不正确；故答案为①②【点睛】本题考查命题的真假的判断，直线与平面平行，直线与平面垂直以及几何体的体积的最值的求法，考查空间想象能力以及计算能力．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=81，a3+a5=14．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=，若{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜．【答案】（1）an=2n-1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差数列的性质可知，S9=9a5=81，a3+a5=14，即可求出a3=5，a5=9，因而可求出公差，故可求得通项公式．（2）由的形式可知，采用裂项相消法求出数列{bn}的前n项和，即可证明．【详解】（1）设等差数列{an}的公差为d，由S9=9a5=81，得a5=9，又由a3+a5=14，得a3=5，由上可得等差数列{an}的公差d=2，∴an=a3+（n-3）d=2n-1；（2）由题意得，所以．【点睛】本题主要考查利用等差数列的性质求通项公式以及裂项相消法求和的应用，意在考查学生的数学计算能力，属于基础题．18.已知函数f（x）＝2sinx•cosx+2cos2x（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间（2）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a＝7，若锐角A满足f （），且b+c，求bc的值．【答案】（1）最小正周期,单调减区间为,Z（2）40【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化简成，即可利用周期公式求出周期以及利用代换法求出单调减区间；（2）先由可得，进而可求出锐角，再根据余弦定理即可求出．【详解】,,的最小正周期,令,Z,解得,的单调减区间为,Z；由,即,为锐角,，由余弦定理可知：，整理得：．【点睛】本题主要考查利用二倍角公式和辅助角公式进行三角恒等变换，余弦定理以及三角函数的性质应用，意在考查学生的转化能力和数学计算能力，属于中档题．19.如图1，梯形ABCD中，，，，，E为AD中点将沿BE翻折到的位置，如图2，为正三角形．（1）求证：平面平面BCDE；（2）求直线与平面所成角的正弦值；【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据面面垂直的判定定理，只需证明平面即可；（2）在平面内过E作ED的垂线，由平面，建立空间直角坐标系，由向量法即可求出直线与平面所成角的正弦值．【详解】证明：，，且，，平面，平面，。

四省八校2020届高三上学期第二次教学质量检测考试试题 数学(理)【含答案】

四省八校2020届高三上学期第二次教学质量检测考试试题 数学(理)【含答案】

四省八校2020届高三上学期第二次教学质量检测考试试题数学（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1.若全集U＝R，集合A＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，B＝{x||x|≤2}，则如图阴影部分所表示的集合为A.{x|－2≤x<4}B.{x|x≤2或x≥4}C.{x|－2≤x≤－1}D.{x|－1≤x≤2}2.已知(1＋i)(1－ai)>0(i为虚数单位)，则实数a等于A.－1B.0C.1D.23.平面内到两定点A，B的距离之比等于常数λ(λ>0且λ≠1)的动点P的轨迹叫做阿波罗尼斯圆。

已知A(0，0)，B(3，0)，|PA|＝12|PB|，则点P的轨迹围成的平面图形的面积为A.2πB.4πC.94πD.32π4.a，b是单位向量，“(a＋b)2<2”是“a，b的夹角为钝角”的A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件5.设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S11＝55，则a6＝A.6B.5C.4D.36.已知131311log,5,644ba c===，则A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a7.已知4sin()45πα+=，则sin2α＝A.－725B.－15C.15D.7258.已知a＝(1，x)，b＝(y，1)(x>0，y>0)。

若a//b，则xyx y+的最大值为A.12 B.1 C.2 D.2 9.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为A.50π2π C.100π210.某中学《同唱华夏情，共圆中国梦》文艺演出于2019年11月20日在学校演艺大厅开幕，开幕式文艺表演共由6个节目组成，若考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目《文明之光》必须排在前三位，且节目《一带一路》、《命运与共》必须排在一起，则开幕式文艺表演演出顺序的编排方案共有A.120种B.156种C.188种D.240种1l.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为52，A ，B 是双曲线上关于原点对称的两点，M 是双曲线上异于A ，B 的动点，直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，若k 1∈[1，2]，则k 2的取值范围为A.[18，14]B.[14，12]C.[－14，－18]D.[－12，－14] 12.已知11ln x x e x e a x-->+对任意x ∈(0，1)恒成立，则实数a 的取值范围为 A.(0，e ＋1) B.(0，e ＋1] C.(－∞，e ＋1) D.(－∞，e ＋1]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

四省八校2020届高三上学期第二次教学质量检测考试 数学(理) Word版含答案

四省八校2020届高三上学期第二次教学质量检测考试 数学(理) Word版含答案

“四省八校”2020届高三第二次教学质量检测考试数学(理科)2019.11注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1.若全集U ＝R ，集合A ＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，B ＝{x||x|≤2}，则如图阴影部分所表示的集合为A.{x|－2≤x<4}B.{x|x ≤2或x ≥4}C.{x|－2≤x ≤－1}D.{x|－1≤x ≤2}2.已知(1＋i)(1－ai)>0(i 为虚数单位)，则实数a 等于A.－1B.0C.1D.23.平面内到两定点A ，B 的距离之比等于常数λ(λ>0且λ≠1)的动点P 的轨迹叫做阿波罗尼斯圆。

已知A(0，0)，B(3，0)，|PA|＝12|PB|，则点P 的轨迹围成的平面图形的面积为 A.2π B.4π C.94π D.32π 4.a r ，b r 是单位向量，“(a r ＋b r )2<2”是“a r ，b r 的夹角为钝角”的 A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件5.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 11＝55，则a 6＝A.6B.5C.4D.3 6.已知131311log ,5,644b a c ===，则A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a7.已知4sin()45πα+=，则sin2α＝ A.－725 B.－15 C.15 D.7258.已知a r ＝(1，x)，b r ＝(y ，1)(x>0，y>0)。

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全国名校联盟2020届高三质量检测第二次联考
理科数学
注意事项
1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡相应位置上。

2.请在答题卡上作答，写在本试卷上效。

第I 卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{x|x 2－x ＋2>0}，则A ∩B ＝
A.{－1，0}
B.{0，1}
C.{－1，0，1}
D.{－2，－1，0，1，2}
2.若复数z ＝(m ＋1)＋(2－m)i(m ∈R)是纯虚数，则63i z
+= A.3 B.5 C.5 D.35
3.已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a ⊂α，b ⊂β，a//β，b//α，则“a//b ”是“α//β”的
A 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.函数()221
x x x f x =+-的图象大致为
5.马林·梅森(Marin Mersenne ，1588－1648)是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物。

梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p －1作了大量的计算、验证工作，人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2p －1(其中p 是素．．数．
)的素数，称为梅森素数。

若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是
A.3
B.4
C.5 6
6.小明有3本作业本，小波有4本作业本，将这7本作业本混放在－起，小明从中任取两本。

则他取到的均是自己的作业本的概率为
A.17
B.27
C.13
D.1835
7.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 8＝0，a 3＝－3，则S 9＝
A.9
B.12
C.－15
D.－18
8.在平面直角坐标系xQy 中，已知椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为F(c ，0)，若F 到直线2bx －ay ＝0的距离为2
2c ，则E 的离心率为 3 B.12
2 2 9.已知函数()cos(2)3f x x π
=+，则下列结论错误的是
A.函数f(x)的最小正周期为π
B.函数f(x)的图象关于点(
12π，0)对称 C.函数f(x)在(3
π，23π)上单调递增 D.函数f(x)的图象可由y ＝sin2x 的图象向左平移
12π个单位长度得到 10.已知函数f(x)＝e b －x －e x －b ＋c(b ，c 均为常数)的图象关于点(2，1)对称，则f(5)＋f(－1)＝
A.－2
B.－1
C.2
D.4
11.已知双曲线E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为；F 1，F 2，P 是双曲线E 上的－点，且|PF 2|＝2|PF 1|。

若直线PF 2与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为PF 2的中点，则
双曲线E的渐近线方程为
A.
1
3
y x
=± B.
1
2
y x
=± C.2
y x
=± D.3
y x
=±
12.数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面。

一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线C：(x2＋y2)3＝16x2y2恰好是四叶玫瑰线.
给出下列结论：
①曲线C经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；
②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；
③曲线C围成区域的面积大于4π；
④方程(x2＋y2)3＝16x2y2(xy<0)表示的曲线C在第二象限和第四象限
其中正确结论的序号是
A.①③
B.②④
C.①②③
D.②③④
二、填空题：本题共4小题。

每小题5分，共20分。

13.已知向量a＝(1，1).}，|b|＝2，且a与b的夹角为3
4
π
，则a·(a＋b)＝
14.定义在R上的函数f(x)满足：①对任意的x，y∈R，都有f(x－y)＝f(x)－f(y)；②当x<0时，f(x)>0，则函数f(x)的解析式可以是。

15.设数列{a n}的前n项和为S n，且2S n＝3(a n＋1)，若a10＝ka8，则k＝。

16.已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，且∠PAB＝90°。

若四棱锥P －ABCD的五个顶点在以4为半径的同－球面上，当PA最长时，则∠PDA＝；四棱锥P－ABCD的体积为。

(本题第一空2分，第二空3分)
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(－)必考题：共60分。

17.(12分)
我国在贵州省平塘县境内修建的500米口径球面射电望远镜(FAST)是目前世界上最大单口径射电望远镜。

使用三年来，已发现132颗优质的脉冲星候选体，其中有93颗已被确认为新发现的脉冲星，脉冲星是上世纪60年代天文学的四大发现之一，脉冲星就是正在快速自转的中子星，每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间(脉冲星的自转周期)是－定的，最小小到0.0014秒，最长的也不过11.765735秒。

某－天文研究机构观测并统计了93颗已被确认为新发现的脉冲星的自转周期，绘制了如图的频率分布直方图。

(1)在93颗新发现的脉冲星中，自转周期在2至10秒的大约有多少颗？
(2)根据频率分布直方图，求新发现脉冲星自转周期的平均值。

18.(12分)
在∠ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足3a＝3bcosC－csinB。

(1)求B；
(2)若b＝23，AD为BC边上的中线，当△ABC的面积取得最大值时，求AD的长。

19.(12分)
在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，BC＝BB1＝4，AC＝AB1＝25，且∠BCC1＝60°。

(1)求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1：
(2)设二面角C－AC1－B的大小为θ，求sinθ的值。

20.(12分)
已知动圆Q经过定点F(0，a)，且与定直线l：y＝－a相切(其中a为常数，且a>0)。

记动圆圆心Q的轨迹为曲线C。

(1)求C的方程，并说明C是什么曲线？
(2)设点P 的坐标为(0，a)，过点P 作曲线C 的切线，切点为A ，若过点P 的直线m 与曲线C 交于M ，N 两点，则是否存在直线m ，使得∠AFM ＝∠AFN ？若存在，求出直线m 斜率的取值范围；若不存在，请说明理由。

21.(12分)
已知函数21()(1)ln 2
f x ax a x x =+--，a ∈R 。

(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若a ∈(－∞，1)，设g(x)＝xe x －x －lnx ＋a ，证明：12(0,2],(0,)x x ∀∈∃∈+∞，使f(x 1)－g(x 2)>2－ln2。

(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题号后的方框涂黑。

22.[选修4－4：极坐标与参数方程](10分)
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos 23sin 2
x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(α为参数)。

以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系。

(1)设直线l 的极坐标方程为12π
θ=，若直线l 与曲线C 交于两点A 、B ，求AB 的长；
(2)设M 、N 是曲线C 上的两点，若∠MON ＝
2
π，求△OMN 面积的最大值。

23.[选修4－5：不等式选讲](10分) 已知不等式|x ＋1|＋|x|＋|x －1|≥|m ＋1|对于任意的x ∈R 恒成立。

(1)求实数m 的取值范围；
(2)若m 的最大值为M ，且正实数a ，b ，c 满足a ＋2b ＋3c ＝M 。

求证
112322a b b c
+≥++。

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