2008-2009广工线性代数试题及答案B

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《2008线性代数》试卷参考答案(不完整版)

2 3 10
0
3
C1 证明：β = AZ 有解，Z0 = ⋮ ,则β = C1α1 + ⋯ + Cnαn，故（A，β）的列向 Cn 量组与 A 的列向量组等价，从而秩相等反过来，（A，β）的列向量组与 A 的列向量组等价故β可用α1， ⋯ ，αn线性表示令β = C1α1 + ⋯ + Cnαn,则 Z0= C1 ⋮ 为 AZ=β的解 Cn
1 1 = (a + 2)(a − 1)2 a
当 a≠ −2, a ≠ 1 时，有唯一解；当 a= 1时，无解；当 a=-2 时，有无数解。方程为-2x1+x2+x3=2，,x1+x2-2x3=4 对应齐次方程组基础解为 −1， − 1，1
T
求一特解为 x1=3，x2= 3 ，x3=0
2
10
−1 故通解为 a −1 + −1 六、证明题
n −2 n −1
n
=nn −1
1 + n +n + ⋯+ 0 0 ⋮ 0 0
n+1 2
n −1
0 0 0 0 ⋮ ⋮ 0 −1 −1 0
n+1 2
0 −1 ⋮ 0 0
n
−1 0 ⋮ 0 0
n
=nn −1 五、 a 1 解： A = 1 a 1 1
(−1)n+
n (n +1) 2
= nn −1
(−1)n(n+1)
1 1 1 3、解： A = ⋮ 1 1
2 1 1 ⋮ 1 1−n
3 1 1 ⋮ 1−n 1 ⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ ⋯
2 n
⋯ n−2 n−1 ⋯ 1 1 ⋯ 1 1−n ⋱ ⋮ ⋮ ⋯ 1 1 ⋯ 1 1

08级《线性代数与空间解析几何》试题B参考答案

《线性代数与空间解析几何》试题(B)参考答案与评分标准(090209)一、单项选择（每小题3分，共15分）1.D2.A3.B4.A5.C二、填空题（每小题2分，共10分）1. 3,2. 0,3. 2240x y z ⎧+=⎨=⎩, 4. 43-三、计算题（每小题10分，共30分）1.解 1201120112011001471201120112010001120112001200122322012400000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3 分向量组的秩为3，一个最大无关组123,,ααα7(22)+ 分 4132ααα=-。

9 分2.解 21111(2)(1)11λλλλλ=+-，3 分12,4λλ≠≠- 当且时方程组有唯一解分2λ=-当时，方程组无解6 分(结论1分，过程1分)1λ=当时，方程组有无穷多解,7 分通解12111010001x k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭9 分 3.解二次型对应的矩阵为122224242A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭1 分 2122||224(2)(7)242I A λλλλλλ---=+-=-+--+，特征值为1232,7λλλ===-3 分12122122222,244000,1,024400001I A λλαα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=-→== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭当时基础解系，5 分 82220117,254011,22450002I A λλα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=--→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭3当时基础解系，7 分222123132,,2273203X CY C f y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===+- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭经过正交化、单位化，正交变换标准型 9 分四、计算题（每小题8分，共24分）1.解，设所求平面的法向量为n ，则12(6,3,2),(4,1,2)n n n n ⊥=-⊥=-2 分12632(4,4,6)412i j kn n n =⨯=-=---取，5 分所求的平面方程 2230x y z +-=。

线性代数期末考试(B卷)及答案

北京师范大学XX 分校2007-2008学年第一学期期末考试（B 卷）开课单位：应用数学系课程名称：线性代数任课教师：__ __ 考试类型：_ 闭卷_ 考试时间：__120 __分钟学院___________ 姓名___________ 学号______________ 班级____________试卷说明：（本试卷共4页，满分100分）------------------------------------------------------------------------------------------------------一、填空（每空3分，共30分）1、行列式123345__0____567= 2、行列式sin cos cos sin _______+-=-1313113xxxx 3、设行列式 -5 11 1 31 0 2D =1，则______-+=21222350A A A4、设A ，B 均为三阶方阵且||,||A B ==45，则||______=20A B5、设A 为3阶方阵，且A =2，则A-=12 46、设矩阵A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12311102103，则A 的秩()R A = 37、已知3阶矩阵A 的伴随矩阵的行列式A *=9，则=A 38、向量组,,,αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1234111322023001线性相关还是无关线性相关试卷装订线9、设向量()(),,,,,x αα==1232963线性相关，则___1____=x10、设5元方程组=0A x 的系数矩阵A 的秩为3，则其解向量的秩应为 2二、选择题（每小题3分，共15分）1、行列式13632196233418第2行第2列元素的代数余子式A =22（ D ）（A ）6；（B ）9；（C ）12；（D ）15。

广东海洋大学往年线性代数期末考试试题(含A,B卷)汇编

广东海洋大学2008——2009学年第1学期《线性代数》课程试题课程号：1920017√考试√A 卷√闭卷□考查□B 卷□开卷题号一二三四五六七八九十总分阅卷教师各题分数361610*********实得分数一、填空（每题4分，共36分）1.设五阶行列式|a ij |=3(i ,j =1,2,3,4,5)，先交换1、5两行；再转置；最后用2乘所有元素,其结果为___________。

2.若矩阵A 有r 个列向量线性无关,则r(A)r;3．设A 为四阶矩阵，若|A|=2，则|AA *|=4.设向量组I 的秩为r 1,向量组II 的秩为r 2,且向量组I 可由向量组II 线性表示,则r 1,r 2的关系为5．设)0,1,1(1-=α，)2,1,1(2=α,)1,1,1(3=α则r (321,,ααα)=.6．设矩阵A 为正交矩阵，则|A|=_____。

7.设A,B 都是n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P,使P 1-AP=B，则称矩阵A 与B______。

8.已知矩阵(a ij )33⨯的特征值分别为2，3，4，则|a ij |=_______。

9.向量(1,2,2,3),(3,1,5,1)αβ==的夹角为___________。

二行列式计算（每题8分，共16分）12班级：姓名：学号：试题共3页加白纸5张密封线GDOU-B-11-3023111131111311113000000000000x y x y x yy x三、已知矩阵A=，求（E-A）1-（10分）四、求如下齐次线性方程组的基础解系与通解（15分）五、求下面矩阵的特征值与特征向量（12分）六、证明：若n 维向量12,,,r ααα 是一组正交向量组，则12,,,r ααα 线性无关。

（11分）六、证明：若向量组12,,,,s αααβ 线性相关，而向量组12,,,s ααα 线性无关，则向量β可由12,,,s ααα 线性表示，且表示法唯一。

（11分）101210325⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭123221343⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1234123412340253207730x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩460350361A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭广东海洋大学2010——2011学年第一学期《线性代数》课程试题课程号：19221201★考试★A 卷★闭卷□考查□B 卷□开卷题号一二三四五六总分阅卷教师各题分数40121020108100实得分数一、填空（每小题4分，共40分）（1）;54413522135）：或所带的符号是（展开式中，-+a a a a a D （2）A 为三阶方阵，1-A =2，A 2=；（3）05402021=k k ，k =；（4）*A 是可逆4阶矩阵A 的伴随矩阵，R(A)=1，R(*A )=；（5）=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡4010100001；（6）n 阶矩阵A 可逆，其标准形是；（7）T T )3,3,2(2,)3,3,1(-=+-=-βαβα，α=；（8）向量组：γβα,,线性无关，向量组：γαβαα++,,的线性相关性是：；（9）n 元齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩r(A)=r ，其解空间的维数是；（10）。

2008-2009第二学期线性代数试卷及标答(B卷)

12n n n b b b ；12312⎛⎫ ⎪，2⎛武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称:线性代数（ A 卷）一、填空题（每小题3分，共15分）1、2A E +；2、1；3、4；4、3；5、 0.二、选择题（每小题3分，共15分）1、C2、C3、A4、D 5 、B三、解答题（每小题7分，共35分）1、 2212111nn nn i i n b b a b b D a b b a b =+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦+∑ ………………………………………………………（3分） 11n i iaa b a =⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑ ………………………………………………………………（6分）11n n i i a b a -=⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑…………………………………………………………………………………（7分） 2、因为()123240,312402231024A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭……………………………………………………………（2分） 553100444333010444131001222r r ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪−−→−−→- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭………………………………………………（6分）所以 X=55313334262-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭………………………………………………………………（7分） 3、因 22|3|3||T AA A =29||A = ……………………………………………………（5分）2229()a b =+。

……………………………………………………（7分）4、设10,T X α= 即123220x x x ++= ……………………………………… （2分）解得基础解系12221,001ηη--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

……………………………………… （4分）Schmidt 正交化12,ηη，得到222132222252[,]41,[,]501ηααηαηααα⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭即为所求。

线性代数B期末试卷及答案

2008 – 2009学年第二学期《线性代数B 》试卷3．设方阵B 为三阶非零矩阵，且AB=O ，则。

4。

设向量组线性无关，向量β不能由它们线性表示，则向量组β的秩为。

5．设A 为实对称阵，且｜A |≠0，则二次型f =x T A x 化为f =y T A -1 y 的线性变换是x =．６．设的两组基为,,;T ,,则由基到基的过渡矩阵为。

6小题,每小题3分，满分18分) n 为n 阶行列式，则D n ＝0的必要条件是［］。

（A ）D n 中有两行元素对应成比例; (B ） D n 中各行元素之和为零；（C) D n 中有一行元素全为零；(D)以D n 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解． 2．若向量组α，β，γ线性无关，α,β，σ线性相关,则[ ］。

（A)α必可由β，γ，σ 线性表示；（B) β必可由α，γ，σ 线性表示; （C)σ必可由β,γ，α 线性表示; （D ）γ必可由β，α,σ 线性表示.３．设3阶方阵A 有特征值0，－1，1,其对应的特征向量为P 1，P 2，P 3，令P ＝（P 1,P 2，P 3），则P －1AP ＝[ ］。

(A ）；（B ）；（C) ；（D ）．４．设α1,α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是[ ]。

(A)α1，α2,α3 - α1；（B)α1，α1+α2，α1+α3；（C)α1+α2,α2+α3，α3+α1; （D)α1-α2，α2-α3，α3—α1。

５．若矩阵A 3×4有一个3阶子式不为0,则A 的秩Ｒ（）=[ ］.(A ）1;(B ）2；（C ）3；(D ）4．６．实二次型f ＝x T Ax 为正定的充分必要条件是［ ]。

（A ） A 的特征值全大于零；（B ） A 的负惯性指数为零；（C) ｜A | 〉 0 ；（D ）R （A ） = n 。

三、解答题（共5小题，每道题8分，满分40分） . ２.求向量组,，，的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表出。

2008级《线性代数》考题(2009年12月25用)

2008级《线性代数》考题（2009年12月用）(附答案)一. 填空题（每空3分，共15分）1. 设矩阵,且,则 202. 二次型是正定的，则t的取值范围是3. 为3阶方阵，且，则4. 设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是5. 设A为n阶方阵，为A的n个列向量，若方程组只有零解，则向量组()的秩为 n二. 选择题（每题3分，共15分）6. 设线性方程组，则下列结论正确的是（A）(A)当取任意实数时，方程组均有解 (B)当a＝0时，方程组无解(C) 当b＝0时，方程组无解 (D)当c＝0时，方程组无解7. A.B同为n阶方阵，则（C）成立(A) (B)(C) (D)8. 设，,,则（C）成立(A) (B) (C) (D)9. ,均为n阶可逆方阵，则的伴随矩阵（D）(A) (B) (C) (D)10. 设A为矩阵，＜，那么A的n个列向量中（B）（A）任意r个列向量线性无关(B) 必有某r个列向量线性无关(C) 任意r个列向量均构成极大线性无关组(D) 任意1个列向量均可由其余n－1个列向量线性表示三. 计算题（每题7分，共21分）11. 设。

求12. 计算行列式 ()13. 已知矩阵与相似，求a和b的值()四. 计算题（每题7分，共14分）14. 设方阵的逆矩阵的特征向量为，求k的值(或)15. 设,,,（1）问为何值时，线性无关（2）当线性无关时，将表示成它们的线性组合()五. 证明题（每题7分，共14分）16. 设3阶方阵，的每一列都是方程组的解（1）求的值（2）证明： ( 略 )17. 已知为n维线性无关向量，设，证明：向量线性无关六. 解答题（10分）18．方程组，满足什么条件时，方程组（1）有惟一解（2）无解（3）有无穷多解，并在此时求出其通解 ( (1)且;(2);(3),解略)七. 解答题（11分）19. 已知二次型，试写出二次型的矩阵，并用正交变换法化二次型为标准型。

(,其余略)。

《线性代数(B)》期末考试试题(A卷)及答案

七、设
，， .
1.用施密特法把正交化为 .
2.把单位化为 .（9分）
八、求下面矩阵的特征值和特征向量：
.（9分）
九、设矩阵为正交阵证明也是正交阵，且或（-1）（7分）
十、设，且向量组线性无关，证明向量组线性无关。（9分）
2007-2008学年第一学期《线性代数(B)》期末考试试题(A卷)
……a5＝2a1+3a2－3a3
七、类似于课本114页例2
（1）b1＝(1，1，1)Tb2＝(－1，0，1)Tb3＝(1/3，－2/3，1/3)T
（2）r1＝(1/√3)(1，1，1)Tr2＝(1/√2)(－1，0，1)Tr3＝(1/√6)(1，－2，1)T
八、课本119页例7
九、AAT=E，AA-1=E A-1= AT
一、单项选择题：
1~5：CBBCD
二、填空题：
1. 2，4，3
2. 0
3. 3，35
4.≠4
5. x2+3y2+4xy-10yz
三、计算n阶行列式：
[x+2(n-1)](x-2)n-1类似课本27页8题（2）
四、解线性方程组：
课本79页14（1）
五、课本56页15题
六、类似于课本93页例11
把A化为行阶梯矩阵，R（A）＝4；再化为行最简形，得最大无关组（a1，a2，a4）；
A.存在不全为零的数，使；
B.所给向量组中任意两个向量都线性无关；
C.所给向量组中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示；
D.所给向量组中任意一个向量都不能用其余向量线性表示.()
共6页第1页
二、填空题：（每小题3分，共15分.）
1.已知是五阶行列式中的一项且带正号，其中，则

09级《线性代数与空间解析几何》试题B参考答案

《线性代数与空间解析几何》试题(B)参考答案与评分标准(100221)一、单项选择（每小题2分，共10分）1.C2.A3.B4.D5.C 二、填空题（每小题2分，共12分）1.800,2.O,3. 4,4. 20y z +=,5. 4I -,6. 5. 三、计算题（每小题10分，共30分）1.解 123111111111001/2(,,,)022102210101/2110102120011A αααβ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪==→→→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，6 分向量组秩为3，8 分 1231122βααα=-+ 10分2.解 2111||432(1)(3)003I A λλλλλλ+---=-=---，特征值为1231,3λλλ===4 分21121011,422001,2(0)0020000I A k k λξ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-→=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭当时特征向量，6 分 411101/213,3402013,6(0)0000002I A k k λξ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=→-=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当时特征向量，8 分 A A 只有两个线性无关的特征向量，因此不可与对角矩阵相似。

10 分3.解二次型对应的矩阵11212t A t -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭１５3 分 212110,10||11t P P t t t =>==->⇔<，5 分311412(54)005125t P tt t t -==-+>⇔-<<-8 分故二次型为正定的充要条件为405t -<<。

10 分四、计算题（每小题8分，共24分）1.解 22(23)()2||||3||||9u v a b a b a a b b ⋅=+⋅-=+⋅-=-,222||||()()||||2||||3v a b a b a a b b =-⋅-=-⋅+=, ⋅=-=Pr j ||||v u v v u (3+3+2)2.解 110(1,1,2)111i j ks ==---,3 分 1(0,3,1)n = , 1112(5,1,3)031i j kn s n =⨯=--=-6 分所求的平面方程 5360x y z -+-=。

2008-2009(1)高等数学试题(B卷)(90)答案

广州大学2008-2009学年第一学期考试卷参考答案课程：高等数学（B 卷）（90学时）考试形式：闭卷考试一．填空题（每空2分，本大题满分16分）1．设⎩⎨⎧≤>=002x x x x x f ,,)(，则=-))2((f f 4 .2. 若函数 ⎩⎨⎧>+≤=112x b ax x x x f ,,)( 在1=x 处可导，则=a 2 ，=b -1 .3．0=x 是x xy sin =的第一类间断点，是xy 1si n =的第二类间断点。

4．已知10=')(x f ，则=--+→hh x f h x f h )()(lim0002 .5．设)(),(x G x F 是)(x f 的两个原函数，则='=')()(x G x F )(x f ，='-])()([x G x F ___0___.二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分)学院专业班级姓名1. 当0→x 时, 12-x e是2x 的( C )无穷小.(A) 高阶 (B) 低阶 (C) 同阶 (D) 等价 2. 函数3x y =在点(1,1)处的切线方程为 ( B ).(A) 23--=x y (B) 23-=x y (C) 23+=x y (D) 13+-=x y 3．设)(x f 的一个原函数是x cos ，则='⎰dx x f x )( ( A ). (A) C x x x +--cos sin (B) C x x x +-cos sin (C) C x x x +-sin cos (D) C x x x ++-sin cos .4. 若函数)(x f 在点0x x =可导是)(x f 在点0x x =连续的（ A ）。

(A) 充分条件 (B) 必要条件 (C) 充要条件 (D) 无关条件.5.设)(x f 在区间I 内具有二阶导数，且在I 内0>'')(x f ，则)(x f 在I 内是( B ).(A) 凸函数 (B) 凹函数 (C) 周期函数（D ）单减函数三．解答下列各题（每小题6分，本大题满分30分）1．2211xx y +-=ln ，求dy . 解：)ln()ln(2211x x y +--=221212x xx x y +--=' 144-=x x………………………………………………………………..4分 dx x xdx y dy 144-='=∴……………………………………………….6分2．=y x e 2，求n 阶导数).()(0n y .解：,xe y 22=',x e y 222='',x e y 232=''',)()(x n n e x y 22=∴……………………………………………………………4分 .)()(n n y 20=∴………………………………………………………………..6分3．设曲线参数方程为)(sin cos 0>>⎩⎨⎧==b a tb y ta x ，求dxdy . 解：dt dxdt dy dx dy =………………………………………………………………….3分 t ab t a t b cot sin cos -=-=……………………………………………….6分4．求321x x x )sin (lim +→.解：22223123211x x xx x x x x sin sin)sin (lim )sin (lim ⋅→→+=+2231201⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=x x x x x sin sin )sin (lim …………………………………………….3分3e =…………………………………………………...……………………….6分5．求⎪⎭⎫⎝⎛--→x x x ln lim 1111.解：=⎪⎭⎫⎝⎛--→x x x ln lim 1111⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+→x x x x x ln )(ln lim 111……………………………….2分 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+=→x x x x x 1111ln lim⎪⎭⎫⎝⎛+--+=→111x x x x x ln lim ………………………………………………………4分 ∞= …………………………………………………………..…..6分四．计算下列积分（每小题6分，本大题满分18分）1．xdx x 22⎰cos . 解：x d x xdx x 221222sin cos ⎰⎰=()dx x x x x ⎰⋅-=222212sin sin ……………………………………………..2分 ()x d x x x 22212cos sin ⎰+= ()xdx x x x x 222212cos cos sin ⎰-+=……………………………………4分 C x x x x x +⎪⎭⎫⎝⎛-+=22122212sin cos sin ………………………….…..…..6分 2．⎜⎠⎛-220221dx xx .解：令t x sin =，则tdt dx cos =⎜⎠⎛-=⎜⎠⎛-40222202211πtdt t t dx x xcos sin sin ……………………..………....2分 dt t ⎰=402πsin ……………………..…………………………………………..3分dt t ⎰-=4221πcos 40422π⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t sin ………………………………………………………….….5分.418-=π……………………..……………………………………………….6分3．⎰∞++12211dx x x )(.解：⎰∞++12211dx x x )( ⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=122111dx x x…………………………………………………...….2分 +∞⎪⎭⎫⎝⎛--=11x x arctan ……………………..………………………………....4分 .41π-=………………………………………………………………………..6分六．（本题满分6分）计算由抛物线2x y =与x y =所围图形绕x 轴旋转一周所得立体的体积. 解：根据旋转体体积公式知dx x x V ⎰-=142)(π……………………..…………………………………3分105353⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=x x π π152=………..………………………………………………………………6分七．（本题满分7分）1．证明当0>x 时，有x x x >++212)ln(. 证明：令x x x x f -++=212)ln()(，………………………………...2分则当0>x 时，011112>+=-++='xx x x x f )(，……………………….4分x x x x f -++=212)ln()(在),(+∞0上严格单调递增。

08-09年第二学期《线性代数Ⅱ》课程考试试卷B答案

2008─2009学年第二学期《线性代数Ⅱ》课程考试试卷B 答案注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟一、单选题 (每小题 2 分，共 20 分)1.设A 为n 阶方阵，且2,n ≥则5A -等于（ A ）；(A ) (5)n A -； (B ) 5A -； (C ) 5A ； (D ) 5nA .2.设,,A B C 为同阶方阵，则()T ABC 等于 ( B )；(A ) T T T A B C ； (B ) T T T C B A ； (C ) T T T C A B ； (D ) T T T A C B .3.设矩阵1122A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则和A 等价的矩阵是( B )；(A ) 1022A ⎛⎫= ⎪⎝⎭；(B ) 1313A ⎛⎫= ⎪⎝⎭；(C ) 111222A ⎛⎫= ⎪⎝⎭；(D ) 112222A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭. 4.若向量组s ααα,...,,21，(2s )线性无关的充要条件是（ D ）； (A ) s ααα,...,,21 均不为零向量；(B ) s ααα,...,,21中任意两个向量不成比例； (C ) s ααα,...,,21任意s-1个向量线性无关；(D ) s ααα,...,,21中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示.5.已知12,ββ为非齐次线性方程组Ax b =两个不同的解，12,αα为其导出组0Ax =的一个基础解系，12,c c 为任意常数，则Ax b =的通解可以表示为（ A ）；(A ) )()(212121121αααββ++++c c ；(B ) )()(212121121αααββ+++-c c ；(C ) )()(212121121ββαββ-+++c c ；(D ) )()(212121121ββαββ+++-c c . 6.设A 为n 阶方阵，且032=-+E A A则=+-1)2(E A （ A ）；(A ) E A -；(B ) E A +；(C ))(31E A -；（D ）)(31E A +. 7．设n 阶可逆方阵A 有一个特征值为3，对应的特征向量为x, 则下列等式中不正确的是（ B ）；()3A Ax x = 1()3B A x x -= 11()3C A x x -= 2()9D A x x =.8.写出二次型1231213(,,)22f x x x x x x x =+的规范形（ C ）；（A ）221222y y -；（B ）221222y y +；（C ）2212y y -；（D ）2212y y +. 9.设3阶矩阵A 与B 相似,A 的特征值为4,2,3. 则B 等于（ D ）；1()24A ； 1()9B ； ()9C ； ()24D .10.二次型212311323(,,)44f x x x x x x x x =++的矩阵为（ D ）；(A ) 104004440⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；(B ) 1022002000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；(C ) 1002000220⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；(D ) 102002220⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.二、计算下列行列式 (每小题6分，共12分)1．123233249499367677=02．1115115115115111=512三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名…………………….………….………………试题不要超过密封线………….………………………………三、计算矩阵 (共20分)设111210101A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，123120001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭求（1）A AB 23-；(5分) （2）B A T；（5分）（3）判断矩阵A 是否可逆？若可逆，求1-A .（10分）解：（1）242126124AB ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ (2)2421114108323126221018181241011610AB A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (5)（2）12112336411012000310*******TA B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭………10 （3）40A =-≠，故A 可逆，……………………13 并且**1111222, (17)113111111222444113111 (204)222113444A A A A ----⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪===- ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭四、(每小题4分，共16分)已知向量组13125α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭21112α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭32013α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭41101α⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(1)若123430αααβ+--=，求β；(2)求向量组的秩),,,(4321ααααR ；(3)求向量组4321,,,αααα的一个最大无关组； (4)将其余向量组用此最大无关组线性表示.解：（1）1135383193β⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (4)（2）31211011110101122110000052310000A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪=→⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭向量组的秩),,,(4321ααααR =2 (8)（3）向量组4321,,,αααα的一个最大无关组为12,αα (12)（4）312412,2αααααα=-=- (16)三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名…………………….………….………………试题不要超过密封线………….………………………………五、(共15分)求下列非齐次线性方程组的通解及对应的齐次方程组的基础解系：123451234523451234513235226254337x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=-⎧⎪+++-=-⎪⎨+++=⎪⎪+++-=-⎩ 解111111101153321135012262012262000000543317000000-----⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪→⎪ ⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭因R(A)=R(A,b)=2 5.故有无穷解. (5)原方程组的同解方程组为13452345532262x x x x x x x x =++-⎧⎨=---+⎩ (7)特解*32,000η-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (9)齐次的基础解系123115226,,100010001ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (13)通解为*112233k k k ηηξξξ=+++(123,,k k k 为任意常数) (15)六、(共17分) 设矩阵100032023A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.(1)求矩阵A 的特征值和特征向量；（2）求一正交矩阵P ，使得AP P 1-为对角矩阵.解：（1）10032(1)(1)(5)0023A E λλλλλλλ--=-=---=- 得A 的特征值为1231,5λλλ===……………4 对应121λλ==，解方程0)(=-x E A 得特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1101ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0012ξ (8)1ξ，2ξ为对应于121λλ==的特征向量.对应53=λ，解方程0)5(=-x E A 得特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1103ξ (10)3ξ为对应于53=λ的特征向量.(2)将321,,ξξξ单位化有,11021,001,11021321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=P P P ......... (12)令),,(321P P P P =（不唯一）有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-5000200011AP P (15)三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名…………………….………….………………试题不要超过密封线………….………………………………。

2008-2009 线性代数B题及参考答案

D、 α 1 , α 2 , L , α s ( s ≥ 2 ) 都不是零向量
二、填空题，每空 3 分，共 10 空，30 分。
2 1 ,则 | A |= ( 3 2
(1)、设 A =
), A 的逆矩阵为（
）。
(2)、设 A, B 是已知的 n 阶方阵，且 | A |≠ 0 ,则矩阵方程 AX = B 中的未知矩阵 X 为（）。）;二维向量 a1 = (1,1)T , a2 = (1, 0)T 将 b = (2,3) T
(3)写出二维单位向量 e1 , e2 （
表示为 a1 , a2 的线性组合（
）。
(4)、m × n 阶线性方程组 Ax = b , R( A), R( A, b) 分别为系数矩阵的秩及增广矩阵的秩，则当（
r
）无解，当（
r
）有唯一解，当（
r r
）有无穷多解
(5)、已知 α = (1,−1,2,0) T , β = (2,1,−2,−1) T ，则 α T β = （ 1 1 (6)、三阶方阵 A 的特征值为 1, , ，则 A −1 为（ 2 3 三、计算题（每题 10 分，共 40 分）
α 3 = (2,1,2 )T
2 1 ，单位化后得 p 1 = 3 1 2
则所求正交阵为 P = ( p1 , p 2 , p 3 ) 。
50
)
(6)、向量组 α 1 , α 2 , L , α s ( s ≥ 2 ) 线性相关的充分必要条件是(
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《线性代数》作业答题纸
专业及班级姓名学号成绩
A、 α 1 , α 2 , L , α s ( s ≥ 2 ) 中至少有一个零向量 B、其中至少有一个向量是其余 s − 1 个向量的线性组合 C、 α 1 , α 2 , L , α s ( s ≥ 2 ) 中至少有两个向量成比例

2008-2009(1)广州大学线性代数期末考试试卷A卷

广州大学2008-2009学年第一学期考试卷一．填空题（每小题3分，共15分）1．行列式524210321--中（2，3）元的代数余子式A 23的值为______ 2．设A 是4阶方阵，A =-2，则*A -=________3．向量组α1=(1,2,-1,1), α2=(2,0,3,0), α3=(-1,2,-4,1)的秩为________4．若α1，α2，α3都是齐次线性方程组Ax=0的解向量，则A （3α1-5α2+2α3）=______. 5．已知0=λ是方阵A 的一个特征值，则|A|= ___ 二．单项选择题（每小题3分，共15分）1．设n 阶方阵A 中有n 2-n 个以上元素为零，则A 的值【】A ．大于零B ．等于零C ．小于零D ．不能确定2．设n 阶方阵A ，B ，C 满足ABC=E ，则必有【】A ．ACB=EB ．CBA=EC ．BAC=ED ．BCA=E3．设3阶矩阶A=（α1，β，γ），B=（α2，β，γ），且A =2，B =-1，则B A += 【】A ．4B ．2C ．1D ．-44．设A 是3阶可逆矩阵, A 的第2行乘以2为矩阵B ，则1-A 的【】为1-BA ．第2列乘以2; B. 第2行乘以2; C. 第2列乘以21; D. 第2行乘以21. 5．设A 为m ×n 矩阵，则非齐次线性方程组Ax=b 有惟一解的充分必要条件是【】A ．m=nB ．Ax=0只有零解C ．向量b 可由A 的列向量组线性表出D ．A 的列向量组线性无关，而增广矩阵A 的列向量组线性相关三．（本题8分）计算行列式3351110243152113------=D .四．（本题8分）设矩阵3400430000200022A ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求4A 五．（本题10分）已知向量1110α-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1322α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2133α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=7054α，（1）试判定1α，2α，3α是向量组1α，2α，3α，4α的一个最大无关组（2）将4α用1α，2α，3α线性表出六．（本题10分）已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011330A ，B A AB 2+=，求B七．（本题12分）求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=--+0377023520432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系与通解八．（本题12分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00111100x A ，问x 为何值时，矩阵A 能对角化？九．证明下列各题（每小题5分，共计10分）1．已知向量组α1，α2，α3线性无关，证明向量组α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1线性无关.2．已知n 阶方阵A 的各行元素之和均为a ，证明向量x=(1，1，…，1)T 为A 的一个特征向量，并求相应的特征值.广州大学2007-2008学年第一学期考试卷一．填空题（每小题3分，本大题满分15分） 1．设A 为3阶方阵，且||4A =, 则|2|A =________.2．设1234⎛⎫=⎪⎝⎭AB , 则T T =B A3．已知200*220421⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则1-=A4．n 元齐次线性方程组=Ax 0的解空间的维数等于____________.5．若2阶方阵A 满足方程256-+=A A E O ，且A 的两个特征值不相等,则||=A ________.二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分)1．设123,,ααα为3维列向量, 且123|,,|4ααα=, 则1322|2,23,|-=αααα( ). (A) 16； (B) 16-； (C) 24 (D) 24-.2. 二次多项式281175413561081x x ---中2x 项的系数是( ).(A) 7； (B) 7-； (C) 5 (D) 5-.3. 设,,A B C 均为n 阶方阵, 且ABC E =, 则必有( ).(A) BCA E =; (B) BAC E =; (C) CBA E =; (D) ACB E =.4. 矩阵方程=AX B 有解的充分必要条件是( ).(A) ()(,)R R <A A B ; (B) ()(,)R R <B A B ; (C) ()(,)R R =A A B ; (D) ()(,)R R =B A B .5. 若向量组1,,ααm 线性相关, 且110ααm m k k ++= , 则( ). (A) 1,,m k k 全为0; (B) 1,,m k k 全不为0; (C) 1,,m k k 不全为0; (D) 前述情况都可能出现.三．（本题满分8分）计算行列式0000a b ca b cD b a c c a b =.四．（本题满分10分）设1200010000240012⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A , 求8A . 五．（本题满分10分）设12341314(,,,)431010561114⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αααα, 求向量组1234,,,αααα的秩和一个最大无关组, 再把其余向量用该最大无关组线性表示.六．（本题满分10分）已知矩阵3000130011301113⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A , 解矩阵方程2=+AX X A . 七．（本题满分12分）求方程组12341234123432434537761171513x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+-=⎨⎪-+-=⎩的通解.八．（本题满分12分）已知矩阵9226A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,(1) 求矩阵A 的特征值和特征向量;(2) 求可逆矩阵P , 使1P AP -为对角矩阵. 九．（本题满分8分）设η是非齐次线性方程组=Ax b 的一个解, 1,,n r -ξξ 是=Ax 0的一个基础解系. 证明 1,,,n r -++ηηξηξ 线性无关.2006----2007广大线性代数广州大学2005-2006学年第一学期考试卷一．填空题（每小题3分，本大题满分15分）1．=000000000000dc b a ________.2．已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=321021001A , 则=-||1A ________.3．已知34⨯矩阵A 的秩2)(=A R ，而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=504030201B ，则=)(AB R ________. 4．设向量T )2,2,1(=α, A 为三阶正交矩阵, 则长度=αA ________.5．设方阵A 满足方程O aE A A =+-32，且已知A 的一个特征值为1=λ，则常数=a ________.二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分)1. 设n 阶方阵B A ,满足关系式O AB =, 且O B ≠, 则必有( ).(A) O A =; (B) 0||≠B ; (C) 222)(B A B A +=+; (D) 0||=A .2. 设三阶方阵],,[21ααα=A , ],,[21ααβ=B , 其中βααα,,,21为3 维列向量, 且5||=A , 1||-=B , 则=+||B A ( ). (A) 4; (B) 6; (C) 16; (D) 24.3. 设A 为可逆矩阵, 则=-1*)(A ( ).(A)A A ||1; (B) A A ||; (C) 1||1-A A ; (D) 1||-A A . 4. 设向量组0A 为向量组A 的部分组, 下列命题正确的是( ). (A) 若向量组A 线性相关，则向量组0A 必线性相关;(B) 若向量组0A 线性相关，则向量组A 必线性相关; (C) 向量组A 线性无关，而向量组0A 可能线性相关; (D) 向量组0A 线性相关，而向量组A 可能线性无关;5. 设A 是n m ⨯矩阵, 若线性方程组0=Ax 仅有零解, 则必有( ). (A) m A R =)(; (B) m A R <)(; (C) n A R =)(; (D) n A R <)(.三．（本题满分8分）1) 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000100010A , 计算2A 和3A ;2) 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλλ001001B , 求nB .四．计算下列行列式（每小题6分，本大题满分12分）1．0741512090318512-----=D .2．110000010001121nn n a a a a D -=. 五．（本题满分8分）求线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113432232xx x y x x x y x x x y 的逆变换.六．（本题满分10分）设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==12212228324131),,,(4321ααααA .1) 求矩阵A 的行最简形和秩;2) 求向量组4321,,,αααα的一个最大无关组, 再把其余向量用该最大无关组线性表示.七．（本题满分10分）求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=-+-253443233423432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解.八．（本题满分12分）已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3113A , 1) 求矩阵A 的特征值和特征向量;2) 求可逆矩阵P , 使AP P 1-为对角矩阵, 并计算10A . 九．（每小题5分, 本大题满分10分）1．设向量组321,,ααα线性无关，证明向量组32112αααβ++=，3212432αααβ--=，321343αααβ-+=也线性无关.2．设A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=7600054000320001，E 为4阶单位阵，且)()(1A E A E B -+=-，求1)(-+B E .广州大学2004-2005学年第一学期考试卷-1广州大学2003-2004学年第二学期考试卷一．填充题（每小题3分，共15分）6．多项式=)(x f 3273121x x x-中2x 的系数为_______. 7．设A 为3阶方阵，且2||=A , 则=-|2|1A _______. 8．当=a _______时, 下列齐次方程组有非零解.12312312332023020x x x x x x x x ax ++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩9．矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--121240321的秩为_______. 10．二次型2221231223226T x Ax x x x x x x x =+-+-中对称阵A =_______二．选择题（每小题3分，共15分）1. 设n 阶方阵B A ,满足关系式O AB =, 则必有( ). (A) O A =或O B =; (B) O B A =+;(C) 0||=A 或0||=B ; (D) 0||||=+B A .2. 设三阶方阵],,[21ααα=A , ],,[21ααβ=B ,其中βααα,,,21为3维列向量, 且1||=A , 2||=B , 则=+||B A ( ).(A) 3; (B) 6; (C) 9; (D) 12. 3. 设A 是3阶矩阵, 则必有( ).(A) *2)*2(A A =; (B) *21)*2(A A =; (C) *4)*2(A A =; (D) *8)*2(A A =.4. 设向量组r A ααα,,,:21 可由向量组s B βββ,,,:21 线性表示, 则( ).(A) 当s r <时, 向量组A 必线性相关; (B) 当s r >时, 向量组A 必线性相关;(C) 当s r <时, 向量组B 必线性相关; (D) 当s r >时, 向量组B 必线性相关. 5. 设A 是n m ⨯矩阵, 则线性方程组0=Ax ( ).(A) 当m n >时仅有零解; (B) 当m n >时必有非零解; (C) 当m n <时仅有零解; (D) 当m n <时必有非零解. 三．解答下列各题(每小题7分，共21分) 1．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321A , ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=9531B , B AC -=2, 求2003C . 2．计算行列式2342013241102121----=D .3．讨论向量组1(1,1,1)α=,2(1,2,3)α=,)2,1,(3a =α的线性相关性.四．（12分）求下列方程组的通解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++-=+++=+++=+++13345323173324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x五．（12分）已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122112,321212431B A , 1）求矩阵A 的逆阵;2）解矩阵方程AX=B.六．（12分）求方阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=442442221A 的特征值和特征向量. 七．（7分）设A 为n 阶正定矩阵，r αα,,1 是n 维非零列向量, 且0=j T i A αα ),,2,1,,(r j i j i =≠, 证明:r αα,,1 线性无关.八. (6分) 设方阵A 满足O E A A =+-232, 证明A 的特征值只能取值1或2.。

2008~2009线性代数试题0001答案

一、[教师答题时间： 5 分钟] 单项选择题（每小题3分，共15分。

请将答案填在相应括号内）1、B2、A3、A4、C5、D二、[教师答题时间： 5 分钟]填空题（每小题3分，共15分。

请将答案填在相应空格内）1、 92、 123、 34、-25、-16三、计算题（每小题7分，共28分） 1、[教师答题时间： 3 分钟]答：234232342323423234231111a a a a a a a b b b b b b b D abcdc cccc ccdd d d dd d == （2分）()()()()()()abcd d c d b d a c b c a b a =------ （5分） 2、[教师答题时间： 3 分钟]答：设1223,3411A B -⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭显然矩阵A 可逆，故1X A B -= （2分）又因为()1223137,341101525r A B --⎛⎫⎛⎫=−−→⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭（4分）所以137525X A B --⎛⎫==⎪-⎝⎭（1分）3、[教师答题时间： 3 分钟]答：1231033063323112431840100101ααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-=+-=+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（7分）4、[教师答题时间： 3 分钟]答：二次型()123,,f x x x 的矩阵为210161014A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭ （2分）A 的一阶顺序主子式为120D => A 的二阶顺序主子式为22111016D -==>-A 的三阶顺序主子式为321111116111614202414214D ---=--=-==>---- （4分）所以二次型()123,,f x x x 正定。

（1分）四、计算题（本题共12分）[教师答题时间： 6 分钟]答：记()12345,,,,A ααααα= （1分）则()12345,,,,ααααα11221112210215102151 20313021511104100222r ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=−−→⎪ ⎪---- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭1104110010020620103100111001110000000000r r -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪−−→−−→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（6分）所以A 的列向量组的秩为3 （1分）A 的列向量组的一个极大无关组为123,,ααα （2分）并且41233αααα=+-；523ααα=-+ （2分）五、计算题（本题共12分）[教师答题时间： 6 分钟]答：当2a ≠-时,()(),4R A R A b ==，此时方程组有唯一解；当2a =-且1b ≠时，()3R A =，(),4R A b =，此时方程组无解；2a =-且1b =时，()(),34R A R A b ==<，此时方程组有无穷多解。

08-09(1)线性代数B

广州大学2008-2009学年第一学期考试卷一．填空题（每小题3分，共15分）1．行列式333222cbac b a c b a=_____2．设三阶方阵A 的行列式det(A)=3，则A 的伴随矩阵A *的行列式det(A *)=_____3．当a=_____时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=+-+-=+++0x )4a (x 4x 0x 4x )3a (x 40x x 4x )2a (321321321 有非零解4．设向量1α=(1,2,0),2α=(-1,0,3),3α=(2,3,4),且满足：2(1α-α)+(α+2α)=3(3α-α)，则α=_____.5．若λ=3是可逆方阵A 的一个特征值，则A -1必有一个特征值为______.二．单项选择题（每小题3分，共15分） 1．若A 是【】，则A 必为方阵. A. 分块矩阵 B. 线性方程组的系数矩阵 C. 转置矩阵 D. 可逆矩阵2．设矩阵A=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-2222000122220，则A 为【】 A ．对称矩阵 B ．相似矩阵C ．正交矩阵D ．分块对角矩阵3．已知β1=3α1-α２，β2=α1+5α2，β3=-α1+4α2，α1，α2为非零向量，则向量组β1，β2，β3的秩【】A. >3B. <3C. =3D. =04．线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-α=-α=-1x x 2x x x x 133221 有解的充分必要条件是α=【】A ．-31 B ．31C ．-1D ．15．设A 为3阶矩阵，A 的特征值为0，1，2，那么齐次线性方程组Ax=0的基础解系所含解向量的个数为【】 A ．0 B ．1 C ．2D ．3三．（本题8分）设3142313150111253------=D ，D 的),(j i 元的代数余子式记作ij A ，求14131211A A A A +++.四．（本题8分）设Λ=-AP P 1，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ2001，求11A 。

08-09-1线代B(含答案)

………………………..4分
， ………………..6分
-------------------------------------9分
-----13分
法二：设线性方程组的系数矩阵为A，增广矩阵为B.
------------------------------------3分
（1）；………6分
(2)当，
知故方程组无解；---------------------------------------------9分
解答：
一、单项选择题（每题3分，共30分）
1、D；2、B；3、D；4、C；5、B；6、C；7、D；8、B；9、C；10、B
二、填空题（每题4分，共20分）
1．0；2. 3；3. ；4. ；5. ；
三、（12分）
解：法一： ------------------------------------2分
5.四阶行列式展开式中的项的符号是（B）.
A．正号B．负号C．无法确定
6.设线性无关,若线性相关,则应满足条件(C).
A. B. C. D.
7.设是两个n阶正交矩阵，则下列结论不正确的是（D）.
A. B. 是正交矩阵C.AB是正交矩阵D.AFra bibliotek行列式等于 .
8.设A是n阶可逆矩阵，则下面说法不正确的是(B).
1.已知行列式，则 =（）.
2.若D= =1，则D1= =（）.
3.设，则 =（）.
4.设是线性方程组的解，且R（A）=2，
则的通解为（）.
5.设3阶方阵A与B相似,且A的特征值是 ,则行列式 =(24).
三.（12分）求解矩阵方程，其中 .
四.（13分）考虑下列关于未知数的线性方程组

线性代数B参考答案及评分标准

属于的全部特征向量为（为不全等于零的常数）。
…………9分
因为线性无关，所以有可逆矩阵= 使为对角矩阵。
…………11分 …………12分
…………9分
取，得基础解系
…………10分
故方程组的通解为其中c为任意常数。
…………11分 …………12分
20. 解取矩阵，，对作初等行变换
= …………6分
故过渡矩阵.
…………8分
21. 解取
…………2分
= ……4分
…………6分
……8分
再将向量组单位化，即得到交的单位向量组：
，
…………10分
22. 解矩阵的特征多项式为
广东金融学院期末考试试题标准答案及评分标准
学期：2009—2010学年第二学期考试科目：线性代数（B卷）
出卷老师：尹祖辉
使用班级：08、09级
标准答案和评分标准：
一、填空题(12%)：
1. 24 2.36 3. -2 4. (1,1,-1) 5. 4 6.
评分标准：填对1题得2分，填错得0分。
二、单项选择题(12%)：
7. C 8. C 9. B 10. B
评分标准：答对1题得3分，填错得0 √ 13. √ 14. √ 15. √ 四、计算题(66%)：
16.解
………4分
………8分
17. 解由，得
即因为，且
………2分
所以可逆，故
由 = 所以
………4分 …………8分
18. 解作矩阵，并对实施初等行变换
=……4分
因为，所以向量组的秩为2. 且为的一个极大无关组.
…………6分
由的第三列可得.
…………8分

08-09(1)线性代数A-参考答案与评分标准

广州大学2008-2009学年第一学期考试卷参考答案与评分标准课程：线性代数考试形式：闭卷考试一．填空题（每小题3分，共15分）1．行列式524210321--中（2，3）元素的代数余子式A 23的值为__-10__ 2．设A 是4阶方阵，A =-2，则*A -=___-8___3．向量组α1=(1,2,-1,1), α2=(2,0,3,0), α3=(-1,2,-4,1)的秩为__2__4．若α1，α2，α3都是齐次线性方程组Ax=0的解向量，则A （3α1-5α2+2α3）=__0__.5．已知0=λ是方阵A 的一个特征值，则|A|= 0___二．单项选择题（每小题3分，共15分）1．设n 阶方阵A 中有n 2-n 个以上元素为零，则A 的值【 B 】A ．大于零B ．等于零C ．小于零D ．不能确定2．设n 阶方阵A ，B ，C 满足ABC=E ，则必有【 D 】A ．ACB=EB ．CBA=EC ．BAC=ED ．BCA=E3．设3阶矩阶A=（α1，β，γ），B=（α2，β，γ），且A =2，B =-1，则B A += 【 A 】A ．4B ．2C ．1D ．-44．设A 是3阶可逆矩阵, A 的第2行乘以2为矩阵B ，则1-A 的【 C 】为1-BA ．第2列乘以2; B. 第2行乘以2;装┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋┋┋装┋┋┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋学院系专业班级学号姓名C. 第2列乘以21; D. 第2行乘以21. 5．设A 为m ×n 矩阵，则非齐次线性方程组Ax=b 有惟一解的充分必要条件是【 D 】A ．m=nB ．Ax=0只有零解C ．向量b 可由A 的列向量组线性表出D ．A 的列向量组线性无关，而增广矩阵A 的列向量组线性相关三．（本题8分）计算行列式3351110243152113------=D .解：331511204351213121-------=↔c c D 7216011206480213114125------=+-r r r r ……………………2分 7216064801120213132-----=↔r r 1510001080011202131242384----=-+r r r r ……………………………4分 402/50001080011202131344/5=---=+r r …………………………………………6分…………………………………………8分四．（本题8分）设矩阵3400430000200022A ⎛⎫ ⎪- ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求4A 解：记13443A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭22022A ⎛⎫= ⎪⎝⎭2212343450434305A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭44145005A ⎛⎫=⎪⎝⎭………………………………………………3分22232202020222222A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭442642022A ⎛⎫= ⎪⎝⎭………………………………………………6分4444141442264500000050000200022A A A A A ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭…………8分┋┋┋┋┋ 装 ┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋┋┋装┋┋┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋学院系专业班级学号姓名五．（本题10分）已知向量1110α-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1322α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2133α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=7054α，（1）试判定1α，2α，3α是向量组1α，2α，3α，4α的一个最大无关组（2）将4α用1α，2α，3α线性表出解：（1）12341235(,,,)13100127A αααα-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭122334123501250013r r r r r ÷---⎛⎫⎪−−−→-- ⎪ ⎪⎝⎭……………………………………………2分123233120401010013r r r r +---⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭………………………………………………4分12(1)123412100601010013(,,,)r r r Bββββ-⨯-⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪⎪⎝⎭= ………………………………………………6分由于()()3R A R B ==，且1β，2β，3β线性无关，所以1α，2α，3α是向量组1α，2α，3α，4α的一个最大无关组………………………………………………8分（2）由于对矩阵初等行变换，不改变列向量组的线性相关性所以412363αααα=++ …………… ……………………………10分六．（本题10分）已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A ，B A AB 2+=，求B 解：B A AB 2+=A B E A =-⇒)2( ……………………………………………2分021*********≠=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-E A …………………………………………4分所以1)2(--E A 存在，有A E A B 1)2(--=……………………………………6分()A E A 2-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321121011011330332⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++330110011011352310~23212r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+022200363301352310~1312r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-÷↔011100352310363301~)2(312r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---011100321010330001~323133r r r r ………………………8分 ⇒A E A B 1)2(--==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011321330 ……………………………………………10分┋┋┋┋┋ 装┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋┋┋装┋┋┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋学院系专业班级学号姓名七．（本题12分）求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=--+0377023520432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系与通解解：对系数矩阵A 作初等行变换，变为行最简形矩阵，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=137723521111A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------81014045701111~121327r r r r …………………………3分 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----000045701111~232r r ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----÷-00007/47/5107/37/201~)7(221r r r ……………………6分便得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=43243174757372x x x x x x ……………………………………………8分令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0143x x 及⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10，则对应有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛7/57/221x x 及⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7/47/3，即得基础解系 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=017/57/21ξ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=107/47/32ξ……………………………………………10分并由此写出通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321x x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=017/57/21c ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+107/47/32c ，),(21R c c ∈…………………………………12分八．（本题12分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00111100x A ，问x 为何值时，矩阵A 能对角化？解：λλλλλλλ---=---=-11)1(011110x E A ……………………………2分 )1()1(2+--=λλ得11-=λ，132==λλ ……………………………………………4分对应单根11=λ，可求得线性无关的特征向量恰有一个，故A 可对角化的充分必要条件是对应重根132==λλ，有两个线性无关的特征向量，即方程0)(=-x E A 有两个线性无关的解，亦即系数矩阵E A -的秩为1………6分由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-10101101)(x E A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-000100101~x r ，……………………………8分要1)(=-E A R ，得01=+x ，即1-=x ………………………………10分因此，当1-=x 时，矩阵A 能对角化。

线性代数B试卷答案

《线性代数B 》课程试卷一、填空(本题共6小题，每小题3分，共18分)1. 设A 是四阶方阵，且,1=A 则=2-1-A16 .2．设三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则E A A B 2+5-=2的特征值为 -2，8，-4.3. 已知321ααα,,线性相关,3α不能由21αα,线性表示，则21αα,线性相关.4. 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2-0151-4-02021=t A 的秩为2，则t = 3 . 5. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛400021032=A ，则1-A =⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4100021-03-2.6．设4阶矩阵[]321=γγγα,,,A ，[]321=γγγβ,,,B ，且,2=A ,3=B 则=+B A 40.二、单项选择(本题共5小题，每小题3分，共15分)1. 矩阵A 适合条件（ D ）时，它的秩为r)(A A 中任何1+r 列线性相关；)(B A 中任何r 列线性相关；)(C A 中有r 列线性无关； )(D A 中线性无关的列向量最多有r 个.2. 若n 阶方阵B A , 均可逆，C AXB = ，则=X （ C ） C BAA 1-1-)( ; 1-1-ACBB )(; 1-1-CBAC )(; 1-1-CABD )( .3、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n a a a a A1111，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n A A A A B1111，其中ij A 是ij a 的代数余子式（i ，j=1，2，…，n ），则（ C ）)(A A 是B 的伴随矩阵； )(B B 是A 的伴随矩阵；)(C B 是T A 的伴随矩阵； )(D B 不是TA 的伴随矩阵.4. A 与B 均为n 阶矩阵，若A 与B 相似，则下列说法正确的是（ C ）．)A (A 与B 有相同的特征值和特征向量； )B ( B E A E -=-λλ；)C (对任意常数k ，有 A kE -与B kE -相似； )D (A 与B 都相似于同一对角阵.5. 非齐次线性方程组b Ax =中A 为)(n m n m ≠⨯矩阵，则（ B ）(A) 若b Ax =有无穷多解，则0=Ax 仅有零解；(B) 若b Ax =有唯一解，则0=Ax 仅有零解; (C) 若0=Ax 有非零解，则b Ax =有无穷多解; (D) 若0=Ax 仅有零解，则b Ax =有唯一解.三、计算.（10分）1-1-1-n 2121n 21a a a a a a a a a n解 )1-=∑1=ni i n a D （1-11-11222n n n a a a a a a分4=)1-∑1=ni i a （1-0101-1001分8 1-1-=n )()1-∑1=ni i a （分10四、（10分）设B A ,满足关系式A B AB +2=，且 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛410011103=A ，求矩阵B . 解 A E A B 1-2-=)( 分3 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡4121001101-1103101=2- )(A E A 分5 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡410211-12-1-1-0103101−→−分6 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡322-1002-3-40102-2-5001−→−分9⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡322-2-3-42-2-5=∴X 分10 (分或8⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111-1-2-21-1-2=2-1- )(E A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡322-2-3-42-2-5=∴X 分10 )五、 (14分) 已知非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=----=+++-=+-+=+-+bx x x x x ax x x x x x x x x x x 4321432143214321617231462032，问a 、b 为何值时，方程组有解，并求出所有解。