第5章解线性方程组的直接方法
数值分析--解线性方程组的直接方法
值 为A的特征值，x为A对应的特征向量，A的全体特征值
分 析
称为A的谱，计作 ( A),即 ( A) {i ,i 1,2,, n}, 则称
》
( A)
max
1in
|
i
|
为矩阵A的谱 半 径.
三、特殊矩阵
第5章 解线性方程组的直接方法
1) 对角矩阵
2) 三对角矩阵
3) 上三角矩阵
4) 上海森伯(Hessenberg)阵
分 析
1.00x 1.00y 2.00
》 解法1： 1.00105 x 1.00 y 1.00
(1.00 1.00105) y (2.00 1.00105)
1.00105 x 1.00 y 1.00
1.00
105
y
1.00
105
x 0.00,
y 1.00
第5章 解线性方程组的直接方法
1
Ly b y 3,Ux y x 1.
2
1
第5章 解线性方程组的直接方法
§3 高斯主元素消去法
若ak(kk) 0,或ak(kk)很接近于0，会导致其他元素数量级严重 增长和舍入误差的扩散，使得计算结果不可靠.
《例3’采用3位十进制，用消元法求解
数 值
1.00105 x 1.00y 1.00
L21L1 U2U11
L21L1
U
U 1
21
I
(因为上式右边为上三角矩阵，左边为单位下三角矩阵
从而上式两边都必须等于单位矩阵)
《 数
L1 L2 , U1 U2
1 1 1
值分例2
析
.例1中，A
0
4
-1，将A作LU分解。
数值分析课后习题与解答
课后习题解答第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式()有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：直接根据定义和式()(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？〔1〕〔2〕解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
〔1〕〔2〕4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。
5.计算取，利用：式计算误差最小。
四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1与n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计〔5.8〕。
线性插值时，用0.5与0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?解：用误差估计式〔5.8〕，令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048与cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式〔5.17〕得其中计算时用Newton后插公式〔 5.18)误差估计由公式〔5.19〕得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。
第5章 解线性方程组的数值解法1
则有
( ( ( aijk 1) aijk ) lik akjk ) , i k 1,...,n; j k 1,...,n
bi( k 1) bi( k ) lik bk( k ) , i k 1,...,n k 1,2,...,n 1
高斯顺序消去法
n 1
高斯顺序消去法条件
(1 (2 (n det (A) a11) a22 ) ...ann ) 0
det (A) : 1 即 (k det (A) : det (A) * akk ) k 1,2,...,n 因此高斯顺序消去法要 求
(k akk ) 0, k 1,2,...,n
Di Gram er 法则：xi i 1,2,...,n，其中 D D det (A) 0，Di det (Ai )，Ai是 A的第 i列用b代替所得。
克莱姆法则在理论上有着重大意义，但 在实际应用中存在很大的困难，在线性 代数中，为解决这一困难给出了高斯消 元法。
例题
例1.用消元法解方程组
2)对i k 1,...,n做 10 20 30 aik lik aik / a kk； bi bi lik bk； 对j k 1,...,n做aij aij lik a kj；
高斯顺序消去法
(3)if 1) a nn 0 then 输出算法失败信息 并停机else做 ,
高斯顺序消去法
再解 回代法
(n xn b ( n ) / ann ) n x (b (i ) ( ( aiji ) .x j ) / aiii ) 1 i i j i
A ( n ) x b( n )
(i n 1,..., ) 1
数值分析第5章解线性方程组的直接方法课堂课资
所谓直接解法是指，若不考虑计算过程中的舍入误差， 经过有限次算术运算就能求出线性方程组的精确解的方法。
但由于实际计算中舍入误差的存在，用直接解法一般 也只能求出方程组的近似解。
Cramer法则是一种不实用的直接法，本章将介绍几种 实用的直接法。
章节内容
3
5.1.2 预备知识
a11
A Rmn
A
23
(2)如果A为非奇异矩阵,则可通过高斯消去法(及交换两行的初等 变换)将方程组Ax=b约化为方程组(2.10). 定理6 约化的主元素aii(i) ≠0(i=1,2,…,k)的充要条件是矩阵A
的所有顺序主子式 /* determinant of leading principal
submatrices
解为:
x* (1,2,3)T
章节内容
18
上述过程相当于
1 1 1 6 1 1 1 6 1 1 1 6
(A | b) 0 4 1 5 0 4 1 5 0 4 1 5
2
2
1
1
0
4
1 11
0
0
2
6
(2)* r1 r3 r3 r2 r3 r3
思 首先将A化为上三角阵 /* upper-triangular matrix */， 路 再回代求解 /* backward substitution */。
(4) A的顺序主子式都大于零,即det(Ak ) 0(k 1,2,, n).
章节内容
14
定理3.
设A Rnn为对称矩阵，如果de（t Ak） 0(k 1,2,, n),
或A的特征值i 0(i 1,2,, n),则A为对称正定矩阵.
定理4 (Jordan标准型) 设A为n阶矩阵,则存在一个非奇异矩阵P使得
第五章 解线性方程组的迭代解法
定义迭代法为： 定义迭代法为：
x ( k + 1) = G J x ( k ) + g
其中Jacobi迭代矩阵：GJ = D1 ( L + U ) 迭代矩阵： 其中 迭代矩阵
g = D 1b = (7.2, 8.3, 8.4)T 取 x ( 0 ) = (0, 0, 0)T , 代入迭代式，得x(1) = Bx ( 0 ) + g = (7.2, 8.3, 8.4)T x ( 2 ) = Bx (1) + g = (9.71,10.70,11.5)T x (9 ) = (10.9994,11.9994,12.9992) 精确解为 x = (11,12,13)T .
记
A = D L U
其中 D = diag (a11 ,, ann ) , L, U 分别为 A 的 严格下、上三角形部分元素构成的三角阵 严格下、上三角形部分元素构成的三角阵. Gauss-Seidel方法的矩阵形式为 方法的矩阵形式为
x ( k +1) = D1 ( Lx ( k +1) + Ux ( k ) + b)
或者
x ( k +1) = ( D L)1Ux ( k ) + ( D L)1 b
( 这说明Gauss-Seidel方法的迭代矩阵为 D L)1U 方法的迭代矩阵为 这说明
从而有
定理5.2 定理5.2 Gauss-Seidel方法收敛的充分必要条件为 方法收敛的充分必要条件为
ρ (GG ) < 1 或
计算方法作业集及答案
计算方法作业集及答案第一章数值计算基本常识一.填空题1.用四舍五入得到的近似数0.628，有_____位有效数字，其绝对误差限是____________。
2.用四舍五入得到的近似数0.586，有_____位有效数字，其绝对误差限是____________。
3.用四舍五入得到的近似数0.69，其绝对误差是__________，由此计算出的相对误差限是__________。
4.用四舍五入得到的近似数0.7960，其绝对误差是__________，由此计算出的相对误差限是__________。
5.设0.484是0.4900的近似值，那么0.484具有____位有效数字。
6.设某某=0.231是真值某=0.229的近似值，则某某有_____位有效数字。
7.设某某=0.23是真值某=0.229的近似值，则某某有_____位有效数字。
8.设某=2.3149541，取5位有效数字，则所得的近似值某某=_____。
9.设某=2.3149541，取4位有效数字，则所得的近似值某某=_____。
10.若近似数0.1100有4位有效数字，由有效数字计算出的相对误差是____________。
11.若近似数76.82有4位有效数字，由有效数字计算出的相对误差是____________。
12.若近似数576.00有5位有效数字，由有效数字计算出的相对误差是____________。
13.用3.15作为π的近似值有_____位有效数字。
14.用3.14作为π的近似值有_____位有效数字。
15.用3.1416作为π的近似值有_____位有效数字。
解答:1.3、0.5某10-32.3、0.5某10-33.0.5某10-2、0.725%4.0.5某10-4、0.00628%5.16.27.28.2.31509.2.31510.0.05%11.0.007%12.0.001%13.214.315.5二.选择题1.3.141580是π的近似值,有()位有效数字。
数值分析题库1
第一章 绪论 2 第二章 函数插值 3 第三章 函数逼近 6 第四章 数值积分与数值微分 10 第五章 解线性方程组的直接解法 13 第六章 解线性方程组的迭代解法 14 第七章 非线性方程求根 16 第九章 常微分方程初值问题的数值解法 19
第一章 绪论
1.1 要使的相对误差不超过0.1%，应取几位有效
解 对y=f(x)的反函数进行三次插值，插值多项式为
+ + + =, 于是有
。
第三章 函数逼近
3.1证明定义于内积空间H上的函数是一种范数。
证明： 正定性当且仅当时； 齐次性 设为数域K上任一数 三角不等式 ；
于是有 故是H上的一种范数。
3.2求，在空间上的最佳平方逼近多项式，并给出 误差。
解： 第一步：构造内积空间上的一组正交基，其中内积： 第二步：计算的二次最佳平方逼近多项式 从第一步已经知道，利用公式得： 误差为：
数字？
解：
的首位数字。 设有 n位有效数字，由定理知相对误差限 令， 解得，即需取四位有效数字.
1.2 序列满足关系式，若，计算到，误差有多
大？这个算法稳定吗？
解：，于是 ，一般地，因此计算到其误差限为，可见这个计算过程是不稳定的。
1.3 计算球的体积，要使相对误差限为1%，问测 量半径R时允许的相对误差限是多少？
4.1、计算积分，若用复化梯公式，问区间应分多 少等份才能使截断误差不超过？若改用复化辛普 森公式，要达到同样的精度，区间应分多少等 份？
解：由于，，,故对复化梯公式，要求 ，
即，.取，即将区间分为等份时，用复化梯公式计算，截断误差不超过. 用复化辛普森公式，要求 ，
即，.取，即将区间等分为8等份时，复化辛普森公式可达精度.
第5章-线性方程组
从而向量b能由A的列向量组线性表示为 b c1a1 cr a r 0a r 1 0a n ,
那么向量c c1,, cr ,0,,0 满足Ac b,因此方程组 Ax b有解。
T
(2). 设Ax b有唯一解c。由(1)结论，有 r ([ A, b]) r ( A) n. 假设r ( A) n, 那么由定理 1，齐次方程组 Ax 0有非零解u, 那么 A(u c) Au Ac Ac b,
1 0 3 1 1 1 1 1 5 1 1 1 5 1 1 5 2 1 1 5 1 0 2 7 4 0 2 7 4 0 1 7 1 1 2 3 0 1 7 2 2 . 2 2 0 0 A 0 0 0 0 0 0 0 2 7 4 0 0 0 0 3 1 8 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 14 8 0 0 1 3 9 7
可知
n-r(A)=n-r(ATA) 这就证明了结论。
定理 2
非齐次线性方程组 Ax = b 的通解为 Ax = b 的一个 特解与相应齐次线性方程组 Ax = 0 的通解之和.
即: Ax = b 的通解= Ax = b 的特解+ Ax = 0 的通解.
证 设 是 Ax = b 的一个解, r(A) = r, v1, v2, …, vnr 是 Ax = 0 的一个基础解系， 则有 A = b, Av i = 0, i =1, 2, …, nr,
x1 + k x2 + x3 = 1 ,
x1 + x2 - kx3 = k ,
数值分析作业答案
第2章 插值法1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。
（1）用单项式基底。
（2）用Lagrange 插值基底。
（3）用Newton 基底。
证明三种方法得到的多项式是相同的。
解：（1）用单项式基底设多项式为:2210)(x a x a a x P ++=，所以：6421111111111222211200-=-==x x x x x x A 37614421111111424113110111)()()(222211200222221112000-=-=---==x x x x x x x x x f x x x f x x x f a 2369421111111441131101111)(1)(1)(12222112002222112001=--=--==x x x x x x x x f x x f x x f a 6565421111111421311011111)(1)(1)(12222112002211002=--=---==x x x x x x x f x x f x x f x a 所以f(x)的二次插值多项式为：2652337)(x x x P ++-= （2）用Lagrange 插值基底)21)(11()2)(1())(())(()(2010210-+-+=----=x x x x x x x x x x x l)21)(11()2)(1())(())(()(2101201------=----=x x x x x x x x x x x l)12)(12()1)(1())(())(()(1202102+-+-=----=x x x x x x x x x x x lLagrange 插值多项式为：372365)1)(1(314)2)(1(61)3(0)()()()()()()(22211002-+=+-⨯+--⨯-+=++=x x x x x x x l x f x l x f x l x f x L所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x L ++-= (3) 用Newton 基底: 均差表如下：Newton 372365)1)(1(65)1(230))(](,,[)](,[)()(21021001002-+=+-+-+=--+-+=x x x x x x x x x x x x f x x x x f x f x N所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x N ++-= 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。
第5章_线性方程组的解法
k 1
326
0
0
0
a(n) nn
bn(n
)
a1(11)
a(1) 12
a(2) 22
... ... ...
a(1) 1n
a(2) 2n ...
a(n) nn
x1
x2
... xn
bb12((12))
...
bn(n)
回代:
xn
b(n) n
/
a
(n nn
11
3种常用范数：
2-范数（长度）
n
1-范数
x ( 2
xi2 )1/2
i 1
∞-范数
n
x 1
xi
i 1
x
max
1 i n
xi
12
矩阵的范数： 对于给定的n阶方阵A，将比值 Ax / x 的上确界 称为矩阵A的范数
直接由定义知，对于任意向量x，有：|| A x ||≤|| A || || x || 基本性质：
det
a11
an1
a1i1
ani1
b1
bn
a1i1
a1n
ani1 ann
（1）计算n+1个n阶行列式. （计算一个n阶行列式就需要做(n-1)n!次乘法. 要计算n+1个n阶行列式,共 需做(n2-1)n!次乘法）. （2）做n次除法才能算出xi(i=1,… n). （3）用此法，需作乘除法的运算： N=(n2-1)n!+n 例如,当n=10(即求解一个含10个未知量的方程组), 次数共为32659210次； 当n＝100，1033次/秒的计算机要算10120年
a(1) 13
a(2) 23
数值分析第二次作业答案answer2
S4 = 0.11157238253891，S8 = 0.11157181325263。 同学们根据自己理解计算 S4 ，S8 都可。 复合梯形公式和复合 Simpson 公式的代码已重复多次，同学们自己整 理。 3. 用 Simpson 公式计算积分 误 差 为 |R(f )| = | − η ∈ (0, 1)。 4. 推导下列三种矩形求积公式： ∫b f (x)dx ∫a b f (x)dx ∫a b a f (x)dx = (b − a)f (a) + = (b − = (b −
14.7 53.63 从而 a = −7.855048，b = 22.25376。 2. 已知实验数据如下： 。 xi 19 25 31 38
44
yi 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8 用最小二乘法求形如 y = a + bx2 的经验公式。 答案：两个待定常数，只能两个 φ。 φ0 ，φ1 也必须形如 y = a + bx2 。 可设 φ0 = 1，φ1 = x2 。法方程为： ( 5 5327 )( a b ) = ( 271.4 369321.5 )
第三章 函数逼近 1. 观测物体的直线运动，得出以下数据： 时间 t(s) 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离 s(m) 0 求运动方程。 ( 10 φ0 = 1，φ1 = t。法方程为： 6 14.7 )( a b ) = ( 280 1078 )
6
1. 用 LU 分解及列主元高斯消去法解线性方程组 8 10 −7 0 1 x1 −3 2.099999 6 2 x 5.900001 2 = 5 5 − 1 5 − 1 x 3 x4 1 2 1 0 2 输出 Ax = b 中系数 A = LU 分解的矩阵 L 及 U ，解向量 x 及 det A；列 主元法的行交换次序，解向量 x 及 det A；比较两种方法所得的结果。 代码： A=[10,-7,0,1;-3,2.099999,6,2;5,-1,5,-1;2,1,0,2]; b=[8,5.900001,5,1]'; x=A\b;x(1) 结果：1.7764e-016 LU分解代码： A=[10,-7,0,1;-3,2.099999,6,2;5,-1,5,-1;2,1,0,2]; b=[8,5.900001,5,1]'; [m,n] = size(A); if m~=n, error('A matrix needs to be square'); end for i=1:n-1 pivot = A(i,i); if abs(pivot)<50*eps, error('zero pivot encountered'); end for k = i+1:n A(k,i) = A(k,i)/pivot; A(k,i+1:n) = A(k,i+1:n) - A(k,i)*A(i,i+1:n); end end 7
第1节 gauss消元法
若系数矩阵A非奇异，即 det (A)≠0 ,则方程组有 惟一解 x =( x1, x2, …, xn )T . 根据 Gramer（克莱姆）法则，求解方程组（5.1）时， 要计算大量的行列式，所需乘法次数大约为
N=(n2-1)n!
当 n 较大时,这个计算量是惊人的。例 如，当 n= 20 时，约需乘法次数为 N=9.7×1020 如果用每秒一亿次的计算机来计算，需要三十万年时 间。可见Gramer法则不是一种实用的方法。 因此，必须构造出适合于计算机使用的线性方程组的求 解方法。
b
( 2) i
b
(1) i
l i 1b
(1) 1
, i 2,3, , n
第二步，设 a22(2)≠ 0 ，将第二列a22(2)以下各元素消成零，
即依次用
li 2
2 a i(2 ) ( 2) a 22
（i＝3，4，…，n）
乘以矩阵[A（2），b（2）]的第二行再加到第i行，得到矩阵
这是与原线性方程组（5.1）等价的方程组.
(1 (1 ( ( a11) x1 a12) x 2 a11) x n b11) n (2 ( ( a 22) x 2 a 22 ) x n b22 ) n 对于等价方程组 ( n 1 ) ( n 1 ) ( n 1 ) a n 1n 1 x n 1 a n 1n x n bn 1 (n ( a nn) x n bnn )
(1 a12) (1 a 22) (1 a 32)
(1 a13) (1 a 23) (1 a 33)
( a11) n ( a 21) n ( a 31) n
( a n1) 2
( a n1) 3
数值分析5 2(高斯消去法)
a1(11) 0
第一次 消元
a1(11) a1(12) ... a1(1n) x1 b1(1)
0
...
a2(22)
... a2(2n)•x2b2(2)
0
an(22) ... an(2n) xn bn(2)
……
(记 为 A(2)x = b(2))
a1(11) a1(12) ... a1(1n) x1 b1(1)
所在以计在算计机算上机用上高用斯高-斯约-当约消当去消法去法求计 算A-即1就可相。当即于同时求解n个线性方程 组。
由关系式 AA-1 = I
得 Ax(1) x(2) x(n)
e1 e3 en
其中x(s)为A-1的第s列，es为I 的第s列(s=1, 2, …, n)。
例 用高斯-约当消去法求矩阵A的 逆矩阵，其中
2
4
5
1 2 3
3
b1
4
1
5
b2
2
3
解 增广矩阵为 3 4 6 3 5
2 4 5 4 2 1 2 3 1 3
1 4/3 2 1 5/3
①×1/3 2
4
54
2
1 2 3 1 3
消元 1 4/3 2 1 5/3
0 4/3 1 2 4/3 0 2/3 1 0 4/3
1 4/3 2 1 5/3 ②×3/40 1 3/4 3/2 1
2 1 0 A 1 1 1
1 1 0
解 用高斯-约当消去法得
2
A I1
1 1
0 0 1 0 1 1 0 0
消元
1 1 0 0 0 1
1 1/2 0 0 1/2 0
0 1/2 1 1 1/2 0 消元
线性方程组直接解 优质课件
a11
a1i
D1 a11 0, Di ai1
0, i 1, 2, , n aii
推论：
a(1) 11
D1,
a(i) ii
Di
Di1 ,
i 2,
,n
23:35:57
Numerical Analysis
13
运算量
计算机中做乘除运算的时间远远超过做加减运算时间，
故我们只估计 乘除运算 的次数
a(2) 22
a(1) 1n
a(2) 2n
x1 x2
b(1) 1
b(2) 2
a(n) nn
xn
bn(n)
回代求解：
xn
b(n) n
a(n) nn
( ) n
xi
b(i) i
a(i) ij
x
j
a(i) ii
Numerical Analysis
17
列主元 Gauss 消去法
Gauss 消去法有效的条件是： 主元全不为零
例：解线性方程组
0 1
1 0
x1 x2
1 1
列主元 Gauss 消去法
在第 k 步消元时，在第 k 列的剩余部分选取主元
①
先选取列主元： |
20
全主元Gauss消去法
全主元高斯消去法：
第 k 步消元时，在剩余的 n-k 阶子矩阵中选取主元
①
先选取全主元：|
a(k) ik jk
|
=
数值分析公式大全
数值分析，第一章1， 相对误差和绝对误差e*= x*-x;e r *=(x ∗−x)x ⁄估计值(x ∗−x)x ∗⁄ 2， 误差限和相对误差限 ε*≥|x ∗−x |εr *=ε∗|x ∗|⁄3， 有效数字官方定义：若近似值x *的误差限是某一位的半个单位，该位到x *的第一位非零有效数字共有n 位，就说x *有n 位有效数字。
表示为：x *=±10m ×（a 1+a 2×10-1+a 3×10-2+…+a n ×10-（n-1））=±a 1. a 2a 3…a n 。
其中a i 为0至9中之一，a 1不为0，m ，n 都是整数。
公式：ε*=|x −x ∗|≤12×10m−n+1相对误差限公式x *具有n 为有效数字，εr *≤12a1×10-（n-1）。
若εr *≤12（a1+1）×10-（n-1），则x *至少具有n 为有效数字。
4， 病态问题的条件数，相对误差比值x 的扰动Δx=x-x*，误差为Δx x，函数值f （x*）的相对误差= f （x ）−f （x∗）f （x ）相对误差比值为：|f （x ）−f （x∗）f （x ）|/|Δx x|≈|xf ‘（x ）f （x ）|=Cp （也称为条件数）第二章：插值法 1， 多项式插值P （x ）为n 阶多项式，P （x ）=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n ，a i 为实数。
解法：a 解方程组：Aa=y ，其中A=[1x 0⋯x 0n1x 1⋯x 1n ⋮1⋮x n ⋱⋯⋮x nn ]，a=[a 0a 1⋮a n ]，y=[y 0y 1⋮y n] 2， 拉格朗日插值【1】 线性插值L1=y k l k +y k+1l k+1插值基函数l k =x−x k+1xk −x k+1，l k+1=x−x kxk+1−x k【2】 抛物线插值L2=y k l k +y k+1l k+1+y k+2l k+2插值基函数l k =(x−x k+1)(x−x k+2)(xk −x k+1)(x k −x k+2)，l k+1=(x−x k )(x−x k+2)(x k+1−x k )(x k+1−x k+2)，l k+2=(x−x k )(x−x k+1)(x k+2−x k )(x k+2−x k+1)【3】 N 次插值多项式（通解）Ln=y 0l 0+y 1l 1+y 2l 2+…+y n l nl k =(x−x 0)…(x−x k−1)(x−x k+1)…(x−x n )(xk −x 0)…(x k −x k−1)(x k −x k+1)…(x k −x n )设ωn+1（x ）=(x −x 0)…(x −x k−1)(x −x k+1)…(x −x n )有ω`n+1（x k ）=(x k −x 0)…(x k −x k−1)(x k −x k+1)…(x k −x n ) 有Ln （x ）=∑y kωn+1（x ）(x−x k )ω′n+1（x k ）n k=0余项公式N 次插值多项式的余项形式 R n =f （x ）-Ln （x ）=f (n+1)(ξ)(n+1)!ωn+1（x ）=K(x) ωn+1（x ）, ξ∈(a,b)ξ的位置未知，但有截断误差限： |R n (x)|≤M n+1(n+1)!|ωn+1(x)|,M n+1=max a≤x≤b|f (n+1)(x)| 3， 均差（差商）一阶均差；f[x 0，x k ]=f (x k )−f(x 0)x k −x 0二阶均差：f[x 0,，x1，x k ]=f[x 0，x 1]−f[x 0，x k ]x k −x 1高阶均差：f[x 0,，x1，…，x k ]=f[x 0，x 1，…，x k−1]−f[x 0，…，x k−2，x k ]x k −x k−1性质：1，k 阶均差可表示为函数值f （x 0），f （x 1），…，f （x n ）的线性组合2，对称性，与节点次序无关 3，【前后项】f[x 0,，x1，…，x k ]=f[x 1，…，x k ]−f[x 0，…，x k−1]x k −x 04，※n 阶均差与导数的关系：f[x 0,，x1，…，x k ]=f (n )(ξ)n!，ξ∈[a ，b]。
Cht5解方程的直接法
(0) b1 (1)式变为A( 0) x b 则 (0) bn
b( 0)
a 0 0
(0) 11
a
a
(0) 12 (1) 22
(1) an 2
x1 b a x 2 b ( 1 ) b (1) x a nn n n a
(0) 1n (1) 2n (0) 1 (1) 2
简记为A(1) x b(1) ,
(1) (0) (0) 其中aij aij l i 1a1 j , (0) bi(1) bi( 0 ) l i 1b1
( i , j 2,3, , n)
9
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Step 2：一般第 k 次消元 (1≤k ≤n-1)
定理
若A的所有顺序主子式 /* determinant of leading
principal submatrices */ 均不为0，则高斯消元无需换行即可进行
到底，得到唯一解。
a11 ... a1i
1 存在，则可通过逐次消 注：事实上，只要 A 非奇异，即 de t(Ai ) ... A... ... 元及行交换，将方程组化为三角形方程组，求出唯一解。 a i 1 ... a ii
二、向量和矩阵(略)
2
定义 A的全体特征值称为A的谱。
谱半径 /* spectral radius */
定义 矩阵A的谱半径记为 (A) = max | i | ，其中i 为 (A)
1 i n
Im
A 的特征根。
Re
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高斯消去法
(Direct Method for Solving Linear Systems)
在工程技术、自然科学和社会科学中，经常遇到的许 多问题最终都可归结为解线性方程组，如电学中网络问题、 用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题，工程中的三次 样条函数的插值问题，经济运行中的投入产出问题以及大 地测量、机械与建筑结构的设计计算问题等等，都归结为 求解线性方程组或非线性方程组的数学问题。因此线性方 程组的求解对于实际问题是极其重要的。
关于线性方程组的数值解法有两大类：
① 直接法：就是经过有限步算术运算，可求得方程组精 确解的方法(若计算过程中没有舍入误差)，如克莱姆 法则就是一种直接法，但实际上由于舍入误差的存在， 这类方法也只能求得线性方程组的近似解。 直接法中具有代表性的算法是高斯(Gauss)消去 法。其特点是准确，可靠，理论上得到的解是精确的. 这类方法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法.
(2)
或简单地记为:
A x b ,
A (a ij)n n,x(x1 ,x2,Lxn)T ,b (b 1 ,b 2,Lb n)T .
5.2 Gauss消去法
第五章方程组的直接解法
G auss消 去 法 是 一 个 古 老 的 求 解 线 性 方 程 组 的 方 法 。 由 它 改 进 的 选 主 元 法 是 目 前 计 算 机 上 常 用 的 有 效 的 求 解 低 阶 稠 密 矩 阵 线 性 方 程 组 的 方 法 。
此 例 可 见 G a u ss消 去 法 的 基 本 思 想 是 ： 用 矩 阵 得 初 等 行 变 换 将 系 数 矩 阵 A 化 为 具 有 简 单 形 式 的 矩 阵 （ 如 上 三 角 阵 ， 单 位 矩 阵 等 ） ， 而 三 角 形 方 程 组 是 很 容 易 回 代 求 解 的 。
第5章 解线性方程组的直接方法
第5章
解线性方程组的直接方法
定理3 若A∈Rnⅹn 为对称矩阵.如果det(Ak) ＞0(k=1,2,…,n),
或A得特征值λi＞0（i=1,2, …,n ）.则A为对称正定矩阵。
《 数 值 分 析 》
有重特征值的矩阵不一定相似于对角矩阵，那么一般n阶 矩阵A在相似变换下能简化到什么形状？
定理4(若尔当（Jordan）标准型） 设A为n阶矩阵，则 存在一个非奇异矩阵P使得
a1(1) x1 b1(1) n ( 2) ( 2) a2 n x2 b2 ( k ) . (2.8) (k ) akn xk bk (k ) (k ) ann xn bn
（2.12 ）
(2.7)
简记为
A（2）X=b（2） ，
( ( ( aij2) aij1) mi1 a11) , j
其中A（2），b（2）的元素计算公式为
(i, j 2,3,, n),
bi( 2) bi(1) mi1 b1(1) , (i 2,3,, n).
第k步：若
(k akk ) 0,
a11 ... ... Ak ak1 ... ... , akk
《 数 值 分 析 》
a
1k
k 1,2, n.
（3）A的特征值λi＞0（i=1,2, …,n ）. （4）A的顺序主子式都大于零，即det(Ak) ＞0(k=1,2,…,n)
(1)）=(a
), b(1)=b. ij
第5章 解线性方程组的直接方法 （1）消元过程 1 (1 第1步：设 a (1) 0,首先计算乘数 mi1 ai(1 ) / a11) , i 2,3n, 11 用－mi1乘（2.1）的第1个方程组，加到第i个中，消去方程组（2.1）的从 第2个方程到第n个方程中的未知数X1，得到与方程组（2.1）等价的线性方 程组 《 数 值 分 析 》
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这一章讨论线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , a 21 x1 a22 x 2 a2 n x n b2 , .................................................. a m 1 x1 am 2 x 2 a mn xn bm .
(由数排成的矩阵表，称为m行n列矩阵).
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x1 x2 m x R x (m维列向量). x m A a1 a2 an ,
其中aj为A的第j列的m维列向量. 同理
T b1 T b2 A , bT m
4 2 2 (A, b)= 3 3 1 2 2 3 1 4 2 r3 6 r2 2 4 2 2 r2 r1 2 2 5 ~ 0 5 2 ~ 0 5 2 2 r3 2 r1 0 6 0 0 7 42 1 5 5 这是Gauss消去法的矩阵计算形式,新的增广矩阵对应的 2 1 4 2 2 6
C AB cij aik bkj ( A R
k 1
n
m n
,B R
n p
,C R
m p
).
(4) 转置矩阵
A R
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m n
,C A R
T
nm
cij a ji .
8
(5) 单位矩阵
I e1 e2 en Rnn ,
p( ) ( 1 )( 2 )( n ).
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由(0.3)式中的行列式展开可得
c1 1 2 n aii ,
i 1
n
cn (1)n 12 n (1)n det A.
故A=(aij)Rn×n的n个特征值1,2,…,n是它的特征方 程(0.3)的n个根，并有
的数值解法.
§5.1 引 言
在自然科学和工程技术中,很多问题归结为解 线性方程组.例如电学中的网络问题，用最小二乘 法求实验数据的曲线拟合问题，解非线性方程组问 题，用差分法或者有限元方法解常微分方程、偏微 分方程边值问题等都导致求解线性方程组。 而这些方程组的系数矩阵大致分为两种，一种是低 阶稠密矩阵(例如，阶数不超过150). 另一种是大型 稀疏矩阵(即矩阵阶数高且零元素较多). 关于线性方程组的解法一般有两大类：
(5) A的秩rank(A)=n.
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定理2 设A∈Rn×n为对称正定矩阵，则 (1) A为非奇异矩阵，且A-1亦是对称正定矩阵. (2) 设Ak为A的顺序主子阵，则Ak(k=1,2,,n)亦 是对称正定矩阵，其中
a11 a1k Ak ( k 1,2, , n). a a kk k1 (3) A的特征值i>0 (i=1,2,,n).
(5) 对称矩阵 如果AT=A. (6) 埃尔米特(Hermit)矩阵 设A∈Cn×n ，如果当
AH =A(AH是A的共轭转置矩阵).
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(7) 对称正定矩阵 如果AT =A且对任意非零向量，
x∈Rn，(Ax, x)=xTAx>0.
(8) 正交矩阵 如果A-1=AT.
(9) 酉[yǒu]矩阵 设A∈Cn×n，如果A-1=AH.
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2. 迭代法 就是用某种极限过程去逐步逼近方程组精确解 的方法. 迭代法具有计算机的存储单元较少、程序设
计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优
点，但存在收敛条件和收敛速度问题.迭代法是解大
型稀疏矩阵方程组 (尤其是由微分方程离散后得到的
大型方程组)的重要方法.
为了讨论线性方程组数值解法，需复习一些基
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再消去最后一个方程的x2得
2 x1 4 x2 2 x3 2 5 x2 2 x3 2 42 7 x3 5 5 消元结束,经过回代得解: 1 1 1 x3 , x2 , x1 6 3 2
上述过程相当于对方程的增广阵做初等行变换
需要计算(n-1)n!次乘法,则Cramer法则至少需要(n2-1)n! 次乘法,当n=20时,有(202-1)20!9.7×1020次乘法运算。 如果用每秒钟计算1百万次乘除运算的计算机，约需要： 9.7×1020÷106 ÷60÷60 ÷24 ÷365 ≈3000万年
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所以克莱姆算法对高阶方程组计算量太大 , 不是 一种实用的算法. 并且实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这 种方法也只能求得线性方程组的近似解。 本章将阐述这类算法中最基本的和具有代表性的 算法就是高斯消去法,以及它的某些变形和应用.这类 方法是解低阶稠密矩阵方程组及某些大型稀疏矩阵方 程组(例如，大型带状方程组)的有效方法.
(10) 初等置换阵 由单位矩阵I交换第i行与第j行 (或第i列与第j列)，得到的矩阵记为Iij，且. IijA=B(为交换A第i行与第j行得到的矩阵)；
AIij=C(为交换A第i列与第j列得到的矩阵).
(11) 置换阵 由初等置换阵的乘积得到的矩阵.
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定理1 设A∈Rn×n，则下述命题等价： (1) 对任何b∈Rn，方程组Ax=b有唯一解. (2) 齐次方程组Ax=0只有唯一解零解x=0. (3) det(A)≠0. (4) A-1存在.
det A 12 n .
及 称trA为A的迹.
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(0.4)
trA aii i .
i 1 i 1
n
n
(0.5)
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A的特征值和特征向量x还有以下性质： ⑴ AT与A有相同的特征值及特征向量x. ⑵ 若A非奇异, 则A-1的特征值为-1,特征向量为x. ⑶ 相似矩阵B=S-1AS有相同的特征多项式. 例1 求矩阵的特征值及谱半径
1 2 2 A 2 2 4 . 2 4 2
解 矩阵A的特征方程为 1 2 2 det(I A) 2 2 4 ( 2)2 ( 7) 0. 2 4 2 得A的特征值为1=2=2, 3=7，谱半径(A)=7.
本的矩阵代数知识.
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二、向量和矩阵
基本概念：
用Rm×n表示全部m×n实矩阵的向量空间；
用Cm×n表示全部m×n复矩阵的向量空间.
A R
m n
a11 a12 a1n a 21 a22 a2 n A (aij ) a a a m2 mn m1
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(7) 矩阵的行列式
设A∈Rn×n，则A的行列式可按任一行(列)展开,
det( A) aij Aij
j 1
n
( i 1,2,, n),
其中Aij为aij的代数余子式，Aij=(-1)i+jMij，Mij为元 素aij的余子式. 行列式性质：
(a ) det( AB) det( A) det( B), A, B Rnn . T nn (b) det( A ) det( A), A R . (c ) det(cA) c det( A), c R, A R (d ) det( A) 0 A是非奇异矩阵 .
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1. 直接法 经过有限次的算术运算,可以求得方程组的精确解(假定 计算过程没有舍入误差).如线性代数课程中提到的克莱 姆算法就是一种直接法.
Cramer法则求n元线性方程组Ax=b的解,需要计算n+1个n阶
行列式,而每个n阶行列式按定义D= p p ... p
1 2
n
(1) t a1 p1 a2 p2 ...anpn
n
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nn
.
10
三、矩阵的特征值与谱半径
定义1 设A=(aij)Rn×n，若存在数(实数或复数) 和非零向量x=(x0,x1,…,xn)TRn，使 Ax=x, (0.1) 则称为A的特征值, x为A对应的特征向量, A的全体 特征值称为A的谱,记作σ(A),即σ(A)={1,2,…,n}.记
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§5.2.1 高斯消去法 为了清楚起见,先看一个简单的例子.
§5.2 高斯消去法
• 引例 解下列线性方程组
2 x1 4 x2 2 x3 2 x1 3 x2 3 x3 1 4 x 2 x 2 x 3 1 2 3
消去后两个方程中的x1得 2 x1 4 x2 2 x3 2 5 x2 2 x3 2 6 x2 6 x3 1
r i 1
ni 1( i 1,2, , r ), 且 ni n.
为若当(Jordan) 块.
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(1) 当A的若当标准型中所有若当块Ji均为一阶 时，此标准型变为对角矩阵. (2) 如果A的特征值各不相同，则其若当标准型
必为对角矩阵diag(1, 2,,n).
( A) max i ,
1 i n
(0.2)
称为A的谱半径. 由(0.1)式可知可使齐次线性方程组 (I-A)x=0 有非零解，故系数行列式det(I-A)=0，记
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a11
a 21 p( ) det(I A) a n1 c1
T 其中 ek (0,,0,1,0,,0) , k 1,2,, n.
(6) 非奇异矩阵
若A, B R