2.3 用频率估计概率

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人教版数学九年级上册 25、3 用频率估计概率教案

25. 3用频率估计概率教学目标（1）知识与技能目标学会依据问题特点，用频率来估计事件发生的概率。

（2）过程与方法目标提高发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，体会概率的基本思想，感受到概率在问题决策中的重要作用，进一步树立数据的观念。

（3）情感态度价值观目标养成学数学、用数学的意识，体验数学的应用价值。

目标解析：1、能够通过试验获得事件发生的频率，并通过大量重复试验，让学生体会到随机事件内部所蕴涵的客观规律——频率的稳定性. 知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值.2、结合生活实例，能进一步明晰频率与概率的区别与联系，了解用频率估计概率的方法与列举法求概率的区别，并能够通过对事件发生频率的分析，估计事件发生的概率.3、在经历用试验的方法探究概率的过程中，培养学生的动手能力、处理数据的能力，进一步增强统计意识、发展概率观念，同时培养学生实事求是的态度、勇于探索的精神及交流与协作精神.教学重、难点重点：了解用频率估计概率的必要性和合理性.难点：教师要注意提问的准确性，并且举恰当的例子，使学生深入理解用频率估计概率，避免出现不必要的枝节。

三、教学问题诊断分析1、由于学生初学概率，且在此之前面对求概率的随机事件都是等可能事件，对于一些结果不是等可能的随机事件（如：认为姚明一次罚篮的结果进与不进是等可能的）会依然采取列举法，这类现象产生的原因是对用列举法求概率的两个条件把握不够，对事件发生的可能性大小分析不透彻所致.2、频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性大小，但频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上刻画事件发生可能性的大小，只有在大量重复试验的条件下，可以近似地作为这个事件的概率. 概率是巨大数据统计后得出的结论，是一种大的整体趋势，是频率在理论上的期望值，它是一个确定的常数，是客观存在的，与试验次数无关. 频率与概率是从量变到质变，是对立统一的. 对于初学者，对两者关系的理解，还需要一个循序渐进的过程.3、容易忽略“大量重复试验”这个用频率估计概率前提条件. 这一问题的出现也是对概率思想的内涵把握不够所致. 概率是针对大量重复试验而言的，如果试验次数太少，试验频率可能会与理论概率值产生较大的偏差，进而不能合理的估计概率.教学流程（一）情景引入：问题1：姚明罚篮一次命中概率有多大？播放“NBA”（美国男子篮球职业联赛）火箭队VS老鹰队的比赛片段，在姚明罚篮球出手后，画面停滞，屏幕显示：问题：姚明罚进的概率有多大？学生先思考、讨论、发言后媒体出示甲、乙、丙的说法：甲：100% 姚明是世界明星嘛！乙：50% 因为只有进和不进两种结果，所以概率为50%. 丙：80% 姚明很准的，大概估计有80%的可能性.同学们，你们同意谁的观点？学生充分交流后，老师对不同说法进行适当的评价，并借机复习用列举法求概率的条件，引导学生分析进与不进的可能性不相等，不能用列举法来求概率.师：那它究竟有没有规律，或者说还有没有其它的办法探求概率呢？屏幕上闪烁显示08—09赛季姚明罚篮命中率86. 6%.师：姚明的命中率从何而来？（统计结果）怎么统计的？（罚中个数与罚球总数的比值）这个比值叫什么？（这实际上就是频率，这种方法实际上就是用频率估计概率）在此基础上，导出课题.（二）试验探究问题2：怎样用频率估计概率？1、抛掷一枚硬币正面（有数字的一面）向上的概率是二分之一，这个概率能否利用刚才计算命中率方法──通过统计很多掷硬币的结果来得到呢？2、试验一（掷硬币试验）（配合亲切童声播放）全班共分10个小组，每小组8人，共抛50次，推荐组长一名，组长不参与抛掷.表1（个人抛掷情况统计表）表2（小组抛掷情况统计表）表3（硬币抛掷统计表）问题3：分析试验结果及史上数学家大量重复试验数据，大家有何发现？3、分析数据全班填写表3得到硬币正面向上频率的同时，教师在黑板上绘制折线图，完成后教师提问：①随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率在哪个数字的左右摆动？②随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率在0. 5的左右摆动幅度有何规律？（学生从折线图1中难以发现）师：接下来，我们增加试验次数，看看有什么新的发现，历史上有许多数学家为了弄清其中的规律，曾坚持不懈的做了成千上万次的掷硬币试验.引导学生关注数学家的严谨，师：还有一位数学家，做了八万多次的试验.观察频率在0. 5附近摆动幅度有何规律？观察折线图2：③请大家分析，两个折线图反映的规律有何区别？什么原因造成了不同？学生得出：图一，试验次数少一些，“正面向上”的频率在0. 5左右摆动的幅度大一些.④你们认为出现的规律与试验次数有何关系？（试验次数越多频率越接近0. 5，即频率稳定于概率.）⑤数学家为什么要做那么多试验？⑥当“正面向上”的频率逐渐稳定到0. 5时，“反面向上”的频率呈现什么规律？概率与频率稳定值的关系是什么呢？师生共同小结：至此，我们就验证了可以用计算罚篮命中率的方法来得到硬币“正面向上”的概率.（三）揭示新知问题4：为什么可以用频率估计概率？师：其实，不仅仅是掷硬币有规律，人们在大量的生产生活中发现：对于一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率也总在一个固定数附近摆动，显示出一定的稳定性.引出瑞士数学家雅各布·伯努利最早阐明频率具有稳定性，介绍其家族前后三代共出13位大数学家和大物理学家，进行数学史的教育.师：由于大量重复试验的频率具有稳定性，由此可根据这个稳定的频率来估计概率.归纳：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的概率m/n会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)=P.教师指出这是从统计的角度给出了概率的定义，也是探求概率的一种新方法，列举法仅限于试验结果有限个和每种结果出现的可能性相等的事件求概率，而用频率估计概率的方法不仅适用于列举法求概率的随机事件，而且对于试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等的随机事件，我们也可以用频率来估计概率.问题5：频率与概率有什么区别与联系？学生思考、讨论后全班交流. 此处重点强调学生理解，若不能概括、归纳，则直接出示答案. （四）巩固练习牛刀小试某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：①计算表中相应的“射中9环以上”的频率（精确到0. 01）；②这些频率稳定在哪一个常数附近？③根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率（精确到0. 1）. 伶牙俐齿（1）天气预报说下星期一降水概率为90%，下星期三降水概率为10%，于是有位同学说：下星期一肯定下雨，下星期三肯定不下雨，你认为他说的对吗？（2）小明投篮5次，命中4次，他说一次投中的概率为5分之4对吗？（3）小明的爸爸这几天迷上了体育彩票，该体育彩票每注是一个7位的数码，如能与开奖结果一致，则获特等奖；如果有相连的6位数码正确，则获一等奖；……；依次类推，小明的爸爸昨天一次买了10注这种彩票，结果中了一注一等奖，他高兴地说：“这种彩票好，中奖率高，中一等奖的概率是10%！小明爸爸的说法正确吗？”设计方案1、老王投资在鱼塘里放了一些鱼苗，秋天了，他准备出售这些鱼，但要想卖一个好价钱就必须估计鱼塘里有多少条鱼，这可难住了老王。

人教版数学九年级上册25.3用频率估计概率课时2课件

.
对接中考
1
解：随机产生m个有序数对(x,y)，对应的点在平面直角坐标系中全部在如图
所示的正方形的边界及其内部，
这些点中到原点的距离小于或等于1的n个点在图中阴影部分内，
则有
∴π=
1

4
1
4

=

．
，
对接中考
2
如图，均匀的正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字.小明做了60次
投掷试验，结果统计如下：
答：该地区还需移植这种树苗约15万棵.
新知探究
根据估计的概率可以知道，在 10 000 kg 柑橘中完好柑橘
的质量为
10 000×0.9＝9 000（kg）．
设每千克柑橘售价为 x 元，则
9 000x -2×10 000＝5 000．
解得
x ≈ 2.8（元）．
因此，出售柑橘时，每千克定价大约2.8元可获利润5000元．
课堂小结
频率与概率
从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，
进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数
据记录在下表中．请你帮忙完成下表．
柑橘在运输、储存
中会有损坏，公司必
须估算出可能损坏的
柑橘总数，以便将损
坏的柑橘的成本折算
到没有损坏的柑橘售
价中.
柑橘总质量 n /kg
柑橘损坏的概
50
0.1
率是
.(保留
100
一位小数)
150
损坏柑橘质量 m /kg
“兵”字面朝上的次数 14
“兵”字面朝上的频率 0.70
40
18
0.45
60
38
0.63
80
47

《用频率估计概率》教学设计

《用频率估计概率》教学设计一、内容和内容解析1、本课数学内容本课数学内容为湘教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级下册“25.3用频率估计概率”。

2、本课数学内容解析瑞士数学家雅各布·伯努利（1654－1705）被公认为是概率论的先驱之一，他最早阐明了随着试验次数的增加，频率稳定在概率附近。

基于此，我们可以用这个稳定的频率作为事件发生的概率──“一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率m/n会稳定在某个常数P附近，那么事件A发生的概率P（A）=P。

”这也就是概率的统计定义。

用频率估计概率，充分体现统计与概率的基本思想，他们的实质都是偶然的现象中包含着必然的规律。

“用频率估计概率”是“概率”这一章的第三节，是在学生学习了概率及概率的计算之后对概率的进一步研究。

教材这样编排其主要意图有三：1、遵从概率的产生及发展规律。

历史上概率（指客观概率）的定义经历了三个阶段：①概率的古典定义；②概率的统计定义；③概率的公理化定义。

2、符合学生的认知规律。

概率的古典定义相对简单，所涉事件的概率有确定的结果，学生易于接受，而概率的统计定义其内涵更为深刻。

3、相对于概率的古典定义，用频率估计概率的方法更具一般性与普遍性，它不受列举法求概率两个条件的限制，适用范围更广。

初学统计概率的学生并不是难在用频率估计概率，而是难在多大程度上感受用频率估计概率的必要性以及体会用频率估计概率所蕴含的基本思想，然后自觉地运用到实际生活中。

所以，要发动学生积极参与，动手实验，在实践中感悟。

在这一节内容中，必须解决三个问题：一是用频率估计概率的必要性；二是用频率估计概率的合理性；三是会用频率估计概率，从而解决实际问题。

3、本课数学内容的重点和难点本节的教学重点是：以实例为载体，在大量的重复实验中体会用频率估计概率的必要性与合理性（不是讲道理），进而进一步体会概率的意义。

本节的教学难点是：大量重复试验得到频率稳定值的分析，对频率与概率的关系的理解。

人教版九年级数学上册《25.3用频率估计概率》教案

1.生深入理解；
2.培养学生分析问题和解决问题的能力，引导他们从多角度思考问题；
3.鼓励学生独立思考，创新思维，提高他们在实际应用中运用数学知识的能力。
在今后的教学中，我会不断总结经验，改进教学方法，努力提高学生的学习效果。同时，关注学生的个体差异，因材施教，让每个学生都能在数学学习中找到乐趣和成就感。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解频率和概率的基本概念。频率是指某个事件在多次实验中发生的次数与实验总次数的比值。概率则是描述某个事件发生可能性的数学度量。它们在预测和决策中起着重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过掷骰子的实验，观察不同点数出现的频率，并探讨如何用频率估计概率。
人教版九年级数学上册《25.3用频率估计概率》教案
一、教学内容
人教版九年级数学上册《25.3用频率估计概率》主要内容包括：
1.频率的定义与计算方法；
2.频率与概率的关系，利用频率估计概率；
3.案例分析：通过实验或统计数据，运用频率估计概率；
4.课堂练习：完成教材中相关的习题，巩固频率估计概率的方法。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了频率和概率的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对用频率估计概率的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
本章节将引导学生通过实际操作，观察与分析实验数据，理解频率的概念，并运用频率来估计事件的概率，增强学生对概率与统计知识的理解和应用能力。教学内容与教材紧密关联，注重培养学生的实际操作能力和数据分析能力。

浙教版数学九年级上册《2.3用频率估计概率》说课稿2

浙教版数学九年级上册《2.3 用频率估计概率》说课稿2一. 教材分析《2.3 用频率估计概率》是浙教版数学九年级上册第四章的内容。

这部分内容是在学生已经掌握了概率的基本概念，以及如何通过实验来探究事件发生的可能性之后进行学习的。

在本节课中，学生将学习如何利用频率来估计事件的概率，进一步理解概率的内涵。

教材通过具体的实例，引导学生感受频率与概率之间的关系，培养学生的数学应用能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的概率基础知识，对概率概念有一定的理解。

但是，对于如何利用频率来估计概率，以及频率与概率之间的关系，可能还不是很清楚。

因此，在教学过程中，我将会注意引导学生通过实验来探究频率与概率之间的关系，让学生在实践中掌握用频率估计概率的方法。

三. 说教学目标1.知识与技能：理解频率与概率之间的关系，学会如何利用频率来估计概率。

2.过程与方法：通过实验探究，感受频率与概率之间的关系，培养学生的动手实践能力。

3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

四. 说教学重难点1.重点：频率与概率之间的关系，如何利用频率来估计概率。

2.难点：频率与概率之间的关系在实际问题中的应用。

五. 说教学方法与手段在本节课中，我将采用实验探究、小组讨论、讲解示范等教学方法。

同时，利用多媒体教学手段，为学生提供丰富的学习资源，帮助学生更好地理解和掌握知识。

六. 说教学过程1.导入新课：通过复习概率的基本概念，引导学生思考如何用实验来探究事件发生的可能性。

2.探究频率与概率之间的关系：让学生进行实验，观察实验结果，引导学生发现频率与概率之间的关系。

3.讲解频率估计概率的方法：通过对实验结果的分析，讲解如何利用频率来估计概率。

4.应用练习：让学生运用所学的知识解决实际问题，巩固用频率估计概率的方法。

5.总结提升：引导学生总结本节课所学的内容，提高学生对频率与概率之间关系的理解。

七. 说板书设计板书设计如下：频率与概率之间的关系八. 说教学评价本节课的评价方式主要包括课堂表现、练习完成情况和小组讨论。

人教版数学九年级上册25.3《用频率估计概率》名师教案

25.3 用频率估计概率〔肖莲琴〕一、教学目标〔一〕学习目标1．通过掷硬币、掷图钉，经历猜想、试验、收集数据、分析结果的过程，体会当试验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性，开展学生根据频率的集中趋势估计概率的意识． 2．在生活实际问题中进一步体会利用频率的集中趋势估计概率，开展学生应用数学的能力．〔二〕学习重点通过试验操作理解频率的稳定性. 〔三〕学习难点能根据频率的集中趋势估计概率，并理解概率与频率之间的关系. 二、教学设计〔一〕课前设计 1．预习任务〔1〕频率：在n 次重复试验中，不确定事件A 发生了m 次，那么比值_____称为事件A 发生的频率．概率：刻画事件A 发生的可能性大小的数值称为事件A 发生的概率．〔2〕掷一枚质量均匀的硬币时会出现正面向上和反面向上两种结果，这两种结果发生的可能性是一样的．准备一枚均匀的一元硬币，随机掷10次，并将你的结果记录在下表中：〔3〕阅读教材第142随机事件在一次试验中是否发生不能事先确定，但是在大量重复试验中，一个事件发生的频率总在一个固定的数的附近摆动，显示出一定的稳定性，因此我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率． 2．预习自测〔1〕色盲是伴X 染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随mn机抽取体检表，统计结果如下表：根据上表，估计在男性中，男性患色盲的概率为〔〕【知识点】频率的稳定性【解题过程】解：观察表格中频率的变化规律，当试验次数较大时，频率稳定在0.07附近，因此可以估计男性患色盲的概率为0.07.【思路点拨】并观察频率的变化规律【答案】B〔2〕关于频率和概率的关系，以下说法正确的选项是〔〕A．频率就是概率B．频率等于概率C．当试验次数很大时，频率稳定在概率的附近D．因为掷硬币出现正面向上的概率是0.5，所以抛掷一枚均匀硬币10次，一定出现5次正面向上【知识点】频率与概率的关系【解题过程】解：A频率是试验值，由试验结果断定；概率是理论值，由事件本质决定，因此说法错误；B屡次重复试验中频率稳定在概率附近，不一定相等，因此说法错误；C在屡次重复试验中，频率会稳定在概率的附近，说法正确；D试验次数较少，偶然性较大，因此说法错误.【思路点拨】理清频率与概率的区别与联系：频率是个试验值，试验结果不一样频率也就不一样，频率只能近似地反映事件发生的可能性的大小；而概率是一个理论值，是由事件的本质决定的，其大小是个固定值，概率能准确的反映事件发生的可能性的大小．在屡次重复试验中，频率会稳定在概率的附近，因此可以用屡次重复试验中的频率估计概率．【答案】C〔3〕在一个不透明的袋子里装有除颜色以外均一样的8个黑球，4个白球，假设干个红球，每次摇匀以后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋子中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋子中的红球有〔〕个. A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 【知识点】频率估计概率【解题过程】解：设袋子中红球有x ∴4.048=++xx，解得x ＝8．【思路点拨】大量重复试验中，摸到红球的频率稳定于0.4，因此可以推测摸到红球的概率也为0.4，再根据概率的计算公式可得红球数量．【答案】B（4）某乳业集团位于内蒙古天然草场的养牛基地共有4500头牛，饲养员为了了解清楚公牛和母牛的比例，随机捕捉了200头牛做调查，发现其中母牛有180头，请估算该养牛基地共有〔〕头公牛.A ．500B ．4050C ．3200D ．450 【知识点】频率与概率的关系【解题过程】解：在随机捕捉的200头牛中公牛数量为200-180=20头，那么估计该养牛场公牛占比为20÷200×100%=10%，估计公牛总量为4500×10%=450头. 【思路点拨】随机样本中的公牛比例与整个养牛基地的公牛比例近似相等. 【答案】D 〔二〕课堂设计 1．知识回忆〔1〕在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求随机事件的概率．〔2〕我们常用列表和树状图两种方法列举试验的结果．【设计意图】通过对旧知识的复习，为新知识的学习作铺垫. 2．问题探究探究一通过频率估计概率〔★，▲〕 ●活动① 以旧引新教师提问引入：周末，在我市体育馆有一场精彩的篮球比赛，但是教师手里只有一张票，作为篮球迷的小强和小明都想去，这样教师很为难．请大家帮教师想一个公平的方法，来决定把这张票给谁．学生：抓阄、抽签、猜拳、掷硬币、……教师对学生较好的想法予以肯定，并从中抽选出掷硬币的方法．师追问：为什么要用掷硬币的方法呢？生答：掷硬币公平，能保证小强和小明得到球票的可能性一样大．师问：用掷硬币的方法分配球票是一个随机事件，尽管事先不能确定结果是“正面向上〞还是“反面向上〞，但大家很容易感受到这两种随机事件的发生的可能性是一样，各为0.5，所以对于小强和小明来说这个方法是公平的．但是，我们的直觉是可靠的吗？掷硬币出现“正面向上〞和“反面向上〞的可能性真的是相等的吗？有什么方法可以验证呢？ ●活动② 大胆操作，探究新知掷硬币，观察随着抛掷次数的增加，“正面向上〞的频率nm的变化趋势师问：课前，我们每个同学都进展了掷硬币的试验，并计算了“正面向上〞的频率，你有什么发现呢？汇总你们小组的抛掷数据你又有什么发现呢？如果将我们全班的数据统计起来又能发现什么呢？现在，我们就将每个组掷硬币的数据累计到excel 表格中〔见附件1〕：抛掷次数n50 100 150 200 250 300 350 400 “正面向上〞的频数m “正面向上〞的频率nm根据数据自动生成折线统计图：师问：随着试验次数的增加，“正面向上〞的频率nm有什么规律？学生观察折线统计图生1答：频率nm 生2答：试验次数比拟小时，频率n m 波动比拟大，但试验次数较大时，频率n m比拟稳定生3答：随着试验次数的增大，频率nm【设计意图】从学生们熟悉的掷硬币活动入手，既简单易操作，且更容易使学生看出频率稳定在0.5的附近，也即是概率的附近．●活动③ 掷图钉，观察随着抛掷次数的增加，“针尖向上〞的频率nm的变化趋势．师问：可能有同学会觉得教师用大量重复试验的方法得到掷一枚硬币出现“正面向上〞的概率未免也太大费周章了，而且最终还只是一个概率的近似值！谁都知道掷一枚硬币出现“正面向上〞的概率为0.5，那么这种用试验的方法求随机事件的概率还有什么优点呢？师问：〔拿出一枚图钉〕大家知道随机抛掷一枚图钉出现“针尖向上〞的概率是多少吗？生答：不知道〔假设有答复“针尖向上〞概率为0.5的，需要教师及时引导由于图钉不是均匀物体，所以“针尖向上〞和“针尖向下〞两种事件的结果出现的可能性不一样大〕师问：你能想方法得到“针尖向上〞的概率吗？学生小组讨论，设计方案：类似抛掷硬币的活动，通过大量重复试验的频率估计“针尖向上〞的概率．小组合作，得到抛掷50次图钉的数据．教师累计全班数据到excel 表格中〔见附件2〕：根据数据自动生成折线统计图：师问：随着试验次数的增加，“针尖向上〞的频率nm有什么规律？学生观察折线统计图生1答：频率nm约等于…… 生2答：试验次数比拟小时，频率n m 波动比拟大，但试验次数较大时，频率n m比拟稳定生3答：随着试验次数的增大，频率nm稳定在……的附近【设计意图】生活中有很多等可能性事件，不用试验也可以通过列举法理论分析出它发生的概率，但也有很多类似掷图钉的事件，它们不是等可能性试验，那它们发生的概率该如何得到呢？因此设计了本活动，鼓励学生合作探究，通过不熟悉的掷图钉活动，进一步感受当试验次数很大时，频率会稳定在一个固定的值的附近，因此可以用大量重复试验的频率估计概率．总结：〔1〕随机事件在一次试验中是否发生不能事先确定，但是在大量重复试验中，一个事件发生的频率总在一个固定的数的附近摆动，显示出一定的稳定性，这个固定的数就是随机事件发生的概率，因此我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率．〔2〕概率与频率之间是有区别和联系的：①区别：频率是个试验值，试验结果不一样频率也就不一样，频率只能近似地反映事件发生的可能性的大小；而概率是一个理论值，是由事件的本质决定的，其大小是个固定值，概率能准确的反映事件发生的可能性的大小．②联系：可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率．〔3〕用试验法通过频率估计概率的方法可以不受“各种结果出现的可能性相等〞的条件限制，使得可求概率的随机事件的范围扩大．探究二频率估计概率在生活实际问题中的应用 ●活动① 根底性例题例1 一个袋子中有两个黄球，三个白球，它们除颜色外均一样，小明随机从袋子中摸出一个球，恰好摸到了一个白球，那么以下说法正确的选项是〔〕 A ．小明从袋子中取出白球的概率是1 B ．小明从袋子中取出黄球的概率是0 C ．这次试验中，小明取出白球的频率是1D ．由这次试验的频率可以去估计取出白球的概率是1 【知识点】频率与概率的关系【解题过程】A ．小明从袋子中取出白球的概率是53，故A 选项错误；B ．小明从袋子中取出黄球的概率是52，故B 选项错误；C ．这次试验里，一共摸了1次球，恰好是白球，所以这次试验中，小明取出白球的频率是1，故C 选项正确；D ．仅进展了一次试验，试验次数太少，频率不能估计概率，故D 选项错误．【思路点拨】此题需理清频率与概率的关系，概率是一个理论值，是由事件的本质决定的，其大小是个固定值；频率是个试验值，试验结果不一样频率也就不一样．在大量重复试验中，一个事件发生的频率总在一个固定的数的附近摆动，显示出一定的稳定性，这个固定的数就是随机事件发生的概率，因此我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率．不能将频率、概率混为一谈．【答案】C练习抛一枚普通硬币掷得反面向上的概率为21，它表示〔〕 A ．连续抛掷硬币两次，一定是一次正面朝上，一次反面朝上 B ．每抛掷硬币两次，就一定有一次反面朝上C ．连续抛掷硬币200次，一定会出现100次反面朝上D ．大量反复掷硬币，平均每两次会出现一次反面朝上【知识点】频率与概率的关系【解题过程】A ．掷两次硬币，偶然性较大，不一定是一次正面朝上，一次反面朝上，故A 选项错误；B ．每抛掷硬币两次偶然性较大，不一定有一次反面朝上，故B 选项错误；C ．连续抛掷硬币200次，试验次数较大，会出现100次左右的反面朝上，但也不能确定是100次，故C 选项错误；D ．大量反复掷硬币，出现反面朝上的频率应该会稳定在0.5的附近，即平均每两次会出现一次反面朝上，故D 选项正确．【思路点拨】【答案】D例2 小颖和小红两位同学在学习“概率〞时，做投掷骰子〔质地均匀的正方体〕试验，她们共做了60次试验，试验的结果如下表：〔1〕计算“3点朝上〞的频率和“5点朝上〞的频率；〔2〕小颖说：“根据试验，一次试验中出现5点朝上的概率最大．〞小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次．〞小颖和小红的说法正确吗？为什么？【知识点】频率的计算；频率与概率的关系【解题过程】〔1〕∵“3点朝上〞出现的次数是8次， ∴“3点朝上〞的频率是152608=；又∵“5点朝上〞出现的次数是15次， ∴“5点朝上〞的频率是416015= 〔2〕小颖和小红的说法都不正确但是由于60次试验次数较小，频率并不一定稳定在概率的附近，不能直接将此时的频率当成概率，因此小颖的说法是错误的．如果掷600次，虽然试验次数较大，但频率也只是稳定在概率61的附近，约为100次，不一定正好是100次，因此小红的说法也是错误的．【思路点拨】此题一定要弄清频率与概率的关系，理解它们的区别与联系：频率不能简单等同于概率，但试验次数较大时，频率稳定在概率的附近，因此可以用反复试验后的频率估计概率．【答案】见上面解题过程练习为了看一种图钉落地后针尖着地的概率有多大，小明和小华做了屡次试验，并将结果记录在下表：〔1〕分别计算抛掷次数为50次和200次时，针尖着地的频率；〔2〕根据计算结果，小明认为：“抛掷这种图钉，针尖着地的概率大约是0.45〞，小华认为：“每抛掷100次这种图钉，一定出现45次针尖着地〞．你认为他们的说法正确吗？为什么？【知识点】频率的计算；频率与概率的关系【解题过程】〔1〕∵抛掷50次时，“针尖着地〞的频数是23， ∴“针尖着地〞的频率是46.05023=；又∵抛掷200次时，“针尖着地〞的频数是89， ∴“针尖着地〞的频率是445.020089= 〔2〕小明的说法正确，因为根据表格中频率的变化趋势，当试验次数增加时，频率稳定在0.45的附近，因此可以估计抛掷这种图钉，针尖着地的概率大约是0.45；小华的说法错误，因为抛掷这种图钉，针尖着地的概率大约是0.45，所以每抛掷100次这种图钉，只能说大约出现45次针尖着地，不能说一定是45次．【思路点拨】此题一定要弄清频率与概率的关系，理解它们的区别与联系：频率不能简单等同于概率，但试验次数较大时，频率稳定在概率的附近，因此可以用反复试验后的频率估计概率．【答案】见上面解题过程【设计意图】对于初学者而言，“频率〞、“概率〞两个词只有一字之差，容易混为一谈，但其实二者是既有区别又有联系的．通过例1、例2及两个练习题，使学生充分理解频率和概率两个概念的含义． ●活动2 提升型例题例1 下表是某机器人做9999次“抛硬币〞游戏时记录下的出现正面朝上的频数和频率.〔1〕由这张频数和频率表可知机器人抛掷完5次时，得到_______次正面朝上，正面朝上出现的频率是________．〔2〕由这个频数和频率表可知机器人抛掷完9999次时，得到次正面朝上，正面朝上出现的频率约是．〔3〕观察上面表格中频率的变化趋势，你能发现什么？【知识点】用频率估计概率【解题过程】〔1〕直接根据表格中的数据可知，机器人抛掷完5次时，有1次正面朝上，正面朝上的频率是20%；〔2〕直接根据表格中的数据可知，机器人抛掷完9999次时，有5006次正面朝上，正面朝上的频率是50.1%；〔3〕观察频率的变化趋势发现：当机器人抛掷次数较小时，出现正面朝上的频率波动较大；当机器人抛掷次数较大时，出现正面朝上的频率比拟稳定，稳定在50%的附近．【思路点拨】试验次数较大时的频率具有稳定性．【答案】〔1〕1 20%〔2〕5006 50.1%〔3〕观察频率的变化趋势发现：当机器人抛掷次数较小时，出现正面朝上的频率波动较大；当机器人抛掷次数较大时，出现正面朝上的频率比拟稳定，稳定在50%的附近．练习一粒木质中国象棋子“兵〞，它的正面雕刻一个“兵〞字，它的反面是平的．将它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵〞字面朝上，也可能是“兵〞字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵〞字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下掷实验，实验数据如下表：〔1〕请你数据表补充完整；〔2〕如果实验继续进展下去，根据上表的数据，这个实验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少？【知识点】用频率估计概率【解题过程】〔1〕∵试验总次数为40，而“兵〞字面朝上的频率为0.45，∴“兵〞字面朝上的频数＝40×0.45＝18又∵试验总次数为120，而“兵〞字面朝上的频数为66，∴〔2〕观察表格中频率的变化趋势，随着试验次数的增加，“兵〞字面朝上的频率逐渐稳定在0.55的附近，因此估计“兵〞字面朝上的概率为0.55．【思路点拨】试验次数较大时的频率具有稳定性，因此可以用大量重复试验下的频率估计概率．例2 在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全一样的球，这a个球中只有3个红球．假设每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，那么a的值大约为____．【知识点】用频率估计概率、古典概型概率计算方法【解题过程】由于通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，所以，摸到红球的概率就为20%．因为，一共有a个除颜色外完全一样的球，其中只有3个红球所以，摸到红球的概率为3=a20%解得：a＝15所以，a的值为15【思路点拨】抓住等可能性随机事件概率既可以通过大量重复试验得到，也可以通过古典概型的计算公式得到．【答案】15练习为了估计暗箱里白球的数量〔箱内只有白球〕，将5个红球放进去，随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，屡次重复后发现红球出现的频率约为0.2，那么可以估计暗箱里白球的数量大约为________个．【知识点】用频率估计概率、古典概型概率计算方法所以，摸到红球的概率就为0.2．设一共有x 个白球，其中有5个红球，所以一共有(x ＋5)个球所以，摸到红球的概率为55x 解得：x ＝20所以，有20个白球．【思路点拨】古典概型的概率可以根据概率的计算公式求，也可以根据大量重复试验所得的频率来求，这样始终就存在一个等量关系，利用这个等量关系，往往可以求一些未知的数量. 【答案】20【设计意图】通过数量直接求频率、用频率估计概率和逆用概率公式求数量两个方向的例题及练习题目，进一步加深学生对频率、概率的理解，为学生能顺利解决下一组例题奠定根底． ●活动3 探究型例题例1 某园林公司要考察某种幼苗在一定条件下的移植存活率，应采用什么具体做法？〔1〕如图是一张模拟统计表，请补全表中的空缺，并完成表下的填空：〔2〕从上表可以发现，随着移植数的增加，幼苗移植成活的频率越来越稳定，当移植总数为14000时，成活的频率为0.902，于是估计该幼树移植成活的概率为______．〔3〕假设某校需要移植500棵该种幼树，估计需要向这个园林公司购置多少棵幼树？〔结果保存整数〕【知识点】设计频率统计方案，用频率估计概率【解题过程】设计的方案为：在同样条件下，对这种幼树进展大量移植，并统计成活情况，计算成活的频率．随着移植数n 越来越大，成活频率nm会越来越稳定，于是就可以把频率作为成活率的估计值．〔1〕直接用成活数m 除以移植总数n〔2〕观察频率的变化趋势发现，随着移植数的增加，幼苗移植成活的频率越来越稳定在0.9的附近，因此可以估计该幼树移植成活的概率为0.9；假设需要购置x 课该种幼树，那么由题意可得：9.0500=x解得：556≈x需要购置556课该种幼树【答案】见上面解题过程练习：某地区林业局要考察一种树苗移植的存活率，对该地区这种树苗移植成活情况进展了统计，并绘制了如下图的统计图，根据统计图提供的信息解决以下问题：/千棵〔1〕这种树苗成活的频率稳定在_________，成活的概率估计值为_________ 〔2〕该地区已经移植这种树苗5万棵 ①估计这种树苗成活了_______万棵；②如果该地区方案成活18万棵这样的树苗，那么还需要移植这种树苗约多少万棵？【知识点】屡次重复试验，用频率估计概率【解题过程】〔1〕观察统计图可以发现当移植数量较多时，成活的频率稳定在0.9的附近，因此估计这种树苗的成活概率为0.9；〔2〕①②∵18－4.5＝13.5〔万棵〕∴还需移植13.5÷0.9＝15〔万棵〕【思路点拨】首先观察统计图估计出这种树苗成活的概率为0.9，然后利用成活概率和移植总数就可以计算出成活的树苗，也可以用方案成活的树苗和概率求出应移植的树苗．【答案】〔1〕0.9 0.9 〔2〕①4.5 ②15万棵例2 某水果公司以2元/kg的本钱价新进10000kg的柑橘．销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取假设干柑橘，进展“柑橘损坏率〞统计，并把获得的数据记录在下表中，请你帮助完成此表．如果公司希望这批柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘〔去掉损坏的柑橘〕时，每千克大约定价为多少元比拟适宜？【知识点】频率的计算与应用频率稳定性【解题过程】①表格：0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103．②根据表格中的频率变化规律，可以估计柑橘损坏的概率为0.1，即柑橘完好的概率为0.9，所以在10000 kg的柑橘中完好柑橘的质量为10000×0.9＝9000〔kg〕完好柑橘的实际本钱为22.29.029000100002≈=⨯〔元/kg 〕设每千克柑橘的售价为x 元，那么50009000)22.2(=⨯-x解得：8.2≈x ．【思路点拨】先计算柑橘损坏的频率nm，再观察频率的变化趋势，根据频率估计出损坏柑橘的概率，得到销售商实际销售的完好的柑橘数量，计算出完好柑橘的实际本钱，再根据利润为5000元建立方程即可．【答案】见上面解题过程．练习：某制衣厂对该厂生产的名牌衬衫抽检结果如下表：〔1〕补全表格〔结果保存2位小数〕〔2〕假设该制衣厂一共生产了1000件这种衬衫，且每件衬衫的本钱价为80元，要使这批衬衫能获利17000元，那么在出售衬衣〔除去不合格衬衣〕时，每件衬衣的出厂价应定为多少元？【知识点】频率的计算与应用频率稳定性【解题过程】〔1〕根据频率的计算公式：频率＝不合格件数÷抽检件数 ∴，〔2〕根据表格中的频率变化规律，可以估计这批衬衣不合格的概率为0.03，即合格的概率为0.97，所以在1000件的衬衣中合格的衬衣有 1000×0.97＝970〔件〕设在出售衬衣〔除去不合格衬衣〕时，每件衬衣的出厂价应定为x 元，那么由题意可得：970x －1000×80＝17000 解得：x ＝100∴在出售衬衣〔除去不合格衬衣〕时，每件衬衣的出厂价应定为100元．【思路点拨】观察不合格衬衣频率的变化趋势，根据频率估计出不合格衬衣的概率，得到这批衬衣合格的件数，再根据利润为17000元建立方程即可．〔2〕100元【设计意图】频率、概率来源于生活，又效劳于生活，通过树苗移植成活率、柑橘的定价问题，将频率、概率与实际生活联系起来，表达了用数学的思想．3．课堂总结知识梳理〔1〕生活中有一些随机事件发生的概率不能用列举法得到，只能通过大量重复试验估计随机事件的频率；〔2〕当试验次数很大时，频率稳定在一个固定的数值附近，这个数值就是该事件发生的概率，但频率和概率不能简单的等同；〔3〕概率与频率之间的区别和联系：区别：频率是个试验值，试验结果不一样频率也就不一样，频率只能近似地反映事件发生的可能性的大小；而概率是一个理论值，是由事件的本质决定的，其大小是个固定值，概率能准确的反映事件发生的可能性的大小．联系：可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率．重难点归纳〔1〕通过大量重复试验，频率会稳定在概率的附近；〔2〕生产生活中，可以设计大量重复试验来估计随机事件的概率；〔3〕求随机事件的方法：列举法〔等可能性事件〕、试验法〔不等可能事件〕．〔三〕课后作业根底型自主突破1．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率和概率，以下说法正确的选项是〔〕A．频率就是概率B．频率与试验次数无关C．概率会随着试验结果的变化而变化D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率【知识点】频率与概率的意义。

【初中数学】人教版九年级上册25.3 用频率估计概率(练习题)

人教版九年级上册25.3 用频率估计概率(153) 1.某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（）A.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B.一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃C.暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D.掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是42.小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做掷骰子(质地均匀的正方体)试验．(1)她们在一次试验中共掷骰子60次，试验的结果如下：①填空：此次试验中“5点朝上”的频率为；②小红说：“根据试验，出现5点的概率最大．”她的说法正确吗？为什么？(2)小颖和小红在试验中如果各掷一枚骰子，那么两枚骰子朝上的点数之和为多少时的概率最大？试用列表法或画树状图的方法加以说明，并求出其概率．3.为了了解初中生毕业后就读普通高中或就读中等职业技术学校的意向，某校对八、九年级部分学生进行了一次调查，调查结果有三种情况：A．只愿意就读普通高中；B．只愿意就读中等职业技术学校；C．就读普通高中或中等职业技术学校都愿意．学校教务处将调查数据进行了整理，并绘制了如图所示的尚不完整的统计图，请根据相关信息，解答下列问题：(1)本次活动共调查了多少名学生？(2)补全图①，并求出图②中B区域的圆心角的度数；(3)若该校八、九年级的学生共有2800名，请估计该校八、九年级学生中只愿意就读中等职业技术学校的人数．4.某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下表：那么估计这种油菜籽发芽的概率是(结果精确到0.01)．5.为了估计暗箱里白球的数量(箱内只有白球)，将5个红球放进去，随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复后发现红球出现的频率约为0.2，那么可以估计暗箱里白球的数量大约为个．6.儿童节期间，某公园游乐场举行一场活动．有一种游戏规则是在一个装有8个红球和若干个白球(每个球除颜色不同外，其他都相同)的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个玩具．已知参加这种游戏的儿童有40000人，公园游乐场发放玩具8000个．(1)求参加此次活动得到玩具的频率;(2)请你估计袋中白球的数量接近多少．7.为了估计水塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中捕获30条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放回鱼塘，再从鱼塘中打捞200条鱼．若在这200条鱼中有5条鱼是有记号的，则鱼塘中的鱼可估计为（）A.3000条B.2200条C.1200条D.600条8.在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（）A.频率就是概率B.频率与试验次数无关C.概率是随机的，与频率无关D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率9.某校篮球队进行篮球投篮训练，下表是某队员投篮的统计结果：根据上表可知该队员一次投篮命中的概率大约是（）A.0.9B.0.8C.0.7D.0.7210.在一个不透明的盒子中装有a个除颜色不同外其余完全相同的球，这a个球中只有3个红球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为（）A.12B.15C.18D.2111.一个不透明的口袋里装有除颜色不同外其余都相同的10个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了1000次，其中有200次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约为（）A.60个B.50个C.40个D.30个参考答案1.【答案】:D【解析】:A项中，小明随机出的是“剪刀”的概率是13≈0.33.B项中，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是1352=14=0.25.C项中，从中任取一球是黄球的概率是23≈0.67.D项中，向上一面的点数是4的概率是16≈0.17.而折线统计图中试验的频率稳定在0.17左右，与D项中概率接近．故选 D2(1)【答案】①∵试验中“5点朝上”的次数为20，总次数为60，∴此次试验中“5点朝上”的频率为2060=13．②小红的说法不正确．理由：∵利用频率估计概率的试验次数必须比较多，重复试验，频率才慢慢接近概率．而她们的试验次数太少，没有代表性，∴小红的说法不正确(2)【答案】列表如下：由表格可以看出，共有36种等可能的结果，其中点数之和为7的结果数最多，有6种，∴两枚骰子朝上的点数之和为7时的概率最大，最大概率为636=163×100%=10%，故本次活动共调查了80÷(1)【答案】C部分所占的百分比为3636010%=800(名)学生(2)【答案】只愿意就读中等职业技术学校的学生人数为800−480−80=240，×360∘=108∘.补全图形如下图所示．图②中B区域的圆心角的度数是240800(3)【答案】估计该校八、九年级学生中只愿意就读中等职业技术学校的人×2800=840数为2408004.【答案】:0.95【解析】:观察表格得到这种油菜籽发芽的频率稳定在0.95附近，则估计这种油菜籽发芽的概率是0.955.【答案】:20=0.2，解得n=20.经检【解析】:设暗箱里白球的数量是n，则根据题意，得5n+5验，n=20是原方程的根，且符合题意6=0.2.(1)【答案】解：参加此次活动得到玩具的频率为800040000(2)【答案】设袋中共有m个球，，则P(摸到一个球是红球)=8m=0.2，解得m=40，∴8m经检验，m=40是原方程的根，且符合题意．∴袋中白球的数量接近40−8=32（个）．7.【答案】:C【解析】:∵5÷200=0.025，∴30÷0.025=1200.故选 C8.【答案】:D【解析】:∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率,∴A，B，C错误，D正确.故选D.9.【答案】:D【解析】:试验次数越大，频率越稳定，越接近事件发生的概率，故该队员一次投篮命中的概率大约是0.7210.【答案】:B【解析】:因为大量重复摸球试验后，摸到红球的频率逐渐稳定在20%，说明摸到红球的概率为20%，所以球的总数为3÷20%=15.故选 B11.【答案】:C【解析】:因为小亮共摸了1000次，其中有200次摸到白球，则有800次摸到红球，所以白球与红球的数量之比为1∶4.因为白球有10个，所以红球有4×10=40(个).。

2.3用频率估计概率

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• 频数： • 在考察中,每个对象出现的次数称为频数 • 频率： • 而每个对象出现的次数与总次数的比值称为频率.
•概率：在数学中，我们把事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率
如果事件发生的各种可能结果的可能性相同，结果总数为n 事件A发生的可能的结果总数为m
m 验次数越多,频率越接近概率
频率与概率有什么区别和联系？随着重复实验次数的不断增加，频率的变化趋势如何？从上面的实验可以看出，当重复实验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近
Z.x.x. K
瑞士数学家雅各布．伯努利（１６５４－１７０５）最早阐明了可以由频率估计概率即：在相同的条件下，大量的重复实验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定的常数，可以估计这个事件发生的概率
0.9 0.98 0.85 0.9 0.855 0.850 0.856 0.855 0.851
观察图表,回答问题串
１、从表中可以发现，Ａ类幼树移植成活的频 0.9 左右摆动，并且随着统计数据的增加，率在_____ 这种规律愈加明显，估计Ａ类幼树移植成活的 0.9 概率为____，估计Ｂ类幼树移植成活的概率为 0.85 ___．２、张小明选择Ａ类树苗，还是Ｂ类树苗呢？ A类 _____, 若他的荒山需要10000株树苗，则他实际 11112 需要进树苗________ 株？ 3、如果每株树苗9元，则小明买树苗共需 100008 元． ________
隶莫弗布丰皮尔逊皮尔逊
我们知道,任意抛一枚均匀的硬币,”正面朝上”的概率是0.5,许多科学家曾做过成千上万次的实验,其中部分结果如下表 : 抛掷次数 n “正面朝上”频率m/n
次数m
2048 4040 12000 24000

《26.3用频率估计概率》作业设计方案-初中数学沪科版12九年级下册

《用频率估计概率》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在通过实际操作，让学生掌握用频率估计概率的基本方法，理解概率的统计意义，并能够运用所学知识解决实际问题。

通过本作业的完成，学生将进一步加深对概率的理解，为后续的统计和概率学习打下坚实基础。

二、作业内容作业内容主要围绕《用频率估计概率》这一主题展开。

具体包括：1. 基础理论练习：让学生通过练习题熟悉概率与频率的关系，理解大数定律的原理，即大量重复实验下，某一事件的频率趋于稳定值，该值即为该事件的概率。

2. 实验操作：学生需自行设计一个简单的实验，如抛硬币、掷骰子等，记录实验数据，并计算各事件的频率。

在此基础上，用频率估计出相应事件的概率。

3. 实际问题解决：学生需选择一个生活中的实际问题，如抽奖活动的中奖概率、天气预报的准确率等，通过收集数据，计算频率，进而估计出相应事件的概率。

4. 作业报告撰写：学生需将实验过程、实验数据、计算结果及对结果的解释等整理成一份简短的报告，以便于课堂交流和评价。

三、作业要求1. 实验设计要具有可操作性，数据记录要准确、完整。

2. 计算频率和概率时，要使用正确的计算方法和公式。

3. 实际问题解决部分，要选择具有实际意义的问题，并确保数据的来源可靠。

4. 作业报告要条理清晰，语言简练，重点突出。

5. 作业需在规定时间内完成，并按时提交。

四、作业评价1. 教师将根据学生实验设计的合理性、数据记录的准确性、计算方法的正确性、报告的条理性等方面进行评价。

2. 评价将结合学生的实际表现和课堂交流情况进行综合评价。

3. 对于表现优秀的学生，将给予表扬和鼓励；对于存在问题的学生，将给予指导和帮助。

五、作业反馈1. 教师将对每位学生的作业进行详细批阅，并给出具体的评价和建议。

2. 针对学生在作业中出现的共性问题，将在课堂上进行集中讲解和指导。

3. 鼓励学生之间相互交流和学习，互相借鉴好的经验和做法。

4. 将学生的优秀作业作为范例展示，以激励其他学生努力提高自己的作业质量。

用频率估计概率浙教版九年级数学上册习题精练(含答案)

2.3用频率估计概率习题精练一、选择题1.甲、乙两名同学在一次用频率估计概率的实验中统计了某一结果出现的频率，绘制统计图如图所示.符合这一结果的实验可能是()A. 从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率．B. 掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率．C. 抛一枚硬币，出现正面的概率．D. 任意写一个整数，它能被2整除的概率．2.某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的试验最有可能的是()试验次数10020030050080010002000频率0.3650.3280.3300.3340.3360.3320.333A. 抛一枚硬币，正面朝上B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃C. 抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5D. 从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球3.如图，正方形ABCD内有一个内切圆⊙O.电脑可设计程序：在正方形内可随机产生一系列点，当点数很多时，电脑自动统计正方形内的点数为a，⊙O内的点数为b(在正方形边上和圆上的点不在统计中)，根据用频率估计概率的原理，可推得π的大小是()A. π≈abB. π≈4baC. π≈baD. π≈4ab4.抛掷两枚均匀的硬币，当抛掷多次以后，出现两个反面的成功率大约稳定在()A. 25%B. 50%C. 75%D. 100%5.下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果，这么球员投篮一次，投中的概率约是()6.某足球运动员在同一条件下进行射门，结果如下表所示：则该运动员射门一次，射进门的概率为()A. 0.5B. 0.65C. 0.58D. 0.77.下图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．下面有三个推断： ①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616; ②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618; ③若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620.其中合理的是()A. ①B. ②C. ① ②D. ① ③第2页，共9页8.以下说法合理的是()A. 小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是23B. 某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖C. 某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是12D. 小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是12二、填空题9.大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用.下图是小明同学的健康码(绿码)示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积为．10.技术变革带来产品质量的提升．某企业技术变革后，抽检某一产品2020件，欣喜发现产品合格的频率已达到0.9911，依此我们可以估计该产品合格的概率为______.(结果要求保留两位小数)11.冬季移栽兰花苗对成活率有影响，苗木基地相同条件下实验数据如下：移栽10株有9株成活，移栽1000株有950株成活，则估计该兰花移栽成活的概率是______ ．12.某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如表：每批粒数501003004006001000发芽的频数4596283380571948这种油菜籽发芽的概率的估计值是______.(结果精确到0.01)三、解答题13.在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共100只，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球实验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据：摸球的次数n10020030050080010003000摸到白球的次数m701241903255386702004摸到白球的频率m0.700.620.6330.650.67250.6700.668n(1)若从盒子里随机摸岀一只球，则摸到白球的概率的估计值为______；(精确到0.01)(2)试估算盒子里黑球有______只；(3)某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合这一结果的试验最有可能的是______.A.从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”B.掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”C.掷一个质地均匀的正六面体骰子(面的点数标记分别为1到6)，落地时面朝上的点数小于5．14.在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：(2)“摸到白球的”的概率的估计值是______(精确到0.1)；(3)如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？第4页，共9页15.一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别．(1)当n=1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同?(2)从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回.大量重复该试验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，求n的值．16.下表是该校服生产厂对一批夏装校服质量检测的情况：(2)从这批校服中任意抽取一套是合格品的概率估计值是______；(精确到0.01)(3)若要生产380000套合格的夏装校服，该厂估计要生产多少套夏装校服？答案和解析1.【答案】A【解析】解：A.从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是13≈0.33；B.掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率是16；C.抛一枚硬币，出现正面的概率12；D.任意写一个整数，它能被2整除的概率，即为偶数的概率为12．由用频率去估计概率的统计图可知当试验次数到700次时频率稳定在33%左右，故符合条件的只有A．故选A．2.【答案】D【解析】解：A.抛一枚硬币，正面朝上的概率为12，不符合题意;B.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为14，不符合题意;C.抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5的概率是16，不符合题意;D.从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是13，符合题意．故选D．3.【答案】B【解析】解：设圆的半径为r，则正方形的边长为2r，根据题意得πr24r2≈ba，故π≈4ba．故选B．4.【答案】A【解析】解：抛掷两枚均匀的硬币，可能出现的情况为：正正，反反，正反，反正，∴出现两个反面的概率为14，∴抛掷多次以后，出现两个反面的成功率大约稳定在25%．故选：A．5.【答案】C【解析】解：由题意得：投篮的总次数是10+50+100+150+200+250+300+500=1560(次)，投中的总次数是4+35+60+78+104+123+152+251=807(次)，则这名球员投篮的次数为1560次，投中的次数为807，故这名球员投篮一次，投中的概率约为：8071560≈0.5．第6页，共9页故选：C．6.【答案】A【解析】解：由表格可知，该运动员射门大量射门时，射进门的频率稳定在附近，所以该运动员射门一次，射进门的概率为0.5．故选A．7.【答案】B【解析】解： ①不合理，0.616是“钉尖向上”的频率;易知 ②合理; ③不合理．8.【答案】D【解析】解：小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是2是错误的，33次试验不能总结出概率，故选项A错误；某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，但不一定有5张中奖，故选项B错误；不正确，某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，他击中靶的概率是12中靶与不中靶不是等可能事件，一般情况下，脱靶的概率大于中靶的概率，故选项C错误；小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，，故选项D正确．他认为再掷一次，正面朝上的可能性是12故选D．9.【答案】2.4 cm2【解析】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，∴点落入黑色部分的概率约为0.6．易知正方形的面积为4 cm2，≈0.6，解得S≈2.4，设黑色部分的面积为S cm2，则S4∴估计黑色部分的总面积为2.4 cm2．10.【答案】0.99【解析】解：∵抽检某一产品2020件，发现产品合格的频率已达到0.9911，∴依此我们可以估计该产品合格的概率为0.99，故答案为：0.99．11.【答案】0.95=0.95，【解析】解：估计该兰花移栽成活的概率是9501000故答案为：0.95．12.【答案】0.95【解析】解：观察表格得到这种油菜籽发芽的频率稳定在0.95附近，则这种油菜籽发芽的概率的估计值是0.95，故答案为：0.95．13.【答案】0.6733 C【解析】解：(1)由表可知，若从盒子里随机摸岀一只球，则摸到白球的概率的估计值为0.67，故答案为：0.67；(2)根据题意得：100×(1−0.67)=33(只)，答：盒子里黑球有33只；故答案为：33；=0.5<0.67，故此(3)A.从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”的概率为=2754选项不符合题意；=0.5，不符合题意；B.掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率为12C.掷一个质地均匀的正六面体骰子(面的点数标记分别为1到6)，落地时面朝上的点数小于5≈0.67，符合题意；的概率为46所以某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合这一结果的试验最有可能的是C，故答案为：C．(1)由表中n的最大值所对应的频率即为所求；(2)根据黑球个数=球的总数×得到的黑球的概率，即可得出答案；(3)试验结果在0.67附近波动，即其概率P≈0.67，计算三个选项的概率，约为0.67者即为正确答案．此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．14.【答案】0.59116 0.6【解析】解：(1)a=59÷100=0.59，b=200×0.58=116．故答案为：0.59，116(2)“摸到白球的”的概率的估计值是0.6；故答案为：0.6第8页，共9页(3)12÷0.6−12=8(个)．答：除白球外，还有大约8个其它颜色的小球；(1)利用频率=频数÷样本容量=频率直接求解即可；(2)根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6；(3)根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算白球的个数．15.【答案】解：(1)当n=1时，三种颜色的球个数相同，故摸到红球和白球的可能性相同；(2)利用频率估计概率得到摸到绿球的概率为0.25，=0.25，则11+1+n解得n=2．16.【答案】【解析】解：(1)1898÷2000=0.949，2850÷3000=0.950，故答案为：0.949，0.950；(2)由图可知，随着取样的不断增大，任意抽取一套是合格品的频率在0.95附近波动，故答案为：0.95；(3)根据(2)的合格频率估计为：380000÷0.95=400000(套)，答：该厂估计要生产400000套夏装校服．。

25.3用频率估计概率(1)教学设计

初中九年级数学《26.3用频率估计概率》第一课时教学设计蚌埠市怀远界沟学校何建超一、教学内容解析《用频率估计概率》是沪科版教材九年级下册第二十六章第三节，前两节已经学习了概率的定义，并利用列举法求一些有限等可能事件的概率，本节将从统计试验结果的角度去研究概率，即通过频率研究概率。

教材在讨论完设置的掷硬币试验后，归纳得出用频率估计概率的方法，用频率估计概率将不受试验结果个数有限和等可能条件的限制，因此适用范围比用概率的古典定义更广。

教材设置了一个投币实验，一方面让学生亲自动手试验获得数据，另一方面给出历史上投币实验的数据，为学生发现规律提供帮助，通过亲手试验和历史数据，学生能够用自己在统计中学过的频率知识来研究投掷一枚硬币时“正面向上”的频率的大小，大量试验得出的稳定性数据0.5和我们用列举法求出的概率是同一个数值，从另外一个方面佐证了只要试验重复次数足够多，可以用频率去估计概率。

于是教材给出了概率的统计定义，这将有利于学生从整体上更好的把握概率的内涵，与前节学习的概率的古典定义达到统一。

二、教学目标解析根据学生已有的认知结构和生活经验，制定以下教学目标：1、从频率稳定性的角度了解概率的意义；【设计目的】让学生感知在试验过程中频数的发生是一个随机事件，用质地均匀的硬币投掷又是等可能事件，计算出的频率只能作为概率发生的估计值。

2、经历试验、统计整理、分析、归纳、确认等数学活动进而了解并感受概率意义的过程，引导学生从数学的视角观察客观世界，用数学的思维思考客观世界，以数学的语言描述客观世界，进一步发展学生合作交流的意识和能力；【设计目的】让学生经历、感受数学是过程这一重大意义，把学生置于整个活动过程中，亲身体验频率的统计过程，深刻理解用频率估计概率的内涵，并在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。

3、通过对问题的分析，理解用频率估计概率的方法，理解概率的思想，会用试验方法估计一些复杂的随机事件发生的概率。

用频率估计概率(教案)

25.3 用频率估计概率教学目标【知识与技能】理解每次试验可能的结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，利用统计频率的方法估计概率.【过程与方法】经历利用频率估计概率的学习，使学生明白在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率.【情感态度】通过研究如何用统计频率求一些现实生活中的概率问题，培养使用数学的良好意识，激发学习兴趣，体验数学的应用价值.【教学重点】对利用频率估计概率的理解和应用.【教学难点】利用频率估计概率的理解.教学过程一、情境导入，初步认识问题1400个同学中，一定有2个同学的生日相同（可以不同年）吗？那么300个同学中一定有2个同学的生日相同吗？有人说：“50个同学中，就很可能有2个同学的生日相同.”这话正确吗？调查全班同学，看看有无2个同学的生日相同.问题2要想知道一个鱼缸里有12条鱼，只要数一数就可以了.但要估计一个鱼塘里有多少条鱼，该怎么办呢？【教学说明】在前面我们学习了能列举所有可能的结果，并且每种结果的可能性相等的随机事件的概率的求法.那么这里的两个问题情境中，很容易让学生想到这些事件的结果不容易完全列举出来，而且每种结果出现的可能性也不一定是相同的.从而引发学生的求知欲，对于这类事件的概率该怎样求解呢，引入课题.二、思考探究，获取新知1.利用频率估计概率试验：把全班同学分成10组，每组同学掷一枚硬币50次，整理同学们获得的试验数据，并记录在下表中：填表方法：第1组的数据填在第1行；第1，2组的数据之和填在第2行，…，10个组的数据之和填在第10行.如果在抛掷n次硬币时，出现m次“正面向上”，则随机事件“正面向上”出现的频率为m/n.【教学说明】分组是为了减少劳动强度加快试验速度，当然如果条件允许，组数分得越多，获得的数据就会越多，就更容易观察出规律.让学生再次经历数据的收集，整理描述与分析的过程，进一步发展学生的统计意识，发现数据中隐藏的规律.请同学们根据试验所得数据想一想：“正面向上”的频率有什么规律？历史上，有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验，试验结果如下：思考随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率变化趋势有何规律？在学生讨论的基础上，教师帮助归纳，使学生认识到每次试验中随机事件发生的频率具有不确定性，同时发现随机事件发生的频率也有规律性，在试验次数较少时，“正面向上”的频率起伏较大，而随着试验次数逐渐增加，一般地，频率会趋于稳定，“正面向上”的频率越来越接近0.5，也就是说，在0.5左右摆动的幅度越来越小.我们就用0.5这个常数表示“正面向上”发生的可能性的大小.【归纳结论】一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率m/n稳定于某个常数P，那么事件A发生的概率P（A）=P.思考对一个随机事件A，用频率估计的概率P（A）可能小于0吗？可能大于1吗？答：都不可能，它们的值仍满足0≤P（A）≤1.2.利用频率估计概率的应用问题1某林业部门要考查某种幼树在一定条件下的移植成活率，应采用什么具体做法？幼树移植成活率是实际问题中的一种概率，这种实际问题中的移植试验不属于各种结果可能性相等的类型.因而要考查成活率只能用频率去估计.在同样的条件下，大量地对这种幼树进行移植，并统计成活情况，计算成活的频率，若随着移植棵树n的越来越大，频率m/n越来越稳定于某个常数.则这个常数就可以作为成活率的近似值.上述问题可设计如下模拟统计表，补出表中空缺并完成表后填空.从表中可以发现，幼树移植成活的频率在左右摆动，且随着统计数据的增加，这种规律愈加明显，所以估计幼树移植成活的频率为：.答案：（1）表中空出依次填：0.940，0.923，0.883，0.897（2）0.9，0.9问题2某水果公司以2元/千克价格购进10000千克的水果，且希望这些水果能获得税前利润5000元，那么在出售这些水果（已去掉损坏的水果）时，每千克大约定价为多少元较合适？解：要定出合适的价格，必须考虑该水果的“完好率”或“损坏率”，如考查“损坏率”就需要从水果中随即抽取若干，进行损坏数量的统计，并把结果记录下来，为此可仿照上述问题制定如下表格：从表格可看出，水果损坏率在某个常数（例如0.1）左右摆动，并且随统计量的增加，这种规律逐渐明显，那么可以把水果损坏的概率估计为这个常数，如果估计这个概率为0.1，则水果完好的概率为0.9.∴在10000千克水果中完好水果的质量为10000×0.9=9000（千克）设每千克水果的销售价为x元，则有：9000x-2×10000=5000x≈2.8∴出售这批水果的定价大约为2.8元/千克，可获利5000元.思考为简单起见，能否直接把上表中500千克对应的损坏率作为损坏的概率？答：可以.【教学说明】用频率估计概率时，一般是通过观察所计算的各频率数值的变化趋势，即观察各数值主要集中在哪个常数的附近，这个常数就是所求概率的估计值.三、运用新知，深化理解1.小新抛一枚质地均匀的硬币，连续抛三次，硬币落地均正面朝上，如果她第四次抛硬币，那么硬币正面朝上的概率为（）2.一只不透明的袋子中装有4个小球,分别标有数字2、3、4、x,这些球除数字外都相同，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上的数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复试验，试验数据如下表：解答下列问题：（1）如果试验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，试估计出现“和为7”的概率；（2）根据（1），若x是不等于2、3、4的自然数x，试求x的值.【教学说明】第1题较简单，可由学生自主完成，第2题稍难，由师生共同完成.【答案】1.A2.（1）随着试验次数的增加，出现“和为7”的频率稳定在0.33附近摆动，因此可以知道当试验继续进行下去它的频率会稳定在0.33附近，故可估计“和为7”的概率为0.33.（2）甲、乙两人同时从袋中各摸出一个球所有可能的结果是（2，3）、（2，4）、（2，x）、(3，4)、（3，x）、（4，x）共6个，由于（3，4）这一结果的和为7，再根据“和为7”的概率为0.33≈1/3,所以其中（2，x）、(3,x)、（4，x）这三个结果中一定还有一个和为7，当2+x=7，则x=5,当3+x=7，则x=4，当4+x=7,x=3，显然后两种均不符合题意，故x=5.四、师生互动，课堂小结1.你知道什么时候用频率来估计概率吗？2.你会用频率估计概率来解决实际问题吗？【教学说明】教师先提出上述问题，让学生相互交流，再选派几名同学进行回顾总结，师生再共同完善.课后作业1.布置作业：从教材“习题25.3”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.教学反思。

九年级数学上册第二十五章概率初步 25.3 用频率估计概率教案新人教版

25．3 用频率估计概率【教材分析】《利用频率估计概率》是人教版九年级上册第二十五章《概率初步》的第三节。

它是学习了前两节概率和用列举法求概率的基础上，即学习了理论概率后，进一步从试验的角度来估计概率，让学生再次体会频率与概率间的关系，通过这部分内容的学习可以帮助学生进一步理解试验频率和理论概率的关系。

概率与人们的日常生活密切相关，应用十分广泛。

纵观近几年的中考题，概率已是考查的热点，同时，对此内容的学习，也是为高中深入研究概率的相关知识打下坚实基础。

【教学目标】根据新课程标准的要求，课改应体现学生身心发展特点；应有利于引导学生主动探索和发现；有利于进行创造性的教学。

因此，我把本节课的教学目标确定为以下三个方面：知识目标：1.理解当事件的试验结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，要用频率来估计概率，进一步发展概率观念。

2.进一步理解概率与频率之间的联系与区别，培养学生根据频率集中趋势估计概率的能力。

方法与过程目标：1.选择生活中的实例进行教学，使学生在解决实际问题过程中加强对概率的认识，突出用频率的集中趋势估计概率的思想，体现数学与生活的紧密联系.2.通过对问题的分析,理解用频率来估计概率的方法,渗透转化和估算的思想方法.情感态度与价值观目标:1.利用生活实例，介绍数学史，激发学生学习数学的热情和兴趣。

2.结合试验的随机性和规律性，让学生理解试验频率和理论概率的关系。

【重点与难点】重点：1.体会用频率估计概率的必要性和合理性。

2.学会依据问题特点，用频率来估计事件发生的概率。

难点：1.理解频率与概率的关系，2.用频率估计概率解决实际问题。

【学生分析】学习统计概率的学生并不是难在用频率估计概率，而是难在多大程度上感受用频率估计概率的必要性以及体会用频率估计概率所蕴含的基本思想，然后自觉地运用到实际生活中。

所以，要发动学生积极参与，动手实验，在实践中感悟。

【教学方法】树立以学生为本的思想，通过创设问题情境，利用《问题生成评价单》，以多媒体为教学平台，通过精心设计的问题串和活动系列，采取精讲多练、讲练结合的方法来落实知识点并不断地制造思维兴奋点，让学生脑、嘴、手动起来，充分调动了学生的学习积极性，达到事半功倍的教学效果。

第十二讲用频率估计概率概率的简单应用2021年新九年级数学暑假课程(浙教版)(解析版)

第十二讲用频率估计概率概率的简单应用2.3-2.4 用频率估计概率概率的简单应用【学习目标】1.理解频率与概率的区别与联系；2.会通过重复试验，估计事件发生的概率；3.学会运用概率知识来解决一些简单的实际问题.【基础知识】一、频率与概率 1.定义频率：在相同条件下重复n 次实验，事件A 发生的次数m 与实验总次数n 的比值.概率：事件A 的频率nm接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P （A ）. 2.频率与概率的关系在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近.因此我们可以通过大量重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率. 要点：（1）事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；（3）概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 三、利用频率估计概率当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率. 要点：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.【考点剖析】例1．某鱼塘里养了1600条鲤鱼，若干条草鱼和800条鲢鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，则该鱼塘捞到鲢鱼的概率约为（） A ．23B ．12C ．13D ．16【答案】D 【解析】根据捕捞到草鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到鲤鱼的概率．解：∵捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右设草鱼的条数为x ，可得：0.51600800xx=++，∴x =2400，经检验：2400x =是原方程的根，且符合题意， ∴捞到鲢鱼的概率为：8001160080024006=++，故选：D ．【点睛】本题考察了概率、分式方程的知识，解题的关键是熟练掌握概率的定义，通过求解方程，从而得到答案．例2．一个不透明的袋子里装有50个黑球，2个白球，这些球除颜色外其余都完全相同．小明同学做摸球试验，将球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后放回袋中，然后再重复进行下一次试验，当摸球次数很大时，摸到白球的频率接近于（） A ．150B ．126C ．125D ．12【答案】B 【解析】根据概率的求法，在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m 种结果，那么事件A 发生的概率P(A)=mn，列式求解即可． ∵一个不透明的袋子里装有50个黑球，2个白球，∴摸到白球的概率为215226=， ∴摸到白球的频率为：126．故选：B ．【点睛】本题主要考查了概率的求法，熟悉掌握概率的计算方法是解题的关键．例3．太原市林业部门要考察某种幼苗的移植成活率，于是进行了试验，表中记录了这种幼苗在一定条件下移植的成活情况：移植总数n 400 1500 3500 7000 9000 14000 成活数m 3691335 3203 6335 8073 12628 成活的频率m n0.9230.8900.9150.9050.8970.902根据以上数据，估计这种幼苗移植成活的概率是（） A ．0.80 B ．0.85C ．0.90D ．0.95【答案】C 【详解】略例4．如图是一副宣传节约用水的海报，海报长1.2m ，宽0.6m ．小明为了测量海报上“节约用水从我做起”八个字所占的面积，在长方形海报上随机撒豆子（假设豆子落在海报内每一点都是等可能的）．经过大量试验，发现豆子落在“节约用水从我做起”八个字上的频率稳定在0.2左右．由此可估计海报上“节约用水从我做起”八个字所占的面积约为（）A ．20.35mB ．20.7mC ．20.144mD ．20.2m【答案】C 【解析】长方形宣传海报的面积为()21.20.60.72m⨯=．∵豆子落在“节约用水从我做起”八个字上的频率稳定在0.2左右，∴“节约用水从我做起”八个字图案占长方形宣传海报的20%．∴海报上“节约用水从我做起”八个字的面积约为()21.20.60.72m⨯=．例5．一个不透明的盒子里装有若干个同一型号的白色乒乓球，小明想通过摸球实验估计盒子里有白色乒乓球的个数，于是又另外拿了9个黄色乒乓球（与白色乒乓球的型号相同）放进盒子里．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回去，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄色乒乓球的频率稳定在30%，估计原来盒子中白色乒乓球的个数为（）A．21 B．24 C．27 D．30【答案】A【解析】设原来盒子中白色乒乓球的个数为x，根据摸到黄色乒乓球的频率稳定在30%得99x+＝30%，解方程即可求解．【详解】设原来盒子中白色乒乓球的个数为x，根据题意，得：99x+＝30%，解得：x＝21，经检验：x＝21是分式方程的解，∴原来盒子中白色乒乓球的个数为21个，故选A．【点睛】本题考查了频率与频数的关系，熟知频率=频数数据总和是解决问题的关键．例6．一个暗箱里放有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中红球只有4个，若每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，那么可以推算出a大约是（）A．25 B．20 C．15 D．10【答案】B【解析】由在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，即可知其概率，再利用概率公式即可推算出a的大小．【详解】由题意可得4100%20% a⨯=，解得20a=．经检验：a=20是原方程的根且符合题意故选B．【点睛】本题考查用频率估计概率，熟记概率公式是解本题的关键例7．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去．问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有（）种不同的可能？A．12 B．6 C．5 D．2【答案】B【解析】解决本题的关键是分析两道门各自的可能性情况，然后再进行组合得到打开两道门的方法，这类题要读懂题意，从中找出组合的规律进行求解，本题不同的是首先分析每道门的情况数，然后整体进行组合即可得解．【详解】解：因为第一道门有A、B、C三个出口，所以出第一道门有三种选择；又因第二道门有两个出口，故出第二道门有D、E两种选择，因此小松鼠走出笼子的路线有6种选择，分别为AD、AE、BD、BE、CD、CE．故选：B．【点睛】本题考查了概率、所有可能性统计，通过列举法可以举出所有可能性的路径．例8．如图，小明在操场上做游戏，他在沙地上画了一个面积为15的矩形，并在四个角画上面积不等的扇形，在不远处的固定位置向矩形内部投石子，记录如下（石子不会落在矩形外面和各区域边缘）：投石子的总次数50次150次300次600次石子落在空白区域内的次数14次85次199次400次石子落在空白区域内的频率725173019930023依此估计空白比分的面积是（）A．6B．8.5C．9.95D．10【答案】D【解析】根据投在空白区域内的频率得到概率的大小，由此计算空白区域的面积. 【详解】由表格可知：当投石子的次数越来越多时，石子落在空白区域的频率越接近23，即空白区域的面积占总面积的23，∴空白部分的面积=215103⨯=，故选D.【点睛】此题主要是利用频率估计概率，当实验次数越多时，某事件的频率越接近于该事件的概率，这是利用频率计算概率在实际生活中的运用.【过关检测】一、单选题1．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共40个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中黄球的个数最有可能是（） A ．10 B ．15C ．20D ．30【答案】D 【解析】设袋子中红球有x 个，根据摸出红球的频率稳定在0.25左右列出关于x 的方程，求出x 的值，从而得出答案．解：设袋子中红球有x 个，根据题意，得：40x=0.25，解得x=10，∴袋子中红球的个数最有可能是10个，黄球有40-10=30（个）故选：D ．【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．2．一个不透明的盒子中装有10个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同．从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验400次，其中有240次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有（） A ．6个 B ．10个C ．15个D ．30个【答案】C 【解析】根据题目试验可求出白球所占的频率，设盒子中的白球大约有x 个，列出等式求解即可．【详解】∵共试验400次，其中有240次摸到白球， ∴白球所占的频率为240400=0.6，设盒子中的白球大约有x 个，则0.610xx =+，解得：x=15，∴盒子中的白球大约有15个，故选：C ．【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．3．某科研小组，为了考查某河野生鱼的数量，从中捕捞200条，作上标记后，放回河里，经过一段时间，再从中捕捞300条，发现有标记的鱼有15条，则估计该河中野生鱼有( ) A ．8000条 B ．4000条C ．2000条D ．1000条【答案】B 【解析】试题解析：∵300条鱼中发现有标记的鱼有15条， ∴有标记的占到15300， ∵有200条鱼有标记， ∴该河流中有野生鱼200÷15300=4000（条）；故选B ．4．为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下．身高/cm x 160x <160170x ≤<170180x ≤<180x ≥人数60260550130根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于170cm 的概率是（） A ．0.32 B ．0.55C ．0.68D ．0.87【答案】C 【解析】先计算出样本中身高不低于170cm 的频率，然后根据利用频率估计概率求解．【详解】解：样本中身高不低于170cm的频率5501300.681000+==，所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于170cm的概率是0.68．故选：C．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．5．在一个不透明的袋子中，装有红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它完全相同．若小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在0.15．和0.45，则该袋子中的白色球可能有()A．6个B．16个C．18个D．24个【答案】B【解析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率=频数计算白球的个数，即可求出答案．【详解】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在0.15和0.45，∴摸到白球的频率为1-0.15-0.45=0.4，故口袋中白色球的个数可能是40×0.4=16个．故选：B．【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．6．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：则该运动员“射中9环以上”的概率约为（结果保留一位小数）（）A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.9【答案】C【解析】用频率估计概率解答即可．【详解】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近，∴这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率大约是0.8．故选：C．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．7．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．其中合理的是()A．①B．②C．①②D．①③【答案】B【解析】随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，据此进行判断即可．【详解】解：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，“正面向上”的概率不一定是0.47，故错误；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，故正确；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率不一定是0.45，故错误．故选：B．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，明确概率的定义是解题的关键．8．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（）A．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”C．在装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6【答案】D【解析】根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率P≈0.17，计算四个选项的概率，约为0.16者即为正确答案．【详解】解：A、从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”的概率是12＞0.17，故此选项不符合要求；B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率＝12＝0.5＞0.17，故此选项不符合要求；C、从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到白球的概率是23≈0.67＞0.17，故此选项不符合要求；D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率＝16≈0.17，故此选项符合要求．故选：D．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．9．2019年8月上旬某市空气质量指数（AQI）（单位：μg/m3）如下表所示，空气质量指数不大于100表示空气质量优良小王8月上旬到该市度假一次，那么他在该市度假3天空气质量都是优良的概率是（）．A．58B．35C．25D．23【答案】A【解析】根据表格中的数据和题意可以求得3天空气质量都是优良的概率．【详解】解：由表格可得，所有的可能性是：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），（5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10），∴小王在该市度假3天空气质量都是优良的概率是58；故答案为：A【点睛】本题主要考查了用列举法求概率．解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．10．在大力发展现代化农业的形势下，现有A、B两种新玉米种子，为了了解它们的出芽情况，在推广前做了五次出芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下：下面有三个推断：①当实验种子数量为100时，两种种子的出芽率均为0.99，所以A、B两种新玉米种子出芽的概率一样；②随着实验种子数量的增加，A种子出芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽的概率是0.97；③在同样的地质环境下播种，A种子的出芽率可能会高于B种子．其中合理的是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③【答案】D【解析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此解答可得．【详解】①在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的概率估计它的概率，实验种子数量为100，数量太少，不可用于估计概率，故①推断不合理；②随着实验种子数量的增加，A种子出芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽的概率是0.97，故(②推断合理；③在同样的地质环境下播种，A 种子的出芽率约为0.97，B种子的出芽率约为0.96，A种子的出芽率可能会高于B种子，故正确，故选：D．【点睛】此题考查利用频率估计概率，理解随机事件发生的频率与概率之间的关系是解题的关键．二、填空题11．在一个不透明的盒子中装有n个小球，他们只有颜色上的区别，其中有3个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复实验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是________．【答案】15【解析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，根据概率公式即可得解．【详解】解：由题意，得：3n＝0.2，解得：n＝15．故答案为15．【点睛】本题考查了利用频率求概率及简单的概率计算．解题的关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．12．一个不透明的袋子中装有24个黄球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，小东为估计袋子中白球的个数，经过多次摸球试验后发现摸到黄球的频率稳定在0.2附近，则袋子中大约有________个白球．【答案】96【详解】∵经过多次摸球试验后，摸到黄球的频率稳定在0．2附近，∴袋子中所有小球的总数约为240.2120÷=（个），∴白球的个数约为1202496-=（个）．13．在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小球，其中有6个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球，以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表：根据列表，可以估计出n的值是____．【答案】12【解析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率求解即可．【详解】解∵通过大量重复试验后发现，摸到黑球的频率稳定于0.5，∴6n=0.5，解得：n=12．故答案为：12．【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系．14．一个不透明的口袋里有13个黑球和若干个黄球，从口袋中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共试验500次，其中有240次摸到黄球，由此估计袋中的黄球有________个．【答案】12【解析】先计算出黄球频率，频率的值接近于概率，再计算黄球的概率．【详解】解：黄球的概率近似为24012 50025=，设袋中有x个黄球，则12 1325xx=+，解得x=12，经检验：x=12是原方程的解，答：估计袋中的黄球有12个，故答案为：12．【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．要理解用频率估计概率的思想．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．15．一个不透明的箱子中装有大小形状完全相同的2个红球和3个黄球，从箱子中随机摸出一球，记下颜色并放回，大量重复该试验，则摸到黄球的频率会趋向稳定为_________．【答案】3 5【解析】求出摸到黄球的概率，根据“大量重复试验中事件发生的频率逐渐稳定到的常数可以估计概率”直接写出答案即可．【详解】解：∵一共5个球，2个红球，3个黄球，∴摸到黄球的概率为35，∴大量重复实验后，摸到黄球频率趋向稳定为35，故答案为35．【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 16．已知事件A 发生的概率为110，大量重复做这种试验，事件A 平均每100次发生的次数约为_______次．【答案】10 【解析】根据概率的意义解答即可. 【详解】事件A 发生的概率为110，大量重复做这种试验，则事件A 平均每100次发生的次数为: 100×110=10 故答案为:10 【点睛】本题考查了概率的意义,熟记概念是解题的关键17．下面是某小区随机抽取的100户家庭的月用电量情况统计表： 240x240300x350x 350400xx 5223115从中任意抽出一个家庭进行用电情况调查，则抽到的家庭月用电量为第二档（用电量大于240小于等于400为第二档）的概率为__________．【答案】0.8．【解析】根据用电量大于240小于等于400为第二档，即可得出结论．【详解】由表格可知这100户中，有22273180++=户为第二档人， ∴800.8100P ==，故答案为：0.8．【点睛】本题考查了概率问题，正确读懂表格是解题的关键．18．小明参加了一个抽奖游戏：一个不透明的布袋里装有1个红球，2个蓝球，4个黄球，8个白球，这些小球除颜色外完全相同．从布袋里摸出1球，摸到红球、蓝球、黄球、白球可分别得到奖金30元、20元、5元和0元，则小明摸一次球得到的平均收益是________元．【答案】6【解析】求出任摸一球，摸到红球、黄球、绿球和白球的概率，那么获奖的平均收益可以用加权平均数的方法求得．【详解】解：1248 30+20+5+015151515⨯⨯⨯⨯=2+4=6（元）故答案为6【点睛】此题主要考查了考查概率的计算和加权平均数的计算方法，理解获奖平均收益实际就是求各种奖项的加权平均数．19．如图，用两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配出紫色，那么可配成紫色的概率是___________________．【答案】1 3【解析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和能配成紫色的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【详解】解：根据题意画树状图如下：共有6种等可能的情况数，其中配成紫色的有2种，则配成紫色的概率是2163=．故答案为：13．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．20．现有张正面分别标有数字0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a ，则使得关于x 的一元二次方程2202a x x -+=有实数根，且关于x 的分式方程11222ax x x -+=--有解的概率为______．【答案】16【解析】根据一元二次方程有实数根，求出a 的取值范围，再根据分式方程有解，求出a 的取值范围，综合两个结果即可得出答案．【详解】一元二次方程2202ax x -+=有实数根， ∴4402a-⨯≥. ∴2a ≤， ∴0a =，1，2，关于x 的分式方程11222ax x x -+=--的解为：22x a=-，且20a -≠且2x ≠，解得：2a ≠且1a ≠， ∴0a =，∴使得关于x 的一元二次方程，2202a x x -+=有实数根，且关于x 的分式方程11222ax x x -+=--有解的概率为：16. 故答案为：16【点睛】本题考查一元二次方程有实数根、分式方程有解和概率的计算公式，掌握一元二次方程有实数根和分式方程有解是解题的关键．21．如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个对角线为AC 和BD 的菱形，使不规则区域落在菱形内，其中AC=8m ，BD=4m ，现向菱形内随机投掷小石子（假设小石子落在菱形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数25%，由此可估计不规则区域的面积是_____m 2．【答案】4．【解析】首先确定小石子落在不规则区域的概率，然后利用概率公式求得其面积即可．【详解】∵经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数25%附近， ∴小石子落在不规则区域的概率为0.25， ∵AC=8m ，BD=4m ， ∴面积为12×8×4=16m 2，设不规则部分的面积为s ，则16s=0.25，解得：s=4，故答案为4．。

浙教版数学九年级上册《2.3 用频率估计概率》教案1

浙教版数学九年级上册《2.3 用频率估计概率》教案1一. 教材分析浙教版数学九年级上册《2.3 用频率估计概率》是对概率论的一个初步介绍。

本节内容通过实例让学生理解频率与概率的关系，学会如何利用频率来估计概率，并能够运用这一方法解决一些实际问题。

教材通过具体的实验和数据分析，引导学生感受概率论的基本思想，为后续学习更深入的概率知识打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数据分析能力，对随机事件有一定的认识。

但用频率估计概率这一概念对学生来说较为抽象，需要通过具体的实例和操作来深入理解。

在教学过程中，教师应关注学生的认知水平，尽可能地让学生通过自主探究、合作交流来掌握这一概念。

三. 教学目标1.让学生了解频率与概率的关系，理解用频率估计概率的方法。

2.培养学生通过实验和数据分析来探究问题、解决问题的能力。

3.提高学生的数学思维能力和实际应用能力。

四. 教学重难点1.重点：频率与概率的关系，用频率估计概率的方法。

2.难点：如何引导学生通过实验和数据分析来理解用频率估计概率的方法。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过解决实际问题来学习用频率估计概率的方法。

2.运用实验教学法，让学生亲自动手进行实验，观察频率与概率的关系。

3.采用合作交流的学习方式，让学生在讨论中深入理解用频率估计概率的方法。

六. 教学准备1.准备相关实验材料，如骰子、卡片等。

2.设计好实验方案，确保实验结果具有可重复性。

3.准备相关练习题，以便在巩固环节进行练习。

七. 教学过程导入（5分钟）教师通过一个简单的实验引入课题，例如抛硬币实验，让学生观察正面朝上的频率。

提问：这个频率与概率有什么关系？如何用频率来估计概率？呈现（10分钟）教师呈现实验结果，引导学生思考频率与概率的关系。

通过多次实验，让学生观察频率的波动情况，探讨如何用频率来估计概率。

操练（10分钟）学生分组进行实验，每组选择一个随机事件，如掷骰子、抽卡片等，记录实验结果，计算频率。

用频率估计概率-九年级数学人教版(上)(原卷版+解析版)

第二十五章概率25.3用频率估计概率一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在综合实践活动中，小明、小亮、小颖、小菁四位同学用投掷一枚图钉的方法估计顶尖朝上的概率，他们实验次数分别为20次、50次、150次、200次，其中，哪位同学的实验相对科学A．小明B．小亮C．小颖D．小菁2．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有30个，黑球有n个．随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值约为A．20 B．30C．40 D．503．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同．小张通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是A．6 B．16C．18 D．244．某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是A．抛一枚硬币，出现正面朝上B．掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃D．从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球5．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：射击次数20 40 100 200 400 1000 “射中9环以上”的次数15 33 78 158 321 801“射中9环以上”的频率0.75 0.825 0.78 0.79 0.8025 0.801 则该运动员射击一次时“射中9环以上”的概率约为（结果保留一位小数）A．0.7 B．0.75C．0.8 D．0.9二、填空题：请将答案填在题中横线上．6．在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其他都没有区别，其中含有3个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中．通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.03，那么可以推算出n的值大约是__________．7．下表记录了某种幼树在一定条件下移植成活情况：移植总数n400 1500 3500 7000 9000 14000成活数m325 1336 3203 6335 8073 12628成活的频率（精确到0.01）0.813 0.891 0.915 0.9050.897 0.902 由此估计这种幼树在此条件下移植成活的概率约是__________（精确到0.1）．8．某农科所在相同条件下做玉米种子发芽实验，结果如下：某位顾客购进这种玉米种子10千克，那么大约有__________千克种子能发芽．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n2048 4040 10000 12000 24000 摸到白球的次数m1061 2048 4979 6019 12012摸到白球的频率mn0.518 0.5069 0.4979 0.50160.5005（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近__________；（精确到0.1）（2）试估算口袋中白球有多少个？（3）若从中先摸出一球，放回后再摸出一球，请用列表或树状图的方法（只选其中一种），求两次摸到的球颜色相同的概率．10．某商场进行有奖促销活动，规定顾客购物达到一定金额就可以获得一次转动转盘的机会（如图），当转盘停止转动时指针落在哪一区域就可获得相应的奖品（若指针落在两个区域的交界处，则重新转动转盘）．转动转盘的次数n100 150 200 500 800 1000落在“10元兑换券”的次数m68 111 136 345564 701落在“10元兑换券”的频率mn0.68 a0.68 0.69 b0.701（1）a的值为__________，b的值为__________；（2）假如你去转动该转盘一次，获得“10元兑换券”的概率约是__________；（结果精确到0.01）（3）根据（2）的结果，在该转盘中表示“20元兑换券”区域的扇形的圆心角大约是多少度？（结果精确到1°）第二十五章概率25.3 用频率估计概率一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在综合实践活动中，小明、小亮、小颖、小菁四位同学用投掷一枚图钉的方法估计顶尖朝上的概率，他们实验次数分别为20次、50次、150次、200次，其中，哪位同学的实验相对科学 A ．小明 B ．小亮C ．小颖D ．小菁【答案】D2．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有30个，黑球有n 个．随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则n 的值约为 A ．20 B ．30C ．40D ．50【答案】A【解析】根据题意得30nn=0.4，解得：n =20，故选A ． 3．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同．小张通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是 A ．6 B ．16C ．18D ．24【答案】B【解析】∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%， ∴摸到白球的频率为1–15%–45%=40%，故口袋中白色球的个数可能是40×40%=16个．故选B ．4．某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是A．抛一枚硬币，出现正面朝上B．掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃D．从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球【答案】D5．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：射击次数20 40 100 200 4001000 “射中9环以上”的次数15 33 78 158 321 801“射中9环以上”的频率0.75 0.825 0.78 0.79 0.8025 0.801 则该运动员射击一次时“射中9环以上”的概率约为（结果保留一位小数）A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.9【答案】C【解析】∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近，∴这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率大约是0.8．故选C．二、填空题：请将答案填在题中横线上．6．在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其他都没有区别，其中含有3个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中．通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.03，那么可以推算出n的值大约是__________．【答案】100【解析】由题意可得，3n=0.03，解得，n=100．故估计n大约是100．故答案为：100．7．下表记录了某种幼树在一定条件下移植成活情况：移植总数n4001500 3500 7000 9000 14000成活数m325 1336 3203 63358073 12628 成活的频率（精确到0.01）0.813 0.891 0.915 0.905 0.897 0.902 由此估计这种幼树在此条件下移植成活的概率约是__________（精确到0.1）．【答案】0.98．某农科所在相同条件下做玉米种子发芽实验，结果如下：某位顾客购进这种玉米种子10千克，那么大约有__________千克种子能发芽．【答案】8.8【解析】∵大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.88左右，∴10kg种子中能发芽的种子的质量是：10×0.88=8.8（kg），故答案为：8.8．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n2048 404010000 1200024000 摸到白球的次数m1061 2048 4979 6019 12012摸到白球的频率mn0.518 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近__________；（精确到0.1）（2）试估算口袋中白球有多少个？（3）若从中先摸出一球，放回后再摸出一球，请用列表或树状图的方法（只选其中一种），求两次摸到的球颜色相同的概率．（3）列表得：第二次第一次白1 白2 黑1 黑2白1 （白1，白1）（白1，白2）（白1，黑1）（白1，黑2）白2 （白2，白1）（白2，白2）（白2，黑1）（白2，黑2）黑1 （黑1，白1）（黑1，白2）（黑1，黑1）（黑1，黑2）黑2 （黑2，白1）（黑2，白2）（黑2，黑1）（黑2，黑2）由列表可得，共有16种等可能结果，其中两个球颜色相同的有8种可能．∴P（颜色相同）=816=12．10．某商场进行有奖促销活动，规定顾客购物达到一定金额就可以获得一次转动转盘的机会（如图），当转盘停止转动时指针落在哪一区域就可获得相应的奖品（若指针落在两个区域的交界处，则重新转动转盘）．转动转盘的次数n100 150 200500 800 1000落在“10元兑换券”的次数m68 111 136 345 564 701落在“10元兑换券”的频率mn0.68 a0.68 0.69 b0.701（1）a的值为__________，b的值为__________；（2）假如你去转动该转盘一次，获得“10元兑换券”的概率约是__________；（结果精确到0.01）（3）根据（2）的结果，在该转盘中表示“20元兑换券”区域的扇形的圆心角大约是多少度？（结果精确到1°）。